ZFC: Habe fertig!

[Fritz Feldhase]

Wikipedia: "classical mathematics refers generally to the mainstream approach to mathematics, which is based on classical logic and ZFC set theory".

"Inzwischen wissen wir, dass das falsch ist. ZFC is gestorben." (W. Mückenheim)

[paule32]

Am 03.08.2022 um 11:36 schrieb Fritz Feldhase:
> which is based on classical logic

rechnen moderne Computer nicht mehr mit 0 und 1 ?
was haben wir da bloß erfunden.

Adolf war für analog Technik.
Aber die moderne digitale Technik - falsch ?

ohje.

Das manche Taschenrechner vom ALDI und co. manchmal
falsch rechnen, das habe ich schon 1990 bemerkt - wo
es dann "blühende Landschaften gab".

Wurden die mit "falschen" Rechnern entwertet oder wie
sagt man: "An den BUNDL (Bund Deutscher Länder - BDL)
wäre noch viel mehr rauszuholen gewesen !"

aka Spitzbart.

Mit freundlichen Grüßen
paule32

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 11:36:34 UTC+2:
> Wikipedia: "classical mathematics refers generally to the mainstream approach to mathematics, which is based on classical logic and ZFC set theory".
>
> "Inzwischen wissen wir, dass das falsch ist. ZFC is gestorben." (W. Mückenheim)

Beweis: ZF kennt keine dunklen Zahlen.

Alle angebbaren Endsegmente E(k) mit k ∈ ℕ_def, also solche, die ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = ℵ₀ erfüllen, können ohne Änderung des Schnittes von {E(k) : k ∈ ℕ} subtrahiert werden:

∩{E(k) : k ∈ ℕ} = ∩({E(k) : k ∈ ℕ} \ {E(k) : k ∈ ℕ_def}) = { }

Also kann der leere Schnitt nur durch nicht angebbare Endsegmente bewirkt werden.

Gruß, WM

[Juergen Ilse]

Ganzhinterseher <askas...@gmail.com> wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 11:36:34 UTC+2:
>>
>> "Inzwischen wissen wir, dass das falsch ist. ZFC is gestorben." (W. Mückenheim)
> Beweis: ZF kennt keine dunklen Zahlen.

Das ist auch gut so. Es waere ja irgendwie inkonsistent, wenn es diesen
intellektuellen Sondermuell *ausschliesslichh* in ZF gaebe, nicht war?

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 15:11:58 UTC+2:
> Ganzhinterseher <askas...@gmail.com> wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 11:36:34 UTC+2:
> >>
> >> "Inzwischen wissen wir, dass das falsch ist. ZFC is gestorben." (W. Mückenheim)
> > Beweis: ZF kennt keine dunklen Zahlen.

> Das ist auch gut so. Es waere ja irgendwie inkonsistent, wenn es diese *ausschliesslichh* in ZF gaebe, nicht war?

Es gibt sie jedenfalls, wenn Cantor recht hat, dass mit omega oder aleph_0 eine Zahl größer als jede endliche Zahl existiert. Denn dann existieren Endsegmente und ihr Schnitt.

Alle angebbaren Endsegmente E(k) mit k ∈ ℕ_def, also solche, die ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = ℵ₀ erfüllen, können ohne Änderung des Schnittes von {E(k) : k ∈ ℕ} subtrahiert werden:

∩{E(k) : k ∈ ℕ} = ∩({E(k) : k ∈ ℕ} \ {E(k) : k ∈ ℕ_def}) = { }

Also kann der leere Schnitt nur durch nicht angebbare Endsegmente bewirkt werden, etwas das in ZF nicht möglich ist.

Gruß, WM

[JVR]

Weiter so. Das sind ganz neue und wichtige Ideen.
Aus derselben Logik folgt natürlich, dass eine reelle Folge nur konvergieren kann wenn sie konstant wird.

Beweis: Es sei (a_n) eine streng monoton zunehmende Folge reeller Zahlen und a > a_n, für alle n, ebenfalls reell.
Dann kann a nicht Limes der Folge sein, denn zwischen jedem angebbaren a_n und a liegen unendlich viele
weitere Glieder der Folge, die alle einen endlichen Abstand von a haben.

Darf ich annehmen, dass wir alle nach Augsburg eingeladen sind zum feierlichen auto-da-fé; zum großen
germanischen Bücherverbrennungs-Fest?

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 16:09:25 UTC+2:
>
> Aus derselben Logik folgt natürlich, dass eine reelle Folge nur konvergieren kann wenn sie konstant wird.

Nein. Ich habe eine ähnliche Frage gerade beantwortet: There is an abyss between limits of functions and limits of sequences of sets. But people were unable or too lazy to figure that out.

> Beweis: Es sei (a_n) eine streng monoton zunehmende Folge reeller Zahlen und a > a_n, für alle n, ebenfalls reell.
> Dann kann a nicht Limes der Folge sein, denn zwischen jedem angebbaren a_n und a liegen unendlich viele
> weitere Glieder der Folge, die alle einen endlichen Abstand von a haben.
>

Die Folge a_n = 1 -1/n mit dem Grenzwert a = 1 erfüllt diese Vorgaben. Alle definierbaren Glieder streben zum Grenzwert. Fast alle Glieder sind dunkle Zahlen, über die wir nichts wissen. Der Grenzwert wird nicht angenommen, nur angestrebt. Aber er existiert.

Im Gegensatz dazu muss bei einer Mengenfolge der Grenzwert erreicht werden. Wenn jemand behauptet, alle Brüche würden nummeriert, dann darf keiner übrig bleiben, wenn die Ganzzahlbrüche die Matrix
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
...
vollständig überdecken.

Gruß, WM

[JVR]

OK, ich verstehe. Keine Bücherverbrennung nur heiße Luft.
Hopp, hopp Rosinante; immer weiter so!

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, August 3, 2022 at 4:25:48 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> JVR schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 16:09:25 UTC+2:
> >
> > Aus derselben Logik folgt natürlich, dass eine reelle Folge nur konvergieren kann wenn sie konstant wird.
> >
> Nein. Ich habe eine ähnliche Frage gerade beantwortet: There is an abyss between limits of functions and limits of sequences of sets.

Nö, is nicht so dramatisch.

> But people were unable or too lazy to figure that out.

Bzw. zu dumm, wie in Deinem Fall.

> > Beweis: Es sei (a_n) eine streng monoton zunehmende Folge reeller Zahlen und a > a_n, für alle n, ebenfalls reell.
> > Dann kann a nicht Limes der Folge sein, denn zwischen jedem angebbaren a_n und a liegen unendlich viele
> > weitere Glieder der Folge, die alle einen endlichen Abstand von a haben.
> >

> Die Folge a_n = 1 - 1/n mit dem Grenzwert a = 1 erfüllt diese Vorgaben. [...] Der Grenzwert wird nicht angenommen, nur angestrebt. Aber er existiert.

>
> Im Gegensatz dazu muss bei einer Mengenfolge der Grenzwert erreicht werden.

Nö. Die Mengenfolge A_n = [0, 1 - 1/n] mit dem Grenzwert A = [0, 1] erfüllt diese Vorgaben. Der Grenzwert wird nicht angenommen, nur angestrebt. Aber er existiert.

Siehe dazu: https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergente_Mengenfolge

______________________

Wie dumm kann man eigentlich sein, Mückenheim?

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, August 3, 2022 at 2:40:31 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 11:36:34 UTC+2:
> >

> > Wikipedia: "classical mathematics refers generally to the mainstream approach to mathematics, which is based on classical logic and ZFC set theory".
> >

> > "Inzwischen wissen wir, dass das falsch ist. ZFC is gestorben." (W. Mückenheim)
> >
> Beweis: ZF kennt keine dunklen Zahlen.

Echt jetzt? Ja, dann ist die ZF(C) wohl wirklich "erledigt"!

> Alle [...] Endsegmente E(k) mit k ∈ ℕ_def, also solche, die ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = ℵ₀ erfüllen,

IN_def := {k e IN: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = ℵ₀}.

=> IN_def = IN.

> können ohne Änderung des Schnittes von {E(k) : k ∈ ℕ} subtrahiert werden:

Nicht "alle" (zusammen) [Fall 1], aber "jedes" (einzeln, für sich genommen) [Fall 2]:

Fall 1: SCHNITT ({E(k) : k ∈ ℕ} \ {E(k) : k ∈ ℕ}) = SCHNITT { } => nicht definiert in ZFC. [Nein, d a s ist kein Mangel der ZFC.]

Fall 2: Ak e IN: SCHNITT ({E(k) : k ∈ ℕ} \ {E(k)}) = SCHNITT {E(k) : k ∈ ℕ} = { }.

Tatsächlich können [Fall 2a] _je endlich viele_ Endsegmente "ohne Änderung des Schnittes von {E(k) : k ∈ ℕ} subtrahiert werden":

Fall 2a: Ak e IN: SCHNITT ({E(k) : k ∈ ℕ} \ {E(n_1),..., E(n_k)}) = SCHNITT {E(k) : k ∈ ℕ} = { }.

Es können sogar [Fall 3] _beliebig viele_ Endsegmente "ohne Änderung des Schnittes von {E(k) : k ∈ ℕ} subtrahiert werden", solange nur die sich ergebende Differenzmenge unendlich ist:

Fall 3: Sei M c {E(k) : k ∈ ℕ}, M =/= {E(k) : k ∈ ℕ}. SCHNITT ({E(k) : k ∈ ℕ} \ M) = { } genau dann wenn {E(k) : k ∈ ℕ} \ M unendlich ist.

Beispiel: M = {E(1), E(3), E(5), ...}. Dann ist {E(k) : k ∈ ℕ} \ M = {E(2), E(4), E(6), ...} (also unendlich) und SCHNITT ({E(k) : k ∈ ℕ} \ M) = SCHNITT {E(2), E(4), E(6), ...} = { }.

> ∩{E(k) : k ∈ ℕ} = ∩({E(k) : k ∈ ℕ} \ {E(k) : k ∈ ℕ_def}) = { }

Nö. Siehe oben.

> Also kann <blubber>

Ex falso quodlibet.

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 16:46:17 UTC+2:
> On Wednesday, August 3, 2022 at 4:25:48 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> > Die Folge a_n = 1 - 1/n mit dem Grenzwert a = 1 erfüllt diese Vorgaben. [...] Der Grenzwert wird nicht angenommen, nur angestrebt. Aber er existiert.
> >
> > Im Gegensatz dazu muss bei einer Mengenfolge der Grenzwert erreicht werden.
> Nö. Die Mengenfolge A_n = [0, 1 - 1/n] mit dem Grenzwert A = [0, 1]

ist nur eine verkleidete Folge reeller Zahlen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 17:11:34 UTC+2:
> On Wednesday, August 3, 2022 at 2:40:31 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> > Alle [...] Endsegmente E(k) mit k ∈ ℕ_def, also solche, die ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = ℵ₀ erfüllen,
>
> IN_def := {k e IN: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = ℵ₀}.
>
> => IN_def = IN.
> > können ohne Änderung des Schnittes von {E(k) : k ∈ ℕ} subtrahiert werden:
> Nicht "alle" (zusammen)

Doch alle definierbaren zusammen. Gib eines an, das nicht mit allen definierbaren Endsegmenten subtrahiert werden kann. Oder einfacher: Definiere eines, das bleiben muss, um den leeren Schnitt zu erzeugen.

Gruß, WM

[Gus Gassmann]

Darf man daraus schliessen, dass die Mengenfolge E(n) für natürliche Zahlen n auch nur eine "verkleidete Folge reeller Zahlen" ist? Wozu brauchst du dann Endsegmente? Zum Bauernfangen, oder um dir selbst klarzumachen, dass da doch ein Unterschied besteht?

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, August 3, 2022 at 5:20:23 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 17:11:34 UTC+2:
> > On Wednesday, August 3, 2022 at 2:40:31 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > >
> > > Alle [...] Endsegmente E(k) mit k ∈ ℕ_def, also solche, die ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = ℵ₀ erfüllen,
> > >
> > IN_def := {k e IN: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = ℵ₀}.
> >
> > => IN_def = IN.
> > >
> > > können ohne Änderung des Schnittes von {E(k) : k ∈ ℕ} subtrahiert werden:
> > >
> > Nicht "alle" (zusammen)
> >

> Doch alle [...] zusammen.

Nein. Punkt.

Dass Du aufgrund Deiner Geisteskrankheit nicht einmal mehr verstehst, dass A \ A = { } und SCHNITT (A \ A) daher nicht definierst ist, nehme ich hiermit zur Kenntnis. Einmal mehr muss man mit Ralf konstatieren: Du redest nur saudummen Scheißdreck daher.

EOD

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, August 3, 2022 at 5:16:39 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 16:46:17 UTC+2:
> > On Wednesday, August 3, 2022 at 4:25:48 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > >
> > > Die Folge a_n = 1 - 1/n mit dem Grenzwert a = 1 erfüllt diese Vorgaben. [...] Der Grenzwert wird nicht angenommen, nur angestrebt. Aber er existiert.
> > >

> > > Im Gegensatz dazu muss bei einer Mengenfolge der Grenzwert [angenommen] werden.

> > >
> > Nö. Die Mengenfolge A_n = [0, 1 - 1/n] mit dem Grenzwert A = [0, 1]
> >

> ist nur <blubber>.

Es ist eine MENGENFOLGE, Mückenheim, mit einem Grenzwert den sie nicht "annimmt". Punkt.

Diese liefert ein Gegenbeispiel zu Deiner Behauptung.

WIE DÄMLICH UND VERLOGEN KANN MAN EIGENTLICH SEIN, so als Hochschullehrer?

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, August 3, 2022 at 5:24:33 PM UTC+2, Gus Gassmann wrote:
> On Wednesday, 3 August 2022 at 12:16:39 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 16:46:17 UTC+2:
> > > On Wednesday, August 3, 2022 at 4:25:48 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > > >
> > > > Die Folge a_n = 1 - 1/n mit dem Grenzwert a = 1 erfüllt diese Vorgaben. [...] Der Grenzwert wird nicht angenommen, nur angestrebt. Aber er existiert.
> > > >
> > > > Im Gegensatz dazu muss bei einer Mengenfolge der Grenzwert erreicht werden.
> > >

> > > Nö. Die Mengenfolge (A_n) mit A_n = [0, 1 - 1/n] und dem Grenzwert A = [0, 1]

> > >
> > ist nur eine verkleidete Folge reeller Zahlen.

Wikipedia sieht das etwas anders:

"Eine Mengenfolge ist ein Begriff aus der Mengenlehre, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie ist eine Verallgemeinerung einer Folge von Zahlen für Mengen"

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Mengenfolge
und: https://de.wikipedia.org/wiki/Mengenfolge#Definition

Eine Verallgemeinerung ist durchaus etwas anderes als eine "Verkleidung". :-)

Wir könnten natürlich auch die Mengenfolge (A_n) mit A_n = {1, 2, 3, ..., n} und dem Grenzwert IN = {1, 2, 3, ...} betrachten. Auch hier gilt: "Der Grenzwert wird nicht angenommen, nur angestrebt. Aber er existiert." [WM] (Auch nur "eine verkleidete Folge reeller Zahlen"?)

> Darf man daraus schliessen, dass die Mengenfolge E(n) für natürliche Zahlen n auch nur eine "verkleidete Folge reeller Zahlen" ist? Wozu brauchst du dann Endsegmente? Zum Bauernfangen, oder um dir selbst klarzumachen, dass da doch ein Unterschied besteht?

Der Mann gehört in eine Klapsmühle, dort wäre er wohl am besten aufgehoben.

[Gus Gassmann]

On Wednesday, 3 August 2022 at 12:51:12 UTC-3, Fritz Feldhase wrote:
> [...] dass A \ A = { } und SCHNITT (A \ A) daher nicht definierst ist, [...]

Das würde ich nicht ganz so eng sehen. In ZFC geht das natürlich nicht, aber siehe

https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_(set_theory)#Nullary_intersection

[Gus Gassmann]

On Wednesday, 3 August 2022 at 13:06:46 UTC-3, Fritz Feldhase wrote:
[...]

> Der Mann gehört in eine Klapsmühle, dort wäre er wohl am besten aufgehoben.

Generell ACK. Aber heute hat er über dunkle Zahlen folgendes von sich gegeben:
"Let us call them numbers which cannot be written down. They may have other properties of natural numbers." WM, (sci.math, thread: "Natural numbers and vases III")

Ganz falsch würde ich das nicht nennen...

[Ralf Bader]

"Wir" wissen nix über die Glieder, aber sie streben. Mückenheim, Ihr
Gefasel ist von einer derart idiotischen Saublödheit, daß es einem den
Stiefelknecht erspart.

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, August 3, 2022 at 6:46:48 PM UTC+2, Gus Gassmann wrote:
> On Wednesday, 3 August 2022 at 12:51:12 UTC-3, Fritz Feldhase wrote:
> >
> > [...] dass A \ A = { } und SCHNITT (A \ A) daher nicht definierst ist, [...]

Soll natürlich - ausführlich hingeschrieben - heißen: "...und SCHNITT (A \ A) daher _IN ZFC_ nicht definierst ist, ..."

Der Kontext ... hüstel... ist Dir klar, oder? -> Siehe Titel des Threads... :-P

> Das würde ich nicht ganz so eng sehen. In ZFC geht das natürlich nicht, aber siehe
>
> https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_(set_theory)#Nullary_intersection

Jep.

"So the intersection of the empty family should be the universal set [...], but in standard (ZF) set theory, the universal set does not exist." (Wikipedia)

In MK kann man so was schon machen, da ist dann halt SCHNITT (A \ A) die Klasse aller Mengen V.

Aber AUCH DANN ist natürlich SCHNITT ({E(k) : k ∈ ℕ} \ {E(k) : k ∈ ℕ}) =/= SCHNITT {E(k) : k ∈ ℕ} = { } (weil V =/= { } ist).

Kurz, wie man es dreht und wendet:

Fall 1: SCHNITT ({E(k) : k ∈ ℕ} \ {E(k) : k ∈ ℕ}) = SCHNITT { } => nicht definiert in ZFC. [Nein, d a s ist kein Mangel der ZFC.]

oder aber SCHNITT ({E(k) : k ∈ ℕ} \ {E(k) : k ∈ ℕ}) = SCHNITT { } = V und damit ungleich SCHNITT ({E(k) : k ∈ ℕ} = { } - z B. in MK.

Habermas jetzt?

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, August 3, 2022 at 6:57:19 PM UTC+2, Gus Gassmann wrote:

> Generell ACK. Aber heute hat er über dunkle Zahlen folgendes von sich gegeben:
>

> "Let us call them /numbers which cannot be written down/. They may have other properties of natural numbers." WM, (sci.math, thread: "Natural numbers and vases III")

>
> Ganz falsch würde ich das nicht nennen...

In der Tat. Auch ein blindes Huhn usw.

Allerdings würde ich da doch noch "präzisieren" (oder ergänzen) wollen:

"Let us call them /numbers which cannot ACTUALLY be written down/. [...]"

Denn man kann dem - was man schon gelesen hat - entgegenhalten:

"All natural numbers - or rather their names - can 'in principle' be written down. [...]" [Man denke an die Theorie der TM.]

Außerdem hängt diese Äußerung auch so noch irgendwie in der Luft (ist also m. E. einigermaßen "unbestimmt"). Daher würde ich folgendes bevorzugen:

"Let us call them /numbers which cannot ACTUALLY be written down using the unary numeral system/ ..."

Solche natürlichen Zahlen gibt es zweifelsohne. Niemand kann den Zahlnahmen von 10^10^80 unter Benutzung des unären Zahlensystems TATSÄCHLICH hinschreiben. (Das auch schon für bedeutende kleinere Zahlen nicht mehr.)

Außerdem muss man das wohl UMDREHEN, also:

"Let us call numbers the names of which cannot ACTUALLY be written down using the unary numeral system /dark/."

So weit sogut, und natürlich stimmt es: "They may have other properties of natural numbers."

Insbesondere haben sie alle ARITHMETISCHEN Eigenschaften der natürlichen Zahlen; und auch im Kontext der MENGENLEHRE; ANALYSIS, etc. etc. spielt es KEINE ROLLE, ob eine natürliche Zahl "dunkel" ist (also unter Benutzung des unären Systems TATSÄCHLICH irgendwo in unserem Universum hingeschrieben werden kann) oder nicht. [Das ist genau so IRRELEVANT wie der Umstand, ob jemand gerade an eine bestimmte Zahl denkt oder nicht.]

Kurz: Es gibt bislang keine Sätze in der Mathematik (im engeren Sinne, also im Kontext der Arithmetik, Analysis, Zahlentheore, Mengenlehre, etc. etc.) der Form

An e IN: ...n... ,

die man auf folgende Weise einschränken müsste/könnte:

An e IN(~dark(n) -> ...n...) ,

bzw.

An e IN(dark(n) -> ...n...) ,

da ja noch nicht mal eine Definition des Prädikats "dark()" _in Begriffen der Mathematik (im engeren Sinne)_ vorliegt; also im Kontext der Arithmetik, Analysis, Zahlentheorie, Mengenlehre, etc. etc.

Bisher handelt es sich bestenfalls um einen Begriff der "Metamathematik".

Fazit:

WM hat also entdeckt, dass man den "unären" Zahlnamen einer natürlichen Zahl nicht für jede natürliche Zahl TATSÄCHLICH hinschreiben kann. Eine großartige Einsicht/Erkenntnis! (Vermutlich hat das noch nie jemand vor ihm so klar erkannt!) Lediglich deren TRAGWEITE scheint mir noch nicht so ganz klar zu sein. Muss man jetzt alle Lehrbücher der Mathematk umschreiben?

[ Neulich hat er auch sehr richtig angemerkt, dass man die rationalen Zahlen nicht "(ab)zählen" könne - wobei Cantor das angeblich versucht habe. Auch hier kann man ihm nur zustimmen (wenn wir einmal von Chuck Norris absehen)! Warum nur hat das bisher noch niemand bemerkt? ]

---------------------------------------------

Der Ultrafinitismus mag diebezüglich vielleicht etwas anderer Auffassung sein. Ich beziehe mich hier allerdings nur auf die sog. "klassische Mathematik". (Aber das Gesagte wird wohl auch noch für den "Intuitionismus" und/oder die meisten "konstruktivistische Ansätze" zutreffen, denke ich.)

[Gus Gassmann]

On Wednesday, 3 August 2022 at 15:50:37 UTC-3, Fritz Feldhase wrote:
> On Wednesday, August 3, 2022 at 6:57:19 PM UTC+2, Gus Gassmann wrote:
>
> > Generell ACK. Aber heute hat er über dunkle Zahlen folgendes von sich gegeben:
> >
> > "Let us call them /numbers which cannot be written down/. They may have other properties of natural numbers." WM, (sci.math, thread: "Natural numbers and vases III")
> >
> > Ganz falsch würde ich das nicht nennen...
> In der Tat. Auch ein blindes Huhn usw.
>
> Allerdings würde ich da doch noch "präzisieren" (oder ergänzen) wollen:
>
> "Let us call them /numbers which cannot ACTUALLY be written down/. [...]"
>
> Denn man kann dem - was man schon gelesen hat - entgegenhalten:
>
> "All natural numbers - or rather their names - can 'in principle' be written down. [...]" [Man denke an die Theorie der TM.]
>
> Außerdem hängt diese Äußerung auch so noch irgendwie in der Luft (ist also m. E. einigermaßen "unbestimmt"). Daher würde ich folgendes bevorzugen:
>
> "Let us call them /numbers which cannot ACTUALLY be written down using the unary numeral system/ ..."

Selbst das ist noch zu unpräzise. Was heisst "cannot ACTUALLY be written down"? Ist das nicht genauso schwammig wie Mucks "definierbar"/"undefinierbar". Wenn eine Zahl n tatsächlich (besonders im unären System) niedergeschrieben werden kann, dann kann ich auch flugs noch ein 'I' anhängen und habe somit S(n) (oder n+1).

>
> Solche natürlichen Zahlen gibt es zweifelsohne. Niemand kann den Zahlnahmen von 10^10^80 unter Benutzung des unären Zahlensystems TATSÄCHLICH hinschreiben. (Das auch schon für bedeutende kleinere Zahlen nicht mehr.)
>
> Außerdem muss man das wohl UMDREHEN, also:
>
> "Let us call numbers the names of which cannot ACTUALLY be written down using the unary numeral system /dark/."
>
> So weit sogut, und natürlich stimmt es: "They may have other properties of natural numbers."
>
> Insbesondere haben sie alle ARITHMETISCHEN Eigenschaften der natürlichen Zahlen; und auch im Kontext der MENGENLEHRE; ANALYSIS, etc. etc. spielt es KEINE ROLLE, ob eine natürliche Zahl "dunkel" ist (also unter Benutzung des unären Systems TATSÄCHLICH irgendwo in unserem Universum hingeschrieben werden kann) oder nicht. [Das ist genau so IRRELEVANT wie der Umstand, ob jemand gerade an eine bestimmte Zahl denkt oder nicht.]
>
> Kurz: Es gibt bislang keine Sätze in der Mathematik (im engeren Sinne, also im Kontext der Arithmetik, Analysis, Zahlentheore, Mengenlehre, etc. etc.) der Form
>
> An e IN: ...n... ,
>
> die man auf folgende Weise einschränken müsste/könnte:
>
> An e IN(~dark(n) -> ...n...) ,
>
> bzw.
>
> An e IN(dark(n) -> ...n...) ,
>
> da ja noch nicht mal eine Definition des Prädikats "dark()" _in Begriffen der Mathematik (im engeren Sinne)_ vorliegt; also im Kontext der Arithmetik, Analysis, Zahlentheorie, Mengenlehre, etc. etc.
>
> Bisher handelt es sich bestenfalls um einen Begriff der "Metamathematik".
>
> Fazit:
>
> WM hat also entdeckt, dass man den "unären" Zahlnamen einer natürlichen Zahl nicht für jede natürliche Zahl TATSÄCHLICH hinschreiben kann. Eine großartige Einsicht/Erkenntnis! (Vermutlich hat das noch nie jemand vor ihm so klar erkannt!) Lediglich deren TRAGWEITE scheint mir noch nicht so ganz klar zu sein. Muss man jetzt alle Lehrbücher der Mathematk umschreiben?

Ich kann mir durchaus vorstellen, dass zumindest eines davon dringend bearbeitet werden sollte, aber das werden wir wohl nicht mehr erleben...

Das gesamte System, das da hinterm See entwickelt wurde :^) läuft doch darauf hinaus, dass es zu jedem Zeitpunkt t eine Menge N_t von Zahlen gibt, die jemals irgendwann irgendjemand schon vor dem Zeitpunkt t benutzt hat. Das ist zweifelsohne eine endliche Menge, hat also zu jedem Zeitpunkt t die Eigenschaften, die man ganz hinterm See so schätzt, ist aber andererseits beweisbar eine echte Teilmenge von IN und ererbt alle Eigenschaften der natürlichen Zahlen. Das ist leider alles so alt und trivial, dass der kleine Muck daraus sicher keine Fields-Medaille herausschlagen könnte, selbst wenn er nicht so weit über der Altersgrenze wäre.

> [ Neulich hat er auch sehr richtig angemerkt, dass man die rationalen Zahlen nicht "(ab)zählen" könne - wobei Cantor das angeblich versucht habe. Auch hier kann man ihm nur zustimmen (wenn wir einmal von Chuck Norris absehen)! Warum nur hat das bisher noch niemand bemerkt? ]

Jo. Wobei Chuck Norris auch nur die natürlichen Zahlen (ab)zählte --- selbst wenn er das zweimal tat...

> ---------------------------------------------
>
> Der Ultrafinitismus mag diebezüglich vielleicht etwas anderer Auffassung sein. Ich beziehe mich hier allerdings nur auf die sog. "klassische Mathematik". (Aber das Gesagte wird wohl auch noch für den "Intuitionismus" und/oder die meisten "konstruktivistische Ansätze" zutreffen, denke ich.)

Eben.

[Ganzhinterseher]

Ralf Bader schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 19:01:43 UTC+2:
> On 08/03/2022 04:25 PM, Ganzhinterseher wrote:

> > Die Folge a_n = 1 -1/n mit dem Grenzwert a = 1 erfüllt diese
> > Vorgaben. Alle definierbaren Glieder streben zum Grenzwert. Fast alle
> > Glieder sind dunkle Zahlen, über die wir nichts wissen. Der Grenzwert
> > wird nicht angenommen, nur angestrebt. Aber er existiert.

> "Wir" wissen nix über die Glieder, aber sie streben.

Alle definierbaren Glieder streben zum Grenzwert. Fast alle Glieder sind dunkle Zahlen, über die wir nichts wissen.

Leseschwäche?

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Gus Gassmann schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 21:32:29 UTC+2:
> On Wednesday, 3 August 2022 at 15:50:37 UTC-3, Fritz Feldhase wrote:

> > "Let us call them /numbers which cannot ACTUALLY be written down using the unary numeral system/ ..."
> Selbst das ist noch zu unpräzise. Was heisst "cannot ACTUALLY be written down"?

Du erfährst es, wenn Du eine Zahl angeben willst, deren Endsegment in ∩{E(k) : k ∈ ℕ} = { } verbleiben muss und nicht weggelassen werden darf, um den leeren Schnitt zu erzeugen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 20:50:37 UTC+2:

> [ Neulich hat er auch sehr richtig angemerkt, dass man die rationalen Zahlen nicht "(ab)zählen" könne - wobei Cantor das angeblich versucht habe.

Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden, oder wie man sich gewöhnlich ausdrückt, aufeinander abzählen lassen. [Cantor]

Gruß, WM

[JVR]

On Wednesday, August 3, 2022 at 4:25:48 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> JVR schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 16:09:25 UTC+2:
> >
> > Aus derselben Logik folgt natürlich, dass eine reelle Folge nur konvergieren kann wenn sie konstant wird.
> Nein. Ich habe eine ähnliche Frage gerade beantwortet: There is an abyss between limits of functions and limits of sequences of sets. But people were unable or too lazy to figure that out.

NB 'Abyss' ist ein Neologismus, der sogar für Quacksalber ungewöhnlich sinnlos erscheint.

LOL "an abyss" - in der Tat - da wo bei anderen manchmal das Gehirn zu finden ist, da ist bei Ihnen ein großes, tiefes Loch; und
in diesem Loch wimmelt es von unzähligen unsortierbaren schwarzen Zahlen, die krabbeln da völlig unbeaufsichtigt herum.

Lassen Sie es bleiben, Herr Professor Idéfix. Sie werden in diesem Leben nicht mehr verstehen, was ein Limes ist.

[JVR]

Hören Sie doch bitte auf, Texte zu lesen, die Sie nicht begreifen können. Die rationalen Zahlen sind, in der kanonischen Ordnung, nicht wohlgeordnet.
Man kann aber, da sie abzählbar sind, eine Wohlordnung definieren.

Sie sind ein Stümper, Herr Prefosser Idéfix.

[Gus Gassmann]

So eine Zahl gibt es nicht. Nur als Beispiel: ∩{E(k) : k ∈ ℕ, k gerade} = { }. *Jede* unendliche Menge von Endsegmenten hat einen leeren Durchschnitt. Dazu brauchst du wahrhaftig keine dunklen Zahlen, aber offensichtlich einen hellen Kopf, der dir schon seit Jahrzehnten abgeht.

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, August 3, 2022 at 9:32:29 PM UTC+2, Gus Gassmann wrote:
> On Wednesday, 3 August 2022 at 15:50:37 UTC-3, Fritz Feldhase wrote:
> > On Wednesday, August 3, 2022 at 6:57:19 PM UTC+2, Gus Gassmann wrote:
> >
> > > Generell ACK. Aber heute hat er über dunkle Zahlen folgendes von sich gegeben:
> > >
> > > "Let us call them /numbers which cannot be written down/. They may have other properties of natural numbers." WM, (sci.math, thread: "Natural numbers and vases III")
> > >
> > > Ganz falsch würde ich das nicht nennen...
> > In der Tat. Auch ein blindes Huhn usw.
> >
> > Allerdings würde ich da doch noch "präzisieren" (oder ergänzen) wollen:
> >
> > "Let us call them /numbers which cannot ACTUALLY be written down/. [...]"
> >
> > Denn man kann dem - was man schon gelesen hat - entgegenhalten:
> >
> > "All natural numbers - or rather their names - can 'in principle' be written down. [...]" [Man denke an die Theorie der TM.]
> >
> > Außerdem hängt diese Äußerung auch so noch irgendwie in der Luft (ist also m. E. einigermaßen "unbestimmt"). Daher würde ich folgendes bevorzugen:
> >
> > "Let us call them /numbers which cannot ACTUALLY be written down using the unary numeral system/ ..."
> >
> Selbst das ist noch zu unpräzise.

Du wolltest bestimmt zum Ausdruck bringen, dass das DIR noch zu unpräzise ist.

ZUR ERINNERUNG: Ich hatte oben nicht angekündigt hier eine 100% "präzise" Formulierung zu bringen, sondern lediglich angemerkt:

| Allerdings würde ich da doch noch "präzisieren" (oder ergänzen) wollen: [...]

und das habe ich getan. (Genaues Lesen hilft!)

> Was heisst "cannot ACTUALLY be written down"? Ist das nicht genauso schwammig wie Mucks "definierbar"/"undefinierbar".

Was soll das dumme Gerede? Nein, das ist es nicht. Natürlich kann man noch etwas genauer ausformulieren, was damit gemeint ist. Dennoch gilt (frei nach Frege):

| Alles Erklären muss einmal ein Ende haben.

Heißt, irgendwann muss man halt auch einmal auf das "normale Sprachverständnis" als Grundlage für eine Erklärung rekurrieren. (Bei formalen Definitionen / Definitionenen in formalen Systemen sind das dann eben die _nicht definierten_ Grundbegriffe. Primitive Terms. Aber DARUM geht es hier nicht.)

Ja, was heißt "cannot ACTUALLY be written down"?

Damit will ich sagen, dass es nicht _tatsächlich_ (im Gegensatz zu bloß vorgestellt, ausgedacht, imaginiert, gewünscht, gewollt, etc.) IRGEDNWO, IRGENDWIE HINGESCHRIEBEN (bzw. eingeritzt, graviert, gedruckt, etc.) werden kann - unter Zuhilfenahme eines stofflichen Mediums "als Träger", z. B. eines Blatt Papiers, einer Tontafel, einer Stahl- oder Kupferplatte (was auch immer) - also, z. B. mittels eines Bleistifts auf einem Blatt Papier, oder eben eingeritzt in eine Tontafel, etc.

(Natürlich kann man sich da noch etwas "Größeres" dabei denken: Eine hochentwickelte Zivilisation, die einen ganzen Planeten mit einem "Zahlzeichen" im unären System "versieht", was auch immer...)

> Wenn eine Zahl n tatsächlich [...] im unären System [...] niedergeschrieben werden kann, dann kann ich auch flugs noch ein 'I' anhängen und habe somit S(n) (oder n+1).

Nein, das kannst Du nicht in jedem Fall:

Dir geht NOTWENDIGERWEISE irgendwann einmal (im Verlaufe des von Dir angedeuteten Prozesses) DER verfügbare PLATZ (zum Niederschreiben) aus, so dass Du zwar (gerade noch) das Zahlzeichen für n (im Unären System) hinschreiben kannst (in Form von n Strichen), aber eben KEIN "|" mehr anhängen kannst!

Man denke an Fermat: "Für diese Behauptung habe ich einen wahrhaft wunderbaren Beweis gefunden, aber dieser Rand ist zu schmal, ihn zu fassen."

> > Solche natürlichen Zahlen gibt es zweifelsohne. Niemand kann den Zahlnahmen von 10^10^80 unter Benutzung des unären Zahlensystems TATSÄCHLICH hinschreiben. (Das geht auch schon für bedeutende kleinere Zahlen nicht mehr.)

> >
> > Außerdem muss man das wohl UMDREHEN, also:
> >
> > "Let us call numbers the names of which cannot ACTUALLY be written down using the unary numeral system /dark/."
> >
> > So weit sogut, und natürlich stimmt es: "They may have other properties of natural numbers."
> >
> > Insbesondere haben sie alle ARITHMETISCHEN Eigenschaften der natürlichen Zahlen; und auch im Kontext der MENGENLEHRE; ANALYSIS, etc. etc. spielt es KEINE ROLLE, ob eine natürliche Zahl "dunkel" ist (also unter Benutzung des unären Systems TATSÄCHLICH irgendwo in unserem Universum hingeschrieben werden kann) oder nicht. [Das ist genau so IRRELEVANT wie der Umstand, ob jemand gerade an eine bestimmte Zahl denkt oder nicht.]
> >
> > Kurz: Es gibt bislang keine Sätze in der Mathematik (im engeren Sinne, also im Kontext der Arithmetik, Analysis, Zahlentheore, Mengenlehre, etc. etc.) der Form
> >
> > An e IN: ...n... ,
> >
> > die man auf folgende Weise einschränken müsste/könnte:
> >
> > An e IN(~dark(n) -> ...n...) ,
> >
> > bzw.
> >
> > An e IN(dark(n) -> ...n...) ,
> >
> > da ja noch nicht mal eine Definition des Prädikats "dark()" _in Begriffen der Mathematik (im engeren Sinne)_ vorliegt; also im Kontext der Arithmetik, Analysis, Zahlentheorie, Mengenlehre, etc. etc.
> >
> > Bisher handelt es sich bestenfalls um einen Begriff der "Metamathematik".
> >
> > Fazit:
> >
> > WM hat also entdeckt, dass man den "unären" Zahlnamen einer natürlichen Zahl nicht für jede natürliche Zahl TATSÄCHLICH hinschreiben kann. Eine großartige Einsicht/Erkenntnis! (Vermutlich hat das noch nie jemand vor ihm so klar erkannt!) Lediglich deren TRAGWEITE scheint mir noch nicht so ganz klar zu sein. Muss man jetzt alle Lehrbücher der Mathematk umschreiben?
> >
> Ich kann mir durchaus vorstellen, dass zumindest eines davon dringend bearbeitet werden sollte, aber das werden wir wohl nicht mehr erleben...

Kaum.

> Das gesamte System, das da hinterm See entwickelt wurde :^) läuft doch darauf hinaus, dass es zu jedem Zeitpunkt t eine Menge N_t von Zahlen gibt, die jemals irgendwann irgendjemand schon vor dem Zeitpunkt t benutzt hat. Das ist zweifelsohne eine endliche Menge, hat also zu jedem Zeitpunkt t die Eigenschaften, die man ganz hinterm See so schätzt, ist aber andererseits beweisbar eine echte Teilmenge von IN und ererbt alle Eigenschaften der natürlichen Zahlen. Das ist leider alles so alt und trivial, dass der kleine Muck daraus sicher keine Fields-Medaille herausschlagen könnte, selbst wenn er nicht so weit über der Altersgrenze wäre.

Man merkt doch deutlich die "Nähe" Mückenheims zum "Ultrafinitismus", denke ich. Leider begnügt er sich nicht damit, lediglich diesen Ansatz zu verfolgen (und von mir aus auch zu lehren), sondern meint die ganze restliche Menscheit (oder doch jedenfalls die Mathematiker unter den Menschen) zum einen wahren Glauben bekehren zu müssen. Wobei es sich bei diesem Glaubenssystem leider nicht einfach nur um eine Form des "Ultrafinitismus" handelt, sondern um Mückes höchst eigenes Wahnsystem.

> > [ Neulich hat er auch sehr richtig angemerkt, dass man die rationalen Zahlen nicht "(ab)zählen" könne - wobei Cantor das angeblich versucht habe. Auch hier kann man ihm nur zustimmen (wenn wir einmal von Chuck Norris absehen)! Warum nur hat das bisher noch niemand bemerkt? ]

> Jo. Wobei Chuck Norris auch nur die natürlichen Zahlen (ab)zählte --- selbst wenn er das zweimal tat...

Stimmt. Aber ich denke, dass er das wohl auch leicht hinbekommen würde, wenn man ihn darum bäte. Er könnte das ja ganz leicht nach dem von Cantor angegebenen Schema machen: 1/1; 1/2, 2/1; 1/3, 2/2, 3/1; 1/4, 2/3, 3/2, 4/1 usw. (Wiederholungen schaden dabei ja nicht.)

Mückenheim kann froh sein, dass Chuck Norris sich nicht sonderlich viel aus Mathematik zu machen scheint - anderfalls hätte er viele von Mückenheims Thesen schon lange KONKRET (also in Form einer HANDLUNG) widerlegt!

> > Der Ultrafinitismus mag diebezüglich vielleicht etwas anderer Auffassung sein. Ich beziehe mich hier allerdings nur auf die sog. "klassische Mathematik". (Aber das Gesagte wird wohl auch noch für den "Intuitionismus" und/oder die meisten "konstruktivistische Ansätze" zutreffen, denke ich.)

> Eben.

Gut, dass wir darüber geredet haben.

[Fritz Feldhase]

On Thursday, August 4, 2022 at 12:13:11 PM UTC+2, Gus Gassmann wrote:
> On Wednesday, 3 August 2022 at 18:30:24 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> >

> > Du [bekommst einen Lutscher], wenn Du eine Zahl angeben [kannst], deren Endsegment [...] verbleiben muss und nicht weggelassen werden darf, um den leeren Schnitt zu [erhalten].

> >
> So eine Zahl gibt es nicht. Nur als Beispiel: ∩{E(k) : k ∈ ℕ, k gerade} = { }.

Und ebenso: ∩{E(k) : k ∈ ℕ, k ungerade} = { }.

Also können (Fall 1) alle ungeraden Zahlen "weggelassen werden" oder aber (Fall 2) alle geraden Zahlen. Auf eine bestimmte Zahl kommt es dabei also nicht an.

> *Jede* unendliche Menge von Endsegmenten hat einen leeren Durchschnitt. Dazu brauchst du wahrhaftig keine dunklen Zahlen, aber offensichtlich einen hellen Kopf, der dir schon seit Jahrzehnten abgeht.

Ebensogut könnte man fragen, welche Zahl in {1, 2, 3, ...} diese Menge zu einer unendlichen Menge macht... <facepalm>

[Fritz Feldhase]

On Thursday, August 4, 2022 at 12:13:11 PM UTC+2, Gus Gassmann wrote:
> On Wednesday, 3 August 2022 at 18:30:24 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> > Gus Gassmann schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 21:32:29 UTC+2:
> > > On Wednesday, 3 August 2022 at 15:50:37 UTC-3, Fritz Feldhase wrote:
> > > >

> > > > "Let us call numbers which cannot ACTUALLY be written down using the unary numeral system /dark/"

> > > >
> > > Was heisst "cannot ACTUALLY be written down"?
> > >

> > Du erfährst es, wenn Du eine Zahl angeben willst, deren Endsegment [...] verbleiben muss und nicht weggelassen werden darf, um den leeren Schnitt zu erzeugen.
> >
> So eine Zahl gibt es nicht. [...]

Aber nicht doch. Diese Zahlen sind eben /dark/, weil man sie nicht tatsächlich hinschreiben kann (unter Benutzung des unären Systems).

Mücke: "[They] cannot be found, written down, or determined otherwise."

Also wenigtens d a s solltest Du kapieren:

Zahlen, die nicht existieren, "cannot be found [and/or] written down". Solche Zahlen sind daher gemäß obiger Definition /dark/!

[Rainer Rosenthal]

Am 04.08.2022 um 08:51 schrieb JVR:
>
>
> Die rationalen Zahlen sind, in der kanonischen Ordnung, nicht wohlgeordnet.
>

Wie jetzt, das ist mir ja ganz entgangen und taugt für die TH-Reihe:
So ganz konkret: WM glaubt, die rationalen Zahlen seien wohlgeordnet?

Cool.

Gruß,
RR

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Donnerstag, 4. August 2022 um 08:51:54 UTC+2:
> On Wednesday, August 3, 2022 at 11:32:47 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 20:50:37 UTC+2:
> >
> > > [ Neulich hat er auch sehr richtig angemerkt, dass man die rationalen Zahlen nicht "(ab)zählen" könne - wobei Cantor das angeblich versucht habe.
> > Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden, oder wie man sich gewöhnlich ausdrückt, aufeinander abzählen lassen. [Cantor]
> >

> > Die rationalen Zahlen sind, in der kanonischen Ordnung, nicht wohlgeordnet.

Und wo willst Du Gegenteiliges gelesen haben?

> Man kann aber, da sie abzählbar sind, eine Wohlordnung definieren.
>

Das hat Cantor getan und dann alle gezählt: "Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden, oder wie man sich gewöhnlich ausdrückt, aufeinander abzählen lassen."

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Gus Gassmann schrieb am Donnerstag, 4. August 2022 um 12:13:11 UTC+2:
> On Wednesday, 3 August 2022 at 18:30:24 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> > Gus Gassmann schrieb am Mittwoch, 3. August 2022 um 21:32:29 UTC+2:
> > > On Wednesday, 3 August 2022 at 15:50:37 UTC-3, Fritz Feldhase wrote:
> >
> > > > "Let us call them /numbers which cannot ACTUALLY be written down using the unary numeral system/ ..."
> > > Selbst das ist noch zu unpräzise. Was heisst "cannot ACTUALLY be written down"?
> > Du erfährst es, wenn Du eine Zahl angeben willst, deren Endsegment in ∩{E(k) : k ∈ ℕ} = { } verbleiben muss und nicht weggelassen werden darf, um den leeren Schnitt zu erzeugen.
> So eine Zahl gibt es nicht.

Dann könnte man alle Zahlen entfernen. Das kann man aber nicht.

> Nur als Beispiel: ∩{E(k) : k ∈ ℕ, k gerade} = { }. *Jede* unendliche Menge von Endsegmenten hat einen leeren Durchschnitt. Dazu brauchst du wahrhaftig keine dunklen Zahlen,

Subtrahiere einfach alle Endsegmente mit geraden Indizes, die Du individuell subtrahieren kannst. Dann fällt Dir bestimmt auf, dass diese erstens nicht den leeren Schnitt verursachen, weil sie nämlich weg sind, und zweitens trotzdem ein leerer Schnitt vorliegt, weil dunkle Endsegmente übrig bleiben.

> aber offensichtlich einen hellen Kopf

Na wollen mal sehen, ob Du es hinkriegst.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Donnerstag, 4. August 2022 um 13:06:04 UTC+2:
> On Thursday, August 4, 2022 at 12:13:11 PM UTC+2, Gus Gassmann wrote:
> > On Wednesday, 3 August 2022 at 18:30:24 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> > >
> > > Du [bekommst einen Lutscher], wenn Du eine Zahl angeben [kannst], deren Endsegment [...] verbleiben muss und nicht weggelassen werden darf, um den leeren Schnitt zu [erhalten].
> > >
> > So eine Zahl gibt es nicht. Nur als Beispiel: ∩{E(k) : k ∈ ℕ, k gerade} = { }.
> Und ebenso: ∩{E(k) : k ∈ ℕ, k ungerade} = { }.
>
> Also können (Fall 1) alle ungeraden Zahlen "weggelassen werden" oder aber (Fall 2) alle geraden Zahlen. Auf eine bestimmte Zahl kommt es dabei also nicht an.

Es kommt natürlich nicht auf eine bestimmte Zahl an, da alle definierbaren Zahlen weggelassen werden können und die dunklen nicht bestimmbar sind.

> > *Jede* unendliche Menge von Endsegmenten hat einen leeren Durchschnitt.

denn jede unendliche Menge enthält überwiegend dunkle Elemente.

> Ebensogut könnte man fragen, welche Zahl in {1, 2, 3, ...} diese Menge zu einer unendlichen Menge macht... <facepalm>

Natürlich. Und ich weiß sogar die Antwort. (Das ist so wie mit Blitz und Donner. Die Unwissenden nehmen sie einfach zur Kenntnis.)

Gruß, WM