Rechnen mit dem Summenzeichen - Indexverschiebung

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Udo

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Aug 29, 2021, 2:04:28 PMAug 29
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Hallo,
ich bitte um Hilfe bei der folgenden Aufgabe:
Zu berechnen ist die Summe der ersten n ungeraden Zahlen.
Simpel - ich weiß, ergibt n^2

SUMME{von k=1 bis n} (2k-1) = 2 SUMME{von k=1 bis n} (k) - n
SUMME{von k=1 bis n} (2k-1) = 2 (n(n+1))/2 - n
SUMME{von k=1 bis n} (2k-1) = n(n+1) -n = n^2 + n - n = n^2
SUMME{von k=1 bis n} (2k-1) = n^2

Aber:
Ich hab mir - übungshalber - die Aufgabe gestellt, das anders zu berechnen,
und krieg das einfach nicht hin.

Ich möchte den Term unter der Summe (2k-1) substituieren durch i und die
Laufindizes entsprechend anpassen (Indexverschiebung):

Substitution: i = 2k-1
unterer Index ist k=1, wird also zu i=1
oberer Index ist n, wird also zu 2n-1

D.h:
SUMME{von k=1 bis n} (2k-1) = SUMME{von i=1 bis (2n-1)} (i)

Wenn die Summe nur bis (2n-1) laufen soll, kann ich
zunächst bis 2n summieren und dann den überzähligen Summanden
(2n) subtrahieren.

SUMME{von i=1 bis (2n-1)} (i) = SUMME{von i=1 bis (2n)} (i) - 2n
SUMME{von i=1 bis (2n-1)} (i) = 2n(2n+1)/2 - 2n = n(2n+1) -2n

Ich krieg aber ein falsches Ergebnis, nicht n^2.

Wo liegt mein Fehler? Ich bin inzwischen zu verfahren, um das alleine
hinzukriegen.
Wie muss ich das anstellen, wenn ich das über Indexverschiebung rechnen will?

Danke und Gruß
Udo

Carlo XYZ

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Aug 29, 2021, 2:30:07 PMAug 29
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Udo schrieb am 29.08.21 um 20:04:

> D.h:
> SUMME{von k=1 bis n} (2k-1) = SUMME{von i=1 bis (2n-1)} (i)

Das ist falsch. Nimm n=2, dann steht links 1+3 , rechts 1 .

> SUMME{von i=1 bis (2n-1)} (i) = SUMME{von i=1 bis (2n)} (i) - 2n

Das ist auch falsch. Mit n=2 steht links 1 , rechts 1+2+3+4 - 4 = 6 .

> SUMME{von i=1 bis (2n-1)} (i) = 2n(2n+1)/2 - 2n = n(2n+1) -2n

Das ist genauso falsch wie die Vorzeile.

> Wie muss ich das anstellen, wenn ich das über Indexverschiebung rechnen will?

Benutze die drei Pünktchen und spezielle Werte für n.
Irgendwann gewöhnst du dich an die Summenzeichen mit ihren Indices.

Dieter Heidorn

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Aug 29, 2021, 3:43:41 PMAug 29
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Udo schrieb:

> Zu berechnen ist die Summe der ersten n ungeraden Zahlen.
> Simpel - ich weiß, ergibt n^2
>
> SUMME{von k=1 bis n} (2k-1) = 2 SUMME{von k=1 bis n} (k) - n
> SUMME{von k=1 bis n} (2k-1) = n^2
>[...]
> Ich möchte den Term unter der Summe (2k-1) substituieren durch i und die
> Laufindizes entsprechend anpassen (Indexverschiebung):
>
> Substitution: i = 2k-1
> unterer Index ist k=1, wird also zu i=1
> oberer Index ist n, wird also zu 2n-1
>
> D.h:
> SUMME{von k=1 bis n} (2k-1) = SUMME{von i=1 bis (2n-1)} (i)
> Wenn die Summe nur bis (2n-1) laufen soll, kann ich
> zunächst bis 2n summieren und dann den überzähligen Summanden
> (2n) subtrahieren.
>
> SUMME{von i=1 bis (2n-1)} (i) = SUMME{von i=1 bis (2n)} (i) - 2n
----------------------
Damit summierst du

1 + 2 + 3 + ... + 2n.

Tatsächlich soll aber nur summiert werden

1 + 3 + 5 + ... + 2n-1.

Dieter Heidorn

Udo

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Aug 29, 2021, 5:52:59 PMAug 29
to
Hallo Carlo, Hallo Dieter,

Danke für Eure Hilfestellung.
Ich muss einsehen, dass ich das (heute) ohne Eure Hinweise nicht mehr
durchblickt hätte. Nach mehreren Stunden Beschäftigung mit dem Problem
bin ich auf dem Weg irgendwo falsch abgebogen und hab die Orientierung
verloren - erst mal auf dem falschen Gleis und ermüdet
geht's nur noch in die falsche Richtung.

Wenn ich das richtig sehe, wird mir die Substitution nicht viel bringen.
Ich kann alles bis n summieren und dann die geraden Zahlen auf dem Weg bis n
subtrahieren, aber damit hab ich das Problem nur auf die geraden Zahlen
verlagert.

Die Vorstellung, durch die Substitution i = 2k-1
das Ganze zu vereinfachen, war wohl ein Trugschluss.

Ich werde morgen versuchen, das Ganze mit frischen Kräften nochmals
zu durchdenken. Heute wird's nichts mehr.

Danke für heute und Grüße
Udo

Stephan Gerlach

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Aug 30, 2021, 7:59:19 PMAug 30
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Udo schrieb:
> Hallo Carlo, Hallo Dieter,
>
> Danke für Eure Hilfestellung.
> Ich muss einsehen, dass ich das (heute) ohne Eure Hinweise nicht mehr
> durchblickt hätte. Nach mehreren Stunden Beschäftigung mit dem Problem
> bin ich auf dem Weg irgendwo falsch abgebogen und hab die Orientierung
> verloren - erst mal auf dem falschen Gleis und ermüdet
> geht's nur noch in die falsche Richtung.
>
> Wenn ich das richtig sehe, wird mir die Substitution nicht viel bringen.
> Ich kann alles bis n summieren und dann die geraden Zahlen auf dem Weg bis n
> subtrahieren, aber damit hab ich das Problem nur auf die geraden Zahlen
> verlagert.
>
> Die Vorstellung, durch die Substitution i = 2k-1
> das Ganze zu vereinfachen, war wohl ein Trugschluss.

Das, was du gemacht hast, kann man (zumindest so ähnlich) bei
Integralen(!) machen - muß aber dort nicht nur die Grenzen modifizieren
und die Substitution selbst durchführen, sondern da ist i.a. eine
weitere Änderung durchzuführen, die bei einer (diskreten) Summe nicht so
einfach möglich ist.

Man kann bei einer Summe (generell) nicht einfach a_k durch i ersetzen,
weil man dadurch ganz andere Summanden bekommt. Durch die Änderung der
Grenzen ist das Problem nicht zu beben.

Das einzige, was direkt problemlos geht, ist, k (und nicht a_k) durch
j+m oder j-m zu substituieren, wobei j der "neue" Index ist und m eine
beliebig wählbare ganze Zahl ist.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
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