exp niemals 0
Thomas Heintke
Wie kann man möglichst elegant zeigen, daß die komplexe
Exponentialfunktion niemals 0 ist?
Viele Grüße
Thomas
phil
ich denke das könnte man so zeigen: exp(x)=e^x, wobei e die Eulersche
Zahl ist. Dabei ist es die Regel, dass man in diesem Zusammenhang
annimmt, exp(0)=1. Angenommen es gäbe nun ein x mit exp(x)=0. Dann würde
gelten exp(0)=exp(x-x)=exp(x)*exp(-x)=0. Und da haben wir den Widerspruch.
phil.
Peter Niessen
> Hallo!
>
> Wie kann man möglichst elegant zeigen, daß die komplexe
> Exponentialfunktion niemals 0 ist?
In dem man unter Beachtung der üblichen Potenzgesetze die Reihenentwicklung
von exp(z) für komplexes z betrachtet?
exp(a+ib)=exp(a)*exp(ib)
nun gilt doch exp(0)=1 und exp(i0)=1 oder?
Das ist offensichtlich der einzige Fall in dem alle Glieder der Reihe
ausser dem erstem gleich Null sind.
In jedem anderen Fall hast du die Summe der Reihen von
r(cos(phi)+i(sin(phi))
cos und sin ist nie gleichzeitig Null.
--
Mit freundlichen Grüssen
Peter Nießen
Lukas-Fabian Moser
> Wie kann man möglichst elegant zeigen, daß die komplexe
> Exponentialfunktion niemals 0 ist?
Das haengt wohl von der gewaehlten Definition der komplexen
Exponentialfunktion ab. Ein Vorschlag: ist exp' = exp bekannt, so
liefert Differenzieren d/dx (exp(x) exp(-x)) = 0, also gilt exp(x)
exp(-x) = exp(0) exp(-0) = 1. (Auf die gleiche Art kann man sogar die
Funktionalgleichung exp(x + y) = exp(x) + exp(y) erhalten.)
Lukas
Jutta Gut
"phil" <phi...@web.de> schrieb
> Thomas Heintke schrieb:
>> Hallo!
>>
>> Wie kann man möglichst elegant zeigen, daß die komplexe
>> Exponentialfunktion niemals 0 ist?
>
> ist. Dabei ist es die Regel, dass man in diesem Zusammenhang annimmt,
> exp(0)=1. Angenommen es gäbe nun ein x mit exp(x)=0. Dann würde gelten
> exp(0)=exp(x-x)=exp(x)*exp(-x)=0. Und da haben wir den Widerspruch.
Es wäre dann sogar exp(y) = 0 für alle y aus C, denn
exp(y) = exp(y-x+x) = exp(y-x)*exp(x) = exp(y-x)*0
Also: Wenn die Exponentialfunktion an irgendeiner Stelle ungleich 0 ist,
dann muss sie überall ungleich 0 sein.
Grüße
Jutta
Roland Franzius
> Hallo!
>
> Wie kann man möglichst elegant zeigen, daß die komplexe
> Exponentialfunktion niemals 0 ist?
Weil e^-y holomorph in C ist.
--
Roland Franzius
Christian Kortes
> Wie kann man möglichst elegant zeigen, daß die komplexe
> Exponentialfunktion niemals 0 ist?
Aus exp(z+w) = exp(z)exp(w) und exp(0) = 1 folgt
exp(z)exp(-z) = 1
für alle z.
Christopher Creutzig
> cos und sin ist nie gleichzeitig Null.
Das ist richtig, aber ich würde es dadurch beweisen, dass sonst exp
Null wäre, was wie schon von anderen geschrieben leicht aus der
Funktionalgleichung oder der definierenden DGl folgt. Wie beweist Du den
oben zitierten Satz, wenn Du exp(z)<>0 noch nicht verwenden kannst?
Gruß,
Christopher
Carsten Schultz
> Thomas Heintke schrieb:
>> Hallo!
>>
>> Wie kann man möglichst elegant zeigen, daß die komplexe
>> Exponentialfunktion niemals 0 ist?
>>
>> Viele Grüße
>> Thomas
> Hi,
>
> ich denke das könnte man so zeigen: exp(x)=e^x, wobei e die Eulersche
> Zahl ist.
Wie definierst Du dabei y^x? Das macht man üblicher Weise mit Hilfe
der Exponentialfunktion.
> Dabei ist es die Regel, dass man in diesem Zusammenhang
> annimmt, exp(0)=1. Angenommen es gäbe nun ein x mit exp(x)=0. Dann würde
> gelten exp(0)=exp(x-x)=exp(x)*exp(-x)=0. Und da haben wir den Widerspruch.
Ich würde auch vorschlagen, zunächst die Funktionalgleichung
exp(x+y) = exp(x) * exp(y) zu zeigen.
Gruß,
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
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Peter Niessen
Ok etwas anders:
exp(a+bi)=exp(a)*exp(bi) =>
exp(a)*(cos(b)+i*sin(b)) =>
(cos(b)+i*sin(b))*(cos(b)-i*sin(b))=cos^2(b)+sin^2(b)=1
Also gilt:
|exp(ib)|=1 und somit:
|exp(a)|*1
Die Reihenentwicklung von exp(x) macht man zwar üblicherweise über die DGL
aber es geht auch elementar über die binomischen Sätze.
Die Herleitung ist etwas langathmig aber steht zum Beispiel bei
Perron Irrationalzahlen
Unter: Begründung der Logarithmen.
exp(ib)=(cos(b)+i*sin(b))
Lässt sich auch elementar geometrisch zeigen, ist aber ebenfalls mühselig.