A Simple Game: 'Say Red'

[JVR]

"A standard deck of 52 cards is shuffled and then dealt out one at a time. At some point, before the last card is dealt, you must say the word “red.” If the next card dealt is red, you win - if it’s black, you lose.

If you call 'red' at random, your chance of winning is 1/2.
Is there a better strategy, based on the idea that at some point before the
52-nd card is dealt, there ought to be more red cards than black cards
left in the deck?

(Robert Connelly, “Say Red,” Pallbearers Review 9 [1974], 702.)

[Rainer Rosenthal]

Ah, herrlich, prächtige Frage.
Nach erstem Überlegen, aber noch ohne tiefere Analyse, äußere ich meine
Vermutung:
Ich vermute, dass die Chance 1/2 nicht zu verbessern ist.

Begründung:
Selbstverständlich wachsen meine Chancen mit jeder gezogenen schwarzen
Karte, und da scheint es plausibel, abzuwarten, bis ordentlich viele
schwarze Karten weg sind, weil dann die Chance für "rot" viel besser
geworden ist.
Dummerweise kann es aber ungünstig laufen, und ich schliddere mit meiner
Abwartestrategie ins Desaster, wenn sich gemeinerweise gleich zu Beginn
viele rote Karten zeigen. Dann muss ich - wenn ich meinen Plan
durchziehen will - noch ein Weilchen warten in der Hoffung, die
verhassten schwarzen Karten würden auch endlich mal gezogen. Das scheint
mir aber eine Milchmädchenhoffnung(*) zu sein.

Meine 2 Cent.
Gruß und Dank,
Rainer

(*) "Milchmädchenhoffnung" - schöner Ausdruck. Scheint es noch nicht zu
geben. Er darf gerne weiter verwendet werden.

[JVR]

In etwas interessanterem Zusammenhang: Feller, Vol.1, Chapter 2, 'Coin Tossing and Random Walks',
das analoge Phänomen.

[Ralf Goertz]

Am Sun, 15 Jan 2023 15:19:49 +0100
schrieb Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de>:

> Am 15.01.2023 um 12:37 schrieb JVR:
> > "A standard deck of 52 cards is shuffled and then dealt out one at
> > a time. At some point, before the last card is dealt, you must say
> > the word “red.” If the next card dealt is red, you win - if it’s
> > black, you lose.
> >
> > If you call 'red' at random, your chance of winning is 1/2.
> > Is there a better strategy, based on the idea that at some point
> > before the 52-nd card is dealt, there ought to be more red cards
> > than black cards left in the deck?
> >
> > (Robert Connelly, “Say Red,” Pallbearers Review 9 [1974], 702.)
>
> Ah, herrlich, prächtige Frage.
> Nach erstem Überlegen, aber noch ohne tiefere Analyse, äußere ich
> meine Vermutung:
> Ich vermute, dass die Chance 1/2 nicht zu verbessern ist.

Ich lehne mich mal aus dem Fenster und sage, ich bin derselben Meinung.
Das erinnert mich an die Frage, wie das Verhältnis der Geburten von
Jungen und Mädchen ist, wenn eine Frau kein weiteres Kind mehr gebären
darf, sobald sie einen Jungen geboren hat. Man könnte vermuten, dass das
Verhältnis zugunsten der Mädchen verschoben ist, aber unter der
selbstverständlich vorausgesetzten Annahme, dass eine Frau bei jeder
Geburt eine gleich große Wahrscheinlichkeit auf eine Tochter wie auf
einen Sohn hat, kommen im Schnitt eben gleich viele Jungen wie Mädchen
zu Welt, egal wer sie gebiert. Ähnlich bei den Karten, auch wenn es sich
hier eher um ein ziehen ohne zurücklegen handelt. Aber unter der
Voraussetzung der Gleichverteilung aller möglichen Permutationen der
Karten ist für jede einzelne Position die Wahrscheinlichkeit für Rot
gleich 1/2. Die bedingte Wahrscheinlichkeit für die i-te Karte, rot zu
sein, unter der Voraussetzung, dass die ersten i-1 Karten mehrheitlich
schwarz waren, ist natürlich größer. Aber das hilft einem nicht, weil
man dieses Wissen im voraus nicht hat.

Selbst wenn man so vorgeht, wie die Frage andeutet, und man die nächste
Karte aufruft, sobald mehr schwarze als rote Karten gezogen wurden,
hilft einem im Mittel nicht, denn der kleine Vorteil, den man sich
dadurch verschaffen kann, verschwindet durch die Möglichkeit, dass
dieser Zustand nie eintritt, womit man unweigerlich die letzte Karte
aufruft, die dann schwarz sein muss.

[Tom Bola]

Ralf Goertz schrieb:

Wie beim Würfeln - die Chancen für jede Zahl stehen gleich 1/6, auch dann
wenn vorher 1.000.000.000.000.000.000.000 mal *hintereinander* die 6 kam.

Und man weiss gar nicht so genau, ob das jeder Rentner wirklich einsieht ;)

[Fritz Feldhase]

Bei der originalen Fragestellung darf man auch schon Red sagen, bevor die erste Karte ausgegeben wurde.

Was aber, wenn man die Ausgabe der ersten Karte abwarten muss? Gibt es nun eine Strategie, die besser ist als calling red at random? :-P

[JVR]

Es seien r rote und s schwarze Karten übrig, c = r+s; also Gewinnwahrscheilichkeit r/c wenn man nicht wartet.
Wenn man wartet und in der nächsten Karte 'red' sagt, gewinnt man ebenfalls mit Wahrscheinlichkeit r/c, denn
[(r-1)/(c-1)]*[r/c] + [r/(c-1)]*[b/c] = r(r-1+b)/[c(c-1)] = r/c.

[Klaus Pommerening]

Tom Bola meint:
> [..]

>
> Wie beim Würfeln - die Chancen für jede Zahl stehen gleich 1/6, auch dann
> wenn vorher 1.000.000.000.000.000.000.000 mal *hintereinander* die 6 kam.
> Und man weiss gar nicht so genau, ob das jeder Rentner wirklich einsieht ;)

Natürlich nicht :-). "Der Einsatz beim Glücksspiel ist eine Art Steuer
für Leute, die kein Mathe können." (Aeneas Rooch)

Aber das ist das Modell "Ziehen mit Zurücklegen". Das 'Say Red'-
Spiel wird aber durch "Ziehen ohne Zurücklegen" modelliert. Nach dem
ersten Zug sind noch 26 Karten der nicht-gezogenen Farbe und 25
Karten der gezogenen Farbe übrig, die Wahrscheinlichkeiten für
die beiden Farben beim zweiten Zug unterscheiden sich also
geringfügig. Und ab jetzt beginnt der Denksport bzw. die
Kombinatorik ...
--
Klaus Pommerening
Die größten Feinde der Hoffnung heißen "Thermodynamik" und
"Wahrscheinlichkeitsrechnung". (Aeneas Rooch)

[Rainer Rosenthal]

Das scheint mir leicht zu beantworten.
Bei der originalen Fragestellung hat man es mit 52 Karten zu tun, und es
ist kein Fehler, sofort vor dem ersten Ziehen "red" zu sagen.

Die konkrete (hihi) Zahl 52 spielt eher keine Rolle, nicht wahr?

Hätte das Kartendeck 51 Karten, dann wäre auch wieder sofortiges
"red"-Sagen empfehlenswert.

Daraus folgt für die von Dir modifizierte Aufgabenstellung:
Dann ziehe halt die erste Karte und schaue sie am besten gar nicht erst
an, gezogen ist gezogen. Da liegt jetzt ein Deck mit 51 Karten, also
sage "red"!

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Jupp, wenn b = s = c - r.

Gruß,
Rainer

[Stephan Gerlach]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Am 15.01.2023 um 12:37 schrieb JVR:
>> "A standard deck of 52 cards is shuffled and then dealt out one at a
>> time. At some point, before the last card is dealt, you must say the
>> word “red.” If the next card dealt is red, you win - if it’s black,
>> you lose.
>>
>> If you call 'red' at random, your chance of winning is 1/2.
>> Is there a better strategy, based on the idea that at some point
>> before the
>> 52-nd card is dealt, there ought to be more red cards than black cards
>> left in the deck?
>>
>> (Robert Connelly, “Say Red,” Pallbearers Review 9 [1974], 702.)
>
> Ah, herrlich, prächtige Frage.
> Nach erstem Überlegen, aber noch ohne tiefere Analyse, äußere ich meine
> Vermutung:
> Ich vermute, dass die Chance 1/2 nicht zu verbessern ist.

Wenn diese intuitive Vermutung tatsächlich stimmt, dann sollte sich das
vielleicht(?) formal über vollständige Induktion beweisen lassen.

Entweder über die Anzahl der schwarzen bzw. roten Karten (in diesem Fall
52/2=26); oder über die Anzahl der während eines Spiels schon
aufgedeckten Karten (wobei die Induktion in letzterem Fall nur über eine
endliche Teilmenge der natürlichen Zahlen laufen würde).


Theoretisch wäre irgendeine raffinierte Strategie denkbar, u.U. sogar
randomisiert (z.B. "wenn während des Spiels Ereignis x eintritt, dann
werfe einen Würfel, der je nach Ergebnis Aktion/Entscheidung a1 oder a2
auslöst...").

--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

[Rainer Rosenthal]

Am 30.01.2023 um 01:26 schrieb Stephan Gerlach:
> Rainer Rosenthal schrieb:

>> Ich vermute, dass die Chance 1/2 nicht zu verbessern ist.
>
> Wenn diese intuitive Vermutung tatsächlich stimmt, dann sollte sich das
> vielleicht(?) formal über vollständige Induktion beweisen lassen.
>

Beweis wurde von JVR am 15.01.2023, 21:32, gepostet.
Dabei sind s = schwarz und b = black in die Beschreibung eingegangen.
Es gilt b = s = c - r.

>
> Theoretisch wäre irgendeine raffinierte Strategie denkbar, u.U. sogar
> randomisiert (z.B. "wenn während des Spiels Ereignis x eintritt, dann
> werfe einen Würfel, der je nach Ergebnis Aktion/Entscheidung a1 oder a2
> auslöst...").
>

Diese theoretische Möglichkeit bestand zur Zeit der Vermutung, aber
nicht mehr nach dem Beweis :-)
Ernüchternd für die Spekuliererei ist z.B. auch dieser Gedanke: warte
ab, bis nur noch eine Karte da liegt, und sage dann "rot" bzw. "red".
Das ist zwar dämlich, wenn man mitgezählt hat und bereits weiß, dass die
letzte Karte schwarz ist. Aber die Alternative wäre gewesen, bereits
davor "rot" zu rufen. Na usw., das ganze Wenn und Aber und Vielleicht
kann man sich aber sparen, weil der Beweis vorliegt.

Gruß,
Rainer R.

[Stephan Gerlach]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Am 30.01.2023 um 01:26 schrieb Stephan Gerlach:
>> Rainer Rosenthal schrieb:
>>> Ich vermute, dass die Chance 1/2 nicht zu verbessern ist.
>>
>> Wenn diese intuitive Vermutung tatsächlich stimmt, dann sollte sich
>> das vielleicht(?) formal über vollständige Induktion beweisen lassen.
>>
>
> Beweis wurde von JVR am 15.01.2023, 21:32, gepostet.
> Dabei sind s = schwarz und b = black in die Beschreibung eingegangen.
> Es gilt b = s = c - r.

Ich hab' den Beitrag tatsächlich gelesen bzw. genauer kurz überflogen
(da die Rechnung selbst einfach ist), aber nicht direkt als Beweis für
die Vermutung "die Chance 1/2 ist nicht zu verbessern" aufgefaßt.
Wenn ich richtig versteht, wurde sogar in gewisser Weise Induktion über
die Anzahl der bereits aufgedeckten Karten benutzt.

Also die "Schwierigkeit" besteht wohl tatsächlich darin, zu erkennen,
daß/ob das Folgende schon als Beweis für die Vermutung komplett ausreicht:


Man geht davon aus, daß bereits (irgendeine) beliebige Anzahl m=52-c von
Karten abgewartet wurde und daß noch r rote und s schwarze Karten
vorhanden sind (r und s für den Spieler "unbekannt") mit c=r+s.

Folgende Wahrscheinlichkeiten wurden berechnet/bewiesen:

1. Strategie "man sagt jetzt (nach m abgewarteten Karten) 'red'". Die
Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn beträgt dann
P((m+1)-te Karte ist rot|m Karten schon gezogen) = r/c.

2. Strategie "man wartet nach m gezogenen Karten noch 1 weitere Karte ab
und sagt danach 'red'". Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn beträgt
ebenfalls
P((m+2)-te Karte ist rot|m Karten schon gezogen) = r/c.

Setzt man das induktiv(?) fort, also wartet (ab der m-ten Karte) weitere
k-1 Karten ab und sagt dann vor der (m+k)-ten Karte 'red', dürfte ebenfalls
P((m+k)-te Karte ist rot|m Karten schon gezogen) = r/c
rauskommen (ohne das jetzt nachzurechnen).

Das zeigt IMHO die folgende Aussage (per Induktionsbeweis?):
Ausgehend von einer beliebigen Anzahl m bereits aufgedeckter Karten, bei
denen man *nicht* 'red' gesagt hat, ist es egal, wann man (ab m
gerechnet) 'red' sagt - es kommt immer r/c als (bedingte)
Gewinnwahrscheinlichkeit raus.

Wichtig für einen vollständigen Beweis scheint mir hier zu sein, daß das
für allgemeines m aus {0;1;...;51} gezeigt wird/wurde, und nicht nur für
m=0, was zur Gewinnwahrscheinlichkeit 1/2 führt.