Wie lang ist der rote Pfeil?

[Tom Bola]

Wie lang ist der rote Pfeil?

https://www.directupload.net/file/d/6538/lyu7fial_png.htm

Gar nicht so einfach wie es zuerst aussieht, oder?

[Klaus Pommerening]

Tom Bola stellt uns auf die Probe:

> Wie lang ist der rote Pfeil?
>
> https://www.directupload.net/file/d/6538/lyu7fial_png.htm
>
> Gar nicht so einfach wie es zuerst aussieht, oder?

Auch als Leiter-Kiste-Problem bekannt. Ähnlich: Das Problem
der gekreuzten Leitern. Zum Einstieg geeignet:

https://scienceblogs.de/klausis-krypto-kolumne/2022/01/21/noch-ein-leiterproblem/
--
Klaus Pommerening
Bei Problemen suchen intelligente Menschen nach Lösungen,
dumme Menschen nach Schuldigen.

[Alfred Flaßhaar]

Am 06.05.2022 um 09:40 schrieb Klaus Pommerening:
> Tom Bola stellt uns auf die Probe:
>> Wie lang ist der rote Pfeil?
>>
>> https://www.directupload.net/file/d/6538/lyu7fial_png.htm
>>
>> Gar nicht so einfach wie es zuerst aussieht, oder?
>
> Auch als Leiter-Kiste-Problem bekannt. Ähnlich: Das Problem
> der gekreuzten Leitern. Zum Einstieg geeignet:
>
> https://scienceblogs.de/klausis-krypto-kolumne/2022/01/21/noch-ein-leiterproblem/
>

Beide Aufgabe sind altbekannt und recht einfach zu lösen.

[Tom Bola]

Klaus Pommerening schrieb:

> Tom Bola stellt uns auf die Probe:
>> Wie lang ist der rote Pfeil?
>>
>> https://www.directupload.net/file/d/6538/lyu7fial_png.htm
>>
>> Gar nicht so einfach wie es zuerst aussieht, oder?
>
> Auch als Leiter-Kiste-Problem bekannt. Ähnlich: Das Problem
> der gekreuzten Leitern. Zum Einstieg geeignet:
>
> https://scienceblogs.de/klausis-krypto-kolumne/2022/01/21/noch-ein-leiterproblem/

Danke für den Link (und den Namen)!

"Irgendwie frustrierend" dass (noch) keine einfache Lösung bekannt ist... ;)

[Klaus Pommerening]

Alfred Flaßhaar stellt fest:

... und mathematisch nur insofern interessant, als sie Beispiele
für einfache Aufgaben liefern, deren Lösung auf Gleichungen
höheren Grades führen, bei denen man sich letztlich mit numerischen
Verfahren behelfen muss.
--
Klaus Pommerening
Aus dem Wörterbuch der Bescheuerten und Bekloppten:
GröRaZ = größenwahnsinnigster Russe aller Zeiten

[Tom Bola]

Klaus Pommerening schrieb:

> Alfred Flaßhaar stellt fest:
>> Am 06.05.2022 um 09:40 schrieb Klaus Pommerening:
>>> Tom Bola stellt uns auf die Probe:
>>>> Wie lang ist der rote Pfeil?
>>>> https://www.directupload.net/file/d/6538/lyu7fial_png.htm
>>>> Gar nicht so einfach wie es zuerst aussieht, oder?
>>> Auch als Leiter-Kiste-Problem bekannt. Ähnlich: Das Problem
>>> der gekreuzten Leitern. Zum Einstieg geeignet:
>>> https://scienceblogs.de/klausis-krypto-kolumne/2022/01/21/noch-ein-leiterproblem/
>> Beide Aufgabe sind altbekannt und recht einfach zu lösen.
>
> ... und mathematisch nur insofern interessant,

"Nur"? LOL, das ist lediglich deine nicht massgebliche Idee.

> als sie Beispiele für einfache Aufgaben liefern, deren Lösung
> auf Gleichungen höheren Grades führen

Ebenfalls bekloppt, aber: eine Standardlösung der Aufgabe lautet

c²=(b+x)²+(b+b²/x)² oder x4+2bx³+(2b²-c²)x²+2b³x+b4=0.

Und das ist eine Gleichung 4.Grades.

> bei denen man sich letztlich mit numerischen Verfahren behelfen muss.

LOL, eher das Gegenteil, weil analytische Verfahren die "eigentliche"
Mathematik sind und nicht bloss eine verschwindend kleine Teilmenge.

Kauf dir am besten mal eine Kiste voller (Mathe-) Bücher...

[Tom Bola]

Zusatz: Weiterhin, was ist an den (kurzen) Lösungen mithilfe der
Trigonometrie einzuwenden, die ebenfalls nicht "höheren Grades" sind...

So ein bescheuertes Posting wie deines, K.P., bringt nicht mal WM zustande.



Tom Bola schrieb:

[Klaus Pommerening]

Tom Bola kotzt mal wieder in die Gegend:

> Zusatz: Weiterhin, was ist an den (kurzen) Lösungen mithilfe der
> Trigonometrie einzuwenden, die ebenfalls nicht "höheren Grades" sind...
> So ein bescheuertes Posting wie deines, K.P., bringt nicht mal WM zustande.

Mäßige dich. Dass du keine Manieren hast, wissen wir schon,
das musst du nicht täglich neu beweisen.
--
Klaus Pommerening
PTN PNH

[Tom Bola]

Klaus Pommerening schrieb:

Dein Posting ist aber _IN_DER_SACHE_ ausdrücklich bescheuert.

Jetzt sag endlich was zu deinem Vorwurf, die Aufgabe sei bloss
niederen Grades, was OFFENSICHTLICH Unsinn ist und dazu dass
stets numerische Mathematik über andere (also analytische)
zu bevorzugen sei.

Ich werde natürlich, LOL, weiterhin Dinge beim Namen nennen
und deine Posts *bescheuert* nennen, solange die das sind.

Wenn du das mit deiner ... problematischen ... Psyche nicht
aushältst, dann empfehle ich dir eine Auswanderung nach Afghanistan,
da kannst du generelle Unterwürfigkeit und "Manieren" seitens
der Frauen UMSONST haben, Meldung von AFP vor 3 Stunden:

"Taliban-Chef Hibatullah Achundsada hat den Frauen in Afghanistan
das Tragen einer Burka in der Öffentlichkeit vorgeschrieben. Sie
sollten die Ganzkörperbedeckung tragen, "da dies traditionell und
respektvoll ist", erklärte Achundsada in einem Erlass am Samstag."

Nun heul dich erst mal aus, du ... und dann nichts wie da hin,
da bekommst du dann später hoffentlich deine "Manieren" verpasst!

[Alfred Flaßhaar]

Am 07.05.2022 um 08:56 schrieb Klaus Pommerening:
> Alfred Flaßhaar stellt fest:
>> Am 06.05.2022 um 09:40 schrieb Klaus Pommerening:
>>> Tom Bola stellt uns auf die Probe:
>>>> Wie lang ist der rote Pfeil?
>>>> https://www.directupload.net/file/d/6538/lyu7fial_png.htm
>>>> Gar nicht so einfach wie es zuerst aussieht, oder?
>>> Auch als Leiter-Kiste-Problem bekannt. Ähnlich: Das Problem
>>> der gekreuzten Leitern. Zum Einstieg geeignet:
>>> https://scienceblogs.de/klausis-krypto-kolumne/2022/01/21/noch-ein-leiterproblem/
>>
>> Beide Aufgabe sind altbekannt und recht einfach zu lösen.
>
> ... und mathematisch nur insofern interessant, als sie Beispiele
> für einfache Aufgaben liefern, deren Lösung auf Gleichungen
> höheren Grades führen, bei denen man sich letztlich mit numerischen
> Verfahren behelfen muss.

Beim Leiter-Kiste-Problem ergibt sich aus Pythagoras und Ähnlichkeit ein
Polynom 4. Grades. Das hat vier reelle Nullstellen, die
erfreulicherweise alle durch Radikale darstellbar sind. Wegen der
plausiblen Voraussetzung h > 1 sind nur zwei davon brauchbar. Im 1.
Quadranten gezeichnet sind diese Lösungen "steile Leiter" und "flache
Leiter", beide Lösungen sind symmetrisch zur Geraden y = x.

Sonntagsgruß, Alfred Flaßhaar

[Martin Vaeth]

Alfred Flaßhaar <Alfred.F...@gmx.de> schrieb:

> Polynom 4. Grades. Das hat vier reelle Nullstellen, die
> erfreulicherweise alle durch Radikale darstellbar sind.

Gilt Letzteres bei einem Polynom 4. Grades denn nicht immer?
Oder verweigerst Du die Bezeichnung "Radikal", wenn Radikale mit
echt komplexen Zahlen auftauchen?

[Alfred Flaßhaar]

Machst Du Witze?

Hier ist von Polynomnullstellen die Rede, die alle reell sind, was nicht
immer der Fall ist. Es handelt sich also um Radikale ausschließlich
reeller Zahlen. Ansonsten ist es mir egal, ob in Termen, die Radikale
enthalten, reelle oder komplexe Zahlen auftreten.

[Martin Vaeth]

Alfred Flaßhaar <Alfred.F...@gmx.de> wrote:
> Am 08.05.2022 um 15:05 schrieb Martin Vaeth:
>> Alfred Flaßhaar <Alfred.F...@gmx.de> schrieb:
>>> Polynom 4. Grades. Das hat vier reelle Nullstellen, die
>>> erfreulicherweise alle durch Radikale darstellbar sind.
>>
>> Gilt Letzteres bei einem Polynom 4. Grades denn nicht immer?
>> Oder verweigerst Du die Bezeichnung "Radikal", wenn Radikale mit
>> echt komplexen Zahlen auftauchen?
>
> Machst Du Witze?
>
> Hier ist von Polynomnullstellen die Rede, die alle reell sind, was nicht
> immer der Fall ist.

Ich schrieb "Letzteres", bezog mich also auf die Aussage, dass die
Nullstellen "erfreulicherweise" alle durch durch Radikale darstellbar seien:

Mich hat der Ausdruck "erfreulicherweise" gestört, denn das ist ja bei
Polynomen 4. Grades *immer* "erfreulich" und keine spezielle Eigenschaft
*dieses* Polynoms (zumindest falls man den Begriff Radikal für komplexe
Zahlen zulässt, womit Du ja anscheinend keine Schwierigkeiten hast - ich
hingegen hätte da Skrupel, denn in reller Darstellung hat man es dann ja
mit transzendenten Funktionen zu tun).

> Es handelt sich also um Radikale ausschließlich reeller Zahlen.

Hier stört mich nun das Wort "also", weil es den folgenden Satz suggeriert:

Hat ein Polynom vom Grad <= 4 mit reellen Koeffizienten keine echt
komplexen Nullstellen, so lassen sich die Nullstellen durch rein
reelle Radikale darstellen.

(Wenn dieser Satz wohlbekannt oder offensichtlich wäre, hätte ich meine
Kritik an dem Wort "erfreulich" oben übrigens deutlich schärfer geäußert,
denn dann ist die Darstellung durch Radikale erst recht keine Besonderheit
dieses speziellen Polynoms.)

Vielleicht ist der Satz wahr, aber offensichtlich ist er nur für Grad 2.
Für Polynome 3. und 4. Grades scheint er auch nicht ausschließlich aus der
Tatsache herleitbar zu sein, dass sich alle Nullstellen durch (möglicherweise
komplexe) Radikale darstellen lassen, und Ansehen der Lösungsformel mit
komplexen Radikalen gab mir ebenfalls kein offensichtliches Argument für
einen Beweis.

Soweit ich weiß, führte die Frage komplexer Radikale historisch zu einer
philosophischen Debatte, dass man zur Darstellung rein reeller "Wurzeln"
prinzipiell echt komplexe "Wurzeln" brauche. Aber ob es bei dieser Debatte
auch um Polynome mit *ausschließlich* reellen Wurzeln ging (oder ob vielleicht
der Satz oben wahr ist), entzieht sich meinem Hörensagen.

[Klaus Pommerening]

Martin Vaeth erinnert sich:
> ...

> Soweit ich weiß, führte die Frage komplexer Radikale historisch zu einer
> philosophischen Debatte, dass man zur Darstellung rein reeller "Wurzeln"
> prinzipiell echt komplexe "Wurzeln" brauche. Aber ob es bei dieser Debatte
> auch um Polynome mit *ausschließlich* reellen Wurzeln ging (oder ob vielleicht
> der Satz oben wahr ist), entzieht sich meinem Hörensagen.

Der casus irreducibilis der Cardanoschen Formeln für die Auflösung
von Gleichungen 3. Grades führt auf drei verschiedene reelle
Lösungen, die sich durch Radikale ausdrücken lassen, wobei aber
Quadratwurzeln aus negativen Zahlen vorkommen. Das war der Pfahl
im Fleische der Mathematiker, der schließlich zur allgemeinen
Akzeptanz der komplexen Zahlen führte - niemand fand eine Formel,
in der nur reelle Radikale vorkommen.

Dass sich mithilfe der komplexen Zahlen auch die Lösungen der
quadratischen Gleichungen einheitlich darstellen lassen, ist für die
Akzeptanz der komplexen Zahlen nicht so entscheidend - mit der
entsprechenden Fallunterscheidung könnte man leben: zwei, eine oder
gar keine reelle Nullstelle.

Dass es für die Lösung der Gleichung dritten Grades im casus
irreducibilis gar keine Formel geben *kann*, in der nur reelle Radikale
vorkommen, ist übrigens ein nicht ganz trivialer Satz aus der
Algebra (Theorie der Körpererweiterungen).
--
Klaus Pommerening
Numbers being an essential part of any kind of mathematics,
mathematicians are also well equipped to avoid numbers
when not necessary. (Thierry Bouche)

[Martin Vaeth]

Klaus Pommerening <pomm...@uni-mainz.de> schrieb:

>
> Der casus irreducibilis der Cardanoschen Formeln für die Auflösung
> von Gleichungen 3. Grades führt auf drei verschiedene reelle
> Lösungen, die sich durch Radikale ausdrücken lassen

Vielen Dank für das passende Stichwort "casus irreducibilis", zu dem
man in Wikipedia ausreichend informiert wird.

Das zeigt also, dass ich zurecht Zweifel an dem "Satz" aus meinem
letzten Posting hatte, zumindest für Polynome 3. Grades; aber
*vermutlich* wird es für Polynome 4. Grades ähnlich sein. Insbesondere
war das "also", das ich kritisiert hatte, *vermutlich* tatsächlich
sachlich falsch.

Was natürlich nicht bedeutet, dass es für ein *spezielles* reelles
Polynom 4. Grades mit 4 reellen Nullstellen nicht auch Lösungen in
*reellen* Radikalen geben kann (Beispiele dafür findet man leicht),
aber der Grund dafür ist dann eben vermutlich nicht die Tatsache,
dass die Nullstellen alle reell sind.

> Dass es für die Lösung der Gleichung dritten Grades im casus
> irreducibilis gar keine Formel geben *kann*, in der nur reelle Radikale
> vorkommen, ist übrigens ein nicht ganz trivialer Satz aus der
> Algebra

Das hatte ich vermutet, weshalb ich auch gar nicht erst versucht hatte,
ein Gegenbeispiel zu konstruieren: Beispiele, in denen die Lösungsformel
keine Lösung in reellen Radikalen liefert, findet man schnell, aber
nachzuweisen, dass es auch keine andere Formel gibt, braucht natürlich
ähnliche Hilsmittel wie die Nichtlösbarkeit von Gleichungen 5. Grades in
Radikalen: Nicht überraschend, dass der Beweis auf Wikipedia die
Nichtauflösbarkeit einer Galois-Gruppe einer reellen Körpererweiterung
zeigt.

[Ralf Goertz]

Am Sun, 8 May 2022 17:36:06 +0200
schrieb Klaus Pommerening <pomm...@uni-mainz.de>:

> Martin Vaeth erinnert sich:
> > ...
> > Soweit ich weiß, führte die Frage komplexer Radikale historisch zu
> > einer philosophischen Debatte, dass man zur Darstellung rein
> > reeller "Wurzeln" prinzipiell echt komplexe "Wurzeln" brauche. Aber
> > ob es bei dieser Debatte auch um Polynome mit *ausschließlich*
> > reellen Wurzeln ging (oder ob vielleicht der Satz oben wahr ist),
> > entzieht sich meinem Hörensagen.
>
> Der casus irreducibilis der Cardanoschen Formeln für die Auflösung von
> Gleichungen 3. Grades führt auf drei verschiedene reelle Lösungen, die
> sich durch Radikale ausdrücken lassen, wobei aber Quadratwurzeln aus
> negativen Zahlen vorkommen. Das war der Pfahl im Fleische der
> Mathematiker, der schließlich zur allgemeinen Akzeptanz der komplexen
> Zahlen führte - niemand fand eine Formel, in der nur reelle Radikale
> vorkommen.

Sie lassen sich doch aber immerhin mithilfe von elementaren Funktionen
(Kosinus) reeller Variablen ausdrücken, wenn ich das richtig in
Erinnerung habe. Warum reichte das nicht, um den Pfahl aus dem Fleisch
der die komplexen Zahlen nicht akzeptieren wollenden Mathematiker zu
ziehen?

[Tom Bola]

Ralf Goertz schrieb:

> der die komplexen Zahlen nicht akzeptieren wollenden Mathematiker

Muss das nicht neuerdings heissen:

"der die komplexen Zahlen nicht akzeptieren wollenden Mathematik treibenden"?

SNCR ;)

[Martin Vaeth]

Ralf Goertz <m...@myprovider.invalid> schrieb:

>
> Sie lassen sich doch aber immerhin mithilfe von elementaren Funktionen
> (Kosinus) reeller Variablen ausdrücken, wenn ich das richtig in
> Erinnerung habe.

Ich hätte vermutet, man braucht zusätzlich auch die Inverse einer
trigonometrischen Funktion, um zunächst Polarkoordinaten zu erhalten.
Aber selbst wenn man nur den Kosinus bräuchte: Er ist zwar elementar,
aber eben eine transzendente Funktion, und es "passt" nicht, dass eine
solche in der Lösungsformel einer algebraischen Gleichung auftaucht.
Im Komplexen passt hingegen auch algebraisch alles "bestmöglich"
(bis Grad 5) zusammen.

[Alfred Flaßhaar]

Am 09.05.2022 um 09:26 schrieb Ralf Goertz:
> Am Sun, 8 May 2022 17:36:06 +0200
> schrieb Klaus Pommerening <pomm...@uni-mainz.de>:
>
>> Martin Vaeth erinnert sich:

(...)

Bei Interesse zur Frage der Nullstellen von Polynomen 3. und 4. Grades
ist im Detail Nachlesbares enthalten in:

Carl Knochendöppel, Von den Gleichungen dritten und höheren Grades,
Berlin/leipzig 1949

L. Felix, Elementarmathematik in moderner Darstellung, Leipzig 1968

und natürlich auch in Wikipedia.

Gruß, Alfred Flaßhaar

[Pether Hubert]

Am 08.05.22 um 15:05 schrieb Martin Vaeth:

Im vorliegenden Fall ist das wurscht, weil Du die Gleichung durch
zweimaliges Anwenden der p-q-Formel lösen kannst, wie auf

http://www.mathematische-basteleien.de/leiter.htm#Leiter-Kiste-Aufgabe

erklärt ist.

Ciao
Pether

[neu...@tuhh.de]

Sei x der Abstand "auf der x-Achse" über 1 hinaus, dann gilt:
(1+x)/1 = 10/(10-sqrt(1+x^2) oder (1+x)*sqrt(1+x^2) = 10x oder
x^4 +2x^3 -98x^2 +2x +1 = 0 mit 4 reellen Wurzeln.
(Wahrscheinlich (x^2+ax+1)(x^2+bx+1)= 0, aber ich habe jetzt keine Lust!
Und es gibt noch eine lange Lösung x~= 9 - klar!?)

Ein Ingenieur schätzt x auf 0,1 und mit Newton findet man schnell x = 0,111882
und damit "eine" Länge des roten Pfeils zu y= sqrt(100-1,111882^2)~= 9,938 qed.

Gruß Siggi N.