Beschränkung

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paule32

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Aug 23, 2022, 4:33:03 PMAug 23
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Hallo,

es gibt ja linksseitig abgeschlossene, und rechtsseitige abgeschlossene
Intervalle.

können diese beide Arten zusammen kommen ?
- weil - sie sind ja "abgeschlossen"...

Was für eine Bedeutung nehmen diese Intervalle ein ?
Dienen sie zur Erfassung von Mächtigkeiten, oder anderer Größen ?

paule32

Dieter Heidorn

unread,
Aug 24, 2022, 9:20:17 AMAug 24
to
Jens K. schrieb:
> Hallo,
>
> es gibt ja linksseitig abgeschlossene, und rechtsseitige abgeschlossene
> Intervalle.
>
> können diese beide Arten zusammen kommen ?

Ja:
https://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_%28Mathematik%29#Bezeichnungs-_und_Schreibweisen

> Was für eine Bedeutung nehmen diese Intervalle ein ?

Intervalle sind zusammenhängende Teilmengen einer geordneten Menge.
Sie treten in unterschiedlichsten Zusammenhängen auf. So kann etwa
die Lösungsmenge einer nicht-linearen Gleichung ein Intervall reeller
Zahlen, also eine Teilmenge von ℝ sein. Beispiel:

y = sqrt(1 - x^2) ; x und y sollen reelle Zahlen sein.

Überleg' dir zur Übung einmal, welche reellen Zahlen hier für x
eingesetzt werden können, damit y eine reelle Zahl ist. Und dann
schreibe die Menge der zulässigen Werte für x als Intervall hin.

Dieter Heidorn

Carlos Naplos

unread,
Aug 24, 2022, 9:32:07 AMAug 24
to
Am 24.08.2022 um 15:20 schrieb Dieter Heidorn:
> Jens K. schrieb:
Wo kommt der Jens denn her?
Hallo paule

Wenn du Allgemeineres und Abstrakteres über offene Mengen wissen willst,
schau mal unter https://de.wikipedia.org/wiki/Topologie_(Mathematik)!

Gruß CN

paule32

unread,
Aug 24, 2022, 2:55:29 PMAug 24
to
Am 24.08.2022 um 15:20 schrieb Dieter Heidorn:
>    y = sqrt(1 - x^2) ; x und y sollen reelle Zahlen sein.
>
> Überleg' dir zur Übung einmal, welche reellen Zahlen hier für x
> eingesetzt werden können, damit y eine reelle Zahl ist. Und dann
> schreibe die Menge der zulässigen Werte für x als Intervall hin.

also, ich habe mir erstmal überlegt, das für x := 1 -> 1 ^2 = 1

1 - x -> 1 - 1 = 0 -> x := sqrt(0) = 0, denn: 0 * 0 = 0.

oder: sqrt = Quadratwurzel das gegenteil vom potenzieren ist.
Also 0 * 0 dann das gleiche ist wie 0 ^2 und wieder auf 0 zu kommen,
kann man die Quadratwurzel aus 0 ^2 -> sqrt(0 * 0) oder: sqrt(0 ^2)
ziehen.

und somit sollte y, und x := 0 sein.

0 ist ja dann auch eine Teilmenge von |R, weil |N ja eine Teilmenge
von |R ist.

TM fangen bei 0 an, jedesmal wenn sie eingeschalten werden...

y{0} n x{0} := Z{y n x}.

Das mit der Interval-Schreibweise muss ich noch üben.

paule32

paule32

unread,
Aug 24, 2022, 3:02:45 PMAug 24
to
Am 24.08.2022 um 20:55 schrieb paule32:
> 0 ist ja dann auch eine Teilmenge von |R, weil |N ja eine Teilmenge
> von |R ist.

das muss ich nochmal ein klein bisschen korrigieren:

0 ist ein Element von |N, also {0: 0 e |N}.

|N ist zugleich eine Teilmenge von |R.

Tom Bola

unread,
Aug 24, 2022, 3:08:30 PMAug 24
to
paule32:

> Das mit der Interval-Schreibweise muss ich noch üben.

Besser die Branche wechseln (und deine Muttersprache auch)...

Dieter Heidorn

unread,
Aug 24, 2022, 3:49:58 PMAug 24
to
Jens K. schrieb:
> Am 24.08.2022 um 15:20 schrieb Dieter Heidorn:
>>     y = sqrt(1 - x^2) ; x und y sollen reelle Zahlen sein.
>>
>> Überleg' dir zur Übung einmal, welche reellen Zahlen hier für x
>> eingesetzt werden können, damit y eine reelle Zahl ist. Und dann
>> schreibe die Menge der zulässigen Werte für x als Intervall hin.
>
> also, ich habe mir erstmal überlegt, das für x := 1 -> 1 ^2 = 1
>
> 1 - x -> 1 - 1 = 0  -> x := sqrt(0) = 0, denn: 0 * 0 = 0.
--- ~
Korrektur:

1 - x^2 y = sqrt(0) = 0
--- ~

Und nun probiere einmal weiter:

y = sqrt(1 - x^2)

* Kann x = 1/2 eingesetzt werden?

* Kann x = -1/2 eingesetzt werden?

* Kann x = -1 eingesetzt werden?

* Findest du einen Wert von x, der nicht eingesetzt werden darf?

* Kannst du erkennen, worauf es bei den "erlaubten" Werten für x
ankommt?

Dieter Heidorn

paule32

unread,
Aug 25, 2022, 7:43:22 AMAug 25
to
Am 24.08.2022 um 21:49 schrieb Dieter Heidorn:
> * Kann   x = 1/2   eingesetzt werden?
ja 0,5 ^2 = 0,25 * 10 ^2 = 25

1 - 25 = -24
= || -24 | - |-8| | = 16
= 16 = 16 | + 3 ^2 = 8 auf beide Seiten
+ 8 + 8 | <--
==========================
24

4 ^2 = 16 <--- 4 passt
3 ^2 = 8 <--- 3 passt

16 + 8 = 24.

die 1 ^1 nicht unterschlagen, passt auch die 1:
für den Rückwärts-Weg würde dann auch 2 gelten:
da wir oben auch mit 25 gerechnet haben, die 5:

Also würden dann die 0, 1, 2, 3, 4, und 5 passen ?

> * Kann   x = -1/2  eingesetzt werden?
ja, wie oben, nur in Betrag: | |.

> * Kann   x = -1    eingesetzt werden?
ja, denn x ^2 -> | -1 ^2 | = 1 -> y = sqrt(1-1) = 0.

Ein Algorythmus würde dann irgendwie so aussen:

0, 1, 2, 4, 8, 16, 25, 36, ...

-> 0 ^2 = 1

-> 1 ^2 = 1
-> 2 ^2 = 4
-> 4 ^2 = 16
-> 5 ^2 = 25
-> 6 ^2 = 36
..

Das würde bedeuten, das sich mit jedem Schritt die Potenz
gewaltig ändert ... ?

paule32


Dieter Heidorn

unread,
Aug 25, 2022, 10:05:49 AMAug 25
to
Jens K. schrieb:
> Am 24.08.2022 um 21:49 schrieb Dieter Heidorn:
>> * Kann   x = 1/2   eingesetzt werden?
> ja 0,5 ^2 = 0,25 * 10^2 =  25
-------
| Das ist leider unsinnig...

Für x = 1/2 = 0,5 ergibt das Quadrat:

x^2 = (1/2)^2 = (1/2)*(1/2) = 1/4 = 0,25

Nun sollte ja berechnet werden:

y = sqrt(1 - x^2).

Mit x = 1/2 ist dann:

y = sqrt( 1 - (1/2)^2 )
= sqrt( 1 - 1/4 )
= sqrt( 3/4 )
= sqrt(3)/2
= 0,866...

> 1 - 25    =    -24

Und nun setze einmal ein:

y = sqrt( 1 - 25 )
= sqrt( -24 )

Was sagt dein Taschenrechner dazu?

> Also würden dann die 0, 1, 2, 3, 4, und 5 passen ?
>

Probiere es einmal aus. Setze x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 in die Gleichung ein:

y = sqrt(1 - x^2)

sqrt(1 - 0^2) = ...

sqrt(1 - 1^2) = ...

sqrt(1 - 2^2) = ...

usw.

Fällt dir etwas dabei auf?

>> * Kann   x = -1/2  eingesetzt werden?
> ja, wie oben, nur in Betrag: | |.
>

Richtig. Die Betragsbildung ist aber nicht nötig, denn:

(-1/2)^2 = (-1/2)*(-1/2) = (1/2)*(1/2) = 1/4
"minus mal minus gibt plus"

y = sqrt( 1 - (-1/2)^2 )
= sqrt( 1 - 1/4 )
= 0,866...

>> * Kann   x = -1    eingesetzt werden?
> ja, denn x ^2  ->  | -1 ^2 | = 1 -> y = sqrt(1-1) = 0.
>

Richtig - aber Betragsbildung ist wieder unnötig.

Dieter Heidorn

paule32

unread,
Aug 25, 2022, 12:42:03 PMAug 25
to
Am 25.08.2022 um 16:05 schrieb Dieter Heidorn:
> Jens K. schrieb:
>> Am 24.08.2022 um 21:49 schrieb Dieter Heidorn:
>>> * Kann   x = 1/2   eingesetzt werden?
>> ja 0,5 ^2 = 0,25 * 10^2 =  25
>                    -------
>                     | Das ist leider unsinnig...

sorry, ja, Du hast Recht - war nicht nötig.

> Für x = 1/2 = 0,5 ergibt das Quadrat:
>
>    x^2 = (1/2)^2 = (1/2)*(1/2) = 1/4 = 0,25
>
> Nun sollte ja berechnet werden:
>
>    y = sqrt(1 - x^2).
>
> Mit x = 1/2 ist dann:
>
>    y = sqrt( 1 - (1/2)^2 )
>      = sqrt( 1 -  1/4    )
>      = sqrt( 3/4 )
>      = sqrt(3)/2
>      = 0,866...

Also, mal den Term - oder sollte man sagen: Gleichung,
für das was in der Wurzel-Klammer steht ?
nundenn:

(*4
1 1 4 - 1
--- - --- = ------- = 3/4 <-- ok.
1 4 4 - 4

aber wie kommst du dann auf y = sqrt(3)/2 ?
weil, 0.75 sind ja 3/4 = drei viertel...

Da hast Du auch Recht.
Ergebnis ist reell: 0,866...

Nagut, evtl. Typo... ???

>
>> 1 - 25    =    -24
>
> Und nun setze einmal ein:
>
>    y = sqrt( 1 - 25 )
>      = sqrt( -24 )
>
> Was sagt dein Taschenrechner dazu?

ja, kanns mir schon denken minus mit Wurzel geht ja nicht.
Okay, mein Fehler.

>
>> Also würden dann die 0, 1, 2, 3, 4, und 5 passen ?
>>
>
> Probiere es einmal aus. Setze x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 in die Gleichung ein:
>
>    y = sqrt(1 - x^2)
>
>        sqrt(1 - 0^2) = ...
= 1 - (0 * 0) = 1

>        sqrt(1 - 1^2) = ...
= 1 - (1 * 1) = 0

>        sqrt(1 - 2^2) = ...
= 1 - (2 * 2) = -1

= 1 - (3 * 3) = -2
= 1 - (4 * 4) = -15
= 1 - (5 * 5) = -24
= 1 - (6 * 6) = -35

> Fällt dir etwas dabei auf?

also, so betrachtet würden da nur die 0, und die 1 gehen ?
weil, der Rest wird ja immer kleiner wird, und Minuswurzel
ist ja ungültig.

ABER:
-----------
1 - 0 = 1 <-- keine Primzahl > sqrt( 1) = 1
1 - - 1 = 2 <-- Primzahl
1 - - 2 = 3 <-- Primzahl
1 - -15 = 16 <-- keine Primzahl > sqrt(16) = 4
1 - -24 = 25 <-- keine Primzahl > sqrt(25) = 5
1 - -35 = 36 <-- keine Primzahl > sqrt(36) = 6
..

Frage:
-------
kann es sein, das hier 2, und 3 die einzigen Primzahlen sind ?

2 AND/UND 3 = Verknüpfung (1

1) dazu habe ich folgendes gefunden: nullstellige Verknüpfung

https://de.wikipedia.org/wiki/Verkn%C3%BCpfung_(Mathematik)#Nullstellige_Verkn%C3%BCpfungen


Dieter Heidorn

unread,
Aug 25, 2022, 1:27:13 PMAug 25
to
Jens K. schrieb:
> Am 25.08.2022 um 16:05 schrieb Dieter Heidorn:

>> Nun sollte ja berechnet werden:
>>
>>     y = sqrt(1 - x^2).
>>
>> Mit x = 1/2 ist dann:
>>
>>     y = sqrt( 1 - (1/2)^2 )
>>       = sqrt( 1 -  1/4    )
>>       = sqrt( 3/4 )
>>       = sqrt(3)/2
>>       = 0,866...
>
> Also, mal den Term - oder sollte man sagen: Gleichung,
> für das was in der Wurzel-Klammer steht ?
> nundenn:
>
>   (*4
>  1     1       4 - 1
> --- - ---  =  -------  =  3/4   <-- ok.
>  1     4       4 - 4
........ Korrektur:

1/1 - 1/4 = 4/4 - 1/4 = 3/4
.........

> aber wie kommst du dann auf y = sqrt(3)/2  ?

Durch Anwenden eines Rechengesetzes für die Quadratwurzel:

sqrt(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b)

Mehr Regeln findest du z.B. hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29#Die_Wurzelgesetze

> weil, 0.75 sind ja 3/4 = drei viertel...
>

Bei sqrt(3/4) ist a = 3, b = 4, also:

sqrt(3/4) = sqrt(3)/sqrt(4) = sqrt(3)/2.

>>> 1 - 25    =    -24
>>
>> Und nun setze einmal ein:
>>
>>     y = sqrt( 1 - 25 )
>>       = sqrt( -24 )
>>
>> Was sagt dein Taschenrechner dazu?
>
> ja, kanns mir schon denken minus mit Wurzel geht ja nicht.

Genau - das ist der wichtige Punkt, wenn man bestimmen will, welche
Werte für x in die Gleichung

y = sqrt(1 - x^2)

eingesetzt werden dürfen, damit y dann eine reelle Zahl ist.

>> Probiere es einmal aus. Setze x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 in die Gleichung ein:
>>
>>     y = sqrt(1 - x^2)
>>
>>         sqrt(1 - 0^2) = ...
> = 1 - (0 * 0) = 1
>
>>         sqrt(1 - 1^2) = ...
> = 1 - (1 * 1) = 0
>
>>         sqrt(1 - 2^2) = ...
> = 1 - (2 * 2) =  -1
>
> = 1 - (3 * 3) =  -2
> = 1 - (4 * 4) = -15
> = 1 - (5 * 5) = -24
> = 1 - (6 * 6) = -35
>
>> Fällt dir etwas dabei auf?
>
> also, so betrachtet würden da nur die 0, und die 1 gehen ?

Du hattest aber schon heraus gefunden, dass auch

x = 1/2, x = -1/2 und x = -1

eingesetzt werden können...

Nun brauchst du nur noch einen letzten Denkschritt um dir klar zu
machen, wie die Menge aller für x einsetzbaren Werte aussieht.

Kleiner Tipp: Du hast ja schon erkannt, dass der Radikand (das ist der
Term, der in der Wurzel steht, nicht negativ sein darf. Das kann man als
Ungleichung formulieren:

1 - x^2 muss größer oder gleich Null sein,

formal:

1 - x^2 ≧ 0.

Und nun überlege weiter, welche Werte für x diese Ungleichung erfüllen.
Bis jetzt hattest du gefunden:

--------|-----|-----|-----|-----|-------> x
-1 -1/2 0 1/2 1

Dieter Heidorn

paule32

unread,
Aug 25, 2022, 1:59:26 PMAug 25
to
Am 25.08.2022 um 19:27 schrieb Dieter Heidorn:
>
>    1 - x^2  muss größer oder gleich Null sein,
>
> formal:
>
>    1 - x^2 ≧ 0.
>
> Und nun überlege weiter, welche Werte für x diese Ungleichung erfüllen.
> Bis jetzt hattest du gefunden:
>
>    --------|-----|-----|-----|-----|-------> x
>            -1  -1/2    0    1/2    1

zwischen -1 und 0 liegen -0.999999... Periode also -oo - 0.99...
zwischen 0 und 1 liegen 0.999999... Periode also oo+ + 0.99...

Ahhh...
mir schimmert was.

y = sqrt(1 - x ^2) da war doch was mit Limes oder Cardinal... ?

lim f(x): sqrt(1 - x ^2) (1)
-> x = -1

lim f(x): sqrt(1 - x ^2) (2)
-> x = 1

Bei der Aufstellung der Formel bin ich da noch sehr überfragt.
Aber ich denke mal, das die beiden Formeln oben, jeweils für die
eine, und die andere Betrachtungsweise steht.

Also:
wenn man sich den Zahlenbereich von -1 bis 0 betrachtet gilt 1)
wenn man sich den Zahlenbereich von 0 bis 1 betrachtet gilt 2)

Alle Angaben ohne Gewähr

paule32

Dieter Heidorn

unread,
Aug 25, 2022, 2:22:44 PMAug 25
to
paule32 schrieb:
> Am 25.08.2022 um 19:27 schrieb Dieter Heidorn:
>>
>>     1 - x^2  muss größer oder gleich Null sein,
>>
>> formal:
>>
>>     1 - x^2 ≧ 0.
>>
>> Und nun überlege weiter, welche Werte für x diese Ungleichung erfüllen.
>> Bis jetzt hattest du gefunden:
>>
>>     --------|-----|-----|-----|-----|-------> x
>>             -1  -1/2    0    1/2    1
>
> zwischen -1 und 0 liegen -0.999999... Periode also -oo  - 0.99...
> zwischen  0 und 1 liegen  0.999999... Periode also  oo+ + 0.99...
>
> Ahhh...
> mir schimmert was.
>
> y = sqrt(1 - x ^2)  da war doch was mit Limes oder Cardinal... ?

Grenzwertprozesse (Limes) oder Cardinalzahlen sind hier nicht nötig.
Du musst nur die Ungleichung lösen:

1 - x^2 ≧ 0

Addiere auf beiden Seiten x^2:

1 - x^2 + x^2 ≧ x^2

ergibt:

1 ≧ x^2.

Das Quadrieren kannst du beseitigen, indem du auf beiden Seiten die
Quadratwurzel ziehst:

sqrt(1) ≧ x oder -sqrt(1) ≦ x

1 ≧ x -1 ≦ x
-------- -----------

Zusammengefasst ergibt sich, dass die "erlaubten Werte für x" alle in
dem Intervall

[-1, 1] = {x∊ℝ | -1 ≦ x ≦ 1}

liegen. Anders gesagt: Alle in diesem abgeschlossenen Intervall
liegenden reellen Zahlen sind Lösungen der Gleichung

y = sqrt(1 - x^2).

Und damit sind wir beim Startpunkt angelangt: Du wolltest ursprünglich
wissen, "was für eine Bedeutung Intervalle haben". Ein Beispiel hast du
jetzt direkt vor Augen: Intervalle reeller Zahlen können etwa die
Lösungsmenge einer nicht-linearen Gleichung beschreiben.

Dieter Heidorn


paule32

unread,
Aug 25, 2022, 2:36:48 PMAug 25
to
Am 25.08.2022 um 20:22 schrieb Dieter Heidorn:
>     [-1, 1] = {x∊ℝ | -1 ≦ x ≦ 1}
>
> liegen. Anders gesagt: Alle in diesem abgeschlossenen Intervall
> liegenden reellen Zahlen sind Lösungen der Gleichung
>
>    y = sqrt(1 - x^2).
>
> Und damit sind wir beim Startpunkt angelangt: Du wolltest ursprünglich
> wissen, "was für eine Bedeutung Intervalle haben". Ein Beispiel hast du
> jetzt direkt vor Augen: Intervalle reeller Zahlen können etwa die
> Lösungsmenge einer nicht-linearen Gleichung beschreiben.

okay, Danke für Deine Rückmeldungen !

Bezüglich des weiter unten stehenden Kurt-Gödel Kneuls:
ab wann ist es sinnfrei, die Periodizät eines reellen, mathematischen
Objektes weiter zu verfolgen ?

Okay, man kann jetzt sagen, je kleiner, oder je größer der Wert also
die Auflösung, umso besser das Ergebnis.

Viele halten ja für sich gewieß, das Atomare Explosionen oder gar der
ganze Zweig von atomarer Kraft das Ding aller Dinge ist.

Aber ist denn nicht zuletzt dieses zu toppen durch die Wasserstoff
Fusion ?

Hat der Habeck den Vertrag mit Kanada nur deshalb gemacht, weil das
gute Deutschland nicht über "sichere" Ressourcen in Form von Fläche
hat, um Wasserstoff-Fusion "sicher" zu betreiben ?

Okay, wenn dann einmal was zündelt, dann machts bumm, aber gewaltig.

Okay, vom Thema abgekommen.
Also, wann ist es sinnfrei, Perioden weiter zu berechnen ?

paule32

Dieter Heidorn

unread,
Aug 25, 2022, 2:56:41 PMAug 25
to
Jens K. schrieb:

> Bezüglich des weiter unten stehenden Kurt-Gödel Kneuls:
> ab wann ist es sinnfrei, die Periodizät eines reellen, mathematischen
> Objektes weiter zu verfolgen ?
>

Meinst du das hier::

"Ausschreibung des Kurt Gödel Preises 2023" ?

Darin geht es nicht um "Periodizität mathematischer Objekte", sondern um
die Quantengravitation. Dazu benötigt man zwar reichlich Mathematik -
aber letztlich ist es Physik. Wird also besser in de.sci.physik
diskutiert als hier in dsm. (Dort steht die "Ausschreibung..." auch.)

Dieter Heidorn
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