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Fakultätensummen
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Wolfgang Rave
Nov 23, 2022, 11:17:34 AM11/23/22
to
hi all,
ich spiel grad ein bißchen mit Summen von Fakultäten und ihren Konvergenzradien herum. Beispiel:
Sum_n (n!*e^n/n^(n+k)) ist konvergent für k>3/2 und divergent drunter.
Und jetzt bin ich über den hier gestolpert:
Sum_n (n!^k/(2n)!) - bestimme den Konvergenzradius. Ich tippe auf sowas wie k < 2+1/e oder so ähnlich, aber ich hab keine Ahnung. Ab etwa k=5/2 ist das Ding klar divergent, aber ich weiß die genaue Grenze nicht (2 < k < 2,5). Mit Stirling komm ich auf (n/e)^k/2^n/wurzel(2), da werd ich auch nicht so recht schlau draus.
Übrigens ist Sum_n (n!^2/(2n)!) = 0,7363998... < 1, gibts dafür nen geschlossenen Ausdruck?
kopfkratzende Grüzze, euer Wolfgang.
ich spiel grad ein bißchen mit Summen von Fakultäten und ihren Konvergenzradien herum. Beispiel:
Sum_n (n!*e^n/n^(n+k)) ist konvergent für k>3/2 und divergent drunter.
Und jetzt bin ich über den hier gestolpert:
Sum_n (n!^k/(2n)!) - bestimme den Konvergenzradius. Ich tippe auf sowas wie k < 2+1/e oder so ähnlich, aber ich hab keine Ahnung. Ab etwa k=5/2 ist das Ding klar divergent, aber ich weiß die genaue Grenze nicht (2 < k < 2,5). Mit Stirling komm ich auf (n/e)^k/2^n/wurzel(2), da werd ich auch nicht so recht schlau draus.
Übrigens ist Sum_n (n!^2/(2n)!) = 0,7363998... < 1, gibts dafür nen geschlossenen Ausdruck?
kopfkratzende Grüzze, euer Wolfgang.
Andreas Leitgeb
Nov 23, 2022, 12:30:06 PM11/23/22
to
daraus kannst du dann etwas leichter ablesen, wie sich n!
so im vergleich zu Ausdrücken mit n^n verhält.
Wolfgang Rave
Nov 23, 2022, 12:35:50 PM11/23/22
to
Andreas Leitgeb schrieb am Mittwoch, 23. November 2022 um 18:30:06 UTC+1:
> Such mal nach "Stirling" für eine Näherungsformel von n!
> daraus kannst du dann etwas leichter ablesen, wie sich n!
> so im vergleich zu Ausdrücken mit n^n verhält.
Das hab ich als erstes gemacht ("und werd nicht so recht schlau draus").
> Such mal nach "Stirling" für eine Näherungsformel von n!
> daraus kannst du dann etwas leichter ablesen, wie sich n!
> so im vergleich zu Ausdrücken mit n^n verhält.
Ich fürchte allerdings, ich hab etwas gepfuscht:
n!^k / (2n)! = (Stirling) (n/e)^(k-n) /Wurzel(2) oder (e/n)^(n-k)/Wurzel(2),
nur kann ich damit auch kein rechten Konvergenzradius erkennen.
knobelnd, Wolfgang.
Andreas Leitgeb
Nov 23, 2022, 1:38:24 PM11/23/22
to
Wolfgang Rave <in...@rave-edv.de> wrote:
> Andreas Leitgeb schrieb am Mittwoch, 23. November 2022 um 18:30:06 UTC+1:
>> Such mal nach "Stirling" für eine Näherungsformel von n!
>> daraus kannst du dann etwas leichter ablesen, wie sich n!
>> so im vergleich zu Ausdrücken mit n^n verhält.
>
> Das hab ich als erstes gemacht ("und werd nicht so recht schlau draus").
Sorry, deine Erwähnung vom Stirling hab ich wohl nicht mehr gelesen...
> Andreas Leitgeb schrieb am Mittwoch, 23. November 2022 um 18:30:06 UTC+1:
>> Such mal nach "Stirling" für eine Näherungsformel von n!
>> daraus kannst du dann etwas leichter ablesen, wie sich n!
>> so im vergleich zu Ausdrücken mit n^n verhält.
>
> Das hab ich als erstes gemacht ("und werd nicht so recht schlau draus").
hab bei den langen Ausdrücken nur das ! gesehen, und zu lesen aufgehört ;-)
> Ich fürchte allerdings, ich hab etwas gepfuscht:
> n!^k / (2n)! = (Stirling) (n/e)^(k-n) /Wurzel(2) oder (e/n)^(n-k)/Wurzel(2),
> nur kann ich damit auch kein rechten Konvergenzradius erkennen.
also gehts dann wohl um (e/n)^(n-k) ... das kann man mal umformen:
... = (n/e)^(k-n) = e^ ( log(n)*(k-n)-(k-n) )
e^... ist wohl konvergent, wenn das ... < 0 ist...
gehts damit schon weiter?
Ich hab die obige Ableitung nicht nachgerechnet. Hast du zumindest
geprüft, dass der vereinfachte Ausdruck seinen Konv.Radius zumindest
ungefähr im gleichen bereits abgesteckten Bereich wie der ursprüngliche
Ausdruck hat?
Wolfgang Rave
Nov 24, 2022, 12:18:43 PM11/24/22
to
Andreas Leitgeb schrieb am Mittwoch, 23. November 2022 um 19:38:24 UTC+1:
Hi all,
also nochmal schön der Reihe nach. Mit Stirling:
n!^k/(2n)! =
(n/e)^(n+k) *Wurzel(2npi)^k /Wurzel(4npi) *(e/2n)^2n =
(e/n)^(n-k) (npi)^((k-1)/2) *Wurzel(2)^k /2^(2n+1) =
(e/n)^(n-k) (npi)^((k-1)/2) *2^(k/2-2n-1).
Bitte nachprüfen ob die Herleitung stimmt, ich hab mich da etwas verheddert.
Komischerweise krieg ich bei der Summierung dieses Ausdrucks für k=2 etwa die Hälfte des korrekten Summenwerts raus, nämlich
0,370204638176853
statt
0,736399858718715 = (pi*Wurzel(3)+9)/27
Letzteres ist der geschlossene Ausdruck, nach dem ich gefragt hatte (siehe
https://mathworld.wolfram.com/FactorialSums.html ).
Mit (e/n)^(n-k) (npi)^((k-1)/2) *2^(k/2-2n) , also ohne die -1 bei den 2erPotenzen ergibt die Summierung
0,740409276353707 (exakt das Doppelte von oben) - na ja, knapp daneben is auch vorbei.
Und einen Konvergenzradius kann ich aus den schrägen Formeln auch nicht recht ablesen.
Das riecht nach Arbeit …!
>
> also gehts dann wohl um (e/n)^(n-k) ... das kann man mal umformen:
> ... = (n/e)^(k-n) = e^ ( log(n)*(k-n)-(k-n) )
>
> e^... ist wohl konvergent, wenn das ... < 0 ist...
>
Humm ... ln (n/e)^(k-n) = (k-n)(ln(n) - 1) - aber das sieht etwas anders aus.
Irwie klemmts da grad so bißken.
Anybody else any ideas?
Herzlich Wolfgang.
Hi all,
also nochmal schön der Reihe nach. Mit Stirling:
n!^k/(2n)! =
(n/e)^(n+k) *Wurzel(2npi)^k /Wurzel(4npi) *(e/2n)^2n =
(e/n)^(n-k) (npi)^((k-1)/2) *Wurzel(2)^k /2^(2n+1) =
(e/n)^(n-k) (npi)^((k-1)/2) *2^(k/2-2n-1).
Bitte nachprüfen ob die Herleitung stimmt, ich hab mich da etwas verheddert.
Komischerweise krieg ich bei der Summierung dieses Ausdrucks für k=2 etwa die Hälfte des korrekten Summenwerts raus, nämlich
0,370204638176853
statt
0,736399858718715 = (pi*Wurzel(3)+9)/27
Letzteres ist der geschlossene Ausdruck, nach dem ich gefragt hatte (siehe
https://mathworld.wolfram.com/FactorialSums.html ).
Mit (e/n)^(n-k) (npi)^((k-1)/2) *2^(k/2-2n) , also ohne die -1 bei den 2erPotenzen ergibt die Summierung
0,740409276353707 (exakt das Doppelte von oben) - na ja, knapp daneben is auch vorbei.
Und einen Konvergenzradius kann ich aus den schrägen Formeln auch nicht recht ablesen.
Das riecht nach Arbeit …!
>
> also gehts dann wohl um (e/n)^(n-k) ... das kann man mal umformen:
> ... = (n/e)^(k-n) = e^ ( log(n)*(k-n)-(k-n) )
>
> e^... ist wohl konvergent, wenn das ... < 0 ist...
>
Irwie klemmts da grad so bißken.
Anybody else any ideas?
Herzlich Wolfgang.
Stephan Gerlach
Nov 24, 2022, 8:01:06 PM11/24/22
to
Wolfgang Rave schrieb:
Das sollte am ehesten - zumindest "ungefähr" - aus der Stirling-Formel
(die du beim anderen Beispiel unten erwähnst) folgen. Die
Stirling-Formel ist ja "nur" eine Näherungsformel für große n; es wäre
zu überlegen, wie man damit die Konvergenz für k>3/2 exakt(!) begründet.
Die Begründung
"für große n ist ungefähr a_n = b_n, und da Sum_n (b_n) konvergiert,
gilt dies auch für Sum_n (a_n)"
ist naheliegend, aber nicht ganz exakt.
> Und jetzt bin ich über den hier gestolpert:
> Sum_n (n!^k/(2n)!) - bestimme den Konvergenzradius. Ich tippe auf sowas wie k < 2+1/e
Modulo Rechenfehler (aufgrund ungünstiger Posting-Uhrzeit):
Vielleicht k=2?
Einfach mit dem Quotientenkriterium für unendliche Reihen probieren.
Für k=2 gibt es "noch" Konvergenz (für k<2 sowieso); für k>2 dann schon
nicht mehr (wenn ich keinen Rechenfehler drin hatte).
> oder so ähnlich, aber ich hab keine Ahnung. Ab etwa k=5/2 ist das Ding klar divergent, ...
Würde ja zu k=2 passen.
> ... aber ich weiß die genaue Grenze nicht (2 < k < 2,5).
Wie kommst du darauf, daß k>2 sein muß (also *nicht* gleich 2)?
Unten schreibst du ja selbst, daß die Reihe für k=2 "noch" konvergent zu
sein scheint.
> Mit Stirling komm ich auf (n/e)^k/2^n/wurzel(2), da werd ich auch nicht so recht schlau draus.
Ich auch nicht. Daher habe ich es mit dem Quotientenkriterium probiert.
> Übrigens ist Sum_n (n!^2/(2n)!) = 0,7363998... < 1, gibts dafür nen geschlossenen Ausdruck?
Das wäre in dem Fall (k=2) zumindest eher denkbar als beim ersten
Beispiel, da nicht ein Ausdruck der Form n^n vorkommt.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
> hi all,
> ich spiel grad ein bißchen mit Summen von Fakultäten und ihren Konvergenzradien herum. Beispiel:
> Sum_n (n!*e^n/n^(n+k)) ist konvergent für k>3/2 und divergent drunter.
Und für k=3/2 sollte die Reihe auch divergent sein.
> ich spiel grad ein bißchen mit Summen von Fakultäten und ihren Konvergenzradien herum. Beispiel:
> Sum_n (n!*e^n/n^(n+k)) ist konvergent für k>3/2 und divergent drunter.
Das sollte am ehesten - zumindest "ungefähr" - aus der Stirling-Formel
(die du beim anderen Beispiel unten erwähnst) folgen. Die
Stirling-Formel ist ja "nur" eine Näherungsformel für große n; es wäre
zu überlegen, wie man damit die Konvergenz für k>3/2 exakt(!) begründet.
Die Begründung
"für große n ist ungefähr a_n = b_n, und da Sum_n (b_n) konvergiert,
gilt dies auch für Sum_n (a_n)"
ist naheliegend, aber nicht ganz exakt.
> Und jetzt bin ich über den hier gestolpert:
> Sum_n (n!^k/(2n)!) - bestimme den Konvergenzradius. Ich tippe auf sowas wie k < 2+1/e
Vielleicht k=2?
Einfach mit dem Quotientenkriterium für unendliche Reihen probieren.
Für k=2 gibt es "noch" Konvergenz (für k<2 sowieso); für k>2 dann schon
nicht mehr (wenn ich keinen Rechenfehler drin hatte).
> oder so ähnlich, aber ich hab keine Ahnung. Ab etwa k=5/2 ist das Ding klar divergent, ...
Würde ja zu k=2 passen.
> ... aber ich weiß die genaue Grenze nicht (2 < k < 2,5).
Wie kommst du darauf, daß k>2 sein muß (also *nicht* gleich 2)?
Unten schreibst du ja selbst, daß die Reihe für k=2 "noch" konvergent zu
sein scheint.
> Mit Stirling komm ich auf (n/e)^k/2^n/wurzel(2), da werd ich auch nicht so recht schlau draus.
> Übrigens ist Sum_n (n!^2/(2n)!) = 0,7363998... < 1, gibts dafür nen geschlossenen Ausdruck?
Beispiel, da nicht ein Ausdruck der Form n^n vorkommt.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Wolfgang Rave
Nov 25, 2022, 3:27:20 AM11/25/22
to
Stephan Gerlach schrieb am Freitag, 25. November 2022 um 02:01:06 UTC+1:
> Wolfgang Rave schrieb:
> > Und jetzt bin ich über den hier gestolpert:
> > Sum_n (n!^k/(2n)!) - bestimme den Konvergenzradius. Ich tippe auf sowas wie k < 2+1/e
> Modulo Rechenfehler (aufgrund ungünstiger Posting-Uhrzeit):
> Vielleicht k=2?
Es riecht nach k<=2.
> Einfach mit dem Quotientenkriterium für unendliche Reihen probieren.
> Für k=2 gibt es "noch" Konvergenz (für k<2 sowieso); für k>2 dann schon
> nicht mehr (wenn ich keinen Rechenfehler drin hatte).
Du hast recht, mit dem Quot.-Krit. kriegt mans raus.
> Wie kommst du darauf, daß k>2 sein muß (also *nicht* gleich 2)?
> Unten schreibst du ja selbst, daß die Reihe für k=2 "noch" konvergent zu
> sein scheint.
Weil mir mein Maple für 2<k<9/4 noch endliche Summenwerte (<1) ausspuckt,
aber das ist FALSCH. Immerhin weiß ich jetzt, daß Maple mit solchen Spezi-Summen
ein paar Probleme zu haben scheint. Is immer haklig, wenn die Einzelterme riesig
groß werden, die Quotienten dann wieder klein werden und das summierste auf.
> > Übrigens ist Sum_n (n!^2/(2n)!) = 0,7363998... < 1, gibts dafür nen geschlossenen Ausdruck?
>
Der geschlosses Ausdruck ist (9 + 2*pi*sqrt(3))/27 (siehe oben).
Und Sum_n (n!)/(2n)! = 1/2* e^(-4) * pi^(1/2) * erf(1/2) = 0.592296536469...
Wolfgang.
> Wolfgang Rave schrieb:
>
> Und für k=3/2 sollte die Reihe auch divergent sein.
Richtig. k = 3/2 (nach Stirling) Sum_n (n!*e^n/n^(n+k)) ~ Sum_n 1/n (harmonische Reihe).
> Und für k=3/2 sollte die Reihe auch divergent sein.
> > Und jetzt bin ich über den hier gestolpert:
> > Sum_n (n!^k/(2n)!) - bestimme den Konvergenzradius. Ich tippe auf sowas wie k < 2+1/e
> Modulo Rechenfehler (aufgrund ungünstiger Posting-Uhrzeit):
> Vielleicht k=2?
> Einfach mit dem Quotientenkriterium für unendliche Reihen probieren.
> Für k=2 gibt es "noch" Konvergenz (für k<2 sowieso); für k>2 dann schon
> nicht mehr (wenn ich keinen Rechenfehler drin hatte).
> Wie kommst du darauf, daß k>2 sein muß (also *nicht* gleich 2)?
> Unten schreibst du ja selbst, daß die Reihe für k=2 "noch" konvergent zu
> sein scheint.
aber das ist FALSCH. Immerhin weiß ich jetzt, daß Maple mit solchen Spezi-Summen
ein paar Probleme zu haben scheint. Is immer haklig, wenn die Einzelterme riesig
groß werden, die Quotienten dann wieder klein werden und das summierste auf.
> > Übrigens ist Sum_n (n!^2/(2n)!) = 0,7363998... < 1, gibts dafür nen geschlossenen Ausdruck?
>
Und Sum_n (n!)/(2n)! = 1/2* e^(-4) * pi^(1/2) * erf(1/2) = 0.592296536469...
>
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
Merci für Deinen Input, hast Brain 1.0 bei mir aktiviert. ;-)
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
Wolfgang.
Andreas Leitgeb
Nov 25, 2022, 7:43:41 AM11/25/22
to
Wolfgang Rave <in...@rave-edv.de> wrote:
> Hi all,
> also nochmal schön der Reihe nach. Mit Stirling:
> n!^k/(2n)! =
> (n/e)^(n+k) *Wurzel(2npi)^k /Wurzel(4npi) *(e/2n)^2n =
Urks, ich glaube hier ist was passiert... statt (n+k)
> Hi all,
> also nochmal schön der Reihe nach. Mit Stirling:
> n!^k/(2n)! =
> (n/e)^(n+k) *Wurzel(2npi)^k /Wurzel(4npi) *(e/2n)^2n =
hätte ich hier (n*k) erwartet...
Damit sind die anderen bisherigen Ergebnisse wohl hinfällig.
Stephan Gerlach
Nov 25, 2022, 8:38:57 PM11/25/22
to
Wolfgang Rave schrieb:
>>> Übrigens ist Sum_n (n!^2/(2n)!) = 0,7363998... < 1, gibts dafür nen geschlossenen Ausdruck?
> Der geschlosses Ausdruck ist (9 + 2*pi*sqrt(3))/27 (siehe oben).
> Und Sum_n (n!)/(2n)! = 1/2* e^(-4) * pi^(1/2) * erf(1/2) = 0.592296536469...
Wie hast du diese geschlossenen Ausdrücke bekommen/bewiesen?
So ganz trivial sieht mir das nicht aus.
Nur geraten:
Es wäre z.B. denkbar, daß die genannten Ergebnisse als "Nebenprodukte"
bzw. Spezialfälle irgendwelcher Potenzreihen(?!) oder Fourierreihen(!?)
rauskommen.
--
> Stephan Gerlach schrieb am Freitag, 25. November 2022 um 02:01:06 UTC+1:
>> Wolfgang Rave schrieb:
[...]
>> Wolfgang Rave schrieb:
>>> Und jetzt bin ich über den hier gestolpert:
>>> Sum_n (n!^k/(2n)!) - bestimme den Konvergenzradius. Ich tippe auf sowas wie k < 2+1/e
>> Modulo Rechenfehler (aufgrund ungünstiger Posting-Uhrzeit):
>> Vielleicht k=2?
>
> Es riecht nach k<=2.
>
>> Einfach mit dem Quotientenkriterium für unendliche Reihen probieren.
>> Für k=2 gibt es "noch" Konvergenz (für k<2 sowieso); für k>2 dann schon
>> nicht mehr (wenn ich keinen Rechenfehler drin hatte).
>
> Du hast recht, mit dem Quot.-Krit. kriegt mans raus.
>
>> Wie kommst du darauf, daß k>2 sein muß (also *nicht* gleich 2)?
>> Unten schreibst du ja selbst, daß die Reihe für k=2 "noch" konvergent zu
>> sein scheint.
>
> Weil mir mein Maple für 2<k<9/4 noch endliche Summenwerte (<1) ausspuckt,
> aber das ist FALSCH. Immerhin weiß ich jetzt, daß Maple mit solchen Spezi-Summen
> ein paar Probleme zu haben scheint. Is immer haklig, wenn die Einzelterme riesig
> groß werden, die Quotienten dann wieder klein werden und das summierste auf.
Ein typisches Problem numerischer Berechnungen.
>>> Sum_n (n!^k/(2n)!) - bestimme den Konvergenzradius. Ich tippe auf sowas wie k < 2+1/e
>> Modulo Rechenfehler (aufgrund ungünstiger Posting-Uhrzeit):
>> Vielleicht k=2?
>
> Es riecht nach k<=2.
>
>> Einfach mit dem Quotientenkriterium für unendliche Reihen probieren.
>> Für k=2 gibt es "noch" Konvergenz (für k<2 sowieso); für k>2 dann schon
>> nicht mehr (wenn ich keinen Rechenfehler drin hatte).
>
> Du hast recht, mit dem Quot.-Krit. kriegt mans raus.
>
>> Wie kommst du darauf, daß k>2 sein muß (also *nicht* gleich 2)?
>> Unten schreibst du ja selbst, daß die Reihe für k=2 "noch" konvergent zu
>> sein scheint.
>
> Weil mir mein Maple für 2<k<9/4 noch endliche Summenwerte (<1) ausspuckt,
> aber das ist FALSCH. Immerhin weiß ich jetzt, daß Maple mit solchen Spezi-Summen
> ein paar Probleme zu haben scheint. Is immer haklig, wenn die Einzelterme riesig
> groß werden, die Quotienten dann wieder klein werden und das summierste auf.
>>> Übrigens ist Sum_n (n!^2/(2n)!) = 0,7363998... < 1, gibts dafür nen geschlossenen Ausdruck?
> Der geschlosses Ausdruck ist (9 + 2*pi*sqrt(3))/27 (siehe oben).
> Und Sum_n (n!)/(2n)! = 1/2* e^(-4) * pi^(1/2) * erf(1/2) = 0.592296536469...
So ganz trivial sieht mir das nicht aus.
Nur geraten:
Es wäre z.B. denkbar, daß die genannten Ergebnisse als "Nebenprodukte"
bzw. Spezialfälle irgendwelcher Potenzreihen(?!) oder Fourierreihen(!?)
rauskommen.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
Martin Vaeth
Nov 26, 2022, 2:00:20 AM11/26/22
to
Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:
> Wolfgang Rave schrieb:
hat irgendwas als Reihenwert ausgespuckt. Wer weiß: Vielleicht stimmt das
Ergebnis von Maple sogar, wenn man nur die richtigen Zweige im komplexen
Logarithmus nimmt?
>>>> Übrigens ist Sum_n (n!^2/(2n)!) = 0,7363998... < 1, gibts dafür
>>>> nen geschlossenen Ausdruck?
>> Der geschlosses Ausdruck ist (9 + 2*pi*sqrt(3))/27 (siehe oben).
>> Und Sum_n (n!)/(2n)! = 1/2* e^(-4) * pi^(1/2) * erf(1/2) = 0.592296536469...
>
> Wie hast du diese geschlossenen Ausdrücke bekommen/bewiesen?
Klingt nach einer Ausgabe von Maple. Maple ist erstaunlich gut in solchen
Dingen, aber man darf dem Ergebnis halt nicht immer trauen (s. oben).
> Wolfgang Rave schrieb:
>>
>> Weil mir mein Maple für 2<k<9/4 noch endliche Summenwerte (<1) ausspuckt,
>> aber das ist FALSCH. Immerhin weiß ich jetzt, daß Maple mit solchen
>> Spezi-Summen ein paar Probleme zu haben scheint. Is immer haklig, wenn
>> die Einzelterme riesig groß werden, die Quotienten dann wieder klein
>> werden und das summierste auf.
>
> Ein typisches Problem numerischer Berechnungen.
Ich *vermute*, das waren keine numerischen Berechnungen, sondern Maple
>> Weil mir mein Maple für 2<k<9/4 noch endliche Summenwerte (<1) ausspuckt,
>> aber das ist FALSCH. Immerhin weiß ich jetzt, daß Maple mit solchen
>> Spezi-Summen ein paar Probleme zu haben scheint. Is immer haklig, wenn
>> die Einzelterme riesig groß werden, die Quotienten dann wieder klein
>> werden und das summierste auf.
>
> Ein typisches Problem numerischer Berechnungen.
hat irgendwas als Reihenwert ausgespuckt. Wer weiß: Vielleicht stimmt das
Ergebnis von Maple sogar, wenn man nur die richtigen Zweige im komplexen
Logarithmus nimmt?
>>>> Übrigens ist Sum_n (n!^2/(2n)!) = 0,7363998... < 1, gibts dafür
>>>> nen geschlossenen Ausdruck?
>> Der geschlosses Ausdruck ist (9 + 2*pi*sqrt(3))/27 (siehe oben).
>> Und Sum_n (n!)/(2n)! = 1/2* e^(-4) * pi^(1/2) * erf(1/2) = 0.592296536469...
>
> Wie hast du diese geschlossenen Ausdrücke bekommen/bewiesen?
Dingen, aber man darf dem Ergebnis halt nicht immer trauen (s. oben).
Wolfgang Rave
Nov 26, 2022, 2:51:04 AM11/26/22
to
Stephan Gerlach schrieb am Samstag, 26. November 2022 um 02:38:57 UTC+1:
> > Der geschlosses Ausdruck ist (9 + 2*pi*sqrt(3))/27 (siehe oben).
> > Und Sum_n (n!)/(2n)! = 1/2* e^(-4) * pi^(1/2) * erf(1/2) = 0.592296536469...
> Wie hast du diese geschlossenen Ausdrücke bekommen/bewiesen?
> So ganz trivial sieht mir das nicht aus.
>
> Nur geraten:
> Es wäre z.B. denkbar, daß die genannten Ergebnisse als "Nebenprodukte"
> bzw. Spezialfälle irgendwelcher Potenzreihen(?!) oder Fourierreihen(!?)
> rauskommen.
>
Steht bei wolfram mathworld "Factorial sums". Is ja häufig so, daß derlei Summen
> > Der geschlosses Ausdruck ist (9 + 2*pi*sqrt(3))/27 (siehe oben).
> > Und Sum_n (n!)/(2n)! = 1/2* e^(-4) * pi^(1/2) * erf(1/2) = 0.592296536469...
> Wie hast du diese geschlossenen Ausdrücke bekommen/bewiesen?
> So ganz trivial sieht mir das nicht aus.
>
> Nur geraten:
> Es wäre z.B. denkbar, daß die genannten Ergebnisse als "Nebenprodukte"
> bzw. Spezialfälle irgendwelcher Potenzreihen(?!) oder Fourierreihen(!?)
> rauskommen.
>
irgendwas mit vielen pi's und e's ergeben, aber selber ausgerechnet hab ichs nicht.
Wolfgang.
Wolfgang Rave
Nov 26, 2022, 2:56:07 AM11/26/22
to
Martin Vaeth schrieb am Samstag, 26. November 2022 um 08:00:20 UTC+1:
> Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:
> Ich *vermute*, das waren keine numerischen Berechnungen, sondern Maple
> hat irgendwas als Reihenwert ausgespuckt. Wer weiß: Vielleicht stimmt das
> Ergebnis von Maple sogar, wenn man nur die richtigen Zweige im komplexen
> Logarithmus nimmt?
Wäre möglich. Aber den Bug in Maple jetzt rauszupfriemeln is mir zu aufwendig.
> Klingt nach einer Ausgabe von Maple. Maple ist erstaunlich gut in solchen
> Dingen, aber man darf dem Ergebnis halt nicht immer trauen (s. oben).
Ja, leider.
Maple spuckt nur die hypergeometrische Funktion aus, aber dem bin ich
nachgegangen und habs schließlich bei wolframs mathworld gefunden.
Den geschlossenen Ausdruck selber zeigts mir nicht an.
Wolfgang.
> Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:
>
> > Ein typisches Problem numerischer Berechnungen.
So ist es.
> > Ein typisches Problem numerischer Berechnungen.
> Ich *vermute*, das waren keine numerischen Berechnungen, sondern Maple
> hat irgendwas als Reihenwert ausgespuckt. Wer weiß: Vielleicht stimmt das
> Ergebnis von Maple sogar, wenn man nur die richtigen Zweige im komplexen
> Logarithmus nimmt?
> Klingt nach einer Ausgabe von Maple. Maple ist erstaunlich gut in solchen
> Dingen, aber man darf dem Ergebnis halt nicht immer trauen (s. oben).
Maple spuckt nur die hypergeometrische Funktion aus, aber dem bin ich
nachgegangen und habs schließlich bei wolframs mathworld gefunden.
Den geschlossenen Ausdruck selber zeigts mir nicht an.
Wolfgang.
Paul Paulsen
Nov 26, 2022, 3:57:56 AM11/26/22
to
Am 26.11.2022 um 08:51 schrieb Wolfgang Rave:
> Steht bei wolfram mathworld "Factorial sums". Is ja häufig so, daß derlei Summen
> irgendwas mit vielen pi's und e's ergeben, aber selber ausgerechnet hab ichs nicht.
interessant wäre, rauszufinden, ab welcher Stelle Maple oder
> Steht bei wolfram mathworld "Factorial sums". Is ja häufig so, daß derlei Summen
> irgendwas mit vielen pi's und e's ergeben, aber selber ausgerechnet hab ichs nicht.
Wolfram aufrundet, und so die Ergebnisse verfälscht.
Würde zwar maginal klein sein diese Spanne, aber auf größere
Spannen ...
Ich meine gelesen zu Haben, das die Chiphersteller neuerdings
eine Fehlerquote in Ihren CPU's einrechnen, die nicht immer
gleich sind, weil Technik halt ...
Stephan Gerlach
Nov 27, 2022, 5:55:54 PM11/27/22
to
Martin Vaeth schrieb:
Lösung kommen, d.h. das irgendwie "ausrechnen".
>>>>> Übrigens ist Sum_n (n!^2/(2n)!) = 0,7363998... < 1, gibts dafür
>>>>> nen geschlossenen Ausdruck?
>>> Der geschlosses Ausdruck ist (9 + 2*pi*sqrt(3))/27 (siehe oben).
>>> Und Sum_n (n!)/(2n)! = 1/2* e^(-4) * pi^(1/2) * erf(1/2) = 0.592296536469...
>> Wie hast du diese geschlossenen Ausdrücke bekommen/bewiesen?
>
> Klingt nach einer Ausgabe von Maple. Maple ist erstaunlich gut in solchen
> Dingen, aber man darf dem Ergebnis halt nicht immer trauen (s. oben).
Auch Maple (oder irgendein anderes Programm) muß ja irgendwie auf die
>>>>> nen geschlossenen Ausdruck?
>>> Der geschlosses Ausdruck ist (9 + 2*pi*sqrt(3))/27 (siehe oben).
>>> Und Sum_n (n!)/(2n)! = 1/2* e^(-4) * pi^(1/2) * erf(1/2) = 0.592296536469...
>> Wie hast du diese geschlossenen Ausdrücke bekommen/bewiesen?
>
> Klingt nach einer Ausgabe von Maple. Maple ist erstaunlich gut in solchen
> Dingen, aber man darf dem Ergebnis halt nicht immer trauen (s. oben).
Lösung kommen, d.h. das irgendwie "ausrechnen".
Andreas Leitgeb
Nov 28, 2022, 6:02:36 AM11/28/22
to
Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> wrote:
> Martin Vaeth schrieb:
>> Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:
>>> Wolfgang Rave schrieb:
>>>>>> Übrigens ist Sum_n (n!^2/(2n)!) = 0,7363998... < 1, gibts dafür
>>>>>> nen geschlossenen Ausdruck?
>>>> Der geschlosses Ausdruck ist (9 + 2*pi*sqrt(3))/27 (siehe oben).
>>>> Und Sum_n (n!)/(2n)! = 1/2* e^(-4) * pi^(1/2) * erf(1/2) = 0.592296536469...
>>> Wie hast du diese geschlossenen Ausdrücke bekommen/bewiesen?
>> Klingt nach einer Ausgabe von Maple. Maple ist erstaunlich gut in solchen
>> Dingen, aber man darf dem Ergebnis halt nicht immer trauen (s. oben).
> Auch Maple (oder irgendein anderes Programm) muß ja irgendwie auf die
> Lösung kommen, d.h. das irgendwie "ausrechnen".
Soetwas hat Leibniz wohl auch geglaubt, als er das Ergebnis der harmonischen
> Martin Vaeth schrieb:
>> Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:
>>> Wolfgang Rave schrieb:
>>>>>> Übrigens ist Sum_n (n!^2/(2n)!) = 0,7363998... < 1, gibts dafür
>>>>>> nen geschlossenen Ausdruck?
>>>> Der geschlosses Ausdruck ist (9 + 2*pi*sqrt(3))/27 (siehe oben).
>>>> Und Sum_n (n!)/(2n)! = 1/2* e^(-4) * pi^(1/2) * erf(1/2) = 0.592296536469...
>>> Wie hast du diese geschlossenen Ausdrücke bekommen/bewiesen?
>> Klingt nach einer Ausgabe von Maple. Maple ist erstaunlich gut in solchen
>> Dingen, aber man darf dem Ergebnis halt nicht immer trauen (s. oben).
> Auch Maple (oder irgendein anderes Programm) muß ja irgendwie auf die
> Lösung kommen, d.h. das irgendwie "ausrechnen".
Reihe mit seiner mechanischen Rechenmaschine ausrechnete...
(Damals war er noch "Ingenieur". Erst, nachdem er für diese "Summe"
dann ausgelacht wurde, legte er sich die mathematischen Grundlagen
zu, und wurde ein richtig guter Mathematiker - so hat es der Dozent
an der Uni damals in einer Vorlesung erzählt - andere Quelle kenne
ich leider keine dazu)
Martin Vaeth
Nov 28, 2022, 1:54:07 PM11/28/22
to
Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:
> Martin Vaeth schrieb:
und Limiten hart einkodiert und eine Unmenge an Umformungsregeln. Mit
welchen Methoden Maple genau sucht, ist mir unbekannt - ist ja i.W.
leider alles closed source.
Aber schon vor mehr als 50 Jahren wurden sehr trickreiche Verfahren zur
symbolischen Integration entwickelt, die man "von Hand" nicht mehr
wirklich nachvollziehen kann (Risch-Algorithmus). Und die Forschung
auf dem Gebiet der symbolischen Mathematik ist nicht stehen geblieben.
Es würde mich wundern, wenn man das wirklich manuell nachvollziehen
kann. Und wenn, dann wird das nur auf irgendwelche "bekannten" Formeln
zurückgeführt.
Fehler kann es dabei viele geben: Von reinen Tippfehlern bei den
"bekannten" Formeln angefangen, über Implementationsfehler im
Algorithmus, bis dahin, dass das Ergebnis gar nicht falsch ist,
sondern eben - wie erwähnt - nur irgendwo andere Zweige des
Logarithmus genommen wurden o.ä. Letzteres ist auch beim
Risch-Algorithmus das Problematische: Dass man komplex invertieren
muss, und die Nicht-Eindeutigkeit dabei Probleme bereitet.
> Martin Vaeth schrieb:
>>
>> Klingt nach einer Ausgabe von Maple. Maple ist erstaunlich gut in solchen
>> Dingen, aber man darf dem Ergebnis halt nicht immer trauen (s. oben).
>
> Auch Maple (oder irgendein anderes Programm) muß ja irgendwie auf die
> Lösung kommen, d.h. das irgendwie "ausrechnen".
Jein: Maple hat mit Sicherheit eine riesige Anzahl von speziellen Summen
>> Klingt nach einer Ausgabe von Maple. Maple ist erstaunlich gut in solchen
>> Dingen, aber man darf dem Ergebnis halt nicht immer trauen (s. oben).
>
> Auch Maple (oder irgendein anderes Programm) muß ja irgendwie auf die
> Lösung kommen, d.h. das irgendwie "ausrechnen".
und Limiten hart einkodiert und eine Unmenge an Umformungsregeln. Mit
welchen Methoden Maple genau sucht, ist mir unbekannt - ist ja i.W.
leider alles closed source.
Aber schon vor mehr als 50 Jahren wurden sehr trickreiche Verfahren zur
symbolischen Integration entwickelt, die man "von Hand" nicht mehr
wirklich nachvollziehen kann (Risch-Algorithmus). Und die Forschung
auf dem Gebiet der symbolischen Mathematik ist nicht stehen geblieben.
Es würde mich wundern, wenn man das wirklich manuell nachvollziehen
kann. Und wenn, dann wird das nur auf irgendwelche "bekannten" Formeln
zurückgeführt.
Fehler kann es dabei viele geben: Von reinen Tippfehlern bei den
"bekannten" Formeln angefangen, über Implementationsfehler im
Algorithmus, bis dahin, dass das Ergebnis gar nicht falsch ist,
sondern eben - wie erwähnt - nur irgendwo andere Zweige des
Logarithmus genommen wurden o.ä. Letzteres ist auch beim
Risch-Algorithmus das Problematische: Dass man komplex invertieren
muss, und die Nicht-Eindeutigkeit dabei Probleme bereitet.
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