Beginn der Wahrscheinlichkeitsrechnung - Hilfe benötigt
Florian Goehlke
zumindest mit einer Hinführung.
Wir bekamen folgende Aufgaben auf ohne dafür irgendwie in der Stunde einen
Hinweis oder Ansatz zur Lösung bekommen zu haben.
A1: Auf wieviele Arten können 8 Türme auf ein Schachbrett gestellt werden,
so dass sie sich nicht schlagen. (Angenommen, dass jeder Turm jeden schlagen
kann)
A2: Wieviele 4-stellige Zahlen mit lauter ungeraden Ziffern gibt es.
A3: An einem Tennisturnier nehmen 10 Spieler teil. Wieviele Paarungen sind
möglich?
Ich wäre sehr dankbar für eine Lösung mit verständlicher Erklärung! :)
Arne 'Timwi' Heizmann
Florian Goehlke wrote:
>
> A1: Auf wieviele Arten können 8 Türme auf ein Schachbrett gestellt werden,
> so dass sie sich nicht schlagen. (Angenommen, dass jeder Turm jeden schlagen
> kann)
40320.
> A2: Wieviele 4-stellige Zahlen mit lauter ungeraden Ziffern gibt es.
625.
> A3: An einem Tennisturnier nehmen 10 Spieler teil. Wieviele Paarungen sind
> möglich?
945.
> Ich wäre sehr dankbar für eine Lösung mit verständlicher Erklärung! :)
Oh, äh, achso, hm, na dann...
> A1: Auf wieviele Arten können 8 Türme auf ein Schachbrett gestellt werden,
> so dass sie sich nicht schlagen. (Angenommen, dass jeder Turm jeden schlagen
> kann)
Jeder Turm bewacht eine Reihe und eine Spalte des Schachbretts. Es muss
also immer ein Turm in jede Reihe. Setze einen Turm in die erste Reihe.
Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? 8. Dann bleiben für den zweiten
Turm in der zweiten Reihe noch 7 Felder übrig, für den dritten 6 usw.
8*7*6*5*4*3*2*1 = 40320.
> A2: Wieviele 4-stellige Zahlen mit lauter ungeraden Ziffern gibt es.
Es gibt 5 ungerade Ziffern, also 5^4 = 5*5*5*5 = 625 Möglichkeiten,
daraus vierstellige Zahlen zu bilden.
> A3: An einem Tennisturnier nehmen 10 Spieler teil. Wieviele Paarungen sind
> möglich?
Du hast am Anfang 10 Leute. Den ersten davon paarst du mit irgendeinem
der restlichen 9 - dafür gibt es 9 Möglichkeiten. Dann sind noch 8 Leute
übrig. Du paarst dann den zweiten mit einem der restlichen 7 - also
gibt's 7 Möglichkeiten. 9*7*5*3*1 = 945.
Nils Schöner
[...]
>
>> A3: An einem Tennisturnier nehmen 10 Spieler teil. Wieviele Paarungen sind
>> möglich?
>
>Du hast am Anfang 10 Leute. Den ersten davon paarst du mit irgendeinem
>der restlichen 9 - dafür gibt es 9 Möglichkeiten. Dann sind noch 8 Leute
>übrig. Du paarst dann den zweiten mit einem der restlichen 7 - also
>gibt's 7 Möglichkeiten. 9*7*5*3*1 = 945.
Hab Erbarmen mit dem Turnierleiter.
Eine etwas eigenwillige Argumentation, zumal (mir) auch nicht einsichtig ist, wieso
es nur eine Möglichkeit gibt, den ersten Spieler auszuwählen und nicht 10, und wieso
werden dann alle Zahlen multipliziert ?
Wie wär's hiermit: Die Anzahl der Möglichkeiten, aus 10 Individuen 2 auszuwählen
ist (Anzahl der Möglichkeiten einen beliebigen Spieler zu erwählen) X (Anzahl der Möglichkeiten
einen Spielpartner zu ihm zu gesellen) / 2 = 10*9/2 = 45.
"/2", weil ein Paar (Spieler i, Spieler j) = (Spieler j, Spieler j) gilt und es somit nicht auf die
Reihenfolge innerhalb eines Paares ankommt.
Arne 'Timwi' Heizmann
"Nils Schöner" wrote:
>
> On Mon, 11 Jun 2001 01:23:29 +0100, Arne 'Timwi' Heizmann <ti...@gmx.net> wrote:
>
> [...]
> >
> >> A3: An einem Tennisturnier nehmen 10 Spieler teil. Wieviele Paarungen sind
> >> möglich?
> >
> >Du hast am Anfang 10 Leute. Den ersten davon paarst du mit irgendeinem
> >der restlichen 9 - dafür gibt es 9 Möglichkeiten. Dann sind noch 8 Leute
> >übrig. Du paarst dann den zweiten mit einem der restlichen 7 - also
> >gibt's 7 Möglichkeiten. 9*7*5*3*1 = 945.
>
> Hab Erbarmen mit dem Turnierleiter.
> Eine etwas eigenwillige Argumentation, zumal (mir) auch nicht einsichtig ist, wieso
> Wie wär's hiermit: Die Anzahl der Möglichkeiten, aus 10 Individuen 2 auszuwählen
> ist (Anzahl der Möglichkeiten einen beliebigen Spieler zu erwählen) X (Anzahl der Möglichkeiten
> einen Spielpartner zu ihm zu gesellen) / 2 = 10*9/2 = 45.
> "/2", weil ein Paar (Spieler i, Spieler j) = (Spieler j, Spieler j) gilt und es somit nicht auf die
> Reihenfolge innerhalb eines Paares ankommt.
Mit irgendwem muss der erste Spieler ja gepaart werden. Ich habe nur die
Anzahl der möglichen Paarungen gezählt - du hingegen hast auch die
Möglichkeit von Paarungen in verschiedenenen Reihenfolgen
berücksichtigt.
Beispiel: Vier Spieler, A, B, C, D.
Nach meiner Rechnung gibt es drei Paarungsmöglichkeiten:
* (A, B), (C, D)
* (A, C), (B, D)
* (A, D), (B, C)
Du hingegen meinst, es gibt doppelt so viele:
* (A, B), (C, D)
* (A, C), (B, D)
* (A, D), (B, C)
* (B, C), (A, D)
* (B, D), (A, C)
* (C, D), (A, B)
weil bei dir die Reihenfolge der Paarungen einen Unterschied macht (aber
die Reihenfolge innerhalb eines Paares wiederum nicht).
> und wieso werden dann alle Zahlen multipliziert ?
Aus demselben Grund wie bei den Türmen auf dem Schachbrett. Wenn es für
den ersten a Möglichkeiten gibt, und für den zweiten b Möglichkeiten,
gibt es für diese beiden insgesamt a*b Möglichkeiten.
Nils Schöner
>
>"Nils Schöner" wrote:
>>
>> On Mon, 11 Jun 2001 01:23:29 +0100, Arne 'Timwi' Heizmann <ti...@gmx.net> wrote:
>>
>> [...]
>> >
>> >> A3: An einem Tennisturnier nehmen 10 Spieler teil. Wieviele Paarungen sind
>> >> möglich?
>> >
[...]
>Mit irgendwem muss der erste Spieler ja gepaart werden. Ich habe nur die
>Anzahl der möglichen Paarungen gezählt - du hingegen hast auch die
>Möglichkeit von Paarungen in verschiedenenen Reihenfolgen
>berücksichtigt.
>
>Beispiel: Vier Spieler, A, B, C, D.
>
>Nach meiner Rechnung gibt es drei Paarungsmöglichkeiten:
> * (A, B), (C, D)
> * (A, C), (B, D)
> * (A, D), (B, C)
>
Wieso faßt du immer zwei Paare zu einem zusammen ?
Gehe ich recht in der Annahme, daß der Anzahl der Möglichkeiten
gefragt ist, jeweils 2 Spieler gegeneinander antreten zu lassen ?
[...]
>> und wieso werden dann alle Zahlen multipliziert ?
>
>Aus demselben Grund wie bei den Türmen auf dem Schachbrett. Wenn es für
>den ersten a Möglichkeiten gibt, und für den zweiten b Möglichkeiten,
>gibt es für diese beiden insgesamt a*b Möglichkeiten.
Wenn du einen Spieler zunächst fixierst sind das keine Ereignisse, die beliebig
miteinander kombiniert werden wie beim Schachbrett. Das wäre dann ein
tupelorientiertes Zählen. Man kann es so auch machen, jedoch muß man
dann alle Möglichkeiten addieren:
Für den ersten Spieler gibt es 9 Möglichkeiten, in Wettstreit mit den anderen
verbleibenden 9 zu treten. Für den 2. gibt es 8, für den 3. 7...
Also insgesamt 9 + 8 + 7 +...+ 1 = 45.
Arne 'Timwi' Heizmann
Hallo Nils,
"Nils Schöner" wrote:
>
> On Mon, 11 Jun 2001 16:40:02 +0100, Arne 'Timwi' Heizmann <ti...@gmx.net> wrote:
>
> [...]
> >Mit irgendwem muss der erste Spieler ja gepaart werden. Ich habe nur die
> >Anzahl der möglichen Paarungen gezählt - du hingegen hast auch die
> >Möglichkeit von Paarungen in verschiedenenen Reihenfolgen
> >berücksichtigt.
> >
> >Beispiel: Vier Spieler, A, B, C, D.
> >
> >Nach meiner Rechnung gibt es drei Paarungsmöglichkeiten:
> > * (A, B), (C, D)
> > * (A, C), (B, D)
> > * (A, D), (B, C)
> >
> Wieso faßt du immer zwei Paare zu einem zusammen ?
> Gehe ich recht in der Annahme, daß der Anzahl der Möglichkeiten
> gefragt ist, jeweils 2 Spieler gegeneinander antreten zu lassen ?
Es ist die Anzahl der Möglichkeiten gefragt, wie man die gesamte
Spielerschar in Zweiergruppen aufteilen kann.
> [...]
> >> und wieso werden dann alle Zahlen multipliziert ?
> >
> >Aus demselben Grund wie bei den Türmen auf dem Schachbrett. Wenn es für
> >den ersten a Möglichkeiten gibt, und für den zweiten b Möglichkeiten,
> >gibt es für diese beiden insgesamt a*b Möglichkeiten.
>
> Wenn du einen Spieler zunächst fixierst sind das keine Ereignisse, die beliebig
> miteinander kombiniert werden wie beim Schachbrett.
Wieso denn nicht? Ich fixiere ja auch den ersten Turm und die erste
Reihe, in der er stehen darf. Dabei ist es natürlich egal, welchen Turm
und welche Reihe ich nehme; es kommt sowieso das gleiche raus. Ich nehme
also einfach den ersten Turm und stell ihn in die erste Reihe. Genauso
nehme ich auch den ersten Spieler und stecke ihn in das erste Paar.
> Das wäre dann ein tupelorientiertes Zählen.
Was bedeutet das?
> Man kann es so auch machen, jedoch muß man
> dann alle Möglichkeiten addieren:
> Für den ersten Spieler gibt es 9 Möglichkeiten, in Wettstreit mit den anderen
> verbleibenden 9 zu treten. Für den 2. gibt es 8, für den 3. 7...
> Also insgesamt 9 + 8 + 7 +...+ 1 = 45.
Hm, tut mir leid, aber ich kann dir nicht folgen. Ich verstehe nicht,
wieso du addierst. Was ist denn konkret falsch an dieser Aussage?:
Horst Kraemer
wrote:
> On Mon, 11 Jun 2001 16:40:02 +0100, Arne 'Timwi' Heizmann <ti...@gmx.net> wrote:
>
> >
> >"Nils Schöner" wrote:
> >>
> >> On Mon, 11 Jun 2001 01:23:29 +0100, Arne 'Timwi' Heizmann <ti...@gmx.net> wrote:
> >>
> >> [...]
> >> >
> >> >> A3: An einem Tennisturnier nehmen 10 Spieler teil. Wieviele Paarungen sind
> >> >> möglich?
> >> >
> [...]
> >Mit irgendwem muss der erste Spieler ja gepaart werden. Ich habe nur die
> >Anzahl der möglichen Paarungen gezählt - du hingegen hast auch die
> >Möglichkeit von Paarungen in verschiedenenen Reihenfolgen
> >berücksichtigt.
> >
> >Beispiel: Vier Spieler, A, B, C, D.
> >
> >Nach meiner Rechnung gibt es drei Paarungsmöglichkeiten:
> > * (A, B), (C, D)
> > * (A, C), (B, D)
> > * (A, D), (B, C)
> >
> Wieso faßt du immer zwei Paare zu einem zusammen ?
> Gehe ich recht in der Annahme, daß der Anzahl der Möglichkeiten
> gefragt ist, jeweils 2 Spieler gegeneinander antreten zu lassen ?
Es ist danach gefragt, wieviele _Paarungen_ es fuer 10 unterscheidbare
Dinge gibt.
Leider ist die natuerliche Sprache hier nicht nicht eindeutig.
Derartige unklare Fragestellungen aus der Kombinatorik/Stochastik sind
in der Schule leider haeufig anzutreffen. Das Hauptproblem ist dann
nicht die Bentwortung der gestellten Frage, sondern die Loesung des
Problems, wonach eigentlich gefragt ist. Die meisten Leser wuerden die
Frage mathematisch wahrscheinlich so interpretieren:
Wieviele Mengen
A:={{x1,x2},{x3,x4},{x5,x6},{x7,x8},{x9,x10}}
von zweielementigen Teilmengen aus M10:={1,2,...,10} gibt es, so dass
jedes Element von N10 in genau einem Element von A enthalten ist -
alias wieviele Aufteilungen der Menge N10 in zweielementige Teilmengen
gibt es.
Die Loesung lautet bei einer 2n-elementigen Grundmenge
1*3*5*..*(2n-1)
MfG
Horst
Nils Schöner
[...]
>Leider ist die natuerliche Sprache hier nicht nicht eindeutig.
Tja, offenbar ist dem so.
>Derartige unklare Fragestellungen aus der Kombinatorik/Stochastik sind
>in der Schule leider haeufig anzutreffen. Das Hauptproblem ist dann
>nicht die Bentwortung der gestellten Frage, sondern die Loesung des
>Problems, wonach eigentlich gefragt ist. Die meisten Leser wuerden die
>Frage mathematisch wahrscheinlich so interpretieren:
>
Das mag vielleicht sein, aber was soll das A unten dann darstellen, die
erste Runde in dem Tennis-Turnier ? Ich lese solch eine Frage immer
möglichst allgemein.
Nils Schöner
>
>Hallo Nils,
>
>"Nils Schöner" wrote:
>>
>> On Mon, 11 Jun 2001 16:40:02 +0100, Arne 'Timwi' Heizmann <ti...@gmx.net> wrote:
>>
>> [...]
>> >Mit irgendwem muss der erste Spieler ja gepaart werden. Ich habe nur die
>> >Anzahl der möglichen Paarungen gezählt - du hingegen hast auch die
>> >Möglichkeit von Paarungen in verschiedenenen Reihenfolgen
>> >berücksichtigt.
>> >
>> >Beispiel: Vier Spieler, A, B, C, D.
>> >
>> >Nach meiner Rechnung gibt es drei Paarungsmöglichkeiten:
>> > * (A, B), (C, D)
>> > * (A, C), (B, D)
>> > * (A, D), (B, C)
>> >
>> Wieso faßt du immer zwei Paare zu einem zusammen ?
>> Gehe ich recht in der Annahme, daß der Anzahl der Möglichkeiten
>> gefragt ist, jeweils 2 Spieler gegeneinander antreten zu lassen ?
>
>Es ist die Anzahl der Möglichkeiten gefragt, wie man die gesamte
>Spielerschar in Zweiergruppen aufteilen kann.
>
Wir haben verschiedene Zahlan berechnet.
[...]
Horst Kraemer
wrote:
> On Tue, 12 Jun 2001 07:54:03 GMT, hhkr...@web.de (Horst Kraemer) wrote:
>
> [...]
> >Leider ist die natuerliche Sprache hier nicht nicht eindeutig.
> Tja, offenbar ist dem so.
> >Derartige unklare Fragestellungen aus der Kombinatorik/Stochastik sind
> >in der Schule leider haeufig anzutreffen. Das Hauptproblem ist dann
> >nicht die Bentwortung der gestellten Frage, sondern die Loesung des
> >Problems, wonach eigentlich gefragt ist. Die meisten Leser wuerden die
> >Frage mathematisch wahrscheinlich so interpretieren:
> >
> Das mag vielleicht sein, aber was soll das A unten dann darstellen, die
> erste Runde in dem Tennis-Turnier ?
Es soll sie nicht darstellten, aber man man koennte es so
interpretieren.
> Ich lese solch eine Frage immer
> möglichst allgemein.
Da liegt wohl gerade das Problem. Fuer verschiedene Personen bedeutet
"moeglichst allgemein" halt moeglicherweise etwas Verschiedenes. Und
damit wird das Problem zu einem Problem der Textanalyse anstatt zu
einem mathematischen Problem ;-)
Florian Goehlke
"Nils Schöner" <Bratwu...@gmx.net> wrote in message
news:3b25ed0...@news.uni-muenster.de...
> On Tue, 12 Jun 2001 00:09:52 +0100, Arne 'Timwi' Heizmann <ti...@gmx.net>
wrote:
>
> >
> >Hallo Nils,
> >
> >"Nils Schöner" wrote:
> >>
> >> On Mon, 11 Jun 2001 16:40:02 +0100, Arne 'Timwi' Heizmann
<ti...@gmx.net> wrote:
> >>
> >> [...]
> >> >Mit irgendwem muss der erste Spieler ja gepaart werden. Ich habe nur
die
> >> >Anzahl der möglichen Paarungen gezählt - du hingegen hast auch die
> >> >Möglichkeit von Paarungen in verschiedenenen Reihenfolgen
> >> >berücksichtigt.
> >> >
> >> >Beispiel: Vier Spieler, A, B, C, D.
> >> >
> >> >Nach meiner Rechnung gibt es drei Paarungsmöglichkeiten:
> >> > * (A, B), (C, D)
> >> > * (A, C), (B, D)
> >> > * (A, D), (B, C)
> >> >
> >> Wieso faßt du immer zwei Paare zu einem zusammen ?
> >> Gehe ich recht in der Annahme, daß der Anzahl der Möglichkeiten
> >> gefragt ist, jeweils 2 Spieler gegeneinander antreten zu lassen ?
Also die Lösung der Tennisfrage war 90 Paarungen.
Allerdings gab es für die Schachbrett Aufgabe 2 zulässige Lösungen.
Die eine Methode:
Ich positioniere den 1. Turm irgendwo in der ersten Spalte. Habe also 8
Möglichkeiten in irgendwo hinzustellen.
Den 2. Turm in die zweite Spalte, noch 7 Möglichkeiten. also 8! = 40320
Möglichkeiten.
Eine andere Methode:
Ich positionieren den 1. Turm irgendwo im Schachbrett, habe also 8^2
Möglichkeiten. Für den 2. Turm bleiben dann noch 7^2 Möglichkeiten usw.
Dann waren es, glaube ich am Ende halt 64+49+36+25+16+9+4+1 Möglichkeiten.
Arne 'Timwi' Heizmann
Florian Goehlke wrote:
>
> Also die Lösung der Tennisfrage war 90 Paarungen.
Wie kommt man darauf?
> Allerdings gab es für die Schachbrett Aufgabe 2 zulässige Lösungen.
Deine beiden Lösungen lösen zwei unterschiedliche Probleme:
> Die eine Methode:
> Ich positioniere den 1. Turm irgendwo in der ersten Spalte. Habe also 8
> Möglichkeiten in irgendwo hinzustellen.
> Den 2. Turm in die zweite Spalte, noch 7 Möglichkeiten. also 8! = 40320
> Möglichkeiten.
Hierbei berechnest du, wie viele verschiedene Stellungen es mit 8
identischen Türmen gibt. (Das heisst, wenn man zwei Türme vertauscht,
ist es immernoch dieselbe Stellung.)
> Eine andere Methode:
> Ich positionieren den 1. Turm irgendwo im Schachbrett, habe also 8^2
> Möglichkeiten. Für den 2. Turm bleiben dann noch 7^2 Möglichkeiten usw.
> Dann waren es, glaube ich am Ende halt 64+49+36+25+16+9+4+1 Möglichkeiten.
Wenn du statt der Additionszeichen Multiplikationszeichen setzt, ergibt
dies die Anzahl der möglichen Stellungen mit 8 verschiedenen (z.B.
durchnummerierten) Türmen (das heisst, wenn man zwei Türme vertauscht,
ist es eine andere Stellung). Sind die Pluszeichen also ein Tippfehler,
oder wie kommst du darauf, zu addieren?