Gruppentheorie in der Musik
Hans J. Ude
Ich habe zusammen mit einem Freund eine kleine Theorie plus einem
zugehörigen dreidimensionalen Modell entwickelt. Möglicherweise haben wir
auch nur das Rad neu erfunden. Deshalb auch meine Frage hier: Kennt jemand
dieses Modell schon oder ist es neu? Ich habe im Web gesucht und gesucht und
auch schon in rec.music.theory gepostet aber die Antworten waren nur äußerst
vage bis uninformativ. Das Modell basiert auf der mathematischen
Gruppentheorie aber ich will versuchen die Mathematik hier so weit wie
möglich heraus zu halten. Nun aber zur Sache:
Es gibt die Gruppen Z3 und Z4. Musikalisch kann man Z3 als die Gruppe der
drei verminderten (dim) Akkorde und Z4 als die Gruppe der vier übermäßigen
(aug) Akkorde betrachten. Das Produkt der beiden Gruppen (Z3 x Z4) ergibt
Z12, was dann unsere 12 Halbtöne ergibt. Das Gebilde was entsteht, ist ein
Kreisring (Torus). Wir haben zwei Holzmodelle gebaut: ein Dreieck aus einem
Vierkantprofil und ein Viereck aus einem Dreikantprofil. Beide sind
inhaltlich völlig gleichwertig. In meiner Homepage gibt's darüber genaue
Beschreibungen und Zeichnungen. Besonders aus dem Viereck lassen sich jede
Menge bekannter musikalischer Zusammenhänge auf den ersten Blick ablesen:
Die Ganztonskalen, die verminderten Skalen, Neuntonskalen, wie man von einer
Tonart am elegantesten in eine andere modulieren kan, usw...
Wenn's interessiert, laßt es mich wissen, dann will ich gerne versuchen die
(nicht ganz einfachen) Zusammenhänge genauer darzulegen. Wie gesgt, in
meiner Homepage gibt's weitergehende Info. Außerdem ein kleines MIDI
Programm, was man über Keyboard oder Sequencer antriggern kann um das das
ganze anschaulicher zu machen. Viele werden fragen was das ganze soll oder
wozu es nützlich seien soll. Ihr könnt vielleicht sagen, daß es unnütz ist,
aber eins _nicht_: das es falsch ist.
Gunter Bengel
> Bestimmt gibt's hier auch Musiker. Dann ist's wenigsten nicht ganz OT:
>
>
> Es gibt die Gruppen Z3 und Z4. Musikalisch kann man Z3 als die Gruppe der
> drei verminderten (dim) Akkorde und Z4 als die Gruppe der vier übermäßigen
> (aug) Akkorde betrachten. Das Produkt der beiden Gruppen (Z3 x Z4) ergibt
> Z12, was dann unsere 12 Halbtöne ergibt. Das Gebilde was entsteht, ist ein
> Kreisring (Torus). Wir haben zwei Holzmodelle gebaut: ein Dreieck aus einem
> Vierkantprofil und ein Viereck aus einem Dreikantprofil. Beide sind
> inhaltlich völlig gleichwertig. In meiner Homepage gibt's darüber genaue
> Beschreibungen und Zeichnungen. Besonders aus dem Viereck lassen sich jede
> Menge bekannter musikalischer Zusammenhänge auf den ersten Blick ablesen:
> Die Ganztonskalen, die verminderten Skalen, Neuntonskalen, wie man von einer
> Tonart am elegantesten in eine andere modulieren kan, usw...
Hallo,
schau mal in das Buch: Geometrie der Töne, Elemente der mathematischen
Musiktheorie von G.Mazzola u.a. (Birkhäuser 1990). Die kriegen
allerdings ein Möbiusband.
Gruß Gunter
--
Gunter Bengel <ben...@math.uni-muenster.de>
Mathematisches Institut der WWU Muenster
Einsteinstrasse 62 , D-48149 Muenster,Germany
Tel. 0251/83-32484
Martin Gieseking
> Musiktheorie von G.Mazzola u.a. (Birkhäuser 1990). Die kriegen
> allerdings ein Möbiusband.
Mazzola hat gerade sein neues Buch "Topos of Music" (1300 Seiten)
fertiggestellet, dem der aktuelle Stand der Mathematischen Musiktheorie
zugrunde liegt und das sich genau mit diesen Fragestellungen befaßt. Wann
es im Handel erscheint, steht -- soviel ich weiß -- aber noch nicht fest.
Martin
Hans J. Ude
das Verhältnis von Mathe/Musik etwa 1/3, bei meinem Freund etwa
umgekehrt. So haben wir uns dann gegenseitig sozusagen die Bälle
zugespielt. Bitte daher um Verständnis wenn meine mathematischen
Formulierungen hier und da vielleicht etwas unpräzise seien sollten. Als
wir angefangen haben, hatte ich von Gruppentheorie praktisch keine
Ahnung aber mit einem kleinen Crash Kurs und dem musikalischen
Anwendungsbeispiel habe ich die Grundzüge dann glaube ich aber kapiert.
> Bitte erstmal die Elemente und Gruppen-Operation von Z3 und Z4
> nennen.
C=0, C#=1, D=2, ...
Z3 = {(C,D#,F#,A),(C#,E,G,A#),(D,F,G#,H)} verminderte Akkorede
Z4 = {(C,E,G#),(C#,F,A),(D,F#,A#),(D#,G,H)} übermäßige Akkorde
Dann Z3 x Z4 bilden
> Kann man es erklären, warum gerade diese Gruppen der Ausgangspunkt
> sind?
Hmmm .... ??
> Sind sie in irgendeinem Sinne minimale oder ausgezeichnete Erzeugende?
>
Die Generatoren von Z12 sind 1,5,7,11 entsprechend C#,F,G,H. Die
Kombination H-C# sind die Halbtonschritte auf/ab und F-G ist der
Quarten/Quintenzirkel. Logisch, mit diesen Intervallen erreicht man
jeden Ton. In meiner Homepage gibt's ein PDF File, wo die Zusammenhänge
zwischen Quintenzirkel, Halbtonzirkel, Viereck und Flächendarstellung
nebeneinandergestellt. In der Fläche sieht das Modell so aus:
C - D# - F# - A
| | | |
E - G - A# - C#
| | | |
G# - H - D - F
Jetzt muss man sich das rechte mit mit dem linken sowie das obere mit
dem unteren Ende verbunden denken.
Interessant ist auch wenn man das Modell weiterdenkt. Etwa Z3xZ5 oder
Z4xZ5, man die Oktave in 15 bzw. 20 gleiche Intervalle aufteilt. wie das
wohl klingen mag?
Hans J. Ude
> schau mal in das Buch: Geometrie der Töne, Elemente der mathematischen
> Musiktheorie von G.Mazzola u.a. (Birkhäuser 1990). Die kriegen
> allerdings ein Möbiusband.
Das Buch hatte mein Freund da als ich zu Besuch war. Mir ist aber gar
nicht mehr bewußt, daß da was über den Zusammenhang von kleinen und
großen Terzen drinstand. Bewußt haben wir das jedenfalls nicht
abgekupfert. Ansonsten ist das Buch aber ganz schön starker Tobak, um
nicht zu sagen Overkill. Die versuchen da ja ganze Sinfonien
mathematisch zu analysieren. Und jetzt soll noch wie in diesem Thread
gesagt wurde ein neues mit 1300 Seiten herauskommen? Arrrggggg.... wer
soll das denn alles verstehen?
Hajü
Hans J. Ude
> C - D# - F# - A
> | | | |
> E - G - A# - C#
> | | | |
> G# - H - D - F
In der horizontalen die verminderten Akkorde, in der vertikalen die
übermäßigen. Das ergibt in der Hauptdiagonalen der Quintenzirkel und in
der Nebendiagonalen der Halbtonzirkel. Die Generatoren.
Hajü
Stefan Kirchner
> Zunächst erstmal eins vorweg: Bei der Erstellung der Theorie war bei mir
> das Verhältnis von Mathe/Musik etwa 1/3, bei meinem Freund etwa
> umgekehrt. So haben wir uns dann gegenseitig sozusagen die Bälle
> zugespielt. Bitte daher um Verständnis wenn meine mathematischen
> Formulierungen hier und da vielleicht etwas unpräzise seien sollten. Als
> wir angefangen haben, hatte ich von Gruppentheorie praktisch keine
> Ahnung aber mit einem kleinen Crash Kurs und dem musikalischen
> Anwendungsbeispiel habe ich die Grundzüge dann glaube ich aber kapiert.
>
> > Bitte erstmal die Elemente und Gruppen-Operation von Z3 und Z4
> > nennen.
>
> C=0, C#=1, D=2, ...
>
> Z3 = {(C,D#,F#,A),(C#,E,G,A#),(D,F,G#,H)} verminderte Akkorede
> Z4 = {(C,E,G#),(C#,F,A),(D,F#,A#),(D#,G,H)} übermäßige Akkorde
Jetzt wird es ernst...
Du hast jetzt nur die Elemente der Gruppe gegeben. Eine Gruppe G hat aber noch
mehrere Eigenschaften:
1) je zwei Elemente kannst Du verknuepfen und es kommt wieder ein Element der
Gruppe heraus (Abgeschlossenheit) [ o sei im folgenden das
Verknuepfungszeichen; \in heisse "Element aus"]
2) Es gilt das Assoziativgesetz.
3) Es gibt ein neutrales Element e, d.h. fuer alle a \in G gilt: a o e = a = e
o a
Wenn ich jetzt z.B. (C,E,G#) o (D,F,G#,H) berechne, was erhalte ich dann?
Was ist das neutrale Element? Fuer mich sehen alle Elemente ziemlich
gleichberechtigt aus.
> Dann Z3 x Z4 bilden
>
> > Kann man es erklären, warum gerade diese Gruppen der Ausgangspunkt
> > sind?
>
> Hmmm .... ??
>
> > Sind sie in irgendeinem Sinne minimale oder ausgezeichnete Erzeugende?
> >
>
> Die Generatoren von Z12 sind 1,5,7,11 entsprechend C#,F,G,H. Die
> Kombination H-C# sind die Halbtonschritte auf/ab und F-G ist der
> Quarten/Quintenzirkel. Logisch, mit diesen Intervallen erreicht man
> jeden Ton. In meiner Homepage gibt's ein PDF File, wo die Zusammenhänge
> zwischen Quintenzirkel, Halbtonzirkel, Viereck und Flächendarstellung
> nebeneinandergestellt. In der Fläche sieht das Modell so aus:
>
> C - D# - F# - A
> | | | |
> E - G - A# - C#
> | | | |
> G# - H - D - F
Ich vermute jetzt, worauf Du hinaus willst, denke aber, dass Du mit direktem
Produkt den falschen Weg einschlaegst.
Ausgehend von "Die Generatoren von Z12 sind 1,5,7,11 entsprechend C#,F,G,H."
benutze ich jetzt folgende Bezeichnung (evtl. mit enharmonischen
Verwechselungen):
0 = C
1 = C#
2 = D
3 = D#
4 = E
5 = F
6 = F#
7 = G
8 = G#
9 = A
10 = B
11 = H
Zwei Toene verknuepfe ich, indem ich ihre Zahlen addiere und modulo 12 rechne.
Anschaulich auf der Klaviatur heisst das: ich addiere die Intervalle ausgehend
von C und ziehe gegebenfalls eine Oktave ab.
C ist hier das neutrale Element, Du kannst das ganze mit jedem beliebigen Ton
machen. Mathematisch gesprochen: Intervalle sind invariant bezueglich
Transposition (im Gegensatz zu Sequenzierung).
Jetzt bildet {0,...,11} eine zyklische Gruppe der Ordnung 12. Diese Gruppe hat
Untergruppen
- mit der Ordnung 6: {0,2,4,6,8,10} = {C,D,E,F#,G#,B} [Ganztonleiter]
- mit der Ordnung 4: {0,3,6,9} = {C, D#, F#, A}[verminderter Septakkord]
- mit der Ordnung 3: {0,4,8} = {C,E,G#} [uebermaessiger Quintakkord]
- mit der Ordnung 2: {0,6} = {C,F#} [Tritonus]
- mit der Ordnung 1: {0} = {C} [Prime]
Als Gruppengraph ergibt sich dann folgendes Bild:
[Font fester Breite einstellen!]
{C,C#,D,D#,E,F,F#,G,G#,A,B,H} 12
|\
| \
| \
| \
| \
{C,D,E,F#,G#,B} \ 6
/\ \
/ \ \
| \ {C,D#,F#,A} 4
| \ |
| \ |
{C,E,G#} \ | 3
| \ |
| \ |
| \|
| {C,F#} 2
| /
| /
| /
| /
| /
| /
| /
| /
| /
| /
| /
|/
{C} 1
Fuer jedes a \in G und jeder Untergruppe U kannst Du jetzt die sogenannten
Nebenklassen a o U berechnen: a o U = {a o x | x \in U}. Ist a \in U, so
erhaeltst Du U persoenlich.
Beispiel:
C# o {C, D#, F#, A} = {C# o C, C# o D#, C# o F#, C# o A} = {C#, E, G, B}
und Du hast jetzt eine Nebenklasse berechnet. Diese Nebenklasse besteht auch
aus verminderten Septakkorden. Die andere Nebenklasse ergibt dann den noch
fehlenden Septakkord {D, F, G#,H}.
Das gleiche kannst Du mit den anderen Untergruppen tun. Auf diese Weise
erhaeltst Du dann die noch fehlenden
- drei uebermaessigen Quintakkorden
- eine Ganztonleiter
- fuenf Tritoni
- elf Primen
Es gibt zu einer Untergruppe immer (Anzahl Elemente der Gruppe / Ordnung der
Untergruppe) Nebenklassen. Nebenklassen einer Untergruppe haben (in endlichen
Gruppen) die Eigenschaft, dass sie
- alle gleich gross sind
- jeder Ton in genau eine Nebenklasse gehoert.
Hier will ich erst einmal aufhoeren, da es keinen Sinn hat, weiterzuschreiben,
wenn ich Dich falsch verstanden habe.
Gruss Stefan
Pether Hubert
> Es gibt zu einer Untergruppe immer (Anzahl Elemente der Gruppe /
> Ordnung der Untergruppe) Nebenklassen. Nebenklassen einer
> Untergruppe haben (in endlichen Gruppen) die Eigenschaft, dass sie
Kleine Frage am Rande: Warum diese Einschränkung?
> - alle gleich gross sind
> - jeder Ton in genau eine Nebenklasse gehoert.
Ciao,
Pether
--
Wenn ein Vertrag fair und rechtmäßig gemacht ist, dann ist es illegal,
nach Rache, insbesondere unprofitabler Rache zu sinnen.
(Erwerbsregel 50)
Stefan Kirchner
> Stefan Kirchner <kirc...@informatik.hu-berlin.de> writes:
> > Es gibt zu einer Untergruppe immer (Anzahl Elemente der Gruppe /
> > Ordnung der Untergruppe) Nebenklassen. Nebenklassen einer
> > Untergruppe haben (in endlichen Gruppen) die Eigenschaft, dass sie
> ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
> Kleine Frage am Rande: Warum diese Einschränkung?
Ich habe nur recht elementare Kenntnisse in Gruppentheorie und bin mir
nicht ganz sicher, ob bei unendlichen Gruppen alle Nebenklassen zu einer
Untergruppe gleichmaechtig sind.
Moeglicherweise ist die Einschraenkung nicht notwendig. Es war eher als
"Versicherung" gedacht, damit mir keiner mit einem Gegenbeispiel kommen
kann.
Ciao Stefan
> > - alle gleich gross sind
> > - jeder Ton in genau eine Nebenklasse gehoert.
>
> Ciao,
>
> Pether
> --
> Wenn ein Vertrag fair und rechtmäßig gemacht ist, dann ist es illegal,
> nach Rache, insbesondere unprofitabler Rache zu sinnen.
> (Erwerbsregel 50)
P.S. Hast Du eine vollstaendige Liste aller Erwerbsregeln?
Pether Hubert
>>> Es gibt zu einer Untergruppe immer (Anzahl Elemente der Gruppe /
>>> Ordnung der Untergruppe) Nebenklassen. Nebenklassen einer
>>> Untergruppe haben (in endlichen Gruppen) die Eigenschaft, dass sie
>> ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
>> Kleine Frage am Rande: Warum diese Einschränkung?
> Ich habe nur recht elementare Kenntnisse in Gruppentheorie und bin
> mir nicht ganz sicher, ob bei unendlichen Gruppen alle Nebenklassen
> zu einer Untergruppe gleichmaechtig sind.
Sei U eine Untergruppe von G und gU eine beliebige Nebenklasse von U.
Wenn es Dir nun gelingt, eine Bijektion zwischen U und gU anzugeben,
hast Du gezeigt, daß alle Nebenklassen von U gleichmächtig zu U sind,
also auch paarweise gleichmächtig. Das finden der Bijektion überlasse
ich dem geneigten Leser zur Übung.
> P.S. Hast Du eine vollstaendige Liste aller Erwerbsregeln?
Nein. Ich habe sie von http://www.ufp-terminal.de
Ciao,
Pether
--
Nur ein Narr verpaßt eine gute Gelegenheit. (Erwerbsregel 78)
Paul Ebermann
> Pether Hubert schrieb:
>
[...]
> > --
> > Wenn ein Vertrag fair und rechtmäßig gemacht ist, dann ist es illegal,
> > nach Rache, insbesondere unprofitabler Rache zu sinnen.
> > (Erwerbsregel 50)
>
> P.S. Hast Du eine vollstaendige Liste aller Erwerbsregeln?
Das hatte ich auch schon einmal gefragt.
Hier gibt es eine Liste:
http://www.ufp-terminal.de/ufp_terminal/regeln/ferengi_erwerbsregeln.html
HTH
Paul
Stefan Kirchner
Pether Hubert schrieb:
> Stefan Kirchner <kirc...@informatik.hu-berlin.de> writes:
>
> > Ich habe nur recht elementare Kenntnisse in Gruppentheorie und bin
> > mir nicht ganz sicher, ob bei unendlichen Gruppen alle Nebenklassen
> > zu einer Untergruppe gleichmaechtig sind.
>
> Sei U eine Untergruppe von G und gU eine beliebige Nebenklasse von U.
> Wenn es Dir nun gelingt, eine Bijektion zwischen U und gU anzugeben,
> hast Du gezeigt, daß alle Nebenklassen von U gleichmächtig zu U sind,
> also auch paarweise gleichmächtig. Das finden der Bijektion überlasse
> ich dem geneigten Leser zur Übung.
Hmm, danke, manchmal sollte man die Steine, die direkt vor einem liegen,
auch nehmen...
Ciao Stefan