Aus Mückes Bestseller

[JVR]

Auf Seite 253 in Mückes Bestseller wird die Integration eingeführt. Auf
Seite 274 kommen dann Integraltransformationen dran - zunächst
die Fourier-Transformation.
Auf Seite 279 führt Mücke die Laplace-Transformation ein. Kein Witz.

Das ist eine didaktische Meisterleistung. Kein Wunder, dass die
Fachhochschule Augsburg neuerdings mit der ETH verglichen wird.

Hier ist eine Kostprobe:
https://drive.google.com/file/d/1l7Trha55HStoXf5m798EHLIFPwSPRYns/view?usp=sharing
Der Leser ist eingeladen, in der Formel die Funktion f(x) durch eine
beliebige andere Funktion zu ersetzen, sagen wir mal g(x).
Preisfrage: Was wird dann aus F'(x)?
Das hätte sogar eine gewisse Logik, wenn F nicht vorgegeben wäre,
und wenn die Formel mehr aussagen würde als F(x) = F(x).
Lustigerweise liegt der Fehler wieder einmal in einer unerlaubten
Vertauschung von zwei Operatoren.

[Fritz Feldhase]

On Saturday, August 13, 2022 at 10:27:33 PM UTC+2, JVR wrote:

> Das hätte sogar eine gewisse Logik, wenn [...] die Formel mehr aussagen würde als F(x) = F(x).

Ja.

Ich denke, er hat auch schon im erklärenden Text, einen (Halb-)Satz "zuviel" formuliert.

"Der Zuwachs kann durch f(x) * delta x approximiert werden, Diese Näherung ist umso genauer, je kleiner delta x ist."

Ich denke, das kann man so noch stehen lassen (das "genauer" nehmen wir hier einfach mal so hin).

Aber der Satz "und wird im Grenzfall delta x --> 0 exakt." schießt wohl über's Ziel hinaus. Denn dann ist der ZUWACHS bekanntlich Null. Und die "Nährung" auch.

Entsprechend sinnlos ist dann auch die Gleichung die Mückenheim dem Satz folgen lässt:

lim_(delta x->0) F(x + delta x) = lim_(delta x->0) [F(x) + f(x) * delta x]

Da die, wie Du schon bemerkt hast, nichts anderes aussagt als

F(x) = F(x).

In der Physik verwednet man gerne das Zeichen "~" (mit 2 Tilden) um "ungefähr", "näherungsweise" anzudeuten. (Don't ask!)

Ich schätze mal, dass Mückenheim so etwas sagen wollte wie:

"Der Zuwachs kann durch f(x) * delta x [mit delta x > 0] approximiert werden:

F(x + delta x) ~ F(x) + f(x) * delta x

Daraus folgt:

(F(x + delta x) - F(x)) / delta x ~ f(x).

Die Approximation von F(x + delta x) - F(x) durch f(x) * delta x ist umso genauer, je kleiner delta x ist. Also gilt:

f(x) = lim_(delta x->0) (F(x + delta x) - F(x)) / delta x = dF(x) / dx = F'(x)."

Aber wozu er da das "Beispiel" f(x) = x^2 braucht, entzieht sich auch meinem Verständnis. Bei der folgenden (und oben teilweise wiedergegebenen Erklärung, wird in keinster Weise von f(x) = x^2 Gebrauch gemacht. lol.

Hätte gute Lust meine alten Weltner wieder rauszukramen, um zu sehen, wie DER das gemacht hat, :-P (Oh ja, deutlich besser, würde ich sagen.)

[JVR]

Ich wollte eigentlich nachschauen, wie er das Integral definiert; denn die Behauptung, dass man in der Analysis ohne das 'eigentliche Unendliche'
auskommt, gilt vielleicht für epsilon-delta Argumente; wenn man aber Integrierbarkeit definieren will, kommt man damit ins Schwimmen, weil
man einen schwer definierbaren Grenzprozess über mögliche Unterteilungen des Intervalls braucht.
In einem Anfängerbuch überspringt man das am besten - insofern gebe ich Mücke recht - und beschränkt sich auf stetige Funktionen.
Die logischen Probleme mit der Charakterisierung der integrierbaren Funktionen, der Eindeutigkeit von Transformationen usw wurden
erst mit der Lebesgue'schen Theorie überwunden.

[Fritz Feldhase]

Mal zu etwas ganz anderem. (Offenbar hat er immer dann Schiffbruch erlitten, wenn er versucht hat, etwas eigenständig zu formulieren.)

Wirklich übel ist auch Mückenheims verhunzte "Version" der "Peano-Axiome".

Es ist beinahe komisch, wenn einer IN lediglich durch eine vermurkste Version des "Induktionsaxioms" charakterisieren möchte, ohne jedoch für IN selbst festzustellen (bzw. explizit zu formulieren), dass

1 e IN

und

An(n e IN -> s(n) e IN) [bei Mückenheim wäre das: An(n e IN -> n+1 e IN)]

gilt.

IN könnte also nach seinen "Axiomen für die natürlichen Zahlen" genausogut die leere Menge sein.

Vernünftigerweise würde man natürlich auch noch

~En e IN: s(n) = 1 [bei Mückenheim wäre das: ~En e IN: n+1 = 1]

und

AnAm(n e IN & m e IN & s(n) = s(m) -> n = m) [bei Mückenheim wäre das: AnAm(n e IN & m e IN & n+1 = m+1 -> n = m)]

formulieren.

Laut Mückenheim "ist das ja selbstverständlich", daher wäre es überflüssig, dass explizit zu formulieren. *facepalm*

Dass die Axiome oftmals genau das tun, "Selbstverständliches" explizit zu formulieren, hat er wohl im Rahmen seiner Ausbildung nicht gelernt.

Und dass die Axiome (und Definitionen) der Ausgangspunkt aller Deduktionen (Beweise) bilden (jedenfalls im Kontext der sog. "klassischen Mathematik") UND NICHT irgendwelche "Selbstverständlichkeiten", scheint ihm auch noch nicht aufgegangen zu sein.

Kurz: So sieht vollständige Inkompetenz aus.

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

> ...

> Vernünftigerweise würde man natürlich auch noch
>
> ~En e IN: s(n) = 1 [bei Mückenheim wäre das: ~En e IN: n+1 = 1]
>
> und
>
> AnAm(n e IN & m e IN & s(n) = s(m) -> n = m)
>

*)

> [bei Mückenheim wäre das: AnAm(n e IN & m e IN & n+1 = m+1 -> n = m)]
>
> formulieren.
>
> Laut Mückenheim "ist das ja selbstverständlich",
> daher wäre es überflüssig, dass explizit zu formulieren.

> *facepalm*

LOL. ... Aber oh!

Das da oben *) geht bei Mückenheim (wenn auch unbewusst) natürlich nicht, weil
das eben "implizit postuliert", leider, dass es keine dunklen Zahlen geben kann,
jedenfalls solange s(n) noch "irgendwie konstant" bleibt, und unabhängig vom Gefühl ;)

[JVR]

Seine Axiome definieren nicht die natürlichen Zahlen. Z.B. erfüllen die Zahlen (mod m) die Axiome;
er vergisst, dass die Eineindeutigkeit der Nachfolge-Relation wesentlich ist; auch dass 1 keinen Vorgänger hat.
Die darauf folgenden Abschnitte sind nicht nur falsch, sondern unsinnig.
Das hatten wir alles schon mal und er wird das heute auch nicht einsehen können - aber vielleicht geschieht ein Wunder.

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Samstag, 13. August 2022 um 22:27:33 UTC+2:
> Auf Seite 253 in Mückes Bestseller wird die Integration eingeführt.

Ach Rennenkampff, warum nur hat man verabsäumt, Dich zu sozialisieren! Es gibt zwar viele Menschen mit dem Namen Mücke, sogar Professoren, aber ein Mathematik Lehrbuch hat meines Wissens noch keiner verfasst. Da täuschst Du also etwas nichtzutreffendes vor.

> Auf
> Seite 274 kommen dann Integraltransformationen dran - zunächst
> die Fourier-Transformation.
> Auf Seite 279 führt Mücke die Laplace-Transformation ein. Kein Witz.

Nein, diese Transformation wird in einigen Studiengängen bei uns gelehrt. Das Grundwissen dazu, wie zu allen benötigten Teilen der Mathematik, enthält mein Buch.

>
> Das ist eine didaktische Meisterleistung. Kein Wunder, dass die
> Fachhochschule Augsburg neuerdings mit der ETH verglichen wird.
>
> Hier ist eine Kostprobe:
> https://drive.google.com/file/d/1l7Trha55HStoXf5m798EHLIFPwSPRYns/view?usp=sharing
> Der Leser ist eingeladen, in der Formel die Funktion f(x) durch eine
> beliebige andere Funktion zu ersetzen, sagen wir mal g(x).
> Preisfrage: Was wird dann aus F'(x)?

Aus F(x) wird G(x) und die Ableitung heißt dann G'(x). Und wenn jemand diesen Gedanken nicht in wenigen Stunden fassen kann, dann nennt er halt die neue Funktion f(x).

> Das hätte sogar eine gewisse Logik, wenn F nicht vorgegeben wäre,
> und wenn die Formel mehr aussagen würde als F(x) = F(x).
> Lustigerweise liegt der Fehler wieder einmal in einer unerlaubten
> Vertauschung von zwei Operatoren.

Da ist weder ein Fehler noch die Vertauschung von Quantoren.

Gruß, WM

[JVR]

Macht nichts, Mücke. Es hat niemand erwartet, dass Sie verstehen, was Sie abschreiben.

Wenn ich ein Hündchen hätte, das Professor Kolmogorov heißt, dann würde ich es
mit 'Kolmo' ansprechen. Sie dürfen sich also geehrt fühlen, wenn man Sie Mücke nennt.
Wenn man jedesmal 'Professor Doktor Mückenheim' sagen würde, würden Sie etwa
nicht merken, dass man Sie verspottet? Übrigens, verstehen Sie warum Idéfix der passende
Name wäre für Sie? Ich finde nur keinen rechten Aufhänger. Die Typen im Asterix sind alle
viel gescheiter als Sie.

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Sonntag, 14. August 2022 um 02:15:13 UTC+2:

> IN könnte also nach seinen "Axiomen für die natürlichen Zahlen" genausogut die leere Menge sein.

Das wäre eine unsinnige Lesart. Natürlich erkennt ein durchschnittlicher Leser aus meinem Text, dass die beiden ersten Axiome ebenfalls von |N zu erfüllen sind, denn anderenfalls könnte man sie generell fortlassen und für M jede beliebige Menge wählen.

>
> Vernünftigerweise würde man natürlich auch noch
>
> ~En e IN: s(n) = 1 [bei Mückenheim wäre das: ~En e IN: n+1 = 1]

Es geht nicht um eine Nachfolgerregelung, sondern um die Addition von 1. Die Kenntnis von +1 ist eine Voraussetzung, die aber an der Hochschule generell erfüllt ist. Ein Vorgänger von 1 wird durch das dritte Axiom ausgeschlossen.

> Laut Mückenheim "ist das ja selbstverständlich", daher wäre es überflüssig, dass explizit zu formulieren. *facepalm*
>
> Dass die Axiome oftmals genau das tun, "Selbstverständliches" explizit zu formulieren, hat er wohl im Rahmen seiner Ausbildung nicht gelernt.

Man kann nicht alles definieren, sondern man muss Elementares voraussetzen.
Das hast Du wohl nicht gelernt?

Often it has been said that mathematics should start with definitions. The mathematical theorems should be deduced from the definitions and the postulated principles. But definitions themselves are an impossibility, as Kirchhoff used to say, because every definition needs notions which have to be defined themselves, and so on. We cannot, like Hegel's philosophy does, develop the being from the nothing. [L. Kronecker]

>
> Und dass die Axiome (und Definitionen) der Ausgangspunkt aller Deduktionen (Beweise) bilden (jedenfalls im Kontext der sog. "klassischen Mathematik")

Selbstherrliche Anmaßung! Bis vor kurzem gab es für die Arithmetik überhaupt keine Axiome, aber klassische Mathematik die Menge.

> UND NICHT irgendwelche "Selbstverständlichkeiten",

Selbstverständlichkeiten sind die Grundlage der Mathematik. Die Axiome wurden ihnen nachgebildet, wenn es sich nicht um krankhafte Verirrungen handelt.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Sonntag, 14. August 2022 um 09:05:13 UTC+2:

> Seine Axiome definieren nicht die natürlichen Zahlen. Z.B. erfüllen die Zahlen (mod m) die Axiome;

+1 ist eine Elementaroperation, die bei mir nicht weiter definiert wird. Im Gegensatz zu Peano, der lediglich Folgen definiert, sind bei mir genau die natürlichen Zahlen und sonst nichts definiert.

> er vergisst, dass die Eineindeutigkeit der Nachfolge-Relation wesentlich ist; auch dass 1 keinen Vorgänger hat.

Wieder ein Fehler, aus dem Du aber nichts lernen wirst. Das dritte Axiom schließt einen Vorgänger von 1 aus. Die Elementaroperation +1 ist im Gegensatz zu Peanos Nachfolger eindeutig.

Gruß, WM

[JVR]

Wie gesagt - es kommt recht häufig vor, dass Leute Mathe nicht verstehen können, weil sie die Sprache
nicht beherrschen. Sowas scheint hier mitzuspielen.
Ist egal - ich hatte gedacht, vielleicht geschieht ein Wunder. Der Herrgott hätte ja kurz den Erzengel
Gabriel vorbeischicken können, der dann Herrn Professor Doktor Mückenheim ein wenig Erleuchtung
geschenkt hätte. Das ist denkbar, denn er schickt ja auch jedes Jahr den Osterhasen vorbei.

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Sonntag, 14. August 2022 um 16:47:26 UTC+2:
> Das dritte Axiom schließt einen Vorgänger von 1 aus. Die Elementaroperation +1 ist im Gegensatz zu Peanos Nachfolger eindeutig.

> Wie gesagt - es kommt recht häufig vor, dass Leute Mathe nicht verstehen können, weil sie die Sprache
> nicht beherrschen. Sowas scheint hier mitzuspielen.

Erkläre es einfach mit Deinen Worten: Das dritte Axiom und Deine Kritik bezüglich des Vorgängers von 1. Wie passt das zusammen?

Gruß, WM

[JVR]

1+1 = 2; 2 + 1 = 1
M = {1,2}

Das dritte Axiom haben Sie falsch abgeschrieben.

[Fritz Feldhase]

On Sunday, August 14, 2022 at 8:15:27 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> JVR schrieb am Sonntag, 14. August 2022 um 16:47:26 UTC+2:
> >
> > Das dritte Axiom schließt einen Vorgänger von 1 aus.

Nö.

> > Wie gesagt - es kommt recht häufig vor, dass Leute Mathe nicht verstehen können, weil sie die Sprache
> > nicht beherrschen. Sowas scheint hier mitzuspielen.
> >
> Erkläre es einfach mit Deinen Worten: Das dritte Axiom und Deine Kritik bezüglich des Vorgängers von 1. Wie passt das zusammen?

Betrachte die Struktur:

IN := {0, 1}

mit der Operation /+1/, so dass

0+1 = 1
1+1 = 0

gilt.

Diese Struktur erfüllt Dein "3. Axiom" (das in Wirklichkeit nur DAS EINE Axiom Deines "Systems" ist) - ist liefert also ein Modell Deines Systems.

1 hat hier den Vorgänger 0.

Hinweis: In der Mathematik kommen solche "Strukturen" durchaus vor. Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Z2_(Gruppe)

[Fritz Feldhase]

On Sunday, August 14, 2022 at 2:13:03 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Sonntag, 14. August 2022 um 02:15:13 UTC+2:
> >
> > IN könnte also nach seinen "Axiomen für die natürlichen Zahlen" genausogut die leere Menge sein.
> >
> Das wäre eine unsinnige Lesart.

Es spielt keine Rolle, ob das eine unsinnige Lesart ist oder nicht. IN := {} erfüllt mit einer beliebig definierten Operation /+1/ Deine "Axiome für die natürlichen Zahlen" (also eigentlich nur das eine "Induktions-Axiom").

> [Man kann] für M jede beliebige Menge wählen.

GENAU DAS ist das Problem Deines "Axiomensystems".

Kein Mensch kann verstehen, warum Du nicht einfach

1 e IN

HINSCHREIBST, wenn Dein IN offenbar 1 als Element enthalten soll.

Irgendwie ist das krank, Mückenheim.

Hinweis: Es gibt einen Grund, warum "1 e IN" bzw. "0 e IN" eines der sog. Peano-Axiome ist.

Zur Erklärung: Dieses Axiom stellt zum einen sicher, dass IN nicht leer ist, zum anderen SAGT es EXPLIZIT aus, dass 1 bzw. 0 eine natürliche Zahl ist.

Gibt es IRGENDEINEN RATIONALEN GRUND, das zwar "zu meinen", aber "nicht zu sagen"? Iw. wirkt dieser "Ansatz" pathologisch auf mich. Mathematik ist kein Ratespiel.

Das nämliche gilt für das Axiom:

An e IN: n+1 e IN.

Es ist schön, wenn IHNEN klar ist, oder vielleicht dem einen oder anderen Leser Ihres Machwerks, dass IN für jedes Element n, das es enthält, auch n+1 enthält. ABER wenn man ein "Axiomensystem für die natürlichen Zahlen" angeben möchte, dann sollte man das auch SAGEN - wenn es wesentlich ist (und das ist es).

"Ein Axiomensystem (auch: Axiomatisches System) ist ein System von grundlegenden Aussagen, Axiomen, die ohne Beweis angenommen und aus denen alle Sätze (Theoreme) des Systems logisch abgeleitet werden. Die Ableitung erfolgt dabei durch die Regeln eines formalen logischen Kalküls. Eine Theorie besteht aus einem Axiomensystem und all seinen daraus abgeleiteten Theoremen." (Wikipedia)

> > Vernünftigerweise würde man natürlich auch noch
> >
> > ~En e IN: s(n) = 1 [bei Mückenheim wäre das: ~En e IN: n+1 = 1]
> >

> Ein Vorgänger von 1 wird durch das dritte Axiom ausgeschlossen.

Nein, wird er nicht. Siehe anderes Posting.

> > Laut Mückenheim "ist das ja selbstverständlich", daher wäre es überflüssig, dass explizit zu formulieren. *facepalm*
> >
> > Dass die Axiome oftmals genau das tun, "Selbstverständliches" explizit zu formulieren, hat er wohl im Rahmen seiner Ausbildung nicht gelernt.
> >

> Man kann <blubber>

Ja, ja, irgendwas, Mückenheim.

> L. Kronecker

Ah ja, ist das der Stand der Mathematik, den Du verinnerlicht/noch gelernt hast... Also nichts mehr, was nach 1890 herum entwickelt wurde?

Das würde auch erklären, warum Du die Peano-Axiome nicht kennst und auch sonst nichts, was mit der modernen Mathematik zu tun hat. Formale Logik (insbesondere Prädikatenlogik), axiomatische Mengenlehre, etc.

> > Und dass die Axiome (und Definitionen) der Ausgangspunkt aller Deduktionen (Beweise) bilden (jedenfalls im Kontext der sog. "klassischen Mathematik")
> >
> Selbstherrliche Anmaßung!

Ach, halt doch mal die Klappe, Du Spinner.

> Bis vor kurzem gab es für die Arithmetik überhaupt keine Axiome,

Siehe meine Anmerkung oben. "Bis vor kurzem" = "vor ca. 1890 herum".

> > UND NICHT irgendwelche "Selbstverständlichkeiten",

die für DEN EINEN viell. selbstverständlich sind, nicht aber für den anderen.

> Selbstverständlichkeiten sind <Schwachsinn gelöscht>

Ja, ja, so wird es sein, Mückenheim.

[Fritz Feldhase]

On Sunday, August 14, 2022 at 8:32:46 PM UTC+2, JVR wrote:

> 1 + 1 = 2; 2 + 1 = 1
> M = {1,2}

Es müsste hier heißen:

mit IN = {1,2},

da "M" in Mückenheims "Axiomensystem" eine Variable ist. "IN" bezeichnet dort aber tatsächlich "die Menge der natürlichen Zahlen". Jedenfalls erhebt Mückenheim diesen Anspruch. Unzutreffenderweise, wie Dein Modell zeigt.

Hinweis: Sein "Axiomensystem" ist auch durch IN = {} mit einer beliebigen Operation /+1/ erfüllt.

Jedenfalls, wenn man die ersten beiden "Bedingungen" dem zuordnet, was er sein 3. Axiom nennt.

Würde man diese beiden Bedingungen als eigenständige Axiome auffassen, dann würde das bedeuten, dass (ihnen zufolge) für j e d e Menge M gilt: 1 e M und aus n e M folgt n+1 für alle n e M.

Eine Menge {2} mit 2 =/= 1 gäbe es im Kontext dieses Systems also nicht.

Ziemlich schräg würde ich sagen...

__________________________

All das begreift Mückenheim natürlich nicht. Daher sieht er keinerlei Veranlassung, hier etwas zu korrigieren. Was mich verwundert, ist lediglich der Umstand, dass so ein Buch je bei einem namhaften Verlag in Druck gehen konnte. Es mag sein, dass es aus "pädagogischer Sicht" gewisse Vorzüge hat; um so wichtiger wäre es aber, die sachlichen Fehler zu beseitigen und offensichtlichen Unsinn zu streichen bzw. durch eine einigermaßen korrekte Darstellung zu ersetzen.

Im vorliegenden Fall wäre das im Grunde ganz einfach. Die Peano-Axiome gehören inzwischen - aus gutem Grund - zum "klassischen Bestand" der Mathematik.

Wenn Mückenheim meint, die "Elementaroperation" im diesem System mit "+1" bezeichnen zu müssen. Warum nicht? Selbst Hilbert hat das schon gemacht. Es ist sogar etwas witzig.

Aber was e r da bietet, spottet jeder Beschreibung.

[Fritz Feldhase]

On Monday, August 15, 2022 at 4:35:27 AM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
>
> Aber was e r da bietet, spottet jeder Beschreibung.

Die Sache sähe etwas anders aus, wenn er IN als _nichtleere Teilmenge von IR_ einführen würde, _die einer gewissen Bedingung genügt [->Induktion]_.

Ja, wenn man die reellen Zahlen schon "kennt" (weil sie z. B. schon axiomatisch eingeführt wurden), dann kann man natürlich "+" und auch die Operation ( ) + 1 als "bekannt" voraussetzen. Es ist dann auch klar, dass für alle n,m e IN gilt, dass aus n + 1 = m + 1 = n = m folgt (weil das ja in IR gilt). Aus der "Induktionseigenschaft" von IN erhält man, dass 1 e IN und für jedes n e IN auch n + 1 e IN gilt. Auch dass es kein n e IN mit n + 1 = 1 gibt, lässt sich daraus dann folgern.

Wie es scheint, hat Mückenheim einfach darauf vergessen, diese wesentliche Voraussetzung seines "Ansatzes" zu erwähnen. Das Ganze hat dann den Charakter einer expliziten Definition (die "die reellen Zahlen" voraussetzt) und daher "eher wenig" gemein mit der "Charakterisierung" der natürlichen Zahlen (alleine) durch die Angabe eines Axiomensystems im Sinne Peanos.

Schätze, dass das in dem Text, aus dem er abgeschrieben hat, so gemacht worden war (wie oben angedeutet). WM hat diesen wesentlichen Punkt aber offenbar nicht gerafft.

[JVR]

https://drive.google.com/file/d/1Xh2lnPuo1mEElGrO3icc-7X9P1hFe-rL/view?usp=sharing

Mir scheint, das wir nicht dieselbe Version anschauen.
Ich habe hier die 5. verbesserte Auflage von Wolfang Mückenheim - irgendwo irgendwann ein Gratis-PDF gefunden
Bei Amazon gibt is für nur €9.99 die 3. Auflage von Professor Doktor rer. nat. habil.(!) Wolfgang Mückenheim
Vermutlich 'print-on-demand', 'habil.' kostet zusätzlich €.09, ohne 'habil.' nur €9.90

Jedenfalls ist Mückes Axiomensystem noch krauser, als man auf Anhieb merkt: Er hat das 5. Peano Axiom
irgendwie umgekehrt: Er definiert eine Menge M, die dann z.B. aus den Zahlen (mod m) bestehen könnte,
und behauptet, dass N in M sein wird. Woher er plötzlich dieses N hat, dass er ja noch gar nicht fertig
definiert hat? Vielleicht vom Erzengel Gabriel?

Das 5. Axiom definiert eine Menge N und besagt, dass N in jeder Menge M enthalten ist, die 1 (oder 0) und
mit jedem n in N auch den Nachfolger enthält.

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Sonntag, 14. August 2022 um 20:32:46 UTC+2:
> On Sunday, August 14, 2022 at 8:15:27 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > JVR schrieb am Sonntag, 14. August 2022 um 16:47:26 UTC+2:
> > > Das dritte Axiom schließt einen Vorgänger von 1 aus. Die Elementaroperation +1 ist im Gegensatz zu Peanos Nachfolger eindeutig.
> > > Wie gesagt - es kommt recht häufig vor, dass Leute Mathe nicht verstehen können, weil sie die Sprache
> > > nicht beherrschen. Sowas scheint hier mitzuspielen.
> > Erkläre es einfach mit Deinen Worten: Das dritte Axiom und Deine Kritik bezüglich des Vorgängers von 1. Wie passt das zusammen?

> 1+1 = 2; 2 + 1 = 1

Falsch. Ähnliches kommt zwar bei der Abelschen Gruppe in meinem Buch vor, aber erst auf S. 34, nach den Axiomen der natürlichen Zahlen auf S. 25. Und außerdem wird dort korrekterweise ein amodifizierte Additionssymbol verwendet. Außer böswilligen Erbsenzählern wird niemand 2 + 1 = 1 glauben.

> M = {1,2}
>
> Das dritte Axiom haben Sie falsch abgeschrieben.

Ich habe es möglicherweise verändert, da aus dem Gedächtnis geschrieben. Möglicherweise hieß es im Original "die kleinste Menge". Aber ich sagte es ja schon, wenn man Mengen mit zahlreichen Eigenschaften definiert und dann eine Untermenge dazu angibt, dann wird nur ein Schelm annehmen, diese Eigenschaften seien ohne Bezug dazu definiert.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Sonntag, 14. August 2022 um 22:20:00 UTC+2:
> On Sunday, August 14, 2022 at 2:13:03 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Sonntag, 14. August 2022 um 02:15:13 UTC+2:
> > >
> > > IN könnte also nach seinen "Axiomen für die natürlichen Zahlen" genausogut die leere Menge sein.
> > >
> > Das wäre eine unsinnige Lesart.
> Es spielt keine Rolle, ob das eine unsinnige Lesart ist oder nicht.

Ich meine, dass es eine Rolle spielt.

> > [Man kann] für M jede beliebige Menge wählen.
>
> GENAU DAS ist das Problem Deines "Axiomensystems".

Nein, es müssen die Axiome 4.1 und 4.2 erfüllt sein.

>
> Kein Mensch kann verstehen, warum Du nicht einfach
>
> 1 e IN
>
> HINSCHREIBST, wenn Dein IN offenbar 1 als Element enthalten soll.

Ganz einfach, um alle kleineren Zahlen auszuschließen.
Hast Du diese Axiome noch nirgendwo gesehen? Sie stammen nicht von mir.

>
> Hinweis: Es gibt einen Grund, warum "1 e IN" bzw. "0 e IN" eines der sog. Peano-Axiome ist.

Dort muss man hinzufügen, dass 1 oder 0 keinen Vorgänger hat. Ich finde meine Version eleganter.

>
> Zur Erklärung: Dieses Axiom stellt zum einen sicher, dass IN nicht leer ist, zum anderen SAGT es EXPLIZIT aus, dass 1 bzw. 0 eine natürliche Zahl ist.
>
> Gibt es IRGENDEINEN RATIONALEN GRUND, das zwar "zu meinen", aber "nicht zu sagen"? Iw. wirkt dieser "Ansatz" pathologisch auf mich. Mathematik ist kein Ratespiel.
>

Es gibt einen Grund: Jede verbale Darstellung, bezieht sich auf das Sprachverständnis. Und das zwingt hier ganz eindeutig, die Axiome auch für |N vorauszusetzen.

> > Ein Vorgänger von 1 wird durch das dritte Axiom ausgeschlossen.
> Nein, wird er nicht. Siehe anderes Posting.

"Untermenge jeder Menge" schließt alles Kleinere als 1 aus.

> > We cannot, like Hegel's philosophy does, develop the being from the nothing. [L. Kronecker]

>
> Ah ja, ist das der Stand der Mathematik, den Du verinnerlicht/noch gelernt hast...

Das ist eine Aussage, die unanfechtbar ist.

> > > Und dass die Axiome (und Definitionen) der Ausgangspunkt aller Deduktionen (Beweise) bilden (jedenfalls im Kontext der sog. "klassischen Mathematik")
> > >
> > Selbstherrliche Anmaßung!

> > Bis vor kurzem gab es für die Arithmetik überhaupt keine Axiome,
> Siehe meine Anmerkung oben. "Bis vor kurzem" = "vor ca. 1890 herum".

Die ersten 2500 Jahre der klassischen Mathematik ging es ohne - und das wird auch weiterhin so bleiben.

Gruß, WM

[JVR]

Sehr geehrter Herr Professor Doktor habil.(!) Mückenheim,

Ich möchte mich dafür entschuldigen, Sie mit derart oberflächlicher Kritik zu belästigen.
Dadurch dass es 'nicht alle gibt' und wegen höchstderoselbiger tiefsinniger Erkenntnis:

' die Zahlenachse weist Lücken auf; die Stetigkeitsannahme, der Konvergenzbegriff und andere
Grundpfeiler der Infinitesimalrechnung werden problematisch; schon der Zwischenwertsatz
oder der Fundamentalsatz der Algebra „leiden Ausnahmen“ '

ist ohnehin nicht nur die gesamte Analysis, sondern auch die Algebra hinfällig. Daher ist
es egal, wie man die natürlichen Zahlen definiert.

Es ist nämlich so, dass wenn x eine höchstderoselbige mückmeatische 'Ausnahme' ist,
dann ist x + y und x*y ebenfalls eine solche: Es gibt dann nur noch Ausnahmen.

Ich denke, dass diese Information bei höchstderoselbigen Forschungen nützlich sein wird.

Alleruntertänigst und dienstwilligstergeben.

JVR

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Montag, 15. August 2022 um 14:07:07 UTC+2:

> Sehr geehrter Herr Professor Doktor habil.(!) Mückenheim,

Die Habilitationsäquivalenz meiner wissenschaftlichen Arbeiten wurde anerkannt. Sonst hätte ich nicht an der TU Clausthal lehren können. Ich verzichte aber darauf, diesen akademischen Grad zu führen. In einer Auflage wurde er irrtümlich vom Lektorat angeführt.

>
> ' die Zahlenachse weist Lücken auf;

Natürlich. Es gibt keine kleinste positive reelle oder rationale Zahl.

> die Stetigkeitsannahme, der Konvergenzbegriff und andere
> Grundpfeiler der Infinitesimalrechnung werden problematisch; schon der Zwischenwertsatz
> oder der Fundamentalsatz der Algebra „leiden Ausnahmen“ '

Mit mehr als 10^80 Ziffern kann man nicht arbeiten.

>
> ist ohnehin nicht nur die gesamte Analysis, sondern auch die Algebra hinfällig.

Für die klassischen Mathematik bleibt alles beim Alten.

> Es ist nämlich so, dass wenn x eine 'Ausnahme' ist,

> dann ist x + y und x*y ebenfalls eine solche: Es gibt dann nur noch Ausnahmen.

Wenn Cantor recht hat, gibt es fast nur Ausnahmen, dass bedeutet aber nicht dass nur Ausnahmen existieren.

Gruß, WM

[JVR]

Sehr geehrter Herr Professor Doktor habil.[äquiv.] Mückenheim,

Das freut mich natürlich sehr, wie Sie sich denken können.

Wir dürfen also mit höchstderoselbiger Erlaubnis weiter so tun als wäre alles
zum Besten bestellt in der besten aller denkbaren Welten, trotzdem uns der
Laden um der Ohren fliegt und und alle Mathematik seit Cantor in die Tonne
getreten gehört.

In tiefer Dankbarkeit, Euer Wohlgeboren ergebenster Freund und Diener
JVR

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Montag, 15. August 2022 um 05:43:51 UTC+2:

> Ja, wenn man die reellen Zahlen schon "kennt" (weil sie z. B. schon axiomatisch eingeführt wurden), dann kann man natürlich "+" und auch die Operation ( ) + 1 als "bekannt" voraussetzen.

Diese Operation war lange vor den reellen Zahlen bekannt.

> Es ist dann auch klar, dass für alle n,m e IN gilt, dass aus n + 1 = m + 1 = n = m folgt (weil das ja in IR gilt).

Nein, es gilt, weil es die Elementaroperation fordert, also nicht anders sein kann.

Gruß, WM

[Roalto]

Ganzhinterseher schrieb am Montag, 15. August 2022 um 14:27:19 UTC+2:
> JVR schrieb am Montag, 15. August 2022 um 14:07:07 UTC+2:
>
> > Sehr geehrter Herr Professor Doktor habil.(!) Mückenheim,
> Die Habilitationsäquivalenz meiner wissenschaftlichen Arbeiten wurde anerkannt. Sonst hätte ich nicht an der TU Clausthal lehren können. Ich verzichte aber darauf, diesen akademischen Grad zu führen. In einer Auflage wurde er irrtümlich vom Lektorat angeführt.
> >
> > ' die Zahlenachse weist Lücken auf;
> Natürlich. Es gibt keine kleinste positive reelle oder rationale Zahl.
> > die Stetigkeitsannahme, der Konvergenzbegriff und andere
> > Grundpfeiler der Infinitesimalrechnung werden problematisch; schon der Zwischenwertsatz
> > oder der Fundamentalsatz der Algebra „leiden Ausnahmen“ '
> Mit mehr als 10^80 Ziffern kann man nicht arbeiten.

Auch hier sind sie nicht auf der Höhe der Zeit.
Bekenstein berechnete die Entropie schwarzer Löcher.
Komischerweise hängt diese Entropie nur von der Oberfläche des SL ab.
Normalerweise ist die Entropie eine Funktion des Volumens.
Weitere Rechnung ergab, dass 4 Planckflächen (ich hoffe, sie wissen was das ist)
nötig sind, um 1 QBit zu kodieren. Weitere Rechnung ergab, dass die Oberfläche
des Universums (als Mannigfaltigkeit) ~10¹²⁸ (10 hoch 128) QBits kodieren kann.
Die Oberfläche des Universums wird beständig größer.
Ihre 10⁸⁰ (10 hoch 80) ist schlichtweg Bullshit.
Die Moderne ist ihnen fremd, sie sind eine Schlafmütze.

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Fritz Feldhase]

On Monday, August 15, 2022 at 4:28:26 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 15. August 2022 um 05:43:51 UTC+2:
> >
> > Ja, wenn man die reellen Zahlen schon "kennt" (weil sie z. B. schon axiomatisch eingeführt wurden), dann kann man natürlich "+" und auch die Operation ( ) + 1 als "bekannt" voraussetzen.
> >
> Diese Operation war lange vor den reellen Zahlen bekannt.

Ich meine natürlich im Rahmen eines mathematisch-logischen AUFBAUS der Zahlensysteme, Sie Trottel!

> > Es ist dann auch klar, dass für alle n,m e IN gilt, dass aus n + 1 = m + 1 = n = m folgt (weil das ja in IR gilt).
> >
> Nein, es

Ja. Und mir ist inzwischen klar geworden, was es mit Ihrem "System" auf sich hat. Wichtigster Punkt:

| Die Sache sähe etwas anders aus, wenn er IN als _nichtleere Teilmenge von IR_ einführen würde, die einer gewissen
| Bedingung genügt [->Induktion].

|
| Wie es scheint, hat Mückenheim einfach darauf vergessen, diese wesentliche Voraussetzung seines "Ansatzes" zu erwähnen.
| Das Ganze hat dann den Charakter einer expliziten Definition (die "die reellen Zahlen" voraussetzt) und daher "eher wenig"
| gemein mit der "Charakterisierung" der natürlichen Zahlen (alleine) durch die Angabe eines Axiomensystems im Sinne Peanos.
|

| Schätze, dass das in dem Text, aus dem er abgeschrieben hat, so gemacht worden war.. WM hat diesen wesentlichen Punkt
| aber offenbar nicht gerafft.

[Fritz Feldhase]

On Monday, August 15, 2022 at 1:40:53 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> JVR schrieb am Sonntag, 14. August 2022 um 20:32:46 UTC+2:
> >
> > Das dritte Axiom haben Sie falsch abgeschrieben.
> >
> Ich habe es möglicherweise verändert, da aus dem Gedächtnis geschrieben. Möglicherweise hieß es im Original "die kleinste Menge".

Oh je. Mein "Verdacht" hat sich bestätigt.

[JVR]

Ich glaube Herr Professor Doktor habil.[äquiv.] Mückenheim meint mit Abschreiben aus dem Bestseller ins Usenet übertragen.
Ich meinte falsch aus irgendeiner Vorlage in den Bestseller abgeschrieben.

[Gus Gassmann]

On Monday, 15 August 2022 at 08:40:53 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> JVR schrieb am Sonntag, 14. August 2022 um 20:32:46 UTC+2:
[...]

> > Das dritte Axiom haben Sie falsch abgeschrieben.
> Ich habe es möglicherweise verändert, da aus dem Gedächtnis geschrieben. Möglicherweise hieß es im Original "die kleinste Menge". Aber ich sagte es ja schon, wenn man Mengen mit zahlreichen Eigenschaften definiert und dann eine Untermenge dazu angibt, dann wird nur ein Schelm annehmen, diese Eigenschaften seien ohne Bezug dazu definiert.

Du tickst absolut nicht mehr. Du hast eine Menge M, die was weiss ich wie viele Eigenschaften hat --- du bringst es ja selbst nicht mehr zusammen --- und meinst dann, alle diese Eigenschaften würden sich automatisch auch auf eine beliebige Teilmenge übertragen. Und dann beleidigst du prophylaktisch erst mal jeden, der sich erdreisten sollte, das in Frage zu stellen. Das stempelt dich zu einem psychopathischen Arschloch. Mehr gibt es hierzu eigentlich nicht zu sagen.

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 16. August 2022 um 16:08:39 UTC+2:
> On Monday, August 15, 2022 at 4:28:26 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Montag, 15. August 2022 um 05:43:51 UTC+2:
> > >
> > > Ja, wenn man die reellen Zahlen schon "kennt" (weil sie z. B. schon axiomatisch eingeführt wurden), dann kann man natürlich "+" und auch die Operation ( ) + 1 als "bekannt" voraussetzen.
> > >
> > Diese Operation war lange vor den reellen Zahlen bekannt.
> Ich meine natürlich im Rahmen eines mathematisch-logischen AUFBAUS der Zahlensysteme

Genau. Man fängt an mit 1 und addiert 1 und so weiter.

>
> | Das Ganze hat dann den Charakter einer expliziten Definition (die "die reellen Zahlen" voraussetzt)

Nein, nur die Addition von 1.

> und daher "eher wenig"
> | gemein mit der "Charakterisierung" der natürlichen Zahlen (alleine) durch die Angabe eines Axiomensystems im Sinne Peanos.

Im Sinne seines gescheiterten Versuchs? Nein. Praktiker rechnen mit natürlichen Zahlen und nicht mit irgendwelchen obskuren Folgen, aus denen man sie mit gutem Willen aussondern kann.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Gus Gassmann schrieb am Dienstag, 16. August 2022 um 16:22:24 UTC+2:
> On Monday, 15 August 2022 at 08:40:53 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> > JVR schrieb am Sonntag, 14. August 2022 um 20:32:46 UTC+2:
> [...]
> > > Das dritte Axiom haben Sie falsch abgeschrieben.
> > Ich habe es möglicherweise verändert, da aus dem Gedächtnis geschrieben. Möglicherweise hieß es im Original "die kleinste Menge". Aber ich sagte es ja schon, wenn man Mengen mit zahlreichen Eigenschaften definiert und dann eine Untermenge dazu angibt, dann wird nur ein Schelm annehmen, diese Eigenschaften seien ohne Bezug dazu definiert.

> Du hast eine Menge M, die was weiss ich wie viele Eigenschaften hat

Nur zwei.

> und meinst dann, alle diese Eigenschaften würden sich automatisch auch auf eine beliebige Teilmenge übertragen.

Ja, in diesem Zusammenhang ganz gewiss. Die kleinste Teilmenge mit diesen Eigenschaften. Und nicht einmal nichtleer musste ich hinzufügen, um verstanden zu werden.

In den 7 Jahren, in denen ich das Buch im Unterricht verwenden konnte (oft mehrere Klassen gleichzeitig), hat niemals ein Student (männlich oder weiblich) gefragt, ob die leere Menge ausgeschlossen wäre. Auch ich selbst habe darüber nicht nachgedacht, bevor der erbsenzählende Franz Fritsche diese absurde Interpretation für naheliegend hielt.

Aber ich befinde mich in allerbester Gesellschaft:

"Nun erhält man folgenden Fundamentalsatz:
Ist (') irgend eine in dem Inbegriffe (II) enthaltene Zahlenmenge, so können nur folgende drei Fälle vorkommen: entweder (') ist ein endlicher Inbegriff, d. h. besteht aus einer endlichen Anzahl von Zahlen, oder es hat (') die Mächtigkeit erster Klasse oder drittens es hat (') die Mächtigkeit von (II); Quartum non datur." [Cantor]

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, August 16, 2022 at 4:49:25 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> Die kleinste Teilmenge mit diesen Eigenschaften.

Ja, so langsam lichtet sich der Neben.

1. TEILMENGE welcher Menge? [Tipp: IR wäre ein guter Kandidat].

2. Das hat die Form einer _expliziten Definition_, nicht eines Axioms.

| Es besteht ein gravierender Unterschied zwischen einer _expliziten_ Definition, z. B.
|
| IN := {1}
|
| und einem Axiom, in dem "IN" als undefinierter Grundbegriff auftritt (so wie in den Peano-Axiomen):
|
| An: n e IN -> n = 1.

3. Davon abgesehen haben Sie den entsprechden Ansatz das völlig falsch aufgefasst bzw. dargestellt.

(Dazu ein andermal mehr.)

[Gus Gassmann]

On Tuesday, 16 August 2022 at 11:49:25 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> Gus Gassmann schrieb am Dienstag, 16. August 2022 um 16:22:24 UTC+2:
> > On Monday, 15 August 2022 at 08:40:53 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> > > JVR schrieb am Sonntag, 14. August 2022 um 20:32:46 UTC+2:
> > [...]
> > > > Das dritte Axiom haben Sie falsch abgeschrieben.
> > > Ich habe es möglicherweise verändert, da aus dem Gedächtnis geschrieben. Möglicherweise hieß es im Original "die kleinste Menge". Aber ich sagte es ja schon, wenn man Mengen mit zahlreichen Eigenschaften definiert und dann eine Untermenge dazu angibt, dann wird nur ein Schelm annehmen, diese Eigenschaften seien ohne Bezug dazu definiert.
> > Du hast eine Menge M, die was weiss ich wie viele Eigenschaften hat
> Nur zwei.

OK. Zwei Eigenschaften
(4.1): 1 ist ein Element von M
(4.2): Wennn n ein Element von M ist, dann ist auch (n+1) ein Element von M.

> > und meinst dann, alle diese Eigenschaften würden sich automatisch auch auf eine beliebige Teilmenge übertragen.

Daraus folgerst du (wie wohl, du Blödhammel?), dass *jede* Teilmenge von M auch (4.1) und (4.2) erfüllen muss. Du tickst nicht mehr!

[Ralf Bader]

Wenn vom Abschreiben aus dem Bestseller in das Usenet die Rede gewesen
wäre, dann wäre der Bestseller das Original, aber da steht nicht "die
kleinste Menge", oder? Außerdem wird das angebliche Axiomensystem aus
dem Bestseller nicht dadurch besser, daß im dritten dortigen Axiom "die
kleinste Menge" genommen wird, denn diese wäre die leere.

Im "Original" kann so etwas gestanden haben wie "IN ist die kleinste
Menge (0 der Durchschnitt aller Mengen), die die Bedingungen 1 und 2
erfüllen", und die Bedingungen 1 und 2 entsprechen den Mückenheimschen
"Axiomen" 1 und 2 (das, was da im Bestseller steht, sind ja keine
Axiome, da es nicht einmal Aussagen sind). In einem Kontext, in dem etwa
die natürlichen Zahlen aus den schon vorliegenden reellen ausgesondert
werden sollen, ergäbe das Sinn.

[Ganzhinterseher]

> Daraus folgerst du, dass *jede* Teilmenge von M auch (4.1) und (4.2) erfüllen muss.

Nein, ich folgere, dass jeder verständige Leser nur Mengen mit den beiden Eigenschaften ins Auge fasst. Es wäre nämlich dämlich, die leere Menge, wenn sie gemeint wäre, auf so komplizierte Art zu beschreiben. So viel sollte jeder Leser denken können und wollen - und meines Wissens hat das auch jeder Student getan. Es hat jedenfalls niemals einer behauptet, es gäbe keine natürlichen Zahlen oder, was dasselbe bedeutet, die Menge ℕ sei leer.

Gruß, WM

[Gus Gassmann]

On Wednesday, 17 August 2022 at 09:18:12 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
[..]

> Nein, ich folgere, dass jeder verständige Leser nur Mengen mit den beiden Eigenschaften ins Auge fasst. Es wäre nämlich dämlich, die leere Menge, wenn sie gemeint wäre, auf so komplizierte Art zu beschreiben. So viel sollte jeder Leser denken können und wollen - und meines Wissens hat das auch jeder Student getan. Es hat jedenfalls niemals einer behauptet, es gäbe keine natürlichen Zahlen oder, was dasselbe bedeutet, die Menge ℕ sei leer.

Was wirklich dämlich ist, ist so zu tun als sei die Schlamperei in Kapitel 4 eine Definition.

[Ganzhinterseher]

Habe gerade einen interessanten Brief von Dr. Dr. hc Franz Lemmermeyer gelesen. Da steht folgender beherzigenswerte Satz drin: "Sehen Sie: es gibt Konventionen in der Mathematik, die es einem erlauben, sich manchmal etwas kürzer auszudrücken. Diese Sache funktioniert gut, solange es nicht Leute gibt, die sich bemühen, alles misszuverstehen, was man missverstehen kann." http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/publ/tor.pdf

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, August 17, 2022 at 5:25:14 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> Habe gerade einen interessanten Brief von Dr. Dr. hc Franz Lemmermeyer gelesen.

Ja, der hat es wirklich in sich. Wer je (im Rahmen eines Mathematikstudiums) Analysis- und LA-Vorlesungen an der Uni besucht hat und entsprechende Lehrbücher kennt, kann Herrn Lemmermeyer in vielen Punkten nur zustimmen.

> Da steht folgender beherzigenswerte Satz drin: "Sehen Sie: es gibt Konventionen in der Mathematik, die es einem erlauben, sich manchmal etwas kürzer auszudrücken. Diese Sache funktioniert gut, solange es nicht Leute gibt, die sich bemühen, alles misszuverstehen, was man missverstehen kann."

In der Tat. Dazu muss man diese Konventionen aber auch kennen, Herr Mückenheim (also etwas von der Sache verstehen).

Hinweis: Eine "Aussageform" (also eine Formel mit einer freien Variable) wird in der Regel so "interpretiert", als ob sie mit einem "Allabschluss" versehen wäre.

Wenn da also z. B. in Kontext der Arithmetik behauptet wird, dass

n + n = 2 * n

gilt.

Dann ist das so zu verstehen:

An e IN: n + n = 2 * n .

Wie Ralf B. nämlich (in einem etwas anderen Zusammenhang) ganz richtig bemerkt hat, wäre "n + n = 2 * n" nicht einmal eine Aussage.

Nämliches gilt auch für Axiome, wie sie z. B. dem Werk "Aufbau des Zahlensystems" von Oberschelp entnehmen können.

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 17. August 2022 um 18:41:24 UTC+2:

> Wenn da also z. B. in Kontext der Arithmetik behauptet wird, dass
>
> n + n = 2 * n
>
> gilt.
>
> Dann ist das so zu verstehen:
>
> An e IN: n + n = 2 * n .
>
> Wie Ralf B. nämlich (in einem etwas anderen Zusammenhang) ganz richtig bemerkt hat, wäre "n + n = 2 * n" nicht einmal eine Aussage.

Es ist eine Aussage, bei der man zu verstehen hat, dass n eine natürliche Zahl sein soll. Das wird entweder im Kontext gesagt oder es versteht sich durch die Wahl des Buchstabens von selbst. (Im Gegensatz zum e in Lemmermeyers Beispiel für das Polynom 4. Grades.) Die Behauptung "für alle" ist problematisch, da sie die Existenz einer vollständigen Menge voraussetzt, die für definierbare Zahlen jedenfalls nicht existiert.

Gruß, WM

[Michael Klemm]

Wenn n + n = 3 * n dasteht, ist das dann falsch, n undefierbar oder n = 0?
Gruß Michael