Irreduziblität eines Polynoms über Q
Markus Steinborn
wie kann ich beim Polynom T^8 - 40 T^6 + 352 T^4 - 960 T^2 + 576
in \Q[T] zeigen, dass es irreduzibel über \Q ist? (Nach Mupad ist dies
nämlich der Fall, aber ich brauche eine Rechnung).
mfg
Markus
PS: Das Polynom ist durch folgende MuPAD-Rechnung entstanden (vielleicht
hilft es weiter...):
fac := [ T+a*sqrt(2)+b*sqrt(3)+c*sqrt(5)
$ a in [-1,1] $ b in [-1,1] $ c in [-1,1] ];
p := _mult ( i $ i in fac );
f:= expand (p);
g := poly (f, [T], Dom::Rational);
Jürgen Böhm
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> Hi,
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> wie kann ich beim Polynom T^8 - 40 T^6 + 352 T^4 - 960 T^2 + 576
> in \Q[T] zeigen, dass es irreduzibel über \Q ist? (Nach Mupad ist dies
> nämlich der Fall, aber ich brauche eine Rechnung).
>
Sei f das Polynom. Eine Idee, wie man (mit einem CAS für die Rechnungen,
da diese etwas langwierig sind, aber vollkommen transparent) zeigen
kann, daß f irreduzibel ist, ist die folgende, die auf der Tatsache
beruht, daß, falls g Teiler von f in Z[T] ist, auch g(n) Teiler von f(n)
in Z ist:
Es ist f(n_i) = p_i, p_i prim, mit n_i aus {1, 5, 11, 13}.
Man betrachte der Reihe nach Teiler gd vom Grad d=1, 2, 3, 4 und setze
gd = T^d + a1 T^(d-1) + ... + a(d)
mit Unbestimmten ai aus Z an
Für d fest bestimme man eine d-elementige Teilmenge Nd von 1, 5, 11, 13
und
alle Zuordungen F : Nd -> Z mit f(n_i) aus {1,-1,p_i, -p_i}. Für eine
gegebene Zuordnung F bestimme man gd mit gd(n_i)=F(n_i) für n_i aus Nd.
Wenn gd nicht aus Z[T] ist (sondern aus Q[t]) verwerfe man es. Wenn es
aus Z[T] ist, mache man eine Probedivision (die hoffentlich scheitert).
Nach Abarbeitung aller d und F ist die Irreduzibilität von f in Z[T]
gezeigt. Diese ist aber äquivalent mit der in Q[T], da Z in Q
ganzabgeschlossen ist.
Das obige Verfahren heisst übrigens "Kroneckerfaktorisation" und war vor
Entdeckung der "modernen" Methoden, die mit dem Henselschen Lifting
arbeiten, die einzige bekannte Methode, Polynome über Z zu
faktorisieren.
MfG
Jürgen
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Dipl.-Math. Jürgen Böhm e-mail: reverse: net dot gmx at jboehm
"At a time when so many scholars in the world are calculating, is it not
desirable that some, who can, dream ?" R. Thom
Oliver Vogel
Jürgen Böhm wrote:
> Das obige Verfahren heisst übrigens "Kroneckerfaktorisation" und war vor
> Entdeckung der "modernen" Methoden, die mit dem Henselschen Lifting
> arbeiten, die einzige bekannte Methode, Polynome über Z zu
> faktorisieren.
Wenn Dus schon ansprichst (also das Lemma von Hensel): Ich hab mir das
grad kurz skizziert, und mit Newton-Polygonen hat man das ganze wohl
direkt erschlagen. Hat der OP aber wahrscheinlich nicht zur Verfügung... .
Das Verfahren ist ganz interessant, und man bekommt bei erstaunlich
vielen irreduziblen Polynomen sehr schnell einen Beweis geliefert, daß
es irreduzibel ist, mit geringem rechnerischen Aufwand. Ist aber ohne
Bilder bißchen schwierig zu erklären, ich hab vor ein paar Wochen einen
Seminarvortrag darüber gehört, fand ich sehr beeindruckend...
Vieleicht findet sich da auch online was nettes zu? Habe grade keine
Zeit, zu recherchieren.
Gruß,
Oliver.