JVR schrieb am Donnerstag, 2. Februar 2023 um 01:41:48 UTC+1:
> On Wednesday, February 1, 2023 at 6:53:58 PM UTC+1, WM wrote:C+1, WM wrote:
> > > >
> > > > > > |ℕ| - 1 =/= |ℕ| =/= |ℕ| + 1
> > > > > >
> > > > > Was bedeutet denn |ℕ|? Cantors |ℕ| ist das nicht.
> > > >
> > > > Jein. |ℕ| bedeutet die unveränderliche Anzahl aller natürlichen Zahlen.
> > > Die Anzahl natürlicher Zahlen N = {1,2, ...} ist in |N|.
> > > Die Anzahl Elemente der Menge {0,1,2, ...} = N u {0} is dann vermutlich |N| + 1.
> > Ganz sicher.
> Sie haben für diesen Begriff einer 'Anzahl' bisher keine Definition geben können.
Für endliche Mengen ist es die Summe der Einsen, die nach Cantor den Elementen zugeordnet werden können. Für |ℕ| ist es per Definition die Anzahl der Elemente, die aber nicht mit endlichen Anzahlen korrespondieren können. |ℕ| hat keinen endlichen Anfangsabschnitt. Trotzdem ist es genau definiert, wenn ℕ genau definiert ist.
Man kann sogar damit rechnen:
|ℕ| - 2, |ℕ| - 1, |ℕ|, |ℕ| + 1, |ℕ| - 2
stehen in offensichtlichem Verhältnis, indem ein Weg zwischen ihnen numerisch existiert. Nur kann man die entsprechenden Elemente nicht auffinden. Sie sind dunkel.
|ℕ|/2 oder |ℕ|/10 ist ebenso definiert, aber es gibt keinen Weg zwischen |ℕ|/2 und |ℕ|.
> >
> > > Man weiß zwar nicht, wie man |N| definiert,
> >
> > Ich sagte es doch schon: Die Anzahl aller natürlichen Zahlen ist |ℕ|.
> Das ist keine Definition, die erlauben würde, die Anzahl der Elemente
> irgendeiner anderen Menge zu bestimmen, und sagt übrigens rein gar nichts
> über die Anzahle Elemente von N aus.
Es sagt aus, dass die Anzahl unendlich ist, wie schon |ℕ|/10^10^10. Das sagt aus, dass die Anzahl riesig im Vergleich zu jeder endlichen Anzahl ist.
> > > aber überall sonst
> > > in der Welt sind Anzahlen, Maße, Entfernungen additiv; d.h. das Maß zweier ist
> > > die Summe der Maße der (disjunkten) Summanden.
>
> > Deswegen ist |ℕ| =/= |ℕ| + 1.
> Eben gerade nicht. Das ist ja der Witz von Hilberts Analogie.
Sie ist falsch. Wenn ℕ fest und unveränderlich ist.
"Grenze ist immer was festes, unveränderliches, daher nur ein Transfinitum als wirkliche "Grenze selbst" gedacht werden. [Cantor]
> > >
> > > Daher ist offensichtlich |{2, 4, ..., 2n, ...}| = |N|/2.
> > >
> > > Andererseits ist |{1*2, 2*2, 3*2, ...., n*2, ..... }| = |{1,2,3, ...}| = |N|, denn die Anzahl der Objekte ist
> > > überall in der Welt von der Namengebung unabhängig.
> > Es ist aber (noch) nicht überall in der Welt bekannt, dass dunkle Zahlen nicht individuell unterschieden oder geordnet werden können. Wenn man alle natürlichen Zahlen mit 2 multiplizieren könnte, dann erhielte man größere Zahlen als ω. Aber man kann ja nicht. Deine Rechnung funktioniert nur für die paar definierbaren Zahlen. Peanuts im Vergleich mit |ℕ|.
> > >
> > > Folglich ist |N| = 2|N| und daher 1 = 2.
>
> > Das ist ein Trugschluss.
> Meinen Sie?
Ja.
> Das folgt aber aus Ihren Ergüssen.
Nein. Du glaubst immer noch, dass man dunkle Zahlen individuell manipulieren könnte. Für fast alle ist das nicht möglich. Cantor: ω - n = ω.
> >
> > Übrigens ist Dein Satz von der Namensgebung wirklich beherzigenswert! Dagobert Ducks monetäre Umstände auf lange Sicht gesehen hängen nämlich allein von der Namensgebung ab.
> Hier ist Ihr Trugschluss, die 'Mengenlehre behaupte', dass McDuck bankrott mache.
> Lim Card ist nicht gleich Card Lim. McDucks Kapital is Lim Card. Niemand behauptet,
> dass Kardinalität der Limesmenge damit etwas zu tun hätte.
Du solltest versuchen, das besser zu verstehen. Fraenkel behauptet, auf diesen Fall übertragen, dass kein Dollar unausgegeben bleibt. Damit ist das Vermögen weg.
Die Behauptung, Lim Card ist nicht gleich Card Lim, ist nicht auf diesen Fall anzuwenden und überhaupt albern, wenn Einzelschritte in Rede stehen, die ein gegebenes Ziel erreichen sollen. Der Mengenlimes ist scheinbar leer, weil man keine vorhandenen Zahlen finden kann. Das hat aber nichts damit zu tun, dass keine da sind. Den entsprechenden Beweis habe ich hier gegeben:
All positive fractions
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
...
can be indexed by the Cantor function k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m which attaches the index k to the fraction m/n in Cantor's sequence
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 1/6, 2/5, 3/4, ... .
Its terms can be represented by matrices. When we attach all indeXes k = 1, 2, 3, ..., for clarity represented by X, to the integer fractions m/1 and indicate missing indexes by hOles O, then we get the matrix M(0) as starting position:
XOOO... XXOO... XXOO... XXXO... ... XXXX...
XOOO... OOOO... XOOO... XOOO... ... XXXX...
XOOO... XOOO... OOOO... OOOO... ... XXXX...
XOOO... XOOO... XOOO... OOOO... ... XXXX...
... ... ... ... ...
M(0) M(2) M(3) M(4) M(∞)
Wenn alle Brüche einschließlich aller natürlichen Zahlen mit allen natürlichen Zahlen nummeriert werden können, dann sind am Ende alle wohlgeordnet. Dann besitzt die Menge der Indizes, die die Differenz zwischen natürlichen Zahlen und Brüchen vermindern, ein erstes Element - oder sie ist leer. Sie besitzt kein erkennbares erstes Element. Also ist sie leer und Cantors Behauptung falsch, oder die Menge ist dunkel.
Besser verständlich dargestellt in
https://www.researchgate.net/publication/365605468_Proof_of_the_existence_of_dark_numbers_bilingual_version
Gruß, WM