Wurzel(x*Wurzel(x)-x) + Wurzel(x) = x

[Rainer Rosenthal]

Die im Titel genannte Gleichung war vor einigen Jahren bei Debatten um
Sinn und Unsinn der Schulmathematik aufgetaucht. Sie schaffte es am
22.3.2017 sogar in den Berliner TAGESSPIEGEL [1] und reizte die Leser
zum Knobeln. Als Quelle wird ein Buch [2] des ehemaligen dsm-regulars
Franz Lemmermeyer angegeben.

Ich war neugierig und habe mich ans Lösen gemacht. Nachdem ich die
Lösung(en) gefunden hatte, war ich mit meinem Lösungsweg nicht so
zufrieden, weil er mir nicht elegant genug erschien. Ich hatte eine
quadratische Gleichung zu lösen und dann eine der beiden Lösungen als
ungeeignet verwerfen müssen, was ja an sich nicht unehrenhaft ist, aber
eben nicht schön.

Beim zweiten Anlauf habe ich die Aufgabe wirklich elegant erledigen
können, und ich würde mich freuen, wenn andere dsm-Leser ebenfalls nach
Lösungen suchen würden.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de


[1]
https://www.frankfurt-university.de/fileadmin/standard/Hochschule/Fachbereich_1/Kontakt/Lehrkraft_fuer_besondere_Aufgaben/Baumann_Astrid/Dokumente/BaumannVortragBrandbriefMainz160318HOME.pdf

[2] Franz Lemmermeyer, Mathematik à la Carte - Quadratische Gleichungen
mit Schnitten von Kegeln, Springer Spektrum 2016, S. 80, Aufg. 3.68

[Carlo XYZ]

Rainer Rosenthal schrieb am 30.08.21 um 00:03:

> Beim zweiten Anlauf habe ich die Aufgabe wirklich elegant erledigen
> können, und ich würde mich freuen, wenn andere dsm-Leser ebenfalls nach
> Lösungen suchen würden.

Was ist die Aufgabe, sich zu wundern, dass jemand so
eine Gleichung hinschreiben kann, ohne rot zu werden?
Eine Zahl x suchen, die die Gleichung löst?
Die Menge aller solchen Zahlen? In R? In C?

Jedermann liebt die deutsche Schulmathematik..

[Fritz Feldhase]

On Monday, August 30, 2021 at 12:04:03 AM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:

Wurzel(x*Wurzel(x)-x) + Wurzel(x) = x (für welche x e IR, wo der Ausdruck überhaupt definiert ist)

Hmmm... Auf den ersten Blick sieht man, dass x = 0 und x= 1 Lösungen sind. :-)

Wolfarm|Alpha hat mir gezeigt, dass dies nicht die einzigen Wurzeln sind. Nun denn... Dann gehen wir die Sache mal systematisch an. [To be continued.]

[Jens Kallup]

Hallo Rainer,

ich habe mal die Aufgaben probiert, ob das dann stimmt, ist dann
eine andere Frage...

Teil 1

1) 20x + 2 6x - 4
---------- - 1 = --------
6x + 6 2x + 2


umgestellt:

20x + 2 : 6x + 6 | : 6x
- 6x + 6
------------
14x - 4

LHS:
= 14x - 4 - 1
= 14x - 5


6x - 4 : 2x + 2 | : 2x + 2
- 2x + 2
----------
4x - 2

RHS: 4x - 2

zusammen:

14x - 5 = 4x - 2

14x - 5 = 4x - 2 | + 2
14x - 3 = 4x | - 3x
11x - 3 = x | - 11x
- 3 = 10x | x = -0.3

Probe: -3 = 10 * -0.3
-3 = -3
ok.

2. Aufgabe:
2 * sin 2x = tan x
// todo !!!

3. Aufgabe:
= sqrt(3 + x ) - sqrt(3 - x ) = 2
= 3^2 + x^2 - 3^2 - x^2 = 2
= 9 + x^2 - 9 - x^2 = 2
= x^2 - x^2 = 2 | - x^2
= - 2 * x + 2 * x = 2 | : -2x
= 1 + 1 = 2
= 2 = 2
ok.

4. Aufgabe:
Teil 1:

1 2 2 * 1 + 2 4
------- + ------- = ----------------- = ---------- =
x + 1 x + 2 x^2 + 2 + x^2 + 2 4 + 2x^2

4 : 4 + 2x^2
1 + 2x^2
--------------
= 1 2x^2 = (2 * x + 2 * x)

Teil 2:
x^1 - 3
3 --------- = x^1 - 3 : x^2 - 9
x^2 - 9 = - x^2 - 9
==========
- x^1 - 12

Teil 3:
= 2x^2 + 1 = x - 12
= 1x * 1x + 1x * 1x + 1 = x - 12
= 1x + 1x + 1 = x - 12
= 2x + 1 = x - 12 | - 2x
= + 1 = -x - 12 | + 12
= 13 = -x

x = 1 => 14 - 1 = 13 "x"

5. Aufgabe:
= sqrt(14 + x) + sqrt(11 + x) = 6 : sqrt(14 + x)
= 3^2 + 5 + x + 3^2 + 2 + x = 6 : 3^2 + 5 + x
= 9 + 5 + x + 9 + 2 + x = 6 : 9 + 5 + x
= 14 + x + 11 + x = 6 : 14 + x
= 25 + 2x = 6 : 14 + x | * 6 : 14 + x

6
-14 + x = 25 + 2x
----------
- 8 + x = 25 + 2x | + 8

= x = 33 + 2x | - 2x
= -x = 33 | x = 32

Probe:
32 "x" + 1 "x" = 33 "x"

oder (mehrdeutig):

34 "x" - 1 "x" = 33 "x"


6. Aufgabe
= 15^2 * 17 = 3.wurzel(255^(2x + 5))

Teil 1:
= 15 * 15
= 10 * 10 + 10 * 5 + 5 * 5
= 100 + 50 + 75
= 150 + 75
= 225

Teil 2:
= 255 * 17 = 4335

Teil 3: x := 1
2x + 5 = 2 * 1 + 5 = 7

Teil 4:
= 255^7
= 20 * 7 = 128 + (2*7 nullen) - 00000000000000
= 128.000.000.000.000.00

Teil 5:
3. wurzel aus 4.

// todo !!!

7. Aufgabe:

= sqrt(x - sqrt(8x)) = sqrt(6)
= x^2 - (8 * x)^2 = 6^2
= x^2 - 8^2 * x^2 = 6 * 6
= x^2 - 8 * 8 * x^2 = 36
= x^2 - 64 * x^2 = 36 | + 64
= x^2 * x^2 = 100
= 2x^2 = 100 | x = 5

Probe:
= ( 2 * 5 * 2 * 5) = 199
= 10 * 10 = 100


8. Aufgabe:

3x
------------- = 8
x 3
----- + -----
3 x


Teil 1:
x := 1

1 3 1 9 10
--- + --- = --- + --- = -----
3 1 3 3 3

Teil 2:

= 3x : 10/3 = 3x * 3/10

3x * 3 9x
= ---- ---- = ----- = x = 10 * 9 = 90
1 * 19 10


Probe:

3x
------------- = 8
270 270 549 54
----- + ----- = ------- = ---- = 6
90 90 90 9


= 3x / 1 * 54 / 9 = 8
= 3x / 1 * 6 = 8
= (3x * 6) / 6 = 8 | * / fallen weg, rest 3x
= 3x = 8 | x = 24

=> 24 / 3 = 8
ok.


9. Aufgabe

x + 5 x - 7 1
= ----- - ----- = ---
x - 7 x + 5 2

5x + 35 7x - 49 35 - 49 -35 - 49 -84 42
= ------- - ------- = --------- = ----------- = ---- / 2 = ----
5x - 35 7x + 35 -35 + 35 35 + 35 70 35

// todo !!!


15. Aufgabe

= sqrt(x * sqrt(x) - x) + sqrt(x) = x

= x^2 * x^2 - x^2 + x^2 = x
= x^2 * x^2 = x | x = 1

= 1^2 * 1^2 = 1
= 1 * 1 = 1

ok.


Teil 2:
Aufgabe 17:

38 cm : 4 = 9.5 cm

10cm * 10 cm = 100 cm

2 * 100.00 cm = 200 cm^2
2 * 0.25 cm = 5 cn^2

Lange = 100.00 cm
Breite = 0.25 cm

ok.

[Klaus-R. Loeffler]

Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 30. August 2021 um 00:04:03 UTC+2:
> Die im Titel genannte Gleichung war vor einigen Jahren bei Debatten um
> Sinn und Unsinn der Schulmathematik aufgetaucht. Sie schaffte es am
> 22.3.2017 sogar in den Berliner TAGESSPIEGEL [1] und reizte die Leser
> zum Knobeln. Als Quelle wird ein Buch [2] des ehemaligen dsm-regulars
> Franz Lemmermeyer angegeben.
>
> Ich war neugierig und habe mich ans Lösen gemacht. Nachdem ich die
> Lösung(en) gefunden hatte, war ich mit meinem Lösungsweg nicht so
> zufrieden, weil er mir nicht elegant genug erschien. Ich hatte eine
> quadratische Gleichung zu lösen und dann eine der beiden Lösungen als
> ungeeignet verwerfen müssen, was ja an sich nicht unehrenhaft ist, aber
> eben nicht schön.
>
> Beim zweiten Anlauf habe ich die Aufgabe wirklich elegant erledigen
> können, und ich würde mich freuen, wenn andere dsm-Leser ebenfalls nach
> Lösungen suchen würden.
>
> Gruß,
> Rainer Rosenthal

Hallo,

Zusammenfassen auf der linken Seite und Faktorisieren (durch einfaches Ausklammern) liefert die Gleichung

W(x) * W( Wx) - 1) * (2 - W(x)) = 0

Damit ergeben sich die drei Lösungen durch Betrachten der drei Faktoren.

Gruß, Klaus-R.

[Jens Kallup]

Am 30.08.2021 um 01:53 schrieb Fritz Feldhase:
> Hmmm... Auf den ersten Blick sieht man, dass x = 0 und x= 1 Lösungen sind

richtig, prima !!!

Jens

[Jens Kallup]

Am 30.08.2021 um 04:30 schrieb Jens Kallup:
> 2 * 100.00 cm = 200 cm^2
> 2 *   0.25 cm =   5 cn^2

das letzte ist natürlich Käse, und enthält eine Komma-Typo.
richtigerweise:

2 * 100.0 cm = 200 cm^2
2 * 2.5 cm = 5 cm^2

Bitte entschuldigt, war schon sehr früh heute morgen :)

Jens

[Jens Kallup]

Am 30.08.2021 um 12:19 schrieb Walter H.:
> sqrt(x sqrt(x) - x) + sqrt(x) = x  | -sqrt(x)
>
> sqrt(x sqrt(x) - x) = x - sqrt(x)  | ²
>
> x sqrt(x) - x = x² - 2x sqrt(x) + x | +2x sqrt(x) +x
>
> 3x sqrt(x) = x² + 2x | x=0 ist bereits ausgeschlossen, daher beide
> Seiten /x
>
> 3 sqrt(x) = x + 2 | beide Seiten positiv, daher beide Seiten quadrieren
>
> 9x = x² + 4x + 4
> x² - 5x + 4 = 0

nein, Fehler:

+---- wurzel in wurzel(x) !
| +-- x^2 => wurzel(x) = x, dann nochmal hoch 2 !
| |
V V
sqrt(x sqrt(x) - x) = x - sqrt(x) | hoch 2 <-- das richtig, aber dann:

x^2 * x^2 - x^2 = x - x^2
x^2 * x^2 - x^2 = x - x^2 | + x^2 auf beide Seiten
| | | |
+--< | <--<--------+
V

x^2 * x^2 = x

x * x * x * x = x

und das kann eben nur: 0 oder 1 sein:

0 * 0 * 0 * 0 = 0
1 * 1 * 1 * 1 = 1

Jens

[Rainer Rosenthal]

Am 30.08.2021 um 01:53 schrieb Fritz Feldhase:

Ich hatte die Aufgabe auch so interpretiert, dass nach reellen Lösungen
gesucht wird.

Behauptung: x = 0, 1 und 4 sind die reellen Lösungen der Gleichung
Wurzel(x*w-x) + w = x, worin w = Wurzel(x).

Beweis:
Für reelle a und b gilt Wurzel(a*b) = Wurzel(a) * Wurzel(b). Siehe (*).
Wegen w*w = x:
Wurzel(x*w-x) = Wurzel(x*(w-1)) = Wurzel(x)*Wurzel(w-1) = w*Wurzel(w-1).
Die zu lösende Gleichung ist daher äquivalent zu
0 = w * Wurzel(w-1) + w - w*w
= w * (Wurzel(w-1) + 1 - w)
= w * (Wurzel(w-1) - (w-1))
= w * Wurzel(w-1) * (1 - Wurzel(w-1))

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.
Der Fall w = 0 bedeutet Wurzel(x) = 0, liefert also die Lösung x = 0.
Der Fall Wurzel(w-1) = 0 bedeutet w = 1, liefert also Lösung x = 1.
Der Fall (1-Wurzel(w-1)) bedeutet w-1 = 1, liefert also Lösung x = 4.
q.e.d.

(*) Es ist ein beliebter Fehler, Wurzel(a*b) = Wurzel(a) * Wurzel(b)
auch für komplexe Zahlen a und b für wahr zu halten. Dabei kommt nämlich
solch Unsinn zustande: 1 = Wurzel(1) = Wurzel((-1)*(-1)) ... so weit
korrekt. ... = Wurzel(-1)*Wurzel(-1) ... was eben NICHT korrekt ist.
Fortsetzung ist dann wieder korrekt: ... = (Wurzel(-1))^2 = -1, weil
(Wurzel(a))^2 = a sowohl im Reellen als auch im Komplexen gilt.
Bemerkt man den Fehler nicht, so scheint hier ein schlüssiger Beweis
vorzuliegen, dass 1 = -1 ist.

[Fritz Feldhase]

On Monday, August 30, 2021 at 3:11:26 PM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:

> Beweis:
> Für reelle a und b gilt Wurzel(a*b) = Wurzel(a) * Wurzel(b). Siehe (*).

Ich würde sagen, das gilt für reelle a,b und die auf IR+ {0} definierte Wurzelfunktion (die ich hier voraussetze) nur, wenn a,b >= 0 gilt. :-P

Daher stimmt dann auch die folgende Aussage nicht:

> Die zu lösende Gleichung ist daher äquivalent zu
> 0 = w * Wurzel(w-1) + w - w*w

Betrachte x = 0, dann ist w = Wurzel(x) = 0.

Wurzel(w-1) ist dann Wurzel(-1) und das ist - jedenfalls für die auf IR+ {0} definierten Wurzelfunktion (die ich hier voraussetze) - nicht definiert. Ich denke also nicht, dass man sagen kann, dass x = 0 die Gleichung "0 = w * Wurzel(w-1) + w - w*w" erfüllt.

Während Wurzel(x*Wurzel(x)-x) + Wurzel(x) - x = 0 für x = 0 gilt/erfüllt ist.

> (*) Es ist ein beliebter Fehler, Wurzel(a*b) = Wurzel(a) * Wurzel(b)
auch für komplexe Zahlen a und b für wahr zu halten.

Das funktioniert schon für die "zwei" REELLEN Zahlen a = -1 und b = -1 nicht. :-P // Selbst wenn man hier "Wurzel(x)" als Hauptwert der komplexen Wurzel(n) von x interpretiert.

> Dabei kommt nämlich solch Unsinn zustande: 1 = Wurzel(1) = Wurzel((-1)*(-1))

> = Wurzel(-1)*Wurzel(-1) ... was eben NICHT korrekt ist.

===========================================================

Dass es eine Rolle spielen kann, ob man Wurzel(x) als die auf IR+ {0} definierte pos. Wurzel von x interpretiert, oder z. B. als "den Hauptwert der komplexen Wurzel(n) von x" kann man an folgendem Beispiel gut sehen:

(Wurzel(x))^4 = x^4 - gesucht sind die reellen Lösungen.

Im Reellen hat diese Gleichung im einen Fall lediglich die beiden Lösung x = 0 und x = 1. Im anderen Fall aber die 3 Lösungen x = 0, x = 1 und x = -1.

[Jens Kallup]

Am 30.08.2021 um 16:01 schrieb Fritz Feldhase:

> Im Reellen hat diese Gleichung im einen Fall lediglich die beiden Lösung x = 0 und x = 1. Im anderen Fall aber die 3 Lösungen x = 0, x = 1 und x = -1.

wurzel ziehen aus negativen Objekten ?
geht das überhaupt ?
wenn ja, wie ?

ist mir neu.

Jens

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> Am 30.08.2021 um 16:01 schrieb Fritz Feldhase:
>
>> Im Reellen hat diese Gleichung im einen Fall lediglich die beiden
>> Lösung x = 0 und x = 1. Im anderen Fall aber die 3 Lösungen x = 0, x =
>> 1 und x = -1.
>
> wurzel ziehen aus negativen Objekten ?
> geht das überhaupt ?

Ja, das geht. Dazu muss man aber eine neue Zahlenmenge einführen, die
sogenannten komplexen Zahlen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

Dieter Heidorn

[Fritz Feldhase]

On Monday, August 30, 2021 at 4:12:35 PM UTC+2, kallu...@web.de wrote:
> Am 30.08.2021 um 16:01 schrieb Fritz Feldhase:
> >
> > Im Reellen hat diese Gleichung im einen Fall lediglich die beiden Lösung x = 0 und x = 1. Im anderen Fall aber die 3
> > Lösungen x = 0, x = 1 und x = -1.
> >

> Wurzel ziehen aus negativen Objekten ?

> geht das überhaupt ?
> wenn ja, wie ?

Es geht, wenn man "Wurzel(z)" für z e C entsprechend definiert. Wie sinnvoll das ist, ist eine andere Frage.

Häufig sieht man sogar als "Definition" von i den Unsinn: i = Wurzel(-1). (So z. B. in einem der Bücher von Mückenheim, oder leider auch in einem Wikipedia-Artikel.) Damit wird dann i^2 = - 1 "begründet".

[Jens Kallup]

Am 30.08.2021 um 16:28 schrieb Fritz Feldhase:

> Häufig sieht man sogar als "Definition" von i den Unsinn: i = Wurzel(-1). (So z. B. in einem der Bücher von Mückenheim, oder leider auch in einem Wikipedia-Artikel.) Damit wird dann i^2 = - 1 "begründet".

wie war das noch gleich: reeller, und imaginärer Anteil ... ?

[Rainer Rosenthal]

Am 30.08.2021 um 16:08 schrieb Fritz Feldhase:
>
> [jede Menge Richtigstellungen]
>
Danke für's genaue Lesen und Fehler-Zeigen. Ich hatte geglaubt, sauber
argumentiert zu haben, aber damit lag ich offenbar falsch.
Ich habe übrigens auch mal Wolfram Alpha befragt(*), und der Plot der
Funktion f(x) = sqrt(x*sqrt(x)-x) + sqrt(x) - x sieht hübsch aus.
Im Graphen {(x,f(x) | x in R} kann man (0,0) leicht übersehen :-)
Freundlicherweise liefert Wolfram Alpha auch den Definitionsbereich
{x element R : x = 0 or x>=1} von f.
Und diese Extra-Information nehme ich auch gerne mit:
max{sqrt(x sqrt(x) - x) + sqrt(x) - x}≈0.32645 at x≈1.8688

Tja, jetzt habe ich A gesagt (den Thread begonnen) und muss wohl auch
noch B sagen (einen ordentlichen Beweis führen).

Gruß,
RR

(*)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+sqrt%28x*sqrt%28x%29-x%29+%2B+sqrt%28x%29+-+x

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Montag, 30. August 2021 um 16:28:49 UTC+2:

> Häufig sieht man sogar als "Definition" von i den Unsinn: i = Wurzel(-1). (So z. B. in einem der Bücher von Mückenheim, oder leider auch in einem Wikipedia-Artikel.)

Man sieht in einem der Bücher von Euler W(-1), W(-2), W(-3), W(-4), etc. als unmögliche oder imaginäre Zahlen bezeichnet. Weshalb sollte man die erste nicht durch i abkürzen?

> Damit wird dann i^2 = - 1 "begründet".

Das braucht man dann nicht mehr zu begründen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 30. August 2021 um 00:04:03 UTC+2:
> Die im Titel genannte Gleichung war vor einigen Jahren bei Debatten um
> Sinn und Unsinn der Schulmathematik aufgetaucht. Sie schaffte es am
> 22.3.2017 sogar in den Berliner TAGESSPIEGEL [1] und reizte die Leser
> zum Knobeln. Als Quelle wird ein Buch [2] des ehemaligen dsm-regulars
> Franz Lemmermeyer angegeben.
>
> Ich war neugierig und habe mich ans Lösen gemacht. Nachdem ich die
> Lösung(en) gefunden hatte, war ich mit meinem Lösungsweg nicht so
> zufrieden, weil er mir nicht elegant genug erschien.

Ich kommen auf x^2 -5x + 4 = 0, woraus x = 1 und x =4 folgt. Vorher hatte ich bereits x = 0 eliminiert.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

kallu...@web.de schrieb am Montag, 30. August 2021 um 13:16:03 UTC+2:
> Am 30.08.2021 um 12:19 schrieb Walter H.:
> > sqrt(x sqrt(x) - x) + sqrt(x) = x | -sqrt(x)
> >
> > sqrt(x sqrt(x) - x) = x - sqrt(x) | ²
> >
> > x sqrt(x) - x = x² - 2x sqrt(x) + x | +2x sqrt(x) +x
> >
> > 3x sqrt(x) = x² + 2x | x=0 ist bereits ausgeschlossen, daher beide
> > Seiten /x
> >
> > 3 sqrt(x) = x + 2 | beide Seiten positiv, daher beide Seiten quadrieren
> >
> > 9x = x² + 4x + 4
> > x² - 5x + 4 = 0
>
> nein, Fehler:

Kein Fehler!

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Monday, August 30, 2021 at 5:45:48 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 30. August 2021 um 16:28:49 UTC+2:
> >
> > Häufig sieht man sogar als "Definition" von i den Unsinn: i = Wurzel(-1). (So z. B. in einem der Bücher von Mückenheim, oder leider auch in einem Wikipedia-Artikel.)
> >

> Man sieht in einem der Bücher von Euler <usw.>

Ah ja, sie stützen Ihre diesbezüglichen Erkenntnisse also auf Eulers Bücher.

Ok, keine weiteren Fragen mehr.

[Fritz Feldhase]

On Monday, August 30, 2021 at 5:16:26 PM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:
> Am 30.08.2021 um 16:08 schrieb Fritz Feldhase:
> >
> > [jede Menge Richtigstellungen]
> >
> Danke für's genaue Lesen und Fehler-Zeigen. Ich hatte geglaubt, sauber
> argumentiert zu haben, aber damit lag ich offenbar falsch.
> Ich habe übrigens auch mal Wolfram Alpha befragt(*), und der Plot der
> Funktion f(x) = sqrt(x*sqrt(x)-x) + sqrt(x) - x sieht hübsch aus.
> Im Graphen {(x,f(x) | x in R} kann man (0,0) leicht übersehen :-)
> Freundlicherweise liefert Wolfram Alpha auch den Definitionsbereich
> {x element R : x = 0 or x>=1} von f.
> Und diese Extra-Information nehme ich auch gerne mit:
> max{sqrt(x sqrt(x) - x) + sqrt(x) - x}≈0.32645 at x≈1.8688
>
> Tja, jetzt habe ich A gesagt (den Thread begonnen) und muss wohl auch
> noch B sagen (einen ordentlichen Beweis führen).
>
> Gruß,
> RR

Alles gut, Rainer. Die Aufgabe war/ist lustig - schon lange keine solchen Sachen mehr "von Hand" durchgerechnet.

Und ja, auch ich habe vorab Wolfram|Alpha konsuliert. :-)

> https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+sqrt%28x*sqrt%28x%29-x%29+%2B+sqrt%28x%29+-+x

[Fritz Feldhase]

On Monday, August 30, 2021 at 5:45:48 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> Das braucht man dann nicht mehr zu begründen.

Ja, klar.

Sie haben von Mathematik wirklich NULL Ahnung, Mückenheim.

[Rainer Rosenthal]

Am 30.08.2021 um 18:28 schrieb Fritz Feldhase:
>
> Alles gut, Rainer. Die Aufgabe war/ist lustig - schon lange keine solchen Sachen mehr "von Hand" durchgerechnet.
>
> Und ja, auch ich habe vorab Wolfram|Alpha konsuliert. :-)
>

Ich hatte aber gleich wie ein Wilder losgerechnet und schon beim
Abschreiben der Aufgabe den ersten Fehler eingebaut:
Ich habe versucht, Wurzel(x-x*Wurzel(x)) + Wurzel(x) = x zu lösen.
Vielleicht starte ich dazu auch noch mal einen Thread, weil mir da
gewisse Gespenster begegnet waren. Vielleicht lasse ich es aber auch,
weil die Nachbereitung der von Dir kritisch kommentierten Herleitung die
Gespenster verscheucht (*).

Zu Wolfram Alpha bin ich erst heute gegangen aufgrund Deines Postings:

Am 30.08.2021 um 01:53 schrieb Fritz Feldhase:
>
> Wurzel(x*Wurzel(x)-x) + Wurzel(x) = x (für welche x e IR, wo der
Ausdruck überhaupt definiert ist)
> Hmmm... Auf den ersten Blick sieht man, dass x = 0 und x= 1 Lösungen
sind. :-)

> Wolfram|Alpha hat mir gezeigt, dass dies nicht die einzigen Wurzeln

sind. Nun denn... Dann gehen wir die Sache mal systematisch an. [To be
continued.]
>

Gruß,
Rainer

(*) Komisch, wieso hatte ich Gespenster gesehen? Bei Wolfram Alpha sieht
es sehr simpel aus:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+sqrt%28x-x*sqrt%28x%29%29+%2B+sqrt%28x%29+-+x

[Rainer Rosenthal]

Sieht doch gut aus, danke.

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 30.08.2021 um 10:40 schrieb Klaus-R. Loeffler:
>
> Zusammenfassen auf der linken Seite und Faktorisieren (durch einfaches Ausklammern) liefert die Gleichung
>
> W(x) * W( Wx) - 1) * (2 - W(x)) = 0
>
> Damit ergeben sich die drei Lösungen durch Betrachten der drei Faktoren.
>

Hallo Klaus, danke für den eleganten Weg. Der zweite Faktor hat einen
leicht zu reparierenden Klammerfehler: W( W(x) - 1).
Der dritte Faktor passt zwar zur Lösung x = 4, aber ich weiß nicht, wie
Du ihn bekommen hast. In meiner Rechnung sah er so aus: (1 - W(W(x)-1)).

Gruß,
RR

[Fritz Feldhase]

Hallo Rainer, auch diese (an sich) elegante (erscheinende) Lösung krankt leider an dem selben Fehler wie Deine hier gepostete. Was ist W(W(x) - 1) für x = 0?

Abgesehen davon (wovon man eigentlich nicht absehen sollte :-P) glaube ich auch, dass sich Klaus beim Faktorisieren vertan hat, jedenfalls, falls das oben W(x) * W(W(x) - 1) * (2 - W(x)) heißen sollte.

Es scheint bei dieser Aufgabe grundsätzlich eine gute Idee zu sein, erst mal x = 0 zu "eliminieren" (nachdem man 0 als eine Lösung der Gleichung identifiziert hat).

Man landet dann ziemlich schnell bei der von WM geposteten quadratischen Gleichung (oder einer "äquivalenten").

[Klaus-R. Loeffler]

Fritz Feldhase schrieb am Montag, 30. August 2021 um 20:49:37 UTC+2:
> On Monday, August 30, 2021 at 8:23:12 PM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:
> > Am 30.08.2021 um 10:40 schrieb Klaus-R. Loeffler:
> > >
> > > Zusammenfassen auf der linken Seite und Faktorisieren (durch einfaches Ausklammern) liefert die Gleichung
> > >
> > > W(x) * W( Wx) - 1) * (2 - W(x)) = 0
> > >
> > > Damit ergeben sich die drei Lösungen durch Betrachten der drei Faktoren.
> > >

> Abgesehen davon (wovon man eigentlich nicht absehen sollte :-P) glaube ich auch, dass sich Klaus beim Faktorisieren vertan hat, jedenfalls, falls das oben W(x) * W(W(x) - 1) * (2 - W(x)) heißen sollte.
>

Stimmt, da habe ich geschlampt und dann nicht kontrolliert; stattdessen ergibt die Zerlegung in Faktoren
W(x) * W(W(x) - 1) * (1 - W(W(x) - 1)) = 0 .
Die Faktoren verschwinden dann für x = 0 bzw. x = 1 bzw. x = 4.

[Fritz Feldhase]

On Monday, August 30, 2021 at 11:26:48 PM UTC+2, Klaus-R. Loeffler wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 30. August 2021 um 20:49:37 UTC+2:
> > On Monday, August 30, 2021 at 8:23:12 PM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:
> > > Am 30.08.2021 um 10:40 schrieb Klaus-R. Loeffler:
> > > >
> > > > Zusammenfassen auf der linken Seite und Faktorisieren (durch einfaches Ausklammern) liefert die Gleichung
> > > >
> > > > W(x) * W( Wx) - 1) * (2 - W(x)) = 0
> > > >
> > > > Damit ergeben sich die drei Lösungen durch Betrachten der drei Faktoren.

Dieser Ansatz ist aber m. E. nicht korrekt. [...]

> > Abgesehen davon (wovon man eigentlich nicht absehen sollte :-P) glaube ich auch, dass sich Klaus beim Faktorisieren vertan hat, jedenfalls, falls das oben W(x) * W(W(x) - 1) * (2 - W(x)) heißen sollte.
> >
> Stimmt, da habe ich geschlampt und dann nicht kontrolliert; stattdessen ergibt die Zerlegung in Faktoren
> W(x) * W(W(x) - 1) * (1 - W(W(x) - 1)) = 0 .
> Die Faktoren verschwinden dann für x = 0 bzw. x = 1 bzw. x = 4.

Sagst Du so. W(W(x) - 1) ist aber nicht einfach "irgendwas" (also e IR) für x = 0 (bzw. für alle x e [0, 1[), sondern _undefiniert_. Daher würde ich Deine Formel

W(x) * W(W(x) - 1) * (1 - W(W(x) - 1)) = 0

nur für x >= 1 als "sinnvoll" betrachten. (Wahr ist sie dann nur für x = 1 und x = 4.)

Ich will das hier aber wirklich nicht weiter diskutieren. Wenn Du das ANDERS siehst, dann sei es eben so.

[Klaus-R. Loeffler]

Nein, ich sehe das nicht anders. Zur vollständigen Lösung gehört natürlich entweder eine Betrachtung des Definitionsbereichs - da man die Lösung x = 0 sofort sieht und positives x nicht kleiner als 1 sein darf (wg. x*W(x) -x >= 0) - kann die Gleichung für x >= 1 betrachtet werden. Oder man bestätigt die Lösungen durch Probe - dann ist die zwischenzeitliche Inkaufnahme komplexer Zahlen ohne Schaden - wie z.B. beim casus irreducibilis beim Lösungsverfahren bei Gleichungen dritten Grades.
Die von mir zunächst angegebene Zerlegung erhält man übrigens durch Multiplikation der von mir zunächst (mit fehlender Klammer) angegebenen Gleichung mit der positiven Zahl 1+W(W(x)-1).

[Rainer Rosenthal]

Am 30.08.2021 um 17:16 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 30.08.2021 um 16:08 schrieb Fritz Feldhase:
>>
> > [jede Menge Richtigstellungen]
> >
>

> Tja, jetzt habe ich A gesagt (den Thread begonnen) und muss wohl auch
> noch B sagen (einen ordentlichen Beweis führen).
>

Ich halte mich an die kürzere Schreibweise von Klaus-R. Loeffler
und schreibe W(x) für die Quadratwurzel von x.

Behauptung: Die Gleichung W(x*W(x)-x) + W(x) = x hat in den
reellen Zahlen die Lösungsmenge { 0, 1, 4}.

Beweis: Es gilt x*W(x)-x = x*(W(x)-1). Wenn x >= 1 ist, dann sind beide
Faktoren nicht-negativ, d.h. es gilt W(x*(W(x)-1)) = W(x) * W(W(x)-1).
Die zu lösende Gleichung ist für x >= 1 also äquivalent zu

0
= W(x) * W(W(x)-1) + W(x) - x
= W(x) * W(W(x)-1) - W(x) * (W(x)-1)
= W(x) * (W(W(x)-1) - (W(x)-1))
= W(x) * W(W(x)-1) * (1 - W(W(x)-1))

Die Lösungen x >= 1 sind also: { 1, 4}.

Es gibt nur ein x < 1, für das die Gleichung definiert ist: x = 0.
Da sie für diesen Wert auch gültig ist, haben wir:

Die Lösungen x < 1 sind: { 0}.

Also sind alle (rellen) Lösungen: { 0, 1, 4}. Q.E.D.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[Rainer Rosenthal]

Am 30.08.2021 um 01:29 schrieb Carlo XYZ:
>
> [ eine fabelhafte Antwort ]
>
Ich denke da an die Fabel vom Fuchs, dem die Trauben zu sauer sind [1].

Cool ist, dass es eine Fortsetzung der Fabel gibt:
Dem Hasen waren die Trauben nämlich durchaus nicht zu sauer, aber er hat
sie vorsichtshalber erst einmal vom Wolf probieren lassen [2].
Er hat dann die Weinlese kritisch begleitet und Produkte bemängelt, bei
denen sich faulige Beeren in der Traube befanden.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de


[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Der_Fuchs_und_die_Trauben
[2] Posting vom 30.08.2021 um 01:53

[Ganzhinterseher]

Ja, allerdings ohne seinen Fehler zu machen, W(-1)*W(-1) = W((-1)*(-1)) zu erlauben.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Ups, der große Euler hat das wirklich irgendwo hingeschrieben? Das führt
doch direkt in die Sackgasse -1 = W(-1)*W(-1) = W((-1)*(-1)) = W(1) = 1,
also -1 = 1.

Kannst Du bitte schreiben, wo das steht?

Gruß,
RR

[Ganzhinterseher]

148. Moreover, as √𝑎 multiplied by √𝑏 makes √𝑎𝑏, we shall have √6 for the value of √−2 multiplied by √−3; and √4, or 2, for the value of the product of √−1 by √−4. Thus we see that two imaginary numbers, multiplied together, produce a real, or possible one.

Leonhard Euler: Elements of Algebra. p. 51, This book is based on the 1828 edition of John Hewlett’s 1822 translation of Leonhard Euler’s Vollständige Anleitung zur Algebra, itself published in 1765.

Gruß, WM

[Michael Klemm]

Da gab es halt die komplexe Zahlenebene noch nicht. Auch Gauß hat zunächst bewiesen, dass jedes reelle Polynom ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad 0, 1 oder 2 ist.

Gruß
Michael

[Ganzhinterseher]

Michael Klemm schrieb am Dienstag, 31. August 2021 um 22:17:14 UTC+2:
> Ganzhinterseher schrieb am Dienstag, 31. August 2021 um 20:53:22 UTC+2:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 31. August 2021 um 16:01:26 UTC+2:
> > > Am 31.08.2021 um 14:44 schrieb Ganzhinterseher:
> > > > Fritz Feldhase schrieb am Montag, 30. August 2021 um 18:27:53 UTC+2:
> > > >>
> > > >> Ah ja, sie stützen Ihre diesbezüglichen Erkenntnisse also auf Eulers Bücher.
> > > >>
> > > > Ja, allerdings ohne seinen Fehler zu machen, W(-1)*W(-1) = W((-1)*(-1)) zu erlauben.
> > > >
> > > Ups, der große Euler hat das wirklich irgendwo hingeschrieben? Das führt
> > > doch direkt in die Sackgasse -1 = W(-1)*W(-1) = W((-1)*(-1)) = W(1) = 1,
> > > also -1 = 1.
> > >
> > > Kannst Du bitte schreiben, wo das steht?
> > >
> > 148. Moreover, as √𝑎 multiplied by √𝑏 makes √𝑎𝑏, we shall have √6 for the value of √−2 multiplied by √−3; and √4, or 2, for the value of the product of √−1 by √−4. Thus we see that two imaginary numbers, multiplied together, produce a real, or possible one.
> >
> > Leonhard Euler: Elements of Algebra. p. 51, This book is based on the 1828 edition of John Hewlett’s 1822 translation of Leonhard Euler’s Vollständige Anleitung zur Algebra, itself published in 1765.
> >

> Da gab es halt die komplexe Zahlenebene noch nicht.

Stimmt, aber den Winkel phi gab es schon, den hat er ja gefunden. Wo drehte sich der Zeiger? Naja, wer weiß so genau, was in Eulers Kopf vorgegangen ist. Jedenfalls war er der größten Mathematiker einer. Ich habe seinen Namen auch nicht genannt, als ich sein Beispiel für -6 = 6 in "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015) angeführt habe.

Gruß, WM

[Ulrich Diez]

Klaus-R. Loeffler schrieb:

> W(x) * W( Wx) - 1) * (2 - W(x)) = 0

Die linke Seite der Gleichung hat fünf schliesssende,
aber nur vier öffnende Klammern. Deshalb spendiere ich jetzt
noch eine öffnende Klammer: (-:

Vielleicht mag uns ja Jens sagen, wo genau die hin muss.

Mit freundlchem Gruß

Ulrich

[Carlo XYZ]

Rainer Rosenthal schrieb am 31.08.21 um 11:57:

> Am 30.08.2021 um 01:29 schrieb Carlo XYZ:
>>
>> [ eine fabelhafte Antwort ]
>>
> Ich denke da an die Fabel vom Fuchs, dem die Trauben zu sauer sind [1].

Eher zu klein.

> Cool ist, dass es eine Fortsetzung der Fabel gibt:
> Dem Hasen waren die Trauben nämlich durchaus nicht zu sauer, aber er hat
> sie vorsichtshalber erst einmal vom Wolf probieren lassen [2].
> Er hat dann die Weinlese kritisch begleitet und Produkte bemängelt, bei
> denen sich faulige Beeren in der Traube befanden.

:-) Das werden recht ungelenke Erntehelfer gewesen sein,
die sich von einem gemeinen Feldhasen (Lepus Europaeus)
eine geeignete Vorgehensweise vorführen lassen mussten.

Währenddessen machte es sich der schlaue Fuchs in seiner
Höhle gemütlich. Und wer genau hinschaute, konnte ihn
schmunzeln sehen, als er einen alten Hasen erblickte,
der dennoch wieder in die bekannte Falle [3] tappte.

> Gruß,

zurück

> Rainer Rosenthal
> r.ros...@web.de
>
>
> [1] https://de.wikipedia.org/wiki/Der_Fuchs_und_die_Trauben
> [2] Posting vom 30.08.2021 um 01:53

[3] "...wie man leicht sieht..."

[Rainer Rosenthal]

Am 01.09.2021 um 13:42 schrieb Carlo XYZ:
>
> :-) Das werden recht ungelenke Erntehelfer gewesen sein,
> die sich von einem gemeinen Feldhasen (Lepus Europaeus)
> eine geeignete Vorgehensweise vorführen lassen mussten.
>

Die versprochene Vorführung(*) hat es bisher noch nicht gegeben.
Und ich bin durchaus zufrieden damit, im zweiten Anlauf den Lösungsweg
sauber aufgeschrieben zu haben, der ohne Lösen einer quadratischen
Gleichung auskommt. Nichts gegen die quadratische Gleichung, aber das
Dreifach-Produkt mit dem vergifteten ersten Faktor war eine für mich
nicht kleine Sache.

Aus der Ferne sehen Dinge immer etwas kleiner aus :-)

Gruß,
RR

(*) 30.08.2021, 01:53

[Jens Kallup]

( W(x) * W( W(x) ) - 1) * (2 - W(x) ) = 0
( x^2 * W( x^2) - 1) * (2 - x^2) = 0
( 0^2 * W( 0 ) - 1) * (2 - 0^2) = 0
( 0 * 0 - 1) * (2 - 0 ) = 0
- 1 * 2 = -2
- 2 = -2 | + 2
0 = 0

Jens

[Ulrich Diez]

Jens schrieb:

> Am 01.09.2021 um 12:55 schrieb Ulrich Diez:
>> Klaus-R. Loeffler schrieb:
>>
>>> W(x) * W( Wx) - 1) * (2 - W(x)) = 0
>>
>> Die linke Seite der Gleichung hat fünf schliesssende,
>> aber nur vier öffnende Klammern. Deshalb spendiere ich jetzt
>> noch eine öffnende Klammer: (-:
>>
>> Vielleicht mag uns ja Jens sagen, wo genau die hin muss.

[...]

> ( W(x) * W( W(x) ) - 1) * (2 - W(x) ) = 0

Ich muss und möchte mich ber Dir entschuldigen:

Da Klaus-R. Loeffler verlässlich ist, hatte ich, ohne den ganzen Thread
zu lesen, vorschnell angenommen, dass er lediglich eine öffnende Klammer
verschusselt hat, und es anstatt

W(x) * W( Wx) - 1) * (2 - W(x)) = 0

heissen müsste:

W(x) * (W( Wx) - 1) * (2 - W(x)) = 0 .

Hätte ich alles gelesen, hätte ich gewusst, dass von Rainer Rosenthal
bereits andere Einsprüche erhoben worden sind.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Jens Kallup]

( W(x)  * W( W(x) ) - 1) * (2 - W(x) ) =  0
(   x^2 * W(   x^2) - 1) * (2 -   x^2) =  0
(   0^2 * W(   0  ) - 1) * (2 -   0^2) =  0
(   0   *      0    - 1) * (2 -   0  ) =  0

                    - 1  *  2          = 0 | * - 1
1 * -2 = 0 | * -1/2
-2 = 0 - 1
-1 = - 1 | + 2
                      0           =  0

LHS RHS (inverse)
2 1 2
- --- * - --- = --- = - 1
1 2 2

Jens

[Jens Kallup]

Am 01.09.2021 um 16:04 schrieb Jens Kallup:
> ( W(x)  * W( W(x) ) - 1) * (2 - W(x) ) =  0
> (   x^2 * W(   x^2) - 1) * (2 -   x^2) =  0
> (   0^2 * W(   0  ) - 1) * (2 -   0^2) =  0
> (   0   *      0    - 1) * (2 -   0  ) =  0
>                     - 1  *  2          =  0     | * - 1
>                       1  * -2          =  0     | * -1/2
>                            -2          =  0 - 1

>                            -1          =    - 1 | + 2 <<-- Typo !

-1 = - 1 | + 1

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, September 1, 2021 at 3:52:45 PM UTC+2, Ulrich Diez wrote:

> Hätte ich alles gelesen, hätte ich gewusst, dass von Rainer Rosenthal
> bereits andere Einsprüche erhoben worden sind.

Und hättest Du noch etwas genauer gelesen, hättest Du vielleicht auch gesehen, dass die "Einsprüche" eig. vom Hasen stammen. :-P

Hase

[Carlo XYZ]

Rainer Rosenthal schrieb am 01.09.21 um 15:14:

> Am 01.09.2021 um 13:42 schrieb Carlo XYZ:
>>
>> :-) Das werden recht ungelenke Erntehelfer gewesen sein,
>> die sich von einem gemeinen Feldhasen (Lepus Europaeus)
>> eine geeignete Vorgehensweise vorführen lassen mussten.
>>
> Die versprochene Vorführung(*) hat es bisher noch nicht gegeben.
> Und ich bin durchaus zufrieden damit, im zweiten Anlauf den Lösungsweg
> sauber aufgeschrieben zu haben,

Meinst du? Dann wollen wir mal sehen (cf. Posting 31.8., 11:32).

> Ich halte mich an die kürzere Schreibweise von Klaus-R. Loeffler
> und schreibe W(x) für die Quadratwurzel von x.
>
> Behauptung: Die Gleichung W(x*W(x)-x) + W(x) = x hat in den
> reellen Zahlen die Lösungsmenge { 0, 1, 4}.
>
> Beweis: Es gilt x*W(x)-x = x*(W(x)-1). Wenn x >= 1 ist, dann sind beide Faktoren nicht-negativ, d.h. es gilt W(x*(W(x)-1)) = W(x) * W(W(x)-1).

Letzteres stimmt schon mal nicht. Die erste -1 sollte -x lauten. [1]
Aber glücklicherweise geht's trotzdem so weiter:

> Die zu lösende Gleichung ist für x >= 1 also äquivalent zu
>
> 0
> = W(x) * W(W(x)-1) + W(x) - x

OK, du hast alles auf die linke Seite gebracht
und den Term W(x) * W(W(x)-1) für W(x*W(x)-x) eingesetzt.

> = W(x) * W(W(x)-1) - W(x) * (W(x)-1)

OK, du hast W(x) - x etwas umgeformt. (Mit, wie auch schon vorher,
Umstellung der Operatoren und Operanden, um es dem Leser nicht
allzu leicht zu machen..:) Eigentlich kannst du hier schon W(x)
kürzen (wegen x\neq 0) und direkt in die letzte Zeile springen. [2]

> = W(x) * (W(W(x)-1) - (W(x)-1))

OK, du hast W(x) ausgeklammert.

> = W(x) * W(W(x)-1) * (1 - W(W(x)-1))

OK, hier hast du W(W(x)-1) ausgeklammert und Glück gehabt,
dass beide Male eine -1 da steht:) Die Umstellung erwies
sich trotzdem als etwas ungünstig:) Einen kleinen Rest
quadratische Gleichung hast du auch noch.

> Die Lösungen x >= 1 sind also: { 1, 4}.

Nettes Argument, das ich mir allerdings
noch etwas sauberer aufgeschrieben wünschen würde :-)

(noch) 99 Punkte :)

[1] Außerdem klingt "d.h." zu stark, denn das ist normalerweise
ein Junktor zwischen zwei äquivalenten Aussagen. Besser:
"..daher folgt <blabla>".

[2] Alternativ kannst du überlegen, dass die Gleichung nach "d.h."
auch für x=0 gilt (temporär ins Komplexe ausweichend), und du
kriegst alle drei Lösungen auf einen Schlag, wie ungefähr bei
K.-R. Löffler und bei Walter H.

[Ulrich Diez]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Ich hatte die Aufgabe auch so interpretiert, dass nach reellen Lösungen
> gesucht wird.
>
> Behauptung: x = 0, 1 und 4 sind die reellen Lösungen der Gleichung
> Wurzel(x*w-x) + w = x, worin w = Wurzel(x).
>
> Beweis:
> Für reelle a und b gilt Wurzel(a*b) = Wurzel(a) * Wurzel(b). Siehe (*).
> Wegen w*w = x:
> Wurzel(x*w-x) = Wurzel(x*(w-1)) = Wurzel(x)*Wurzel(w-1) = w*Wurzel(w-1).

Da steht jetzt unter anderen:

Für reelle a und b gilt Wurzel(a*b) = Wurzel(a) * Wurzel(b).
...
Wurzel(x*(w-1)) = Wurzel(x)*Wurzel(w-1)

Du kannst die Umformung also unter der Voraussetzung durchführen,
dass der Ausdruck w-1 = Wurzel(x)-1 eine relle Zahl ergibt.

Diese Voraussetzung ist aber nicht für jedes x in R erfüllt.
ZB für x =-4 ist sie nicht erfüllt:
Wurzel(-4)-1 = Wurzel(4)*Wurzel(-1)-1 = -1+2i
Im Fall x =-4 handelt es sich bei dem Ausdruck Wurzel(x)-1
um die Darstellung einer Zahl, deren Imaginärteil von 0
erschieden ist und die somit kein Element der Menge R ist.

Wenn der Beweis so stehenbleiben soll, muss also gezeigt werden,
dass diese Umformung für x in R machbar ist, weil andere
Voraussetzungen, unter denen sie ebenfalls machbar ist, erfüllt sind.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Ulrich Diez]

Fritz Feldhase schrieb:

Ich bezog mich auf den von Rainer Rosenthal stammenden Einwand

| > W(x) * W( Wx) - 1) * (2 - W(x)) = 0
| >

| > Damit ergeben sich die drei Lösungen durch Betrachten der drei Faktoren.
| >

| Hallo Klaus, danke für den eleganten Weg. Der zweite Faktor hat einen
| leicht zu reparierenden Klammerfehler: W( W(x) - 1).
| Der dritte Faktor passt zwar zur Lösung x = 4, aber ich weiß nicht, wie
| Du ihn bekommen hast. In meiner Rechnung sah er so aus: (1 - W(W(x)-1)).

, der aber durch Deine Einwände auch hinfällig ist. :-)

Gruß

Ulrich

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> Am 01.09.2021 um 12:55 schrieb Ulrich Diez:
>> Klaus-R. Loeffler schrieb:
>>
>>> W(x) * W( Wx) - 1) * (2 - W(x)) = 0
>>
>> Die linke Seite der Gleichung hat fünf schliesssende,
>> aber nur vier öffnende Klammern. Deshalb spendiere ich jetzt
>> noch eine öffnende Klammer: (-:
>>
>> Vielleicht mag uns ja Jens sagen, wo genau die hin muss.
>>
>

> ( W(x) * W( W(x) ) - 1) * (2 - W(x) ) = 0

Leider nicht. Die obige Zeile von Klaus-R. ist links ein Produktterm aus
drei Faktoren:

W(x) * W( Wx) - 1 ) * (2 - W(x)) = 0
---- ............ ~~~~~~~~~~
1. 2. 3. Faktor

Da W für "Wurzel aus" stehen soll, erkennt man, dass

hier-|
|
W(x) * W( Wx) - 1 ) * (2 - W(x)) = 0

eine öffnende Klammer fehlt. Richtig ist also:

W(x) * W( W(x) - 1 ) * (2 - W(x)) = 0
~

Auf der linken Seite steht ein Produktterm aus drei Faktoren:

W(x) * W( Wx) - 1 ) * (2 - W(x)) = 0
---- ............ ~~~~~~~~~~
1. 2. 3. Faktor

Vergleich mit deiner Zeile:

W(x) * W( W(x) - 1 ) * (2 - W(x)) = 0
( W(x) * W( W(x) ) - 1 ) * (2 - W(x)) = 0
| |
| |
-------------------
Dies von dir falsch gesetzte Klammerpaar verändert den Charakter des
Terms auf der linken Seite: Bei dir steht nun ein Produktterm mit
_zwei_ Faktoren:

( W(x) * W( W(x) ) - 1 ) * (2 - W(x)) = 0
------------------------- ..........
1. 2. Faktor

Weiter:

> ( x^2 * W( x^2) - 1) * (2 - x^2) = 0

Hier hast du W(x) offensichtlich durch x^2 ersetzt. Und das ist leider
föllig valsch. Zahlenbeispiel zur Verdeutlichung:

x = 9:

W(9) = 3

9^2 = 81

Dieter Heidorn

[Rainer Rosenthal]

Am 01.09.2021 um 17:03 schrieb Carlo XYZ:
>
> Dann wollen wir mal sehen (cf. Posting 31.8., 11:32).
>
>> Ich halte mich an die kürzere Schreibweise von Klaus-R. Loeffler
>> und schreibe W(x) für die Quadratwurzel von x.
>>
>> Behauptung: Die Gleichung W(x*W(x)-x) + W(x) = x hat in den
>>             reellen Zahlen die Lösungsmenge { 0, 1, 4}.
>>
>> Beweis: Es gilt x*W(x)-x = x*(W(x)-1). Wenn x >= 1 ist, dann sind
>> beide Faktoren nicht-negativ, d.h. es gilt W(x*(W(x)-1)) = W(x) *
>> W(W(x)-1).
>
> Letzteres stimmt schon mal nicht. Die erste -1 sollte -x lauten.

Sollte sie das wirklich? Du wirst mir das bestimmt gerne zeigen, weil
ich es nicht sehe. Ich sehe exakt das, was ich schreiben wollte.
x*W(x)-x wird als Produkt nicht-negativer Zahlen geschrieben. Die eine
Zahl ist x, die nach Voraussetzung nicht kleiner als 1 ist. Die andere
ist W(x)-1, die aus dem gleichen Grunde nicht kleiner als 0 ist. Das
erlaubt mir, die Wurzel aus x*W(x)-x als Produkt dieser beiden Zahlen zu
schreiben: W(x) * W(W(x)-1). Und genau das habe ich geschrieben.

> Aber glücklicherweise geht's trotzdem so weiter:

> ...
> OK, hier hast du ... Glück gehabt,

Das ist halt das Glück des Tüchtigen. Schönen Dank fürs Durchschauen.

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 01.09.2021 um 17:25 schrieb Ulrich Diez:
>
> Rainer Rosenthal schrieb:
>
Du hast den Zeitstempel vergessen. Das stammt vom 30.08.2021, 15:11 Uhr.

>>
>> Für reelle a und b gilt Wurzel(a*b) = Wurzel(a) * Wurzel(b).
>>

Und das ist längst korrigiert worden nach langohrigen Hinweisen. In
meinem ordentlichen Beweis (31.08.2021, 11:32) steht "beide Faktoren
nicht-negativ".

Bitte schau Dir lieber den ordentlichen Beweis an!

Inzwischen hat die Gleichung Wurzel(a*b) = Wurzel(a) * Wurzel(b) sogar
einen eigenen Thread spendiert bekommen. Darin wird in Eulers "Algebra"
gestöbert, und es wird ausgelotet, wie weit man an "historische Texte
moderne Maßstäbe anlegen" darf, und ob frühere Mathematiker das Recht
hatten, den Begriff "Quadratwurzel" in einer Weise zu verwenden, die
sich von der unterscheidet, die Hunderte von Jahren später üblich
geworden ist.

Die Antwort scheint mir in beiden Fällen "ja" zu sein, aber für das
Wichtigste halte ich, einen Text auch vollständig zu lesen, bevor man
daran rumkritisiert.

Gruß,
Rainer

[Carlo XYZ]

Rainer Rosenthal schrieb am 01.09.21 um 19:09:

>>> Behauptung: Die Gleichung W(x*W(x)-x) + W(x) = x hat in den
>>>             reellen Zahlen die Lösungsmenge { 0, 1, 4}.
>>>
>>> Beweis: Es gilt x*W(x)-x = x*(W(x)-1). Wenn x >= 1 ist, dann sind
>>> beide Faktoren nicht-negativ, d.h. es gilt W(x*(W(x)-1)) = W(x) *
>>> W(W(x)-1).
>>
>> Letzteres stimmt schon mal nicht. Die erste -1 sollte -x lauten.
>
> Sollte sie das wirklich? Du wirst mir das bestimmt gerne zeigen, weil

Die erste -1 in "Letzterem", also die erste -1 nach "d.h.".

> ich es nicht sehe. Ich sehe exakt das, was ich schreiben wollte.
> x*W(x)-x wird als Produkt nicht-negativer Zahlen geschrieben. Die eine
> Zahl ist x, die nach Voraussetzung nicht kleiner als 1 ist. Die andere
> ist W(x)-1, die aus dem gleichen Grunde nicht kleiner als 0 ist. Das
> erlaubt mir, die Wurzel aus x*W(x)-x als Produkt dieser beiden Zahlen zu
> schreiben: W(x) * W(W(x)-1). Und genau das habe ich geschrieben.

Nein. Außer wenn dein Texteditor anders funktioniert als meiner.

Es ist zwar nur ein Typo, hat aber trotzdem Zeit gekostet.

>> Aber glücklicherweise geht's trotzdem so weiter:
>> ...
>> OK, hier hast du ... Glück gehabt,
>
> Das ist halt das Glück des Tüchtigen. Schönen Dank fürs Durchschauen.

You're welcome.

[Rainer Rosenthal]

Am 01.09.2021 um 20:12 schrieb Carlo XYZ:
#
# ..., d.h. es gilt W(x*(W(x)-1)) = W(x) * W(W(x)-1).
#

> Letzteres stimmt schon mal nicht. Die erste -1 sollte -x lauten.
>

> (Die erste -1 in "Letzterem", also die erste -1 nach "d.h.".)
>

Wenn ich mit meinem in Verdacht geratenen Texteditor die von Dir
vorgeschlagene Änderung vornehme, kommt das heraus:

W(x*(W(x)-x)) = W(x) * W(W(x)-1) <=== ?????

Glücklicherweise habe ich das nicht geschrieben. Ich hatte doch
erläutert, dass es um die Umformung des ersten Summanden der Gleichung
im Thread-Titel ging: Wurzel(x*Wurzel(x)-x).
#
# x*W(x)-x wird als Produkt nicht-negativer Zahlen geschrieben. Die eine
# Zahl ist x, die nach Voraussetzung nicht kleiner als 1 ist. Die andere
# ist W(x)-1, die aus dem gleichen Grunde nicht kleiner als 0 ist. Das
# erlaubt mir, die Wurzel aus x*W(x)-x als Produkt dieser beiden Zahlen
# zu schreiben: W(x) * W(W(x)-1). Und genau das habe ich geschrieben.
#

Gruß,
RR

[Carlo XYZ]

Rainer Rosenthal schrieb am 01.09.21 um 21:03:

Stimmt. Ich hatte mich in der Klammerlandschaft verlaufen.
=> Ich nehme diesen Kommentar zurück und behaupte das Gegenteil.

[Rainer Rosenthal]

Am 01.09.2021 um 21:42 schrieb Carlo XYZ:
>
> Stimmt. Ich hatte mich in der Klammerlandschaft verlaufen.
> => Ich nehme diesen Kommentar zurück und behaupte das Gegenteil.

Danke. Ist doch schön, wenn ich mal nicht blind war :-)

Gruß,
RR

[Carlo XYZ]

Carlo XYZ schrieb am 01.09.21 um 21:42:

> => Ich nehme diesen Kommentar zurück und behaupte das Gegenteil.

Eine Frage der Ehre, dass ich die anderen Kommentare untermauere.
Hier ist zumindest mal einer zur Präsentation.

Statt jedoch den (jetzt zertifizierten;-) RR-Beweis
zu reproduzieren, biete ich einen etwas anderen an.
Viel anders ist er naturgemäß nicht, bei dem Problem;
aber die innewohnende quadratische Gleichung ist von
einer einfachen Form: nur z^2-z=0, d.h. (z*(z-1)=0.

Zu zeigen: W( x*W(x) - x ) + W(x) = x hat auf dem
reellen Definitionsbereich (x=0 oder x>=1) genau
die Lösungen x=0, x=1 und x=4.

Beweis:

x=0 ist eine Lösung.

Sei x>=1 und reell.

W( x*W(x) - x ) + W(x) = x

gdw. ( links x ausklammern; W(x) nach rechts; x = W(x)*W(x) nutzen )

W( x*(W(x) - 1) ) = W(x)*W(x) - W(x)

gdw. ( links W(x*(W(x) - 1)) = W(x)*W(W(x) - 1)) nutzen )

W(x)*W(W(x) - 1) = W(x)*W(x) - W(x)

gdw. ( durch W(x) teilen; geht wegen x\neq 0 und daher W(x)\neq 0 )

W(W(x) - 1) = W(x) - 1

gdw. ( Substitution z=W(x)-1; W(z)=z hat genau 2 Lösungen z=0,z=1 )

W(x)-1 = 0 oder W(x)-1 = 1

Im ersten Fall ist W(x) = 1, demnach x = 1;
im zweiten Fall ist W(x) = 2, demnach x = 4.

[Rainer Rosenthal]

Am 01.09.2021 um 22:49 schrieb Carlo XYZ:
> Carlo XYZ schrieb am 01.09.21 um 21:42:
>
>> => Ich nehme diesen Kommentar zurück und behaupte das Gegenteil.
>
> Eine Frage der Ehre, dass ich die anderen Kommentare untermauere.
> Hier ist zumindest mal einer zur Präsentation.
>

Sieht gut aus.

Gruß,
RR

[Carlo XYZ]

Rainer Rosenthal schrieb am 02.09.21 um 00:45:

> Am 01.09.2021 um 22:49 schrieb Carlo XYZ:

>> Hier ist zumindest mal einer zur Präsentation.
>>
> Sieht gut aus.

:-)

Der Aufgabensteller hat sich ein paar Gedanken gemacht.
Trotzdem hinterlässt die Aufgabe bei mir ein ungutes
Gefühl. Die Argumente sind in [1] und [2] ganz gut
zusammengefasst. BTW las ich eben erst in [1]. Dort
werden zwei Lösungswege unterschieden: einer mit dem
Kürzen von W(x) und ein anderer mit der quadratischen
Gleichung w^2-3w+2=0, die ja auch beide hier vorkamen.

[1]
<https://www.frankfurt-university.de/fileadmin/standard/Hochschule/Fachbereich_1/Kontakt/Lehrkraft_fuer_besondere_Aufgaben/Baumann_Astrid/Dokumente/BaumannVortragBrandbriefMainz160318HOME.pdf>

[2] <https://www.hlb.de/uploads/tx_news/DNH_2013-5.pdf>

[Ulrich Diez]

Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 30. August 2021 um 00:04:03 UTC+2:

> Die im Titel genannte Gleichung

-- sie lautet: Wurzel(x*Wurzel(x)-x) + Wurzel(x) = x --

> war vor einigen Jahren bei Debatten um
> Sinn und Unsinn der Schulmathematik aufgetaucht.
[...]
> Ich hatte eine
> quadratische Gleichung zu lösen und dann eine der beiden Lösungen als
> ungeeignet verwerfen müssen, was ja an sich nicht unehrenhaft ist, aber
> eben nicht schön.

Ich denke, ich habe einen Lösungsweg gefunden, der ohne das
Lösen quadratischer Gleichungen auskommt.

Aber an einer Stelle kommt im Rahmen einer Schlussfolgerung
das "Quadrieren" vor, was keine logische Äquivalenz (hin- und
rückreichende Folgerung), sondern lediglich eine hinreichende
Folgerung darstellt, sodass mit allen infragekommenden
Lösungen die Probe gemacht werden muss.

Abgesehen davon habe ich fröhlich hin- und hersubstituiert.

> Beim zweiten Anlauf habe ich die Aufgabe wirklich elegant erledigen
> können, und ich würde mich freuen, wenn andere dsm-Leser ebenfalls nach
> Lösungen suchen würden.

Es folgt eine Darstellung meiner Suche.

Ob sie elegant ist, lasse ich dahingestellt, da es durchaus
vorkommt, dass mir bei meinen Darlegungen das Gefühl
dafür fehlt, was Mathematiker/innen als elegant empfinden
und was nicht.

!!! Beim Suchen der Lösungen musste ich denken.
Deshalb kann ich die Fehlerfreiheit meiner Suche nicht
garantieren !!!

Ich habe mich bemüht, die Sache mithilfe von logischen
Äquivalenzen bei verknüpften Bedingungen und hinreichenden
Folgerungen aus verknüpften Bedingungen zu erledigen und
von einem zum nächsten Schritt möglichst wenige und
möglichst einfache Umformungen durchzuführen, in der
Hoffnung, dass die Sache dadurch für andere nachvollziehbar ist.

Ich habe mich auch deshalb im Rahmen meiner bescheidenen
Möglichkeiten und Kenntnisse um Nachvollziehbarkeit einzelner
Schritte bemüht, weil ich gerne dazulerne und darauf hoffe,
dass mir alle Fehler, die ich gemacht habe, aufgezeigt werden.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

=================================================================

<-> logische Äquivalenz
--> hinreichende Folgerung
= Gleich
<> Ungleich
; Und

W(x*W(x)-x) + W(x) = x ; x in R
<->
W(x*W(x)-x) = x - W(x) ; x in R
<->
W(x*W(x)-x) = W(x)W(x) - W(x) ; x in R
<->
W(x*W(x)-x) = W(x)*(W(x) - 1) ; x in R

Setze W(x) := K

<->
W(x*K-x) = K*(K - 1) ; x in R ; W(x) = K
<->
W(x*(K-1)) = K*(K - 1) ; x in R ; W(x) = K
--> (An dieser Stelle liegt lediglich eine hinreichende Folgerung,
aber keine logische Äquivalenz vor, denn es ist nicht
vorausgesetzt, dass W(t) für t=x*(K-1) definiert ist.
Also ist nicht sicher, dass der Rückschluss gezogen werden
kann!)
x*(K-1) = K*K*(K - 1)*(K - 1) ; x in R ; W(x) = K

Setze y := K*K*(K - 1)

<->
x*(K-1) = y*(K-1) ; x in R ; W(x) = K ; y = K*K*(K - 1)

Die Produkte auf beiden Seiten der Gleichung in der ersten Bedingung
sind dann und nur dann gleich, wenn mindestens eine der folgenden
zusätzlichen Bedingungen erfüllt ist:
1: (K-1) = 0
2: x = y

(Dies stellt keine Aussage darüber dar, inwieweit das Erfülltsein
dieser zusätzlichen Bedingungen , etwa das "gleichzeitige
Erfülltsein dieser Bedingungen," im Zusammenhang mit den
übrigen Bedingungen zu Widersprüchen und somit nicht auf
Lösungen führt.)

Betrachtung 1: Es gelte die Zusatzbedingung (K-1) = 0

x*(K-1) = y*(K-1) ; x in R ; W(x) = K ; y = K*K*(K - 1) ; (K-1) = 0
<->
x*(K-1) = K*K*(K - 1)*(K-1) ; x in R ; W(x) = K ; (K-1) = 0
<->
x*(K-1) = K*K*(K - 1)*(K-1) ; x in R ; W(x) = K ; K = 1
<->
x*(1-1) = 1*1*(1 - 1)*(1-1) ; x in R ; W(x) = 1 ;
<->
0 = 0 ; x in R ; W(x) = 1 ;
<->
0 = 0 ; x in R ; x = 1 ;
<->
0 = 0 ; x = 1
<->
x = 1

=>
Unter der Zusatzbedingung (K-1) = 0 kommt nur x = 1 als Lösung in Betracht.
Bei der Betrachtung hat das Erfülltsein der Zusatzbedingung x = y
keine Rolle gespielt.

Betrachtung 2: Es gelte die Zusatzbedingung x = y

x*(K-1) = y*(K-1) ; x in R ; W(x) = K ; y = K*K*(K - 1) ; x = y
<->
x*(K-1) = x*(K-1) ; x in R ; W(x) = K ; x = K*K*(K - 1)
<->
x*(W(x)-1) = x*(W(x)-1) ; x in R ; x = W(x)*W(x)*(W(x) - 1)
<->
x*(W(x)-1) = x*(W(x)-1) ; x in R ; x = W(x)W(x)W(x) - W(x)W(x)
<->
x*(W(x)-1) = x*(W(x)-1) ; x in R ; x = W(x)W(x)W(x) - x
<->
x*(W(x)-1) = x*(W(x)-1) ; x in R ; 2x = W(x)W(x)W(x)
<->
x*(W(x)-1) = x*(W(x)-1) ; x in R ; 2W(x)W(x) = W(x)W(x)W(x)
<->
x*(W(x)-1) = x*(W(x)-1) ; x in R ; 2W(x)W(x) = W(x)W(x)W(x) ; x <> 0 bzw W(x) <> 0
oder
x*(W(x)-1) = x*(W(x)-1) ; x in R ; 2W(x)W(x) = W(x)W(x)W(x) ; x = 0 bzw W(x) = 0
<->
x*(W(x)-1) = x*(W(x)-1) ; x in R ; 2 = W(x) ; x <> 0
oder
x*(W(x)-1) = x*(W(x)-1) ; x in R ; 2W(0)W(0) = W(0)W(0)W(0) ; x = 0
<->
x*(W(x)-1) = x*(W(x)-1) ; x in R ; 4 = x ; x <> 0
oder
x*(W(x)-1) = x*(W(x)-1) ; x in R ; 0 = 0 ; x = 0
<->
x*(W(x)-1) = x*(W(x)-1) ; 4 = x ; x <> 0
oder
x*(W(x)-1) = x*(W(x)-1) ; 0 = 0 ; x = 0
<->
x*(W(x)-1) = x*(W(x)-1) ; 4 = x
oder
x*(W(x)-1) = x*(W(x)-1) ; x = 0
<->
4*(W(4)-1) = 4*(W(4)-1) ; 4 = x
oder
0*(W(0)-1) = 0*(W(0)-1) ; x = 0
<->
4 = 4 ; 4 = x
oder
0 = 0 ; x = 0
<->
x = 4
oder
x = 0

=>
Unter der Zusatzbedingung x = y kommen nur
x = 4 und x = 0
als Lösungen in Betracht.
Bei der Betrachtung hat das Erfülltsein der Zusatzbedingung (K-1) = 0
keine Rolle gespielt.


Unter der Annahme, dass beide Zusatzbedingungen erfüllt seien, kommt
ein Widerspruch zustande, denn
einerseits käme dann als Lösung nur x = 1 in Betracht und
andererseits kämen dann als Lösungen nur x = 4 und x = 0 in Betracht.

D.h. es gibt keine Lösungen, bei denen beide Zusatzbedingungen
"gleichzeitig" erfült sind.

Man kann dies auch auf andere Weise nachweisen, denn die
Annahme, beide Zusatzannahmen seien "gleichzeitig" erfüllt, ist
äquivalent zu der Falschaussage 1 = 0:

x*(K-1) = y*(K-1) ; x in R ; W(x) = K ; y = K*K*(K - 1) ; (K-1) = 0 ; x = y
<->
x*(K-1) = y*(K-1) ; x in R ; W(x) = K ; y = K*K*(K - 1) ; K = 1 ; x = y
<->
x*(1-1) = y*(1-1) ; x in R ; W(x) = 1 ; y = 1*1*(1 - 1) ; x = y
<->
x*(0) = y*(0) ; x in R ; W(x) = 1 ; y = 1*1*(1 - 1) ; x = y
<->
0 = 0 ; x in R ; W(x) = 1 ; y = 1*1*(1 - 1) ; x = y
<->
x in R ; W(x) = 1 ; y = 1*1*(1 - 1) ; x = y
<->
x in R ; x = 1 ; y = 0 ; x = y
<->
x = 1 ; y = 0 ; x = y
<->
y = 0 ; 1 = y
<->
1 = 0

=>
Insgesamt kommen nur
x = 0, x = 1 und x = 4
als Lösungen in Betracht.

Da die Schlusskette eine Stelle enthält, die keine
hin- und rückreichende Folgerung (logische Äquivalenz)
darstellt, sondern nur eine hinreichende Folgerung,
muss mit jeder Lösung eine Probe gemacht werden.

Probe mit x = 0:

W(x*W(x)-x) + W(x) = x ; x in R ; x =0
<->
W(0*W(0)-0) + W(0) = 0
<->
0 = 0

Probe mit x = 1:

W(x*W(x)-x) + W(x) = x ; x in R ; x = 1
<->
W(1*W(1)-1) + W(1) = 1
<->
1 = 1

Probe mit x = 4:

W(x*W(x)-x) + W(x) = x ; x in R ; x = 4
<->
W(4*W(4)-4) + W(4) = 4
<->
4 = 4



Ulrich

[Ulrich Diez]

Carlo XYZ schrieb:

> Der Aufgabensteller hat sich ein paar Gedanken gemacht.
> Trotzdem hinterlässt die Aufgabe bei mir ein ungutes
> Gefühl. Die Argumente sind in [1] und [2] ganz gut
> zusammengefasst. BTW las ich eben erst in [1]. Dort
> werden zwei Lösungswege unterschieden: einer mit dem
> Kürzen von W(x) und ein anderer mit der quadratischen
> Gleichung w^2-3w+2=0, die ja auch beide hier vorkamen.
>
> [1]
> <https://www.frankfurt-university.de/fileadmin/standard/Hochschule/Fachbereich_1/Kontakt/Lehrkraft_fuer_besondere_Aufgaben/Baumann_Astrid/Dokumente/BaumannVortragBrandbriefMainz160318HOME.pdf>
>
> [2] <https://www.hlb.de/uploads/tx_news/DNH_2013-5.pdf>

Ich habe mir eben [1] und [2] angeschaut und wieder mal
stellt sich mir bei all der Quadriererei die Frage, warum
kaum jemand den Umstand anspricht, dass man in der
Schulmathematik (nicht erst heutzutage sondern auch
schon zu meiner Schulzeit) nur sehr wenig über Logik
und die Einteilung der in der Schulmathematik
gebräuchlichen Schlussweisen beigebracht bekommt.

Ich bin beileibe kein Top-Notch-Mathematiker.
Trotzdem werde ich immer mal wieder gefragt, ob ich
jüngeren Mitgliedern meiner Verwandtschaft bei den
Mathematik-Schulaufgaben helfen kann.

Immer wieder stoße ich dabei zB auf das Phänomen,
dass den Leuten nicht bewusst ist, ob es sich bei
einem von ihnen gezogenen Schluss um eine
logische Äquivalenz oder nur eine hinreichende
Folgerung handelt.
ZB häufig geführter Dialog:
Frage: Warum muss man, wenn man quadriert hat,
später eine Probe machen?
Antwort: Weil quadratische Gleichungen schwieriger
sind und man deshalb vorsichtshalber nachprüfen
soll, ob man richtig gerechnet hat.
Über "notwendige" und "hinreichende" Bedingungen,
zB für Hoch- und Tiefpunkte, kann man sich auch den
Mund fusselig reden.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Udo]

Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 30. August 2021 um 00:04:03 UTC+2:

> Die im Titel genannte Gleichung war vor einigen Jahren bei Debatten um

> Sinn und Unsinn der Schulmathematik aufgetaucht.
...

> https://www.frankfurt-university.de/fileadmin/standard/Hochschule/Fachbereich_1/
Kontakt/Lehrkraft_fuer_besondere_Aufgaben/Baumann_Astrid/Dokumente/
BaumannVortragBrandbriefMainz160318HOME.pdf

In dem von Rainer angegebenen Link findet sich eine Aufgabe,
über die ich stolpere und wo ich um Hilfe bitte,
da ich den Fehler nicht sehe.

Die Aufgabe Lautet, alle Lösungen anzugeben für
2 * [sin(2x)] = tan(x)

Umformen ergibt:
2 * [2*sin(x)*cos(x)] = sin(x) / cos(x)

(1) Erste Lösung ist x = 0
Wenn diese Lösung ausgeschlossen wird, darf durch sin(x) dividiert werden:

2 * 2 * cos(x)] = 1 / cos(x)
4 cos^2 (x) = 1 bzw.
cos^2 (x) = 1/4
cos(x) =|1/2|

Weitere Lösungen sind demnach da, wo
(2) cos(x) = +1/2 und wo
(3) cos(x) = -1/2 als Funktionswert auftritt.


(2) cos(x) = +1/2 ist bei
x = 2nPi + 1/3 Pi (absteigender Cosinus-Ast)
und
x = 2nPi + 5/3 Pi (aufsteigender Cosinus-Ast)

erfüllt.

(3) cos(x) = -1/2 ist bei
x = 2nPi + 2/3 Pi (absteigender Cosinus-Ast)
und
x = 2nPi + 4/3 Pi (aufsteigender Cosinus-Ast)

erfüllt.

Die Lösungen wären demnach
(1) x= 0
(2) x = 2nPi + 1/3 Pi mit n e Z
x = 2nPi + 5/3 Pi mit n e Z

(3) x = 2nPi + 2/3 Pi mit n e Z
x = 2nPi + 4/3 Pi mit n e Z

Ist diese Lösung überhaupt richtig?
Wolfram alpha gibt was völlig anderes aus und zeigt mir, selbst mit simplify
arbeite nicht die oben angegebene Vereinfachung.

Wo liegt mein (Rechen-)Fehler?
ich seh's einfach nicht.

Danke und Gruß
Udo

[Juergen Ilse]

Udo <udob...@googlemail.com> wrote:
> Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 30. August 2021 um 00:04:03 UTC+2:
>> Die im Titel genannte Gleichung war vor einigen Jahren bei Debatten um
>> Sinn und Unsinn der Schulmathematik aufgetaucht.
> ...
>> https://www.frankfurt-university.de/fileadmin/standard/Hochschule/Fachbereich_1/
> Kontakt/Lehrkraft_fuer_besondere_Aufgaben/Baumann_Astrid/Dokumente/
> BaumannVortragBrandbriefMainz160318HOME.pdf
>
> In dem von Rainer angegebenen Link findet sich eine Aufgabe,
> über die ich stolpere und wo ich um Hilfe bitte,
> da ich den Fehler nicht sehe.
>
> Die Aufgabe Lautet, alle Lösungen anzugeben für
> 2 * [sin(2x)] = tan(x)
>
> Umformen ergibt:
> 2 * [2*sin(x)*cos(x)] = sin(x) / cos(x)
>
> (1) Erste Lösung ist x = 0

Die erste Gruppe von Loesungen wird durch sin(x)=0 charakterisiert, und das
tifft nicht nur fuer x=0 auf, sondern fuer alle Faelle, wo x ein ganzzahliges
Vielfaches von pi ist.

> Wenn diese Lösung ausgeschlossen wird, darf durch sin(x) dividiert werden:

Beachte, dass wir nicht nur x=0 auschliessen muessen (siehe oben).

> 2 * 2 * cos(x)] = 1 / cos(x)
> 4 cos^2 (x) = 1 bzw.
> cos^2 (x) = 1/4
> cos(x) =|1/2|
>
> Weitere Lösungen sind demnach da, wo
> (2) cos(x) = +1/2 und wo
> (3) cos(x) = -1/2 als Funktionswert auftritt.
>
>
> (2) cos(x) = +1/2 ist bei
> x = 2nPi + 1/3 Pi (absteigender Cosinus-Ast)
> und
> x = 2nPi + 5/3 Pi (aufsteigender Cosinus-Ast)
>
> erfüllt.
>
> (3) cos(x) = -1/2 ist bei
> x = 2nPi + 2/3 Pi (absteigender Cosinus-Ast)
> und
> x = 2nPi + 4/3 Pi (aufsteigender Cosinus-Ast)
>
> erfüllt.
>
> Die Lösungen wären demnach
> (1) x= 0
> (2) x = 2nPi + 1/3 Pi mit n e Z
> x = 2nPi + 5/3 Pi mit n e Z
>
> (3) x = 2nPi + 2/3 Pi mit n e Z
> x = 2nPi + 4/3 Pi mit n e Z
>
> Ist diese Lösung überhaupt richtig?

Agesehen davon, dass du die restlichen Faelle fuer sin(x)=0 vergessen hast,
sieht es auf den ersten Blickplausibel aus.

> Wolfram alpha gibt was völlig anderes aus und zeigt mir, selbst mit simplify
> arbeite nicht die oben angegebene Vereinfachung.
>
> Wo liegt mein (Rechen-)Fehler?
> ich seh's einfach nicht.

*Was* gibt denn Wolfram Alpha aus?

Tschuess,
Juegen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Udo]

Juergen Ilse schrieb am Samstag, 11. September 2021 um 14:40:51 UTC+2:

> Agesehen davon, dass du die restlichen Faelle fuer sin(x)=0 vergessen hast,
> sieht es auf den ersten Blickplausibel aus.

Danke - hab ich ungeschickt aufgeschrieben.

> *Was* gibt denn Wolfram Alpha aus?

wolfram alpha gibt für 2*sin(2x)=tan(x) als Lösung aus:

Solutions

x = Pi*n, n element Z

x = Pi*n - (2 Pi)/3, n element Z
x = Pi*n - (4 Pi)/3, n element Z

und unter Alternate forms
wird nicht die o.g. Vereinfachung angegeben.

Deshalb dachte ich, meine Rechnung sei falsch.
Verwirrt mich total.

Danke für die Hilfe

> Tschuess,
> Juegen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Dieter Heidorn]

Udo schrieb:

> Juergen Ilse schrieb am Samstag, 11. September 2021 um 14:40:51 UTC+2:

>> *Was* gibt denn Wolfram Alpha aus?
>
> wolfram alpha gibt für 2*sin(2x)=tan(x) als Lösung aus:
>
> Solutions
>
> x = Pi*n, n element Z
>
> x = Pi*n - (2 Pi)/3, n element Z
> x = Pi*n - (4 Pi)/3, n element Z
>
> und unter Alternate forms
> wird nicht die o.g. Vereinfachung angegeben.
>
> Deshalb dachte ich, meine Rechnung sei falsch.
> Verwirrt mich total.
>

Vielleicht hilft es, wenn du sin(2x) anders auflöst:

2*sin(2*x) = tan(x)

2*2*tan(x)/(1 + tan^2(x)) = tan(x)

Das lässt sich auf die Form bringen:

tan(x)*(3 - tan^2(x)) = 0

Lösungen in ]-pi/2, pi/2[ :

x = 0, x = -pi/3, x = +pi/3

Weitere Lösungen durch Berücksichtigen der Periodizität des Tangens.

Dieter Heidorn

[Udo]

Dieter Heidorn schrieb am Samstag, 11. September 2021 um 16:25:48 UTC+2:

> Vielleicht hilft es, wenn du sin(2x) anders auflöst:
>
> 2*sin(2*x) = tan(x)

---------------------------------------------------------------

> 2*2*tan(x)/(1 + tan^2(x)) = tan(x)

---------------------------------------------------------------

Das hab ich leider nicht verstanden.
(Auch meine Formelsammlung gibt nichts her.)
Könntest Du diese Umformung evtl. kurz erklären?
Wäre toll. Der Rest scheint mir klar.

Vielen Dank für Deine Hilfe und Grüße
Udo

[Dieter Heidorn]

Udo schrieb:

> Dieter Heidorn schrieb am Samstag, 11. September 2021 um 16:25:48 UTC+2:
>
>> Vielleicht hilft es, wenn du sin(2x) anders auflöst:
>>
>> 2*sin(2*x) = tan(x)
>
> ---------------------------------------------------------------
>> 2*2*tan(x)/(1 + tan^2(x)) = tan(x)
> ---------------------------------------------------------------
>
> Das hab ich leider nicht verstanden.
> (Auch meine Formelsammlung gibt nichts her.)

Für den Sinus des doppelten Winkels gilt nicht nur die von dir
verwendete Beziehung

sin(2*x) = 2*sin(x)*cos(x),

sondern auch die Beziehung

sin(2*x) = 2*tan(x)/(1 + tan^2(x)).

Zum Nachschlagen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Doppelwinkelfunktionen

Du kannst sie auch durch Umformen der ersten Beziehung gewinnen:

sin(2*x) = 2*sin(x)*cos(x)

2*sin(x)*cos(x)
= --------------------- | kürzen mit cos^2(x)
cos^2(x) + sin^2(x)

2*sin(x)/cos(x)
= -----------------------
1 + sin^2(x)/cos^2(x)

2*tan(x)
= --------------
1 + tan^2(x)

Dieter Heidorn

[Udo]

Dieter Heidorn schrieb am Samstag, 11. September 2021

> Für den Sinus des doppelten Winkels gilt nicht nur die von dir
> verwendete Beziehung
>
> sin(2*x) = 2*sin(x)*cos(x),
>
> sondern auch die Beziehung
>
> sin(2*x) = 2*tan(x)/(1 + tan^2(x)).
>

Ich hab in meiner Formelsammlung aus der Oberstufe (ist 50 Jahre her)
nachgeschaut, und da ist diese Äquivalenz tatsächlich nicht aufgeführt.
Danke für die Nachhilfe und Sorry, dass ich da nicht von alleine drauf
gekommen bin. Ich muss mich halt doch der "Neuzeit" öffnen :-)

> Zum Nachschlagen:
> https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Doppelwinkelfunktionen
> Du kannst sie auch durch Umformen der ersten Beziehung gewinnen:
>
> sin(2*x) = 2*sin(x)*cos(x)
>
> 2*sin(x)*cos(x)
> = --------------------- | kürzen mit cos^2(x)
> cos^2(x) + sin^2(x)
>
> 2*sin(x)/cos(x)
> = -----------------------
> 1 + sin^2(x)/cos^2(x)
>
> 2*tan(x)
> = --------------
> 1 + tan^2(x)
>

Jetzt ist mir's klar.
Ganz Herzlichen Dank!

Noch eine kleine Anmerkung zu der für mich vertrackten Aufgabe:
Der erste Fehler ist mir unterlaufen, weil ich das "Kleingedruckte" nicht
gelesen hatte. In der Aufgabe steht, man solle "alle Lösungen" angeben.

Das hatte ich - wie gesagt - überlesen und die Aufgabe zunächst tatsächlich
so verstanden, dass man den Term links durch geeignete Umformungen
in den Term rechts überführen solle. Ich ging davon aus, die wären äquivalent
und ich kenne das halt nur nicht.
Dieser Fehler hat mich mehrere Stunden vergeblicher Versuche
gekostet, bis mir endlich das Licht aufging.

> Dieter Heidorn

[Juergen Ilse]

Hallo,

Udo <udob...@googlemail.com> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am Samstag, 11. September 2021 um 14:40:51 UTC+2:
>
>> Agesehen davon, dass du die restlichen Faelle fuer sin(x)=0 vergessen hast,
>> sieht es auf den ersten Blickplausibel aus.
>
> Danke - hab ich ungeschickt aufgeschrieben.
>
>> *Was* gibt denn Wolfram Alpha aus?
>
> wolfram alpha gibt für 2*sin(2x)=tan(x) als Lösung aus:
>
> Solutions
>
> x = Pi*n, n element Z

Das sind die Loesungen mit sin(x)=0

> x = Pi*n - (2 Pi)/3, n element Z

Hier werden die von dir ermittelten Faelle:

x = 2nPi + 1/3 Pi

und
x = 2nPi + 4/3 Pi ( = (2n+1)*Pi + 1/3 Pi )
zusammengefasst.

> x = Pi*n - (4 Pi)/3, n element Z

Hier entsprechend. Es werden die beiden in deiner Loesung verbliebenen
Moeglichkeiten:
x = 2nPi + 2/3 Pi ( = (2n+2)Pi - 4/3 Pi )
und
x = 2nPi + 5/3 Pi ( = (2n+3)*Pi - 4/3 Pi )
zusammengefasst.

> und unter Alternate forms
> wird nicht die o.g. Vereinfachung angegeben.

Das, was Wolfram da ausgibt, benoetigt weniger Fallunterscheidungen, ist
also insofern "die einfachereLoesung". Folglich wirst du mit "Vereinfachung"
kaum die von dir ermittelte Loesung bekommen ...

> Deshalb dachte ich, meine Rechnung sei falsch.
> Verwirrt mich total.

Ich hoffe ein bischen zur Klaerung beigetragen zu haben.

Tchuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Udo]

Juergen Ilse schrieb am Samstag, 11. September 2021 um 22:59:55 UTC+2:
...

> Hier werden die von dir ermittelten Faelle:
> x = 2nPi + 1/3 Pi
> und
> x = 2nPi + 4/3 Pi ( = (2n+1)*Pi + 1/3 Pi )
> zusammengefasst.
> > x = Pi*n - (4 Pi)/3, n element Z
> Hier entsprechend. Es werden die beiden in deiner Loesung verbliebenen
> Moeglichkeiten:
> x = 2nPi + 2/3 Pi ( = (2n+2)Pi - 4/3 Pi )
> und
> x = 2nPi + 5/3 Pi ( = (2n+3)*Pi - 4/3 Pi )
> zusammengefasst.

Vielen Dank für's Vorrechnen. Ich hab das irgendwie nicht ganz hinbekommen
und bin jetzt Dank Deiner und Dieters Hilfe soweit, dass ich alles verstanden habe.

> Ich hoffe ein bischen zur Klaerung beigetragen zu haben.

Absolut.
Ich weiß das zu schätzen, dass Ihr Euch die Mühe gemacht habt, auf sicherlich
keinem so hohen mathematischen Niveau etwas Nachhilfe zu erteilen.

Im Übrigen finde ich die Aufgaben, die sich in dem von Rainer angegebenen
Link finden, sehr spannend und durchaus anspruchsvoll. Wenn man jetzt noch
versucht, das Ganze unter Zeitfruck zu lösen wie in einer Klausur, wird's
richtig gut. Man darf sich kaum Rechenfehler leisten, weil die Zeit
ansonsten schnell knapp wird.
Würde mich interessieren, ob sonst noch jemand die Aufgaben gelöst hat und wie
die Fachleute das Niveau einschätzen.

Einfach nochmals Danke an alle und
Freundliche Grüße
Udo

> Tchuess,
> Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)