Wie man sich das "Paradoxon" Gabriel's Horn klarmachen kann
Peer Mumen
eine sehr gute Möglichkeit gefunden, wie man sie sich klarmachen kann.
Im Informatikunterricht haben wir die sogenannte Koch-Kurve besprochen. Man
geht von einer Strecke aus, und schneidet das mittlere Drittel dieser
Strecke heraus. Dann konstruiert man auf diesem fehlenden Drittel ein
gleichseitiges "Dach", wobei die "Dachschrägen" genauso lang sind wie das
herausgeschnittene Drittel.
/\
/ \
------------------ wird zu ------ ------
Dieses Spielchen wiederholt man nun mit den jetzt 4 Strecken, und dann
wieder und immer wieder. Insgesamt macht man es n mal, wobei n gegen
unendlich geht ;-)
Die gesamte Strecke geht - wenn die Anzahl n der Operationen gegen unendlich
geht - auch gegen unendlich.
Wenn man als Ausgangsstrecke ein Dreieck nimmt, etwa so:
--------------
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
und diese "Dachkonstruktion" mit den Dreiecksseiten n-mal ausführt, erhält
man für "n gegen unendlich"-Operationen eine undendlich lange Strecke,
jedoch ist der von der Kurve (sieht aus wie eine Schneeflocke)
eingeschlossene Flächeninhalt endlich.
Wenn man das verdaut hat, was eigentlich sehr einfach ist, kann man viel
besser einsehen, warum eine unbegrenzte Fläche ein endliches Volumen
einschließt, wie bei Gabriels Horn.
Peer
Klaus Nagel
Peer Mumen schrieb:
> Ich habe ein bißchen über die uneigentlichen Integrale nachgedacht, und habe
> eine sehr gute Möglichkeit gefunden, wie man sie sich klarmachen kann.
Das Paradoxon läßt sich verwirrender machen:
Die Innenwand von Gabriels Horn hat eine unendlich große Fläche. Um sie zu
streichen, braucht man unendlich viel Farbe. Mit einer endlichen Farbmenge läßt
sich das ganze Horn füllen, schüttet man die Farbe danach aus, dann hat die
haftenden Farbe die ganze Wand eingefärbt . Wie erklärt sich dieser Widerspruch?
Gruß,
Klaus Nagel
Roland Franzius
Nein, das ist wohl etwas zu "oberflächlich" gedacht. Das Volumen der
Farbe hängt von der Dicke des Auftrags ab. Da der lichte Querschitt am
Hornende gegen Null geht, muss auch der Farbauftrag immer dünner werden.
Bei glatter Oberfläche ergeben sich keine Widersprüche, d.h. eine
unendliche Oberfläche mit anliegender Volumenschicht von positiver von 0
weg beschränkter Dicke gibt unendliches Volumen.
Schwieriger wird bei Oberflächen mit Hausdorffdimension >2 wie zB bei
Teppichböden, Pinseln oder Serpinskischwämmen.
--
Roland Franzius
+++ exactly <<n>> lines of this message have value <<FALSE>> +++
Axel Schmitz-Tewes
>
> Wenn man das verdaut hat, was eigentlich sehr einfach ist, kann man viel
> besser einsehen, warum eine unbegrenzte Fläche ein endliches Volumen
> einschließt, wie bei Gabriels Horn.
Welchen Flächeninhalt hat eine Gerade? Das ist auch eine unbegrenzte
Fläche :-)
Axel
Peer Mumen
Ich dachte eine Gerade hat keinen Flächeninhalt, weil sie quasi ein "Strich"
mit der dicke Null ist.
Peer
>Axel
Axel Schmitz-Tewes
natürlich hat eine Gerade einen Flächeninhalt! Die Terminologie 'quasi
ein Strich' hat keine Bedeutung.
Nebenbei habe ich absolut kein Problem mit einer unbegrenzte Fläche
(was ich jetzt so definiere, daß sie einen Halbstrahl enthält oder sagen
wir, daß die maximale Länge einer darin enthaltenen Strecke nicht
existiert ) mit endlichem Flächeninhalt vorzustellen, siehe mein
Beispiel. Deine Probleme rühren m.E. daher, daß Du mit vielen unklaren
'Begriffen' suggestiv 'argumentierst'.
Wenn Du in Ruhe drüber nachdenkst, wirst Du feststellen, wie auch schon
gesagt wurde, daß das Problem durch die Existenz konvergenter Reihen
(und damit durch die Existenz konvergenter Folgen) vollständig gelöst
ist!
Axel
Roman Meisl
> Wenn man das verdaut hat, was eigentlich sehr einfach ist, kann man viel
> besser einsehen, warum eine unbegrenzte Fläche ein endliches Volumen
> einschließt, wie bei Gabriels Horn.
> Peer
Und was ist das "Gabriels Horn"-Paradoxon?
Roman
--
sapere aude !
Klaus Nagel
Roman Meisl schrieb:
Peer Mumen bezog sich auf Hermann Kremers Beitrag zum Thema "Uneigentliche
Integrale ..." vom 28.3 19:44.
Gruß,
Klaus Nagel
Roman Meisl
>
> Peer Mumen bezog sich auf Hermann Kremers Beitrag zum Thema "Uneigentliche
> Integrale ..." vom 28.3 19:44.
>
Ah, ja, da kann man sich schon ein paar Gehirnwindungen gerade
denken....*grins*
Danke!
Ciao
Peer Mumen
>ein Strich' hat keine Bedeutung.
Du meinst die Gerade ist eine unbegrenzte Fläche und hat deswegen einen
Flächeninhalt. Ist der Flächeninhalt Null?
Frage: Ist eine Gerade nicht eindimensional, wogegen eine Fläche
zweidimensional ist?
>Nebenbei habe ich absolut kein Problem mit einer unbegrenzte Fläche
>(was ich jetzt so definiere, daß sie einen Halbstrahl enthält oder sagen
>wir, daß die maximale Länge einer darin enthaltenen Strecke nicht
>existiert ) mit endlichem Flächeninhalt vorzustellen, siehe mein
>Beispiel. Deine Probleme rühren m.E. daher, daß Du mit vielen unklaren
>Begriffen' suggestiv 'argumentierst'.
Ich habe auch kein Problem, mir eine unbegrenzte Fläche mit endlichem
Flächeninhalt vorzustellen. Etwas schwieriger ist es jedoch, sich eine
unbegrenzte Fläche vorzustellen, die ein endliches Volumen umschließt.
Das ist ja bei Gabriels Horn der Fall.
Wenn man sich das Beispiel mit der Koch-Kurve ansieht, wird einem schnell
klar, dass so etwas vorkommen kann.
Wenn die Anzahl der Operationen n gegen Unendlich geht, dann geht die Länge
der umschließenden Kurve auch gegen Unendlich, ABER die Fläche strebt gegen
einen endlichen Wert.
Dieses Beispiel könnte man auch mit einer Fläche, die ein Volumen
umschließt, durchführen.
Dann würde man aus Dreicken eine geschlossene Fläche konstruieren. Bei jeder
Operation würde man aus den Dreicken ein kleines Dreieck herausschneiden und
ein "Pyramidendach" daraufsetzen (ihr wißt was ich meine).
Analog zum anderen Beispiel würde hier die Fläche gegen unendlich streben,
wogegen das Volumen gegen einen endlichen Wert streben würde.
Ich finde es bei diesen Beispielen viel leichter einzusehen, warum eine
gegen Unendlich strebende Fläche ein gegen einen endlichen Wert strebendes
Volumen einschließt.
>Wenn Du in Ruhe drüber nachdenkst, wirst Du feststellen, wie auch schon
>gesagt wurde, daß das Problem durch die Existenz konvergenter Reihen
>und damit durch die Existenz konvergenter Folgen) vollständig gelöst
>ist!
Ja, es wird aber für mich anschaulicher!
Die Koch-Kurve ist in sich geschlossen.
Die Kurve welche die Fläche beim Integral 1/xdx begrenzt, besteht ja erstens
aus der x-Achse, aus einer Parallelen zur y-Achse und aus f(x)=1/x. Diese
Begrenzung der Fläche ist in diesem Fall nicht geschlossen, weil 1/x die
x-Achse nie berührt.
Kann man das so sagen, oder ist das mathematisch nicht korrekt?
>Axel
Peer
Hermann Kremer
Peer Mumen schrieb in Nachricht <99v878$bfa$1...@olaf.komtel.net>...
Hallo Peer,
>Ich habe ein bißchen über die uneigentlichen Integrale nachgedacht, und
habe
>eine sehr gute Möglichkeit gefunden, wie man sie sich klarmachen kann.
>Im Informatikunterricht haben wir die sogenannte Koch-Kurve besprochen.
Die heißt auch Koch'sche Schneeflocke.
In
http://www.ostium.ch/i_java.html
ist eine hübsche Animation nicht nur dafür, sondern auch für die
flächenfüllende Hilbert-Kurve, und in
http://tis02.informatik.uni-hamburg.de:4242/cg/cg/fraktale/FrakAbbildungen.h
tml
kann man noch weitere schöne Beispiele finden ...
[ Beschreibung der Koch-Kurve ... SNIP ]
>Wenn man das verdaut hat, was eigentlich sehr einfach ist, kann man viel
>besser einsehen, warum eine unbegrenzte Fläche ein endliches Volumen
>einschließt, wie bei Gabriels Horn.
Hab ich es nicht gesagt :-))
Grüße
Hermann
--
>Peer
>
Hermann Kremer
... und in
http://tis02.informatik.uni-hamburg.de:4242/cg/cg/fraktale/FrakAbbildungen.h
tml
ACHTUNG - Lange URL wird zuweilen abgehackt ... muß mit .html enden ...
Grüße
Hermann
--
Manfred Ullrich
"Peer Mumen" <Smu...@gmx.net> schrieb im Newsbeitrag news:99v878$bfa$1...@olaf.komtel.net...
> Wenn man das verdaut hat, was eigentlich sehr einfach ist, kann man viel
> besser einsehen, warum eine unbegrenzte Fläche ein endliches Volumen
> einschließt, wie bei Gabriels Horn.
> Peer
Also ich war bisher der Meinung - und bin es immer noch - dass jede Fläche, auch
wenn Sie unendlich ist, gar kein Volumen hat. Einfach deshalb, weil die dritte
Dimension fehlt.
Gruß Manfred
Axel Schmitz-Tewes
>
> >natürlich hat eine Gerade einen Flächeninhalt! Die Terminologie 'quasi
> >ein Strich' hat keine Bedeutung.
>
> Du meinst die Gerade ist eine unbegrenzte Fläche
Ich habe nur gesagt, sie habe einen Flächeninhalt ( was so viel heißt,
daß das ebene Maß darauf definiert ist) nicht, daß sie eine Fläche ist!
> und hat deswegen einen
> Flächeninhalt.
s.o.
> Ist der Flächeninhalt Null?
yep.
> Frage: Ist eine Gerade nicht eindimensional, wogegen eine Fläche
> zweidimensional ist?
yep. Aber der Dimensionsbegriff in der Topologie (nicht der linearen
Algebra) ist nicht ganz trivial.
>
> >Nebenbei habe ich absolut kein Problem mit einer unbegrenzte Fläche
> >(was ich jetzt so definiere, daß sie einen Halbstrahl enthält oder sagen
> >wir, daß die maximale Länge einer darin enthaltenen Strecke nicht
> >existiert ) mit endlichem Flächeninhalt vorzustellen, siehe mein
> >Beispiel. Deine Probleme rühren m.E. daher, daß Du mit vielen unklaren
> >Begriffen' suggestiv 'argumentierst'.
>
> Ich habe auch kein Problem, mir eine unbegrenzte Fläche mit endlichem
> Flächeninhalt vorzustellen. Etwas schwieriger ist es jedoch, sich eine
> unbegrenzte Fläche vorzustellen, die ein endliches Volumen umschließt.
> Das ist ja bei Gabriels Horn der Fall.
Auch das Problem mit der Farbe im Horn mit endlichem Volumen und
unendlicher Oberfläche ist ein Scheinproblem. Könntest Du die Farbe ohne
'Dicke' auf die Wand auftragen, gäbe es kein Problem mit einem Farbtopf
endlichen Volumens eine Tapete unendlicher Fläche zu streichen :-)
>
> Die Koch-Kurve ist in sich geschlossen.
> Die Kurve welche die Fläche beim Integral 1/xdx begrenzt, besteht ja erstens
> aus der x-Achse, aus einer Parallelen zur y-Achse und aus f(x)=1/x. Diese
> Begrenzung der Fläche ist in diesem Fall nicht geschlossen, weil 1/x die
> x-Achse nie berührt.
> Kann man das so sagen, oder ist das mathematisch nicht korrekt?
Wenn Du die Fläche unter dem Graphen der Funktion 1/x im positiven
Quadranten des Koordinatensystemes betrachtest ( sie hat keinen
endlichen Flächeninhalt ) besteht der Rand aus zwei
Zusammenhangskomponenten ( einmal die Vereinigung der pos. x-Axchse mit
der pos. y-Achse und als zweite Komponente der Graph ) Beide Kurven
haben keinen gemeinsamen Punkt. Ist es das, was Du sagen möchtest?
Axel
Axel Schmitz-Tewes
>
>
> Ich habe nur gesagt, sie habe einen Flächeninhalt ( was so viel heißt,
> daß das ebene Maß darauf definiert ist) nicht, daß sie eine Fläche ist!
sorry, ich habe es doch gesagt ;-9 , aber mit einem Smiley. Wenn man für
eine Fläche zweidimensionalität vorraussetzt, ist eine Gerade _keine_
Fläche mehr. Aber einen Flächeninhalt, hat sie natürlich trotzdem.
Axel
Manfred Ullrich
"Axel Schmitz-Tewes" <a...@in-telegence.net> schrieb im Newsbeitrag news:3AC33D99...@in-telegence.net...
Peer Mumen
Manfred Ullrich <manfred...@web.de> schrieb in im Newsbeitrag:
9a0buq$35g8t$1...@ID-33162.news.dfncis.de...
ein.
Manfred Ullrich
"Peer Mumen" <Smu...@gmx.net> schrieb im Newsbeitrag news:9a1l6c$866$1...@olaf.komtel.net...
>
> Manfred Ullrich <manfred...@web.de> schrieb in im Newsbeitrag:
> 9a0buq$35g8t$1...@ID-33162.news.dfncis.de...
> Fläche, auch
> > wenn Sie unendlich ist, gar kein Volumen hat. Einfach deshalb, weil die
> dritte
> > Dimension fehlt.
> >
> > Gruß Manfred
> >
> Ja, aber es geht doch um einen Rotationskörper, und der schließt ein Volumen
> ein.
>
dass es doch so gemeint ist, wie ich es aufgefasst habe. Oder doch nicht?
Gruß Manfred
Hermann Kremer
Manfred Ullrich schrieb in Nachricht
<9a1o7f$33dmo$1...@ID-33162.news.dfncis.de>...
Hallo Manfred,
es geht um beides. Gabriel's Horn ist ein Rotationskörper mit endlichem
Volumen, aber unendlicher Oberfläche,
http://www.attewode.com/Calculus/Slicing&Scaling/Slicing.htm
und die Koch'sche Schneeflocke ist eine ebene Figur mit endlicher Fläche,
aber unendlichem Umfang, s. die Links in meinen vorigen Postings.
Beim Flächeninhalt einer Kurve und dem Rauminhalt einer Fläche muß man
unterscheiden zwischen "... hat nicht ..." und "... ist gleich Null ..."
.
Es gibt Kurven, also Linien, die berühren jeden Punkt in einem z.B.
rechteckigen Gebiet a1 <= x <= a2, b1 <= y <= b2 der x-y-Ebene, z.B die
Hilbert-Kurve
http://www.mojays.de/mathe.html
und die Peano-Kurve,
http://peter.schenk.com/panopt/fraktale/peano.htm
und dabei wird es dann schwierig mit der Fläche .....
Grüße
Hermann
--
>Gruß Manfred
>