Kugelabschnitt: Formel nach h umstellen?
Michael Schwarz
Folgende Formel würde ich gern nach h umstellen, aber meine
mathematischen Kenntnisse sind leider zu bescheiden:
Volumen: Kugelabschnitt
V = pi * h^2 * (d/2 - h/3)
h = ??
Gibt es evtl. eine Software mit der man solche Formelumstellungen
erledigen lassen kann?
CU
Michael
fjodor tschnejkow
Volumen: Kugelabschnitt
V = pi * h^2 * (d/2 - h/3) / ausmultiplieren / pi / *6
6V/pi = d*h^2 -h^3 / -(d*h^2) /+(h^3)
0= h^3 - d*h^2 + 6V/pi
nun kann man die quadratische lösungsformel anwenden. wird aber leicht
unübersichtlich.*g*
jede gängige mathesoftware kann diese gleichung umstellen (mathematica,
mathcad, maple).
gruss
fjodor
Michael Schwarz
<fjodor.t...@gmx.net> wrote:
Hallo Fjodor.
Danke für die Umstellung, aber so weit reichten meine Mathekenntnisse
nun doch noch. ;O)
Was meinst Du mir "quadratische lösungsformel"?
Vielen Dank für den Software-Tip, ich werd' mir die Programme mal
ansehen.
CU
Michael
Joachim Mohr
fjodor tschnejkow schrieb:
>
> hallo michael.
>
> Volumen: Kugelabschnitt
> V = pi * h^2 * (d/2 - h/3) / ausmultiplieren / pi / *6
> 6V/pi = d*h^2 -h^3 / -(d*h^2) /+(h^3)
> 0= h^3 - d*h^2 + 6V/pi
> nun kann man die quadratische lösungsformel anwenden. wird aber leicht
> unübersichtlich.
Ich komme auf 2h^3-3dh^2+6V/Pi=0 und da benötigt man die Formel von
Cardano, die schon ganz schon komliziert ist und da liefert z.B. Maple
auch kein praktikable Ergebnis mehr.
------ Maple-Lösung -------------
1/2*((-12*V+d^3*Pi+2*sqrt(-6*V*(-6*V+d^3*Pi)))*Pi^2)^(1/3)/Pi+1/2*d^2*Pi/(((-12*V+d^3*Pi+2*sqrt(-6*V*(-6*V+d^3*Pi)))*Pi^2)^(1/3))+1/2*d,
-1/4*((-12*V+d^3*Pi+2*sqrt(-6*V*(-6*V+d^3*Pi)))*Pi^2)^(1/3)/Pi-1/4*d^2*Pi/(((-12*V+d^3*Pi+2*sqrt(-6*V*(-6*V+d^3*Pi)))*Pi^2)^(1/3))+1/2*d+1/2*I*sqrt(3)*(1/2*((-12*V+d^3*Pi+2*sqrt(-6*V*(-6*V+d^3*Pi)))*Pi^2)^(1/3)/Pi-1/2*d^2*Pi/(((-12*V+d^3*Pi+2*sqrt(-6*V*(-6*V+d^3*Pi)))*Pi^2)^(1/3))),
-1/4*((-12*V+d^3*Pi+2*sqrt(-6*V*(-6*V+d^3*Pi)))*Pi^2)^(1/3)/Pi-1/4*d^2*Pi/(((-12*V+d^3*Pi+2*sqrt(-6*V*(-6*V+d^3*Pi)))*Pi^2)^(1/3))+1/2*d-1/2*I*sqrt(3)*(1/2*((-12*V+d^3*Pi+2*sqrt(-6*V*(-6*V+d^3*Pi)))*Pi^2)^(1/3)/Pi-1/2*d^2*Pi/(((-12*V+d^3*Pi+2*sqrt(-6*V*(-6*V+d^3*Pi)))*Pi^2)^(1/3)))
----------- Ich versuche es mal mit d=2 und V=1: TTW liefert -------------
kubische Gleichung a=2 b=3*d c=0 d=6/Pi
a*z^3+b*z^2+c*z+q=0 bzw. z^3+A*z^2+B*z+C=0
wird auf die reduzierte kubische Gleichung x^3+p*x+q=0 zurückgeführt.
Substitution z=x-A/3 führt auf p=B-A^2/3 q=2/27A^3-1/3AB+C
A=0 B=0 C=0,9549296586 z^3+0*z^2+0*z+0,954 929 658 551 372 015=0
reduzierte kubische Gleichung mit x=z+0 => p=0 q=0,954 929 658 551 372 015
x^3+0*x+0,954 929 658 551 372 015=0
Eine Lösung: x=-0,984 745 021 842 696 541
z=-0,984 745 021 842 696 541
Weitere Lösungen sind die Lösungen der quadratischen Gleichung
2*z^2-1,969 490 043 685 393 082*z+1,939 445 516 087 945 776=0
Rechnung:z1=0,4923725109+wur(-11,6366730965)/4
z2=0,4923725109-wur(-11,6366730965)/4
Keine reelle Lösung.
-----------------------------------
Also mit konkreten Ergebnissen kommt man zu einer Lösung.
Ich würde dann aber das Newton-Verfahren vorziehen.
MFG Joachim
Joachim Mohr
> z=-0,984 745 021 842 696 541
Leider schlecht gewähltes Beispiel (Negativ kann h wohl nicht sein!)
MFG Joachim
http://delphi.zsg-rottenburg.de
Christian Palmes
Michael Schwarz schrieb:
> Hallo!
>
> Folgende Formel würde ich gern nach h umstellen, aber meine
> mathematischen Kenntnisse sind leider zu bescheiden:
>
> Volumen: Kugelabschnitt
> V = pi * h^2 * (d/2 - h/3)
>
> h = ??
V/pi = h^2 (d/2 - h/3)
h^2 (d/2 - h/3) - V/pi = 0
-h^3/3 + h^2*d/2 - V/pi =0
Durch eine entsprechende Substitution kann man nun das quadratische
Element (h^2) eliminieren. Anschließend ziehst Du dann die dritte
komplexe Wurzel.
> Gibt es evtl. eine Software mit der man solche Formelumstellungen
> erledigen lassen kann?
>
Ja, z.B. Maple.
Gleich die ganze Formel von Cardano anzuwenden, halte ich für etwas
übertrieben.
Gruß Christian
Michael Schwarz
<Christia...@t-online.de> wrote:
Hallo Christian!
>Michael Schwarz schrieb:
>
>> Hallo!
>>
>> Folgende Formel würde ich gern nach h umstellen, aber meine
>> mathematischen Kenntnisse sind leider zu bescheiden:
>>
>> Volumen: Kugelabschnitt
>> V = pi * h^2 * (d/2 - h/3)
>>
>> h = ??
>
>V/pi = h^2 (d/2 - h/3)
>
>h^2 (d/2 - h/3) - V/pi = 0
>
>-h^3/3 + h^2*d/2 - V/pi =0
>
>Durch eine entsprechende Substitution kann man nun das quadratische
>Element (h^2) eliminieren. Anschließend ziehst Du dann die dritte
>komplexe Wurzel.
Ich kann Dir leider nicht folgen.
>> Gibt es evtl. eine Software mit der man solche Formelumstellungen
>> erledigen lassen kann?
>>
>
>Ja, z.B. Maple.
>
>Gleich die ganze Formel von Cardano anzuwenden, halte ich für etwas
>übertrieben.
Nein, Maple und auch Mathematica (hab' drei Mathematica-"Lösungen" per
Mail erhalten) können die Formel leider nicht richtig umstellen.
Ausgangsformel ist:
V = pi * h^2 * (d/2 - h/3)
Zur Kontrolle der Formel ist gegeben:
d = 21; h = 6; V = 961,327352
Bei Maple ist folgender Teil in der Formel:
...sqrt(-6*V*(-6*V+d^3*Pi))...
Es wird versucht aus einer negativen Zahl die Quadratwurzel zu ziehen.
Bei Mathematica ist folgender Teil in der Formel:
...sqrt(-d^3 * pi^5 * V + 6 * pi^4 * V^2)...
Was auch zum Quadratwurzelziehen einer negativen Zahl führt.
Ich habe mehrere Stunden lang versucht die Formel umzustellen, bis h =
... herauskommt... Ich habe es nicht geschafft und an meinen
mathematischen Fähigkeiten gezweifelt. Da Maple und auch Mathematica
keine Lösung gefunden haben, bin ich zumindest etwas beruhigt ob
meiner Mathekenntnisse. ;O)
CU
Michael
Jutta Gut
Michael Schwarz schrieb:
>Nein, Maple und auch Mathematica (hab' drei Mathematica-"Lösungen"
per
>Mail erhalten) können die Formel leider nicht richtig umstellen.
>
>
>Ausgangsformel ist:
> V = pi * h^2 * (d/2 - h/3)
>
>Zur Kontrolle der Formel ist gegeben:
> d = 21; h = 6; V = 961,327352
>
>Bei Maple ist folgender Teil in der Formel:
>...sqrt(-6*V*(-6*V+d^3*Pi))...
>Es wird versucht aus einer negativen Zahl die Quadratwurzel zu
ziehen.
>
>
>Bei Mathematica ist folgender Teil in der Formel:
>...sqrt(-d^3 * pi^5 * V + 6 * pi^4 * V^2)...
>Was auch zum Quadratwurzelziehen einer negativen Zahl führt.
Das könnte aber schon stimmen... Bei der Cardano'schen Formel erhält
man zwischendurch auch Wurzeln aus negativen zahlen, wenn die
Gleichung 3 reelle Lösungen hat (casus irreduzibilis). Am Ende fallen
aber alle komplexen Zahlen weg, und man erhält ein reelles Ergebnis.
Ich glaube aber trotzdem nicht, dass es den Aufwand lohnt. Ich würde
die Gleichung näherungsweise lösen (Newton).
Gruß
Jutta
Rolf Kleinknecht
> -h^3/3 + h^2*d/2 - V/pi =0
>
> Durch eine entsprechende Substitution kann man nun das quadratische
> Element (h^2) eliminieren. Anschließend ziehst Du dann die dritte
> komplexe Wurzel.
Das möchte ich sehen, durch welche einparametrige Substitution man das
quadratische Element los wird, ohne ein lineares oder Schlimmeres
einzuführen!
Es bleibt nur der schon beschriebene Weg über die Cardanosche Formel
oder besser numerische Lösung nach Newton.
--
rk
Christian Palmes
Rolf Kleinknecht schrieb:
> > ...
> > -h^3/3 + h^2*d/2 - V/pi =0
> >
> > Durch eine entsprechende Substitution kann man nun das quadratische
> > Element (h^2) eliminieren. Anschließend ziehst Du dann die dritte
> > komplexe Wurzel.
> > ...
>
> Das möchte ich sehen, durch welche einparametrige Substitution man das
> quadratische Element los wird, ohne ein lineares oder Schlimmeres
> einzuführen!
Dein Wille soll geschehen:
x^3 + p*x^2 + q = 0
x = y + v
(y + v)^3 + p*(y+v)^2 + q = 0
Na, welchen Wert muß nun v annehmen, damit kein y^2 mehr da ist?
Man kann das sogar noch verallgemeinern:
Bei der Gleichung
a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_0*x^0 = 0
läßt sich für n elem N immer die Potenz n-1 durch eine Substitution
eliminieren. Probiere es aus..
Gruß Christian
Hermann Kremer
Michael Schwarz schrieb in Nachricht ...
>On Mon, 04 Jun 2001 19:54:40 +0200, Christian Palmes
><Christia...@t-online.de> wrote:
>Hallo Christian!
>>Michael Schwarz schrieb:
>>> Hallo!
>>>
>>> Folgende Formel würde ich gern nach h umstellen, aber meine
>>> mathematischen Kenntnisse sind leider zu bescheiden:
>>>
>>> Volumen: Kugelabschnitt
>>> V = pi * h^2 * (d/2 - h/3)
>>>
>>> h = ??
>>
>>V/pi = h^2 (d/2 - h/3)
>>
>>h^2 (d/2 - h/3) - V/pi = 0
>>
>>-h^3/3 + h^2*d/2 - V/pi =0
>>
>>Durch eine entsprechende Substitution kann man nun das quadratische
>>Element (h^2) eliminieren. Anschließend ziehst Du dann die dritte
>>komplexe Wurzel.
>
>Ich kann Dir leider nicht folgen.
>
>>> Gibt es evtl. eine Software mit der man solche Formelumstellungen
>>> erledigen lassen kann?
>>>
>>
>>Ja, z.B. Maple.
>>
>>Gleich die ganze Formel von Cardano anzuwenden, halte ich für etwas
>>übertrieben.
Hallo Michael,
>Nein, Maple und auch Mathematica (hab' drei Mathematica-"Lösungen" per
>Mail erhalten) können die Formel leider nicht richtig umstellen.
Doch, können sie. Die komplexen Zwischenergebnisse hat Jutta ja schon
erklärt.
Nachstehend sind die symbolischen Ausdrücke für alle drei Wurzeln von
a*x^3 + b*x^2 + c*x + d = 0 ,
wobei cbrt(...) die Kubikwurzel bedeutet. Die erste Wurzel ist immer
reell, und die beiden anderen sind entweder konjugiert komplex oder, bei
verschwindendem Imaginärteil, ebenfalls reell.
Grüße
Hermann
----------------------------------
http://www.geocities.com/NapaValley/3606/polys.html
this page was made because too many people are interested in what a cubic
formula looks like. for monic, reduced cubics (say, x^3+p^x+q, or so), the
form of the cubic equation is not so bad. but then you have to go and
explain how to transform a cubic so that it is monic and reduced, and in the
end nobody's lives are made any better by the simplification.
so here it is, with the usual linear and quadratic formulae as well, for
completeness' sake.
ax + b = 0, a not 0.
the solution is
x = -b/a
ax^2 + bx + c = 0, a not 0.
the two solutions are
x = (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)
x = (-b -sqrt(b^2-4ac))/(2a)
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, a not 0.
we have three roots:
x =
cbrt(36abc-108a^2d-8b^3+12a*sqrt(3(4ac^3-b^2c^2-18abcd+27a^2d^2+4b^3d)))/(6a
)+(2b^2-6ac)/(3a*cbrt(36abc-108a^2d-8b^3+12a*sqrt(3(4ac^3-b^2c^2-18abcd+27a^
2d^2+4b^3d))))-b/(3a)
x =
cbrt(36abc-108a^2d-8b^3+12a*sqrt(3(4ac^3-b^2c^2-18abcd+27a^2d^2+4b^3d)))/(12
a)-(b^2-3ac)/(3a*cbrt(36abc-108a^2d-8b^3+12a*sqrt(3(4ac^3-b^2c^2-18abcd+27a^
2d^2+4b^3d))))-b/(3a) +
+
i*sqrt(3)/2*[cbrt(36abc-108a^2d-8b^3+12a*sqrt(3(4ac^3-b^2c^2-18abcd+27a^2d^2
+4b^3d)))/(6a)-(2b^2-6ac)/(3a*cbrt(36abc-108a^2d-8b^3+12a*sqrt(3(4ac^3-b^2c^
2-18abcd+27a^2d^2+4b^3d)))]
x =
cbrt(36abc-108a^2d-8b^3+12a*sqrt(3(4ac^3-b^2c^2-18abcd+27a^2d^2+4b^3d)))/(12
a)-(b^2-3ac)/(3a*cbrt(36abc-108a^2d-8b^3+12a*sqrt(3(4ac^3-b^2c^2-18abcd+27a^
2d^2+4b^3d))))-b/(3a) -
-
i*sqrt(3)/2*[cbrt(36abc-108a^2d-8b^3+12a*sqrt(3(4ac^3-b^2c^2-18abcd+27a^2d^2
+4b^3d)))/(6a)-(2b^2-6ac)/(3a*cbrt(36abc-108a^2d-8b^3+12a*sqrt(3(4ac^3-b^2c^
2-18abcd+27a^2d^2+4b^3d)))]
these formulas usually wind up in brainless books of tables. their
derivation requires clever substitutions (as Cardano did) or a more
enlightened brute force approach (as provided by galois theory). the
relevant theory is developed in Ian Stewart's Galois theory, and much of the
calculations not in the Stewart text are done in van der Waerden's modern
algebra.
-l.b. <gb_...@hotmail.com>
------------------------------------------------------
Hermann Kremer
Christian Palmes schrieb in Nachricht <3B1D4414...@t-online.de>...
>
>Rolf Kleinknecht schrieb:
>
>> > ...
>> > -h^3/3 + h^2*d/2 - V/pi =0
>> >
>> > Durch eine entsprechende Substitution kann man nun das quadratische
>> > Element (h^2) eliminieren. Anschließend ziehst Du dann die dritte
>> > komplexe Wurzel.
>> > ...
>>
>> Das möchte ich sehen, durch welche einparametrige Substitution man das
>> quadratische Element los wird, ohne ein lineares oder Schlimmeres
-----------------------------------------------------------^^^^^^^^^^^
>> einzuführen!
>
>Dein Wille soll geschehen:
>
>x^3 + p*x^2 + q = 0
>
>x = y + v
>
>(y + v)^3 + p*(y+v)^2 + q = 0
>
>Na, welchen Wert muß nun v annehmen, damit kein y^2 mehr da ist?
>
>Man kann das sogar noch verallgemeinern:
>
>Bei der Gleichung
>
>a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_0*x^0 = 0
>
>läßt sich für n elem N immer die Potenz n-1 durch eine Substitution
>eliminieren. Probiere es aus..
Hmmm, ich habe mal gelernt, daß die Tschirnhausen-Transformation zwar immer
x^(n-1) eliminieren kann, dafür aber Terme mit x^(n-2), x^(n-3), ... x^1
zusätzlich einführt. Wenn die sowieso schon da sind, OK, aber wenn die
Originalgleichung diese nicht enthält .... ;-)))
Gruß
Hermann
--
>
>Gruß Christian
>
Michael Steyer
es gibt eine sehr elegante analytische Lösung, die hier im Februar 2000 von Ralf
Muschall gepostet wurde.
Die Formel für das Volumen des Kugelabschnitts lautet nach Bronstein und anderen
Formelsammlungen (h:=z; d/2 :=R)
V = PI*z^2*(R - z/3)
z zählt dabei von der Unterkante der Kugel. Tatsächlich ist wohl keine
analytische Auflösung dieser Gleichung nach z=z(V) möglich.
Wählt man dagegen den Mittelpunkt der Kugel als Ursprung, gilt die Formel
V = PI*(R^2*z - z^3/3),
und die ist mit dem Gesetz für den Sinus des dreifachen Winkels (Substitution
z=2*R*sin(u)) umkehrbar. Es ergibt sich
z = 2*R*sin{1/3*arcsin[3*V/(2*PI*R^3)]}
Das ist doch wirklich sehr hübsch.
Herzlicher Gruß
Michael
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