Was sind Folgen?
Sebastian A.
Hendrik van Hees
>
> Was sind Folgen? Bitte um einfache (!), verständliche (!) Erklärung.
Was einfach und verstaendlich ist, weiss ich nicht, weil das eine
subjektive Empfindung des Rezipienten meiner Antwort ist. Also gebe ich
die in der Mathematik uebliche Definition und erwarte Rueckfragen, wenn
Du sie nicht verstehst
Eine Folge mit Werten aus einer Menge W ist eine Abbildung a:N->W, oft
geschrieben als {a_n}_{n \in N} oder einfach als (a_n).
--
Hendrik van Hees Phone: ++49 6159 71-2755
c/o GSI-Darmstadt SB3 3.162 Fax: ++49 6159 71-2990
Planckstr. 1 mailto:h.va...@gsi.de
D-64291 Darmstadt http://www.gsi.de/~vanhees/index.html
Hans Steih
<sebas...@gmx.de> schreibt:
>
>Was sind Folgen? Bitte um einfache (!), verständliche (!) Erklärung.
>
>
Hallo!
Man kann Folgen kurz und einfach definieren, wenn der Funktionsbegriff
"verstaendlich" ist. (Wer also nach Verstaendlichkeit ruft, muesste also
vielleicht auch sagen, auf welcher Sprachebene er die Erklaerung haben moechte:
alltagssprachlich, schulmathematisch auf dem Niveau der Sekundarstufe I ....?)
Eine Folge ist eine Funktion mit dem Definitionsbereich (Argumentebereich/
Urbilderbereich) IN der natuerlichen Zahlen (eventuell IN u {0}; oder: einer
Teilmenge von IN ).
Eine Folge ist also eine spezielle Funktion, die jeder/einer natuerlichen Zahl
n einen Funktionswert a_n als Glied der Folge zuordnet; n heisst dann Index
oder Platznummer dieses Folgenglieds.
Je nach Art des Wertebereiches (Bildbereiches) unterscheidet man zwischen
Zahlenfolgen (und wer nach der Folgendefinition fragt, meint wohl eine
Zahlenfolge), Funktionenfolgen, Punktfolgen etc..
Man "hofft" auf Folgen mit gesetzmaessigem Aufbau:
Wenn das Folgenglied direkt mithilfe des Index n durch eine
Zuordnungsvorschrift berechnet werden kann, kennt man das Bildungsgesetz oder
die explizite Darstellung der Folge.
Bei der Folge, die in einem anderen Thread gepostet wurde:
1 |-> 2
2 |-> 5
3 |-> 10
4 |-> 17
5 |-> 26
_koennte_ man das Bildungsgesetz
n |-> n^2 + 1 =: a_n vermuten.
Manchmal werden Folgenglieder mithilfe vorhergehender Folgenglieder berechnet,
dann hat man eine rekursive Darstellung (Formel) der Folge;
alle Folgenglieder werden berechnet, indem ausgehend von
Startwerten/Anfangswerten der gleiche Rechenvorgang wiederholt wird
(Iteration).
Beispiel: a_(n+2) = a_(n+1) + a_n
"Jedes Folgenglied ist die Summe der beiden vorhergehenden"
a_1 = 1 ; a_2 = 1 als Startwerte.
Damit erhaelt man die Fibonacci-Folge mit den Folgengliedern:
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21;......
Folgen werden haeufig zu Beginn der Analysis behandelt, um den Stetigkeits- und
Differenzierbarkeitsbegriff darauf aufzubauen.
In der Schulmathematik (Jahrgangsstufe 11) ist dieser "Einstieg" nach meiner
Beobachtung auf dem Rueckzug.
HTH
Hans
______________________________
Hans Steih || HSt...@aol.com
D-47533 Kleve, Germany
"Ich hoffe, es wird niemanden befremden, dass ich den Homer und Virgil zu
Asymptoten gemacht habe" (Lichtenberg, Vom Nutzen der Mathematik)
Ernst Jung
> "Sebastian A." wrote:
>> Was sind Folgen? Bitte um einfache (!), verständliche (!)
>> Erklärung.
>
> Was einfach und verstaendlich ist, weiss ich nicht,
Warum antwortest Du denn, wenn Du es nicht weisst?
> .. weil das eine subjektive Empfindung des Rezipienten
> meiner Antwort ist.
Versteh' ich nicht, vielleicht weil ein wenig "geschwollen" ausge-
drueckt. Nenn' doch einfach einfach ein Beispiel! Oder willst Du
den Ausdruck "Rezipient" an den Mann bringen?
> Also gebe ich die in der Mathematik uebliche Definition
Gibt es noch andere Definitionen als die ueblichen?
> und erwarte Rueckfragen, wenn Du sie nicht verstehst.
> Eine Folge mit Werten aus einer Menge W ist eine Abbildung a:
> N->W, oft geschrieben als {a_n}_{n \in N} oder einfach als (a_n).
Was sind Werte, was ist eine Menge W, eine Abbildung a: und
was sollen N und diese _n Indices bedeuten und was \ ?
Wer soll das kapieren, wo Du nicht mal beweisen kannst, dass sich
die einfachste Folge, naemlich die der nat. Zahlen 1,2,3 usf. nicht zu
nat. Kuben > 1 aufsummiert und die Gleichung (u+u^2)/2 =v^3 nicht
in nat. Zahlen u,v > 1 und (x^n+y^n)(x+y)^n=z^n fuer nat. Hochzahlen
n > 2 mit Sicherheit nicht in nat. Zahlen x,y,z loesbar ist ?
Dabei geht es doch um ganz einfache Reihen und wahrlich ueber die
gestellte einfache Frage, was eine Folge ist und ob Gleichungen wie
a^b=b^a oder a^b - b^a = a+b in nat. Zahlen > 0, a=/=b ausser bei
a=2, b=4 bzw. a=2, b=5 loesbar sind oder nicht, hinaus.
Schon mal was von der Nichtkommutativitaet der Operation "Poten-
zieren" im Bereich der nat. Zahlen > 0 mit Ausnahme von 2^4 = 4^2
oder der Unausfuehrbarkeit der Operation a^b - b^a = a+b ausser
bei 2^5 - 5^2=2+5 oder den 5 dualen Koerpern mit dem zu sich selbst
dualen Tetraeder oder den Voraussetzungen sinnvollen Zaehlens und
Zusammenzaehlens durch Hinzu- bzw. Weiterzaehlen gehoert?
MfG
Ernst
J. Mayer
können, ich versuch es mal ein wenig elemtarer.. Eine Folge ist nichts
anderes als eine nicht-endende Folge von Zahlen- (entschuldige, dass ich
das Wort Folge in der Definition benutze... ) Dabei ist das so gemeint
wie die dummen Rätseln: "wie setzt man diese Folge fort" Ein paar
Beispiele:
1,2,3,4,5,6,7,.... (dies soll immer weitergehen, ohne Ende)
2,4,6,8,10,...
1,4,9,16,25,....
Dabei ist allerdings unwesentlich, ob das "Bildungsgesetz" erkenntlich
ist oder nicht.
Zum Beispiel ist
2,6,3,6,7,3,0,3,5,3,6,7,4,4,4,5,4,...
ein Abschnitt einer nicht genauer festgelegten Folge.
Offenbar gibt es ein n-tes Folgenglied (n eine natürliche Zahl), z.B ist
in der Folge 1,4,9,16, das vierte Glied 16 das zweite die 4. Wenn ich
das n-te Folgenglied mit a_n bezeichne, dann kann man oft (aber nicht
immer) eine Formel angeben, wie man dies zu bestimmen hat. Zum Beispiel
haben wir für diese Beispiele a_n=n, a_n=2n und a_n=n^2, wobei für die
letzte Folge kein Bildungsgesetz erkenntlich ist. Nun, kann man
theoretisch obige Folge auch wider Erwarten ja auch
1,2,3,4,5,6,7,2353,76,853,.. fortsetzen und nicht wie man erwartet
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,... und somit ist klar, dass eine Folge nur durch
die Angabe einer Formel für alle ihre Glieder eindeutig festgelegt ist,
etwa wie oben a_n=n für alle natürlichen Zahlen n. Dies als schöne
Formel hinzuschreiben ist natürlich oft nicht möglich, so dass es Folgen
gibt, von denen wir wissen, dass sie existieren, aber die man nicht
hinschreiben können. Wenn zum Beispiel a_n die n-te Stelle in der
Dezimalentwicklung von pi ist, dann wissen wir zwar, dass diese Folge
existiert, wir können auch mit genügend Rechenaufwand beliebige a_n's
bestimmen, aber die ganze Folge hinzuschreiben ist vermutlich unmöglich.
Eine andere Sichtweise: eine Folge ist ein Zuordnung, d.h ich ordne
jeder natürlichen Zahl den Wert a_n zu, oder anders gesagt, eine Folge
ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in eine bestimmten
Wertebereich- der Bereich aus dem die Werte der Folge stammen. So, ich
hoffe, damit ist es ein wenig klarer.. Frag, was Du nicht verstehst.
Gruß
Jan
Dieter Schmitt
>
> Nun, Du hast ja bestimmt schon einen Haufen nutzlose Definitionen lesen
> können, ich versuch es mal ein wenig elemtarer.. Eine Folge ist nichts
> anderes als eine nicht-endende Folge von Zahlen- (entschuldige, dass ich
> das Wort Folge in der Definition benutze... ) Dabei ist das so gemeint
> wie die dummen Rätseln: "wie setzt man diese Folge fort" Ein paar
> Beispiele:
>
Was würde wohl Douglas R. Hofstadter von dieser Beurteilung halten? ;-)
Er ist bemüht, mit Computerprogrammen und solchen Rätsel-Folgen die
grundlegenden Prozesse "intelligenten" Verhaltens zu erforschen .....
(wobei intelligent=menschlich).
Seine Bücher sind wirklich lesenswert.
Ciao
Dieter Schmitt
Bastian Hanschitz
Sebastian A. <sebas...@gmx.de> schrieb in im Newsbeitrag:
7refu5$lmk$3...@news08.btx.dtag.de...
> Was sind Folgen? Bitte um einfache (!), verständliche (!) Erklärung.
>
>
Wenn dir die Freundin abhaut weil sie dich mit einer anderen erwischt hat...
(...bin ja schon in Deckung .... :))
Nachher genau so schlau zu sein wie vorher...
(schon weg... ;)
= :-)
Gökhan BakIr
<Ernst...@t-online.de> wrote:
>Was sind Werte, was ist eine Menge W, eine Abbildung a: und
>was sollen N und diese _n Indices bedeuten und was \ ?
>Wer soll das kapieren, wo Du nicht mal beweisen kannst, dass sich
>die einfachste Folge, naemlich die der nat. Zahlen 1,2,3 usf. nicht zu
>nat. Kuben > 1 aufsummiert und die Gleichung (u+u^2)/2 =v^3 nicht
>in nat. Zahlen u,v > 1 und (x^n+y^n)(x+y)^n=z^n fuer nat. Hochzahlen
>n > 2 mit Sicherheit nicht in nat. Zahlen x,y,z loesbar ist ?
>
>Dabei geht es doch um ganz einfache Reihen und wahrlich ueber die
>gestellte einfache Frage, was eine Folge ist und ob Gleichungen wie
>a^b=b^a oder a^b - b^a = a+b in nat. Zahlen > 0, a=/=b ausser bei
>a=2, b=4 bzw. a=2, b=5 loesbar sind oder nicht, hinaus.
>Schon mal was von der Nichtkommutativitaet der Operation "Poten-
>zieren" im Bereich der nat. Zahlen > 0 mit Ausnahme von 2^4 = 4^2
>oder der Unausfuehrbarkeit der Operation a^b - b^a = a+b ausser
>bei 2^5 - 5^2=2+5 oder den 5 dualen Koerpern mit dem zu sich selbst
>dualen Tetraeder oder den Voraussetzungen sinnvollen Zaehlens und
>Zusammenzaehlens durch Hinzu- bzw. Weiterzaehlen gehoert?
>
KRASS! .. ULTRAKRASS!!... DU BIST JA SOO KRASS!!!
Ich hoffe dir geht auch dabei einer richtig ab!