Division von Potenzreihen?
Jürgen Will
der Quotient zweier Potenzreihen läßt sich mitunter wiederum als Potenzreihe
darstellen. Unter welchen Voraussetzungen trifft dies zu, und wie kann man
die Potenzreihe des Quotienten allgemeingültig ermitteln?
Danke!
Michael Becker
Ich nehme an, deine beiden Potenzreihen konvergieren in einer Umgebung
der Null. Dann wuerde ich sagen, dass sich der Quotient als Potenzreihe
schreiben laesst, sobald das absolute Glied der Reihe im Nenner verschieden
von Null ist.
Und zwar sind durch die beiden Potenzreihen zwei (reell oder komplex)
analytische Funktionen gegeben. Und der Quotient von solchen ist wieder
analytisch, solange der Nenner keine Nullstelle hat.
Ob es eine Formel fuer die Potenzreihenentwicklung von
1/( 1 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 + ... )
gibt, weiss ich nicht. Anfangen tut sie jedenfalls mit
1 - a_1*x + (a_1^2 - a_2)x^2
Weitere Koeffizienten kann man ausrechnen, indem man
1/(1+q) = 1 -q +q^2 -q^3 + ...
(gueltig fuer kleine q) verwendet.
Ueber den Konvergenzradius kann man so pauschal auch nichts sagen, ausser
dass er groesser als Null ist.
Viele Gruesse,
Michael
Hermann Kremer
Hallo,
Es gibt ein rekursives Verfahren mittels Koeffizientenvergleich, das u.U.
ein allgemeines Bildungsgesetz für die Koeffizienten der Quotientenreihe
liefern kann.
Dazu macht man den Ansatz
(a0 + a1*x + a2*x^2 + ... ) / (b0 + b1*x + b2*x^2 + ... ) =
= q0 + q1*x + q2*x^2 + ...
multipliziert beide Seiten mit dem Nennerpolynom und vergleicht die
Koeffizienten:
q0*b0 = a0
q0*b1 + q1*b0 = a1
q0*b2 + q1*b1 + q2*b0 = a2
usw.
Daraus ergibt sich ein (potentiell unendlichdimensionales)
lineares Gleichungssystem mit einer unteren Dreiecksmatrix:
[ b0 0 0 0 .... ] [ q0 ] [ a0 ]
[ b1 b0 0 0 .... ] * [ q1 ] = [ a1 ]
[ b2 b1 b0 0 .... ] [ q2 ] [ a2 ]
[ ..... ] [ ... ] [ ... ]
Für b0 = 0 wird dabei die erste Zeile gestrichen usw.
Die gesuchten Koeffizienten ergeben sich dann rekursiv
(Annahme b0 =/= 0):
q[0] = a[0] / b[0]
q[1] = ( a[1] - q[0]*b[1] ) / b[0]
q[n] = ( a[n] - Summe{i=0...n-1} q[i]*b[n-i] ) / b[0]
Zuweilen kann man daraus ein Bildungsgesetz für die q[n] erkennen;
falls nicht, kann man die q[n] aber immer numerisch ausrechnen.
Trivialbeispiel: 1/(1 + x) : a0 = b0 = 1, b1 = 1, sonst 0
q0 = 1/1 = 1
q1 = (0 - 1*1)/1 = -1
q2 = (0 - 1*0 - (-1)*1)/1 = 1
q3 = (0 - ....... - 1*1 )/1 = -1
also q(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + - .... ( geometrische Reihe )
Grüße + guten Rutsch ins nächste Jahrtausend
Hermann
--
>Viele Gruesse,
>Michael
>
Jürgen Will
Hallo Hermann,
Du bist wiederum die Lösung meiner Probleme.
Ich hätte die Polynomdivision ganz normal durchgeführt. Das wäre natürlich
schwieriger geworden. Aber mit dem linearen Gleichungssystem komme ich jetzt
weiter.
Wo kann man solche Operationen mit Potenzreihen nachlesen?
Übrigens, hast Du ein Homepage?
Nochmals vielen Dank!
Hermann Kremer
Jürgen Will schrieb in Nachricht <92ptvb$5af$1...@news.online.de>...
Hallo Jürgen
>Du bist wiederum die Lösung meiner Probleme.
freut mich ...
>Ich hätte die Polynomdivision ganz normal durchgeführt. Das wäre natürlich
>schwieriger geworden. Aber mit dem linearen Gleichungssystem komme ich
jetzt
>weiter.
>
>Wo kann man solche Operationen mit Potenzreihen nachlesen?
Z.B. in Büchern über Approximationstheorie,
Stichwort Padé-Approximation
>Übrigens, hast Du ein Homepage?
Nee, habe ich nicht und will ich auch nicht ...
>Nochmals vielen Dank!
Bitte, gern geschehen.
Grüße
Hermann
--
>