Gibt es ein unendliches n in N ?

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Tom Bola

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Jun 20, 2021, 6:02:43 PMJun 20
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Frage zum Sonntag: Gibt es ein unendliches n in N ?

Ich denke nicht! Alle n zusammen bilden N = omega
und diese sind als Limes(Ordinal)Zahlen unendlich mächtig.

Ich bitte sehr um andere Auffassungen oder Berichtigungen
dieser, meiner (gegenwärtigen) Ansicht, Danke!

Einen Schönen Sonntag Allen Hier
Wünscht Tom!


Tom Bola

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Jun 20, 2021, 6:14:31 PMJun 20
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Tom Bola schrieb:

> Frage zum Sonntag: Gibt es ein unendliches n in N ?
>
> Ich denke nicht! Alle n zusammen bilden N = omega
> und diese sind als Limes(Ordinal)Zahlen unendlich mächtig.

Beweis: Wäre ein n in N unendlich mächtig, so hätte es
a) keinen Index k,
b) keinen Vorgänger n-1

> Ich bitte sehr um andere Auffassungen oder Berichtigungen
> dieser, meiner (gegenwärtigen) Ansicht, Danke!
>
> Einen Schönen Sonntag Allen Hier
> Wünscht Tom!
.

Fritz Feldhase

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Jun 20, 2021, 9:15:32 PMJun 20
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On Monday, June 21, 2021 at 12:02:43 AM UTC+2, Tom Bola wrote:

> Frage zum Sonntag: Gibt es ein unendliches n in N ?

Wenn N die Menge der natürlichen Zahlen sein soll, dann kann man sie -Deine Frage- wie folgt beantworten:

N enthält die endlichen Ordinalzahlen als auch die endlichen Kardinalzahlen (weil selbige "im endlichen Fall" zusammenfallen). In diesem Sinne sind also alle Elemente in N "endlich".

[ In der Theorie der Ordinalzahlen ist omega die kleinste unendliche Ordinalzahl und in der Theorie der Kardinalzahlen ist aleph_0 die kleinste unendliche Kardinalzahl. ]

Falls N nach von Neumann definiert ist, dann kann man auf einer noch elementareren Ebene (also ohne auf Kadinal- oder Ordinalzahlen Bezug nehmen zu müssen), behaupten, dass alle Elemente in N /endlich/ sind (nämlich endliche Mengen). Das ist auch leicht zu beweisen.

Falls N nach Zermelo definiert ist, ist die Sache ZIEMLICH trivial. Bei Zermelo ist N = {{}, {{}}, {{{}}}, ...}. Jedes Element in N enthält also GENAU EIN Element. "Offensichtlich" sind dann alle Elemente in N /endlich/, also keines /unendlich/. :-P

Fritz Feldhase

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Jun 20, 2021, 9:41:04 PMJun 20
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On Monday, June 21, 2021 at 3:15:32 AM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:

> Falls N nach Zermelo definiert ist, ist die Sache ZIEMLICH trivial. Bei Zermelo ist N = {{}, {{}}, {{{}}}, ...}. Jedes Element in N

außer {} natürlich (hust)

> enthält also GENAU EIN Element [und {} keines]. "Offensichtlich" sind dann alle Elemente in N /endlich/, also keines /unendlich/. :-P
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