inverse Operation zum Kreuzprodukt
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der Torsionsvektor ist das Kreuzprodukt aus dem Vektor des Hebelarms
und dem Vektor der Kraft (M = r x F). Wie kann man r berechnen, wenn M
und F bekannt sind?
Gruß, Femi
Hendrik van Hees
Das wird schwierig, denn M ändert sich nicht, wenn man zu r einen
beliebigen Vektor addiert, der in Richtung von F weist. Das
Kreuzprodukt ist nicht umkehrbar!
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Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universität Gießen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gießen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/
Wolfgang Meiners
Im allgemeinen gar nicht. Denn ist alpha eine beliebige reelle Zahl, so
ist (r + alpha*F) x F = r x F + alpha * F x F = r x F = M, der Vektor r
ist also nicht eindeutig bestimmt. Durch die zusätzliche Forderung, dass
r_0 orthogonal zu F sein soll, kannst du allerdings die Formel für
dreifache Kreuzprodukte anwenden. Bis auf Vorzeichenfehler sollte
F x M = F x (r_0 x F) = F^2 r_0 - (Fr_0)F = F^2 r_0
sein, und damit
r = F^(-2)*F x M
Dabei ist Fr das Skalarprodukt und F^2 = FF der Betrag von F (der für
die letzte Zeile natürlich von 0 verschieden sein muss).
Jan Fricke
Ganz schlecht, da das Kreuzprodukt in jedem Argument zwar linear, aber
weder injektiv noch surjektiv ist. Das bedeutet konkret:
(1) Sind r und M nicht orthogonal, so gibt es keine Lösung.
(2) Sind r und M orthogonal (und keiner ist der Nullvektor), dann liegen
alle Lösungsvektoren F auf einer Geraden in der zu M orthogonalen Ebene.
Die allgemeine Lösung im Fall (2) sieht dann so aus:
F = (t * r - (r x M)) / |r|^2
für einen reellen Parameter t. Diese Formel kann man z.B. mit der
Graßmann-Identität herleiten.
Viele Grüße Jan
Jan Fricke
Mist, r und F verwechselt. Es muss also:
r = t * F + (F x M) / |F|^2
heißen.
Viele Grüße Jan
Stefan Sprungk
|Mx| |ex ey ez|
|My| = det |rx ry rz|
|Mz| |Fx Fy Fz|
M=ex*(ry*FZ-rz*Fy)-ey*(rx*Fz-rz*Fx)+ez*(rx*Fy-ry*Fx)
Bestimmungsgleichungen:
Mx=ry*Fz-rz*Fy
My=rz*Fx-rx*Fz
Mz=rx*Fy-ry*Fx
rz=(Mx-ry*Fz)/Fy=Mx/Fy-ry*Fz/Fy
rz=(My-rx*Fz)/Fx=My/Fx-rx*Fz/Fx
Mx/Fy-ry*Fz/Fy=My/Fx-rx*Fz/Fx
Mx/Fy-My/Fx+rx*Fz/Fx=ry*Fz/Fy
Mx/Fz-My*Fy/(Fx*Fz)+rx*Fy/Fx=ry
ry=Mx/Fz-My*Fy/(Fx*Fz)+rx*Fy/Fx
rx=Mz/Fx+ry
rx=Mz/Fx+Mx/Fz-My*Fy/(Fx*Fz)+rx*Fy/Fx
rx*(1-Fy/Fx)=Mz/Fx+Mx/Fz-My*Fy/(Fx*Fz)
Lösungen:
rx=[Mz/Fx+Mx/Fz-My*Fy/(Fx*Fz)]/(1-Fy/Fx) für |Fx| != |Fy|
ry=Mx/Fz-My*Fy/(Fx*Fz)+Fy/Fx*{[Mz/Fx+Mx/Fz-My*Fy/(Fx*Fz)]/(1-Fy/Fx)}
rz=My/Fx-Fz/Fx*{[Mz/Fx+Mx/Fz-My*Fy/(Fx*Fz)]/(1-Fy/Fx)}
MFG Stefan
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Grüße, Femi