Vorzeichen und Operator 'minus'
Jon J Panury
Sie lernen, dass es eine Verknüpfung namens "Subtraktion" gibt und
dass der Operator '-' geschrieben wird und "minus" heißt.
Sie lernen, dass es "negative Zahlen" gibt, und dass Zahlen ein
Vorzeichen haben, und dass, im Falle eine Zahl negativ ist (aber eben
nur dann), ihr Vorzeichen auch geschrieben wird: es wird '-'
geschrieben und heißt "minus".
Na Klasse!
Ich finde ja, dass eines von beiden Konzepten völlig ausreichend ist;
dass nämlich die "Subtraktion" überflüssig ist und eigentlich nur aus
didaktischen Gründen in der Welt: für Schulkinder, die wohl
Differenzen bilden lernen sollen, aber noch keine negativen Zahlen
kennen.
Kann man das so sagen?
hjrein
Bedeutungen benutzt:
In dem Term -(7-(-5)) ist das erste Minuszeichen ein INVERSIONSZEICHEN
(es wird das "Negative" eines anderen Termes gebildet), das zweite
Minuszeichen ist ein VERKNÜPFUNGSZEICHEN (für die Verknüpfung
"Subtraktion") und das dritte Minuszeichen ist ein VORZEICHEN (es
dient zur Bezeichnung von negativen Zahlen).
Bei -5 ist das Minuszeichen also ein Vorzeichen, bei -a aber ein
Inversionszeichen. Da -5 aber nicht nur "Minusfünf" ist, sondern auch
das "Negative von 5", und weiter a-b = a+(-b) ist, macht es keinen
Sinn, die drei verschiedenen Bedeutungen des Minuszeichens durch drei
verschiedene Zeichen unterscheiden zu wollen. Ein solches Unterfangen
würde das Ganze nur äußerst schwerfällig machen und wäre extrem
unpraktisch.
Roland Franzius
Aber wo bleibt dann die Alles Logische in sich fassende Schulsentenz -*-=+,
die den homo sapiens vom stultus zu differenzieren gestattet.
--
Roland Franzius
Roland Damm
Jon J Panury schrub:
> Ich finde ja, dass eines von beiden Konzepten völlig
> ausreichend ist; dass nämlich die "Subtraktion" überflüssig ist
> und eigentlich nur aus didaktischen Gründen in der Welt: für
> Schulkinder, die wohl Differenzen bilden lernen sollen, aber
> noch keine negativen Zahlen kennen.
Wie willst du dann 6-2 schreiben? Wenn das '-' nur ein Vorzeichen
ist, wo ist dann in obigem Ausdruck das Rechenzeichen? Dann
müsstest du die Leute dazu bringen, dass sie schreiben 6+(-2).
Das ist umständlich. So gesehen ist die übliche Verwendung nur
eine Vereinfachung der Schreibweise.
CU Rollo
Stephan Gerlach
[Schüler]
> Sie lernen, dass es "negative Zahlen" gibt, und dass Zahlen ein
> Vorzeichen haben, und dass, im Falle eine Zahl negativ ist (aber eben
> nur dann), ihr Vorzeichen auch geschrieben wird: es wird '-'
> geschrieben und heißt "minus".
Man möchte ja die "Vier" und die "MinusVier" irgendwie "optisch"
unterscheiden können. Da genügt es allerdings, 4 und -4 zu schreiben;
der Unterschied ist im wahrsten Sinne des Wortes bereits ersichtlich. +4
und -4 ist i.a. unnötig.
> Ich finde ja, dass eines von beiden Konzepten völlig ausreichend ist;
> dass nämlich die "Subtraktion" überflüssig ist und eigentlich nur aus
> didaktischen Gründen in der Welt: für Schulkinder, die wohl
> Differenzen bilden lernen sollen, aber noch keine negativen Zahlen
> kennen.
Normalerweise gibt es (additive) Gruppen, die Elemente enthalten und
u.a. zu jedem Element a aus der Gruppe ein inverses Element, das man
dann -a nennt. Nun kann man daher kommen und ein beliebiges Element b
aus der Gruppe mit dem Inversen von a additiv von b verknüpfen, also die
Summe a+(-b) berechnen. Den Vorgang
"das Inverse eines Gruppenelements b zu einem anderen Gruppenelement a
addieren"
nennt man dann der Einfachheit halber
"Subtraktion"
und schreibt statt a+(-b) der Einfachheit halber a-b.
Zudem hat a-b im Bereich der reellen Zahlen eine praktische Bedeutung,
nämlich "Wegnehmen":
A: "Ich habe 5 EURO."
B: "Ich nehme dir jetzt mal 2 EURO weg."
A: "Ups, jetzt habe ich nur noch 3 EURO, weil du mir 2 EURO weggenommen
hast."
Das war jetzt (didaktisch) 5-2.
a+(-b) kann als "etwas Negatives geben" interpretiert werden:
A: "Ich habe 5 EURO auf dem Konto."
B: <denkt> 'Ich bin in den Miesen; habe -2 EURO auf dem Konto.'
B: "Ich werde das gesamte Guthaben von meinem Konto auf deines
überschreiben."
A: "Ups, jetzt habe ich nur noch 3 EURO auf dem Konto, weil das, was du
mir gegeben hast, ein negativer Betrag war."
Das war 5+(-2).
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Jon J Panury
Helmut Richter
> Man möchte ja die "Vier" und die "MinusVier" irgendwie "optisch" unterscheiden
> können. Da genügt es allerdings, 4 und -4 zu schreiben; der Unterschied ist im
> wahrsten Sinne des Wortes bereits ersichtlich. +4 und -4 ist i.a. unnötig.
Nur am Anfang des Terms ist es mehrdeutig: "-4+3" ist eine Summe, deren
ersten Summand entweder die "-4" ist oder aber die "4" mit einem unären
"-". Es kommt zwar dasselbe heraus, aber wer zum Beispiel einen Compiler
schreibt, muss sich in der Grammatik festlegen, was gemeint ist. Meist
lässt man nur *vorzeichenlose* Zahlen zu, damit "-4" genauso interpretiert
wird wie "-a" und weil sonst die gewöhnliche Interpretation von "-3^2"
(wobei "^" entweder ein Zeichen wie in Programmiersprachen sein oder die
Hochstellung des Exponenten andeuten kann) als "-(3^2)" nicht vermittelbar
wäre.
Die Prioritätsregeln mal genau aufzuschreiben und nicht nur "Punkt vor
Strich" (blöde Regel, weil kein Mensch Punkte beim Dividieren schreibt),
wäre auch eine didaktisch wertvolle Aufgabe. Zum Nachdenken:
1/ab würde ich als 1/(a·b) lesen.
1/a·b würde ich als (1/a)·b lesen.
ab^c würde als a·(b^c) lesen.
-a^b würde ich als -(a^b) lesen.
a^b^c würde ich als a^(b^c) lesen.
Alles Dinge, die mit "Punkt vor Strich" nicht erschlagen werden.
--
Helmut Richter
Joachim Mohr
> ab^c würde als a·(b^c) lesen.
> -a^b würde ich als -(a^b) lesen.
"Potenzieren vor Punkt- und Strichrechnung".
Beliebte Übung:
Was ist -2^2 von (-2)^2 verschieden?
MFG Joachim
--
Joachim Mohr Tübingen
http://www.joachimmohr.de/neu.html
Joachim Mohr
> Normalerweise gibt es (additive) Gruppen, die Elemente enthalten und
> u.a. zu jedem Element a aus der Gruppe ein inverses Element, das man
> dann -a nennt. Nun kann man daher kommen und ein beliebiges Element b
> aus der Gruppe mit dem Inversen von a additiv von b verknüpfen, also die
> Summe a+(-b) berechnen. Den Vorgang
> "das Inverse eines Gruppenelements b zu einem anderen Gruppenelement a
> addieren"
> nennt man dann der Einfachheit halber
> "Subtraktion"
> und schreibt statt a+(-b) der Einfachheit halber a-b.
Was auf dasselbe hinausläuft:
Definition:
a-b ist das (eindeutig definierte) Element,
das ich zu a addieren muß, um b zu erhalten.
x=a-b <=> a+x=b
Definition: Das Inverse zu a werde mit -a bezeichnet:
Satz: a-b = a+(-b)
(Gilt auch im Vektorraum)
Joachim Mohr
> ab^c würde als a·(b^c) lesen.
> -a^b würde ich als -(a^b) lesen.
"Potenzieren vor Punkt- und Strichrechnung".
Beliebte Übung:
Was ist der Unterschied von -2^2 und (-2)^2 ?
Helmut Richter
> Helmut Richter schrieb:
>
> > ab^c würde als a·(b^c) lesen.
> > -a^b würde ich als -(a^b) lesen.
>
> "Potenzieren vor Punkt- und Strichrechnung".
... auch wenn die Multiplikation ohne Punkt geschrieben wird, in welchem
Fall diese zwar stärker bindet als die Division (wenigstens wenn die mit
Schrägstrich notiert wird), aber immer noch schwächer als die
Potenzierung.
Auch eine Übung:
Was ist "x/yz^k"? In nullter und erster Näherung unübersichtlicher Mist,
aber dann doch leidlich auflösbar als x/(y·z^k).
--
Helmut Richter
Stephan Gerlach
> Die Prioritätsregeln mal genau aufzuschreiben und nicht nur "Punkt vor
> Strich" (blöde Regel, weil kein Mensch Punkte beim Dividieren schreibt),
> wäre auch eine didaktisch wertvolle Aufgabe. Zum Nachdenken:
>
> 1/ab würde ich als 1/(a·b) lesen.
> 1/a·b würde ich als (1/a)·b lesen.
Interessant; mein alter Casio Taschenrechner macht es, zumindest wenn
ich für "geteilt_durch" das Zeichen : verwende, genauso. Weise ich der
Variablen a den Wert 4 und b den Wert 2 zu, so erhalte ich mit diesen
gespeicherten Werten folgende Ausgaben:
1:ab = 0.125
1:a·b = 0.5
Verwende ich hingegen für "geteilt_durch" das Bruch-Zeichen, erhalte ich
in beiden Fällen
1/ab = 0.5
1/a·b = 0.5.
> ab^c würde als a·(b^c) lesen.
> -a^b würde ich als -(a^b) lesen.
Mein Taschenrechner ist da, genau wie ich, derselben Meinung.
> a^b^c würde ich als a^(b^c) lesen.
Ich nicht. 2 Potenzrechnungen sind einander gleichberechtigt; also gilt
IMHO "was ich zuerst lese, wird zuerst berechnet"; also erst a^b, dann
das Ergebnis davon ^c. Potenzierung ist dummerweise nicht assoziativ;
genausowenig wie Subtraktion, wo ja mit a-b-c auch (a-b)-c und nicht
a-(b-c) gemeint ist.
Der Taschenrechner ist übrigens derselben Meinung; mit a=2, b=4, c=3:
a^b^c = 4096
a^(b^c) = 65536.
> Alles Dinge, die mit "Punkt vor Strich" nicht erschlagen werden.
Allerdings.
Bastian Erdnuess
> Meist
> lässt man nur *vorzeichenlose* Zahlen zu, damit "-4" genauso interpretiert
> wird wie "-a" und weil sonst die gewöhnliche Interpretation von "-3^2"
> (wobei "^" entweder ein Zeichen wie in Programmiersprachen sein oder die
> Hochstellung des Exponenten andeuten kann) als "-(3^2)" nicht vermittelbar
> wäre.
Excel iterpretiert
=-3^2
als (-3)^2 = 9, was mir schon etliches an Nerven gekostet hat. (Version
2008 fürn Mac).
Bastian
Bastian Erdnuess
> Was ist "x/yz^k"? In nullter und erster Näherung unübersichtlicher Mist,
> aber dann doch leidlich auflösbar als x/(y·z^k).
Für mich wäre das ganz klar (x/y) * z^k -- wenn es nicht noch klarer
etwas anderes wäre.
In Stein-Shakarchi - Complex Analysis hab ich hier aber auch gerade erst
wieder 1/2pi für 1/(2pi) gefunden (S. 179, Aufg. 16).
Auch bei Summen und Produkten nehmen es viele nicht so genau. Für mich
ist z. B. sum a + b gleich (sum a) + b und nicht sum (a + b).
Genauso les ich prod a b als (prod a) b und nicht als prod (a b), viele
machen das hier aber anders. Z. B. Stein-Shakarchi wieder -- die sind
aus Princton und da sollte man doch eigentlich meinen, die sollten mit
gutem Beispiel vorangehen.
[Naja, ich glaube das gilt dort nicht als Mangel, sondern als Feature,
dass man so die Studenten dazu bringt, bei jeder Zeile genau darüber
nachzudenken, was denn nun "gemeint" ist.]
Bastian
Klaus Wulff
Element ein Inverses. (a - b) ist einfach eine Abkürzung für (a + (-b)).
Man macht das nicht wegen der Schulkinder, sondern weil es eine
praktische Abkürzung ist, ohne die die Texte nur unübersichtlicher würden.
Gruß
Klaus
Helmut Richter
> Das kann man fast so sagen. Es gibt die Addition und es gibt zu jedem Element
> ein Inverses. (a - b) ist einfach eine Abkürzung für (a + (-b)). Man macht das
> nicht wegen der Schulkinder, sondern weil es eine praktische Abkürzung ist,
> ohne die die Texte nur unübersichtlicher würden.
Ergo: innerhalb der natürlichen Zahlen kann man nur die Null subtrahieren,
weil nur die ein Inverses hat.
--
Helmut Richter
Joachim Mohr
> Normalerweise gibt es (additive) Gruppen, die Elemente enthalten und
>u.a. zu jedem Element a aus der Gruppe ein inverses Element, das man
>dann -a nennt. Nun kann man daher kommen und ein beliebiges Element b
>aus der Gruppe mit dem Inversen von a additiv von b verknüpfen, also
>die Summe a+(-b) berechnen. Den Vorgang
> "das Inverse eines Gruppenelements b zu einem anderen Gruppenelement
a >addieren"
> nennt man dann der Einfachheit halber
> "Subtraktion"
> und schreibt statt a+(-b) der Einfachheit halber a-b.
Was auf dasselbe hinausläuft:
Definition:
b-a ist das (eindeutig definierte) Element,
das ich zu a addieren muß, um b zu erhalten.
x=b-a <=> a+x=b
Definition: Das Inverse zu b werde mit -b bezeichnet:
Satz: b-a = b+(-a)
Klaus Wulff
ein konkretes Ergebnis in der teilmenge der natürlichen Zahlen leigt.
Gruß
Klaus
Marc Olschok
Nun ja, im OP war aber nur die Situation beschrieben, in der _beide_
Operationen zur Verfügung stehen. Wenn dies gar nicht der Fall ist,
stellt sich auch die Verwirrung nicht ein.
Innerhalb der natürlichen Zahlen habe ich auch schon öfter gesehen,
dass ein Minuszeichen mit einem darübergelegten Punkt für die
beschränkte Subtraktion verwendet wird.
--
Marc
Bobo
>
> Innerhalb der natürlichen Zahlen habe ich auch schon öfter gesehen,
> dass ein Minuszeichen mit einem darübergelegten Punkt für die
> beschränkte Subtraktion verwendet wird.
Ja, man definiert dann
x - y ist dasjenige z mit y + z = x, falls y <= x
sonst ist x - y gleich 0 definiert.
Bobo
Stephan Gerlach
Man kann schon "sehr viele" natürliche Zahlen aus N voneinander
subtrahieren. Allerdings nicht im Sinne der Gruppentheorie, wo idR für
*alle* Elemente aus der Gruppe die Subtraktion erklärt ist; und in einer
Gruppe das Ergebnis einer Subtraktion insbesondere wieder ein
Gruppenelement ist.
Die Subtraktion in N ist einfach "irgendeine" Operation in N.
Zufälligerweise stimmt diese Operation, wenn man N als Teilmenge von Z
betrachtet, mit der (gruppentheoretischen) Subtraktion in Z überein.
Marc Olschok
>[...]
> subtrahieren. Allerdings nicht im Sinne der Gruppentheorie, wo idR für
> *alle* Elemente aus der Gruppe die Subtraktion erklärt ist; und in einer
> Gruppe das Ergebnis einer Subtraktion insbesondere wieder ein
> Gruppenelement ist.
> Die Subtraktion in N ist einfach "irgendeine" Operation in N.
> Zufälligerweise stimmt diese Operation, wenn man N als Teilmenge von Z
> betrachtet, mit der (gruppentheoretischen) Subtraktion in Z überein.
Das ist kein Zufall.
--
Marc
Ingo Menger
> Das stiftet bei Nichtmathematikern, Schülern zumal, stets Verwirrung.
Wirklich? Die armen Schätzchen!
> Sie lernen, dass es eine Verknüpfung namens "Subtraktion" gibt und
> dass der Operator '-' geschrieben wird und "minus" heißt.
Ach was, das heißt "weniger".
> Sie lernen, dass es "negative Zahlen" gibt, und dass Zahlen ein
> Vorzeichen haben,
.... und daß der Kultusminsiter, der so einen Unsinn lehren ließe, ein
Dödel wäre, lernen sie nicht?
(Die nächsten Generationen von WMs, die Zahlen und deren Darstellung
immerzu verwechseln, wird offenbar schon gezüchtet.)