Peano unit fractions

[Fritz Feldhase]

"The set of unit fractions 1/n has cardinality ℵo. No further unit fraction fits between all unit fractions and zero.

There are less Peano unit fractions because for every Peano unit fraction ℵo smaller unit fractions fit between it and zero."

(W. Mückenheim, sci.logic)

Herr Prof. Mückenheim wird uns sicher erklären können, was "Peano unit fractions" sind. Außerdem wird er uns sicher erklären können, warum es _weniger_ "Peano unit fractions" als gewöhnliche unit fractions geben soll, wo doch auch für gewöhnliche unit fractions gilt: "for every unit fraction ℵo smaller unit fractions fit between it and zero."

[WM]

Ich habe, weil William Hughes immer von Peano spricht, im Dialog mit ihm diese Ausdrucksweise übernommen. Tatsächlich geht es um induktiv erreichbare Zahlen n und die daraus formbaren Stammbrüche 1/n. Was Du als gewöhnliche Stammbrüche bezeichnest, sind eben diese: Jeder ist induktiv erreichbar und zwischen jeden und 0 passen noch ℵo kleinere Stammbrüche. Die sind aber nicht alle induktiv erreichbar, denn dann wären ja keine mehr übrig um den Satz zu erfüllen, dass auf jeden noch ℵo folgen.

Diese ℵo Stammbrüche sind nämlich nicht induktiv erreichbar und erfüllen auch nicht den Satz, denn zwischen alle diese und Null passen keine weiteren. Sie liegen so dicht an der 0, das überhaupt keine positive reelle Zahl mehr dazwischen passt.

Wären alle Stammbrüche einzeln unterscheidbar, so wäre diese Beobachtung falsch, denn auf jeden folgen ℵo weitere und außerdem viele andere reelle Zahlen. Also bleibt nur die Erkenntnis, dass diese Stammbrüche nicht individuell unterscheidbar sind und keiner erkennbaren Ordnung unterliegen.

Gruß, WM

[Mostowski Collapse]

WM schrieb:

> Sie liegen so dicht an der 0, das überhaupt keine positive reelle Zahl mehr dazwischen passt.

Hat da grad jemand das Rad neu erfunden, und den Grenzwert erblickt?

[WM]

Nein. Der Grenzwert lässt sich aus den induktiv erreichbaren Stammbrüchen finden. Darum geht es hier nicht, sondern um das, was zwischen allen induktiv erreichbaren Zahlen und dem Grenzwert liegt.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Thursday, January 19, 2023 at 8:18:31 PM UTC+1, WM wrote:

> Jeder ist induktiv erreichbar [....]. Die sind aber nicht alle induktiv erreichbar [...].

Herr Rosenthal, bitte übernehmen Sie!

[Andreas Leitgeb]

WM <mont...@t-online.de> wrote:
> Darum geht es hier nicht, sondern um das, was zwischen allen induktiv
> erreichbaren Zahlen und dem Grenzwert liegt.

Wäre unter allen Stammbrüchen einer darunter, dessen Reziprokwert nicht
selber 1 wäre oder nach Peano durch die Nachfolger-operation von 1 aus
erreichbar wäre, dann wäre es ja nach Definition eben kein Stammbruch.

Also geht es um nix.
Damit kann dieser Diskussionsfaden geschlossen werden.

[WM]

Andreas Leitgeb schrieb am Freitag, 20. Januar 2023 um 00:13:48 UTC+1:
> WM <mont...@t-online.de> wrote:
> > Darum geht es hier nicht, sondern um das, was zwischen allen induktiv
> > erreichbaren Zahlen und dem Grenzwert liegt.
> Wäre unter allen Stammbrüchen einer darunter, dessen Reziprokwert nicht
> selber 1 wäre oder nach Peano durch die Nachfolger-operation von 1 aus
> erreichbar wäre, dann wäre es ja nach Definition eben kein Stammbruch.

Es wäre kein zugänglicher Stammbruch, sondern ein dunkler.

Ich habe gerade andernorts die Wundergläubigkeit der Matheologen bewundert. Wunder über Wunder.

Zwischen jedem definierbaren Stammbruch 1/n und Null gibt es ℵo Stammbrüche, also mehr als zwischen 1/n und 1. Wenn man aber diese Stammbrüche zu einer Menge versammelt, dann liegt kein Stammbruch mehr zwischen dieser Menge und Null. Die vor der Sammlung unendliche Lücke wird also durch ein matheologisches Wunder geschlossen, nämlich durch das Verbot der Quantorenvertauschung.

Aber jeder nüchterne Mathematiker sollte das Wunder hinterfragen. Und das kann nur geschehen, indem die Wundergläubigen einen Stammbruch aufzeigen, der um weniger als ℵo Stammbrüche von der Null entfernt ist (oder weniger Vorgänger als Nachfolger besitzt). Erst dann wäre das Wunder perfekt und bewiesen. Aber wir lassen es einfach bleiben, denn das Wunder ist des Glaubens liebstes Kind.

Indessen, noch besser gelingt der Beweis, dass die Mengenlehre ein Missbrauch von Gläubigen ist, durch die Os, die ihr Schicksal erst nach allen natürlichen Zahlen finden.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Friday, January 20, 2023 at 1:51:05 PM UTC+1, WM wrote:

> <saudummes Geschwafel - gelöscht>

> Aber jeder nüchterne Mathematiker sollte

begreifen, dass (wenn sich n und m auf natürliche Zahlen beziehen)

An Em m > n wahr, aber
Em An m > n falsch ist.

Ebenso sollte er begreifen, dass (wenn sich n und m auf natürliche Zahlen beziehen)

An Em 1/m < 1/n wahr, aber
Em An 1/m < 1/n falsch ist.

Mit der MENGENLEHRE hat das gar nichts zu tun, Du Trottel.

Es zeigt lediglich, warum

> das Verbot der Quantorenvertauschung [als "Schlussregel"]

in der Mathematik sinnvoll und richtig (ja im Hinblick auf die Korrektheit der Schlüsse sogar _notwendig_) ist.

[Rainer Rosenthal]

Am 20.01.2023 um 13:51 schrieb WM:
>
> Aber jeder nüchterne Mathematiker sollte das Wunder hinterfragen ...

... wieso ihm ein schwätzender Schlaumeier Ratschläge geben will :-)

Wenn ein nüchterner Mathematiker von einem Schlaumeier zu Aussage [1]
ein "nein" bekommt, zu der ganz ähnlichen Aussage [2] aber ein "ja",
dann stutzt er und versucht es mit einer rationalen Näherung.
Er, der nüchterne Mathematiker also, fragt nach dem Grund für den
Sinneswandel. "Tja", sagt der Schlaumeier, "die Nummerierungen sind
verschieden". Da merkt der nüchterne Mathematiker dann, dass der
Schlaumeier wohl besoffen ist, denn gerade noch hat er zum Besten
gegeben [3], dass die Nummerierung unwesentlich ist.

Gruß,
RR


[1] Im Hotel 'Goldener Anker' wohnen die Gäste 2, 3, 4, ...
Jeder Gast hat ein eigenes Zimmer, und es gibt kein weiteres leeres
Zimmer im Hotel. (WM am 24.12.2022: "Falsch".)

[2] Im Hotel 'Lamm' wohnen die Gäste 2, 3, 4, ...
Jeder Gast hat ein eigenes Zimmer, und es gibt kein weiteres leeres
Zimmer im Hotel. (WM am 5.1.2023: "Richtig".)

[3] "Hilberts Hotel hat |ℕ| Zimmer, die von |ℕ| Gästen belegt sind, ganz
egal, wie Du sie bezeichnest."
(Thread "Die achte Erklärung // TH13 Hilberts Hotel", 22.12.2022, 11:25)

[Jens Kallup]

Hallo,

Am 20.01.2023 um 16:21 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 20.01.2023 um 13:51 schrieb WM:
>>
>> Aber jeder nüchterne Mathematiker sollte das Wunder hinterfragen ...
>
> ... wieso ihm ein schwätzender Schlaumeier Ratschläge geben will :-)

sagte mal, merkt Ihr's noch ?
Es geht doch hier nicht mehr um Mathematik, sondern um die Frage:

- "Wer denn meinen Platz einnehmen soll, wenn ich nicht mehr da bin ?",

- "Wer kann den *neuen* MathematikerInnen denn vorzeigen, was falsch und
was richtig ist ?",

- "Woher bekommen wir fähige Leute, die in der klaffenden Lücke passt ?"

- "Wie können *neue* Wege begangen werden, um die "global Trotter" mit
einbeziehen zu können ?"

- "Wie können Unterschiede in Bezug auf Politik, Kultur, und Familie
so gerichtet werden, das man einiger maßen den Fortbestand sichern
kann ?"

Jens

--
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www.avast.com

[WM]

Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 20. Januar 2023 um 15:51:11 UTC+1:
> On Friday, January 20, 2023 at 1:51:05 PM UTC+1, WM wrote:

> > Aber jeder nüchterne Mathematiker sollte
> begreifen, dass (wenn sich n und m auf natürliche Zahlen beziehen)
>
> An Em m > n wahr, aber
> Em An m > n falsch ist.

Klar, für Peanos Zahlen, aber nicht für Cantors.

>
> Ebenso sollte er begreifen, dass (wenn sich n und m auf natürliche Zahlen beziehen)
>
> An Em 1/m < 1/n wahr, aber
> Em An 1/m < 1/n falsch ist.
>
> Mit der MENGENLEHRE hat das gar nichts zu tun

Die Existenz von ℵo auf jede definierbare Zahl folgenden Zahlen hat mit der aktualen Unendlichkeit zu tun. Alle induktiv erreichbaren Stammbrüche haben, gemessen in Stammbrüchen, einen unendlichen Abstand von 0. Zu behaupten, dass dieser auf nichts schrumpft, wenn alle diese Versager in eine Menge zusammengefasst werden, ist klarer Unsinn.

>
> Es zeigt lediglich, warum
>
> > das Verbot der Quantorenvertauschung [als "Schlussregel"]

> in der Mathematik sinnvoll und richtig (ja im Hinblick auf die Korrektheit der Schlüsse sogar _notwendig_) ist.

Wenn alle Versager in eine Menge zusammengefasst werden, kann die Mathematik nicht bestehen.

Gruß, WM

[WM]

Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 20. Januar 2023 um 16:21:38 UTC+1:

> Wenn ein nüchterner Mathematiker von einem Schlaumeier zu Aussage [1]
> ein "nein" bekommt, zu der ganz ähnlichen Aussage [2] aber ein "ja",
> dann stutzt er und versucht es mit einer rationalen Näherung.

Du versuchst es dagegen mit einer Menge von Lügen, indem Du den Unterschied in den Nebenbedingungen unterschlägst. Es ist sinnlos, Dich darüber aufzuklären. Entweder bist du zu dumm, das zu verstehen, oder, was wahrscheinlicher ist, zu unehrlich, um Deinen Dummfug zuzugeben.

Gruß, WM

[Andreas Leitgeb]

WM <mont...@t-online.de> wrote:
> Alle induktiv erreichbaren Stammbrüche haben, gemessen in Stammbrüchen,
> einen unendlichen Abstand von 0. Zu behaupten, dass dieser auf nichts
> schrumpft, wenn alle diese Versager in eine Menge zusammengefasst werden,
> ist klarer Unsinn.

Korrekt.

Es ist aber bereits Unsinn, überhaupt ernsthaft von einem "in Stammbrüchen"
gemessenen Abstand "aller induktiv erreichbaren Stammbrüche" von 0 zu
schwurbeln.

[Mostowski Collapse]

Wenn 1/n nie 0 erreicht, dann erreicht n/1 nie oo.
Aber was ist oo? War nicht Leonard Euler schon befähigt
mit 1/0 als oo zu rechnen. Machen wir die Probe aufs

Exemple. Wann ist eine positive Rationalzahl kleiner
als eine andere positive Rationalzahl:

a/b < c/d

Aus der Schulzeit kennt man vielleicht noch, dass
das dem hier entspricht:

a*d < b*c

Jetzt mit Leonard Euler:

n/1 < 1/0 ?

Ja, hier ein Beweis:

n*0 < 1*1, bzw 0 < 1.

Q.E.D.

[Rainer Rosenthal]

Am 20.01.2023 um 18:45 schrieb Jens Kallup:
> Am 20.01.2023 um 16:21 schrieb Rainer Rosenthal:
>> Am 20.01.2023 um 13:51 schrieb WM:
>>> Aber jeder nüchterne Mathematiker sollte das Wunder hinterfragen ...
>> ... wieso ihm ein schwätzender Schlaumeier Ratschläge geben will :-)
>
> sagte mal, merkt Ihr's noch ?
> Es geht doch hier nicht mehr um Mathematik
>

Wenn angeblich mathematisch relevante Aussagen von ein und derselben
Person mal als wahr und mal als falsch bezeichnet werden, dann geht es
sehr wohl um Mathematik. Und zwar ist dann klar, dass diese Person
besser die Klappe hält, wenn es um Mathematik geht.

Für Dich gilt das Gleiche.
Lies einfach mal in der Charta:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Herzlich willkommen in der Newsgroup de.sci.mathematik!
Worum geht es hier?
===================
Die Gruppe de.sci.mathematik soll zur Diskussion über
mathematische Probleme aller Art dienen.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Wenn Du hier Deinen Weltschmerz ablädtst, dann ist das wohl nicht zu
vermeiden, aber es ist schon etwas lästig. Und ob es um Mathematik geht
oder nicht, kannst Du noch weniger beurteilen als der Hochstapler aus
Augsburg.
Der hat immerhin kapiert, dass es tatsächlich um Mathematik geht, wenn
ihm nachgewiesen wird, dass er aus voller Überzeugung sich selbst
widerspricht. Und darum schweigt er nun auch fein still zu dem
Widerspruch in seinen Aussagen:
[1] Es kann nicht sein, dass in einem Hotel Gäste 2, 3, 4, ... wohnen.
[2] Es ist klar, dass in einem Hotel Gäste 2, 3, 4, ... wohnen können.

Kannst Du ausnahmsweise mal klar ausdrücken, was Du davon hältst?

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[Andreas Leitgeb]

Mostowski Collapse <burs...@gmail.com> wrote:
> n/1 < 1/0 ?
> Ja, hier ein Beweis:
> n*0 < 1*1, bzw 0 < 1.

Dir ist aber schon bekannt, dass das "mit 0 multiplizieren"
beider Seiten einer Ungleichung keine Äquivalenzumformung ist.

Oder?

[Mostowski Collapse]

Ich multipliziere nicht zwei seiten mit 0.
Ich gehe von einer definition fur aus:

"a/b" "<" "c/d"

Was zwei Rationalzahlen "a/b" und "c/d"
in Beziehung "<" setzt. Um die Beziehung
zu erfahren, muss man die Rationalzahlen
auspacken, "a/b" in a,b und "c/d" in c,d,

und dann dies hier berechnen:

a*d < b*c

Sei nun Q+ die Menge der positiven Rationalzahlen,
oder Q die Menge der positiven und negativen Rationalzahlen,
wie erhält auf schnelle und einfache Weise so etwas
wie Q* dass diesem hier entspricht, einfach mit

Rationalzahlen und nicht reellen Zahlen:

https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line

Ich denke Leonard Euler war nicht nur ein
guter Mathematiker sondern auch ein guter
Calculator, ihm werden einige berühmte Berechnungen
zugeschrieben, wie geht man flink mit 1/0 um?

Wenn ich die obige Rechnung in Q* mache erhalte ich:

n/1 < 1/0

Wie auf der Extended Real Number line, wenn man 1/0 = oo annimmt.
Dort gilt auch n < oo.

[Rainer Rosenthal]

Am 20.01.2023 um 20:44 schrieb WM:
>
> Du versuchst es dagegen mit einer Menge von Lügen, indem Du den Unterschied in den Nebenbedingungen unterschlägst.

Was sind denn die Nebenbedingungen, die diese beiden Sätze
widerspruchlos machen?

[1] Es kann nicht sein, dass in einem Hotel Gäste 2, 3, 4, ... wohnen.

[2] Es ist klar, dass in einem Hotel Gäste 2, 3, 4, ... wohnen können.

Du hast zwar versucht, die Nummerierung als wesentlich anzuführen, aber
in einem Anflug von Hellsichtigkeit hattest Du bereits [3] geschrieben.

> Es ist sinnlos, ...

... denn Du bist hilflos, wie immer, wenn's konkret wird.

[Andreas Leitgeb]

Mostowski Collapse <burs...@gmail.com> wrote:
> Ich multipliziere nicht zwei seiten mit 0.
> Ich gehe von einer definition fur aus:
> "a/b" "<" "c/d"
> Was zwei Rationalzahlen "a/b" und "c/d"
> in Beziehung "<" setzt.

Hier sprichst du aber von Rationalzahlen, was 1/0
oder irgendein c/0 nun sicher nicht inkludiert.

Ergo: Verwendung einer Aussage unter Missachtung der
dafür geltenden Voraussetzungen.

In dieser "Disziplin" ist sonst eher der WM spitze.

[Jens Kallup]

Hallo Rainer,

Am 20.01.2023 um 20:53 schrieb Rainer Rosenthal:
> [1] Es kann nicht sein, dass in einem Hotel Gäste 2, 3, 4, ... wohnen.
> [2] Es ist klar, dass in einem Hotel Gäste 2, 3, 4, ... wohnen können.
>
> Kannst Du ausnahmsweise mal klar ausdrücken, was Du davon hältst?

ich bemerke, dass ich feststellen konnte, das vieles einfach nur um
die Auslegung irgend welcher Sachverhalte Haarspalterrei ist.

Es gibt ja Leute, die *ALLES* auf die Waagschale nehmen, was der Eine
oder Andere hier öffentlch posted.
Wie Du schon geschrieben hast, kann jeder Pubs im Internet Sachen
einbringen, wie es ihm beliebt.
Ich bin Euch auch dafür dankbar, das *IHR* noch die Energie habt, die
"Falschinformationen" versucht, richtig darzustellen bzw. Hochstapler
entlarven wollte/könnt/möchtet.

WM scheint so ein Korrintenscheizer (sorry für Fäkalsprache) zu sein.
Weil,
- zu [1]: im Hotel A *wohnen* in den Zimmern 2,3,4 Gäste
(hier ist die Anzahl der Zimmer gemeint).

- zu [2]: im Hotel B *können* 2,3,4 Gäste in den vorhanden Zimmern
wohnen (hier ist die Anzahl der Gäste gemeint).

Die Frage, die sich also WM stellt - oder Euch (mich) ist:
1. wieviel Gäste wohnen in A
2. wieviel Zimmer hat das Hotel B

beide Fragen können mit "richtig/wahr" und/oder "falsch" beantwortet
werden.
Ich kenne diesen Zusammenhang während ich auf der Programmier-Ebene bin
manchmal als "Circular-Reference".
Das heißt, das sich Modul A mit Modul B beißt.
Also wenn ich versuche, im Quellcode des Programmes, von Modul A aus
das Modul B includiere, aber das Modul B includiert wieder Modul A.

Glücklicherweise kennen die *neuen* Programmiersprachen dieses PRoblem
und liefern ggf. bei Ausführung des Programmes einen Stack-Überlauf,
wenn der Stack (auf dem Werte auf-, und abgenommen werden können) eine
kritische (maximale) Größe erreicht, und das Programm dann abbricht.

Ich weiß, das ist jetzt auch Korrintenkakkerrei, aber anders kann ich
mir nicht vorstellen, warum WM immer mit den gleichen Mist kommt, um
Euch aus der Reserve zu locken, um dann auch noch das I-Tüpfelchen
zu finden.

Und der Fritz schreibt dann munter weiter mit seinen Formel.
Sehr Nobelpreis-trächtig.

[Jens Kallup]

Hallo Andreas,

Am 20.01.2023 um 21:18 schrieb Andreas Leitgeb:
> Mostowski Collapse <burs...@gmail.com> wrote:
>> Ich multipliziere nicht zwei seiten mit 0.
>> Ich gehe von einer definition fur aus:
>> "a/b" "<" "c/d"
>> Was zwei Rationalzahlen "a/b" und "c/d"
>> in Beziehung "<" setzt.

kann man auch anders, in Schulform, schreiben:

geg.: a := 0
b := 1
c := 1
d := 0

=> a/b < c/d

a c
=> --- < ---
b d

=> a * d < b * c

=> 0 * 0 < 1 * 1

oder:

=> 0 * oo < 1 * oo
=> 0 < oo

Gruß, Jens

[Jens Kallup]

Am 20.01.2023 um 22:30 schrieb Jens Kallup:
> => 0 * oo <  1 * oo
> => 0      <      oo

haha, das ist lustig !

[1]:
- wenn 0 < oo ist ...
- wie groß ist dann oo ? -> 1 ?

=> 1 < oo

und wieder zurück zu [1].

- dann könnte man doch: n < oo denken, wobei dann
oo < als oo ist, also 0 => { } ?

sehr lustig irgend wie
also ist oo leer, nichts, einfach heiße/kalte Luft ?

*schunzeln, Jens

[Rainer Rosenthal]

Am 20.01.2023 um 22:20 schrieb Jens Kallup:
> Am 20.01.2023 um 20:53 schrieb Rainer Rosenthal:
>> [1] Es kann nicht sein, dass in einem Hotel Gäste 2, 3, 4, ... wohnen.
>> [2] Es ist klar, dass in einem Hotel Gäste 2, 3, 4, ... wohnen können.
>>
>> Kannst Du ausnahmsweise mal klar ausdrücken, was Du davon hältst?
>
> ich bemerke, dass ich feststellen konnte, das vieles einfach nur um
> die Auslegung irgend welcher Sachverhalte Haarspalterrei ist.

Nun ja, kommt drauf an, wie breit das Haar sein darf.
Der Ausdruck "Fünfe gerade sein lassen" bedeute so etwas Ähnliches: dass
es ja egal ist, ob man eine 5 im Zeugnis hat oder eine 4. Kann man so
sehen, muss man aber nicht. Oder wie es so nett über Steuerberater hieß:
sie sind in der Lage, 2 + 3 auf unter 4 zu drücken.

> - zu [1]: im Hotel A *wohnen* in den Zimmern 2,3,4 Gäste
>           (hier ist die Anzahl der Zimmer gemeint).
>
> - zu [2]: im Hotel B *können* 2,3,4 Gäste in den vorhanden Zimmern
>           wohnen (hier ist die Anzahl der Gäste gemeint).
>

Wenn Du beim Zitieren nach 2, 3, 4 die "Pünktchen" weglässt, dann hast
Du nicht nur Haare gespalten, sondern gleich alle Haare ausgerauft. Die
Pünktchen stehen für "unendlich". Wer sich auf Diskussionen über
"unendlich" einlässt, sollte keine Angst vor genauer Argumentation
haben. Diese als "Haarspalterei" zu bezeichnen, disqualifiziert einen
gleich, sorry. Wer sich darauf einlässt und sich verheddert,
disqualifiziert sich ebenfalls, wie am Beispiel WM gut zu sehen ist.

> Die Frage, die sich also WM stellt - oder Euch (mich) ist:
> 1. wieviel Gäste wohnen in A
> 2. wieviel Zimmer hat das Hotel B
>
> beide Fragen können mit "richtig/wahr" und/oder "falsch" beantwortet
> werden.
>

Diese Fragen hast Du erfunden. Sie sind kein Thema. Die Anzahl der
Zimmer ist nämlich unendlich, weil es sich um das Gedankenexperiment
"Hilberts Hotel" handelt. Es geht darum, dass WM bereits empört "NEIN!"
ruft, wenn es um [1] geht, wenn ich ihn aber geschickt an der Nase
herumführe, dann ist er plötzlich überzeugt, dass [2] ganz OK ist.

In der Mathematik ist "geschickt an der Nase herumführen" auch unter dem
Namen "Beweise führen" bekannt. Der Genasführte hat jederzeit das Recht,
auf die Stelle hinzuweisen, bei der es nicht mit rechten Dingen
zugegangen ist. Das nennt man in der Mathematik "eine Beweislücke
finden". In der Informatik, die Du gerne als Beispiel anführst,
entspricht das einem "bug".

Apropos "bug": ein Computer besteht aus Logik-Gattern, WMs
'Gedanken'-Gebäude aber aus Unlogik-Gattern. Es ist ganz unterhaltsam,
die Unlogik-Gatter so zu verschalten, dass ein Kurzschluss entsteht.
Dann gibt es ein Rauchwölkchen aus Schimpfworten, aber das war's dann auch.

Gruß,
Rainer

[WM]

Weshalb? Hast Du gemerkt, dass Du dem für den einzelnen Stammbruch zugestimmt hast?

WM: Aber wenn man nur Zahlen sammelt, die ℵo-unendlich viele Nachfolger haben,
WM: dann kann man davon ausgehen, dass keine dieser Zahlen weniger Nachfolger
WM: besitzt.
AL: Soweit passts ja auch.

Und weshalb passt es für mehrere oder alle nicht mehr?

Gruß, WM

[WM]

Mostowski Collapse schrieb am Freitag, 20. Januar 2023 um 20:48:44 UTC+1:
> Wenn 1/n nie 0 erreicht, dann erreicht n/1 nie oo.

Das ohnehin nicht, denn oo ist nicht ω.
oo ist eine Richtung, ω ist eine feste ganze Zahl.

> Aber was ist oo? War nicht Leonard Euler schon befähigt
> mit 1/0 als oo zu rechnen.

Er hat wahrscheinlich oo für das gesetzt, was Cantor zunächst auch so nannte, bis er erkannt hat, dass es einen großen Unterschied zwischen beiden gibt. Wärst Du in meiner Vorlesung gewesen, so hättest Du vor allem das gelernt.

> Jetzt mit Leonard Euler:

1/3 < 1/2 < 1/1 < 1/0 < 1/-1 .

Gruß, WM

[WM]

Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 20. Januar 2023 um 21:05:51 UTC+1:
> Am 20.01.2023 um 20:44 schrieb WM:
> >
> > Du versuchst es dagegen mit einer Menge von Lügen, indem Du den Unterschied in den Nebenbedingungen unterschlägst.
> Was sind denn die Nebenbedingungen, die diese beiden Sätze
> widerspruchlos machen?

|ℕ| =/= |ℕ|-1.

> [1] Im Hotel 'Goldener Anker' wohnen die Gäste 2, 3, 4, ...
> Jeder Gast hat ein eigenes Zimmer, und es gibt kein weiteres leeres
> Zimmer im Hotel.

Falsch, wenn die Zimmer 1, 2, 3, ... vorhanden sind.
Richtig, wenn die Zimmer 2, 3, 4, ... vorhanden sind.

Gruß, WM

[Jens Kallup]

Am 20.01.2023 um 23:02 schrieb Rainer Rosenthal:
> Apropos "bug": ein Computer besteht aus Logik-Gattern, WMs
> 'Gedanken'-Gebäude aber aus Unlogik-Gattern. Es ist ganz unterhaltsam,
> die Unlogik-Gatter so zu verschalten, dass ein Kurzschluss entsteht.
> Dann gibt es ein Rauchwölkchen aus Schimpfworten, aber das war's dann auch.

jor, Pubs, ... heiße/kalte Luft.

LOL

[Jens Kallup]

Am 20.01.2023 um 23:02 schrieb Rainer Rosenthal:

> In der Mathematik ist "geschickt an der Nase herumführen" auch unter dem
> Namen "Beweise führen" bekannt. Der Genasführte hat jederzeit das Recht,
> auf die Stelle hinzuweisen, bei der es nicht mit rechten Dingen
> zugegangen ist. Das nennt man in der Mathematik "eine Beweislücke
> finden". In der Informatik, die Du gerne als Beispiel anführst,
> entspricht das einem "bug".

also ist es ein hin- und her-geschubse.

Ihr macht den WM aufmerksam, und WM zeigt auf seinen Fehler, aber er ist
dann nicht in der Lage, diesen Fehler zu sehen.

Für mich klingt das so, dass der gute Alte Herr Blind ist, und Ohren-
probleme hat (da man sich ja auch, wenn man eine Sehbeeinträchtigung
hat, den Text vorlesen kann...).

Ich will jetzt nicht Hätzen:
- keine JugendInnen,
- keine MinderheitInnen,
- keine GenderInnen,
- keine RassistInnen,
- keine PolitikerInnen
- etc. pp. ...

Aber es gibt halt so Leute - ich habe mit manch so einen Tag täglich
zu tun. Was mich aber nicht davon abhält keine Fäkalsprachen zu nutzen.

Ich selbst bin auch nicht die Leuchte, denke aber, dass ich mit Jeden
so klar komme, das kein Streit, oder anderweitige Mißstimmungen
auftretten.

Aber denken, kann man ja viel ...
Beweisen muss man es ... :-)

[Fritz Feldhase]

On Friday, January 20, 2023 at 11:51:39 PM UTC+1, Jens Kallup wrote:

> also ist es ein hin- und her-geschubse.

Du hast ja Recht, Jens. Dennoch ist das halt eine Mathematik-NG und es sollte (daher) primär um mathematische Belange/Themen gehen.

> Beweisen muss man es ... :-)

Genau. Insbesondere, wenn es um Mathematik geht. :-)

[Rainer Rosenthal]

Am 20.01.2023 um 23:29 schrieb WM:
> Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 20. Januar 2023 um 21:05:51 UTC+1:
>> Am 20.01.2023 um 20:44 schrieb WM:
>>>
>>> Du versuchst es dagegen mit einer Menge von Lügen, indem Du den Unterschied in den Nebenbedingungen unterschlägst.
>> Was sind denn die Nebenbedingungen, die diese beiden Sätze
>> widerspruchlos machen?
>
> |ℕ| =/= |ℕ|-1.

Sehr interessant, Herr Wahrheits-Manipulator (WM).
Die (mal wieder) weggeschnittenen Sätze lauten

[1] Es kann nicht sein, dass in einem Hotel Gäste 2, 3, 4, ... wohnen.

[2] Es ist klar, dass in einem Hotel Gäste 2, 3, 4, ... wohnen können.

Beide Sätze widersprechen sich, und ein und dieselbe Bedingung (wie
falsch sie auch immer sein mag) sorgt dafür, dass beide doch richtig
sind? Hahaha, und dann über Wundergläubige spotten, das haben wir gerne.

>
>> [1] Im Hotel 'Goldener Anker' wohnen die Gäste 2, 3, 4, ...
>> Jeder Gast hat ein eigenes Zimmer, und es gibt kein weiteres leeres
>> Zimmer im Hotel.
> Falsch, wenn die Zimmer 1, 2, 3, ... vorhanden sind.
> Richtig, wenn die Zimmer 2, 3, 4, ... vorhanden sind.
>

Du vergisst bzw. verdrängst, dass Du [3] für richtig hältst:
Die Hotels haben |ℕ| Zimmer, die von |ℕ| Gästen belegt sind, ganz egal,
wie Du sie bezeichnest. Die rationale Näherung funktioniert recht gut,
denn Du bist hier auf Dich gestellt und kannst keine Zitate fälschen und
anderen Leuten Deinen Unsinn in die Schuhe schieben. Es wird - bei aller
Abstraktheit - recht konkret, und immer, wenn's konkret wird, darf man
sich auf Ausflüchte von Dir gefasst machen. Oder auf Flüche :-)

Gruß,
RR

[1] Im Hotel 'Goldener Anker' wohnen die Gäste 2, 3, 4, ...
Jeder Gast hat ein eigenes Zimmer, und es gibt kein weiteres leeres

Zimmer im Hotel. (WM am 24.12.2022: "Falsch".)

[2] Im Hotel 'Lamm' wohnen die Gäste 2, 3, 4, ...

Jeder Gast hat ein eigenes Zimmer, und es gibt kein weiteres leeres

[Fritz Feldhase]

On Friday, January 20, 2023 at 11:29:48 PM UTC+1, WM wrote:
> Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 20. Januar 2023 um 21:05:51 UTC+1:
> >
> > Was sind denn die Nebenbedingungen, die diese beiden Sätze widerspruchlos machen?
> >
> |ℕ| =/= |ℕ| - 1

Because you said so?

Hören Sie mal, Sie Mückendepp, wie ist denn bei Ihnen "|.|" und "-" definiert, so dass Sie Ihre Behauptung |ℕ| =/= |ℕ| - 1 BEWEISEN können?

Btte geben Sie die entsprechenden Definitionen und den Beweis für Ihre Behauptung an.

Da ich vermute, dass Sie dazu nicht in der Lage sein werden, sieht das für mich wie eine weitere Bestätigung der folgenden Aussage aus:

"[Mückenheim's] conclusions are based on the sloppiness of his notions, his inability of giving precise definitions, his fundamental misunderstanding of elementary mathematical concepts, and sometimes, as the late Dik Winter remarked [...], on nothing at all." (Franz Lemmermeyer)

[Andreas Leitgeb]

Hättest du deine ersten paar Vorlesungen nicht wegen der Bundeswehr
verpasst, dann wüsstest du es jetzt vielleicht. Bei deinem aktuellen
Fortschritt in dein autodidaktisch aufgestelltes Bockshorn ist da aber
leider praktisch keine Hoffnung mehr vorhanden.

PS: bzgl "mehrere" oder "alle": es reicht, wenns "unendlich viele" sind.

[Mostowski Collapse]

Nö, ich definiere Q und Q*. See hier:

> wie Q* dass diesem hier entspricht, einfach mit
> Rationalzahlen und nicht reellen Zahlen:
> https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line

Also Q* = Q u {-oo,oo}. Jetzt stellt sich die Frage
ob man einfach für oo = 1/0 nehmen kann, und
die meiste Rechner dann gleich läuft.

Natürlich ist 1/0 = oo falsch, jedenfals aus Limes
sicht, weil es zwei Werte gibt:

lim x->0- 1/x = -oo

lim x->0+ 1/x = oo

Aber der Ansatz oo = 1/0 basiert nicht auf dem
Limes und soll auch nicht sagen dass
erwünscht ist dass 1 / 0 = oo = 1/0 ergibt. Es
soll nur das packet "1/0" wie oo funktionieren.

Geht das? Ich denke schon...

[Mostowski Collapse]

Leanhard Euler hat nachweisslich 1/0 = oo propagiert:

―Dieser Begriff von dem Unendlichen ist desto sorgfältiger zu
bemerken, weil derselbe aus den ersten Gründen unserer Erkenntniß
ist hergeleitet worden, und in dem folgenden von der größten Wichtigkeit
seyn wird. Es lassen sich schon hier daraus schöne Folgen ziehen,
welche unsere Aufmerksamkeit verdienen, da dieser Bruch 1/∞ den
Quotus anzeigt, wann man das Dividend 1 durch den Divisor ∞ dividiret.
Nun wissen wir schon, daß, wann man das Dividend 1 durch den Quotus,
welcher ist 1/∞, oder 0 wie wir gesehen haben, dividiret, alsdann der
Divisor nämlich ∞ heraus komme; daher erhalten wir einen neuen Begriff
von dem Unendlichen, nämlich daß dasselbe herauskomme wann man 1
durch 0 dividiret; folglich kann man mit Grund sagen, daß l durch 0 dividiret eine
unendlich große Zahl oder ∞ anzeige. …

Nähere Angaben woher das Zitat kommt hier:

Classical logic and the division by zero - Ilija Barukčić, 2019
https://www.researchgate.net/publication/338152159

Ob 1/0 = oo allen Betrachtungen stand hält interessiert mich nicht
wirklich. Mich interessiert eher ob man in Q* mit oo rechnen
kann als ob es 1/0 wäre, und ob man dann diese Rechenregeln bekommt?

https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line#Arithmetic_operations

[WM]

Rainer Rosenthal schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 00:08:19 UTC+1:
> Am 20.01.2023 um 23:29 schrieb WM:

> >> [1] Im Hotel 'Goldener Anker' wohnen die Gäste 2, 3, 4, ...
> >> Jeder Gast hat ein eigenes Zimmer, und es gibt kein weiteres leeres
> >> Zimmer im Hotel.
> > Falsch, wenn die Zimmer 1, 2, 3, ... vorhanden sind.
> > Richtig, wenn die Zimmer 2, 3, 4, ... vorhanden sind.
> >
> Du vergisst bzw. verdrängst, dass Du [3] für richtig hältst:

Nein.

> Die Hotels haben |ℕ| Zimmer, die von |ℕ| Gästen belegt sind, ganz egal,
> wie Du sie bezeichnest.

Gut. Das erlaubt eine Bijektion.
Und wenn ein Gast oder ein Zimmer ausfällt, dann ist keine Bijektion mehr möglich. Wenn aber ein Gast und ein Zimmer ausfallen, dann ist wieder eine Bijektion möglich.

Gruß, WM

[WM]

Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 00:26:14 UTC+1:
> On Friday, January 20, 2023 at 11:29:48 PM UTC+1, WM wrote:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 20. Januar 2023 um 21:05:51 UTC+1:
> > >
> > > Was sind denn die Nebenbedingungen, die diese beiden Sätze widerspruchlos machen?
> > >
> > |ℕ| =/= |ℕ| - 1
> Because you said so?

Nein, weil die Bijektion so definiert ist, dass bei Verlust eines Partners der andere alleinstehend ist.
>
> Wie ist denn bei Ihnen "|.|" und "-" definiert, so dass Sie Ihre Behauptung |ℕ| =/= |ℕ| - 1 BEWEISEN können?

|ℕ| ist die Anzahl der Elemente von ℕ, eine positive ganze Zahl, die aber nicht durch einen endlichen Anfangsabschnitt definierbar ist. Deswegen ist ihre Existenz nur axiomatisch begründbar. |ℕ| - 1 ist die um eine Einheit kleinere positive ganze Zahl.

Gruß, WM

[WM]

Andreas Leitgeb schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 01:33:40 UTC+1:
> WM <mont...@t-online.de> wrote:
> > Andreas Leitgeb schrieb am Freitag, 20. Januar 2023 um 20:48:38 UTC+1:
> >> WM <mont...@t-online.de> wrote:
> >> > Alle induktiv erreichbaren Stammbrüche haben, gemessen in Stammbrüchen,
> >> > einen unendlichen Abstand von 0. Zu behaupten, dass dieser auf nichts
> >> > schrumpft, wenn alle diese Versager in eine Menge zusammengefasst werden,
> >> > ist klarer Unsinn.
> >> Korrekt.
> >> Es ist aber bereits Unsinn, überhaupt ernsthaft von einem "in Stammbrüchen"
> >> gemessenen Abstand "aller induktiv erreichbaren Stammbrüche" von 0 zu
> > Weshalb? Hast Du gemerkt, dass Du dem für den einzelnen Stammbruch zugestimmt hast?
> > WM: Aber wenn man nur Zahlen sammelt, die ℵo-unendlich viele Nachfolger haben,
> > WM: dann kann man davon ausgehen, dass keine dieser Zahlen weniger Nachfolger
> > WM: besitzt.
> > AL: Soweit passts ja auch.
> >
> > Und weshalb passt es für mehrere oder alle nicht mehr?
> Hättest du deine ersten paar Vorlesungen nicht wegen der Bundeswehr
> verpasst, dann wüsstest du es jetzt vielleicht.

Du meinst, dann würde ich Deinem Irrglauben anhängen, dass das Problem mit Epsilontik begraben werden kann? Nein, wenn das allen Mathematikern so geht, so muss diese Vorlesung stark hirnschädigend wirken. Offensichtlich habe ich da großes Glück gehabt.

> PS: bzgl "mehrere" oder "alle": es reicht, wenns "unendlich viele" sind.

Es gilt für jeden der (potentiell-) unendlich vielen induktiv erreichbaren Stammbrüche 1/n, dass er einen (aktual-) unendlichen Abstand von 0 besitzt. Wenn sich diese unendlich vielen induktiv erreichbaren Stammbrüche alle zusammen auf der reellen Achse aufbauen, so ändert das überhaupt nichts. Sie sind ohnehin, auch bevor sie in Betracht gezogen werden, alle schon da - und jeder hat den Abstand ℵo von 0. Wer das verkennt, kann nicht folgerichtig denken. Das merken wohl auch manche Mathematiker. Aber darüber spricht man nicht. Denn es folgt die Existenz von ℵo Stammbrüche, die nicht "betrachtet" und nicht in eine Ordnung gebracht werden können.

Gruß, WM

[Ralf Goertz]

Am Sat, 21 Jan 2023 00:40:07 -0800 (PST)
schrieb WM <mont...@t-online.de>:

> Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 00:26:14 UTC+1:
> > On Friday, January 20, 2023 at 11:29:48 PM UTC+1, WM wrote:
> > > Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 20. Januar 2023 um 21:05:51
> > > UTC+1:
> > > >
> > > > Was sind denn die Nebenbedingungen, die diese beiden Sätze
> > > > widerspruchlos machen?
> > > |ℕ| =/= |ℕ| - 1
> > Because you said so?
>
> Nein, weil die Bijektion so definiert ist, dass bei Verlust eines
> Partners der andere alleinstehend ist.

Welches Paar hat denn einen Partner verloren? Du vergisst schon wieder,
dass bei der Bijektion n ↦ n+1 verglichen mit der Identität *jedes* n
seinen Partner wechselt. Niemand behauptet, dass n ↦ n eine Bijektion
zwischen ℕ und ℕ\{1} wäre. Es ist also eine Nebelkerze, vom „Verlust
eines Parnters“ zu reden.

[WM]

Mostowski Collapse schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 02:20:02 UTC+1:
> Leanhard Euler hat nachweisslich 1/0 = oo propagiert:
>
> ―Dieser Begriff von dem Unendlichen ist desto sorgfältiger zu
> bemerken, weil derselbe aus den ersten Gründen unserer Erkenntniß
> ist hergeleitet worden, und in dem folgenden von der größten Wichtigkeit
> seyn wird. Es lassen sich schon hier daraus schöne Folgen ziehen,
> welche unsere Aufmerksamkeit verdienen, da dieser Bruch 1/∞ den
> Quotus anzeigt, wann man das Dividend 1 durch den Divisor ∞ dividiret.
> Nun wissen wir schon, daß, wann man das Dividend 1 durch den Quotus,
> welcher ist 1/∞, oder 0 wie wir gesehen haben, dividiret, alsdann der
> Divisor nämlich ∞ heraus komme; daher erhalten wir einen neuen Begriff
> von dem Unendlichen, nämlich daß dasselbe herauskomme wann man 1
> durch 0 dividiret; folglich kann man mit Grund sagen, daß l durch 0 dividiret eine
> unendlich große Zahl oder ∞ anzeige. …

Euler hat gewusst, dass 1 > 0 > -1. Außerdem wusste er, dass beim Bilden des Kehrwertes, die Größer-Zeichen zu Kleiner-Zeichen werden. Also gilt
1/1 < 1/0 < 1/-1.
Natürlich ist das ein ebensogroßer Fehler wie seine berüchtigte Summe aller natürlichen Zahlen -1/12.

Gruß, WM

[Jens Kallup]

Hallo,

Am 21.01.2023 um 09:40 schrieb WM:

> |ℕ| ist die Anzahl der Elemente von ℕ, eine positive ganze Zahl, die aber nicht durch einen endlichen Anfangsabschnitt definierbar ist. Deswegen ist ihre Existenz nur axiomatisch begründbar. |ℕ| - 1 ist die um eine Einheit kleinere positive ganze Zahl.

kannst Du Dir folgendes Vorstellen:

- Minute 1 hat 59 Sekunden
- Minute 2 hat 59 Sekunden
- Minute 3 hat 59 Sekunden
...
- jede Minute hat 59 Sekunden => n e IN := 59 Sekunden
wobei n := Endabschnitt, und
m := 59 Sekunden.

- auf oo abgebildet:

- aleph_0 := 59 Sekunden
- aleph_1 := 59 Sekunden
- aleph_n := 59 Sekunden

somit is |aleph_n - 1| := 59 Sekunden

auf Anfangs-Segmente abgebildet:

- aleph_0 - 1 := 59 Sekunden
- aleph_1 - 1 := 59 Sekunden
- aleph_n - 1 := aleph_n - 1 => |aleph_n - 1| = |aleph_n - 1|

da nun die "gedankliche" Abzählung bei 0 beginnt, und bei 59 endet,
ist die Mächtigkeit der Teilmenge "Sekunde" gleich 60.

somit ergibt sich auch:

- |60 - 1| = |60 - 1| oder auch:

=> | 0 - 1| = | 0 - 1|
=> | - 1| = | - 1|
=> | 1| = | 1|
=> 1 = 1

???

Q.E.D.

[WM]

Ralf Goertz schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 11:08:22 UTC+1:
> Am Sat, 21 Jan 2023 00:40:07 -0800 (PST)
> schrieb WM <mont...@t-online.de>:
> > Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 00:26:14 UTC+1:
> > > On Friday, January 20, 2023 at 11:29:48 PM UTC+1, WM wrote:
> > > > Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 20. Januar 2023 um 21:05:51
> > > > UTC+1:
> > > > >
> > > > > Was sind denn die Nebenbedingungen, die diese beiden Sätze
> > > > > widerspruchlos machen?
> > > > |ℕ| =/= |ℕ| - 1
> > > Because you said so?
> >
> > Nein, weil die Bijektion so definiert ist, dass bei Verlust eines
> > Partners der andere alleinstehend ist.
> Welches Paar hat denn einen Partner verloren?

Das ist ins Belieben des Subtrahierenden gestellt. Es ist aber auch gleichgültig.

> Du vergisst schon wieder,
> dass bei der Bijektion n ↦ n+1 verglichen mit der Identität *jedes* n
> seinen Partner wechselt.

Es gibt diese Bijektion nicht im aktual unendlichen Falle. Sie existiert nur im potentiell Unendlichen.

> Niemand behauptet, dass n ↦ n eine Bijektion
> zwischen ℕ und ℕ\{1} wäre. Es ist also eine Nebelkerze, vom „Verlust
> eines Parnters“ zu reden.

Eine Nebelkerze ist der Trick, im Unendlichen einen Ausgleich vorzutäuschen. Siehe dazu meinen Essay "Die Mona Lisa in Hilberts Hotel".

Ein Tag wie jeder andere? Nicht ganz.

Hilberts Hotel ist ausgebucht. Ein neuer Gast 0 kommt an und bezieht wie üblich Zimmer 1, weil die Stammgäste in gewohnter Manier um jeweils ein Zimmer weiterziehen. Doch heute ereignet sich etwas Außergewöhnliches: Gast 0 hat nämlich die eben aus dem Louvre gestohlene echte Mona Lisa mitgeführt, die prompt vom abziehenden Gast 1 gegen eine von diesem vorsorglich bereitgehaltene Kopie vertauscht wurde. Aber der kann sich nicht lange seiner Beute freuen, weil der aus Zimmer 2 abziehende Gast sie wiederum gegen eine vorsorglich bereitgehaltene Kopie vertauscht. Und so geht es weiter.

Was ist an dieser Geschichte am Auffallendsten?
a) Die Menge der Kopien der Mona Lisa?
b) Der endgültige Verlust der echten Mona Lisa?
c) Die Humanität der Mengenlehre: Kein menschliches Opfer.

Gruß, WM

[Jens Kallup]

Am 21.01.2023 um 11:11 schrieb Jens Kallup:
>
> - aleph_0 - 1 := 59 Sekunden
> - aleph_1 - 1 := 59 Sekunden
> - aleph_n - 1 := aleph_n - 1  => |aleph_n - 1| = |aleph_n - 1|

aleph_0 - 1 := 59 Sekunden

aleph_1 - 1 := (aleph_1 - 1) = ( aleph_0 - 1) = 59 Sekunden
aleph_2 - 1 := (alpeh_2 - 1) = ( aleph_1 - 1) = 59 Sekunden
aleph_n - 1 := (aleph_n - 1) = ((aleph_n - 1) + 1) = 59 Sekunden <-- [1]

[1]:
aleph_n := 0
aleph_oo := oo

((aleph_n - 1) - 1) = ((aleph_n - 1) + 1)
= 59 - 1 + 1
= 58 + 1
= 59
voila

[Ralf Goertz]

Am Sat, 21 Jan 2023 02:15:41 -0800 (PST)

schrieb WM <mont...@t-online.de>:

> Ralf Goertz schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 11:08:22 UTC+1:
> > Am Sat, 21 Jan 2023 00:40:07 -0800 (PST)
> > schrieb WM <mont...@t-online.de>:
> > > Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 00:26:14
> > > UTC+1:
> > > > On Friday, January 20, 2023 at 11:29:48 PM UTC+1, WM wrote:
> > > > > Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 20. Januar 2023 um
> > > > > 21:05:51 UTC+1:
> > > > > >
> > > > > > Was sind denn die Nebenbedingungen, die diese beiden Sätze
> > > > > > widerspruchlos machen?
> > > > > |ℕ| =/= |ℕ| - 1
> > > > Because you said so?
> > >
> > > Nein, weil die Bijektion so definiert ist, dass bei Verlust eines
> > > Partners der andere alleinstehend ist.
> > Welches Paar hat denn einen Partner verloren?
>
> Das ist ins Belieben des Subtrahierenden gestellt. Es ist aber auch
> gleichgültig.

So so, gleichgültig, weil du keine Antwort hast? Der Subtrahierende bist
doch du. Du bist derjenige, der behauptet, dass ein n seinen Partner
verloren hätte.

> > Du vergisst schon wieder,
> > dass bei der Bijektion n ↦ n+1 verglichen mit der Identität *jedes*
> > n seinen Partner wechselt.
>
> Es gibt diese Bijektion nicht im aktual unendlichen Falle. Sie
> existiert nur im potentiell Unendlichen.

Wo im aktual Unendlichen scheitert sie denn?

> > Niemand behauptet, dass n ↦ n eine Bijektion
> > zwischen ℕ und ℕ\{1} wäre. Es ist also eine Nebelkerze, vom
> > „Verlust eines Parnters“ zu reden.
>
> Eine Nebelkerze ist der Trick, im Unendlichen einen Ausgleich
> vorzutäuschen.

Du lenkst ab:

> > > Nein, weil die Bijektion so definiert ist, dass bei Verlust eines
> > > Partners der andere alleinstehend ist.
> > Welches Paar hat denn einen Partner verloren?

Beantworte doch einfach die Frage.

> Siehe dazu meinen Essay "Die Mona Lisa in Hilberts Hotel".

Danke nein.

[Mostowski Collapse]

Ich sehe nirgends negative Zahlen in dem Zitat von Euler.
Sie weichen vom Thema ab Herr Prof Wolfrath Mückenschleim.
Leonhard Euler hat nachweisslich 1/0 = oo propagiert.

Vielleicht kann man ihm etwas Unsinn
vorwerfen, als dann auch noch schrieb:

"Hier ist nöthig noch einen ziemlich gemeinen Irrthum aus dem Wege
zu räumen, indem viele behaupten, ein unendlich großes könne weiter
nicht vermehret werden. Dieses aber kann mit obigen richtigen Gründen
nicht bestehen. Dann da 1/0 eine unendlich große Zahl andeutet, und
2/0 ohnstreitig zweymal so groß ist; so ist klar, daß auch so gar eine
unendlich große Zahl noch 2 mal größer werden könne.

Obwohl vielleicht greift er hier Cantor, Zermelo, etc.. vor, die
das präziser gemacht haben, und einen ganzen Zoo von
Unendlichkeiten entdeckt habe. Abzählbar Unendlich,

Überabzählbar Unendlich, etc...

LoL

[Mostowski Collapse]

Was man auch Leonhard Euler hinein Interpretieren
kann, dass wenn man Masstheorie betreibt, also
irgend ein Mass μ hat, schnell für zwei unendliche

Argumente A1 und A2, mit |A1|=|A2| nichtdestotrotz
gelten kann μ(A1) =\= μ(A2). z.B. die Einheitskreise
mit Radius 1 und Radius 2 haben unterschiedliche

Flächen, aber als Teilmengen von R^2 sind sie
gleichmächtig. Basieren nicht die meisten durch
Prof Wolfrath Mückenschleim herbeigeführten

"Inkosistenzen" der Mengenlehre auf solchen Spielchen?

[Jens Kallup]

Am 21.01.2023 um 11:21 schrieb Jens Kallup:
> ((aleph_n - 1) - 1) = ((aleph_n - 1) + 1)
>                     =   59      - 1  + 1
>                     =   58           + 1
>                     =   59

Sorry, kleiner Schusselfehler ...

doppelte verneinung:
-1 UND -1 ergibt +1 => ja => plus <---+ <--+
| | | |
V V V V
|((aleph_n - 1) - 1)| = |((aleph_n - 1) - 1)|
| |59 + 1| - 1 | = | |59 + 1| - 1 |

| |60 | - 1 | = | |60 - 1 |

| 59 | = | 59 |
59 = 59

[Mostowski Collapse]

Corr.: Oops, weisser Schimmel, Einheitskreis
mit Radius 1 ist wohl zu viel des Guten. Und

Einheitskreis mit Radius 2, gibt es das?
Bitte Einheitskreis durch Kreis ersetzen.

[Jens Kallup]

Sorry, kleiner Schusselfehler ...

doppelte verneinung:
-1 UND -1 ergibt +1 => ja => plus <---+ <--+
| | | |
V V V V

|((aleph_n - 1) - 1)| = |((aleph_n + 1) - 1)|
| |59 - 1| - 1 | = | |59 + 1| - 1 |

| |60 | - 1 | = | |60 - 1 |

| 59 | = | 59 |
59 = 59

[Jens Kallup]

Zur besseren Darbietung ...

AUS:

doppelte verneinung:
-1 UND -1 ergibt +1 => ja => plus <---+ <--+
| | | |
V V V V
|((aleph_n - 1) - 1)| = |((aleph_n + 1) - 1)|
| |59 - 1| - 1 | = | |59 + 1| - 1 |

| |60 | - 1 | = | |60 - 1 |

| 59 | = | 59 |
59 = 59

WIRD:

|((aleph_n - 1) - 1)| = |((aleph_n + 1) - 1)|
| |-59 - 1| - 1 | = | |59 + 1| - 1 |
| |-60 | - 1 | = | |60 - 1 |
| -59 | = | 59 |
59 = 59

[Jens Kallup]

Zur noch besseren Darbietung ...

|((aleph_n - 1) - 1)| = |((aleph_n + 1) - 1)|
| |-59 - 1| - 1 | = | |59 + 1| - 1 |

| |-60 | - 1 | = | |60 | - 1 |
| 60 - 1 | = | |59 | | <-- [1]

| 59 | = | 59 |
59 = 59

[1]: auf der linken Seite wird |-60| zu: 60

sodele, jetzt müsste es stimmen.

[Jens Kallup]

Am 21.01.2023 um 14:29 schrieb Jens Kallup:
> Zur noch besseren Darbietung ...
>
> |((aleph_n - 1) - 1)|  = |((aleph_n + 1) - 1)|
> | |-59     - 1| - 1 |  = | |59      + 1| - 1 |
> | |-60        | - 1 |  = | |60         | - 1 |
> |   60          - 1 |  = | |59         |     | <-- [1]
> |   59              |  = |  59               |
>     59                 =    59
>
> [1]: auf der linken Seite wird |-60| zu: 60

Das Ganze hier habe ich intuitiv gelöst.
Frage dazu:
- können Computer das auch ?
* weil, die rechnen ja von rechts nach links, also die
Daten kommen von links rein...
- dienen die Betrags-Striche als Klammer ?
* weil, dann könnte man doch auch annehmen das folgendes richtig
ist:

( (-60) -1)

aufgelöst ergibt sich: (-60 -1) was dann 61 ergibt.

rechnen die Computer dann immer noch richtig ?
Weil, es heißt ja "in Betrag" oder ABS()...

[Jens Kallup]

jaja, das Tippteufelchen war wieder unterwegs

Am 21.01.2023 um 14:46 schrieb Jens Kallup:
> aufgelöst ergibt sich:  (-60 -1)  was dann 61 ergibt.

sollte: -61 ergeben.

[Jens Kallup]

Okay, hab das eben mal nachgerechnet - die Computer scheinen das zu
können:

hier der Link (möglicherweise wird der abgeschnippelt wenn der Post
auf den Gruppen-Server kommt.
Daher habe ich die Rechnung/Formel nochmals hier:

ABS( ABS( (-59) - 1) - 1)).

https://www.google.de/search?q=abs%28abs%28-59+-+1%29+-1%29&sxsrf=AJOqlzWuhJZB54coXUU-2fH-_zilUmy8OQ%3A1674309333086&ei=1e7LY-3pBMqD9u8P4u-EoAs&ved=0ahUKEwitqKuo6Nj8AhXKgf0HHeI3AbQQ4dUDCA4&uact=5&oq=abs%28abs%28-59+-+1%29+-1%29&gs_lcp=Cgxnd3Mtd2l6LXNlcnAQA0oECEEYAUoECEYYAFCNFVjcLGDHPWgBcAB4AIABQ4gBvQKSAQE1mAEAoAEBwAEB&sclient=gws-wiz-serp

[Martin Vaeth]

Mostowski Collapse <burs...@gmail.com> schrieb:

> Ich sehe nirgends negative Zahlen in dem Zitat von Euler.
> Sie weichen vom Thema ab Herr Prof Wolfrath Mückenschleim.
> Leonhard Euler hat nachweisslich 1/0 = oo propagiert.
>
> Vielleicht kann man ihm etwas Unsinn
> vorwerfen, als dann auch noch schrieb:
>
> "Hier ist nöthig noch einen ziemlich gemeinen Irrthum aus dem Wege
> zu räumen, indem viele behaupten, ein unendlich großes könne weiter
> nicht vermehret werden. Dieses aber kann mit obigen richtigen Gründen
> nicht bestehen. Dann da 1/0 eine unendlich große Zahl andeutet, und
> 2/0 ohnstreitig zweymal so groß ist; so ist klar, daß auch so gar eine
> unendlich große Zahl noch 2 mal größer werden könne."

Was Euler hier anspricht hat eine valide Interpretation in der
Nichstandard-Analysis, wenn man statt 0 ein Infinitesimal eps>0 nimmt
(das den Standard-Teil 0 hat).
Dann ist h=1/eps eine unendliche Zahl, und 2/eps = 2h ist eine doppelt
so große unendliche Zahl, und selbstverständlich gibt es noch viel
größere unendliche Zahlen. Umgekehrt hat 1/h = eps den Standard-Teil 0.

Das ist keine Ausnahme: Viele Texte von Euler lassen sich mit
minimalen Änderungen in der Sprache der Nichstandard-Analysis klar
interpretieren (und sind dann i.d.R. vollkommen korrekt).

[Ganzhinterseher]

Ralf Goertz schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 12:23:22 UTC+1:
> Am Sat, 21 Jan 2023 02:15:41 -0800 (PST)
>

> > > Welches Paar hat denn einen Partner verloren?
> >
> > Das ist ins Belieben des Subtrahierenden gestellt. Es ist aber auch
> > gleichgültig.
> So so, gleichgültig, weil du keine Antwort hast? Der Subtrahierende bist
> doch du.

Nein, es war RR. Er hat das erste Paar vermindert

> > Siehe dazu meinen Essay "Die Mona Lisa in Hilberts Hotel".
> Danke nein.

Zu ängstlich, dass Dein Irrglaube ins Wanken gerät?

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Mostowski Collapse schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 13:57:07 UTC+1:
> Ich sehe nirgends negative Zahlen in dem Zitat von Euler.

Das ändert nichts an seiner Behauptung.

Gruß, WM

[Ralf Goertz]

Am Sat, 21 Jan 2023 06:26:22 -0800 (PST)
schrieb Ganzhinterseher <askas...@gmail.com>:

> Ralf Goertz schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 12:23:22 UTC+1:
> > Am Sat, 21 Jan 2023 02:15:41 -0800 (PST)
> >
> > > > Welches Paar hat denn einen Partner verloren?
> > >
> > > Das ist ins Belieben des Subtrahierenden gestellt. Es ist aber
> > > auch gleichgültig.
> > So so, gleichgültig, weil du keine Antwort hast? Der Subtrahierende
> > bist doch du.
>
> Nein, es war RR. Er hat das erste Paar vermindert

Und dabei behauptet, dass er eine Bijektion erhält? Ich darf dich
erinnern:

WM> > > |ℕ| =/= |ℕ| - 1
FF> > Because you said so?

WM> Nein, weil die Bijektion so definiert ist, dass bei Verlust eines
WM> Partners der andere alleinstehend ist.

Ich will nur wissen, welches n bei der Bijektion von ℕ nach ℕ\{1} mit
n ↦ n+1 seinen Partner verliert.

> > > Siehe dazu meinen Essay "Die Mona Lisa in Hilberts Hotel".
> > Danke nein.
>
> Zu ängstlich, dass Dein Irrglaube ins Wanken gerät?

Nein, zu langweilig, immer die gleichen falschen Argumente zu lesen.

[WM]

Ralf Goertz schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 15:42:43 UTC+1:

> Ich will nur wissen, welches n bei der Bijektion von ℕ nach ℕ\{1} mit
> n ↦ n+1 seinen Partner verliert.

Du könntest auch fragen, welchen Wert x heute hat. Na, sagen wir mal 1.

Gruß, WM

[Ralf Goertz]

Am Sat, 21 Jan 2023 07:51:16 -0800 (PST)
schrieb WM <mont...@t-online.de>:

Das interessiert mich aber nicht, ich frage dich, welches Paar du bei
der Aussage:

> Nein, weil die Bijektion so definiert ist, dass bei Verlust eines

> Partners der andere alleinstehend ist.

gemeint haben könntest. Du musst das doch wissen, es ist doch deine
Aussage.

[Ganzhinterseher]

Wenn ich die Aussage treffe, dass 99 < 100, fragst Du dann auch, welche Einheit ich entfernt habe?

Gruß, WM

[Mostowski Collapse]

Das ist auch nur eine reine Spekulation. Aber ganz
nett. Aber wahrscheinlich falsch. h soll ja der immer
kleiner werdende Abstand sein, die Differenz.

Wie kommst Du auf h = 1/eps. Normalerweise ist
ja gerade h = eps, ohne den Reziprok!

[Mostowski Collapse]

Ich glaube man verwendet Buchstaben wie N
für sogenannte "infinite hyperreal" (das N findet
man auf der Englishen Wiki), hier in Deutsch

was sie sind:

sie erweitert die reellen Zahlen um infinitesimal
benachbarte Zahlen sowie um unendlich große (infinite) Zahlen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperreelle_Zahl

Nonstandard Analysis kann man weitgehend
ohne "infinite hyperreals" machen. Und 1/eps
undefiniert lassen. Ja oder Nein?

[Fritz Feldhase]

On Saturday, January 21, 2023 at 12:23:22 PM UTC+1, Ralf Goertz wrote:
> Am Sat, 21 Jan 2023 02:15:41 -0800 (PST) schrieb WM <mont...@t-online.de>:

> > Ralf Goertz schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 11:08:22 UTC+1:
> > >
> > > Du vergisst schon wieder, dass bei der Bijektion n ↦ n+1 verglichen mit der Identität *jedes*
> > > n seinen Partner wechselt.

Ein wenig anders formuliert, zuerst betrachten wir die Bijektion {(n, n) : n e IN} von IN auf IN, dann die Bijektion {(n, n+1) : n e IN} von IN auf IN\{0}.

> > Es gibt diese Bijektion nicht im <blubber>

Nein, Mr. Mückendödel, die Bijektion {(n, n+1) : n e IN} von IN auf IN\{0} existiert im Kontext der Mengenlehre (ebenso wie auch schon die Bijektion {(n, n) : n e IN} von IN auf IN es tut).

Vieleicht erklären Sie einmal, warum es -Ihrer Meinung nach- nicht möglich sein, soll die Zahlen

0, 1, 2, 3, 4, ...

und

1, 2, 3, 4, 5, ...

einander paarweise zuzuordenen, und zwar so, dass jeweils die natürliche Zahl n der Zahl n+1 zugeordnet ist.

Bitte geben Sie die erste natürliche Zahl an, für die das nicht mehr möglich ist/sein soll.

Ist es vielleicht die Borderline-Zahl von Archimedes Plutonium (10^604), also die Grenze zwischen Endlich und Unendlich? Wenn nein, welche Zahl ist es dann? (Vielleicht 10^604 + 1?)

Achtung: Das "einander zuordnen" geschieht nicht von Hand [also successive], sondern durch die Angabe eines "Zuordnungsgesetzes" (z. B. in Form einer Formel), in unserem Fall ist das n ↦ n+1.

[Rainer Rosenthal]

Am 21.01.2023 um 09:34 schrieb WM:
>>>> [1] Im Hotel 'Goldener Anker' wohnen die Gäste 2, 3, 4, ...
>>>> Jeder Gast hat ein eigenes Zimmer, und es gibt kein weiteres leeres
>>>> Zimmer im Hotel.
>>> Falsch, wenn die Zimmer 1, 2, 3, ... vorhanden sind.
>>> Richtig, wenn die Zimmer 2, 3, 4, ... vorhanden sind.
>>>
>> Du vergisst bzw. verdrängst, dass Du [3] für richtig hältst:
>
> Nein.
>
>> Die Hotels haben |ℕ| Zimmer, die von |ℕ| Gästen belegt sind, ganz egal,
>> wie Du sie bezeichnest.
>

Als ich [1] geschrieben hatte, hast Du sofort "nein" gerufen.
Woher wusstest Du denn, welche Zimmer vorhanden sind?
Wenn ich sage: Im Hotel 'Goldener Anker' wohnen die Gäste 2, 3, 4, ...,
dann ist doch über Zimmernummern überhaupt nichts ausgesagt.

Wenn die Zimmernummern von der Rezeption aus nach den Wünschen der Gäste
durch ihre Namen oder durch Bilder ersetzt werden könnten, dann wäre
doch noch immer die Aussage richtig, dass dort die Gäste 2, 3, 4, ...
wohnen (wie Du in [3] richtig schriebst).

Wenn Du möchtest, dass ich der Aufforderung von Klaus Pommerening
folge(*), musst Du es nur sagen.

Gruß,
RR

(*) Klaus Pommerening, Thread "Ein Quanteneffekt in der Geometrie
Geometrie", 21.1.2023 um 13:50 Uhr:
Leute! Könnt ihr den armen alten verwirrten Mann nicht einfach
in Ruhe lassen?

[JVR]

Dass wir uns über den verwirrten alten Mann lustig machen, hat schon etwas Unästhetisches an sich;
besonders jetzt, wo er immer deutlicher überschnappt. Aber der Grund dafür, dass ich derzeit nur wenig
von seinem Unsinn lese ist einfach, dass es dumm und repetitiv ist; einfach langweilig.

[Ulrich D i e z]

Am 20.01.23 um 22:20 schrieb Jens Kallup:

> Hallo Rainer,
[...]
> ich bemerke, dass ich feststellen konnte, das vieles einfach nur um
> die Auslegung irgend welcher Sachverhalte Haarspalterrei ist.

Was heißt da "nur Haarspalterei"?

In Mathematik geht es um Stringenz.

In der Einleitung des Mangoldt/Knopp (Hans von Mangoldt, Konrad Knopp:
Einführung in die höhere Mathematik für Studierende und zum Selbststudium,
S. Hirzel, 17. Auflage, 1990) findet sich zB folgender Absatz:

[...]
| Während das wichtigste Ziel der meisten anderen Wissenschaften darin
| besteht, ein bestimmtes Tatsachenmaterial zu sammeln und zu bearbeiten,
| liegt Sinn und Zweck der Mathematik durchaus nicht allein in den Tatsachen
| und den Ergebnissen, die sie fördert, er liegt in mindestens gleich
| hohem Maße in den besonderen Formen des Denkens und Schließens, durch die
| sie zu diesen Ergebnissen vordringt.
| Dem Lernenden diese Formen, die letztlich alle aus der F o r d e r u n g
| d e r S t r e n g e erwachsen sind, zu erschließen, ihn an klare
| Gedankengänge, die aus scharfen Voraussetzungen durch strenge Beweise zu
| allgemein gültigen Ergebnissen führen, kurz also, ihn an mathematisches
| Denken und Schließen von vornherein zu gewöhnen, ist der zweite wichtige
| Zweck einer Einführung in die höhere Mathematik.
| In dieser Strenge des Aufbaus, der lückenlosen Gewissenhaftigkeit, der
| Gedankenführung und der zwingenden Allgemeingültigkeit der Beweise liegt
| das Vorbildliche, liegt die Schönheit der Mathematik.
[...]

Was manche als Haarspalterei/Korinthenkackerei empfinden mögen, ist
oft ein Ausdruck des Bemühens um Gewissenhaftigkeit, Sorgfalt,
Stringenz und Korrektheit in der Darlegung von Gedankengängen, die
auf Mathematik beruhen und/oder Bezug nehmen.

> Es gibt ja Leute, die *ALLES* auf die Waagschale nehmen, was der Eine
> oder Andere hier öffentlch posted.

Alles auf die Goldwaage zu legen gehört bei Mathematiker/inne/n dazu
wenn sie eine auf Mathematik bezogene Verlautbarung ernst nehmen und
sich gewissenhaft damit beschäftigen.

Wenn jemand jeden Aspekt deiner Verlautbarungen auf die Goldwaage legt,
dann fühle dich geehrt, denn das bedeutet, dass deine Verlautbarungen
es ihr/ihm Wert sind, sie ernst zu nehmen, Zeit zu investieren und
_gewissenhaft_ darauf einzugehen.

Das ist einer der Unterschiede zwischen Mathematik und Politik:
In der Mathematik sollte die Motivation fürs genaue Zerpflücken nicht
in dem Wunsch liegen, Gegner/innen bloßzustellen, sondern in dem Wunsch,
die Gedankengebäude der -äh- Schwestern und Brüder im Geiste gewissenhaft
zu beleuchten und ggfs mitzuhelfen, diese Gedankengebäude "einsturzsicher"
zu machen.

> Ich bin Euch auch dafür dankbar, das *IHR* noch die Energie habt, die
> "Falschinformationen" versucht, richtig darzustellen

Dafür bin ich auch dankbar. ;-)

> bzw. Hochstapler entlarven wollte/könnt/möchtet.
> WM scheint so ein Korrintenscheizer (sorry für Fäkalsprache) zu sein.

Die Verfahrensweise, sich einer Ausdrucksweise zu befleißigen, bei
der man meint, sie mit Floskeln des Entschuldigens garnieren zu müssen,
begegnet mir im Usenet öfter, und jedesmal hat das ein Geschmäckchen
nach Inkonsequenz und Unbeholfenheit.

Wenn Dein Sprachgebrauch Dir selbst so unangenehm ist, dass Du Dich
mittels "sorry..." vorbeugend dafür entschuldigst, dann ist die
folgerichtige Konsequenz doch, die Verlautbarung in dieser Form gar
nicht abzuschicken sondern deinen Sprachgebrauch zu ändern und das,
was Du zum Ausdruck bringen möchtest, auf eine Weise zu formulieren,
die Dir nicht unangenehm ist.

> Weil,
> - zu [1]: im Hotel A *wohnen* in den Zimmern 2,3,4 Gäste
>           (hier ist die Anzahl der Zimmer gemeint).
>
> - zu [2]: im Hotel B *können* 2,3,4 Gäste in den vorhanden Zimmern
>           wohnen (hier ist die Anzahl der Gäste gemeint).
>
> Die Frage, die sich also WM stellt - oder Euch (mich) ist:
> 1. wieviel Gäste wohnen in A
> 2. wieviel Zimmer hat das Hotel B
>
> beide Fragen können mit "richtig/wahr" und/oder "falsch" beantwortet
> werden.

Du meinst so:

Frage: "Wieviele Gäste wohnen in A?" - Antwort: "Das ist wahr/falsch!"

Die mittels "Wieviel" eingeleitete Frage nach einer Quantität ist
etwas anderes als die Frage nach einem Wahrheitswert, wenn auch
angestrebt werden sollte, keine Antworten zu geben, die falsche
Aussagen enthalten und dabei zu der Annahme zu verleiten, diese
falschen Aussagen seien wahr.

> Ich kenne diesen Zusammenhang während ich auf der Programmier-Ebene bin
> manchmal als "Circular-Reference".
> Das heißt, das sich Modul A mit Modul B beißt.
> Also wenn ich versuche, im Quellcode des Programmes, von Modul A aus
> das Modul B includiere, aber das Modul B includiert wieder Modul A.

Kennst Du TeX? Das Nette an TeX ist, dass das meiste, was man programmiert,
ausgeführt wird während der Compiler läuft, während bei Programmiersprachen
wie C oder Pascal die Dinge erst ausgeführt werden wenn der Compiler
mit dem Compilieren schon fertig ist und man den Computer die vom Compiler/
Linker erzeugte ausführbare Datei ausführen lässt.
ZB beim Programmieren in TeX mache ich das ab und zu, dass Routinen sich
rekursiv gegenseitig aufrufen bis ein Ergebnis da ist.
Wobei "aufrufen" ganz selten auch mal heißt, dass kleine Pakete (Dateien
mit "Codeschnipselchen") sich gegenseitig laden, die jedoch meistens nur
Code enthalten, der keine Routinen definiert und dergleichen, sondern nur
Code, der ausgeführt/expandiert wird ohne nennenswerte Spuren zu
hinterlassen.

Der entscheidende Unterschied ist salopp gesagt:

Eine Circular-Reference beim Programmieren setzt, wenn referenzieren
bedeutet, Code bzw Routinen zu finden, zu laden und auszuführen, nicht
unbedingt voraus, dass das Referenzierte bereits "bekannt" ist. Sofern
es gefunden wird, kann das Referenzierte auch erst während des Ladens/
Ausführens "bekannt" werden.

"Idem per idem" bzw "Zirkeldefinition" hingegen ist ein logischer Fehler,
der darin besteht, dass bei der Definition eines Begriffs der zu definierende
Begriff (das Definiendum) bereits definiert sein muss, um die Erklärung
(das Definiens) verstehen zu können.

Beim Programmieren kann man Deklarieren als einen Spezialfall des
Definierens ansehen. Wenn man Datentypen deklariert, sollte man
"Zirkeldeklarationen" vermeiden, also zB einen Datentyp A, der auch
aus Elementen vom Datentyp B besteht, die ihrerseits wiederum auch
aus Elementen vom Datentyp A bestehen...

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Martin Vaeth]

Mostowski Collapse <burs...@gmail.com> schrieb:

> Das ist auch nur eine reine Spekulation.

Jein: Euler, Cauchy und andere Autoren kannten natürlich die
formale Nichtstandard-Analysis noch nicht - die wurde erst
von Robinson eingeführt, u.a. auch nach längerem Studium
der Literatur der damaligen Zeit. Die meisten Autoren glauben,
dass die Autoren (vor allem Leibniz und Cauchy, aber auch
Euler) tatsächlich die hyperreellen Zahlen im Hinterkopf
hatten: Sie haben ganz sorgenfrei mit unendlich großen und
kleinen Größen *gerechnet*, und "erstaunlicherweise" eben
richtig - sie hatten eben das korrekte Bild von (in der
heutigen Sprache) "Standard"-Objekten und den zugehörigen
"internen" nicht-standard-Objekten (wie Infinitesimalen)
verstanden, konnten es aber mangels Formalismus nicht
wirklich weitergeben, weshalb viele Schüler, die das nicht
so erkannten, eklatante Fehler dabei machten. Die großen
Mathematiker machten aber trotz fehlendem Formalismus
erstaunlicherweise praktisch keine Fehler (ein paar fand
man natürlich, aber meistens nur unwesentliche Kleinigkeiten).

Für mich übrigens wesentlich: Während der Robinsonsche
Zugang massiv auf dem Auswahlaxiom aufbaut, gibt es
inzwischen einen neuen Zugang von Mikhail Katz,
der das Auswahlaxiom nicht benötigt. Naturgemäß ist
dieser weniger mächtig, und insbesondere gibt es dort
keine sog. externen Mengen, aber er genügt, die meisten
(auch die tiefen) Beweise von Leibniz, Cauchy, Euler und
anderen ohne irgendwelche Klimmzüge formal korrekt zu
interpretieren.

> Aber wahrscheinlich falsch. h soll ja der immer
> kleiner werdende Abstand sein, die Differenz.

Es gibt keine etablierte Standardbezeichnung für
unendlich kleine und unendlich große Zahlen. In der
neueren Literatur sind delta/epsilon bzw. eta (oder
alternativ h, wenn man auf griechische Schreibweise
verzeichtet) durchaus gebräuchlich. Für längere Texte
braucht man aber ohnehin mehr als nur zwei Variablen,
und Bezeichnungen sind eh nur Schall und Rauch.

> Wie kommst Du auf h = 1/eps.

Durch Eulers "Definition" 1/0. Irgendwie muss ich die
unendliche Zahl ja benennen, wenn ich anschließend formal
vom Doppelten dieser Zahl sprechen will. Ich habe halt
eine heutzutage übliche Notation dafür benutzt.

[Martin Vaeth]

Mostowski Collapse <burs...@gmail.com> wrote:
> Ich glaube man verwendet Buchstaben wie N
> für sogenannte "infinite hyperreal"

Das verwendet man eher für unendlich große *natürliche*
Zahlen ("infinite hypernatural"). Für ein beliebiges
Infinitesimal eps ist aber 1/eps typischerweise nicht
integer. Natürlich gibt es aber eps, für die das stimmt
(wähle etwa eine unendlich große hypernatürliche Zahl N
und setze eps := 1/N).

> was sie sind:
>
> sie erweitert die reellen Zahlen um infinitesimal
> benachbarte Zahlen sowie um unendlich große (infinite) Zahlen.
> https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperreelle_Zahl

Korrekt. (Mir musst Du das aber nicht erklären; ich habe
ein Buch darüber geschrieben.)

> Nonstandard Analysis kann man weitgehend
> ohne "infinite hyperreals" machen. Und 1/eps
> undefiniert lassen. Ja oder Nein?

Eher nein. Der "Clou" an der Nichstandard-Analysis ist, dass
die hyperrellen Zahlen einen total-geordneten Körper bilden,
der exakt die selben Eigenschaften wie die reellen Zahlen hat
(wenn im Falle der Robinsonschen Analysis nur *interne*
Teilmengen betrachtet, z.B. für die Formulierung des
Schnittaxioms oder des Euklidischen Axioms).
Die standard-reellen Zahlen bilden einen Teilkörper davon,
allerdings ist die Menge der standard-reellen Zahlen extern.
Ebenso ist auch die Menge der endlichen hyperreellen Zahlen
extern. Ausschließlich mit dieser externen Menge zu arbeiten
wäre also zumindest vom Standpunkt der Robinsonschen Analysis
weitgehend sinnfrei (da man nur für interne Teilmengen die
Eigenschaften der reellen Zahlen erhält).

Im alternativen Zugang der sog. internen Analysis "gibt" es
sogar nur die hyperreellen Zahlen (die man dort einfach als
reelle Zahlen bezeichnet, obwohl sie tatsächlich auch unendlich
große Zahlen und Infinitesimalen enthalten) und interne Teilmengen
davon: In dieser internen Analysis hat diese Menge exakt *alle*
Eigenschaften der "üblichen" reellen Zahlen. Allerdings gibt es
noch einen zusätzliches Attribut "standard" ("st(.)"). Die
Infinitesimalen und unendlich großen Zahlen sind eben *nicht*
standard. Wichtig hierbei: Die Klasse der standard-reellen Zahlen
ist eine echte Klasse (keine Menge, da man das Attribut "st" nicht
im Aussonderungsaxiom benutzen darf!), aber natürlich hat diese
Teil-Klasse trotzdem exakt die Eigenschaften der reellen Zahlen,
wobei man halt vorsichtig in der Formulierung sein muss, weil
alle unendlichen Teilmengen von Standard-reellen Zahlen echte
Klassen sind.
Und aus dem selben Grund, aus dem in der Robinsonschen Analysis
die Menge der endlichen hyperreellen Zahlen extern ist,
bildet in der internen Analysis das System aller endlichen
reellen Zahlen eine echte Klasse und keine Menge.
Also auch vom Standpunkt der internen Analysis wäre es
weitgehend sinnfrei, nur mit dieser echten Klasse zu arbeiten,
da man sich doch lieber auf Mengen beschränkten möchte.

[Martin Vaeth]

Martin Vaeth <mar...@mvath.de> wrote:
> Die meisten Autoren glauben,
> dass die Autoren (vor allem Leibniz und Cauchy, aber auch
> Euler) tatsächlich die hyperreellen Zahlen im Hinterkopf
> hatten

Das war sehr missverständlich formuliert:
Mit "die meisten Autoren" meinte ich moderne Autoren (nach
Robinson), die z.B. Bemerkungen im Hinblick auf die
Geschichte der Nichtstandard-Analysis formulierten.
Mit "die Autoren" meinte ich hingegen die berühmten
klassischen Mathematiker, auf die sich diese Bemerkungen
beziehen.

[Ralf Goertz]

Am Sat, 21 Jan 2023 10:10:13 -0800 (PST)
schrieb Ganzhinterseher <askas...@gmail.com>:

Im Klartext also, du kannst nicht angeben, welcher Partner verlustig
gegangen ist. Was nicht weiter verwundert, da es einen solchen nicht
gibt. Oder vielmehr alle Urbilder „verlieren“ ihren Partner, wenn man
von der Identität zur Abbildung n ↦ n+1 übergeht. Aber genauso finden
alle Urbilder einen neuen eindeutigen Partner in ℕ\{1}, mit anderen
Worten |ℕ\{1}|=|ℕ|=ℵ₀.

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 21:37:47 UTC+1:
> die Bijektion {(n, n+1) : n e IN} von IN auf IN\{0} existiert im Kontext der Mengenlehre (ebenso wie auch schon die Bijektion {(n, n) : n e IN} von IN auf IN es tut).
>

Deswegen ist die Mengenlehre ja auch falsch.

> Bitte geben Sie die erste natürliche Zahl an, für die das nicht mehr möglich ist/sein soll.

Du wirst die dunklen Zahlen nicht verstehen. Obwohl Du selbst sie propagierst! Ohne es zu bemerken. Und Du wirst auch nicht willens sein, das folgende immer wieder hier von mir vorgebrachte Argument in Dein Bewusstsein eindringen zu lassen:

Für alle Endsegmente E(k) = {k, k+1, k+2, ...}, die (oder deren Indizes k) man individuell verwenden kann, gilt
|∩{E(k) : k ∈ ℕ_ind}| = ℵ₀ .
Das kannst Du nachprüfen. Du wirst keines finden, das den Schnitt ändert. Es folgt auch aus dem von Dir anerkannten Satz
∀k ∈ ℕ: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ℵ₀ .
ℕ_ind ist hier nicht vonnöten, denn alle individuell verwendbaren Endsegmente stehen an letzter Stelle einer endlichen Folge von Endsegmenten.

Trotzdem gilt
∩{E(k) : k ∈ ℕ} = { } .
Daraus folgt, dass zu diesem Schnitt mehr als alle individuell verwendbaren Endsegmente erforderlich sind. Das müsstest Du doch auch einsehen: Alle die als letzte einer endlichen Folge auftreten können, alle also, nach denen man die unendlichen Folge der Endsegmente unterbrechen kann
E(1), E(2), E(3), ..., E(k)|, E(k+1), E(K+2), ...
haben keinen leeren Schnitt.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 21:45:08 UTC+1:
> Am 21.01.2023 um 09:34 schrieb WM:
> >>>> [1] Im Hotel 'Goldener Anker' wohnen die Gäste 2, 3, 4, ...
> >>>> Jeder Gast hat ein eigenes Zimmer, und es gibt kein weiteres leeres
> >>>> Zimmer im Hotel.
> >>> Falsch, wenn die Zimmer 1, 2, 3, ... vorhanden sind.
> >>> Richtig, wenn die Zimmer 2, 3, 4, ... vorhanden sind.

> Als ich [1] geschrieben hatte, hast Du sofort "nein" gerufen.
> Woher wusstest Du denn, welche Zimmer vorhanden sind?
> Wenn ich sage: Im Hotel 'Goldener Anker' wohnen die Gäste 2, 3, 4, ...,
> dann ist doch über Zimmernummern überhaupt nichts ausgesagt.

Es ist anzunehmen, dass hier noch kein Zimmerbrand erfolgte. Zumindest bin ich davon ausgegangen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Ralf Goertz schrieb am Sonntag, 22. Januar 2023 um 09:11:58 UTC+1:
> Am Sat, 21 Jan 2023 10:10:13 -0800 (PST)
> schrieb Ganzhinterseher <askas...@gmail.com>:
> > Ralf Goertz schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 16:57:32 UTC+1:
> > > Am Sat, 21 Jan 2023 07:51:16 -0800 (PST)
> > > schrieb WM <mont...@t-online.de>:
> > > > Ralf Goertz schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 15:42:43
> > > > UTC+1:
> > > > > Ich will nur wissen, welches n bei der Bijektion von ℕ nach
> > > > > ℕ\{1} mit n ↦ n+1 seinen Partner verliert.
> > > >
> > > > Du könntest auch fragen, welchen Wert x heute hat. Na, sagen wir
> > > > mal 1.
> > > Das interessiert mich aber nicht, ich frage dich, welches Paar du
> > > bei der Aussage:
> > > > Nein, weil die Bijektion so definiert ist, dass bei Verlust eines
> > > > Partners der andere alleinstehend ist.
> > > gemeint haben könntest. Du musst das doch wissen, es ist doch deine
> > > Aussage.
> >
> > Wenn ich die Aussage treffe, dass 99 < 100, fragst Du dann auch,
> > welche Einheit ich entfernt habe?
> Im Klartext also, du kannst nicht angeben, welcher Partner verlustig
> gegangen ist.

Das hat RR doch angegeben. Zimmer 1 ist abgebrannt. Aber man kann jedes beliebige individuell definierbare Zimmer herausnehmen.

> Oder vielmehr alle Urbilder „verlieren“ ihren Partner, wenn man
> von der Identität zur Abbildung n ↦ n+1 übergeht. Aber genauso finden
> alle Urbilder einen neuen eindeutigen Partner in ℕ\{1}, mit anderen
> Worten |ℕ\{1}|=|ℕ|=ℵ₀.

Das ist eben nicht der Fall. Aber um das zu verstehen, müsstest Du die Existenz der dunklen Zahlen verstehen, was Du nicht willst.

Falls doch, hier ist der einfachste Beweis:

[JVR]

Es ist wahrscheinlich richtig zu behaupten, dass sich fast kein Mathematiker
mit 'Nicht-Standard Analysis' befasst, oder auch nur genau weiß, wie das
funktioniert. In den gängigen Analysisbüchern wird höchstens erwähnt, dass
sich sowas machen lässt.
Es ist irgendwie beruhigend, dass es sowas gibt, aber praktische Bedeutung wird
das niemals haben, weil nicht-intuitive Komplexitäten einführt werden, ohne
die logischen Schwachstellen zu reparieren.
Die Zweifel am Auswahlaxiom werden damit nicht behoben, und dieses Axiom
ist wohl das wichtigste logische Problem.

Ein Beispiel zu Eulers Gebrauch von ∞ kommentiert Edwards in
seinem Buch über die Zeta-Funktion so:

"... Euler writes 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... = log(log ∞). It is not
clear exactly what Euler understood this equation to mean - if indeed
he understood it as anything other than a mnemonic - but an obvious
interpretation of it would be
Sum_{p<x} (1/p) ~ log(log x), (x -> ∞),
where ~ means that the relative error is arbitrarily small for x sufficiently large ..."

D.h. da ist weder Hokuspokus noch irgendwas Ungenaues drin.

[Jens Kallup]

Am 22.01.2023 um 10:45 schrieb JVR:
> Die Zweifel am Auswahlaxiom werden damit nicht behoben, und dieses Axiom
> ist wohl das wichtigste logische Problem.

ich sehe folgendes Problem:
- wenn denn nun die KI menschlichen Karaktere annimmt,
woher weiß die KI, das der "Fakt" richtig ist ?
Computer können nur 0 und 1 in Reihe setzen, nicht
aber schlußfolgern wie der Mensch:
"Wenn es regnet, wird die Straße naß", "Die Straße ist naß."

- man kann einen Algorythmus programmieren, der ist aber von
Menschen gemacht - und ich weiß nicht, ob Maschienen Denken
können so wie Menschen.

- in Maschienen ist es fast so wie in kristalinen Strukturen:
sie besitzen nur "strukturellen" Karakter, der Mensch kann aber
auf chemische "Reaktionen" "aggieren".

- es gibt Studien, bei denen ein Blob - eine Art Pilz, bei denen
untersucht wird, inwiefern der Blob eine Inteligenz hat.
Er kann sich fortpflanzen, den besten Weg für Nahrungsmittel-
besorgung (aus)"richten", und er kann mit anderen eine Symbiose
eine Verschmelzung einnehmen, was den Karakter von Kommunikation
einnimt.
Nimmt mal all diese Komponenten zusammen, spricht man von Inteligenz.
Aber die eigentliche Frage ist:
Wie schaft es dieser "einzelliger" Blob ?
Das wirft dann die Frage auf, kann ich mit Blumen sprechen, die dann
lustiger weise wie das klingt "zuhören" und "Feedback" geben.

- Es gibt Würmchen, wenn man den Torso abschneidet, ein neuer Wurm
mit all den Eigenschaften des vormals ersten Würmchens, ein zweiter
Wurm entsteht.

- was genau mit dem Blob auch möglich ist.

- wenn wir Menschen noch in 1.000.000 Jahren dasein sollten, wie würde
dann diese Evolution aussehen ?
Menschen aus Würmern ?
Menschen aus Blobs ?

- aber zurück: können Maschienen uns zeigen, oder erklären, was das
NICHTS ist ?
Kommen die Maschienen aus dem NICHTS, oder sehen sie irgendwann die
Tatsache ein, das "self destruction" die Lösung für all die Fragen
ist ?
Es gibt da so eine uralte ägyptische Sage, wo sich zwei Götterskinder
das schönste wünschen, was es auf Erden gibt, bevor die beiden zu
Bett gehen, um dann nicht mahr am nächsten Morgen aufzuwachen.

Fragen über Fragen :-)

[Martin Vaeth]

JVR <jrenne...@googlemail.com> schrieb:

>
> Es ist wahrscheinlich richtig zu behaupten, dass sich fast kein Mathematiker
> mit 'Nicht-Standard Analysis' befasst, oder auch nur genau weiß, wie das
> funktioniert.

Leider ist das inzwischen so. Meines Erachtens etwas zu unrecht.

> In den gängigen Analysisbüchern wird höchstens erwähnt, dass
> sich sowas machen lässt.

Es gab mal Versuche, die Analysis-Vorlesung ganz auf
Nichtstandard-Analysis aufzubauen. Das ist meines Erachtens
etwas missglückt und meiner Meinung nach der Grund, weshalb
die Nichstandard-Analysis in den Hintergrund gerückt ist.

> Es ist irgendwie beruhigend, dass es sowas gibt, aber
> praktische Bedeutung wird das niemals haben

Da muss ich heftig widersprechen. Wenn man den zugehörigen
Formalismus verstanden hat - und das ist nicht schwer, verglichen
mit anderen Formalismen wie Homologiethorie und was es da sonst
noch alles gibt - ist er außerordentlich nützlich, um intuitive
Konzepte ohne unnötige Epsilontik zu beschreiben. Vor allem in
der Differentialgeometrie wird das Potential zu Unrecht
unterschätzt. Und mit der Robinsonschen Analysis, hat man
"explizite" Objekte in der Hand für Dinge, deren Existenz man
nur mit großem Aufwand mit dem Auswahlaxiom beweisen kann.

> weil nicht-intuitive Komplexitäten einführt werden

In der internen Analysis ist es nur *ein* zusätzliches
Attribute ("standard") - wirklich nicht viel. In der
Robinsonschen ist es ein bisschen komplizierter, aber
dafür ist der Zugang "von außen" durchsichtiger.

> ohne die logischen Schwachstellen zu reparieren.

Das verstehe ich nicht: Selbstverständlich werden alle
logischen Schwachstellen, die Cauchy usw. mangels
Formalismus nur erwahnt haben, klar geschlossen.

> Die Zweifel am Auswahlaxiom werden damit nicht behoben

Wenn man Zweifel am Auswahlaxiom hat, kann man die
erwähnte interne Analysis benutzen, bei der das
Auswahlaxiom nicht benötigt wird (und wie in der
klassischen Analysis entweder hinzugenommen oder
weggelassen werden kann)

Wenn man hingegen in einem Gebiet der Analysis arbeitet,
in dem man das Auswahlaxiom oft benutzen will, ist die
Robinsonsche Analysis oft der bequemere und intuitiv
klarere Weg.

> und dieses Axiom ist wohl das wichtigste logische Problem.

Dieses Axiom hat mit der Frage, ob man "klassische"
Analysis oder Nichtstandard-Analysis betreiben will,
nichts zu tun. *Früher* gab es nur den Robinsonschen Zugang,
der es prinzipiell benötigt, aber inzwischen ist dieses
Argument hinfällig.

> Ein Beispiel zu Eulers Gebrauch von ∞ kommentiert Edwards in
> seinem Buch über die Zeta-Funktion so:
>
> "... Euler writes 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... = log(log ∞). It is not
> clear exactly what Euler understood this equation to mean - if indeed
> he understood it as anything other than a mnemonic - but an obvious
> interpretation of it would be
> Sum_{p<x} (1/p) ~ log(log x), (x -> ∞),
> where ~ means that the relative error is arbitrarily small
> for x sufficiently large ..."
>
> D.h. da ist weder Hokuspokus noch irgendwas Ungenaues drin.

In der Nichtstandard-Analysis könnte man Letzteres äquivalent
so formulieren: Für jede unendlich große (hyper-)natürliche Zahl N ist
\sum_{p<N} 1/p / log(log N) ≈ 1
Hierbei hat ≈ eine präzise Bedeutung, nämlich dass die Differenz der
beiden Seiten ein Infinitesimal ist.
Diese Umformulierung sieht dem Text von Euler schon sehr viel
ähnlicher; allerdings würde die näherliegende Umformulierung
\sum_{p<N} 1/p ≈ log(log N)
von Eulers Text bedeuten, dass der *absolute* Fehler gegen 0
konvergiert. Es wäre denkbar (wenngleich unwahrscheinlich), dass
Euler tatsächlich Letzteres gemeint hatte (und damit tatsächlich
einen Fehler gemacht hätte). Daher stimme ich zu, dass an
dieser Stelle wirklich nicht klar ersichtlich ist, was Euler
gemeint hat.

[Rainer Rosenthal]

Na also: Du bist von einer bestimmten Zimmer-Nummerierung ausgegangen,
obwohl Du selbst darauf hingewiesen hast, dass sie ohne Belang ist.

Damit sind wir mit rationaler Näherung ganz dicht an Dein Unverständnis
von "unendlich" gekommen. Immer, wenn's konkret wird, merkt man, wo es
bei Dir fehlt.

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 22.01.2023 um 00:45 schrieb JVR:
>
> Dass wir uns über den verwirrten alten Mann lustig machen, hat schon etwas Unästhetisches an sich;
>

Er macht sich ja selbst zum Clown, also möchte er auch Leute zum Lachen
bringen.
Ich kann mir solche kleinen Sticheleien nicht verkneifen, aber
angesichts seiner Großmäuligkeit gegenüber allem, was wirklich mit
Mathematik zu tun hat, muss er sich auch nicht wundern oder beklagen.

Es ist ja auch keineswegs so, dass WM nur zusammenhangloses Zeug zum
Besten gibt wie ein Chat-Bot, sondern er hat einen Knoten im Hirn, wenn
er "unendlich" hört. Als Lehrender kann er sich nicht dazu herablassen,
noch irgendwas lernen zu wollen. Also besteht mein sportlicher Ehrgeiz
darin, seine aufgeblasenen Sprüche zu hinterfragen. Dazu muss ich mich
auf sein Niveau hinunter begeben, in die Alltagssprache. Denn alles
Formale verwendet er ohne Verständnis und fuchtelt nur mit Begriffen wie
Assoziativität, Tansitivität, Injektivität usw. herum. Er hat sein
Anfängerbuch nach eigenem Bekunden auch nur deshalb geschrieben, um
seinen Kreuzzug gegen die Mengenlehre mit dem Anschein von Wissen führen
zu können. Kein Wunder, dass er allergisch reagiert, wenn er auf
haarsträubende Fehler darin hingewiesen wird, wie z.B. auf die zirkuläre
Definition von sqrt(2) auf Seite 37 dieses Machwerks.

Das Prinzip der rationalen Näherung macht Spaß, ist nicht komplett gegen
die Charta von dsm, und bringt nach längerem beharrlichem Nachfragen
solch handfeste Widersprüche hervor:
[WM1] Es kann nicht sein, dass in einem Hotel Gäste 2, 3, 4, ... wohnen.
[WM2] Es ist klar, dass in einem Hotel Gäste 2, 3, 4, ... wohnen können.

Ein Weilchen lang war ihm das wohl selbst unheimlich, aber im Gegensatz
zu einem Chat-Bot hat er ein Ego, und das ist irgendwann sauer geworden
und zwingt ihn, weiter nachzuweisen, dass [WM1] und [WM2] nicht
widersprüchlich sind. Er bittet also direkt darum, noch näher darauf
einzugehen, will also keineswegs 'in Ruhe gelassen' werden.

Gruß,
RR

[Martin Vaeth]

Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:
> JVR <jrenne...@googlemail.com> schrieb:
>>
>> "... Euler writes 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... = log(log ∞) [...]
>> interpretation of it would be [...}

>> Sum_{p<x} (1/p) ~ log(log x), (x -> ∞),"
>

> In der Nichtstandard-Analysis könnte man Letzteres äquivalent
> so formulieren: Für jede unendlich große (hyper-)natürliche Zahl N ist
> \sum_{p<N} 1/p / log(log N) ≈ 1

Ich hatte zu früh abgesendet, und wollte eigentlich noch etwas dazu
sagen:

>> D.h. da ist weder Hokuspokus noch irgendwas Ungenaues drin.

Das gesamte Beispiel ist insofern schlecht, weil es zu einfach ist:
Einen einfachen Grenzwert durch eine ≈ Relation mit unendlich
großen Zahlen zu ersetzen, scheint eher nur eine Notationsfrage
zu sein, die den ganzen Aufwand nicht rechtfertigt.

Gerechtfertigt wird es erst, wenn man mit Formeln, in denen
unendlich große Zahlen oder Infinitesimale vorkommen längere
und komplexe Rechnungen durchführt, manchmal auf eine Weise,
in denen ein "klassischer" Limes in den Zwischenschritten
nicht existiert: Der Vorteil ist, dass man sich darüber gar
keine Gedanken machen muss, wenn man den Formalismus "korrekt"
beibehält.

So hat Euler beispielsweise viele Ergebnisse durch die
Betrachtung divergenter Reihen erzielt, und auch z.B. seine
berühmte Produktformel für den Sinus hat er einfach
durch "Analgie" mit der Faktorisierung von Polynomen nach ihren
Nullstellen gefunden: Argumentationen, die in der klassischen
Analysis schlichtweg nicht möglich sind.

In solchen Beispielen *kann* man ohne heftige Zusatzüberlegungen
nicht klassisch argumentieren (weshalb z.B. Eulers Beweis für
die Produktformel nicht als solcher anerkannt wurde, und
heutzutage nur noch als Spezialfall des Weierstraßschen
Produktsatzes gelehrt wird), aber in der Interpretation der
Nichtstandard-Analysis ist Eulers Beweis korrekt und
*vollständig*.

Dieses Beispiel wurde vom inzwischen leider verstorbenen
W.A.J. Luxemburg in seinem Artikel
"What is nonstandard analysis?" im Detail besprochen.

[JVR]

Ich kann zu dem non-standard Thema nichts beitragen, sehe aber nicht ein,
wieso bei der Produktdarstellung des Sinus ein Problem aufritt. Der
Weierstrass'sche Satz kommt erst zu Geltung, wenn das Produkt der
Faktoren nicht konvergiert. Sonst genügen die elementaren Sätze
über unendliche Produkte.

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Sonntag, 22. Januar 2023 um 13:53:19 UTC+1:
> Am 22.01.2023 um 09:54 schrieb Ganzhinterseher:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Samstag, 21. Januar 2023 um 21:45:08 UTC+1:
> >> Als ich [1] geschrieben hatte, hast Du sofort "nein" gerufen.
> >> Woher wusstest Du denn, welche Zimmer vorhanden sind?
> >> Wenn ich sage: Im Hotel 'Goldener Anker' wohnen die Gäste 2, 3, 4, ...,
> >> dann ist doch über Zimmernummern überhaupt nichts ausgesagt.
> >
> > Es ist anzunehmen, dass hier noch kein Zimmerbrand erfolgte. Zumindest bin ich davon ausgegangen.
> >
> Na also: Du bist von einer bestimmten Zimmer-Nummerierung ausgegangen,
> obwohl Du selbst darauf hingewiesen hast, dass sie ohne Belang ist.

Ich bin von überhaupt keiner Nummerierung ausgegangen, sondern von der Vollständigkeit der Zimmer, nämlich der Anzahl |ℕ|.

Gruß, WM

[Martin Vaeth]

JVR <jrenne...@googlemail.com> schrieb:

>
> Ich kann zu dem non-standard Thema nichts beitragen, sehe aber nicht ein,
> wieso bei der Produktdarstellung des Sinus ein Problem aufritt. Der
> Weierstrass'sche Satz kommt erst zu Geltung, wenn das Produkt der
> Faktoren nicht konvergiert.

Es wird halt heutzutage *im Zusammenhang* mit dem Weierstrassschen
Satz gelehrt, auch wenn die konvergenzerzeugenden Faktoren in diesem
Fall trivial sind.
I.W. wird die entsprechende Teilaussage des Weierstrassschen Satzes
heutzutage mit dem Satz von Liouville bewiesen. Ich bin kein Experte
für Mathematik-Geschichte und kenne nicht die Original-Beweise,
aber wenn ich mir die Lebensdaten von Liouville und Riemann anschaue,
die wohl die dafür notwendigen Grundlagen der Funktionentherie
erarbeitet hatten, so nehme ich an, dass das alles erst ca. 100 Jahre
nach Euler stattfand.

Die Frage, ob Euler funktionentheoretisch hätte vorgehen *können*,
ist allerdings müßig, denn er tat es nicht:
Eulers Beweis ist viel elementarer und nicht funktionentheoretisch.
Ich empfehle die Lektüre von Luxemburgs Arbeit dazu, in der der
Beweis fast vollständig ins Englische übersetzt ist, und die
gerade für Laien in Nichtstandard-Analysis gedacht ist.

Ein paar zusätzliche Nebenrechnungen sind übrigens auch mit
Nichtstandard-Analysis für den Beweis notwendig:
In allen Details hat Euler ihn wohl nicht ausgeführt.

[Rainer Rosenthal]

Du merkst nicht einmal, wie wichtig Dir die Nummerierung ist. Das kommt
bei sehr naher (rationale) Betrachtung deutlich zum Vorschein, danke.

Steht auf den Zimmern 1, 2, 3, ..., dann bist Du happy und sagst: "alle
da!". Steht auf allen Zimmertüren nur "besetzt", dann bist Du irritiert,
weil Dir die Nummerierung so sehr am Herzen liegt.

Und von Nummerierung ist in Deinen beiden widersprüchlichen Aussagen
auch nirgends die Rede:

[WM1] Es kann nicht sein, dass in einem Hotel Gäste 2, 3, 4, ... wohnen.

[WM2] Es ist klar, dass in einem Hotel Gäste 2, 3, 4, ... wohnen können.

Immer, wenn's konkret wird, versteckst Du Dich hinter unverstandenen
Symbolen wie z.B. |ℕ|.

Gruß,
RR

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Sonntag, 22. Januar 2023 um 15:31:22 UTC+1:

> Steht auf den Zimmern 1, 2, 3, ..., dann bist Du happy und sagst: "alle
> da!".

Es ist davon auszugehen, dass damit die vollständige Folge der natürlichen Zahlen gemeint ist.

> Steht auf allen Zimmertüren nur "besetzt", dann bist Du irritiert,

Nein, ich möchte nur wissen, wieviel "alle Zimmer" bedeuten soll.

> Immer, wenn's konkret wird, versteckst Du Dich hinter unverstandenen
> Symbolen wie z.B. |ℕ|.

Dass Du dieses Symbol nicht verstanden hast, kann ich leider nicht berücksichtigen.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 22.01.2023 um 19:11 schrieb Ganzhinterseher:
> Rainer Rosenthal schrieb am Sonntag, 22. Januar 2023 um 15:31:22 UTC+1:
>
>> Steht auf den Zimmern 1, 2, 3, ..., dann bist Du happy und sagst: "alle
>> da!".
>
> Es ist davon auszugehen, dass damit die vollständige Folge der natürlichen Zahlen gemeint ist.

Richtig.

>
>> Steht auf allen Zimmertüren nur "besetzt", dann bist Du irritiert,
>
> Nein, ich möchte nur wissen, wieviel "alle Zimmer" bedeuten soll.
>

Du schreibst zwar "Nein", bist aber offenbar doch irritiert, weil die
angeblich unwichtige Nummerierung fehlt.
[WM3] Steht auf den Zimmern 1, 2, 3, ..., dann sind alle da.
[WM4] Steht auf den Zimmern "besetzt", sind sie evtl. nicht mehr da.

Mal wieder ein Widerspruch der Art

[WM1] Es kann nicht sein, dass in einem Hotel Gäste 2, 3, 4, ... wohnen.
[WM2] Es ist klar, dass in einem Hotel Gäste 2, 3, 4, ... wohnen können.

Immer, wenn's konkret wird, holst Du die nächste faule Ausrede hervor.
Übrigens habe ich das Symbol |ℕ| verstanden, im Gegensatz zu Dir, denn
zum Verständnis muss man wissen, dass Bijektionen zwischen unendlichen
Mengen existieren, weil |ℕ| die Kardinalzahl aller zu ℕ in Bijektion
stehenden Mengen ist.

[Mostowski Collapse]

Wenn Du das Thema "Rechnen" ansprichts, dass diese Giganten
mit Infinitessimalen gerechnet haben, überzeugt mich die
Non-Standard Analysis weniger, weil sie an der Domäne

R herumfummelt. Da scheinen mir Eduar Study's Dual Numbers
besser geeignet. Man muss nicht mit Begriffen wie Standard
und Non-Standard hantieren, man hat schöne Zahlen,

ähnlich wie die Komplexen Zahlen:

They are expressions of the form a + bε, where a and b are real
numbers, and ε is a symbol taken to satisfy ε^2=0 with ε ≠ 0.
https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_number

Mit Dual Numbers kann man z.B. Ableitungen berechnen.
Dual Numbers haben mittlerweile auch in Programmiersprachen
Bibliotheken Eingang gefunden, z.B. gibt es die in

Programmiersprachen wie Julia, und man kann die Dinger
für Autodiff verwenden, insofern haben sie auch Bedeutung
für Deep Learning aka Tensor Flow und so Dinger.

Ich denke man könnte genauso spekulieren die Giganten
haben nicht Non-Standard Analysis verwendet sondern
Dual Numbers. Allerdings haben Dual Numbers kein

Unendlich, oder doch? Man könnte eventuell mit der
Extended Real Line opererieren, und diese mit Dual Numbers
verheiraten, was ist das Ergebnis?

[Mostowski Collapse]

Dual Numbers haben folgende schöne Eigenschaft,
in den Wikipedia Artikel für Taylor Expansionen ausgeführt,
aber ich vermute mehr Funktionen sind zugänglich:

f(a+b ε)= f(a)+b f'(a) ε
https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_number#Differentiation

Man kann also gleichzeitig den Wert f(a) and der Stelle
a berechnen, und die Ableitung f'(a) an der Stelle a,
wenn man z.B. am Anfang b=1 benutzt.

Ich habe mich schon einmal gefragt ob man es eventuell
so einrichten könnte dass für b>0 der rechtsseitige Limes
für f'(a) verwendet wird, für b<0 der linksseitige Limes

für f'(a) verwendet wird, dann wären die Dinger noch patenter.

LoL

[Martin Vaeth]

Mostowski Collapse <burs...@gmail.com> schrieb:

> Wenn Du das Thema "Rechnen" ansprichts, dass diese Giganten
> mit Infinitessimalen gerechnet haben, überzeugt mich die
> Non-Standard Analysis weniger, weil sie an der Domäne

> R herumfummel.

Ganz im Gegenteil: In der internen Analysis (um jetzt mal
nur einen der beiden Zugänge zu nennen) ist R genau unverändert,
d.h. alle Sätze über R gelten unverändert.
Trotzdem gibt es Infinitesimale und unendlich große Zahlen,
aber diese kannst Du nur über das standard-Attribut als solche
erkennen.

Auch in Robinsons Zugang haben die hyperreellen Zahlen *alle*
Eigenschaften der reellen Zahlen, d.h. grob gesprochen:
*Jeder* Satz über die reellen Zahlen ist *genau dann* wahr,
wenn der entsprechende Satz über die hyperrellen Zahlen wahr
ist.

Und der wesentliche Punkt an der Nichtstandard-Analysis ist,
dass es in erster Linie gar nicht um reelle Zahlen geht,
sondern um das gesamte Universum (der Mengen und damit beliebiger
mathematischer Strukturen wie metrische Räume, Banachräume,
topologische Räume, Mannigfaltigkeiten usw).

Dies *muss* logisch so sein, weil man sonst Inkonsistenzen
bekäme (s. unten). Dies hat aber den schönen Nebeneffekt,
dass man die Nichstandard-Analysis in allen Teilgebieten der
Mathematik nutzen kann. Beispielsweise wurde der erste Beweis,
dass kompakte Operatoren in unendlichdimensionalen
Banachräumen immer einen nichttrivialen Unterraum haben, zunächst
mit Methoden der Nichtstandard-Analysis gefunden. Im Nachhinein
wurde er dann in einen klassischen Beweis von einem Kritiker
der Nichstandard-Analysis "rückübersetzt", aber vermutlich
wäre er auf klassische Art kaum gefunden worden, weil Rechnen
mit trickreich konstruierten Ultrafiltern eben nicht so
intuitiv ist wie Rechnen mit Infinitesimalen.

> Da scheinen mir Eduar Study's Dual Numbers besser geeignet.

*Hier* ist Dein obiger Einwand angemessen: Da wird R durch
etwas ersetzt, was so *gar nicht* R ist, nicht einmal ein
totalgeordneter Körper; vom archimedischen Axiom ganz zu
schweigen.
Das heißt nicht, dass diese Zahlen nutzlos sind, aber sie
sind halt eine algebraische Spielerei mit möglicherweise
einigen Anwendungen in der Physik. Aber zum Rechtfertigen
der Schlussweisen der klassischen Mathematiker sind sie
ungeeignet. Spätestens bei analytischen Funktionen und
der ersten Ableitung ist schon das Ende der Fahnenstange
erreicht. Rechnen mit z.B. divergenten Reihen wirst Du
damit kaum erreichen

Neben Dual numbers gab es übrigens Dutzende Versuche,
die reellen Zahlen algebraisch zu erweitern, um
unendliche Zahlen und Infinitesimale einzuführen.
Wie oben erwähnt haben alle diese das Problem, dass sie
sich nicht konsistent auf die Objekte höherer Stufe
übertragen lassen, was zum *problemlosen* Rechnen mit
diesen Objekten wesentlich ist.

Ich erkläre das Problem am Beispiel der Robinsonschen
Analysis. Dort gibt es zwei "Welten" (genauer: sog.
Superstrukturen von Mengen): Eine Standard-Welt und
eine ("größere") Nichtstandard-Welt, sowie eine
Abbildung * zwischen den beiden Welten.
Die Standard-Welt beinhaltet z.B. N, und mit jeder Menge
auch deren Potenzmenge und deren Elemente (somit R
und alle deren Teilmengen, Funktionen und Relationen
auf R, Funktionenräume, usw.); analog für die
Nichstandard-Welt (bei der die "elementarste" Ebene
die hypernatürlichen Zahlen *N sind - das Bild von
N aus der Standard-Welt unter der Abbildung *).

Der entscheidende Satz ist das Transfer-Prinzip:
Eine Aussage (1. Ordnung nur mit dem elem-Symbol),
die über Elemente der Standard-Welt quantifiziert
ist, ist *genau dann* wahr, wenn die entsprechende
Aussage über die Nichtstandard-Welt wahr ist (also,
grob gesprochen: Wenn man vor jede *Konstante* das
Symbol "*" schreibt).

Wichtig ist:
Wenn man von den standard-reellen Zahlen R zu den
hyperreellen Zahlen *R übergeht, muss man z.B. auch
die Funktionen erweitern, denn aus einer Funktion
f:R->R muss ja eine Funktion *f:*R->*R werden; analog
für Relationen. Das ist notwendig, weil man ja z.B. über
*f(*x *+ dx) mit einem Infinitesimal dx reden will
(man lässt in der Praxis später das *-Symbol weg und
redet einfach von f(x + dx)),

Bei analytischen Funktionen (wie in dem Beispiel
der Dual numbers) geht das noch problemlos, weil
man die algebraische und topologische Struktur von
*R dazu ausnutzen kann. Aber für andere Funktionen
ist nicht unbedingt klar, dass es eine slche
Abbildung * gibt, die jedes f auf das passende *f
abbildet, so dass das Transfer-Prinzip erhalten
bleibt (und letzteres ist für das "Rechnen" in der
Nichstandard-Welt natürlich wesentlich). Und wenn
* für reelle Funktionen definiert ist, muss man es
natürlich auch für Funktionen von Funktionen
definieren usw., denn natürlich darf man nicht
z.B. mit Mitteln der Funktionalanalysis eine
Aussage in der Standard-Welt zeigen können, deren
Transfer in die Nichtstandard-Welt falsch ist.
Deswegen *muss* nicht nur R sondern das gesamte
Universum erweitert werden, wenn man Infinitesimale
einführt.

Ein technisches Problem bei diesem Zugang ist, dass
das Nichstandard-Universum zu groß ist:
Wenn man von *N alle Zahlen der Menge {*n: n aus N}
wegnimmt (also die Menge aller unendlichen
hypernatürlichen Zahlen betrachtet), so hat diese
kein kleinstes Element. Das ist *kein* Widerspruch
zum Transfer-Prinzip, denn der Satz, dass N
wohlgeordnet ist, lässt sich nur mit Hilfe der
Potenzmenge P(N) von N formulieren. Es gilt eben
nicht *P(N) = P(*N), sondern es stellt sich heraus,
dass *P(N) das System aller sog. "interner"
Teilmengen von *N ist. Die Menge {*n: n aus N} kann
daher nicht *interne* Teilmenge von *N sein.

Daher ist die Unterscheidung von "internen" und
"externen" Teilmengen beim Robinsonschen Zugang
wesentlich, aber auch etwas schwer zu vermitteln.

In der internen Analysis betrachtet man *nur*
das Nichstandard-Universum der internen Teilmengen.
Damit gelten *alle* Sätze der klassischen Analysis
in diesem Universum; es ist also nicht vom
"Standard"-Universum zu unterscheiden.
Man erhält nur eine "Ahnung" von der Standard-Welt
durch das Attribut "standard".
Der Zugang ist dadurch sehr viel einfacher zu
verstehen, weil er "versteckt", was tatsächlich
"unter der Haube" passiert.

Zurück zu den Dual Numbers: Die verletzen das
Transfer-Prinzip eben schon für R (weil die
Dual numbers kein totalgeordneter Körper sind);
das Transfer-Prinzip ist aber wie gesagt, wesentlich,
um das konsistente Rechnen in der Nichstandard-Welt
zu begründen. Für einfache analytische Funktionen und
elementare Dinge wie die 1. Ableitung mag das
"gerade noch" klappen, aber um tiefliegende Rechnungen
mit z.B. divergenten Reihen zu machen, oder neben den
Rechnungen andere logische Schlussweisen einzubringen,
sind die nicht geeignet.

Das selbe Problem hat man mit anderen Zugängen wie
beispielsweise den "surreal numbers", die eben
(prinzipbedingt) nur über die Erweiterung von R
sprechen, aber nicht darüber wie Objekte erweitert
werden, die damit zu tun haben (also reelle Funktionen,
reelle Relationen, Räume reeller Funktionen oder
Relationen usw.).

[Mostowski Collapse]

Du schreibst:

> weil die Dual numbers kein totalgeordneter Körper sind

Total Ordnen, im Sinn dass für jedes x,y entweder x < y
oder y < x oder x = y lassen die Dinger sich schon (oder
man fordert x =< y oder x >= y, wenn antisymmetrie fehlt?),

z.B. fällt mir da folgende Ordnung ein, einfach lexikalisch ordnen:

(a + b ε ) < (c + d ε) :<=> (a < c) v (a = c & b < d)

Das insuiniert die Lupe hier auch, obwohl das
für Nonstandard Zahlen gemalt wurde. Aber
die Lupe ist ja vielleicht der Abstieg nach b < d,

falls a = c gilt:

https://people.math.wisc.edu/~hkeisler/chapter_1b.pdf

Aber was wird sonst verletzt in diese Ordnung? Und
gibt es andere Vorschläge für solche Ordnungen.
geordneter Körper ist ja ein stehender begriff, da

genügt wahrscheinlich eine totale ordnung alleine
nicht, müssen noch mehr Gesetzte erfüllt sein
im Zusammenhang mit dem Körper.

[Martin Vaeth]

Mostowski Collapse <burs...@gmail.com> schrieb:

> Du schreibst:
>> weil die Dual numbers kein totalgeordneter Körper sind
>
> Total Ordnen, im Sinn dass für jedes x,y entweder x < y
> oder y < x oder x = y lassen die Dinger sich schon

Bei einem totalgeordneter Körper muss die Ordnung
auch mit den Körperoperationen verträglich sein:
a < b => a + c < b + c (für alle a, b, c)
a, b > 0 => ab > 0 (für alle a, b)

> Aber was wird sonst verletzt in diese Ordnung?

Die Dual numbers können schon deswegen keinen
totalgeordneten Körper bilden, weil sie nicht einmal
ein Körper bilden: Es gibt Elemente ohne multiplikativ
Inverses (außer der 0); sogar unendlich viele.

Wie gesagt, eine algebraische Spielerei: Sie erben
sogar noch weniger Eigenschaften von R als die
komplexen Zahlen, die wenigstens noch einen
Körper bilden (wenn auch keinen total geordneten).

[Mostowski Collapse]

Die meisten Elemente haben ein multiplikatives
Inverses. Man kann ja die Division definieren:

https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_number#Division

Also wenn ich das auf 1/(a + b ε) anwende erhalte ich,
für a =\= 0, folgendes Ergebnis:

1/(a + b ε) = 1/a - b/a^2 ε

Mal nachschauen ob die Multiplikation funktioniert,
und 1 ergbit. Ich finde:

(a + b ε) (1/a - b/a^2 ε) =
a 1/a - a b/a^2 ε + b ε 1/a - b ε b/a^2 ε

Nun verwendet man einfach ε^2 = 0, dann fällt
der Summand b ε b/a^2 ε heraus. Und die restlichen
Summanden sind dann:

1 - b/a ε + b/a ε = 1

Also alle Dualzahlen mit a =\= 0 haben ein Inverses.
Es ist wahrscheinlich wie bei den Matrizen, gewisse
Matrizen sind singular und gewisse nicht.

D.h. man hat sowas wie:
https://en.wikipedia.org/wiki/General_linear_group

Das ist doch schon mal etwas. Das Wikipedia
weisst auch eine Matrizen Darstellung aus, aber
damit habe ich micht noch nicht auseinander gesetzt.

[Mostowski Collapse]

Obwohl If n ≥ 2, then the group GL(n, F) is not abelian (in general),
die Dual Zahlen sind doch kommutativ in ihrer Multiplikation.
Aber es ist nur ein Ring und kein Körper. Weil die Körper Definition

wohl relativ streng ist, und den Wegfall eines Inversen, für
Zahlen die zwar 0 ähnlich, aber nicht identisch mit 0 sind,
nicht tolleriert. Wir können a = 0 in (a + b ε) als 0 ähnlich

betrachten. Du schreibst schon "sogar unendlich viele".
Das passiert beim Inversen nicht. Also 1/b ε hat keine
Lösung. Angenommen x + y ε sei die Lösung,

dann müsste ja gelten:

(x + y ε) b ε = 1

Ausmultiplizieren ergibt:

x b ε = 1

Was keine Lösung hat. Man kann den Fall 1/b ε hier nachlesen:

If, on the other hand, c is zero while d is not
https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_number#Division

Ich glaube das "sogar unendlich viele" kommt von anderswo
her, z.B. die Null hat sehr viele Darstellungen 0, ε^2, etc...

[Mostowski Collapse]

Die Null hat sehr viele Darstellungen 0, ε^2, etc...
weil das ist ja die Lupe, die uns die Dualen Zahlen
liefern, damit können wir auf Spurensuche gehen,

und schauen ob WM recht hat, dass irgendwo
dunkle Zahlen vorhanden sind. Wir wollen unser
Handwerk ja nicht den Psychiatern überlassen,

und selbst den Sachen auf den Grund gehen.
Die Dualen Zahlen sind wie eine Taschenlampe
die etwas weiter reicht als die Taschenlampe

mit der WM herumfuchtelt. Das erlaubt der
Körper R nicht. Oder doch? Die moderne Mathematik,
so wie man das in der Schule und an der Universität

lernt, hat "infinitessimale" verbannt, und man
macht alles à la Weierstrass. Ist das noch angebracht?
Wie sollen die Studenten später mit Artifiical Intelligence

umgehen, wenn es dort von Deep Learning Algorithmen
wimmelt, die teilweise mit Dual Numbers implementiert sind.
Disclaimer: Bin kein experte, nur etwas fasziniert von

der Julia Bibliothek hier:
https://github.com/JuliaDiff/DualNumbers.jl

LoL

P.S.: Aber jetzt lese ich gerade:

For the purpose of forward-mode automatic
differentiation, this package is superseded by ForwardDiff.

Oki Doki

[Martin Vaeth]

Mostowski Collapse <burs...@gmail.com> schrieb:

> Die meisten Elemente haben ein multiplikatives Inverses.

Das ist irrelevant, solange es mindestens eine Ausnahme gibt:
Diese Erweiterung der reellen Zahlen hat bereits viele
elementare Eigenschaften der reellen Zahlen nicht mehr
und kann daher nicht das sein, was die klassischen
Mathematiker unter den reellen Zahlen verstanden.

[Mostowski Collapse]

Es gibt eine einfache Einbettung von R in D. Diese
Einbettung ist ein Körper. Und mit dieser Ordnung
wäre die Einbettung auch ein geordneter Körper:

(a + b ε ) < (c + d ε) :<=> (a < c) v (a = c & b < d)

Die Einbettung ist trivial, diese Funktion bewerkstelligt das:

h : R -> D, h(r) = r + 0 ε

D eingeschränkt auf (r + 0 ε) ist ein geordneter Körper.

Auf der anderen Seite liest man dass die Einbettung
von R in die Hyperreallen Zahlen R*, etwas zu tun hat
mit folgender Funktion:

h : R -> R*, h(r) = (r, r, r, ....)

Allerdings habe ich das nur im vorübergehen auf
Wikipedia gesehen. Ich hätte jetzt erwartet dass
sie argumentieren dass die Einbettung in R*

die bessere sei, weil R* auch wieder ein Körper ist.
Aber sie scheinen irgendwo rumzurödeln, und versuchen
D mit R zu identifizieren, was ein bischen sinnlos ist.

[Mostowski Collapse]

Duale Zahlen und Hyperreale Zahlen sind deshalb
interessant, weil beide gleichermassen den geordneten
Körper R enthalten. Ob es wichtig ist dass die Zahlen

selber kein oder ein geordneter Körper sind weiss
ich nicht. Ich denke eher dass es wichtig ist dass
man damit teile von Calculus machen kann.

Und es durchaus denkbar dass Leonhard Euler
eher mit Dualen Zahlen "gerechnet" hat als mit
Hyperrealen Zahlen. Euler hat ja "Introductio in

Analysin Infinitorum" verfasst. Wie geht er da
das Thema an? Es gibt auch weitere Bücher von
ihm zu dem Thema. Vielleicht ist die Konklusion

dass Euler weder noch benutzt hat. Welche
Evidenz wurde bis jetzt hervorgebracht? Bis jetzt
habe ich nur dieses Votum, was mit einem

Vorurteil operiert:

> Sie haben ganz sorgenfrei mit unendlich großen und
> kleinen Größen *gerechnet*, und "erstaunlicherweise" eben
> richtig - sie hatten eben das korrekte Bild von (in der
> heutigen Sprache) "Standard"-Objekten und den zugehörigen
> "internen" nicht-standard-Objekten (wie Infinitesimalen)
> verstanden, konnten es aber mangels Formalismus nicht
> wirklich weitergeben, weshalb viele Schüler, die das nicht
> so erkannten, eklatante Fehler dabei machten.

[Mostowski Collapse]

Maybe should have a look at:

Caput VII. De quantitatum exponentialium ac Logarithmorum
per Series explicatione, pp. 85–93, §§114–125.
"In §114 he notes that if ω is infinitely small (“Sit ω numerus infinite parvus”)"
http://fredrickey.info/hm/Euler-Introductio.pdf

But later it seems to me that he indeed makes use of infinity:

"The clever maneuver comes in §115 where Euler lets j = z/w,
where z is a finite number. Then ω is infinitely small and j is infinitely large."

So I am back to my riddle, how introduce infinity to dual numbers.

[Mostowski Collapse]

What works well with Dual Numbers is this here by Euler:

In §134 he lets z be infinitely small, so that sin z = z and cos z = 1

Take taylor series:

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! -/+ ...
cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! -/+ ...

If you plug in x = ε from Dual Numbers, because of ε^2=0, you get:

sin(ε) = ε
cos(ε) = 1