Ralf Bader <
ba...@nefkom.net> wrote:
> On 07/23/2021 12:32 AM, Martin Vaeth wrote:
>>
>> Da gilt übrigens ein viel allgemeineres Kompaktheitsprinzip,
>> das schon faszinierend ist:
>>
>> Hat man irgendein System *interner* Mengen mit der Eigenschaft,
>> dass endliche Schnitte nichtleer sind, so ist auch der Schnitt
>> über eine abzählbare Teilfamilie nichtleer. (Wenn man abzählbar
>> auf offensichtliche Art durch die Standard-natürlichen Zahlen
>> definiert.)
Weil ich Obiges nur aus dem Gedächtnis geschrieben habe, ist mir
dabei ein kleiner Lapsus unterlaufen:
Diese Kompaktheitsprinzip (sog. $\aleph_1$-Saturiertheit) gilt
nicht für vollkommen beliebige Nichstandard-Einbettungen, sondern
man braucht ein kleines bisschen mehr (eine sog. "comprehensive"
Nichstandard-Einbettung; die Ultrafilter-Konstruktion hat diese
Eigenschaft).
(Alternativ kann man die Aussage auch dahingehend abschwächen,
dass man statt interne Mengen nur Standard-Mengen zulässt -
dieses abgeschwächte Komptaktheitsprinzip - die sog.
$\alpha_1$-Erweiterung - gilt dann für beliebige
Nichstandard-Einbettungen.)
Vielleicht sollte ich zur Erklärung hinzufügen, dass man
für spezielle Nichtstandard-Einbettungen sogar die sog.
Polysaturiertheit erreichen kann, d.h.:
Hat mein ein Mengensystem interner Mengen mit der Eigenschaft,
dass je endliche Schnitte nichtleer sind, und hat das Mengensystem
hächstens die Kardinalität einer Standard-Menge (also eines
Elements der Standard-Superstruktur), so ist der Schnitt des
Mengensystems nicht leer.
Die Konstruktion solcher polysaturierten Einbettungen ist aber
im Gegensatz zur Konstruktion von "comprehensive" Einbettungen
extrem technisch.
> In Robinson, Nonstandard Arithmetic, [...]
> werden auf S. 821 in *N (Mückenheimsche) "Endsegmente" A = {y\y>a}
> eingeführt, als Beispiele interner Mengen. Endliche Durchschnitte
> solcher Endsegmente sind offenbar nichtleer; also müßte gemäß obigem
> faszinierenden Prinzip auch der Durchschnitt aller Endsegmente nichtleer
> sein
Das Kompaktheitsprinzip ist nicht anwendbar, da die Kardinalität des
Mengensystems dazu ("standard-")abzählbar sein muss
(bzw. in einer polysaturierten Einbettung maximal die Kardinalität
einer Standard-Menge haben darf.)
Genauer:
Der Schnit \bigcap_{a\in *N} \{y\in *N: y>a\} muss natürlich
leer sein, und das ist kein Widerspruch zur $\aleph_1$-Saturiertheit,
weil die Indexmenge *N, über die der Schnitt gebildet wird,
überabzählbar ist. (Tatsächlich kann man zeigen, dass *N mindestens
die Kardinalität des Kontinuums hat).
Betrachtet man sogar eine polysaturierten Einbettung, so ist
es deswegen kein Widerspruch, weil die Kardinalität von *N in
diesem Fall größer sein muss, als die von *jeder* Standard-Menge.
Hingegen ist der Schnitt \bigcap_{a\in\sigma N} \{y\in *N: y>a\}
nichtleer; wie in der Nichtstandard-Analysis üblich, bezeichne ich
hier mit \sigma N = \{ *n: n\in N\} die Standard-Kopie von N.
Dies folgt aus der $\aleph_1$-Saturiertheit (weil \sigma N
abzählbar ist, da es per Definition gleichmächtig zu N ist),
aber in dem Fall braucht man ein solch mächtiges Prinzip gar nicht:
Nach *Definition* einer Nichstandard-Einbettung ist die Menge
*N \ \sigma N nichtleer, und ist a ein Element aus dieser
Menge, so gilt a > *n für jedes n aus N (das kann man z.B. mit
vollständiger Induktion beweisen). Insbesondere liegt dann also
das Element a im Schnitt.
Wir haben also sogar
\bigcap_{a\in\sigma N} \{y\in *N: y>a\} = *N \ sigma N
gezeigt. Deswegen nennt man die Elemente aus *N \ sigma N
auch die unendlichen hypernatürlichen Zahlen.