Aufgabe aus dem Buch von D. Van Dalen et al.

[Fritz Feldhase]

D. Van Dalen, H. C. Doets, H. De Swart: "Sets: Naïve, Axiomatic and
Applied: A Basic Compendium with Exercises for Use in Set Theory for Non
Logicians, Working and Teaching Mathematicians and Students"

| Prove: (A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A) .
|
| Generalize this result to more than three sets.

Der Beweis für (A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A) ist ja schon in einem anderen Thread erbracht worden. Es geht nun um den "2. Teil" der Aufgabe.

Ich persönlich finde diese Aufgabe ein wenig heftig (so früh im Buch, also auf S. 17). Bislang waren die Aufgaben eher "trivial" und mit "elementaren Mitteln" lösbar.

[Ralf Bader]

Ein Element x liegt gemau dann in (A n B) u (B n C) u (C n A), wenn es
in mindestens 2 der drei Mengen A, B, C enthalten ist. Das ist genau
dann der Fall, wenn es in höchstens einer dieser Mengen nicht enthalten
ist. Das wiederum ist genau dann der Fall, wenn es in jeder Vereinigung
von mehr als einer der Mengen enthalten ist, also in (A u B) n (B u C) n
(C u A).

Allgemeiner: Seien n Mengen A1,...,An gegeben, k <= n. Dann ist die
Vereinigung aller möglichen Schnitte von k (verschiedenen) der Mengen Ai
gleich dem Durchschnitt aller möglichen Vereinigungen von n-k+1
(verschiedenen) der Mengen Ai gleich der Menge aller Elemente, die in
mindestens k der Mengen Ai liegen.

Das ist elementar; "elementar" ist nicht gleichbedeutend mit "einfach".
Ein Beispiel hierfür ist Aufgabe 8.50 in
http://euclid.colorado.edu/~monkd/monk29.pdf
(die Sachen auf dieser Webseite seien auch sonst der Aufmerksamkeit
empfohlen).
Zur anschließenden Erholung eine Kleinigkeit aus dem Kinderbuch (für 5
bis 15 Jahre) von Vladimir Igorewitsch. Das kann sogar ChatGPT, obwohl
der von Mathematik nicht wirklich viel Ahnung hat, cf.
https://www.youtube.com/watch?v=medmEMktMlQ
https://www.youtube.com/watch?v=5cYYeuwYF_0
Also: Man berechne die Summe 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/(98*99),
mit einem Fehler von höchstens 1%.

[JVR]

In welcher Klasse lernt man denn in Mückenhausen Klammern aufzulösen? Wenn
es für das Distributivgesetz für die Mückenkinder noch zu früh ist, dann ist das
Buch wohl wirklich nicht geeignet.
Außerdem kommt zu Ostern der Springfrosch und frißt all Mückenkinder auf;
daher spart ihr euch am Besten die Mühe, denen das Auflösen von Klammer schmackhaft
zu machen.

[Fritz Feldhase]

On Friday, April 14, 2023 at 8:25:32 AM UTC+2, JVR wrote:
>
> In welcher Klasse lernt man denn in Mückenhausen Klammern aufzulösen?

Keine Ahnung. Aber hat das irgend etwas mit meinem Posting zu tun? Falls ja, sehe ich den Zusammenhang nicht, sorry.

Btw. dass das "Auflösen der Klammern" (was immer Du damit meinen magst) hier zulässig ist, müsste erst mal gezeigt werden. Du verstehst: Wir wollen hier keine Mückenmatik betreiben.

Wenn Du keine Lust hast, Dich inhaltlich _zu engagieren_, lass es doch einfach!

[JVR]

On Friday, April 14, 2023 at 12:53:32 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> On Friday, April 14, 2023 at 8:25:32 AM UTC+2, JVR wrote:
> >
> > In welcher Klasse lernt man denn in Mückenhausen Klammern aufzulösen?
> Keine Ahnung. Aber hat das irgend etwas mit meinem Posting zu tun?

Ja.

>Falls ja, sehe ich den Zusammenhang nicht, sorry.

Distributivgesetz.

>
> Btw. dass das "Auflösen der Klammern" (was immer Du damit meinen magst) hier zulässig ist, müsste erst mal gezeigt werden.

Ja. Dringend.

> Du verstehst: Wir wollen hier keine Mückenmatik betreiben.

Ja. Lass den Trottel in Ruhe.

>
> Wenn Du keine Lust hast, Dich inhaltlich _zu engagieren_, lass es doch einfach!

Ein guter Rat.

Distributivgesetz? Symmetrie von Summe und Produkt?
Dann _engagiere_ dich mal schön.

[Fritz Feldhase]

On Friday, April 14, 2023 at 6:32:48 AM UTC+2, Ralf Bader wrote:
> On 04/13/2023 04:09 AM, Fritz Feldhase wrote:
> >
> > D. Van Dalen, H. C. Doets, H. De Swart: "Sets: Naïve, Axiomatic and
> > Applied: A Basic Compendium with Exercises for Use in Set Theory for
> > Non Logicians, Working and Teaching Mathematicians and Students"
> >
> > | Prove: (A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A) .
> > | Generalize this result to more than three sets.
> >
> > Der Beweis für (A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n
> > A) ist ja schon in einem anderen Thread erbracht worden. Es geht nun
> > um den "2. Teil" der Aufgabe.
> >
> > Ich persönlich finde diese Aufgabe ein wenig heftig (so früh im Buch,
> > also auf S. 17). Bislang waren die Aufgaben eher "trivial" und mit
> > "elementaren Mitteln" lösbar.
> >

> Ein Element x liegt genau dann in (A n B) u (B n C) u (C n A), wenn es

> in mindestens 2 der drei Mengen A, B, C enthalten ist. Das ist genau
> dann der Fall, wenn es in höchstens einer dieser Mengen nicht enthalten
> ist. Das wiederum ist genau dann der Fall, wenn es in jeder Vereinigung
> von mehr als einer der Mengen enthalten ist, also in (A u B) n (B u C) n
> (C u A).
>
> Allgemeiner: Seien n Mengen A1,...,An gegeben, k <= n. Dann ist die
> Vereinigung aller möglichen Schnitte von k (verschiedenen) der Mengen Ai
> gleich dem Durchschnitt aller möglichen Vereinigungen von n-k+1
> (verschiedenen) der Mengen Ai gleich der Menge aller Elemente, die in
> mindestens k der Mengen Ai liegen.

Genau. Und hier merkt man auch die Limitierung die sich daraus ergibt, dass an der Stelle des Buchs noch keine Mengenfamilien (und entsprechende Vereinigungen bzw. Durchschnitte) definiert/eingeführt worden sind. Man muss dann Zuflucht zu einer "verbalen Beschreibung" des Sachverhalts nehmen. Andererseits VERSTEHT man auf diese Weise (also insbesondere durch Deine Ausführung zur ursprünglichen Gleichung) natürlich "viel besser", warum z. B. (A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A) gilt, als wenn man es einfach nur "blind ausrechnet". :-)

> Das ist elementar; "elementar" ist nicht gleichbedeutend mit "einfach".

In der Tat.

> Also: Man berechne die Summe 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/(98*99),
> mit einem Fehler von höchstens 1%.

Mal überlegen...

[Fritz Feldhase]

Mit etwas Überlegung findet man: SUM_(n=1..k) 1/(n(n+1)) = k/(k+1).

Damit ergibt sich: 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/(99*100) = 99/100 = 0,99.

Die gesuchte Summe ist also 0,99 - 1/(99*100) ~ 0,99 mit einem Fehler (weit) unter 1%.

___________________

Durch einen merkwürdigen Zufall ist diese Summenformel gerade hilfreich in einer "Diskussion" mit Mückenheim, da man mit ihr die "Distanzen zwischen den Stammbrüchen" d(1, 1/2), d(1/2, 1/3), d(1/3, 1/4), ... "aufsummieren" kann.

Wenig überraschend ergibt sich dann SUM_(n=1..oo) 1/(n(n+1)) = 1.

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 15. April 2023 um 17:19:31 UTC+2:

> Durch einen merkwürdigen Zufall ist diese Summenformel gerade hilfreich in einer "Diskussion" mit Mückenheim, da man mit ihr die "Distanzen zwischen den Stammbrüchen" d(1, 1/2), d(1/2, 1/3), d(1/3, 1/4), ... "aufsummieren" kann.
>
> Wenig überraschend ergibt sich dann SUM_(n=1..oo) 1/(n(n+1)) = 1.

Möge sie Dir die Augen öffnen, wenigsten eines.

Wenn es sich um die Summe handelt (und nicht nur um den Grenzwert der Reihe), dann müssen alle Summanden summiert werden, also vorhanden sein - auch der letzte. Aber jedenfalls nach
∀n ∈ ℕ: 1/n - 1/(n+1) = 1/(n(n+1)) > 0
auch von links gesehen die ersten endlich vielen, verteilt über eine endliche Strecke am linken Rand des Intervalls (0, 1], nicht davor.

Deine Behauptung, dass SBZ(x) = ℵo für alle x > 0, ist einfach lächerlich - genau so wie Deine Behauptung, der Schnitt unendlicher inklusionsmonotoner Mengen könne leer sein.

Gruß, WM

[Tom Bola]

Clown WM saicht:

> Deine Behauptung, dass SBZ(x) = ℵo für alle x > 0, ist einfach lächerlich

Das ist Teil der *Definition* unserer Mengenlehre. Wir haben alles so
definiert, dass die Aufzählung deiner affigen Summanden kein Ende hat

Und nun alle weiter round clock lutschen in WMs Arena: hopp, hopp!

[Stephan Gerlach]

Fritz Feldhase schrieb:

> On Friday, April 14, 2023 at 4:03:57 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
>> On Friday, April 14, 2023 at 6:32:48 AM UTC+2, Ralf Bader wrote:
>>> Also: Man berechne die Summe 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/(98*99),
>>> mit einem Fehler von höchstens 1%.
>>>
>> Mal überlegen...
>
> Mit etwas Überlegung findet man: SUM_(n=1..k) 1/(n(n+1)) = k/(k+1).

Anschauliche Vorstellung:
Man nehme 1 ganze (runde) Torte.
Davon nehme man 1/2 weg. Dann bleibt 1/2 Torte übrig.
Von dieser 1/2 Torte nehme man 1/3 weg. Dann bleibt 1/3 Torte übrig.
Von dieser 1/3 Torte nehme man 1/4 weg. Dann bleibt 1/4 Torte übrig.
Von dieser 1/4 Torte nehme man 1/5 weg. Dann bleibt 1/5 Torte übrig.
...

Nach unendlich vielen Schritten ist die gesamte Torte weg.

Interessant, daß die Formel so einfach ist, während es ohne das "+1" bei
n+1 im Nenner bedeutend schwieriger wird.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

[Fritz Feldhase]

On Thursday, April 20, 2023 at 1:56:39 AM UTC+2, Stephan Gerlach wrote:

> Nach unendlich vielen Schritten ist die gesamte Torte weg.

Erzähl das mal nur nicht Mückenheim! :-P

[Ralf Bader]

On 04/16/2023 04:53 PM, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 15. April 2023 um 17:19:31 UTC+2:
>
>> Durch einen merkwürdigen Zufall ist diese Summenformel gerade
>> hilfreich in einer "Diskussion" mit Mückenheim, da man mit ihr die
>> "Distanzen zwischen den Stammbrüchen" d(1, 1/2), d(1/2, 1/3),
>> d(1/3, 1/4), ... "aufsummieren" kann.
>>
>> Wenig überraschend ergibt sich dann SUM_(n=1..oo) 1/(n(n+1)) = 1.
>
> Möge sie Dir die Augen öffnen, wenigsten eines.
>
> Wenn es sich um die Summe handelt (und nicht nur um den Grenzwert der
> Reihe), dann müssen alle Summanden summiert werden, also vorhanden
> sein - auch der letzte.

Mückenheim, daß Sie über etwas schwafeln können, reicht nicht einmal
dann dafür aus, daß es auch existiert, wenn Sie zu blöde sind, das zu
kapieren.

[Jens Kallup]

Am 20.04.2023 um 03:18 schrieb Stephan Gerlach:

> Anschauliche Vorstellung:
> Man nehme 1 ganze (runde) Torte.
> Davon nehme man 1/2 weg. Dann bleibt 1/2 Torte übrig.
> Von dieser 1/2 Torte nehme man 1/3 weg. Dann bleibt 1/3 Torte übrig.
> Von dieser 1/3 Torte nehme man 1/4 weg. Dann bleibt 1/4 Torte übrig.
> Von dieser 1/4 Torte nehme man 1/5 weg. Dann bleibt 1/5 Torte übrig.

1/6 Torte, 1/7 weg, bleibt 1/7
1/7 Torte, 1/8 weg, bleibt 1/8
1/8 Torte, 1/9 weg, bleibt 1/9 <== hier [1]

naja, WM's himmlischer Vater's Sohn, hat doch mit paar Brotkrummen ne
ganze Menge PilgerInnen sat gemacht ... mit unendlich vielen Krumen -
also:

0.1 Krumen den ersten
+ 0.01 Krumen den zweiten
+ 0.001 Krumen den dritten
-------------------------
= 0.111 = 3 Krumen

...

> Nach unendlich vielen Schritten ist die gesamte Torte weg.

naja...
Die Frage die mich hier dann stellt: Wie Lange kann man die Torte
eigentlich aufbewahren, damit die nicht das laufen beginnt ?
wisste wie ... :) ?

Da könnte man doch glatt mal versuchen, wieviel Krumen denn so
eine 360 Grad runde, und 360 Zentimeter hohe Torte hergeben würde...

... ist doch mal ne praktische Aufgabe ?

Oder wieviel denn Fische von 3 Krumen dann satt werden ?

Jens

--
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[Stephan Gerlach]

Fritz Feldhase schrieb:

> On Thursday, April 20, 2023 at 1:56:39 AM UTC+2, Stephan Gerlach wrote:
>
>> Nach unendlich vielen Schritten ist die gesamte Torte weg.
>
> Erzähl das mal nur nicht Mückenheim! :-P

Bei ihm gibt es ja bekanntermaßen kein "unendlich" (zumindest war das
AFAIK mal der Stand der Dinge?!).
Also wird er messerscharf daraus schlußfolgern, daß die Torte niemals
alle wird; es also unmöglich ist, eine Torte überhaupt aufzuessen.
(Oder so ähnlich.)

[Fritz Feldhase]

Für die rege Teilnahme an der Diskussion zu diesem Beitrag möchte ich mich hiermit herzlich bedanken: Immerhin gab es zumindest EINE ernsthafte Antwort. D a s ist doch schon mal was!

On Thursday, April 13, 2023 at 4:09:09 AM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
>