Udo´s Aufgabe verschärft

[Alfred Flaßhaar]

Inspiriert von Udo´s Aufgabe ist zu berechnen/konstruieren:

Einem Quadrat sind drei Kreise so einzubeschreiben, daß jeder Kreis
mindestens einen dieser Kreise und mindestens eine Quadratseite
berührt/tangiert. Gesucht sind jene Kreise mit der größten Flächensumme.

Knobelgruß, Alfred Flaßhaar

[Andreas Leitgeb]

Aus dem Bauch heraus würde ich annehmen, dass ein Kreis der Inkreis
des Quadrats wäre, und die anderen zwei Kreise sich in den Ecken
verstecken...

Genauer beschäftigen werd ich mich vielleicht später damit.
Bin neugierig, ob mein Bauch richtig "gerechnet" hat ;-)

[Udo]

Andreas Leitgeb schrieb am Montag, 22. Mai 2023 um 18:36:18 UTC+2:

> Aus dem Bauch heraus würde ich annehmen, dass ein Kreis der Inkreis
> des Quadrats wäre, und die anderen zwei Kreise sich in den Ecken
> verstecken...
>

Ich hatte die gleiche Idee.
Wenn wir die Quadratseite mit a und den Radius eines der beiden kleinen "Eckkreise"
mit r bezeichnen, dann bekomme ich - wenn ich mich nicht verrecnet habe -
Radius R des Inkreises: R = a/2
Radius r des Eckkreises r = a/2 * (sqrt(2) - 1)^2
Jetzt werde ich das mal rechnen und sehen, ob man das nicht als Extremwertaifgabe
lösen kann.

Ist ein ziemliches "Ovulum permagnum", was Alfred da abgeliefert hat :-)
Grüße Udo

[Martin Vaeth]

Alfred Flaßhaar <Alfred.F...@gmx.de> schrieb:

>
> Einem Quadrat sind drei Kreise so einzubeschreiben, daß jeder Kreis
> mindestens einen dieser Kreise und mindestens eine Quadratseite
> berührt/tangiert. Gesucht sind jene Kreise mit der größten Flächensumme.

Dreimal der Inkreis. Wenn die Kreise paarweise verschieden sein
sollen, gibt es keine Lösung (kein Maximum sondern nur ein Supremum),
weil man zwei der Inkreise beliebig wenig kleiner machen kann (und
sie dabei die selbe Quadratseite in der Mitte berühren lässt)

[Hans Crauel]

Martin Vaeth schrieb

Das ist ganz fraglos richtig. Ich hatte es allerdings so
verstanden, dass die Kreise keine inneren Punkte gemeinsam
haben sollen. Was - in der Tat - nicht explizit verlangt ist.

Hans

[Alfred Flaßhaar]

Damit ist erwiesen, daß es in diesem Fall keine Lösung gibt. Das
Supremum wird nicht als Maximum angenomme/erreicht. Die Definition für
"Kreise tangieren einander" habe ich dabei stillschweigend vorausgesetzt
als: Zwei tangierende Kreise besitzen genau eine gemeinsame Tangente.

Und wie verhält es sich in anderen Fällen für Kreispositionen?

Gruß, Alfred

[Andreas Leitgeb]

Alfred Flaßhaar <Alfred.F...@gmx.de> wrote:
> Damit ist erwiesen, daß es in diesem Fall keine Lösung gibt. Das
> Supremum wird nicht als Maximum angenomme/erreicht. Die Definition für
> "Kreise tangieren einander" habe ich dabei stillschweigend vorausgesetzt
> als: Zwei tangierende Kreise besitzen genau eine gemeinsame Tangente.

Diese gemeinsame Tangente wäre ja genau die eine Quadrat-seite, die
von allen diesen drei Kreisen im selben Punkt berührt wird...

Also lassen wir diese auch-nicht-striktere Definition wieder in der
Versenkung verschwinden, und fordern lieber 3 paarweise nicht-über-
lappende Kreise im Quadrat.

Falls stattdessen nur "insgesamt von Kreisen bedeckte Fläche" zählt,
dann würden die speziellen Lösungen zwar immernoch erlaubt, aber
weit vom Optimum abgeschlagen liegen...