Abstand auf der Ordinalzahlachse

[Ganzhinterseher]

Die Ordinalzahlachse kann mit einer Metrik ausgestattet werden (s. z.B. W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015), p. 68), so dass dort eine Abstandsdefinition ganz im Sinne von Cantor vorliegt:

"wogegen ω - ν immer gleich ω ist;" [Cantor: Werke p. 395]
"Es fragt sich, in welchem Abstande von γ dieser Gigant δ liegt" [11. Okt. 1886, Cantor, Brief an Goldscheider]

Alle definierbaren natürlichen Zahlen besitzen unendlichen Abstand von ω

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .

Also liegt keine näher an ω. Also muss der Abstand durch andere Ordinalzahlen gebildet werden. Behauptung der Matheologie ist allerdings, dass zwischen der Folge der definierbaren natürlichen Zahlen und ω nichts existiert. Diese Behauptung ist also falsch.

Gruß, WM

[JVR]

Before you once again make a complete ass of yourself you should take a closer look at the axioms that define
a metric. Consider deleting this nonsense and starting over.

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Samstag, 7. Mai 2022 um 18:43:23 UTC+2:
> On Saturday, May 7, 2022 at 5:32:51 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > Die Ordinalzahlachse kann mit einer Metrik ausgestattet werden (s. z.B. W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015), p. 68), so dass dort eine Abstandsdefinition ganz im Sinne von Cantor vorliegt:
> >
> > "wogegen ω - ν immer gleich ω ist;" [Cantor: Werke p. 395]
> > "Es fragt sich, in welchem Abstande von γ dieser Gigant δ liegt" [11. Okt. 1886, Cantor, Brief an Goldscheider]
> >
> > Alle definierbaren natürlichen Zahlen besitzen unendlichen Abstand von ω
> >
> > ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
> >
> > Also liegt keine näher an ω. Also muss der Abstand durch andere Ordinalzahlen gebildet werden. Behauptung der Matheologie ist allerdings, dass zwischen der Folge der definierbaren natürlichen Zahlen und ω nichts existiert. Diese Behauptung ist also falsch.
> >

> you should take a closer look at the axioms that define
> a metric.

You can learn them here: W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015), p. 68.

Regards, WM

[Tom Bola]

WM:

> You can learn them here: W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015), p. 68.

Zur Information, da steht irgendwo dies

∀ A, B, C:
d(A, B) >= 0 und d(A, B) = 0 <=> A = B (9.1)
d(A, B) = d(B, A) (9.2)
d(A, B) <= d(A, C) + d(C, B) (9.3)

Zweifellos hat WM die Implikationen niemals annähernd kapiert,
dafür ist dessen Hirnmissbildung es bei weitem zu vermatschend.

[JVR]

Also los: Sie haben offenbar vergessen, die Metrik zu definieren, die diese Axiome erfüllt. Kann jedem mal
passieren.

[Ganzhinterseher]

Es ist natürlich die ganz gewöhnliche Metrik:
d(a, b) = |a - b|
d(a, ω) = |a - ω| = ω
d(ω, ω) = 0

Gruß, WM

[JVR]

Ist es vielleicht an der Zeit, dass Sie herausfinden, was ein metrischer Raum ist und vielleicht sogar,
was Ordinalzahlen sind, und woher die ihre arithmetischen Eigenschaften beziehen? Oder geht das
in Ihrem Alter nicht mehr so recht?

[JVR]

I was at the mathematical school, where the master taught his pupils after a method scarce imaginable to us in Europe. The proposition, and demonstration, were fairly written on a thin wafer, with ink composed of a cephalic tincture. This, the student was to swallow upon a fasting stomach, and for three days following, eat nothing but bread and water. As the wafer digested, the tincture mounted to his brain, bearing the proposition along with it.
-- Swift, Gulliver's Travels

[Gus Gassmann]

Was Wolfi nicht lernt, lernt Ganzhintermsee nimmermehr.

[Tom Bola]

Gus Gassmann schrieb:

Ja, das gilt allgemein.

Aber die Natur macht immerzu unfassbare Ausnahmen. Gauss hat das
sogar auf seine unfassbar geniale Weise quantifiziert.

Aber WM hat aber eine schwere Zwangsneurose, mit der er sein Hirn
vorsätzlich an ein schwarzes Loch fesselt.

Deshalb "fühlt" WM, dass es auf keinen Fall etwas lernen will,
aus wer weiss was alles für Gründen...

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Samstag, 7. Mai 2022 um 23:10:28 UTC+2:
> On Saturday, May 7, 2022 at 10:50:28 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> > > Also los: Sie haben offenbar vergessen, die Metrik zu definieren, die diese Axiome erfüllt.
> > Es ist natürlich die ganz gewöhnliche Metrik:
> > d(a, b) = |a - b|
> > d(a, ω) = |a - ω| = ω
> > d(ω, ω) = 0
> >

> Ist es vielleicht an der Zeit, dass Sie herausfinden, was ein metrischer Raum ist und vielleicht sogar,
> was Ordinalzahlen sind, und woher die ihre arithmetischen Eigenschaften beziehen?

Statt blah blah solltest Du mathematisch argumentieren. Zum Beispiel einen fundierte Kritik an Cantors Aussagen vornehmen, so wie ich das gewöhnlich tue.

"wogegen ω - ν immer gleich ω ist;" [Cantor: Collected works p. 395]
"Es fragt sich, in welchem Abstande von gamma dieser Gigant delta liegt"

[11. Okt. 1886, Cantor, Brief an Goldscheider]

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Tom Bola schrieb am Sonntag, 8. Mai 2022 um 01:09:11 UTC+2:

> Aber die Natur macht immerzu unfassbare Ausnahmen. Gauss hat das
> sogar auf seine unfassbar geniale Weise quantifiziert.

Er hätte jedenfalls verstanden, dass eine Umstellung der Indizes, nachdem zunächst alle Ganzzahlbrüche in der Matrix

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
...

indiziert sind, nicht zu einer kompletten Überdeckung führen kann.

Gruß, WM

[JVR]

Sei X eine beliebige Menge. Eine Abbildung d: X * X auf die Menge der positiven reellen Zahlen R ist eine Metrik auf
X, wenn für beliebige Elemente x,y und z von X die folgenden Axiome erfüllt sind:

(1) Positive Definitheit: d(x,y) >= 0 und d(x,y) = 0 iff x=y,
(2) Symmetrie: d(x,y) = d(y,x) für alle x,y in X,
(3) Dreiecksungleichung: d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y) für alle x,y,z in X.

In Ihrem Fall fehlt
a) Die Angabe de Menge X
b) Die Definition der Funktion d
c) Die Erläuterung der offensichtlichen Probleme mit der Gültigkeit von (2), (3) und
dem zweiten Teil von (1)
d) Die Einsicht, dass d weder aleph0, noch Omega, noch oo als Wert annehmen darf,
da diese keine reellen Zahlen sind

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <askas...@gmail.com> wrote:
> Die Ordinalzahlachse kann mit einer Metrik ausgestattet werden (s. z.B. W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015), p. 68), so dass dort eine Abstandsdefinition ganz im Sinne von Cantor vorliegt:
>
> "wogegen ω - ν immer gleich ω ist;" [Cantor: Werke p. 395]
> "Es fragt sich, in welchem Abstande von γ dieser Gigant δ liegt" [11. Okt. 1886, Cantor, Brief an Goldscheider]
>
> Alle definierbaren natürlichen Zahlen besitzen unendlichen Abstand von ω
>
> ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
>
> Also liegt keine näher an ω. Also muss der Abstand durch andere Ordinalzahlen gebildet werden.

Nein. Der "Abstand ist dadurch "gebilldet", dass omega im Ggeensatz zu
*allen* natuerlichen Zahlen kene endliche Zahl ist. Da omega die kleinste
"nichtmehrendliche" Ordinalzahl ist, nennt man sie "limes Ordinalzahl",
und es gibt da "nirgends eine Luecke, die mit irgend etwas aufgefuellt
werden muessste". Aber das werden SIE vermutlich nie begreifen.
SIE sind einfach unfaehig, die mathematische Idee hinter dem unendlichen
auch nur ansaatzweise zu begreifen.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Sonntag, 8. Mai 2022 um 15:57:26 UTC+2:
> On Sunday, May 8, 2022 at 12:37:55 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > JVR schrieb am Samstag, 7. Mai 2022 um 23:10:28 UTC+2:
> > > On Saturday, May 7, 2022 at 10:50:28 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> >
> > > > > Also los: Sie haben offenbar vergessen, die Metrik zu definieren, die diese Axiome erfüllt.
> > > > Es ist natürlich die ganz gewöhnliche Metrik:
> > > > d(a, b) = |a - b|
> > > > d(a, ω) = |a - ω| = ω
> > > > d(ω, ω) = 0
> > > >
> > > Ist es vielleicht an der Zeit, dass Sie herausfinden, was ein metrischer Raum ist und vielleicht sogar,
> > > was Ordinalzahlen sind, und woher die ihre arithmetischen Eigenschaften beziehen?
> > Statt blah blah solltest Du mathematisch argumentieren. Zum Beispiel einen fundierte Kritik an Cantors Aussagen vornehmen, so wie ich das gewöhnlich tue.
> >
> > "wogegen ω - ν immer gleich ω ist;" [Cantor: Collected works p. 395]
> > "Es fragt sich, in welchem Abstande von gamma dieser Gigant delta liegt"
> > [11. Okt. 1886, Cantor, Brief an Goldscheider]
> > Gruß, WM
> Sei X eine beliebige Menge. Eine Abbildung d: X * X auf die Menge der positiven reellen Zahlen R ist eine Metrik auf

Das ist zu end. Hier wird ω mit einbezogen.

> X, wenn für beliebige Elemente x,y und z von X die folgenden Axiome erfüllt sind:
>
> (1) Positive Definitheit: d(x,y) >= 0 und d(x,y) = 0 iff x=y,
> (2) Symmetrie: d(x,y) = d(y,x) für alle x,y in X,
> (3) Dreiecksungleichung: d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y) für alle x,y,z in X.
>
> In Ihrem Fall fehlt
> a) Die Angabe de Menge X

Nein. ℕ und ω, das ergibt sich aus dem OP: Alle definierbaren natürlichen Zahlen besitzen unendlichen Abstand von ω

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
Also liegt keine näher an ω. Also muss der Abstand durch andere Ordinalzahlen gebildet werden.

> b) Die Definition der Funktion d

Ist selbstverständlich, steht aber auch ganz oben.

> c) Die Erläuterung der offensichtlichen Probleme mit der Gültigkeit von (2), (3) und
> dem zweiten Teil von (1)

Es gibt keine Probleme. Falls Du welche hast, sag Bescheid. Dann helfe ich gern.

> d) Die Einsicht, dass d weder aleph0, noch Omega, noch oo als Wert annehmen darf,
> da diese keine reellen Zahlen sind

Wenn ω eine Ordinalzahl ist, was laut Cantor der Fall ist, dann besitzt es einen Wert. ℵo verwende ich nur im Sinne on aktual unendlich viel.

Du solltest genauer lesen oder Dein Gedächtnis verbessern.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Sonntag, 8. Mai 2022 um 17:12:06 UTC+2:
> Ganzhinterseher <askas...@gmail.com> wrote:
> > Die Ordinalzahlachse kann mit einer Metrik ausgestattet werden (s. z.B. W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015), p. 68), so dass dort eine Abstandsdefinition ganz im Sinne von Cantor vorliegt:
> >
> > "wogegen ω - ν immer gleich ω ist;" [Cantor: Werke p. 395]
> > "Es fragt sich, in welchem Abstande von γ dieser Gigant δ liegt" [11. Okt. 1886, Cantor, Brief an Goldscheider]
> >
> > Alle definierbaren natürlichen Zahlen besitzen unendlichen Abstand von ω
> >
> > ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
> >
> > Also liegt keine näher an ω. Also muss der Abstand durch andere Ordinalzahlen gebildet werden.
> Nein. Der "Abstand ist dadurch "gebilldet", dass omega im Ggeensatz zu
> *allen* natuerlichen Zahlen kene endliche Zahl ist.

Ein Anstand ist ein Abstand. Der Abstand n besteht aus n natürlichen Zahlen.
Der Abstand ℵo besteht aus ℵo natürlichen Zahlen.

ℵo > n. Wenn ein Abstand ℵo vorhanden ist, dann ist er größer als 100. Also liegen zwischen jedem definierbaren n und ω mindestens 100 natürliche Zahlen. Das gilt für alle definierbaren Zahlen.

> Da omega die kleinste
> "nichtmehrendliche" Ordinalzahl ist, nennt man sie "limes Ordinalzahl",
> und es gibt da "nirgends eine Luecke, die mit irgend etwas aufgefuellt
> werden muessste". Aber das werden SIE vermutlich nie begreifen.

Das wäre auch sehr dumm, denn ein Abstand ist nun einmal vorhanden, wie Du oben zugibst. Nennt man ihn Lücke, geraten die Matheologen außer Rand und Band. Das ist aber kein Grund, den matheologischen Sprachgebrauch zu akzeptieren oder sich sogar die Feinheiten dieser Glaubenslehre zu eigen zu machen.

> SIE sind einfach unfaehig, die mathematische Idee hinter dem unendlichen
> auch nur ansaatzweise zu begreifen.

Cantor wohl auch? "Es fragt sich, in welchem Abstande von γ dieser Gigant δ liegt" [11. Okt. 1886, Cantor, Brief an Goldscheider]

Gruß, WM

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <askas...@gmail.com> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am Sonntag, 8. Mai 2022 um 17:12:06 UTC+2:
>> Ganzhinterseher <askas...@gmail.com> wrote:
>> > Die Ordinalzahlachse kann mit einer Metrik ausgestattet werden (s. z.B. W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015), p. 68), so dass dort eine Abstandsdefinition ganz im Sinne von Cantor vorliegt:
>> >
>> > "wogegen ω - ν immer gleich ω ist;" [Cantor: Werke p. 395]
>> > "Es fragt sich, in welchem Abstande von γ dieser Gigant δ liegt" [11. Okt. 1886, Cantor, Brief an Goldscheider]
>> >
>> > Alle definierbaren natürlichen Zahlen besitzen unendlichen Abstand von ω
>> >
>> > ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
>> >
>> > Also liegt keine näher an ω. Also muss der Abstand durch andere Ordinalzahlen gebildet werden.
>> Nein. Der "Abstand ist dadurch "gebilldet", dass omega im Ggeensatz zu
>> *allen* natuerlichen Zahlen kene endliche Zahl ist.
>
> Ein Anstand ist ein Abstand. Der Abstand n besteht aus n natürlichen Zahlen.

Also haben SIE keine Definition fuer "Abstand", erst recht keine, die sich
auch auf Unendlichkeiten ausdehnen liesse. Deswegen koennen SIE auch keine
Vorstellung von Unendlichkeit entwickeln.

> Der Abstand ℵo besteht aus ℵo natürlichen Zahlen.

Einen "Abstand" zwischen endlichen und unendlichen Ordinalzahlen ermitteln
zu wollen, zeugt von erheblicher Daemlichkeit und voelligem Unverstaaendnis
von "Unendlichkeit".

>> Da omega die kleinste
>> "nichtmehrendliche" Ordinalzahl ist, nennt man sie "limes Ordinalzahl",
>> und es gibt da "nirgends eine Luecke, die mit irgend etwas aufgefuellt
>> werden muessste". Aber das werden SIE vermutlich nie begreifen.
>
> Das wäre auch sehr dumm, denn ein Abstand ist nun einmal vorhanden,

Nicht in dem Sinne, wie SIE sich den "Abstand" zwischen endlichen und
unendlichen Ordinalzahlen vorstellen.

>> SIE sind einfach unfaehig, die mathematische Idee hinter dem unendlichen
>> auch nur ansaatzweise zu begreifen.
>
> Cantor wohl auch? "Es fragt sich, in welchem Abstande von γ dieser Gigant δ liegt" [11. Okt. 1886, Cantor, Brief an Goldscheider]

Das kann man (und sollte vielleicht auch) durchaus fragen, ohne als daemlich
zu erscheinen. Ob man (mathematisch) abgrund tief daemlich ist oder nicht,
haengt von der Antwort ab, zu der man kommt, nachdem man sich ueberlegt
hat, ob in diesem Fall der Begriff Abstand ueberhaupt sinnvoll ist oder nicht.

Tschuess,
Juergen Ilse (juergenqusenet-verwaltung.de)

[JVR]

Naja - keine neue Nachrichten von der Front. Macht nichts, Mücke.
Eine Metrik würde Ihnen auch nicht weiterhelfen, auch wenn Sie
kapieren könnten, was das ist.

[Tom Bola]

Der schwer hirnmissbildete Clown WM faselt:

> Ein Anstand ist ein Abstand.

Nur in deiner totalverblödeten Vorstellung.

In der Mathematik müssen Abstände definiert sein, definiert ist:
Jeder Abstand von einem n in N und omega ist omega.

Verpiss dich, Depp.

[Tom Bola]

Der schwer hirnmissbildete Clown WM faselt:

> Alle [] natürlichen Zahlen besitzen unendlichen Abstand von ω.

So ist es definiert und mehr lässt sich deshalb nicht
über den Abstand von jedem n in N und omega sagen.

Verpiss dich, du Komiker.

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Montag, 9. Mai 2022 um 15:19:36 UTC+2:
> Hallo,
> Ganzhinterseher <askas...@gmail.com> wrote:
> > Juergen Ilse schrieb am Sonntag, 8. Mai 2022 um 17:12:06 UTC+2:
> >> Ganzhinterseher <askas...@gmail.com> wrote:
> >> > Die Ordinalzahlachse kann mit einer Metrik ausgestattet werden (s. z.B. W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015), p. 68), so dass dort eine Abstandsdefinition ganz im Sinne von Cantor vorliegt:
> >> >
> >> > "wogegen ω - ν immer gleich ω ist;" [Cantor: Werke p. 395]
> >> > "Es fragt sich, in welchem Abstande von γ dieser Gigant δ liegt" [11. Okt. 1886, Cantor, Brief an Goldscheider]
> >> >
> >> > Alle definierbaren natürlichen Zahlen besitzen unendlichen Abstand von ω
> >> >
> >> > ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
> >> >
> >> > Also liegt keine näher an ω. Also muss der Abstand durch andere Ordinalzahlen gebildet werden.
> >> Nein. Der "Abstand ist dadurch "gebilldet", dass omega im Ggeensatz zu
> >> *allen* natuerlichen Zahlen kene endliche Zahl ist.
> >
> > Ein Anstand ist ein Abstand. Der Abstand n besteht aus n natürlichen Zahlen.
> Also haben SIE keine Definition fuer "Abstand", erst recht keine, die sich
> auch auf Unendlichkeiten ausdehnen liesse.

Es ist natürlich die ganz gewöhnliche Metrik:
d(a, b) = |a - b|
d(a, ω) = |a - ω| = ω
d(ω, ω) = 0

> > Der Abstand ℵo besteht aus ℵo natürlichen Zahlen.
> Einen "Abstand" zwischen endlichen und unendlichen Ordinalzahlen ermitteln
> zu wollen, zeugt von erheblicher Daemlichkeit und voelligem Unverstaaendnis
> von "Unendlichkeit".

ω - n = ω (Cantor).

> >> Da omega die kleinste
> >> "nichtmehrendliche" Ordinalzahl ist, nennt man sie "limes Ordinalzahl",
> >> und es gibt da "nirgends eine Luecke, die mit irgend etwas aufgefuellt
> >> werden muessste". Aber das werden SIE vermutlich nie begreifen.
> >
> > Das wäre auch sehr dumm, denn ein Abstand ist nun einmal vorhanden,
> Nicht in dem Sinne, wie SIE sich den "Abstand" zwischen endlichen und
> unendlichen Ordinalzahlen vorstellen.

Ich stelle ihn mir nicht vor, sondern berechne ihn mathematisch: ω - n > k für alle k ∈ ℕ.

> >> SIE sind einfach unfaehig, die mathematische Idee hinter dem unendlichen
> >> auch nur ansaatzweise zu begreifen.
> >
> > Cantor wohl auch? "Es fragt sich, in welchem Abstande von γ dieser Gigant δ liegt" [11. Okt. 1886, Cantor, Brief an Goldscheider]
> Das kann man (und sollte vielleicht auch) durchaus fragen, ohne als daemlich
> zu erscheinen. Ob man (mathematisch) abgrund tief daemlich ist oder nicht,
> haengt von der Antwort ab, zu der man kommt, nachdem man sich ueberlegt
> hat, ob in diesem Fall der Begriff Abstand ueberhaupt sinnvoll ist oder nicht.

Cantor fand ihn sinnvoll.
>
Gruß, WM

[Tom Bola]

Der geisteskranke Clown WM faselt:

> ω - n = ω (Cantor)

Das bedeutet, dass omega nicht durch Subtrahieren von beliebigen
n aus N geändert wird. Diese Definition war damals eben ein Novum.

Verpiss dich, Depp.

[Michael Klemm]

Stand Cantors Frage in einem Zusammenhang mit Gullivers Reisen?
Gruß
Michael

[Ganzhinterseher]

> Stand Cantors Frage in einem Zusammenhang mit Gullivers Reisen?

Nein. Rennenkampff postet immer off topic, wenn er sich widerlegt sieht.

Gruß, WM

[Michael Klemm]

Wovon ist denn dann in Deinem Zitat
--"Es fragt sich, in welchem Abstande von γ dieser Gigant δ liegt" [11. Okt. 1886, Cantor, Brief an Goldscheider] --
die Rede?
Gruß
Michael

[JVR]

Genau. Immer dann, wenn mit Ihrer scharfen Logik ein neuer Beweis gebracht wird,
dass die gesamte herkömmliche Mathematik Unsinn ist, ziehe ich mich voller Schrecken
zurück und zitiere Lewis Carroll:

"The sea was wet as wet could be,
The sands were dry as dry.
You could not see a cloud, because
No cloud was in the sky:
No birds were flying overhead —
There were no birds to fly."

[JVR]

On Tuesday, May 10, 2022 at 10:16:02 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

Ein weiterer Grund dafür, dass eine 'on-topic' Unterhaltung mit Ihnen keinen Sinn hat ist, dass Sie
nicht in der Lage sind einfache Begriffe, in diesem Fall den Begriff 'metrischer Raum',
und deren Implikationen zu begreifen.
Sie führen eine Metrik d(x,y) ein, das ist per def. eine Funktion mit Werten in R+,
und als nächstes quatschen Sie von d(x,y) = omega. Da lohnt sich kein Kommentar,
wenn einer so doof ist.

[Ganzhinterseher]

Michael Klemm schrieb am Mittwoch, 11. Mai 2022 um 09:20:44 UTC+2:

> Wovon ist denn dann in Deinem Zitat
> --"Es fragt sich, in welchem Abstande von γ dieser Gigant δ liegt" [11. Okt. 1886, Cantor, Brief an Goldscheider] --
> die Rede?

Von sehr großen Ordinalzahlen. "Lassen Sie uns Kürze halber die der zweiten Zahlenclasse angehörigen Wurzeln der Gleichung ω^x = x die Giganten der zweiten Zahlenklasse nennen; es fragt sich, auf welche Weise wir uns einen Ueberblick über sämmtliche Giganten, einen Einblick in ihre gesetzmäßige Folge verschaffen."

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Mittwoch, 11. Mai 2022 um 15:27:20 UTC+2:

> Sie führen eine Metrik d(x,y) ein, das ist per def. eine Funktion mit Werten in R+,
> und als nächstes quatschen Sie von d(x,y) = omega.

Man setzt hier gewöhnlich oo ein. Aber das ist, wie schon Cantor erkannte, irreführend, weil oo "ausschließlich als Beziehungsbegriff, als Hilfsvorstellung unseres Denkens Bedeutung hat" (Cantor), also, wie ich auch meinen Studenten stets erkläre, eine Richtung, aber keinen Wert bezeichnet. Dagegen ist omega, wenn es denn ist, eine feste Größe.

Gruß, WM

[Dieter Heidorn]

Michael Klemm schrieb:

> Ganzhinterseher schrieb am Dienstag, 10. Mai 2022 um 22:16:02 UTC+2:

[ein aus dem Zusammenhang gerissenes Cantor-Zitat]

> Wovon ist denn dann in Deinem Zitat
> --"Es fragt sich, in welchem Abstande von γ dieser Gigant δ liegt" [11. Okt. 1886, Cantor, Brief an Goldscheider] --
> die Rede?
>

In dem genannten Brief ist zu lesen:

---------- Zitat ----------

Lassen Sie uns Kürze halber die der zweiten Zahlenclasse angehörigen

Wurzeln der Gleichung ω^x = x die Giganten der zweiten Zahlenclasse

nennen; es fragt sich, auf welche Weise wir uns einen Ueberblick über
sämmtliche Giganten, einen Einblick in ihre gesetzmäßige Folge
verschaffen.

Der kleinste Gigant, wir wollen ihn γ_1 nennen ist:

γ_1 = Li(ω, ω_1 ω_2 ... ) ,

wenn ω_1 = ω^ω ; ω_2 = ω^ω_1 ; ω_3 = ω^ω_2 ; ... gesetzt werden.

Es kommt nun darauf an, den nächstfolgenden Giganten γ_2 und allgemein
die wohlgeordnete Menge zweiter Mächtigkeit vom Typus Ω sämmtlicher
Giganten der zweiten Z.cl.:

γ_1 , γ_2 , ... γ_ν , ... γ_ω , γ_(ω+1) ...

zu characterisiren.

1. Ist α irgend eine Zahl >= 1 der ersten oder zweiten Z.cl. und bildet
man:

α_1 = ω^α ; α_2 = ω^α_1 ; α_3 = ω^α_2 ; ...

so ist, wie leicht zu sehen, die Zahl Li(α, α_1, α_2, ...) stets ein
Gigant; wir wollen ihn in seiner Abhängigkeit von α mit G(α) bezeichnen.

2. Ist nun γ irgend ein Gigant, γ' der auf ihn nächstfolgende Gigant und
η irgend eine Zahl zwischen beiden, so daß: γ < η < γ', so ist immer:

G(η) = γ'

[...]

3. Setzt man in 2 η = γ + 1, so folgt:

γ' = G(γ + 1) .

[...]

4. Ist γ, γ', γ", ... irgend eine einfach unendliche steigende Folge von
Giganten, so ist immer:

Li(γ, γ', γ", ... )

auch ein Gigant und zwar der auf jene Giganten nächstfolgende Gigant.

5. In 3. und 4. ist das gesuchte Gesetz enthalten, nach welchem die
Reihe der Giganten:

γ_1, γ_2, γ_3, ... γ_ω, γ_(ω+1), ...

fortschreitet.

Wir können sagen: ist α eine Zahl erster Art, so ist:

γ_α = G(γ_α_i + 1);

ist aber α eine Zahl der zweiten Art, etwa
α = Li(α_l, α_2, ... , α_ν, ...), so hat man:

γ_α = Li(γ_α_l, γ_α_2, ... , γ_α_ν, ...) .

Somit ist jene Reihe auf vollständige Induction basirt.

6. Ist γ irgend ein Gigant, so lässt sich daraus ein neuer Gigant wie
folgt bilden: man setze

γ^γ = γ^(1); γ^γ^(1) = γ^(2); γ^γ^(2) = γ^(3); ...

und bilde:

δ = Li(γ, γ^(1), γ^(2), ... ).

Es fragt sich, in welchem Abstande von γ dieser Gigant δ liegt und ich
behaupte, δ ist gleich dem auf γ nächstfolgenden γ'.

[...]

----------(Zitat Ende)----------

Anmerkung der Herausgeber von
"Georg Cantor
BRIEFE
Herausgegeben von
Herbert Meschkowski und Winfried Nilson"

zu dem Brief Cantors an Goldscheider vom 11.10.1886:

|"Im Vordergrund steht zunächst die Untersuchung der Zahlen der zweiten
| Zahlenklasse. Vieles von dem, was Cantor ca. zehn Jahre später in
| seinen "Beiträgen" [36] ausgeführt hat, findet man hier schon in
| ähnlicher Form vorgezeichnet.
| Dafür ist der obige Brief ein überzeugendes Beispiel. Er entspricht
| inhaltlich weitgehend dem § 20 von [36] über die ε-Zahlen - hier
| 'Giganten' genannt - der zweiten Zahlenklasse (vgl. [W], S.d 347-351;
| s. auch Anmerkung von Zermelo auf S. 356).

Quellen:

[36] Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. 1. Math.
Ann. 46 (1895) 481-512; 11. ebenda 49 (1897) 207-246.

[W], 282-351.

[W] = Gesammelte Abhandlungen
https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN237853094

Dieter Heidorn

[JVR]

Niemand 'setzt gewöhnlich oo ein'. d(x,y) ist eine positive reelle Zahl für alle x,y; andernfalls ist es kein metrischer Raum.
Insbesondere ist das Axiom d(x,y) = 0 iff x = y nicht mehr durchweg erfüllt.

Welches Teufelchen hat Sie geritten, dass Sie hier demonstrieren müssen, dass Sie nicht wissen,
was ein metrischer Raum ist?

Versuchen Sie, einer Analysis I Vorlesung an der Uni Augsburg zu folgen. Ihnen fehlen elementarste Kenntnisse.

[Gus Gassmann]

On Wednesday, 11 May 2022 at 13:42:10 UTC-3, JVR wrote:
[...[

> Niemand 'setzt gewöhnlich oo ein'. d(x,y) ist eine positive reelle Zahl für alle x,y; andernfalls ist es kein metrischer Raum.
> Insbesondere ist das Axiom d(x,y) = 0 iff x = y nicht mehr durchweg erfüllt.

Das ist mir nicht so ganz klar. Ich denke, eine erweiterte Metrik auf einem Raum X mit einer Abstandsfunktion d: X -> [0,oo] sollte definierbar sein, vor allem hier, wo man d(n, omega) = oo definieren kann. Liegt es an dem "durchweg"?

(Dazu gibt es auch eine Diskussion auf SE: https://math.stackexchange.com/questions/399722/metric-assuming-the-value-infinity.)

[Michael Klemm]

Ja danke. WM scheitert bereits an der ersten Zahlenklasse.
Gruß
Michael

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Mittwoch, 11. Mai 2022 um 18:42:10 UTC+2:
> On Wednesday, May 11, 2022 at 4:37:28 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > JVR schrieb am Mittwoch, 11. Mai 2022 um 15:27:20 UTC+2:
> >
> > > Sie führen eine Metrik d(x,y) ein, das ist per def. eine Funktion mit Werten in R+,
> > > und als nächstes quatschen Sie von d(x,y) = omega.
> > Man setzt hier gewöhnlich oo ein. Aber das ist, wie schon Cantor erkannte, irreführend, weil oo "ausschließlich als Beziehungsbegriff, als Hilfsvorstellung unseres Denkens Bedeutung hat" (Cantor), also, wie ich auch meinen Studenten stets erkläre, eine Richtung, aber keinen Wert bezeichnet. Dagegen ist omega, wenn es denn ist, eine feste Größe.
> >

> Niemand 'setzt gewöhnlich oo ein'.

Informiere Dich besser. Weshalb glaubst Du habe ich das geschrieben? Ich würde Dich sogar zu meiner Analysis 1 Vorlesung einladen, wenn ich sie noch hielte. Dann könntest Du das noch nachlernen.

Gruß, WM

[JVR]

OK Mücke, ich gebe Ihnen 2 Jahre Zeit, um den metrischen Raum, der alle Ordinalzahlen enthält zu erforschen.
Dann berichten Sie, was Sie gefunden haben. Unterdessen halten Sie aber gefälligst den Mund.
Was meinen Sie, wie die Funktion d(x,y) ungefähr aussehen müsste?

[JVR]

Mücke möchte 'auf der Ordinalzahlachse' (die er vermutlich nicht genauer zu definieren gedenkt), Abstände
zwischen Ordinalzahlen einführen. Die endlichen haben dann vermutlich ganzzahlige endliche Abstände ohne
obere Grenze ( was Mücke vermutlich nicht genauer zu definieren gedenkt) und die übrigen sind ganz weit weg.
Aber wie weit weg von einander? und wie weit weg ist weit weg? Wir haben nun omega und aleph0 und oo als
Ordinalzahlen? Als Entfernungen? Ist omega + 1 eine Entfernung? Wenn ja, ist 1 + omega = omega + 1? Wie ist es
mit omega*omega und omega^omega?
Deshalb geben wir Mücke noch 2 Jahre. Ich rate ihm aber zuerst einmal Sierpinski (Cardinal and Ordinal Numbers) zu
studieren. Kapieren wird er nichts, aber kopieren kann er vielleicht.
Man kann natürlich Äquivalenzklassen von unendlich weit voneinander entfernten Zahlen einführen. Das ist dann
für jede Klasse genauso als gäbe es die anderen garnicht (alle Abstände sind unendlich). So als wären die einen alle
Ganzhintermberg und die anderen alle Ganzvordemberg.

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Donnerstag, 12. Mai 2022 um 10:07:26 UTC+2:
> Wir haben nun omega und aleph0 und oo als
> Ordinalzahlen?

Du wirst es nie begreifen, aber vielleicht ist ja ein Leser interessiert und in der Lage.

oo ist keine Zahl, sondern hat "ausschließlich als Beziehungsbegriff, als Hilfsvorstellung unseres Denkens Bedeutung" (Cantor). Es gibt eine Richtung an.

ℵo ist keine Zahl, sondern gibt eine aktuale Unendlichkeit an.

ω ist eine feste Zahl, für die gilt: ∀n ∈ ℕ_def: n + ℵo = ω.

Deswegen ist der Abstand d(ω, ω) = 0, d(ω, n) = ω - n = ℵo, d(m, n) = |m - n|.

Von ω + 1 spreche ich nicht, von Cantors Giganten erst recht nicht.

Gruß, WM

[Michael Klemm]

Dann ist allerdings d(m, ω) = |m - ω|, also - ω ∈ ℕ_def.
Gruß
Michael

[JVR]

Sie haben recht - ich werde nie begreifen, wie jemand solchen Unsinn schreiben kann, ohne
zu merken, dass es vollkommener Unsinn ist.