Cantors erstes Diagonalverfahren

[Ganzhinterseher]

Zur Abzählung der positiven Brüche erzeugt man eine ℕxℕ-Matrix.

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
...

Alle natürlichen Zahlen stehen in der ersten Spalte. Man schneidet sich aus weißer Pappe kleine Quadrate zurecht und überdeckt alle natürlichen Zahlen, um sicherzugehen dass die Anzahl der Quadrate genau so groß wie die der natürlichen Zahlen ist. Auf den Rückseiten sind bei genauem Hinsehen sogar noch die Abdrücke der natürlichen Zahlen zu erkennen.

, 1/2, 1/3, 1/4, ...
, 2/2, 2/3, 2/4, ...
, 3/2, 3/3, 3/4, ...
, 4/2, 4/3, 4/4, ...
...

Diese Quadrate ordnet man nun geschickt um, so dass alle Brüche überdeckt werden:

, , , , ...
, , , , ...
, , , , ...
, , , , ...
...

Diese kleine Übungsaufgabe kann jeder lösen, der zur kognitive Erfassung des Unendlichen in der Lage ist.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Monday, January 10, 2022 at 9:26:06 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> Auf den Rückseiten sind bei genauem Hinsehen sogar noch die Abdrücke der natürlichen Zahlen zu erkennen.

Ah ja, die natürlichen Zahlen haben Abdrücke hinterlassen, verstehe... Ja, da wird man woh genau "hinsehen" müssen: Vermutlich kann man es nur von ganz hinten sehen.

Was für ein Quatsch.

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 10:08:35 UTC+1:
> On Monday, January 10, 2022 at 9:26:06 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
>
> > Auf den Rückseiten sind bei genauem Hinsehen sogar noch die Abdrücke der natürlichen Zahlen zu erkennen.

> Ah ja, die natürlichen Zahlen haben Abdrücke hinterlassen, verstehe... Ja, da wird man wohl genau "hinsehen" müssen: Vermutlich kann man es nur von ganz hinten sehen.

Obwohl die Zahlen ja eigentlich und rein geometrisch betrachtet gar keine Rolle spielen.
>
> Was für ein Quatsch.

Genau das meine ich auch!

Gruß, WM

[JVR]

On Monday, January 10, 2022 at 9:26:06 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

Damit fällt das ganze morsche Gebäude der Mathematik in sich zusammen. Auf Sand gebaut. Unvermeidlich, dass
nach 300 Jahren ein großer Geist kommen würde um den Betrug aufzudecken. Cantor, Dedekind, Weierstrass, Dirichlet,
Frege, Russell und der schlimmste von allen: Hilbert. Keiner entkommt der tiefschürfenden Kritik aus Ganzhintermsee.

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 10:22:53 UTC+1:
> On Monday, January 10, 2022 at 9:26:06 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > Zur Abzählung der positiven Brüche erzeugt man eine ℕxℕ-Matrix.
> >
> > 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
> > 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> > 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> > 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> > ...
> >
> > Alle natürlichen Zahlen stehen in der ersten Spalte. Man schneidet sich aus weißer Pappe kleine Quadrate zurecht und überdeckt alle natürlichen Zahlen, um sicherzugehen dass die Anzahl der Quadrate genau so groß wie die der natürlichen Zahlen ist. Auf den Rückseiten sind bei genauem Hinsehen sogar noch die Abdrücke der natürlichen Zahlen zu erkennen.
> >
> > , 1/2, 1/3, 1/4, ...
> > , 2/2, 2/3, 2/4, ...
> > , 3/2, 3/3, 3/4, ...
> > , 4/2, 4/3, 4/4, ...
> > ...
> >
> > Diese Quadrate ordnet man nun geschickt um, so dass alle Brüche überdeckt werden:
> >
> > , , , , ...
> > , , , , ...
> > , , , , ...
> > , , , , ...
> > ...
> >
> > Diese kleine Übungsaufgabe kann jeder lösen, der zur kognitive Erfassung des Unendlichen in der Lage ist.
> >

> Damit fällt das ganze morsche Gebäude der Mathematik in sich zusammen.

Nein, denn erstens werden immer noch genügend Matheologen behaupten, das sei nicht schlimm und nur ein wenig kontraintuitiv. " If Cantor's work is invalid, modern mathematics goes up in smoke. The investment is too great – if something's wrong we'll just change logic." [D.K. Davis in "Cantor's transfinite numbers", sci.math (31 Oct 1996)]

Und zweitens ist Matheologie keine Mathematik und war es niemals, wie schon Schwarz erkannte: "Was haben denn in aller Welt die Kirchenväter mit den Irrationalzahlen zu thun?! Möchte sich doch die Befürchtung nicht bewahrheiten, daß unser Patient auf derselben schiefen Ebene angelangt sei, von der der unglückliche Zöllner den Rückweg zur Beschäftigung mit concreten wissenschaftlichen Aufgaben nicht mehr gefunden hat!" (H.A. Schwarz an Carl Weierstraß, 17. Okt. 1887)

> Keiner entkommt der tiefschürfenden Kritik aus Ganzhintermsee.

Ich habe mich bisher jedenfalls immer vergeblich bemüht, die totale Überdeckung zu finden. Aber ich bleibe dran. Für den Anfang habe ich schon eine leichtere Aufgabe gelöst: Ich habe alles außer den natürlichen Zahlen mit kleinen schwarzen Quadraten überdeckt und dann so umgeordnet, dass die ganze Matrix schwarz überdeckt war. In komplementärer Betrachtung bedeutet das, dass man die hellen Quadrate vollständig verschwinden lassen kann. Zusammen mit einem matheologisch versierten Partner kann ich auf diese Weise nach Belieben alle Brüche überdecken oder alle Quadrate verschwinden lassen und alle Brüche aufdecken. Ja, das alles auf Ehr ... Und zur Verdauung schluck' ich Messer.

Gruß, WM

[JVR]

Das ist zu hoch für mich, das mit den großen und den kleinen Quadrätchen; und die durchsichtigen, die die anderen aber verdecken; und die dunklen, die man nicht manipulieren kann. Hat die Mutter Kleinmückes ihm denn nicht beigebracht, dass er das Manipulieren sein lassen muss, denn sonst bekommt er Rückenmarkschwund und Hirnatrophie?

Immer wenn man den Prefosser für seine großen Verdienste lobt, dann wird er ganz bescheiden. Alles wäre gut, wenn Cantor Priester geworden wäre und Hilbert in Königsberg als Fachhochschullehrer seinen Fähigkeiten entsprechend vergammelt wäre.

Denn die Mathematik wurde eigentlich erst im 20. Jh verdorben.

Borel sündigte, indem er das Unendliche in die Wahrscheinlichkeitstheorie einführte. Null/Eins Theoreme braucht doch kein Mensch.

Lebesgue definierte das Integral um - wozu der Quatsch? - Riemanns Integral ist mindestens so gut. Und außerdem kann man es fast verstehen.

Brouwer ein Topologe? Ist von Natur aus eher Theologe. Wozu sind die blöden Fixpunktsätze gut?

Kolmogorov mit seinen Axiomen. Wer Verstand hat, der braucht keine Axiome.

Alles was man über Wahrscheinlichkeit wissen muss, das wussten schon Pascal und Fermat.

Und die Gebrüder Riesz und die spinnerten Polen, Banach und Kac und Kaczmarz und Sierpinski und Kuratowski und Steinhaus. Die dachten man könne den blöden Matheologen Funktionalanalysis verkaufen. Bei denen haben die Deutschen natürlich aufgeräumt, aber gründlich. Seit wann können Polen denn Mathe?

[Fritz Feldhase]

On Monday, January 10, 2022 at 12:26:05 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> Für den Anfang habe ich schon eine leichtere Aufgabe gelöst: Ich habe alles außer den natürlichen Zahlen mit kleinen schwarzen Quadraten überdeckt und dann so umgeordnet, dass die ganze Matrix schwarz überdeckt war. In komplementärer Betrachtung bedeutet das, dass man die hellen Quadrate vollständig verschwinden lassen kann. [Nun] kann ich auf diese Weise nach Belieben alle Brüche überdecken oder alle Quadrate verschwinden lassen und alle Brüche aufdecken.

Wirklich faszinierend, Mückenheim.

Wie JVR schon sagte [leicht modifiziert]:

"Unvermeidlich, dass nach [150] Jahren[n] ein großer Geist kommen würde, um den Betrug aufzudecken. Cantor, Dedekind, [...] Frege, Russell [Zermelo, Fraenkel, von Neumann, Bernays, Gödel, Quine] und der schlimmste von allen: Hilbert. Keiner entkommt der tiefschürfenden Kritik aus Ganzhintermsee."

[Marcus Gloeder]

Hallo alle zusammen,

am 10.01.22 09:26, schrieb Ganzhinterseher:

>Diese Quadrate ordnet man nun geschickt um, so dass alle Brüche überdeckt werden:

Geht. Jedenfalls dann, wenn Du in Deiner wunderhübschen ASCII-Grafik nicht
die drei Punkte rechts und unten vergisst.

Die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null ist abzählbar unendlich. Die
Menge der rationalen Zahlen ebenfalls. Also kannst Du mit Deinen
wunderschönen Pappkärtchen alle rationalen Zahlen abdecken. Mehr gibt es
dazu nicht zu sagen.

EOF.

>Gruß, WM

Grüße
Marcus

--
PMs an: m.gl...@gmx.de

[Fritz Feldhase]

On Monday, January 10, 2022 at 2:02:59 PM UTC+1, Marcus Gloeder wrote:

> Also kannst Du mit Deinen wunderschönen Pappkärtchen alle rationalen Zahlen abdecken.
> Mehr gibt es dazu nicht zu sagen.

Oooch.. jetzt sei doch kein solcher Spaßverderber! (Mückenheim sagt doch erst seit ~15 Jahren etwas dazu.)

:-)

[Andreas Leitgeb]

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Diese kleine Übungsaufgabe kann jeder lösen, der zur kognitive
> Erfassung des Unendlichen in der Lage ist.

Im Umkehrschluss ist jeder, der nicht in der Lage ist, Cantors
Abzählung zu verstehen, eben offenbar zur kognitiven Erfassung
des Unendlichen nicht in der Lage...

Ja, das klingt stimmig.

Warum schreiben solche Leute aber dann tonnenweise Unsinn über
angeblich dunkle Zahlen in diverse Foren, anstatt sich mit ihrer
kognitiven Einschränkung abzufinden?

[Alfred Flaßhaar]

Am 10.01.2022 um 14:19 schrieb Andreas Leitgeb:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

(...)

>
> Warum schreiben solche Leute aber dann tonnenweise Unsinn über
> angeblich dunkle Zahlen in diverse Foren, anstatt sich mit ihrer
> kognitiven Einschränkung abzufinden?
>

Damit sprichst Du ein in der Automatentheorie interessantes Thema bei
der Entwicklung sog. künstlicher Intelligenz an: Selbstdiagnostik. In
dieser Hinsicht hat die KI dem Maße nach eine untere Grenze >0.

[Marcus Gloeder]

Am 10.01.22 09:26, schrieb Ganzhinterseher:

>Zur Abzählung der positiven Brüche erzeugt man eine ℕxℕ-Matrix.
>
>1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
>2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
>3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
>4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
>...

Mein lieber WM,

jetzt mache ich Dir mal einen Gegenvorschlag. Du legst Deine Pappkärtchen
beiseite und nimmst eine Kordel. Auf diese Kordel ziehst Du alle rationalen
Zahlen in Deiner Matrix auf, und zwar so:

1/1, 2/1, 1/2, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2 usw.

Du siehst, wie das geht? Gut. Jetzt ziehst Du die Kordel auseinander und
legst eine andere Kordel, auf der Du alle natürlichen Zahlen aufgezogen
hast, daneben. So:

1/1 1
2/1 2
1/2 3
1/3 4
2/2 5
3/1 6
4/1 7
3/2 8
… …

Auf diese Weise bekommst Du eine vollständige Zuordnung aller rationalen
Zahlen zu allen natürlichen Zahlen. Du hast eine Bijektion, die vollständig
aufgeht.

Die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen sind
gleich mächtig. Was zu beweisen war.

>Gruß, WM

Viele Grüße

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 13:03:39 UTC+1:
> On Monday, January 10, 2022 at 12:26:05 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> > Ich habe mich bisher jedenfalls immer vergeblich bemüht, die totale Überdeckung zu finden. Aber ich bleibe dran. Für den Anfang habe ich schon eine leichtere Aufgabe gelöst: Ich habe alles außer den natürlichen Zahlen mit kleinen schwarzen Quadraten überdeckt und dann so umgeordnet, dass die ganze Matrix schwarz überdeckt war. In komplementärer Betrachtung bedeutet das, dass man die hellen Quadrate vollständig verschwinden lassen kann. Zusammen mit einem matheologisch versierten Partner kann ich auf diese Weise nach Belieben alle Brüche überdecken oder alle Quadrate verschwinden lassen und alle Brüche aufdecken. Ja, das alles auf Ehr ... Und zur Verdauung schluck' ich Messer.

> Das ist zu hoch für mich, das mit den großen und den kleinen Quadrätchen;

Tatsächlich??? Die weißen Quadrate repräsentieren ℕ, also alle natürlichen Zahlen. Und nach Mengenlehre kann man sie so verteilen, dass kein Bruch ohne Index bleibt. Das bedeutet in meinem Bild, dass das ganze Bild der Matrix abgedeckt und verschwunden ist.

Die Sache mit den schwarzen Quadraten kann man auch so interpretieren, dass alle weißen Quadrate durch Umordnung verschwinden und die Matrix in voller Schönheit sichtbar ist.

Wer also Cantor kann, kann alles.

> Borel sündigte, indem er das Unendliche in die Wahrscheinlichkeitstheorie einführte. Null/Eins Theoreme braucht doch kein Mensch.

Immerhin hat er erkannt, dass da einiges faul ist. " I prefer not to write alephs. [...] It would require considerable research to learn what is the real and precise sense that can be attributed to arguments of this sort. Such research would be useless, or at least it would require more effort than it would be worth." [É. Borel, letter to J. Hadamard (1905)]

Borel declared that the Banach-Tarski paradox amounts to an inconsistency proof of the Axiom of Choice. [É. Borel: "Les paradoxes de l'infini" 3rd ed., Paris (1946) p. 210]

So, in Borel's view, most reals, with probability one, are mathematical fantasies, because there is no way to specify them uniquely. [G. Chaitin: "How real are real numbers?", arXiv (2004)]

> Kolmogorov mit seinen Axiomen. Wer Verstand hat, der braucht keine Axiome.

Zumindest nicht das Auswahlaxiom: "objects whose existence is postulated by this axiom appeared to be not only useless but sometimes destructive to the simplicity and rigorousness of crucial mathematical theories." [A.N. Kolmogorov: "Modern debates on the nature of mathematics", Nauchae Slovo 6 (1929) pp. 41-54]

>
> Alles was man über Wahrscheinlichkeit wissen muss, das wussten schon Pascal und Fermat.

Ein wenig mehr ist schon entstanden, insbesondere durch meinen Co-Autor Edwin T. Jaynes, aber die AC-Mengenlehre sollte in Quarantäne gesperrt werden, sagte er. "Infinite-set paradoxing has become a morbid infection that is today spreading in a way that threatens the very life of probability theory, and it requires immediate surgical removal. [...] For now, it is the responsibility of those who specialize in infinite-set theory to put their own house in order before trying to export their product to other fields. Until this is accomplished, those of us who work in probability theory or any other area of applied mathematics have a right to demand that this disease, for which we are not responsible, be quarantined and kept out of our field." [E.T. Jaynes: "Probability theory: The logic of science", edited by G.L. Bretthorst, Cambridge Univ. Press (2003) pp. XXII & XXVII & 672f]

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Andreas Leitgeb schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 14:19:12 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Diese kleine Übungsaufgabe kann jeder lösen, der zur kognitive
> > Erfassung des Unendlichen in der Lage ist.
> Im Umkehrschluss ist jeder, der nicht in der Lage ist, Cantors
> Abzählung zu verstehen, eben offenbar zur kognitiven Erfassung
> des Unendlichen nicht in der Lage...

Zumindest klingt es so in den geschwollenen Worten vieler Matheologen und ihrer Mitläufer.

>
> Ja, das klingt stimmig.
>
> Warum schreiben solche Leute aber dann tonnenweise Unsinn über
> angeblich dunkle Zahlen in diverse Foren, anstatt sich mit ihrer
> kognitiven Einschränkung abzufinden?

Vielleicht weil dieses Beispiel so frappant ist, dass doch dieser oder jener Matheologe seine "kognitiven Fähigkeiten" einer Überprüfung unterzieht? Bedenke: Die komplementäre Umordnung führt zur Erkenntnis, dass die Menge ℕ gänzlich verschwinden kann.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Marcus Gloeder schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 15:01:25 UTC+1:
> Am 10.01.22 09:26, schrieb Ganzhinterseher:
> >Zur Abzählung der positiven Brüche erzeugt man eine ℕxℕ-Matrix.
> >
> >1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
> >2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> >3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> >4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> >...
> Mein lieber WM,
>
> jetzt mache ich Dir mal einen Gegenvorschlag. Du legst Deine Pappkärtchen
> beiseite und nimmst eine Kordel.

Nein, das tue ich nicht, sondern bestehe explizit darauf. Denn wer das mit den Kärtchen akzeptiert, ist mathematisch nicht zurechnungsfähig. Natürlich kann er trotzdem sein Leben genießen. Das geht ja auch ohne folgerichtiges Denken.

> Auf diese Kordel ziehst Du alle rationalen
> Zahlen in Deiner Matrix auf, und zwar so:
>
> 1/1, 2/1, 1/2, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2 usw.
>
> Du siehst, wie das geht? Gut.

Schlecht. Bisher hat niemand die subdiagonalen Gebiete erreicht. Weißt Du, ein aktual vollständiges Quadrat wird von der Diagonal in zwei Hälften geteilt. Bisher wurde nicht einmal die obere Hälfte vollständig erforscht. Der Vollständigkeitsanspruch ist also noch nicht recht begründet.

> Die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen sind
> gleich mächtig. Was zu beweisen war.

Mächtigkeit ist allerdings eine sinnlose Maßangabe, was bewiesen worden ist.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Monday, January 10, 2022 at 4:42:04 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> Bisher hat niemand die subdiagonalen Gebiete erreicht.

Vielleicht solltest Du Dich freiwillig zu so einer Expedition melden?

https://de.wikipedia.org/wiki/Amundsens_Fram-Expedition

[Marcus Gloeder]

Am 10.01.22 16:42, schrieb Ganzhinterseher:
>Weißt Du, ein aktual vollständiges Quadrat wird von der Diagonal[e] in zwei Hälften geteilt.

Mein lieber WM,

Dir ist schon bewusst, dass es sich gar nicht um ein »aktual vollständiges
Quadrat« handelt, oder? Vielmehr hast Du zwei Kordeln nebeneinander. Auf
der einen sind alle rationalen Zahlen, auf der anderen alle natürlichen
Zahlen aufgereiht. Du kannst jedem Element der einen Kordel ein Element
der anderen Kordel zuordnen (dabei spielt die Reihenfolge keine Rolle).

Natürlich würde der Zuordnugsprozess, wenn er denn tatsächlich durchgeführt
werden soll, nie zu einem Abschluss kommen, und zwar deshalb, weil jedes
Element der einen und jedes Element der anderen Menge jeweils einen
Nachfolger hat, egal an wievielter Stelle es auf der jeweiligen Kordel
aufgereiht ist.

Nur brauchst Du das gar nicht zu tun. Es reicht, zu sehen, dass die
Zuordnung immer klappt und auf beiden Kordeln keine Elemente unzugeordnet
bleiben. Dafür reichen schon die ersten 4 oder 5 Elemente beider Kordeln
und ein usw.

That was it.

[Ganzhinterseher]

Marcus Gloeder schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 17:35:15 UTC+1:
> Am 10.01.22 16:42, schrieb Ganzhinterseher:
> >Weißt Du, ein aktual vollständiges Quadrat wird von der Diagonal[e] in zwei Hälften geteilt.

> Dir ist schon bewusst, dass es sich gar nicht um ein »aktual vollständiges
> Quadrat« handelt, oder?

Mir schon, aber den Matheologen nicht.

> Vielmehr hast Du zwei Kordeln nebeneinander. Auf
> der einen sind alle rationalen Zahlen, auf der anderen alle natürlichen
> Zahlen aufgereiht. Du kannst jedem Element der einen Kordel ein Element
> der anderen Kordel zuordnen (dabei spielt die Reihenfolge keine Rolle).

Die Kordeln versperren lediglicg den Blick auf die Unsinnigkeit der Grundidee. Die Quadrate zeigen es ganz deutliuch: Wer an die Überdeckung aller Positionen durch eine verschwindend kleine Teilmenge glaubt, ist nicht mathematisch zurechnungsfähig. Schließlich funktioniert das ja selbst in der Matheologie nur unter ganz bestimmten Voraussetzungen. Ohne eine noch sichtbare Nummerierung der Quadrate könnte es es überhaupt nicht nachgeprüft werden, ob eine vollständige Überdeckung erzielt worden ist. Für die geometrische Betrachtung, ist die Nummerierung aber belanglos. Vollständige Überdeckung kann nicht erfolgen. (Und nach Cantor natürlich auch nicht. Da hat man keine vollständige Menge zur Verfügung.)

>
> Natürlich würde der Zuordnugsprozess, wenn er denn tatsächlich durchgeführt
> werden soll, nie zu einem Abschluss kommen, und zwar deshalb, weil jedes
> Element der einen und jedes Element der anderen Menge jeweils einen
> Nachfolger hat, egal an wievielter Stelle es auf der jeweiligen Kordel
> aufgereiht ist.

Man könnte den Zuordnungsprozess allgemein angeben, wenn das möglich wäre.

Gruß, WM

[Dieter Heidorn]

... funktioniert so:

* Die Cantorsche Abzählung bezieht sich auf die folgende Anordnung,
deren Anfang hier zur Veranschaulichung dargestellt wird:

i ^
|
6 | 21 27 34 42 51 61
5 | 15 20 26 33 41 50
4 | 10 14 19 25 32 40
3 | 6 9 13 18 24 31
2 | 3 5 8 12 17 23
1 | 1 2 4 7 11 16
--|------------------------------> j
1 2 3 4 5 6

Nach dem zu erkennenden Bildungsgesetz:

Anordnung der natürlichen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge in
Diagonalen (von rechts unten nach links oben) jeweils konstanter
Summe k = i + j,

kommt jede natürliche Zahl n e |N genau einmal vor.

* Mit der Cantorschen Funktion berechnet man die zu einem Paar (i,j)
nach obigem Anordnungsschema gehörige natürliche Zahl n:

--
| |Nx|N --> |N
f : |
| (i,j) |--> f(i,j) = 1/2 * (i + j - 2)*(i + j - 1) + i
--

Die Funktion f ist definiert für alle Paare (i;j) e |Nx|N.

* Wie leicht zu sehen ist, ist f injektiv:
Wenn n_1 = f(i_1,j_1) = f(i_2,j_2) = n_2 ist,
dann ist (i_1,j_1) = (i_2,j_2).

Weiter ist f surjektiv:
Sei n e |N eine beliebige natürliche Zahl. Dann ist n = f(i,j) für ein
bestimmtes Paar (i,j). Dieses Paar ergibt sich (nach einiger Rechnung)
zu:

i(n) = n - d(c(n))
j(n) = c(n) - i(n) + 2

mit c(n) = Floor(sqrt(2*n) - 1/2),
d(c(n)) = 1/2*c(n)*(c(n) + 1)

* Somit ist f bijektiv.

Die Umkehrfunktion ist mit

--
| |N ---> |Nx|N
f^(-1): |
| n |---> (i(n),j(n))
--

gegeben. Sie ist definiert für alle n e |N.

Dieter Heidorn

[Andreas Leitgeb]

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Vielleicht weil dieses Beispiel so frappant ist,

Jedes Milch Frappé ist mehr frappant als die (ω+1)te Neuauflage
irgendeines bizarren Nonsense-Korrolars deiner falschen Dogmen.

[Marcus Gloeder]

Hallo alle zusammen,

am 10.01.22 16:42, schrieb WM:
>Die Kordeln versperren lediglic[h] den Blick auf die Unsinnigkeit der Grundidee.

Nein. Sie zeigen, worum es geht.

>Die Quadrate zeigen es ganz deutliuch: Wer an die Überdeckung aller Positionen durch eine verschwindend kleine Teilmenge glaubt, ist nicht mathematisch zurechnungsfähig.

Du nimmst ein Argument, dass sich ganz offensichtlich auf *endliche* Mengen
bezieht und überträgst es einfach auf *abzählbar unendliche* Mengen, ohne
einen einzigen Gedanken daran zu verschwenden, dass das eventuell etwas
anderes sein könnte. Das ist ein Denkfehler, der von allen, die nicht auf
den Kopf gefallen oder ideologisch verblendet sind, sofort als solcher
erkannt wird.

Solange Du Deine Matrix irgendwo abschneidest (sowohl die Spalten als auch
die Zeilen), gilt Dein Argrument: die Karten, die die natürlichen Zahlen
abdecken, können dann nicht die ganze Matrix abdecken. Also: solange Du nur
einen *endlichen Teil* der Menge der rationalen Zahlen betrachtest, hast Du
immer weniger natürliche als rationale Zahlen. Das ist bei echten
Teilmengen *endlicher* Mengen immer so.

Nur hast Du es hier eben *nicht* mit endlichen Mengen zu tun. Beide Mengen,
die der rationalen und die der natürlichen Zahlen, sind abzählbar
unendlich. An dieser Stelle muss ich Dich bitten, die Kordeln wieder
auszupacken, sonst kanst Du nicht erkennen, worum es geht.

Auf beiden Kordeln sind unendlich viele Elemente aufgereiht. Bei beiden
Kordeln ist es so, dass jedes beliebige Element einen Nachfolger auf der
Kordel hat. Das bedeutet: jedem Element der einen Kordel kann ein Element
der anderen Kordel zugeordnet werden und umgekehrt. Auf keiner der beiden
Kordeln bleiben irgendwelche Elemente übrig.

Wer das nicht versteht, ist entweder auf den Kopf gefallen oder ideologisch
so verblendet, dass der Denkapparat einfach ausgeschaltet wird.

[Ganzhinterseher]

Marcus Gloeder schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 18:45:32 UTC+1:
> Hallo alle zusammen,
>
> am 10.01.22 16:42, schrieb WM:
> >Die Kordeln versperren lediglic[h] den Blick auf die Unsinnigkeit der Grundidee.
>
> Nein. Sie zeigen, worum es geht.

> >Die Quadrate zeigen es ganz deutlich: Wer an die Überdeckung aller Positionen durch eine verschwindend kleine Teilmenge glaubt, ist nicht mathematisch zurechnungsfähig.

> Du nimmst ein Argument, dass sich ganz offensichtlich auf *endliche* Mengen
> bezieht und überträgst es einfach auf *abzählbar unendliche* Mengen,

Im Gegenteil, genau das tut Cantor. Die Bijektion ist nur für endliche Mengen ein Beweis der Gleichzahligkeit.

Aber davon ganz abgesehen: Wer glaubt, dass eine bestimmte Anordnung der Plätzchen geeignet ist, die ganze Matrix zu überdecken, während andere Anordnungen das nicht tun und im Extremfalle sogar alle Plätzchen verschwinden lassen, der hat einfach den Bezug zur Realität der Mathematik verloren.

Stell Dir vor, dass die Abdrücke der natürlichen Zahlen unlesbar sind oder gar nicht vorhanden. Für die geometrische Aufgabe ist die Anordnung einzelner Plätzchen jedenfalls vollkommen schnuppe.

> Also: solange Du nur
> einen *endlichen Teil* der Menge der rationalen Zahlen betrachtest, hast Du
> immer weniger natürliche als rationale Zahlen. Das ist bei echten
> Teilmengen *endlicher* Mengen immer so.
>
> Nur hast Du es hier eben *nicht* mit endlichen Mengen zu tun.

In *jeder* Zeile sitzen eine natürliche Zahl und unendlich viele nicht überdeckte Brüche. Das ändert sich auch in unendlich vielen Zeilen nicht. Und wo man ein Plätzchen wegnimmt, das erscheint der unbedeckte Platz. Das ändert sich auch in der unendlichen Matrix nicht. Eine Vermehrung der Plätzchen und damit die vollständige Überdeckung ist geometrisch ausgeschlossen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Dieter Heidorn schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 18:18:01 UTC+1:
> ... funktioniert so:
>
> * Die Cantorsche Abzählung bezieht sich auf die folgende Anordnung,
> deren Anfang hier zur Veranschaulichung dargestellt wird:

Geometrisch ist jede Anordnung gleichwertig. Das Ergebnis hängt nicht von der Nummerierung der Quadrate ab. Die gegenteilige Ansicht ist absurd.

> Weiter ist f surjektiv:
> Sei n e |N eine beliebige natürliche Zahl.

Ja. bitte eine, die unterhalb der Diagonale als Index dient.

> gegeben. Sie ist definiert für alle n e |N.

Nein, nur für alle n, die ℕ nicht ausschöpfen
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Die anderen erwischst Du nie, sie sind aber da, denn
|ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = 0.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

In meinem Beispiel regiert die Geometrie. Sie ist von Kärtchenaufschriften völlig unabhängig.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Monday, January 10, 2022 at 7:57:24 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Dieter Heidorn schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 18:18:01 UTC+1:
> >

> > ... Sie ist definiert für alle n e IN.
> >
> Nein, nur für alle n, die <blubber>

Sie sind wirklich selbst zum Scheißen zu blöde.

Hinweis: {n e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo} = IN.

Und nein, aus An e IN: |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo kann man NICHT auf |IN \ {1, 2, 3, ...}| = ℵo schließen, außer im Mückenland.

[Dieter Heidorn]

Ganzhinterseher schrieb:

> Dieter Heidorn schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 18:18:01 UTC+1:
>> ... funktioniert so:
>>
>> * Die Cantorsche Abzählung bezieht sich auf die folgende Anordnung,
>> deren Anfang hier zur Veranschaulichung dargestellt wird:
>
> Geometrisch ist jede Anordnung gleichwertig. Das Ergebnis hängt nicht von der Nummerierung der Quadrate ab.
>

Die Anordnung zur Cantorschen Diagonalabzählung der positiven Brüche
stellt eine bestimmte Abbildung f: |Nx|N --> |N dar, durch die jedem
Paar (i,j) (bzw. jedem Bruch i/j) eine ihn nummerierende natürliche Zahl
n zugeordnet wird. Die Cantorsche Funktion ist eine bijektive Abbildung,
den Nachweis kannst du in meinem posting vom 09.01.2022 21:46 (in deinem
"Kartoffelacker"-Thread) nachlesen. Die Menge der positiven Brüche ist
also abzählbar unendlich.

Einer deiner hilflosen Versuche, dagegen anzugehen, besteht darin, die
unechten Brüche n/1 mit den natürlichen Zahlen zu nummerieren. Das ist
natürlich keine bijektive Abbildung. Daraus zu schließen, dass die
positiven Brüche nicht abzählbar seien, ist jedoch absoluter Unfug,
denn:
Das Kriterium dafür, dass eine Menge M abzählbar unendlich ist,
lautet:
es gibt eine Bijektion zwischen M und |N.
Es lautet _nicht_:
jede Abbildung zwischen M und |N muss bijektiv sein.

Oder anders gesagt: Die Angabe _einer_ nicht-bijektiven Abbildung
zwischen M und |N bedeutet _nicht_ notwendig, dass M nicht abzählbar
unendlich wäre. Erst der Nachweis, dass es überhaupt keine bisjektive
Abbildung zwischen M und |N gibt, würde das erweisen.

Zu deiner obigen Aussage ist also zu sagen:
Im Falle der positiven Brüche kommt es sehr wohl auf die
Reihenfolge/Anordnung der Nummerierung an.
Dein Nummerierung ist völlig ohne jegliche Aussagekraft, da die Angabe
einer nicht-bijektiven Abbildung |Nx|N --> |N (oder auch |N --> |Nx|N)
nicht notwendig die Nichtabzählbarkeit von |Nx|N erweist.

>> Weiter ist f surjektiv:
>> Sei n e |N eine beliebige natürliche Zahl.
>
> Ja. bitte eine, die unterhalb der Diagonale als Index dient.
>

Was ist denn "die" Diagonale in |Nx|N?

Abgesehen von deiner Blödelei: Such' dir aus, welche natürliche Zahl n
dir gefällt. Dann kannst du mit der Umkehrfunktion der Cantor-Funktion
das mit ihr nummerierte Paar (i,j) (den Bruch i/j) berechnen:

--
| |N ---> |Nx|N
f^(-1): |
| n |---> (i(n),j(n))
--

Das zu n gehörige Paar ergibt sich zu:

i(n) = n - d(c(n))
j(n) = c(n) - i(n) + 2

mit c(n) = Floor(sqrt(2*n) - 1/2),
d(c(n)) = 1/2*c(n)*(c(n) + 1)

>> gegeben. Sie ist definiert für alle n e |N.
>
> Nein,

Doch. Alle auftretenden Terme sind für beliebiges n e |N definiert.
Dein Stuss liefert kein Kriterium, dass bestimmte n e |N nicht in f^(-1)
werden können:

> ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

=====
ℕ_def = ℕ , wie hier mehrfach gezeigt wurde.

Und die Aussage:

∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

ist eine mengentheoretische Trivialität.

Dieter Heidorn

[Marcus Glöder]

Hallo alle zusammen,

am 10.01.2022 um 19:51 schrieb Ganzhinterseher:
> In*jeder* Zeile sitzen eine natürliche Zahl und unendlich viele nicht überdeckte Brüche. Das ändert sich auch in unendlich vielen Zeilen nicht. Und wo man ein Plätzchen wegnimmt, das erscheint der unbedeckte Platz. Das ändert sich auch in der unendlichen Matrix nicht. Eine Vermehrung der Plätzchen und damit die vollständige Überdeckung ist geometrisch ausgeschlossen.

In der ersten Spalte stehen unendlich viele natürliche Zahlen. wenn Du
sukzessive dort Plätzchen wegnimmst bleiben immer noch unendlich viele
übrig, mit denen Du alle natürlichen Zahlen abdecken kannst. Auf diese
Weise deckst Du dann auch alle anderen rationalen Zahlen ab, ohne dass
dabei Lücken entstehen.

Es ist aber wirklich einfacher, das mit den Kordeln nachzuvollziehen.

[Marcus Glöder]

Hallo alle zusammen, werter WM,

oder vielleicht noch einmal etwas anders, wenn Du wirklich Kärtchen
haben willst.

Du hast einen Stapel von unendlich vielen Kärtchen, die mit den
natürlichen Zahlen durchnummeriert sind. Jetzt legst Du in Deiner Matrix
Karte 1 auf 1/1, Karte 2 auf 2/1, Karte 3 auf 1/2, Karte 4 auf 1/3,
Karte 5 auf 2/2, Karte 6 auf 3/1, Karte 7 auf 4/1, Karte 8 auf 3/2 usw.
Da Du unendlich viele Karten hast, kannst Du auf diese Weise die ganze
Matrix abdecken. Dass Du damit unendlich lange beschäftigt bist, spielt
für die Theorie keine Rolle. In der Praxis hätte das den Vorteil, dass
Du dann andere nicht mehr mit irgendeinem Unfug belästigst.

[Stefan Schmitz]

Am 10.01.2022 um 19:57 schrieb Ganzhinterseher:
> Dieter Heidorn schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 18:18:01 UTC+1:
>> ... funktioniert so:
>>
>> * Die Cantorsche Abzählung bezieht sich auf die folgende Anordnung,
>> deren Anfang hier zur Veranschaulichung dargestellt wird:
>
> Geometrisch ist jede Anordnung gleichwertig. Das Ergebnis hängt nicht von der Nummerierung der Quadrate ab. Die gegenteilige Ansicht ist absurd.
>
>> Weiter ist f surjektiv:
>> Sei n e |N eine beliebige natürliche Zahl.
>
> Ja. bitte eine, die unterhalb der Diagonale als Index dient.
>
>> gegeben. Sie ist definiert für alle n e |N.
>
> Nein, nur für alle n, die ℕ nicht ausschöpfen

Welches n schöpft denn ℕ aus?

[Dieter Heidorn]

Stefan Schmitz schrieb:

Natürlich das letzte n:

[WM] |ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = 0.

_So_ geht Mengenlehre in Augsburg... ;-)

Dieter Heidorn

[Fritz Feldhase]

On Monday, January 10, 2022 at 9:58:10 PM UTC+1, Dieter Heidorn wrote:
> Stefan Schmitz schrieb:

> >
> > Welches n schöpft denn ℕ aus?
> >
> Natürlich das letzte n:
>

> |ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = 0.

Aber nicht doch. Da es (bekanntlich) keine letzte natürliche Zahl gibt, beweist das nur, dass IN nicht *aktual* enendlich sein kann. Mit anderen Worten: IN ist Mückenheim-unendlich!

[Ganzhinterseher]

Marcus Glöder schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 21:10:14 UTC+1:

> oder vielleicht noch einmal etwas anders, wenn Du wirklich Kärtchen
> haben willst.
>
> Du hast einen Stapel von unendlich vielen Kärtchen, die mit den
> natürlichen Zahlen durchnummeriert sind. Jetzt legst Du in Deiner Matrix
> Karte 1 auf 1/1, Karte 2 auf 2/1, Karte 3 auf 1/2, Karte 4 auf 1/3,
> Karte 5 auf 2/2, Karte 6 auf 3/1, Karte 7 auf 4/1, Karte 8 auf 3/2 usw.
> Da Du unendlich viele Karten hast, kannst Du auf diese Weise die ganze
> Matrix abdecken.

Cantor kann es nicht. Er legt die Hälfte seiner Kärtchen auf Brüche < 1 ab. Es gibt aber genau so viele in jedem anderen Einheitsintervall, wobei mit genau so viele genau so viele gemeint sind.

> Dass Du damit unendlich lange beschäftigt bist, spielt
> für die Theorie keine Rolle.

Interessant wäre allerdings, wann die erste unterhalb der Diagonal ausgelegt wird.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Keines natürlich:

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Die Ausschöpfung kann nur kollektiv erfolgen:

|ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = 0 .

{0, 1, 2, 3, ..., ω} \ ℕ = {0, ω}.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Marcus Glöder schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 20:54:19 UTC+1:
> Hallo alle zusammen,
>
> am 10.01.2022 um 19:51 schrieb Ganzhinterseher:
> > In*jeder* Zeile sitzen eine natürliche Zahl und unendlich viele nicht überdeckte Brüche. Das ändert sich auch in unendlich vielen Zeilen nicht. Und wo man ein Plätzchen wegnimmt, das erscheint der unbedeckte Platz. Das ändert sich auch in der unendlichen Matrix nicht. Eine Vermehrung der Plätzchen und damit die vollständige Überdeckung ist geometrisch ausgeschlossen.
>
> In der ersten Spalte stehen unendlich viele natürliche Zahlen. wenn Du
> sukzessive dort Plätzchen wegnimmst bleiben immer noch unendlich viele
> übrig, mit denen Du alle natürlichen Zahlen abdecken kannst.

Nein, es werden Zahlen aufgedeckt. Sie bleiben aufgedeckt, bis sie wieder zugedeckt werden. Aber dafür müssen dann andere aufgedeckt werden.

> Auf diese
> Weise deckst Du dann auch alle anderen rationalen Zahlen ab, ohne dass
> dabei Lücken entstehen.

Wenn es für endliche Matrizen nicht klappt, wieso sollte es dann für unendliche klappen. Bedenke, dass nicht nur die erste Spalte unendlich ist, sondern auch die übrigen Spalten.
>
Wenn zwei Mengen wie {0, 1} und {1} unterschiedliche Anzahl besitzen, so wird das unverändert fortbestehen, wenn zu beiden Mengen gleiches addiert wird. Auch wenn das ohne Ende geschieht. Wer glaubt, im Unendlichen ändere sich dies, der ist ein Matheologe.

Ceterum censeo: Die geometrische Überdeckung kann nicht von irgendwelchen Kärtchennummern abhängen. Sie funktioniert immer oder nie. Hier: nie.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Dieter Heidorn schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 20:54:10 UTC+1:
> Ganzhinterseher schrieb:
> > Dieter Heidorn schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 18:18:01 UTC+1:
> >> ... funktioniert so:
> >>
> >> * Die Cantorsche Abzählung bezieht sich auf die folgende Anordnung,
> >> deren Anfang hier zur Veranschaulichung dargestellt wird:
> >
> > Geometrisch ist jede Anordnung gleichwertig. Das Ergebnis hängt nicht von der Nummerierung der Quadrate ab.
> >
> Die Anordnung zur Cantorschen Diagonalabzählung der positiven Brüche
> stellt eine bestimmte Abbildung f: |Nx|N --> |N dar, durch die jedem
> Paar (i,j) (bzw. jedem Bruch i/j) eine ihn nummerierende natürliche Zahl
> n zugeordnet wird.

Unterhalb der Diagonale wird was zugeordnet?

>
> Einer deiner hilflosen Versuche, dagegen anzugehen, besteht darin, die
> unechten Brüche n/1 mit den natürlichen Zahlen zu nummerieren. Das ist
> natürlich keine bijektive Abbildung.

Die Gleichzahligkeit wird dadurch bewiesen.

> Das Kriterium dafür, dass eine Menge M abzählbar unendlich ist,
> lautet:
> es gibt eine Bijektion zwischen M und |N.
> Es lautet _nicht_:
> jede Abbildung zwischen M und |N muss bijektiv sein.

Warum nicht?

>
> Oder anders gesagt: Die Angabe _einer_ nicht-bijektiven Abbildung
> zwischen M und |N bedeutet _nicht_ notwendig, dass M nicht abzählbar
> unendlich wäre.

Warum?

> Erst der Nachweis, dass es überhaupt keine bisjektive
> Abbildung zwischen M und |N gibt, würde das erweisen.

Der Nachweis besteht darin, dass eine Überdeckung der Matrix von der Zuordnung der Quadrate nicht abhängen kann. Sie versagt in jedem Falle.

>
> Zu deiner obigen Aussage ist also zu sagen:
> Im Falle der positiven Brüche kommt es sehr wohl auf die
> Reihenfolge/Anordnung der Nummerierung an.

Falsch. Die Quadrate können nummeriert oder nicht nummeriert nicht ausreichen.

> >
> > Ja. bitte eine, die unterhalb der Diagonale als Index dient.
> >
> Was ist denn "die" Diagonale in |Nx|N?

Ein Quadrat |Nx|N hätte eine, falls es existierte.

Gruß, WM

[Marcus Glöder]

Hallo alle zusammen, werter WM,

Am 10.01.2022 um 22:42 schrieb WM:
> Nein, es werden Zahlen aufgedeckt. Sie bleiben aufgedeckt, bis sie wieder zugedeckt werden. Aber dafür müssen dann andere aufgedeckt werden.

Die Menge der natürlichen Zahlen (mit oder ohne Null ist in diesem Fall
gleichgültig) ist abzählbar unendlich. Deshalb gibt es immer Karten, mit
denen die aufgedeckten Plätze wieder zugedeckt werden können.

Bitte sieh Dir mindestens eines der folgenden Videos an und versuche den
Inhalt zu verstehen:

Christian Spannagel: Hilberts Hotel
https://youtu.be/XTsaZRKx9UI

Weitz/HAW Hamburg: Hilberts Hotel (unendliche Mengen)
https://youtu.be/dDKseMoIxoc

Weitz/HAW Hamburg: Hilberts Hotel ‒ verschiedene abzählbar unendliche Mengen
https://youtu.be/-H5qkRjnQc8

DorFuchs: Hilberts Hotel, Zahlen und Unendlichkeiten
https://youtu.be/bGcIzRGU5sU

> Gruß, WM

[Marcus Glöder]

Am 11.01.2022 um 00:56 schrieb Marcus Glöder:
> Hallo alle zusammen, werter WM,
>

> Bitte sieh Dir mindestens eines der folgenden Videos an und versuche den
> Inhalt zu verstehen:

Hier sind noch zwei Videos, die sich mit Cantors erstem und zweitem
Diagonalargument beschäftigen, im Unterschied zu WM von einem echten
Mathematiker.

Weitz/HAW Hamburg: Abzählbarkeit der Menge der ganzen und der Menge der
rationalen Zahlen
https://youtu.be/IlG_wyXwty0

Weitz/HAW Hamburg: Die Menge der reellen Zahlen ist nicht abzählbar
https://youtu.be/Wmb6yDIrAYE

> Viele Grüße
> Marcus

[Ganzhinterseher]

Marcus Glöder schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 00:56:28 UTC+1:
> Hallo alle zusammen, werter WM,
> Am 10.01.2022 um 22:42 schrieb WM:
> > Nein, es werden Zahlen aufgedeckt. Sie bleiben aufgedeckt, bis sie wieder zugedeckt werden. Aber dafür müssen dann andere aufgedeckt werden.
> Die Menge der natürlichen Zahlen (mit oder ohne Null ist in diesem Fall
> gleichgültig) ist abzählbar unendlich. Deshalb gibt es immer Karten, mit
> denen die aufgedeckten Plätze wieder zugedeckt werden können.

Die gibt es nur, wenn sie vorherdecken ein Matrixelement aufdecken. Das ist auch im Unendlichen nicht anders. Oder liegen die separat in einer dunklen Ecke.

>
> Bitte sieh Dir mindestens eines der folgenden Videos an und versuche den
> Inhalt zu verstehen:

Diese Videos sind alle Makulatur, denn Lageveränderung von einem, mehreren, vielen oder allen Quadraten in der Matrix

, 1/2, 1/3, 1/4, ...
, 2/2, 2/3, 2/4, ...
, 3/2, 3/3, 3/4, ...
, 4/2, 4/3, 4/4, ...
...

kann das Verhältnis zwischen bedeckter und unbedeckter Fläche, hier Null, nicht ändern.

Gruß, WM

[Ralf Goertz]

Am Mon, 10 Jan 2022 13:48:47 -0800 (PST)
schrieb Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de>:

> Dieter Heidorn schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 20:54:10 UTC+1:

> > Das Kriterium dafür, dass eine Menge M abzählbar unendlich ist,
> > lautet: es gibt eine Bijektion zwischen M und |N. Es lautet _nicht_:
> > jede Abbildung zwischen M und |N muss bijektiv sein.
>
> Warum nicht?

Das ist nicht dein Ernst, oder? Das ist doch schon im endlichen der
Fall: Von den Abbildungen f und g von M:={1,2} nach M':={1,2} mit f(a)=a
und g(a)=1 (jeweils für alle a in M) ist eine eine Bijektion und die
andere nicht. Du wirst (aus Symmetrie- oder welchen Gründen auch immer)
zugeben müssen, dass obwohl es nichtbijektive Abbildungen zwischen M und
M' gibt, trotzdem |M|=|M'| gilt.

[Ganzhinterseher]

Mein Ernst: Wenn eine bijektive Abbildung besteht, dann wird jede injektive Abbildung wieder eine bijektive Abbildung sein.

Insbesondere: Wenn eine bijektive Abbildung besteht, dann wird jede Transposition wieder zu einer bijektiven Abbildung führen. Damit wäre es möglich, aus einer vollständigen Nummerierung der rationalen Zahlen eine Wohlordnung nach Größe zu erzeugen, und das geht so:
Man nimmt Cantors oder sonst eine Nummerierung her, teilt Paare ab
(1/1, 1/2), (2/1, 1/3), (3/1, 1/4), (2/3, 3/2), (4/1, 1/5), (5/1, 1/6), ...
und ordnet jedes Paar nach Größe:
1/2, 1/1, 1/3, 2/1, 1/4, 3/1, 2/3, 3/2, 1/5, 4/1, 1/6, 5/1, ...
Dann teilt man wieder Paare ab, diesmal unter Auslassung der ersten Zahl
1/2, (1/1, 1/3), (2/1, 1/4), (3/1, 2/3), (3/2, 1/5), (4/1, 1/6), (5/1, ...
und ordnet die Paare wieder nach Größe
1/2, 1/3, 1/1, 1/4, 2/1, 2/3, 3/1, 1/5, 3/2, 1/6, 4/1, ...
Nun teilt man wieder Paare ab, diesmal wieder mit Einschluss der ersten Zahl und ordnet wieder nach Größe, dann dasselbe wieder ohne die erste Zahl und so fort. Nach ℵ₀ Schritten, die natürlich auch als Funktion automatisiert werden könnten, wären alle positiven Brüche nach Größe geordnet. Eine Prämisse kann also nicht gelten: Entweder keine Abzählung oder kein anwendbares ℵ₀.

Gruß, WM

[Ralf Goertz]

Am Tue, 11 Jan 2022 03:17:26 -0800 (PST)

schrieb Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de>:

> Ralf Goertz schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 09:24:39 UTC+1:
> > Am Mon, 10 Jan 2022 13:48:47 -0800 (PST)
> > schrieb Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de>:
> > > Dieter Heidorn schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 20:54:10
> > > UTC+1:
> >
> > > > Das Kriterium dafür, dass eine Menge M abzählbar unendlich ist,
> > > > lautet: es gibt eine Bijektion zwischen M und |N. Es lautet
> > > > _nicht_: jede Abbildung zwischen M und |N muss bijektiv sein.
> > >
> > > Warum nicht?
> > Das ist nicht dein Ernst, oder? Das ist doch schon im endlichen der
> > Fall: Von den Abbildungen f und g von M:={1,2} nach M':={1,2} mit
> > f(a)=a und g(a)=1 (jeweils für alle a in M) ist eine eine Bijektion
> > und die andere nicht. Du wirst (aus Symmetrie- oder welchen Gründen
> > auch immer) zugeben müssen, dass obwohl es nichtbijektive
> > Abbildungen zwischen M und M' gibt, trotzdem |M|=|M'| gilt.
>
> Mein Ernst: Wenn eine bijektive Abbildung besteht, dann wird jede
> injektive Abbildung wieder eine bijektive Abbildung sein.

Im Endlichen trivial, bei unendlichen Mengen falsch, aber von injektiv
steht da oben sowieso nichts. Aus „Zwei Mengen sind gleich mächtig“ (im
Endlichen „haben gleich viele Elemente“) folgt, es gibt mindestens eine
Bijektion zwischen diesen Mengen. Es folgt aber im Allgemeinen nicht,
dass jede Abbildung zwischen diesen Mengen eine Bijektion ist. Siehe
Beispiel.

[JVR]

Also, bitte geben Sie die Funktion an.
Warum konnten Sie keine solche Funktion finden?
Vielleicht weil es keine gibt?
Soll ich Ihnen erklären, was man in der Mathematik unter einer Funktion versteht?

[Ganzhinterseher]

Ralf Goertz schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 12:58:15 UTC+1:
> Am Tue, 11 Jan 2022 03:17:26 -0800 (PST)
> schrieb Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de>:
>
> > Ralf Goertz schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 09:24:39 UTC+1:
> > > Am Mon, 10 Jan 2022 13:48:47 -0800 (PST)

> > Mein Ernst: Wenn eine bijektive Abbildung besteht, dann wird jede
> > injektive Abbildung wieder eine bijektive Abbildung sein.
> Im Endlichen trivial, bei unendlichen Mengen falsch,

Falsch. Es ist genau die Eigenschaft einer Bijektion, auf die Cantor seine Mengenlehre gestützt hat.

> aber von injektiv
> steht da oben sowieso nichts.

Dass ich keine Abbildungen aller Urbilder auf einen Bildpunkt gemeint habe, kannst Du Dir wohl denken.

> Aus „Zwei Mengen sind gleich mächtig“ (im
> Endlichen „haben gleich viele Elemente“) folgt, es gibt mindestens eine
> Bijektion zwischen diesen Mengen.

Nein, es folgt ebenfalls, dass injektive Abbildung wieder eine bijektive Abbildung ist. Weshalb wird das eine beibehalten, das andere aber nicht? Cantor hat es zunächst beibehalten. Dann hat er festgestellt, dass es nicht geht. Und nun stellen wir fest, dass auch der Rest nicht geht, denn wer glaubt, durch Hütchenspiel in

, 1/2, 1/3, 1/4, ...
, 2/2, 2/3, 2/4, ...
, 3/2, 3/3, 3/4, ...
, 4/2, 4/3, 4/4, ...
...

die gesamte Matrix zu überdecken, steht außerhalb der Mathematik

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, January 11, 2022 at 1:09:10 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

Saudummer Scheißdreck.

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 13:06:29 UTC+1:
> On Tuesday, January 11, 2022 at 12:17:28 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> > Insbesondere: Wenn eine bijektive Abbildung besteht, dann wird jede Transposition wieder zu einer bijektiven Abbildung führen. Damit wäre es möglich, aus einer vollständigen Nummerierung der rationalen Zahlen eine Wohlordnung nach Größe zu erzeugen, und das geht so:
> > Man nimmt Cantors oder sonst eine Nummerierung her, teilt Paare ab
> > (1/1, 1/2), (2/1, 1/3), (3/1, 1/4), (2/3, 3/2), (4/1, 1/5), (5/1, 1/6), ...
> > und ordnet jedes Paar nach Größe:
> > 1/2, 1/1, 1/3, 2/1, 1/4, 3/1, 2/3, 3/2, 1/5, 4/1, 1/6, 5/1, ...
> > Dann teilt man wieder Paare ab, diesmal unter Auslassung der ersten Zahl
> > 1/2, (1/1, 1/3), (2/1, 1/4), (3/1, 2/3), (3/2, 1/5), (4/1, 1/6), (5/1, ...
> > und ordnet die Paare wieder nach Größe
> > 1/2, 1/3, 1/1, 1/4, 2/1, 2/3, 3/1, 1/5, 3/2, 1/6, 4/1, ...
> > Nun teilt man wieder Paare ab, diesmal wieder mit Einschluss der ersten Zahl und ordnet wieder nach Größe, dann dasselbe wieder ohne die erste Zahl und so fort. Nach ℵ₀ Schritten, die natürlich auch als Funktion automatisiert werden könnten, wären alle positiven Brüche nach Größe geordnet. Eine Prämisse kann also nicht gelten: Entweder keine Abzählung oder kein anwendbares ℵ₀.
>

> "Nach ℵ₀ Schritten, die natürlich auch als Funktion automatisiert werden könnten,"
> Also, bitte geben Sie die Funktion an.

Es wäre nicht weiter schwierig, eine Anweisung für einen Automaten zu erstellen, der auch ohne künstliche Intelligenz die Aufgabe ausführte. Meine obige Beschreibung sollte schon ausreichen.

> Warum konnten Sie keine solche Funktion finden?

Weil sie nur dann sinnvoll wäre, wenn man alle Brüche erreichen könnte, was bekanntlich nicht geht. Cantor ist ein Hochstapler.

> Vielleicht weil es keine gibt?

Genau. Um dunkle Zahlen kann man keine Abteilungsklammern setzen. Ich sagte ja bereits, dass eine der Prämissen falsch sein müsse.

> Soll ich Ihnen erklären, was man in der Mathematik unter einer Funktion versteht?

Hast Du es aus meinem Buch gelernt? Dann weiß ich es schon.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, January 11, 2022 at 1:45:10 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> Cantor ist ein Hochstapler.

https://de.wikipedia.org/wiki/Projektion_(Psychoanalyse)

[Ralf Goertz]

Am Tue, 11 Jan 2022 04:09:08 -0800 (PST)

schrieb Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de>:

> Ralf Goertz schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 12:58:15 UTC+1:
> > Am Tue, 11 Jan 2022 03:17:26 -0800 (PST)
> > schrieb Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de>:
> >
> > > Ralf Goertz schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 09:24:39
> > > UTC+1:
> > > > Am Mon, 10 Jan 2022 13:48:47 -0800 (PST)
>
> > > Mein Ernst: Wenn eine bijektive Abbildung besteht, dann wird jede
> > > injektive Abbildung wieder eine bijektive Abbildung sein.
> > Im Endlichen trivial, bei unendlichen Mengen falsch,
>
> Falsch. Es ist genau die Eigenschaft einer Bijektion, auf die Cantor
> seine Mengenlehre gestützt hat.
>
> > aber von injektiv
> > steht da oben sowieso nichts.
>
> Dass ich keine Abbildungen aller Urbilder auf einen Bildpunkt gemeint
> habe, kannst Du Dir wohl denken.

Nein, das kann ich mir nicht denken, bei dem was du an merkwürdigen
Äußerungen so von dir gibst. Außerdem gibt's ja noch andere
Möglichkeiten nichtbijektiver Abbildungen, als stur alles auf einen Wert
abzubilden, nimm zum Beispiel f:ℕ -> ℕ mit f(n)=n mod 4711. Es muss
nicht jede Abbildung zwischen zwei Mengen bijektiv sein, wenn es *eine*
solche gibt, denn das war deine Frage. Zur Erinnerung:

[JVR]

On Tuesday, January 11, 2022 at 1:45:10 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

Es wäre ein leichtes die Funktion anzugeben ...
Aber es gibt sie nicht ...
In dem Fall, bitte den Beweis nachliefern, dafür dass es sie nicht gibt;
und vielleicht sogar, wieso man sie trotzdem leicht angeben kann.

Naja - schon gut, Mücke. Ist ja alles nur Tierquälerei. Aus eine Mücke
wird niemals ein Sibirischer Tiger.

[Marcus Gloeder]

Hallo alle zusammen, werter WM,

am 11.01.22 08:34, schrieb WM:

>Die gibt es nur, wenn sie vorherdecken ein Matrixelement aufdecken. Das ist auch im Unendlichen nicht anders. Oder liegen die separat in einer dunklen Ecke.

Mal abgesehen vom verkorksten Deutsch: Du tust so, als gäbe es nur endlich
viele Karten. Es sind aber *abzählbar unendlich* viele. Bitte schau Dir zu
dem Begriff noch einmal die Videos an. Hinweis: Es gibt in Hilberts Hotel
keinen »letzten Gast«.

>Diese Videos sind alle Makulatur, […]

Wer nicht lernen *will* ist für die Wissenschaft verloren. Da ist nichts zu
machen.

[Ganzhinterseher]

Marcus Gloeder schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 17:57:02 UTC+1:
> Hallo alle zusammen, werter WM,
> am 11.01.22 08:34, schrieb WM:

> >Du tust so, als gäbe es nur endlich
> viele Karten. Es sind aber *abzählbar unendlich* viele.

Es gibt in jeder Zeile eine. Wo eine weggenommen wird, da entsteht eine Lücke. Eine andere wird geschlossen. Die Zahl der bedeckten Matrixelemente ändert sich nie. Wer das nicht erkennt, hat keine mathematische Kompetenz. Man kann für jede Zeile das Verhältnis bedeckter zu unbedeckten Matrixelementen finden. Es ist 1/(|ℕ| - 1) = 1/ℵo = 0. Es gilt für jede Zeile, egal ob es endlich oder unendlich viele sind. Und es kann sich durch Umordnung nicht ändern. Wo eines bedeckt wird, muss ein anderes aufgedeckt werden. Wer das nicht beherzigt, sollte der Mathematik Ade sagen- falls er sie jemals kennengelernt hat.

Und wenn die Auslegung der Karten nicht nach Cantor geschieht, dann kann es sein, dass fast die gesamte Matrix bloß liegt. Mehr noch, wenn die schwachen Abdrücke auf den Rückseiten der Karten verschwinden oder gar nicht vorhanden waren, dann kann ein Cantorianer das Ergebnis nicht voraussagen. Ich aber kann es!

Und außerdem: Alle Karten können bei ungeschickter Anordnung verschwinden. Beweis: Belege die zweite Spalte mit schwarzen Karten und arrangiere sie so, dass die ganze Matrix mit solchen überdeckt ist. Dann sind die weißen verschwunden. Also ein völlig unbestimmtes Ergebnis. Das ist geometrisch natürlich absolut ausgeschlossen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 15:37:19 UTC+1:
> On Tuesday, January 11, 2022 at 1:45:10 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > JVR schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 13:06:29 UTC+1:
> > > On Tuesday, January 11, 2022 at 12:17:28 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> >
> > > > Insbesondere: Wenn eine bijektive Abbildung besteht, dann wird jede Transposition wieder zu einer bijektiven Abbildung führen. Damit wäre es möglich, aus einer vollständigen Nummerierung der rationalen Zahlen eine Wohlordnung nach Größe zu erzeugen, und das geht so:
> > > > Man nimmt Cantors oder sonst eine Nummerierung her, teilt Paare ab
> > > > (1/1, 1/2), (2/1, 1/3), (3/1, 1/4), (2/3, 3/2), (4/1, 1/5), (5/1, 1/6), ...
> > > > und ordnet jedes Paar nach Größe:
> > > > 1/2, 1/1, 1/3, 2/1, 1/4, 3/1, 2/3, 3/2, 1/5, 4/1, 1/6, 5/1, ...
> > > > Dann teilt man wieder Paare ab, diesmal unter Auslassung der ersten Zahl
> > > > 1/2, (1/1, 1/3), (2/1, 1/4), (3/1, 2/3), (3/2, 1/5), (4/1, 1/6), (5/1, ...
> > > > und ordnet die Paare wieder nach Größe
> > > > 1/2, 1/3, 1/1, 1/4, 2/1, 2/3, 3/1, 1/5, 3/2, 1/6, 4/1, ...
> > > > Nun teilt man wieder Paare ab, diesmal wieder mit Einschluss der ersten Zahl und ordnet wieder nach Größe, dann dasselbe wieder ohne die erste Zahl und so fort. Nach ℵ₀ Schritten, die natürlich auch als Funktion automatisiert werden könnten, wären alle positiven Brüche nach Größe geordnet. Eine Prämisse kann also nicht gelten: Entweder keine Abzählung oder kein anwendbares ℵ₀.
> > >
> > > "Nach ℵ₀ Schritten, die natürlich auch als Funktion automatisiert werden könnten,"
> > > Also, bitte geben Sie die Funktion an.
> > Es wäre nicht weiter schwierig, eine Anweisung für einen Automaten zu erstellen, der auch ohne künstliche Intelligenz die Aufgabe ausführte. Meine obige Beschreibung sollte schon ausreichen.
> > > Warum konnten Sie keine solche Funktion finden?
> > Weil sie nur dann sinnvoll wäre, wenn man alle Brüche erreichen könnte, was bekanntlich nicht geht. Cantor ist ein Hochstapler.
> > > Vielleicht weil es keine gibt?
> > Genau. Um dunkle Zahlen kann man keine Abteilungsklammern setzen. Ich sagte ja bereits, dass eine der Prämissen falsch sein müsse.
> > > Soll ich Ihnen erklären, was man in der Mathematik unter einer Funktion versteht?
> > Hast Du es aus meinem Buch gelernt? Dann weiß ich es schon.
> >

> Es wäre ein leichtes die Funktion anzugeben ...

Ich habe ein Verfahren angegeben. Muss jede Funktion eine geschlossene Formel haben? Das war zu Eulers Zeiten so.

Könnte man bis omega und darüber hinaus abzählen, wie es zum Beispiel Hausdorff noch geglaubt hat, dann wäre die Ausführung der Umordnung nach Größe ein Klacks.

Gruß, WM

[Marcus Gloeder]

Hallo alle zusammen, werter WM,

am 11.01.22 19:24, schrieb WM:

>Marcus Glöder schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 17:57:02 UTC+1:
>> Du tust so, als gäbe es nur endlich viele Karten. Es sind aber *abzählbar unendlich* viele.
>
>Es gibt in jeder Zeile eine.

Und in der ersten Spalte abzählbar unendlich viele. Es gibt ebenfalls
abzählbar unendlich viele Zellen der Matrix. Deshalb kannst Du mit den
Karten der ersten Spalte die gesamte Matrix abdecken, inklusive der der
ersten Spalte.

Du solltest denken lernen.

[Dieter Heidorn]

Ganzhinterseher schrieb:
> Dieter Heidorn schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 20:54:10 UTC+1:
>> Ganzhinterseher schrieb:
>>> Dieter Heidorn schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 18:18:01 UTC+1:
>>>> ... funktioniert so:
>>>>
>>>> * Die Cantorsche Abzählung bezieht sich auf die folgende Anordnung,
>>>> deren Anfang hier zur Veranschaulichung dargestellt wird:
>>>
>>> Geometrisch ist jede Anordnung gleichwertig. Das Ergebnis hängt nicht von der Nummerierung der Quadrate ab.
>>>

Offensichtlich doch: Bei Cantors Abzählung wird jedes Paar (i,j) e |Nx|N
erfasst, bei deiner Zuordnung n |--> n/1 eben nicht.

>> Die Anordnung zur Cantorschen Diagonalabzählung der positiven Brüche
>> stellt eine bestimmte Abbildung f: |Nx|N --> |N dar, durch die jedem
>> Paar (i,j) (bzw. jedem Bruch i/j) eine ihn nummerierende natürliche Zahl
>> n zugeordnet wird.
>
> Unterhalb der Diagonale wird was zugeordnet?

Das steht doch da:
Durch die Abbildung f: |Nx|N --> |N wird jedem Paar (i,j) (bzw. jedem
Bruch i/j) eine ihn nummerierende natürliche Zahl n zugeordnet.

Die Funktionsgleichung der Cantor-Funktion macht keine Einschränkungen
für die Werte von i und j - sie ist eben für alle (i,j) e |Nx|N
definiert. Damit sind alle Lagen eines Punktes im Koordinatengitter
möglich, und für alle Punkte (Brüche) kann die zugehörige nummerierende
natürliche Zahl berechnet werden.

>> Einer deiner hilflosen Versuche, dagegen anzugehen, besteht darin, die
>> unechten Brüche n/1 mit den natürlichen Zahlen zu nummerieren. Das ist
>> natürlich keine bijektive Abbildung.
>
> Die Gleichzahligkeit wird dadurch bewiesen.
>

"Gleichzahligkeit" gibt's nur bei endlichen Mengen. Nur dort kann man
durch Angabe einer natürlichen Zahl ausdrücken, wie groß die Anzahl der
in der betrachteten Menge enthaltenen Elemente ist. Bei unendlichen
Mengen kann man keine "Anzahl" angeben, die mit einer natürlichen Zahl
beschrieben werden könnte. Daher ist der Begriff der "Anzahl" durch den
Begriff der Mächtigkeit verallgemeinert worden.

Deine Zuordnung |N --> |Nx|N, n |--> n/1 ist natürlich keine Bijektion,
sondern eine "versteckte" identische Abildung von |N auf |N.

>> Das Kriterium dafür, dass eine Menge M abzählbar unendlich ist,
>> lautet:
>> es gibt eine Bijektion zwischen M und |N.
>> Es lautet _nicht_:
>> jede Abbildung zwischen M und |N muss bijektiv sein.
>
> Warum nicht?

Weil es in sinnvoller Weise so definiert wurde. Bereits bei endlichen
Mengen ist das so. Beispiel:

M = {1, 2, 3, 4, 5}, N = {3, 6, 9, 12, 15}

f: 1 --> 3 g: 1 --> 3
2 --> 6 2 --> 9
3 --> 9 3 --> 9
4 --> 12 4 --> 12
5 --> 15 5 --> 3

f ist bijektiv, g ist nicht bijektiv.

Deine vergeblichen Versuche, Cantors Abzählung zu widerlegen, bestehen
ja ausschließlich darin, nicht-bijektive Zuordnungen zu betrachten.
Da das nicht die Existenz einer bijektiven Abbildung ausschließt, ist
das ohne Aussagekraft für die Frage nach Abzählbarkeit.

Wie schon mehrfach erwähnt: Zum Nachweis der Nicht-Abzählbarkeit einer
unendlichen Menge musst du nachweisen, dass es keine Bijektion zwischen
|N und der betrachteten Menge gibt.

Für die Abzählung von |Nx|N liegt die Cantor-Funktion f vor, die
nachweislich eine bijektive Abbildung f: |Nx|N --> |N ist. Gegen den
Nachweis der Bijektivität dieser Abbildung hast du bisher nichts
vorbringen können. Dein "Quadrate legen und verschieben" stellt dagegen
keine Bijektion dar, was aber nichts in Bezug auf die Abzählbarkeit von
|Nx|N aussagt.

>> Oder anders gesagt: Die Angabe _einer_ nicht-bijektiven Abbildung
>> zwischen M und |N bedeutet _nicht_ notwendig, dass M nicht abzählbar
>> unendlich wäre.
>
> Warum?
>

Weil es eine bijektive Abbildung geben könnte, was durch die Angabe
einer nicht-bijektiven Abbildung nicht notwendig ausgeschlossen ist.

>> Erst der Nachweis, dass es überhaupt keine bijektive

>> Abbildung zwischen M und |N gibt, würde das erweisen.
>
> Der Nachweis besteht darin, dass eine Überdeckung der Matrix von der Zuordnung der Quadrate nicht abhängen kann.

Das ist deine Zuordnung |N --> |Nx|N, n |--> n/1, und die ist natürlich
keine Bijektion, sondern eine "versteckte" identische Abbildung von |N
auf |N.

Die Angabe einer nicht-bijektiven Abbildung zwischen |N und |Nx|N
schließt jedoch nicht die Existenz einer bijektiven Abbildung aus.
Für die Cantorsche Anordnung gibt es eine bijektive Abbildung
f: |Nx|N --> |N. Bisher hast du nicht widerlegen können, dass die
angegebene Funktion eine Bijektion ist.

> Sie versagt in jedem Falle.

Deine Vorgehensweise versagt in jedem Falle, das ist richtig.

>> Zu deiner obigen Aussage ist also zu sagen:
>> Im Falle der positiven Brüche kommt es sehr wohl auf die
>> Reihenfolge/Anordnung der Nummerierung an.
>
> Falsch.

Nein. Für die Cantorsche Anordnung gibt es eine bijektive Abbildung
f: |Nx|N --> |N. Bisher hast du nicht widerlegen können, dass die
angegebene Funktion eine Bijektion ist.

> Die Quadrate können nummeriert oder nicht nummeriert nicht ausreichen.
>

"Ausreichen" ist wieder ein Begriff, der bei endlichen Mengen verwendet
werden kann, da der Begriff "Anzahl" dahintersteckt. Auch hier zeigt
sich wieder dein Hauptproblem: Beim Umgang mit Mengen bist du im Grunde
immer bei endlichen Mengen und den dort gültigen Begriffen und
Vorstellungen, die bei unendlichen Mengen nicht zutreffen. Wie man so
schön sagt: Wenn man nur einen Hammer hat, dann sieht alles aus wie ein
Nagel...

>>> Ja. bitte eine, die unterhalb der Diagonale als Index dient.
>>>
>> Was ist denn "die" Diagonale in |Nx|N?
>
> Ein Quadrat |Nx|N hätte eine, falls es existierte.
>

Ah ja - das ist dann die Gerade, auf der die Paare mit gleichen
Koordinaten liegen. Wenn das Paar (i_p,j_p) "oberhalb" der Diagonalen
liegt, dann liegt das Paar (j_p,i_p) "unterhalb" der Diagonalen, ebenso
alle Paare (k,i_p) mit k >= j_p.

Dieter Heidorn

[Ganzhinterseher]

Marcus Gloeder schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 20:42:00 UTC+1:
> Hallo alle zusammen, werter WM,
> am 11.01.22 19:24, schrieb WM:
> >Marcus Glöder schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 17:57:02 UTC+1:
> >> Du tust so, als gäbe es nur endlich viele Karten. Es sind aber *abzählbar unendlich* viele.
> >
> >Es gibt in jeder Zeile eine.
> Und in der ersten Spalte abzählbar unendlich viele.

Welche kann man denn da entnehmen, so dass kein Matrixelement bloßliegt und wieder eine benötigt wird?

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Dieter Heidorn schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 21:02:06 UTC+1:
> Ganzhinterseher schrieb:

> >>> Geometrisch ist jede Anordnung gleichwertig. Das Ergebnis hängt nicht von der Nummerierung der Quadrate ab.
> >>>
> Offensichtlich doch: Bei Cantors Abzählung wird jedes Paar (i,j) e |Nx|N
> erfasst, bei deiner Zuordnung n |--> n/1 eben nicht.

Also ist eine der beiden Alternativen falsch, denn Geometrisch ist jede Anordnung gleichwertig. Das Ergebnis hängt nicht von der Nummerierung der Quadrate ab. Unter keinen Umständen.

> > Unterhalb der Diagonale wird was zugeordnet?
> Das steht doch da:
> Durch die Abbildung f: |Nx|N --> |N wird jedem Paar (i,j) (bzw. jedem
> Bruch i/j) eine ihn nummerierende natürliche Zahl n zugeordnet.
>
> Die Funktionsgleichung der Cantor-Funktion macht keine Einschränkungen
> für die Werte von i und j - sie ist eben für alle (i,j) e |Nx|N
> definiert. Damit sind alle Lagen eines Punktes im Koordinatengitter
> möglich,

Nein. Es ist nicht einmal möglich, die Diagonale zu erreichen.

> >> Einer deiner hilflosen Versuche, dagegen anzugehen, besteht darin, die
> >> unechten Brüche n/1 mit den natürlichen Zahlen zu nummerieren. Das ist
> >> natürlich keine bijektive Abbildung.
> >
> > Die Gleichzahligkeit wird dadurch bewiesen.
> >
> "Gleichzahligkeit" gibt's nur bei endlichen Mengen.

Das ist falsch.

> Nur dort kann man
> durch Angabe einer natürlichen Zahl ausdrücken, wie groß die Anzahl der
> in der betrachteten Menge enthaltenen Elemente ist.

Gleichzahligkeit kann man auch anders ausdrücken, zum Beispiel durch Symmetrie: Die Menge von n und 1/n sind gleichzahlig.

> Bei unendlichen
> Mengen kann man keine "Anzahl" angeben, die mit einer natürlichen Zahl
> beschrieben werden könnte. Daher ist der Begriff der "Anzahl" durch den
> Begriff der Mächtigkeit verallgemeinert worden.

Cantor spricht von Anzahl und sogar ganzen transfiniten Zahlen. Das tue ich auch, allerdings im Gegensatz zu Cantor korrekt.

>
> Deine Zuordnung |N --> |Nx|N, n |--> n/1 ist natürlich keine Bijektion,

> sondern eine "versteckte" identische Abbildung von |N auf |N.

Naja, wenn man dunkle Zahlen abbilden könnte, wäre sie das. Und sie zeigt, dass die Brüche nicht nummeriert werden können, allerdings nicht so drastisch wie hier

, 1/2, 1/3, 1/4, ...
, 2/2, 2/3, 2/4, ...
, 3/2, 3/3, 3/4, ...
, 4/2, 4/3, 4/4, ...
...

, , , , ...
, , , , ...
, , , , ...
, , , , ...
...

> >> Nicht jede Abbildung zwischen M und |N muss bijektiv sein.

> >
> > Warum nicht?
> Weil es in sinnvoller Weise so definiert wurde. Bereits bei endlichen
> Mengen ist das so. Beispiel:

Ich meinte natürlich nur injektive Abbildungen. Das sollte aus dem Zusammenhang klar werden.

> Deine vergeblichen Versuche, Cantors Abzählung zu widerlegen, bestehen
> ja ausschließlich darin, nicht-bijektive Zuordnungen zu betrachten.
> Da das nicht die Existenz einer bijektiven Abbildung ausschließt, ist
> das ohne Aussagekraft für die Frage nach Abzählbarkeit.

Eine injektive nicht bijektive Abbildung schließt die Existenz einer bijektiven Abbildung aus. Das ist im Endlichen so und bleibt, wenn alles ins Unendliche übertragen wird, auch so.

>
> Wie schon mehrfach erwähnt: Zum Nachweis der Nicht-Abzählbarkeit einer
> unendlichen Menge musst du nachweisen, dass es keine Bijektion zwischen
> |N und der betrachteten Menge gibt.

Das ist ein matheologisches Totschlagargument. Es ist falsch, denn wie ich bewiesen habe, gibt es überhaupt keine Abbildung zwischen unendlichen Mengen.

>
> >> Erst der Nachweis, dass es überhaupt keine bijektive
> >> Abbildung zwischen M und |N gibt, würde das erweisen.
> >
> > Der Nachweis besteht darin, dass eine Überdeckung der Matrix von der Zuordnung der Quadrate nicht abhängen kann.
> Das ist deine Zuordnung |N --> |Nx|N, n |--> n/1,

Nein, es ist die Flächengleicheit vor und nach der Umordnung.

> > Die Quadrate können nummeriert oder nicht nummeriert nicht ausreichen.
> >
> "Ausreichen" ist wieder ein Begriff, der bei endlichen Mengen verwendet
> werden kann, da der Begriff "Anzahl" dahintersteckt.

Es steckt die einfache Tatsache dahinter, dass die Menge der geraden Zahlen keine ungerade Zahl enthält. Das sollte auch bei Dir gelten.

> >>> Ja. bitte eine, die unterhalb der Diagonale als Index dient.
> >>>
> >> Was ist denn "die" Diagonale in |Nx|N?
> >
> > Ein Quadrat |Nx|N hätte eine, falls es existierte.
> >
> Ah ja - das ist dann die Gerade,

Das ist die andere Diagonale. Ein Quadrat hat zwei. Aber da die zweite nicht erreicht wird, wird die Menge |Nx|N nicht vollständig indiziert.

Gruß, WM

[Dieter Heidorn]

Ganzhinterseher schrieb:

> Dieter Heidorn schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 21:02:06 UTC+1:
>> Ganzhinterseher schrieb:
>

>> Bei Cantors Abzählung wird jedes Paar (i,j) e |Nx|N
>> erfasst, bei deiner Zuordnung n |--> n/1 eben nicht.

>> [...] >> Durch die Abbildung f: |Nx|N --> |N wird jedem Paar (i,j) (bzw. jedem

>> Bruch i/j) eine ihn nummerierende natürliche Zahl n zugeordnet.
>>
>> Die Funktionsgleichung der Cantor-Funktion macht keine Einschränkungen
>> für die Werte von i und j - sie ist eben für alle (i,j) e |Nx|N
>> definiert. Damit sind alle Lagen eines Punktes im Koordinatengitter
>> möglich,
>
> Nein.

Aber gewiss doch. f(i,j) = 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i kann ohne
Einschränkungen für beliebige i,j e ℕ ausgewertet werden, wie bereits
die "Methode des scharfen Hinsehens" zeigt: Man beachte dazu die
Struktur des Funktionsterms.
Zum Beweis des Gegenteils müsstest du ein konkretes Paar (i,j) angeben,
für das der Funktionsterm f(i,j) nicht ausgewertet werden kann.

Das, was du anschließend bemerkt hast, hat mit der Frage nach der
Auswertbarkeit von f für beliebige i,j e ℕ nichts zu tun:

> Es ist nicht einmal möglich, die Diagonale zu erreichen.
>

Auch hier stellst du dir wieder selbst ein Bein, indem du - wie so oft -
Zusammenhänge aus dem Endlichen ins Unendliche transferieren willst.

Dabei ist die Sache recht einfach:

^
|
i

6

5 *
`
4 * *
` `
3 * * *
` ` `
2 * * * *
` ` ` `
1 * * * * *

1 2 3 4 5 6
j ->

Die Punkte * im Gitter sind durch ihre Koordinaten beschrieben: (i,j).

Sie liegen auf Zähldiagonalen , die von rechts unten nach links oben
verlaufen.

Diagonale Anzahl Summe
Nr. Punkte Punkte
-----------------------------------------
1 1 1
2 2 1 + 2
3 3 1 + 2 + 3
4 4 1 + 2 + 3 + 4
5 5 1 + 2 + 3 + 4 + 5
. . .
. . .
. . .
n n 1 + 2 + 3 + ... + n
. . .
. . .

Die Summe der Punkte auf einer Zähldiagonalen mit Nummer n ist gleich
der Dreieckszahl von n:

s(n) = 1/2*n*(n + 1) .

Die Zähldiagonalen beginnen jeweils bei den Punkten (1,j), j e ℕ.

Da jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat, hat auch jede
Zähldiagonale eine Nachfolger-Diagonale, welche beim Punkt (1, j+1)
beginnt. Die Menge Z_d der Zähldiagonalen ist also abzählbar unendlich:

|Z_d| = ℵ_0 .

Da gilt

∀n e ℕ: |ℕ\{1, 2, 3, ..., n}| = ℵ_0 ,

stehen nach dem Abzählen bis zu einer Diagonalen mit der Nummer n immer
noch ℵ_0 Zähldiagonalen zur Verfügung, um die auf das bis dahin
abgezählte letzte Paar (1,n) folgenden Paare abzuzählen.

Wie die Cantorsche Funktion und ihre Umkehrfunktion zeigen, ist die
Paarmenge ℕxℕ abzählbar. Die vermeintlich anschauliche "Widerlegung"
mit der "unerreichbaren Diagonalen" ist also ein Muster ohne Wert.

>>>> Einer deiner hilflosen Versuche, dagegen anzugehen, besteht darin, die
>>>> unechten Brüche n/1 mit den natürlichen Zahlen zu nummerieren. Das ist
>>>> natürlich keine bijektive Abbildung.
>>>
>>> Die Gleichzahligkeit wird dadurch bewiesen.
>>>
>> "Gleichzahligkeit" gibt's nur bei endlichen Mengen.
>
> Das ist falsch.
>

Nein, denn wie ich weiter schrieb, kann nur bei endlichen Mengen durch
Angabe einer natürlichen Zahl ausgedrückt werden, wie groß die Anzahl
der in der betrachteten Menge enthaltenen Elemente ist. Bei unendlichen

Mengen kann man keine "Anzahl" angeben, die mit einer natürlichen Zahl

beschrieben werden könnte - sonst müsstest du z.B. schon mit einer
natürlichen Zahl angeben können, wieviel natürliche Zahlen in ℕ
enthalten sind. Das geht nicht - daher ist der Begriff der "Anzahl"

durch den Begriff der Mächtigkeit verallgemeinert worden.

> Gleichzahligkeit kann man auch anders ausdrücken, zum Beispiel durch Symmetrie:
> Die Menge von n und 1/n sind gleichzahlig.

Die Mengen ℕ und M = {1/n : n e ℕ} können nicht "gleichzahlig" sein,
da es sich um unendliche Mengen handelt und daher keine "Anzahl" von
Elementen durch Angabe einer natürlichen Zahl benannt werden kann.
Richtig dagegen ist, dass beide Mengen gleichmächtig sind. Dies stellt
man dadurch fest, dass es eine bijektive Abbildung zwischen beiden
Mengen gibt:

f: ℕ --> M, n |--> 1/n = f(n)

> Cantor spricht von Anzahl

Nicht im gleichen Sinne wie Anzahl bei endlichen Mengen zu verstehen
ist.

>> "Ausreichen" ist wieder ein Begriff, der bei endlichen Mengen verwendet
>> werden kann, da der Begriff "Anzahl" dahintersteckt.
>
> Es steckt die einfache Tatsache dahinter, dass die Menge der geraden Zahlen
> keine ungerade Zahl enthält.

Und beide Mengen sind abzählbar, was man dadurch feststellt, dass es
Bijektionen zwischen ℕ und G bzw. ℕ und U gibt:

f: ℕ --> G, n |--> 2*n

g: ℕ --> U, n |--> 2*n - 1

Die drei Mengen sind also gleichmächtig:

|ℕ| = |G| = |U| = ℵ_0

>>>> Was ist denn "die" Diagonale in |Nx|N?
>>>
>>> Ein Quadrat |Nx|N hätte eine, falls es existierte.
>>>
>> Ah ja - das ist dann die Gerade,
>
> Das ist die andere Diagonale. Ein Quadrat hat zwei. Aber da die zweite nicht erreicht wird, wird die Menge |Nx|N nicht vollständig indiziert.
>

Auch das ist wieder eine Stelle, wo sich zeigt, dass Anschauungen und
Begriffe, die bei endlichen Mengen gelten, bei unendlichen Mengen nicht
zutreffen müssen. Die obige Überlegung zu den Zähldiagonalen hat
gezeigt, dass unabhängig davon, wie weit schon abgezählt wurde, immer
noch ℵ_0 Zähldiagonalen zur Verfügung stehen. Und das genügt, um alle
Paare zu nummerieren zu können.

Formal wird dies durch die Cantorsche Funktion und ihre Umkehrfunktion
gezeigt, die eine Bijektion zwischen ℕxℕ und ℕ ist. Erwähnt sei auch
noch, dass die Richtigkeit der Abzählung mittels der Cantor-Funktion
durch einen Induktionsbeweis erbracht werden kann.

Fazit: Mit Cantors Methode erreicht man alle Paare in ℕxℕ. Vermeintlich
anschauliche "Widerlegungen" gehen ins Leere, da sie lediglich bei
endlichen Mengen gelten und bei unendlichen Mengen nicht zutreffen.

Dieter Heidorn

[Marcus Gloeder]

Hallo alle zusammen,

am 12.01.22 21:35, schrieb Dieter Heidorn:

>Fazit: Mit Cantors Methode erreicht man alle Paare in ℕxℕ. Vermeintlich
>anschauliche "Widerlegungen" gehen ins Leere, da sie lediglich bei
>endlichen Mengen gelten und bei unendlichen Mengen nicht zutreffen.

Chapeau!

>Dieter Heidorn

[Ganzhinterseher]

Marcus Gloeder schrieb am Mittwoch, 12. Januar 2022 um 22:06:48 UTC+1:
> Hallo alle zusammen,
>
> am 12.01.22 21:35, schrieb Dieter Heidorn:
> >Fazit: Mit Cantors Methode erreicht man alle Paare in ℕxℕ.

Noch immer unbestätigte Behauptung.

> > Vermeintlich
> >anschauliche "Widerlegungen" gehen ins Leere, da sie lediglich bei
> >endlichen Mengen gelten und bei unendlichen Mengen nicht zutreffen.

Richtig, es ist keine anschauliche Widerlegung, sondern eine profund mathematische. Wenn jeder Term einer Funktion 0 ist, dann ist der Grenzwert nicht 1.

> Chapeau!

Wer seinen Hut vor solchem Unsinn zieht, braucht eigentlich keinen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Dieter Heidorn schrieb am Mittwoch, 12. Januar 2022 um 21:35:29 UTC+1:
> Ganzhinterseher schrieb:
> > Dieter Heidorn schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 21:02:06 UTC+1:
> >> Ganzhinterseher schrieb:
> >
> >> Bei Cantors Abzählung wird jedes Paar (i,j) e |Nx|N
> >> erfasst, bei deiner Zuordnung n |--> n/1 eben nicht.
> >> [...] >> Durch die Abbildung f: |Nx|N --> |N wird jedem Paar (i,j) (bzw. jedem
> >> Bruch i/j) eine ihn nummerierende natürliche Zahl n zugeordnet.
> >>
> >> Die Funktionsgleichung der Cantor-Funktion macht keine Einschränkungen
> >> für die Werte von i und j - sie ist eben für alle (i,j) e |Nx|N
> >> definiert. Damit sind alle Lagen eines Punktes im Koordinatengitter
> >> möglich,
> >
> > Nein.
> Aber gewiss doch. f(i,j) = 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i kann ohne
> Einschränkungen für beliebige i,j e ℕ ausgewertet werden

Du kannst nicht jede natürliche Zahl belieben. Für jede, die Du belieben kannst, gilt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo. (*)
Zusammenfassung aller dieser Zahlen liefert eine Menge, deren jedes Element beliebt werden kann, aber nicht zu den ℵo Zahlen zwischen ℕ_def und omega gehört. Dies durch allein durch die Mengenbildung zu erreichen ist unmöglich.

> Zum Beweis des Gegenteils müsstest du ein konkretes Paar (i,j) angeben,
> für das der Funktionsterm f(i,j) nicht ausgewertet werden kann.

Das sind die Elemente von ℕ \ ℕ_def. Sie sind nicht konkret angebbar, aber nach (*) nachweisbar.

> > Es ist nicht einmal möglich, die Diagonale zu erreichen.
> >
> Auch hier stellst du dir wieder selbst ein Bein, indem du - wie so oft -
> Zusammenhänge aus dem Endlichen ins Unendliche transferieren willst.

Das versucht Cantor.

> Da jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat, hat auch jede
> Zähldiagonale eine Nachfolger-Diagonale, welche beim Punkt (1, j+1)
> beginnt. Die Menge Z_d der Zähldiagonalen ist also abzählbar unendlich:

Auch für sie gilt: Die Menge der erreichbaren Zähldiagonalen ist kleiner als die Menge aller. Schon die größte wird nicht erreicht, nach der die Diagonalen wieder schrumpfen würden, würde tatsächlich ein vollständiges Quadrat vorliegen.

>
> Wie die Cantorsche Funktion und ihre Umkehrfunktion zeigen, ist die
> Paarmenge ℕxℕ abzählbar. Die vermeintlich anschauliche "Widerlegung"
> mit der "unerreichbaren Diagonalen" ist also ein Muster ohne Wert.

Erstens ist es eine profunde mathematische Widerlegung, wenn auch vermeintlich anschaulich. Denn wenn jede Zeile das Verhältnis 0 zwischen belegten und nicht belegten Matrixelementen hat, dann gilt das für die gesamte Matrix ebenso wie in der Mathematik die Funktion 0, 0, 0, ... den Grenzwert 0 besitzt. Mathematik erlaubt also das Rechnen mit dem Unendlichen.

Zweitens wäre die Widerlegung schon deshalb sehr wertvoll, weil sie, selbst wenn Deine Ausführungen richtig wären, einen Widerspruch in der Mengenlehre aufdecken und deren Wertlosigkeiten würde.

Meine Überlegung zeigt, dass aus Cantors Ansatz, eine Belegung zwischen leer und vollständig hervorgehen kann, abhängig von der Wahl der Plätze. Das ist schon elementar als Usninn zu erkennen, weil die Belegung überhaupt nicht von einer Nummerierung abhängen darf.

> >> "Gleichzahligkeit" gibt's nur bei endlichen Mengen.
> >
> > Das ist falsch.
> >
> Nein,

Doch, wie Cantor schrieb.

> denn wie ich weiter schrieb, kann nur bei endlichen Mengen durch
> Angabe einer natürlichen Zahl ausgedrückt werden, wie groß die Anzahl
> der in der betrachteten Menge enthaltenen Elemente ist.

Diese Schutzbehauptung wird durch die Matrix widerlegt. Dort kann man mit bloßem Auge sehen, dass die erste Spalte weniger Elemente als die gesamte Matrix, aber mehr als keine Elemente besitzt. Beide Resultate sind also deutlich verschieden, wären aber mit Hilfe Deiner Umordnungen erzielbar.

> > Gleichzahligkeit kann man auch anders ausdrücken, zum Beispiel durch Symmetrie:
> > Die Menge von n und 1/n sind gleichzahlig.
> Die Mengen ℕ und M = {1/n : n e ℕ} können nicht "gleichzahlig" sein,
> da es sich um unendliche Mengen handelt und daher keine "Anzahl" von
> Elementen durch Angabe einer natürlichen Zahl benannt werden kann.
> Richtig dagegen ist, dass beide Mengen gleichmächtig sind. Dies stellt
> man dadurch fest, dass es eine bijektive Abbildung zwischen beiden
> Mengen gibt:
>
> f: ℕ --> M, n |--> 1/n = f(n)

Falsch. Man müsste auch dazu wieder behaupten, dass aus
|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
folgt, dass die Durchführung der Abbildung für alle n nichts übrig lässt, obwohl diese Behauptung keine Begründung besitzt, sondern sichtbar falsch ist.

>
> > Cantor spricht von Anzahl
>
> Nicht im gleichen Sinne wie Anzahl bei endlichen Mengen zu verstehen
> ist.

Das habe ich auch nicht behauptet. Es genügt zu erkennen, dass Die Anzahl aller Matrixelement größer als die der ersten Spalte ist, denn mindestens ein Matrixelement ist unbedeckt und bleibt es natürlich auch.

*************************************
Denn die Umordnung setzt stets so viele frei wie neu bedeckt werden.
**************************************

Kannst Du noch in den Spiegel schauen, wenn Du diesen Satz bewusst ablehnst?

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Thursday, January 13, 2022 at 10:09:05 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Dieter Heidorn schrieb am Mittwoch, 12. Januar 2022 um 21:35:29 UTC+1:
> >
> > Aber gewiss doch. f(i,j) = 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i kann ohne
> > Einschränkungen für beliebige i,j e ℕ ausgewertet werden

In Zeichen: Ai e IN: Aj e IN: (1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i) e Q.

Oder gibt's in Mückenhausen natürliche Zahlen i,j, so dass 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i nicht berechnet werden kann und/oder keine rationale Zahl ist?

Woran liegt das? Gibts in der Mückenmatik natürliche Zahlen i,j für die i + j nicht berechnet werden kann, oder i + j - 2, oder i + j - 1, oder 1/2*(i + j - 2), oder 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1), oder 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i? Bitte erkläre das mal. Hinweis, solche natürliche Zahlen gibt es in der Mathematik nicht.

> Du kannst nicht jede natürliche Zahl belieben.

Das mag ein mückenmatisches Privataxiom sein, aber in der Mathematik gibt es keine solchen willkürlichen (psychosebedingten) Einschränkungen [falls es denn überhaupt eine Einschränkung ist]. Vielleicht kommt das aber auch vom Saufen, keine Ahnung. Jedenfalls ist reichlich unklar, was Du damit überhaupt sagen möchtest. Dass man in einer Argumentation nicht ALLE natürlichen Zahlen explizit benennen kann, ist wohl klar. :-) Man kann sich aber auf eine "beliebige" natürliche Zahl beziehen (die also keinen weiteren Einschränkungen unterliegt als der, eine natürliche Zahl zu sein): "Sei n eine beliebige natürliche Zahl. [Formal: n e IN.]" Wenn man dann eine einschlägige Behauptung für n zeigen kann, z. B. Em e IN: m > n (was z. B. aus n+1 > n gefolgert werden kann), dann kann man mittels der sogenannten GENERALISIERUNG auf An e IN: Em e IN: m > n. [Hiermit ist eine Standard-Beweismethode der Mathematik beschrieben. Wie dumm kann man eigentlich sein, Mückenheim?]

> <zunehmend wirrer werdendes Gelaber gelöscht>

[Stefan Schmitz]

Am 13.01.2022 um 10:09 schrieb Ganzhinterseher:

> Du kannst nicht jede natürliche Zahl belieben. Für jede, die Du belieben kannst, gilt
> ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo. (*)

Statt immer wieder den gleichen Mist hinzuschreiben, solltest du erst
mal überlegen, was du da überhaupt hinschreibst.

Da steht: Für jede Zahl ("die du belieben kannst") gilt, dass für alle
natürlichen Zahlen eine Aussage gilt.

[Marcus Gloeder]

Hallo alle zusammen,

am 13.01.22 10:09, schrieb WM:

>*************************************
>Denn die Umordnung setzt stets so viele frei wie neu bedeckt werden.
>**************************************

Der Satz ergibt nur dann einen Sinn, wenn Du voraussetzt, dass »unendlich«
eine Zahl sei, die quasi ganz am Ende des Zahlenstrahls auftaucht, eine
feste konstante Größe, und du da quasi gegen eine Wand läufst.

Genau diese Vorstellung ist falsch, genauso falsch wie die Vorstellung, es
gebe so etwas wie ein »letztes Element«, wenn Du mit einem »Cursor« den
Bereich zwischen 0 und 1 abfährst. (Und da habe ich noch gar nichts über
den Unterschied zwischen »abzählbar unendlich« und »überabzählbar
unendlich« gesagt.)

Das ändert sich auch nicht, wenn Du den Satz in Sternchen einrahmst. Du
kannst so viele Sternchen hinschreiben wie Du willst, auch abzählbar
unendlich viele. Der Satz bleibt falsch.

>Kannst Du noch in den Spiegel schauen, wenn Du diesen Satz bewusst ablehnst?

Aber ja. Allein die Tatsache, dass ydu ihn für richtig hältst, *beweist*,
dass er falsch ist.

>Gruß, WM

Viele Grüße

[Fritz Feldhase]

Ja, mit Quantoren, gebundenen und freien Variablen, dem Unterschied zwischen einer Aussage und einer Aussageform etc. hat Mückenheim es nicht so. Man könnte auch sagen: Er redet nur "saudummen Scheißdreck" (Ralf B.) daher.

Dass "∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo" eine geschlossene Aussage (also eine wff ohne freie Variable) ist, geht vermutlich über seinen Horizont. Sie enthält noch nicht mal einen "Parameter", insofern ist das Voranstellen des Teilsatzes "Für jede, die Du belieben kannst, gilt" völlig sinnfrei.

WOMÖGLICH will er so etwas aussagen wie:

| Für jede natürliche Zahl n, "die du belieben kannst", gilt: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Das wäre aber schon wieder eine Behauptung, die auf unefinierte Begriffe Bezug nimmt. (*sigh*)

Man könnte dann aber darauf hinweisen, dass ohnehin das folgende gilt:

| Für jede natürliche Zahl n gilt: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo ,

Mit anderen Worten |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo gilt für ALLE natürlichen Zahlen, nicht nur die, die man nach Mückenheim "belieben" kann.

[Fritz Feldhase]

On Thursday, January 13, 2022 at 1:29:24 PM UTC+1, Marcus Gloeder wrote:

> Allein die Tatsache, dass du ihn für richtig hältst, *beweist*, dass er falsch ist.

Nein, oft genug sind solche Sätze "not even wrong"!

No joke.

[Ganzhinterseher]

Marcus Gloeder schrieb am Donnerstag, 13. Januar 2022 um 13:29:24 UTC+1:
> am 13.01.22 10:09, schrieb WM:
> >*************************************
> >Denn die Umordnung setzt stets so viele frei wie neu bedeckt werden.
> >**************************************
> Der Satz ergibt nur dann einen Sinn, wenn Du voraussetzt, dass »unendlich«
> eine Zahl sei

Nein, das ist völlig irrelevant. Jedes Quadrat, wo auch immer auf der Matrix es liegt, bedeckt nach beliebiger Verschiebung nicht mehr und nicht weniger als ein Matrixelement, also genau so viel wie vorher. Das gilt für jedes Matrixelement. Und "im Unendlichen" spielt sich überhaupt nichts ab. Jedes Quadrat wird von einem endlichen Koordinatenpaar auf ein endliches Koordinatenpaar verschoben. Woher sollte da eine Änderung in der Bedeckung erfolgen?

>
> Das ändert sich auch nicht, wenn Du den Satz in Sternchen einrahmst. Du
> kannst so viele Sternchen hinschreiben wie Du willst, auch abzählbar
> unendlich viele. Der Satz bleibt falsch.

Wer den Satz für falsch hält, steht außerhalb von Mathematik und Logik.

Die erste Spalte ist eine echte Untermenge aller Matrixelemente. In diesem Sinne müsste sich die Bedeckung also vergrößern. Bitte gib für ein Quadrat eine Vergrößerung an.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Donnerstag, 13. Januar 2022 um 14:10:02 UTC+1:

> | Für jede natürliche Zahl n, "die du belieben kannst", gilt: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

> Mit anderen Worten |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo gilt für ALLE natürlichen Zahlen, nicht nur die, die man nach Mückenheim "belieben" kann.

Das ist falsch. Alle natürlichen Zahlen kann man kollektiv subtrahieren, wobei nicht ℵo übrigbleiben:

ℕ \ {1, 2, 3, ...} = 0.

Aber jede natürliche Zahl, die in Cantors Bijektion vorkommen kann, hat ℵo Nachfolger, die fast alle nicht vorkommen können. Aus der Verwechslung dieser beiden Mengen folgt die aberwitzige Behauptung, dass beim Verschieben von Quadraten die Menge der bedeckten Matrixelement nicht konstant bliebe und auch noch von einer Nummerierung der Quadrate abhinge.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Nein, die Aussage gilt nur für alle Zahlen der Menge ℕ_def. Das "für jede" ist lediglich bestätigend doppelt hingeschrieben als Erklärung mit anderen Worten, was den Sinn nicht stört.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Donnerstag, 13. Januar 2022 um 11:26:26 UTC+1:
> On Thursday, January 13, 2022 at 10:09:05 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > Dieter Heidorn schrieb am Mittwoch, 12. Januar 2022 um 21:35:29 UTC+1:

> Oder gibt's natürliche Zahlen i,j, so dass 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i nicht berechnet werden kann und/oder keine rationale Zahl ist?

Jede Zahl, für die man dies berechnen kann, hat ℵo Nachfolger, für die man es nicht berechnen kann, u.a., weil niemand es jemals berechnet haben wird. Also ist die Behauptung, man könne es für alle berechnen, falsch.

Trotzdem wird sie immer wieder gebracht, sogar wenn eindeutige Evidenz diese Behauptung widerlegt, wie zum Beispiel dass das Verschieben von geometrischen Gebilden wie etwa von Quadraten ihre Fläche nicht verändern kann.

> > Du kannst nicht jede natürliche Zahl belieben.

> Das mag ein Privataxiom sein, aber in der Mathematik gibt es keine solchen willkürlichen Einschränkungen

Es wird dadurch bewiesen, dass jeder Widerlegungsversuch scheitert.

> Dass man in einer Argumentation nicht ALLE natürlichen Zahlen explizit benennen kann, ist wohl klar.

Es bleiben stets fast alle außerhalb der Nachprüfbarkeit.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Thursday, January 13, 2022 at 6:06:04 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Donnerstag, 13. Januar 2022 um 14:10:02 UTC+1:
> >

> > | Für jede natürliche Zahl n gilt: |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
> >
> > Mit anderen Worten |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo gilt für ALLE natürlichen Zahlen n, nicht nur die, die man nach Mückenheim "belieben" kann.
> >
> Das ist falsch.

Nein, es ist (beweisbar) richtig.

Dass Du zu blöde (oder zu krank im Hirn) bist, um die Aussage

An e IN: |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

zu verstehen und/oder zu beweisen, tut dem keinen Abbruch.

EOD

[Fritz Feldhase]

On Thursday, January 13, 2022 at 6:13:30 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> Nein, die Aussage <blubber>

Wenn man nichts zu sagen hat, einfach mal die Fresse halten, Mückenheim.

[Fritz Feldhase]

On Thursday, January 13, 2022 at 6:22:10 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Donnerstag, 13. Januar 2022 um 11:26:26 UTC+1:
> >

> > gibt's gibt's in Mückenhausen natürliche Zahlen i,j, so dass 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i [...] keine rationale Zahl ist?
> >
> Jede Zahl, für die man dies berechnen kann <blubber>

Meine Frage war: Ob es in der Mückenmatik natürliche Zahlen i,j gibt, so dass 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i keine rationale Zahl ist.

Kommt da zu noch was?

Nein, lass es. Ich habe keine Lust mehr auf Dein "grenzpsychotisches" Gequatsche. Damit kannst Du Deine Studenten zutexten.

EOD

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Donnerstag, 13. Januar 2022 um 18:32:01 UTC+1:

> Meine Frage war: Ob es in der Mathematik natürliche Zahlen i,j gibt, so dass 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i keine rationale Zahl ist.

>
> Kommt da zu noch was?

Ja. Für alle dunklen Zahlen kann man das Ergebnis nicht berechnen, weil man diese Zahlen gar nicht einsetzen kann. Es sind diejenigen, die auf alle definierbaren Zahlen folgen und von Dir gar nicht als existent (an)erkannt werden.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Thursday, January 13, 2022 at 7:13:37 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Donnerstag, 13. Januar 2022 um 18:32:01 UTC+1:
> >

> > Meine Frage war, ob es in der Mathematik natürliche Zahlen i,j gibt, so dass 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i keine rationale Zahl ist.

Nein, meine Frage war, ob es _in der Mückenmatik_ natürliche Zahlen i,j gibt, so dass 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i keine rationale Zahl ist.

> Ja. Für alle dunklen Zahlen kann man das Ergebnis nicht berechnen, weil man diese Zahlen gar nicht einsetzen kann. Es sind diejenigen, die auf alle definierbaren Zahlen folgen und von Dir gar nicht als existent (an)erkannt werden.

Ist schon gut Mückenheim: spinnen Sie ruhig weiter.

[Dieter Heidorn]

Ganzhinterseher schrieb:
> Dieter Heidorn schrieb am Mittwoch, 12. Januar 2022 um 21:35:29 UTC+1:
>> Ganzhinterseher schrieb:
>>> Dieter Heidorn schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 21:02:06 UTC+1:
>>>> Ganzhinterseher schrieb:

>>>> Die Funktionsgleichung der Cantor-Funktion macht keine Einschränkungen
>>>> für die Werte von i und j - sie ist eben für alle (i,j) e |Nx|N
>>>> definiert. Damit sind alle Lagen eines Punktes im Koordinatengitter
>>>> möglich,
>>>
>>> Nein.
>>
>> Aber gewiss doch. f(i,j) = 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i kann ohne
>> Einschränkungen für beliebige i,j e ℕ ausgewertet werden
>
> Du kannst nicht jede natürliche Zahl belieben.
>

Aber gewiss doch. Ich kann ohne Einschränkungen beliebige natürliche
Zahlen i,j in den Funktionsterm f(i,j) = 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i
einsetzen und diesen auswerten.

Das ist die Bedeutung der Aussage, dass die Cantor-Funktion für alle
i,j e ℕ definiert ist.

> Für jede, die Du belieben kannst, gilt
> ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo. (*)

Wie hier von Fritz gezeigt wurde, ist dein "ℕ_def" gleich ℕ. Also:

∀n e ℕ: |ℕ\{1, 2, 3, ..., n}| = ℵ_0

Und das bedeutet nichts anderes als: Wenn man für eine Abzählung die
natürlichen Zahlen verwendet, und bis zu einer beliebigen natürlichen
Zahl n gekommen ist, dann hat man fürs Weiterzählen immer noch abzählbar
unendlich viele natürliche Zahlen zur Verfügung.

>> Zum Beweis des Gegenteils müsstest du ein konkretes Paar (i,j) angeben,
>> für das der Funktionsterm f(i,j) nicht ausgewertet werden kann.
>
> Das sind die Elemente von ℕ \ ℕ_def.

ℕ_def = ℕ, also ist ℕ\ℕ_def = {}.

> Sie sind nicht konkret angebbar,

Das haben die Elemente leerer Mengen so an sich...

>> Da jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat, hat auch jede
>> Zähldiagonale eine Nachfolger-Diagonale, welche beim Punkt (1, j+1)
>> beginnt. Die Menge Z_d der Zähldiagonalen ist also abzählbar unendlich:
>
> Auch für sie gilt: Die Menge der erreichbaren Zähldiagonalen ist kleiner als die Menge aller.

Nein. Es gilt nach wie vor:

Die Zähldiagonalen beginnen jeweils bei den Punkten (1,j), j e ℕ.

Da jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat, hat auch jede
Zähldiagonale eine Nachfolger-Diagonale, welche beim Punkt (1, j+1)
beginnt. Die Menge Z_d der Zähldiagonalen ist also abzählbar unendlich:

|Z_d| = ℵ_0 .

Da gilt

∀n e ℕ: |ℕ\{1, 2, 3, ..., n}| = ℵ_0 ,

stehen nach dem Abzählen bis zu einer Diagonalen mit der Nummer n immer
noch ℵ_0 Zähldiagonalen zur Verfügung, um die auf das bis dahin
abgezählte letzte Paar (1,n) folgenden Paare abzuzählen.

> Schon die größte wird nicht erreicht,

Die "zweite (Quadrat-)Diagonale", die dir vorschwebt, gibt es nur bei
endlichen Mengen - nicht aber bei unendlichen Mengen. Das kann man sich
leicht klar machen: Jede Diagonale, die du zur "zweiten Diagonale"
erklären willst, besitzt ℵ_0 Nachfolger wie oben schon erwähnt. Somit
kann die gewählte Diagonale nicht deine "zweite Diagonale" sein.

>> Wie die Cantorsche Funktion und ihre Umkehrfunktion zeigen, ist die
>> Paarmenge ℕxℕ abzählbar. Die vermeintlich anschauliche "Widerlegung"
>> mit der "unerreichbaren Diagonalen" ist also ein Muster ohne Wert.
>
> Erstens ist es eine profunde mathematische Widerlegung, wenn auch vermeintlich anschaulich.

Eine Argumentation, die sich auf Begriffe/Zusammenhänge stützt, welche
bei endlichen Mengen gelten aber nicht bei unendlichen Mengen, ist keine
"profunde mathematische Widerlegung", sondern gequirlter Unfug.

> Mathematik erlaubt also das Rechnen mit dem Unendlichen.
>

Und wie das geht, hat Cantor gezeigt. Es erfordert eine Erweiterung des
Zahlbegriffs ins Transfinite.

>> denn wie ich weiter schrieb, kann nur bei endlichen Mengen durch
>> Angabe einer natürlichen Zahl ausgedrückt werden, wie groß die Anzahl
>> der in der betrachteten Menge enthaltenen Elemente ist.
>
> Diese Schutzbehauptung wird durch die Matrix widerlegt. Dort kann man mit bloßem Auge sehen,
> dass die erste Spalte weniger Elemente als die gesamte Matrix, aber mehr als keine Elemente
> besitzt.
>

Und nun brauchst du nur noch die "Anzahl" der Elemente in der ersten
Spalte mittels einer natürlichen Zahl anzugeben - und ebenso die
"Anzahl" der Elemente der gesamten Matrix.

>>> Gleichzahligkeit kann man auch anders ausdrücken, zum Beispiel durch Symmetrie:
>>> Die Menge von n und 1/n sind gleichzahlig.
>>
>> Die Mengen ℕ und M = {1/n : n e ℕ} können nicht "gleichzahlig" sein,
>> da es sich um unendliche Mengen handelt und daher keine "Anzahl" von
>> Elementen durch Angabe einer natürlichen Zahl benannt werden kann.
>> Richtig dagegen ist, dass beide Mengen gleichmächtig sind. Dies stellt
>> man dadurch fest, dass es eine bijektive Abbildung zwischen beiden
>> Mengen gibt:
>>
>> f: ℕ --> M, n |--> 1/n = f(n)
>
> Falsch.

Gewiss nicht:

Die Abbildung f ist injektiv:

Sei f(n_1) = f(n_2) , also 1/n_1 = 1/n_2;
daraus folgt n_1 = n_2.

Die Abbildung f ist surjektiv:

Sei 1/n ein Element von M; dann ist 1/(1/n) = n ein Element von ℕ.

Somit ist f bijektiv.

> *************************************
> Denn die Umordnung setzt stets so viele frei wie neu bedeckt werden.
> **************************************
>

Stell' dir vor, deine Papp-Quadrate werden mit den natürlichen Zahlen
nummeriert. Stell' dir weiter vor, dass für jedes n e ℕ das damit
nummerierte Papp-Quadrat auf die Position gelegt wird, die mit der
Umkehrfunktion der Cantorschen Funktion berechnet wird:

--
| |N ---> |Nx|N
f^(-1): |
| n |---> (i(n),j(n))
--
mit:

i(n) = n - d(c(n))
j(n) = c(n) - i(n) + 2

c(n) = Floor(sqrt(2*n) - 1/2),
d(c(n)) = 1/2*c(n)*(c(n) + 1)

Da die Cantor-Funktion eine Bijektion ist, sind bei der durch f^(-1)
beschriebenen Anordnung der "Papp-Quadrate" alle Paare (i,j) e ℕxℕ "mit
einem Papp-Quadrat" überdeckt. Anders gesagt: die Paarmenge ℕxℕ ist
abzählbar unendlich.

> Kannst Du noch in den Spiegel schauen, wenn Du diesen Satz bewusst ablehnst?
>

Ohne das geringste Problem, da er falsch ist, wie f^(-1) klar erkennen
lässt. Zudem ist mir (im Gegensatz zu dir) klar, dass es um unendliche
Mengen geht, bei denen Begriffe/Zusammenhänge, die bei endlichen Mengen
gelten, bei unendlichen Mengen nicht notwendig richtig sein müssen, und
im vorliegenden Fall auch nicht sind. Daran ändern deine Augs-iome
überhaupt nichts.

Dieter Heidorn

[Ganzhinterseher]

Dieter Heidorn schrieb am Donnerstag, 13. Januar 2022 um 21:42:22 UTC+1:
> Ganzhinterseher schrieb:

>
> Da die Cantor-Funktion eine Bijektion ist, sind bei der durch f^(-1)
> beschriebenen Anordnung der "Papp-Quadrate" alle Paare (i,j) e ℕxℕ "mit
> einem Papp-Quadrat" überdeckt. Anders gesagt: die Paarmenge ℕxℕ ist
> abzählbar unendlich.
> > Kannst Du noch in den Spiegel schauen, wenn Du diesen Satz bewusst ablehnst?

Er ist falsch, weil andernfalls die Verschiebung der Quadrate ihre Fläche ändern müsste. Du behauptest zwar, dass es genau so viele Quadrate wie Matrixelemente gäbe, aber das ist zu offensichtlich falsch. Es gibt im Ausgangszustand unüberdeckte Matrixelemente und damit auch im Endzustand.

> >
> Ohne das geringste Problem, da er falsch ist, wie f^(-1) klar erkennen
> lässt.

Es gibt keine Möglichkeit, einen Beweis gegen die Grundlagen der Geometrie zu führen. Verschieben der Quadrate verändert die Fläche nicht, weder die der Quadrate noch die der nicht überdeckten Matrixelemente. Und erst recht nicht in Abhängigkeit von den Details der Verschiebung. Beweis durch Verschiebung ohne Quadratnummern. Da sind keine verschiedene Ergebnisse möglich.

> Zudem ist mir (im Gegensatz zu dir) klar, dass es um unendliche
> Mengen geht, bei denen Begriffe/Zusammenhänge, die bei endlichen Mengen
> gelten, bei unendlichen Mengen nicht notwendig richtig sein müssen, und
> im vorliegenden Fall auch nicht sind.

Die Unendlichkeit spielt hier überhaupt keine Rolle, weil jedes Quadrat endlich ist und auf einem endliche nummerierten Platz liegt. Jede Zeile enthält unendlich viele offene Matrixelemente und ein Quadrat, alle auf endlich nummerierten Plätzen. Also mehr offen als überdeckt. Also muss sich die Menge der Quadrate vergrößern. Wie kann das sein? Bitte um ein Beispiel.

Ich bin ehrlich entsetzt, zu welchen intellektuellen Fehlleistungen die Cantorsche Hypnose führen kann.

Gruß, WM

[Andreas Leitgeb]

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> weil andernfalls die Verschiebung der Quadrate ihre Fläche ändern müsste.

und zwar von ... äh ... abzählbar unendlich ... auf ... äh ... was wars
denn nocheinmal ... ah, ja ... auf abzählbar unendlich!!!

Nein, so eine krasse Flächenänderung ist in der WM-atik natürlich
völlig ausgeschlossen!!!

[Ganzhinterseher]

Andreas Leitgeb schrieb am Freitag, 14. Januar 2022 um 01:29:38 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > weil andernfalls die Verschiebung der Quadrate ihre Fläche ändern müsste.
> und zwar von ... äh ... abzählbar unendlich ... auf ... äh ... was wars
> denn nocheinmal ... ah, ja ... auf abzählbar unendlich!!!

Wie man hier sieht,

, 1/2, 1/3, 1/4, ...
, 2/2, 2/3, 2/4, ...
, 3/2, 3/3, 3/4, ...
, 4/2, 4/3, 4/4, ...
...

ist es eine absurde Idee, diese Größenangabe mit Gleichzahligkeit zu verwechseln.

>
> Nein, so eine krasse Flächenänderung ist in der WM-atik natürlich
> völlig ausgeschlossen!!!

Sie ist überall ausgeschlossen. Jede Transposition mit einem endlichen Index lässt das Verhältnis zwischen bedeckter und unbedeckter Fläche konstant. Das siehst Du doch sicher ein? Andernfalls wäre ein Gegenbeispiel erwünscht.

Nur "im Unendlichen" ändert sich das (wie auch im Binären Baum oder bei Dagobert Ducks Pleite) nach dem sogenannten Matheologischen Syllogismus:

Das passiert niemals, niemals passiert etwas im Unendlichen ==> Das passiert im Unendlichen.

Gruß, WM

[JVR]

Sie werden von Ihrer Fangemeinde beliebig viele Gegenbeispiele erhalten, sobald Sie eine mathematisch
brauchbare Definitionen von folgenden Begriffen geliefert haben:

Größenangabe (für unendliche Gebiete)
Flächenänderung (für unendliche Gebiete)
Gleichzahligkeit (für unendliche Mengen)
Verhältnis von Flächen (für unendliche Gebiete)
'im Unendlichen'
'im Unendlichen passieren' (wie merkt man, dass im Unendlichen etwas 'passiert'?)

Lesen Sie vorher aber Gauss' Brief an Schumacher.

Ich höre, glaube ich einen Aufschrei in Augsburg: "Unverschämtheit! Ich habe noch nie etwas
definieren müssen und bin immer bestens zurecht gekommen. Ich bin der König des Usenets!"

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Freitag, 14. Januar 2022 um 11:48:11 UTC+1:
> On Friday, January 14, 2022 at 11:22:49 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > Andreas Leitgeb schrieb am Freitag, 14. Januar 2022 um 01:29:38 UTC+1:
> > > Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > > > weil andernfalls die Verschiebung der Quadrate ihre Fläche ändern müsste.
> > > und zwar von ... äh ... abzählbar unendlich ... auf ... äh ... was wars
> > > denn nocheinmal ... ah, ja ... auf abzählbar unendlich!!!
> > Wie man hier sieht,
> > , 1/2, 1/3, 1/4, ...
> > , 2/2, 2/3, 2/4, ...
> > , 3/2, 3/3, 3/4, ...
> > , 4/2, 4/3, 4/4, ...
> > ...
> > ist es eine absurde Idee, diese Größenangabe mit Gleichzahligkeit zu verwechseln.
> > >
> > > Nein, so eine krasse Flächenänderung ist in der WM-atik natürlich
> > > völlig ausgeschlossen!!!
> > Sie ist überall ausgeschlossen. Jede Transposition mit einem endlichen Index lässt das Verhältnis zwischen bedeckter und unbedeckter Fläche konstant. Das siehst Du doch sicher ein? Andernfalls wäre ein Gegenbeispiel erwünscht.
> >
> > Nur "im Unendlichen" ändert sich das (wie auch im Binären Baum oder bei Dagobert Ducks Pleite) nach dem sogenannten Matheologischen Syllogismus:
> >
> > Das passiert niemals, niemals passiert etwas im Unendlichen ==> Das passiert im Unendlichen.

> brauchbare Definitionen von folgenden Begriffen geliefert haben:
>
> Größenangabe (für unendliche Gebiete)

Ausreichend ist: Der unbedeckte Teil der Matrix beträgt mindestens ein Element.

> Flächenänderung (für unendliche Gebiete)

Diese Flächenangabe ändert sich in keiner endlichen Anzahl von Transpositionen (Umlegungen eines Matrixelementes).

> Gleichzahligkeit (für unendliche Mengen)

Nicht mehr erforderlich.

> Verhältnis von Flächen (für unendliche Gebiete)

Könnte hier leicht gegeben werden, ist aber ebenfalls nicht mehr erforderlich und würde Dir nur Gründe des Nichtverstehens liefern.

> 'im Unendlichen'
> 'im Unendlichen passieren' (wie merkt man, dass im Unendlichen etwas 'passiert'?)

Man sollte merken, dass da nichts passiert.

>
> Lesen Sie vorher aber Gauss' Brief an Schumacher.

Den kenne ich sehr gut. Auch darin wird das Unendliche ausgeschlossen.
>
Gruß, WM

[JVR]

Sie haben nicht einen einzigen Ihrer nebulösen Begriffe definieren können. Nicht einen -
was natürlich zu erwarten war.
Ich wünsche weiterhin viel Spaß bei der pseudomathematischen Sektiererei.

[Dieter Heidorn]

Ganzhinterseher schrieb:

> Dieter Heidorn schrieb am Donnerstag, 13. Januar 2022 um 21:42:22 UTC+1:
>> Ganzhinterseher schrieb:
>
>>

>>> Kannst Du noch in den Spiegel schauen, wenn Du diesen Satz bewusst ablehnst?
>
> Er ist falsch,

"Er", das ist _dein_ Satz:

| "Denn die Umordnung setzt stets so viele frei wie neu bedeckt werden."

Und die Folgerung, die daraus ziehen willst, ist in der Tat falsch, wie
ich begründet habe:

Wie die Cantorsche Funktion und ihre Umkehrfunktion zeigen, ist die
Paarmenge ℕxℕ abzählbar.

Die vermeintlich anschauliche "Widerlegung" mit der "unerreichbaren

Diagonalen" oder den "unterschiedlichen Anzahlen von Quadraten und
"Papp-Quadraten") ist also ein Muster ohne Wert.

-----

Das Problem/Paradoxon ist im Prinzip das Gleiche wie bei Galileis
Paradoxon:

Gibt es so viele natürliche Zahlen wie Quadrate natürlicher Zahlen,
wenn diese nach der Aufzählungsmethode gemessen werden?

* Die Antwort lautet ja, denn für jede natürliche Zahl n gibt es eine
quadratische Zahl n^2 und auch umgekehrt.
* Die Antwort ist nein, weil die Quadrate eine echte Teilmenge der
der natürlichen Zahlen sind: Jedes Quadrat ist eine natürliche Zahl,
aber es gibt natürliche Zahlen wie 2, die keine Quadrate natürlicher
Zahlen sind.

Das Problem liegt darin begründet, dass für die Menge der natürlichen
Zahlen ℕ und für die Menge der Quadrate der natürlichen Zahlen nicht
angegeben werden kann, "wie viele" es jeweils gibt. Geht man unkritisch
vom Anzahlbegriff für endliche Mengen aus, dann sind die beiden
Antworten paradox.

Die Mengenlehre löst dieses Paradox dadurch, dass der Begriff der Größe
einer Menge in Bezug auf ihre Kardinalität definiert wird. Da zwischen
den beiden beteiligten Mengen eine Bijektion besteht, folgt die Antwort
"ja" direkt aus der Definition der Kardinalität einer Menge.

-----

Entsprechend kann man für das vorliegende Problem der Abzählung von ℕxℕ
formulieren:

Gibt es so viele natürliche Zahlen wie positive Brüche i/j mit
i,j e ℕ, wenn diese nach der Aufzählungsmethode gemessen werden?

* Die Antwort lautet ja, denn für jeden Bruch i/j (aufgefasst als Paar
(i,j)) gibt es eine natürliche Zahl n und auch umgekehrt (Cantorsche
Funktion und deren Umkehrfunktion).
* Die Antwort ist nein, weil die Menge der Brüche {n/1 : n e ℕ} eine
echte Teilmenge der Menge der positiven Brüche ist: Jeder Bruch n/1
ist eine natürliche Zahl, aber es gibt Brüche aus natürlichen Zahlen
i/j mit j =/= 1, die keine natürlichen Zahlen sind.

Das Problem liegt darin begründet, dass für die Menge der natürlichen
Zahlen ℕ und für die Menge der Brüche i/j mit i,j e ℕ nicht angegeben
werden kann, "wie viele" es jeweils gibt. Geht man unkritisch vom
Anzahlbegriff für endliche Mengen aus, dann sind die beiden Antworten
paradox.

Die Mengenlehre löst dieses Problem dadurch, dass der Begriff der Größe
einer Menge in Bezug auf ihre Kardinalität definiert wird. Da zwischen
den beiden beteiligten Mengen eine Bijektion besteht (Cantorsche
Funktion), folgt die Antwort "ja" direkt aus der Definition der
Kardinalität einer Menge.

> Es gibt keine Möglichkeit, einen Beweis gegen die Grundlagen der Geometrie zu führen.

Was du machst, lässt sich kurz so charakterisieren:

* Beim Umgang mit unendlichen Mengen stößt man auf Paradoxien, wenn man
mit seinem Denken im Endlichen verhaftet bleibt und/oder Begriffe
verwendet, die nur im Endlichen zutreffen.
* Bei den genannten Beispielen hat das Problem/Paradox seine Wurzeln in
einer unkritischen Übertragung des Begriffes "Anzahl", der nur bei
endlichen Mengen verwendet werden kann, auf unendliche Mengen.
* Zur Auflösung dieser Paradoxien wurde die Mengenlehre von Cantor und
anderen entwickelt.
* Jetzt kommt dein Auftritt: Du willst die von der Mengenlehre
gegebene Auflösung des betrachteten Paradoxons dadurch widerlegen,
dass du das Paradoxon als "Gegenbeweis" vorlegst.

Auch wenn du überfordert zu sein scheinst: Bei der durch f^(-1)
beschriebenen Anordnung der "Papp-Quadrate" wird allen Paaren
(i,j) e ℕxℕ jeweils ein "Papp-Quadrat" mit der Nummer n e ℕ zugeordnet.
Ausser der Wiederholung des Paradoxons, das dadurch aufgelöst wurde,
hast du nichts einwenden können. Einen Fehler in der von mir
beschriebenen Cantor-Funktion und ihrer Umkehrfunktion hast du nicht
nachweisen können, und es ist deutlich zu merken, dass du dich darum
drücken willst. Also bleibt es dabei:
Mit der Cantor-Funktion werden die Paare (i,j) abgezählt.
Und wer - wie du - nicht alle abzählen kann, der hat sie nicht alle...

> Die Unendlichkeit spielt hier überhaupt keine Rolle,

Ja nee, is' klar. ℕ und ℕxℕ sind ja bekannte Beispiele für endliche
Mengen... jedenfalls in der Augsburger Puppenkiste.

> Ich bin ehrlich entsetzt

Und ich erst! Ein angeblicher Hochschullehrer für Mathematik, der nicht
zwischen "Anzahl" und "Mächtigkeit" unterscheiden kann und durch
Verschieben von Papp-Quadraten die Mengenlehre "widerlegen" will.

Dieter Heidorn

[Ganzhinterseher]

Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 14. Januar 2022 um 21:30:23 UTC+1:
> Ganzhinterseher schrieb:

> | "Denn die Umordnung setzt stets so viele frei wie neu bedeckt werden."
> Und die Folgerung, die daraus ziehen willst, ist in der Tat falsch, wie
> ich begründet habe:
> Wie die Cantorsche Funktion und ihre Umkehrfunktion zeigen, ist die
> Paarmenge ℕxℕ abzählbar.

Deine Begründung ist widerlegt.

>
> Die vermeintlich anschauliche "Widerlegung" mit der "unerreichbaren
> Diagonalen" oder den "unterschiedlichen Anzahlen von Quadraten und
> "Papp-Quadraten") ist also ein Muster ohne Wert.

Eine Widerlegung der Mengenlehre ist sehr wertvoll, weil sie zukünftigen Generationen viel unnütze Denkarbeit erspart.

>

> Das Problem/Paradoxon ist im Prinzip das Gleiche wie bei Galileis
> Paradoxon:
>
> Gibt es so viele natürliche Zahlen wie Quadrate natürlicher Zahlen,
> wenn diese nach der Aufzählungsmethode gemessen werden?

Nein, gibt es nicht.

>
> * Die Antwort lautet ja, denn für jede natürliche Zahl n gibt es eine
> quadratische Zahl n^2 und auch umgekehrt.
> * Die Antwort ist nein, weil die Quadrate eine echte Teilmenge der
> der natürlichen Zahlen sind: Jedes Quadrat ist eine natürliche Zahl,
> aber es gibt natürliche Zahlen wie 2, die keine Quadrate natürlicher
> Zahlen sind.
>
> Das Problem liegt darin begründet, dass für die Menge der natürlichen
> Zahlen ℕ und für die Menge der Quadrate der natürlichen Zahlen nicht
> angegeben werden kann, "wie viele" es jeweils gibt.

Es kann aber für eine der beiden Mengen eine Zahl angenommen werden.

> Geht man unkritisch
> vom Anzahlbegriff für endliche Mengen aus, dann sind die beiden
> Antworten paradox.
>
> Die Mengenlehre löst dieses Paradox dadurch, dass der Begriff der Größe
> einer Menge in Bezug auf ihre Kardinalität definiert wird. Da zwischen
> den beiden beteiligten Mengen eine Bijektion besteht, folgt die Antwort
> "ja" direkt aus der Definition der Kardinalität einer Menge.

Und nun zeige ich, dass es keine Bijektion gibt, denn bei Verschiebung eines jeden Quadrates wird genau so viel zugedeckt wie aufgedeckt.

> Entsprechend kann man für das vorliegende Problem der Abzählung von ℕxℕ
> formulieren:

Um zu zeigen, dass sie unsinnig ist, habe ich mir ein kleines Gedankenexperiment ausgedacht: Hierfür geht man wieder von der in der ersten Spalte mit Quadraten belegten Matrix aus und belegt die zweite Spalte mit X

, X, 1/3, 1/4, ...
, X, 2/3, 2/4, ...
, X, 3/3, 3/4, ...
, X, 4/3, 4/4, ...
... .

Es gibt genau so viele X wie natürliche Zahlen. Diese X werden nun nach Cantors Vorschrift so verschoben, dass alle Brüche überdeckt werden. Dabei werden natürlich auch die Quadrate verschwinden. Um das Verschwinden zu überwachen, wird jedes überdeckte Quadrat an den letzten Standort des überdeckenden X verschoben, der ja wieder unüberdeckt ist, weil das X entfernt und woanders verwendet wurde. Jedes Quadrat wird also nicht einfach überdeckt, sondern es taucht dort wieder auf, wo das X entfernt wurde. Im Grunde genommen verschwindet ein Quadrat also niemals. Trotzdem müssten alle Quadrate verschwinden, wenn die gesamte Matrix von Xen bedeckt würde und also keine Stellen mehr existierten, an denen ein Quadrat wieder auftauchen könnte. Das geschieht nicht. Also wird nicht die gesamte Matrix von Xen bedeckt.

>Einen Fehler in der von mir beschriebenen Cantor-Funktion und ihrer Umkehrfunktion hast du nicht nachweisen können, und es ist deutlich zu merken, dass du dich darum
drücken willst.

Der Fehler ist dieser: Du kannst keine einziges Quadrat zum Verschwinden bringen, solange die natürlichen Zahlen reichen, um die Transpositionen, die Umordnungen der X zu nummerieren. Damit ist Deine Behauptung widerlegt.

(Dein Fehler wird verursacht durch die Annahme, Du könntest etwas über alle Zahlen sagen. Fakt ist aber, dass alle Zahlen Deiner Funktion aleph_0 Nachfolger haben, über die Deine Funktion natürlich schweigt. Aber das ist sekundär.)

> Ein angeblicher Hochschullehrer für Mathematik

Nein, ein echter.

>, der nicht
zwischen "Anzahl" und "Mächtigkeit" unterscheiden kann

der eine deutliche Unterscheidung bewiesen hat

> und durch
Verschieben von Papp-Quadraten die Mengenlehre "widerlegen" will.

Der die Mengenlehre widerlegt hat. Du behauptest, dass alle Matrixelemente überdeckt werden könnten. Du kannst aber kein einziges Quadrat angeben, das verschwunden wäre. Jedes taucht an einer nicht überdeckten Position wieder auf. Damit ist Deine Behauptung widerlegt.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Definitionen setzen die Kenntnis von Vokabeln, sogenannten Fachausdrücken voraus. Wer keine kennt, kann keine Definition verstehen, denn wie Kronecker schon bemerkte: We cannot, like Hegel's philosophy does, develop the being from the nothing.

Ich bemühe mich aber immer wieder, die Grundlagen meiner Matheologiekritik auch Seiteneinsteigern verständlich zu präsentieren. Zum Beispiel mit Piktogrammen, wie das heutzutage überall gang und gäbe ist:

XXXXOOOOO...
XOXOOOOOO...
XXOOOOOOO...
OOOOOOOOO...
OOOOOOOOO...
OOOOOOOOO...
OOOOOOOOO...
OOOOOOOOO...
XOOOOOOOO...
...

Gruß, WM

[JVR]

Alles klar. Der Hähnchenbrater kann das bestimmt nachvollziehen,
das mit den Hütchen und Deckelchen.

[Ganzhinterseher]

> Alles klar. Der Hähnchenbrater kann das bestimmt nachvollziehen,

Ich würde es ja lieber einem Schusterlehrling erklären, aber wo findet man heutzutage einen?

Gruß, WM

[JVR]

Sie strotzten wieder einmal von höherer Gelehrsamkeit. Aber nee - Sie können ziemlich sicher niemandem
irgend etwas verständlich machen. Nicht einmal die 'Algebra' ohne Unendlichkeiten.
Er sollte lieber versuchen zu verstehen, was Gauss dem Schumacher zu erklären versuchte.

[Andreas Leitgeb]

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Ich würde es ja lieber einem Schusterlehrling erklären, aber wo
> findet man heutzutage einen?

Am ehesten unter deinen Schülern/Studenten - denn Mathematiker werden
diese vermutlich nicht, und somit mit der entsprechend höheren Wahr-
scheinlichkeit Schuster.

[Ganzhinterseher]

Andreas Leitgeb schrieb am Samstag, 15. Januar 2022 um 14:12:07 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Ich würde es ja lieber einem Schusterlehrling erklären, aber wo
> > findet man heutzutage einen?

Ich würde ihm erklären: In jeder Konfiguration sind die Freizeichen O durch ihre Matrixelemente identifiziert und damit Elemente O_j,k einer Menge. In jeder der unendlich vielen Konfigurationen besitzt die somit vorliegende Menge unendlich viele Elemente und hat kein einziges verloren. Womit können deren Matrixelemente bei der im Anshcluss an alle Transpositionen erfolgenden matheologischen Explosion indiziert werden?

> Am ehesten unter deinen Schülern/Studenten - denn Mathematiker werden
> diese vermutlich nicht

Vermutlich nicht. Trotzdem ist es sehr schade, dass ich sie nun nach Semesterende nicht mehr befragen kann. Sie könnten sicherlich Auskunft geben. Kannst Du es?

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Samstag, 15. Januar 2022 um 11:32:20 UTC+1:
> On Saturday, January 15, 2022 at 11:14:28 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > JVR schrieb am Samstag, 15. Januar 2022 um 10:37:44 UTC+1:
> > > On Saturday, January 15, 2022 at 10:27:23 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> >
> > > > Ich bemühe mich aber immer wieder, die Grundlagen meiner Matheologiekritik auch Seiteneinsteigern verständlich zu präsentieren. Zum Beispiel mit Piktogrammen, wie das heutzutage überall gang und gäbe ist:
> > > >
> > > > XXXXOOOOO...
> > > > XOXOOOOOO...
> > > > XXOOOOOOO...
> > > > OOOOOOOOO...
> > > > OOOOOOOOO...
> > > > OOOOOOOOO...
> > > > OOOOOOOOO...
> > > > OOOOOOOOO...
> > > > XOOOOOOOO...
> > > > ...
> > > Alles klar. Der Hähnchenbrater kann das bestimmt nachvollziehen,
> > Ich würde es ja lieber einem Schusterlehrling erklären, aber wo findet man heutzutage einen?
> >

> Sie strotzten wieder einmal von höherer Gelehrsamkeit. Aber nee - Sie können ziemlich sicher niemandem
> irgend etwas verständlich machen.

Das ist aber äußerst bedauerlich! Dass unter all den unendlich vielen Konfigurationen der Freizeichen O keine einzige ist, in der die Mengen dieser Freizeichen auch nur um ein einziges vermindert sind, ist Dir nicht klargeworden?
In jeder Konfiguration sind die Freizeichen durch ihre Matrixelemente identifizierbar und damit Elemente einer Menge. In jeder Konfiguration sind es unendlich viele. Auf welchem Wege können sie verschwinden?

Es ist sehr schade, dass ich nach Semesterende meine Studenten nicht mehr befragen kann. Sie könnten sicherlich Auskunft geben.

Gruß, WM

[JVR]

Posten Sie doch mal, einfach so zum Spaß, die Abschlussklausur zu Ihrer Vorlesung. Die älteren waren manchmal recht lustig. Da waren sogar einmal die 'richtigen' Antworten dabei. Die waren auch lustig.

[Jens Kallup]

Hallo,

ich habs doch sicherlich schon geschrieben:

im mathematischen Sinne, gibt es nur tausend und eine
Lösung.
Nein, unendlich viele (jetzt mal auf oo-Mengen bezogen)
Lösungen.

Somit sollte jede vernüftige Unterhaltung, oder auch
Untermauerung, oder auch Berechnung einer oberen und
einer unteren Schranke unterlegt/vorgegeben sein.

Weil, man sonst nie fertig wird.

Deshalb gibt es in allen "natürlichen" Bereichen eine
solche untere, und obere Schranke.

Wie klein, oder wie groß diese Schranke ist bedingt
durch den biologischen, oder auch mathematischen
Zufall gegeben.

Zum Beispiel:
Ein Rechner mit 8-Bit ist beschränkter als ein 16-Bit
Rechner (ich meine damit die Konfiguration einschließlich
CPU MIPS (Million Instructions Per Second).

Je weiter die Bus-Breite einer Computer-Konfiguration ist,
desto mehr Daten können über diesen Bus transportiert werden.

Anmerkung: die Anzahl der CPU-Bits (8-Bit, 32-Bit, ...) gibt
die maximale Busbreite an (Ausnahmen gibt da auch,
aber dies nur als Rand-Notiz).

Gruß, Jens

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Samstag, 15. Januar 2022 um 18:37:32 UTC+1:

> Posten Sie doch mal, einfach so zum Spaß, die Abschlussklausur zu Ihrer Vorlesung.

Nein, aber einen kleinen Auszug will ich schreiben:
Frage: Nennen Sie (a) 4 Vertreter des aktual unendlichen und (b) 4 Vertreter des potentiell Unendlichen.
Antwort: (a) Cantor, Zermelo, Hessenberg, Gödel, (b) Gauss, Zeilberger, Mückenheim, und dann setzte der Student seinen eigenen Namen ein. Ist doch schön, oder? Volle Punktzahl. Waren ja keine großen Mathematiker gefragt.

Gruß, WM

[JVR]

Ich verstehe Ihre Hemmung gut; lustig für den Zuschauer, aber peinlich für die 'University'.

[Jens Kallup]

ich Frage micch, ob IHR Spass überhaupt verstehen könnt, der
anscheinlich von Wolfgang kommt.

Ich finde es auch für lustig, wenn ein Studium der Mathematik
nur der StudtenInn seine vor sich liegendes Buch auswendig
lernt.

Vielmals kommt man nur mit Intution, oder eines WOW-Effektes,
wenn man daHinter gesehen hat, woraus man ein "richtiges"
Resultat erhält, wenn man seine Gedanken frei macht, frei von
allem was im Internet passiert oder angesehen werden kann.

Durch probieren erreicht man dann schneller eine Lösung, als
dass man stupide versucht alle möglichen Terme durchrechnet,
obwohl schon mit einer einfachen Formel das Ergebnis berechnet
werden kann.

Ich kann Wolfgang gut verstehen, das man die Perlen nicht vor
den Schweinchens Füssen wirft.

Vielmals ist die eigenständige Aneignung von neuen Wissen von
vielen verlernt worden - und das mit Absicht.
Ich spreche nur von Handy.

Könnt Ihr Euch vorstellen, das Wolfgang in einer Gesamtschule
arbeitet, wo dann auch Inklusion betrieben wird?
Kann einer von Euch sich unter dem wörtchen "Inklusion" was
vorstellen?

Was nützt einem des Professors, oder Lehrer Titels', wenn dieser
nicht in der Lage ist, ein Spässjen in den Unterricht einfließt,
um die "strenge" Mathematik zu entschärfen und den Prüfungs-
stress zu mindern.

Ich finds gut.

Ich hoffe anständigst das es nach Wolfgang dasein, einige Art-
ähnlichen Menschen geben wird, von denen man lernen kann, aber
dann lustigerweise.

- Denn: Freude macht glücklich. Freude macht Spass. Alles im
Ganzen, macht es mehr Spass, Dinge zu erlernen.
Man sollte seinen Beruf wechsel, wenn man ihn nicht
mit Spass, Energie, Motivation ausübt.
Aber bei Wolfgang sehe ich letzteres nicht, er ist immer
voller Tatendrang...

Gruß, Jens

[Dieter Heidorn]

Ganzhinterseher schrieb:

> Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 14. Januar 2022 um 21:30:23 UTC+1:
>> Ganzhinterseher schrieb:
>

>> Wie die Cantorsche Funktion und ihre Umkehrfunktion zeigen, ist die
>> Paarmenge ℕxℕ abzählbar.
>
> Deine Begründung ist widerlegt.

Davon ist nichts zu sehen. Ich habe dir mehrfach die Cantor-Funktion
und ihre Umkehrfunktion vorgelegt und die Bijektivität der dadurch
gegebenen Abbildung zwischen ℕxℕ und ℕ gezeigt. Die Zusammenfassung
deiner sachbezogenenen Einwände zu dem vorgelegten Material ist durch
die leere Menge gut beschreibbar.

Höchstens folgendem Satz von dir könnte man einen entfernten Bezug zur
Cantor-Funktion zuerkennen:

> Fakt ist aber, dass alle Zahlen Deiner Funktion aleph_0 Nachfolger
> haben, über die Deine Funktion natürlich schweigt.

"Alle Zahlen der Cantor-Funktion" sind - wie das bei Funktionen nun
einmal der Fall ist - die Elemente der Definitionsmenge und die
Elemente der Zielmenge. Im Falle der Cantor-Funktion

f: ℕxℕ --> ℕ ; f(i,j) = n

sind das die Paare (i,j) natürlicher Zahlen und die natürlichen
Zahlen n. Für die Umkehrfunktion

f^(-1): ℕ --> ℕxℕ ; f^(-1)(n) = (i,j)

sind das die natürlichen Zahlen und die Paare (i,j) natürlicher Zahlen.

Die Funktionen sind für alle Paare bzw. alle natürlichen Zahlen
definiert, und alle natürlichen Zahlen bzw. alle Paare natürlicher
Zahlen werden als Werte angenommen. Es "fehlt" also nichts, auch wenn
jede endliche natürliche Zahl n ℵ_0 Nachfolger besitzt.

(Falls du an deine "dunklen Zahlen" denken solltest: die gibt es in der
realen Mathematik nicht.)

>> Das Problem/Paradoxon ist im Prinzip das Gleiche wie bei Galileis
>> Paradoxon:
>>
>> Gibt es so viele natürliche Zahlen wie Quadrate natürlicher Zahlen,
>> wenn diese nach der Aufzählungsmethode gemessen werden?
>
> Nein, gibt es nicht.

Doch, und ich schrieb auch den Grund, warum man diese Ansicht vertreten
kann:

>> * Die Antwort lautet ja, denn für jede natürliche Zahl n gibt es eine
>> quadratische Zahl n^2 und auch umgekehrt.

Mit "Aufzählungsmethode" ist natürlich gemeint, dass die Quadrate
natürlicher Zahlen mit den natürlichen Zahlen abgezählt werden:

1 --> 1
2 --> 4
3 --> 9
...

Diese ein-eindeutige Zuordnung ist der Grund dafür, dass man die Frage:

"Gibt es so viele natürliche Zahlen wie Quadrate natürlicher Zahlen,
wenn diese nach der Aufzählungsmethode gemessen werden?"

mit "ja" beantworten kann.

Aber auch dein "Nein" war bereits erfasst:

* Die Antwort ist nein, weil die Quadrate eine echte Teilmenge der
der natürlichen Zahlen sind: Jedes Quadrat ist eine natürliche Zahl,
aber es gibt natürliche Zahlen wie 2, die keine Quadrate natürlicher
Zahlen sind.

Das Problem liegt darin begründet, dass für die Menge der natürlichen
Zahlen ℕ und für die Menge der Quadrate der natürlichen Zahlen nicht

angegeben werden kann, "wie viele" es jeweils gibt. Geht man unkritisch

vom Anzahlbegriff für endliche Mengen aus, dann sind die beiden
Antworten paradox.

Die Mengenlehre löst dieses Paradox dadurch, dass der Begriff der Größe
einer Menge in Bezug auf ihre Kardinalität definiert wird. Da zwischen
den beiden beteiligten Mengen eine Bijektion besteht, folgt die Antwort
"ja" direkt aus der Definition der Kardinalität einer Menge.

> Es kann aber für eine der beiden Mengen eine Zahl angenommen werden.
>

Dann gib' einmal mit einer natürlichen Zahl an, wieviele natürliche
Zahlen es gibt. Und für die Menge der Quadrate natürlicher Zahlen wirst
du dann ja auch mit einer natürlichen Zahl angeben können, wieviele es
davon gibt.

Den Rest deiner wirren Äußerungen habe ich erst einmal gelöscht, da
dich ja offensichlich bereits das wesentlich einfachere Galileische
Paradoxon überfordert.

Bleiben wir also erst einmal dabei. Und nun denke einmal nach:

* Wie viele natürliche Zahlen gibt es deiner Meinung nach?
Angabe selbstverständlich durch eine natürliche Zahl, da du ja
begrifflich von einer Anzahl ausgehst.

* Wie viele Quadratzahlen (Quadrate natürlicher Zahlen) gibt es deiner
Meinung nach? Auch hier: Angabe durch eine natürliche Zahl, da du
begrifflich von einer Anzahl ausgehst.

Ich warte...

Dieter Heidorn

[Ganzhinterseher]

Dieter Heidorn schrieb am Samstag, 15. Januar 2022 um 22:28:50 UTC+1:
> Ganzhinterseher schrieb:

> >> Wie die Cantorsche Funktion und ihre Umkehrfunktion zeigen, ist die
> >> Paarmenge ℕxℕ abzählbar.
> >
> > Deine Begründung ist widerlegt.
> Davon ist nichts zu sehen. Ich habe dir mehrfach die Cantor-Funktion
> und ihre Umkehrfunktion vorgelegt und die Bijektivität der dadurch
> gegebenen Abbildung zwischen ℕxℕ und ℕ gezeigt.

Du hast aber nicht gezeigt, wie das mit der Tatsache zusammenpasst, dass nach jeder Transposition die Menge der nicht indizierten Brüche dieselbe ist und bleibt. Das müsste noch geschehen. Zur Erinnerung:

Wenn wir in der Matrix

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
...

in der Ausgangsposition alle Indizes n an die Ganzzahlbrüche n/1 anhängen und an die übrigen Brüche Freizeichen O, und wenn wir dann Cantors Zuordnung vollziehen, dann ändert sich die Zahl der O niemals.

Die indizierten Brüche seien durch X gekennzeichnet:

XOOOOOOOO...
XOOOOOOOO...
XOOOOOOOO...
XOOOOOOOO...
XOOOOOOOO...
XOOOOOOOO...
XOOOOOOOO...
XOOOOOOOO...
XOOOOOOOO...
...

Nach dem achten Schritt z.B. ergibt sich folgendes Bild: 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2 sind indiziert, 4/1, 5/1, 6/1, 7/1, 8/1 haben ihre Indizes verloren.

XXXXOOOOO...
XOXOOOOOO...
XXOOOOOOO...
OOOOOOOOO...
OOOOOOOOO...
OOOOOOOOO...
OOOOOOOOO...
OOOOOOOOO...
XOOOOOOOO...
...

In keinem Schritt ändert sich die Anzahl der Indizes X, womit auch die Anzahl der Freizeichen O konstant bleibt. Wie ist das mit der vollständigen Indizierung verträglich?

Gruß, WM

[Jens Kallup]

Am 16.01.2022 um 00:10 schrieb Ganzhinterseher:
> Wenn wir in der Matrix
>
> 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
> 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> ...
>
> in der Ausgangsposition alle Indizes n an die Ganzzahlbrüche n/1 anhängen und an die übrigen Brüche Freizeichen O, und wenn wir dann Cantors Zuordnung vollziehen, dann ändert sich die Zahl der O niemals.

oh wie Schlau. Ich bin begeistert.

1/1, 2/2, 3/3, 4/4 --> hin rechts Verschiebung: linkes Diagonal Arg
4/4, 3/3, 2/2, 1/1 <-- zurück links Verschiebung; rechtes Diagonal Arg


bewirkt grandiosser Weise immer das Selbe, man ahne, und staune, es gibt
nur eins (1) Element, was da zu nennen wäre.

Also wirklich, ich bin begeistert :-)

Gruß, Jens

[Jens Kallup]

Am 16.01.2022 um 00:18 schrieb Jens Kallup:
> Am 16.01.2022 um 00:10 schrieb Ganzhinterseher:
>> Wenn wir in der Matrix
>>
>> 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
>> 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
>> 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
>> 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
>> ...
>>
>> in der Ausgangsposition alle Indizes n an die Ganzzahlbrüche n/1
>> anhängen und an die übrigen Brüche Freizeichen O, und wenn wir dann
>> Cantors Zuordnung vollziehen, dann ändert sich die Zahl der O niemals.
>
> oh wie Schlau. Ich bin begeistert.
>
> 1/1, 2/2, 3/3, 4/4 --> hin    rechts Verschiebung: linkes  Diagonal Arg
> 4/4, 3/3, 2/2, 1/1 <-- zurück links  Verschiebung; rechtes Diagonal Arg

erweitert auf oo:
LHS RHS
---------------------+-------------------------
..., aleph_1/aleph_2, aleph_3/aleph_4,
aleph_5/aleph_6 aleph_6/aleph_5,
aleph_4/aleph_3, aleph_2/aleph_1,
aleph_1/aleph_0, ...

von oben nach unten betrachtet plus Abzug von 1 (Vorgänger) sortiert:

- Differenz zwischen: aleph_2 AND aleph_4 = aleph_2 - 1 = aleph_1 = P
- Differenz zwischen: aleph_6 AND aleph_5 = aleph_1 - 1 = aleph_0 = M

- Differenz zwischen: aleph_3 AND aleph_1 = aleph_2 - 1 = aleph_1 = P
- Differenz zwischen: aleph_1 AND aleph_0 = aleph_0 - 1 = |IN| = M *

P = Plus oder: rechts oder: oben oder: schwarz ...
M = Minus oder: links oder: unten oder: weis ...

Mit Sternchen * markierte Zeilen entsprechen "nicht anwendbar (wegen:
Prime/nicht invertierbar oder "nicht definiert = {0}").

[Ganzhinterseher]

Dieter Heidorn schrieb am Samstag, 15. Januar 2022 um 22:28:50 UTC+1:
> Ganzhinterseher schrieb:

Fortsetzung, weil es gestern schon spät war.

> alle Paare natürlicher
> Zahlen werden als Werte angenommen. Es "fehlt" also nichts, auch wenn
> jede endliche natürliche Zahl n ℵ_0 Nachfolger besitzt.

Doch, es fehlen diese Nachfolger, denn es handelt sich dabei auch um natürliche Zahlen, wie sich z.B. in
|ℕ \ {1, 2, 3, ...}| < ℵo
deutlich zeigt.

>
> (Falls du an deine "dunklen Zahlen" denken solltest: die gibt es in der
> realen Mathematik nicht.)

Das ist eine soeben widerlegte Behauptung.

> >> Gibt es so viele natürliche Zahlen wie Quadrate natürlicher Zahlen,
> >> wenn diese nach der Aufzählungsmethode gemessen werden?
> >
> > Nein, gibt es nicht.
> Doch, und ich schrieb auch den Grund, warum man diese Ansicht vertreten
> kann:
> >> * Die Antwort lautet ja, denn für jede natürliche Zahl n gibt es eine
> >> quadratische Zahl n^2 und auch umgekehrt.

Diese Ansicht erwächst aus der für die potentiell unendliche Menge ℕ möglichen Bijektion
n <--> Wurzel(n). Aber alle Zahlen darin haben ℵo Nachfolger, die ebenfalls natürliche Zahlen sind, über die aber nichts ausgesagt werden kann.

> Mit "Aufzählungsmethode" ist natürlich gemeint, dass die Quadrate
> natürlicher Zahlen mit den natürlichen Zahlen abgezählt werden:
>
> 1 --> 1
> 2 --> 4
> 3 --> 9
> ...

Auch hier könnte man für die aktual unendlichen Mengen sicherlich ein ähnliches Argument finden, wie ich zur Bruchlandung der Bruchzählung angegeben habe.

> Aber auch dein "Nein" war bereits erfasst:
> * Die Antwort ist nein, weil die Quadrate eine echte Teilmenge der
> der natürlichen Zahlen sind: Jedes Quadrat ist eine natürliche Zahl,
> aber es gibt natürliche Zahlen wie 2, die keine Quadrate natürlicher
> Zahlen sind.
>
> Das Problem liegt darin begründet, dass für die Menge der natürlichen
> Zahlen ℕ und für die Menge der Quadrate der natürlichen Zahlen nicht
> angegeben werden kann, "wie viele" es jeweils gibt. Geht man unkritisch
> vom Anzahlbegriff für endliche Mengen aus, dann sind die beiden
> Antworten paradox.
>
> Die Mengenlehre löst dieses Paradox dadurch, dass der Begriff der Größe
> einer Menge in Bezug auf ihre Kardinalität definiert wird. Da zwischen
> den beiden beteiligten Mengen eine Bijektion besteht, folgt die Antwort
> "ja" direkt aus der Definition der Kardinalität einer Menge.

Die Mengenlehre versagt, wie man an meinem Argument sieht: In keinem der möglichen Schritte verschwindet ein O vom Brett. Man muss sich also auf die matheologische Explosion verlassen, die angeblich nach allen endlichen Schritten erfolgt. Sie wird immer wieder benötigt, sei es in der Vereinigung aller endlichen Anfangsabschnitte von ℕ oder im leeren Schnitt aller unendlichen Endsegmente, sei es beider Entfaltung der überabzählbar vielen Pfade des Binären Baums oder bei Dagoberts Pleite, oder eben beim Verschwinden der O's. Aber welcher logisch denkende Mensch kann denn daran glauben?

>
> > Es kann aber für eine der beiden Mengen eine Zahl angenommen werden.
> >
> Dann gib' einmal mit einer natürlichen Zahl an, wieviele natürliche
> Zahlen es gibt.

Das geht nicht, weil jede angegebene Zahl nur angebbare Zahlen zählt. Das ist eine potentiell unendliche Menge, also stets endlich, aber ohne obere Schranke.

> Und für die Menge der Quadrate natürlicher Zahlen wirst
> du dann ja auch mit einer natürlichen Zahl angeben können, wieviele es
> davon gibt.

Für die angebbaren kann man zu jedem n die Wurzel angeben und zu jedem n auch das Quadrat. Dass es sich dabei nicht um gleichzahlige Mengen handeln kann, sollte jedem einleuchten. Obwohl sie im Englischen unter equinumerous abgelegt werden.

> * Wie viele natürliche Zahlen gibt es deiner Meinung nach?
> Angabe selbstverständlich durch eine natürliche Zahl, da du ja
> begrifflich von einer Anzahl ausgehst.

Anzahlen sind bei Cantor nicht auf natürliche Zahlen beschränkt. Ich hatte Dir das bereits mitgeteilt. Die Anzahl der natürlichen Zahlen ist |ℕ|.

>
> * Wie viele Quadratzahlen (Quadrate natürlicher Zahlen) gibt es deiner
> Meinung nach?

Die Anzahl ist (bisher) nicht bestimmt worden, aber sie ist kleiner als |ℕ|, kleiner als |ℕ|/2, und wohl auch kleiner als |ℕ|/n, wo n eine definierbare Zahl ist, denn der dunkle Bereich ist ein wirklich riesiger.

Gruß, WM

[JVR]

Jetzt haben wir wieder einmal Sonntag Morgen und Mücke ist aus der Kirche zurück
und arbeitet an seinem Lebenswerk. Vermutlich ist er zunächst noch nüchtern, was ja
abends nicht der Fall zu sein scheint. Also bitte zu Gemüte führen:

\pi(x,y) = \frac{1}{2} (x + y) (x + y + 1) + y ist bijektiv.