Dichteste Kreispackung
Mark Wolf
kann jemand eine Formel angeben, die die Anzahl der kleinen Kreise, die
in einen grossen passen, ausgerechnet werden?
Kann auch was kompliziertes sein, das man in Software packen kann, muss
aber genau und richtig sein.
Gegeben ist jeweils der Durchmesser.
Bisher hab ich mir immer mit folgender Webseite beholfen:
Die Webseite rechnete mir fuer 150 fuer den grossen Kreis und 18.5 fuer
den kleinen Kreis 52 Elemente aus.
Beim Anordnen dieser Elemente in hexagonaler Struktur ist mir
aufgefallen, dass ich 55 Elemente mit 18.5 Durchmesser in einen Kreis
mit 150 Durchmesser bekomme.
Gruss
Mark
Rainer Rosenthal
Das Thema ist interessant, aber ich verstehe Deine Frage nicht.
Bei "150 Kreise im Einheitskreis" sehe ich:
150: radius=0.07, ratio=13.46, density=0.427, contacts=312
und fï¿œr "52 Kreise im Einheitskreis":
52: radius=0.32, ratio=13.46, density=0.0446, contacts=145
Alle Angaben ohne Gewￜhr, denn die Schriftgrￜￜe ist fￜr mich nicht
mehr entzifferbar und somit erinnert die schï¿œne Grafik eher an die
Tafel beim Augenarzt (ganz unten!).
Wie passen in diesen Zahlensalat (den Du gerne berichtigen darfst)
Deine 18.5 und Deine Zahl 55?
Willst Du sagen, dass Du 55 Kreise einpacken kannst, wo Packomania nur
52 schafft? Das wï¿œre sehr erstaunlich.
Gruￜ,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Hans-J. Ude
>kann jemand eine Formel angeben, die die Anzahl der kleinen Kreise, die
>in einen grossen passen, ausgerechnet werden?
>Kann auch was kompliziertes sein, das man in Software packen kann, muss
>aber genau und richtig sein.
Auf der Seite steht u.a. "Source code available too!" und am
Seitenende ein e-mail link. Frag doch mal an. Wenn du weiter kommst
kannst du das ja ruhig posten interessiert mich auch.
Haj�
Thomas Nordhaus
> Am 11.01.2011 10:04, schrieb Mark Wolf:
>> Hallo,
>>
>> kann jemand eine Formel angeben, die die Anzahl der kleinen Kreise, die
>> in einen grossen passen, ausgerechnet werden?
>> Kann auch was kompliziertes sein, das man in Software packen kann, muss
>> aber genau und richtig sein.
>> Gegeben ist jeweils der Durchmesser.
>> Bisher hab ich mir immer mit folgender Webseite beholfen:
>>
>> www.packomania.com
>>
>> Die Webseite rechnete mir fuer 150 fuer den grossen Kreis und 18.5 fuer
>> den kleinen Kreis 52 Elemente aus.
>> Beim Anordnen dieser Elemente in hexagonaler Struktur ist mir
>> aufgefallen, dass ich 55 Elemente mit 18.5 Durchmesser in einen Kreis
>> mit 150 Durchmesser bekomme.
>>
>
> Das Thema ist interessant, aber ich verstehe Deine Frage nicht.
Die Frage bezieht sich auf das Applet ganz unten auf der Seite. Da
steht: "Suppose, you have to cut circles with a fixed diameter from a
circle-shaped plate of any material with fixed side length.
How many circles can you get in order to minimize the waste?"
150 bezieht sich dann auf die "Seitenlänge" (side length) der
kreisförmigen Platte, aus der man Kreisscheiben mit Durchmesser 18,5
ausstanzen möchte. Ich schätze mal dass side length einfach der
Durchmesser des großen Kreises ist.
Bezieht man das auf den Einheitskreis (Durchmesser 2) entspricht das
einem Durchmesser von 18.5/75 bzw. einem Radius von 18.5/150 = 0.1233...
Schaut man in der Tabelle (nicht bei den Bildern oben! Die
Containerkreise da haben keinen Einheitsradius - wie du früher (tm)
selbst schon mal festgestellt hast. ;-) ) findet man einen Radius von
0.1237. Da passen also 52 Kreise mit Radius 0.1233... hinein. Bei 55
findet man den Radius 0.1218, also deutlich kleiner als 0.1233...
> Bei "150 Kreise im Einheitskreis" sehe ich:
> 150: radius=0.07, ratio=13.46, density=0.427, contacts=312
>
> und für "52 Kreise im Einheitskreis":
> 52: radius=0.32, ratio=13.46, density=0.0446, contacts=145
>
> Alle Angaben ohne Gewähr, denn die Schriftgröße ist für mich nicht
> mehr entzifferbar und somit erinnert die schöne Grafik eher an die
> Tafel beim Augenarzt (ganz unten!).
>
> Wie passen in diesen Zahlensalat (den Du gerne berichtigen darfst)
> Deine 18.5 und Deine Zahl 55?
> Willst Du sagen, dass Du 55 Kreise einpacken kannst, wo Packomania nur
> 52 schafft? Das wäre sehr erstaunlich.
>
> Gruß,
> Rainer Rosenthal
> r.ros...@web.de
--
Thomas Nordhaus
Thomas Nordhaus
> Schaut man in der Tabelle (nicht bei den Bildern oben! Die
Quatsch - da hab ich mich verguckt (die Zahlen in den Bildern sind kaum
zu entziffern).
> selbst schon mal festgestellt hast. ;-) ) findet man einen Radius von
> 0.1237. Da passen also 52 Kreise mit Radius 0.1233... hinein. Bei 55
> findet man den Radius 0.1218, also deutlich kleiner als 0.1233...
>
>> Bei "150 Kreise im Einheitskreis" sehe ich:
>> 150: radius=0.07, ratio=13.46, density=0.427, contacts=312
>>
>> und fï¿œr "52 Kreise im Einheitskreis":
>> 52: radius=0.32, ratio=13.46, density=0.0446, contacts=145
Nee, da steht radius = 0.12usw. Bei 0.32 passen sicherlich nicht 52
Stï¿œck in einen Einheitskreis. Da haben wir uns verguckt. Am besten in
der Tabelle unten nachgucken.
Thomas Nordhaus
Thomas Nordhaus
Das ist mir noch nicht gelungen. Hab das mal schnell mit gnu-Octave
geplottet. Vllt. kann man noch etwas optimieren, aber mein Maximum sind
48 Kreise, wenn man die kleinen Kreise hexagonal packt. Siehe hier:
http://www.bilder-hochladen.net/files/big/2dly-l.jpg
--
Thomas Nordhaus
HP
http://oeis.org/A023393 (Maximal number of circles of radius 1 that
can be packed in a circle of radius n.)
http://oeis.org/A084618 (Maximum number of circles of area 1 that can
be packed in a circle of area n)
http://oeis.org/A084644 (Best packings of m>1 equal circles into a
larger circle setting a new density record)
relevant. Ich hab auch mal eine besser lesbare Tabelle aus E. Spechts
Daten erstellt, in der die Packungen bis 151 Kreise beruecksichtigt
sind:
http://www.randomwalk.de/sequences/a084618.pdf
Bei den "niedrigen" Zahlen gepackter Kreise wird sich kaum eine Formel
finden lassen. Bei sehr grossen Zahlen laesst sich sicher was
asymptotisch zutreffendes finden, weil dort der Kernbereich in der
Regel hexagonal gepackt werden kann und aussenrum ein unregelmaessig
aufgefuellter Ring mit niedrigerer Packungsdichte liegt. Das sollte
analog zum 3-d Problem beim Packen von Kugeln gehen, wo D.W. Cantrell
eine huebsche Abschaetzung gefunden hat: http://oeis.org/A121346
Hugo
Mark Wolf
> Am 11.01.2011 15:28, schrieb Thomas Nordhaus:
>> Schaut man in der Tabelle (nicht bei den Bildern oben! Die
>
> Quatsch - da hab ich mich verguckt (die Zahlen in den Bildern sind kaum zu
> entziffern).
>
>> selbst schon mal festgestellt hast. ;-) ) findet man einen Radius von
>> 0.1237. Da passen also 52 Kreise mit Radius 0.1233... hinein. Bei 55
>> findet man den Radius 0.1218, also deutlich kleiner als 0.1233...
>>
>>> Bei "150 Kreise im Einheitskreis" sehe ich:
>>> 150: radius=0.07, ratio=13.46, density=0.427, contacts=312
>>>
>>> 52: radius=0.32, ratio=13.46, density=0.0446, contacts=145
>
> unten nachgucken.
>
dann klappts auch mit der Schriftgroesse.
Das was Ihr meint, ist sicher nur das Vorschaubild.
Leider kann ich die Unterseiten nicht direct posten, da es bei mir
nicht in der Browserleiste angezeigt wird.
Gruss
Mark
Mark Wolf
Meine Vesion sieht so aus, wie das Bild, das kommt, wenn man 150 fuer
den grossen und 18.1 fuer den kleinen Kreis angibt. Also ein kleiner
Kreis genau in der Mitte vom Grossen Kreis.
BTW: Problem geloest, Seite ist OK. Ich hatte die ganze Zeit mit etwas
Sicherheit gerechnet(18.5mm). Nun hab ich die Batterieen aufgebaut und
fand, dass mehr rein gehen. Und an keiner Stelle konnte ich 150mm oder
mehr messen. Diese sind aber nur 18.1 bis 18.2 mm im Durchmesser. Laut
Datenblatt 18.3mm.
Anwendung war hier ein Accupack.
Gruss
Mark
HP
> Bei den "niedrigen" Zahlen gepackter Kreise wird sich kaum eine Formel
> finden lassen. Bei sehr grossen Zahlen laesst sich sicher was
> asymptotisch zutreffendes finden, weil dort der Kernbereich in der
> Regel hexagonal gepackt werden kann und aussenrum ein unregelmaessig
> aufgefuellter Ring mit niedrigerer Packungsdichte liegt. Das sollte
> analog zum 3-d Problem beim Packen von Kugeln gehen, wo D.W. Cantrell
> eine huebsche Abschaetzung gefunden hat:http://oeis.org/A121346
Eine obere Schranke fuer den benoetigten Radius des Behaelterkreises,
in den sich N Einheitskreise packen lassen, wird von David W. Cantrell
in
http://groups.google.com/group/sci.math/msg/acdc41a82009833e
angegeben. Dies wird auch auf der http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/cci/cci.html
Webseite ganz unten zitiert:
06-Dec-2008: David W. Cantrell gives in [24] an astonishing new
conjectured upper bound for R/r, namely R/r <= 1 + (sqrt((4*ρ-1)^2 +
16*ρ*(N-1)) - 1) / (4*ρ) with ρ = Pi/(2*sqrt(3)).
Augenblicklich (12. Januar 2010) sind bis einschliesslich N=506
Packungen bekannt, die die Cantrell-Schranke unterschreiten.
Hugo
HP
> On Jan 11, 11:53 pm, HP <yae9...@googlemail.com> wrote:
>
> > Bei den "niedrigen" Zahlen gepackter Kreise wird sich kaum eine Formel
> > finden lassen. Bei sehr grossen Zahlen laesst sich sicher was
> > asymptotisch zutreffendes finden, weil dort der Kernbereich in der
> > Regel hexagonal gepackt werden kann und aussenrum ein unregelmaessig
> > aufgefuellter Ring mit niedrigerer Packungsdichte liegt. Das sollte
> > analog zum 3-d Problem beim Packen von Kugeln gehen, wo D.W. Cantrell
> > eine huebsche Abschaetzung gefunden hat:http://oeis.org/A121346
>
> Eine obere Schranke fuer den benoetigten Radius des Behaelterkreises,
> in den sich N Einheitskreise packen lassen, wird von David W. Cantrell
> angegeben. Dies wird auch auf derhttp://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/cci/cci.html
> Webseite ganz unten zitiert:
> 06-Dec-2008: David W. Cantrell gives in [24] an astonishing new
> conjectured upper bound for R/r, namely R/r <= 1 + (sqrt((4*ρ-1)^2 +
> 16*ρ*(N-1)) - 1) / (4*ρ) with ρ = Pi/(2*sqrt(3)).
> Augenblicklich (12. Januar 2010) sind bis einschliesslich N=506
> Packungen bekannt, die die Cantrell-Schranke unterschreiten.
>
> Hugo
Spaeter in der gleichen sci.math-Diskussionsfolge "Packing unit
circles in circles: new results"
http://groups.google.com/group/sci.math/browse_thread/thread/48cafaebe3041fd9/fae27f281edebe17
gibt David dann auch noch eine untere Schranke fuer den
Containerkreisradius an:
http://groups.google.com/group/sci.math/msg/fae27f281edebe17