[Lineale] www.perfecttape.com
Rainer Rosenthal
endlich" haben mich angeregt, dieses Unwort
des Jahres auch in die Lineal-Diskussion
einzubringen.
Und es scheint mir eine interessante Frage-
stellung herausgekommen zu sein. Stellen
wir uns doch mal ein Massband vor, also solch
ein einrollbares Lineal. Braucht man die
Strecke s, dann zieht man sich die gewünschte
Länge aus dem aufgerollten Band in seinem Kästchen
heraus und legt die Marken exakt an. Fertig.
Die üblichen Massbänder (englisch: measuring tape)
haben ebenso wie die üblichen Lineale (rulers)
extrem viele Marken. Bei den Linealen erwies sich
das Weglassen von Marken als ein phänomenal nettes
Spiel: Wieviele Marken braucht der Mensch?
Warum nicht auch mal Massbänder betrachten und
ihnen die Marken so zu löschen, dass trotzdem noch
alles messbar bleibt? Da wir hier in de.sci.mathematik
sind, gehört es sich, diese Frage mathematisch an-
sprechend und anspruchsvoll zu formulieren.
Wie sieht ein Massband mit möglichst
wenig Marken aus?
Es muss zum Messen der Strecke s nie
um mehr als A*s aus seinem Kasten
gezogen werden und im Schnitt kommt
eine Marke auf die Länge B >= 1, wobei
ein grosses B gewünscht ist, ohne dabei
das A zu gross werden zu lassen.
Das war's natürlich noch nicht, aber es ist der Tuunel,
durch den die Vorstellung zu gehen hat, um am Ende
ein paar Formeln auszuspucken. Diese Formeln sollen
dann helfen, Massbänder zu vergleichen und nach den
schönsten zu suchen.
Das triviale Massband mit A=1 und B=1 gibt es in jedem
Eisenwarenladen oder beim Baumarkt. Auf der Suche nach
dem passenden englischen Begriff für Massband wurde
ich auf die Firma aufmerksam, deren Website im Titel
genannt ist:
THE PERFECT MEASURING TAPE COMPANY
Kein Witz! Die haben tatsächlich das Wort "perfect"
schon im Gebrauch. Und dabei haben sie die besten Massbänder
noch gar nicht gebaut. Schöner noch: Sie wissen noch
nicht mal, dass es solche jemals geben wird.
Ein völlig beknacktes Lineal könnte so aussehen: zuerst kommt
die Strecke 1, daran anschliessend 2, dann 3 usw:
_
/ \
\_/_________________________________
| | | | | | ||
Und in der Gebrauchsanweisung steht:
Wenn Sie die Strecke s messen wollen,
dann ziehen sie einfach so lange, bis
die kleineren Strecken herausgekommen
sind. Die von Ihnen gewünschte Länge
kann dann problemlos gemessen werden.
Zum Messen von Längen, die Dreieckszahlen (z.B. 1+2+3+4=10)
sind, ist das Massband ja gar nicht so übel, denn man igno-
riert die Gebrauchsanweisung und zieht nur so lange wie
nötig, so dass für diese Längen der Faktor A=1 ist.
Dumm ist es aber für so manche andere Länge(*) s bei der man
der Gebrauchsanweisung folgen muss und 1+2+3+...+s = s(s+1)/2
abspulen muss, um sie abzumessen. Da gibt's dann gar kein A.
Und da ist es auch kein Trost, dass B gegen Null geht.
Wer mir bis hierher gefolgt ist, den grüsse ich ganz herzlich
und freue mich auf Rückmeldungen.
(*) Was für Zahlen sind es eigentlich, für die man das Band
ganz weit herausziehen muss? Die Zahl 9 gehört nicht dazu,
denn 2+3+4=9 und auch 4+5=9 bringen schon vorher die passende
Marken-Differenz.
Es mag sein, dass auch hier Jakob Creutzig über Leute mit
"zuviel Zeit" den Kopf schüttelt. Aber vielleicht schmunzelt
er ja dabei statt sich auf die Lippen zu beissen wie bei
anderen Unendlichkeits-Denkern :-)
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Alfred Heiligenbrunner
Rainer Rosenthal schrieb am 14.02.2005 21:53:
>
> Wie sieht ein [unendliches] Massband mit möglichst
> wenig Marken aus?
> Es muss zum Messen der Strecke s nie
> um mehr als A*s aus seinem Kasten
> gezogen werden und im Schnitt kommt
> eine Marke auf die Länge B >= 1, wobei
> ein grosses B gewünscht ist, ohne dabei
> das A zu gross werden zu lassen.
>
Du hast ja immer wieder interessante Ideen!
Ich biete
..., 1, 2, 7k+4, 1, 2, ...
also
1,2,4,1,2,11,1,2,18,1,2,...
Die Bestimmung von A und B muss ich im Moment schuldig bleiben.
Ich nehme an, dass es noch bessere Konstrukte gibt.
>
> Wer mir bis hierher gefolgt ist, den grüsse ich ganz herzlich
> und freue mich auf Rückmeldungen.
Schönen Gruß auch am hektischen Morgen. Die Arbeit ruft. Ich folge dem
gesicherten Einkommen. :-)
Alfred
Rainer Rosenthal
"Alfred Heiligenbrunner"
>
> Rainer Rosenthal schrieb:
> >
> > Wie sieht ein [unendliches] Massband mit möglichst
> > wenig Marken aus?
> > Es muss zum Messen der Strecke s nie
> > um mehr als A*s aus seinem Kasten
> > gezogen werden und im Schnitt kommt
> > eine Marke auf die Länge B >= 1, wobei
> > ein grosses B gewünscht ist, ohne dabei
> > das A zu gross werden zu lassen.
> >
>
> Du hast ja immer wieder interessante Ideen!
Danke. Und es scheint, als könne ich plötzlich auch
Peter Luschnys Aversion gegen "Symmetrien" verstehen.
Denn wenn bei ihm schon immer galt, dass Lineale nicht
nur ihre Marken wechseln dürfen sondern auch die
Länge, dann ist das ja eine Vorwegnahme der Messbänder.
(Bei mir galt und gilt dagegen das Bekenntnis:
"Ein Lineal ist ein Lineal hat eine Länge." Und dann
kann man sowas natürlich einfach umdrehen und hat wieder
ein Lineal der gleichen Länge. Die Messbänder sind von
Hause aus unsymmetrisch und überraschen einen immer wieder
von neuem.)
>
> Ich biete
> ..., 1, 2, 7k+4, 1, 2, ...
>
> also
> 1,2,4,1,2,11,1,2,18,1,2,...
Upps, ein interessanter Vorschlag, den Dir die Muse Linealia
da eingegeben hat :-))
>
> Die Bestimmung von A und B muss ich im Moment schuldig bleiben.
> Ich nehme an, dass es noch bessere Konstrukte gibt.
Klar, gute Sachen lassen sich meistens toppen. Selbst wenn sie
perfekt sind, kann man sie noch optimaler machen. (Smiley dropped.)
> > Wer mir bis hierher gefolgt ist, den grüsse ich ganz herzlich
> > und freue mich auf Rückmeldungen.
*grüss* & *freu*
Es ist schon eine lustige Aufgabe, A und B zu bestimmen. Ich habe
es ja wohl so gewollt, also muss ich mal sehen, ob ich da eine
gute Abschätzung hinbekomme. Für einen ersten Schuss scheint mir
dies Massband aber schon prima!
Und um ein Gefühl für A und B zu bekommen, könnte man ja mal
sehen, wie man die Länge 31415926 dargestellt bekommt.
Wettbewerb: Wer findet die kürzeste Länge, die man
aus Alfreds Messband abrollen muss, um 31415926
abzumessen?
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Robert Figura
Hi,
ich habe vor zwei Wochen versucht, Lineale differentiell zu berechnen, d.h.
ein größeres aus kleineren zusammenzusetzen und bin auf ähnliche Ideen
gekommen. Es ist klar, daß das nicht ohne Transformation geht und etwas
Problem-unnatürlich ist, aber ich habe nach Struktur gesucht. Direkt ein
unendliches Maßband zu nehmen ist da natürlich eine Idee...
Ich vermute, daß es dafür eine einfache Lösung gibt (oder gar keine ;)
Sukzessive Konstruktion beginnend bei der längsten, noch nicht realisierten
Länge liegt nahe und vereinfacht die Suche ungemein. Das funktioniert auch
ganz offensichtlich bis etwa zur Länge 2/3 * n, dann wird der Suchraum doch
wieder recht breit und Backtracking unabdingbar. Ich muß mir mal Klaus'
Meinung genauer ansehen.
Momentan versuche ich die Bedingungen, die zu den Entscheidungen führen, die
das Lineal ergeben, zu formalisieren, sodaß dynamische Programmierung
funktioniert (vielleicht mit einer art Hashing). Tappe da aber noch völlig
im dunkeln.
Wenn ich nur nicht so beschäftigt wäre. Urlaub wäre toll :^)
Grüße
- Robert Figura
--
/* mandlsig.c v0.23 (c) by Robert Figura */
I=1702;float O,o,i;main(l){for(;I--;putchar("oO .,\nm>cot.bitamea\
@urigrf <raguFit erobR"[I%74?I>837&874>I?I^833:l%5:5]))for(O=o=l=
0;O*O+o*o<(16^l++);o=2*O*o+I/74/11.-1,O=i)i=O*O-o*o+I%74*.04-2.2;}
Alfred Heiligenbrunner
Rainer Rosenthal schrieb:
> "Alfred Heiligenbrunner"
>
>>Rainer Rosenthal schrieb:
>>
>>> Wie sieht ein [unendliches] Massband mit möglichst
>>> wenig Marken aus?
>>> Es muss zum Messen der Strecke s nie
>>> um mehr als A*s aus seinem Kasten
>>> gezogen werden und im Schnitt kommt
>>> eine Marke auf die Länge B >= 1, wobei
>>> ein grosses B gewünscht ist, ohne dabei
>>> das A zu gross werden zu lassen.
>>>
>>
>
>
>>Ich biete
>> ..., 1, 2, 7k+4, 1, 2, ...
>>
>>also
>>1,2,4,1,2,11,1,2,18,1,2,...
>
Die Strecke s=7k+4 steht an der Position 3(k+1). Bis dorthin (inklusive)
ist eine Gesamtlänge l = 7(k+1)(k+2)/2 abgetragen.
Z.B.: s=18, k=2, l=42=1+2+4+1+2+11+1+2+18.
Andere Möglichkeiten für Massbänder sind:
1,1,3,6,1,1,3,17, ... ,1,1,3,11k+6, ...
oder
1,1,1,4,8,1,1,1,4,23, ... ,1,1,1,4,15k+8, ...
oder allgemeiner
a1,a2,...,at, (r+1)+k(2r+1), ...
(beginnend mit k=0)
wobei a1,a2,...,at, so gewählt sind, dass sich eine Maßband ergibt und
a1+a2+...+at = r.
Die Strecke s=(r+1)+k(2r+1) steht an der Position (Marke) (t+1)(k+1).
Bis dorthin (inklusive) ist eine Gesamtlänge l = (2r+1)(k+1)(k+2)/2
abgetragen.
A >= l/s = (2r+1)(k+1)(k+2)/(2*((r+1)+k(2r+1))) --> oo für k-->oo
A nimmt mit steigendem s also immer mehr zu.
Interessanter ist hier vielleicht die Anzahl der _Marken_ C*s, die für
eine Strecke s abgerollt werden müssen.
Für s = (r+1)+k(2r+1) ist C >= (t+1)(k+1)/[(r+1)+k(2r+1)] -->
(t+1)/(2r+1) für k-->oo.
Beispiele:
1,2,4,1,2,11,1,2,18,1,2,... : r=3, t=2: C --> 3/7 = 0.428571
1,1,3,6,1,1,3,17, ... : r=5, t=3: C --> 4/11 = 0.363636
1,1,1,4,8,1,1,1,4,23, ...: r=7, t=4: C --> 5/15 = 0.333333
1,1,1, ... ,1, v+1,2v+1,... : r=2v+1, t=v+1: C --> (v+2)/(4v+3)
Letzteres geht für v-->oo gegen 1/4 = 0.25.
Der Wert C wird - bei dieser Sorte von Maßband - also umso besser, je
länger die Reihe von "1" am Beginn des Lineals ist. C kann im Extremfall
auf 0.25 herunterkommen.
>
> Und um ein Gefühl für A und B zu bekommen, könnte man ja mal
> sehen, wie man die Länge 31415926 dargestellt bekommt.
>
> Wettbewerb: Wer findet die kürzeste Länge, die man
> aus Alfreds Messband abrollen muss, um 31415926
> abzumessen?
31415926 = (7k+4)+1+2+1+2 für k=4487988
l(7k+4) = 7(k+1)(k+2)/2 = 7,04972E+13
Hmm.... das ist die Länge, bei der s=31415926 sicher aufzufinden ist. Es
könnte aber auch zufällig(?) schon vorher diese Strecke s auftauchen.
Grüße,
Alfred
Rainer Rosenthal
"Alfred Heiligenbrunner"
> >>> Wie sieht ein [unendliches] Massband
> >>> mit möglichst wenig Marken aus?
> >>Ich biete
> >> ..., 1, 2, 7k+4, 1, 2, ...
> >>
> >>also
> >>1,2,4,1,2,11,1,2,18,1,2,...
> >
Hallo Alfred,
so hübsch der Start ist, aber es geht schon bei
Differenz 25 mit wirklichen Problemen los :-/
Wie misst Du 25?
Die Aufgabe ist ganz schön heftig, denke ich.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Alfred Heiligenbrunner
Rainer Rosenthal schrieb:
> "Alfred Heiligenbrunner"
>
>
>>>>> Wie sieht ein [unendliches] Massband
>>>>> mit möglichst wenig Marken aus?
>
>
>>>>Ich biete
>>>> ..., 1, 2, 7k+4, 1, 2, ...
>>>>
>>>>also
>>>>1,2,4,1,2,11,1,2,18,1,2,...
>>>
>
> Hallo Alfred,
>
> so hübsch der Start ist, aber es geht schon bei
> Differenz 25 mit wirklichen Problemen los :-/
>
> Wie misst Du 25?
Das nächste Glied in der Folge der angeschriebenen Differenzen ist 7*3+4
= 25.
Welche Probleme siehst du?
Ich gebe ja zu, dass die Marken ziemlich verschwenderisch angebracht
sind. Allerdings besser, als dein ursprünglicher Vorschlag, wenn ich ihn
richtig verstanden habe.
Schöne Grüße,
Alfred
Alfred Heiligenbrunner
Rainer Rosenthal schrieb am 14.02.2005 21:53:
>
> Wie sieht ein Massband mit möglichst
> wenig Marken aus?
> Es muss zum Messen der Strecke s nie
> um mehr als A*s aus seinem Kasten
> gezogen werden und im Schnitt kommt
> eine Marke auf die Länge B >= 1, wobei
> ein grosses B gewünscht ist, ohne dabei
> das A zu gross werden zu lassen.
>
> Ein völlig beknacktes Lineal könnte so aussehen: zuerst kommt
> die Strecke 1, daran anschliessend 2, dann 3 usw:
>
> _
> / \
> \_/_________________________________
> | | | | | | ||
>
> Und in der Gebrauchsanweisung steht:
>
> Wenn Sie die Strecke s messen wollen,
> dann ziehen sie einfach so lange, bis
> die kleineren Strecken herausgekommen
> sind. Die von Ihnen gewünschte Länge
> kann dann problemlos gemessen werden.
>
> Zum Messen von Längen, die Dreieckszahlen (z.B. 1+2+3+4=10)
> sind, ist das Massband ja gar nicht so übel, denn man igno-
> riert die Gebrauchsanweisung und zieht nur so lange wie
> nötig, so dass für diese Längen der Faktor A=1 ist.
> Dumm ist es aber für so manche andere Länge(*) s bei der man
> der Gebrauchsanweisung folgen muss und 1+2+3+...+s = s(s+1)/2
> abspulen muss, um sie abzumessen. Da gibt's dann gar kein A.
> Und da ist es auch kein Trost, dass B gegen Null geht.
Jetzt sehe ich erst die Eleganz deiner Lösung.
Um z.B. s=9 zu messen, musst du das Band nur bis 4*5/2 = 10
herausziehen, weil 9 = 2 + 3 + 4.
Um z.B. s=31415926 zu messen, musst du das Band nur bis 7933*7934/2 =
31470211 herausziehen, weil 31415926 = 330 + 331 + 332 + 333 + 334 + ...
+ 7933.
Siehe http://www.heiligenbrunner.at/main/ahsummen.htm.
>
> (*) Was für Zahlen sind es eigentlich, für die man das Band
> ganz weit herausziehen muss?
2^n. Begründung findest du auch in obiger Referenz.
Gruß,
Alfred
Alfred Heiligenbrunner
Alfred Heiligenbrunner schrieb:
Den letzten Satz nehme ich zurück. Ich hatte deinen ursprünglichen
Vorschlag nicht richtig verstanden.
Gruß,
Alfred
Gerd Thieme
>> Wettbewerb: Wer findet die kürzeste Länge, die man aus Alfreds
>> Messband abrollen muss, um 31415926 abzumessen?
>
> 31415926 = (7k+4)+1+2+1+2 für k=4487988
> l(7k+4) = 7(k+1)(k+2)/2 = 7,04972E+13
>
> Hmm.... das ist die Länge, bei der s=31415926 sicher aufzufinden ist. Es
> könnte aber auch zufällig(?) schon vorher diese Strecke s auftauchen.
Das tut sie schon bei einem Neunzehntausendstel dieser Strecke.
Ich biete die Segmente 15319 (5107·3-2) bis 17762 (5920·3+2):
7·5920·5921/2+3 - 7·5106·5107/2 = 122683123 - 91267197 = 31415926
^^^^^^^^^
Gerd & Computer
Alfred Heiligenbrunner
Danke für den Tipp!
Es scheint sogar noch kürzer zu gehen.
Mit k1=960 und k2=3145 ergibt sich
l1 := l(7 k1 + 4) = 3235687 und
l2 := l(7 k2 + 4) = 34651617
und (l2 - 2 - 1) - (l1 + 1) = 34651614 - 3235688 = 31415926.
^^^^^^^^
Grüße,
Alfred & Computer :-)
> Gerd & Computer
Peter Niessen
[Schnipp & Schnapp]
Kleine Rückmeldung an Euch Theoretiker:
Ich habe die Lineale mal an die Praktiker mit Markierungsproblemen
weitergeleitet. Sie waren recht begeistert!
Mal schauen ob da noch Fragen kommen.
Konkret ging es darum runde Teile auf dem Umfang zu markieren. Gibt es
schon "runde Lineale"??
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
_ _ _ _
-O_O-O_O-O_O-O_O-
-O_O-O_O-O_O-O_O-
-O_O-O_O-O_O-O_O- Cunning Pike Wallpaper
Alfred Heiligenbrunner
Peter Niessen schrieb am 17.02.2005 21:42:
>
> Kleine Rückmeldung an Euch Theoretiker:
> Ich habe die Lineale mal an die Praktiker mit Markierungsproblemen
> weitergeleitet. Sie waren recht begeistert!
Interessant! Gibt es da wirklich praktische Anwendungen dafür?
> Mal schauen ob da noch Fragen kommen.
> Konkret ging es darum runde Teile auf dem Umfang zu markieren. Gibt es
> schon "runde Lineale"??
Die "Standard"-Lineale mit Markierungen in konstantem Abstand gibt es
sicher auch in rund. Aber solche mit minimalen Marken? Keine Ahnung. Ich
würde aber den Obermeister Linealis, Rainer Rosenthal (hallo), bitten,
mit dieser Frage einen neuen Thread aufzumachen.
Schöne Grüße und danke für die Motivation,
Alfred
Rainer Rosenthal
"Alfred Heiligenbrunner"
> Rainer Rosenthal schrieb
> > Ein völlig beknacktes Lineal könnte so aussehen:
> Jetzt sehe ich erst die Eleganz deiner Lösung.
> ...
> Siehe http://www.heiligenbrunner.at/main/ahsummen.htm.
> ...
> 2^n. Begründung findest du auch in obiger Referenz.
Hallo Alfred,
natürlich freue ich mich über das Echo, kann aber selbst
leider keinen Fatz dazu beitragen wegen "Land unter" im
Arbeitsalltag. Ich bin allerdings auf die Schnelle ver-
blüfft, was an meinem ausdrücklich als "beknackt", also
"dusslig" bezeichneten Lineal elegant sein soll. Wenn es
wahr ist, dass bloss die 2^n durch volles Rausziehen messbar
sind, dann ist das allein ja schon schlecht, denke ich.
Im übrigen hate ich Dein 1,2,x,1,2,y,... so verstanden, dass
Du die Längen der Segmente damit bezeichnet hast, die Marken
dazu also sind 0,1,3,3+x, 4+x, 6+x, 6+x+y, ...
Allen Mitlesern und -Postern (Gerd, Peter N.) besten Dank.
Von Peter N. hätte ich ja gerne noch die Kuppel gebastelt
bekommen, die er mir mal hier in dsm versprochen hatte :-)
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Ralf Goertz
> Kleine Rückmeldung an Euch Theoretiker:
> Ich habe die Lineale mal an die Praktiker mit Markierungsproblemen
> weitergeleitet. Sie waren recht begeistert!
> Mal schauen ob da noch Fragen kommen.
> Konkret ging es darum runde Teile auf dem Umfang zu markieren. Gibt es
> schon "runde Lineale"??
Wenn Du damit minimale Winkelmesser meinst, dann ja, siehe
34hq1hF...@news.dfncis.de und 34k7rjF...@news.dfncis.de
Ralf
--
There is only one "_" in my address
Klaus G
> Die vielen lustigen Gedanken zum Thema "un-
> endlich" haben mich angeregt, dieses Unwort
> des Jahres auch in die Lineal-Diskussion
> einzubringen.
>
> Und es scheint mir eine interessante Frage-
> stellung herausgekommen zu sein. Stellen
Die Bezeichnung "Massband" ist falsch.
Es muss heissen "Bandmaß".
Klaus G.
--
semf is alle
Alfred Heiligenbrunner
Rainer Rosenthal schrieb am 18.02.2005 07:10:
>
> natürlich freue ich mich über das Echo, kann aber selbst
> leider keinen Fatz dazu beitragen wegen "Land unter" im Arbeitsalltag.
Diese Lage droht bei mir nächste Woche.
> Ich bin allerdings auf die Schnelle ver-
> blüfft, was an meinem ausdrücklich als "beknackt", also
> "dusslig" bezeichneten Lineal elegant sein soll.
Dein Lineal garantiert - in leicht einsichtiger Weise - , dass jede
ganzzahlige Strecke s abmessbar ist. Schlimmstenfalls musst du dafür das
Maßband bis s(s+1)/2 herausziehen. Notwendig ist das aber nur für s=2^n.
Alle anderen s lassen sich in der Form s = m + (m+1) + ... + (m+k-1)
darstellen, also als Summe aufeinanderfolgender Ganzzahlen. Für solche s
muss nicht "voll" abgerollt werden.
m und k sind übrigens abhängig von den ungeraden Faktoren von s.
Es würde mich wundern, wenn das nicht einmal eine Aufgabe in
de.rec.denksport gewesen wäre.
Die Frage der Maßbandlänge auf eine Denksportaufgabe zurückzuführen
halte ich jedenfalls für unterhaltsam!
Für ein Maßband (oder Bandmaß, nach Klaus G.) von so elementarer
Bauweise halte ich das jedenfalls für ein erstaunlich interessantes
Ergebnis.
> Im übrigen hate ich Dein 1,2,x,1,2,y,... so verstanden, dass
> Du die Längen der Segmente damit bezeichnet hast, die Marken
> dazu also sind 0,1,3,3+x, 4+x, 6+x, 6+x+y, ...
Ja, so habe ich das gemeint! Es kann sein, dass ich mich manchmal falsch
oder umständlich ausgedrückt habe. Zudem ist mir die Nomenklatur der
regulären d.s.m.-Linealforscher nicht vertraut.
Mein ursprünglich vorgeschlagenes Lineal hat also die Segmentlängen
1,2,4,1,2,11,1,2,18,1,2,25,1,2,32,1,2,39,1,2,46,1,2,53,1,2,...
und damit die Marken an den Stellen
1, 3, 7, 8, 10, 21, 22, 24, 42, 43, 45, 70, 71, 73, 105, 106, 108, 147,
148, 150, 196, 197, 199, 252, 253, 255, ...
>
> Allen Mitlesern und -Postern (Gerd, Peter N.) besten Dank.
Schließe mich an.
Grüße,
Alfred
Alfred Heiligenbrunner
Ralf Goertz schrieb am 18.02.2005 09:11:
>
> Wenn Du damit minimale Winkelmesser meinst, dann ja, siehe
> 34hq1hF...@news.dfncis.de und 34k7rjF...@news.dfncis.de
Leider bin ich kein Mitglied von DFNNetNews. Kannst du die Artikel posten?
MfG
Alfred
>
> Ralf
>
Ralf Goertz
Hm, das sind die Message-ID's von zwei Beiträgen, die ich hier in dsm
gepostet habe. Über Google ist der erste
http://groups.google.de/groups?as_umsgid=34hq1hF...@news.dfncis.de&lr=&hl=de
der zweite hängt etwas später im selben Thread "Balkenwaage Puzzle"
Rainer Rosenthal
"Alfred Heiligenbrunner" schrieb
>
> Mein ursprünglich vorgeschlagenes Lineal hat
> also die Segmentlängen
> und damit die Marken an den Stellen
Ich habe mir mal das Differenzendreieck(*) aufge-
malt, das dazu gehört.
Ein Weilchen lang war ich verwirrt, aber nachdem
ich begonnen hatte, von den mehrfach vorhandenen
Differenzen immer nur die kleinste zu behalten,
gab das um die Doppelten bereinigte Dreieck eine
klare Struktur preis:
Du findest überall 3-mal-3 Täfelchen der Form
7k 7k 7k
7k 7k 7k
7k 7k 7k
mit der additiven Modifikation durch
0 -1 -3
1 0 -2
3 2 0
Es ist ein nettes Spiel, durch "im Dreieck zu
springen" und die Doppelten auszustreichen.
Der Kern (also die k-Werte der Täfelchen) ist
wiederum ein Dreieck:
0
1 0
3 2 0
6 5 3 0
10 9 7 4 0
15 14 12 9 5 0
21 20 18 15 11 6 0
...
mit sehr hübschem Bildungsgesetz und mit den
Dreieckszahlen 1,3,6,10,... in der ersten Spalte.
Und es zeigt sich, dass die 2-er-Potenzen auch
hier die sperrigen Kandidaten sind. Kein Wunder!
Denn prinzipiell handelt es sich ja um das von
mir eher spasshaft genannte "beknackte" Massband.
Upps... das hat mich dann doch verblüfft und ich
gebe das hier gerne zu Protokoll.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
(*) Bitte die Höhenlinien im Differenzendreieck
gemütlich und genüsslich nachfahren!
Alfred Heiligenbrunner
> wenig Marken aus?
> Es muss zum Messen der Strecke s nie
> um mehr als A*s aus seinem Kasten
> gezogen werden und im Schnitt kommt
> eine Marke auf die Länge B >= 1, wobei
> ein grosses B gewünscht ist, ohne dabei
> das A zu gross werden zu lassen.
>
Nach den ersten Versuchen nun ein anderer Ansatz. Das Lineal L_{oo}
beginnt mit folgenden Segmentlängen:
1, 2, 4, 1, 9, 1, 2, 21, 1, 2, 4, 1, 50, 1, 2, 4, 1, 9, 1, 2, 120, 1, 2,
4, 1, 9, 1, 2, 21, 1, 2, 4, 1, ...
Dieses Lineal ist so konstruiert:
L_1 = [1]
L_2 = [1, 2]
L_3 = [1, 2, 4, 1]
L_4 = [1, 2, 4, 1, 9, 1, 2]
...
L_{i+1} = L_{i} u [Gesamtlänge_von_L_{i} + 1] u L_{i-1}
Oben angeschrieben ist L_7 als Anfangssequenz von L_{oo}.
Wie man leicht sieht gilt für die Folge g_i := Gesamtlänge_von_L_{i}
g_1 = 1
g_2 = 3
g_3 = 8
g_4 = 20
g_{i+1} = 2*g_i + g_{i-1} + 1
Das ganze ist eine Konstruktion "auf gut Glück".
Offene Frage und Anmerkung:
A1*) Wer kann beweisen, dass hier jede Länge abmessbar ist?
Bzw.: Beweise oder widerlege, dass jedes Lineal L_i jede Strecke
zwischen 1 und g_i messen kann.
A2) g_n geht asymptotisch gegen 0.603553 * 2.41421^n.
D.h., g_{n+1} ~ 2.41421 * g_n.
A2 ergibt sich aus der "entrekursivierten" Form
g_n = (-1/2 + 1/4((1 + Sqrt[2])^(n+1) + (3 - 2*Sqrt[2])*(1 -
Sqrt[2])^(n-1))) .
Wie weit muss man das Maßband herausziehen, um s=31415926 zu messen?
Antwort: Unter Voraussetzung von A1*) scheint es einleuchtend, dass zum
Messen einer Strecke s das Maßband nie weiter als g_k herausgezogen
werden muss, wobei g_k >= s ist.
Für s=31415926 ist das g_21=65918161.
Wegen Anmerkung A2) muss das Maßband nie weiter als 2.41421*s
herausgezogen werden, für hinreichend große s.
Grüße,
Alfred
Peter Niessen
> Peter Niessen schrieb am 17.02.2005 21:42:
>>
>> Kleine Rückmeldung an Euch Theoretiker:
>> Ich habe die Lineale mal an die Praktiker mit Markierungsproblemen
>> weitergeleitet. Sie waren recht begeistert!
>
> Interessant! Gibt es da wirklich praktische Anwendungen dafür?
Konkret geht es hier um das Problem mit möglichst wenig Markierungen
(eigentlich will man gar keine) Teile nach der Umformung wiederzuerkennen.
Eine andere Anwendung, allerdings mit Golomb-Linealen, wurde mir mal in der
Astrophysik geschildert:
Die möglichst effektive Positionierung von Radioteleskopen für hochpräzise
long range Messungen.
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
|
-*_O- Cunning Pike With Black Eye
Peter Luschny
> Konkret geht es hier um das Problem mit möglichst wenig Markierungen
> (eigentlich will man gar keine) Teile nach der Umformung wiederzuerkennen.
> Eine andere Anwendung, allerdings mit Golomb-Linealen, wurde mir mal in der
> Astrophysik geschildert:
> Die möglichst effektive Positionierung von Radioteleskopen für hochpräzise
> long range Messungen.
Yupp. Und französische Windmühlen .. ;-))
http://web.jet.es/plopezp/viento/mol_fran.htm
Wobei man diesen Herren
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Coulomb.html
nicht mit Golomb verwechseln sollte, obwohl auch er über französische
Windmühlen geschrieben hat (neben /vielen/ anderen Sachen).
J.-C. Bermond, Graceful graphs, radio antennae and French windmills,
pp. 18-37 of R. J. Wilson, editor, Graph Theory and Combinatorics.
Pitman, London, 1978.
Und hier noch mehr Lesefutter für den Linealfreund ;-)
http://locus.siam.org/SIMAX/volume-06/refs/0606051.html
Gruss Peter
Alfred Heiligenbrunner
Alfred Heiligenbrunner schrieb am 19.02.2005.09:57:
> Rainer Rosenthal schrieb am 14.02.2005 21:53:
>
>> Wie sieht ein [unendliches] Massband mit möglichst
>> wenig Marken aus?
>
>
> Das Lineal L_{oo} beginnt mit folgenden Segmentlängen:
> 1, 2, 4, 1, 9, 1, 2, 21, 1, 2, 4, 1, 50, 1, 2, 4, 1, 9, 1, 2, 120, 1, 2,
> 4, 1, 9, 1, 2, 21, 1, 2, 4, 1, ...
>
> Dieses Lineal ist so konstruiert:
> L_1 = [1]
> L_2 = [1, 2]
> ...
> L_{i+1} = L_{i} u [Gesamtlänge_von_L_{i} + 1] u L_{i-1}
>
> Oben angeschrieben ist L_7 als Anfangssequenz von L_{oo}.
>
> Wie man leicht sieht gilt für die Folge g_i := Gesamtlänge_von_L_{i}
> g_1 = 1
> g_2 = 3
> g_{i+1} = 2*g_i + g_{i-1} + 1
>
>
>
> A1*) Wer kann beweisen, dass hier jede Länge abmessbar ist?
> Bzw.: Beweise oder widerlege, dass jedes Lineal L_i jede Strecke
> zwischen 1 und g_i messen kann.
Sei X eine natürliche Zahl.
Ich zeige zunächst, dass mit den Linealen
L_{i} u [X] u L_{i-1},
L_{i} u [X] u L_{i},
L_{i-1} u [X] u L_{i}
jeweils jede Länge von X bis zur vollen Länge abmessen lässt.
Der Beweis erfolgt mittels Induktion. Siehe *) unten.
Danach lässt sich (nochmals mittels Induktion) zeigen, dass L_{i}
jeweils alle Längen von 1 bis g_{i} abmessen lassen.
-----
*)
Induktionsbehauptung:
a) L_{i} u [X] u L_{i-1},
b) L_{i} u [X] u L_{i},
c) L_{i-1} u [X] u L_{i}
lassen jeweils jede Länge von X bis zur vollen Länge abmessen.
Induktionsanfang:
Die Induktionsbehauptung gilt für i=2 und i=3.
Induktionsschritt:
Wenn die Induktionsbehauptung für i gilt (Induktionsvoraussetzung), dann
auch für i+1.
a) L_{i+1} u [X] u L_{i}
= L_{i} u [g_{i} + 1] u L_{i-1} u [X] u L_{i}
Laut Induktionsvoraussetzung c) lassen sich mit dem rechten Teil
L_{i-1} u [X] u L_{i}
alle Längen von X bis X+g_{i-1}+g_{i} messen.
Die nächstgrößere Länge X+g_{i-1}+g_{i}+1 erreicht man mit dem Mittelteil
[g_{i} + 1] u L_{i-1} u [X]
Um noch größere Längen abzumessen verwendet man diesen Teil immer fix.
Man misst also mit einem Lineal
L_{i} u [Y] u L_{i}
wobei Y = X+g_{i-1}+g_{i}+1.
Dieses Lineal erreicht laut Induktionsvoraussetzung b) alle Längen bis
zur Gesamtlänge des Lineals.
Dass
b) L_{i+1} u [X] u L_{i+1}
und
c) L_{i} u [X] u L_{i-1}
ebenfalls alle Längen von X bis zur Linealgesamtlänge abmessen können,
lässt sich analog zeigen.
-----
Anmerkung:
Ursprünglich hatte ich ein Lineal der Form
... B, 1, 1, ... 1, C, 1, 1, ... 1, ...
im Sinn. Dann habe ich gemerkt, dass man die Reihe von 1-en auch
"verdichten" kann. Nach einigen Versuchen hat sich die jetzige
Konstruktionsform des Lineals als brauchbar herausgestellt, zumindest
für i <= 20. Dass sie auch für größere i funktioniert, habe ich bisher
nur vermuten können. Durch den obigen Beweis (habe ich Fehler begangen?)
sollte das jetzt sichergestellt sein.
Dieses Lineal sollte wohl am treffendsten "Fibonacci"-Lineal heißen.
MfG
Alfred