Rätselaufgabe - Gleichung gesucht
Peter Wittenberger
versuche verzweifelt für folgende Denkaufgabe eine Gleichung zu erstellen:
Im Zoogeschäft kostet 1 Hund = 10 Euro, 1 Katze = 3 Euro, 1 Maus = 0.50
Euro.
Ich muss den Laden mit 100 Tieren verlassen (dabei muss(!) von jedem Tier
mind. eins dabei sein) und muss genau 100 Euro ausgeben.
Wäre lieb mir einen Ansatzpunkt zu geben.
Thx,
Peter
Dietmar Trummer
>
> versuche verzweifelt für folgende Denkaufgabe eine Gleichung zu erstellen:
>
> Im Zoogeschäft kostet 1 Hund = 10 Euro, 1 Katze = 3 Euro, 1 Maus = 0.50
> Euro.
> Ich muss den Laden mit 100 Tieren verlassen (dabei muss(!) von jedem Tier
> mind. eins dabei sein) und muss genau 100 Euro ausgeben.
Woran verzweifelst Du? Du hast 2 Vorgaben: eine fuer den Gesamtpreis
und eine fuer die Gesamtzahl der Tiere. Liegt also nahe, dass Du
2 Gleichungen aufstellen sollst: Summe der Tiere gleich 100 und
Gesamtpreis gleich 100. Jetzt musst Du Dir noch ueberlegen, warum
Du nicht unendlich viele, sondern nur wenige bzw. eine Loesung haben
kannst.
Schoene Gruesse,
Dietmar
Stefan Kirchner
Hallo Peter,
folgende zwei Gleichungen muessen beide erfuellt sein
a= Anzahl Hunde
b= Anzahl Katzen
c= Anzahl Maeuse
a+b+c = 100 ( genau 100 Tiere kaufen)
10 * a + 3 * b + 0.5 * c = 100 ( genau 100 Euros verschwenden)
Dies ist ein sogenanntes lineares Gleichungssystem. Das kannst Du
loesen, hat jedoch einen freien Parameter,
da Du drei Variablen aber nur zwei Gleichungen hast.
Da Du die Tiere leider nicht zerhacken kannst, muessen a, b und c
natuerliche Zahlen sein.
Das schraenkt die Loesungsmenge weiter ein. Damit solltest Du eine
(die?) Loesung finden koennen.
Gruss Stefan
Uwe Hercksen
Stefan Kirchner schrieb:
>
> folgende zwei Gleichungen muessen beide erfuellt sein
> a= Anzahl Hunde
> b= Anzahl Katzen
> c= Anzahl Maeuse
>
> a+b+c = 100 ( genau 100 Tiere kaufen)
> 10 * a + 3 * b + 0.5 * c = 100 ( genau 100 Euros verschwenden)
>
> Dies ist ein sogenanntes lineares Gleichungssystem. Das kannst Du
> loesen, hat jedoch einen freien Parameter,
> da Du drei Variablen aber nur zwei Gleichungen hast.
> Da Du die Tiere leider nicht zerhacken kannst, muessen a, b und c
> natuerliche Zahlen sein.
> Das schraenkt die Loesungsmenge weiter ein. Damit solltest Du eine
> (die?) Loesung finden koennen.
Hallo,
man übelegt sich recht leicht diese Bedingungen:
1 <= a < 10 ; (100 - 3 - 0,5)/10
1 <= b < 30 ; (100 - 10 - 0,5)/3
1 <= c < 174 ; (100 - 10 - 3)/0,5
Also nur Mut, mit maximal 9 * 29 * 173 Versuchen kann man
alle Lösungen finden die es gibt. ;-)
Aber das war die brute force Version, bei weniger brutalem
Vorgehen reichen auch nur 9 Versuche.
Bye
Bye
Helmut Zeisel
> Hallo NG,
>
> versuche verzweifelt für folgende Denkaufgabe eine Gleichung zu erstellen:
>
> Im Zoogeschäft kostet 1 Hund = 10 Euro, 1 Katze = 3 Euro, 1 Maus = 0.50
> Euro.
> Ich muss den Laden mit 100 Tieren verlassen (dabei muss(!) von jedem Tier
> mind. eins dabei sein) und muss genau 100 Euro ausgeben.
x... Anzahl Hunde
y...Anzahl Katzen
z... Anzahl Maeuse
Wieviel kosten dann alle?
Gleichung 1.. das muss 100 sein
Wieviele Tiere hast Du insgesamt?
Gleichung 2... das muss 100 sein
Von jedem Tier mindestens ein:
3 Ungleichungen
x,y,z ganzzahlig, also 2 diophantische Gleichungen in 3 Unbekannten.
> Wäre lieb mir einen Ansatzpunkt zu geben.
Reicht das?
David Kastrup
Das geht auch noch viel leichter. Durchschnittspreis 1 Euro. Den
kann man halten, wenn man jeden Hund mit 20 Mäusen ausgleicht, jede
Katze mit 6 Mäusen. Fangen wir vor dem Ausgleich mit 200 Mäusen an,
ist die Gesamtzahl 100 = 200-a*19-b*5, also 100 = a*19+b*5.
Es ist sofort a=5 klar, und damit b=1. Auch a=0, b=20 wäre eine
Lösung, wenn man auf Hunde auch ganz verzichten dürfte.
--
David Kastrup, Kriemhildstr. 15, 44793 Bochum
Email: David....@t-online.de
Till Potinius
> Hallo NG,
>
> versuche verzweifelt für folgende Denkaufgabe eine Gleichung zu erstellen:
>
> Im Zoogeschäft kostet 1 Hund = 10 Euro, 1 Katze = 3 Euro, 1 Maus = 0.50
> Euro.
> Ich muss den Laden mit 100 Tieren verlassen (dabei muss(!) von jedem Tier
> mind. eins dabei sein) und muss genau 100 Euro ausgeben.
1 Hund kaufen : 10 Euro
3 Katze kaufen : 9 Euro
162 Mäuse für 81 Euro kaufen.
68 Mäuse den Katzen zu fressen geben, rausgehen.
*scnr*
--
MFG, Till
PGP-Key @
http://home.arcor.de/abi03sgo/pgp/Till_Potinius_gpg_key.asc
August Lobner
Peter Wittenberger schrieb in Nachricht ...
>Hallo NG,
>
>versuche verzweifelt für folgende Denkaufgabe eine Gleichung zu erstellen:
>
>Im Zoogeschäft kostet 1 Hund = 10 Euro, 1 Katze = 3 Euro, 1 Maus = 0.50
>Euro.
>Ich muss den Laden mit 100 Tieren verlassen (dabei muss(!) von jedem Tier
>mind. eins dabei sein) und muss genau 100 Euro ausgeben.
har, noch einige weitere Hinweise:
Betr. Diophantische Gleichungen
Diophantisch heißen Gleichungen, bei denen (im Vergleich zur 'normalen
Rechnung') ‚eine Gleichung fehlt', aber die Zusatz-Bedingung 'nur
ganzzahlige Lösungen sind sinnvoll, evtl. auch nur positive' einen präzisen
Überblick über die Lösungen ermöglicht.
Ein Rechenweg dazu:
Beispiel 53x + 19y = 17 ==> y = (-53x+17)/19 = -2x+(-15x+17)/19: es muß
also -15x+17 ein Vielfaches von 19 sein:
-15x + 17 = 19a (wobei a ganz ist) -15x + 17 = 19a ==> x = (-19a+17)/15
= -a+1+(2-4a)/15; es muß also 2-4a ein Vielfaches sein von 15:
2 - 4a = 15b ==> a = (2-15b)/4 = -3b+(2-3b)/4 ==>
2 - 3b = 4c ==> b = (-4c+2)/3 = -c+(-c+2)/3 ==> c = 2-3d
Wenn man diesen Ausdruck für c in die b-Gleichung einsetzt erhält man b
= -2+3d+(-2+3d+2)/3 = -2+4d
Weiter eingesetzt in die vorigen Gleichungen:
a = ..... = 8-15d; y = ...... = 26-53d; x = .... = 19d-9; eine Lösung
fertig.
Weitere erhält man leicht aus: wenn x0, y0 eine Lösung von ax+by=c ist, dann
ist auch x0+i*b, y0-i*a Lösung für bel. i.
Oft enthält die Aufgabenstellung Beschränkungen über die Lösung; etwa 'alle
Ergebnisse positiv' oder 'alle Ergebnisse unter 1000'
Hoffentlich ohne Rechenfehler
Ein zweites Verfahren, das 'etwas theoretischer' ist, erfordert mehr
gedanklichen Aufwand: Es basiert auf dem 'erweiterten Euklidischen
Algorithmus':
Wenn man den 'größten gemeinsamen Teiler' t von zwei Zahlen a und b
bestimmen soll und die Primfaktorzerlegung von a und b kennt, ist das eine
leichte Aufgabe, die wohl jeder als Vorbereitung für's Bruchrechnen kennen
lernt: Produkt aller p, die in a und b vorkommen mit der jeweils kleinsten
vorkommenden Hochzahl.
a=2^3*3^5*5^1*7^2*11^1, b=2^4*3^2*5^2*7^1*13^1 t=2^3*3^2*5^1*7^1
Tatsächlich ist das Bestimmen der Primfaktorzerlegung einer großen Zahl eine
ungeheuer schwere (d.h. zeitraubende) Aufgabe; viele der modernen
Verschlüsselungsverfahren beruhen darauf, daß sie so schwer ist.
Es ist also nützlich, ein Verfahren zu haben, den g.g.T. zu bestimmen, ohne
die Primfaktorzerlegung zu kennen. Ein solches Verfahren geht auf EUKLID
zurück. (Lästig ist beim Hinschreiben, daß man an eine Veränderliche nicht
einfach eine Nummer anhängen kann; ich benutze als Ausweg a_b-1 für ein a,
an das die Nummer (Index) b-1 anzuhängen ist.
Gesucht der gr. gem Teiler von a und b, wobei a>b sein soll.
Ausgang ist die Division mit Rest a : b = n_1 Rest r_1
Anders geschrieben auch a = b * n_1 + r_1; dabei ist r_1<b (***)
Weiter b = r_1* n_2 + r_2; r_2<r_1 (**)
r_1 = r_2* n_3 + r_3 r_3<r_2 (*)
Die r werden also dauernd kleiner; irgendwann muß r=0 erscheinen; das soll
(um einfacher schreiben zu können) bei r_5=0 geschehen; da steht also als
letzte Zeile
r_3 = r_4*n_5 + 0; also ist r_4 ein Teiler von r3
Darüber steht r_2 = r_3*n_4 + r_4; da bereits bekannt ist, daß
r_4 Teiler ist von r_3, folgt hier, daß r_4 auch r_2 teilt.
Da r_4 Teiler ist von r_2 und r_3, steht in (*), daß r_4 auch Teiler ist von
r_1.
Da r_4 Teiler ist von r_1 und r_2, steht in (**), daß r_4 auch Teiler ist
von b; schließlich folgt entsprechend aus (***), daß r_4 auch Teiler ist von
a, d.h. gemeinsamer Teiler von a und b ist.
Damit ist gezeigt, daá r_4 gemeinsamer Teiler von a und b ist; erster Teil
erledigt
Jeder gemeinsame Teiler t von a und b teilt wegen (***) auch r_1, also wegen
(**) auch r2, ...also wegen der letzten Zeile auch r_4. Das geht eber nur,
wenn r_4 der größte gem. Teiler ist.
zweiter Teil erledigt
Wegen der lästigen Schreiberei erläutere ich die Fortsetzung an einem
Beispiel:
Gesucht der g.g.T. von 29 und 11. Es ist zu rechnen
29=2*11+7
11=1*7+4
7=1*4+3
4=1*3+1
3=3*1+0 ==> 1 ist der g.g.T
Wegen der vorletzten Zeile ist 1 = 4-1*3;
die 3 kann durch 7-1*4 (3. Zeile) ersetzt werden; also wird 1 = 4-1*(7-1*4)
= 2*4 - 7
die 4 kann durch 11-1*7 (2. Zeile) ersetzt werden; also wird 1 =
2*(11-1*7)-7 = 2*11-3*7
die 7 kann durch 29-2*11 (1. Zeile) ersetzt werden; also wird 1 =
2*11-3*(29-2*11) = -3*29+8*11
Allgemein bedeutet das (was ich geschrieben habe, ist ein typisches
Beispiel, aber kein Beweis): der größte gemeinsame Teiler t von a und b kann
als 'Linear-kombination' t = n_1*a + n_2*b von a und b geschrieben werden.
Diese Aussage nennt man auch den 'erweiterten euklidischen Algorithmus'.
Daraus läßt sich ein Lösungsverfahren für 'diophantische' Gleichungen
entwickeln:
Sucht man eine Lösung von 29*x + 11*y = 6, so kann man nach obigem Verfahren
1 aus 29 und 11 zusammensetzen; nach Multipl. mit 6 hat man die gewünschte
erste Lösung für die diophantische Gleichung.
Man kann aber auch einsehen, daß es diophantische Gln. gibt, die keine
Lösung haben: 6*x + 21*y = 7. Einfach argumentiert: die linke Seite ist
immer durch 3 teilbar, die rechte nicht. Etwas theoretischer: den g.g.T. von
6 und 21, nämlich 3, kann man als Linearkombination von 6 und 21 schreiben;
aber das reicht nicht, da 7 kein Vielfaches von 3 ist.
Die weiteren Lösungen erhält man wie oben.
Zusammensetzen der Hilfen sollte(!) zum Ziel führen.
mfG A. Lobner
Andreas Eibach
"David Kastrup" <David....@t-online.de> schrieb:
> Das geht auch noch viel leichter. Durchschnittspreis 1 Euro. Den
> kann man halten, wenn man jeden Hund mit 20 Mäusen ausgleicht, jede
> Katze mit 6 Mäusen. Fangen wir vor dem Ausgleich mit 200 Mäusen an,
> ist die Gesamtzahl 100 = 200-a*19-b*5, also 100 = a*19+b*5.
>
> Es ist sofort a=5 klar, und damit b=1.
Deine (erste, naheliegendste) Lösung hab ich auch, allerdings einen anderen
Ansatz:
(I) 10a + 3b + 0.5c = 100
(II) a + b + c = 100
werden wir diese Dezimalzahl erst mal los...
(I*) 20a + 6b + c = 200
(II) a + b + c = 100
erste von zweiter Gleichung subtrahieren...
(I*) 20a + 6b + c = 200
(I*-II) 19a + 5b = 100
damit "sieht man" a = 5 und b = 1.
Für c ergibt sich aus (I) dann 94. (50 + 3 + 47 = 100)
Andreas
Exotische Materie
Andreas Leitgeb
> Peter Wittenberger schrieb am Freitag, 26. April 2002 um 11:55:55 UTC+2:
gelöst werden konnte ;-)
Udo
Bei dieser Art von Aufgaben kann es sehr erhellend sein, wenn man sich
bei der Lösung in Richtung "Vektoren" bewegt, also einen "Lösungsvektor"
sucht. Dann wird das besonders übersichtlich. Etwa so:
Anzahl gekaufter
- Hunde : x
- Katzen: y
- Mäuse : z
(1) Preisbedingung : 10x + 3y + 0.5z = 100
(2) Mengenbedingung: x + y + z = 100
(3) Einschränkung : (x, y, z) > 0
Vorgehensweise:
(4) Elimination von z durch 2*(1) - (2)
19x + 5y = 100
(5) Auflösen nach y:
y = 20 - 19/5 x
Damit in (2)
(6) x + 20 - 19/5 y + z = 100
Man sieht:
Das Lineare Gleichungssystem ist unterbestimmt, eine der drei Variablen ist frei wählbar.
Wählen wir
x = r (mit r e R) dann ergibt sich
y = 20 - 19/5 r
z = 100 - x - y = 100 - r - (20 - 19/5 r) = 80 - 5/5 r + 19/5 r = 80 + 14/5 r
z = 80 + 14/5 r
Sei L der "Lösungsvektor":
L = ( x: Anzahl Hunde, y: Anzahl Katzen, z: Anzahl Mäuse)
dann gilt
L = ( r | 20 - 19/5*r | 80 + 14/5 * r) = ( 0 | 20 | 80) + r * ( 1 | -19/5 | 14/5)
OK, wir haben also den Lösungsvektor (als Zeilenvektor geschrieben) gefunden, er ist
L = ( 0 | 20 | 80) + r * ( 1 | -19/5 | 14/5)
Spätestens jetzt muss man sich Gedanken über die Grundmenge dieser Gleichung
machen. Hier gilt nicht G = R_3, da die Anzahlen der zu kaufenden Tiere ganzzahlig
und zudem aus dem Bereich 1 bis 100 sein müssen.
Die Grundmenge ist daher G = {1, 2, 3, ... , 100}^3
Brüche sind nicht möglich, also kann man für x bzw r nur Vielfache von 5 nehmen.
Das muss man durchrechnen:
a.) r = 0 ergäbe L = ( 0 | 20 | 80)
was aber wegen (3) nicht sein darf. Diese Lösung mit 0 Hunden
scheidet also aus.
b.) r = 5 ergibt L = (0, 20, 80) + (5, - 19, 14) = (5, 1, 94), also
L = (5, 1, 94) : 5 Hunde, 1 Katze, 94 Mäuse
c) r = 10 ergibt L = (0, 20, 80) + (10, -38, 28) = (10, -18, 108)
Man erkennt bei dieser Darstellung sofort:
Diese und weitere Lösungen für r > 5 scheiden aus, weil sich Werte ergeben,
die mit den Nebenbedingungen nicht vereinbar sind.
Also einzig mögliche Lösung unter den vorgegebenen Nebenbedingungen:
Anzahl gekaufter Hunde: 5
Anzahl gekaufter Katzen: 1
Anzahl gekaufter Mäuse: 94
Grüße Udo
p.s.:
Diese Art, so vorzugehen stammt von unserem alten Gymnasial-Lehrer.
Das ist mehr als 50 Jahre her, und ich hab's nicht vergessen :-)
Allen ein gutes Neues Jahr.
Möge ein freundliches Miteinander ohne Beschimpfungen in dieser NG
wieder zum "guten Ton" gehören.
Jens Kallup
Wir kaufen:
Tier Anzahl Kosten
-------------------------
Hund 1 50.00 Eurp
Katze 1 3.00 Euro
Maus 1 0.50 Euro
-------------------------
= 3 53.50 Euro
Frage:
Wieviel Tiere sind das, von denen, die im Geschäft
in voller Anzahl waren ?
Lsg
=> 3 Tiere (Anteile) von 100% Tieren => 0.03%
da die Tiere "entnommen" wurden, müssen wir diese 0.03%
auf die tatsächlichen 100% Tiere abziehen, und erhalten
dann 97% Tiere, die noch übrig bleiben.
Das machen dann:
97 Tiere (Anteile) von 100% Tieren => 0.97%
Wir machen uns eine Tabelle:
Mit der Rechnung:
Tiere (Anteile) / 100 * Kosten, sowie:
Restliche Tiere (1 Anteil = 100% minus (TierKosten Anteile))
Kosten Anteile
53.50 0.03 <-- obiges Ergebnis einsetzen
+ 51.90 0.97 <-- obiges Ergebnis multipliziert mit 0.97
-------------------
= 105.40 1.00 <-- Alle Tiere Kosten
Wir Fragen, wieviel Anteile und Kosten fallen auf welches Tier?
Lsg.:
Hund Katze Maus Gesamt
------------------------------------------------
Anzahl 1.00 1.000 1.00 3.00
Kosten 50.00 3.000 0.50 53.50
Anteile % 26.75 1.605 2.25 30.60
Wir Frage, wieviel Tiere sind noch im Laden ?
Lsg.: 97% (0.97 Anteile)
97% von 105.40 Euro => 105.40 * 0.97 => 51.90 Euro
Wir setzen ein (in Tabellen-Form):
Tier Kosten Rest-Anteil
Kosten >97% GuV in Euro
-----------------------------------------
Hund 50.00 48.500 - 1.500 (1)
Katz 3.00 2.910 - 0.090 (2)
Mäus 0.50 0.485 - 0.015 (3)
-----------------------------------------
= - 1.605
=> -1.605 Euro * 3 Tiere => - 4.815 Euro GuV.
=> -1.605 Euro * 97 Tiere => -155.685 Euro Rest GuV.
=> -1.605 Euro * 100 Tiere => -160.500 Euro Gesamt GuV.
Das heißt, wenn er ALLE Tiere verkaufen würde, so müsste der
Verkäufer einen Aufschlag von mindestens:
0.00 Euro = 100%
-160.50 Euro = x% => 160.5% Aufschlagen
da wir aber mit 100.00 Euro einkaufen, bleibt immer noch ein
Rest von 60.50 Euro (für den Rest Aller 97% der Tiere).
Tier Kosten
-------------
Hund 50.00
Katz 3.00
Mais 0.50
-------------
GuV 53.50
Auf. 7.00
-------------
= 60.50
Das bedeutet, um erstmal Alle Kosten zu decken, muss der
Verkäufer 7.00 Euro = 0.07% auf jedes der Tiere verteilen.
Wenn man nun diese 60.50 zu Rate zieht, erhält man:
3x Maus für 0.50 Euro = 1.50 Euro
1x Hund für 50.00 Euro = 50.00 Euro
------------------------------------
= 51.50 Euro
60.50 Euro
- 51.50 Euro
-------------
= 9.00 Euro
Da nun eine Katz 3.00 Euro kostet, macht das dann nach Adam Rieß:
9/3 = 3x Katz.
voila: übrig bleiben dann:
1x (mal) Hund
3x (mal) Maus
3x (mal) Katz
=> 7 Tiere => 70% => (Rest)
=> 7 Tiere => 70% + 3 vk. Tiere => 30% => 100% (10 Tiere insgesamt)
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Eurer Jens
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