Umkehrfunktion zu tanh(x)

[Jens Rathmann]

Hi

Ich versuche gerade, die Umkehrfunktion von tanh(x) zu bilden...

y = tanh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))

Also forme ich ein bisschen um:

y*(e^x + e^(-x)) = e^x - e^(-x)
y*e^x + y*e^(-x) = e^x - e^(-x) / multiplizieren mit e^x
y^(2*x) + y = e^(2*x) -1

Hier komme ich nicht weiter... sieht ziemlich einfach aus, aber ich
komme einfach nicht drauf...

Danke!

Jens

[Stephan Bielicke]

Hallo,

> y*e^x + y*e^(-x) = e^x - e^(-x) / multiplizieren mit e^x
> y^(2*x) + y = e^(2*x) -1

so wird das nichts. Substituiere e^x=z und löse dann nach z auf (wird
quadratisch). Schließlich noch x=ln z benutzen (z>0?)

Gruß
Stephan

"Jens Rathmann" <rath...@uni.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3A449D0A...@uni.de...

> Hi
>
> Ich versuche gerade, die Umkehrfunktion von tanh(x) zu bilden...
>
> y = tanh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))
>
> Also forme ich ein bisschen um:
>
> y*(e^x + e^(-x)) = e^x - e^(-x)
>

[Jens Rathmann]

Stephan Bielicke wrote:

> Hallo,
>
> > y*e^x + y*e^(-x) = e^x - e^(-x) / multiplizieren mit e^x
> > y^(2*x) + y = e^(2*x) -1
>
> so wird das nichts. Substituiere e^x=z und löse dann nach z auf (wird
> quadratisch). Schließlich noch x=ln z benutzen (z>0?)

Könntest Du das mal vorrechnen... substituieren durch z bringt irgendwie
nichts (mir zumindest)... in obiger Gleichung ist e^(2*x) ja auch schon
quadratisch.

> Gruß
> Stephan

MfG, Jens

[Frank Simon]

> y = tanh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))
>
> Also forme ich ein bisschen um:
>
y*(e^x + e^(-x)) = e^x - e^(-x)

y*e^x + y*e^(-x) = e^x - e^(-x) | * e^x
y^(2*x) + y = e^(2*x) -1 | -y -e^2x
y*e^2x-e^2x=-1-y
e^2x(y-1)=-1-y | : (y-1)
e^2x=(-1-y)/(y-1) | : ln : 2
x=ln((-1-y)/(y-1))/2

x=ln((1+y)/ln(1-y))/2
x=ln(1+y)/2-ln(1-y)/2 | tausche x und y
y=ln(1+x)/2-ln(1-x)/2

[Lukas-Fabian Moser]

On Sat, 23 Dec 2000 16:07:39 +0100, Jens Rathmann <rath...@uni.de>
wrote:

>Könntest Du das mal vorrechnen... substituieren durch z bringt irgendwie
>nichts (mir zumindest)... in obiger Gleichung ist e^(2*x) ja auch schon
>quadratisch.

Also, tanh(x) = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x) = y

Setze z := e^x, dann ist

y = (z-1/z)/(z+1/z) = (z^2 - 1)/(z^2+1) = 1 - 2/(z^2+1).

Es ist also 1 - y = 2/(z^2+1), also z^2+1 = 2/(1-y) bzw.
z^2 = 2/(1-y) - 1 = (1+y)/(1-y)

exp(x)^2 = (1+y)/(1-y)

1+y und 1-y müssen also dasselbe Vorzeichen haben, das ist nur der
Fall für -1 < y < 1. Dann darf man die Wurzel ziehen und
logarithmieren:

x = 1/2 ln[(1+y)/(1-y)]. Da Nenner und Zähler beide positiv sein
müssen, kann man noch den Logarithmus aufspalten, also

x = 1/2 (ln(1+y) - ln(1-y))

Damit ist artanh(x) = 1/2 (ln(1+y) - ln(1-y))

Lukas (TFC)

[Jens Rathmann]

Frank Simon wrote:

> > y = tanh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))
> >
> > Also forme ich ein bisschen um:
> >
> y*(e^x + e^(-x)) = e^x - e^(-x)
> y*e^x + y*e^(-x) = e^x - e^(-x) | * e^x
> y^(2*x) + y = e^(2*x) -1 | -y -e^2x
> y*e^2x-e^2x=-1-y

Danke für Deine schnelle Antwort. Kann es sein, daß Du in dem obigen
letzten Schritt einen Fehler gemacht hast? Wo kommt auf einmal das
y*e^2x links her?

> e^2x(y-1)=-1-y | : (y-1)
> e^2x=(-1-y)/(y-1) | : ln : 2
> x=ln((-1-y)/(y-1))/2
>
> x=ln((1+y)/ln(1-y))/2
> x=ln(1+y)/2-ln(1-y)/2 | tausche x und y
> y=ln(1+x)/2-ln(1-x)/2

MfG, Jens

[Stephan Bielicke]

Hallo,

na klar:
y*e^x + y*e^(-x) = e^x - e^(-x) | z=e^x
y*z+y*z^-1=z-z^-1 | *z
y*z^2+y=z^2-1
y+1=(y-1)*z^2
z=+/-wurzel[(y+1)/(y-1)]
Jetzt noch über Vorzeichen nachdenken,
das war's

Stephan

"Jens Rathmann" <rath...@uni.de> schrieb im Newsbeitrag

news:3A44BFBB...@uni.de...

[Frank Simon]

y*(e^x + e^(-x)) = e^x - e^(-x)
y*e^x + y*e^(-x) = e^x - e^(-x) | * e^x

y*e^(2*x) + y = e^(2*x) -1 | -y -e^2x <- Mein Fehler !!!
y*e^2x-e^2x=-1-y

[Andreas Bierhals]

Hi,
Noch ein Vorschlag...:

y = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x)) # Rechte Seite mit e^x erweitern
y = (e^(2x) - 1) / (e^(2x) + 1) # Setze A := e^(2x)
y = (A-1)/(A+1)
...
A = (1-y)/(1+y) # Zurücksubstituieren
e^(2x) = (1-y)/(1+y)

=>

x = 1/2 ln((1-y)/(1+y))

Viele Grüße und frohe Weihnachten!

Andreas