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Vollständige Induktion ist schwieriger als mancher glaubt (TH13)
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Rainer Rosenthal
Nov 13, 2022, 2:12:41 PM11/13/22
to
Am 13.11.2022 um 18:28 schrieb Ganzhinterseher im Thread
"Das Komplement einer potentiell unendlichen Menge // TH10 (die leere
Menge)"
#
# Stefan Schmitz: Dann führ mal die Induktion vor.
# WM: Falls Du das inzwischen nicht selbst kannst, wirst Du es auch
nicht begreifen, wenn es nochmals vorgeführt wird.
# Fritz Feldhase: Es ist doch DEINE BEHAUPTUNG, dass man das könne
>
> Kannst Du es auch nicht? Dann will ich mal ein allgemeines Bedürfnis
befriedigen:
>
> Also behauptet wird A(1) U A(2) U A(3) U ... = ℕ.
>
> Was ist davon zu halten?
>
> Induktionsanfang: A(2) U A(3) U ... = ℕ.
>
Achtung, es wird konkret! Der Meister schickt sich an, einen Beweis zu
liefern. Obendrein noch einen Induktionsbeweis, cool!
Diese Beweistechnik wird üblicherweise benutzt, um die Wahrheit einer
Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen zu beweisen.
Zuerst zeigt man die Wahrheit von A(1). Das ist der sog. Induktionsanfang.
Dann zeigt man im sog. Induktionsschritt: gilt A(k) für alle k <= n,
dann gilt auch A(n+1).
Das ist eine wirkungsvolle Technik, weil jede nichtleere Teilmenge
natürlicher Zahlen ein kleinstes Element besitzt.
Betrachten wir also die Menge aller natürlichen Zahlen m, für die A(m)
falsch ist. Wäre sie nicht leer, dann gäbe es ein kleinstes m, so dass
A(m) falsch ist. Dann können wir aber n = m-1 betrachten und wissen,
dass A(n) gilt. Im Induktionsschritt wurde gezeigt, dass dann aber
A(n+1) auch wahr ist. Das ist aber gleich A(m), d.h. die Mwenge der
Zahlen m, für die A(m) falsch ist, muss leer sein. Somit gilt A(n)
tatsächlich für alle natürlichen Zahlen n.
Aber ... was ist das?
Es wird ein Induktionsbeweis versprochen, aber es gibt nichts, was mit
dem A(n) vergleichbar wäre.
Und natürlich ist deswegen auch schon der Induktionsanfang misslungen.
Tja, es ist wieder mal konkret geworden.
Gruß,
RR
"Das Komplement einer potentiell unendlichen Menge // TH10 (die leere
Menge)"
#
# Stefan Schmitz: Dann führ mal die Induktion vor.
# WM: Falls Du das inzwischen nicht selbst kannst, wirst Du es auch
nicht begreifen, wenn es nochmals vorgeführt wird.
# Fritz Feldhase: Es ist doch DEINE BEHAUPTUNG, dass man das könne
>
> Kannst Du es auch nicht? Dann will ich mal ein allgemeines Bedürfnis
befriedigen:
>
> Also behauptet wird A(1) U A(2) U A(3) U ... = ℕ.
>
> Was ist davon zu halten?
>
> Induktionsanfang: A(2) U A(3) U ... = ℕ.
>
Achtung, es wird konkret! Der Meister schickt sich an, einen Beweis zu
liefern. Obendrein noch einen Induktionsbeweis, cool!
Diese Beweistechnik wird üblicherweise benutzt, um die Wahrheit einer
Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen zu beweisen.
Zuerst zeigt man die Wahrheit von A(1). Das ist der sog. Induktionsanfang.
Dann zeigt man im sog. Induktionsschritt: gilt A(k) für alle k <= n,
dann gilt auch A(n+1).
Das ist eine wirkungsvolle Technik, weil jede nichtleere Teilmenge
natürlicher Zahlen ein kleinstes Element besitzt.
Betrachten wir also die Menge aller natürlichen Zahlen m, für die A(m)
falsch ist. Wäre sie nicht leer, dann gäbe es ein kleinstes m, so dass
A(m) falsch ist. Dann können wir aber n = m-1 betrachten und wissen,
dass A(n) gilt. Im Induktionsschritt wurde gezeigt, dass dann aber
A(n+1) auch wahr ist. Das ist aber gleich A(m), d.h. die Mwenge der
Zahlen m, für die A(m) falsch ist, muss leer sein. Somit gilt A(n)
tatsächlich für alle natürlichen Zahlen n.
Aber ... was ist das?
Es wird ein Induktionsbeweis versprochen, aber es gibt nichts, was mit
dem A(n) vergleichbar wäre.
Und natürlich ist deswegen auch schon der Induktionsanfang misslungen.
Tja, es ist wieder mal konkret geworden.
Gruß,
RR
Fritz Feldhase
Nov 13, 2022, 8:55:33 PM11/13/22
to
On Sunday, November 13, 2022 at 8:12:41 PM UTC+1, Rainer Rosenthal wrote:
> Am 13.11.2022 um 18:28 schrieb Ganzhinterseher im Thread
> "Das Komplement einer potentiell unendlichen Menge // TH10 (die leere
> Menge)"
> >
> > [...] behauptet wird A(1) u A(2) u A(3) u ... = ℕ.
> Am 13.11.2022 um 18:28 schrieb Ganzhinterseher im Thread
> "Das Komplement einer potentiell unendlichen Menge // TH10 (die leere
> Menge)"
> >
> >
> > Was ist davon zu halten?
> >
> > Induktionsanfang: A(2) u A(3) u ... = ℕ.
> > Was ist davon zu halten?
> >
> >
> Achtung, es wird konkret! Der Meister schickt sich an, einen Beweis zu
> liefern. Obendrein noch einen Induktionsbeweis, cool!
Was er damit "beweist", ist:
> Achtung, es wird konkret! Der Meister schickt sich an, einen Beweis zu
> liefern. Obendrein noch einen Induktionsbeweis, cool!
Ak e IN: U{A(n) : n e IN \ {1, ..., k}} = IN.
In der Tat:
Induktionsanfang: k = 1: U{A(n) : n e IN \ {1}} = A(2) u A(3) u ... = IN.
Glauben wir das dem Meister einfach mal. :-P
>> Induktionsschritt:
>> A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = ℕ ==> A(n+1) u A(n+2) u A(n+3) u ... = ℕ. (*)
Warum nicht? Der BEWEIS für diesen Schritt fehlt allerdings (ebenso wie der Beweis für den Fall k = 1).
Schon erstaunlich, was Herr Mückenheim unter einem "Beweis" versteht: Eine lose Aneinanderreihung von reinen Behauptungen. :-)
In diesem Fall stimmen die Behauptungen sogar. :-P
Beweis für (*):
Es gilt der Satz: Aus A c B folgt A u B = B.
Daher folgt aus
A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = (A(n) u A(n+1)) u (A(n+2) u ...)
wegen A(n) c A(n+1)
A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = A(n+1) u (A(n+2) u A(n+3) u ...).
Und damit also aus A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = IN:
A(n+1) u A(n+2) u A(n+3) u ... = IN. [ ]
=======================================================
Er hat damit ledigich etwas "bewiesen", was hier noch keiner (außer ihm selbst) je bestritten hat.
Man kann bei der Vereinigung "der Anfangsabschnitte" die "ersten k" Anfangsabschnitte (mit k e IN) "unberücksichtigt" lassen, ohne dass sich etwas am Ergebnis, IN, ändern würde.
Altbekannt und einigermaßen trivial.
Paul Paulsen
Nov 14, 2022, 2:02:35 AM11/14/22
to
Hallo Fritz,
nein, das was sicherlich Rainer ansprechen will ist, das
es einen "ersten" Dominostein erst garnicht gibt in WM's
Beweis, weil er ja davon spricht: n+1 (aber was ist n ?)
Rainer will WM vorzeigen, das sein ganzes Mengenkonstrukt
zusammen fällt, wenn man den ersten "Grundstein" wegnimmt
oder irgendwie wegzaubert - mit dunkler Energien oder so.
All seid's bereit, immer bereit. (So war das Motto es bei
uns Jungpionieren)
Gruß, der Bademeister
nein, das was sicherlich Rainer ansprechen will ist, das
es einen "ersten" Dominostein erst garnicht gibt in WM's
Beweis, weil er ja davon spricht: n+1 (aber was ist n ?)
Rainer will WM vorzeigen, das sein ganzes Mengenkonstrukt
zusammen fällt, wenn man den ersten "Grundstein" wegnimmt
oder irgendwie wegzaubert - mit dunkler Energien oder so.
All seid's bereit, immer bereit. (So war das Motto es bei
uns Jungpionieren)
Gruß, der Bademeister
Ganzhinterseher
Nov 14, 2022, 3:36:03 AM11/14/22
to
Fritz Feldhase schrieb am Montag, 14. November 2022 um 02:55:33 UTC+1:
> On Sunday, November 13, 2022 at 8:12:41 PM UTC+1, Rainer Rosenthal wrote:
> > Am 13.11.2022 um 18:28 schrieb Ganzhinterseher im Thread
> On Sunday, November 13, 2022 at 8:12:41 PM UTC+1, Rainer Rosenthal wrote:
> > Am 13.11.2022 um 18:28 schrieb Ganzhinterseher im Thread
> > > [...] behauptet wird A(1) u A(2) u A(3) u ... = ℕ.
> > >
> > > Was ist davon zu halten?
> > >
> > > Induktionsanfang: A(2) u A(3) u ... = ℕ.
> > >
> > > Was ist davon zu halten?
> > >
> > > Induktionsanfang: A(2) u A(3) u ... = ℕ.
> Induktionsanfang: k = 1: U{A(n) : n e IN \ {1}} = A(2) u A(3) u ... = IN.
>
> Glauben wir das dem Meister einfach mal. :-P
Wenn die Behauptung richtig ist, dann ist auch der Induktionsanfang richtig, denn A(1) ist in A(2) enthalten.
>
> Glauben wir das dem Meister einfach mal. :-P
>
> >> Induktionsschritt:
> >> A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = ℕ ==> A(n+1) u A(n+2) u A(n+3) u ... = ℕ. (*)
>
> Warum nicht? Der BEWEIS für diesen Schritt fehlt allerdings (ebenso wie der Beweis für den Fall k = 1).
Beweis für diese Trivialität? A(n) ist in A(n+1) enthalten.
> >> Induktionsschritt:
> >> A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = ℕ ==> A(n+1) u A(n+2) u A(n+3) u ... = ℕ. (*)
>
> Warum nicht? Der BEWEIS für diesen Schritt fehlt allerdings (ebenso wie der Beweis für den Fall k = 1).
>
> Schon erstaunlich, was Herr Mückenheim unter einem "Beweis" versteht: Eine lose Aneinanderreihung von reinen Behauptungen. :-)
Sorry, dass A(n) in A(n+1) enthalten ist, sollte ohne weiteren Hinweis klar sein.
> Schon erstaunlich, was Herr Mückenheim unter einem "Beweis" versteht: Eine lose Aneinanderreihung von reinen Behauptungen. :-)
>
> In diesem Fall stimmen die Behauptungen sogar. :-P
>
> Beweis für (*):
>
> Es gilt der Satz: Aus A c B folgt A u B = B.
>
> Daher folgt aus
>
> A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = (A(n) u A(n+1)) u (A(n+2) u ...)
Na also, wozu die vorherige Aufregung?
> In diesem Fall stimmen die Behauptungen sogar. :-P
>
> Beweis für (*):
>
> Es gilt der Satz: Aus A c B folgt A u B = B.
>
> Daher folgt aus
>
> A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = (A(n) u A(n+1)) u (A(n+2) u ...)
>
> wegen A(n) c A(n+1)
>
> A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = A(n+1) u (A(n+2) u A(n+3) u ...).
>
> Und damit also aus A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = IN:
>
> A(n+1) u A(n+2) u A(n+3) u ... = IN. [ ]
>
> =======================================================
>
> Er hat damit ledigich etwas "bewiesen", was hier noch keiner (außer ihm selbst) je bestritten hat.
Es ist beweisen, dass alle Anfangsabschnitte entfallen können.
> wegen A(n) c A(n+1)
>
> A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = A(n+1) u (A(n+2) u A(n+3) u ...).
>
> Und damit also aus A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = IN:
>
> A(n+1) u A(n+2) u A(n+3) u ... = IN. [ ]
>
> =======================================================
>
> Er hat damit ledigich etwas "bewiesen", was hier noch keiner (außer ihm selbst) je bestritten hat.
>
> Man kann bei der Vereinigung "der Anfangsabschnitte" die "ersten k" Anfangsabschnitte (mit k e IN) "unberücksichtigt" lassen, ohne dass sich etwas am Ergebnis, IN, ändern würde.
Es wurde bewiesen, dass alle entfallen können. Es gibt keinen, der verbleiben müsste. Also ist die { } = ℕ --- wenn die Anfangsbehauptung richtig ist. Also ist die Anfangsbehauptung nicht richtig.
> Man kann bei der Vereinigung "der Anfangsabschnitte" die "ersten k" Anfangsabschnitte (mit k e IN) "unberücksichtigt" lassen, ohne dass sich etwas am Ergebnis, IN, ändern würde.
Gruß, WM
Fritz Feldhase
Nov 14, 2022, 5:35:41 AM11/14/22
to
On Monday, November 14, 2022 at 9:36:03 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 14. November 2022 um 02:55:33 UTC+1:
Ich hatte geschrieben:
> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 14. November 2022 um 02:55:33 UTC+1:
| Was er damit "beweist", ist:
|
| Ak e IN: U{A(n) : n e IN \ {1, ..., k}} = IN.
Satz: Ak e IN: U{A(n) : n e IN \ {1, ..., k}} = IN.
Beweis (durch Induktion):
> > Induktionsanfang: k = 1: U{A(n) : n e IN \ {1}} = A(2) u A(3) u ... = IN.
> >
> > Glauben wir das dem Meister einfach mal. :-P
> >
So ist es. [Gut dass Du siese VORAUSSETZUNG hier nun explizit nennst: Das hatte bislang gefehlt.]
> > > Induktionsschritt:
> > > A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = ℕ ==> A(n+1) u A(n+2) u A(n+3) u ... = ℕ. (*)
> > >
> > Warum nicht? Der BEWEIS für diesen Schritt fehlt allerdings (ebenso wie der Beweis für den Fall k = 1).
> >
Genau. Allerdings schadet es nichts, das Argument auszuformulieren [to say the least]. So macht man das in der Mathematik nämlich. Man nennt das dann einen BEWEIS:
Wie ich schon sagte:
> > Schon erstaunlich, was Herr Mückenheim unter einem "Beweis" versteht: Eine lose Aneinanderreihung von reinen Behauptungen. :-)
> >
Das könnte z. B. so aussehen:
> > Beweis für (*):
> >
> > Es gilt der Satz: Aus A c B folgt A u B = B.
> >
> > Daher folgt aus
> >
> > A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = (A(n) u A(n+1)) u (A(n+2) u ...)
> >
> > wegen A(n) c A(n+1)
> >
> > A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = A(n+1) u (A(n+2) u A(n+3) u ...).
> >
> > Und damit also aus A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = IN:
> >
> > A(n+1) u A(n+2) u A(n+3) u ... = IN. [ ]
> >
> Na also
> >
> > A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = A(n+1) u (A(n+2) u A(n+3) u ...).
> >
> > Und damit also aus A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = IN:
> >
> > A(n+1) u A(n+2) u A(n+3) u ... = IN. [ ]
> >
Na also? Das hätte eigentlich VON DIR kommen sollen.
Offenbar bist Du einfach zu blöde, um SELBST einen Beweis formulieren zu können.
Du scheinst wirklich nicht zu verstehen, was Beweise sind, und wozu sie da sind.
Wie dem auch sei:
> > Er hat damit ledigich etwas "bewiesen", was hier noch keiner (außer ihm selbst) je bestritten hat.
> >
| Ak e IN: U{A(n) : n e IN \ {1, ..., k}} = IN.
> > Man kann bei der Vereinigung "der Anfangsabschnitte" die "ersten k" Anfangsabschnitte (mit k e IN) "unberücksichtigt" lassen, ohne dass sich etwas am Ergebnis, IN, ändern würde.
Ganzhinterseher
Nov 14, 2022, 3:05:46 PM11/14/22
to
Fritz Feldhase schrieb am Montag, 14. November 2022 um 11:35:41 UTC+1:
> On Monday, November 14, 2022 at 9:36:03 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > Wenn die Behauptung [A(1) u A(2) u A(3) u ... = IN] richtig ist, dann ist auch der Induktionsanfang richtig, denn A(1) ist in A(2) enthalten.
>
> So ist es. [Gut dass Du siese VORAUSSETZUNG hier nun explizit nennst: Das hatte bislang gefehlt.]
Nein, das hatte ich gesagt (siehe OP): Also behauptet wird A(1) U A(2) U A(3) U ... = ℕ. Was ist davon zu halten?
> On Monday, November 14, 2022 at 9:36:03 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > Wenn die Behauptung [A(1) u A(2) u A(3) u ... = IN] richtig ist, dann ist auch der Induktionsanfang richtig, denn A(1) ist in A(2) enthalten.
>
> So ist es. [Gut dass Du siese VORAUSSETZUNG hier nun explizit nennst: Das hatte bislang gefehlt.]
> > > > Induktionsschritt:
> > > > A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = ℕ ==> A(n+1) u A(n+2) u A(n+3) u ... = ℕ. (*)
> > > >
> > > Warum nicht? Der BEWEIS für diesen Schritt fehlt allerdings (ebenso wie der Beweis für den Fall k = 1).
> > >
> > [...] A(n) ist in A(n+1) enthalten.
>
> Genau. Allerdings schadet es nichts, das Argument auszuformulieren [to say the least]. So macht man das in der Mathematik nämlich.
> > > Und damit also aus A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = IN:
> > >
> > > A(n+1) u A(n+2) u A(n+3) u ... = IN. [ ]
> > >
> > Na also
>
> Na also? Das hätte eigentlich VON DIR kommen sollen.
>
> > [Oben] ist bewiesen [worden], dass
> | Ak e IN: U{A(n) : n e IN \ {1, ..., k}} = IN.
> gilt. Mit anderen Worten:
> > > Man kann bei der Vereinigung "der Anfangsabschnitte" die "ersten k" Anfangsabschnitte (mit k e IN) "unberücksichtigt" lassen, ohne dass sich etwas am Ergebnis, IN, ändern würde.
Man kann jeden EAA weglassen, denn das zeigt der Induktionsbeweis. Diese Feststellung kannst Du Dir mit der folgenden Frage hoffentlich selbst klarmachen:
> > [Oben] ist bewiesen [worden], dass
> | Ak e IN: U{A(n) : n e IN \ {1, ..., k}} = IN.
> gilt. Mit anderen Worten:
> > > Man kann bei der Vereinigung "der Anfangsabschnitte" die "ersten k" Anfangsabschnitte (mit k e IN) "unberücksichtigt" lassen, ohne dass sich etwas am Ergebnis, IN, ändern würde.
Gibt es einen EAA, den man nicht weglassen kann?
Und wenn das noch nicht hilft, dann frage, für welche EAA der Induktionsbeweis der Summe n(n+1)/2 seine Gültigkeit verliert. Welcher EAA reißt dieses Kriterium?
Gruß, WM
Fritz Feldhase
Nov 14, 2022, 6:41:00 PM11/14/22
to
On Monday, November 14, 2022 at 9:05:46 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
Also, Herr Ganzhinterseher, fassen wir zusammen, da Sie offenbar zu dämlich sind, das selbst zu tun.
Sie hatten geschrieben:
WM> Induktionsanfang: A(2) u A(3) u ... = IN.
WM> Induktionsschritt: A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = IN ==> A(n+1) u A(n+2) u A(n+3) u ... = IN.
Wenn man das in der üblichen Sprache der Mengenlehre formuliert (und die Indizierung anpasst), dann heißt das:
WM> Induktionsanfang: U{A(k) : k e IN \ {1}} = IN.
WM> Induktionsschritt: U{A(k) : k e IN \ {1, ..., n}}= IN ==> U{A(k) : k e IN \ {1, ..., n+1}}= IN
Daraus ist ersichtlich, dass der Induktionsbeweis FOLGENDEN SATZ beweist:
| An e IN: U{A(k) : k e IN \ {1, ..., n}}= IN
Mit anderen Worten:
| Man kann bei der Vereinigung "der Anfangsabschnitte" die "ersten n" Anfangsabschnitte (n e IN) "weglassen", ohne dass sich etwas am Ergebnis, IN, ändern würde.
Man kann den Satz auch SO formulieren:
| An e IN: U{A(k) : k > n} = IN
> das zeigt der Induktionsbeweis.
Das und nichts anderes.
Also, Herr Ganzhinterseher, fassen wir zusammen, da Sie offenbar zu dämlich sind, das selbst zu tun.
Sie hatten geschrieben:
WM> Induktionsanfang: A(2) u A(3) u ... = IN.
WM> Induktionsschritt: A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = IN ==> A(n+1) u A(n+2) u A(n+3) u ... = IN.
Wenn man das in der üblichen Sprache der Mengenlehre formuliert (und die Indizierung anpasst), dann heißt das:
WM> Induktionsanfang: U{A(k) : k e IN \ {1}} = IN.
WM> Induktionsschritt: U{A(k) : k e IN \ {1, ..., n}}= IN ==> U{A(k) : k e IN \ {1, ..., n+1}}= IN
Daraus ist ersichtlich, dass der Induktionsbeweis FOLGENDEN SATZ beweist:
| An e IN: U{A(k) : k e IN \ {1, ..., n}}= IN
Mit anderen Worten:
| Man kann bei der Vereinigung "der Anfangsabschnitte" die "ersten n" Anfangsabschnitte (n e IN) "weglassen", ohne dass sich etwas am Ergebnis, IN, ändern würde.
Man kann den Satz auch SO formulieren:
| An e IN: U{A(k) : k > n} = IN
> das zeigt der Induktionsbeweis.
Das und nichts anderes.
Ganzhinterseher
Nov 15, 2022, 4:59:35 AM11/15/22
to
Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 15. November 2022 um 00:41:00 UTC+1:
> On Monday, November 14, 2022 at 9:05:46 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
>
> WM> Induktionsanfang: A(2) u A(3) u ... = IN.
> WM> Induktionsschritt: A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = IN ==> A(n+1) u A(n+2) u A(n+3) u ... = IN.
>
> Wenn man das in der üblichen Sprache der Mengenlehre formuliert (und die Indizierung anpasst), dann heißt das:
>
> WM> Induktionsanfang: U{A(k) : k e IN \ {1}} = IN.
> WM> Induktionsschritt: U{A(k) : k e IN \ {1, ..., n}}= IN ==> U{A(k) : k e IN \ {1, ..., n+1}}= IN
Nun, immerhin hast Du den Beweis selbst jetzt verstanden, im Gegensatz zu einigen anderen Lesern. Gratuliere!
> On Monday, November 14, 2022 at 9:05:46 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
>
> WM> Induktionsanfang: A(2) u A(3) u ... = IN.
> WM> Induktionsschritt: A(n) u A(n+1) u A(n+2) u ... = IN ==> A(n+1) u A(n+2) u A(n+3) u ... = IN.
>
> Wenn man das in der üblichen Sprache der Mengenlehre formuliert (und die Indizierung anpasst), dann heißt das:
>
> WM> Induktionsanfang: U{A(k) : k e IN \ {1}} = IN.
> WM> Induktionsschritt: U{A(k) : k e IN \ {1, ..., n}}= IN ==> U{A(k) : k e IN \ {1, ..., n+1}}= IN
>
> Daraus ist ersichtlich, dass der Induktionsbeweis FOLGENDEN SATZ beweist:
>
> | An e IN: U{A(k) : k e IN \ {1, ..., n}}= IN
>
> Mit anderen Worten:
>
> | Man kann bei der Vereinigung "der Anfangsabschnitte" die "ersten n" Anfangsabschnitte (n e IN) "weglassen", ohne dass sich etwas am Ergebnis, IN, ändern würde.
>
> Man kann den Satz auch SO formulieren:
>
> | An e IN: U{A(k) : k > n} = IN
>
> > das zeigt der Induktionsbeweis.
>
> Das und nichts anderes.
Das und etwas mehr. Man kann bei der Vereinigung der EAA alle weglassen, denn
> Daraus ist ersichtlich, dass der Induktionsbeweis FOLGENDEN SATZ beweist:
>
> | An e IN: U{A(k) : k e IN \ {1, ..., n}}= IN
>
> Mit anderen Worten:
>
> | Man kann bei der Vereinigung "der Anfangsabschnitte" die "ersten n" Anfangsabschnitte (n e IN) "weglassen", ohne dass sich etwas am Ergebnis, IN, ändern würde.
>
> Man kann den Satz auch SO formulieren:
>
> | An e IN: U{A(k) : k > n} = IN
>
> > das zeigt der Induktionsbeweis.
>
> Das und nichts anderes.
erstens gilt der Induktionsbeweis für alle Anfangsabschnitte und zweitens gibt es keinen Anfangsabschnitt, der nicht weggelassen werden könnte, samt allen seinen Vorgängern.
Oder glaubst Du, dass die Summe des EAA(n) = n(n+1)/2 auch nicht für alle EAA richtig ist? Ich meine, da existiert keine Ausnahme.
Gruß, WM
Gus Gassmann
Nov 15, 2022, 9:49:43 AM11/15/22
to
Jeder Anfangsabschnitt hat endlich viele Vorgänger und unendlich viele Nachfolger. Jeder Anfangsabschnitt kann (zusammen mit allen Vorgänger sogar) "weggelassen werden" (schon das ist hirnrissig formuliert, Herr Perfesser), aber unendlich viele Nachfolger garantieren, dass die Vereinigung der nachfolgenden Anfangsabschnitte eben immer noch gleich IN ist. Man kann selbst unendlich viele Anfangsabschnitte ignorieren (zum Beispiel alle Anfangangsabschnitte mit ungeraden Indices), denn z.B. die Vereinigung der Anfangangsabschnitte mit geraden Indices ist eben immer noch IN, jedenfalls vor dem Mond.
Ganzhinterseher
Nov 15, 2022, 1:28:23 PM11/15/22
to
Gus Gassmann schrieb am Dienstag, 15. November 2022 um 15:49:43 UTC+1:
> aber unendlich viele Nachfolger garantieren, dass die Vereinigung der nachfolgenden Anfangsabschnitte eben immer noch gleich IN ist.
Für die gilt der Induktionsbeweis Deiner Meinung nach nicht?
> aber unendlich viele Nachfolger garantieren, dass die Vereinigung der nachfolgenden Anfangsabschnitte eben immer noch gleich IN ist.
Für wieviele Nachfolger endlicher Anfangsabschnitte gilt denn der Induktionsbeweis für 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 nicht? Gibt es da auch unendlich viele?
Gruß, WM
Gus Gassmann
Nov 15, 2022, 2:14:31 PM11/15/22
to
Fritz Feldhase
Nov 15, 2022, 4:09:42 PM11/15/22
to
Ganzhinterseher
Nov 15, 2022, 4:55:02 PM11/15/22
to
Gus Gassmann schrieb am Dienstag, 15. November 2022 um 20:14:31 UTC+1:
> On Tuesday, 15 November 2022 at 14:28:23 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
> > Gus Gassmann schrieb am Dienstag, 15. November 2022 um 15:49:43 UTC+1:
> >
> > > aber unendlich viele Nachfolger garantieren, dass die Vereinigung der nachfolgenden Anfangsabschnitte eben immer noch gleich IN ist.
> > Für die gilt der Induktionsbeweis Deiner Meinung nach nicht?
> >
> > Für wieviele Nachfolger endlicher Anfangsabschnitte gilt denn der Induktionsbeweis für 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 nicht? Gibt es da auch unendlich viele?
> Schieb dir deine Quantorenvertauschung
Da ist keine Vertauschung im Spiel. Vollständige Induktion gilt nun einmal vollständig.
> On Tuesday, 15 November 2022 at 14:28:23 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
> > Gus Gassmann schrieb am Dienstag, 15. November 2022 um 15:49:43 UTC+1:
> >
> > > aber unendlich viele Nachfolger garantieren, dass die Vereinigung der nachfolgenden Anfangsabschnitte eben immer noch gleich IN ist.
> > Für die gilt der Induktionsbeweis Deiner Meinung nach nicht?
> >
> > Für wieviele Nachfolger endlicher Anfangsabschnitte gilt denn der Induktionsbeweis für 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 nicht? Gibt es da auch unendlich viele?
> Schieb dir deine Quantorenvertauschung
Gruß, WM
Thomas 'PointedEars' Lahn
Nov 15, 2022, 8:55:01 PM11/15/22
to
Paul Paulsen wrote:
> All seid's bereit, immer bereit. (So war das Motto es bei
> uns Jungpionieren)
Das Motto war „_Seid bereit_– immer bereit!“, wobei der erstere Teil
> All seid's bereit, immer bereit. (So war das Motto es bei
> uns Jungpionieren)
die Begrüssung und der zweite Teil die erwartete Antwort war.
PointedEars, auch mal Jungpionier gewesen
--
<https://github.com/PointedEars> | <http://PointedEars.de/wsvn/>
Twitter: @PointedEars2
Please do not cc me. /Bitte keine Kopien per E-Mail.
Gus Gassmann
Nov 15, 2022, 10:22:55 PM11/15/22
to
Rainer Rosenthal
Nov 16, 2022, 3:36:21 AM11/16/22
to
Am 15.11.2022 um 22:55 schrieb Ganzhinterseher:
> Vollständige Induktion gilt nun einmal vollständig.
Cool, dann ist vollständige Induktion also wirklich so einfach?
> Vollständige Induktion gilt nun einmal vollständig.
Aber wie verhält es sich denn mit den dunklen Zahlen? Die können doch
von der vollständigen Induktion nicht erfasst werden.
Ist die vollständige Induktion doch nicht so vollständig, wie sie sein
sollte?
Um es mit "ja ... aber" zu formulieren:
Ja, die vollständige Induktion ist vollständig, aber sie erfasst die
dunklen Zahlen nicht.
Gruß
RR
Fritz Feldhase
Nov 16, 2022, 3:43:25 AM11/16/22
to
On Tuesday, November 15, 2022 at 10:59:35 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 15. November 2022 um 00:41:00 UTC+1:
> >
> > Daraus ist ersichtlich, dass der [von Dir angedeutete] Induktionsbeweis FOLGENDEN SATZ beweist:
> Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 15. November 2022 um 00:41:00 UTC+1:
> >
> >
> > | An e IN: U{A(k) : k e IN \ {1, ..., n}}= IN
> >
> > Mit anderen Worten:
> >
> > | Man kann [für bel. n e IN] bei der Vereinigung "der Anfangsabschnitte" die "ersten n" Anfangsabschnitte "weglassen", ohne dass sich etwas am Ergebnis, IN, ändern würde.
> > | An e IN: U{A(k) : k e IN \ {1, ..., n}}= IN
> >
> > Mit anderen Worten:
> >
> >
> > Man kann den Satz auch SO formulieren:
> >
> > | An e IN: U{A(k) : k > n} = IN
> > >
> > > das zeigt der Induktionsbeweis.
> > >
> > Das und nichts anderes.
> >
> Das und <blubber>
> > Man kann den Satz auch SO formulieren:
> >
> > | An e IN: U{A(k) : k > n} = IN
> > >
> > > das zeigt der Induktionsbeweis.
> > >
> > Das und nichts anderes.
> >
Was hast Du an "und nichts anderes" nicht verstanden?
EOD
Ganzhinterseher
Nov 16, 2022, 6:32:49 AM11/16/22
to
Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 16. November 2022 um 09:36:21 UTC+1:
> Am 15.11.2022 um 22:55 schrieb Ganzhinterseher:
>
> > Vollständige Induktion gilt nun einmal vollständig.
> Cool, dann ist vollständige Induktion also wirklich so einfach?
> Aber wie verhält es sich denn mit den dunklen Zahlen? Die können doch
> von der vollständigen Induktion nicht erfasst werden.
Nein, vollständige Induktion gilt vollständig nur für alle definierbaren Zahlen, das sind Zahlen die durch die üblichen Axiome erzeugt werden und daher endliche Anfangsabschnitte besitzen. Also gilt sie vollständig für die endlichen Anfangsabschnitte.
> Am 15.11.2022 um 22:55 schrieb Ganzhinterseher:
>
> > Vollständige Induktion gilt nun einmal vollständig.
> Cool, dann ist vollständige Induktion also wirklich so einfach?
> Aber wie verhält es sich denn mit den dunklen Zahlen? Die können doch
> von der vollständigen Induktion nicht erfasst werden.
> Ist die vollständige Induktion doch nicht so vollständig, wie sie sein
> sollte?
>
> Um es mit "ja ... aber" zu formulieren:
>
> Ja, die vollständige Induktion ist vollständig, aber sie erfasst die
> dunklen Zahlen nicht.
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
Nov 16, 2022, 7:02:19 AM11/16/22
to
vollständig ist? Du kommst ja selbst mit so merkwürdigen Versuchen
daher, mittels doch-nicht-so-vollständiger Induktion was beweisen zu
wollen. Das erscheint mir und vielen anderen als vollständig bescheuert.
Gruß,
RR
Thomas 'PointedEars' Lahn
Nov 16, 2022, 3:16:25 PM11/16/22
to
Rainer Rosenthal wrote:
> Ja, die vollständige Induktion ist vollständig, aber sie erfasst die
> dunklen Zahlen nicht.
Was sind „dunkle Zahlen“? Ausser einem Mathematik-Thriller von Matthias
> Ja, die vollständige Induktion ist vollständig, aber sie erfasst die
> dunklen Zahlen nicht.
Senkel¹ finde ich dazu nichts.
¹ <https://www.weltbild.ch/artikel/buch/dunkle-zahlen_23858222-1#product-description>
--
PointedEars
Thomas 'PointedEars' Lahn
Nov 16, 2022, 3:17:04 PM11/16/22
to
Rainer Rosenthal wrote:
> Ja, die vollständige Induktion ist vollständig, aber sie erfasst die
> dunklen Zahlen nicht.
> Ja, die vollständige Induktion ist vollständig, aber sie erfasst die
> dunklen Zahlen nicht.
Dieter Heidorn
Nov 16, 2022, 3:51:56 PM11/16/22
to
Thomas 'PointedEars' Lahn schrieb:
Mengenlehre widerlegt zu haben...
https://www.hs-augsburg.de/homes/mueckenh/Transfinity/Dunkle%20Zahlen.pdf
https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf
Viel Spaß damit ...
Dieter Heidorn
> Rainer Rosenthal wrote:
>
>> Ja, die vollständige Induktion ist vollständig, aber sie erfasst die
>> dunklen Zahlen nicht.
>
> Was sind „dunkle Zahlen“?
Eine Vorstellung von WM, der glaubt, die durch Cantor begründete
>
>> Ja, die vollständige Induktion ist vollständig, aber sie erfasst die
>> dunklen Zahlen nicht.
>
> Was sind „dunkle Zahlen“?
Mengenlehre widerlegt zu haben...
https://www.hs-augsburg.de/homes/mueckenh/Transfinity/Dunkle%20Zahlen.pdf
https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf
Viel Spaß damit ...
Dieter Heidorn
Rainer Rosenthal
Nov 16, 2022, 4:11:11 PM11/16/22
to
Am 16.11.2022 um 21:17 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
> Rainer Rosenthal wrote:
>
>> Ja, die vollständige Induktion ist vollständig, aber sie erfasst die
>> dunklen Zahlen nicht.
>
> Was sind „dunkle Zahlen“?
Hallo Thomas,
> Rainer Rosenthal wrote:
>
>> Ja, die vollständige Induktion ist vollständig, aber sie erfasst die
>> dunklen Zahlen nicht.
>
> Was sind „dunkle Zahlen“?
das Zitat ist nicht von mir, sondern von Ganzhinterseher aka WM.
Bitte zitiere korrekt!
Die "dunklen Zahlen" sind eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, die vom
genannten Autor erfunden worden sind, um sich wichtig zu machen.
Weil besagte Teilmenge leer ist, lassen sich die wundersamsten
Eigenschaften "dunkler Zahlen" postulieren, ohne dass man Gefahr läuft,
widerlegt zu werden. Denn dazu müsste man ja "dunkle Zahlen" nennen
können, die die wundersamen Eigenschaften nicht haben.
Gruß,
RR
Rainer Rosenthal
Nov 16, 2022, 4:27:32 PM11/16/22
to
Am 16.11.2022 um 21:17 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
> Rainer Rosenthal wrote:
>
>> Ja, die vollständige Induktion ist vollständig, aber sie erfasst die
>> dunklen Zahlen nicht.
>
> Was sind „dunkle Zahlen“? Ausser einem Mathematik-Thriller von Matthias
> Senkel¹ finde ich dazu nichts.
>
> ¹ <https://www.weltbild.ch/artikel/buch/dunkle-zahlen_23858222-1#product-description>
>
Hallo Thomas,
>
>> Ja, die vollständige Induktion ist vollständig, aber sie erfasst die
>> dunklen Zahlen nicht.
>
> Was sind „dunkle Zahlen“? Ausser einem Mathematik-Thriller von Matthias
> Senkel¹ finde ich dazu nichts.
>
> ¹ <https://www.weltbild.ch/artikel/buch/dunkle-zahlen_23858222-1#product-description>
>
sorry, Du hast korrekt zitiert.
Ich hatte mich zum advocatus diaboli gemacht und in der "ja ... aber"
Form hingeschrieben, was WM vielleicht sagen wollte.
WM war ganz happy, dass jemand ihm geholfen hat, seine albernen
Vorstellungen wenigstens deutlich hinzuschreiben.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Am 16.11.2022 um 12:32 schrieb Ganzhinterseher:
>
> Richtig. Sie gilt vollständig für alle Zahlen, die Ihr kennt, aber
das sind nicht alle Zahlen, die Cantors Unendlichkeit braucht.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>
> Richtig. Sie gilt vollständig für alle Zahlen, die Ihr kennt, aber
das sind nicht alle Zahlen, die Cantors Unendlichkeit braucht.
Also nochmal: sorry, aber beim ersten Lesen dachte ich, es würde eine
Zitier-Ebene fehlen.
Gruß,
RR
Thomas 'PointedEars' Lahn
Nov 16, 2022, 4:32:20 PM11/16/22
to
Dieter Heidorn wrote:
> Thomas 'PointedEars' Lahn schrieb:
>> Rainer Rosenthal wrote:
>>> Ja, die vollständige Induktion ist vollständig, aber sie erfasst die
>>> dunklen Zahlen nicht.
>> Was sind „dunkle Zahlen“?
>
> Eine Vorstellung von WM, der glaubt, die durch Cantor begründete
> Mengenlehre widerlegt zu haben...
Achso ':-)
> Thomas 'PointedEars' Lahn schrieb:
>> Rainer Rosenthal wrote:
>>> Ja, die vollständige Induktion ist vollständig, aber sie erfasst die
>>> dunklen Zahlen nicht.
>> Was sind „dunkle Zahlen“?
>
> Eine Vorstellung von WM, der glaubt, die durch Cantor begründete
> Mengenlehre widerlegt zu haben...
> https://www.hs-augsburg.de/homes/mueckenh/Transfinity/Dunkle%20Zahlen.pdf
>
> https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf
>
> Viel Spaß damit ...
Thomas 'PointedEars' Lahn
Nov 16, 2022, 4:32:41 PM11/16/22
to
Rainer Rosenthal wrote:
> Also nochmal: sorry, aber beim ersten Lesen dachte ich, es würde eine
> Zitier-Ebene fehlen.
Ist OK.
> Also nochmal: sorry, aber beim ersten Lesen dachte ich, es würde eine
> Zitier-Ebene fehlen.
Ganzhinterseher
Nov 17, 2022, 5:48:45 AM11/17/22
to
Thomas 'PointedEars' Lahn schrieb am Mittwoch, 16. November 2022 um 21:16:25 UTC+1:
> Was sind „dunkle Zahlen“? Ausser einem Mathematik-Thriller von Matthias
> Senkel¹ finde ich dazu nichts.
Zufällig gibt es hier gerade einen Thread dazu
> Was sind „dunkle Zahlen“? Ausser einem Mathematik-Thriller von Matthias
> Senkel¹ finde ich dazu nichts.
https://groups.google.com/g/de.sci.mathematik/c/JK0knFk2LAg
Gruß, WM
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