Schnitt über alle Endsegmente

[WM]

Die Relation

E(n) c E(m)

ist nicht symmetrisch, aber die Schnittbildung

∀n, m ∈ ℕ: E(n) ∩ E(m) = E(m) ∩ E(n)

ist kommutativ. Dabei ist |E(n) ∩ E(m)| = aleph_0 .

Es gilt also nicht, dass E(n) dieselben Elemente wie E(n+k) besitzt, aber es gilt, dass E(n) mit _jedem_ Endabschnitt unendlich viele Elemente gemeinsam besitzt.

Daher besitzt jeder Schnitt über Endsegmente unendlich viele Elemente.

Dies gilt auch für den unendlichen Schnitt

E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ ... ,

denn die obigen Aussagen sind nicht von der Anzahl der Endabschnitte abhängig.

Insbesondere besitzt der unendliche Schnitt keine zusätzlichen Endabschnitte zu

E1, E2, E3, ... (*)

und keine Schnittbildung über alle Schnitte in

E1, E1 ∩ E2, E1 ∩ E2 ∩ E3, ...

hinaus. Denn "unendlich sein" ist keine Prädikat, das weitere Endabschnitte über (*) hinaus erzeugt oder zugänglich macht.

Gruß, WM

[ich]

Am Dienstag, 13. November 2018 10:09:53 UTC+1 schrieb WM:

> |E(n) ∩ E(m)| = aleph_0

Richtig.

Für alle n,m e IN gilt, dass card(E_n n E_m) = aleph_0.

> es gilt, dass E(n) mit _jedem_ Endabschnitt unendlich viele Elemente
> gemeinsam besitzt.

Ja, aber es sind nicht immer dieselben Elemente.

> Daher besitzt jeder Schnitt über Endsegmente unendlich viele Elemente.

Dieses "daher" ist wieder mal das Zeichen für einen "Mückenschluss". Kurz: non sequitur.

Abgesehen davon, dass es für den "unendlichen Schnitt" definitiv _nicht_ gilt, muss man den "Schluss" auch für "den endlichen Fall" in Frage stellen.

Man betrachte 3 Mengen: {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}. Dann gilt für je 2 dieser Mengen, dass sie mind. ein Element gemeinsam besitzen.

card(A n B) >= 1 für A,B e {{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}}

Aber für die Schnittmenge aller 3 Mengen gilt das nicht, denn

card({1, 2} n {2, 3} n {3, 1}) = 0.

D. h. man muss die Aussage

"Jeder Schnitt über endlich viele Endsegmente besitzt unendlich viele Elemente"

eigens _beweisen_.

Hier spielt dann die Inklussionsmonotonie der Folge der E_i mit hinein. Es gilt nämlich in diesem Fall:

Schnitt{E_1, ..., E_n} = E_n

und wenn wir unsere Betrachtungen auf diese Schnitte beschränken, ist alles gezeigt. Denn es gilt für alle n e IN: card(En) = aleph_0. Wir sehen aber auch, dass die Schnittmenge nicht "konstant" ist, sondern abhängig von n "variiert".

> Dies gilt auch für den unendlichen Schnitt

Ex falso quod libet.

Auch ein "Schlussweise", die Sie gerne verwenden, Herr Mückenheim.

> die obigen Aussagen sind nicht von der Anzahl der Endabschnitte abhängig.

Leider sind sie es doch. (Endlich vs. unendlich.)

Man vergleiche:

> E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ ...

mit allen Schnitten der Form:

> E1, E1 ∩ E2, E1 ∩ E2 ∩ E3, ...
>

> ... "unendlich sein" ist kein Prädikat, das weitere Endabschnitte über [...]

> hinaus erzeugt oder zugänglich macht.

Aber dieser Fall _berücksichtigt_ unendlich viele Endabschnitte im Gegensatz zu JEDEM der endlichen Schnitte, letztere _berücksichtigen_ also IMMER nur endlich viele Endabschnitte.

Das ist der (wesentliche) Unterschied.

[WM]

Am Dienstag, 13. November 2018 10:58:12 UTC+1 schrieb ich:
> Am Dienstag, 13. November 2018 10:09:53 UTC+1 schrieb WM:
>
> > |E(n) ∩ E(m)| = aleph_0
>
> Richtig.
>
> Für alle n,m e IN gilt, dass card(E_n n E_m) = aleph_0.
>
> > es gilt, dass E(n) mit _jedem_ Endabschnitt unendlich viele Elemente
> > gemeinsam besitzt.
>
> Ja, aber es sind nicht immer dieselben Elemente.

Es sind überall Elemente vorhanden. Und sie stammen alle aus dem ersten Endabschnitt, nämlich |N.

>
> > Daher besitzt jeder Schnitt über Endsegmente unendlich viele Elemente.
>

> Kurz: non sequitur.

Es sind überall Elemente vorhanden. Und sie stammen alle aus dem ersten Endabschnitt, nämlich |N.

> Man betrachte 3 Mengen: {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}.

Benötigst Du dieses Ablenkungsmanöver? Wir sprechen über eine inklusionsmonotone Folge von Schnitten.

> Wir sehen aber auch, dass die Schnittmenge nicht "konstant" ist, sondern abhängig von n "variiert".

Es sind überall Elemente vorhanden. Und sie stammen alle aus dem ersten Endabschnitt, nämlich |N.

>
> > die obigen Aussagen sind nicht von der Anzahl der Endabschnitte abhängig.
>
> Leider sind sie es doch.

Falsch.

Für alle n,m e IN gilt, dass card(E_n n E_m) = aleph_0.

> (Endlich vs. unendlich.)

Ja es gibt unendlich viele E_n. Für sie alle n,m e IN gilt, dass card(E_n n E_m) = aleph_0.

Sollte der unendliche Schnitt nicht mehr Endabschnitte enthalten als dieses "alle" umfasst, dann gilt die Aussage.

Sollte der unendliche Schnitt aber mehr Endabschnitte enthalten als dieses "alle" umfasst, dann zeige bitte einen solchen Endabschnitt.

> Man vergleiche:
>
> > E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ ...
>
> mit allen Schnitten der Form:
>
> > E1, E1 ∩ E2, E1 ∩ E2 ∩ E3, ...
> >
> > ... "unendlich sein" ist kein Prädikat, das weitere Endabschnitte über [...]
> > hinaus erzeugt oder zugänglich macht.
>
> Aber dieser Fall _berücksichtigt_ unendlich viele Endabschnitte im Gegensatz zu JEDEM der endlichen Schnitte, letztere _berücksichtigen_ also IMMER nur endlich viele Endabschnitte.

Sollte der unendliche Schnitt aber mehr Endabschnitte enthalten als dieses "alle" umfasst, dann zeige bitte einen solchen Endabschnitt.

>
> Das ist der (wesentliche) Unterschied.

Das ist Unsinn.

Gruß, WM

[burs...@gmail.com]

Man baucht nicht einmal

A1 u A2 u A3 u ... = {A1,A2,A3,...}

Es genügt:

A1 u A2 u A3 u ... = N

Dann hat man sofort:

E1 n E2 n E3 n ... = (N \ A1) n (N \ A2) n (N \ A3) n ...

= N \ (A1 u A2 u A3 u ...)

= N \ N

= {}

Aber dazu muss man FOL= + ZFC verwenden, und
nicht irgendwelche exotischen Schlussregeln aus
der Mückenheimischen Mengenlehre.

Nicht vergessen, mehr von dem Mückenheimischen
Gebräu hat es auch hier, daum:

In ISBN 978-3-11-037734-7
Mathematik für die ersten Semester
von Wolfgang Mückenheim

Please sign, the goal is 1000 supporters:
https://www.thepetitionsite.com/de/takeaction/135/815/763/

Am Dienstag, 13. November 2018 10:09:53 UTC+1 schrieb WM:

[ich]

Am Dienstag, 13. November 2018 11:29:55 UTC+1 schrieb WM:
> Am Dienstag, 13. November 2018 10:58:12 UTC+1 schrieb ich:
> > Am Dienstag, 13. November 2018 10:09:53 UTC+1 schrieb WM:
> > >
> > > die obigen Aussagen sind nicht von der Anzahl der Endabschnitte abhängig.
> > >
> > Leider sind sie es doch.
> >
> Falsch.

Nö. Wenn eine Menge M endliche viele Endabschnitte (als Elemente) enthält, gilt

card(Schnitt M) = aleph_0 .

Wenn M unendlich viele Endabschnitte (als Elemente) enthält, gilt

card(Schnitt M) = 0 .

> > [Der unendliche] Fall _berücksichtigt_ unendlich viele Endabschnitte im

> > Gegensatz zu JEDEM der endlichen Schnitte, letztere _berücksichtigen_
> > also IMMER nur endlich viele Endabschnitte.
> >

> > Das ist der (wesentliche) Unterschied.

Man kann es sehr einfach so ausdrücken: Sei M c {E_1, E_2, E_3, ...}. Dann gilt:

(a) M endlich -> card(Schnitt M) = aleph_0
(b) M unendlich -> card(Schnitt M) = 0 .

[WM]

Am Dienstag, 13. November 2018 12:11:28 UTC+1 schrieb ich:
> Am Dienstag, 13. November 2018 11:29:55 UTC+1 schrieb WM:
> > Am Dienstag, 13. November 2018 10:58:12 UTC+1 schrieb ich:

> Wenn M unendlich viele Endabschnitte (als Elemente) enthält, gilt
>
> card(Schnitt M) = 0 .

Es gilt für jeden der unendlich vielen Endabschnitte: |E_n| = aleph_0. Und jede der unendlich vielen in E_n enthaltenen Zahlen stammt aus dem ersten Endabschnitt E_1 = |N.

Wäre card(Schnitt M) = 0, so müssten diese Zahlen zwischendurch verschwinden und wieder auftauchen. Das ist unmöglich.

Gruß, WM

[burs...@gmail.com]

zwischendurch verschwinden und wieder auftauchen

Wieso wieder auftauchen, ein neues Axiom aus
Mucken Mathematik? Wahrscheinlich aus der Physik,
so etwas wie fernwirkung:

Wenn man zwei Aussagen hat:

Q(x) P(x)

dann besteht zwischen diesen Fernwirkung. D.h.
es wird automatisch eine Schlussregel gebildet,
entweder so:

Q(x) <= P(x)

oder so:

Q(x) => P(x)

Ha Ha

Schwachsinn par Excellence.

[burs...@gmail.com]

Könnte auch aus der Chemie stammen. So etwas
wie Energie erhalt, etc.. Ja Ja die Logik ist
nichts für schwache Gemüter.

Haben Sie es schon mit den 4 Elementen versucht,
Feuer, Wasser, Erde und Luft?

[Diedrich Ehlerding]

WM schrieb am 13.11.2018 um 10:09:
> Die Relation
>
> E(n) c E(m)
>
> ist nicht symmetrisch, aber die Schnittbildung
>
> ∀n, m ∈ ℕ: E(n) ∩ E(m) = E(m) ∩ E(n)
>
> ist kommutativ. Dabei ist |E(n) ∩ E(m)| = aleph_0 .
>
> Es gilt also nicht, dass E(n) dieselben Elemente wie E(n+k) besitzt, aber es gilt, dass E(n) mit _jedem_ Endabschnitt unendlich viele Elemente gemeinsam besitzt.
>
> Daher besitzt jeder Schnitt über Endsegmente unendlich viele Elemente.

^^^^ ^^^^

Soso, "daher" und "jeder". ^

Ich argumentiere jetzt mal à la WM: : die Vereinigung zweier Mengen ist
kommutativ. Jeder anfangsabschnitt A_n= {1, 2, 3...,n} hat endlich viele
Elemente, auch die Vereinigung zweier Anfangsabschnitte hat endlich
viele Elemente. "Daher" besitzt "jede" Vwereinigung von
anfangsabschnitten nur endlich viele Elemente. Auch die Vereinigung
_aller_ Anfangsabschnitte, also IN.

Kurz: Im Mückeversum hat IN nur endlich viele Elemente, aleph_0 ist endlich.

Na dann ...

[ich]

Am Dienstag, 13. November 2018 16:42:52 UTC+1 schrieb WM:
> Am Dienstag, 13. November 2018 12:11:28 UTC+1 schrieb ich:
> > Am Dienstag, 13. November 2018 11:29:55 UTC+1 schrieb WM:
> > > Am Dienstag, 13. November 2018 10:58:12 UTC+1 schrieb ich:
> >
> > Wenn M unendlich viele Endabschnitte (als Elemente) enthält, gilt
> >
> > card(Schnitt M) = 0 .
> >
> Es gilt für jeden der unendlich vielen Endabschnitte: |E_n| = aleph_0. Und
> jede der unendlich vielen in E_n enthaltenen Zahlen stammt aus dem ersten
> Endabschnitt E_1 = |N.
>

> Wäre card(Schnitt M) = 0, so müssten diese Zahlen [...] verschwinden und ...

Und Punkt. Genau das tun sie.

[ich]

Am Dienstag, 13. November 2018 17:02:04 UTC+1 schrieb burs...@gmail.com:

WM: "Wäre <bla bla>, so müssten diese Zahlen zwischendurch verschwinden und wieder auftauchen."

> So etwas wie Energie erhalt, etc.

In jedem Fall: "Im physikalischen Sinne des Energieerhaltungssatzes ist ein „Verlust“ von Energie nicht möglich." (Wikipedia)

[ich]

Am Dienstag, 13. November 2018 12:11:28 UTC+1 schrieb ich:

Kleine Korrektur:

> Man kann es sehr einfach so ausdrücken: Sei M c {E_1, E_2, E_3, ...}

und M =/= {}.

[ich]

Am Dienstag, 13. November 2018 11:53:42 UTC+1 schrieb burs...@gmail.com:

> Es genügt:
>
> A1 u A2 u A3 u ... = N
>
> Dann hat man sofort:
>
> E1 n E2 n E3 n ... = (N \ A1) n (N \ A2) n (N \ A3) n ...
>
> = N \ (A1 u A2 u A3 u ...)
>
> = N \ N
>
> = {}

Das ist ja eigentlich eine Form von "De Morgan". Wenn wir als "Bezugsmenge" N wählen, dann haben wir hier ja:

> E1 n E2 n E3 n ... = CA1 n CA2 n CA3 n ...
>
> = C(A1 u A2 u A3 u ...)
>
> = CN
>
> = {}

Jedoch braucht man dazu jedenfalls noch (wie schon oben erwähnt)

A1 u A2 u A3 u ... = N .

Aber AUCH DAMIT scheint Herr Mückenheim seine Probleme zu haben. :-)

Ansonsten, sehr schöner Beweis für E1 n E2 n E3 n ... = {}.

P.S. Kenne Sie den Spruch "Perlen vor die Säue werfen"?

[burs...@gmail.com]

deMorgan sollte mit den Mangoldt Knopp Definitionen
von Vereiningung und Schnittmenge durchgehen.

Die Quantoren sind ja dual:

~Ex P(x) <=> Ax ~P(x)

Wenn man das damit tut, gibts auch keine Pünktchen ... mehr.

[burs...@gmail.com]

In intuitionisticher Logik kann sein, dass es nicht
mehr geht, da gelten nicht alle Quantoren regeln.

Aber WM besteht wohl darauf, dass er eine
Antinomie in FOL= + ZFC gefunden hat.

[ich]

Am Dienstag, 13. November 2018 10:58:12 UTC+1 schrieb ich:

> Am Dienstag, 13. November 2018 10:09:53 UTC+1 schrieb WM:
> >

> > [...] Es gilt also nicht, dass E(n) dieselben Elemente wie E(n+k) besitzt,
> > aber es gilt, dass E(n) mit _jedem_ Endabschnitt unendlich viele Elemente
> > gemeinsam besitzt.
> >

> > Daher besitzt jeder Schnitt über Endsegmente unendlich viele Elemente.
> >

> Dieses "daher" ist wieder einmal das Zeichen für einen "Mückenschluss".
> Kurz: non sequitur.

Später faseln Sie zwar noch irgendwas von "Inklusionsmonotonie", aber DAS geht in Ihren Mückenschluss offenbar nicht ein (und selbst /wenn/, wäre er trotzdem nicht korrekt).

Der von Ihnen hier VERWENDETE Mückenschluss lautet m. E. einfach:

An,m e IN: |M(n) ∩ M(m)| = aleph_0; daher
An e IN: card(Schnitt{M(k) : k e {1, .., n}} = aleph_0
& card(Schnitt{M(k) : k e {1, 2, 3, ...}} = aleph_0 .

Nun wollen wir erst einmal gar nicht so weit gehen, und den Mückenschluss etwas abschwächen:

An,m e IN: |M(n) ∩ M(m)| = aleph_0; daher
An e IN: card(Schnitt{M(k) : k e {1, .., n}} = aleph_0 .

Die Frage, die sich stellt, ist, stimmt wenigstens das? (Ist das ein korrekter Schluss?)

Hinweis: Es müsste dann für alle möglichen Mengen M(i) die Konklusion "An e IN: card(Schnitt{M(k) : k e {1, .., n}} = aleph_0" gelten, falls die Prämisse "An,m e IN: |M(n) ∩ M(m)| = aleph_0" gilt.

Ich denke aber, dass ich ein Gegenbeispiel konstruieren (definieren) kann, also Mengen M(k), mit k e IN, angeben kann, so dass zwar "An,m e IN: |M(n) ∩ M(m)| = aleph_0" gilt (beweisbar ist), aber "An e IN: card(Schnitt{M(k) : k e {1, .., n}} = aleph_0" nicht gilt (also ~(An e IN: card(Schnitt{M(k) : k e {1, .., n}} = aleph_0) beweisbar ist).

Für mein Gegenbeispiel würde konkret folgendes gelten:

(a) An,m e IN: |M(n) ∩ M(m)| = aleph_0

und

(b) An,m,k e IN: n < m < k -> |M(n) ∩ M(m) ∩ M(k)| = 0

Also je zwei Mengen M(n) und M(m) hätten aleph_0 Elemente gemein, aber je drei verschiedene Mengen M(n), M(m) und M(k) hätten KEINE gemeinsamen Elemente.

[ich]

Am Dienstag, 13. November 2018 23:31:18 UTC+1 schrieb ich:

> Ich denke aber, dass ich ein Gegenbeispiel konstruieren (definieren) kann,
> also Mengen M(k), mit k e IN, angeben kann, so dass zwar "An,m e IN: |M(n)
> ∩ M(m)| = aleph_0" gilt (beweisbar ist), aber "An e IN: card(Schnitt{M(k)
> : k e {1, .., n}} = aleph_0" nicht gilt (also ~(An e IN: card(Schnitt{M(k)
> : k e {1, .., n}} = aleph_0) beweisbar ist).
>
> Für mein Gegenbeispiel würde konkret folgendes gelten:
>
> (a) An,m e IN: |M(n) ∩ M(m)| = aleph_0
>
> und
>
> (b) An,m,k e IN: n < m < k -> |M(n) ∩ M(m) ∩ M(k)| = 0
>
> Also je zwei Mengen M(n) und M(m) hätten aleph_0 Elemente gemein, aber je
> drei verschiedene Mengen M(n), M(m) und M(k) hätten KEINE gemeinsamen
> Elemente.

In einem ersten Schritt zerlege ich IN in (abzählbar) unendlich viele (abzählbar) unendliche Mengen. Dazu schreibe ich die natürliche Zahlen einfach der Reihenfolge nach in eine "unendliche Matrix" (angelehnt an Cantors Diagonalverfahren):

1 2 6 7 15 16...
3 5 8 14 17 ...
4 9 13 18 ...
10 12 19 ...
11 20 ...
21 ...

Wenn wir nun die Zahlen in den Zeilen (oder die Zahlen in den Spalten) zu (abzählbar unendlichen) Mengen "zusammenfassen", erhalten wir (abzählbar) unendlich viele disjunkt Mengen: {1, 2, 6, 7, 15, 16... }, {3, 5, 8, 14, 17 ...}, {4, 9, 13, 18, ...} usw.

Wenn diese Mengen noch "indiziert" werden (z. B. jede Menge mit dem "Index" der Zeile, die zu ihrer Bildung herangezogen wurde), dann haben wir jetzt also die Mengen M_1 = {1, 2, 6, 7, 15, 16... }, M_2 = {3, 5, 8, 14, 17 ...}, M_3 = {4, 9, 13, 18, ...} usw.

Es gilt dann (vorerst):

(a') An,m e IN: M(n) ∩ M(m) = {}.

Das ist natürlich noch nicht ganz das, was wir wollen. :-)

Aber es gilt auch:

(b) An,m,k e IN: n < m < k -> |M(n) ∩ M(m) ∩ M(k)| = 0

Das würde ja schon mal passen.

Speziell für Herrn Mückenheim sei angemerkt, dass auch

U M_i = U{M_i : i e IN} = IN
ieIN

gilt.

To be continued...

[WM]

Richtig. Auch eine unendliche Vereinigung von Mengen mit grünen Elementen ergibt keine rote Menge. In gewissem Sinne aber auch falsch. Denn die Vereinigung ist nicht |N, sonder |N ist allenfalls Grenzwert.

>
> Kurz: Im Mückeversum hat IN nur endlich viele Elemente, aleph_0 ist endlich.

Falsch. aleph_0 ist Unsinn, oder es existiert dunkle Zahlenmaterie.

Aber das Argument hast Du schon recht erkannt. Nur ist das komplementäre Argument noch viel zugkräftiger. Ich habe wirklich noch keinen Menschen getroffen, der den Satz ∀n, m ∈ ℕ: E(n) ∩ E(m) = E(m) ∩ E(n) verstehen kann und den unendlichen Schnitt E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ ... als leer akzeptiert.

Gruß, WM

[WM]

Aber hallo! Sie tauchen ja wieder auf! Daaaaa sind sie ja. Uuuuuuuendlich viele. Es sind niemals weniger, so weit man den Schnitt E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ ... auch verfolgt.

Gruß, WM

[burs...@gmail.com]

Verfolgen bedeutet nur folgendes anschauen:

E1

E1 ∩ E2

E1 ∩ E2 ∩ E3

...

Was aber zwecklos ist den unedlichen Schnitt zu
bestimmen, da dieser nunmal ein "forall" beinhaltet,
und folgendes nicht kommutativ ist:

/* WMs Fallacy Nr. 4711 */

|lim n->oo En| = lim n->oo |En|

Kein Gehirn für sowas? Macht nichts, nicht jeder
kann Logik und Mathematik.

[WM]

Am Mittwoch, 14. November 2018 11:59:50 UTC+1 schrieb burs...@gmail.com:
> Verfolgen bedeutet nur folgendes anschauen:
>
> E1
>
> E1 ∩ E2
>
> E1 ∩ E2 ∩ E3
>
> ...
>
> Was aber zwecklos ist den unedlichen Schnitt zu
> bestimmen, da dieser nunmal ein "forall" beinhaltet,

FOR ALL Endabschnitte. Und nichts weiter.
FOR ALL Endabschnitte gilt aber

∀n, m ∈ ℕ: E(n) ∩ E(m) = E(m) ∩ E(n)

Und solang nur Endabschnitte mit natürlichen Indizes vorkommen ist die Kommutativität gewahrt.

Warum sollte sich etwas ändern?

Warum sollte der Schluss von n auf |N mittels FOR ALL (den Du benötigst) richtiger und wichtiger sein als der von {1, 2, 3, ..., n} auf |N?

Gruß, WM

[WM]

Am Dienstag, 13. November 2018 22:03:02 UTC+1 schrieb burs...@gmail.com:
> In intuitionisticher Logik kann sein, dass es nicht
> mehr geht, da gelten nicht alle Quantoren regeln.
>
> Aber WM besteht wohl darauf, dass er eine
> Antinomie in FOL= + ZFC gefunden hat.

Aber nein! Wie eine Theorie of Zero Findable Contradictions so etwas erlauben? Wenn auch die Proponenten stets kokett betonen, dass _bisher_ noch keine gefunden worden wäre.

Ich weise nur darauf hin, dass ein Widerspruch mit einfachsten Regeln der Mathematik und Logik darin besteht, hier die Inklusionsmonotonie zu verwerfen, durch den (allerdings an die von Arnold charakterisierten modernen Schüler erinnernden Spruch): Alle Endabschnitte haben unendlich viele Elemente, aber es sind ja nicht immer dieselben.

Mit wurde letztlich darauf geantwortet: Wie blöde muss man sein, um das zu glauben?

Gruß, WM

[WM]

Am Dienstag, 13. November 2018 23:31:18 UTC+1 schrieb ich:
> Am Dienstag, 13. November 2018 10:58:12 UTC+1 schrieb ich:


> An,m e IN: |M(n) ∩ M(m)| = aleph_0; daher
> An e IN: card(Schnitt{M(k) : k e {1, .., n}} = aleph_0 .
>
> Die Frage, die sich stellt, ist, stimmt wenigstens das? (Ist das ein korrekter Schluss?)

Jawoll.

> Ich denke aber, dass ich ein Gegenbeispiel konstruieren (definieren) kann, also Mengen M(k), mit k e IN, angeben kann, so dass zwar "An,m e IN: |M(n) ∩ M(m)| = aleph_0" gilt (beweisbar ist), aber "An e IN: card(Schnitt{M(k) : k e {1, .., n}} = aleph_0" nicht gilt (also ~(An e IN: card(Schnitt{M(k) : k e {1, .., n}} = aleph_0) beweisbar ist).

Das ist eine erfreuliche Entwicklung. Zum erstenmal spürt man sowas wie Mathematik im Dschungel matheologischer Behauptungen. Viel Erfolg!

Gruß, WM

[WM]

Am Mittwoch, 14. November 2018 00:59:37 UTC+1 schrieb ich:
> Am Dienstag, 13. November 2018 23:31:18 UTC+1 schrieb ich:

> > Also je zwei Mengen M(n) und M(m) hätten aleph_0 Elemente gemein, aber je
> > drei verschiedene Mengen M(n), M(m) und M(k) hätten KEINE gemeinsamen
> > Elemente.

Die Existenz solcher Mengen will ich nicht ausschließen. Aber was hülfe es dem Mathematiker, wenn er dies bewiese? Für die A_k gilt, dass _alle_ endlichen Schnitte unendliche Mengen sind. Wenn man sich auf den Standpunkt stellt, dass der unendliche Schnitt nichts weiter ist als alle endlichen Schnitte, so kann er nicht leer sein.

So wie alle Anfangsabschnitte nicht |N sein können - WENN |N unendlich viel mehr Elemente als jeder enthält.

> To be continued...

Very interested.

Sollte dsm tatsächlich einmal Mathematik enthalten?

Gruß, WM

[ich]

Am Mittwoch, 14. November 2018 13:42:05 UTC+1 schrieb WM:

ZFC

> Wenn auch die Proponenten stets kokett betonen, dass _bisher_ noch keine

> [Antinomie] gefunden worden wäre.

Das ist nicht "kokett". Man kann das nicht prinzipiell ausschließen. Es erscheint (nach dem ZFC nun schon beinahe 100 Jahre existiert und inzwischen doch schon einigermaßen kartiert ist) zwar eher also "unwahrscheinlich", aber eben...

> Alle Endabschnitte haben unendlich viele Elemente, aber es sind ja nicht
> immer dieselben.

In dem Sinne, dass von Endabschnitt zu Endabschnitt immer eine (weitere) natürliche Zahl "entfällt". Also:

E_n \ E_(n+1) = {n} für alle n e IN.

> Mir wurde letztlich darauf geantwortet: Wie blöde muss man sein, um das zu
> glauben?

Ja, damit, ANDERE für blöd zu halten, sind die Leute schnell zur Hand. Meist machen sie das aber, ohne vorher in den Spiegel zu blicken.

[ich]

Am Mittwoch, 14. November 2018 13:58:02 UTC+1 schrieb WM:
> Am Mittwoch, 14. November 2018 00:59:37 UTC+1 schrieb ich:
> > Am Dienstag, 13. November 2018 23:31:18 UTC+1 schrieb ich:
>
> > > Also je zwei Mengen M(n) und M(m) hätten aleph_0 Elemente gemein, aber je
> > > drei verschiedene Mengen M(n), M(m) und M(k) hätten KEINE gemeinsamen
> > > Elemente.
> > >
> Die Existenz solcher Mengen will ich nicht ausschließen. Aber was hülfe es
> dem Mathematiker, wenn er dies bewiese?

Es ist einfach eine Überlegung, die mich beschäftigt hat. Dann geht man dem nach und beweist/zeigt es entweder ... oder es gelingt einem nicht.

In diesem Fall geht es darum ein Gegenbeispiel für einen "Schluss" zu finden (der natürlich auch nicht als als gültig nachgewiesen worden ist). Um ihn eindeutig als Fehlschluss charakterisieren zu können.

> Wenn man sich auf den Standpunkt stellt, dass der unendliche Schnitt nichts
> weiter ist als alle endlichen Schnitte,

So stellt man sich auf einen falschen oder unsinngen Standpunkt (aka not even wrong).

[WM]

Am Mittwoch, 14. November 2018 13:59:10 UTC+1 schrieb ich:
> Am Mittwoch, 14. November 2018 13:42:05 UTC+1 schrieb WM:
>
> ZFC
>
> > Wenn auch die Proponenten stets kokett betonen, dass _bisher_ noch keine
> > [Antinomie] gefunden worden wäre.
>
> Das ist nicht "kokett". Man kann das nicht prinzipiell ausschließen. Es erscheint (nach dem ZFC nun schon beinahe 100 Jahre existiert und inzwischen doch schon einigermaßen kartiert ist) zwar eher also "unwahrscheinlich", aber eben...
>
> > Alle Endabschnitte haben unendlich viele Elemente, aber es sind ja nicht
> > immer dieselben.
>
> In dem Sinne, dass von Endabschnitt zu Endabschnitt immer eine (weitere) natürliche Zahl "entfällt".

Das macht doch nichts, denn es sind ja per Definition in jedem Endabschnitt, der eine Zahl entfallen lassen kann, unendlich viele enthalten.

Gruß, WM

[ich]

Am Mittwoch, 14. November 2018 13:58:02 UTC+1 schrieb WM:

> > To be continued...
> >
> Very interested.

Tja, lieber Herr Mückenheim. Das sagen Sie so, aber es handelt sich dabei um Überlegungen im Kontext der bösen, bösen Mengenlehre - was soll daran (aus Ihrer Sicht) "interessant" sein?

> Sollte dsm tatsächlich einmal Mathematik enthalten?

Aus Ihrer Sicht, ja bekanntlich eher nicht. :-)

P.S. Das Gegenbeispiel habe ich inzwischen "konstruieren" können. Jedoch ist die ähem "Darstellung" desselben alles andere als überzeugend. Das müsste dann wohl jemand "ins Reine schreiben", der WIRKLICH etwas von Mengenlehre versteht. :-) Ich werde zumindest den Gedankengang (die "Beweisidee") dennoch mal hier posten.

[WM]

Am Mittwoch, 14. November 2018 14:04:32 UTC+1 schrieb ich:


> Es ist einfach eine Überlegung, die mich beschäftigt hat. Dann geht man dem nach und beweist/zeigt es entweder ... oder es gelingt einem nicht.
>
> In diesem Fall geht es darum ein Gegenbeispiel für einen "Schluss" zu finden (der natürlich auch nicht als als gültig nachgewiesen worden ist). Um ihn eindeutig als Fehlschluss charakterisieren zu können.

Ich bin erfreut und wünsche Dir viel Erfolg. Der Ansatz ist Mathematik. Sollte Dir das gelingen, so würde ich alle Hirnschadensberichte zurücknehmen und auf mich beziehen.

Gruß, WM

[ich]

Am Mittwoch, 14. November 2018 14:09:38 UTC+1 schrieb WM:

> > In dem Sinne, dass von Endabschnitt zu Endabschnitt immer eine (weitere)
> > natürliche Zahl "entfällt".
> >
> Das macht doch nichts, denn es sind ja per Definition in jedem Endabschnitt,
> der eine Zahl entfallen lassen kann, unendlich viele enthalten.

Schon. Aber wenn man eben für den Schnitt ALLE Endabschnitte "berücksichtigt", dann sind dann eben auch ALLE natürlichen Zahlen "entfallen". Mit anderen Worten, die Schnittmenge (S) ist leer.

Hinweis: Für *jedes* n e IN gilt, dass n !e S ist, WEIL es eben für jedes n e IN einen Endabschnitt gibt, der n NICHT enthält. (Mit anderen Worten: KEINE natürliche Zahl ist in ALLEN Endabschnitten enthalten.)

Eigentlich WIRKLICH ein trivialer Sachverhalt.

(Tatsächlich ist JEDE natürliche Zahl NUR in endlich vielen Endabschnitten enthalten. Die Zahl 1 nur in E_1, die Zahl 2 nur in E_1 und E_2, die Zahl 3 nur in E_1, E_2, E_3, usw. Generell die Zahl n nur in E_1, ..., E_n. Ist das SO SCHWER zu verstehen?)

[ich]

Am Mittwoch, 14. November 2018 14:12:31 UTC+1 schrieb WM:

> Sollte Dir das gelingen, so würde ich alle Hirnschadensberichte zurücknehmen
> und auf mich beziehen.

*lol* Das ist keinewegs nötig.

ABER ...schauen Sie Herr Mückenheim... Sie werden dieses Gegenbeispiel ohnehin nicht als solches anerkennen, da es ganz und gar auf mengentheoretischen Überlegungen (und "Methoden") basiert.

WENN man allerdings -for the sake of the argument- die Methoden und "Annahmen" (Axiome) der ML akzeptiert, dann soltte dieses Gegenbeispiel in der Tat das gewünschte leisten.

[ich]

Am Mittwoch, 14. November 2018 13:47:36 UTC+1 schrieb WM:
> Am Dienstag, 13. November 2018 23:31:18 UTC+1 schrieb ich:
> > Am Dienstag, 13. November 2018 10:58:12 UTC+1 schrieb ich:
> >
> > An,m e IN: |M(n) ∩ M(m)| = aleph_0; daher
> > An e IN: card(Schnitt{M(k) : k e {1, .., n}} = aleph_0 .
> >
> > Die Frage, die sich stellt, ist, stimmt wenigstens das? (Ist das ein
> > korrekter Schluss?)
> >
> Jawoll.

Die im Kontext der ML richtige/korrekte Antwort scheint eher ein 'Nein' zu sein, denn:

> > Ich denke [...], dass ich ein Gegenbeispiel konstruieren (angeben) kann,

> > also Mengen M(k), mit k e IN, angeben kann, so dass zwar
> >
> > An,m e IN: |M(n) ∩ M(m)| = aleph_0
> >
> > gilt (beweisbar ist), aber
> >
> > An e IN: card(Schnitt{M(k) : k e {1, .., n}} = aleph_0
> >

> > nicht gilt, also

> >
> > ~(An e IN: card(Schnitt{M(k) : k e {1, .., n}} = aleph_0
> >

> > beweisbar ist.

> >
> Das ist eine erfreuliche Entwicklung. Zum erstenmal spürt man sowas wie
> Mathematik im Dschungel matheologischer Behauptungen.

Ja, sehe ich auch so. Allerdings muss man an dieser Stelle auch fragen, wer denn hier der Hauptverantwortliche für diesen "Dschungel an matheologischen Behauptungen" ist. :-)

Aber als gute Sportsmänner wollen wir das hier nicht weiter vertiefen (und uns lieber mathematischen Fragestellungen zuwenden).

[ich]

Am Mittwoch, 14. November 2018 00:59:37 UTC+1 schrieb ich:

Wir hatten bisher:

> In einem ersten Schritt zerlege ich IN in (abzählbar) unendlich viele
> (abzählbar) unendliche Mengen. Dazu schreibe ich die natürliche Zahlen
> einfach der Reihenfolge nach in eine "unendliche Matrix" (angelehnt an
> Cantors Diagonalverfahren):
>
> 1 2 6 7 15 16 ...
> 3 5 8 14 17 ...
> 4 9 13 18 ...
> 10 12 19 ...
> 11 20 ...
> 21 ...
> :
>
> Wenn wir nun die Zahlen in den Zeilen (oder die Zahlen in den Spalten) zu
> (abzählbar unendlichen) Mengen "zusammenfassen", erhalten wir (abzählbar)

> unendlich viele disjunkt Mengen: {1, 2, 6, 7, 15, 16, ...}, {3, 5, 8, 14, 17,

> ...}, {4, 9, 13, 18, ...} usw.
>
> Wenn diese Mengen noch "indiziert" werden (z. B. jede Menge mit dem "Index"
> der Zeile, die zu ihrer Bildung herangezogen wurde), dann haben wir jetzt

> also die Mengen M_1 = {1, 2, 6, 7, 15, 16, ...}, M_2 = {3, 5, 8, 14, 17,

> ...}, M_3 = {4, 9, 13, 18, ...} usw.
>
> Es gilt dann (vorerst):
>
> (a') An,m e IN: M(n) ∩ M(m) = {}.
>
> Das ist natürlich noch nicht ganz das, was wir wollen. :-)
>
> Aber es gilt auch:
>

> (b') An,m,k e IN: n < m < k -> |M(n) ∩ M(m) ∩ M(k)| = 0

>
> Das würde ja schon mal passen.

Nun wiederholen wir das Verfahren mit der Menge M_1.

Wir zerlegen M_1 in (abzählbar) unendlich viele (abzählbar) unendliche Mengen. Dazu schreiben wir die natürliche Zahlen aus M_1 einfach "geordnet nach der Größe" in eine "unendliche Matrix" (angelehnt an Cantors Diagonalverfahren):

1 2 16 ...
6 15 ...
7 ...
:

Wenn wir nun die Zahlen in den Zeilen (oder die Zahlen in den Spalten) zu (abzählbar unendlichen) Mengen "zusammenfassen", erhalten wir wieder (abzählbar) unendlich viele disjunkt Mengen: {1, 2, 16, ...}, {6, 15, ...}, {7, ...} usw.

Wir indizieren diese Mengen wieder und nennen sie z. B. M^1_1 = {1, 2, 16, ...}, M^1_2 = {6, 15, ...}, M^1_3 = {7, ...} usw.

Nun vereinigen wir diese Mengen der Reihe nach mit den Mengen M_2, M_3, usw. und zwar wie folgt:

M_2 u M^1_1, M_3 u M^1_2, M_3 u M^1_3 usw.

Generell: M_(n+m) u M^n_m (für n = 1 und m = 1, 2, 3, ...)

Um den "Auswirkung" dieser Operation(en) beurteilen zu können, vergeben wir jetzt für die Mengen neue Namen:

K_1 = M_1
K_2 = M_2 u M^1_1
K_3 = M_3 u M^1_2
usw.

Es gilt dann:

(a'') Am e IN: |K_1 ∩ K_m| = aleph_0 .

Da aber weiterhin K_i n K_j = {} gilt für i,j e {2, 3, ...} gilt auch

(b'') Am,k e IN: 1 < m < k -> |K(1) ∩ K(m) ∩ K(k)| = 0 .

Weiter:

Nun wiederholen wir das Verfahren mit der Menge M_2.

[...]

Wir indizieren diese Mengen wieder und nennen sie z. B. M^2_1 = {3, 5, ...}, M^2_2 = {8, 17, ...}, M^2_3 = {14, ...} usw.

Nun vereinigen wir diese Mengen der Reihe nach mit den Mengen K_3, K_4, usw. und zwar wie folgt:

K_3 u M^2_1, K_4 u M^2_2, K_5 u M^2_3 usw.

Generell: K_(n+m) u K^n_m (für n = 2 und m = 1, 2, 3, ...)

Um wieder den "Auswirkung" dieser Operation(en) beurteilen zu können, vergeben wir jetzt für die Mengen neue Namen:

L_1 = K_1 = M_1
L_2 = K_2 = M_2 u M^1_1
L_3 = K_3 u M^2_1 = M_3 u M^1_2 u M^2_1
L_4 = K_4 u M^2_2 = M_4 u M^1_3 u M^2_2
usw.

Es gilt dann:

(a''') An e {1,2} Am e IN: |K_n ∩ K_m| = aleph_0 .

Wie man sich leicht überlegt, gilt auch:

(b''') An e {1,2} Am,k e IN: n < m < k -> |K(n) ∩ K(m) ∩ K(k)| = 0 .

Dieses Verfahren sei nun für alle Mengen M_i durchgeführt worden.

Wir betrachten nun die Mengen:

E_1 = M_1
E_2 = M_2 u M^1_1
E_3 = M_3 u M^1_2 u M^2_1
E_4 = M_4 u M^1_3 u M^2_2 u M^3_1
E_5 = M_5 u M^1_4 u M^2_3 u M^3_2 u M^4_1
:

Es gilt (wegen M^n_m c M_n für alle n,m e IN):

(a*) An,m e IN: |E_n ∩ E_m| = aleph_0 .

Und, wie man sich leicht überlegt*):

(b*) An,m,k e IN: n < m < k -> |E_n ∩ E_m ∩ E_k| = 0 .

*) Man beachte (1) M^n_m n M^k_l = {} für alle n,m,k,l e IN mit n =/= k oder m =/= l sowie (2) M^n n M^k_l = {} für alle n,k,l e IN mit n =/= k und (3) M_n n M_m = {} für alle n,m e IN mit n =/= m.

Die Glieder der Folge (E_i) liefern also das gesuchte Gegenbeispiel:

Je zwei Mengen E_n und E_m haben aleph_0 Elemente gemein, aber je drei (paarweise) verschiedene Mengen E_n, E_m und E_k haben KEINE gemeinsamen Elemente.

Um einen konkreten Fall herauszugreifen:

Es gilt: |E_1 n E_2| = |E_1 n E_3| = |E_2 n E_3| = aleph_0, aber |E_1 ∩ E_2 ∩ E_3| = 0 .

[ich]

Am Mittwoch, 14. November 2018 13:58:02 UTC+1 schrieb WM:

> So wie alle Anfangsabschnitte nicht IN sein können

Schwurbel, schwurbel.

Ja, kein Anfangsabschnitt ist IN. Mit anderen Worten: für jeden Anfangsabschnitt gilt, dass er ungleich IN ist:

An e IN: A_n =/= IN .

Die Vereinigung aller Anfangsabschnitte ist aber gleich IN. :-)

Hinweis: Keine natürliche Zahl "fehlt" in der Vereinigung aller Anfangsabschnitte. 1 e A_1, 2 e A_2, 3 e A_3 usw.

Allgemein: An e IN: n e A_n. Daher ist {1, 2, 3, ...} c U{A_n : n e IN}. (Und wegen U{A_n : n e IN} c IN also: U{A_n : n e IN} = IN.)

@Mückenheim: Wenn Sie einmal, satt zu schwurbeln, sich eine der Mengenlehre angemessenen Sprache befleißigen würden, könnten Sie vielleicht diverse mengentheoretische Sachverhalte erstmals einigermaßen RICHTIG verstehen.

Es ist z. B ein UNTERSCHIED, ob man sagt:

An e IN: Em e IN: m > n
oder
Em e IN: An e IN: m > n .

Und "alle" im Sinne eines Allquantors, der sich auf "Individuen" bezieht, ist etwas grundsätzlich anderes als "alle (zusammen)" im Sinne einer Zusammenfassung (math. Vereinigung).

Es gilt zwar

An e IN: A_n =/= IN ,
aber
U{A_n : n e IN} = IN .

Wenn wir statt der Anfangsabschnitte Singleton-Mengen der Elemente in IN betrachten, dann wird das vielleicht deutlicher:

Es gilt zwar

An e IN: {n} =/= IN ,
aber
U{{n} : n e IN} = IN .

Anschaulich:

{1} =/= IN, {2} =/= IN, {3} =/= IN, ... ,
aber
{1} u {2} u {3} u ... = IN .
:-)

[Diedrich Ehlerding]

WM schrieb am 14.11.2018 um 11:41:

>> Ich argumentiere jetzt mal à la WM: : die Vereinigung zweier Mengen ist
>> kommutativ. Jeder anfangsabschnitt A_n= {1, 2, 3...,n} hat endlich viele
>> Elemente, auch die Vereinigung zweier Anfangsabschnitte hat endlich
>> viele Elemente. "Daher" besitzt "jede" Vwereinigung von
>> anfangsabschnitten nur endlich viele Elemente. Auch die Vereinigung
>> _aller_ Anfangsabschnitte, also IN.
>
> Richtig.

Au weia, du bestätigst diesen Unsinn auch noch?

> Auch eine unendliche Vereinigung von Mengen mit grünen Elementen ergibt> keine rote Menge.

Rot und grün sind in der Mathematik genau wie definiert?

Aber die unendliche Vereinigung endlicher Mengen kann eine unendliche
Menge ergeben. Sogar die Vereinigung einelementiger Mengen. Etwa die
Vereinigung von {1}, {2}, {3}, .... Beweis, dass sie unendlich ist, ist
einfach: es gibt eine Bijektion zu IN.

> In gewissem Sinne aber auch falsch. Denn die Vereinigung ist nicht |N,

sondern? Gib doch mal ein Element an, das in IN, aber nicht in der
Vereinigung enthalten ist, oder umgekehrt. Wenn du das nicht kannst,
sind IN und die o.g. Vereinigungsmenge identisch.

> sonder |N ist allenfalls Grenzwert.

Und dieser Grenzwert _ist_ die Vereinigung all der Anfangsabschnitte.

>> Kurz: Im Mückeversum hat IN nur endlich viele Elemente, aleph_0 ist endlich.
>
> Falsch.

Definiere einfach aleph_0=card({1 u {2} u {3}, ...). Ist das nun endlich
oder nicht?

> Aber das Argument hast Du schon recht erkannt.

Ja, ich fürchte auch, dass ich erkannt habe, wie unsiinig du argumentierst.

[Detlef Müller]

Am 14.11.18 um 00:59 schrieb ich:

> {3, 5, 8, 14, 17 ....}, M_3 = {4, 9, 13, 18, ...} usw.

> Es gilt dann (vorerst):

> (a') An,m e IN: M(n) ∩ M(m) = {}.

> Das ist natürlich noch nicht ganz das, was wir wollen. :-)

> Aber es gilt auch:

> (b) An,m,k e IN: n < m < k -> |M(n) ∩ M(m) ∩ M(k)| = 0

> Das würde ja schon mal passen.

Meine Fortsetzung wäre nun so (nur eine Skizze):

Wir wählen Zu M(n) ={m_{n,i}, i\in IN} folgende Ausdünnungen:

D_{m,k} := {m_{n,(p_k)^i}, i\in IN}, wobei p_k die k-te Primzahl sei.

Und merken an, daß für k <> l dann D_{m,k} und D_{n,l} paarweise
disjunkt sind aber andererseits alle D_{m,k} unendliche Mengen
sind. (Eine Art "Orthogonalität" auf der die Konstruktion beruht.)

Nun setzen wir
R(1) := M(1)
R(2) := M(2) u D_{1,1}
R(3) := M(3) u D_{1,2} u D_{2,1}
R(4) := M(4) u D_{1,3} u D_{2,2} u D_{3,1}
...
R(t) := M(t) u D_{1,t-1} u D_{2,t-2} u ... u D(t-1,1)
...

Für r>s>=1 ist dann R(r) geschnitten mit R(s) gerade D(s,r-s), was
eine unendliche Menge ist.

Für r>s>t ist R(r) geschnitten mit R(s) wieder D(s,r-s).

Nun ist R(t) = M(t) u D_{1,t-1} u D_{2,t-2} u ... u D(t-1,1)
nach Konstruktion.
Sei nun aus R(t) geschnitten M(t), also aus D(s,r-s).

Wegen x aus D(s,r-s) liegt x in M(s), also nicht in M(t), da
ja die M(n), n aus IN disjunkt sind.

Da aber (s,r-s) <> (k,t-k) ist für k = 1..t-1 (die Komponenten
summieren sich zu verschiedenen Zahlen r bzw. t auf), liegt x
in keinem der D_{1,t-1}, D_{2,t-2}, ..., D(t-1,1).

Also liegt x nicht in R(t), es folgt daß der Schnitt von
R(r), R(s) und R(t) für paarweise verschiedene r,s,t stets
leer ist.

Gruß,
Detlef

--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

[Detlef Müller]

Am 14.11.18 um 17:44 schrieb Detlef Müller:

> Am 14.11.18 um 00:59 schrieb ich:

...

>   D_{m,k} := {m_{n,(p_k)^i}, i\in IN}, wobei p_k die k-te Primzahl sei.

> Und merken an, daß für k <> l dann D_{m,k} und D_{n,l} paarweise

oops, natürlich für (m,k) <> (n,l).
In der ersten Komponente, wegen M(m) und M(n) disjunkt und in der
zweiten, da p^i, q^j für verschiedene Primzahlen p,q und i,j >=1
niemals gleich sind (und die Folgen m_{n,i} in i streng monoton
wachsen).

> disjunkt sind ...

[WM]

Am Mittwoch, 14. November 2018 16:46:47 UTC+1 schrieb ich:


> Um einen konkreten Fall herauszugreifen:
>
> Es gilt: |E_1 n E_2| = |E_1 n E_3| = |E_2 n E_3| = aleph_0, aber |E_1 ∩ E_2 ∩ E_3| = 0 .

Das ist eine wirklich schöne Konstruktion. Ich sehe überhaupt keinen Grund, sie wegen Verwendung mengentheoretischer Methoden zu bezweifeln oder gar abzulehnen. Allein, für inklusionsmonotone Mengenfolgen geht das nicht.

Gruß, WM

[WM]

Am Mittwoch, 14. November 2018 17:12:15 UTC+1 schrieb ich:


> Es ist z. B ein UNTERSCHIED, ob man sagt:
>
> An e IN: Em e IN: m > n
> oder
> Em e IN: An e IN: m > n .

Es ist ebenso ein Unterschied, ob man sagt:

∀ A ⊆ ℕ ∃ B ⊆ ℕ: A ⊆ B
oder
∃ B ⊆ ℕ ∀ A ⊆ ℕ : A ⊆ B

>
> Es gilt zwar
>
> An e IN: A_n =/= IN ,
> aber
> U{A_n : n e IN} = IN .

Das ist nicht möglich. Denn zwischen jedem Anfangsabschnitt und |N liegen unendlich viele natürliche Zahlen. Es ist bekannt, dass omega keinen Vorgänger hat. Würde omega aktual existieren und erreicht (zum Beispiel im Rahmen einer Mengenvereinigung), dann würde natürlich der Vorgänger und unendlich viele Vorvorgänger einbezogen werden müssen, was nicht der Fall sein kann.

>
> Wenn wir statt der Anfangsabschnitte Singleton-Mengen der Elemente in IN betrachten, dann wird das vielleicht deutlicher:

Im Gegenteil. Die Unmöglichkeit wird verschleiert. Deswegen haben Cantor und alle seine Adepten, die sich über Anfangsabschnitte noch keine Gedanken gemacht haben, es wohl noch geglaubt.

>
> Es gilt zwar
>
> An e IN: {n} =/= IN ,
> aber

> {1} u {2} u {3} u ... = IN .

Das ist ausgeschlossen, da jede natürliche Zahl einen Nachfolger besitzt. Siehe dazu meine Repräsentation https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/HI/HI12.PPT, Folie 55.

Gruß, WM

[WM]

Am Mittwoch, 14. November 2018 17:35:49 UTC+1 schrieb Diedrich Ehlerding:
> WM schrieb am 14.11.2018 um 11:41:
>
> >> Ich argumentiere jetzt mal à la WM: : die Vereinigung zweier Mengen ist
> >> kommutativ. Jeder anfangsabschnitt A_n= {1, 2, 3...,n} hat endlich viele
> >> Elemente, auch die Vereinigung zweier Anfangsabschnitte hat endlich
> >> viele Elemente. "Daher" besitzt "jede" Vwereinigung von
> >> anfangsabschnitten nur endlich viele Elemente. Auch die Vereinigung
> >> _aller_ Anfangsabschnitte, also IN.
> >
> > Richtig.
>
> Au weia, du bestätigst diesen Unsinn auch noch?

Aber nein, ich lehne ihn doch ausdrücklich ab.

>
> > Auch eine unendliche Vereinigung von Mengen mit grünen Elementen ergibt> keine rote Menge.
>
> Rot und grün sind in der Mathematik genau wie definiert?

Zum Beispiel kann man damit endlich und unendlich unterscheiden.

>
> > In gewissem Sinne aber auch falsch. Denn die Vereinigung ist nicht |N,
>
> sondern? Gib doch mal ein Element an, das in IN, aber nicht in der
> Vereinigung enthalten ist, oder umgekehrt. Wenn du das nicht kannst,
> sind IN und die o.g. Vereinigungsmenge identisch.

Man kann nur identifizierbare Zahlen angeben. Jede solche Zahl besitzt endlich viele Vorgänger aber unendlich viele Nachfolger, von denen lediglich endlich viel identifizierbar sind. Das sollte doch nicht so schwer zu begreifen sein!

>
> > sonder |N ist allenfalls Grenzwert.
>
> Und dieser Grenzwert _ist_ die Vereinigung all der Anfangsabschnitte.

Nein. So wie die Null nicht durch 1/n darstellbar ist und 1 nicht die Summe der Reihe (1/2)^n ist, ist |N nicht die Vereinigung der Anfangsabschnitte. Allerdings ist hier die Divrgenz noch wesentlich größer. 1/n kommt beliebig nahe an die 0 heran. Die Anfangsabschnitte bleiben alle unendlich weit von omega entfernt.

>
> >> Kurz: Im Mückeversum hat IN nur endlich viele Elemente, aleph_0 ist endlich.
> >
> > Falsch.
>
> Definiere einfach aleph_0=card({1 u {2} u {3}, ...). Ist das nun endlich
> oder nicht?

Es ist endlich aber nicht durch eine endliche Zahl beschränkt. Deswegen ist oo eine bessere Bezeichnung.

Erklärung: Aus der dunklen Zahlenmaterie kann man beliebig viele natürliche Zahlen herauslösen, indem man sie identifiziert. Trotzdem bleiben unendlich viele im Dunkeln.

Beispiel: Alle Endabschnitte besitzen unendlich viele Zahlen. Trotzdem kann man alle identifizierbaren Zahlen durch Schnittbildung herauslösen.

E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ ... enthält keine identifizierbare Zahl, denn jede ist ja entfallen. Trotzdem sind noch fast alle Zahlen darin.

Gruß, WM

[ich]

Ja, da hast Du Recht. Diese "Bedingung" erlaubt natürlich kein Gegenbeispiel mehr. Man nimmt sie also besser gleich mit auf:

An e IN: M(n+1) c M(n) & <<<< neu hinzugekommen

An,m e IN: |M(n) ∩ M(m)| = aleph_0; daher

An e IN: |Schnitt{M(k) : k e {1, .., n}}| = aleph_0 .

Man kann dann leicht zeigen, dass das gilt:

Wegen An e IN: M(n+1) c M(n) ist An e IN: Schnitt{M(k) : k e {1, .., n}} = M(n). Und aus An,m e IN: |M(n) ∩ M(m)| = aleph_0 erhält man speziell: An e IN: |M(n))| = aleph_0. Also folgt: An e IN: |Schnitt{M(k) : k e {1, .., n}}| = aleph_0.

Der folgende "Schluss" ist aber weiterhin NICHT gültig:

An e IN: M(n+1) c M(n) &
An,m e IN: |M(n) ∩ M(m)| = aleph_0; daher

|Schnitt{M(k) : k e {1, 2, 3, ...}}| = aleph_0 .

Die Terme der Folge (E_i)_(i e IN) mit E_i = {m e IN : m >= n} (für i e IN) liefern hier ein einfaches Gegenbeispiel.
________________

Natürlich gibt es auch Mengen M_i, so dass

An e IN: M(n+1) c M(n) &
An,m e IN: |M(n) ∩ M(m)| = aleph_0

und

|Schnitt{M(k) : k e {1, 2, 3, ...}}| = aleph_0

wahr sind. Man wähle z. B. M_i = IN für alle i e IN. (Selbst wenn man "c" als Bezeichnung für "echte Teilmengen" ansieht ändert sich nichts daran, dass der Schluss nicht gültig ist, es aber durchaus auch Beispiele gibt, für die sowohl die "Prämisse(n)" als auch den "Schlusssatz" wahr sind.)

[ich]

Am Mittwoch, 14. November 2018 17:44:12 UTC+1 schrieb Detlef Müller:

> Wir wählen Zu M(n) ={m_{n,i}, i\in IN} folgende Ausdünnungen:
>
> D_{m,k} := {m_{n,(p_k)^i}, i\in IN}, wobei p_k die k-te Primzahl sei.

Jep. Über diese Art des "Herausfilterung" (oder Extrahierens) habe ich auch schon nachgedacht. Das ist eleganter und technisch wohl "einfacher" als mein (wiederholtes) "Verfahren" mit der "Matrix".

Danke.

[ich]

Am Mittwoch, 14. November 2018 18:33:40 UTC+1 schrieb WM:
> Am Mittwoch, 14. November 2018 17:12:15 UTC+1 schrieb ich:
> >
> > Es ist z. B ein UNTERSCHIED, ob man sagt:
> >

> > An e IN: Em e IN: m > n (*)
> > oder
> > Em e IN: An e IN: m > n . (**)

Vor allem deshalb, weil (*) gilt (beweisbar ist) und (**) nicht gilt (nicht beweisbar ist).

Man darf also im allgmeinen aus

An Em Phi(n, m) (a)
NICHT auf
Em An Phi(n, m) (b)
schießen.

Siehe:
http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/oi/authority.20110803100357607

Gleichwohl kann es Fälle geben, wo sowohl An Em ... als auch Em An ... gilt (beweisbar ist).

> Es ist ebenso ein Unterschied, ob man sagt:
>
> ∀A ⊆ ℕ ∃B ⊆ ℕ: A ⊆ B
> oder
> ∃B ⊆ ℕ ∀A ⊆ ℕ: A ⊆ B

Ja, es IST ein Unterschied, aber hier (in diesem Fall) gelten ("zufällig") beide Aussagen.

∀A ⊆ ℕ ∃B ⊆ ℕ: A ⊆ B. Denn sei A0 eine beliebige Teilmenge von ℕ, dann gilt A0 ⊆ A0. Es gibt also eine Teilmenge B von ℕ (nämlich A0) so dass gilt: A0 ⊆ B. Da A0 eine beliebige Teilmenge von ℕ war, gilt das für alle Teilmengen von ℕ. Also: ∀A ⊆ ℕ ∃B ⊆ ℕ: A ⊆ B.

∃B ⊆ ℕ ∀A ⊆ ℕ: A ⊆ B. Sei A0 eine beliebige Teilmenge von ℕ. Es gilt dann also: A0 ⊆ ℕ. Da A0 eine beliebige Teilmenge von ℕ war, gilt das für alle Teilmengen von ℕ. Also: ∀A ⊆ ℕ: A ⊆ ℕ. Mit ℕ ⊆ ℕ gibt es dann also eine Teilmenge B von ℕ (nämlich ℕ) so dass gilt: ∀A ⊆ ℕ: A ⊆ B. Also: ∃B ⊆ ℕ ∀A ⊆ ℕ: A ⊆ B.

Man kann das natürlich auch etwas abkürzen: Es gilt: ∀A ⊆ ℕ: A ⊆ ℕ (wegen FOPL |- Ax(Fx -> Fx)). Mit ℕ ⊆ ℕ gibt es dann also eine Teilmenge B von ℕ (nämlich ℕ) so dass gilt: ∀A ⊆ ℕ: A ⊆ B. Also: ∃B ⊆ ℕ ∀A ⊆ ℕ: A ⊆ B.

Nachdem wir das nun geklärt haben, weiter.

> > Es gilt zwar
> >
> > An e IN: A_n =/= IN ,
> > aber
> > U{A_n : n e IN} = IN .
> >
> Das ist nicht möglich.

Das ist nicht nur "möglich", sondern es *ist* sogar so. Jedenfalls im Kontext der ML sind das beweisbare Sätze.

> [Unsinn gelöst]

Tut mir Leid, Herr Mückenheim, aber es lohnt sich wirklich nicht auf das einzugehen. Ich sehe da keine rationale Aussage, bei der man ansetzen könnte.

> > Wenn wir statt der Anfangsabschnitte Singleton-Mengen der Elemente in IN
> > betrachten, dann wird das vielleicht deutlicher:
> >
> Im Gegenteil.

<Achselzuck> Wenn Sie es sagen.

> > Es gilt zwar
> >
> > An e IN: {n} =/= IN ,
> > aber
> > {1} u {2} u {3} u ... = IN .
> >

> Das ist ausgeschlossen, da <bla>

Nein es ist nicht ausgeschlossen, sondern ein TRIVIALER mengentheoretischer Sachverhalt.

Wie hier schon angemerkt wurde: Man kann sich das anschaulich recht einfach begreiflich machen. Man muss sich dazu lediglich in der Formel "{1} u {2} u {3} u ..." (die man sich als unendlich lang denken muss) jedes Auftreten von "} u {" ersetzt denken durch ", ". Das "Resultat" sollte dann wohl sein:

{1, 2, 3, ...} = IN .

Das müsste selbst Ihnen einleuchten.

"Rechtfertigen" kann man das dadurch, dass man sich klar macht, dass die "Bildung" der Vereinigungsmenge aus z. B. den Mengen {a}, {b}, {c} genau diesen "Effekt" hat:

{a} u {b} u {c} = {a, b, c} .

Die Vereingungsoperation "schält" sozusagen Elemente aus den sie enthaltenden Mengen heraus:

U{{1}, {2}, {3}, ...} = {1, 2, 3, ...} . (*)

(*) ist -wie schon gesagt- im Kontext der ML formal beweisbar. "Gilt" hier also.

Hinweis: "{1} u {2} u {3} u ..." ist nur eine andere ("anschauliche") Schreibweise für den "korrekteren" Ausdruck "U{{1}, {2}, {3}, ...}". Wobei auch dieser eigentlich formal korrekt so geschrieben werden müsste: U{{k e IN : k = n} e P(IN): n e IN}}. Abgekürzt: U{{n} : n e IN}}.

[burs...@gmail.com]

Dass es keine Zahlen mehr hat in E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ ...
kann man mit der unendlichen Differenz errechnen.

Die lässt sich wie folgt definieren, das ist
der Schwund von u X nach n X:

/_\ X := { x | exists y (y in X /\ x in y) /\
exists y (y in X /\ ~(x in y)) }

Man hat nun sofort:

u {E1,E2,...} = N

/_\ {E1,E2,...} = N

Und somit:

n {E1,E2,...} = u {E1,E2,...} \ /_\ {E1,E2,...}

= N \ N

= {}

Also der unendlche Schnitt weisst keine Elemente auf,
da alle Elemente verschwinden. /_\ X weisst aus was
verschwindet. /_\ X ergibt N, da ja E_n echte Teilmenge

von E_n+1. Die Bedinung für die Elemente von /_\ X
ist daher für alle n erfüllt, da n in E_n aber
n nicht in E_n.

https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_difference

[burs...@gmail.com]

Corr.:

von E_n+1. Die Bedinung für die Elemente von /_\ X
ist daher für alle n erfüllt, da n in E_n aber

n nicht in E_n+1.

[ich]

Am Mittwoch, 14. November 2018 18:47:13 UTC+1 schrieb WM:

> > Und dieser Grenzwert [der Mengenfolge der Anfangsabschnitte] _ist_

> > die Vereinigung all der Anfangsabschnitte.

Jep.

> Nein.

Doch, doch. Und zwar wegen der Monotonie der Mengenfolge der Anfangsabschnitte:

Es gilt:

lim A_n = U{A_n : n e IN}
n->oo

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergente_Mengenfolge#Konvergenz_monotoner_Mengenfolgen

> IN [ist] nicht die Vereinigung der Anfangsabschnitte.

Doch, ist sie. Aber ich bin zu faul, um den TRVIALEN Beweis hier hinzuschreiben.

> Die Anfangsabschnitte bleiben alle unendlich weit von omega entfernt.

In der Tat. Aber die Vereinigung ALLER Anfangsabschnitte *ist* dann IN (bzw. nach von Neumann omega). Sapperlot!

> > > card({1} u {2} u {3}, ...). Ist das nun endlich oder nicht?
> > >

> Es ist endlich [...]

Nein, es ist nicht endlich, also eine endliche Kardinalzahl. So etwas gibt es nur im Mückenland. Im Rahmen der ML ist

card({1} u {2} u {3}, ...) = card(IN) = aleph_0 ,

also die erste (kleinste) unendliche Kardinalzahl, weil

{1} u {2} u {3}, ... = IN

ist.

[Diedrich Ehlerding]

WM schrieb am 14.11.2018 um 18:47:

> Man kann nur identifizierbare Zahlen angeben. Jede solche Zahl besitzt
> endlich viele Vorgänger aber unendlich viele Nachfolger, > von denen lediglich endlich viel identifizierbar sind.

Ich bin fasziniert.

Ich gehe mal sicherlich davon aus, dass die 1 eine identifizierbare
natürliche Zahl ist. (Anderswo hast du ja gesagt "hate eine
Dezimaldarstellung" ist gleichbedeutend mit "identifizierbar". Alsdann:
1=1·10⁰; OK, ist also identifizierbar.)

Die 1 hat also unendlich viele Nachfolger. (Ja, da sind wir uns einig;
alle natürlichen Zahlen > 1 sind Elemente von E_1). Ich nehme nun zur
Kenntnis: die 1 hat aber nur endlich viele identifizierbare Nachfolger,
also nach deiner Ansicht nur endlich viele mit einer angebbaren
Dezimaldarstellung.

Nun, eine von diesen endlich vielen ist dann der größte identifizierbare
Nachfolger der 1. Nehmen wir also diese Zahl her und schauen uns deren
Nachfolger an - der ist (weil unsere Zahl ja die größte identifizierbare
Nachfolgerin der 1 ist) nicht identifizierbar, hat also keine
Dezimaldarstellung. Ups - wieso das denn nicht; man kann ihre
Darstellung doch ausrechnen?

Das sollte doch nicht so schwer zu begreifen sein!

Ja, es sollte in der Tat nicht allzu schwer zu begreifen sein, dass du
hier Unsinn ezrählst. Ein Beispiel noch:

>>> Auch eine unendliche Vereinigung von Mengen mit grünen Elementen
>>> ergibt keine rote Menge.
>>
>> Rot und grün sind in der Mathematik genau wie definiert?
>
> Zum Beispiel kann man damit endlich und unendlich unterscheiden.

Ah ja, so stellst du dir also eine mathematische Definition vor.

Ich gebs besser auf.

[WM]

Man könnte sogar überabzähbare Mengen verwenden, nämlich das Einheitsintervall durch eine Folge wie (1/n) in abz. unendlich viele Intervalle teilen, dann jedes dieser Intervalle (1/n, 1/(n+1)) abermals durch eine solche Folge in abz. unendlich viele Intervalle teilen und diese so wie die Teilstreifen der Matrix vereinigen.

Gruß, WM

[WM]

Am Mittwoch, 14. November 2018 20:17:07 UTC+1 schrieb Diedrich Ehlerding:
> WM schrieb am 14.11.2018 um 18:47:


> Die 1 hat also unendlich viele Nachfolger. (Ja, da sind wir uns einig;
> alle natürlichen Zahlen > 1 sind Elemente von E_1). Ich nehme nun zur
> Kenntnis: die 1 hat aber nur endlich viele identifizierbare Nachfolger,
> also nach deiner Ansicht nur endlich viele mit einer angebbaren
> Dezimaldarstellung.

Versuche das Gegenteil zu zeigen.

>
> Nun, eine von diesen endlich vielen ist dann der größte identifizierbare
> Nachfolger der 1. Nehmen wir also diese Zahl her

Diese Zahl gibt es nicht. Sobald Du eine Zahl hernimmst, kannst Du das doppelte oder 10^100000fache hernehmen. Und davon wieder und wieder. Die identifizierbaren Zahlen bilden schon eine erkleckliche Menge. Aber das ist nichts gegen die Unendlichkeit. Kann man sich nur schwer vorstellen, ist aber so.

>
> >>> Auch eine unendliche Vereinigung von Mengen mit grünen Elementen
> >>> ergibt keine rote Menge.
> >>
> >> Rot und grün sind in der Mathematik genau wie definiert?
> >
> > Zum Beispiel kann man damit endlich und unendlich unterscheiden.
>
> Ah ja, so stellst du dir also eine mathematische Definition vor.
>

Wenn Du so etwas möchtest, hier ist es: Wenn Du ein rotes Element anschaust, so hast Du einen roten Farbeindruck. Wenn Du ein grünes Element anschaust, so hast Du einen grünen Farbeindruck. Man könnte nun noch darauf hinweisen, dass ausreichende Beleuchtung vorhanden sein muss und dass die Farbeindrücke von der Emission der reinen Farben oder der Absorption der Komplementärfarben erzeugt werden können. Falls Du Verständnisschwierigkeiten hast, will ich darauf gern noch näher eingehen.

Gruß, WM

[burs...@gmail.com]

Das Problem ist dass der Schwund eine Limit Eigenschaft hat,
also auch als ein potentieller Prozess angesehen werden kann.

Es ist also Wurst wie weit die Taschenlampe in den Nebel
hinein reicht, wir haben:

lim n->oo n {E1,...,En} = {}

N \ lim n->oo /_\ {E1,...,En} = N \ N = {}

Wenn die Tachenlampe nicht unendlich weit Leuchtet ist weder
der Schwund N noch ist der Schnitt {}, aber das wissen

wir alle. Ist ja nichts Neues.

[burs...@gmail.com]

Daraus lässt sich leider keine Antinomie der
Mengenlehre basteln. Sie müssten schon mit einer

Taschenlampe hantieren, die irgendwie eine der
beiden Sachen bevorzugt behandelt, z.B. den Schwund

oder den Schnitt. Aber das läuft ja parallel.

[burs...@gmail.com]

Vielleicht liegt ja das Augsburg Crank institut
auf einem Meridian, wo parallel nicht parallel ist.
Weiss man ja nie, bei Volkswagen Omlette...

[ich]

Am Mittwoch, 14. November 2018 20:41:45 UTC+1 schrieb WM:

> Die identifizierbaren Zahlen <brabbel>

Niemand interessiert sich für Ihre "identifizierbaren" Zahlen, Herr Mückenheim. Im Rahmen der klassischen Mathematik bzw. Mengenlehre spielen Sie keine Rolle.

Hat man Sie schon mal danach gefragt, wie das Prädikat /identifizierbar/ auf IN definiert ist?

Gesucht ist also ein mengentheoretischer Ausdruck der in

identifizierbar(n) :<-> ...n... (n e IN)

das "...n..." ersetzt.

Nur als Beispiel für solche Definitionen:

gerade(n) :<-> Ek e IN: n = 2*k (n e IN) .

Wenn Sie das geleistet haben, können Sie dann zeigen, welche interessanten Sätze aus dieser Definition folgen.

[WM]

Am Mittwoch, 14. November 2018 20:58:40 UTC+1 schrieb ich:

> Hat man Sie schon mal danach gefragt, wie das Prädikat /identifizierbar/ auf IN definiert ist?

Die Zahl x ist identifizierbar <==> für x kann eine Dezimaldarstellung gefunden werden.

Die Zahl n ist isolierbar <==> n kann als erste Zahl eines Endabschnittes auftreten.

> Wenn Sie das geleistet haben, können Sie dann zeigen, welche interessanten Sätze aus dieser Definition folgen.

Isolierbare oder identifizierbare Zahlen bilden eine potentiell unendliche Menge. Sie können im unendlichen Schnitt der Endsegmente verschwinden.

Gruß, WM

[ich]

Am Mittwoch, 14. November 2018 22:23:46 UTC+1 schrieb WM:
> Am Mittwoch, 14. November 2018 20:58:40 UTC+1 schrieb ich:
> >
> > Hat man Sie schon mal danach gefragt, wie das Prädikat /identifizierbar/
> > auf IN definiert ist?
> >
> Die Zahl x ist identifizierbar <==> für x kann eine Dezimaldarstellung
> gefunden werden.

"kann gefunden werden" ist leider kein zulässiger Ausdruck in einer einschlägigen expliziten Definition.

Gefragt war ja nach einem "mengentheoretischer Ausdruck" also nach einer Aussageform in der Sprache der Mengenlehre bzw. klassischen Mathematik.

"Kann gefunden werden" ist leider Ihr privater Mückenheim-Jargon, der hier nichts zur Klärung beiträgt (und daher auch nicht verwendet werden kann).

Das folgende wäre eine Definition:

x ist identifizierbar <==> x besitzt eine Dezimaldarstellung (x e IR).

War also nix. (Hinweis: Sie scheinen immerzu etwas finden zu wollen, was kein Mensch verloren hat.)

Ok, was haben wir denn da noch?

> Die Zahl n ist isolierbar <==> n kann als erste Zahl eines Endabschnittes
> auftreten.

"kann auftreten" beinhaltet einen "Modaloperator", die Mengenlehre basiert aber auf der sogenannten FOPL (und nicht auf einer Form der Modallogik), daher ist diese "Definition" leider auch nicht brauchbar.

Das Folgende hingegen wäre eine Definition:

n ist isolierbar <==> n ist kleinste Zahl eines Endabschnittes (n e IN)

Oder genauer (für n e IN):

n ist isolierbar <==> Es gibt einen Endabschnitt, dessen keinstes
Element gleich n ist

Also aus meiner Sicht st das mindestens so gut wie Ihre ursprüngliche Definition, denn wenn n die kleinste Zahl eines Endabschnittes ist, dann KANN wohl n auch die kleinste Zahl eines Endabschnittes SEIN. Und dass n die kleinste Zahl eines Endabschnittes sein KANN, aber nicht IST, kann ich mir nicht so recht vorstellen. Ich meine, entweder IST sie es, oder sie ist es NICHT. Jedenfalls ist das im Kontext der klassischen Mathematik so.

Insbesondere da man ja zu JEDER Zahl n den Endabschnitt ANGEBEN kann, dessen kleinstes Element n ist. :-)

Es gilt: n ist kleinstes Element des Endabschnitts E_n.

Da dem so so ist, gilt also für jede Zahl n e IN: Es gibt einen Endabschnitt, dessen kleinstes Element n ist. Mit anderen Worten: Entsprechend Ihrer Definition: Jede natürliche Zahl ist "isolierbar":

An e IN: isolierbar(n).

Was genau soll diese Definition jetzt bringen? Ich meine in Bezug auf Sachverhalte, die natürliche Zahlen betreffen?

Wenn ohnehin JEDE natürliche Zahl isolierbar ist, braucht man das wirklich nicht noch mal extra zu erwähnen. :-)

Es gilt dann nämlich:

(An e IN: isolierbar(n) -> P(n)) <=> (An e IN: P(n)).

Also ob ich das dazusagen oder nicht, macht keinen Unterschied. :-)

Es wäre ein wenig so, also ob man immer schreiben würde:

An e IN: nat_num(n) -> P(n) .

Macht auch kein Mensch.

[Ralf Bader]

WM wrote:

> Am Mittwoch, 14. November 2018 20:58:40 UTC+1 schrieb ich:
>
>> Hat man Sie schon mal danach gefragt, wie das Prädikat /identifizierbar/
>> auf IN definiert ist?
>
> Die Zahl x ist identifizierbar <==> für x kann eine Dezimaldarstellung
> gefunden werden.

Es ist ein elementares Sätzchen der Peano-Arithmetik (oder der
Zahlentheorie), daß jede natürliche Zahl eine Dezimaldarstellung besitzt.
Außerdem stellt sich die Frage, wie das "kann gefunden werden" mit Ihrer
anderweitigen Rabulistik über "physical constraints of numbers" kompatibel
sein soll. Oder hat der Krampf mit den "isolierbaren"
und "identifizierbaren" Zahlen überhaupt nichts mit dem
idiotischen "MatheRealismus" zu tun? Womit hat er dann zu tun? Handelt es
sich um Zuwächse im Sortiment der Wahnvorstellungen, die Sie
der "klassischen" Mathematik unterschieben wollen?

> Die Zahl n ist isolierbar <==> n kann als erste Zahl eines Endabschnittes
> auftreten.

Dann stellt sich die Frage, was ein Endabschnitt ist. Die geordnete Menge
der natürlichen Zahlen, die >= einer gegebenen sind, kann es dann nicht
sein, denn einen solchen gibt es zu jeder Zahl (im Extremfall bestünde er
halt nur aus dieser Zahl, was zwar seltsam, in Ihrem Wahnuniversum aber
trotzdem nicht verwunderlich wäre)

>> Wenn Sie das geleistet haben, können Sie dann zeigen, welche
>> interessanten Sätze aus dieser Definition folgen.
>
> Isolierbare oder identifizierbare Zahlen bilden eine potentiell unendliche
> Menge. Sie können im unendlichen Schnitt der Endsegmente verschwinden.

Sollen das jetzt interessante Sätze sein? Gibt es eigentlich "isolierbare
Endabschnitte", d.h. die Teilmenge oder -folge der isolierbaren Zahlen
eines Endabschnitts, und was ist mit dem Durchschnitt der isolierbaren
Endabschnitte?

[WM]

Am Mittwoch, 14. November 2018 22:43:44 UTC+1 schrieb ich:
> Am Mittwoch, 14. November 2018 22:23:46 UTC+1 schrieb WM:
> > Am Mittwoch, 14. November 2018 20:58:40 UTC+1 schrieb ich:
> > >
> > > Hat man Sie schon mal danach gefragt, wie das Prädikat /identifizierbar/
> > > auf IN definiert ist?
> > >
> > Die Zahl x ist identifizierbar <==> für x kann eine Dezimaldarstellung
> > gefunden werden.
>
> "kann gefunden werden" ist leider kein zulässiger Ausdruck in einer einschlägigen expliziten Definition.

Dann sagen wir doch einfach: Besitzt eine Dezimaldarstellung. Wenn es denn die political correctness erfordert.

>
> Gefragt war ja nach einem "mengentheoretischer Ausdruck" also nach einer Aussageform in der Sprache der Mengenlehre bzw. klassischen Mathematik.
>
> "Kann gefunden werden" ist leider Ihr privater Mückenheim-Jargon, der hier nichts zur Klärung beiträgt (und daher auch nicht verwendet werden kann).

Man darf es nicht vor keuschen Ohren nennen, was keusche Herzen nicht entbehren können.

>
> Das folgende wäre eine Definition:
>
> x ist identifizierbar <==> x besitzt eine Dezimaldarstellung (x e IR).

Na also. Wenn diese Darstellung existiert, dann kann man sie auch finden. Beides ist (in der idealen Mathematik) synonym.

Gruß, WM

[WM]

Am Mittwoch, 14. November 2018 23:41:52 UTC+1 schrieb Ralf Bader:
> WM wrote:
>
> > Am Mittwoch, 14. November 2018 20:58:40 UTC+1 schrieb ich:
> >
> >> Hat man Sie schon mal danach gefragt, wie das Prädikat /identifizierbar/
> >> auf IN definiert ist?
> >
> > Die Zahl x ist identifizierbar <==> für x kann eine Dezimaldarstellung
> > gefunden werden.
>
> Es ist ein elementares Sätzchen der Peano-Arithmetik (oder der
> Zahlentheorie), daß jede natürliche Zahl eine Dezimaldarstellung besitzt.
> Außerdem stellt sich die Frage, wie das "kann gefunden werden" mit Ihrer
> anderweitigen Rabulistik über "physical constraints of numbers" kompatibel
> sein soll.

Das "kann gefunden werden" gilt selbstverständlich nur in einer idealen Mathematik.

> Oder hat der Krampf mit den "isolierbaren"
> und "identifizierbaren" Zahlen überhaupt nichts mit dem

> "MatheRealismus" zu tun?

Richtig. In der Realität existieren keine unendlichen Mengen. Deswegen ist der MatheRealismus für diese Diskussion irrelevant.

> Womit hat er dann zu tun?

Der MatheRealismus berücksichtigt die Endlichkeit jedes realen Datenverarbeitungssystems.

> > Die Zahl n ist isolierbar <==> n kann als erste Zahl eines Endabschnittes
> > auftreten.
>
> Dann stellt sich die Frage, was ein Endabschnitt ist. Die geordnete Menge
> der natürlichen Zahlen, die >= einer gegebenen sind, kann es dann nicht
> sein, denn einen solchen gibt es zu jeder Zahl

Das ist richtig, aber der Schluss von "jeder Zahl" auf die Existenz einer vollendeten Unendlichkeit der Zahlenmenge führt offensichtlich auf Widersprüche und ist deswegen nicht tolerierbar. Es gilt nämlich

∀n, m ∈ ℕ: E(n) ∩ E(m) = E(m) ∩ E(n) und |E(n) ∩ E(m)| = aleph_0 (*)

Diese wichtige Formel kann man nicht mit einem Hinweis darauf, dass "im Unendlichen" eben alles anders sei und die grundlegenden Gesetze nicht mehr gelten, abschmettern.

>
> >> Wenn Sie das geleistet haben, können Sie dann zeigen, welche
> >> interessanten Sätze aus dieser Definition folgen.
> >
> > Isolierbare oder identifizierbare Zahlen bilden eine potentiell unendliche
> > Menge. Sie können im unendlichen Schnitt der Endsegmente verschwinden.
>
> Sollen das jetzt interessante Sätze sein?

Das hängt vom Standpunkt an. Sie bieten immerhin eine Möglichkeit, den Widerspruch zwischen E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ ... = { } und (*) zu überwinden und die potentielle Unendlichkeit der klassischen Mathematik (vor Cantor) mit der Auffassung einer Gott bekannten aktual unendlichen Allmenge zu vereinbaren.

Der Standardsatz "Endabschnitt E_n ist Untermenge aller seiner Vorgänger, aber nicht aller seiner Nachfolger" ist jedenfalls keine akzeptable Lösung.

Gruß, WM

[ich]

Am Donnerstag, 15. November 2018 11:11:00 UTC+1 schrieb WM:

> ... der Schluss von "jeder Zahl" auf die Existenz einer vollendeten

> Unendlichkeit der Zahlenmenge führt offensichtlich auf Widersprüche

> und ...

Nun ein derartiges Geschwurbel führt wohl zwangsläufig auf Widersprüche. Das sieht man ja recht gut an dem Unsinn, denn Sie in diesem Zusammenhang von sich geben.

Nur hat das alles mit der heutigen Mathematik und Mengenlehre nichts zu tun.

Das Folgende sind Formeln, die NUR im Kontext der ML Sinn machen (denn es geht hierbei offenbar um Mengen, unendliche Mengen sogar):

> ∀n,m ∈ ℕ: E(n) ∩ E(m) = E(m) ∩ E(n) und |E(n) ∩ E(m)| = aleph_0 (*)

Nun faseln Sie aber etwas von einem

> Widerspruch zwischen E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ ... = {} und (*)

Nein, Herr Mückenheim, so einen Widerspruch gibt es nicht; jedenfalls nicht im Kontext der Mengenlehre. Man hat Ihnen das aber nun wirklich schon oft genug gesagt. Lernen Sie eigentlich GAR NICHTS MEHR dazu?

Also nochmal. Schön der Reihe nach. Zuerst definieren wir die Endabschnitte:

E(n) = {m e IN: m >= n} (n e IN).

Dann gilt natürlich, wegen A ∩ B = B ∩ A für beliebige Mengen A,B:

∀n,m ∈ ℕ: E(n) ∩ E(m) = E(m) ∩ E(n) .

Des weiteren gilt, wie man aus der Definition leicht folgern kann:

∀n,m ∈ ℕ: E(n) ∩ E(m) = E(max(m,n)) .
Aus
∀n ∈ ℕ: |E(n)| = aleph_0

folgt dann

∀n,m ∈ ℕ: |E(n) ∩ E(m)| = aleph_0 .

Zu guter Letzt kann man aus der Definition der E_i und der Definiton des Schnitt-Operators (bzw. der Schnittmenge) leicht zeigen, dass gilt:

Schnitt{E(n): n ∈ ℕ} = {}.

Anschaulich kann man das auch so hinschreiben:

E(1) ∩ E(2) ∩ E(3) ∩ ... = {}.

Widersprüche treten in diesem Zusammenhang keine auf; oder genauer: sind in diesem Zusammenhang nicht bekannt.

Ihre diesbezüglichen Phantasmagorien haben mit der Mathematik/Mengenlehre nichts zu tun, Herr Mückenhim.

[ich]

Am Donnerstag, 15. November 2018 09:36:51 UTC+1 schrieb WM:
> Am Mittwoch, 14. November 2018 22:43:44 UTC+1 schrieb ich:
> > Am Mittwoch, 14. November 2018 22:23:46 UTC+1 schrieb WM:
> > > Am Mittwoch, 14. November 2018 20:58:40 UTC+1 schrieb ich:
> > > >
> > > > Hat man Sie schon mal danach gefragt, wie das Prädikat
> > > > /identifizierbar/ auf IN definiert ist?
> > > >

> > [...]

> >
> Dann sagen wir doch einfach: Besitzt eine Dezimaldarstellung. Wenn es denn
> die political correctness erfordert.

Es ist nicht die "political correctness", die das erfordert, sondern die "mathematical correctness".

Ok, dann kennst Du bestimmt den Satz aus der Arithmetik:

Jede natürliche Zahl besitzt eine Dezimaldarstellung.

Damit hätten wir also nun:

>>Jede natürliche Zahl ist /identifizierbar/ und jede natürliche Zahl ist /isolierbar/.<<

WOW, welch grandioses Theorem! Es bringt in etwa den selben Erkenntnisgewinn wie das Theorem:

>>Jede natürliche Zahl ist eine natürliche Zahl.<<

Nochmal als Tipp: Sie können Sich also in Zukunft den Hinweis auf "identifizierbare" und/oder "isolierbare" natürliche Zahlen sparen, da ALLE natürlichen Zahlen /identifizierbar/ und/oder /isolierbar/ sind. Es gibt keine, die es nicht sind. :-)

Ernsthaft: Können Sie uns bitte in Zukunft mit dem Gequatsche von "isolierbaren" und "identifizierbaren" Zahlen verschonen? Ihr häufig gebrachter Hinweis, dass dies und jenes ***NUR*** für derartige Zahlen gelten würde, sagt nämlich GENAU gar nichts.

[ich]

Am Donnerstag, 15. November 2018 11:11:00 UTC+1 schrieb WM:

> [...] Sie bieten immerhin eine Möglichkeit, den Widerspruch zwischen
> E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ ... = { } und (*) zu überwinden und ...

Sie sind wirklich witzig, Herr Mückenheim: Sie wollen uns "Lösungen" für ein Problem verkaufen, das es gar nicht gibt? :-)

[Andreas Leitgeb]

WM <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Diese Zahl gibt es nicht. Sobald Du eine Zahl hernimmst, kannst Du das
> doppelte oder 10^100000fache hernehmen. Und davon wieder und wieder.
> Die identifizierbaren Zahlen bilden schon eine erkleckliche Menge.

Soweit wohl richtig für das Prädikat Identifizierbar(n):= n in |N

> Aber das ist nichts gegen die Unendlichkeit.

Au ja! Gegen aleph_i, i>0 sind die "identifizierbaren" echt weniger
als ein Fliegendreck.

[ich]

Am Donnerstag, 15. November 2018 14:44:40 UTC+1 schrieb Andreas Leitgeb:

> WM wrote:
> >
> > Diese Zahl gibt es nicht. Sobald Du eine Zahl hernimmst, kannst Du das
> > doppelte oder 10^100000fache hernehmen. Und davon wieder und wieder.

Klar, man kann auch die Zahl 1 hernehmen und dann den Nachfolger hernehmen Und das wieder und wieder (so oft man halt will).

> > Die identifizierbaren Zahlen bilden schon eine erkleckliche Menge.

In der Tat: Die Menge IN. (Ich lese hier Mückenheims "Zahlen" als Abkürzung für "natürliche Zahlen".)

> Soweit wohl richtig für das Prädikat Identifizierbar(n) := n in IN

Bzw. mit der von Herrn Mückenheim gelieferten Definition

identifizierbar(n) :<-> n besitzt eine Dezimaldarstellung (n e IN).

(Ob man das nun unter Verwendung von "besitzt" oder "existiert" formuliert... so genau wollen wir es hier dann doch nicht nehmen.)

[WM]

Am Donnerstag, 15. November 2018 15:28:55 UTC+1 schrieb ich:
> Am Donnerstag, 15. November 2018 14:44:40 UTC+1 schrieb Andreas Leitgeb:
> > WM wrote:
> > >
> > > Diese Zahl gibt es nicht. Sobald Du eine Zahl hernimmst, kannst Du das
> > > doppelte oder 10^100000fache hernehmen. Und davon wieder und wieder.
>
> Klar, man kann auch die Zahl 1 hernehmen und dann den Nachfolger hernehmen Und das wieder und wieder (so oft man halt will).
>
> > > Die identifizierbaren Zahlen bilden schon eine erkleckliche Menge.
>
> In der Tat: Die Menge IN. (Ich lese hier Mückenheims "Zahlen" als Abkürzung für "natürliche Zahlen".)

Nicht die Menge ℕ der transfiniten Mengenlehre, für die gefordert wird:
∃ℕ ∀A_k: |ℕ| > |A_k|

Diese Diskrepanz ∀A_k: |ℕ\A_k| = aleph_0 (in Worten: Für ALLE natürlichen Zahlen k, also für ALLE Anfangsabschnitte) wäre mit den identifizierbaren oder hernehmbaren oder betrachtbaren Zahlen nicht zu füllen.

Gruß, WM

[WM]

Am Donnerstag, 15. November 2018 11:48:25 UTC+1 schrieb ich:


> Anschaulich kann man das auch so hinschreiben:
>
> E(1) ∩ E(2) ∩ E(3) ∩ ... = {}.
>
> Widersprüche treten in diesem Zusammenhang keine auf; oder genauer: sind in diesem Zusammenhang nicht bekannt.

Merkwürdig ist nur, dass jeder geistig gesunde Mensch das anders sieht.

Gruß, WM

[burs...@gmail.com]

Das ist aber keine Forderung. Sie quantifieren ja ∃ℕ.
Eine Forderung wäre:

∀A_k: |ℕ| > |A_k|

[Ralf Bader]

WM wrote:

> Am Mittwoch, 14. November 2018 23:41:52 UTC+1 schrieb Ralf Bader:
>> WM wrote:
>>
>> > Am Mittwoch, 14. November 2018 20:58:40 UTC+1 schrieb ich:
>> >
>> >> Hat man Sie schon mal danach gefragt, wie das Prädikat
>> >> /identifizierbar/ auf IN definiert ist?
>> >
>> > Die Zahl x ist identifizierbar <==> für x kann eine Dezimaldarstellung
>> > gefunden werden.
>>
>> Es ist ein elementares Sätzchen der Peano-Arithmetik (oder der
>> Zahlentheorie), daß jede natürliche Zahl eine Dezimaldarstellung besitzt.
>> Außerdem stellt sich die Frage, wie das "kann gefunden werden" mit Ihrer
>> anderweitigen Rabulistik über "physical constraints of numbers"
>> kompatibel sein soll.
>
> Das "kann gefunden werden" gilt selbstverständlich nur in einer idealen
> Mathematik.

In der gilt selbstverständlich auch, daß jede natürliche Zahl eine
Dezimaldarstellung besitzt. Somit ist der Begriff "identifizierbare Zahl"
sinnfrei. Der, von Ihnen selbstverständlich nicht erkannte, Hintergrund
meiner Frage war, in welchem Kontext dieser Begriff "identifizierbare Zahl"
sinnvoll sein soll. Es ist allerdings generell so, daß Ihre
Hirnleistungsfähigkeit für den Umgang mit Kontexten offenbar nicht
ausreicht. Wobei auch vollkommen unklar ist, was "kann gefunden werden"
heißen soll. Sei n die größte natürliche Zahl, so daß es 3 weitere
natürliche Zahlen x,y,z gibt mit x^n + y^n = z^n, bzw. 0, wenn es für jedes
n solche x,y,z gibt. An der Auffindung einer Dezimaldarstellung dieser Zahl
n wurde einige Jahrhunderte gearbeitet. Generell läßt sich jedes
mathematische Problem in die Form "finde die Dezimaldarstellung der durch
ein Prädikat P(n) eindeutig bestimmten natürlichen Zahl" bringen. Deshalb
ist dieses "für x kann eine Dezimaldarstellung gefunden werden" sinnfrei;
um ihm einen Sinn zu verleihen, muß man einen Kontext, etwa eine Theorie
bestimmter Notationsweisen für natürliche Zahlen, schaffen. Aber von
derartigen Dingen ahnen Sie nicht einmal etwas, sonst würden Sie sie ja
dümmlich befaseln. Die wahren Gründe für die Vollblödheit Ihres Unsinns
kommen in den hiesigen Monsterthreads ja überhaupt noch nicht zur Sprache.

>> Oder hat der Krampf mit den "isolierbaren"
>> und "identifizierbaren" Zahlen überhaupt nichts mit dem
>> "MatheRealismus" zu tun?
>
> Richtig. In der Realität existieren keine unendlichen Mengen. Deswegen ist
> der MatheRealismus für diese Diskussion irrelevant.

Der "MatheRealismus" ist allenfalls als Beispiel inkonsistenten Blödsinns

relevant.

>> Womit hat er dann zu tun?
>
> Der MatheRealismus berücksichtigt die Endlichkeit jedes realen
> Datenverarbeitungssystems.

Endlichkeiten jeglicher Art können im Rahmen der "idealen Mathematik"
bestens berücksichtigt werden.

>> > Die Zahl n ist isolierbar <==> n kann als erste Zahl eines
>> > Endabschnittes auftreten.
>>
>> Dann stellt sich die Frage, was ein Endabschnitt ist. Die geordnete Menge
>> der natürlichen Zahlen, die >= einer gegebenen sind, kann es dann nicht
>> sein, denn einen solchen gibt es zu jeder Zahl
>
> Das ist richtig,

Ich stelle die Frage, was ein Endabschnitt nun sein soll, verbunden mit der
Feststellung, daß die naheliegende Vermutung, was damit gemeint sein
könnte, offenbar unzutreffend ist. Und Sie antworten "das ist richtig". Was
ist denn nun ein Endabschnitt? Reicht Ihr Hirn zur Erfassung der Frage
nicht aus (immerhin reicht es ja aus, um abfällige Bemerkungen über anderer
Personen Hirnzustand in Ihr albernes Gefasel einzustreuen).

> aber der Schluss von "jeder Zahl" auf die Existenz einer
> vollendeten Unendlichkeit der Zahlenmenge führt offensichtlich auf
> Widersprüche und ist deswegen nicht tolerierbar. Es gilt nämlich
>
> ∀n, m ∈ ℕ: E(n) ∩ E(m) = E(m) ∩ E(n) und |E(n) ∩ E(m)| = aleph_0 (*)
>
> Diese wichtige Formel kann man nicht mit einem Hinweis darauf, dass "im
> Unendlichen" eben alles anders sei und die grundlegenden Gesetze nicht
> mehr gelten, abschmettern.

Häh?

>> >> Wenn Sie das geleistet haben, können Sie dann zeigen, welche
>> >> interessanten Sätze aus dieser Definition folgen.
>> >
>> > Isolierbare oder identifizierbare Zahlen bilden eine potentiell
>> > unendliche Menge. Sie können im unendlichen Schnitt der Endsegmente
>> > verschwinden.
>>
>> Sollen das jetzt interessante Sätze sein?
>
> Das hängt vom Standpunkt an.

Oder ab oder um oder auf, scheiß drauf.

> Sie bieten immerhin eine Möglichkeit, den
> Widerspruch zwischen E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ ... = { } und (*) zu überwinden und
> die potentielle Unendlichkeit der klassischen Mathematik (vor Cantor) mit
> der Auffassung einer Gott bekannten aktual unendlichen Allmenge zu
> vereinbaren.
>
> Der Standardsatz "Endabschnitt E_n ist Untermenge aller seiner Vorgänger,
> aber nicht aller seiner Nachfolger" ist jedenfalls keine akzeptable
> Lösung.

Mir kommt der Verdacht, daß Sie eine neue Wahnidee entwickelt haben
dahingehend, daß in dem "Standardsatz" die Wörter "Vorgänger"
und "Nachfolger" sich auf die, wegen der angesprochenen Kommutativität
veränderbaren, Positionen der E_i in dem Ausdruck
E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ ... beziehen; wenn man E2 ∩ E1 ∩ E3 ∩ ... schriebe, dann
wäre da ein "Nachfolger" umfassender als sein "Vorgänger". Das ist ein
weiteres Beispiel dafür, auf welche Abwege "Veranschaulichungen"
durch "Prozesse", "Supertasks" und dergleichen und die Vorstellung, man
würde die E_i sukzessive einen nach dem anderen zum Schnitt bringen,
führen. Also Ihre persönliche und für die Mathematik vollkommen belanglose
Unfähigkeit zum mentalen Umgang mit auch nur abzählbaren Unendlichkeiten.

Das ist ein Krampf, der mal wieder Ihre bisherigen Kaspereien in den
Schatten stellt. Übrigens gibt es in der Sprache von ZFC überhaupt
keine ... . Schon deshalb sind Behauptungen, die mit 3 Pünktchen
daherkommen, zwielichtig. Es gibt auch in ZFC keine Möglichkeit, die
Vereinigungsmenge von unendlich vielen frei flottierenden Mengen zu bilden
(das würde ZFC inkonsistent machen). Eine Vereinigungsmenge unendlich
vieler Mengen kann nur gebildet werden, wenn die zu vereinigenden Mengen
bereits Elemente einer Menge sind. Deshalb ist auch jegliches Rabulieren
darüber, daß IN durch Vereinigung seiner Anfangsabschnitte zustandekäme,
einfach Krampf. Denn dazu müßte bereits eine Menge, deren Elemente diese
Anfangsabschnitte sind, also faktisch IN, vorliegen.

tl;dr: Ihre Behauptungen über die "ideale Mathematik" (inklusive aller
konstruktivistischen Varianten) und angebliche Widersprüche (die mag es
geben, aber Sie haben keine entdeckt) sind Unsinn, Ihr "MatheRealismus" ist
inkonsistenter Krampf, und die einzig verbleibende Möglichkeit,
Ultrafinitismus, haben Sie explizit ausgeschlossen. Ihre mathematisch sein
wollenden Darbietungen sind ein Haufen idiotischen Schwachsinns.

[ich]

Am Donnerstag, 15. November 2018 18:41:14 UTC+1 schrieb burs...@gmail.com:

> > Diese Diskrepanz [...] wäre mit den identifizierbaren oder hernehmbaren

> > oder betrachtbaren Zahlen nicht zu füllen.

Können Sie endlich mal mit diesem kindischen Schwachsinn aufhören, Herr Mückenheim?

Nachdem Sie die "identifizierbaren" ja als diejenigen ansehen wollen, für die eine Dezimaldarstellung existiert, es macht es KEINEN UNTERSCHIED, ob Sie nun von "identifizierbaren natürlichen Zahlen" sprechen oder einfach nur von "natürlichen Zahlen". Nur ist das vielleicht nicht jedem, der hier mitliest, so ohne weiteres klar. Also hören Sie bitte mit diesem Unsinn auf, ok?

Nochmal auf Ihrem Niveau: Es gibt keine anderen natürlichen Zahlen als "identifizierbare", daher muss man das nicht immer extra dazu sagen.

Vielleicht hilft auch das weiter:

Sei I = {n e IN : identifizierbar(n)} die Menge der "identifizierbaren" natürlichen Zahlen, dann ist I = IN.

Nachdem wir das also nun geklärt hätten, noch etwas zum eigentlichen Thema:

Es GIBT KEINE "Diskrepanz". Es gilt nämlich

U{A_n : n e IN} = IN .

Beweis: Sei k e U{A_n : n e IN}, dann gibt es ein n e IN, so dass k e A_n ist. Wegen A_n = {m e IN : m >= n} folgt daraus k e IN. Also U{A_n : n e IN} c IN. Sei nun k e IN, dann ist k e A_k. D. h. es gibt ein n e IN (nämlich k) so dass k e A_n ist. Das bedeutet aber k e U{A_n : n e IN}. Also IN c U{A_n : n e IN}.
Extensionaliät liefert dann U{A_n : n e IN} = IN. qed

[Diedrich Ehlerding]

WM schrieb am 14.11.2018 um 20:41:
>> Die 1 hat also unendlich viele Nachfolger. (Ja, da sind wir uns einig;
>> alle natürlichen Zahlen > 1 sind Elemente von E_1). Ich nehme nun zur
>> Kenntnis: die 1 hat aber nur endlich viele identifizierbare Nachfolger,
>> also nach deiner Ansicht nur endlich viele mit einer angebbaren
>> Dezimaldarstellung.

> Versuche das Gegenteil zu zeigen.

Ja gern.

Wir sind uns sicher einig: E_1 ist die Menge aller Nachfolger von 1.

2 hat eine angebbare Dezialdarstellung, ist also identifizierbar.

Sei n eine natürliche Zahl mit einer angebbaren Dezimaldarstellung. Dann
ht n+1 ebenfalls eine angebbare Dezimaldarstellung, ist also
identifizierbar. (Muss ich die Turingmaschine aufmalen, die aus der
Dezimaldarstellung einer Zahl n die von n+1 ausrechnet? Ich glaube kaum,
die kann sich jeder vorstellen. Aber ggf. helfe ich dir auch auf die
sprünge).

Damit haben alle n ≥ 2 eine angebbare Dezimaldarstellung. Also sind alle
Elemente von E_1 identifizierbar.

Nun hast du ja selber mehrfach darauf hingewiesen, dass die
Endabschnitte die Mächtigjkeit aleph_0 haben, insbesondere auch E_1.

Also hat die 1 mehr als endlich viele identifizierbare Nachfolger,

>> Nun, eine von diesen endlich vielen ist dann der größte identifizierbare
>> Nachfolger der 1. Nehmen wir also diese Zahl her
> Diese Zahl gibt es nicht.

In der Tat. Genau deshalb habe ich ja den Widerspruchsbeweis
konstruiert. Danke für die Bestätigung.

>>>> Rot und grün sind in der Mathematik genau wie definiert?
>>> Zum Beispiel kann man damit endlich und unendlich unterscheiden.
>> Ah ja, so stellst du dir also eine mathematische Definition vor.
>>
> Wenn Du so etwas möchtest, hier ist es: Wenn Du ein rotes Element > anschaust, so hast Du einen roten Farbeindruck.

[usw.]

Wir wollten doch eigentlich von /mathematischen/ Definitionen sprechen.

[Diedrich Ehlerding]

WM schrieb am 15.11.2018 um 18:31:

>> Widersprüche treten in diesem Zusammenhang keine auf; oder genauer: sind in diesem Zusammenhang nicht bekannt.
> Merkwürdig ist nur, dass jeder geistig gesunde Mensch das anders sieht.

"ein Geisterfahrer? HUnderte ..."

[WM]

Am Donnerstag, 15. November 2018 20:31:04 UTC+1 schrieb Diedrich Ehlerding:
> WM schrieb am 14.11.2018 um 20:41:
> >> Die 1 hat also unendlich viele Nachfolger. (Ja, da sind wir uns einig;
> >> alle natürlichen Zahlen > 1 sind Elemente von E_1). Ich nehme nun zur
> >> Kenntnis: die 1 hat aber nur endlich viele identifizierbare Nachfolger,
> >> also nach deiner Ansicht nur endlich viele mit einer angebbaren
> >> Dezimaldarstellung.
>
> > Versuche das Gegenteil zu zeigen.
>
> Ja gern.
>
> Wir sind uns sicher einig: E_1 ist die Menge aller Nachfolger von 1.
>
> 2 hat eine angebbare Dezialdarstellung, ist also identifizierbar.
>
> Sei n eine natürliche Zahl mit einer angebbaren Dezimaldarstellung. Dann
> ht n+1 ebenfalls eine angebbare Dezimaldarstellung, ist also
> identifizierbar.

Damit bist Du immer noch bei endlichen Anfangsabschnitten.

>
> Damit haben alle n ≥ 2 eine angebbare Dezimaldarstellung. Also sind alle
> Elemente von E_1 identifizierbar.
>
> Nun hast du ja selber mehrfach darauf hingewiesen, dass die
> Endabschnitte die Mächtigjkeit aleph_0 haben, insbesondere auch E_1.

Ich weise darauf hin, dass aleph_0 fast nur nicht identifizierbare Zahlen betrifft.

>
> Also hat die 1 mehr als endlich viele identifizierbare Nachfolger,

Nein.

>
>
> >> Nun, eine von diesen endlich vielen ist dann der größte identifizierbare
> >> Nachfolger der 1. Nehmen wir also diese Zahl her
> > Diese Zahl gibt es nicht.
>
> In der Tat. Genau deshalb habe ich ja den Widerspruchsbeweis
> konstruiert. Danke für die Bestätigung.

Es gibt keinen größten endlichen Anfangsabschnitt. Trotzdem ist jeder, wie der Name sagt, endlich.

>
> Wir wollten doch eigentlich von /mathematischen/ Definitionen sprechen.

Hier sind sie:

∀n, m ∈ ℕ: E(n) ∩ E(m) = E(m) ∩ E(n) und |E(n) ∩ E(m)| = aleph_0 (*)

Es gilt für alle Schnitte über Endabschnitte E(n), das diese Schnitte unendliche Mengen sind, unabhängig davon, über wieviele Endabschnitte geschnitten wird. Die Behauptung, dass der Schnitt über unendlich viele Endabschnitte leer sei, erfordert die Verletzung von (*), ist in der Mathematik also falsch.

Gruß, WM

[WM]

Am Donnerstag, 15. November 2018 18:47:41 UTC+1 schrieb Ralf Bader:
> WM wrote:


> >> Es ist ein elementares Sätzchen der Peano-Arithmetik (oder der
> >> Zahlentheorie), daß jede natürliche Zahl eine Dezimaldarstellung besitzt.
> >> Außerdem stellt sich die Frage, wie das "kann gefunden werden" mit Ihrer
> >> anderweitigen Rabulistik über "physical constraints of numbers"
> >> kompatibel sein soll.
> >
> > Das "kann gefunden werden" gilt selbstverständlich nur in einer idealen
> > Mathematik.
>
> In der gilt selbstverständlich auch, daß jede natürliche Zahl eine
> Dezimaldarstellung besitzt.

Es gilt aber nicht, dass in PA aktual unendlich viele Zahlen existieren. Die dunkle Zahlenmaterie wird in PA nicht benötigt, weil dort nur die potentiell unendlich vielen identifizierbaren Zahlen existieren.

> Somit ist der Begriff "identifizierbare Zahl"
> sinnfrei.

In PA ja.

> Der, von Ihnen selbstverständlich nicht erkannte, Hintergrund
> meiner Frage war, in welchem Kontext dieser Begriff "identifizierbare Zahl"
> sinnvoll sein soll.

Ich hoffe, Du hast nun verstanden, weshalb ich den Begriff eingeführt habe und weshalb er in PA sinnlos ist.

> >
> Der "MatheRealismus" ist allenfalls als Beispiel inkonsistenten Blödsinns
> relevant.

Du hast ihn also noch nicht verstanden.

>
> > ∀n, m ∈ ℕ: E(n) ∩ E(m) = E(m) ∩ E(n) und |E(n) ∩ E(m)| = aleph_0 (*)
> >
> > Diese wichtige Formel kann man nicht mit einem Hinweis darauf, dass "im
> > Unendlichen" eben alles anders sei und die grundlegenden Gesetze nicht
> > mehr gelten, abschmettern.
>
> Häh?

Es gilt für alle Schnitte über Endabschnitte, das diese Schnitte unendliche Mengen sind, unabhängig davon, über wieviele Endabschnitte geschnitten wird. Die Behauptung, dass der Schnitt über unendlich viele Endabschnitte leer sei, erfordert die Verletzung von (*).

Gruß, WM

[WM]

Am Donnerstag, 15. November 2018 18:41:14 UTC+1 schrieb burs...@gmail.com:

> Das ist aber keine Forderung. Sie quantifieren ja ∃ℕ.

Warum nicht? Es wird behauptet, dass ein Anfangsabschnitt ℕ existierte, der gewisse Eigenschaften besitzt.

Gruß, WM

[ich]

Am Donnerstag, 15. November 2018 22:32:13 UTC+1 schrieb WM:
> Am Donnerstag, 15. November 2018 20:31:04 UTC+1 schrieb Diedrich Ehlerding:
> >
> > Wir wollten doch eigentlich von /mathematischen/ Definitionen sprechen.
> >
> Hier sind sie:
>
> ∀n, m ∈ ℕ: E(n) ∩ E(m) = E(m) ∩ E(n) und |E(n) ∩ E(m)| = aleph_0

Wo sehen Sie hier eine Definition? ICH sehe hier nur zwei (mit und verbundene) "Sätze" (Theoreme).

> Es gilt für alle Schnitte über Endabschnitte E(n), das diese Schnitte
> unendliche Mengen sind, unabhängig davon, über wieviele Endabschnitte
> geschnitten wird.

Äh, nö. Diese Behauptung ist beweisbar falsch, es gilt im Kontext der Mengenlehre vielmehr (beweisbar):

Schnitt E(n) = Schnitt{E(n) : n e IN} = {} .
n e IN

Und AUßERHALB der/einer Mengenlehre macht es wohl nicht viel Sinn, über den "Wahrheitsgehalt" derartiger Aussagen zu schwadronieren. :-)

[ich]

Naja, man könnte es eine _Behauptung_ nennen. Wobei man als Variable (sic!) besser nicht einen Konstantennamen (wie z. B. ℕ) verwendet. :-)

Gefordert wird ja hier nichts: Im Kontext der Mengenlehre gilt ganz einfach:

∀k e ℕ: |ℕ| > |A_k| .

Die Behauptung (in diesem Fall eine beweisbare, also ein Satz) die (der) sich daraus ergibt, ist:

∃M ∀k e ℕ: |M| > |A_k| .

Ja, so eine Menge gibt es in der Tat. Z. B. IN oder Q oder IR.

[burs...@gmail.com]

Konstante oder Variable spielt keine Rolle. Konstanten
und Variablen funktionieren in gewisser Weise gleich.

Das kann man schon daran ablesen wie Modell Interpretation
definiert ist. Also wenn Sie beweisen können:

A(c) |- B(c)

für eine Konstante c, dann können Sie auch beweisen:

A(v) |- B(v)

für eine Variable v und umgekehrt, falls Ihr Kalkürl
nicht automatisch "füralle" Quantifiziert. Sondert versuchen
Sie es einfach mit:

|- forall v (A(v) => B(v))

Was aber nur für endlich A(v) funzt.

[ich]

Am Donnerstag, 15. November 2018 23:16:34 UTC+1 schrieb burs...@gmail.com:

> Konstante oder Variable spielt keine Rolle.

Nein, Du irrst, in einem System in dem es neben Variablen auch Konstanten (als syntaktische Kategorie) gibt, kannst Du nicht über Konstanten quantifizieren.

Fakt ist, dass z. B. die Aussage

∀0 e ℕ: 0 > 1

syntaktisch nicht korrekt ist. Manchmal sieht man bei Mathematikern im Zusammenhang mit der Definition von Gruppen oder Körpern so etwas wie: Es gibt ein Element 1, so das a * 1 für alle x e G gilt. Das ist aber (formallogisch) Unsinn.

Mach Dich schlau... :-P

[burs...@gmail.com]

Unter den Variablen gibt es zwei Sorten, freie Variablen
und gebundene Variablen. Ich meine freie Variablen
und Konstanten sind oft das gleiche.

[burs...@gmail.com]

In den meisten Kalkülen werden die freien und
gebundenen Variablen aus dem der gleichen Symbolmenge
V geschöpft, aber es gibt auch Kalküle die das nicht

so machen. Sonst bestimmt sich die Sorte anhand der
Formel, ob eine Variable frei vorkommt oder nicht,
wobei es bei gleicher Symbolmenge dann variablen

gibt die frei und gebunden vorkommen können. Aber
es gibt sätze in der Logik, die es erlauben freie
und nicht gebundene Variablen durch Konstanten zu

ersetzen und umgekehrt. Manch Kalküle basieren sogar
auf dieser Idee. So findet man machmal Regeln wie:

G |- A(c)
------------------- c not in G
G |- füralle x A(x)

Da wird sogar eine Konstante in eine Gebundene Variable
umgewandelt. Die Konstante wird oft als "frische" Konstante
bezeichnet, weil c not in G sein muss.

Etc.. Etc..

[j4n bur53]

Aber das die Regel mit der Konstante und der gebundenen
Variable funktioniert, bassiert halt auf der allgemeineren
Eigenschaft von freien Variablen dass:

A(c) |- B(c)

Und das hier:

A(v) |- B(v)

das gleiche sind. Also man kann auch mit dieser Regel
operrieren:

G |- A(y)
------------------- y not in G

G |- füralle x A(x)

burs...@gmail.com schrieb:

[ich]

Am Donnerstag, 15. November 2018 23:51:47 UTC+1 schrieb j4n bur53:

> So findet man machmal Regeln wie:
>
> G |- A(c)
> ------------------- c not in G
> G |- füralle x A(x)
>

> Da wird sogar eine Konstante in eine gebundene Variable
> umgewandelt.

Da wird nix umgewandelt, sorry. Es wir die Konstante durch eine Variable ERSETZT (substituiert).

Ich sag nochmal: unterscheidliche "syntaktische Kategorie".

Heißt

G |- A(c)
------------------- c not in G

G |- füralle c A(c)

wäre syntaktisch falsch [falls "c" eine Konstante ist. Es gibt da ja noch den "Zwitter" namens "Parameter". :-P].

[burs...@gmail.com]

Substitution sehe ich keine bei meiner Schreibweise.
Da hätte es schon ein [t/x] oder [t/c] irgendwo gebraucht.

Die Substitution ist implicit. Ich benutze ja die (_) Schreibweise.
Also z.B. Mathematische Induction kann man so formulieren:

P(0) /\ forall x in N (P(x) => P(x+1)) => forall x in N P(x)

Oder man kann es mit Substition formulieren, und mit
separaten Deduktionen, z.B. so:

|- P[x/0], |- x in N => P => P[x/x+1]
-------------------------------------
|- x in N => P

http://us.metamath.org/mpegif/findes.html

Die separaten Deductionen sorgen für das "füralle".

[burs...@gmail.com]

Corr.:

|- P[0/x], |- x in N => P => P[x+1/x]

-------------------------------------
|- x in N => P

[burs...@gmail.com]

Bei der (_) Schreibweise könnte man:

G |- A(c)
------------------- c not in G
G |- füralle x A(x)

Könnte man das auch aufassen, dass es ein "Hole" (*)
oder mehrere "Holes" (*) in der Formel A hat, an gewissen
Stellen und dieses "Hole" ist weder Variable noch Konstante,

und dann ist folgendes passiert, das "Hole" wurde zweimal
verschiedenen gefüllt:


G |- A[c/*]
--------------------- c not in G
G |- füralle x A[x/*]

Ha Ha

See also:

A Simply Typed Context Calculus with First-class Environments
Masahiko Sato∗ Takafumi Sakurai† Yukiyoshi Kameyama‡
March 10, 2002
https://pdfs.semanticscholar.org/9c13/14b8a43c0835fbaec9ca551ef69b49fc4929.pdf

Am Freitag, 16. November 2018 02:06:51 UTC+1 schrieb burs...@gmail.com:

[Diedrich Ehlerding]

WM schrieb am 15.11.2018 um 22:32:
>> Sei n eine natürliche Zahl mit einer angebbaren Dezimaldarstellung. Dann
>> ht n+1 ebenfalls eine angebbare Dezimaldarstellung, ist also
>> identifizierbar.
> Damit bist Du immer noch bei endlichen Anfangsabschnitten.

Hinweis: das ist ein Induktionsschluss. Damnit zeigt man, dass etws für
_alle_ natürlichen Zahlen gilt. Wie oben gezeigt sind _alle_ natürlichen
Zahlen identifizierbar. Unter anderem sind auch _alle_ Nachfolger der 1
identifizierbar, nicht nur endlich viele.

[WM]

Am Donnerstag, 15. November 2018 23:04:21 UTC+1 schrieb ich:
> Am Donnerstag, 15. November 2018 22:32:13 UTC+1 schrieb WM:

> > ∀n, m ∈ ℕ: E(n) ∩ E(m) = E(m) ∩ E(n) und |E(n) ∩ E(m)| = aleph_0 (*)

> > Es gilt für alle Schnitte über Endabschnitte E(n), das diese Schnitte
> > unendliche Mengen sind, unabhängig davon, über wieviele Endabschnitte
> > geschnitten wird.
>
> Äh, nö. Diese Behauptung ist beweisbar falsch, es gilt im Kontext der Mengenlehre vielmehr (beweisbar):
>
> Schnitt E(n) = Schnitt{E(n) : n e IN} = {} .
> n e IN

Da auch in der Mengenlehre alle endlichen Schnitte der Folge

E1, E1 ∩ E2, E1 ∩ E2 ∩ E3, ...

unendliche Mengen sind und auch alle Endabschnitte E_n darin schon vorkommen, also insofern verbraucht werden, als keinen weiteren Endabschnitte für die Realisierung des Unendlichen Schnittes zur Verfügung stehen, kann die leere Menge nur durch in der Mathematik, also in (*) unerlaubte Methoden erreicht werden. Damit ist das Ergebnis der Mengenlehre ebenso interessant wie die Schachpartie zwischen geistig Behinderten.

Gruß, WM

[burs...@gmail.com]

Tatsächlich, Ihre Argumentation ähnelt blinden Schachspielern,
die gar nicht merken dass sie das Schbrett schon lange
nicht mehr vor sich haben und irgendwo im Sumpf stecken.

Der unendliche Schnitt braucht nicht realisiert zu werden.
Kann ja auch als potentielle Menge angesehen werden. D.h.
sie können für jedes Element der natürlichen Zahlen in

endlich vielen Schritten feststellen ob is im unendlichen
Schnitt vorkommt. Die Antwort ist ganz einfach:

n ist in E1 n E2 n E3 n ... enthalten, wenn:
forall i n in E_i

n ist nicht in E1 n E2 n E3 n ... enthalten, wenn:
exists i n not in E_i

Da aber n not in E_{n+1}, finden sie für jedes n in endlich
vielen Schritten heraus, dass n nicht in E1 n E2 n E3 n ...
enthalten ist. Vorausgesetzt sie schränken sich eben

auch noch derart ein, dass Sie die E_1, E_2, ... in der
Reihenfolge der Sequence (E_1,E_2,...) abfahren. D.h. für
jedes n erhalten Sie n ist nicht in E1 n E2 n E3 n ...

Was wohl mit folgender Ausage gleichzuseten ist:

E1 n E2 n E3 n ... = {}

Vielleicht mit der Ausnahme des Augsburg Crank institut, indem
sowieso alles Volkswagen Omlette ist, und jedes n nicht in
E1 n E2 n E3 n ... wohl nicht E1 n E2 n E3 n ... = {} entspricht?

[WM]

Am Freitag, 16. November 2018 07:33:16 UTC+1 schrieb Diedrich Ehlerding:
> WM schrieb am 15.11.2018 um 22:32:
> >> Sei n eine natürliche Zahl mit einer angebbaren Dezimaldarstellung. Dann
> >> ht n+1 ebenfalls eine angebbare Dezimaldarstellung, ist also
> >> identifizierbar.
> > Damit bist Du immer noch bei endlichen Anfangsabschnitten.
>
> Hinweis: das ist ein Induktionsschluss. Damnit zeigt man, dass etws für
> _alle_ natürlichen Zahlen gilt.

Alle natürlichen Zahlen gehören zu endlichen Anfangsabschnitten. Alle diese sind endlich, also viel kleiner als |N.

> Wie oben gezeigt sind _alle_ natürlichen
> Zahlen identifizierbar. Unter anderem sind auch _alle_ Nachfolger der 1
> identifizierbar, nicht nur endlich viele.

Es gibt keine obere Schranke, aber alle endlichen Anfangsabschnitte sind endlich und kleiner als |N: aleph_0 - n = aleph_0. Ist das wirklich so schwer zu verstehen?

Gruß, WM

[ich]

Am Freitag, 16. November 2018 21:29:29 UTC+1 schrieb WM:
> Am Freitag, 16. November 2018 07:33:16 UTC+1 schrieb Diedrich Ehlerding:
> >

> > Hinweis: das ist ein Induktionsschluss. Damit zeigt man, dass etwas für
> > _alle_ natürlichen Zahlen gilt.

Natürlich muss Herr Mückenheim jetzt wieder etwas schreiben, was in keinster Weise etwa mit dem eben GESAGTEN zu tun hat:

> Alle natürlichen Zahlen gehören zu endlichen Anfangsabschnitten.

> Alle diese sind endlich, also viel kleiner als IN.

Huh?!

Ja, und jetzt? Hat das jemals jemand bestritten? :-o

Hinweis: Die Menge der natürlichen Zahlen _besteht_ aus (unendlich vielen) natürlichen Zahlen.

Noch ein Hinweis:

Jede natürliche Zahl "gehört" zu dem Singleton, das sie enthält:

An e IN: n e {n}

Alle diese (Singletons) sind endlich, also viel kleiner als IN.

Faszinierend!, oder? So what?!

> Es gibt keine obere Schranke, aber alle endlichen Anfangsabschnitte sind

> endlich und kleiner als IN: aleph_0 - n = aleph_0. Ist das wirklich so
> schwer zu verstehen?

Nein, das ist gar nicht schwer zu verstehen. :-)

Aber offenbar ist es für *Sie* sehr schwer zu verstehen, dass sowohl

Vereinigung{A_n : n e IN} = IN

als auch

Schnitt{E_n : n e IN} = {}

gilt.

[WM]

Am Freitag, 16. November 2018 23:48:56 UTC+1 schrieb ich:
> Am Freitag, 16. November 2018 21:29:29 UTC+1 schrieb WM:
> > Am Freitag, 16. November 2018 07:33:16 UTC+1 schrieb Diedrich Ehlerding:
> > >
> > > Hinweis: das ist ein Induktionsschluss. Damit zeigt man, dass etwas für
> > > _alle_ natürlichen Zahlen gilt.
>
> Natürlich muss Herr Mückenheim jetzt wieder etwas schreiben, was in keinster Weise etwa mit dem eben GESAGTEN zu tun hat:
>
> > Alle natürlichen Zahlen gehören zu endlichen Anfangsabschnitten.
> > Alle diese sind endlich, also viel kleiner als IN.
>

> Ja, und jetzt? Hat das jemals jemand bestritten? :-o

Die magische Vereinigung soll angeblich diesen Unterschied verschwinden lassen.

> Jede natürliche Zahl "gehört" zu dem Singleton, das sie enthält:
>
> An e IN: n e {n}
>
> Alle diese (Singletons) sind endlich, also viel kleiner als IN.
>

Jedes darf einen Anfangsabschnitt sein eigen nennen. Jedes scheitert bei der Bildung einer aktual unendlichen Menge.

> > Es gibt keine obere Schranke, aber alle endlichen Anfangsabschnitte sind
> > endlich und kleiner als IN: aleph_0 - n = aleph_0. Ist das wirklich so
> > schwer zu verstehen?
>
> Nein, das ist gar nicht schwer zu verstehen. :-)
>
> Aber offenbar ist es für *Sie* sehr schwer zu verstehen, dass sowohl
>
> Vereinigung{A_n : n e IN} = IN
>
> als auch
>
> Schnitt{E_n : n e IN} = {}
>
> gilt.

Es ist dagegen leicht zu beweisen, dass beides falsch ist.

Der unendliche Schnitt ist das gleiche wie alle endliche Schnitte. Da geht keine unendliche Menge verloren.

Alle endlichen Schnitte sind in dieser Folge enthalten:

E1, E1 ∩ E2, E1 ∩ E2 ∩ E3, ...

Alle Glieder sind unendliche Mengen. Sollte anschließend plötzlich eine große Mengenleere eintreten, dann müsste die Definition des Verlustmechanismus außer Kraft gesetzt werden. Das wäre ungefähr so, als wenn Cruana Carlsen den König wegnehmen würde. Also nur etwas für Spinner vielleicht Interessantes.

Gruß, WM

[ich]

Am Samstag, 17. November 2018 12:03:41 UTC+1 schrieb WM:

> > Offenbar ist es für *Sie* sehr schwer zu verstehen, dass sowohl

> >
> > Vereinigung{A_n : n e IN} = IN
> >
> > als auch
> >
> > Schnitt{E_n : n e IN} = {}
> >
> > gilt.
> >
> Es ist dagegen leicht zu beweisen, dass beides falsch ist.

Na, dann beweisen Sie mal schön, Herr Mückenheim.

Man muss sich aber fragen, in welchem ANDEREN System als der Mengenlehre sie "Beweise" führen wollen, die unendliche Mengen betreffen. (Bislang hat immer noch die sog. Mengenlehre hier das Hausrecht.)

Im Kontext der Mengenlehre jedenfalls gelten beide Aussagen (heißt sind dort beweisbar). Zudem ist auch deren KORREKTHEIT _intuitiv_ leicht einzusehen in diesem Kontext.

Fazit: Sie begreifen es offenbar wirklich nicht.

[WM]

Am Samstag, 17. November 2018 12:28:22 UTC+1 schrieb ich:
> Am Samstag, 17. November 2018 12:03:41 UTC+1 schrieb WM:
>
> > > Offenbar ist es für *Sie* sehr schwer zu verstehen, dass sowohl
> > >
> > > Vereinigung{A_n : n e IN} = IN
> > >
> > > als auch
> > >
> > > Schnitt{E_n : n e IN} = {}
> > >
> > > gilt.
> > >
> > Es ist dagegen leicht zu beweisen, dass beides falsch ist.
>
> Na, dann beweisen Sie mal schön, Herr Mückenheim.

Beweis: Es existieren in der Mengenlehre zwei Behauptungen:

Die Folge der Anfangsabschnitte ist

{1},{1, 2}, {1, 2, 3}, ... =/= |N . (1)

Die Vereinigung der Anfangsabschnitte ist

{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U ... = |N . (2)

Was ist in (2), das in (1) fehlt?

===========================================================
Sicher keine einzige natürliche Zahl und sicher auch kein größerer Anfangsabschnitt!
===========================================================

Die Vereinigung kann also nur durch Vereinigung des größten Anfangsabschnittes, der freilich nicht existiert, mit seinen kleineren Brüdern zu |N, also größer als der größte Anfangsabschnitt, der freilich nicht existiert, werden.

Der Glaube daran ist Beweis genug dafür, dass die Matheologie das Gehirn tiefgreifend und irreversibel schädigt.

>
> Man muss sich aber fragen, in welchem ANDEREN System als der Mengenlehre sie "Beweise" führen wollen, die unendliche Mengen betreffen. (Bislang hat immer noch die sog. Mengenlehre hier das Hausrecht.)

Sie oben: Es wird lediglich logisches Schließen angewandt.

Gruß, WM

[ich]

Am Samstag, 17. November 2018 13:28:43 UTC+1 schrieb WM:
> Am Samstag, 17. November 2018 12:28:22 UTC+1 schrieb ich:
> > Am Samstag, 17. November 2018 12:03:41 UTC+1 schrieb WM:
> >
> > > > Offenbar ist es für *Sie* sehr schwer zu verstehen, dass sowohl
> > > >
> > > > Vereinigung{A_n : n e IN} = IN
> > > >
> > > > als auch
> > > >
> > > > Schnitt{E_n : n e IN} = {}
> > > >
> > > > gilt.
> > > >
> > > Es ist dagegen leicht zu beweisen, dass beides falsch ist.
> >
> > Na, dann beweisen Sie mal schön, Herr Mückenheim.
> >
> Beweis:

Äh nö, das nachfolgende Gestammel ist kein Beweis, Mückeneheim. Allenfalls einer für Ihr Unvermögen, grundlegende mengentheoretische Sachverhalte zu verstehen.

> Es existieren in der Mengenlehre zwei Behauptungen:
>
> Die Folge der Anfangsabschnitte ist
>

> ({1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...) =/= IN . (1)

Vermutlich meinten Sie hier eher: Kein Term der Folge der Anfangsabschnitte ist gleich IN:

An e IN: A_n =/= IN.

Aber (1) stimmt auch.

Witzigerweise gilt aber (wenn wir die Definition der nat. Zahlen nach von Neumann voraussetzen):

{{}, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, ...} = IN_0

> Die Vereinigung der Anfangsabschnitte ist
>

> {1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U ... = IN . (2)

Jep.

> Was ist in (2), das in (1) fehlt?

Seltsame Frage. Sie vergleichen Äpfel mit Birnen und wundern sich darüber dass es da einen unterschied gibt? Tz tz...

> Der Glaube daran ist Beweis genug dafür, dass die Matheologie das Gehirn
> tiefgreifend und irreversibel schädigt.

*lol*

> > Man muss sich aber fragen, in welchem ANDEREN System als der Mengenlehre
> > sie "Beweise" führen wollen, die unendliche Mengen betreffen. (Bislang hat
> > immer noch die sog. Mengenlehre hier das Hausrecht.)
> >

> Siehe oben: Es wird lediglich logisches Schließen angewandt.

Also kein System. Nun, sorry, so funktioniert Matematik leider nicht.

Unsinnige Behauptungen, die undefinierte Begrffe enthalten, einfach so für korrekt/gultig zu erklären, hat mit Mathematik nichts zu tun, Herr Mückenheim. :-)

[WM]

Am Samstag, 17. November 2018 14:11:26 UTC+1 schrieb ich:
> Am Samstag, 17. November 2018 13:28:43 UTC+1 schrieb WM:


> > Die Folge der Anfangsabschnitte ist
> >
> > ({1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...) =/= IN . (1)
>

> Kein Term der Folge der Anfangsabschnitte ist gleich IN:

Ja.

>
> > Die Vereinigung der Anfangsabschnitte ist
> >
> > {1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U ... = IN . (2)
>

> > Was ist in (2), das in (1) fehlt?
>
> Seltsame Frage. Sie vergleichen Äpfel mit Birnen

Nein, es geht hier nur um natürliche Zahlen und um die simple Frage, ob die Vereinigung der Glieder einer inklusionsmonotonen Mengenfolge eine größere Menge ergeben kann, als alle Folgenglieder.

Gruß, WM

[ich]

Am Samstag, 17. November 2018 14:27:04 UTC+1 schrieb WM:

> es geht hier [...] um die simple Frage, ob die Vereinigung der Glieder

> einer inklusionsmonotonen Mengenfolge eine größere Menge ergeben kann,
> als alle Folgenglieder.

Ok. Das ist eine klar formulierte Frage.

Die Antwort ist: ja.

Hier ein Beispiel dafür:

Wir betrachten (sic!) die Mengenfolge (A_n)_(n e IN) mit A_n := {m e IN : m >= n) (n e IN). Dann gilt für alle n e IN: A_n c A_(n+1). Die Mengenfolge ist also monoton.

Die Vereinigung aller Glieder der Folge

U A_n = U{A_n : n e IN}
neIN

ist gleich IN. (Hier ohne Beweis mitgeteilt.)

Außerdem gilt:

(a) An e IN: card(A_n) < card(IN)

und

(b) An e IN: A_n c IN & A_n =/= IN .

(Für alle n e IN ist also A_n also ECHTE Teilmengen von IN).

Die Vereinigung der Glieder der betrachteten Mengenfolge ist also "größer" als jedes der Folgenglieder.

[ich]

Am Samstag, 17. November 2018 14:47:40 UTC+1 schrieb ich:

Vielleicht ist es aber wirklich hilfreich, statt der Mengenfolge

(A_n) = ({1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...)

die einfacher gestrickte Mengenfolge

(S_n) = ({1}, {2}, {3}, ...) mit S_n = {n} (i e IN)

zu betrachten. Jedes Glied der Folge (S_n) (außer dem ersten) ist "kleiner" als das entsprechende Glied der Folge (A_n):

S_1 = A_1
und
An e IN\{1}: card(S_n) < card(A_n) & S_n c A_n & S_n =/= A_n .

Dennoch ist die Vereinigung aller Terme der Folge (S_n) ebenfalls gleich IN.

Und das ziemlich "offensichtlich".

Es gilt:

U S_n = U{{n} : n e IN} = {1} u {2} u {3} u ... = IN .
neIN

Hinweis: Welche natürliche Zahl sollte denn in U{{n} : n e IN} fehlen und warum? :-)

Tipp: Für jede natürliche Zahl n gibt es eine "zugehörige" Singleton-Menge {n}. daher ist jedes n auch Element der Vereinigung aller Singleton-Mengen.