Kreise fur Punkte-Tripel in der Ebene

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Tom Bola

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Aug 5, 2022, 6:14:02 AM (8 days ago) Aug 5
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Wie kann man beweisen das für jedes paarweise-verschiedene,
nicht-kollineare Punkte-Tripel in der Ebene genau
ein eindeutiger Kreis existiert?

Carlos Naplos

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Aug 5, 2022, 6:31:02 AM (7 days ago) Aug 5
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Tom Bola

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Aug 5, 2022, 6:58:10 AM (7 days ago) Aug 5
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Carlos Naplos schrieb:
Das ist unmittelbar einsichtig, genau was mir vorschwebte,
mithin "elegant"...

Danke!

Der formale Beweis dort ist dagegen wieder nicht sehr kurz ;)

Fritz Feldhase

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Aug 5, 2022, 11:52:11 AM (7 days ago) Aug 5
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"Anschaulich" scheint zumindest die Existenz eines solchen Kreises ziemlich klar zu sein. Wir haben also 3 (verschiedene) Punkte in der Ebene, die nicht auf einer Gerade liegen. Je 2 dieser Punkte liegen auf einer Gerade, und der 3. nicht. Damit bilden die Punkte also ein nicht zu einer Gerade ausgeartetes 3-Eck. Also ein 3-Eck dessen sämtliche Winkel > 0 sind. Die Winkelsumme in einem 3-Eck ist 180 Grad. Also müssen sämtliche Winkel < 180 Grad sein (da¹ sie alle > 0 sind). D.h. je zwei Seiten bilden einen "Winkel" < 180 Grad.

[Fortsetzung folgt]

Alfred Flaßhaar

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Aug 6, 2022, 5:40:11 AM (7 days ago) Aug 6
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... und nicht zu vergessen trotz GPS: Pothenotsche Aufgabe

Tom Bola

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Aug 6, 2022, 6:16:41 AM (7 days ago) Aug 6
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Alfred Flaßhaar schrieb:
... und dabei dann auch nicht den Gefährlichen Kreis:
https://de.wikipedia.org/wiki/Rückwärtsschnitt#Gefährlicher%20Kreis

Ulrich D i e z

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Aug 6, 2022, 9:39:07 AM (6 days ago) Aug 6
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Tom Bola schrieb:

> Wie kann man beweisen das für jedes paarweise-verschiedene,
> nicht-kollineare Punkte-Tripel in der Ebene genau
> ein eindeutiger Kreis existiert?

Was für Eigenschaften soll dieser "eindeutige" Kreis haben?

Die Eigenschaft, dass alle Punkte des Tripels auf seiner
Kreislinie liegen?

Falls ja:

Anders herum ist die Sache nicht eindeutig. Auf ein- und
demselbem (Um)Kreis liegen (unendlich) viele paarweise-
verschiedene, nicht-kollineare Punkte-Tripel.
D.h., wenn nur die Kreislinie/der Kreis gegeben ist, kann man
daraus nicht auf genau ein solches Punkte-Tripel schliessen.


Wenn man bewiesen hat, dass die Punkte eines solchen Tripels
die Eckpunkte eines Dreiecks bilden, geht es darum zu zeigen,
dass ein Dreieck genau einen Umkreis hat, auf dem alle seine
Eckpunkte liegen.
Ersteres zu beweisen schenke ich mir. Nicht, weil ich es so
einfach finden würde, dies verständlich und schlüssig darzulegen,
sondern, weil es bei mir in noch mehr Schwurbelei ausarten
würde als das folgende.

Die drei Punkte des Tripels seien mit A, B und C bezeichnet.
Es sei bewiesen, dass sie die Eckpunkte eines Dreiecks bilden.

Die Punkte A und B stellen die Endpunkte der Strecke AB dar.
Die Punkte A und C stellen die Endpunkte der Strecke AC dar.
Die Punkte B und C stellen die Endpunkte der Strecke BC dar.

Die Strecke AB hat genau eine Mittelsenkrechte.
Nur Punkte auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB haben von
A und B den gleichen Abstand.

Die Strecke AC hat genau eine Mittelsenkrechte.
Nur Punkte auf der Mittelsenkrechten der Strecke AC haben von
A und C den gleichen Abstand.

Die Strecke BC hat genau eine Mittelsenkrechte.
Nur Punkte auf der Mittelsenkrechten der Strecke BC haben von
B und C den gleichen Abstand.

Da die Punkte A, B und C ein Dreieck bilden, sind die Strecken
AB, AC und BC paarweise nicht parallel. Damit sind auch die
Mittelsenkrechten dieser Strecken paarweise nicht parallel,
sondern zwei solche Mittelsenkrechten haben genau einen Schnittpunkt.

Nur vom Schnittpunkt zweier solcher Mittelsenkrechten haben alle
drei Punkte den gleichen Abstand. Nur beim Schnittpunkt zweier
solcher Mittelsenkrechten handelt es sich um einen Umkreismittelpunkt.

Die dritte Mittelsenkrechte verläuft auch durch diesen Schnittpunkt/
Umkreismittelpunkt, und schneidet die beiden anderen Mitteksenkrechten
in diesem Punkt, da dieser Schnittpunkt/Umkreismittelpunkt die Eigenschaft
hat, dass die Endpunkte derjenigen Strecke, deren Mittelsenkrechte
als die "dritte Mittelsenktechte" bezeichnet wurde, von ihm gleich
weit entfert sind.

Da zwei solche Mittelsenkrechten genau einen Schnittpunkt haben, und es
sich nur bei solchen Schnittpunkten um Unkreismittelpunkte handelt,
und da der Schnittpunkt zweier solcher Mittelsenkrechten nicht verschieden
ist vom Schnittpunkt zweier anderer solcher Mittelsenkrechten,
gibt es genau einen Umkreismittelpunkt.

Der Abstand dieses Umkreismittelpunktes zu einem der Punkte A,B oder C
bildet den Radius des Umkreises, der durch A, B und C verläuft.


Ich bin in Sachen Mathematik nur ein interessierter Laie.

Ging es Dir um eine Darlegung in dieser Art?


Fiese Zusatzfrage:

Wie berechnet man alle Kreismittelpunkte und zugehörigen Radien wenn
man nicht verlangt, dass alle Punkte des Tripels auf der Kreislinie
liegen, sondern lediglich verlangt, dass alle Punkte den gleichen
Abstand von der Kreislinie haben, sodass also Punkte des Tripels
ausserhalb oder innerhalb der Kreisfläche liegen können?


Mit freundlichem Gruß

Ulrich

Stefan Schmitz

unread,
Aug 6, 2022, 1:01:50 PM (6 days ago) Aug 6
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Am 06.08.2022 um 15:40 schrieb Ulrich D i e z:
> Tom Bola schrieb:
>
>> Wie kann man beweisen das für jedes paarweise-verschiedene,
>> nicht-kollineare Punkte-Tripel in der Ebene genau
>> ein eindeutiger Kreis existiert?
>
> Was für Eigenschaften soll dieser "eindeutige" Kreis haben?
>
> Die Eigenschaft, dass alle Punkte des Tripels auf seiner
> Kreislinie liegen?

Hehe. Man kann beweisen, dass es zu jedem solchen Tripel unendlich viele
eindeutige Kreise gibt. Die gibt es auch ohne das Tripel. :)

Tom Bola

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Aug 6, 2022, 3:13:38 PM (6 days ago) Aug 6
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Ulrich D i e z schrieb:

> Tom Bola schrieb:
>
>> Wie kann man beweisen das für jedes paarweise-verschiedene,
>> nicht-kollineare Punkte-Tripel in der Ebene genau
>> ein eindeutiger Kreis existiert?
>
> Was für Eigenschaften soll dieser "eindeutige" Kreis haben?

Er muss absolut rund sein!

> Die Eigenschaft, dass alle Punkte des Tripels auf seiner
> Kreislinie liegen?

Ja, für alle voneinander verschiedenen Paare von 3 verschiedenen
Punkten existiert jeweils genau ein Kreis.

Dass man für jeden Kreis unendlich viele 3-Punkte-Tripel findet
ist ebenfalls trivial und unmittelbar klar.

Beides trifft unabhängig voneinander zu.

> Falls ja:
>
> Anders herum ist die Sache nicht eindeutig. Auf ein- und
> demselbem (Um)Kreis liegen (unendlich) viele paarweise-
> verschiedene, nicht-kollineare Punkte-Tripel.
> D.h., wenn nur die Kreislinie/der Kreis gegeben ist, kann man
> daraus nicht auf genau ein solches Punkte-Tripel schliessen.

Ja, wie gesagt, beides trifft unabhängig voneinander zu.

Nix entweder/oder!

>...

Später...
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