Unmögliche Aufgabe?

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Udo

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Sep 17, 2021, 11:42:02 AMSep 17
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Hallo,
in dem von Rainer Rosenthal am 30.08.2021 eröffneten Thread
"Wurzel(x*Wurzel(x)-x) + Wurzel(x) = x"
findet sich der Link auf eine Aufgaben-Liste:

https://www.frankfurt-university.de/fileadmin/standard/Hochschule/
Fachbereich_1/Kontakt/Lehrkraft_fuer_besondere_Aufgaben/
Baumann_Astrid/Dokumente/BaumannVortragBrandbriefMainz160318HOME.pdf

Bei den Aufgaben wird ausdrücklich gefordert, dass sie OHNE Taschenrechner zu lösen sind. Bei folgender Aufgabe sehe ich nur
die Möglichkeit einer numerischen Lösung, die auch
Wolfram alpha anbietet, sobald ich logarithmiere.

Zu lösen ist:

7 * Wurzel(9^x) = 3^(7x-8) + 4 * 3^x

Nach etlichen Umformungsschritten komme ich auf die Gleichung

33 * 3^16 = 3^(6x) * [3^(6x) + 8 * 3^8]

Und hier sehe ich keine weitere Umformungsmöglichkeit ohne zu logarithmieren.

Was übersehe ich hier? Gibt es noch Möglichkeiten, das so umzuformen,
dass man das Logarithmieren vermeiden kann?
Denn, sobald man logarithmiert ist das doch nur numerisch zu lösen ...?

Wäre für Hilfe sehr dankbar, weil wir an diesem Problem jetzt schon
eine ganze Weile knabbern.

(Die Lösung ist x = 3/2)

Gruß Udo

Dieter Heidorn

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Sep 17, 2021, 12:36:33 PMSep 17
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Udo schrieb:

> Zu lösen ist:
>
> 7 * Wurzel(9^x) = 3^(7x-8) + 4 * 3^x
>
> Nach etlichen Umformungsschritten komme ich auf die Gleichung
>
> 33 * 3^16 = 3^(6x) * [3^(6x) + 8 * 3^8]
>
> Und hier sehe ich keine weitere Umformungsmöglichkeit ohne zu logarithmieren.
>
> Was übersehe ich hier? Gibt es noch Möglichkeiten, das so umzuformen,
> dass man das Logarithmieren vermeiden kann?

Ja, wenn man zunächst die Wurzel auf der linken Seite der gegebenen
Gleichung mit Potenzgesetz für gebrochene Hochzahl umformt:

W(9^x) = (9^x)^(1/2) = 9^(x/2) = (9^(1/2))^x = 3^x

Einsetzen in die gegebene Gleichung und deren rechte Seite mit
Potenzgesetzen umformen:

7*W(9^x) = 3^(7x-8) + 4*3^x

7*3^x = (3^x)^7 * 3^(-8) + 4*3^x

durch 3^x dividieren:

7 = (3^x)^6 * 3^(-8) + 4

auf beiden Seiten 4 abziehen, dann mit 3^8 multiplizieren:

3*3^8 = 3^(6*x)

3^9 = 3^(6*x)

Exponentenvergleich:

9 = 6*x

also:

x = 3/2

Dieter Heidorn

Ralf Bader

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Sep 17, 2021, 12:40:54 PMSep 17
to
On 09/17/2021 05:42 PM, Udo wrote:
> Hallo, in dem von Rainer Rosenthal am 30.08.2021 eröffneten Thread
> "Wurzel(x*Wurzel(x)-x) + Wurzel(x) = x" findet sich der Link auf eine
> Aufgaben-Liste:
>
> https://www.frankfurt-university.de/fileadmin/standard/Hochschule/
> Fachbereich_1/Kontakt/Lehrkraft_fuer_besondere_Aufgaben/
> Baumann_Astrid/Dokumente/BaumannVortragBrandbriefMainz160318HOME.pdf
>
> Bei den Aufgaben wird ausdrücklich gefordert, dass sie OHNE
> Taschenrechner zu lösen sind. Bei folgender Aufgabe sehe ich nur die
> Möglichkeit einer numerischen Lösung, die auch Wolfram alpha
> anbietet, sobald ich logarithmiere.
>
> Zu lösen ist:
>
> 7 * Wurzel(9^x) = 3^(7x-8) + 4 * 3^x

7 * 3^x = 3^(7x-8) + 4 * 3^x
3 * 3^x = 3^(7x-8)
3^(x+1) = 3^(7x-8)
x+1 = 7x-8
9 = 6x

> (Die Lösung ist x = 3/2)

Stimmt.

Udo

unread,
Sep 17, 2021, 1:41:43 PMSep 17
to
Lieber Dieter, lieber Ralf,
vielen Dank für die tolle Hilfe. Klasse, dass Ihr ausführlich gezeigt habt,
dass das doch ohne Logarithmieren geht.
Ich (und einige andere) haben das einfach nicht gesehen.

Wie kriegt man den Blick für diese Vorgehensweise?
Selbst wenn einem die Rechentechnik (Potenzgesetze) vertraut ist, der Einstieg „nach Schema F“ führt ins logarithmische Abseits :-)

Wie kann man Jugendlichen genau solche kreativen Sichtweisen beibringen?
Stumpfes Aufgabenrechnen fördert nicht diesen kreativen Ansatz.
Nochmals herzlichen Dank!
Grüße und schönes Wo-Ende
Udo

Rainer Rosenthal

unread,
Sep 17, 2021, 3:57:44 PMSep 17
to
Am 17.09.2021 um 17:42 schrieb Udo:
> Hallo,
> in dem von Rainer Rosenthal am 30.08.2021 eröffneten Thread
> "Wurzel(x*Wurzel(x)-x) + Wurzel(x) = x"
> findet sich der Link auf eine Aufgaben-Liste:
>
> 7 * Wurzel(9^x) = 3^(7x-8) + 4 * 3^x (*)
>
> Nach etlichen Umformungsschritten komme ich auf die Gleichung
>
> 33 * 3^16 = 3^(6x) * [3^(6x) + 8 * 3^8] (**)
>
> Wäre für Hilfe sehr dankbar, weil wir an diesem Problem jetzt schon
> eine ganze Weile knabbern.
>
Hallo Udo,

es freut mich natürlich, dass mein Thread vom 30.8.2021 noch nachwirkt.
Ich habe die tupfengleiche Lösung wie Ralf Bader, weil der Kern der
Aufgabe ist, diese Gleichheit zu sehen:

Wurzel(9^x) = 3^x (a)

Dann stehen links und rechts Vielfache von 3^x, die man zusammenfassen
kann: 7*3^x - 4*3^x = 3*3^x, also 3*3^x = 3^(7x-8).
Scharf hinschauen und

3*3^x = 3^1 * 3^x = 3^(1+x) (b)

sehen, dann ist man fertig, weil rechts und links sehr ähnlich geworden
sind:
3^(1+x) = 3^(7x-8)
Offenbar müssen die Exponenten gleich sein: 1+x = 7x-8, also x = 3/2,
was sicher nicht mehr vorgerechnet werden muss.

Du hattest um Hilfe gebeten, und da scheint es mir gut, Dich auf die
Denkweise hinzuweisen, die hier hilfreich ist. Es sind die beiden
Knackpunkte, im richtigen Moment die richtige Vereinfachung zu sehen.
Das sind die oben markierten (a) und (b).

Irgendwie wirst Du auf Deinem Weg wohl auch (a) angewendet haben, bist
dann aber auf verschlungenen Wegen zu der abenteuerlich anmutenden
Gleichung (**) gelandet. Die ist dermaßen weit weg von der
ursprünglichen Gleichung (*), dass ich aufr Rechenfehler getippt habe.
Aber nee, (**) ist richtig für x = 3/2.
Nun war mein Sportsgeist angespornt: wie kommt man aus der Sackgasse
(**) wieder raus?

Du darfst mir gratulieren, dass ich den Weg finden konnte. Ich kann ihn
allerdings nicht als Lösungsweg empfehlen. Da halte Dich besser an den
Weg von Ralf. Die Rückreise aus der Sackgasse (**) habe ich unten
aufgeschrieben.

Gruß,
Rainer

Hier die Rückreise von (**):

33 * 3^16 = 3^(6*x) * (3^(6*x) + 8 * 3^8) (**)

33 * 3^16 = 3^(6*x) * 3^(6*x) + 3^(6*x) * (8 * 3^8)

33 * 3^16 = 3^(12*x) + 8 * 3^(6*x+8)

33 * 3^(2*8) = 3^(12*x) + 8 * 3^(6*x + 8)

33 = 3^(12*x - 2*8) + 8 * 3^(6*x - 8)

33 = 3^(2*(6*x-8)) + 8 * 3^(6*x-8)

33 = (3^(6*x-8))^2 + 8 * 3^(6*x-8)

Licht!!! Setze dies 3^(6*x-8) gleich z:
z = 3^(6*x-8)

33 = z^2 + 8 * z

Leider ist auf den verschlungenen Pfaden zu (**) eine Situation
entstanden, die auf eine quadratische Gleichung führt. Ich löse sie
altmodisch durch quadratische Ergänzung:

z^2 + 8z = 33
z^2 + 2*4*z + 4^2 = 33 + 4^2 = 49
(z+4)^2 = 49
Lösungen: z+4 = 7 oder z+4 = -7

Erste Lösung: z = 3, also 3 = 3^(6x-8), 3^1 = 3^(6x-8),
1 = 6x - 8, 6x = 9, x = 3/2 (na prima!)
Zweite Lösung: z = -11, also 3^y = -11. In reellen Zahlen nicht lösbar.

Der Rückweg aus der Sackgasse führte zu einer Weggabelung.
Der eine Weg führte zur Lösung x = 3/2, der andere brachte nichts.

Wie gesagt: geht auch :-)





Tom Bola

unread,
Sep 17, 2021, 4:45:16 PMSep 17
to
Udo schrieb:

> Lieber Dieter, lieber Ralf,
> vielen Dank für die tolle Hilfe. Klasse, dass Ihr ausführlich gezeigt habt,
> dass das doch ohne Logarithmieren geht.
> Ich (und einige andere) haben das einfach nicht gesehen.
>
> Wie kriegt man den Blick für diese Vorgehensweise?

Gesehen werden hätte sollen: Wurzel(9^x) = 3^x

Demnach hätte hier die Denk- und Sichtweise etwa so "simpel" sein können:

Wurzel(9^x) = Wurzel((3 * 3)^x) = Wurzel(3^x * 3^x) = 3^x
. ^^^^^

Das ist wirklich "einfach", und das, zBl, kann man wohl recht leicht den
meisten beibringen, aber es gibt andererseits so viele, viele Details... ;)

Udo

unread,
Sep 17, 2021, 4:55:22 PMSep 17
to
Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 17. September 2021 um 21:57:44 UTC+2:

> es freut mich natürlich, dass mein Thread vom 30.8.2021 noch nachwirkt.
> Ich habe die tupfengleiche Lösung wie Ralf Bader, weil der Kern der
> Aufgabe ist, diese Gleichheit zu sehen:
>
> Wurzel(9^x) = 3^x (a)

Genau das ist der Knackpunkt! Wenn man das - wie ich - nicht gleich sieht,
geht man den Standardweg aus der Schule. Links steht eine Wurzel, Wurzeln
bringt man weg durch quadrieren. Also frisch drauf los quadriert, und schon
Ist man auf dem abschüssigen Weg ins logarithmische Krummholz.

> Dann stehen links und rechts Vielfache von 3^x, die man zusammenfassen
> kann: 7*3^x - 4*3^x = 3*3^x, also 3*3^x = 3^(7x-8).
> Scharf hinschauen und
>
> 3*3^x = 3^1 * 3^x = 3^(1+x) (b)
>
> sehen, dann ist man fertig, weil rechts und links sehr ähnlich geworden

Das hab ich - nachdem ich dank der Hilfe auf den rechten Weg
zurückgefunden habe, sofort gesehen.

> sind:
> 3^(1+x) = 3^(7x-8)
> Offenbar müssen die Exponenten gleich sein: 1+x = 7x-8, also x = 3/2,
> was sicher nicht mehr vorgerechnet werden muss.
>
Wenn man hier erst mal ist, leuchtet das Licht hell :-)

> Du hattest um Hilfe gebeten, und da scheint es mir gut, Dich auf die
> Denkweise hinzuweisen, die hier hilfreich ist. Es sind die beiden
> Knackpunkte, im richtigen Moment die richtige Vereinfachung zu sehen.
> Das sind die oben markierten (a) und (b).
>
Wie kann man das trainieren, dass man das sofort sieht?
Wie gesagt, die notwendigen Rechengesetze sind subcortical trainiert,
aber der Einstieg ist falsch. Das ist wie beim Klettern: Du kannst im siebten
oder achten Grad Klettern und schaffst einen Fünfer nicht, wenn Du falsch
einsteigst, in Gelände wo alles vereist ist.

> Irgendwie wirst Du auf Deinem Weg wohl auch (a) angewendet haben, bist
> dann aber auf verschlungenen Wegen zu der abenteuerlich anmutenden
> Gleichung (**) gelandet. Die ist dermaßen weit weg von der
> ursprünglichen Gleichung (*), dass ich aufr Rechenfehler getippt habe.
> Aber nee, (**) ist richtig für x = 3/2.
> Nun war mein Sportsgeist angespornt: wie kommt man aus der Sackgasse
> (**) wieder raus?
>
> Du darfst mir gratulieren, dass ich den Weg finden konnte. Ich kann ihn
> allerdings nicht als Lösungsweg empfehlen. Da halte Dich besser an den
> Weg von Ralf. Die Rückreise aus der Sackgasse (**) habe ich unten
> aufgeschrieben.
>
Deine Rückreise ist wirklich grandios!!
Chapeau.
Ich hätte nie gedacht, dass Rückwärtsklettern in vereistem Gelände so
elegant funktionieren kann, um im Bild zu bleiben.

An der Stelle nochmals auch vielen Dank für den Ursprungsthread - eine Quelle
der Inspiration.

Gruß Udo

> Gruß,
> Rainer

Tom Bola

unread,
Sep 17, 2021, 5:09:31 PMSep 17
to
Udo schrieb:

> Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 17. September 2021 um 21:57:44 UTC+2:
> …
>> es freut mich natürlich, dass mein Thread vom 30.8.2021 noch nachwirkt.
>> Ich habe die tupfengleiche Lösung wie Ralf Bader, weil der Kern der
>> Aufgabe ist, diese Gleichheit zu sehen:
>>
>> Wurzel(9^x) = 3^x (a)
>
> Genau das ist der Knackpunkt! Wenn man das - wie ich - nicht gleich sieht,
> geht man den Standardweg aus der Schule. Links steht eine Wurzel, Wurzeln
> bringt man weg durch quadrieren.

Ja.

> Also frisch drauf los quadriert...

Ja,

9 = 3 * 3

und

9^x = (3 * 3)^x

ausmultipliziert

9^x = 3^x * 3^x

ergibt mithin

Wurzel(9^x) = Wurzel(3^x * 3^x)

also ist

Wurzel(9^x) = 3^x

Aber das "zu sehen" ist eben etwas anderes als es nachträglich zu kapieren...

;)

Tom Bola

unread,
Sep 17, 2021, 5:50:35 PMSep 17
to
Tom Bola schrieb:

> Gesehen werden hätte sollen: Wurzel(9^x) = 3^x
> ...
> Wurzel(9^x) = Wurzel((3 * 3)^x) = Wurzel(3^x * 3^x) = 3^x
> . ^^^^^

Ebenfalls bei Ralfs post zu sehen ist: 3 * 3^x = 3^(x+1) = 3^(7x-8)

"innerlich ausschreiben"

3 * 3^x = 3^1 * 3^x
. ... ...

und erst nun kann man wirklich "hemmungslos" die Exponenten zusammenfassen

3 * 3^x = 3^1 * 3^x = 3^(1 + x)

und hat

3^(x + 1) = 3^(7x - 8)

nach

(x + 1) = (7x - 8)

das Ergebnis

6x = 9

...

Stephan Gerlach

unread,
Sep 17, 2021, 8:13:15 PMSep 17
to
Udo schrieb:
> Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 17. September 2021 um 21:57:44 UTC+2:
> …
>> es freut mich natürlich, dass mein Thread vom 30.8.2021 noch nachwirkt.
>> Ich habe die tupfengleiche Lösung wie Ralf Bader, weil der Kern der
>> Aufgabe ist, diese Gleichheit zu sehen:
>>
>> Wurzel(9^x) = 3^x (a)
>
> Genau das ist der Knackpunkt! Wenn man das - wie ich - nicht gleich sieht,
> geht man den Standardweg aus der Schule. Links steht eine Wurzel, Wurzeln
> bringt man weg durch quadrieren. Also frisch drauf los quadriert, und schon
> Ist man auf dem abschüssigen Weg ins logarithmische Krummholz.

Das logarithmieren ist nicht das eigentliche Problem, sondern das
(unnötige) quadrieren.

>> Dann stehen links und rechts Vielfache von 3^x, die man zusammenfassen
>> kann: 7*3^x - 4*3^x = 3*3^x, also 3*3^x = 3^(7x-8).
>> Scharf hinschauen und
>>
>> 3*3^x = 3^1 * 3^x = 3^(1+x) (b)
>>
>> sehen, dann ist man fertig, weil rechts und links sehr ähnlich geworden
>
> Das hab ich - nachdem ich dank der Hilfe auf den rechten Weg
> zurückgefunden habe, sofort gesehen.
>
>> sind:
>> 3^(1+x) = 3^(7x-8)
>> Offenbar müssen die Exponenten gleich sein: 1+x = 7x-8, also x = 3/2,
>> was sicher nicht mehr vorgerechnet werden muss.
>>
> Wenn man hier erst mal ist, leuchtet das Licht hell :-)
>
>> Du hattest um Hilfe gebeten, und da scheint es mir gut, Dich auf die
>> Denkweise hinzuweisen, die hier hilfreich ist. Es sind die beiden
>> Knackpunkte, im richtigen Moment die richtige Vereinfachung zu sehen.
>> Das sind die oben markierten (a) und (b).
>>
> Wie kann man das trainieren, dass man das sofort sieht?

Schwer zu sagen. Evtl. ist es Erfahrung/Talent o.ä.

Mal ein Versuch, die Gedankengänge zu erklären:

Also man sieht, daß das (weitgehend) eine Exponentialgleichung ist, weil
x überall im Exponent steht. Die Wurzel fällt natürlich auch auf
("Wurzelgleichung"), aber wird erstmal ignoriert(!?). Weiterhin fällt
auf, daß die Basen alle Potenzen von 3 sind, was möglicherweise die
Aufgabe vereinfachen könnte.
Daß Wurzelgleichungen nach der "Standard-Methode" (quadrieren, bis alle
Wurzeln weg sind) zu sehr langwierigen Rechenwegen führen können, ist
"irgendwie" bekannt; daher versucht man intuitiv, diese Methode zu
vermeiden und überlegt stattdessen erstmal, ob das mit der Wurzel
irgendwie auch anders zu lösen geht, d.h. ob man diese vielleicht
vereinfachen kann. Überhaupt ist es (allgemein) eine gute Idee, vor
irgendwelche Umstell-Schritten von Gleichungen erstmal zu gucken, ob man
auf beiden Seiten (separat) etwas vereinfachen kann. Das "Risiko",
umsonst nach Vereinfachungen zu gucken und dadurch Rechenzeit zu
vergeuden (um am Ende doch quadrieren zu müssen), nimmt man offenbar
(unbewußt?) in Kauf.

> Wie gesagt, die notwendigen Rechengesetze sind subcortical trainiert,
> aber der Einstieg ist falsch.

Ich hab' die Aufgabe kurz gelesen und habe, bevor ich deinen Text
überhaupt genauer zu Ende gelesen habe, ebenfalls den nahezu identischen
Lösungsweg wie Ralf "benutzt" (ohne dessen Lösung vorher zu lesen), weil
das eben am schnellsten/offensichtlichsten/einfachsten geht :-) .

Es kann sich manchmal lohnen, nicht sofort mit dem (scheinbar)
offensichtlichsten Rechenweg ganz schnell loszurechnen (z.B. weil das
eine Klausur ist und man ja bekanntermaßen relativ wenig Zeit zum
Überlegen hat), sondern stattdessen erstmal kurz zu überlegen, und dann
erst anzufangen. Die zusätzliche "Überlegungs-Zeit" holt man u.U. durch
einen deutlich einfacheren Rechenweg locker wieder rein.

Auf die Idee, reflexartig wegen der Wurzel zu quadieren, wäre ich gar
nicht als Erstes gekommen.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

Brigitta Jennen

unread,
Sep 18, 2021, 7:19:39 AMSep 18
to

Udo schrieb:
...
Hallo Udo,

Du stellst am Beispiel einer sehr schönen Rechenaufgabe die Kernfrage,
um die es beim Lernen von Mathematik häufig geht:

Was kann ich tun, wenn mein Gehirn bestimmte mathematische Zusammenhänge
einfach nicht sieht, obwohl ich mit allen notwendigen Grundlagen vertraut
bin?

Zwei Vorbemerkungen hierzu:

(1) Durch (ungünstige) "Bahnung" hat Dein Gehirn (in der Schule? Im Studium?)
gelernt, bestimmte Signalketten (Neurone) zu aktivieren. Im vorliegenden Fall
führte das ins "logarithmische Abseits".

(2) Ein Gehirn ist plastisch und kann auch die automatische Aktivierung
bestimmter Neuronenketten wieder "verlernen" (aber nicht komplett vergessen).

Wenn Du wissen willst, warum meine folgenden Hinweise funktionieren,
mach Dich vertraut mit den Begriffen Langzeitpotenzierung,
Hebbsches Lernen, Glutamat und NO (Stickstoffmonoxid). Die molekularen
Vorgänge beim Lernen an Synapsen sind weitgehend aufgeklärt, haben aber
bislang erstaunlich wenig Eingang in den Lern-Alltag gefunden.

Nur ein Mechanismus zum Verständnis vorneweg:
Wird eine Kette von Neuronen nacheinander aktiviert, obwohl auch andere
Signalwege möglich wären, so steigt die Wahrscheinlichkeit signifikant,
dass bei neuerlicher Erregung das Signal wieder genau diesen Weg nimmt.
Zwingt man das Signal, einen anderen Weg zu nehmen, schwächt sich der
ursprüngliche Aktivierungsweg ab.

In der Konsequenz bedeutet dies, dass über viele Aktivierungsvorgänge
Dein Gehirn einen bestimmten Weg "gebahnt" hat, alternative Wege kannst
Du nicht sehen, weil das vollautomatisch abläuft.

Was kannst Du tun?
Du kannst Dein Gehirn diesen ungünstigen (wie Rainer gezeigt hat nicht
falschen) Weg wieder verlernen lassen, indem Du bewusst und langsam
Schritt für Schritt mehrfach den besseren Weg von Ralph, Dieter, Tom und
Rainer gehst.

Noch etwas vorneweg:
Dein Gehirn speichert und lernt keine Einzelheiten! Es ist eine Regel-
Extraktionsmaschine, die Zusammenhänge speichert, keine Details. Die
Details werden bei Bedarf rekonstruiert!

Für die Rechenaufgabe bedeutet dies, dass Du eine ganz Klasse von
ähnlichen Aufgabe in ihrer abstrakten Grund-Struktur lernst.
Dem Neuronalen Netz ist völlig wurscht, dass da 7*Wurzel(9^x) steht.
Es abstrahiert von der 7, erkennt dass da eine Wurzel steht und nimmt
wahr, dass da ein Exponentialausdruck vorkommt, wobei die konkrete 9
wiederum wurscht ist.
Wenn man so will, ersetzt das Gehirn konkrete Zahlen im ersten Schritt
durch Formvariable a und b.
Ab hier ging's bei Dir durch ungünstige Bahnung In die Irre. Dass Du Dich
nicht verrechnet hast, ist übrigens erstaunlich.

Jetzt zum konkreten Plan, wie Du den falschen Weg verlernen und einen
besseren Weg bahnen kannst:

(1) Schreibe die Gleichung sauber(!) und groß auf eine Tafel oder ein
Whiteboard (nicht auf ein Blatt Papier direkt vor Deiner Nase!)

(2) Halte Abstand (2m), damit Du nicht gleich von Einzelheiten gefesselt
wirst.

(3) Wichtig: Verbalisiere die Aufgabe!!!!
Ohne Sprache gibt es keine höhere Mathematik. Das Verbalisieren hilft Deinem
Gehirn, nicht nur visuelle Objekte (Zahlen, Buchstaben) zu verarbeiten,
sondern mit Objekten, die nun auch im sprachlichen Neuronalen Netz
repräsentiert sind, intern zu jonglieren.
Das wird beim Lernen vielfach unterschätzt und übersehen.

(4) Wiederhole die einzelnen Schritte, die Dir vorgerechnet wurden,
mehrfach nach der "Quadratregel"! D.h.
Wiederholung 1 nach 2 Stunden
Wiederholung 2 nach 4 Stunden
Wiederholung 3 nach 8 Stunden
Wiederholung 4 am Tag 2
Wiederholung 5 am Tag 4
Wiederholung 6 am Tag 8

(5) Vermeide unbedingt Angst und Unlust! Wenn sich im Angesicht der
schwierigen Aufgabe so ein mulmiges Gefühl in der Magengegend einstellt,
unterbrechen und zunächst nicht weitermachen. Versuch der Entspannung.
Angstgefühle blockieren vernünftiges Lernen.

Und denk dran, wenn Du nach diesem Plan vorgehst: Dein Gehirn hat nach
ca. 8 Tagen nicht nur eine Aufgabe, sondern aufgrund der Abstrahierung
eine ganze Klasse von Aufgaben neu gelernt und die Wahrscheinlichkeit
für das Einschlagen des alten Weges signifikant reduziert!

Vieleicht liest ja der "Herr der dunklen Zahlen" :-)) diesen Thread
mit. Die Vorgehensweise würde auch ihm helfen.

Grüße Brigitta

Brigitta Jennen

unread,
Sep 18, 2021, 8:20:27 AMSep 18
to
Hallo Udo,

noch eine kleine Ergänzung:
Wenn Du Dir die Aufgabenliste aus dem Link von Rainer nochmals anschaust,
erkennst Du, dass die Aufgaben mit den Nummern

(6) 15^(3x-7) = 3te_Wurzel(225^(2x+5))
(10) 625^((12x+7)/(x)) = (1/5)^(4/x)

vom genau gleichen Typ sind. Ich bin sicher, dass Du das nach dem
Vorangegangenen jetzt auch auf Anhieb siehst, weil Dein Gehirn die
Abstraktion von der konkreten Aufgabe bereits nach wenigen Durchgängen
gelernt hat.
Grüße B.

Udo

unread,
Sep 18, 2021, 8:49:27 AMSep 18
to
Hallo Brigitta,

jetzt bin ich doch einigermaßen verblüfft.

Es ist tatsächlich so, dass ich nach dem Durcharbeiten der Aufgabe
heute sofort erkannt habe, dass die von Dir oben zusätzlich genannten
Aufgaben vom gleichen Typ sind.
Es scheint also zu funktionieren, dass das Gehirn nicht nur eine einzelne
konkrete Aufgabe gelernt hat, sondern - wie Du sagst - eine ganze Klasse.
Gestern hätte ich - auch bei noch so "scharfem Hinsehen" - diese
Ähnlichkeit mit Sicherheit nicht erkannt.

Dank Deiner Hinweise hab ich mich noch ein wenig kundig gemacht und
verstanden, dass für eine neue "Sichtweise" Synapsen neu gebildet
werden müssen. Und das scheint schnell zu gehen. Ich habe in einem
Vortrag von Manfred Spitzer (Neurologe und Psychiater, Ulm) Bilder
gesehen, wo neu gebildete Synapsen schon nach einem Tag sichtbar
gemacht werden konnten. Das macht für mich verständlich, warum
Dein 8-Tageplan tatsächlich funktionieren könnte.

Mir war das alles völlig neu, und es wirft auch ein völlig neues Licht
auf Lernvorgänge. Dumm ist nur, dass Synapsen bei Nichtgebrauch fast
genauso schnell wieder "abschmelzen" :-(

Vielen Dank allen für die Hilfe.
Grüße Udo

> Grüße B.

Rainer Rosenthal

unread,
Sep 18, 2021, 11:23:28 AMSep 18
to
Am 18.09.2021 um 13:19 schrieb Brigitta Jennen:
>
> Wenn Du wissen willst, warum meine folgenden Hinweise funktionieren,
> mach Dich vertraut mit den Begriffen Langzeitpotenzierung,
> Hebbsches Lernen, Glutamat und NO (Stickstoffmonoxid). Die molekularen
> Vorgänge beim Lernen an Synapsen sind weitgehend aufgeklärt, haben aber
> bislang erstaunlich wenig Eingang in den Lern-Alltag gefunden.
> ...
> (3) Wichtig: Verbalisiere die Aufgabe!!!!
> Ohne Sprache gibt es keine höhere Mathematik. Das Verbalisieren hilft Deinem
> Gehirn, nicht nur visuelle Objekte (Zahlen, Buchstaben) zu verarbeiten,
> sondern mit Objekten, die nun auch im sprachlichen Neuronalen Netz
> repräsentiert sind, intern zu jonglieren.
> Das wird beim Lernen vielfach unterschätzt und übersehen.
>
Hallo Brigitta, schön, Dich als psychologischen Schutzengel im
Hintergrund zu wissen.

Du hast Stickstoffmonoxid erwähnt, bist aber nicht darauf
zurückgekommen. Soll wohl heißen: mal Fenster aufmachen und lüften, weg
vom Schreibtisch, tief durchatmen, spazieren, lachen, tanzen singen.
Guter Tipp. Wird beim Lernen auch vielfach unterschätzt und übersehen.

Wie sehr Sprache und (mathematisches) Denken verwandt sind, habe ich
auch erst sehr spät kapiert. Wie habe ich auf der Schule die
"Gliederung" von Deutsch-Aufsätzen gehasst! Deutsch und Mathe gelten in
der Schule fast als Gegensätze. Dabei treffen sie sich über das Thema
"Gliederung" beim Gedanken-Ordnen. Um sie ordnen zu können, muss man sie
aber wenigstens mal formuliert haben.

Es gab bisher keine Reaktion auf mein "Quasi-Äquivalenz" Posting. Dabei
war ich beim Absenden recht zufrieden, weil mir schien, dass ich mit dem
zu Beginn vorgestellten Beispiel eine gescheite "Einleitung" gefunden
hatte. Im ersten Entwurf hatte ich mit der Einführung von "benachbart"
begonnen und später Beispiele gebracht. Aber dann dachte ich: oh je, bis
hier hat doch eh jeder abgeschaltet. Da starte ich doch lieber mit
etwas, was mir Freude gemacht hat, und was vielleicht neugierig macht.

Ich würde mich über eine neuronale Kritik freuen(*).
Wahrscheinlich wirst Du mir attestieren, dass ich den Spannungsbogen
nicht halten konnte bis zum Knaller am Ende: zur Verwandlung der
Quasi-Äquivalenz in eine echte Äquivalenz, wodurch das Auswahlaxiom ins
Spiel kommt.

Lieben Gruß,
Rainer

(*) Gerne dort im Thread, denn dann hätte ich doch wenigstens eine
Antwort :-)

Brigitta Jennen

unread,
Sep 18, 2021, 12:24:58 PMSep 18
to
Rainer Rosenthal schrieb am Samstag, 18. September 2021 um 17:23:28 UTC+2:

> Du hast Stickstoffmonoxid erwähnt, bist aber nicht darauf
> zurückgekommen. Soll wohl heißen: mal Fenster aufmachen und lüften, weg
> vom Schreibtisch, tief durchatmen, spazieren, lachen, tanzen singen.
> Guter Tipp. Wird beim Lernen auch vielfach unterschätzt und übersehen.

O Elend! Da hab ich ein schönes Missverständnis produziert. Ich dachte das wär
klar. Bei weitem NEIN. Mea Culpa.

NO ist chemisch inert und diffundiert deshalb problemlos durch Lipidmembranen!
Es spielt in der Signalübertragung an der Synapse die entscheidende Rolle, weil es
für die Weiterleitung des eintreffenden Aktionspotentials auf das angeschlossene
Neuron sorgt.
NO ist (mit) dafür verantwortlich, wie stark das Signal gewichtet wird.
Unsere Erinnerungen werden nicht - wie früher angenommen - in irgendwelchen
Eiweißmolekülen gespeichert. Unsere Erinnerung steckt in den Gewichtungen der
im Neuronalen Netz verbundenen Neurone.
Deshalb war der Überträgerstoff NO 1992 das „Molekül des Jahres“.

>
> Wie sehr Sprache und (mathematisches) Denken verwandt sind, habe ich
> auch erst sehr spät kapiert. Wie habe ich auf der Schule die
> "Gliederung" von Deutsch-Aufsätzen gehasst! Deutsch und Mathe gelten in
> der Schule fast als Gegensätze. Dabei treffen sie sich über das Thema
> "Gliederung" beim Gedanken-Ordnen. Um sie ordnen zu können, muss man sie
> aber wenigstens mal formuliert haben.

Der Zusammenhang zwischen Sprache und Mathematik reicht tief in die Evolution
unseres Neocortex. Und da die zentralen Sprachareale eng mit den Musikneuronen
Verknüpft sind, ergeben sich erstaunliche Parallelen.

Vielleicht kennst Du das Buch
Das Mathe-Gen von Keith Devlin. Darin finden sich zwei Kapitel, die sich mit
dem Zusammenhang zwischen Sprachentstehung und Mathematik beschäftigen.
Verkürztes Fazit: Ohne Sprache keine (höhere) Mathematik, die über das Erkennen
und Vergleichen kleiner Mengen hinausgeht.

Übrigens: Ein Kollege hatte ein irres Erlebnis mit einem 12-jährigen jungen Mädchen,
das in der Schule nicht sonderlich gut war. Sie sollte abschätzen, welche Menge
„größer“ ist: ein Haufen von 100 Büroklammern oder 80 kleine Murmeln.
Ihre Antwort war: „Ich muss die verheiraten“.
Besser kann man Bijektion nicht erklären.

Frage:
Warum können sprachunfähige Wirbeltiere nicht rechnen?
Warum können Tiere, die über keine zentrale Musikrepräsentation verfügen,
nicht rechnen?

>
> Es gab bisher keine Reaktion auf mein "Quasi-Äquivalenz" Posting. Dabei
> war ich beim Absenden recht zufrieden, weil mir schien, dass ich mit dem
> zu Beginn vorgestellten Beispiel eine gescheite "Einleitung" gefunden
> hatte. Im ersten Entwurf hatte ich mit der Einführung von "benachbart"
> begonnen und später Beispiele gebracht. Aber dann dachte ich: oh je, bis
> hier hat doch eh jeder abgeschaltet. Da starte ich doch lieber mit
> etwas, was mir Freude gemacht hat, und was vielleicht neugierig macht.
>
> Ich würde mich über eine neuronale Kritik freuen(*).
> Wahrscheinlich wirst Du mir attestieren, dass ich den Spannungsbogen
> nicht halten konnte bis zum Knaller am Ende: zur Verwandlung der
> Quasi-Äquivalenz in eine echte Äquivalenz, wodurch das Auswahlaxiom ins
> Spiel kommt.

Werd ich machen.
Aber ich muss mich erstmal intensiver damit beschäftigen.
Beim kurzen Überfliegen hatte ich das oben beschriebene „mulmige Gefühl“
des Wenig-Verstehens im Bauch, weshalb ich erst mal etwas Abstand hielt.
Sobald ich was Produktives zustande bringe, melde ich mich in dem Thread.

Gruß B.

Carlo XYZ

unread,
Sep 18, 2021, 12:44:22 PMSep 18
to
Rainer Rosenthal schrieb am 18.09.21 um 17:23:

> Es gab bisher keine Reaktion auf mein "Quasi-Äquivalenz" Posting. Dabei
> war ich beim Absenden recht zufrieden, weil mir schien, dass ich mit dem
> zu Beginn vorgestellten Beispiel eine gescheite "Einleitung" gefunden
> hatte. Im ersten Entwurf hatte ich mit der Einführung von "benachbart"
> begonnen und später Beispiele gebracht. Aber dann dachte ich: oh je, bis
> hier hat doch eh jeder abgeschaltet. Da starte ich doch lieber mit
> etwas, was mir Freude gemacht hat, und was vielleicht neugierig macht.

An deiner Stelle würde ich davon ausgehen, dass Postings (um
einiges) mehr gelesen werden als beantwortet. Mir kamen deine
Definitionen schon bald recht bekannt vor. Man hätte eigentlich
die sicher viele Millionen Google-Treffer für "symmetric relation"
oder für "Quasi-Äquivalenz" mal scannen können.

Deine symmetrischen (reflexiven) Relationen sind m.E. i.W.
symmetrische gerichtete Graphen, und ganz leicht übersetzt
in ungerichtete Graphen. Dein Problem stellt sich als das
"minimal vertex cover"-Problem heraus, das NP-vollständig
ist. Insofern keinerlei Verwunderung, dass dich das Finden
der kleinsten Überdeckung eine ganze Menge Zeit gekostet
hat. Man könnte es auch einem der existierenden Programme
überlassen; das einzige Problem wäre es, den Graphen zu
erzeugen. 2048 Knoten, wenn ich mich richtig erinnere:
das ist schon eine Hausnummer. Und im Grunde langweilig,
außer wenn man speziell an diesem Graphen interessiert ist.

> Ich würde mich über eine neuronale Kritik freuen(*).
> Wahrscheinlich wirst Du mir attestieren, dass ich den Spannungsbogen
> nicht halten konnte bis zum Knaller am Ende: zur Verwandlung der
> Quasi-Äquivalenz in eine echte Äquivalenz, wodurch das Auswahlaxiom ins
> Spiel kommt.

Was du allerdings nicht wirklich motiviert oder ausgeführt
hast. Die verschiedenen Abschlüsse von binären Relationen
(z.B. der symmetrische und transitive Abschluss) sind als
Definitionen ebenfalls recht einfach, sogar für unendliche
Graphen bzw. Relationen. Wenn es an Sätze geht, dürfte es
erst interessant werden..

Carlo XYZ

unread,
Sep 18, 2021, 12:56:10 PMSep 18
to
Brigitta Jennen schrieb am 18.09.21 um 13:19:

> Und denk dran, wenn Du nach diesem Plan vorgehst: Dein Gehirn hat nach
> ca. 8 Tagen nicht nur eine Aufgabe, sondern aufgrund der Abstrahierung
> eine ganze Klasse von Aufgaben neu gelernt und die Wahrscheinlichkeit
> für das Einschlagen des alten Weges signifikant reduziert!

Ohne das Vorangehende genau zu lesen oder zu verstehen:
genau das ist meine Kritik sowohl an dieser Aufgabe als
auch an der anderen diskutierten. Ändert man einen kleinen
Parameter, ist die Lösung eben nicht mehr ganz so "leicht"
zu finden, auch wenn diese Aufgaben "ähnlichen Typs" sind.

Das ist so, als ob es einen Berg zu überwinden gilt, der
ganz unten ein kleines Mausloch hat, durch das man auf die
andere Seite kommt. Legt man ein paar Steine rein, ist das
Mauseloch verschwunden und es bleibt die Standardlösung
(Berg rauf und wieder runter). Der Aufgabensteller hält
sich für clever, weil er das Mauseloch gefunden (wenn nicht
sogar extra eingebaut) hat, der Schüler hält sich für doof,
weil er weder (in der gegebenen Zeit) eine Standardlösung
anwenden kann noch (aus Mangel an Erfahrung) das Mauseloch
sehen kann.

Ich bin (entgegen der Dame, die das geschrieben hat, und
auch entgegen dem sonst sehr geschätzten Franz Lemmermeyer)
der Auffassung, dass es sich nicht um gute Aufgaben handelt;
zumindest nicht für eine Klasse, in der es neben von vornherein
an Mathematik Interessierten und Begabten auch Schüler/innen
gibt, die andere Dinge lieber mögen.

Carlo XYZ

unread,
Sep 18, 2021, 1:05:02 PMSep 18
to
Brigitta Jennen schrieb am 18.09.21 um 18:24:

> Frage:
> Warum können sprachunfähige Wirbeltiere nicht rechnen?
> Warum können Tiere, die über keine zentrale Musikrepräsentation verfügen,
> nicht rechnen?

Da will ich doch erstens mal bezweifeln, dass ihr
die Tierwelt entsprechend einteilen könnt.

Und dann bezweifle ich auch noch beide Aussagen.
(Ich nehme doch an, das sind welche, selbst wenn
drumherum eine Frage steht.)

Außer natürlich, du fasst "Rechnen" mit unter Sprache
bzw. mit unter "Zentrale Musikrepräsentation".
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