Jedes Kreispolygon 1-2-3-4 ist zentral rational

[Rainer Rosenthal]

Seien P_1, P_2, ..., P_n die Ecken eines konvexen Polygons P mit den
Seiten s_i = (P_i,P_{i+1}) für i < n und s_n =(P_n,P_1).
Polygon P heißt "rational", wenn alle Seiten in einem rationalen
Verhältnis zueinander stehen: s_i/s_j ist rational für alle i, j in 1..n.
Sei Z ein Punkt im Inneren des Polygons P. Für jedes i = 1..n werde mit
A_i die Fläche des Dreiecks bezeichnet, dessen Grundseite s_i und dessen
Spitze Z ist.
Das Polygon P heißt "zentral rational", wenn alle Ecken auf einem Kreis
mit Mittelpunkt Z liegen und die Flächenverhältnisse A_i/A_j rational sind.

Dank einer Weihnachtsaufgabe von Alfred Flaßhaar(*) in de.rec.denksport
habe ich herausbekommen, was im Betreff steht.
Für n = 4 nennt man Kreispolygone auch "Sehnenviereck", weil die Seiten
s1, s2, s3 und s4 Kreissehnen sind. Das Sehnenviereck mit s_i = i ist
selbstverständlich rational, aber ich fand es erstaunlich, dass die
Flächenverhältnisse A1:A2:A3:A4 = 19:34:39:4 auch rational sind.

Für n > 4 konnte ich bisher nichts Spannendes herausfinden, sondern ich
habe lediglich Abbildungen für n = 4 bis n = 8 zu bieten:
http://www.rwro.de/Demonstrationen/dsmAF_03_Bilder4bis8.jpg

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

(*) "Maximalfläche gesucht" in de.rec.denksport, 22.12.2021

[Rainer Rosenthal]

Am 11.01.2022 um 09:23 schrieb Rainer Rosenthal:
>
> Für n > 4 konnte ich bisher nichts Spannendes herausfinden, sondern ich
> habe lediglich Abbildungen für n = 4 bis n = 8 zu bieten:
> http://www.rwro.de/Demonstrationen/dsmAF_03_Bilder4bis8.jpg
>

Ich bedanke mich für den Hinweis, dass das jpg-Format für geometrische
Zeichnungen ungeeignet ist wegen der schlechten Darstellung von Kanten.
Ich hatte jpg genommen, weil mein screenshot-Programm das so liefert.
Jetzt habe ich gesehen, dass der in Windows eingebaute screenshot
(Windows+Drucken) gleich das geeignetere png-Format liefert. Für das im
Thema genannte Sehnenviereck mit den Seiten 1, 2, 3 und 4 liefere ich
das png-Bild: http://www.rwro.de/Demonstrationen/Rational1-2-3-4.png

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 11.01.2022 um 09:23 schrieb Rainer Rosenthal:

> Das Sehnenviereck mit s_i = i ist
> selbstverständlich rational, aber ich fand es erstaunlich, dass die
> Flächenverhältnisse A1:A2:A3:A4 = 19:34:39:4 auch rational sind.

Meine Neugier wurde belohnt. Nun weiß ich, dass dies bereits vor fast
2000 Jahren von Ptolemäus aufgeschrieben worden war. Am Ende seines
Lebens soll er darum gebeten haben, dass seine Erkenntnisse über
Sehnenvierecke in Wikipedia veröffentlicht werden. Und da sind sie alle,
die schönen Formeln, aus denen die genannten Flächenverhältnisse
19:34:39:4 abgeleitet werden können (zu denen sich die ebenfalls
hübschen Höhenverhältnisse 19:17:13:1 gesellen):
https://de.wikipedia.org/wiki/Sehnenviereck

Ich habe rumgestümpert mit den Seiten a=1, b=2, c=3 und d=4, aber
Ptolemäus wusste ganz allgemein:

Mit s = (a+b+c+d)/2 ist die Fläche des Sehnenvierecks
A = sqrt((s-a)(s-b)(s-c)(s-d))

und der Radius R des Umkreises des Sehnenvierecks
R = sqrt((ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)) / 4A

und die Höhen der Teildreiecke mit Basis a, b, c, d sind
sqrt(R^2-(a/2)^2) bis sqrt(R^2-d/2)^2).

Die Flächen sind Basis*Höhe/2, und all die "aufregenden
Forschungsergebnisse" von "Alter forscht" purzeln mir vor die Füße:

a:=1; b:=2; c:=3; d:=4; # Die Seiten
s := (a+b+c+d)/2; # ==> 5
A := sqrt((s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)); # ==> 2*sqrt(6)
R := sqrt((a*b+c*d)*(a*c+b*d)*
(a*d+b*c)) / (4*A); # ==> sqrt(2310)/24
ha := sqrt(R^2-(a/2)^2):
hb := sqrt(R^2-(b/2)^2):
hc := sqrt(R^2-(c/2)^2):
hd := sqrt(R^2-(d/2)^2):
ha/hb;hb/hc;hc/hd;hd/ha; # ==> 19:17:13:1
Aa := a*ha/2:
Ab := b*hb/2:
Ac := c*hc/2:
Ad := d*hd/2:
Aa/Ab;Ab/Ac;Ac/Ad;Ad/Aa; # ==> 19:34:39:4

> Für n > 4 konnte ich bisher nichts Spannendes herausfinden ...

Das ist leider immer noch so.
Sollte da in den letzten über 1900 Jahren nichts Schönes wenigstens für
n = 5 gefunden worden sein?

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de