Frage zu vollst. Induktion

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Brigitta Jennen

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Aug 11, 2021, 12:33:32 PMAug 11
to
Liebe Mitleser,
ich habe eine Frage zur vollständigen Induktion, weil ich im Netz keine für
mich voll verständliche Antwort zu meiner Frage gefunden habe. Insbesondere bei Youtube kursiert menr Schwachsinn als Hilfe.

Bewiesen werden soll mittels vollständiger Induktion:

n^2 >= (2n + 1) für n e N mit n > 2

a. Ind.-Anfang : 3^2 = 9 >= (2*3) +1 = 7 (IA erfüllt)
b. Ind.-Vorauss. : n^2 >= (2n + 1)
c. Ind.-Behauptg. : (n+1)^2 >= [2(n+1) +1]
d. Ind.-Schluss : Ziel - Umformung der li Seite unter Verwendung der
Ind.-Voraussetzung so, dass sich der Ausdruck rechts
ergibt.

Linke Seite:
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
(n+1)^2 >= (2n + 1) + 2n + 1 (laut Ind.-Vorauss.)

(Ungleichung bleibt richtig, wenn ich die re Seite verkleinere)

(n+1)^2 >= ( n + 1) + 2n + 1 (re Seite um n verkleinert)
>= ( n + 1) + n + n + 1
>= ( n + 1) + (n + 1) + n (re Seite nur umgestellt)
>= ( n + 1) + (n + 1) + 1 (re Seite verkleinert: n->1 ers.)

>= [2(n+1) +1] (Damit aus linker Seite die re hergeleitet)

Frage1:
Würde diese Vorgehensweise in einer Mathematikprüfung der Uni so akzeptiert?

Frage2:
Wenn ich bewiesen habe, dass gilt: n^2 >= (2n + 1)
Dann kann ich in dieser (bewiesenen) Ungleichung die re Seite ja weiter verkleinern und sie bleibt richtig:

n^2 >= (2n + 1) -2
>= (2n - 1)

Das heißt, ich habe damit auch bewiesen, dass n^2 >= (2n - 1)

Oder müßte ich hier nochmals explizit den Nachweis über vollständige Induktion erbringen?
Der vollständige Induktionsbeweis, ausgehend von n^2 >= (2n - 1) ist mir leider nicht gelungen, lediglich der "Umweg" über n^2 >= (2n + 1) und dann der o.a. Schluss.

Würde das akzeptiert oder ist irgendwo ein Fehler?

Danke und Grüße
Brigitta

Stephan Gerlach

unread,
Aug 11, 2021, 1:35:42 PMAug 11
to
Brigitta Jennen schrieb:
> Liebe Mitleser,
> ich habe eine Frage zur vollständigen Induktion, weil ich im Netz keine für
> mich voll verständliche Antwort zu meiner Frage gefunden habe.
> Insbesondere bei Youtube kursiert menr Schwachsinn als Hilfe.

Kann sein; hängt vermutlich vom Thema ab.

> Bewiesen werden soll mittels vollständiger Induktion:
>
> n^2 >= (2n + 1) für n e N mit n > 2

Das ist relativ einfach.

> a. Ind.-Anfang : 3^2 = 9 >= (2*3) +1 = 7 (IA erfüllt)
> b. Ind.-Vorauss. : n^2 >= (2n + 1)
> c. Ind.-Behauptg. : (n+1)^2 >= [2(n+1) +1]
> d. Ind.-Schluss : Ziel - Umformung der li Seite unter Verwendung der
> Ind.-Voraussetzung so, dass sich der Ausdruck rechts
> ergibt.
>
> Linke Seite:
> (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
> (n+1)^2 >= (2n + 1) + 2n + 1 (laut Ind.-Vorauss.)
>
> (Ungleichung bleibt richtig, wenn ich die re Seite verkleinere)
>
> (n+1)^2 >= ( n + 1) + 2n + 1 (re Seite um n verkleinert)
> >= ( n + 1) + n + n + 1
> >= ( n + 1) + (n + 1) + n (re Seite nur umgestellt)
> >= ( n + 1) + (n + 1) + 1 (re Seite verkleinert: n->1 ers.)
>
> >= [2(n+1) +1] (Damit aus linker Seite die re hergeleitet)
>
> Frage1:
> Würde diese Vorgehensweise in einer Mathematikprüfung der Uni so akzeptiert?

Da deine Vorgehensweise formal richtig ist, vermutlich ja.
Wenngleich du die letzte Ungleichung auch einfacher bekommst:
(2n + 1) + 2n + 1 = 4n + 2 >= 2n + 3 = 2(n+1) +1

> Frage2:
> Wenn ich bewiesen habe, dass gilt: n^2 >= (2n + 1)
> Dann kann ich in dieser (bewiesenen) Ungleichung die re Seite ja weiter verkleinern und sie bleibt richtig:
>
> n^2 >= (2n + 1) -2
> >= (2n - 1)
>
> Das heißt, ich habe damit auch bewiesen, dass n^2 >= (2n - 1)

Ja.

> Oder müßte ich hier nochmals explizit den Nachweis über vollständige Induktion erbringen?

Normalerweise ist das unnötig, falls die erste Formel als bekannt
vorausgesetzt werden darf.

> Der vollständige Induktionsbeweis, ausgehend von n^2 >= (2n - 1) ist mir leider nicht gelungen,

Welche Ungleichung sollte denn überhaupt bewiesen werden:
n^2 >= (2n - 1),
n^2 >= (2n + 1)
oder beide? Für welche n sollte (falls überhaupt) die erste Gleichung
bewiesen werden?

> lediglich der "Umweg" über n^2 >= (2n + 1) und dann der o.a. Schluss.
>
> Würde das akzeptiert oder ist irgendwo ein Fehler?

Zumindest ist das richtig. Wenn du "Umweg" schreibst, klingt das so, daß
nur n^2 >= (2n - 1) bewiesen werden sollte. Das ist im übrigen noch
einfacher als die "erste" Ungleichung, da es dafür einen sehr einfachen
Beweis (ohne Induktion) gibt.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 11, 2021, 2:44:54 PMAug 11
to
Am 11.08.2021 um 18:33 schrieb Brigitta Jennen:

> Der vollständige Induktionsbeweis, ausgehend von n^2 >= (2n - 1) ist mir leider nicht gelungen, lediglich der "Umweg" über n^2 >= (2n + 1) und dann der o.a. Schluss.

Dein Induktionsbeweis für n^2 >= 2n + 1 (n > 2) war OK und sollte
unbedingt akzeptiert werden. Vielleicht hättest Du noch explizit am
Beginn schreiben sollen: "Induktionsanfang für n = 3", aber es ist klar,
dass Du das gemeint hattest.

Ich fände es gut, wenn Du zeigst, wie weit Du beim entsprechenden
direkten Beweisversuch für
n^2 >= 2n - 1 (für alle natürlichen Zahlen n >= 0)
gekommen warst. Dann sehen wir, wo Du stecken geblieben bist und können
helfen. Sowas übt gleich noch etwas mehr, als wenn alles glatt geht.

Was die Uni-Tauglichkeit betrifft: falls Du Deinen Induktionsbeweis für
2n + 1 sauber nutzen willst, dann musst Du noch die Fälle n < 3 explizit
hinschreiben:
2^2 >= 2*2-1 gilt, weil 4 >= 3
1^2 >= 2*1-1 gilt, weil 1 >= 1
0^2 >= 2*0-1 gilt, weil 0 >= -1

Gruß,
Rainer R.




Rainer Rosenthal

unread,
Aug 11, 2021, 3:15:30 PMAug 11
to
Am 11.08.2021 um 18:33 schrieb Brigitta Jennen:
>
> Bewiesen werden soll mittels vollständiger Induktion:
>
> n^2 >= (2n - 1) für alle n e N
>

Ich habe mir inzwischen den analogen direkten Induktionsbeweis für 2n-1
angeschaut, und tatsächlich steckt da eine kleine Gemeinheit drin, die
es nötig macht, explizit n > 0 voraussetzen zu können beim
Induktionsschritt von n auf n+1.

Aber ich bin gespannt, wie Deine Herleitungs aussieht, und wo sie
stecken bleibt. Aber vielleicht beißt Du Dich beim zweiten Anlauf selbst
durch.
Good luck!

Noch eine Anmerkung zu dem von Dir vorgeführten Beweis.
Du hattest geschrieben:

(n+1)^2 >= ...
>= ( n + 1) + (n + 1) + n (re Seite nur umgestellt)
>= ( n + 1) + (n + 1) + 1 (re Seite verkleinert: n->1 ers.)

Dieser Schritt ist zulässig, weil Du nur solche n betrachtest, die
mindestens gleich 3 sind. Das könnte dann so aussehen:

(n+1)^2 >= ...
>= ( n + 1) + (n + 1) + n (re Seite nur umgestellt)
>= ( n + 1) + (n + 1) + 1 (weil n >= 3)

Gruß,
Rainer R.


Jens Kallup

unread,
Aug 11, 2021, 4:14:54 PMAug 11
to
Am 11.08.2021 um 18:33 schrieb Brigitta Jennen:
> [2(n+1) +1]

diese eckigen Klammern:
sind das einfach eine Erweiterung, damit man sehen kann,
in welchen Level man sich befindet - also auch einfach

( 2 * (n + 1) + 1)

schreiben könnte ?

oder hat das was mit der Induktion ansich was zu tun ?

Jens

Brigitta Jennen

unread,
Aug 11, 2021, 4:21:59 PMAug 11
to
Lieber Stephan, lieber Rainer,

ich danke sehr für die hilfreichen Antworten. Nach meiner Netzrecherche
war ich ziemlich verunsichert, da die Beschäftigung mit den mathematischen
Grundlagen bei mir doch schon fast 40 Jahre zurückliegt :-)

Nachdem ich - mehr zufällig - über das Programm "Anki" gestolpert bin, mit
dem man komfortabel mittels (digitaler) Karteikarten lernen kann, ist
der Ehrgeiz angesprungen, einiges aus der (mathematischen) Vergangenheit
didaktisch so aufzubereiten und auf die elektronischen Karteikarten zu
übernehmen, dass die Grundlagen dauerhaft zu lernen sind und nicht gleich
wieder vergessen werden. Das funktioniert mit dem System erstaunlich gut,
nur die optische Gestaltung der Karten ist mühsam, aber extrem wichtig.

@ Stephan Gerlach schrieb ...

> Wenngleich du die letzte Ungleichung auch einfacher bekommst:
> (2n + 1) + 2n + 1 = 4n + 2 >= 2n + 3 = 2(n+1) +1

Den Schritt 4n + 2 >= 2n + 3 hab ich nicht verstanden.

> Wenn du "Umweg" schreibst, klingt das so, daß
> nur n^2 >= (2n - 1) bewiesen werden sollte. Das ist im übrigen noch
> einfacher als die "erste" Ungleichung, da es dafür einen sehr einfachen
> Beweis (ohne Induktion) gibt.

Etwa so?
Ausgangspunkt: 2. Binomische Formel (n-1)^2 >= 0 für alle n e N
n^2 -2n + 1 >= 0 ==> n^2 >= 2n - 1
Das wäre quasi der "direkte" Beweis.


@ Rainer Rosenthal schrieb ...

> Ich fände es gut, wenn Du zeigst, wie weit Du beim entsprechenden
> direkten Beweisversuch für n^2 >= 2n - 1 (für alle natürlichen Zahlen n >= 0)
> gekommen warst. Dann sehen wir, wo Du stecken geblieben bist und können
> helfen. Sowas übt gleich noch etwas mehr, als wenn alles glatt geht.

OK.
Zu beweisen: n^2 >= (2n - 1) für n e N mit n > 0

a. Ind.-Anfang (n=1) : 1^2 = 1 >= (2*1) -1 = 1 (IA erfüllt)
b. Ind.-Vorauss. : n^2 >= (2n - 1)
c. Ind.-Behauptg. : (n+1)^2 >= [2(n+1) - 1]
d. Ind.-Schluss : Umformung der li Seite unter Verwendung der
Ind.-Voraussetzung.

Linke Seite:
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
(n+1)^2 >= (2n-1) + 2n + 1 (lt. Ind.-Voraussetzung)
(n+1)^2 >= (2n-1) + n + n + 2 - 1 (1 re addiert, wieder abgezogen)
(n+1)^2 >= (2n-1) + n + n + 1 + 1 - 2 (zusätzlich re 1 abgezogen)
(n+1)^2 >= (2n-1) + (n+1) + (n+1) - 2
(n+1)^2 >= (2n-1) + 2(n+1) - 2 = 2(n+1) - 1 - 1 + [2n - 1)
(n+1)^2 >= 2(n+1) - 1 + [2n - 2]

Die rechte Seite stimmt jetzt bis auf den Term in der eckigen Klammer
[2n - 2] = 2[n-1] mit der rechten Seite der Induktions-Behauptung überein.

Aaaah - ich glaub jetzt seh ich's:

Wenn ich den Term 2[n-1] auf der rechten Seite weglasse, verkleinere ich ja
die rechte Seite weiter, wodurch die Ungleichung erst recht richtig bleibt.
Da n>0 sein muss, ergibt 2[n-1]
für n=1 gerade Null, d.h. die Ungleichung stimmt,
für n>1 was Positives, so dass die Ungleichung stimmt, wenn ich was positives
von der rechten Seite abziehe.

D.h. ich kann schreiben:
(n+1)^2 >= 2(n+1) - 1 + [2n - 2] >= 2(n+1) - 1
Richtig?

Wenn das so richtig ist, hat mir der "Formalismus" auf die Sprünge geholfen.
Bei meinen frustranen Versuchen (spät nachts) hab ich nicht sofort gesehen, dass
[2n - 2) für n>0 immer was Positives ist.

Danke nochmals an Euch und Bitte um Nachsicht für die eigentlich triviale Frage
aus der mathematischen Folklore :-)
Grüße
Brigitta

p.s.
Anki ist der Hammer, lediglich für mathematische Formeln etwas unpraktisch.
Man braucht viel Zeit für das didaktisch saubere Erstellen der Karten.

Brigitta Jennen

unread,
Aug 11, 2021, 4:25:08 PMAug 11
to
kallu...@web.de schrieb am Mittwoch, 11. August 2021 um 22:14:54 UTC+2:
> Am 11.08.2021 um 18:33 schrieb Brigitta Jennen:
> > [2(n+1) +1]
>
> diese eckigen Klammern:
> sind das einfach eine Erweiterung, damit man sehen kann,
> in welchen Level man sich befindet - also auch einfach
> ( 2 * (n + 1) + 1)
> schreiben könnte ?

JA, dient nur der transparenten Klammerung.

> oder hat das was mit der Induktion ansich was zu tun ?

Nein, das ist nicht induktions-spezifisch.

> Jens

Jens Kallup

unread,
Aug 11, 2021, 5:05:47 PMAug 11
to
Am 11.08.2021 um 22:21 schrieb Brigitta Jennen:
> p.s.
> Anki ist der Hammer, lediglich für mathematische Formeln etwas unpraktisch.
> Man braucht viel Zeit für das didaktisch saubere Erstellen der Karten.

nun, Du kannst ja mal ein Screen-Shot machen.
Vielleicht kann ich helfen, ein DOS-Programm zu erstellen, das dann
unter MS-DOS von Windows oder auch unter Linux Terminal einsatzfähig
ist.

Bin da immer sehr offen.
Weils, auch Spaß macht, hier positives zu lesen - Danke.

Jens

Tom Bola

unread,
Aug 11, 2021, 5:27:24 PMAug 11
to
Jens Kallup schrieb:

> Vielleicht kann ich helfen, ein DOS-Programm zu erstellen

Wenn du mal dazu übergehen würdest erst zu lesen...

Keine Angst, das sage ich dir, wenn überhaupt, alles nur einmal...

Jens Kallup

unread,
Aug 11, 2021, 5:39:24 PMAug 11
to
jaja, der Abend wird schön :)

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 11, 2021, 7:05:01 PMAug 11
to
Am 11.08.2021 um 22:21 schrieb Brigitta Jennen:
>
> Den Schritt 4n + 2 >= 2n + 3 hab ich nicht verstanden.
>
Er benötigt die Voraussetzung n > 0, um richtig zu sein.
Deine Zweifel waren berechtigt. Mit etwas mehr Mut hättest Du das zum
Ausdruck gebracht. Zur Kontrolle und als Hilfe zur Selbsthilfe:

4n + 2 >= 2n + 3 gilt genau dann, wenn 2n >= 1, d.h. n >= 1/2. Da n
ganzzahlig ist, gilt das genau dann, wenn n >= 1 ist.

>> Wenn du "Umweg" schreibst, klingt das so, daß
>> nur n^2 >= (2n - 1) bewiesen werden sollte. Das ist im übrigen noch
>> einfacher als die "erste" Ungleichung, da es dafür einen sehr einfachen
>> Beweis (ohne Induktion) gibt.
>
> Etwa so?
> Ausgangspunkt: 2. Binomische Formel (n-1)^2 >= 0 für alle n e N
> n^2 -2n + 1 >= 0 ==> n^2 >= 2n - 1
> Das wäre quasi der "direkte" Beweis.

Ja, cool. Dank auch für den Hinweis von Stephan.

> Linke Seite:
> (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
> ...
> (n+1)^2 >= 2(n+1) - 1 + [2n - 2]
>
> Die rechte Seite stimmt jetzt bis auf den Term in der eckigen Klammer
> [2n - 2] = 2[n-1] mit der rechten Seite der Induktions-Behauptung überein.
>
> Aaaah - ich glaub jetzt seh ich's:
>
Sowas freut einen doch ...


> Wenn ich den Term 2[n-1] auf der rechten Seite weglasse, verkleinere ich ja
> die rechte Seite weiter, wodurch die Ungleichung erst recht richtig bleibt.
> Da n>0 sein muss, ergibt 2[n-1]
> für n=1 gerade Null, d.h. die Ungleichung stimmt,
> für n>1 was Positives, so dass die Ungleichung stimmt, wenn ich was positives
> von der rechten Seite abziehe.
>
> D.h. ich kann schreiben:
> (n+1)^2 >= 2(n+1) - 1 + [2n - 2] >= 2(n+1) - 1
> Richtig?
>
> Wenn das so richtig ist, hat mir der "Formalismus" auf die Sprünge geholfen.
> Bei meinen frustranen Versuchen (spät nachts) hab ich nicht sofort gesehen, dass
> [2n - 2) für n>0 immer was Positives ist.

Hier hat das zugeschlagen, was ich in meinem letzten Posting so
geschrieben hatte:
"Ich habe mir inzwischen den analogen direkten Induktionsbeweis für 2n-1
angeschaut, und tatsächlich steckt da eine kleine Gemeinheit drin, die
es nötig macht, explizit n > 0 voraussetzen zu können beim
Induktionsschritt von n auf n+1. "

Das ist insofern eine Gemeinheit, als die Ungleichung n^2 >= 2n - 1 ja
auch für n = 0 gilt.

Wenn die Aufgabe genau so gestellt wurde:
Zu beweisen: n^2 >= (2n - 1) für n e N mit n > 0
... dann ist n > 0 automatisch gegeben und der Induktionsanfang OK:
a. Ind.-Anfang (n=1) : 1^2 = 1 >= (2*1) -1 = 1 (IA erfüllt)

Hätte die Aufgabe gelautet:
Zu beweisen: n^2 >= (2n - 1) für n e N mit n >= 0
... dann würde man so starten:
a. Ind.-Anfang (n=0) : 0^2 = 0 >= (2*0) -1 = -1 (IA erfüllt)

hätte dann aber (und das ist die GEMEINHEIT) den Schluss von n = 0 zu n
= 1 nicht geschafft mit dem oben genannten Induktionsschritt.
Verzeih, dass ich so korinthenkackerisch bin, aber ich fand das selbst
bemerkenswert und verblüffend.

> Danke nochmals an Euch und Bitte um Nachsicht für die eigentlich triviale Frage
> aus der mathematischen Folklore :-)

Gern geschehen, und es werden weitaus trivialere Fragen hier wochenlang
diskutiert :-)
Und wie die oben erwähnte GEMEINHEIT zeigt, ist Vorsicht angebracht bei
der Verwendung des Wortes trivial.

Gruß,
Rainer R.

Juergen Ilse

unread,
Aug 11, 2021, 7:37:00 PMAug 11
to
Hallo,

Brigitta Jennen <ladya...@gmail.com> wrote:
> Liebe Mitleser,
> ich habe eine Frage zur vollständigen Induktion, weil ich im Netz keine für
> mich voll verständliche Antwort zu meiner Frage gefunden habe. Insbesondere bei Youtube kursiert menr Schwachsinn als Hilfe.
>
> Bewiesen werden soll mittels vollständiger Induktion:
>
> n^2 >= (2n + 1) für n e N mit n > 2
>
> a. Ind.-Anfang : 3^2 = 9 >= (2*3) +1 = 7 (IA erfüllt)
> b. Ind.-Vorauss. : n^2 >= (2n + 1)
> c. Ind.-Behauptg. : (n+1)^2 >= [2(n+1) +1]
> d. Ind.-Schluss : Ziel - Umformung der li Seite unter Verwendung der
> Ind.-Voraussetzung so, dass sich der Ausdruck rechts ergibt.

Multipliziere in der Induktionsbehautung doch erst mal den Term auf der
linken Seite aus, und sieh nach, ob du mittels dder Induktionsvoraussetzung
eine passende Abschaeetzung fuer diesen ausmultiplizierten Term finden kannst.
> Linke Seite:
> (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
> (n+1)^2 >= (2n + 1) + 2n + 1 (laut Ind.-Vorauss.)

Ja, so meinte ich das. Nun fasse ddoch einfach mal die rechte Seite zusammen
und vergleiche den Term, den du auf diese Weise erhaeeltst mit dem ausmul-
tiplizierten Term der rechten Seite deiner Induktionsbehauptung.

> Frage1:
> Würde diese Vorgehensweise in einer Mathematikprüfung der Uni so akzeptiert?

Vermutlich ja. Ich haette zuerst einmal die rechte Seite der Induktions-
behauptung zu 4n+2 zusammengefasst. Aus n>2 (siehe Induktionsvoraussetzung)
ist dieser Term groesser als 2n+6 (und damit natuerlich auch sicher groesser
als 2n+3 ( =2(n+1)+1 ). An dieser stelle geht also die in der Aufgabe gege-
bene Voraussetzung n>2 in den Beweis ein (indem man 2n mit 4 nach unten
abschaetzt).

> Frage2:
> Wenn ich bewiesen habe, dass gilt: n^2 >= (2n + 1)
> Dann kann ich in dieser (bewiesenen) Ungleichung die re Seite ja weiter verkleinern und sie bleibt richtig:
>
> n^2 >= (2n + 1) -2
> >= (2n - 1)
>
> Das heißt, ich habe damit auch bewiesen, dass n^2 >= (2n - 1)

Ja, aber was bringt dir das? Selbstverstaendlich ist mit der zu beweisenden
Behauptung auch jeder strenge Abschaeetzung erfuellt, nur sehe ich omentaan
nicht so recht den Sinn darin.

> Oder müßte ich hier nochmals explizit den Nachweis über vollständige Induktion erbringen?

Nein, sofern du 2n+1>=2n-1 als gegeben akzeptierst (was aber auch ohne
vollstaendige Induktion aus der wahren Aussage 2>=0 folgt, wenn man auf
beiden Seiten 2n-1 addieren wuerde).

> Der vollständige Induktionsbeweis, ausgehend von n^2 >= (2n - 1) ist mir leider nicht gelungen, lediglich der "Umweg" über n^2 >= (2n + 1) und dann der o.a. Schluss.

Ich muss zugeben, dass ich mir deine Abschaetzungen an der Stelle gar nicht
mehr genau angesehen hatte, so dass ich zu deren Korrektheit nicht viel sagen
kann.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

unread,
Aug 11, 2021, 7:43:26 PMAug 11
to
Hallo,

Jens Kallup <kallu...@web.de> wrote:
> Am 11.08.2021 um 18:33 schrieb Brigitta Jennen:
>> [2(n+1) +1]
>
> diese eckigen Klammern:
> sind das einfach eine Erweiterung, damit man sehen kann,
> in welchen Level man sich befindet - also auch einfach
>
> ( 2 * (n + 1) + 1)
>
> schreiben könnte ?

Ja.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Brigitta Jennen

unread,
Aug 12, 2021, 9:32:26 AMAug 12
to
Rainer Rosenthal schrieb am Donnerstag, 12. August 2021 um 01:05:01 UTC+2:

> "Ich habe mir inzwischen den analogen direkten Induktionsbeweis für 2n-1
> angeschaut, und tatsächlich steckt da eine kleine Gemeinheit drin, die
> es nötig macht, explizit n > 0 voraussetzen zu können beim
> Induktionsschritt von n auf n+1. "
> Das ist insofern eine Gemeinheit, als die Ungleichung n^2 >= 2n - 1 ja
> auch für n = 0 gilt.
>
...
> Hätte die Aufgabe gelautet:
> Zu beweisen: n^2 >= (2n - 1) für n e N mit n >= 0
> ... dann würde man so starten:
> a. Ind.-Anfang (n=0) : 0^2 = 0 >= (2*0) -1 = -1 (IA erfüllt)
>
> hätte dann aber (und das ist die GEMEINHEIT) den Schluss von n = 0 zu n
> = 1 nicht geschafft mit dem oben genannten Induktionsschritt.

Hallo Rainer,
ich frage nochmal nach, weil ich das auch nach längerem Nachdenken noch nicht verstanden
habe:
Ich starte mit n=0 ==> die Induktionsbehauptung ist erfüllt (Induktions-Anfang OK).
Mit n=1 ergibt sich 1^2 = 1 >= 2*1 -1 = 1 ==> für n=1 ebenfalls erfüllt.
Wieso muss ich n>0 explizit voraussetzen?
Danke und Gruß
B.

> Gruß,
> Rainer R.

Jens Kallup

unread,
Aug 12, 2021, 11:26:20 AMAug 12
to
Am 12.08.2021 um 15:32 schrieb Brigitta Jennen:
> Wieso muss ich n>0 explizit voraussetzen?

0^2 = 0

0 - 1 = -1 | auf beide Seiten -1 addieren:
-1 = -1
0 = 0 | i.O.

1^2 = 1 = n

((2 * n) - 1) = 2 - 1 = 1
1 (-1) = (-1) | multipliziert mit -1
-1 +1 = +1 | +1
0 +2 = +2 | -2
0 = 0 | i.O.

Jens

Gus Gassmann

unread,
Aug 12, 2021, 11:35:13 AMAug 12
to
n >= 0 reicht. Aber mit, z.B., n = -1 ergibt sich (-1)^2 = 1 >? 2(-1) - 1 = -3. Doch wohl nicht...

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 12, 2021, 12:31:50 PMAug 12
to
Am 12.08.2021 um 15:32 schrieb Brigitta Jennen:
> Hallo Rainer,
> ich frage nochmal nach, weil ich das auch nach längerem Nachdenken noch nicht verstanden
> habe:
> Ich starte mit n=0 ==> die Induktionsbehauptung ist erfüllt (Induktions-Anfang OK).
> Mit n=1 ergibt sich 1^2 = 1 >= 2*1 -1 = 1 ==> für n=1 ebenfalls erfüllt.
> Wieso muss ich n>0 explizit voraussetzen?

Was ich so bemerkenswert fand, war dies:

Für n = 0 gilt die Ungleichung n^2 >= 2n - 1.
Soweit, so gut, sieht nach einem soliden Induktionsanfang aus.

Jetzt schreibe aber bitte die Schritte auf, die den Induktionsschluss
bilden sollen. Und zwar nimm bitte die, die Du bereits einmal vorgeführt
hattest.

Kannst Du wirklich /mittels dieses Induktionsschlusses/ von n=0 zu
größeren n kommen?
Oder gibt es in der Schlusskette nicht doch eine Stelle, an der n > 0
vorausgesetzt werden muss?

Lieben Gruß,
Rainer



Rainer Rosenthal

unread,
Aug 12, 2021, 12:43:20 PMAug 12
to
Also wieso denn nicht? Was ist an 1 >= -3 falsch?

Bitte unterscheiden:

(1) Für die Ungleichung n^2 >= 2n - 1 reicht n >= 0.
(Wegen (n-1)^2 >= 0 gilt n^2 >= 2n - 1 sogar immer.

(2) Lässt man sich auf einen Induktionsbeweis ein und macht den
Induktionsanfang für n = 0, dann funktioniert die kürzlich vorgestellte
Schlusskette des Induktionsschlusses nicht einmal für den Schritt von n
= 0 zu n = 1.

Gruß,
RR


Brigitta Jennen

unread,
Aug 12, 2021, 1:53:32 PMAug 12
to
Rainer Rosenthal schrieb am Donnerstag, 12. August 2021 um 18:31:50 UTC+

> Was ich so bemerkenswert fand, war dies:
>
> Für n = 0 gilt die Ungleichung n^2 >= 2n - 1.
> Soweit, so gut, sieht nach einem soliden Induktionsanfang aus.
>
> Jetzt schreibe aber bitte die Schritte auf, die den Induktionsschluss
> bilden sollen. Und zwar nimm bitte die, die Du bereits einmal vorgeführt
> hattest.
>
> Kannst Du wirklich /mittels dieses Induktionsschlusses/ von n=0 zu
> größeren n kommen?
> Oder gibt es in der Schlusskette nicht doch eine Stelle, an der n > 0
> vorausgesetzt werden muss?
>
Ok.
Ich hatte geschrieben:

(n+1)^2 >= 2(n+1) - 1 + [2n - 2]
Die rechte Seite stimmt jetzt bis auf den Term in der eckigen Klammer
[2n - 2] = 2[n-1] mit der rechten Seite der Induktions-Behauptung überein

Für n=0 wird der Term -2, ich kann den nicht einfach weglassen, um die re Seite weiter zu verkleinern. Das geht nur, wenn ich n>0 voraussetze!!
Korrekt? Rainer Du bist Klasse!
Ich bin da viel zu locker drüber weggegangen.
Gruß B.

> Lieben Grüße
> Rainer

Jens Kallup

unread,
Aug 12, 2021, 2:22:20 PMAug 12
to
Hallo Brigitta,

= [2n - 2] = 2[n-1]
= (2*n - 2) = 2*n + (2*-1)
= (2*n - 2) = 2*n + 1
= 2*n - 2 = 2*n + 1 | - 2*n
= - 2 = + 1 | * -1
= 2 = - 1 | dividiert durch 1/2

= 2 * 0.5 = 1 / 1/2
= 2 * 0.5 = (1 / 1 * 2 / 1) = (2*1) / (1*2) = 1

= 1 = 1 | -1
= 0 = 0 | i.O.

Jens

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 12, 2021, 2:27:23 PMAug 12
to
Am 12.08.2021 um 19:53 schrieb Brigitta Jennen:

> Ich bin da viel zu locker drüber weggegangen.
> Gruß B.

Hat Spaß gemacht. Wie gesagt, ist mir solch eine "Gemeinheit" auch noch
nie über den Weg gelaufen.

Man kann natürlich die Nase rümpfen und sagen: wozu der Aufwand mit
Induktionsbeweis für etwas, was aus (n-1)^2 >= 0 sofort folgt?
Mathe hat aber auch was Spielerisches, und die Regeln sind klar. Warum
also nicht auch mal was ausprobieren?

Gruß,
Rainer

Tom Bola

unread,
Aug 12, 2021, 2:33:41 PMAug 12
to
Jens Kallup schrieb:

> = - 2 = + 1 | * -1

Frag mal Ralf, der liest dir das vor...

Jens Kallup

unread,
Aug 12, 2021, 3:38:03 PMAug 12
to
meinst Du das Vorgekaute hier von mir?

Tom Bola

unread,
Aug 12, 2021, 3:41:18 PMAug 12
to
Jens Kallup schrieb:
Ich verstehe das jedenfalls nicht.

Jens Kallup

unread,
Aug 12, 2021, 3:58:06 PMAug 12
to
Am 12.08.2021 um 21:41 schrieb Tom Bola:
> Ich verstehe das jedenfalls nicht.

na dann stelle doch die Frage so um, damit ich erkennen kann,
wo denn Dein Denkfehler sein könnte.

Es kann durchaus möglich sein, das meine Berechnungen nicht
stimmen.

Aber eine eindeutige Diagnose kann nur gestellt werden, wenn
der Patient (Du) dem Onkel Doktor sagt, wo es den weh tut.

Ein Arzt würde Dich also dahergehend erstmal einen allgemeinen
Gesundheitszustand prüfen.
Stellt sich dabei raus, das der Arzt keine ernsthafte Diagnose
stellen kann (zum Beispiel weil der Patient gesagt hat, das er
ein Spenderherz braucht), und alle Untersuchen "positiv"
ausgefallen sind.

Dann brauch auch keine Herztransplantation vorgenommen werden.
Damit ist nicht zu spassen !

Darum sollte zwischen Patient und Arzt ein Vertrauensverhältnis
oder wie man das so schreiben oder nennen darf, aufgebaut werden;
trotz aller Möglichkeiten, den "gläzernden" Patienten vor sich
zu Haben.

Manchmal hilft es ja auch schon, einmal eine Hanf auf die
Schulter des Patienten zu tätscheln.

Jens

Tom Bola

unread,
Aug 12, 2021, 4:02:18 PMAug 12
to
Jens Kallup schrieb:

> schrieb Tom Bola:
>> Ich verstehe das jedenfalls nicht.
>
> na dann stelle doch die Frage so um, damit ich erkennen kann,
> wo denn Dein Denkfehler sein könnte.

> = - 2 = + 1 | * -1

Das Gleichheitszeichen ist fraglich, wahrscheinlich muss da "<=" hin.

Jens Kallup

unread,
Aug 12, 2021, 4:07:57 PMAug 12
to
Am 12.08.2021 um 22:02 schrieb Tom Bola:
> Das Gleichheitszeichen ist fraglich, wahrscheinlich muss da "<=" hin.

achso, ja. ... das, klar.

das so ne (uneigenartige) Angewohnheit von mir zu kennzeichnen,

- "das aus dem Term folgendes folgt, ..." oder
- "der Term kann gleichgesetzt werden mit, ..."
"... also das gleiche bedeutet wie, ..."

ja der Fehlerteufel wieder unterwegs gewesen.
Aber in der Term-Berechnung wollte ich auch nicht gerade die
(Übersicht) gänzlich verfremden, das ich stets:

A <=> B

schreibe.

Jens

Torn Rumero DeBrak

unread,
Aug 12, 2021, 5:25:31 PMAug 12
to
Wohahaha, der ist gut. Wann schreibst du das? Immer? Was ist deine
Definition von "immer"? Zwischen deinen Aussagen habe ich
jedenfalls sehr selten "<=>" oder "=>" gesehen.

Was soll "<=>" bedeuten, wenn A und B Terme sind?
Wenn da steht:

Term1 <= Term2

dann hat "<=" die Bedeutung von "kleiner gleich". Und dieses Zeichen
kann nicht dasselbe sein, wenn

Aussage1 <= Aussage2

geschrieben wird: denn das bedeutet, dass aus der Aussage2 die Aussage1
folgt.

Ist dir der Unterschied zwischen "Term" und "Aussage" bewust?

Jens Kallup

unread,
Aug 12, 2021, 5:53:21 PMAug 12
to
nun, eine Aussage (sagt was über einen Sachverhalt aus)
während ein Term erstmal garnichts sagt (gute Brücke von Dir um die
Fresse zu halten, jaja, ich mal wieder.... :)

Der Term, über den man später eine Aussage machen kann, müss ja nicht
zwangsläufig berechnet werden.
Es reicht ja schon, wenn dort die zu erwartenden Konstanten oder auch
Variablen mit oder ohne Wert stehen.


=> verwende ich immer dann, wenn ich kennzeichnen will, "das darauf
folgt ..."

<==> das ist sicherlich noch historisch begründet,
weil für [ (, und < kann man, was ja Heute auch für Hauptschüler
interessant sein dürfte (die dürfen noch klein und groß zusammen
vewenden (einige der Poster hier, schreiben ja die Redeform DU
nicht mit Du, sondern einfach nur du.

Und weil man ( ) klammern ja "ausklammern" kann, oder auch ggf.
gänzlich igonorieren kann (Ausnahmen gibt es durchaus), das dann
nur noch == übrig bleibt.

In der Informationstheorie verwendet man:

A == B

um eine Releation mit vorhandener Bedingung aufzubauen zum Beispiel
mit den Schlüßelwort: WENN

WENN A == B ... dann mache was sinnvolles ...

Weil in diesen Zusammenhang A == A oder B == B sinnfrei wären, ist
es durchaus möglich A und B zu vertauschen (in ihrer Ordnung):

A == B ist genauso wie
B == A

aber A == A
und B == B sind sinnfreie Ressourcen-Schwendungen.

Ich gebe Dir Recht, das vieles von den Mathelogen anders angewandt wird,
als jenes, was ich hier frabriziere.
Aber ich habe es Euch schon mehrmals geschrieben: Ich weder Student noch
Berufsmathematiker (meine Arbeit im Moment besteht darin, anderen Leuten
Essen zuzubereiten - also Koch).

Das Euch manches vielleicht unverständlich scheint, dann sitzen wir im
gleichen Boot - vieles muss ich erstmal nachlesen oder übersetzen, um
zu begreifen, was ihr da überhaupt redet.

Vor allem kommt dann noch hinzu, das die Gespräche kreuz und quer gehen.
Der eine sagt das, dann kommt der andere und sagt, ja genau, das war
genau das was ich meinte, obwohl derjenige weiß, das dies Stuß ist.

Dann wird dann vollzitiert, so dass die eigentliche Information unter
geht.
Ich sag ja nur: Wendehälse - einmal hüh, einmal hot.
Ich weiß grad nicht ob das so eine fruchtende Kommunikation ist.

Vor allem werden da unbedarfte Frösche die ins klate Wasser geworfen
werden nicht besonderlich gefördert.

Vielleicht sollte man daher gehend aufeinander zugehen und Kompromisse
eingehen, wie: gut, Du hast das so geschrieben, ich nehme an, das Du das
so und so gemeint hast.
Das wäre doch ein Anfang?

Die Mathematik ist halt so ein großes Feld (imaginär größ), weil diese
schon seit jahrhunderten existiert und jeder Hanswurst was beitragen
will, und mit seinen Eigene Sprachgebrauch dieses Gebiet nicht gerade
födert, im Gegenteil, der Lernstoff wird missverstanden und aufgepauscht
bis in die Baumwipfeln.

Aber ich versuche entsprechend meiner Fähigkeiten Beschreibungen für
das zu Finden, was ich meine, ausdrücken zu wollen.

Also im diesen Sinne
Jens

Stephan Gerlach

unread,
Aug 12, 2021, 7:26:16 PMAug 12
to
Brigitta Jennen schrieb:
> Lieber Stephan, lieber Rainer,
>
> ich danke sehr für die hilfreichen Antworten. Nach meiner Netzrecherche
> war ich ziemlich verunsichert, da die Beschäftigung mit den mathematischen
> Grundlagen bei mir doch schon fast 40 Jahre zurückliegt :-)
>
> Nachdem ich - mehr zufällig - über das Programm "Anki" gestolpert bin, mit
> dem man komfortabel mittels (digitaler) Karteikarten lernen kann, ist
> der Ehrgeiz angesprungen, einiges aus der (mathematischen) Vergangenheit
> didaktisch so aufzubereiten und auf die elektronischen Karteikarten zu
> übernehmen, dass die Grundlagen dauerhaft zu lernen sind und nicht gleich
> wieder vergessen werden. Das funktioniert mit dem System erstaunlich gut,
> nur die optische Gestaltung der Karten ist mühsam, aber extrem wichtig.
>
> @ Stephan Gerlach schrieb ...
>
>> Wenngleich du die letzte Ungleichung auch einfacher bekommst:
>> (2n + 1) + 2n + 1 = 4n + 2 >= 2n + 3 = 2(n+1) +1
>
> Den Schritt 4n + 2 >= 2n + 3 hab ich nicht verstanden.
>
>> Wenn du "Umweg" schreibst, klingt das so, daß
>> nur n^2 >= (2n - 1) bewiesen werden sollte. Das ist im übrigen noch
>> einfacher als die "erste" Ungleichung, da es dafür einen sehr einfachen
>> Beweis (ohne Induktion) gibt.
>
> Etwa so?
> Ausgangspunkt: 2. Binomische Formel (n-1)^2 >= 0 für alle n e N
> n^2 -2n + 1 >= 0 ==> n^2 >= 2n - 1
> Das wäre quasi der "direkte" Beweis.

Ja, genau das meinte ich.
Ja, sollte soweit stimmen.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

Fritz Feldhase

unread,
Aug 12, 2021, 8:23:44 PMAug 12
to
On Wednesday, August 11, 2021 at 6:33:32 PM UTC+2, Brigitta Jennen wrote: [...]

Ich versuche hier mal

n^2 >= 2n - 1 für n >= 1

mittels Induktion zu zeigen. (Anmerkung am Rande: Für n = 0 stimmt die Formel natürlich auch, denn 0^2 = 0 >= 2*0 - 1 = -1.)

Es gilt1^2 = 1 >= 2*1 - 1 = 1. Es gelte n^2 >= 2n - 1. Zu zeigen ist, dass dann auch (n+1)^2 >= 2(n+1) - 1 gilt. Die zuletzt angeführte Ungleichung ist äquivalent zu n^2 + 2n + 1 >= (2n + 2) - 1, und das ist äquivalent zu n^2 + (2n + 1) >= (2n - 1) + 2 (Hierbei wurden im letzten Schritt nur die Terme auf der linken und rechten Seite anderes "zusammengefasst".) Laut Voraussetzung gilt n^2 >= 2n - 1. D. h. wenn wir zeigen könnten dass 2n + 1 >= 2 (für n >= 1) gilt, wären wir fertig. Wir wollen das mittels Induktion zeigen: Es gilt 2*1 + 1 = 3 >= 2. Es gelte 2n + 1 >= 2. Zu zeigen ist, dass dann auch 2(n+1) + 1 >= 2 bzw. (2n + 1) + 2 >= 2 gilt. Wegen 2 >= 1 ist das in der Tat der Fall. Damit ist alle gezeigt.

Ich habe das jetzt ein wenig komprimiert, aber die wesentlichen Schritte dürften stimmen (hoffe ich).

Natürlich geht das auch deutlich einfacher. Die Ungleichung n^2 >= 2n - 1 ist äquivalent zu n^2 - 2n + 1>= 0 und das ist äquivalent zu (n - 1)^2 >= 0. Die Ungleichung (n - 1)^2 >= 0 gilt tatsächlich für alle n >= 1, denn n >= 1 impliziert n - 1 >= 0, und das auf beiden Seiten mit n - 1 multipliziert ergibt (eben weil n - 1 >= 0 ist) (n - 1)^2 >= 0.

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 13, 2021, 2:20:51 AMAug 13
to
Am 13.08.2021 um 02:23 schrieb Fritz Feldhase:
> D. h. wenn wir zeigen könnten dass 2n + 1 >= 2 (für n >= 1) gilt, wären wir fertig. > Wir wollen das mittels Induktion zeigen

Nein, das wollen wir sicher nicht.
Denn wenn n >= 1 ist, ist 2n + 1 >= 2*1 + 1 >= 2 + 1 >= 2. Fertig. Wieso
Induktion?

Dass die Ungleichung n^2 >= 2n - 1 für alle n gilt, wurde bereits
mehrfach geschrieben.
Interessant wird es, wenn man einen Induktionsbeweis führen soll für
diesen Satz:

Satz S: Es gilt n^2 >= 2n - 1 für alle natürlichen Zahlen n >= 0.

Man muss dann den Induktionsanfang nämlich sowohl für n = 0 als auch für
n = 1 machen.
Schreibt man nach "Schema F" nur
"Induktionsanfang für n = 0: 0^2 >= 2*0 - 1 gilt, weil 0 >= -1 ist",
dann funktioniert der Induktionsschluss mit der beschriebenen Kette nicht.
Denn die eingangs notierte Ungleichung "2n + 1 >= 2" ist für n = 0 falsch.

Der korrekte Induktionsanfang lautet also:
Satz S gilt für n = 0, weil 0^2 = 0 >= -1 = 2*0 - 1
und für n = 1, weil 1^2 = 1 >= 1 = 2*1 - 1.

Denn nun darf man für die Anwendung des Induktionsschlusses n >= 1
voraussetzen.

Brigitta hat das bereits verstanden und sich über diese Feinheit
gefreut, die ich als "Gemeinheit" tituliert hatte, weil sie bei
oberflächlicher und schematischer Anwendung des Induktionsschemas Fehler
produziert.

Gruß,
RR


Fritz Feldhase

unread,
Aug 13, 2021, 4:11:38 AMAug 13
to
On Friday, August 13, 2021 at 8:20:51 AM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:
> Am 13.08.2021 um 02:23 schrieb Fritz Feldhase:
> >
> > D. h. wenn wir zeigen könnten dass 2n + 1 >= 2 (für n >= 1) gilt, wären wir fertig.
> > Wir wollen das mittels Induktion zeigen
> >
> Nein, das wollen wir sicher nicht.

HALTS MAUL! Und jetzt verzieh Dich wie der in das Loch, aus dem Du gekrochen bist!

Oder leiste Deinem Kumpel Mückenheim Gesellschaft bei der Befaselung von Antidiagonalen oder dunklen Zahlen, was auch immer. Aber bitte mach so schnell wie möglich die Fliege.

Fritz Feldhase

unread,
Aug 13, 2021, 4:14:23 AMAug 13
to
On Friday, August 13, 2021 at 10:11:38 AM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:

> HALTS MAUL! Und jetzt verzieh Dich wie der in das Loch, aus dem Du gekrochen bist!
>
> Oder leiste Deinem Kumpel Mückenheim Gesellschaft bei der Befaselung von Antidiagonalen oder dunklen Zahlen, was auch immer. Aber bitte mach so schnell wie möglich die Fliege.

Will sagen: Misch Dich nicht in Sachen ein, die Dich einen Scheißdreck angehen. Das Post war dezidiert an die Fragestellerin gerichtet. Typen wie Dich oder Mückenheim spreche ich damit nicht an.

*PLONK*

Fritz Feldhase

unread,
Aug 13, 2021, 4:49:27 AMAug 13
to
On Friday, August 13, 2021 at 2:23:44 AM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> On Wednesday, August 11, 2021 at 6:33:32 PM UTC+2, Brigitta Jennen wrote: [...]
>
> Ich versuche hier mal
>
> n^2 >= 2n - 1 für n >= 1
>
> mittels Induktion zu zeigen. (Anmerkung am Rande: Für n = 0 stimmt die Formel natürlich auch, denn 0^2 = 0 >= 2*0 - 1 = -1.)

Hier der Beweis noch einmal etwas vereinfacht:

Es gilt1^2 = 1 >= 2*1 - 1 = 1. Es gelte n^2 >= 2n - 1. Zu zeigen ist, dass dann auch (n+1)^2 >= 2(n+1) - 1 gilt. Die zuletzt angeführte Ungleichung ist äquivalent zu n^2 + 2n + 1 >= (2n + 2) - 1, und das ist äquivalent zu n^2 + (2n + 1) >= (2n - 1) + 2 (Hierbei wurden im letzten Schritt nur die Terme auf der linken und rechten Seite anderes "zusammengefasst".) Laut Voraussetzung gilt n^2 >= 2n - 1. D. h. wenn wir zeigen könnten dass 2n + 1 >= 2 (für n >= 1) gilt, wären wir fertig. Das aber folgt sofort aus n >= 1. Denn n >= 1 impliziert 2n >= 2 bzw. 2n + 1 >= 2 + 1 >= 2 + 0 = 2 (wegen 1 >= 0) und damit 2n + 1 >= 2. Damit ist alles gezeigt.

> Ich habe das jetzt ein wenig komprimiert, aber die wesentlichen Schritte dürften stimmen (hoffe ich).
>
> Natürlich geht das auch deutlich einfacher. Die Ungleichung n^2 >= 2n - 1 ist äquivalent zu n^2 - 2n + 1 >= 0 und diese ist äquivalent zu (n - 1)^2 >= 0. Die Ungleichung (n - 1)^2 >= 0 gilt tatsächlich für alle n >= 1, denn n >= 1 impliziert n - 1 >= 0, und aus n - 1 >= 0 folgt (durch Multiplikation mit n - 1 auf beiden Seiten) (n - 1)^2 >= 0 (eben weil n - 1 >= 0 ist).

Dieter Heidorn

unread,
Aug 13, 2021, 7:15:53 AMAug 13
to
Jens Kallup schrieb:
> Am 12.08.2021 um 22:02 schrieb Tom Bola:
>> Das Gleichheitszeichen ist fraglich, wahrscheinlich muss da "<=" hin.
>
> achso, ja. ... das, klar.
>
> das so ne (uneigenartige) Angewohnheit von mir zu kennzeichnen,
>
> - "das aus dem Term folgendes folgt, ..." oder [...]

Tom meint aber das Gleichheitszeichen in deiner Zeile

> - 2 = + 1
---

Das ist falsch und resultiert aus mehreren Fehlern in deiner Rechnung:

> [2n - 2] = 2[n-1]
> (2*n - 2) = 2*n + (2*-1)

Ja.

> (2*n - 2) = 2*n + 1
-------
Nein. 2*(-1) ist nicht gleich 1.

> 2*n - 2 = 2*n + 1 | - 2*n
> - 2 = + 1

Nein. -2 ist nicht gleich 1. Nicht einmal in Augsburg...

> 2 = - 1 | dividiert durch 1/2
> 2 * 0.5 = 1 / 1/2

Nein. Links muss stehen "2 / (1/2)", und rechts fehlt das "-".
Daraus ergibt sich

2 / (1/2) = -1 / (1/2)

2 * 2 = -2 * 1

4 = -2

Und das ist immer noch falsch...

> [...] | i.O.

Nein.

Dieter Heidorn

Brigitta Jennen

unread,
Aug 13, 2021, 9:11:24 AMAug 13
to
Liebe Mitleser,

da in diesem Thread sehr hilfreiche und interessante Gedanken mitgeteilt
wurden, möchte ich, bevor ich den Thread für mich persönlich schließe,
an dieser Stelle noch zwei Dinge tun:

(1) Dank für die konstruktiven Beiträge.
(2) Eine saubere Zusammenstellung des Gedankengangs mit dem Anspruch,
auch universitäre Anforderungen zu erfüllen (hoffentlich).
(Praktisch die Quintessenz des Wichtigsten als Synopse).

Folgt man den mathematischen Lehrbüchern, so verläuft ein strenger
mathematischer Beweis entlang der Trias DEFINITION - SATZ - BEWEIS
(in der Geometrie: Voraussetzung - Behauptung - Beweis)

Ich möchte die Vollständige Induktion als Beweisverfahren verwenden,
also muss ich zunächst sagen, worum es geht:

<START>

(1) DEFINITION
-------------------------
Sei A(n) eine von n e N abhängige Aussage.
Kann man zeigen, dass

a. die Aussage A für ein kleinstes n_0 e N gültig ist
(Induktions-Anfang: A(n_0)) und

b. unter der Voraussetzung, dass A(n) für eine beliebige natürliche Zahl
n >= n_0 gültig ist, die Aussage auch für den Nachfolger A(n+1) richtig ist
(Induktions-Schritt)

c. dann ist (wenn also a. und b. gültig sind) A(n) für alle
n e N mit n >= n_0 erfüllt.


(2) SATZ
-------------
n^2 >= (2n -1) für n e ℕ mit n > 0


(3) BEWEIS
------------------
durch Vollständige Induktion:

ACHTUNG: Hier steckt eine Falle im Induktionsbeweis (s.u.) wenn man
von n >= (!) 0 ausgeht.


a. Induktions-Anfang (IA): (n = 0): (0)^2 = 0 >= (2*0 -1) = -1
IA stimmt zwar, ist aber bei der
Induktion hier nicht erlaubt (s.u.)!
(n = 1): (1)^2 = 1 >= (2*1 -1) = 1

b. Induktions-Voraussetzung (IV): n^2 >= (2n - 1)
c. Induktions-Behauptung (IB): (n + 1)^2 >= (2(n + 1) - 1)
d. Induktions-Schluss(IS): <Start> mit Linker Seite
der Induktions-Behauptung.
Dann Umformung(en) und Abschätzung(en)
unter Verwendung der
Induktions-Voraussetzung, bis
Übereinstimmung mit rechter Seite </Ende>

Ausgangspunkt:
Linke Seite der Induktions-Behauptung

(n + 1)^2 = n2 + 2n + 1
>= (2n - 1) + (2n + 1) laut Induktions-Voraussetzung
>= (2n - 1) + n + n + 2 - 1 re Seite 1 addiert und subtrahiert
>= (2n - 1) + n + n + 1 + 1 - 2 re Seite erneut 1 subtrahiert
>= (2n - 1) + (n+1) + (n+1) - 2 re Seite umgestellt
>= (2n - 1) + 2(n+1) - 2 re Seite zusammengefasst
>= 2(n+1) - 1 - 1 + [2n - 1) umgeformt und umgestellt
>= 2(n+1) - 1 + [2n - 2] nochmals geeignet umgestellt

Die rechte Seite stimmt jetzt bis auf den Term in der eckigen Klammer
[2n - 2] = 2[n-1] mit der rechten Seite der Induktions-Behauptung überein.

Und ACHTUNG hier lauert jetzt die o.b. Falle:
An dieser Stelle muss man beim Induktionsbeweis explizit n > 0 voraussetzen,
weil ansonsten der nächste Schritt in der Induktions-Kette nicht zulässig ist
(Dank an Rainer Rosenthal, der das sofort gesehen hat).

Wenn ich den Term [2n - 2] = 2[n-1] auf der rechten Seite weglassen will
(um die rechte Seite noch weiter zu verkleinern), scheitert dieser Schritt
für n=0, da sich in diesem Fall [2n - 2] = 2[n-1] = -2 ergibt!
Einen Summanden, der die rechte Seite verkleinert (-2), kann ich bei der
weiteren Abschätzung nicht einfach weglassen, weil ich ja damit die rechte Seite
vergrößern und nicht weiter verkleinern würde!
Beim Induktionsbeweis muss also der Fall n = 0 explizit ausgeschlossen werden.
Das ist in der Tat hinterhältig, weil man das möglicherweise übersehen kann.
Beim direkten Beweis über Binom gilt diese Einschränkung nicht.

Für n > 0 allerdings kann man den Term in der eckigen Klammer gefahrlos
subtrahieren, da jetzt die rechte Seite ja weiter verkleinert wird und die
Ungleichung somit erst recht erfüllt ist.

D.h. ich kann schreiben: (n + 1)^2 >= 2(n+1) – 1 für n > 0

Ergebnis:
Durch Umformungen und Abschätzungen wurde die linke Seite in
die rechte Seite überführt, die der Behauptung entspricht.

(n + 1)2 >= (2(n+1) - 1) für n > 0


</END>

Grüße B.

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 13, 2021, 9:44:46 AMAug 13
to
Am 13.08.2021 um 15:11 schrieb Brigitta Jennen:
> (2) SATZ
> -------------
> n^2 >= (2n -1) für n e ℕ mit n > 0
>
>
> (3) BEWEIS
> ------------------
> durch Vollständige Induktion:
>
> ACHTUNG: Hier steckt eine Falle im Induktionsbeweis (s.u.) wenn man
> von n >= (!) 0 ausgeht.
>
>
> a. Induktions-Anfang (IA): (n = 0): (0)^2 = 0 >= (2*0 -1) = -1

Hallo Brigitta,

das hast Du wirklich sauber formuliert, prima!
Hier hast Du es Dir aber selbst etwas schwer gemacht, weil Du diese
"Gemeinheit" unbedingt gleich mit erledigen wolltest.
Mein Vorschlag:

Formuliere den Satz gleich für n >= 0 statt n > 0 (*)
Schreibe dann genau wie eben beide Fälle n = 0 und n = 1 als
Induktionsanfang, weil Du dann für den Induktionsschluss voraussetzen
darfst, dass n > 0 ist, nachdem der Beweis für n = 1 geliefert wurde.

Es macht die Lektüre des Beweises schwierig, wenn Du mittendrin Deine
"Hintergedanken" zum Besten geben willst.
Also lieber schlank durch. Wer einen Beweis lesen soll, ist erst einmal
schon damit beschäftigt, der Logik zu folgen. Unnötige Wenn und Aber
erschweren den Lesefluss, auch wenn sie gut gemeint sind.
Der Leser oder die Leserin wird vielleicht stutzen, wenn Du den
Induktionsanfang mit 0 und 1 startest, daher ist hier der Hinweis "für
den Induktionsschluss kann nun n > 0 vorausgesetzt werden" hilfreich.
Der Schluss wird dann auch sehr schlank:

...
>= 2(n+1) - 1 + [2n - 2] nochmals geeignet umgestellt
>= 2(n+1) - 1 wegen n > 0 (s.o.)

Bitte schreibe das nochmal in dieser schlanken Form auf, weil es Dir
dann sicher auch perfekt gefallen wird.
So sehr ich mich freue, dass wir hier so ein Schmankerl entdeckt haben,
machst Du mir und Dir eine noch größere Freude, wenn es so schön glatt
und einfach aussieht - und dabei trotzdem tadellos ist.

Hier einer meiner Lieblings-Mathesprüche:
Zu jedem Problem gibt es eine Lösung,
die elegant, kurz und ... falsch ist :-)

Und da wir schon bei Sprüchen sind, hier noch mein Lieblings-Mathe-Witz:
Sagt das alte Muttchen: "Ach hör'n se mir doch auf mit der Mathematik!
Das ist doch die Wissenschaft, die einem weismachen will, dass die
gleiche Zahl rauskommt, wenn man eine Spalte Zahlen von oben nach unten
zusammenzählt oder umgekehrt. Und das weiß doch jeder, dass das nicht
stimmt."

Lieben Gruß,
Rainer

(*) Wenn Du den Satz für n > 0 formulierst, dann macht n = 0 im
Induktionsanfang keinen Sinn.

Jens Kallup

unread,
Aug 13, 2021, 9:58:12 AMAug 13
to
Hallo Dieter,

kleiner Typo?

[2n - 2] = 2[n-1]
(2*n - 2) = 2*n + ( 2 * (-1))
(2*n - 2) = 2*n + (-1 * -1)
(2*n - 2) = 2*n + 1
2*n - 2 = 2*n + 1 | * 1/(2*n)
1 - 2 = 1 + 2 | -1
0 - 1 = 0 + 1 | * -1
- 1 = 1 | Betrag : | 1 |
| - 1| = | + 1 |
1 = 1 | minus 1
0 = 0 | i.O.

oder:

0 - 1 = 0 + 1 | * -1
- 1 = 1 | Potenz 2|

2 2
- 1 = 1

1 = 1 | -1
0 = 0 | i.O

Jens

Dieter Heidorn

unread,
Aug 13, 2021, 10:28:05 AMAug 13
to
Jens Kallup schrieb:
> Hallo Dieter,
>
> kleiner Typo?
>

Ja - bei dir:

> [2n - 2] = 2[n-1]
> (2*n - 2) = 2*n + ( 2 * (-1))
> (2*n - 2) = 2*n + (-1 * -1)
==========

Die rechte Seite ist falsch, denn es ist

2 * (-1) = (-1) + (-1) = -2.
==

Also ergibt sich

2*n - 2 = 2*n -2

und nicht:

> (2*n - 2) = 2*n + 1

Weitere Fehler deinerseits:

> 2*n - 2 = 2*n + 1 | * 1/(2*n)
> 1 - 2 = 1 + 2 | -1

Nein, sondern:

1 - 2/(2*n) = 1 + 1/(2*n)

1 - 1/n = 1 + 1/(2*n)


> 0 - 1 = 0 + 1

Nein, denn dann wäre

-1 = 1.

Dieter Heidorn

Brigitta Jennen

unread,
Aug 13, 2021, 10:32:16 AMAug 13
to
Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 13. August 2021 um 15:44:46 UTC+2:

> Hier hast Du es Dir aber selbst etwas schwer gemacht, weil Du diese
> "Gemeinheit" unbedingt gleich mit erledigen wolltest.
> Mein Vorschlag:
>
> Formuliere den Satz gleich für n >= 0 statt n > 0 (*)
> Schreibe dann genau wie eben beide Fälle n = 0 und n = 1 als
> Induktionsanfang, weil Du dann für den Induktionsschluss voraussetzen
> darfst, dass n > 0 ist, nachdem der Beweis für n = 1 geliefert wurde.

Vollkommen einverstanden.
Hab ich genau so gemacht. Sieht gut aus.

> Es macht die Lektüre des Beweises schwierig, wenn Du mittendrin Deine
> "Hintergedanken" zum Besten geben willst.
> Also lieber schlank durch. Wer einen Beweis lesen soll, ist erst einmal
> schon damit beschäftigt, der Logik zu folgen. Unnötige Wenn und Aber
> erschweren den Lesefluss, auch wenn sie gut gemeint sind.
> Der Leser oder die Leserin wird vielleicht stutzen, wenn Du den
> Induktionsanfang mit 0 und 1 startest, daher ist hier der Hinweis "für
> den Induktionsschluss kann nun n > 0 vorausgesetzt werden" hilfreich.
> Der Schluss wird dann auch sehr schlank:

Du hast recht. Wenn man das für Dritte schreibt, muss das klarer formuliert
werden.
>
> ...
> >= 2(n+1) - 1 + [2n - 2] nochmals geeignet umgestellt
> >= 2(n+1) - 1 wegen n > 0 (s.o.)
>
> Bitte schreibe das nochmal in dieser schlanken Form auf, weil es Dir
> dann sicher auch perfekt gefallen wird.
> So sehr ich mich freue, dass wir hier so ein Schmankerl entdeckt haben,
> machst Du mir und Dir eine noch größere Freude, wenn es so schön glatt
> und einfach aussieht - und dabei trotzdem tadellos ist.

Inzwischen hab ich Deine Anregungen umgesetzt und auf meine digitale
Anki-Karteikarte übernommen. Sieht wirklich super aus und ist zum effektiven
Lernen jetzt wirklich toll geeignet.

Der einzige Wermutstropfen ist, dass - ähnlich wie hier im Forumeditor - die
Formatierungsmöglichkeiten beschränkt sind. Ich finde es - gerade bei
Beweisen - unheimlich hilfreich, wenn man Operatoren und Blöcke bündig, also gleich
ausgerichtet, untereinander schreiben kann. Dann ist das für unser optisches
neuronales Netz didaktisch wesentlich einfacher und erleichtert das Erinnern.

> Hier einer meiner Lieblings-Mathesprüche:
Danke für die Mathesprüche - herrlich :-))

Ich will zum Schluss auch noch was Persönliches als kleine Anregung beisteuern:

Ich beschäftige mich als Medizinerin seit vielen Jahren mit Neuronalen Netzen,
in den letzten Jahren zunehmend mit der Programmierung. Mathematisch ist
das nichts Aufregendes, Lineare Algebra, Matrix-Rechnung ...

Aber die Ergebnisse sind teilweise verstörend, ähnlich wie in der Quantentheorie.

Du kennst sicherlich Bilder optischer Täuschungen von Escher u.a., die einen etwas
nachdenklich machen (sollten). Nun ist das optische NN nur eines von vielen im
Cortex und seinen Strukturen darunter. Der Hypothalmus, gerne als die Chefsekretärin
des Großhirns bezeichnet, ist da ein ganz anderes Kaliber. Dieses NN entscheidet,
ob etwas überhaupt und wie Deinem Bewußsein präsentiert wird.

Was man daraus lernt? Unser Gehirn ist ein grandioser und kreativer Geschichten-Erzähler!
Die Welt, wie wir sie wahrnehmen, ist absolut nicht die Realität, sondern wird von
unseren NN interpretiert
und uns so präsentiert, dass die Welt in unserem persönlichen Kontext "verträglich" wird.
Platons Höhlengleichnis, das ich im Alter von 12 Jahren im Griechischunterricht das
erste Mal gehört und bei weitem nicht verstanden habe, lässt grüßen ...

Für mich bleibt als Folge aus den Erkenntnissen des Umgangs mit NN:
Ich bin nachsichtiger geworden mit Menschen in meinem Umfeld, schon gar mit fremden
Menschen.
Wenn Sie wüßten, dass die Welt direkt vor Ihrer Nase noch viel bizarrer ist,
als sie es sich in ihren kühnsten Träumen auch nur vorstellen können, wären Sie
vielleicht etwas demütiger und schon gar nicht überheblich, rechthaberisch oder beleidigend.

In diesem Sinne grüßt
Brigitta

> Lieben Gruß,
> Rainer

Jens Kallup

unread,
Aug 13, 2021, 10:35:41 AMAug 13
to
Am 13.08.2021 um 16:28 schrieb Dieter Heidorn:
>> [2n  - 2] = 2[n-1]
>> (2*n - 2) = 2*n + ( 2 * (-1))
>> (2*n - 2) = 2*n + (-1 *  -1)
>                     ==========
>
> Die rechte Seite ist falsch, denn es ist
>
>    2 * (-1) = (-1) + (-1) = -2.
>                             ==

A)
n := 0


LHS: [2*n - 2] = 2 * 0 - 2 = 0 - 2
RHS: 2[n - 1] = 2 * 0 + 2 * 1 = 0 + 2

-2 = +2 | Betrag 2
|-2| = |+2|
2 = 2 | -2
0 = 0 | i.O.

oder:

2 = 2 | Potenz: 2

2 2
2 = 2

4 = 4 | -4

Jens Kallup

unread,
Aug 13, 2021, 10:49:36 AMAug 13
to
Hallo Brigitta,

Am 13.08.2021 um 16:32 schrieb Brigitta Jennen:
> Ich beschäftige mich als Medizinerin seit vielen Jahren mit Neuronalen Netzen,
> in den letzten Jahren zunehmend mit der Programmierung. Mathematisch ist
> das nichts Aufregendes, Lineare Algebra, Matrix-Rechnung ...

oh, eine Häxe :)
Ne, Spass.

Ich beschäftige mich hobbymäßig mit den Versuchen, verschieden
Konzepte der Logik in Prolog und Lisp umzusetzen.

In einen anderen Channel habe ich vor einiger Zeit mal ein
kleines Prolog Programm veröffentlicht.

Es geht darum:
- Essen Katzen Menschen?
- Essen Katzen Fisch ?

War sehr lustig, und ich war selbst erstaunt, dass das nur ein paar
Zeilen Code waren.

Vielleicht kennst Du den Post schon?
Wenn nicht, hier zum testen:

%% %< schnipp

human(menti).
human(jens).

eats(cats, X) :- human(X), !, fail.
eats(cats, fish).
eats(cats, jens).

eat(X, Y) :-
once(eats(X, Y))
-> writef('%t eats %t\n', [X,Y])
; writef('%t does not eat %t\n', [X,Y]).

%% >% schnapp

Jens

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 13, 2021, 10:58:18 AMAug 13
to
Am 13.08.2021 um 16:32 schrieb Brigitta Jennen:
> Wenn Sie wüßten, dass die Welt direkt vor Ihrer Nase noch viel bizarrer ist,
> als sie es sich in ihren kühnsten Träumen auch nur vorstellen können, wären Sie
> vielleicht etwas demütiger und schon gar nicht überheblich, rechthaberisch oder beleidigend.
>
> In diesem Sinne grüßt
> Brigitta

Das freut mich natürlich sehr, dass meine Hilfestellung wirklich ankam.
Als Go-Spieler haben mich die neuronalen Netze im Frühjahr 2016 kalt
erwischt, als AlphaGo mit 4:1 den Meister aller Meister vom Brett fegte.

Was das Bewusstsein betrifft, hat mich Julian Jaynes Anfang der 90-er
sehr berührt (Der Ursprung des Bewusstseins durch den Zusammenbruch der
bikameralen Psyche). Hihi, Titel aus dem Gedächtnis geholt.

Alles Gute,
Rainer

Dieter Heidorn

unread,
Aug 13, 2021, 10:59:50 AMAug 13
to
Jens Kallup schrieb:
> Am 13.08.2021 um 16:28 schrieb Dieter Heidorn:
>>> [2n - 2] = 2[n-1]
>>> (2*n - 2) = 2*n + ( 2 * (-1))
>>> (2*n - 2) = 2*n + (-1 * -1)
>> ==========
>>
>> Die rechte Seite ist falsch, denn es ist
>>
>> 2 * (-1) = (-1) + (-1) = -2.
>> ==
>
> A)
> n := 0
>
> LHS: [2*n - 2] = 2 * 0 - 2 = 0 - 2
> RHS: 2[n - 1] = 2 * 0 + 2 * 1 = 0 + 2
>
> -2 = +2
>

Und das ist falsch.

-2 und 2 sind verschiedene ganze Zahlen. Wenn du es dir nicht
vorstellen kannst, dann nimm die Zahlengerade zu Hilfe: Jeder Punkt
entspricht einer (hier:) ganzen Zahl. -2 und 2 liegen an verschiedenen
Punkten, und sind somit verschiedene Zahlen.

Soll ich's dir aufmalen oder bekommst du wenigstens das selber hin?

Dieter Heidorn


Jens Kallup

unread,
Aug 13, 2021, 11:03:21 AMAug 13
to
Am 13.08.2021 um 16:59 schrieb Dieter Heidorn:
>>  -2  =  +2
>>
>
> Und das ist falsch.
>
> -2 und 2 sind verschiedene ganze Zahlen. Wenn du es dir nicht
> vorstellen kannst, dann nimm die Zahlengerade zu Hilfe: Jeder Punkt
> entspricht einer (hier:) ganzen Zahl. -2 und 2 liegen an verschiedenen
> Punkten, und sind somit verschiedene Zahlen.
>
> Soll ich's dir aufmalen oder bekommst du wenigstens das selber hin?
>
> Dieter Heidorn

ich Bitte drum !!

schau doch mal:


-2^2 = 2^2 =
4 = 4 =
0 = 0

q.e.d.

Jens

Dieter Heidorn

unread,
Aug 13, 2021, 11:22:56 AMAug 13
to
Jens Kallup schrieb:
> Am 13.08.2021 um 16:59 schrieb Dieter Heidorn:
>>> -2 = +2
>>>
>>
>> Und das ist falsch.
>>
>> -2 und 2 sind verschiedene ganze Zahlen. Wenn du es dir nicht
>> vorstellen kannst, dann nimm die Zahlengerade zu Hilfe: Jeder Punkt
>> entspricht einer (hier:) ganzen Zahl. -2 und 2 liegen an verschiedenen
>> Punkten, und sind somit verschiedene Zahlen.
>>
>> Soll ich's dir aufmalen oder bekommst du wenigstens das selber hin?
>>
>
> ich Bitte drum !!
>

Hier:

... --|----|----|----|----|----|----|-- ...
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
=== ===

(das Pluszeichen wird beim Schreiben
der Zahlen meist weggelassen)

> schau doch mal:
>
> -2^2 = 2^2

Aus der Gleichheit der Quadrate von (-2) und 2 folgt nicht die
Gleichheit von (-2) und 2. Ausführlich:

(-2)^2 = 2^2

(-2)*(-2) = 2 * 2

(-1)*2 * (-1)*2 = 2 * 2

Da (-1)*(-1) = 1 ist, folgt:

2 * 2 = 2 * 2

und nicht "-2 = 2".

Dieter Heidorn


Jens Kallup

unread,
Aug 13, 2021, 11:29:13 AMAug 13
to
Am 13.08.2021 um 17:23 schrieb Dieter Heidorn:
> Aus der Gleichheit der Quadrate von (-2) und 2 folgt nicht die
> Gleichheit von (-2) und 2. Ausführlich:
>
>   (-2)^2  = 2^2
>
> (-2)*(-2) = 2 * 2
>
> (-1)*2 * (-1)*2 = 2 * 2

das ist richtig.
weil: minus mal minus, plus ergibt.

>
> Da (-1)*(-1) = 1 ist, folgt:
>
>      2 * 2 = 2 * 2

nein.
-1 * -1 = 1 i.O.

1 => 2 n.i.O

- "daraus folgt" ist falsch.
- 1 kann auch nicht gleich 2 sein, und
- 1 kann nicht größer 2 sein, und
- 1 kann auch nicht größer, gleich 2 sein.

>
> und nicht "-2 = 2".
>
> Dieter Heidorn

Fehler selbst erkannt ?
schön.

Jens

Dieter Heidorn

unread,
Aug 13, 2021, 11:48:52 AMAug 13
to
Jens Kallup schrieb:
> Am 13.08.2021 um 17:23 schrieb Dieter Heidorn:
>> Aus der Gleichheit der Quadrate von (-2) und 2 folgt nicht die
>> Gleichheit von (-2) und 2. Ausführlich:
>>
>> (-2)^2 = 2^2
>>
>> (-2)*(-2) = 2 * 2
>>
>> (-1)*2 * (-1)*2 = 2 * 2
>
> das ist richtig.
> weil: minus mal minus, plus ergibt.
>
>>
>> Da (-1)*(-1) = 1 ist, folgt:
>>
>> 2 * 2 = 2 * 2
>
> nein.

Doch:

(-1)*2 * (-1)*2 = 2 * 2

Da die Multiplikation kommutativ und assoziativ ist, kann umgeordnet
werden:

[(-1)*(-1)] * [2 * 2] = 2 * 2
-----------

1 * 2 * 2 = 2 * 2
---

Die "1" ist das neutrale Element der Multiplikation, also:

2 * 2 = 2 * 2

Und nicht "-2 = 2".

> - 1 kann auch nicht gleich 2 sein,

Ist es auch nicht - siehe Zahlenstrahl.

> - 1 kann nicht größer 2 sein,

Ist es auch nicht. Am Zahlenstrahl kannst du es dir verdeutlichen:
Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige die kleinere, die "weiter links"
auf dem Zahlenstrahl liegt.

Der Erwerb eines Mathematik-Lehrbuches für die Klassen 5 bis 8 könnte
dir bei deinen Bemühungen durchaus weiter helfen.

Dieter Heidorn


Jens Kallup

unread,
Aug 13, 2021, 12:50:45 PMAug 13
to
Hier geht es nicht um einen Zahlenstrahl.
Hier handelt es sich dadrum, das gezeigt werden soll,
das ein gegebener Term aufgelöst werden kann;
also beide Seiten gleich sind.

Deine Berechnung (ausgeklammert);

RHS:
= (-1)*2 * (-1)*2
= 2 * 2
= 4

LHS: -1 * 2 = 2
RHS: -1 * 2 = 2

soweit hatte ich ja zugestimmt.

Aber das aus:
(-1) * (-1) = 1 (1)

folgt:
2 * 2 = 2 * 2 (2)

konnte ich nicht zustimmen, weil:
1) eine Gleichung, und
2) eine Un-Gleichung ist

Merke:
Ungleichungen sind "zwei" mathematische Größen, die zueinander
in ein Verhältnis gesetzt werden.

Du könntest aber anders formulieren:

1 = 1 ist das selbe wie:
2 = 2 (nur um ein vielfaches (1) größer, also zum Verhaltnis 2:1)

man könnte zum Beispiel auch hergehen und:

2 = 2 auf beiden Seiten mit 2 dividieren, um das dann runterzubrechen:
dann erhält man
1 = 1 und selbst dieses Verhältnis kann man auf Null (0) bringen,
indem man beide Seiten minus Eins (-1) addiert:
also:

LHS: +1 + -1 = 0
RHS: +1 + -1 = 0 => das eribt dann:

0 = 0 Lösung vorhanden, alles Ok.

Es geht mir nicht dadrum, wer Recht hat oder nicht.
Ich nehme Dir das auch nicht für übel, wenn Du da ein wenig
knatschig bist.

Dis Sache ist nur:
IHR schreibt immer zu mir, das ich meine Schriften überdenken
soll, bevor ich diese veröffentliche.

Viele schreiben auch: das Internet ist voll von fake-News.
Von daher habe ich reagiert und eine Richtigstellung gefordert.

Jens

Dieter Heidorn

unread,
Aug 13, 2021, 1:18:31 PMAug 13
to
Jens Kallup schrieb:
> Hier geht es nicht um einen Zahlenstrahl.
> Hier handelt es sich dadrum, das gezeigt werden soll,
> das ein gegebener Term

Du meinst eine Gleichung.

> aufgelöst werden kann;
> also beide Seiten gleich sind.
>

Und bei deinen Basteleien produzierst du solche Unsinnigkeiten wie

-2 = + 1

oder

-2 = 2.

> Deine Berechnung (ausgeklammert);
>
> RHS:
> = (-1)*2 * (-1)*2
> = 2 * 2
> = 4
>
> LHS: -1 * 2 = 2

Nein - denn "-1*2" ergibt "-2", und damit erhältst du

-2 = 2.

Das ist immer noch falsch.

> RHS: -1 * 2 = 2

Ebenso falsch.

> Aber das aus:
> (-1) * (-1) = 1 (1)
>
> folgt:
> 2 * 2 = 2 * 2 (2)
>
> konnte ich nicht zustimmen, weil...

... du elementare Rechenregeln nicht kennst.

Wenn du Gl. (1) mit "2*2" multiplizierst, ergibt sich:

(-1)*(-1) * 2*2 = 1 * 2*2

"(-1)*(-1)" ergibt 1, und 1 ist das neutrale Element der Multiplikation
ganzer Zahlen. Also folgt aus (1) dann

2*2 = 2*2.

> 1) eine Gleichung,

Ja.

> 2) eine Un-Gleichung ist

Nein:

2*2 = 2*2 ist eine _Gleichung_ - auf beiden Seiten steht das Gleiche.
Kannst du mit deinem Taschenrechner überprüfen: 2*2 = 4, auf beiden
Seiten.

> Dis Sache ist nur:
> IHR schreibt immer zu mir, das ich meine Schriften überdenken
> soll, bevor ich diese veröffentliche.
>

Das ist in der Tat sehr ratsam - dann produzierst du vielleicht nicht
solchen groben Fehler wie "-2 = +1" oder "-2 = 2".

> Von daher habe ich reagiert und eine Richtigstellung gefordert.
>

Dann sei doch zufrieden: Deine Fehler wurden richtiggestellt.

Dieter Heidorn



Tom Bola

unread,
Aug 13, 2021, 2:44:42 PMAug 13
to
Brigitta Jennen schrieb:

> Bewiesen werden soll mittels vollständiger Induktion:
> n^2 >= (2n + 1) für n e N mit n > 2


Kurz:

n^2 >= 2n - 1 ist wahr für n=0 und n=1

(n + 1)^2 >= 2(n + 1) - 1 | ?

n^2 + 2n + 1 >= 2n + 2 - 1 | - 1

n^2 + 2n >= 2n ist wahr für alle n >= 1, q.e.d.

Jens Kallup

unread,
Aug 13, 2021, 2:52:44 PMAug 13
to
Am 13.08.2021 um 19:18 schrieb Dieter Heidorn:
> Jens Kallup schrieb:
>> Hier geht es nicht um einen Zahlenstrahl.
>> Hier handelt es sich dadrum, das gezeigt werden soll,
>> das ein gegebener Term
>
> Du meinst eine Gleichung.

ja genau.
Ein Gleichung erhält man durch zwei Terme.

> Und bei deinen Basteleien produzierst du solche Unsinnigkeiten wie
>
>   -2  = + 1

wo hast Du denn das her?

>
> oder
>
>   -2 = 2.
>

ja, kann man doch machen.
Du kannst sämtliche mathematische Operationen anwenden, um eine
Wohlform, ein Gleichgewicht, eine "ganzes" Verhältnis zu Berechnen.

Hier könnte man zum Beispie die Potenzen anwenden, im konkreteren
Fall die zweite Potenz - also eine Zahl n hoch 2.

Die zwei eigenet sich besonders gut hier, weil man aufzeigen kann,
das -n hoch 2 gleich -n * -n entsprechen.

Zusätzlich greift noch die mathematische Regel:
minus n * minus n ergibt = plus n.

Da man nun die Potenz auf beiden Seiten anwenden muss, entsteht:

-2 hoch 2 gleich = 2 hoch 2 und das ergibt dann
4 gleich = 4

aber das ist ja noch nicht das Ende.
Cantor selbst schrieb, das er immer nur die kleinst möglichen Objekte
betrachten möge.
Also muss man hier noch mal auf jeder Seite die minus 4 addieren:
LHS: 4 + -4 = 0
RHS: 4 + -4 = 0

fertig, kleiner geht nicht mehr, da die negativen Objekte in der von
Cantor-Mengenlehre nicht interessieren.

> Nein - denn "-1*2" ergibt "-2", und damit erhältst du
>
>          -2 = 2.

nein.
Das ja Dein Denkfehler hier:
- mal - ergibt +

also: -1 * -1 = 2

Das ganze musst Du so verstehen (einfache Regeln der Natur, die auf
Rechenmaschienen abgebildet wurden):

Der Computer startet von 0, und hölt sich die "erste" Zahl, die sich
links von ihm befindet.
Er legt also die 2 aufen Stack (eine Stapel mit dem er rechnet).
Nun wird die nächste Zahl eingelesen, wieder die linke.
Diese legt er wieder auf den Stack.

Da nun zwei Werte auf den Stack liegen, kann der Computer weitere
Operationen wie + - * oder / anwenden - vorher ginge das nicht, weil
er ja nur ein Zahlen-Objekt auf dem Stack hatte,
aber dieses in seiner Form nur eine Konstante darstellte.

Die Operation "multiplikation" wird auch auf den Stack gelegt (push)
und anschließend werden diese Werte wieder vom Stack geholt (pop).

Also in der Form von:

* -1 2

Das heißt, der Computer baut nun den Stack in umgekehrter Folge ab.
Da aber immer zwei Werte (in Variablen gedacht: zwei Variablen
vorhanden sein).

Da ihm dieser zweite Wert aber nicht bekannt ist (wenn der Stack zum
ersten mal verwendet wird) nimmt baut der Computer eine Null (0) auf
den Stack auf.
Der Inhalt des Stack's schaut dann wie folgt aus:

0 * -1 2

Wie ich schon schrieb, geht der Computer jetzt den anderen Weg, und
pop't (entnimmt) die Objekte und Operanden wieder.
Daraus wird dann:

0 * -1 = - 0 2

zu beachten ist als der Operand "minus" - Er darf nicht entnommen oder
gelöscht werden, da sonst ein anderes Ergebnis heraus kommt.

Nur zum Hinweis: Computer kennen eigentlich kein plus oder minus im
anderen Sinne; selbst Fließkommazahlen kennt der Computer nicht.
Diese Dinge werden durch andere Bauteile im Prozessor oder anderer
angeschlossener Geräte oder Karten erreicht.

Nun macht der Computer mit dem gleichen Schema weiter:

0 - 0 = 0 2

nun kann man schon sehen, dass das Minuszeochen wegrationalisiert wurde,
und nur noch 0 2 angezeigt wird.

Diese Kombination kann man als Fenster betrachten.
Das bedeutet, dass die 0 abgetrennt werden kann.

Weil der Computer im strengem Sinne nur addieren und subtrahieren kann
(push. und pop oder: pop, und push), wird immer die Ranghöchste
mathematematische Operation beim rechnen verwendet.

Und das wäre hier in diesen Beispiel die Addition, also:

+ 0 2

ergibt dann:

+2

oder einfach nur: positiv zwei (2)

>> RHS: -1 * 2 = 2
>
> Ebenso falsch.

nun gut.
Musst Du mit Dir ausmachen, was Du für eine Mathematik betreibst.
Habs Dir ja schon einmal vorgekaut.

>> Von daher habe ich reagiert und eine Richtigstellung gefordert.
>>
>
> Dann sei doch zufrieden: Deine Fehler wurden richtiggestellt.

nein, kann ich nicht zustimmen.
Ich mache Dir auch keinen Vorwurf - jeder hat eine andere Auffassung
von dem was er Realität nennt.

Diese Realität kann man nicht 1:1 in die Mathematik übernehmen,
weshalb viele auch nur Medianten sind.
Viele sind auch nur Dummschwätzer, die testen wollen, ob der, der mir
gegenüber steht auf gleicher Höhe ist, mit dem Spruch 1 + 1 macht 3.

> Dieter Heidorn

In diesem Sinne

Jens Kallup

Dieter Heidorn

unread,
Aug 13, 2021, 3:24:53 PMAug 13
to
Jens Kallup schrieb:
> Am 13.08.2021 um 19:18 schrieb Dieter Heidorn:
>> Jens Kallup schrieb:
>>> Hier geht es nicht um einen Zahlenstrahl.
>>> Hier handelt es sich dadrum, das gezeigt werden soll,
>>> das ein gegebener Term
>>
>> Du meinst eine Gleichung.
>
> ja genau.
> Ein Gleichung erhält man durch zwei Terme.
>
>> Und bei deinen Basteleien produzierst du solche Unsinnigkeiten wie
>>
>> -2 = + 1
>
> wo hast Du denn das her?
>

Aus deinem posting vom 12.08.2021, 20:22. Dort ist zu lesen:

> [2n - 2] = 2[n-1]
> (2*n - 2) = 2*n + (2*-1) (*)
> (2*n - 2) = 2*n + 1 (**)
> 2*n - 2 = 2*n + 1 | - 2*n
> - 2 = + 1
==============

Und das ist nun einmal falsch - da kannst du dich auf den Kopf stellen
und mit den Beinen wedeln.

Der Fehler entsteht an der gekennzeichneten Stelle (*):

(2*-1) (was besser als (2*(-1)) geschrieben werden sollte)

ist nicht gleich 1, sondern (2*(-1)) = -2.

Die Zeile (**) bei dir müsste also richtig heißen:

(2*n - 2) = 2*n -2 (**)_korrigiert

>> oder
>>
>> -2 = 2.
>>
>
> ja, kann man doch machen.

Nein, kann man nicht machen. "-2" und "2" sind verschiedene ganze
Zahlen, und nicht gleich. -2 ist das inverse Element von 2 in der Menge
der ganzen Zahlen. Hier kannst du dir ein wenig Sachkenntnis
verschaffen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppe_%28Mathematik%29#Einf%C3%BChrendes_Beispiel

> Da man nun die Potenz auf beiden Seiten anwenden muss,

"Muss" man nicht - du machst es, und verarbeitest damit eine falsche
Gleichung weiter.

>> Nein - denn "-1*2" ergibt "-2", und damit erhältst du
>>
>> -2 = 2.
>
> nein.

Doch. Die Multiplikation kannst du als Vervielfachung deuten. Wenn du
etwas mit "2" multiplizierst, verdoppelst du den Multiplikanden a:

2*a = a + a

Wenn a = -1 ist, erhältst du somit

(-1)*2 = (-1) + (-1) = -2.

> Das ja Dein Denkfehler hier:
> - mal - ergibt +
>
> also: -1 * -1 = 2
>

Nein: (-1)*(-1) = 1.

Dieter Heidorn

Jens Kallup

unread,
Aug 13, 2021, 3:52:54 PMAug 13
to
Am 13.08.2021 um 21:24 schrieb Dieter Heidorn:
> Und das ist nun einmal falsch - da kannst du dich auf den Kopf stellen
> und mit den Beinen wedeln.

ich weiß gerade nicht was Ihr für ein Problem habt.
Ich habe die von mir gezeigte Aufgabe mehrmals
korrigiert.

Dann kommst Du zum krönnenden Abschluß mit der Form
der ersten Aufgabe nichterwähnerder Weise, das der
Sachverhalt schon längst geklärt ist.

Ihr seid schon nen lustiges Trüppchen hier.

Da wird sich bis aufs Blut gestritten.
Macht nur weiter so.

Näe näe, ...

Jens

Dieter Heidorn

unread,
Aug 13, 2021, 4:19:23 PMAug 13
to
Jens Kallup schrieb:
> Am 13.08.2021 um 21:24 schrieb Dieter Heidorn:

>>> - 2 = + 1
>>
>> Und das ist nun einmal falsch - da kannst du dich auf den Kopf stellen
>> und mit den Beinen wedeln.
>
> ich weiß gerade nicht was Ihr für ein Problem habt.
> Ich habe die von mir gezeigte Aufgabe mehrmals
> korrigiert.
>

Nein, die dir aufgezeigten Fehler in deinen Basteleien hast du nicht
korrigiert, sondern mehrfach wiederholt. Du hältst immer noch an
Fehlern wie "-2 = +1" oder "-2 = 2" fest.

> Dann kommst Du zum krönnenden Abschluß mit der Form
> der ersten Aufgabe nichterwähnerder Weise, das der
> Sachverhalt schon längst geklärt ist.
>

Der Sachverhalt ist klar - nur dir offensichtlich nicht.

> Ihr seid schon nen lustiges Trüppchen hier.
>

Und die Teilnehmer hier haben mehr Sachkenntnis als du. Du könntest
hier eine Menge lernen, wenn du wolltest - aber inzwischen glaube ich,
dass du einfach nur trollen willst.

Dieter Heidorn



Tom Bola

unread,
Aug 13, 2021, 4:46:57 PMAug 13
to
Nachtrag:
Auch das Mathematica-CAS sagt nicht etwas viel aufregenderes:

"solve (2(n + 1) >= 2(n + 1) - 1) for n"

"Solution over the integers
(all values of n are solutions) "

...

Carlo XYZ

unread,
Aug 13, 2021, 4:49:12 PMAug 13
to
Brigitta Jennen schrieb am 13.08.21 um 16:32:

> Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 13. August 2021 um 15:44:46 UTC+2:

>> Mein Vorschlag:
>>
>> Formuliere den Satz gleich für n >= 0 statt n > 0 (*)
>> Schreibe dann genau wie eben beide Fälle n = 0 und n = 1 als
>> Induktionsanfang, weil Du dann für den Induktionsschluss voraussetzen
>> darfst, dass n > 0 ist, nachdem der Beweis für n = 1 geliefert wurde.
>
> Vollkommen einverstanden.
> Hab ich genau so gemacht. Sieht gut aus.

Finde ich nicht so gut, weil die Standardform eines
Induktionsbeweises nicht eingehalten wird. Besser
finde ich: 1.) Beweis (möglichst stubenrein) für n>=1
nach Standardmethode, 2.) darauf folgend eine "Anmerkung:
Die Behauptung gilt auch für n=0, wie man durch Einsetzen
direkt sieht. Obiger Induktionsbeweis ist jedoch unter der
Voraussetzung n=>0 ungültig, weil <blabla>." 3.) Für n<0
ist die Behauptung falsch, wie man z.B. durch ... sieht.

Außerdem solltest du zumindest an einer Stelle das
"Verkleinern" durch "nicht Vergrößern" ersetzen, denn
das Subtrahieren von (2n-2) von der rechten Seite
verkleinert nicht generell, sondern nur für n>=2.

Dann klappt es auch mit der Uni :-)

Tom Bola

unread,
Aug 13, 2021, 4:51:53 PMAug 13
to
TYPO!
Nachtrag, copy and paste fault: "solve (n + 1)^2 >= 2(n + 1) - 1) for n"
Auch das Mathematica-CAS sagt nicht etwas viel aufregenderes:

"solve (n + 1)^2 >= 2(n + 1) - 1) for n"

"Result
n Element of |R"

...

Carlo XYZ

unread,
Aug 13, 2021, 6:04:22 PMAug 13
to
Carlo XYZ schrieb am 13.08.21 um 22:49:

> 3.) Für n<0
> ist die Behauptung falsch, wie man z.B. durch ... sieht.

Hoppala, das stimmt leider nicht und sollte
entsprechend umformuliert werden. Vermutlich
kann man die Punkte 2.) und 3.) zusammenfassen
("Anmerkung: Falls n<=0, dann ...".)

Wenn so etwas vorliegt (eine Behauptung, für die
man in den ganzen Zahlen kein Gegenbeispiel findet),
kann man sich schon mal überlegen, ob es statt Induktion
eine alternative, evtl. bessere, Beweismethode gibt.

Fritz Feldhase

unread,
Aug 13, 2021, 8:33:40 PMAug 13
to
On Saturday, August 14, 2021 at 12:04:22 AM UTC+2, Carlo XYZ wrote:

> Wenn so etwas vorliegt (eine Behauptung, für die
> man in den ganzen Zahlen kein Gegenbeispiel findet),
> kann man sich schon mal überlegen, ob es statt Induktion
> eine alternative, evtl. bessere, Beweismethode gibt.

Sicher. Aber wenn die Aufgabe nun mal heißt: "Beweisen Sie das durch Induktion", dann sollte man das auch tunlichst so machen, würde ich sagen (egal wie "sinnvoll" oder "unsinnig" das ist).

Fritz Feldhase

unread,
Aug 13, 2021, 8:47:22 PMAug 13
to
On Friday, August 13, 2021 at 4:58:18 PM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:

> Als Go-Spieler haben mich die neuronalen Netze im Frühjahr 2016 kalt
> erwischt, als AlphaGo mit 4:1 den Meister aller Meister vom Brett fegte.

Ja, nachdem die "algorithmischen" Programme den menschlichen Go-Spielern nicht mal ansatzweise das Wasser reichen konnten.

Mit AlphaZero hat Google aber noch eine Schippe draufgelegt:

"Nach 34 Stunden Selbstlernen von Go gewann AlphaZero gegen eine drei Tage trainierte Version von AlphaGo Zero in 60 Fällen und verlor 40-mal. AlphaZero erreichte aber schon nach acht Stunden die Spielstärke von AlphaGo Lee. Das ist jene Programmversion, die im März 2016 den Vergleichskampf AlphaGo gegen Lee Sedol 4:1 gewann."

Carlo XYZ

unread,
Aug 13, 2021, 10:28:01 PMAug 13
to
Carlo XYZ schrieb am 14.08.21 um 00:04:

> Wenn so etwas vorliegt (eine Behauptung, für die
> man in den ganzen Zahlen kein Gegenbeispiel findet),
> kann man sich schon mal überlegen, ob es statt Induktion
> eine alternative, evtl. bessere, Beweismethode gibt.

Auch dein ursprüngliches Assignment, nämlich (WIMRE)
die folgende Behauptung: "für n>2 gilt n^2>=2n+1"
lässt sich nach meinem Gefühl besser durch ein
direktes, nicht-induktives Argument erledigen.

Ich behaupte sogar etwas Stärkeres, nämlich den

Satz: wenn |n-1| >= 2, dann gilt n^2 >= 2n+1 (n eine ganze Zahl).

Beweis durch direkte Umformung :

n^2 = ((n-1)+1)^2 (Umformung im Hinblick auf die Voraussetzung)

= (n-1)^2 + 2(n-1) + 1 (Binomi)

>= 4 + 2(n-1) + 1 (wegen (n-1)^2 = (|n-1|)^2 und |n-1| >= 2)

= 2n + 3 (Ausrechnen)

> 2n + 1 (wegen 3>1)

q.e.d.

PS1 Man sieht, dass |n-1| >= 1 oder gar |n-1| >= 0 nicht
genug ist, weil statt der 4 nur eine 1 bzw. eine 0 stehen
bleibt.

PS2 Man sieht aber auch, dass der andere Fall ("stets n^2>=2n-1")
im Wesentlichen gleich mit erledigt ist, denn |n-1|>=0 gilt für alle n.

PS3 Für x^2=|x|^2 gibt es ein nettes Argument:

x^2 - |x|^2 = (x+|x|)*(x-|x|) (einfache Arithmetik)

und das Produkt wird Null, egal ob x>0, x=0 oder x<0.

Ich schreibe das so ausführlich, weil ich in deinen Notizen
noch etwas vermisse, nämlich die relevanten Begründungen für
die einzelnen Schritte, die jeweils gerade ausgeführt werden.

Ebenso vermisse ich die maximale Schärfe der einzelnen Schritte.
Siehe oben: ein Zeichen >= oder <= kommt (nur) dann vor, wenn im
Prinzip auch > bzw. < gelten könnte; andernfalls steht da ein =.

Carlo XYZ

unread,
Aug 14, 2021, 3:20:14 AMAug 14
to
Fritz Feldhase schrieb am 14.08.21 um 02:33:
Du möchtest meine Einlassung als Kritik an der ursprünglichen
Aufgabenstellung ansehen? Nur zu. Kein Widerspruch von mir.

Jens Kallup

unread,
Aug 14, 2021, 3:37:51 AMAug 14
to
Am 13.08.2021 um 22:19 schrieb Dieter Heidorn:
> Und die Teilnehmer hier haben mehr Sachkenntnis als du. Du könntest
> hier eine Menge lernen, wenn du wolltest - aber inzwischen glaube ich,
> dass du einfach nur trollen willst.

ich will nicht trollen.
Ich will ja gerne von Euch lehrnen - ohne Frage.

Aber es macht doch einen Unterschied, wenn von mir
die Rede ist:

(2*(-1)) also: -1 * -1 = 1 oder
(2* -1) also: 2 * -1 = -2 oder (jetzt fiktiv)

((2) * (-1)) (2 -1) * (2 -1)
1 * 1
ergibt auch: 1

das will mir irgendwie nicht in die Birne.

ich kann ja Verstehen, das jemand herkommt und sich
sagt: gut, nun klammere ich erstmal die Klammern aus.

Kann er ja machen ?
Aber dadurch wird doch das Result anders ?

Jens
<