Abhängige Auswahl (dependent choice)

[Ralf Muschall]

Ich habe ein kleines Problem mit der Definition und fürchte, ich habe etwas missverstanden.

Man beginnt mit einer Relation
R ⊂ X × X mit der Eigenschaft, dass für jedes a∈X die Menge
B(a):={b∈X: a R b} nicht leer ist.

Das Axiom sagt dann, dass ich eine Folge xₙ aus X bilden kann mit
xₙ R xₙ₊₁. Soweit schön. Allerdings steht da, dass die Bildung eines endlichen Anfangs der Folge trivial sei und man das Axiom nur dafür braucht, die Folge als Ganzes zu erzeugen. Auch schön.

Nur: wie *wähle* ich (ohne vorher AC schon zu haben) ein
xₙ₊₁∈B(xₙ) aus?

Mein Problem ist also nicht die unendliche Folge, sondern bereits deren zweites Element.

[Carlo XYZ]

Am 02.11.22 um 12:48 schrieb Ralf Muschall:

Das AC bedeutet ja nicht, dass nicht eine einzelne Dame sich
aus einer Pralinenschachtel eine einzelne Praline herausnehmen
kann, ohne vorher zu AC zu beten. Es bedeutet nur, dass unendlich
viele Damen sich sogar aus unendlich vielen Pralinenschachteln je
eine Praline gleichzeitig nehmen können. DC bedeutet, dass die
Damen sich auch auf eine Reihenfolge einigen können, wenn es
parallel nicht geht.

(Ich hoffe, Martin, dass die "Erklärung" einigermaßen OK ist:)

[Fritz Feldhase]

Gehen wir einmal davon aus, dass X nicht leer ist. D. h. es gibt mindestens ein Element in X. Sei x_0 ein solches Element. (Damit habe ich eins "ausgewählt". So einfach ist das.)

Laut Voraussetzung gibt es dann eine nichtleere Menge B(x_0) = {x ∈ X: x_0 R x}. Da die Menge nicht leer ist, gibt mindestens ein Element in B(x_0). Sei x_1 ein solches Element. (Damit habe ich wieder eins "ausgewählt".)

Auf diese Weise kann ich ("im Prinzip") eine beliebig lange (aber endliche Folge) (x_0, x_1, ..., x_n) "bilden".

[Stefan Schmitz]

Und wofür braucht man dann noch das Axiom?

[Carlo XYZ]

Am 02.11.22 um 14:23 schrieb Stefan Schmitz:

>> Auf diese Weise kann ich ("im Prinzip") eine beliebig lange (aber
>> endliche Folge) (x_0, x_1, ..., x_n) "bilden".
>
> Und wofür braucht man dann noch das Axiom?

Damit kann man eine unendliche Folge bilden.

[Fritz Feldhase]

Für eine unendliche Folge (dieser Art). Anders als Chuck Norris ist es uns Normalsterblichen nicht gegeben, so was in concreto zu leisten.

Wie Carlo schon sagte: "Das AC bedeutet ja nicht, dass nicht eine einzelne Dame sich aus einer Pralinenschachtel eine einzelne Praline herausnehmen kann, ohne vorher zu AC zu beten..." :-)

[Jens]

Am 02.11.2022 um 14:05 schrieb Stefan Ram:
> Ralf Muschall <ralfmu...@googlemail.com> writes:
>> Nur: wie *wähle* ich (ohne vorher AC schon zu haben) ein=20
>> x=E2=82=99=E2=82=8A=E2=82=81=E2=88=88B(x=E2=82=99) aus?=20

ich denke mal, hier handelt es sich um spezielle Mathematik,bei der eine
IPv6 (Internet Protokol Version 6) Adresse von
ihren "Host" (also der Teil vom Provider zugewiesenen IPv6-
Block) mit dem des zur Verfügung stehenden Restlichen Block
der zur freien Verfügung genutzt werden kann, zu berechnen ?

Und das ist garnichtmal so trivial.
Aber dazu sollten viele Links mit google.de gefunden werden.

Hope this Helps
paule32

[Stefan Schmitz]

Am 02.11.2022 um 14:30 schrieb Fritz Feldhase:
> On Wednesday, November 2, 2022 at 2:23:21 PM UTC+1, Stefan Schmitz wrote:
>> Am 02.11.2022 um 13:44 schrieb Fritz Feldhase:
>>> On Wednesday, November 2, 2022 at 12:48:43 PM UTC+1, ralfmu...@googlemail.com wrote:
>>>>
>>>> Ich habe ein kleines Problem mit der Definition und fürchte, ich habe etwas missverstanden.
>>>>
>>>> Man beginnt mit einer Relation
>>>> R ⊂ X × X mit der Eigenschaft, dass für jedes a∈X die Menge
>>>> B(a):={b∈X: a R b} nicht leer ist.
>>>>
>>>> Das Axiom sagt dann, dass ich eine Folge xₙ aus X bilden kann mit
>>>> xₙ R xₙ₊₁. Soweit schön. Allerdings steht da, dass die Bildung eines endlichen Anfangs der Folge trivial sei und man das Axiom nur dafür braucht, die Folge als Ganzes zu erzeugen. Auch schön.
>>>>
>>>> Nur: wie *wähle* ich (ohne vorher AC schon zu haben) ein
>>>> xₙ₊₁∈B(xₙ) aus?
>>>>
>>>> Mein Problem ist also nicht die unendliche Folge, sondern bereits deren zweites Element.
>>>>
>>> Gehen wir einmal davon aus, dass X nicht leer ist. D. h. es gibt mindestens ein Element in X. Sei x_0 ein solches Element. (Damit habe ich eins "ausgewählt". So einfach ist das.)
>>>
>>> Laut Voraussetzung gibt es dann eine nichtleere Menge B(x_0) = {x ∈ X: x_0 R x}. Da die Menge nicht leer ist, gibt mindestens ein Element in B(x_0). Sei x_1 ein solches Element. (Damit habe ich wieder eins "ausgewählt".)
>>>
>>> Auf diese Weise kann ich ("im Prinzip") eine beliebig lange (aber endliche Folge) (x_0, x_1, ..., x_n) "bilden".
>>>
>> Und wofür braucht man dann noch das Axiom?
>
> Für eine unendliche Folge (dieser Art). Anders als Chuck Norris ist es uns Normalsterblichen nicht gegeben, so was in concreto zu leisten.

Das können wir auch mit Axiom nicht.

Was unterscheidet denn eine unendliche Folge von einer endlichen, die
man beliebig lang machen kann? Mit der Vorschrift, wie das Element an
jedem endlichen Index n gebildet wird, hat man doch schon die ganze
Folge definiert.

[Ralf Muschall]

On Wednesday, November 2, 2022 at 1:44:02 PM UTC+1, Fritz Feldhase wrote:
> On Wednesday, November 2, 2022 at 12:48:43 PM UTC+1, ralfmu...@googlemail.com wrote:
>
> > Ich habe ein kleines Problem mit der Definition und fürchte, ich habe etwas missverstanden.

> ...

> Gehen wir einmal davon aus, dass X nicht leer ist. D. h. es gibt mindestens ein Element in X. Sei x_0 ein solches Element. (Damit habe ich eins "ausgewählt". So einfach ist das.)

Danke, da hing es bei mir im Kopf. Aus einer nichtleeren Menge ein Ding auswählen darf man auch ohne AC.

Der Rest ist dann einfach, DC ist der Unterschied zwischen endlich vielen Elementen und der ganzen Folge.

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, November 2, 2022 at 3:24:47 PM UTC+1, Stefan Schmitz wrote:
> Am 02.11.2022 um 14:30 schrieb Fritz Feldhase:
> > On Wednesday, November 2, 2022 at 2:23:21 PM UTC+1, Stefan Schmitz wrote:
> >> Am 02.11.2022 um 13:44 schrieb Fritz Feldhase:
> >>> On Wednesday, November 2, 2022 at 12:48:43 PM UTC+1, ralfmu...@googlemail.com wrote:
> >>>>
> >>>> Ich habe ein kleines Problem mit der Definition und fürchte, ich habe etwas missverstanden.
> >>>>
> >>>> Man beginnt mit einer Relation
> >>>> R ⊂ X × X mit der Eigenschaft, dass für jedes a∈X die Menge
> >>>> B(a):={b∈X: a R b} nicht leer ist.
> >>>>
> >>>> Das Axiom sagt dann, dass ich eine Folge xₙ aus X bilden kann mit
> >>>> xₙ R xₙ₊₁. Soweit schön. Allerdings steht da, dass die Bildung eines endlichen Anfangs der Folge trivial sei und man das Axiom nur dafür braucht, die Folge als Ganzes zu erzeugen. Auch schön.
> >>>>
> >>>> Nur: wie *wähle* ich (ohne vorher AC schon zu haben) ein
> >>>> xₙ₊₁∈B(xₙ) aus?
> >>>>
> >>>> Mein Problem ist also nicht die unendliche Folge, sondern bereits deren zweites Element.
> >>>>
> >>> Gehen wir einmal davon aus, dass X nicht leer ist. D. h. es gibt mindestens ein Element in X. Sei x_0 ein solches Element. (Damit habe ich eins "ausgewählt". So einfach ist das.)
> >>>
> >>> Laut Voraussetzung gibt es dann eine nichtleere Menge B(x_0) = {x ∈ X: x_0 R x}. Da die Menge nicht leer ist, gibt mindestens ein Element in B(x_0). Sei x_1 ein solches Element. (Damit habe ich wieder eins "ausgewählt".)
> >>>
> >>> Auf diese Weise kann ich ("im Prinzip") eine beliebig lange (aber endliche Folge) (x_0, x_1, ..., x_n) "bilden".
> >>>
> >> Und wofür braucht man dann noch das Axiom?
> >
> > Für eine unendliche Folge (dieser Art). Anders als Chuck Norris ist es uns Normalsterblichen nicht gegeben, so was in concreto zu leisten.
> >
> Das können wir auch mit Axiom nicht.

Hat das jemand behauptet?

So, und jetzt geh woandershin spielen.

EOD

[Ralf Muschall]

On Wednesday, November 2, 2022 at 2:56:02 PM UTC+1, Jens wrote:
> Am 02.11.2022 um 14:05 schrieb Stefan Ram:
> > Ralf Muschall <ralfmu...@googlemail.com> writes:
> >> Nur: wie *wähle* ich (ohne vorher AC schon zu haben) ein=20
> >> x=E2=82=99=E2=82=8A=E2=82=81=E2=88=88B(x=E2=82=99) aus?=20

Mit was schaust du auf das Teil? Das ist stinknormales UTF8.

[Jens]

hi, ehm, ja...
seh grad, Konvertierungs-Fehler.
Sorry.

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, November 2, 2022 at 4:15:29 PM UTC+1, ralfmu...@googlemail.com wrote:
> On Wednesday, November 2, 2022 at 1:44:02 PM UTC+1, Fritz Feldhase wrote:
> > On Wednesday, November 2, 2022 at 12:48:43 PM UTC+1, ralfmu...@googlemail.com wrote:
> > >
> > > Ich habe ein kleines Problem mit der Definition und fürchte, ich habe etwas missverstanden.
> > >

> > Gehen wir einmal davon aus, dass X nicht leer ist. D. h. es gibt mindestens ein Element in X. Sei x_0 ein solches Element. (Damit habe ich eins "ausgewählt". So einfach ist das.)
> >
> Danke, da hing es bei mir im Kopf. Aus einer nichtleeren Menge ein Ding auswählen darf man auch ohne AC.

Ja. Das Ganze kann natürlich im Kontext der formalen Logik streng formalisiert (und auch "begündet") werden. Aber in der Praxis der Mathematik macht man es einfach so wie oben beschrieben.

> Der Rest ist dann einfach, DC ist der Unterschied zwischen endlich vielen Elementen und der ganzen Folge.

Ja.

[Stefan Schmitz]

Bist du ausschließlich hier, um auf Mückenheims Nonsens zu antworten?
Oder was ist der Grund, dass du bei ernsthaften Fragen direkt ausfallend
wirst?

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, November 2, 2022 at 4:26:10 PM UTC+1, Stefan Schmitz wrote:

> Bist du ausschließlich hier, um auf Mückenheims Nonsens zu antworten?

Du bist ein echter Blitzmerker! :-)

[Carlo XYZ]

Am 02.11.22 um 15:24 schrieb Stefan Schmitz:

> Was unterscheidet denn eine unendliche Folge von einer endlichen, die
> man beliebig lang machen kann? Mit der Vorschrift, wie das Element an
> jedem endlichen Index n gebildet wird, hat man doch schon die ganze
> Folge definiert.

Der Unterschied zwischen Nichtterminierung und Terminierung.

Kennst du dich mit (nichtdeterministischer) Programmierung aus?

Programm 1: "setze x zu irgend einer natürlichen Zahl"

Programm 2: "x:=0; forever (x:=x+1 ODER stop) endforever"

Ergebnisgleich bei Terminierung, aber Programm 2 muss nicht terminieren.

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, November 2, 2022 at 3:24:47 PM UTC+1, Stefan Schmitz wrote:

> Was unterscheidet denn eine unendliche Folge von einer endlichen, die
> man beliebig lang machen kann?

Wenn man sich die Frage so ansieht, dann kann man darauf natürlich auch eine (mehr oder weniger befriedigende, aber richtige) Antwort geben:

Eine endliche Folge besitzt ein letztes Element, eine unendliche nicht.

(Eine endliche Folge kann man also im Prinzip schrittweise "konstruieren"/"bilden", weil man bei diesem Prozess irgendwann mal zu einem Ende kommt. Bei einer unendlichen Folge ist das nicht der Fall.)

> Mit der Vorschrift, wie das Element an jedem endlichen Index n gebildet wird, hat man doch schon die ganze Folge definiert.

Ja, wenn es denn so wäre. Aber eben: So eine "Vorschrift" wär/ist z. B. die Auswahlfunktion, deren Existenz eben durch das AC gesichert ist.

Vielleicht schwebt Dir so etwas vor, wie (Hilberts) epsilon-Operator (choice operator). Mit dem könnte man den "Auswahlprozess" zu einem Teil der Logik machen und würde dann kein AC benötigen. Im Kontext der FOPL sieht das aber anders aus.

Hier gibt's ein wenig was dazu: https://planetmath.org/hilbertsvarepsilonoperator
(Leider grauenhaft formatiert.)

Bzw.: https://ncatlab.org/nlab/show/choice+operator
(Deutlich besser zu lesen.)

[Ralf Bader]

Eine Folge ist so lang, wie sie ist. Da kann man nix machen. Wenn die
Folge endlich ist, dann ist sie nicht unendlich. Wenn die Folge
verlängert wird, ist das Resultat eine andere Folge.

> Mit der Vorschrift, wie das Element an
> jedem endlichen Index n gebildet wird, hat man doch schon die ganze
> Folge definiert.
>
>

Nimm ZFC, ersetze das Unendlichkeitsaxiom durch ein "Endlichkeitsaxiom",
etwa:

Sei X eine Menge, PX ihre Potenzmenge, M c PX derart, daß
- die leere Menge Element von M ist;
- zu jedem m e M und x e X auch (m u {x}) e M
Dann ist M = PX

Das ergibt die Theorie der hereditär endlichen Mengen. In dieser Theorie
existieren alle endlichen Anfangsstücke der Folge der natürlichen Zahlen
(aufgefaßt als endliche von Neumannsche Ordinalzahlen), aber die Folge
aller natürlichen Zahlen existiert nicht.

[Ganzhinterseher]

Stefan Schmitz schrieb am Mittwoch, 2. November 2022 um 15:24:47 UTC+1:
>
> Was unterscheidet denn eine unendliche Folge von einer endlichen, die
> man beliebig lang machen kann?

Der Unterschied heißt aktuale Unendlichkeit und potentielle Unendlichkeit.

Gruß, WM

[Stefan Schmitz]

Wenn ich an Folgen von Ziffern denke, stellen endliche Folgen rationale
Zahlen dar. Ohne das Axiom gäbe es keine irrationalen Zahlen, richtig?

[Martin Vaeth]

Stefan Schmitz <ss...@gmx.de> schrieb:

> Am 02.11.2022 um 14:30 schrieb Fritz Feldhase:

>> [...] Stefan Schmitz wrote:
>>> Am 02.11.2022 um 13:44 schrieb Fritz Feldhase:

>>>> [...] ralfmu...@googlemail.com wrote:
>>>>>
>>>>> Ich habe ein kleines Problem mit der Definition und fürchte,
>>>>> ich habe etwas missverstanden.
>>>>>
>>>>> Man beginnt mit einer Relation
>>>>> R ⊂ X × X mit der Eigenschaft, dass für jedes a∈X die Menge
>>>>> B(a):={b∈X: a R b} nicht leer ist.
>>>>>
>>>>> Das Axiom sagt dann, dass ich eine Folge xₙ aus X bilden kann mit
>>>>> xₙ R xₙ₊₁. Soweit schön. Allerdings steht da, dass die Bildung
>>>>> eines endlichen Anfangs der Folge trivial sei und man das Axiom
>>>>> nur dafür braucht, die Folge als Ganzes zu erzeugen. Auch schön.
>>>>>
>>>>> Nur: wie *wähle* ich (ohne vorher AC schon zu haben) ein
>>>>> xₙ₊₁∈B(xₙ) aus?
>>>>>
>>>>> Mein Problem ist also nicht die unendliche Folge, sondern bereits
>>>>> deren zweites Element.
>>>>>
>>>> Gehen wir einmal davon aus, dass X nicht leer ist. D. h. es gibt
>>>> mindestens ein Element in X. Sei x_0 ein solches Element.
>>>> (Damit habe ich eins "ausgewählt". So einfach ist das.)
>>>>
>>>> Laut Voraussetzung gibt es dann eine nichtleere Menge
>>>> B(x_0) = {x ∈ X: x_0 R x}. Da die Menge nicht leer ist, gibt
>>>> mindestens ein Element in B(x_0). Sei x_1 ein solches Element.
>>>> (Damit habe ich wieder eins "ausgewählt".)

Um diese Argumentation zu verstehen, muss man erst verstehen, wie
Axiomatisierung funktioniert: In Z/ZF/ZFC hat man es mit Aussagenlogik
1. Stufe zu tun, d.h. *jede* Aussage die man macht, muss mit endlich
vielen der elementar-logischen Zeichen "und", "oder", "(", ")",
"für alle", "es gibt", "=", und Variablen beschreibbar sein;
dazu kommen je nach betrachteter Welt noch Konstanten und
Relationenszeichen - im Falle von ZF gibt es keine Konstanten
und als spezielle Relationszeichen "element".

(Details können je nach Lehrbuch abweichen: Manche betrachten "="
nicht als elementar-logisch, sondern als spezielles Relationszeichen,
manche die leere Menge als Konstante, manche auch spezielle Mengen
als Konstanten - es kann dann durchaus überabzählbar viele Konstanten
geben. Der Einfachheit halber mache ich das hier nicht.)

Eine Aussage mit, sagen wir, x_1 und x_2 zu bilden, ist dann
kein Problem, weil man einfach mit Quantoren hinschreiben kann, was
gemeint ist:

Es gibt x_1 aus X: Es gibt x_2 aus B(x): gewünschte Aussage.

(Und dass diese Aussage dann wahr ist, kann man aufgrund der
Eigenschaft von B formal beweisen.)

Ebenso für endlich viele x_1,...,x_n. Daraus kann man dann
unmittelbar schließen, dass es eine Abbildung F_n (Achtung:
Hier ist n zunächst nur ein Element der "Metasprache") von
{1,...,n} -> X gibt mit "F(x_k) element B(x_k) für
k=1,...,n-1" (ebenfalls Meta-sprache) (Mit {1,...,n} ist
hier allerdings die Menge z.B. mit der Neumannschen Definition
gemeint): Es sollte klar sein, wie die entsprechende Formel für
z.B. n=13 hinzuschreiben wäre, wenn man für {1,...,13} die
Neumannsche Definition der natürlichen Zahlen benutzt, und
ebenso, wie diese Formel aus den Eigenschaften von B zu beweisen
wäre.

Man hat also nicht "für allgemeines n" einen Beweis, sondern
kann jeweils nur für ein konkretes n einen Beweis hinschreiben,
indem man den (offensichtlichen) Algorithmus dafür ausführt,
den ich hier natürlich nicht im Detail beschreibe (obwohl das
möglich wäre). Man kann das Aufschreiben dieses Algorithmus
als eine Art formalen Beweis für "beliebiges" n ansehen, aber
strenggenommen ist dies ein Meta-Beweis (in Logik 2. Stufe)
und nicht in ZF.

Auf eine Abbildung von der (unendlichen) Menge der natürlichen
Zahlen auf X mit der gewünschten Eigenschaft kann man
insbesondere mit *diesem* Beweisansatz nicht schließen.

(Das schließt natürlich nicht aus, dass es nicht einen ganz
anderen Beweis dafür geben könnte - zu zeigen, dass DC
logisch unabhängig ist von ZF ist ja in der Tat hochgradig
nichttrivial.)

>>> Und wofür braucht man dann noch das Axiom?
>>

>> Für eine unendliche Folge (dieser Art). [...]

>
> Das können wir auch mit Axiom nicht.

Doch, denn die Existenz einer solchen Folge (= Abbildung der
natürlichen Zahlen nach X) ist genau die Aussage, die das
Axiom *postuliert*.

> Was unterscheidet denn eine unendliche Folge von einer endlichen, die
> man beliebig lang machen kann?

Das ist jetzt hoffentlich klar:
Das, was man "beliebig lang machen kann", ist eben nur eine
Aussage der Metasprache. Die Metasprache kann nicht auf einmal
anfangen, das "n" (das man in der Metasprache explitiz braucht)
in einen Allquantor zu "verpacken".
Die Aussage des Axioms ist also - grob gesprochen - dass diese
"offensichtlich richtige" Aussage der Metasprache über endliche
Mengen {1,...,n} in diesem Fall tatsächlich auch ein Analogon
für die unendliche Menge der natürlichen Zahlen hat: Sobald
man eine Abbildung (=Folge) hat, kann man diese wiederum in
der Logik 1. Stufe (also in *endlich langen*) Aussagen benutzen,
um (beweisbare) Aussagen über unendliche Objekte machen zu können,
die man sonst nicht beweisen könnte.

> Mit der Vorschrift, wie das Element an jedem endlichen Index n
> gebildet wird, hat man doch schon die ganze Folge definiert.

Vorsicht: Wir haben keine "Vorschrift", denn mit einer "Vorschrift"
verbindet man Eindeutigkeit. Das ist ein entscheidender Punkt des
Axioms. Für Abbildungen B, für die man eine "Vorschrift" hat, ist
die Aussage ohne zusätzliches Axiom sogar in Z beweisbar, und zwar
wie folgt:

Wir nehmen der Einfachheit halber an, wir haben eine "Vorschrift"
auf ganz X, also eine "Formel" der Logik 1. Stufe, die für jedes
x element X *eindeutig* ein Element y element B(x) bestimmt
(das ist sogar etwas mehr, als wir brauchen, aber ich will nur die
Idee skizzieren und nicht durch technische Details verschleiern).

Unsere Annahme ist also, dass wir einen sog. "Funktor F" auf X
haben mit der Eigenschaft F(x) element B(x) für alle x aus X.
Man kann daraus in Z beweisen (i.W. aufgrund des Aussonderungsaxioms),
dass es dann auch (genau) eine Abbildung f:X -> X gibt mit
f(x) = F(x) für alle x element X, also insbesondere f(x) element B(x)
für alle x element X.
Wenn man eine solches f hat, erhält man für jedes x_1 element X
auch eine eindeutige unendliche Folge (also eine Abbildung von der
Menge der natürlichen Zahlen nach X) mit x_{n+1} = f(x_n) aufgrund
des sog. Prinzips der induktiven Definition.
Diese Folge leistet natürlich das Gewünschte.

Der formale Beweis des Prinzips der induktiven Definition ist nicht
ganz leicht, die Beweisidee lässt sich aber leicht beschreiben:
Für jedes endliche n hat man eine *eindeutige* Abbildung
g_n:{1,...,n}->X, die Fortsetzungen voneinander sind. Der Graph
der gewünschten Abbildungen ist die Vereinigung der Graphen der
Abbildungen g_n. Die technische Schwierigkeit im Beweis liegt
darin, dass nicht von vornherein klar ist, dass n->g_n eine
Abbildung ist: Hierzu braucht man eben die Eindeutigkeit, um
einen Funktor zu haben, der dann wiederum aufgrund des
Aussonderungsaxioms zu einer Abbildung führt.

[Martin Vaeth]

> vielen der elementar-logischen Zeichen "und", "oder", "(", ")",

Typo: Statt "oder" hatte ich "nicht" hinzunehmen wollen.
(Je nach Darstellung kann man auch noch "oder", "impliziert" oder
"äquivalent" hinzunehmen, oder sie aus den anderen Zeichen als
Abkürzungen definieren.)

[Ganzhinterseher]

Stefan Schmitz schrieb am Donnerstag, 3. November 2022 um 01:05:17 UTC+1:

> Wenn ich an Folgen von Ziffern denke, stellen endliche Folgen rationale
> Zahlen dar.

Genau.

> Ohne das Axiom gäbe es keine irrationalen Zahlen, richtig?

Nein. Reelle Zahlen, z.B. irrationale Zahlen existieren nur aufgrund von Formeln, durch die sie dargestellt werden. Es gibt keine aktual unendlich Ziffernfolge, die eine irrationale Zahl bestimmt. Deswegen ist auch Cantors Diagonalverfahren Makulatur.

Gruß, WM

[Carlo XYZ]

Am 03.11.22 um 08:16 schrieb Martin Vaeth:

> Stefan Schmitz <ss...@gmx.de> schrieb:
>> Am 02.11.2022 um 14:30 schrieb Fritz Feldhase:

>>> Für eine unendliche Folge (dieser Art). [...]
>>
>> Das können wir auch mit Axiom nicht.
>

> Doch, ...

Da hast du den Herrn Schmitz wohl missverstanden. Er bezog
sich, meine ich, auf Chuck Norris, den du weggekürzt hast.

[Martin Vaeth]

Stefan Schmitz <ss...@gmx.de> schrieb:

>
> Wenn ich an Folgen von Ziffern denke, stellen endliche Folgen rationale
> Zahlen dar. Ohne das Axiom gäbe es keine irrationalen Zahlen, richtig?

Nein, das Axiom hat mit der *Existenz* irrationaler Zahlen nichts zu tun
(wohl aber implizit mit Eigenschaften der Menge der reellen Zahlen und
ihrer Abbildungen).

Wenn man reelle Zahlen durch ihre Dezimaldarstellung definiert (ist zwar
unpraktisch, aber machbar), dann liefert jede unendliche Folge mit Werten
in {0,...,9} eine reelle Zahl aus [0,1].

Die Menge dieser Folgen gibt es rein in Z: Man bilde das Kreuzprodukt
N x {0,...,9}, und davon die Potenzmenge P; dann ist P die Menge aller
Relationen von N auf {0,...,9}. Mit dem Aussonderungsaxiom erhält man,
dass F = { f element P : f ist eine Funktion N -> {0,...,9} } eine Menge
ist, also die Menge aller unendlichen Folgen in {0,...,9}.

Es ist nicht schwer, nachzuweisen, dass F nicht leer ist, überabzählbar,
und dass F nichtperiodische Folgen enthält (beispielsweise jede Folge,
für die man irgendeine explizite oder induktive Formel für das n-te
Element angeben kann).

Eine Auswahl taucht hier nur in Gestelt des Aussonderungsaxioms auf.

Man braucht eine Form des Auswahlaxioms aber beispielsweise, wenn man
Lebesguesche Integrationstheorie auf R ohne Klimmzüge betreiben will
(wenn man etwa nachweisen möchte, dass die Vereinigung abzählbar vieler
Nullmengen wieder eine Nullmenge ist), oder wenn man nachweisen will,
dass eine in x folgenstetige Funktion f:R->R (d.h. aus x_n->x folgt
f(x_n)->f(x)) auch tatsächlich stetig (im epsilon-delta-Sinne) ist.
Für viele dieser Aussagen reicht aber auch ein etwas schwächeres
Axiom als DC: Das abzählbare Auswahlaxiom.
Wo man nicht um DC umhin kommt, ist der Beweis des Satzes von Baire
für vollständige metrische Räume. Dieser ist nachweislich in ZF mit
DC äquivalent.

[Ganzhinterseher]

Martin Vaeth schrieb am Donnerstag, 3. November 2022 um 19:06:49 UTC+1:

> Es ist nicht schwer, nachzuweisen, dass F nicht leer ist, überabzählbar,
> und dass F nichtperiodische Folgen enthält (beispielsweise jede Folge,
> für die man irgendeine explizite oder induktive Formel für das n-te
> Element angeben kann).

Das ist richtig. Die Menge dieser Formeln ist aber abzählbar. Unendliche Ziffernfolgen (ohne endliche Darstellung) oder sonstige Möglichkeiten, Zahlen individuell zu definieren, gibt es nicht.

Deswegen ist der Nachweis, dass F überabzählbar ist, nicht schwer (ich bringe ihn jedes Jahr), aber falsch.

Gruß, WM

[Tom Bola]

Der totalverblödete Clown WM saicht unaufhörlich seinen stinkenden Scheissdreck...

> Gruß, WM

Verpiss dich, totalverblödeter Clown.

[Rainer Rosenthal]

Am 03.11.2022 um 20:09 schrieb Ganzhinterseher:
>
> Deswegen ist der Nachweis, dass F überabzählbar ist, nicht schwer (ich bringe ihn jedes Jahr), aber falsch.
>

Bitte doch einfach um Gehaltsaufbesserung, sozusagen als
"Schmerzensgeld", weil Du gegen Deine Überzeugung Dinge lehren musst.

Gruß,
RR

[Ganzhinterseher]

Ich muss ja nicht. Aber ich möchte überzeugen und nicht indoktrinieren. Deswegen stelle ich fair beide Seiten dar. Und wie ich hier schon einmal sagte, Cantors Seite mit echtem Genuss. Die Idee ist großartig!

Gruß, WM

[JVR]

Das gelingt Ihnen auch recht gut. Jeder, der ein ganz bisschen logisch denken kann, merkt sofort,
dass Sie ein krankhaft begeisterter Sektierer sind. Die meisten Ihrer Schüler haben das garantiert
längst gemerkt.

[Tom Bola]

JVR schrieb:

>> Gruß, WM
>
> Das gelingt Ihnen auch recht gut.

Hör doch einfach wieder auf mit deinem Schwanzlutsch-Service,
auch wenn das dir dir als zwanghaften Deppen schwer fällt...

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Freitag, 4. November 2022 um 18:14:17 UTC+1:
> On Friday, November 4, 2022 at 5:11:14 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 4. November 2022 um 00:49:13 UTC+1:
> > > Am 03.11.2022 um 20:09 schrieb Ganzhinterseher:
> > > >
> > > > Deswegen ist der Nachweis, dass F überabzählbar ist, nicht schwer (ich bringe ihn jedes Jahr), aber falsch.
> > > >
> > > Bitte doch einfach um Gehaltsaufbesserung, sozusagen als
> > > "Schmerzensgeld", weil Du gegen Deine Überzeugung Dinge lehren musst.
> > Ich muss ja nicht. Aber ich möchte überzeugen und nicht indoktrinieren. Deswegen stelle ich fair beide Seiten dar. Und wie ich hier schon einmal sagte, Cantors Seite mit echtem Genuss. Die Idee ist großartig!
> >

> Das gelingt Ihnen auch recht gut. Jeder, der ein ganz bisschen logisch denken kann, merkt sofort,
> dass Sie ein krankhaft begeisterter Sektierer sind. Die meisten Ihrer Schüler haben das garantiert
> längst gemerkt.

Das geht wohl aus diesen Evaluationskommentaren hervor:
Der Prof war sehr motiviert. Hat immer einfache Beispiele gesucht. Ist auf alle Fragen eingegangen und hat diese sehr gut beantwortet.
Man spürt die Überzeugung von Prof. Mückenheim
Authentische Ausstrahlung des Lehrenden, der sich absolut mit seinem Fach identifizieren kann und durch sein tiefgehendes Wissen und Begeisterung fasziniert.
Ein Dozent dem Mathe ersichtlich Spaß macht
Anschauliches Skript. Gute Stimmung.

Gruß, WM

[Ralf Goertz]

Am Sun, 6 Nov 2022 03:20:26 -0800 (PST)
schrieb Ganzhinterseher <askas...@gmail.com>:

> JVR schrieb am Freitag, 4. November 2022 um 18:14:17 UTC+1:
> > On Friday, November 4, 2022 at 5:11:14 PM UTC+1, Ganzhinterseher
> > wrote:
> > > Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 4. November 2022 um 00:49:13
> > > UTC+1:
> > > > Am 03.11.2022 um 20:09 schrieb Ganzhinterseher:
> > > > >
> > > > > Deswegen ist der Nachweis, dass F überabzählbar ist, nicht
> > > > > schwer (ich bringe ihn jedes Jahr), aber falsch.
> > > > Bitte doch einfach um Gehaltsaufbesserung, sozusagen als
> > > > "Schmerzensgeld", weil Du gegen Deine Überzeugung Dinge lehren
> > > > musst.
> > > Ich muss ja nicht. Aber ich möchte überzeugen und nicht
> > > indoktrinieren.

Das merkt man aber nicht. Man überzeugt niemanden, indem man ihn/sie
durch Bezichtigung der Doofheit beleidigt.

> > Das gelingt Ihnen auch recht gut. Jeder, der ein ganz bisschen
> > logisch denken kann, merkt sofort, dass Sie ein krankhaft
> > begeisterter Sektierer sind. Die meisten Ihrer Schüler haben das
> > garantiert längst gemerkt.
>
> Das geht wohl aus diesen Evaluationskommentaren hervor:
> Der Prof war sehr motiviert. Hat immer einfache Beispiele gesucht.
> Ist auf alle Fragen eingegangen und hat diese sehr gut beantwortet.
> Man spürt die Überzeugung von Prof. Mückenheim Authentische
> Ausstrahlung des Lehrenden, der sich absolut mit seinem Fach
> identifizieren kann und durch sein tiefgehendes Wissen und
> Begeisterung fasziniert. Ein Dozent dem Mathe ersichtlich Spaß macht
> Anschauliches Skript. Gute Stimmung.

Ja, wir wissen ja schon, Augsburg ist der einzige Ort auf der Welt, wo
man dir vorbehaltlos zustimmt. Wobei, da steht nicht, dass du Recht
hättest. Authentizität kann man auch ausstrahlen, wenn man sich in eine
abstruse Idee verrannt hat.

[Ganzhinterseher]

Ich hatte aber unzweifelhaft recht, denn diese Kommentare bezogen sich auf die Vorlesung Algebra und Geometrie.

Gruß, WM

[Stefan Schmitz]

Am 06.11.2022 um 12:20 schrieb Ganzhinterseher:

> Man spürt die Überzeugung von Prof. Mückenheim

Dem wird sich wohl jeder Mitleser vorbehaltlos anschließen.

[Fritz Feldhase]

*grins* Sehe ich auch so.