Die "Schnittgerade" zweier Kreise, wenn sie keine Schnittpunkte haben, elementargeometrisch?
Wilhelm Sternemann
Ein kleines Problem aus dem Mathematikunterricht der Jgst 11. Die Schüler
lernen ein Verfahren, die Schnittpunkte zweier Kreise zu berechnen. Man
subtrahiert die beiden Kreisgleichungen voneinander, erhält eine
Geradengleichung (der Verbindungsgeraden der beiden Schnittpunkte), die man
wiederum in eine der Kreisgleichungen einsetzt.
Wenn man vom konzentrischen Fall einmal absieht, erhält man auch eine
Gerade, wenn sich die Kreise nicht schneiden. Sie liegt orthogonal zur
Verbindungsgeraden der Mittelpunkte.
Hat diese Gerade einen Namen?
Hat sie eine elementargeometrische Bedeutung (auf dem Level der Schüler,
ohne die Kreise als Hyperkugeln im Komplexen auffassen zu müssen? Aber auch
interessante Ableitungen aus diesem Zusammenhang würden mich interessieren!)
Weiß jemand etwas darüber? gibt es dazu etwas in der Literatur oder der
Geschichte der Mathematik?
Ich würde mich auch freuen, wenn jemand bestätigt, dass das Problem
unbeachtet ist, oder einfach Lust hat darüber nachzudenken.
Gruß!
Wilhelm Sternemann
Hero
Wilhelm Sternemann wrote:
> Hallo,
....
> Wenn man vom konzentrischen Fall einmal absieht, erhält man auch eine
> Gerade, wenn sich die Kreise nicht schneiden. Sie liegt orthogonal zur
> Verbindungsgeraden der Mittelpunkte.
> Hat diese Gerade einen Namen?
> Hat sie eine elementargeometrische Bedeutung (auf dem Level der Schüler,
> ohne die Kreise als Hyperkugeln im Komplexen auffassen zu müssen? Aber auch
> interessante Ableitungen aus diesem Zusammenhang würden mich interessieren!)
Spiegelungsgerade auffassen.
Viel Spass
Hero
Jutta Gut
"Wilhelm Sternemann" <w-ster...@versanet.de> schrieb
> Ein kleines Problem aus dem Mathematikunterricht der Jgst 11. Die Schüler
> lernen ein Verfahren, die Schnittpunkte zweier Kreise zu berechnen. Man
> subtrahiert die beiden Kreisgleichungen voneinander, erhält eine
> Geradengleichung (der Verbindungsgeraden der beiden Schnittpunkte), die
man
> wiederum in eine der Kreisgleichungen einsetzt.
> Wenn man vom konzentrischen Fall einmal absieht, erhält man auch eine
> Gerade, wenn sich die Kreise nicht schneiden. Sie liegt orthogonal zur
> Verbindungsgeraden der Mittelpunkte.
> Hat diese Gerade einen Namen?
> Hat sie eine elementargeometrische Bedeutung (auf dem Level der Schüler,
> ohne die Kreise als Hyperkugeln im Komplexen auffassen zu müssen?
Diese Gerade heißt auch "Potenzgerade" oder "Chordale".
Bekanntlich ist ja für alle Geraden, die durch einen Punkt X gehen und einen
Kreis in den Punkten P und Q schneiden, das Produkt XP*XQ konstant. Dieses
Produkt bezeichnet man als Potenz des Punktes bezüglich des Kreises. Wenn
der Punkt innerhalb des Kreises liegt, ist sie negativ (weil man die
Sekantenabschnitte als gerichtete Strecken betrachtet), für einen Punkt auf
dem Kreis ist sie 0, und für einen Punkt außerhalb des Kreises ist sie
gleich dem Quadrat der Tangentenlänge.
In Vektorform ist P(X) = (X - M)^2 - r^2.
Sucht man jetzt die Menge aller Punkte, die in Bezug auf zwei Kreise
dieselbe Potenz haben, erhält man die Gleichung
(X - M_1)^2 - r_1^2 = (X - M_2)^2 - r_2^2
Man muss also die beiden Kreisgleichungen voneinander subtrahieren und
erhält genau die von dir beschriebene Gerade.
Wenn drei Kreise gegben sind, schneiden einander die Potenzgeraden von je
zwei Kreisen im Potenzzentrum. Potenzgerade und Potenzzentrum treten auch
bei dem Problem auf, einen Kreis zu zeichnen, der zwei oder drei gegebene
Kreise rechtwinkelig schneidet.
Grüße
Jutta
Philippe 92
> "Wilhelm Sternemann" <w-ster...@versanet.de> schrieb
>
>> Ein kleines Problem aus dem Mathematikunterricht der Jgst 11. Die Schüler
>> lernen ein Verfahren, die Schnittpunkte zweier Kreise zu berechnen. Man
>> subtrahiert die beiden Kreisgleichungen voneinander, erhält eine
>
> Diese Gerade heißt auch "Potenzgerade" oder "Chordale".
http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Geometrie%29
> In Vektorform ist P(X) = (X - M)^2 - r^2.
Und die Kreisgleichung ist genau P(X) = 0 !
> ...
Gruss.
--
philippe
mail : chephip at free dot fr
site : http://chephip.free.fr/
Wilhelm Sternemann
"Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> schrieb im Newsbeitrag
news:1958d$436d0948$d52f93dc$26...@news.chello.at...
Ich staune bzw. bin erschrocken, wie wenig ich weiß und lerne dazu.
Dieses Produkt XP*XQ hatte ich mit Bild doch schon man irgendwann mal in
meinem Leben gesehen (allerdings nicht im von Bourbaki dominiertem Studium,
wo diese schöne Geometrie kaum vorkam), ist mir aber in diesem Zusammenhang
nicht so schnell eingefallen.
Mir war kürzlich ein Fehler in einem Unterrichtsentwurf aufgefallen, wo
Behauptung stand, dass die Subtraktion der Kreisgleichungen keine
Geradengleichung ergibt, wenn die Kreise keinen Schnittpunkt haben. Dies
ging ohne Kritik durch die Prüfungen. Auch Fachleiter sehen solche Fehler
heutzutage anscheinend nicht immer. Vermutlich ist (genau wie bei mir) der
Begriff Potenzgerade oder Chordale kaum bekannt.
Erstaunlich, dass diese Ortslinie der Punkte mit gleichlangen
Berührabschnitten zu zwei verschiedenen Kreisen eine Gerade ist. Erinnert an
die Leitlinie von Parabeln.
Aber die ganze Kegelschnittgeometrie kann ja in der Schule kaum noch gemacht
werden.
Hoffentlich finden sich weiterhin genügend Lehrer, die sich für solche Dinge
interessieren und sie pflegen.
Gruß!
Wilhelm
Wilhelm Sternemann
"Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
news:1131218892....@z14g2000cwz.googlegroups.com...
??
Ist das ironisch gemeint? Soll ich das auf verschiedene Kreise
verallgemeinern?
Ich hatte natürlich verschieden große Kreise gemeint!
Gruß!
Wilhelm
Wolfgang Kirschenhofer
"Wilhelm Sternemann" <w-ster...@versanet.de> schrieb im Newsbeitrag
news:dkjd2a$k1f$1...@news01.versatel.de...
Hallo Wilhelm!
Folgende Ergänzungen zu Juttas Beitrag:
1.)An den österreichischen Gymnasien (Realgymnasien), die stundenmäßig gut
dotiert waren, war es bis etwa Ende der 60-er Jahre üblich, die Begriffe
Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises, Potenzlinie zweier Kreise,
Potenzzentrum von drei nichtkoaxialen Kreisen im Rahmen der analytischen
Geometrie des Kreises zu behandeln. Ich selbst habe dies im Jahr 1958
gelernt. Das Schulbuch war damals "Rosenberg-Ludwig-Wühr:Methodisch
geordnete Sammlung von Aufgaben aus der Arithmetik und Geometrie". Dieses
ausgezeichnete Buch wurde sogar noch 1967 aufgelegt im Verlag
Hölder-Pichler-Tempsky,Wien.
Ich besitze ein Übungsbuch zur Geometrie aus dem Jahr 1919 in dem das
genannte Thema ebenfalls behandelt wird nach den Lehrplänen von 1909.
2.)Der von Jutta zitierte "Sekanten-Tangentensatz" kommt bereits bei Euklid
(III 35,III 36) vor. Der Begriff "Potenz eines Punktes" wurde meines
Wissens zuerst vom Schweizer Mathematiker JACOB STEINER (1796-1863)
verwendet.
3.)Nun zurück zur Gegenwart:
Im Englischen heißt Potenz eines Punktes "Power of a point with respect to
a circle" und die Potenzlinie heißt "Radical Axis" oder "Radical Line" (of
two circles).
Ein Link dazu:
http://mathworld.wolfram.com/RadicalLine
Besser jedoch man liest in einem der vielen Geometriebücher nach.
Ich nenne jetzt nur zwei:
a)H.S.M.Coxeter,S.L.Greitzer: Zeitlose Geometrie, Ernst Klett
Schulbuchverlag,1994,
ISBN 3-12-983390-0
Falls dieses schöne und empfehlenswerte Buch vergriffen sein sollte, dann
bekommt man es ziemlich sicher im englischen Original:
Geometry Revisited,H.S.M.Coxeter,S.L.Greitzer;The Mathem. Assoc. of America
New Mathematical Library, ISBN 0-88385-619-0
b)Dan Pedoe:Geometry,Dover Publications,ISBN 0-486-65812-0
4.)Noch zwei nette Sätze zum Thema:
a)Die Potenzgerade zweier Kreise, deren Durchmesser zwei Ecktransversalen
eines Dreiecks sind, geht durch den Höhenschnittpunkt H.
b)Das Potenzzentrum(=der Potenzpunkt) dreier nicht koaxialer Kreise,deren
Durchmesser Ecktransversalen eines Dreiecks sind, ist der Höhenschnittpunkt
H.
Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
Jutta Gut
"Wolfgang Kirschenhofer" <ki...@kstp.at> schrieb
> 4.)Noch zwei nette Sätze zum Thema:
> a)Die Potenzgerade zweier Kreise, deren Durchmesser zwei Ecktransversalen
> eines Dreiecks sind, geht durch den Höhenschnittpunkt H.
>
> b)Das Potenzzentrum(=der Potenzpunkt) dreier nicht koaxialer Kreise,deren
> Durchmesser Ecktransversalen eines Dreiecks sind, ist der
> Höhenschnittpunkt
> H.
Erklärst du mir noch kurz, was eine Ecktransversale ist?
Grüße
Jutta
Wilhelm Sternemann
"Wolfgang Kirschenhofer" <ki...@kstp.at> schrieb im Newsbeitrag
news:11312719...@news.aic.at...
Euklid hat damals die Potenz, ein Längenprodukt, vermutlich als Rechteck
dargestellt.
>
> 3.)Nun zurück zur Gegenwart:
> Im Englischen heißt Potenz eines Punktes "Power of a point with respect to
> a circle" und die Potenzlinie heißt "Radical Axis" oder "Radical Line" (of
> two circles).
> Ein Link dazu:
> http://mathworld.wolfram.com/RadicalLine
>
> Besser jedoch man liest in einem der vielen Geometriebücher nach.
> Ich nenne jetzt nur zwei:
> a)H.S.M.Coxeter,S.L.Greitzer: Zeitlose Geometrie, Ernst Klett
> Schulbuchverlag,1994,
> ISBN 3-12-983390-0
Ist ja zum Glück bald Weihnachten!
> Falls dieses schöne und empfehlenswerte Buch vergriffen sein sollte, dann
> bekommt man es ziemlich sicher im englischen Original:
> Geometry Revisited,H.S.M.Coxeter,S.L.Greitzer;The Mathem. Assoc. of
> America
> New Mathematical Library, ISBN 0-88385-619-0
> b)Dan Pedoe:Geometry,Dover Publications,ISBN 0-486-65812-0
>
> 4.)Noch zwei nette Sätze zum Thema:
> a)Die Potenzgerade zweier Kreise, deren Durchmesser zwei Ecktransversalen
> eines Dreiecks sind, geht durch den Höhenschnittpunkt H.
>
> b)Das Potenzzentrum(=der Potenzpunkt) dreier nicht koaxialer Kreise,deren
> Durchmesser Ecktransversalen eines Dreiecks sind, ist der
> Höhenschnittpunkt
> H.
>
> Grüße,
> Wolfgang Kirschenhofer
>
Hallo Wolfgang! Vielen Dank! (natürlich auch an Jutta!!)
In der BRD, genauer im Bundesland NRW, habe ich 1965/1966 analytische
Geometrie incl Kegelschnitte auf Vektorbasis gelernt. Das galt als sehr
fortschrittlich und ging nur, weil wir als mathematischer Zweig unseres
sonst altsprachlichen Gymnasiums in der Unterprima und Oberprima fünf
Wochenstunden Mathematik hatten. Aber Potenzlinien zweier Kreise und Sätze
in dessen Umfeld sind uns nicht begegnet, wohl Pol und Polare bei allen
Kegelschnitten.
Es wäre hier übrigens auch die Frage interessant, wie sich Potenzlinien
zweier Kreise auf Potenzlinien zweier Kegelschnitte verallgemeinern lassen.
Vielleicht begegnet einem dabei plötzlich wieder die Leitlinie einer Parabel
als Potenzlinie oder die Parabel als Potenzlinie von zwei anderen entarteten
Kegelschnitten (wilde Assoziation, nicht ernst gemeint! Aber ich werde noch
mal darüber nachdenken, spätestens Weihnachten.).
Schöne Grüsse!
Wilhelm Sternemann
Wolfgang Kirschenhofer
Hallo Jutta!
Eine Strecke, welche einen Dreieckseckpunkt mit der Gegenseite oder der
verlängerten Gegenseite verbindet und dabei nicht selbst mit einer
Dreiecksseite zusammenfällt, heißt "Ecktransversale".
Grüße,
Wolfgang
Hugo Pfoertner
>
[...]
> Folgende Ergänzungen zu Juttas Beitrag:
> 1.)An den österreichischen Gymnasien (Realgymnasien), die stundenmäßig gut
> dotiert waren, war es bis etwa Ende der 60-er Jahre üblich, die Begriffe
> Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises, Potenzlinie zweier Kreise,
> Potenzzentrum von drei nichtkoaxialen Kreisen im Rahmen der analytischen
> Geometrie des Kreises zu behandeln. Ich selbst habe dies im Jahr 1958
> gelernt. Das Schulbuch war damals "Rosenberg-Ludwig-Wühr:Methodisch
> geordnete Sammlung von Aufgaben aus der Arithmetik und Geometrie". Dieses
> ausgezeichnete Buch wurde sogar noch 1967 aufgelegt im Verlag
> Hölder-Pichler-Tempsky,Wien.
Auch in meinem Buecherregal hat dieses Buechlein, das wohl erstmals 1951
erschienen ist, immer noch einen Ehrenplatz. Leider hab ich nur noch den
Band "fuer die 7. und 8. Klasse der Mittelschulen und gleichgestellten
Anstalten". Das Thema "Potenz, Potenzlinie." wurde wohl ausfuehrlicher
im Bd. V/VI fuer das 5. und 6. Gymnasialjahr behandelt.
Damit ihr euch mal wenigstens einen winzigen Auschnitt aus einem
Schulbuch der Vergangenheit anschauen koennt, zeig ich mal die beiden
Seiten zum hier diskutierten Thema:
http://www.randomwalk.de/scimath/r220_221.gif und
http://www.randomwalk.de/scimath/r222_223.gif
Mit nostalgischen Gruessen
Hugo
[...]]
>
> Grüße,
> Wolfgang Kirschenhofer
Hero
nicht genau las.
Die Spiegelungsgerade auf verschieden grosse Kreise verallgemeinert -
hier mit Deiner Fragestellung - geht natuerlich auch. Bei zwei
gleichgrossen Kreisen gilt fuer jeden Punkt auf der Spiegelungsgeraden,
dass beide Kreise von ihm aus unter gleichem Winkel erscheinen und die
vier Schenkel alle gleich lang sind. Bei der Chordale erscheinen sie
nicht mehr unter gleichem Winkel, aber die vier Schenkel bleiben gleich
lang. Das hattest Du ja auch beschrieben. Oder wie in dem Mathebuch
steht, jeder Punkt auf der Geraden ist Mittelpunkt eines Kreises, der
die beiden gegebenen rechtwinklig schneidet.
Nix fuer ungut
Hero
Wilhelm Sternemann
Hallo Hero!
Danke! Auch wieder eine Horizonterweiterung! und die Spaß macht!
Natürlich is nix ungut!
Schöne Grüße!
Wilhelm
Jutta Gut
"Wilhelm Sternemann" <w-ster...@versanet.de> schrieb
> Es wäre hier übrigens auch die Frage interessant, wie sich Potenzlinien
> zweier Kreise auf Potenzlinien zweier Kegelschnitte verallgemeinern
> lassen. Vielleicht begegnet einem dabei plötzlich wieder die Leitlinie
> einer Parabel als Potenzlinie oder die Parabel als Potenzlinie von zwei
> anderen entarteten Kegelschnitten (wilde Assoziation, nicht ernst gemeint!
> Aber ich werde noch mal darüber nachdenken, spätestens Weihnachten.).
Den Begriff der Potenz kann man auch auf Kegelschnitte verallgemeinern.
Analog zum Sehnen-Tangentensatz gilt bei Kegelschnitte der Satz: Legt man
von einem Punkt die Tangenten an einen Kegelschnitt und durch einen anderen
Punkt zwei Sekanten, die zu den Tangenten parallel sind, so verhalten sich
die Produkte der Sekantenabschnitte so wie die Quadrate der entsprechenden
Tangentenabschnitte. Hier kommt es also auch auf die Richtung der Sekanten
an.
Die Potenz eines Punktes X bezüglich eines Kegelschnitts kann man definieren
durch
P(X) = XF^2 - eps^2*Xl^2
Dabei ist F ein Brennpunkt, l die dazugehörige Leitlinie und eps die
Exzentrizität.
Auch hier ist für einen Punkt auf dem Kegelschnitt P(X) = 0.
Das Produkt der Sekantenabschnitte von einem Punkt X ist nun die Potenz von
X mal einem Faktor, der nur von der Richtung abhängt.
Ich habe das in einem alten Bändchen aus der Sammlung Göschen über
Kegelschnitte gefunden, aber ich bin bei diesem Thema nicht sehr sattelfest.
Vielleicht findet ja jemand eine Formel, wie man aus der allgemeinen
Kegelschnittsgleichung die Potenz berechnen kann.
Die Potenzlinie zweier Kegelschnitte müsste meinem Gefühl nach wieder ein
Kegelschnitt sein.
Grüße
Jutta