Ellipsengleichung
Jan Christoph Maul
ich brauch mal Eure Hilfe. Ich muss eine Ellipsengleichung aufstellen.
Das wäre auch nicht so das Problem, wenn die Ellipse in (0,0) läge und
die Radien parallel zu den Hauptachsen wären :)
Dem ist aber nicht so :(
Die Ellipse liegt im ersten Quadranten mit dem Mittelpunkt M(x1,y1) und a
als längerer Ellipsenradius sei beispielsweise um den Winkel alpha
gedreht (b als kürzerer Radius soll weiterhin senkrecht auf a stehen).
Wie kann ich nun die Ellipsengleichung aufstellen?
Ich bin schon am Verzweifeln und bekomme noch graue Haare vom vielen
Grübeln... *denkdenkdenk
Wenn mir irgendwer helfen könnte, wäre ich sehr dankbar!!!
Besten Dank schon mal im voraus.
Peter Niessen
"Jan Christoph Maul" <rei...@web.de> schrieb im Newsbeitrag
news:MPG.1a5cf91ca...@news.t-online.de...
f(x)=(a*cos(phi+c))+d
f(y)=(b*sin(phi+c))+e
phi ist die Variable (0...2pi)
a,b,c,d,e sind Konstanten
Probier mal aus was passiert wenn Du für die Konstanten irgendwas
einsetzt
Mit freundlichen Grüßen:
Peter Nießen
Hendrik van Hees
> f(x)=(a*cos(phi+c))+d
> f(y)=(b*sin(phi+c))+e
Offenbar meinst Du eher:
x=a cos(phi+c)+d
y=b sin(phi+c)+e
Dabei ist phi der Parameter und befindet sich im Intervall [0,2\pi). Die
Ellipse wird dann in mathematisch positiver Drehrichtung durchlaufen.
Die Konstante c ist überflüssig. Man kann sie zu 0 setzen. Es handelt
sich immer um eine Ellipse in achsparaller Lage. Ohne solch redundante
Parameter gilt
x=a cos(phi) + d
y=a sin(phi) + e
Die verdrehte Ellipse erhältst Du, indem Du mit einer Drehmatrix mit
Winkel al multiplizierst:
D(al)=
cos(al) -sin(al)
sin(al) cos(al)
Dann ist
\vec{r}'=D(al) \vec{r}
mit \vec{r}=(x,y)^T.
Das Ausmultiplizieren sei Dir selbst überlassen.
--
Hendrik van Hees Fakultät für Physik
Phone: +49 521/106-6221 Universität Bielefeld
Fax: +49 521/106-2961 Universitätsstraße 25
http://theory.gsi.de/~vanhees/ D-33615 Bielefeld
Peter Niessen
"Hendrik van Hees" <he...@physik.uni-bielefeld.de> schrieb im
Newsbeitrag news:bsuseq$1n1tr$1...@ID-71437.news.uni-berlin.de...
> Peter Niessen wrote:
>
>
> > f(x)=(a*cos(phi+c))+d
> > f(y)=(b*sin(phi+c))+e
>
> Offenbar meinst Du eher:
>
> x=a cos(phi+c)+d
> y=b sin(phi+c)+e
>
> Dabei ist phi der Parameter und befindet sich im Intervall [0,2\pi). Die
> Ellipse wird dann in mathematisch positiver Drehrichtung durchlaufen.
>
> Die Konstante c ist überflüssig. Man kann sie zu 0 setzen. Es handelt
> sich immer um eine Ellipse in achsparaller Lage. Ohne solch redundante
> Parameter gilt
>
> x=a cos(phi) + d
> y=a sin(phi) + e
>
> Die verdrehte Ellipse erhältst Du, indem Du mit einer Drehmatrix mit
> Winkel al multiplizierst:
>
> D(al)=
>
> cos(al) -sin(al)
> sin(al) cos(al)
>
> Dann ist
>
> \vec{r}'=D(al) \vec{r}
>
> mit \vec{r}=(x,y)^T.
>
> Das Ausmultiplizieren sei Dir selbst überlassen.
Wirklich?
Die Rotationsmatrix ist doch implizit in meiner Gleichung enthalten.
Mit c= pi/2 ergibt sich zb:
cos(phi+(pi/2))=0
sin(phi+(pi/2))=1
also eine Drehung um 90 Grad. Wenn ich da nicht total ein Brett vor dem
Kopf habe, gilt das für beliebige Drehungen.
Horst Kraemer
<rei...@web.de> wrote:
> Hallo allerseits,
> ich brauch mal Eure Hilfe. Ich muss eine Ellipsengleichung aufstellen.
> Das wäre auch nicht so das Problem, wenn die Ellipse in (0,0) läge und
> die Radien parallel zu den Hauptachsen wären :)
> Dem ist aber nicht so :(
> Die Ellipse liegt im ersten Quadranten mit dem Mittelpunkt M(x1,y1) und a
> als längerer Ellipsenradius sei beispielsweise um den Winkel alpha
> gedreht (b als kürzerer Radius soll weiterhin senkrecht auf a stehen).
>
> Wie kann ich nun die Ellipsengleichung aufstellen?
> Ich bin schon am Verzweifeln und bekomme noch graue Haare vom vielen
> Grübeln... *denkdenkdenk
((c(x-x1)+s(y-y1))/a)^2 + ((c(y-y1)-s(x-x1))/b)^2 = 1
mit c=cos(phi) , s = sin(phi)
Die Transformation, die einen Punkt der Standardellipse mit Zentrum
(0,0) auf den entprechenden Punkt der um phi gedrehten und um (x1,y1)
verschobenen Ellipse abbildet lautet
x = cx'-sy'+x1
y = cy'+sx'+y1
Die dazu inverse Transformation lautet
x' = c(x-x1)+s(y-y1)
y' = c(y-y1)-s(x-x1)
Damit lautet die Gleichung der transformierten Ellipse
(x'/a)^2 + (y'/b)^2 = 1
--
Horst
Jan Christoph Maul
spontan versteh ich den nicht ;-)
aber nochmal zu den anderen sachen. wenn ich dann meine ellipse mit:
y=5cos(phi)+6
x=3,7sin(phi)+5,4
mit der rotationsmatrix
cos al -sin al
sin al cos al
multipliziere
bringt das ja nichts, weil meine ellipse dann völlig verzerrt wird. für
45° bspw. liegen alle meine ellipsenpunkte auf einer strecke... :(
die zugehörige matrix würde dann ja so aussehen:
cos(al)(5cos(phi)+6)-sin(al)(3,7sin(phi)+5,4)
sin(al)(5cos(phi)+6)+cos(al)(3,7sin(phi)+5,4)
irgendwie bringt mich das nicht weiter... denn durch das verzerrte drehen
hab ich noch nicht den gewünschten erfolgt, da ja nur die oben
dargestellte ellipse um ihren mittelpunkt gedreht werden soll...
danke nochmal
Hendrik van Hees
> danke horst, ich muss mir deinen lösungsvorschlag erstmal angucken. so
> spontan versteh ich den nicht ;-)
>
> aber nochmal zu den anderen sachen. wenn ich dann meine ellipse mit:
> y=5cos(phi)+6
> x=3,7sin(phi)+5,4
>
> mit der rotationsmatrix
> cos al -sin al
> sin al cos al
> multipliziere
>
> bringt das ja nichts, weil meine ellipse dann völlig verzerrt wird.
> für 45° bspw. liegen alle meine ellipsenpunkte auf einer strecke... :(
Nope. Das ist ja der Witz an orthogonalen Trafos: Sie verzerren nichts
im Sinne der euklidischen Geometrie, sondern drehen eben bloß (im
Dreidimensionalen können sie drehen und spiegeln, im zweidimensionalen
ist die Rauminversion (Punktspiegelung) aber äquivalent zu einer
Drehung um 180 deg).
Jan Christoph Maul
bielefeld.de says...
> Jan Christoph Maul wrote:
>
> > danke horst, ich muss mir deinen lösungsvorschlag erstmal angucken. so
> > spontan versteh ich den nicht ;-)
> >
> > aber nochmal zu den anderen sachen. wenn ich dann meine ellipse mit:
> > y=5cos(phi)+6
> > x=3,7sin(phi)+5,4
> >
> > mit der rotationsmatrix
> > cos al -sin al
> > sin al cos al
> > multipliziere
> >
> > bringt das ja nichts, weil meine ellipse dann völlig verzerrt wird.
> > für 45° bspw. liegen alle meine ellipsenpunkte auf einer strecke... :(
>
> Nope. Das ist ja der Witz an orthogonalen Trafos: Sie verzerren nichts
> im Sinne der euklidischen Geometrie, sondern drehen eben bloß (im
> Dreidimensionalen können sie drehen und spiegeln, im zweidimensionalen
> ist die Rauminversion (Punktspiegelung) aber äquivalent zu einer
> Drehung um 180 deg).
dann könnte ich ja auch den leitkreis meines kegels direkt auf die
aufriss und grundrissebene projezieren, oder? nur irgendwie bin ich
mittlerweile in meinen gehirnwindungen so verwurstet, dass ich das nicht
mehr hinkriege.. ich hab heute nacht noch bis ca. 2:00 darüber gegrübelt
und alle bücher gewälzt, die ich hab... echt ärgerlich das die uni-
bibliothek noch zu hat...
wenn ich dazu auch noch einen tipp bekommen könnte..
denn da die rotiationsmatrix ja nur 2x2 ist, dachte ich, dass die nicht
mit 3x3 matrizen kompatibel sei..
Horst Kraemer
wrote:
> danke horst, ich muss mir deinen lösungsvorschlag erstmal angucken. so
> spontan versteh ich den nicht ;-)
>
> aber nochmal zu den anderen sachen. wenn ich dann meine ellipse mit:
> y=5cos(phi)+6
> x=3,7sin(phi)+5,4
>
> mit der rotationsmatrix
> cos al -sin al
> sin al cos al
> multipliziere
>
> bringt das ja nichts, weil meine ellipse dann völlig verzerrt wird. für
> 45° bspw. liegen alle meine ellipsenpunkte auf einer strecke... :(
Nein. Da hast Du Dich verrechnet. Allerdings erhaeltst Du dann
natuerlich keine Ellipse mit (6,5.4) als Mittelpunkt, weil Du ja die
verschobene Ellipse um (0,0) drehst, und damit auf den Mittelpunkt der
bereits verschobenen Ellipse mitdrehst.
Nach Deiner urspruenglichen Darstellung suchst wohl die
Parameterdarstellung einer Ellipse mit Halbachsen a und b, die um den
Winkel alpha linksherum gedreht ist und deren Mittelpunkt bei (x1,y1)
liegt. Dazu musst Du *zuerst* die Standardellipse mit Mittelpunkt
(0,0) mit der Darstellung
x(phi) = a*cos(phi) (1)
y(phi) = b*sin(phi)
um alpha drehen und *danach* alles um (x1,y1) verschieben und nicht
umgekehrt.
Die Drehung des urspruenglichen Ellipsenpunkts x(phi),y(phi) nach (1)
mit der Rotationsmatrix
c -s
s c
und nachfolger Addition von (x1,y1) liefert dann die Formel
x'(phi) = c*x(phi)-s*y(phi) + x1
y'(phi) = s*x(phi)+c*y(phi) + y1
fuer die gedrehte und verschobene Ellipse - oder ausgeschrieben
x'(phi) = a*c*cos(phi)-b*s*sin(phi) + x1
y'(phi) = a*s*cos(phi)+b*c*sin(phi) + y1
0 <= phi < 2pi
--
Horst
Jan Christoph Maul
aufzustellen, so wie ich mir das vorgestellt hatte. ich hab einfach einen
kreis genommen, den da einmal um die z-achse und einmal um x-achse
rotiert, noch ein bißchen verschoben und zum schluss eine der
koordinaten einfach auf null gesetzt. meine ellipse wird jetzt in
abhängigkeit von phi dargestellt (macht man das eigentlich so?).
aber erstmal ist das fein! danke dafür nochmal an alle, die mir
denkanstöße gegeben haben!!
ich brauch jetzt aber noch den zweiten radius der ellipse (denn ich kenn
ja nur den vom kreis) und am besten eine darstellung in abhängigkeit von
x und y, so dass ich die ellipse mit geraden schneiden kann... wie kann
man das am besten umformen? geht das überhaupt?
oh man, mein thema ist darstellende geometrie - und diese rechnerei ist
wirklich echt krampfig. die konstruktionen haben mich schon eine woche
gekostet und jetzt sind die rechnungen auch noch soo schwer; das ist
eben echt alles frustig...
:( verzweifel wieder
Hermann Kremer
>ich brauch jetzt aber noch den zweiten radius der ellipse (denn ich kenn
>ja nur den vom kreis) und am besten eine darstellung in abhängigkeit von
>x und y, so dass ich die ellipse mit geraden schneiden kann... wie kann
>man das am besten umformen? geht das überhaupt?
Das hat Dir Horst doch schon gepostet: Ist a die große Halbachse und b
die kleine Halbachse der Ellipse, die um den Winkel alpha um ihren
Mittelpunkt (x1,y1) gedreht ist, dann heißt ihre Gleichung in Parameterform:
x = x1 + a*cos(alpha)*cos(phi) - b*sin(alpha)*sin(phi)
y = y1 + a*sin(alpha)*cos(phi) + b*cos(alpha)*sin(phi)
mit phi = {0 ... 2*pi}
Und jetzt kannst Du die schneiden, mit wem oder was Du möchtest ;-)
Grüße
Hermann
--
Jan Christoph Maul
> y = y1 + a*sin(alpha)*cos(phi) + b*cos(alpha)*sin(phi)
>
> mit phi = {0 ... 2*pi}
>
> Und jetzt kannst Du die schneiden, mit wem oder was Du möchtest ;-)
oki, danke nochmal! :)