Peano-Definition der Addition - warum so umstaendlich?
Helmut Zeisel
ueblicherweise mit einem Satz kombiniert: Es gibt genau eine Operation
"+" mit
n+1=n' fuer alle n
n+m'=(n+m)' fuer alle n,m
(wobei n' der Nachfolger von n).
Wofuer braucht man den Satz? Wenn ich das richtig verstanden haben,
geht das auf E. Landau zurueck, der im Vorwort zu seinen "Grundlagen
der Analysis" erklaert, man habe ja nicht n+m, sondern n+m' definiert,
daher ist die Kombination mit dem Satz notwendig,.
Aber das liese sich doch auch so loesen: Definition
n+1=n' fuer alle n
n+m=(n+'m)' fuer alle m>1 und fuer alle n
wobei 'm der eindeutig bestimmte Vorgaenger ist Die Eindeutigkeit und
Existenz des Vorgaengers steht bei Landau an der entsprechenden Stelle
bereits zur Verfügung.
Die zweite Version ist meines Erachtens einfacher, da man bei einer
reinen Definition bleibt, die man nicht mit einem Satz mischen muss.
Habe ich da was uebersehen?
Helmut Zeisel
Joachim Mohr
Das ist identisch. Ein einfacheres Beispiel für eine Rekursion,
die verschieden definiert ist, bei der es aber auf das gleiche
hinausläuft:
0! = 1
(n+1)! = (n+1)*n! für alle n>=0
oder
0! = 1
n! = n*(n-1)! für alle n>0
MFG Joachim
--
Joachim Mohr Tübingen
http://www.joachimmohr.de/neu.html
Helmut Zeisel
> Das ist identisch. Ein einfacheres Beispiel für eine Rekursion,
> die verschieden definiert ist, bei der es aber auf das gleiche
> hinausläuft:
>
> 0! = 1
> (n+1)! = (n+1)*n! für alle n>=0
>
> oder
>
>
> 0! = 1
> n! = n*(n-1)! für alle n>0
>
> MFG Joachim
Genau so sehe ich es auch. Nur ist mir dann völlig unklar, warum Edmund
Landau in den Grundlagen der Analysis (1930), "Vorwort für den Kenner",
so ausführlich über die Probleme mit der erste Variante schreibt, wenn
die zweite doch nach Deinem und meinem Verständnis wesentlich
problemloser ist.
== Zitat aus dem "Vorwort für den Kenner" ==
Wenn ich etwa in einer Vorlesung über Zahlentheorie irgendeinen Satz
über die natürlichen Zahlen beweise, daß ich erst die Richtigkeit für 1
und dann as der Richtigkeit für x die für x+1 beweise, so pflegt
gelegentlich ein Zuhörer den Einwand zu erheben, ich hätte die
Behauptung ja gar nicht vorher für x bewiesen...
Grandjots Einwand klingt ähnlich; mit dem Unterschied, daß er berechtigt
war, so daß ich ihn auch verzeihen mußte. Auf Grund seiner fünf Axiome
definierte Peano x+y bei festem x für alle y folgemdermaßen:
x+1=x'
x+y' = (x+y)',
und er und Nachfolger meinen damit, x+y ist allgemein defniert; denn die
Menge der y, für die es definiert ist, enthält 1 und mit y auch y'
Aber man hat ja x+y gar nicht definiert.
Es wäre in Ordnung, wenn man (was beim Peanoschen Weg nicht der Fall
ist, da die Ordnung erst nach der Addition eingeführt wird), den Begriff
der "Zahlen <=y" hätte und von der Menge der y spräche, zu denen es ein
für z<=y definiertes f(z) mit den Eigenschaften gibt:
f(1)=x'
f(z')=(f(z))' für z<y.
== Zitat Ende ==
Wegen dieses Einwands wird dann anscheinend aus der simplen Definition
eine "Definition und Satz" (es gibt genau eine Funktion "+", sodass ...).
Nach meinem (und anscheinend auch Deinem) Verständnis wäre es doch
einfacher gewesen, die letzte oben zitierte Zeile durch
f(z)=(f('z))' für z ungleich 1
zu ersetzen und eine simple Definition ohne "Satz" zu machen.
Helmut
Stephan Lukits
> Die Definition der Addition ausgehende von den Peano-Axiomen wird
> ueblicherweise mit einem Satz kombiniert: Es gibt genau eine Operation
> "+" mit
>
> n+1=n' fuer alle n
> n+m'=(n+m)' fuer alle n,m
>
> (wobei n' der Nachfolger von n).
>
> Wofuer braucht man den Satz? Wenn ich das richtig verstanden haben,
> geht das auf E. Landau zurueck, der im Vorwort zu seinen "Grundlagen
> der Analysis" erklaert, man habe ja nicht n+m, sondern n+m' definiert,
> daher ist die Kombination mit dem Satz notwendig,.
>
> Aber das liese sich doch auch so loesen: Definition
>
> n+1=n' fuer alle n
> n+m=(n+'m)' fuer alle m>1 und fuer alle n
>
> wobei 'm der eindeutig bestimmte Vorgaenger ist Die Eindeutigkeit und
> Existenz des Vorgaengers steht bei Landau an der entsprechenden Stelle
> bereits zur Verfügung.
Daraus folgt aber m.E. noch nicht die Bedeutung von n+'m für m =/= 1,
da Du nur die Bedeutung von n+1 (was Du ja gerade ausschließt) bisher
erklärt hast. Daher beziehst Du dich in
> n+m=(n+'m)' fuer alle m>1 und fuer alle n
im Definiens auf einen undefinierten Ausdruck. (Die Existenz und
Eindeutigkeit von n und 'm definieren den Ausdruck n+'m nicht.)
Außerdem folgt m.E. Die Eindeutigkeit der Operation "+" daraus
auch nicht. M.E. erreichst Du durch diese (korrekte) Umformulierung
bezüglich der angesprochenen Probleme nichts.
Gruß
Stephan
Helmut Zeisel
> Daraus folgt aber m.E. noch nicht die Bedeutung von n+'m für m =/= 1,
> da Du nur die Bedeutung von n+1 (was Du ja gerade ausschließt) bisher
> erklärt hast. Daher beziehst Du dich in
>
> > n+m=(n+'m)' fuer alle m>1 und fuer alle n
>
> im Definiens auf einen undefinierten Ausdruck. (Die Existenz und
> Eindeutigkeit von n und 'm definieren den Ausdruck n+'m nicht.)
">1" sollte besser durch "ungleich 1" ersetzt werden; Ordnung steht an
dieser Stelle nicht zur Verfügung. Ansonsten sehe ich aber nicht, wieso
es undefniert sein sollte:
Fuer 'm=1 ist n+'m = n',
andernfalls existiert ''m und n+'m=(n+''m)'.
> Außerdem folgt m.E. Die Eindeutigkeit der Operation "+" daraus
> auch nicht.
Warum? Die Operation ist ja nicht implizit durch eine Gleichung sondern
explizit (sozusagen durch einen Algorithmus) definiert.
Helmut
fiesh
> Die Definition der Addition ausgehende von den Peano-Axiomen wird
> ueblicherweise mit einem Satz kombiniert: Es gibt genau eine Operation
> "+" mit
>
> n+1=n' fuer alle n
> n+m'=(n+m)' fuer alle n,m
>
> (wobei n' der Nachfolger von n).
>
> Wofuer braucht man den Satz? Wenn ich das richtig verstanden haben,
> geht das auf E. Landau zurueck, der im Vorwort zu seinen "Grundlagen
> der Analysis" erklaert, man habe ja nicht n+m, sondern n+m' definiert,
> daher ist die Kombination mit dem Satz notwendig,.
>
> Aber das liese sich doch auch so loesen: Definition
>
> n+1=n' fuer alle n
> n+m=(n+'m)' fuer alle m>1 und fuer alle n
>
> wobei 'm der eindeutig bestimmte Vorgaenger ist Die Eindeutigkeit und
> Existenz des Vorgaengers steht bei Landau an der entsprechenden Stelle
> bereits zur Verfügung.
Und wie folgt bei deiner Definition die Existenz von +?
--
fiesh
Helmut Zeisel
> Und wie folgt bei deiner Definition die Existenz von +?
OK, die muss man tatsaechlich beweisen.
Ich haette ja auch n+m='(n+m') definieren koennen, und das waere ja
eine Endlosschleife ...
Der Beweis der Existenz ist natürlich nicht weiter schwierig und
entspricht dem Teil B in Landaus Beweis.
Was man sich aber IMHO immer noch spart, ist der Teil A in Landaus
Beweis, nämlich den Beweis der Eindeutigkeit.
Helmut
Stephan Lukits
> Stephan Lukits schrieb:
>
>> Daraus folgt aber m.E. noch nicht die Bedeutung von n+'m für m =/= 1,
>> da Du nur die Bedeutung von n+1 (was Du ja gerade ausschließt) bisher
>> erklärt hast. Daher beziehst Du dich in
>>
>> > n+m=(n+'m)' fuer alle m>1 und fuer alle n
>>
>> im Definiens auf einen undefinierten Ausdruck. (Die Existenz und
>> Eindeutigkeit von n und 'm definieren den Ausdruck n+'m nicht.)
>
> ">1" sollte besser durch "ungleich 1" ersetzt werden; Ordnung steht an
> dieser Stelle nicht zur Verfügung. Ansonsten sehe ich aber nicht, wieso
> es undefniert sein sollte:
>
> Fuer 'm=1 ist n+'m = n',
> andernfalls existiert ''m und n+'m=(n+''m)'.
Das genau was sein soll?
>
>> Außerdem folgt m.E. Die Eindeutigkeit der Operation "+" daraus
>> auch nicht.
>
> Warum? Die Operation ist ja nicht implizit durch eine Gleichung sondern
Wo behaupte ich das? (Ich sagte, n+'m ist nicht definiert?)
> explizit (sozusagen durch einen Algorithmus) definiert.
Was ist die explizite Definition einer Operation?
M.E. geht die Addition aus dem Abschluß der Nachfolgerbeziehung
(Axiom 2) und dem Induktionsaxiomenschema (Axiom 5) hervor und
außerdem geht es m.E. um die Existenz und Eindeutigkeit von
Objekten und [um die Existenz und Eindeutigkeit] deren
Beziehungen zueinander.
Gruß
Stephan
Wolfgang Kirschenhofer
Genau diese letzte Aussage ist falsch.
Landau beweist folgenden Satz:
Auf genau eine Art läßt sich jedem Zahlenpaar (x,y) aus NxN
eine natürliche Zahl, x+y genannt, so zuordnen,daß
gilt:
(1) x+1:= x' für jedes x aus N und
(2) x+y':= (x+y)' für jedes x und jedes y aus N .
Die Operation + ist also eine Funktion mit dem Definitionsbereich NxN
und der Wertemenge N\{1} .
Den Beweis der Eindeutigkeit kann man sich daher in keinem Fall ersparen
(wenn man unter Addition in N die allgemein übliche binäre Operation auf
N versteht).
Allgemeiner gilt folgender Satz:
Rekursionssatz über N:
Sei A eine Menge, a Element von A und F eine Funktion von A nach A.
Dann existiert genau eine Funktion h: N -> A, so daß
h(1)= a und
h(n')= F(h(n)) für jedes n Element von N
Nach diesem Rekursionssatz existiert für jedes x aus N genau eine
Funktion A_x : N -> N, für die gilt
A_x(1)= x' und A_x(y')= (A_x(y))'
Definition: Die Addition + ist die binäre Operation auf N, so daß für
jedes x und y aus N x+y:= A_x(y) ist.
Literatur als Ergänzung zum "Landau(Grundlagen der Analysis)":
z.B.: H.B.Enderton: Elements of Set Theory
Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
Stephan Lukits
> Warum? Die Operation ist ja nicht implizit durch eine Gleichung sondern
> explizit (sozusagen durch einen Algorithmus) definiert.
Ich denke, Du interpretierst hier dein Wissen über rekursive
Definitionen mit hinein. (kommst also Landaus Bitte: "...vergiß alles,
was Du (auf der Schule) gelernt hast..." nicht nach ;-))
Allerdings muss man dieses rekursive Vorgehen und dessen Funktionieren
rechtfertigen.
Gruß
Stephan
Helmut Zeisel
> Allgemeiner gilt folgender Satz:
> Rekursionssatz über N:
> Sei A eine Menge, a Element von A und F eine Funktion von A nach A.
> Dann existiert genau eine Funktion h: N -> A, so daß
> h(1)= a und
> h(n')= F(h(n)) für jedes n Element von N
Soweit klar.
Ich wuerde den zweiten Teil allerdings ersetzen durch
h(n)= F(h('n)) fuer n ungleich 1.
Wieso muss hier eine Eindeutigkeit noch extra gezeigt werden?
Helmut
Helmut Zeisel
>
> Was ist die explizite Definition einer Operation?
Das gleiche wie die explizite Definition einer Funktion, z.B.
y = x+1 ist explizit.
y^2=x, y>=0 ist implizit.
Helmut
Helmut Zeisel
> Ich denke, Du interpretierst hier dein Wissen über rekursive
> Definitionen mit hinein.
Das mag sein.
> Allerdings muss man dieses rekursive Vorgehen und dessen Funktionieren
> rechtfertigen.
Ja, aber was genau ist der Punkt, der gerechtfertigt gehoert?
Helmut
Stephan Lukits
Er behauptet, dass es zu zwei natürlichen Zahlen x und y eine
Natürliche Zahl gibt, die mit x+y bezeichnet wird und für die
gilt: x+1 = x' (x e |N), x+y'=(x+y)' (x,y e |N).
Führt man ein neues Objekt mit bestimmten Eigenschaften ein,
dann stellt man i.d.R. die Fragen: "Existiert dieses Objekt?",
"Ist dieses Objekt eindeutig?".
Gruß
Stephan
Stephan Lukits
Noch allgemeiner gilt folgender Satz ;-):
Rekursionssatz:
Sei nü: I--->|N eine Signatur, und es sei AL=(U,f) eine Peano-Algebra
der Signatur nü. Es sei Y =/= {} eine Menge, und für jedes i aus I sei
h_i : U^{nü(i)} x Y^{nü(i)} ---> Y
eine Funktion. Dann gibt es *genau eine* Funktion h: U ---> Y mit
h(fi(x1, ..., xnü(i))) = hi(x1, ..., xnü(i), h(x1), ..., h(xnü(i))
für alle i aus I und x1, ..., xnü(i) aus U.
Gruß
Stephan
Wolfgang Kirschenhofer
Hallo!
Man muß in jedem Fall beweisen, daß es genau eine Funktion + mit
Definitionsbereich NxN und Wertebereich N\{1} gibt, egal ob man die
Funktion + , so wie Landau definiert oder in einer dazu äquivalenten
Form unter Verwendung des Vorgängers 'n für n ungleich 1.
Es gibt natürlich mehrere Möglichkeiten die Addition in N zu definieren.
Die Vorgangsweise von Landau orientiert sich am üblichen Prozeß des
Zählens, der mit 1 beginnt.
Im Rekursionssatz muß es jedenfalls heißen: "Es gibt genau eine Funktion
h, so daß......".
Die Umformulierung des Rekursionssatzes nach Deinen Wünschen überlasse
ich Dir.
Beim Beweis des Rekusionssatzes muß also in jedem Fall gezeigt werden,
daß es eine und nur eine Funktion h unter bestimmten Voraussetzungen
gibt; für h muß es bekanntlich immer einen "Startwert" der Rekursion geben.
Vielleicht habe ich Dein Problem gar nicht verstanden.
Gruß,
Wolfgang Kirschenhofer
Wolfgang Kirschenhofer
Danke Stephan.
Hoffentlich sind nun durch Deine Beiträge alle Unklarheiten beseitigt.
Landaus "Grundlagen der Analysis" haben mich bereits als Student
fasziniert, vor allem wegen der mathematischen Klarheit und Einfachheit
der Darstellung.
Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
Stephan Lukits
Hallo Wolfgang,
gaaanz sicher sind sie das. Aber im Ernst ich wurde sowohl in der
Berechenbarkeitstheorie als auch in der Mathematischen Logik mit
diversen Rekursionssätzen konfrontiert und muss leider feststellen,
dass mir die Beweise dazu noch immer nicht geheuer sind (aber ich
studiere ja noch).
> Landaus "Grundlagen der Analysis" haben mich bereits als Student
> fasziniert, vor allem wegen der mathematischen Klarheit und Einfachheit
> der Darstellung.
Ja, ich kenne kein besseres Mathematikübungsbuch.
Gruß
Stephan
Helmut Zeisel
> Vielleicht habe ich Dein Problem gar nicht verstanden.
Es ist eher so, dass ich das (von Landau im Vorwort erwähnte) Problem
vom Grandjot nicht verstanden habe ...
Grandjots Einwand, dass in
h(n')= F(h(n)) für jedes n Element von N
h(n) nicht definiert ist, bezieht sich anscheinend nicht so, wie ich
ursprünglich verstanden habe, auf die linke Seite, wo h(n') statt h(n)
steht, sondern so wie ich es jetzt verstehe, anscheinend auf die rechte
Seite, dass also scheinbar eine Zirkeldefinition bzw. genauer eine
Funktionalgleichung vorliegt.
Aus dieser Perspektive ist mir dann natürlich klar, dass man Existenz
und Eindeutigkeit der Lösung der Funktionalgleichung zeigen muss, auch
wenn der Beweis nicht besonders schwierig ist.
Helmut
Wolfgang Thumser
> Aus dieser Perspektive ist mir dann natürlich klar, dass man Existenz
> und Eindeutigkeit der Lösung der Funktionalgleichung zeigen muss, auch
> wenn der Beweis nicht besonders schwierig ist.
wir koennen uns ja auch 'mal folgendes fragen:
Angenommen, wir verzichten auf die Induktionsaxiome und betrachten
lediglich (ich nehm' der Einfachheit halber die null 'mal zu den
nat. Zahlen) die beiden folgenden Axiome in der Praedikatenlogik
1. Stufe mit Gleichheit (das uebliche logische Fundament also,
das auch zur Formulierung der Gruppenaxiome und ZFC verwendet wird):
Ax Sx != 0 (1)
AxAy Sx = Sy -> x = y (2)
(Die Umkehrung von (2) ist uebrigens ein logisches Axiom bzw. je
nach Formulierung des Ableitungskalkuels eine logische Inferenzregel.
Auch Peanos 1. Axiom "null ist eine natuerliche Zahl" bedarf in
der Praedikatenlokik mit "0" als nullstelligem und "S" als ein-
stelligem Funktionssymbol keiner besonderen Erwaehnung, ebenso das 2.
nicht.)
Weiterhin nehmen wir zur Sprache die zweistelligen Funktionssymbole
"+" und "o" hinzu sowie die Axiome
Ax x + 0 = x (3)
AxAy x + Sy = S(x + y) (4)
Ax x o 0 = x (5)
AxAy x o Sy = S(x o y). (6)
Wir nennen das entstehende Axiomensystem P und fragen uns, ob
1) P widerspruchsfrei ist (Das beweist die Existenz von + und o),
2) in P die Aussage AxAy x + y = x o y (7) logisch aus den
Axiomen (1) - (6) ableitbar ist (Das wuerde die Eindeutigkeit
zeigen).
1) und das Gegenteil von 2) lassen sich durch Angabe eines
entsprechenden Modells zeigen. Dieses Modell wuerde weiterhin
belegen, dass die Induktionsaxiome zum Nachweis der Eindeutigkeit
wirklich gebraucht werden (Kein Modell von (1) und (2) kann
uebrigens endlich sein, wieso nicht?). Wie sieht also solch
ein Modell aus?
Gruss Wolfgang
Karl Heinze
<zei2...@liwest.at> wrote:
>
> Die Definition der Addition ausgehende von den Peano-Axiomen wird
> üblicherweise mit einem Satz kombiniert: Es gibt genau eine Operation
> "+" mit
>
> n+1=n' für alle n
> n+m'=(n+m)' für alle n,m
>
> (wobei n' der Nachfolger von n).
>
> Wofür braucht man den Satz? Wenn ich das richtig verstanden haben,
> geht das auf E. Landau zurück, ...
>
Nein, auf Dedekind.
>
> ...der im Vorwort zu seinen "Grundlagen der Analysis" erklärt, man
> habe ja nicht n+m, sondern n+m' definiert, daher ist die Kombination
> mit dem Satz notwendig.
>
Hmmm, ja. Ich denke der Punkt ist der folgende. Wir wollen eine
_Funktion_ mit zwei Argumenten definieren, für die bestimmte Be-
dingungen gelten sollen.
Wenn wir nun allgemein hinschreiben
f(n, 1 ) = n'
f(n, m') = f(n, m)' ,
so haben wir zwar Bedingungen angegeben, der die Funktion f genügen
soll, aber damit hat man ja die Funktion (der Addition) noch nicht
_definiert_. Um nämlich eine (solche) Definition zu /rechtfertigen/,
muss man ja ERST beweisen, dass es (a) so eine Funktion _gibt_, die
beiden Bedingungen genügt, und (b) dass es höchstens (also dann genau)
eine solche Funktion gibt, die den beiden Bedingungen genügt. Dann ist
es logisch zulässig zu sagen (festzusetzen): + _ist_ (per Def.) diese
Funktion. Und daher gilt dann auch:
+(n, 1 ) = n'
+(n, m') = +(n, m)' ,
K. H.
--
E-mail: info<at>simple-line<Punkt>de
Ralf Bader
Genau diese Existenz und Eindeutigkeit muß man zeigen, und das natürlich auf
Basis der gegebenen Axiome. Eine Möglichkeit, die problematischen Punkte
besser zu sehen, wäre eine strikte Formalisierung. Vielleicht reicht es
aber schon, nicht ganz so weit zu gehen. Wir haben also eine Menge N, und
die Axiome entsprechend Landau, §1.1:
P1 - ein Element 1 e N
P2 - eine Abbildung S: N -> N, also eine Teilmenge von NxN mit der
Eigenschaft: zu jedem n e N enthält S genau ein Element der Form (n,j=Sn)
(ich benütze das Symbol S sowohl für die Abbildung qua Menge und als
Operationssymbol)
P3 - S enthält kein Element der Form (n,1)
P4 - ist (a,x) e S und (b,x) e S, so ist a=b
P5 - hat eine Teilmenge T c N die Eigenschaften: 1 e T und n e T => Sn e T,
so ist T = N.
Jetzt möchten wir eine Funktion, also eine Teilmenge F von NxN definieren
mit den Eigenschaften (x e N ist fest, und Fa soll x+a werden):
A1 - (1,Sx) e F
A2 - (a,b) e F => (Sa,Sb) e F
und natürlich den Funktionseigenschaften: Zu jedem n e N enthält F genau ein
Element der Form (n,m).
Dazu sind also Eindeutigkeit und Existenz zu zeigen. Zur Eindeutigkeit siehe
Wolfgang Thumsers Posting: Man nimmt zwei Kandidaten, die die an F
gestellten Bedingungen erfüllen, und betrachtet die Menge M der Argumente,
für die die Werte übereinstimmen. Von dieser Menge zeigt man, daß sie die
Voraussetzungen von P5 erfüllt. Problematischer ist die Existenz - gibt es
ein F c NxN mit den gestellten Bedingungen? Zu sagen, F sei durch A1 und A2
"für alle n e N definiert", bedeutet pr_1(F) = N (pr_i:NxN -> N die
Projektion auf den i.ten Faktor). Aber die Existenz von F kann man nicht
dadurch zeigen, daß man feststellt, was pr_1(F) wäre, wenn F existieren
würde; und falls F nicht existierte, gibt es über pr_1(F) garnix zu sagen.
Eine Möglichkeit, die Existenz zu zeigen (Landaus ist offenbar eine andere)
besteht in der Anwendung des in anderen Postings schon erwähnten
Rekursionssatzes. Dieser wird auch bei Jacobson[1] verwendet, mit einem
Beweis, der unabhängig voneinander von Lorenzen bzw. Hilbert/Bernays
angegeben wurde. In Einschränkung auf den gegenwärtigen Fall läuft das so:
Man betrachtet das System G aller Teilmengen U c NxN mit den Eigenschaften
A1 und A2. G ist nicht leer, da NxN e G. Es sei F der Durchschnitt aller in
G enthaltenen Teilmengen von NxN. Daß pr_1(F) = N, ist simpel. Die Crux des
Beweises liegt darin, zu zeigen, daß F die volle Funktionseigenschaft
besitzt, also daß die Menge T aller Argumente, für die F eindeutig ist, die
Voraussetzungen von P5 erfüllt...
Literatur:
[1]Jacobson, Basic Algebra I, §0.4
[2]http://www.math.umn.edu/~jodeit/course/LBonADDed.pdf
[3]http://sci.tech-archive.net/Archive/sci.math/2004-07/1564.html
[4]Leon Henkin
On mathematical induction
American mathematical monthly, vol. 67 (1960), pp. 323-338
Ralf
Stephan Lukits
> Hallo Helmut,
>
>> Aus dieser Perspektive ist mir dann natürlich klar, dass man Existenz
>> und Eindeutigkeit der Lösung der Funktionalgleichung zeigen muss, auch
>> wenn der Beweis nicht besonders schwierig ist.
>
> wir koennen uns ja auch 'mal folgendes fragen:
>
> Angenommen, wir verzichten auf die Induktionsaxiome und betrachten
> lediglich (ich nehm' der Einfachheit halber die null 'mal zu den
> nat. Zahlen) die beiden folgenden Axiome in der Praedikatenlogik
> 1. Stufe mit Gleichheit (das uebliche logische Fundament also,
> das auch zur Formulierung der Gruppenaxiome und ZFC verwendet wird):
>
> Ax Sx != 0 (1)
> AxAy Sx = Sy -> x = y (2)
>
> uebrigens endlich sein, wieso nicht?).
Hallo Wolfgang,
Hierzu möchte ich mal eine (informelle) Antwort probieren.
Der Individuenbereich enthält in jedem Falle die Null.
Weiter existiert ein Objekt S0, das mit (1) von
0 verschieden ist. Also gibt es mit der Umkehrung von
(2) x =/= y -> Sx =/= Sy mit x = 0 und y = S0 zwei
verschiedene Objekte die wiederum die verschiedenen
Individuen S0 und S(S0) implizieren welche wiederum
mit der Umkehrung von (2) ...
Gruß
Stephan (der für weitere Überlegungen den Modellbegriff
nachschlägt.)
Wolfgang Thumser
>> Ax Sx != 0 (1)
>> AxAy Sx = Sy -> x = y (2)
>> (Kein Modell von (1) und (2) kann
>> uebrigens endlich sein, wieso nicht?).
>
> Der Individuenbereich enthält in jedem Falle die Null.
richtig!
> Weiter existiert ein Objekt S0, das mit (1) von
> 0 verschieden ist.
0 != S0, auch klar
> Also gibt es mit der Umkehrung von
> (2) x =/= y -> Sx =/= Sy mit x = 0 und y = S0 zwei
> verschiedene Objekte die wiederum die verschiedenen
> Individuen S0 und S(S0) implizieren welche wiederum
> mit der Umkehrung von (2) ...
Damit haben wir insgesamt
0 != S0 & S0 != SS0 & SS0 != SSS0 & ...
Wir muessen allerdings noch Faelle wie S0 != SSS0
ausschliessen (was auch nicht weiter schwierig ist).
: 1) P widerspruchsfrei ist (Das beweist die Existenz von + und o),
: 2) in P die Aussage AxAy x + y = x o y (7) logisch aus den
: Axiomen (1) - (6) ableitbar ist (Das wuerde die Eindeutigkeit
: zeigen).
Wie immer ein Modell M aussehen mag, was 1) bestaetigt und 2) verletzt,
auf den paarweise verschiedenen Individuen 0, S0, SS0, SSS0, ...
muessen + und o uebereinstimmen; aus (3), (4), (5) und (6) folgt naemlich
SS0+SSS0=S(SS0+SS0)=SS(SS0+S0)=SSS(SS0+0)=SSSSS0 bzw.
SS0oSSS0=S(SS0oSS0)=SS(SS0oS0)=SSS(SS0o0)=SSSSS0,
und vollst. Induktion auf der Metaebene (Metainduktion) bestaetigt
S^(n)0+S^(m)0=S^(n)0oS^(m)0 ganz allgemein fuer die Zeichenketten
S^(n) := SS...S0 bzw. S^(m) := SS...S0 der Laengen n+1 bzw. m+1
(man koennte das ein Metatheorem fuer den Ableitungskalkuel P nennen).
Ein solches M muss also neben den sog. standard natuerlichen Zahlen
0, S0, SS0, ... auch Nichtstandard Zahlen enthalten. Wie also laesst
sich ein moeglichst einfaches M konstruieren?
Gruss Wolfgang
Wolfgang Thumser
>> Ax Sx != 0 (1)
>> AxAy Sx = Sy -> x = y (2)
>> (Kein Modell von (1) und (2) kann
>> uebrigens endlich sein, wieso nicht?).
>
> Der Individuenbereich enthält in jedem Falle die Null.
richtig!
> Weiter existiert ein Objekt S0, das mit (1) von
> 0 verschieden ist.
0 != S0, auch klar
> Also gibt es mit der Umkehrung von
> (2) x =/= y -> Sx =/= Sy mit x = 0 und y = S0 zwei
> verschiedene Objekte die wiederum die verschiedenen
> Individuen S0 und S(S0) implizieren welche wiederum
> mit der Umkehrung von (2) ...
Damit haben wir insgesamt
0 != S0 & S0 != SS0 & SS0 != SSS0 & ...
Wir muessen allerdings noch Faelle wie S0 = SSS0
ausschliessen (was auch nicht weiter schwierig ist).
: 1) P widerspruchsfrei ist (Das beweist die Existenz von + und o),
: 2) in P die Aussage AxAy x + y = x o y (7) logisch aus den
: Axiomen (1) - (6) ableitbar ist (Das wuerde die Eindeutigkeit
: zeigen).
Wie immer ein Modell M aussehen mag, was 1) bestaetigt und 2) verletzt,
auf den paarweise verschiedenen Individuen 0, S0, SS0, SSS0, ...
muessen + und o uebereinstimmen; aus (3), (4), (5) und (6) folgt naemlich
SS0+SSS0=S(SS0+SS0)=SS(SS0+S0)=SSS(SS0+0)=SSSSS0 bzw.
SS0oSSS0=S(SS0oSS0)=SS(SS0oS0)=SSS(SS0o0)=SSSSS0,
und vollst. Induktion auf der Metaebene (Metainduktion) bestaetigt
S^(n)0+S^(m)0=S^(n)0oS^(m)0 ganz allgemein fuer die Zeichenketten
S^(n) := SS...S0 bzw. S^(m) := SS...S0 der Laengen n+1 bzw. m+1
(man koennte das ein Metatheorem fuer den Ableitungskalkuel P nennen).
Ein solches M muss also neben den sog. standard natuerlichen Zahlen
0, S0, SS0, ... auch Nichtstandard Zahlen enthalten. Wie also laesst
sich ein moeglichst einfaches M konstruieren?
Gruss Wolfgang
Superseedes Message-Id:<477f639e$0$5960$9b4e...@newsspool3.arcor-online.net>
Helmut Zeisel
> On Thu, 3 Jan 2008 23:44:14 -0800 (PST), Helmut Zeisel
> <zei2...@liwest.at> wrote:
>
>> Die Definition der Addition ausgehende von den Peano-Axiomen wird
>> üblicherweise mit einem Satz kombiniert: Es gibt genau eine Operation
>> "+" mit
>>
>> n+1=n' für alle n
>> n+m'=(n+m)' für alle n,m
>>
>> (wobei n' der Nachfolger von n).
>>
>> Wofür braucht man den Satz? Wenn ich das richtig verstanden haben,
>> geht das auf E. Landau zurück, ...
>>
> Nein, auf Dedekind.
Tatsächlich? Landau erwähnt Dedekind (Vorwort für den Kenner, XII):
"Es wäre in Ordnung, wenn man (was bem Peanoschen Weg nicht der Fall
ist, da die Ordnung erst nach der Addition eingeführt wird) den Begriff
"Zahlen <= y" hätte ... So verläuft Dedekinds Begründung."
Helmut
Helmut Zeisel
> Hallo Helmut,
>
>> Aus dieser Perspektive ist mir dann natürlich klar, dass man Existenz
>> und Eindeutigkeit der Lösung der Funktionalgleichung zeigen muss, auch
>> wenn der Beweis nicht besonders schwierig ist.
>
> wir koennen uns ja auch 'mal folgendes fragen:
>
> Angenommen, wir verzichten auf die Induktionsaxiome
Ja, sobald der Punkt klar ist, lassen sich viele Beispiele angeben.
So definiert ja z.B.
h(1)= a und
h(n')= F(h(n)) für jedes n
keine eindeutige Funktion, wenn man z.B. für n alle rellen Zahlen
zulässt. Existenz verliert man z.B. bei der "Subtraktion"
h(1) = a
h(n') = '(h(n))
Eigentlich ist es ja so, dass zu jeder Definition der Satz dazugehört,
dass die Definition "wohlgeformt" ist, wobei das allerdings in den
meisten Fällen "offensichtlich" ist.
Helmut
Stephan Lukits
> Damit haben wir insgesamt
>
> 0 != S0 & S0 != SS0 & SS0 != SSS0 & ...
>
> Wir muessen allerdings noch Faelle wie S0 = SSS0
> ausschliessen (was auch nicht weiter schwierig ist).
Das verstehe ich nicht. Die Transitivität der Ungleichheit
erscheint mir gerade die Eigenschaft zu sein, die mich auf
der Metaebene davon überzeugt, dass S0, SS0, SSS0, ...
paarweise verschiedene Objekte(, was ja nötig ist für die
Abzählbarkeit der Individuen)
>
> : 1) P widerspruchsfrei ist (Das beweist die Existenz von + und o),
> : 2) in P die Aussage AxAy x + y = x o y (7) logisch aus den
> : Axiomen (1) - (6) ableitbar ist (Das wuerde die Eindeutigkeit
> : zeigen).
>
> Wie immer ein Modell M aussehen mag, was 1) bestaetigt und 2) verletzt,
> auf den paarweise verschiedenen Individuen 0, S0, SS0, SSS0, ...
> muessen + und o uebereinstimmen; aus (3), (4), (5) und (6) folgt naemlich
>
> SS0+SSS0=S(SS0+SS0)=SS(SS0+S0)=SSS(SS0+0)=SSSSS0 bzw.
> SS0oSSS0=S(SS0oSS0)=SS(SS0oS0)=SSS(SS0o0)=SSSSS0,
>
> und vollst. Induktion auf der Metaebene (Metainduktion) bestaetigt
>
> S^(n)0+S^(m)0=S^(n)0oS^(m)0 ganz allgemein fuer die Zeichenketten
> S^(n) := SS...S0 bzw. S^(m) := SS...S0 der Laengen n+1 bzw. m+1
> (man koennte das ein Metatheorem fuer den Ableitungskalkuel P nennen).
Das sehe ich ein. (auf der Objektebene klappt das nicht weil ich
"keine Gewähr habe alle Individuen zu erreichen")
>
> Ein solches M muss also neben den sog. standard natuerlichen Zahlen
> 0, S0, SS0, ... auch Nichtstandard Zahlen enthalten. Wie also laesst
> sich ein moeglichst einfaches M konstruieren?
Hm. Nach meinem derzeitigen Kenntnisstand möchtest Du eine Struktur,
die die einstellige Prädikatenlogik mit Identität derart ergänzt, dass
die Axiome P(1) bis P(6) als Theoreme in ihr ableitbar sind? Ich glaube,
das ist noch eine Metaebene zu hoch für mich.
Gruß
Stephan
Thomas Haunhorst
> Wolfgang Thumser schrieb:
>> Ein solches M muss also neben den sog. standard natuerlichen Zahlen
>> 0, S0, SS0, ... auch Nichtstandard Zahlen enthalten. Wie also laesst
>> sich ein moeglichst einfaches M konstruieren?
>
> Hm. Nach meinem derzeitigen Kenntnisstand möchtest Du eine Struktur,
> die die einstellige Prädikatenlogik mit Identität derart ergänzt, dass
> die Axiome P(1) bis P(6) als Theoreme in ihr ableitbar sind?
Wenn wir S auf IN interpretieren mit S'(n) := n /plus/ 2 (mit /plus/
ist die gewöhnliche Addition gemeint), dann wären die Axiome (1) und
(2) in (IN,S',0) erfüllt. Dann gibt es kein x mit S'(x) = 1.
--
Thomas Haunhorst
Wolfgang Thumser
>> 0 != S0 & S0 != SS0 & SS0 != SSS0 & ... (*)
>>
>> Wir muessen allerdings noch Faelle wie S0 = SSS0 (**)
>> ausschliessen (was auch nicht weiter schwierig ist).
>
> Das verstehe ich nicht. Die Transitivität der Ungleichheit
Aus (*) erhaelt man allein durch logisches Schliessen nicht
(**), denn die Ungleichheit ist i.a. _nicht_ transitiv
(Aus a!=b & b!=c folgt i.a. nicht a!=c). Tatsaechlich braucht
man (1) fuer 0!=SS0 und (2) fuer S0!=SSS0 zusammen mit modus
ponens als Inferenzregel.
> erscheint mir gerade die Eigenschaft zu sein, die mich auf
> der Metaebene davon überzeugt, dass S0, SS0, SSS0, ...
> paarweise verschiedene Objekte(, was ja nötig ist für die
> Abzählbarkeit der Individuen)
zunaechst einmal sollten wir zwischen den Zeichenketten "S0",
"SS0", usw., die aus den Buchstaben "0" und "S" aufgebaut sind
und den Objekten S0, SS0 des Modells unterscheiden (eigentlich
ist hierfuer eine Interpretation I zustaendig, die wir aus
Gruenden der Offensichtlichkeit nicht extra erwaehnt haben).
Ist man sich dieses Unterschieds erst einmal bewusst, kann man
auch wieder die gleichen Namen fuer Zeichenketten (Terme) und
Objekte des Modells verwenden und mit dieser "standard confusing
convention" den Kontext ueber die jeweilige Bedeutung entscheiden
lassen.
>> Ein solches M muss also neben den sog. standard natuerlichen Zahlen
>> 0, S0, SS0, ... auch Nichtstandard Zahlen enthalten. Wie also laesst
>> sich ein moeglichst einfaches M konstruieren?
In diesem Kontext sind mit 0, S0, SS0, ... natuerlich die Objekte
des Modells gemeint (zusammen mit einer geeigneten Interpretation
der entsprechenden Terme).
> Hm. Nach meinem derzeitigen Kenntnisstand möchtest Du eine Struktur,
> die die einstellige Prädikatenlogik mit Identität derart ergänzt,
Unter "einstellige Prädikatenlogik" versteht man eine Praedikatenlogik,
die lediglich ueber einstellige Praedikate verfuegt, Du meinst hier sicher
Praedikatenlogik erster Stufe.
> dass die Axiome P(1) bis P(6) als Theoreme in ihr ableitbar sind?
Man spricht hier von "Erfuellbarkeit der Axiome". In P sind (1) - (6)
natuerlich als Axiome trivial ableitbar.
Wuenschenswert waere die Angabe eines Objektbereiches zusammen mit
einer Interpretation von 0, S, +, o, so dass (1) - (6) erfuellt sind,
(7) aber nicht. Stell's Dir ganz einfach vor:
Haetten wir es statt (1) - (6) mit den Gruppenaxiomen zu tun, und wuerde
(7) die Kommutativitaet ausdruecken, dann entspraeche die Angabe der Multi-
plikationstafel einer nichtkommutativen Gruppe der Erfuellung des Wunsches.
Gruss Wolfgang
Karl Heinze
wrote:
>>>
>>> Die Definition der Addition ausgehende von den Peano-Axiomen wird
>>> üblicherweise mit einem Satz kombiniert: Es gibt genau eine Operation
>>> "+" mit
>>>
>>> n+1=n' für alle n
>>> n+m'=(n+m)' für alle n,m
>>>
>>> (wobei n' der Nachfolger von n).
>>>
>>> Wofür braucht man den Satz? Wenn ich das richtig verstanden haben,
>>> geht das auf E. Landau zurück, ...
>>>
>> Nein, auf Dedekind.
>>
> Tatsächlich? Landau erwähnt Dedekind (Vorwort für den Kenner, XII):
> [...].
>
Mag sein. Ich meinte, dass der Rekursionsatz, der üblicherweise
herangezogen wird, um z. B. zu begründen, dass
f(n, 1) = n' für alle n in N
f(n, m)' = (n + m)' für alle n, m in N
tatsächlich die Addition in eindeutiger Weise charakterisiert, von
Dedekind stammt.
(Schon) Dedekind war sich also der Notwendigkeit, das zu _beweisen_
durchaus bewusst. Und der erste (bekannte) Beweis geht auf ihn zu-
rück.
MfG,
Wolfgang Thumser
> [...] Existenz verliert man z.B. bei der "Subtraktion"
>
> h(1) = a (*)
> h(n') = '(h(n)) (**)
wieso? mit x' := x + 1, '(x) := x - 1 und h(x) := a - x + 1
existiert doch in h offenbar eine Funktion, die ueber dem
Objektbereich |R alle von ihr geforderten Eigenschaften (*)
und (**) hat.
Gruss Wolfgang
Karl Heinze
<Stephan...@FernUni-Hagen.de> wrote:
>>
>> Damit haben wir insgesamt
>>
>> 0 != S0 & S0 != SS0 & SS0 != SSS0 & ...
>>
>> Wir muessen allerdings noch Faelle wie S0 = SSS0
>> ausschliessen (was auch nicht weiter schwierig ist).
>>
> Das verstehe ich nicht. Die Transitivität der Ungleichheit
> erscheint mir gerade die Eigenschaft zu sein, die mich auf
> der Metaebene davon überzeugt, dass S0, SS0, SSS0, ...
> paarweise verschiedene Objekte (, was ja nötig ist für die
> Abzählbarkeit der Individuen)
>
Kurzzeitig hatten sich meine Überlegungen in ähnlichen Bahnen bewegt,
wie Deine.
Aber ... die Ungleichheit ist (anders als Du oben schreibst/behauptest)
_nicht_ transitiv! Es ist z. B.
10 =/= 11 und 11 =/= 7 + 3,
aber offenbar ist dennoch
10 = 7 + 3 (also ~(10 =/= 7 + 3)).
Mit anderen Worten, die Ungleichheit ist nicht transitiv (obwohl die
Gleichheit es ist).
Man muss hier also noch ein klein wenig "tricksen" (scheint mir). Die
Grundidee (die Du hier verfolgst) ist aber wohl korrekt.
(Vermutlich begeht man diesen "Denkfehler", weil klar ist, dass die
_Zeichenketten_ "0", "S0", "SS0", etc. allesamt verscheiden sind [da sie
allesamt verschiedene Längen haben, und keine zwei Zeichenketten mit
verschiedener Länge identisch sein können], und man dann diese Tatsache
von der Syntaxebene auf die "Objektebene", also die bezeichneten Objekte
des Universum/der Trägermenge, überträgt; was aber eben -im allgemeinen-
nicht zulässig ist.)
Helmut Zeisel
Über den reellen Zahlen ja, aber ich bezog mich dabei auf den
ursprünglichen Objektbereich der natürlichen Zahlen (das ist aus meiner
Formulierung nicht ganz klar geworden).
Helmut
Wolfgang Thumser
Auch ueber den natuerlichen Zahlen laesst sich ein h mit (*) und (**)
finden (Du sagtest an anderer Stelle, dass die Vorgaengeroperation
"'" bereits eingefuehrt sei, wobei ich '1=1 annehme und a als ein Element
der natuerlichen Zahlen interpretiere). Auch in diesem Fall kann man
h durch h(x) := (a+1)-x definieren, wobei x - y = 1 falls y >= x
gelten soll. Aber vielleicht verstehe ich auch nicht, was Du genau
behauptest.
Gruss Wolfgang
Helmut Zeisel
> Auch ueber den natuerlichen Zahlen laesst sich ein h mit (*) und (**)
> finden (Du sagtest an anderer Stelle, dass die Vorgaengeroperation
> "'" bereits eingefuehrt sei, wobei ich '1=1 annehme und a als ein Element
> der natuerlichen Zahlen interpretiere).
Ja, mit dieser Annahme kannst Du das Beispiel retten;
aber Du brauchst eben eine Zusatzannahme.
> Aber vielleicht verstehe ich auch nicht, was Du genau
> behauptest.
Naja, ich behaupte nichts Großartiges, nur das sich leicht Beispiele
angeben lassen, wo eben eine scheinbare Defnition keine Loesung hat.
Von mir aus kann man genausogut auch
h(1)=a
h(n')=h(n')'
nehmen, da lässt sich gar nichts mehr retten.
Helmut
Wolfgang Thumser
>...>> Angenommen, wir verzichten auf die Induktionsaxiome
>...> Ja, sobald der Punkt klar ist, lassen sich viele Beispiele angeben.
>> [...] "'" bereits eingefuehrt sei, wobei ich '1=1
>> annehme und a als ein Element der natuerlichen Zahlen
>> interpretiere).
>
> Ja, mit dieser Annahme kannst Du das Beispiel retten;
> aber Du brauchst eben eine Zusatzannahme.
Die Annahme brauche ich nur zur expliziten Angabe von h,
es ist ansonsten gleichgueltig, wie '() interpretiert wird,
es laesst sich zu jeder Interpretation ein h finden.
> Naja, ich behaupte nichts Großartiges, nur das sich leicht Beispiele
> angeben lassen, wo eben eine scheinbare Defnition keine Loesung hat.
> Von mir aus kann man genausogut auch
>
> h(1)=a
> h(n')=h(n')' nehmen,
Dann betrachte
Ax x' != 1 (1')
AxAy x' = y' -> x = y (2')
Ax x + 1 = x' (3')
AxAy x + y' = (x + y)' (4')
zusammen mit
h(1)=a (5')
Ax h(x')=h(x')' (6')
in der Sprache der Praedikatenlogik mit 0, a als Konstanten,
' und h als einstellige Funktionensymbole sowie + als zweistelliges
Funktionensymbol und nenne dieses Axiomensystem P'.
Auch fuer P' laesst sich ein Modell finden (naemlich welches?),
was zeigt, dass auch in diesem Fall ein h mit den gewuenschten Eigen-
schaften existiert.
> [...] da lässt sich gar nichts mehr retten.
Deswegen verstehe ich nicht, was Du damit sagen willst.
Gruss Wolfgang
Karl Heinze
Kleine Korrektur und Ergänzung.
>
> ... die Ungleichheit ist (anders als Du oben schreibst/behauptest)
> [i.a.] _nicht_ transitiv! Es ist z. B.
> ~~~~~~
> 10 =/= 11 und 11 =/= 7 + 3,
>
> aber offenbar ist dennoch
>
> 10 = 7 + 3 (also ~(10 =/= 7 + 3)).
>
> Mit anderen Worten, die Ungleichheit ist [i.a.] nicht transitiv (obwohl
> die Gleichheit es ist). ~~~~~~
>
Es sei denn, wir betrachten die Ungleichheit auf einer Menge M mit genau
einem (oder keinem) Element, dort gilt natürlich
AxAyAz(x =/= y & y =/= z -> x =/= z).
M M M
Schön ist -finde ich- auch die Betrachtung des Falles für |M| = 2. Sagen
wir für M = {a, b} mit a =/= b.
Dann kann das Antezedenz der Implikation nur erfüllt sein, wenn x = a,
y = b und z = a, oder x = b, y = a und z = b ist, dann aber ist (wie man
sieht) notwendigerweise x = z.
Kurz in diesem Fall haben wir also sogar
AxAyAz(x =/= y & y =/= z -> x = z).
M M M
:-)
Peter Niessen
> Genau so sehe ich es auch. Nur ist mir dann völlig unklar, warum Edmund
> Landau in den Grundlagen der Analysis (1930), "Vorwort für den Kenner",
> so ausführlich über die Probleme mit der erste Variante schreibt, wenn
> die zweite doch nach Deinem und meinem Verständnis wesentlich
> problemloser ist.
Ziehe mal Kamke Mengenlehre zu Rate.
Der Gute erklärt das sehr sauber und verständlich.
Und wundere dich nicht, wenn dort moderne Axiomatik mit keinem Wort erwähnt
wird.
--
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
Peter Niessen
> Die Definition der Addition ausgehende von den Peano-Axiomen wird
> ueblicherweise mit einem Satz kombiniert: Es gibt genau eine Operation
> "+" mit
>
> n+1=n' fuer alle n
> n+m'=(n+m)' fuer alle n,m
>
> (wobei n' der Nachfolger von n).
>
> Wofuer braucht man den Satz? Wenn ich das richtig verstanden haben,
> geht das auf E. Landau zurueck, der im Vorwort zu seinen "Grundlagen
> der Analysis" erklaert, man habe ja nicht n+m, sondern n+m' definiert,
> daher ist die Kombination mit dem Satz notwendig,.
>
> Aber das liese sich doch auch so loesen: Definition
>
> n+1=n' fuer alle n
> n+m=(n+'m)' fuer alle m>1 und fuer alle n
>
> wobei 'm der eindeutig bestimmte Vorgaenger ist Die Eindeutigkeit und
> Existenz des Vorgaengers steht bei Landau an der entsprechenden Stelle
> bereits zur Verfügung.
>
> Die zweite Version ist meines Erachtens einfacher, da man bei einer
> reinen Definition bleibt, die man nicht mit einem Satz mischen muss.
> Habe ich da was uebersehen?
Es gibt keine Peano-Definiton der Addition. Da musst du schon etwas mehr
Gehirn einbringen. Klar ist (sollte sein) dass man aus diesen
Simpelaussagen richtig viel Mathematik machen kann.
Helmut Zeisel
> Auch fuer P' laesst sich ein Modell finden (naemlich welches?),
> was zeigt, dass auch in diesem Fall ein h mit den gewuenschten Eigen-
> schaften existiert.
Das Modell ist nicht gesucht, sondern gegeben. h ist gesucht.
Helmut
Stephan Lukits
> Hallo Stephan,
>
>>> 0 != S0 & S0 != SS0 & SS0 != SSS0 & ... (*)
>>>
>>> Wir muessen allerdings noch Faelle wie S0 = SSS0 (**)
>>> ausschliessen (was auch nicht weiter schwierig ist).
>> Das verstehe ich nicht. Die Transitivität der Ungleichheit
>
> Aus (*) erhaelt man allein durch logisches Schliessen nicht
> (**), denn die Ungleichheit ist i.a. _nicht_ transitiv
Hallo Wolfgang,
tatsächlich ist die Ungleichheit i.a. symmetrisch, was bei
geltender Transitivität zu etwas wie S0 != S0 führte, peinlich.
> (Aus a!=b & b!=c folgt i.a. nicht a!=c). Tatsaechlich braucht
> man (1) fuer 0!=SS0 und (2) fuer S0!=SSS0 zusammen mit modus
> ponens als Inferenzregel.
ja.
ja.
>
>> dass die Axiome P(1) bis P(6) als Theoreme in ihr ableitbar sind?
>
> Man spricht hier von "Erfuellbarkeit der Axiome". In P sind (1) - (6)
> natuerlich als Axiome trivial ableitbar.
>
> Wuenschenswert waere die Angabe eines Objektbereiches zusammen mit
> einer Interpretation von 0, S, +, o, so dass (1) - (6) erfuellt sind,
> (7) aber nicht.
Diesbezüglich hat ja Thomas schon ein brauchbares Angebot gemacht.
Da ich es geschafft habe in recht wenig Zeilen recht viel Unsinn
zu schreiben möchte ich Dir für deine Mühe danken, und mich wieder
meinem Schreibtisch zuwenden.
Gruß
Stephan
Stephan Lukits
> On Sat, 05 Jan 2008 13:13:35 +0100, Stephan Lukits
> <Stephan...@FernUni-Hagen.de> wrote:
>
>>> Damit haben wir insgesamt
>>>
>>> 0 != S0 & S0 != SS0 & SS0 != SSS0 & ...
>>>
>>> Wir muessen allerdings noch Faelle wie S0 = SSS0
>>> ausschliessen (was auch nicht weiter schwierig ist).
>>>
>> Das verstehe ich nicht. Die Transitivität der Ungleichheit
>> erscheint mir gerade die Eigenschaft zu sein, die mich auf
>> der Metaebene davon überzeugt, dass S0, SS0, SSS0, ...
>> paarweise verschiedene Objekte (, was ja nötig ist für die
>> Abzählbarkeit der Individuen)
>>
> Kurzzeitig hatten sich meine Überlegungen in ähnlichen Bahnen bewegt,
> wie Deine.
>
> Aber ... die Ungleichheit ist (anders als Du oben schreibst/behauptest)
> _nicht_ transitiv! Es ist z. B.
>
> 10 =/= 11 und 11 =/= 7 + 3,
>
> aber offenbar ist dennoch
>
> 10 = 7 + 3 (also ~(10 =/= 7 + 3)).
>
> Mit anderen Worten, die Ungleichheit ist nicht transitiv (obwohl die
> Gleichheit es ist).
Ja, ich habe Wolfgang schon geschrieben, dass man als allgemeinere
Begründung dieses Sachverhalts die Symmetrie der Ungleichheit verwenden
kann, um bei geltender Transitivität etwas "sinnvolles" wie "S0 != S0"
ableiten zu können.
>
> Man muss hier also noch ein klein wenig "tricksen" (scheint mir). Die
> Grundidee (die Du hier verfolgst) ist aber wohl korrekt.
Das hat ja Wolfgang schon geschrieben: Modus Ponens (und reduktio ad
Absurdum) bringen es mit den beiden Axiomen:
Ax Sx != 0 (1)
AxAy Sx = Sy -> x = y (2)
Z.B. Mit (1) gilt S0 != 0 (1'), mit der Umkehrung von (2) folgt
S0 != 0 -> S(S0) != S0 mit (1') und Modus Ponens ergibt sich
S(S0) != S0. Gälte nun S(S0) = 0, dann hätten wir mit (1)
und x=S0 schon einen Widerspruch also S(S0) != 0.
Weiter können wir analog S(S(S0)) != S(S0) ableiten. Gälte
nun S(S(S0)) = S0, dann folgt mit MP und (2) S(S0) = 0 was
unserer vorigen Erkenntnis widerspricht, also S(S(S0)) != S0.
Das S(S(S0)) != 0 gilt, folgt analog zu "S(S0) != 0" und so weiter.
>
> (Vermutlich begeht man diesen "Denkfehler", weil klar ist, dass die
> _Zeichenketten_ "0", "S0", "SS0", etc. allesamt verscheiden sind [da sie
> allesamt verschiedene Längen haben, und keine zwei Zeichenketten mit
> verschiedener Länge identisch sein können], und man dann diese Tatsache
> von der Syntaxebene auf die "Objektebene", also die bezeichneten Objekte
> des Universum/der Trägermenge, überträgt; was aber eben -im allgemeinen-
> nicht zulässig ist.)
Vermutlich.
Gruß
Stephan
Wolfgang Kirschenhofer
Hallo Helmut!
Ich weiß zwar nicht, was Du beim derzeitigen Stand der Diskussion noch
genau willst bzw. behauptest, möchte aber trotzdem noch einen zweiten
Literaturverweis geben.
In dem ausgezeichneten Buch "Zahlen" von Ebbinghaus et al.(Springer,
ISBN3-540-55654-0) findet man auf den Seiten 9 bis 22 eine kurze aber
prägnante Einführung in die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen
und zusätzlich ein ausführliches Literaturverzeichnis zum Thema.
Wenn man also beispielsweise aus beruflichen Gründen nur wenig Zeit hat,
dann bekommt man auf diesen 14 Seiten das Nötigste zum Verständnis der
natürlichen Zahlen vermittelt.
Gruß,
Wolfgang Kirschenhofer
Helmut Zeisel
wrote:
> Hallo Helmut!
>
> Ich weiß zwar nicht, was Du beim derzeitigen Stand der Diskussion noch
> genau willst bzw. behauptest,
Mir ist inzwischen so weit alles klar; lediglich Wolfgang Thumser
meint, dass er nicht versteht, was ich sagen will.
Helmut
Rainer Rosenthal
> Mir ist inzwischen so weit alles klar; lediglich Wolfgang Thumser
> meint, dass er nicht versteht, was ich sagen will.
Ich liebe logische Diskussionen. Sie machen alles so wunderbar klar.
Gruss,
Rainer R.
Karl Heinze
<Stephan...@FernUni-Hagen.de> wrote:
Hallo Stefan!
>
> tatsächlich ist die Ungleichheit i.a. symmetrisch, ...
>
Also ich würde das "i.a." hier weglassen. Die Ungleichheit ist "immer"
symmetrisch.
>
> was bei geltender Transitivität zu etwas wie S0 != S0 führte,
> peinlich.
>
Nein, so kann man leider nicht argumentieren.
Aus Symmetrie und Transitivität einer Relation R kannst Du nicht auf Raa
(für ein a) schließen. (Aber vielleicht hast Du das ja anders gemeint.)
Symmetrie bedeutet ja nicht, dass es zwei Elemente a, b gibt, so dass
Rab und Rba gilt, sondern nur, dass für alle Elemente a, b gilt: falls
Rab, dann Rba. (Möglicherweise, gibt es aber keine Elemente a, b, so
dass Rab; damit wäre diese Aussage "vacously true".)
Also aus
AxAy(x =/= y -> y =/= x)
(was gilt), kann man unter der Annahme
AxAyAz(x =/= y & y =/= z -> x =/= z) (Trans.)
nicht auf
a =/= a
für ein a, bzw.
Ex(x =/= x)
schließen.
[ Gegenbeispiel: Universum mit genau éinem Element. Hier gilt
selbstverständlich ebenfalls AxAy(x =/= y -> y =/= x), außer-
dem AxAyAz(x =/= y & y =/= z -> x =/= z); aber klarerweise
gibt es kein a aus dem Universum mit a =/= a; denn das éine
Element des Universums ist natürlich mit sich selbst identisch. ]
Das ist auch sinnvoll/richtig so, denn Ex(x =/= x) steht im
Widerspruch zu Ax(x = x), einem Theorem der Prädikatenlogik
erster Stufe mit Identität. Damit könnte man dann also mittels
Reductio ad absurdum (RAA) auf
~AxAyAz(x =/= y & y =/= z -> x =/= z) (*)
schließen. Und weil man AxAy(x =/= y -> y =/= x) beweisen kann,
hätte man dann also gezeigt, dass die Ungleichheit =/= nicht
transitiv ist. Was sie aber eben nicht "immer", sondern nur "i.a."
ist. (M.a.W. (*) ist _kein_ Theorem der Prädikatenlogik erster
Stufe mit Identität.)
[ Gegenbeispiel: Universum mit genau einem Element. Hier gilt -eben
weil es keine Elemente a, b im Universum gibt, so dass a =/= b (bzw.
b =/= a) gilt- dass AxAyAz(x =/= y & y =/= z -> x =/= z) gilt. ]
Karl Heinze
<Stephan...@FernUni-Hagen.de> wrote:
>>
>> ... die Ungleichheit ist (anders als Du oben schreibst/behauptest)
>> i.a. _nicht_ transitiv! Es ist z. B.
>>
>> 10 =/= 11 und 11 =/= 7 + 3,
>>
>> aber offenbar ist dennoch
>>
>> 10 = 7 + 3 (also ~(10 =/= 7 + 3)).
>>
>> Mit anderen Worten, die Ungleichheit ist i.a. nicht transitiv (obwohl
>> die Gleichheit es ist).
>>
> Ja, ich habe Wolfgang schon geschrieben, dass man als allgemeinere
> Begründung dieses Sachverhalts die Symmetrie der Ungleichheit verwenden
> kann, um bei geltender Transitivität etwas "sinnvolles" wie "S0 != S0"
> ableiten zu können.
>
Nein, das funktioniert so nicht. Aus
AxAy(x =/= y -> y =/= x) (Symm.)
(was gilt), kann man unter der Annahme
AxAyAz(x =/= y & y =/= z -> x =/= z) (Trans.)
nicht auf
a =/= a
für ein a, bzw.
Ex(x =/= x)
schließen. (Siehe mein anderes Posting dazu.)
Dazu müsste man noch annehmen:
ExEy(x =/= y),
also dass es mindestens zwei Dinge/Objekte (in unserem "universe of
discourse") gibt. [Dann kann man in der Tat a =/= a für ein a her-
leiten, was im Widerspruch zu Ax(x = x) -einem Theorem der Prädikaten-
logik erster Stufe mit Identität- steht. Mittels reductio ad absurdum
können wir dann auf ~Trans schließen.]
Allerdings, in dem von uns betrachteten Beispiel haben wir ja
S0 =/= 0
und damit
ExEy(x =/= y).
Damit ist die Ungleichheit in der Tat (in unserem Fall) nicht transitiv.
Stephan Lukits
> also dass es mindestens zwei Dinge/Objekte (in unserem "universe of
> discourse") gibt.
Zum einen schrieb ich im Kontext und da hatten wir ja abzählbar viele
Individuen zum anderen erscheint mir eine Theorie mit nur einem
Individum reichlich langweilig. Ich habe jedenfalls noch keine solche
Theorie in der Mathematik bisher kennengelernt. Rein Formal hast Du
natürlich recht. Ergänze einfach in meinen Postings: "In einem
abzählbaren Universum...". Danke für den Hinweis und
Gruß
Stephan
Karl Heinze
<Stephan...@FernUni-Hagen.de> wrote:
>>
>> also dass es mindestens zwei Dinge/Objekte (in unserem "universe of
>> discourse") gibt.
>>
> Zum einen schrieb ich im Kontext und da hatten wir ja abzählbar viele
> Individuen ...
>
M o m e n t - das war doch gerade das, was gezeigt werden sollte! ;-)
(Also zu beweisen ist/war. Man kann das im allgemeinen nicht einfach
als "gegeben" annehmen.)
>
> zum anderen erscheint mir eine Theorie mit nur einem Individuum reich-
> lich langweilig. Ich habe jedenfalls noch keine solche Theorie in der
> Mathematik bisher kennengelernt.
>
Tatsächlich ist mir so ein Fall bekannt. Freges System, das er in seinem
Werk "Grundgesetze der Arithmetik I" beschrieben hat, war bekanntlich
inkonsistent (und damit unbrauchbar). In einem Anhang zum zweiten Band
hat er dann eine "Reparatur" seines Systems versucht. Wie später gezeigt
werden konnte, hätte das so "reparierte" System aber die Eigenschaft,
lediglich ein Objekt zu besitzen (mit anderen Worten: |- ExAy(x = y))
- was in der Tat auch nicht gerade das gelbe vom Ei ist...
>
> Rein Formal hast Du natürlich recht. Ergänze einfach in meinen Postings:
> "In einem abzählbaren Universum...".
>
Ja. Darauf beruht übrigens auch _mein_ (Gegen-)Beispiel; ich hatte da
auch nicht dazu gesagt, dass das Universum in diesem Fall die nat.
Zahlen umfassen soll --- in diesem Fall aber haben wir in der Tat:
10 =/= 11 und 11 =/= 7 + 3,
aber offenbar ist dennoch
10 = 7 + 3 (also ~(10 =/= 7 + 3)).
Mit anderen Worten, die Ungleichheit ist _in diesem Fall_ nicht
transitiv (obwohl die Gleichheit es ist).
(Warum kompliziert, wenn's auch einfach geht? ;-)
Auf jeden Fall ist man auf der sicheren Seite, wenn man einfach -so wie
W. Thumser es vorgemacht hat- konstatiert, dass die Ungleichheit /i.a./
nicht transitiv ist.
Karl Heinze
<Stephan...@FernUni-Hagen.de> wrote:
>>
>> Man muss hier also noch ein klein wenig "tricksen" (scheint mir). Die
>> Grundidee (die Du hier verfolgst) ist aber wohl korrekt.
>>
> Das hat ja Wolfgang schon geschrieben: Modus Ponens (und reductio ad
> absurdum) bringen es mit den beiden Axiomen:
>
> Ax Sx != 0 (1)
> AxAy Sx = Sy -> x = y (2)
>
> Z.B. Mit (1) gilt S0 != 0 (1'), mit der Umkehrung von (2) folgt
> S0 != 0 -> S(S0) != S0 mit (1') und Modus Ponens ergibt sich
> S(S0) != S0. Gälte nun S(S0) = 0, dann hätten wir mit (1)
> und x=S0 schon einen Widerspruch also S(S0) != 0.
>
> Weiter können wir analog S(S(S0)) != S(S0) ableiten. Gälte
> nun S(S(S0)) = S0, dann folgt mit MP und (2) S(S0) = 0 was
> unserer vorigen Erkenntnis widerspricht, also S(S(S0)) != S0.
> Das S(S(S0)) != 0 gilt, folgt analog zu "S(S0) != 0" und so weiter.
>
Ja, das ist eine durchaus zutreffende Überlegung. Die Sache ist somit
"intuitiv" klar. Aber ein _Beweis_ ist das noch nicht. (Das "Problem"
hier ist das "und so weiter".)
Ich bin gerade dabei, einem Beweis (wie ich meine) einigermaßen "schön"
nieder zuschreiben. Hier nur kurz die _Beweisidee_:
Sei J ein beliebiges Modell des betrachteten Axiomensystems. Und sei U
das Universum dieses Modells. Es ist zu zeigen, dass U eine unendliche
Menge ist (sein muss).
Beh. U ist eine unendliche Menge.
----
Bew. Sei a_n (n e IN) das Element aus U, das J dem Term "S...S0"
---- zuordnet. (M.a.W. a_n := [S...S0]_J. `-.-´
`-.-´ n-mal
n-mal
Sei M_n = {a_m e U : m e IN & 1 <= m <= n} (n e IN)
Es ist dann z. B. M_0 = {}, M_1 = {a_1} (= {[S0]_J}), usw.
Klarerweise gilt |M_n| <= n für alle n e IN.
Es gilt sogar |M_n| = n für alle n e IN. (Beweis später)
Dann ist U eine unendliche Menge.
Wäre U endlich, dann gäbe es eine nat. Zahl K
mit |U| = K. Und es würde dann für alle n e IN
gelten: |M_n| <= K (da M_n c U für alle n e IN).
Widerspruch zu |M_(K+1)| = K+1 > K.
qed.
Rest später.
Karl Heinze
Ax Sx != 0 (1)
AxAy Sx = Sy -> x = y (2)
>>>
>>> Man muss hier also noch ein klein wenig "tricksen" (scheint mir). Die
>>> Grundidee (die Du hier verfolgst) ist aber wohl korrekt.
>>>
>> [...]
>>
> Ich bin gerade dabei, einem Beweis (wie ich meine) einigermaßen "schön"
> nieder zuschreiben. Hier nur kurz die _Beweisidee_:
>
> Sei J ein beliebiges Modell des betrachteten Axiomensystems. Und sei U
> das Universum dieses Modells. Es ist zu zeigen, dass U eine unendliche
> Menge ist (sein muss).
>
> Beh. U ist eine unendliche Menge.
> ----
>
> Bew. Sei a_n (n e IN) das Element aus U, das J dem Term "S...S0"
> ---- zuordnet. (M.a.W. a_n := [S...S0]_J. `-.-´
> `-.-´ n-mal
> n-mal
>
> Sei M_n = {a_m e U : m e IN & 1 <= m <= n} (n e IN)
>
> Es ist dann z. B. M_0 = {}, M_1 = {a_1} (= {[S0]_J}), usw.
>
> Klarerweise gilt |M_n| <= n für alle n e IN. (leicht!)
>
Beweis durch Induktion nach n:
n = 0: |M_0| = |{}| = 0 <= 0, passt.
n |-> n+1: Es gelte also |M_n| <= n. Es ist zu zeigen, dass dann gilt:
|M_(n+1)| <= n+1.
Nun ist |M_(n+1)| = |M_n u {a_(n+1)}| <= |M_n| + |{a_(n+1)}| <= n+1.
qed. ^ `-.-´ `----.----´
| <= n 1
'
Fall 1: a_n e M_n. => M_n u {a_(n+1)} = M_n
=> ... < ...
Fall 2: a_n !e M_n. => M_n n {a_(n+1)} = {}
=> ... = ...
qed.
>
> Es gilt sogar |M_n| = n für alle n e IN.
>
Beweis:
Falls n = 0, |M_0| = |{}| = 0, passt.
Für n >= 1, Beweis durch Induktion nach n:
n = 1: |M_1| = |{a_1}| = 1, passt.
n |-> n+1: Es gelte also |M_n| = n (n >= 1). Es ist zu zeigen, dass dann
gilt: |M_(n+1)| = n+1. Bew. durch Widerspruch:
Annahme: |M_(n+1)| != n+1.
Überlegung: |M_(n+1)| ist nur dann nicht n+1, wenn a_(n+1) schon e M_n
ist.
[ formaler: a_(n+1) !e M_n => M_n n {a_(n+1)} = {} =>
=> |M_(n+1)| = |M_n u {a_(n+1)}| = |M_n| + 1 = n+1.
Kontraposition: |M_(n+1)| != n+1 => a_(n+1) e M_n. ]
D. h. Em e IN mit 1 <= m <= n & a_(n+1) = a_m.
Sei nun m0 e IN : 1 <= m0 <= n & a_(n+1) = a_m0.
Fall 1: m0 = 1.
=> a_(n+1) = a_1, d. h. [S...SS0] = [S0] => [S...SS0 = S0] = w.
`-.--´ `-.--´
n+1-mal n+1-mal
=> (wegen (2)) [S...S0 = 0] = w => [S...S0] = [0].
`-.-´ `-.-´
n-mal n-mal (n >= 1)
Das kann aber wegen (1) nicht sein. (_Wid._)
Fall 2: 1 < m0 <= n. (Schreibe im Folgenden kurz S^k0 für S...S0.)
`-.-´
k-mal
=> a_(n+1) = a_m, d. h. [S^(n+1)0] = [S^m0] => [S^(n+1)0 = S^m0] = w.
=> (wegen (2)) [S^n0 = S^(m0-1)0] = w => [S^n0] = [S^(m0-1)0],
d. h. a_n = a_(m0-1).
(Anmerkung: m0-1 < n, wegen m0 <= n. Also m0-1 != n.)
=> Es gibt m,m' e IN : 1 <= m,m' <= n & m != m' & a_m = a_m'.
_Wid. zu |M_n| = n_.
(Damit ist |M_(n+1)| = n+1 -mittels reductio ad absurdum- gezeigt.)
qed.
>
> Dann ist U eine unendliche Menge.
>
> Wäre U endlich, dann gäbe es eine nat. Zahl K
> mit |U| = K. Und es würde dann für alle n e IN
> gelten: |M_n| <= K (da M_n c U für alle n e IN).
> Widerspruch zu |M_(K+1)| = K+1 > K.
>
> qed.
>
Karl Heinze
wrote:
>
> Ax Sx != 0 (1)
> AxAy Sx = Sy -> x = y (2)
>
> [...] Kein Modell von (1) und (2) kann uebrigens endlich sein [...].
>
Beweis
~~~~~~
Sei J ein beliebiges Modell des betrachteten Axiomensystems. Und sei U
das Universum dieses Modells. Es ist zu zeigen, dass U eine unendliche
Menge ist (sein muss).
Beh. U ist eine unendliche Menge.
----
Bew. Sei a_n (n e IN) das Element aus U, das J dem Term "S...S0"
---- zuordnet. (M.a.W. a_n := [S...S0]_J. `-.-´
`-.-´ n-mal
n-mal
Sei M_n = {a_m e U : m e IN & 1 <= m <= n} (n e IN)
Es ist dann z. B. M_0 = {}, M_1 = {a_1} (= {[S0]_J}), usw.
Klarerweise gilt |M_n| <= n für alle n e IN. (*)
Es gilt sogar |M_n| = n für alle n e IN. (**)
Dann ist U eine unendliche Menge.
Wäre U endlich, dann gäbe es eine nat. Zahl K
mit |U| = K. Und es würde dann für alle n e IN
gelten: |M_n| <= K (da M_n c U für alle n e IN).
Widerspruch zu |M_(K+1)| = K+1 > K.
qed.
Hier noch die fehlenden Beweise für (*) und (**). (Wobei (*) im
Beweis oben eigentlich überflüssig ist; und daher auch weggelassen
werden könnte.)
Beweis für (*) durch Induktion nach n:
n = 0: |M_0| = |{}| = 0 <= 0, passt.
n |-> n+1: Es gelte also |M_n| <= n. Es ist zu zeigen, dass dann gilt:
|M_(n+1)| <= n+1.
Nun ist |M_(n+1)| = |M_n u {a_(n+1)}| <= |M_n| + |{a_(n+1)}| <= n+1.
qed. ^ `-.-´ `----.----´
| <= n 1
'
Fall 1: a_n e M_n. => M_n u {a_(n+1)} = M_n
=> ... < ...
Fall 2: a_n !e M_n. => M_n n {a_(n+1)} = {}
=> ... = ...
qed.
Beweis für (**):
Falls n = 0, |M_0| = |{}| = 0, passt.
Für n >= 1, Beweis durch Induktion nach n:
n = 1: |M_1| = |{a_1}| = 1, passt.
n |-> n+1: Es gelte also |M_n| = n (n >= 1). Es ist zu zeigen, dass dann
gilt: |M_(n+1)| = n+1. Bew. durch Widerspruch:
Annahme: |M_(n+1)| != n+1.
Überlegung: |M_(n+1)| ist nur dann nicht n+1, wenn a_(n+1) schon e M_n
ist.
[ formaler: a_(n+1) !e M_n => M_n n {a_(n+1)} = {} =>
=> |M_(n+1)| = |M_n u {a_(n+1)}| = |M_n| + 1 = n+1.
Kontraposition: |M_(n+1)| != n+1 => a_(n+1) e M_n. ]
D. h. Es gibt ein m e IN mit 1 <= m <= n & a_(n+1) = a_m.
Sei nun m0 e IN : 1 <= m0 <= n & a_(n+1) = a_m0.
Fall 1: m0 = 1.
=> a_(n+1) = a_1, d. h. [S...SS0] = [S0] => [S...SS0 = S0] = w.
`-.--´ `-.--´
n+1-mal n+1-mal
=> (wegen (2)) [S...S0 = 0] = w => [S...S0] = [0].
`-.-´ `-.-´
n-mal n-mal (n >= 1)
Das kann aber wegen (1) nicht sein. (_Wid._)
Fall 2: 1 < m0 <= n. (Schreibe im Folgenden kurz S^k0 für S...S0.)
`-.-´
k-mal
=> a_(n+1) = a_m, d. h. [S^(n+1)0] = [S^m0] => [S^(n+1)0 = S^m0] = w.
=> (wegen (2)) [S^n0 = S^(m0-1)0] = w => [S^n0] = [S^(m0-1)0],
d. h. a_n = a_(m0-1).
(Anmerkung: m0-1 < n, wegen m0 <= n. Also m0-1 != n.)
=> Es gibt m,m' e IN : 1 <= m,m' <= n & m != m' & a_m = a_m'.
_Wid. zu |M_n| = n_.
(Damit ist |M_(n+1)| = n+1 -mittels reductio ad absurdum- gezeigt.)
qed.
MfG,
Karl Heinze
wrote:
Hallo Wolfgang,
ein paar Bemerkungen eines Anfängers.
>>>
>>> 0 != S0 & S0 != SS0 & SS0 != SSS0 & ... (*)
>>>
>>> Wir muessen allerdings noch Faelle wie S0 = SSS0 (**)
>>> ausschliessen (was auch nicht weiter schwierig ist).
>>>
>> Das verstehe ich nicht. Die Transitivität der Ungleichheit
>>
> Aus (*) erhaelt man allein durch logisches Schliessen nicht
> (**), denn die Ungleichheit ist i.a. _nicht_ transitiv
> (Aus a!=b & b!=c folgt i.a. nicht a!=c). Tatsaechlich braucht
> man (1) fuer 0!=SS0 und (2) fuer S0!=SSS0 zusammen mit modus
> ponens als Inferenzregel.
>
Ja. Das ist (auch Stephan) inzwischen klar.
>>
>> erscheint mir gerade die Eigenschaft zu sein, die mich auf
>> der Metaebene davon überzeugt, dass S0, SS0, SSS0, ...
>> paarweise verschiedene Objekte(, was ja nötig ist für die
>> Abzählbarkeit der Individuen)
>>
Ich hatte Stefan dazu geschrieben:
"Kurzzeitig hatten sich meine Überlegungen in ähnlichen Bahnen bewegt,
wie Deine. [...]
Man muss hier also noch ein klein wenig "tricksen" (scheint mir). Die
Grundidee (die Du hier verfolgst) ist aber wohl korrekt.
(Vermutlich begeht man diesen "Denkfehler", weil klar ist, dass die
_Zeichenketten_ "0", "S0", "SS0", etc. allesamt verscheiden sind [da sie
allesamt verschiedene Längen haben, und keine zwei Zeichenketten mit
verschiedener Länge identisch sein können], und man dann diese Tatsache
von der Syntaxebene auf die "Objektebene", also die bezeichneten Objekte
des Universum/der Trägermenge, überträgt; was aber eben -im allgemeinen-
nicht zulässig ist.)"
>
> zunaechst einmal sollten wir zwischen den Zeichenketten "S0",
> "SS0", usw., die aus den Buchstaben "0" und "S" aufgebaut sind
> und den Objekten S0, SS0 des Modells unterscheiden (eigentlich
> ist hierfuer eine Interpretation I zustaendig, die wir aus
> Gruenden der Offensichtlichkeit nicht extra erwaehnt haben).
>
Aber hier kann man natürlich als "Purist" dagegen aufbegehren, eine
solche (den Anfänger irreführende) Notation zu verwenden, nein? :-)
(Klar, wenn man weiß, was man tut.)
Ich würde hier aus "didaktischen" Gründen eine klare Unterscheidung
vorziehen:
Die Terme (Zeichenketten)
0 S0 SS0 ...
vs. die ihnen zugeordneten Objekte des Modells bzw. der Interpretation
J:
[0]_J [S0]_J [SS0]_J ...
Bei "fixierter" (fester) Interpretation J kann man natürlich der
Einfachheit halber den Index J weglassen, also
[0] [S0] [SS0] ...
Das ist doch auch _kaum_ komplizierter (und/oder umständlicher) als
einfach "0", "S0", "SS0", etc. zu schreiben.
>
> Ist man sich dieses Unterschieds erst einmal bewusst, kann man
> auch wieder die gleichen Namen fuer Zeichenketten (Terme) und
> Objekte des Modells verwenden und mit dieser "standard confusing
> convention" den Kontext ueber die jeweilige Bedeutung entscheiden
> lassen.
>
Ja, klar, aber... :-)
>>>
>>> Ein solches M muss also neben den sog. standard natuerlichen Zahlen
>>> 0, S0, SS0, ... auch Nichtstandard Zahlen enthalten. Wie also laesst
>>> sich ein moeglichst einfaches M konstruieren?
>>>
> In diesem Kontext sind mit 0, S0, SS0, ... natuerlich die Objekte
> des Modells gemeint (zusammen mit einer geeigneten Interpretation
> der entsprechenden Terme).
>
*grins* (Also [0]_M, [S0]_M, [SS0]_M, ...)
:-)
Wolfgang Thumser
: Ax Sx != 0 (1)
: AxAy Sx = Sy -> x = y (2)
:
: Weiterhin nehmen wir zur Sprache die zweistelligen Funktionssymbole
: "+" und "o" hinzu sowie die Axiome
:
: Ax x + 0 = x (3)
: AxAy x + Sy = S(x + y) (4)
: Ax x o 0 = x (5)
: AxAy x o Sy = S(x o y) (6)
:
: ExEy x + y != x o y (7)
Nach Deinen Ausfuehrungen fehlt jetzt nur noch ein Modell
fuer (1) - (7). Aber irgendwie scheint sich das Interesse
der Leserschaft dafuer in Grenzen zu halten.
Gruss Wolfgang
Karl Heinze
wrote:
>
> Nach Deinen Ausfuehrungen fehlt jetzt nur noch ein Modell
> fuer (1) - (7).
>
Mal sehen...
>
> Aber irgendwie scheint sich das Interesse der Leserschaft dafuer
> in Grenzen zu halten.
>
Ja, leider. [...]
MfG, K. H.
Karl Heinze
>
> Ich würde hier aus "didaktischen" Gründen eine klare Unterscheidung
> vorziehen:
>
> Die Terme (Zeichenketten)
>
> 0 S0 SS0 ...
>
> vs. die ihnen zugeordneten Objekte des Modells bzw. der Interpretation
> J:
> [0]_J [S0]_J [SS0]_J ...
>
> Bei "fixierter" (fester) Interpretation J kann man natürlich der
> Einfachheit halber den Index J weglassen, also lediglich
>
> [0] [S0] [SS0] ...
>
> schreiben.
>
> Das ist doch auch _kaum_ komplizierter (und/oder umständlicher) als
> einfach "0", "S0", "SS0", etc. zu schreiben.
>
Noch in Gedanke dazu: Wenn man sich ("einfach so") auf
0 S0 SS0
bezieht, liegt doch (in manchen Fällen) die "Standardinterpretation"
nahe, nicht? (Dass also "0" 0, "S0" 1, "SS0" 2, usw. "bedeuten".)
Das muss ja aber bei der Betrachtung eines konkreten Models (einer
konkreten Interpretation) J keineswegs so sein. [0]_J z. B. kann ja
ein x-bel. Objekt eines x-bel. nichtleeren Universums sein. Nö? (Wo-
bei ich jetzt gerade nicht auf die Bestimmtheit der nat. Zahlen "bis
auf Isomorphie" abheben will.)
Peter Niessen
>> Aber irgendwie scheint sich das Interesse der Leserschaft dafuer
>> in Grenzen zu halten.
>>
> Ja, leider. [...]
Nein
Ich habe nur keine Zeit zum Grübeln
Viele Grüsse und Tschüss :-)
Peter Niessen
> Beh. U ist eine unendliche Menge.
Das ist lediglich eine Klasse aber keine Menge. Es ist nun mal unmöglich zu
beweisen das es eine unendliche Menge gibt. Oder du zeigst wie das geht :-)
Karl Heinze
<peter-...@arcor.de> wrote:
>>
>> Beh. U ist eine unendliche Menge.
>>
> Das ist lediglich eine Klasse aber keine Menge.
>
Also es ist so (höre und lerne): U ist /per definitionem/ eine Menge.
(->Modelltheorie) Die _Frage_ ist nur, ob sie endlich sein kann oder
nicht. In diesem Fall ist die Antwort: Nein, sie kann nicht endlich
sein; m.a.W. sie ist unendlich, also eine unendliche /Menge/.
>
> Es ist nun mal unmöglich zu beweisen, dass es eine unendliche Menge gibt.
>
Unsinn. Natürlich kann man das _beweisen_.
>
> Oder du zeigst wie das geht. :-)
>
Satz: Die Menge IN der natürlichen Zahlen ist unendlich. (Mithin _gibt_
es also eine unendliche Menge.)
Beweis: S (die Nachfolgerabbildung) bildet IN auf IN\{0} ab und ist
injektiv. D. h. es gibt eine Bijektion zwischen IN und einer echten
Teilmenge von IN. Also ist IN unendlich (eine unendliche Menge).
K. H.
P.S.
Du kannst jetzt natürlich zusammen mit Herrn Mückenheim behaupten: "Es
gibt keine (unendliche) Menge der natürlichen Zahlen." - Fein. Aber dann
heißt es einfach EOD, denn hier (in dieser NG geht es um _Mathematik_
und nicht um irgendwelche "Glaubenswahrheiten". (Im Übrigen, was würde
denn Dein geschätzter Kamke von so einen Aussage/Behauptung halten?!
:-)))
Karl Heinze
>>>
>>> Beh. U ist eine unendliche Menge.
>>>
>> Das ist lediglich eine Klasse aber keine Menge.
>>
> Also es ist so (höre und lerne): U ist /per definitionem/ eine Menge.
> (->Modelltheorie).
>
Lesen bildet:
"Sei J ein beliebiges Modell des betrachteten Axiomensystems.
| Und sei U das Universum [= die Trägermenge] dieses Modells.
Es ist zu zeigen, dass U eine unendliche Menge ist (sein muss).
Beh. U ist eine unendliche Menge. [...]"
Es geht hierbei um die Frage /unendlich/ oder nicht (und nicht um die
Frage /Menge/ oder nicht. :-).
K. H.
Karl Heinze
For Niessen only!
|
| Ax Sx != 0 (1)
| AxAy Sx = Sy -> x = y (2)
|
| Behauptung: Kein Modell von (1) und (2) kann endlich sein.
|
Ich habe jetzt den Beweis noch ein wenig abgespeckt, um -zum Nutzen der
zahlreichen Leser und Interessierten- die eigentliche Beweisidee stärker
hervortreten zu lassen. Außerdem habe ich ihn Niessen-tauglich gemacht.
:-)
Beweis
~~~~~~
Sei J ein beliebiges Modell des betrachteten Axiomensystems. Und sei U
das Universum [die Trägermenge] dieses Modells. Es ist zu zeigen, dass U
unendlich ist (sein muss).
Beh. U ist unendlich.
----
Bew. Sei M_n = {[S...S0]_J e U : m e IN & 1 <= m <= n} (n e IN)
---- `-.-´
m-mal
Es gilt dann |M_n| = n für alle n e IN. (!)
Mithin ist U unendlich. (klar)
qed.
K. H.
P.S.
Dieser Beweis ist Niessen-geprüft! Tatsächlich gefällt er -der Beweis-
mir sogar /so/ besser! :-)
Karl Heinze
>>
>> Es ist nun mal unmöglich zu beweisen, dass es eine unendliche Menge
>> gibt.
>>
Nachtrag.
In (sagen wir) ZFC kann man -wenn einem danach ist- neben dem Prädikat
/unendlich/ auch noch _explizit_ das Prädikat /Menge/ definieren:
Menge(x) :<-> Ey(y e x) v x = {}.
"x ist eine Menge."
Mit anderen Worten, eine Menge ist ein Objekt, das entweder Elemente
besitzt, oder aber /die leere Menge/ [also {}] ist. (Diese Def. ist
nicht zirkulär!)
Dann kann man in ZFC tatsächlich _beweisen_:
Ex(Menge(x) & unendlich(x))
"Es gibt eine unendliche Menge."
(IN bietet sich -wie gesagt- an: Wegen 0 e IN, haben wir Menge(IN); und
dass IN unendlich ist, habe ich schon in einem anderen Posting gezeigt.)
Nun kann man in ZFC natürlich auch beweisen
Ax(Menge(x)).
"Everything is a set."
Somit ist /Menge/ redundant, da ohnehin alles Menge ist. Mit anderen
Worten: Alle Objekte in ZFC sind Mengen, und manche davon sind eben
unendlich.
K. H.
P.S. Aber es stimmt: GESEHEN hat bislang noch keiner eine unendliche
Menge, ja noch nicht einmal eine endliche. Mit anderen Worten, wir haben
keinerlei physikalische bzw. naturwissenschaftliche (also "empirische")
ähhh... "Beweise" (wohl eher _Belege_) für die Existenz von (unendlich-
en) Mengen, Niessen!
Karl Heinze
>
> P.S. Aber es stimmt: GESEHEN hat bislang noch keiner eine unendliche
> Menge, ja noch nicht einmal eine endliche. Mit anderen Worten, wir haben
> keinerlei physikalische bzw. naturwissenschaftliche (also "empirische")
> ähhh... "Beweise" (wohl eher _Belege_) für die Existenz von (unendlich-
> en) Mengen, Niessen!
>
Aus genau diesem Grunde meinte ja auch Robinson (der Mathematiker):
»(I) Infinite totalities do not exist in any sense of the word (i.e.,
either really or ideally). More precisely, any mention, or purported
mention, of infinite totalities is, literally, meaningless.«
Nun, im Grunde hat er aber auch _dafür_ keinen "Beweis". Heißt: es
handelt sich dabei um eine "Glaubenswahrheit". ...Wenn er meint...
Immerhin vergisst er nicht, auf folgenden -für die Mathematik WESENT-
LICHEN- Punkt hinzuweisen:
»(II) Nevertheless, we should continue the business of Mathematics 'as
usual', i.e., we should act as if infinite totalities really existed.«
(Abraham Robinson)
Dann ist ja gut. (Obwohl es also -laut Robinson- keine unendlichen
Mengen/Klassen GIBT, sollen wir im Rahmen der Mathematik doch so tun,
ALS OB es unendliche Mengen/Klassen GÄBE.)
Bemerkenswert finde ich lediglich die _Inkonsequenz_ der Robinsonschen
Einstellung/Haltung: Eigentlich gilt das oben von ihm Gesagte genauso-
gut (schon) für _endliche_ Mengen/Klassen. (Natürlich gibt es "An-
häufungen" von endlich vielen Objekten; das ist aber eben dann noch
keine Menge bzw. Klasse.)
K. H.
Karl Heinze
>>
>> Aber es stimmt: GESEHEN hat bislang noch keiner eine unendliche Menge,
>> ja noch nicht einmal eine endliche. Mit anderen Worten, wir haben
>> keinerlei physikalische bzw. naturwissenschaftliche (also "empirische")
>> ähhh... "Beweise" (wohl eher _Belege_) für die Existenz von (unendlich-
>> en) Mengen...
>>
> Aus genau diesem Grunde meinte ja auch Robinson (der Mathematiker):
>
> »(I) Infinite totalities do not exist in any sense of the word (i.e.,
> either really or ideally). More precisely, any mention, or purported
> mention, of infinite totalities is, literally, meaningless.«
>
> Nun, im Grunde hat er aber auch _dafür_ keinen "Beweis". Heißt: es
> handelt sich dabei um eine "Glaubenswahrheit". ...Wenn er meint...
>
> Immerhin vergisst er nicht, auf folgenden -für die Mathematik WESENT-
> LICHEN- Punkt hinzuweisen:
>
> »(II) Nevertheless, we should continue the business of Mathematics 'as
> usual', i.e., we should act as if infinite totalities really existed.«
>
> (Abraham Robinson)
>
> Dann ist ja gut. (Obwohl es also -laut Robinson- keine unendlichen
> Mengen/Klassen GIBT, sollen wir im Rahmen der Mathematik doch so tun,
> ALS OB es unendliche Mengen/Klassen GÄBE.)
>
> Bemerkenswert finde ich lediglich die _Inkonsequenz_ der Robinsonschen
> Einstellung/Haltung: Eigentlich gilt das oben von ihm Gesagte genauso-
> gut (schon) für _endliche_ Mengen/Klassen. (Natürlich gibt es "An-
> häufungen" von endlich vielen Objekten; das ist aber eben dann noch
> keine Menge bzw. Klasse.)
>
Gödel zu/über Robinsons Einstellung/Standpunkt:
»Abraham Robinson is a representative of an as-if position, according
to which it is fruitful to behave as if there were mathematical
objects, and in this way you achieve success by a false picture. This
requires a special art of pretending well. But such pretending can
never reach the same degree of imagination as one who believes
objectivism to be true. The success in the application of a belief in
the existence of something is the usual and most effective way of
proving existence.«
(Kurt Gödel)
Gödel war ja bekanntlich von der realen Existenz von Klassen/Mengen
überzeugt.
»Klassen und Begriffe können indessen auch als reale Objekte
aufgefasst werden, nämlich Klassen als "Vielheiten von Dingen"
oder als Strukturen, die aus einer Vielheit von Dingen
bestehen, und Begriffe als die Eigenschaften und Relationen
von Dingen, die unabhängig von unseren Definitionen und
Konstruktionen existieren.
Es scheint mir, daß die Annahme solcher Objekte ganz ebenso
legitim ist wie die Annahme physikalischer Körper, und es
besteht ebensoviel Grund, an ihre Existenz zu glauben.«
(Kurt Gödel)
Peter Niessen
>> Es ist nun mal unmöglich zu beweisen, dass es eine unendliche Menge gibt.
>>
> Unsinn. Natürlich kann man das _beweisen_.
>
>>
>> Oder du zeigst wie das geht. :-)
>>
> Satz: Die Menge IN der natürlichen Zahlen ist unendlich. (Mithin _gibt_
> es also eine unendliche Menge.)
>
> Beweis: S (die Nachfolgerabbildung) bildet IN auf IN\{0} ab und ist
> injektiv. D. h. es gibt eine Bijektion zwischen IN und einer echten
> Teilmenge von IN. Also ist IN unendlich (eine unendliche Menge).
Das ist kein Beweis!
Was hast du gerade gezeigt?
Folgt daraus eine Menge die alle nat. Zahlen enthält?
Peter Niessen
> On Sat, 19 Jan 2008 08:30:06 +0100, Karl Heinze <nomail@invalid> wrote:
>
>>>
>>> Es ist nun mal unmöglich zu beweisen, dass es eine unendliche Menge
>>> gibt.
>>>
>
> Nachtrag.
>
> In (sagen wir) ZFC kann man -wenn einem danach ist- neben dem Prädikat
> /unendlich/ auch noch _explizit_ das Prädikat /Menge/ definieren:
>
> Menge(x) :<-> Ey(y e x) v x = {}.
>
> "x ist eine Menge."
>
> Mit anderen Worten, eine Menge ist ein Objekt, das entweder Elemente
> besitzt, oder aber /die leere Menge/ [also {}] ist. (Diese Def. ist
> nicht zirkulär!)
>
> Dann kann man in ZFC tatsächlich _beweisen_:
>
> Ex(Menge(x) & unendlich(x))
>
> "Es gibt eine unendliche Menge."
>
> (IN bietet sich -wie gesagt- an: Wegen 0 e IN, haben wir Menge(IN); und
> dass IN unendlich ist, habe ich schon in einem anderen Posting gezeigt.)
>
> Nun kann man in ZFC natürlich auch beweisen
>
> Ax(Menge(x)).
>
> "Everything is a set."
>
> Somit ist /Menge/ redundant, da ohnehin alles Menge ist. Mit anderen
> Worten: Alle Objekte in ZFC sind Mengen, und manche davon sind eben
> unendlich.
Wie bitte?
Wie zeigst du das?
Du denkst nicht genau, denn ohne INF in ZF geht das überhaupt nicht und du
hast ein Problem!
>
> P.S. Aber es stimmt: GESEHEN hat bislang noch keiner eine unendliche
> Menge,
LOL!
> ja noch nicht einmal eine endliche. Mit anderen Worten, wir haben
> keinerlei physikalische bzw. naturwissenschaftliche (also "empirische")
> ähhh... "Beweise" (wohl eher _Belege_) für die Existenz von (unendlich-
> en) Mengen, Niessen!
Woher sollte dieses gehen?
Mathematische Konstruckte sind "geistige Konstrucke"! Und dann geht das
auch. Ist doch Cool: Überabzähle Entitäten lassen sich ohne Probleme
"denken".
Bastian Erdnuess
> P.S. Aber es stimmt: GESEHEN hat bislang noch keiner eine unendliche
> Menge, ja noch nicht einmal eine endliche.
Ach was! Ich hab schon eine Menge gesehen. Um nicht zu sagen: jede
Menge!
[SCNR]
Bastian
Karl Heinze
wrote:
>>
>> Aber es stimmt: GESEHEN hat bislang noch keiner eine unendliche
>> Menge, ja noch nicht einmal eine endliche.
>>
> Ach was! Ich hab schon eine Menge gesehen. Um nicht zu sagen:
> jede Menge!
>
Haha! :-)
K. H.
Karl Heinze
wrote:
Endlich habe ich ein wenig Zeit gefunden, um mir das Problem anzusehen.
>
> Ax Sx != 0 (1)
> AxAy Sx = Sy -> x = y (2)
>
> Ax x + 0 = x (3)
> AxAy x + Sy = S(x + y) (4)
> Ax x o 0 = x (5)
> AxAy x o Sy = S(x o y). (6)
>
> Wir nennen das entstehende Axiomensystem P und fragen uns, ob
>
> 1) P widerspruchsfrei ist (Das beweist die Existenz von + und o),
> 2) in P die Aussage AxAy x + y = x o y (7) logisch aus den
> Axiomen (1) - (6) ableitbar ist (Das wuerde die Eindeutigkeit
> zeigen).
>
> 1) und das Gegenteil von 2) lassen sich durch Angabe eines
> entsprechenden Modells zeigen.
>
Ja.
ad 1) Modell: U = IN, [Sx] = [x]', [+] ...Addition auf IN
[o] ...Addition auf IN. M.a.W. "+" und "o" werden beide in
gleicher Weise als Addition auf IN definiert.
ad 2) Es gibt ein Modell für (1) - (6) und
ExEy x + y != x o y (7).
(Noch zu zeigen!)
Karl Heinze
Ooops... [0] vergessen. Ergänzt.
>
> Endlich habe ich ein wenig Zeit gefunden, um mir das Problem anzusehen.
>
>>
>> Ax Sx != 0 (1)
>> AxAy Sx = Sy -> x = y (2)
>>
>> Ax x + 0 = x (3)
>> AxAy x + Sy = S(x + y) (4)
>> Ax x o 0 = x (5)
>> AxAy x o Sy = S(x o y). (6)
>>
>> Wir nennen das entstehende Axiomensystem P und fragen uns, ob
>>
>> 1) P widerspruchsfrei ist (Das beweist die Existenz von + und o),
>> 2) in P die Aussage AxAy x + y = x o y (7) logisch aus den
>> Axiomen (1) - (6) ableitbar ist (Das wuerde die Eindeutigkeit
>> zeigen).
>>
>> 1) und das Gegenteil von 2) lassen sich durch Angabe eines
>> entsprechenden Modells zeigen.
>>
> Ja.
>
> ad 1) Modell: U = IN, [0] = 0, [Sx] = [x]', [+] ...Addition auf IN
~~~~~~~
Peter Niessen
> P.S.
> Dieser Beweis ist Niessen-geprüft!
Du lässt mir zu viel Ehre zukommen.
Karl Heinze
wrote:
>
> Ax x + 0 = x (3)
> AxAy x + Sy = S(x + y) (4)
> Ax x o 0 = x (5)
> AxAy x o Sy = S(x o y). (6)
>
> Wie immer ein Modell M aussehen mag [...] auf den paarweise
> verschiedenen Individuen 0, S0, SS0, SSS0, ... muessen + und
> o uebereinstimmen; aus (3), (4), (5) und (6) folgt naemlich
>
> SS0+SSS0=S(SS0+SS0)=SS(SS0+S0)=SSS(SS0+0)=SSSSS0 bzw.
> SS0oSSS0=S(SS0oSS0)=SS(SS0oS0)=SSS(SS0o0)=SSSSS0,
>
> und vollst. Induktion auf der Metaebene (Metainduktion) bestaetigt
>
> S^(n)0 + S^(m)0 = S^(n)0 o S^(m)0 ganz allgemein fuer die Zeichen-
> ketten S^(n)0 := S...S0 bzw. S^(m)0 := S...S0 der Laengen n+1 bzw.
> m+1 [ Grenzfall: S^(0)0 := 0. --K. H. ]
>
> (man koennte das ein Metatheorem fuer den Ableitungskalkuel P nennen).
>
Beinahe wäre ich versucht zu sagen, dass man hierfür gar keinen
(expliziten) Induktionsbeweis braucht (wenn man schon über die
Arithmetik der natürlichen Zahlen verfügt - was man auf der Meta-
eben ja tut). Man könnte das ja so zeigen:
S^(n)0 + S^(0)0 = S^(n)0 + 0 = S^(n)0 = S^(n+0)0.
m > 0:
S^(n)0 + S^(m)0 = S(S^(n)0 + S^(m-1)0) =
:
= S^(m)(S^(n)0 + S^(0)0) =
= S^(m)(S^(n)0 + 0) =
= S^(m)S^(n)0 =
= S^(m+n)0.
Also: An e IN Am e IN : S^(n)0 + S^(m)0 = S^(m+n)0.
Analog ergibt sich:
An e IN Am e IN : S^(n)0 o S^(m)0 = S^(m+n)0.
Also: An e IN Am e IN : S^(n)0 + S^(m)0 = S^(n)0 o S^(m)0. w.z.z.w.
Karl Heinze
<peter-...@arcor.de> wrote:
>>
>> P.S.
>> Dieser Beweis ist Niessen-geprüft!
>>
> Du lässt mir zu viel Ehre zukommen.
>
Ne, im Ernst. Man muss das Wort "Menge" in der Tat nicht die ganze Zeit
über "mit herum schleppen" (wenn ohnehin klar ist, dass U eine Menge
ist).
K. H.
Karl Heinze
wrote:
>
> zunaechst einmal sollten wir zwischen den Zeichenketten "S0",
> "SS0", usw., die aus den Buchstaben "0" und "S" aufgebaut sind
> und den Objekten S0, SS0 des Modells unterscheiden (eigentlich
> ist hierfuer eine Interpretation I zustaendig ...
>
Ja. Zeichenketten/Terme:
0, S0, SS0, ...
Die Objekte des Modells / der Interpretation J:
[0]_J, [S0]_J, [SS0]_J, ...
>
> ...die wir aus Gruenden der Offensichtlichkeit nicht extra
> erwaehnt haben).
>
Also, dann kurz:
[0], [S0], [SS0], ...
>
> Ist man sich dieses Unterschieds erst einmal bewusst, kann man
> auch wieder die gleichen Namen fuer Zeichenketten (Terme) und
> Objekte des Modells verwenden und mit dieser "standard confusing
> convention" den Kontext ueber die jeweilige Bedeutung entscheiden
> lassen.
>
Naja... (Aber vielleicht ist das gar nicht mal so schlecht. Muss mich
wohl erst noch an diese "systematische Mehrdeutigkeit" gewöhnen.)
>>>
>>> Ein solches M muss also neben den sog. standard natuerlichen Zahlen
>>> 0, S0, SS0, ... auch Nichtstandard Zahlen enthalten. Wie also laesst
>>> sich ein moeglichst einfaches M konstruieren?
>>>
Nun ja, da [o] und [+] auf [0], [S0], [SS0], ... übereinstimmen
(müssen), braucht man wohl noch zusätzliche "Nichtstandard Zahlen".
(Also mind. eine.) Ich hab mal ein wenig herum gespielt, und bin dabei
auf ein Modell mit zwei "Nichtstandard Zahlen" gekommen, die man (auf
der Metaebene) z. B. "w1" und "w2" nennen könnte. (So dass also gilt:
w1, w2 e U, w1 =/= w2 und An e IN : w1 =/= [S^(n)0] & w2 =/= [S^(n)0].)
>
> Wuenschenswert waere die Angabe eines Objektbereiches zusammen mit
> einer Interpretation von 0, S, +, o, so dass (1) - (6) erfuellt sind,
> (7) aber nicht.
>
Ja. (Kommt noch.)
Karl Heinze
wrote:
>
> Ax Sx != 0 (1)
> AxAy Sx = Sy -> x = y (2)
>
> Weiterhin nehmen wir zur Sprache die zweistelligen Funktionssymbole
> "+" und "o" hinzu sowie die Axiome
>
> Ax x + 0 = x (3)
> AxAy x + Sy = S(x + y) (4)
> Ax x o 0 = x (5)
> AxAy x o Sy = S(x o y) (6)
>
> ExEy x + y != x o y (7)
>
> Nach Deinen Ausfuehrungen fehlt jetzt nur noch ein Modell
> fuer (1) - (7).
>
Ja.
Idee: Das Universum des Modells enthält neben den "Standardzahlen" (also
den nat. Zahlen) auch noch zwei "Nichtstandardzahlen" w1 und w2. "+" und
"o" werden auf den natürlichen Zahlen als gewöhnliche Addition interpre-
tiert. Sie unterscheiden sich lediglich in ihrem "Verhalten" in Bezug
auf w1 und w2. "S" sei auf den nat. Zahlen als Nachfolgeroperation
interpretiert, und für w1, w2 gelte: [S]w1 = w1 und [S]w2 = w2.
(Anmerkung: Man kann w1 und w2 als zwei verschiedene oo-große Zahlen
auffassen.)
Details später.
Karl Heinze
Zitat - Zufallsfund.
>>>
>>> Sei J ein beliebiges Modell des betrachteten Axiomensystems. Und
>>> sei U das Universum dieses Modells. Es ist zu zeigen, dass U eine
>>> unendliche Menge ist (sein muss).
>>>
>>> Beh. U ist eine unendliche Menge.
>>>
>> Das ist lediglich eine Klasse aber keine Menge. [P. Niessen]
>>
> Also es ist so (höre und lerne): U ist /per definitionem/ eine Menge.
> (->Modelltheorie).
"...in model theory one usually requires the universe of a model to
be a set." (Aatu Koskensilta)
Mein Reden.
>
> Die _Frage_ ist nur, ob sie endlich sein kann oder nicht. In diesem
> Fall ist die Antwort: Nein, sie kann nicht endlich sein; m.a.W. sie
> ist unendlich, also eine unendliche /Menge/.
>
K. H.
Karl Heinze
>>
>> Ax Sx != 0 (1)
>> AxAy Sx = Sy -> x = y (2)
>>
>> Weiterhin nehmen wir zur Sprache die zweistelligen Funktionssymbole
>> "+" und "o" hinzu sowie die Axiome
>>
>> Ax x + 0 = x (3)
>> AxAy x + Sy = S(x + y) (4)
>> Ax x o 0 = x (5)
>> AxAy x o Sy = S(x o y) (6)
>>
>> ExEy x + y != x o y (7)
>>
>> Nach Deinen Ausfuehrungen fehlt jetzt nur noch ein Modell
>> fuer (1) - (7).
>>
> Ja.
>
> Idee: Das Universum des Modells enthält neben den "Standardzahlen" (also
> den nat. Zahlen) auch noch zwei "Nichtstandardzahlen" w1 und w2.
>
Also U = IN u {w1, w2} : w1 =/= w2.
>
> "+" und "o" werden _auf den natürlichen Zahlen_ als gewöhnliche Addition
> interpretiert. Sie unterscheiden sich lediglich in ihrem "Verhalten" in
> Bezug auf w1 und w2. "S" sei auf den nat. Zahlen als Nachfolgeroperation
> (') interpretiert, und für w1, w2 gelte: [S]w1 = w1 und [S]w2 = w2.
>
> (Anmerkung: Man kann w1 und w2 als zwei verschiedene oo-große Zahlen
> auffassen.)
>
> Details ...
>
Um die Dinge nicht unnötig zu verkomplizieren, verwende ich im folgenden
ebenfalls die "standard confusing convention" - mache also bezüglich der
Notation keinen expliziten Unterschied zwischen Meta- und Objektebene.
Es soll also gelten:
Sw1 = w1 & Sw2 = w2 (*)
In Bezug auf + und o setzen wir (für das Modell/die Interpretation)
fest:
An e IN : w1 + n = w1 & w2 + n = w2 (a)
sowie
An e IN : w1 o n = w1 & w2 o n = w2 (b)
Damit sind (3) und (5) erfüllt (Speziallfall: n = 0). Weiters setzen wir
fest:
Ax e U: x + w1 = w1 & x + w2 = w1 (c)
sowie
Ax e U: x o w1 = w2 & x o w2 = w2 (d)
Damit sind dann auch (4) und (5) erfüllt. Zeige das exemplarisch für
(4). Sei w = w1 oder w2, dann gilt
(*) (c) (*) (c)
(A) Ax e U: x + Sw = x + w = w1 = S(w1) = S(x + w).
(a) (*) (a)
(B) An e N: w + Sn = w = S(w) = S(w + n).
(C) An e IN Am e IN: n + Sm = n + m' = (n + m)' = S(n + m).
Damit sind alle Fälle abgedeckt. "AxAy(x + Sy = S(x + y))" bzw. (4) ist
also erfüllt. w.z.z.w.
(5) kann auf völlig analoge Weise gezeigt werden.
Außerdem ist (7) erfüllt. Aus (c) und (d) folgt ja (Spezialfall: x = 0)
0 + w1 = w1 und 0 o w1 = w2. Also 0 + w1 != 0 o w1. Und damit En e U
Em e U: n + m != n o m. M.a.W. "ExEy(x + y != x o y)" ist also erfüllt.
Damit haben wir ein Modell für (1) - (7) angegeben.
Karl Heinze
wrote:
>
> wir koennen uns ja auch 'mal folgendes fragen:
>
> Angenommen, wir verzichten auf die Induktionsaxiome und betrachten
> lediglich (ich nehm' der Einfachheit halber die null 'mal zu den
> nat. Zahlen) die beiden folgenden Axiome in der Praedikatenlogik
> 1. Stufe mit Gleichheit (das uebliche logische Fundament also,
> das auch zur Formulierung der Gruppenaxiome und ZFC verwendet wird):
>
> Ax Sx != 0 (1)
> AxAy Sx = Sy -> x = y (2)
>
> Weiterhin nehmen wir zur Sprache die zweistelligen Funktionssymbole
> "+" und "o" hinzu sowie die Axiome
>
> Ax x + 0 = x (3)
> AxAy x + Sy = S(x + y) (4)
> Ax x o 0 = x (5)
> AxAy x o Sy = S(x o y). (6)
>
> Wir nennen das entstehende Axiomensystem P und fragen uns, ob
>
> 1) P widerspruchsfrei ist (Das beweist die Existenz von + und o),
> 2) in P die Aussage AxAy x + y = x o y logisch aus den Axiomen
> (1) - (6) ableitbar ist (Das wuerde die Eindeutigkeit zeigen).
>
> 1) und das Gegenteil von 2)
>
also
ExEy x + y != x o y (7)
>
> lassen sich durch Angabe eines entsprechenden Modells zeigen. Dieses
> Modell wuerde weiterhin belegen, dass die Induktionsaxiome zum Nach-
> weis der Eindeutigkeit wirklich gebraucht werden [...]. Wie sieht
> also solch ein Modell aus?
>
Idee: Das Universum des Modells enthält neben den "Standardzahlen" (also
den nat. Zahlen) auch noch zwei "Nichtstandardzahlen" w1 und w2.
Also U = IN u {w1, w2} : w1 =/= w2.
"+" und "o" werden _auf den natürlichen Zahlen_ als gewöhnliche Addition
interpretiert. Sie unterscheiden sich lediglich in ihrem "Verhalten" in
Bezug auf w1 und w2. "S" sei auf den nat. Zahlen als Nachfolgeroperation
(') interpretiert, und für w1, w2 gelte: [S]w1 = w1 und [S]w2 = w2.
(Anmerkung: Man kann w1 und w2 als zwei verschiedene oo-große Zahlen
auffassen.)
Details:
Karl Heinze
Ach, Niessen, "Diskussionen" mit Dir sind immer etwas müßig; aber
ich bringe es doch nicht über mich, deinen Unsinn einfach so -un-
widersprochen- hier stehen zu lassen. Gleichgültig, ob hier noch
jemand mit liest, oder nicht.
>>>>
>>>> Es ist nun mal unmöglich zu beweisen, dass es eine unendliche
>>>> Menge gibt. [Niessen]
>>>>
Doch, doch, das ist möglich. Und z. B. in ZFC macht man das regel-
mäßig (denn üblicherweise tragen Mengen kein "Label" auf dem "un-
endlich" drauf steht).
Dort kann man also _beweisen_ (d.i. als Theorem herleiten):
Ex(Menge(x) & unendlich(x))
"Es gibt eine unendliche Menge."
>>
>> In (sagen wir) ZFC ...
>>
LESEN, Niessen, lesen!
Tipp: Eines der Axiome in ZFC ist /INF/.
>>
>> ...kann man -wenn einem danach ist- neben dem Prädikat /unendlich/
>> auch noch _explizit_ das Prädikat /Menge/ definieren:
>>
>> Menge(x) :<-> Ey(y e x) v x = {}.
>>
>> "x ist eine Menge."
>>
>> Mit anderen Worten, eine Menge ist ein Objekt, das entweder Elemente
>> besitzt, oder aber /die leere Menge/ [also {}] ist. (Diese Def. ist
>> nicht zirkulär!)
>>
>> Dann kann man in ZFC tatsächlich _beweisen_:
>>
>> Ex(Menge(x) & unendlich(x))
>>
>> "Es gibt eine unendliche Menge."
>>
>> (IN bietet sich -wie gesagt- an: Wegen 0 e IN, haben wir Menge(IN); und
>> dass IN unendlich ist, habe ich schon in einem anderen Posting gezeigt.)
>>
>> Nun kann man in ZFC natürlich auch beweisen
>>
>> Ax(Menge(x)).
>>
>> "Everything is a set."
>>
>> Somit ist /Menge/ redundant, da ohnehin alles [eine] Menge ist. Mit
>> anderen Worten: Alle Objekte in ZFC sind Mengen, und manche davon
>> sind eben unendlich.
>>
> Wie bitte?
>
*seufz*
>
> Wie zeigst du das?
>
Mit Hilfe eines so genannten /Beweises/.
>
> Du denkst nicht genau, denn ohne INF in ZF geht das überhaupt nicht,
> und du hast ein Problem!
>
Wie gesagt, Dein Gequatsche ist manchmal einfach nur lästig.
Ob das "ohne INF in ZF geht" oder nicht geht, steht hier überhaupt
nicht zur Debatte. Ich rede hier von ZFC (und INF ist bekanntlich
ein Axiom in ZFC).
Übrigens benötigt man keineswegs in jeder axiomatischen Mengen-
lehre ein Unendlichkeitsaxiom (a la INF), um die Existenz unend-
licher Mengen zu garantieren. Beispielweise braucht man in Quines
NF kein solches Axiom.
>>
>> P.S. Aber es stimmt: GESEHEN hat bislang noch keiner eine unendliche
>> Menge, ja noch nicht einmal eine endliche. Mit anderen Worten, wir haben
>> keinerlei physikalische bzw. naturwissenschaftliche (also "empirische")
>> ähhh... "Beweise" (wohl eher _Belege_) für die Existenz von (unendlich-
>> en) Mengen, Niessen!
>>
> Woher sollte dieses gehen?
>
??? Du meinst, wie das zugehen sollte? Ja, eben. :-)
>
> Mathematische Konstrukte sind "geistige Konstrukte"! [...]
>
Genau! Ich sehe, wir machen Fortschritte. :-)
>
> Ist doch cool: Überabzähle Entitäten lassen sich ohne Probleme
> "denken".
>
Also da wäre ich dann doch etwas vorsichtiger mit dieser Behaup-
tung. Leute wie Mückenheim können (oder wollen) noch nicht mal
"einfach" unendliche (also abzählbar unendliche) Mengen "denken".
:-)
Tatsächlich haben aber die meisten Leute, die sich ein wenig mit
Mathematik beschäftigen, kaum Probleme damit, sich die Menge der
(aller) natürlicher Zahlen vorzustellen, die -naturgemäß- unend-
lich ist (wenn wir davon ausgehen, dass es "unendlich viele" nat.
Zahlen "gibt".)
K. H.
Karl Heinze
>>>
>>> Es ist nun mal unmöglich zu beweisen, dass es eine unendliche
>>> Menge gibt.
>>>
>> Unsinn. Natürlich kann man das _beweisen_.
>>>
>>> Oder du zeigst wie das geht. :-)
>>>
>> Satz: Die Menge IN der natürlichen Zahlen ist unendlich. (Mithin _gibt_
>> es also eine unendliche Menge.)
>>
>> Beweis: S (die Nachfolgerabbildung) bildet IN auf IN\{0} ab und ist
>> injektiv. D. h. es gibt eine Bijektion zwischen IN und einer echten
>> Teilmenge von IN. Also ist IN unendlich (eine unendliche Menge).
>
> Das ist kein Beweis!
>
Doch, doch, das ist ein Beweis.
>
> Was hast du gerade gezeigt?
>
Dass die Menge IN unendlich ist.
>
> Folgt daraus eine Menge die alle nat. Zahlen enthält?
>
Also eine /Menge/ kann ohnehin nicht daraus folgen. Allenfalls eine
/Behauptung/ über eine Menge. Vermutlich geht es Dir hier um die
(Frage nach der) Existenz der Menge der natürlichen Zahlen. Diese
wird oben natürlich _vorausgesetzt_. Die Menge IN (aller nat.
Zahlen) ist also schon gegeben. Was oben bewiesen wird, ist, dass
die Menge IN /unendlich/ ist. Mithin haben wir die Existenz einer
unendlichen Menge bewiesen. (Wobei ich hier absichtlich offen
gelassen habe, in welchem Kontext der Beweis geführt würde - ZFC
wäre denkbar und wohl auch sinnvoll.)
K. H.
P.S. Der Punkt ist, dass man nicht _postulieren_ muss, dass IN
unendlich ist, sondern das (mit der entsprechenden Dedekindschen
Definition von /unendlich/) _beweisen_ kann.
Peter Niessen
>>>>> Es ist nun mal unmöglich zu beweisen, dass es eine unendliche
>>>>> Menge gibt. [Niessen]
>>>>>
> Doch, doch, das ist möglich. Und z. B. in ZFC macht man das regel-
> mäßig (denn üblicherweise tragen Mengen kein "Label" auf dem "un-
> endlich" drauf steht).
>
> Dort kann man also _beweisen_ (d.i. als Theorem herleiten):
>
> Ex(Menge(x) & unendlich(x))
>
> "Es gibt eine unendliche Menge."
Das sehe ich als Blödsinn
Wie um alles in der Welt will man ein Axiom beweisen?
Aus der Existenz endlicher Mengen (damit beginnt man sinnvoller Weise)
folgt durch nichts die Existenz einer unendlichen Menge.
Das wusste schon Aristoteles, und den hatte ich schon passend zitiert.
Um es mal klar zu sagen:
Cantor war der Erste der solchen Mengen aktuale Existenz zubilligte.
Ein Gauss hätte solches bestenfalls als in "Statum Nascendi" zugelassen.
Mache dir mal klar dass (wenn auch mit Hängen und Würgen (Mein Senf)) auch
ein Brouwer ohne unendliche Mengen eine Modell der reellen Zahlen angeben
kann.
Peter Niessen
>>>> Oder du zeigst wie das geht. :-)
>>>>
>>> Satz: Die Menge IN der natürlichen Zahlen ist unendlich. (Mithin _gibt_
>>> es also eine unendliche Menge.)
>>>
>>> Beweis: S (die Nachfolgerabbildung) bildet IN auf IN\{0} ab und ist
>>> injektiv. D. h. es gibt eine Bijektion zwischen IN und einer echten
>>> Teilmenge von IN. Also ist IN unendlich (eine unendliche Menge).
>>
>> Das ist kein Beweis!
>>
> Doch, doch, das ist ein Beweis.
Nö
Du musst ja aus der Behauptung der Peanoaximo erstmal zeigen dass es im
Sinne der ML (oder was auch sonst) einen solchen Objektbereich überhaupt
geben kann.
Aus den Peanoaxiomen folgt nicht dass es so einen Objektbereich überhaupt
gibt.
Kann doch sein dass es keine "Peanomenge" gibt oder?
Karl Heinze
wrote:
>
> wir koennen uns ja auch 'mal folgendes fragen:
>
> Angenommen, wir verzichten auf die Induktionsaxiome und betrachten
> lediglich (ich nehm' der Einfachheit halber die null 'mal zu den
> nat. Zahlen) die beiden folgenden Axiome in der Praedikatenlogik
> 1. Stufe mit Gleichheit (das uebliche logische Fundament also,
> das auch zur Formulierung der Gruppenaxiome und ZFC verwendet wird):
>
> Ax Sx != 0 (1)
> AxAy Sx = Sy -> x = y (2)
>
> Weiterhin nehmen wir zur Sprache die zweistelligen Funktionssymbole
> "+" und "o" hinzu sowie die Axiome
>
> Ax x + 0 = x (3)
> AxAy x + Sy = S(x + y) (4)
> Ax x o 0 = x (5)
> AxAy x o Sy = S(x o y). (6)
>
> Wir nennen das entstehende Axiomensystem P und fragen uns, ob
>
> 1) P widerspruchsfrei ist (Das beweist die Existenz von + und o),
> 2) in P die Aussage AxAy x + y = x o y (7) logisch aus den
> Axiomen (1) - (6) ableitbar ist (Das wuerde die Eindeutigkeit
> zeigen).
>
> 1) und das Gegenteil von 2) lassen sich durch Angabe eines
> entsprechenden Modells zeigen. [...]
>
> Wie immer ein [solches] Modell M aussehen mag [...] auf den paar-
> weise verschiedenen Individuen 0, S0, SS0, SSS0, ... muessen +
> und o uebereinstimmen;
>
(Anmerkung: Dass [S0], [SS0], ... tatsächlich paarweise ver-
schieden sind, wurde im Zusammenhang mit dem Beweis, dass
das Universum eines Modells für (1) und (2) unendlich ist/
sein muss, gezeigt/bewiesen. Dass [0] von [S0], [SS0], ...
verschieden ist/sein muss, ergibt sich unmittelbar aus (1).)
>
> aus (3), (4), (5) und (6) folgt naemlich
>
> SS0+SSS0=S(SS0+SS0)=SS(SS0+S0)=SSS(SS0+0)=SSSSS0 bzw.
> SS0oSSS0=S(SS0oSS0)=SS(SS0oS0)=SSS(SS0o0)=SSSSS0,
>
> und vollst. Induktion auf der Metaebene (Metainduktion) bestaetigt
>
> S^(n)0 + S^(m)0 = S^(n)0 o S^(m)0 ganz allgemein fuer die Zeichen-
> ketten S^(n)0 := S...S0 bzw. S^(m)0 := S...S0 der Laengen n+1 bzw.
> m+1 [ Grenzfall: S^(0)0 := 0. --K. H. ]
>
> (man koennte das ein Metatheorem fuer den Ableitungskalkuel P nennen).
>
Beinahe wäre ich versucht zu sagen, dass man hierfür gar keinen
(expliziten) Induktionsbeweis braucht (wenn man schon über die
Arithmetik der natürlichen Zahlen verfügt - was man auf der Meta-
eben ja tut). Man könnte das ja so zeigen:
m = 0:
S^(n)0 + S^(m)0 = S^(n)0 + S^(0)0 = S^(n)0 + 0 =
= S^(n)0 = S^(n+0)0 = S^(n+m)0.
m > 0:
S^(n)0 + S^(m)0 = S(S^(n)0 + S^(m-1)0) =
:
= S^(m)(S^(n)0 + S^(0)0) =
= S^(m)(S^(n)0 + 0) =
= S^(m)S^(n)0 =
= S^(m+n)0.
Also: An e IN Am e IN: S^(n)0 + S^(m)0 = S^(m+n)0.
Analog ergibt sich:
An e IN Am e IN: S^(n)0 o S^(m)0 = S^(m+n)0.
Also: An e IN Am e IN: S^(n)0 + S^(m)0 = S^(n)0 o S^(m)0. w.z.z.w.
>
> Ein solches M muss also neben den sog. standard natuerlichen
> Zahlen 0, S0, SS0, ... auch Nichtstandard Zahlen enthalten.
>
Jo.
>
> Wie also laesst sich ein moeglichst einfaches M konstruieren?
>
Siehe andere Postings in diesem Thread.
Damit hätten wir also alle Fragen/Probleme, die WT aufgeworfen hat,
erledigt/abgearbeitet. Dank an Wolfgang Thumser für diese kurzwei-
ligen logischen Fingerübungen im Zusammenhang mit PA (?).
K. H.
Karl Heinze
>>
>> Was hast Du gerade gezeigt?
>>
> Dass die Menge IN unendlich ist.
>>
>> Folgt daraus [die Existenz] eine Menge, die alle nat.
>> Zahlen enthält?
>>
Das braucht man dafür gar nicht. Denn aus dem logisch gültigen Satz
An(n e IN -> n e IN)
und dem Umstand
Menge(IN) (wegen 0 e IN)
kann man schließen
EM(Menge(M) & An(n e IN -> n e M)).
"Es gibt eine Menge M, die alle nat. Zahlen
enthält."
("Es gibt eine Menge M, so dass n e M ist,
wenn n eine natürliche Zahl ist.")
(IN ist ja z. B. eine solche Menge.) Man kann das auch so schreiben:
EM(Menge(M) & IN c M).
Aus dem Bewiesenen, dass IN eine unendliche Menge ist, folgt allerdings,
dass es (mind.) eine unendliche Menge gibt; denn aus
Menge(IN) & unendlich(IN)
folgt logisch
Ex(Menge(x) & unendlich(x))
"Es gibt eine unendliche Menge."
Bei all dem setzten wir die Existenz der Menge IN natürlich voraus. :-)
K. H.
Wolfgang Thumser
zunaechst einmal Danke fuer Dein Durchhaltevermoegen. Die
"Fingeruebung" war ja eigentlich fuer diejenigen gedacht,
die sich noch etwas unsicher im Beweisen und vor allem
im Verstaendnis des Bewiesenen sind.
Und wie nicht anders zu erwarten glaenzten bei dieser
Uebung unsere "Philosophen", die sich lieber sinnlose
Fragen wie " Gibt es die Menge der natuerlichen Zahlen?"
stellen, wieder 'mal durch Abwesenheit. Sei's d'rum...
> Beinahe wäre ich versucht zu sagen, dass man hierfür gar keinen
> (expliziten) Induktionsbeweis braucht (wenn man schon über die
> Arithmetik der natürlichen Zahlen verfügt - was man auf der Meta-
> eben ja tut). Man könnte das ja so zeigen:
Ja, sobald alle wenigstens auf dieser Ebene die gleiche
Vorstellung von natuerlichen Zahlen haben. Darueber nachzudenken
ist allerdings ebenso sinnlos wie die Frage, ob alle dieselbe
Farbempfindung haben, wenn sie gruen sehen.
> Damit hätten wir also alle Fragen/Probleme, die WT aufgeworfen hat,
> erledigt/abgearbeitet. Dank an Wolfgang Thumser für diese kurzwei-
> ligen logischen Fingerübungen im Zusammenhang mit PA (?).
Ich fuerchte nur, dass wieder 'mal die Falschen den Erkenntnisgewinn
hatten.
Gruss Wolfgang
Karl Heinze
>>>
>>> Es ist nun mal unmöglich zu beweisen, dass es eine unendliche
>>> Menge gibt. [Niessen]
>>>
>> Doch, doch, das ist möglich. Und z. B. in ZFC macht man das regel-
>> mäßig (denn üblicherweise tragen Mengen kein "Label" auf dem "un-
>> endlich" drauf steht).
>>
>> Dort kann man also _beweisen_ (d.i. als Theorem herleiten):
>>
>> Ex(Menge(x) & unendlich(x))
>>
>> "Es gibt eine unendliche Menge."
>>
> Das sehe ich als Blödsinn.
>
Nun, das will nicht viel heißen. :-)
(Ich würde eher sagen, dass Dir im Augenblick "der Durchblick"
fehlt. Von "sehen" kann hier also keine Rede sein.)
>
> Wie um alles in der Welt will man ein Axiom beweisen?
>
??? Wo steht denn hier etwas davon, "ein Axiom zu beweisen"? :-o
Abgesehen davon kann man Axiome in der Tat "beweisen", d. h. als
Theoreme /herleiten/ (rein technisch gesehen), wie Wolfgang Thumser
hier schon am Rande angemerkt hat:
"In P sind (1) - (6) natuerlich als Axiome trivial ableitbar."
Zur Erklärung: Wenn die Formel S ein Axiom ist, dann ist die Zeile
S
ein Beweis für (das Axiom) S.
Aber das ist, wie gesagt, hier gar nicht relevant. Der Beweis, dass
eine bestimmte Menge unendlich ist, besteht nämlich nicht lediglich
darin, ein Axiom hinzuschreiben. :-)
K. H.
P.S. EOD
Karl Heinze
>>>>
>>>> Satz: Die Menge IN der natürlichen Zahlen ist unendlich. (Mithin
>>>> _gibt_ es also eine unendliche Menge.)
>>>>
>>>> Beweis: S (die Nachfolgerabbildung) bildet IN auf IN\{0} ab und ist
>>>> injektiv. D. h. es gibt eine Bijektion zwischen IN und einer echten
>>>> Teilmenge von IN. Also ist IN unendlich (eine unendliche Menge).
>>>>
>>> Das ist kein Beweis!
>>>
>> Doch, doch, das ist ein Beweis.
>>
> Nö
>
Ok, es wird Zeit, Dich wieder im Killfile verschwinden zu lassen.
Und tschüss!
K. H.
Karl Heinze
wrote:
Hallo Wolfgang!
>
> zunaechst einmal Danke fuer Dein Durchhaltevermoegen. Die
> "Fingeruebung" war ja eigentlich fuer diejenigen gedacht,
> die sich noch etwas unsicher im Beweisen und vor allem
> im Verstaendnis des Bewiesenen sind.
>
Tatsächlich waren sie aber auch für mich /neu/. Bislang dümple ich eher
in relativ seichtem logischen Fahrwasser dahin.
Besonders das Finden eines präzisen Beweises, der zeigt, dass jedes
Modell für (1) und (2) unendlich sein muss, hat mir Spaß gemacht.
Schade, dass sich nicht mehr Leute zu der Thematik geäußert haben -
Kritik und/oder Anregungen wären nicht schlecht gewesen.
>
> Und wie nicht anders zu erwarten glaenzten bei dieser
> Uebung unsere "Philosophen", die sich lieber sinnlose
> Fragen wie "Gibt es die Menge der natuerlichen Zahlen?"
> stellen, wieder 'mal durch Abwesenheit. Sei's d'rum...
>
Aber, aber, wer wird denn gleich... :-)
Vermutlich muss ich mich jetzt auch ein klein wenig angesprochen fühlen,
da ich mich selbst sehr gerne mit derartigen Fragen herumschlage. Diese
Frage wird von vielen Leuten keineswegs für _sinnlos_ gehalten, wie Du
vermutlich selbst weißt. Andernfalls würden sich z. B. Leute wie
Robinson und/oder Gödel wohl kaum _dezidiert_ dazu äußern - Robinson
explizit verneinend, Gödel bejahend:
»(I) Infinite totalities do not exist in any sense of the word (i.e.,
either really or ideally). More precisely, any mention, or purported
mention, of infinite totalities is, literally, meaningless.
(II) Nevertheless, we should continue the business of Mathematics 'as
usual', i.e., we should act as if infinite totalities really existed.«
(Abraham Robinson)
»Abraham Robinson is a representative of an as-if position, according
to which it is fruitful to behave as if there were mathematical
objects, and in this way you achieve success by a false picture. This
requires a special art of pretending well. But such pretending can
never reach the same degree of imagination as one who believes
objectivism to be true. The success in the application of a belief in
the existence of something is the usual and most effective way of
proving existence.«
(Kurt Gödel)
»Klassen und Begriffe können indessen auch als reale Objekte
aufgefasst werden, nämlich Klassen als "Vielheiten von Dingen"
oder als Strukturen, die aus einer Vielheit von Dingen
bestehen, und Begriffe als die Eigenschaften und Relationen
von Dingen, die unabhängig von unseren Definitionen und
Konstruktionen existieren.
Es scheint mir, daß die Annahme solcher Objekte ganz ebenso
legitim ist wie die Annahme physikalischer Körper, und es
besteht ebensoviel Grund, an ihre Existenz zu glauben.«
(Kurt Gödel)
Aber klar, es handelt sich dabei natürlich nicht um ein /mathematisches/
Problem (eine /mathematische/ Fragestellung); aber das behauptet ja auch
keiner. ;-)
Dass ein /working mathematician/ sich eher auf einen "pragmatischen
Standpunkt" zurückzieht (wie ja auch Du es offenbar vorziehst zu tun)
ist nachvollziehbar und sicherlich nicht eherenrührig. Allerdings sollte
er m. E. auch nicht abwertend über Leute sprechen, die es sich dazu
bemüßigt fühlen, auch scheinbar "Selbstverständliches" in Frage zu
stellen. (Denn diese Selbstverständlichkeit erweist sich -bei näherem
Hinsehen- als eine -zugegeben bequeme- Illusion.)
Ok, genug "philosophiert".
>>
>> Beinahe wäre ich versucht zu sagen, dass man hierfür gar keinen
>> (expliziten) Induktionsbeweis braucht (wenn man schon über die
>> Arithmetik der natürlichen Zahlen verfügt - was man auf der Meta-
>> eben ja tut). Man könnte das ja so zeigen: [...]
>>
> Ja, sobald alle wenigstens auf dieser Ebene die gleiche
> Vorstellung von natuerlichen Zahlen haben. Darueber nachzudenken
> ist allerdings ebenso sinnlos wie die Frage, ob alle dieselbe
> Farbempfindung haben, wenn sie gruen sehen.
>
Tatsächlich habe /ich/ über diese Frage auch schon mal "nachgedacht".
Heißt: darüber "referiert" - viel denken braucht man dabei ja nicht...
:-)
>>
>> Damit hätten wir also alle Fragen/Probleme, die WT aufgeworfen hat,
>> erledigt/abgearbeitet. Dank an Wolfgang Thumser für diese kurzwei-
>> ligen logischen Fingerübungen im Zusammenhang mit PA (?).
>>
> Ich fuerchte nur, dass wieder 'mal die Falschen den Erkenntnisgewinn
> hatten.
>
Aber nicht doch. Solange das Zeugs "gegoogelt" werden kann, besteht
immer noch die Möglichkeit, dass es mal für jemanden von Nutzen sein
kann, who knows?! :-)
MfG,
K. H.
(The Artist Formely Known as Amicus)
Karl Heinze
wrote:
>
> zunaechst einmal Danke fuer Dein Durchhaltevermoegen. [...]
>
Klar. :-)
Nun hattest Du aber gefragt:
>
> Wie also laesst sich ein moeglichst einfaches Modell
> [für (1) - (7)] konstruieren?
>
Und ich hatte da folgenden Ansatz formuliert:
Idee: Das Universum U des Modells enthält neben den
"Standardzahlen" (also den nat. Zahlen) auch noch
zwei "Nichtstandardzahlen" w1 und w2. (Also U = IN
u {w1, w2} mit w1 =/= w2.) "+" und "o" werden _auf den
natürlichen Zahlen_ als gewöhnliche Addition inter-
pretiert. Sie unterscheiden sich lediglich in ihrem
"Verhalten" in Bezug auf w1 und w2. "S" sei auf den
nat. Zahlen als Nachfolgeroperation (') interpretiert,
und für w1, w2 gelte: [S]w1 = w1 und [S]w2 = w2.
Kommt das in etwas hin?
MfG,
Peter Niessen
Irgendwie reden wir immer aneinander vorbei:
Es kommt ja darauf welche Prinzipien man zur Bildung von Mengen zulässt.
ZF kann man so interpretieren:
Hier hast du exakt ein Urelememt (genannt leere Menge) und damit bastelst
du dir mit Paar und Vereinigung alle möglichen anderen Mengen. Gäbe es nun
in im System ZF das Axiom INF nicht, dann wären alle Mengen endlich und der
Rest der Axiome wäre trival weil herleitbar.
Wolfgang Thumser
> Gäbe es nun in im System ZF das Axiom INF nicht,
> dann wären alle Mengen endlich und
Wenn schon in ZF (mit INF) keine Ableitung fuer die
Endlichkeit aller Mengen bekannt ist, dann erst recht
nicht in ZF ohne INF! Durch Weglassen von Axiomen
schraenkst Du doch Deine Beweismoeglichkeiten ein und
erweiterst sie nicht.
> der Rest der Axiome wäre trival weil herleitbar.
Dann waeren sie auch in ZF mit INF ableitbar. Du scheinst
zu glauben, dass das Weglassen eines Axioms mit der Hin-
zunahme seines Gegenteils einhergeht, das aber ist nicht
der Fall.
Gruss Wolfgang
Wolfgang Thumser
> Und ich hatte da folgenden Ansatz formuliert:
>
> Idee: Das Universum U des Modells enthält neben den
> "Standardzahlen" (also den nat. Zahlen) auch noch
> zwei "Nichtstandardzahlen" w1 und w2. (Also U = IN
> u {w1, w2} mit w1 =/= w2.) "+" und "o" werden _auf den
> natürlichen Zahlen_ als gewöhnliche Addition inter-
> pretiert. Sie unterscheiden sich lediglich in ihrem
> "Verhalten" in Bezug auf w1 und w2. "S" sei auf den
> nat. Zahlen als Nachfolgeroperation (') interpretiert,
> und für w1, w2 gelte: [S]w1 = w1 und [S]w2 = w2.
>
> Kommt das in etwas hin?
ja, ich dachte, ich haette das bereits zum Ausdruck gebracht.
Hier ist eine andere Frage zum Nachdenken: Angenommen, wir
nehmen zu PA alle im Standardmodell gueltigen Aussagen erster
Stufe hinzu. Haben wir dann das Standardmodell bis auf Isomorphie
eindeutig charakterisiert? Und wenn nicht: Welche Eigenschaft
unterscheidet dann noch das Standardmodell von anderen?
Gruss Wolfgang
Peter Niessen
Mag sein das ich es falsch sehe:
Wenn es in ZF genau ein kleinstes Element gibt (die leere Menge) und alle
weiteren Mengen daraus abgeleitet werden müssen, dann ist doch ohne INF
nicht zu zeigen das es so etwas wie eine unendliche Menge überhaupt gibt.
Mein Ansatz verlangt natürlich das alle denkbaren Mengen (ausser der leeren
Menge) aus bereits bestehenden Mengen konstruierbar sein müssen.
Wolfgang Thumser
> Wenn es in ZF genau ein kleinstes Element gibt (die leere Menge)
die leere Menge ist kein kleinstes Element (bzgl. der epsilon
Relation); es gibt in der Mengenlehre kein kleinstes Element.
Hier verwechselt Du "kleinstes Element" mit "minimalem Element".
Du kannst etablierten mathematischen Begriffen keine private Bedeutung
verleihen ohne hoffnungslos missverstanden zu werden.
> und alle weiteren Mengen daraus abgeleitet werden müssen,
Mengen werden nicht "abgeleitet" (Theoreme werden abgeleitet),
sondern mglw. konstruiert.
> dann ist doch ohne INF nicht zu zeigen das es so etwas wie
> eine unendliche Menge überhaupt gibt.
Der gleiche Fehler wie oben: Wenn eine Aussage nicht abgeleitet werden
kann, folgt noch lange nicht, dass das Gegenteil der Aussage abgeleitet
werden kann. Ohne INF kann weder die Existenz einer unendlichen Menge
bewiesen werden, noch kann gezeigt werden, dass alle Mengen endlich sind.
Die Endlichkeit aller Mengen ist ohne INF logisch nicht entscheidbar.
Wenn Du in der Theorie kommutativer Gruppen das Kommutativgesetz entfernst,
folgt aus der verbleibenden Gruppentheorie ja auch nicht, dass alle
Gruppen nichtkommutativ sind.
> Mein Ansatz verlangt natürlich das alle denkbaren Mengen
(Und tu' Deiner Umwelt endlich einen Riesengefallen mit der
Beachtung des Unterschieds zwischen einer Konjunktion (wie "dass")
und einem Relativpronomen (wie "das"))
> (ausser der leeren Menge) aus bereits bestehenden Mengen konstruierbar
> sein müssen.
Das ist einerseits unverstaendlich (was ist denn "Dein Ansatz"?) und
andererseits irrelevant: Die Frage, ob in ZF ohne INF alle Mengen
endlich sind, hat nichts mit irgendeinem Ansatz zu tun. Ob Weiss
in einer konkreten Schachstellung gewinnen kann, hat auch nichts
mit meinen privaten Vorstellungen und Ansaetzen zu tun, sondern
lediglich mit intersubjektiven Schachregeln.
Gruss Wolfgang
Karl Heinze
wrote:
Hallo Wolfgang!
Kleine Zwischenfrage/Bemerkung:
>>
>> dann ist doch ohne INF nicht zu zeigen, dass es so etwas wie
>> eine unendliche Menge überhaupt gibt.
>>
Hier hat PN m. E. aber Recht. In dem Sinne, dass man (die Widerspuchs-
freiheit von ZF-Inf vorausgesetzt) in ZF-Inf keinen Satz herleiten kann,
der die Existenz einer unendlichen Menge behauptet. Nein? (Weshalb ja
Inf überhaupt erst als Axiom dazu genommen wird/werden muss.)
Wolfgang Thumser
>>> dann ist doch ohne INF nicht zu zeigen, dass es so etwas wie
>>> eine unendliche Menge überhaupt gibt.
>>>
> Hier hat PN m. E. aber Recht. In dem Sinne, dass man (die Widerspuchs-
> freiheit von ZF-Inf vorausgesetzt) in ZF-Inf keinen Satz herleiten kann,
> der die Existenz einer unendlichen Menge behauptet.
Ja, meine Bemerkung bezog sich vor allem auf seine Behauptung
>>>> Gäbe es nun in im System ZF das Axiom INF nicht,
>>>> dann wären alle Mengen endlich und,
die ich haette mitzitieren sollen.
Gruss Wolfgang
Karl Heinze
>
> P.S. Aber es stimmt: GESEHEN hat bislang noch keiner eine unendliche
> Menge, ja noch nicht einmal eine endliche. Mit anderen Worten, wir haben
> keinerlei physikalische bzw. naturwissenschaftliche (also "empirische")
> ähhh... "Beweise" (wohl eher _Belege_) für die Existenz von (unendlich-
> en) Mengen [...].
>
Herr Mückenheim sieht genau darin das Elend der (transfiniten)
Mengenlehre:
"A theorem can be proved by experiment (like 1 + 1 = 2) or by
axioms and logic (like 1 + 1 = 0, in Hilbert's model). [...]
Theorems about infinite sets cannot be proved by experiment."
Zwar könnte man nun mit Aatu Koskensilta einwenden:
>
> Most theorems in mathematics can't be proved by "experiment" in any
> interesting sense.
>
Aber das weiß Herr Mückenheim geschickt zu parieren/kontern:
"'Interesting' is a very subjective property. Objectively we can
state that every theorem in mathematics which can be used for
scientific purposes can be proved by experiment - most
geometrical, arithmetical and analytical theorems, most of what
was mathematics before Cantor."
Ja, klar ... sicher. Der Mann kennt sich wirklich aus! :-)
K. H.