Eine neue Naeherung an Gamma(x+1)/Gamma(x+1/2)
Peter Luschny
und de.sci.mathematik: "G(x+1)/G(x+0.5),G=Gamma",
"Eine Ungleichung mit Exp" und "Eine Inklusion mit Gamma"
Eine Zusammenfassung findet sich unter
http://www.luschny.de/math/factorial/approx/gammaquot.html
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Ausgangspunkt: Gesucht sind Schranken und Näherungen an
Gamma(z + 1)
G(z) = ------------
Gamma(z+1/2)
Inspiriert durch die Windschitl-Näherung an die Gammafunktion
(siehe http://www.luschny.de/math/factorial/approx/SimpleCases.html)
habe ich eben folgende einfache Näherung an G(z) gefunden:
Q(z) = sqrt(e*z)*(1/2+exp(-1/z)/2)^z
Eine allererste Exploration sagt mir
G(z) = Q(z)(1+O(z^(-5)).
Soweit ich sehen kann, wurde diese Näherung an G(z)
bisher noch nicht betrachtet, obwohl sie vergleichsweise
einfach und effizient ist und auch theoretisch interessant(*).
Nach der von Alex hier vorgestellten Methode aus einer
unteren Schranke eine obere zu machen definiere ich noch
P(z) = (z+1/2)/Q(z+1/2),
und gewinne so ein einschließendes Paar an Schranken:
Q(z) < G(z) < P(z)
Das Paar [Q(z), P(z)] verhält sich numerisch so:
z = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50.
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-6.4, -7.9, -8.8, -9.4, -9.9, -10.3, -10.6, -10.9, -11.2, -11.4
6.6, 8.0, 8.9, 9.5, 9.9, 10.3, 10.7, 10.9, 11.2, 11.4
Dabei ist in der Tabelle die Anzahl der exakten signifikanten
Dezimalstellen der Näherungen gegeben.
Gruss Peter
(*) Die Experten betrachten die Stirlingsche Reihe, schauen
dann auf die Windschitl-Formel, sagen "Was für ein
überraschender Zufall!", kratzen sich am Kopf, und im
Weggehen hört man sie sagen: "Oder doch kein Zufall?"
Peter Luschny
> G(z) = Gamma(z + 1)/Gamma(z + 1/2)
> Inspiriert durch die Windschitl-Näherung an die Gammafunktion
> habe ich eben folgende einfache Näherung an G(z) gefunden:
> Q(z) = sqrt(e*z)*(1/2+exp(-1/z)/2)^z
> P(z) = (z+1/2)/Q(z+1/2),
> und gewinne so ein einschließendes Paar an Schranken:
> Q(z) < G(z) < P(z)
> z = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50.
> -----------------------------------------------------------------
> -6.4, -7.9, -8.8, -9.4, -9.9, -10.3, -10.6, -10.9, -11.2, -11.4
> 6.6, 8.0, 8.9, 9.5, 9.9, 10.3, 10.7, 10.9, 11.2, 11.4
> Dabei ist in der Tabelle die Anzahl der exakten signifikanten
> Dezimalstellen der Näherungen gegeben.
Nun läßt sich Q(z) und P(z) leicht entwickeln und daraus das arithmetische
Mittel bilden. Den letzten Term in der Entwicklung habe ich dann noch 'per
Hand' geglättet, um ihn einfacher zu machen und den Fehler zu runden.
Das führt auf folgende Formel:
/ 1 1 1 1 5 1 21 1 25 1 \
A(z) = sqrt(z) | 1 + - - + --- --- - ---- --- - ----- --- + ----- --- |
\ 8 z 128 z^2 1024 z^3 32768 z^4 16384 z^5 /
Ready to plug in Maple:
A:=z->sqrt(z)*(1+1/(8*z)*(1+1/(16*z)*(1-5/(8*z)*(1+21/(160*z)*(1-(50/(21*z)))))));
Die Anzahl der exakten signifikanten Dezimalstellen dieser Näherung:
z = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
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8.6, -10.3, -11.2, -12.0, -12.6, -13.1, -13.7, -14.2, -14.9, 15.3
Ehrlich gesagt, ich hätte vor wenigen Tagen noch nicht geglaubt, dass
Gamma(z+1)/Gamma(z+1/2) eine so einfache /und/ effiziente Näherung
besitzt.
Gruss Peter
Peter Luschny
> G(z) = Gamma(z + 1)/Gamma(z + 1/2)
> / 1 1 5 21 25 \
> G(z) = sqrt(z)| 1 + -- + ------- - -------- - --------- + --------- + O(z^(-6) |
> \ 8z 128 z^2 1024 z^3 32768 z^4 16384 z^5 /
W. D. Smith hat übrigens kürzlich das /Gegenstück zur
Windschitel Approximation/ der Gamma-Funktion gefunden. Die
Näherungen bilden zusammen ein einschließendes Schranken-Paar.
windschitl(n): N=n+1; sqrt(2*Pi/N)*((N/e)*sqrt(N*sinh(1/N)))^N
wdsmith(n) : N=n+1/2; sqrt(2*Pi)*((N/e)*sqrt(2*N*tanh(1/(2*N)))^N
Die numerische Performance dazu kann man sich hier anschauen:
http://www.luschny.de/math/factorial/approx/SimpleCases.html
Wenn man sich diese Werte anschaut, so sieht man, dass sie
fast exakt die gleiche Performance haben wie die Formeln
Henrici2(n) und Cantrell2(n). Das kann kein Zufall sein :)
Die obige Näherung an G(z) habe ich jetzt in die Überblicksseite
http://www.luschny.de/math/factorial/approx/gammaquot.html
integriert.
Gruss Peter