Es hat keinen Sinn ...

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Andreas Leitgeb

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Jul 21, 2021, 11:53:14 AM (5 days ago) Jul 21
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Gus Gassmann <horand....@gmail.com> wrote:
> ... aber ganz so plump ...

Hört man da eine rosa Beschichtung von der Brille runterrieseln?

Ja, es ist so plump. Die ganze Zeit ist es schon so gewesen.
Er kann sich das NICHT-Existieren eines kleinsten Stammbruchs, einer
größten natürlichen Zahl, eines letzten Endsegments nicht eingestehen,
und zur "Rettung" ebendieser werden definierbare versus dunkle Zahlen
und Quantorenvertauschungen als Lückenfüller ins Rennen geschickt.

Seit Jahrzehnten immer dasselbe. Auch ich habe zwischendurch mal
geglaubt, irgendwo in seinen Ergüssen logisch ansetzen zu können,
aber es ist einfach sinnlos.

Viel Spaß also beim weiteren Zeitverplempern.
Erwartet dabei halt bloß nichts neues aus Augsburg.

Hans Crauel

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Jul 21, 2021, 7:00:37 PM (5 days ago) Jul 21
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Andreas Leitgeb schrieb

> Ja, es ist so plump. Die ganze Zeit ist es schon so gewesen.
> Er kann sich das NICHT-Existieren eines kleinsten Stammbruchs, einer
> größten natürlichen Zahl, eines letzten Endsegments nicht eingestehen,
> und zur "Rettung" ebendieser werden definierbare versus dunkle Zahlen
> und Quantorenvertauschungen als Lückenfüller ins Rennen geschickt.
>
> Seit Jahrzehnten immer dasselbe. Auch ich habe zwischendurch mal
> geglaubt, irgendwo in seinen Ergüssen logisch ansetzen zu können,
> aber es ist einfach sinnlos.
>
> Viel Spaß also beim weiteren Zeitverplempern.
> Erwartet dabei halt bloß nichts neues aus Augsburg.

Nachdem es trotz aller Versuche einer Matherapie beharrlich nicht
klappt, hier ein Vorschlag:

Die natürlichen Zahlen werden erweitert. Dazu nimmt man eine Version
der reellen Nichtstandard-Zahlen. Dort gibt es Zahlen, die größer als
jede natürliche Zahl sind. Man nimmt nun nur die natürlichen Zahlen
und dazu alle Zahlen, die größer als jede natürliche Zahl sind.

Diese Menge mit der Addition von 1 als Nachfolgeoperation nennt man
die "Mückenheimsche Erweiterung der natürlichen Zahlen" oder
"natürliche Zahlen im Sinne von Mückenheim".
Neben den üblichen natürlichen Zahlen enthält diese Menge weitere
Elemente, die "Mückenheim-Zahlen" oder "dunkle Zahlen" genannt werden
können. Weitere mögliche Bezeichnungen sind auch "undefinierbare"
oder "nicht identifizierbare Zahlen". Sie sind so groß, dass man sie
nicht sehen kann. Jedenfalls nicht mit bloßem Auge.

Dennoch haben auch die dunklen Zahlen durch die Bank jeweils einen
Nachfolger. Ist m eine dunkle Zahl, so ist m+1 ihr Nachfolger, das
ist dann auch eine dunkle Zahl. Sie haben zudem auch alle einen
Vorgänger, nämlich m-1, ebenfalls dunkel.

Die inklusionsmonotone Folge der Endabschnitte der natürlichen
Zahlen im Sinne von Mückenheim hat dann keinen leeren Schnitt,
doch besteht der Schnitt nur aus dunklen Zahlen - es sind sogar
alle.

Die natürlichen Zahlen im Sinne von Mückenheim haben die ersten
beiden Peano-Eigenschaften: Mit 0 (oder mit 1) fängt es an. Jedes
weitere Element hat genau einen Nachfolger, und nur 0 (oder 1) ist
nicht Nachfolger.

Man könnte nun argumentieren, dass dieser Vorschlag nicht die
minimale Lösung ist. Würde man nämlich nur eine dunkle Zahl m
und dazu M = {m+z : z in Z}, Z die ganzen Zahlen, nehmen und
dann als Mückenheim-Erweiterung der natürlichen Zahlen nur die
natürlichen Zahlen um M erweitert nehmen, so würden die obigen
Eigenschaften schon dort zutreffen. Man hätte damit Abzählbarkeit
der Erweiterung. Das hängt dann zwar von der willkürlichen
Wahl von m ab, ist aber bis auf Isomorphie doch wieder gleich.

Ließe man künftig bei Aussagen zu den natürlichen Zahlen zu, dass
deren Wahrheitsgehalt nur für natürliche Zahlen im Sinne von
Mückenheim zu prüfen ist, so würde so mancher zum Zweck einer
Matherapie unternommene Beitrag unterbleiben können.

Hans

Fritz Feldhase

unread,
Jul 21, 2021, 8:10:02 PM (5 days ago) Jul 21
to
On Thursday, July 22, 2021 at 1:00:37 AM UTC+2, Hans Crauel wrote:

Ja, das wäre ein naheliegender Vorschlag. Ich hatte das ja auch schon einige Male gegenüber WM erwähnt: Dass seine "Ideen" eine große Verwandtschaft mit der Nicht-Standard Analysis haben. Nicht zu vergessen: WM kennt ja auch dunkle Stammbrüche, die irgendwie zwischen der 0 und allen Brüchen 1/n mit n e IN_klassisch zu liegen scheinen, so was.

Wie dem auch sei: jetzt brauchst Du nur noch WM dazu zu bringen, Dir zuzustimmen. :-)

P.S. Eine kleine Schwierigkeit besteht vielleicht noch darin, dass WM darauf besteht, dass seine dunklen Zahlen "nicht geordnet" sind.

Hans Crauel

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Jul 22, 2021, 2:45:22 PM (4 days ago) Jul 22
to
Fritz Feldhase schrieb

> On Thursday, July 22, 2021 at 1:00:37 AM UTC+2, Hans Crauel wrote:
>
> Ja, das wäre ein naheliegender Vorschlag. Ich hatte das ja auch
> schon einige Male gegenüber WM erwähnt: Dass seine "Ideen" eine
> große Verwandtschaft mit der Nicht-Standard Analysis haben.

Nichtstandard-Analysis insgesamt ist da allerdings schon etwas
anspruchsvoller.

> Nicht zu vergessen: WM kennt ja auch dunkle Stammbrüche, die
> irgendwie zwischen der 0 und allen Brüchen 1/n mit n e IN_klassisch
> zu liegen scheinen, so was.

Die hat man mit den "natürlichen Zahlen im Mückenheimschen Sinne"
dann natürlich auch, als multiplikative Inverse der dunklen Zahlen.
Schon Isaac Newton hat mit solchen Infinitesimalzahlen gerechnet.

> Wie dem auch sei: jetzt brauchst Du nur noch WM dazu zu bringen,
> Dir zuzustimmen. :-)

Nee, gerade nicht. Dessen Aussagen sollten nur stets in Bezug auf
die Menge der natürlichen Zahlen im Mückenheimschen Sinn verstanden
werden. Diese sind ein vernünftiges und mathematisch fundiertes
Objekt, wo ein Gutteil seiner Aussagen ja zutrifft.
Vor diesem Hintergrund kann und sollte man dann nur von Versuchen
ablassen, seine Aussagen in Bezug auf die klassischen natürlichen
Zahlen richtigzustellen. Das ist, wie (nicht nur) Andreas zutreffend
feststellt, sinnlos.

> P.S. Eine kleine Schwierigkeit besteht vielleicht noch darin, dass
> WM darauf besteht, dass seine dunklen Zahlen "nicht geordnet" sind.

Sind sie ja auch nicht. Na gut, wenn man N nur um (m + Z) erweitert,
m eine dunkle Zahl, so ist das schon geordnet. Aber da kann man dann
ja auch flexibel sein. Kostet doch nix.

Hans

-- Fullquote beibehalten --

Martin Vaeth

unread,
Jul 22, 2021, 6:33:00 PM (4 days ago) Jul 22
to
Hans Crauel <crauel...@freenet.de> schrieb:
> Man nimmt nun nur die natürlichen Zahlen
> und dazu alle Zahlen, die größer als jede natürliche Zahl sind.

Das ist genau die Menge *N der hypernatürlichen Zahlen.

> Diese Menge mit der Addition von 1 als Nachfolgeoperation nennt man
> die "Mückenheimsche Erweiterung der natürlichen Zahlen" oder
> "natürliche Zahlen im Sinne von Mückenheim".

Nein, sie haben bereits einen Namen. Wenn, dann nenne man sie bitte
hypernatürliche Zahlen im Sinne von Robinson oder Luxemburg oder einem
anderen seriösen Mathematiker, der ernsthafte Forschung dazu
betrieben hat.

> Neben den üblichen natürlichen Zahlen enthält diese Menge weitere
> Elemente, die "Mückenheim-Zahlen" oder "dunkle Zahlen" genannt werden
> können.

Oder einfach unendliche hyernatürliche Zahlen.

> Weitere mögliche Bezeichnungen sind auch "undefinierbare"
> oder "nicht identifizierbare Zahlen". Sie sind so groß, dass man sie
> nicht sehen kann. Jedenfalls nicht mit bloßem Auge.

Das wiederum ist richtig: Sie lassen sich nicht durch eine
Formel der Standard-Welt beschreiben.

> Dennoch haben auch die dunklen Zahlen durch die Bank jeweils einen
> Nachfolger. Ist m eine dunkle Zahl, so ist m+1 ihr Nachfolger, das
> ist dann auch eine dunkle Zahl. Sie haben zudem auch alle einen
> Vorgänger, nämlich m-1, ebenfalls dunkel.

Korrekt.

> Die inklusionsmonotone Folge der Endabschnitte der natürlichen
> Zahlen im Sinne von Mückenheim hat dann keinen leeren Schnitt,

Falls man als Indexmenge nur die natürlichen Zahlen nimmt
(und nicht die hypernatürlichen Zahlen).

Da gilt übrigens ein viel allgemeineres Kompaktheitsprinzip,
das schon faszinierend ist:

Hat man irgendein System *interner* Mengen mit der Eigenschaft,
dass endliche Schnitte nichtleer sind, so ist auch der Schnitt
über eine abzählbare Teilfamilie nichtleer. (Wenn man abzählbar
auf offensichtliche Art durch die Standard-natürlichen Zahlen
definiert.)

> Die natürlichen Zahlen im Sinne von Mückenheim haben die ersten
> beiden Peano-Eigenschaften

Die hypernatürlichen Zahlen haben sogar *alle* Peano-Eigenschaften,
wenn man "Teilmenge natürlicher Zahlen" durch "*interne* Teilmengen
hypernatürlicher Zahlen" ersetzt. Das "intern" darf man hierbei
nicht weglassen. Die Menge der (endlichen) natürlichen Zahlen ist
freilich nicht intern (wegen der erwähnten Kompaktheitseigenschaft),
ebensowenig ihr Komplement, also die Menge der (unendlichen)
hypernatürlichen Zahlen (denn diese Menge hat kein kleinstes Element).
Die gesamte Menge der hypernatürlichen Zahlen ist hingegen intern;
ebenso alle Teilmengen, die sich durch Formeln aus der Standard-Welt
(oder sogar der viel größeren internen Welt) beschreiben lassen.

> so würde so mancher zum Zweck einer
> Matherapie unternommene Beitrag unterbleiben können.

Aus mathematischer Sicht könnten sie alle unterbleiben, weil die
Diskussion naturgemäß über Banalitäten nicht hinauskommen kann.
Nicht-Mathematisch hat es die Faszination eines Auto-Unfalls.

Martin Vaeth

unread,
Jul 22, 2021, 6:42:55 PM (4 days ago) Jul 22
to
Hans Crauel <crauel...@freenet.de> schrieb:
> als multiplikative Inverse der dunklen Zahlen.
> Schon Isaac Newton hat mit solchen Infinitesimalzahlen gerechnet.

Die Menge der Infinitesimalen besteht nicht nur aus den Kehrwerten
von unendlichen hyper*natürlichen* Zahlen, sondern sogar aus den
Kehrwerten von allen unendlichen hyper*reellen* Zahlen.
Aber für die meisten Anwendungen der Nichtstandard-Analysis spielt
das natürlich keine Rolle. Beide Mengen haben übrigens mindestens
die Mächtigkeit des Kontinuums.

>> P.S. Eine kleine Schwierigkeit besteht vielleicht noch darin, dass
>> WM darauf besteht, dass seine dunklen Zahlen "nicht geordnet" sind.
>
> Sind sie ja auch nicht.

Doch. Sowohl die hypernatürlichen als auch die hyperrellen Zahlen
sind totalgeordnet. Die hypernatürlichen Zahlen sind allerdings nicht
wohlgeordnet, wenn man *beliebige* (nicht nur *interne*) Teilmengen
zulässt. Beispielsweise hat die Menge der unendlichen hypernatürlichen
Zahlen kein kleinstes Element.

Juergen Ilse

unread,
Jul 23, 2021, 9:19:03 AM (3 days ago) Jul 23
to
Hallo,

Hans Crauel <crauel...@freenet.de> wrote:
> Nachdem es trotz aller Versuche einer Matherapie beharrlich nicht
> klappt, hier ein Vorschlag:
>
> Die natürlichen Zahlen werden erweitert. Dazu nimmt man eine Version
> der reellen Nichtstandard-Zahlen. Dort gibt es Zahlen, die größer als
> jede natürliche Zahl sind.

Bist du mittlerweile schon genauso wahnsinnig wie WM? Nein, es gibt keine
reelle Zahl, die groesser als jede natuerliche Zahl waere (wie denn auch?).
Angenommen, es gaebe eine solche, dann kann man die groesste natuerliche
Zahl kleiner als diese relle Zahl bestimmen. Die Differenz dieser eellen
Zahl und der groessten natuerlichen Zahl kleiner als diese reelle Zahl
waere kleiner als 1. Bezecihnen wir jede reelle Zahl als n0, so waere daann
n0+1 auch eine natuerliche Zahl (nach Peano) und n0+1 groesser aals diese
"relle Zahl groesser aals alle natuerlichen Zahlen" -> Widerspruch.
q.e.d.

> Man nimmt nun nur die natürlichen Zahlen
> und dazu alle Zahlen, die größer als jede natürliche Zahl sind.

Es gibt keine einzige natuerliche, rationale, irrationale oder reelle Zahl,
die "groesser als jede natuerliche Zahl" waere.

Bekraeftige WM doch nicht noch in seinen Wahnvorstellungen.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@useenet-verwaltung.de)

Gus Gassmann

unread,
Jul 23, 2021, 11:04:20 AM (3 days ago) Jul 23
to
On Friday, 23 July 2021 at 10:19:03 UTC-3, Juergen Ilse wrote:
> Hallo,
> Hans Crauel <crauel...@freenet.de> wrote:
> > Nachdem es trotz aller Versuche einer Matherapie beharrlich nicht
> > klappt, hier ein Vorschlag:
> >
> > Die natürlichen Zahlen werden erweitert. Dazu nimmt man eine Version
> > der reellen Nichtstandard-Zahlen. Dort gibt es Zahlen, die größer als
> > jede natürliche Zahl sind.
> Bist du mittlerweile schon genauso wahnsinnig wie WM?

Das ist etwas hart, vor allem, weil Hans glasklar über Nichtstandard-Zahlen schrieb (https://de.wikipedia.org/wiki/Nichtstandardanalysis).

[...]
> Bekraeftige WM doch nicht noch in seinen Wahnvorstellungen.

Das allerdings ist ein Risiko, das jeder eingeht, der hier versucht, WMs Wahnvorstellungen irgendwie mit echter Mathematik in Einklang zu bringen.

Martin Vaeth

unread,
Jul 23, 2021, 2:50:48 PM (3 days ago) Jul 23
to
Juergen Ilse <ne...@usenet-verwaltung.de> wrote:
> Hans Crauel <crauel...@freenet.de> wrote:
>> Nachdem es trotz aller Versuche einer Matherapie beharrlich nicht
>> klappt, hier ein Vorschlag:
>>
>> Die natürlichen Zahlen werden erweitert. Dazu nimmt man eine Version
>> der reellen Nichtstandard-Zahlen. Dort gibt es Zahlen, die größer als
>> jede natürliche Zahl sind.
>
> Bist du mittlerweile schon genauso wahnsinnig wie WM? Nein, es gibt keine
> reelle Zahl, die groesser als jede natuerliche Zahl waere (wie denn auch?).

Mit "reeller Nichstandard-Zahl" hat Hans natürlich keine reelle Zahl,
sondern eine hyperreelle Zahl gemeint. Eine Schmalspurversion der Theorie
(die für Hans' Argument ausreicht), lässt sich auf Wikipedia finden:
https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperreelle_Zahl

>> Man nimmt nun nur die natürlichen Zahlen
>> und dazu alle Zahlen, die größer als jede natürliche Zahl sind.
>
> Es gibt keine einzige natuerliche, rationale, irrationale oder reelle Zahl,
> die "groesser als jede natuerliche Zahl" waere.

Hans schrieb "alle Zahlen"; gemeint sind damit natürlich alle
hypernatürlichen Zahlen. Jede hypernatürliche Zahl, die keine
(Standard-Kopie einer) natürlichen Zahl ist, hat die genannte Eigenschaft,
ist also in der üblichen Nichstandard-Terminologie unendlich.

Übrigens: Ist man nur an der Konsistenz einer internen Mengenlehre im
Sinne von Nelson interessiert, braucht man für den Konsistenzbeweis
kein Auswahlaxiom. Man hat dann allerdings keine externen Mengen mehr.
Beispielsweise existiert die Menge der standard-natürlichen Zahlen in
dieser Theorie nicht. Als Schmankerl erfüllen die hypernatürlichen
Zahlen in der internen Mengenlehre dann jedoch alle Peano-Axiome.

Ralf Bader

unread,
Jul 23, 2021, 5:07:37 PM (3 days ago) Jul 23
to
In Robinson, Nonstandard Arithmetic, erhältlich z.B. hier:

https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society/volume-73/issue-6/Nonstandard-arithmetic/bams/1183529093.full

werden auf S. 821 in *N (Mückenheimsche) "Endsegmente" A = {y\y>a}
eingeführt, als Beispiele interner Mengen. Endliche Durchschnitte
solcher Endsegmente sind offenbar nichtleer; also müßte gemäß obigem
faszinierenden Prinzip auch der Durchschnitt aller Endsegmente nichtleer
sein, bzw. warum ist er doch leer? Das ist mir nun nicht auf Anhieb klar.


Fritz Feldhase

unread,
Jul 23, 2021, 6:42:52 PM (3 days ago) Jul 23
to
On Friday, July 23, 2021 at 11:07:37 PM UTC+2, Ralf Bader wrote:

> [...] Endliche Durchschnitte
> solcher Endsegmente sind offenbar nichtleer; also müßte gemäß obigem
> faszinierenden Prinzip auch der Durchschnitt aller Endsegmente nichtleer
> sein, bzw. warum ist er doch leer? Das ist mir nun nicht auf Anhieb klar.

Ja, ja... :-P

Vielleicht kann Herr Professor Mückenheim etwas Klärendes dazu sagen.

Ralf Bader

unread,
Jul 23, 2021, 6:58:09 PM (3 days ago) Jul 23
to
Sonnenstich, oder was soll das?

Tom Bola

unread,
Jul 24, 2021, 6:08:55 AM (2 days ago) Jul 24
to
Ralf Bader schrieb:
Schwarzer Humor...

Martin Vaeth

unread,
Jul 24, 2021, 9:30:39 AM (2 days ago) Jul 24
to
Ralf Bader <ba...@nefkom.net> wrote:
> On 07/23/2021 12:32 AM, Martin Vaeth wrote:
>>
>> Da gilt übrigens ein viel allgemeineres Kompaktheitsprinzip,
>> das schon faszinierend ist:
>>
>> Hat man irgendein System *interner* Mengen mit der Eigenschaft,
>> dass endliche Schnitte nichtleer sind, so ist auch der Schnitt
>> über eine abzählbare Teilfamilie nichtleer. (Wenn man abzählbar
>> auf offensichtliche Art durch die Standard-natürlichen Zahlen
>> definiert.)

Weil ich Obiges nur aus dem Gedächtnis geschrieben habe, ist mir
dabei ein kleiner Lapsus unterlaufen:

Diese Kompaktheitsprinzip (sog. $\aleph_1$-Saturiertheit) gilt
nicht für vollkommen beliebige Nichstandard-Einbettungen, sondern
man braucht ein kleines bisschen mehr (eine sog. "comprehensive"
Nichstandard-Einbettung; die Ultrafilter-Konstruktion hat diese
Eigenschaft).

(Alternativ kann man die Aussage auch dahingehend abschwächen,
dass man statt interne Mengen nur Standard-Mengen zulässt -
dieses abgeschwächte Komptaktheitsprinzip - die sog.
$\alpha_1$-Erweiterung - gilt dann für beliebige
Nichstandard-Einbettungen.)

Vielleicht sollte ich zur Erklärung hinzufügen, dass man
für spezielle Nichtstandard-Einbettungen sogar die sog.
Polysaturiertheit erreichen kann, d.h.:

Hat mein ein Mengensystem interner Mengen mit der Eigenschaft,
dass je endliche Schnitte nichtleer sind, und hat das Mengensystem
hächstens die Kardinalität einer Standard-Menge (also eines
Elements der Standard-Superstruktur), so ist der Schnitt des
Mengensystems nicht leer.

Die Konstruktion solcher polysaturierten Einbettungen ist aber
im Gegensatz zur Konstruktion von "comprehensive" Einbettungen
extrem technisch.

> In Robinson, Nonstandard Arithmetic, [...]
> werden auf S. 821 in *N (Mückenheimsche) "Endsegmente" A = {y\y>a}
> eingeführt, als Beispiele interner Mengen. Endliche Durchschnitte
> solcher Endsegmente sind offenbar nichtleer; also müßte gemäß obigem
> faszinierenden Prinzip auch der Durchschnitt aller Endsegmente nichtleer
> sein

Das Kompaktheitsprinzip ist nicht anwendbar, da die Kardinalität des
Mengensystems dazu ("standard-")abzählbar sein muss
(bzw. in einer polysaturierten Einbettung maximal die Kardinalität
einer Standard-Menge haben darf.)

Genauer:

Der Schnit \bigcap_{a\in *N} \{y\in *N: y>a\} muss natürlich
leer sein, und das ist kein Widerspruch zur $\aleph_1$-Saturiertheit,
weil die Indexmenge *N, über die der Schnitt gebildet wird,
überabzählbar ist. (Tatsächlich kann man zeigen, dass *N mindestens
die Kardinalität des Kontinuums hat).
Betrachtet man sogar eine polysaturierten Einbettung, so ist
es deswegen kein Widerspruch, weil die Kardinalität von *N in
diesem Fall größer sein muss, als die von *jeder* Standard-Menge.

Hingegen ist der Schnitt \bigcap_{a\in\sigma N} \{y\in *N: y>a\}
nichtleer; wie in der Nichtstandard-Analysis üblich, bezeichne ich
hier mit \sigma N = \{ *n: n\in N\} die Standard-Kopie von N.

Dies folgt aus der $\aleph_1$-Saturiertheit (weil \sigma N
abzählbar ist, da es per Definition gleichmächtig zu N ist),
aber in dem Fall braucht man ein solch mächtiges Prinzip gar nicht:

Nach *Definition* einer Nichstandard-Einbettung ist die Menge
*N \ \sigma N nichtleer, und ist a ein Element aus dieser
Menge, so gilt a > *n für jedes n aus N (das kann man z.B. mit
vollständiger Induktion beweisen). Insbesondere liegt dann also
das Element a im Schnitt.

Wir haben also sogar
\bigcap_{a\in\sigma N} \{y\in *N: y>a\} = *N \ sigma N
gezeigt. Deswegen nennt man die Elemente aus *N \ sigma N
auch die unendlichen hypernatürlichen Zahlen.

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