Re: Quadratzahl od. Primzahl das ist hier die Frage ...

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Jens Kallup

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Dec 10, 2021, 8:06:41 AM12/10/21
to
Hallo,

Am 10.12.2021 um 13:48 schrieb Walter H.:
>
> gibt es ebensolches, bei dem man feststellen kann, ob es eine
> Quadratzahl ist;

wenn ich in |N bleibe, dann kann doch jedes dieser Objekte eine
Quadratzahl sein.

0 ^2 = 0 | sqrt ( 0 ) = 0
1 ^2 = 1 | sqrt ( 1 ) = 1
2 ^2 = 4 | sqrt ( 4 ) = 2 => prime
3 ^2 = 9 | sqrt ( 9 ) = 3 => prime
4 ^2 = 16 | sqrt ( 16 ) = 4
5 ^2 = 25 | sqrt ( 25 ) = 5 => prime*
... | ...

Gruß, Jens

Dieter Heidorn

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Dec 10, 2021, 8:28:27 AM12/10/21
to
Jens Kallup schrieb:
Jede natürliche Zahl kann quadriert werden - das Ergebnis heißt dann
eine Quadratzahl. Walter sucht aber nach einem Verfahren, das für eine
beliebige natürliche Zahl feststellen lässt, ob die Zahl das Quadrat
einer natürlichen Zahl ist. Beispiel:

Ist x = 121 eine Quadratzahl, also das Ergebnis des Quadrierens einer
natürlichen Zahl n? Anders gesagt: Gibt es eine natürliche Zahl n mit
der Eigenschaft n^2 = 121?

Mit der Methode des scharfen Hinsehens erkennt man, dass n = 11 diese
Eigenschaft hat: 11^2 = 121.

Wie ist es aber mit x = 57'391? Oder x = 1'887'876?

Dieter Heidorn

Ralf Goertz

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Dec 10, 2021, 9:05:33 AM12/10/21
to
Am Fri, 10 Dec 2021 13:48:03 +0100
schrieb "Walter H." <Walter...@mathemainzel.info>:

> Hallo,
>
> hat man eine x-beliebige natürliche Zahl vor sich,
> welche auch mal mehrere 10 od. 100 Stellen lang sein kann;
>
> wenn man jetzt nur die Einerziffer ansieht dann
> kann sie wenn diese 2, 3, 7, od. 8 ist keine Quadratzahl sein,
> und wenn diese gerade ist od. 5 ist, kann sie keine Primzahl sein;
>
> ohne jetzt zu versuchen Primfaktoren davon abzuspalten, gibt es Tests
> bei denen man feststellen kann, ob es eine Primzahl ist;
>
> gibt es ebensolches, bei dem man feststellen kann, ob es eine
> Quadratzahl ist;

Da Primzahltest ja auch nicht ohne rechnen auskommen, würde ich
vielleicht so vorgehen: Sei n die zu testende Zahl, dann wähle x₀ durch
Abschneiden der Hälfte der Stellen von n. Wende das Heron-Verfahren
<https://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren> für einen Schritt mit x₀
als Startwert an, also x₁=(x₀+a/x₀)/2. Nimm x₂=a/x₁. Diese beiden
Zahlen sollten die Wurzel von n einschließen. Quadriere also (x₂+x₁)/2,
wenn das Ergebnis größer als n ist, nimm (x₂+x₁)/4, ansonsten
3*(x₂+x₁)/4, usw, bis du entweder die natürliche Wurzel gefunden hast
oder feststellst, dass es keine gibt.

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 10, 2021, 11:14:21 AM12/10/21
to
Am 10.12.2021 um 14:28 schrieb Dieter Heidorn:
>
> Wie ist es aber mit x = 57'391? Oder x = 1'887'876?
>
Ich habe mich erinnert, dass wir nicht nur schriftlich Dividieren
gelernt hatten, sondern auch schriftlich die Wurzel zu ziehen.

Aus der groben Erinnerung wusste ich noch, dass man die Ziffern der zu
radizierenden Zahl in Zweiergruppen, beginnend ab der Einerstelle,
einteilen musste. Damit hatte man bereits die Länge der Wurzel.

Im ersten Beispiel:
5'73'91 mit Wurzel d3*100 + d2*10 + d1

Im zweiten Beispiel:
1'88'78'76 mit Wurzel d4*1000 + d3*100 + d2*10 + d1

Die Ziffern der Wurzel sind beginnend bei der größten zu erraten.
Man findet Näherungen
d4*1000
d4*1000 + d3*100
d4*1000 + d3*100 + d2*10
d4*1000 + d3*100 + d2*10 + d1
Und wenn man mit einer Quadratzahl begonnen hat, geht es auf.

Ich zeige es am zweiten Beispiel, wo es aufgeht.
d4 errät man leicht: d4 = 1.
Damit hat man die Näherung nahe = d4*1000.

Die nächste Ziffer d3 gewinnt man aus dem Ansatz, dass (nahe+d3*100)^2
noch genauer an der Zahl 1887876 liegen soll:
1887876 >= (nahe+d3*100)^2 = nahe^2 + 2*nahe*d3*100 + (d3*100)^2
Man ignoriert den quadratischen Term und rechnet probeweise:
d3_probe = round((1887876-nahe^2)/(2*nahe*100)) = 3.
Dieser Probe-Wert kann für d3 verwendet werden, wenn die neue Näherung
nahe = d4*1000 + d3*100 = 1300 nicht zu groß ist.
Sie ist nicht zu groß, sondern nahe^2 = 1300^2 = 1690000 < 1887876.
Jetzt ist also nahe = d4*1000 + d3*100 = 1300.

Die nächste Ziffer d2 gewinnt man aus
1887876 >= (nahe+d2*10)^2 = nahe^2 + 2*nahe*d2*10 + (d2*10)^2.
d2_probe = round((1887876-nahe^2)/(2*nahe*10)) = 8 erweist sich als zu
groß, und darum setzt man d2 = 7.
Nun ist nahe = d4*1000 + d3*100 + d2*10 = 1370.

Die nächste Ziffer d1 gewinnt man aus
1887876 >= (nahe+d1)^2 = nahe^2 + 2*nahe*d1 + d1^2.
d1_probe = round((1887876-nahe^2)/(2*nahe)) = 4 passt, und darum setzt
man d1 = 4.
Nun ist nahe = d4*1000 + d3*100 + d2*10 + d1 = 1374.

Die Rechnung ist aufgegangen, 1374^2 = 1887876.

Das erste Beispiel rechne ich nicht ganz vor, sondern nur den Start:
Zifferngruppen von 57391: 5'73'91
Daher drei-ziffriges Wurzel: d3*100 + d2*10 + d1

d3 ist die größte Ziffer, deren Quadrat nicht größer als 5 ist.
Also d3 = 2. Die weiteren Schritte sind gleich wie oben, nur diesmal
geht es nicht auf, d.h. 57391 ist keine Quadratzahl.

Nachdem ich mich wieder in die Schulzeiten zurückversetzt hatte (als ich
das ohne Sinn und Verstand einfach nach Kochrezept machen durfte), firl
mir ein, dass es ja sicher auch online-Rezepte gibt.
Wer mag, liest also hier z.B.:
https://de.wikipedia.org/wiki/Schriftliches_Wurzelziehen

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 10, 2021, 11:26:18 AM12/10/21
to
Am 10.12.2021 um 16:09 schrieb Walter H.:
>
> die Frage ist nur, welches Verfahren das von Dir erwähnte von Heron, od.
> das hier das schnellere ist, zumal der "Quadratzahlentest" sehr sehr oft
> durchlaufen wird, aber die Bestimmung der Quadratwurzel eigentlich nur
> einmal am Ende;

Der von mir genannte Wikipedia-Artikel(*) sagt etwas dazu. Ich glaube,
Heron schneidet nicht so gut ab dabei.

Gruß,
Rainer


(*) https://de.wikipedia.org/wiki/Schriftliches_Wurzelziehen

Alfred Flaßhaar

unread,
Dec 10, 2021, 11:32:31 AM12/10/21
to
Am 10.12.2021 um 17:14 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 10.12.2021 um 14:28 schrieb Dieter Heidorn:
>>
>> Wie ist es aber mit x = 57'391? Oder x = 1'887'876?
>>
> Ich habe mich erinnert, dass wir nicht nur schriftlich Dividieren
> gelernt hatten, sondern auch schriftlich die Wurzel zu ziehen.
>
(...)

p. s.

Das Verfahren ist detailliert begründet nachzulesen in:

Obadovics, Taschenbuch Elementarmathematik, S. 108 ...

Wochenendgruß, Alfred

Dieter Heidorn

unread,
Dec 10, 2021, 2:04:18 PM12/10/21
to
Rainer Rosenthal schrieb:
> Am 10.12.2021 um 14:28 schrieb Dieter Heidorn:
>>
>> Wie ist es aber mit x = 57'391? Oder x = 1'887'876?
>>
> Ich habe mich erinnert, dass wir nicht nur schriftlich Dividieren
> gelernt hatten, sondern auch schriftlich die Wurzel zu ziehen.
> [...]

Vielen Dank, Rainer, für die ausführliche Darstellung des Verfahrens zum
schriftlichen Wurzelziehen. Das kannte ich noch nicht, mir war nur das
Heron-Verfahren bekannt. Im zweiten Beispiel (x = 1 887 876) werden
damit 13 Iterationsschritte benötigt, um bei 1374 anzukommen. Im ersten
Beispiel (x = 57 391) stellt man nach 12 Iterationsschritten fest, dass
57 391 keine Quadratzahl ist.

Diese schriftlichen Rechenverfahren finde ich reizvoll - und man kann am
Ende sicher sein, ob es "aufgeht" oder nicht. Ich werde mal suchen, ob
das von Alfred genannte Buch antiquarisch noch erhältlich ist.

Gruß,
Dieter Heidorn

Marcus Gloeder

unread,
Dec 10, 2021, 11:44:47 PM12/10/21
to
Am 10.12.21 14:23, schrieb Walter H.:
>On 10.12.2021 14:06, Jens Kallup wrote:
>> wenn ich in |N bleibe, dann kann doch jedes dieser Objekte eine
>> Quadratzahl sein.
>es kann auch jedes dieser Objekte eine Primzahl sein, davon gibt es
>nämlich mehr;

Hallo alle zusammen,

es soll mehr Primzahlen als Quadratzahlen geben? Das widerspricht meinem
Verständnis (jedenfalls bis jetzt).

Die Menge der natürlichen Zahlen (gleichgültig, ob mit oder ohne Null) ist
abzählbar unendlich. Sowohl die Primzahlen als auch die Quadratzahlen sind
jeweils eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Beide Teilmengen sind
ebenfalls abzählbar unendlich. Das lässt sich durch Bijektion beweisen. Du
brauchst nur die ersten paar Elemente aller drei Mengen untereinander zu
schreiben, um zu sehen, dass Du eineindeutige Zuordnungen der Elemente
aller drei Mengen zueinander bekommst:

1 2 3 4 5 usw.
2 3 5 7 11 usw.
1 4 9 16 25 usw.

Deshalb sind alle drei Mengen gleich mächtig. Wenn ich jetzt mal den
Sprachgebrauch für Mengen mit endlich vielen Elementen auf Mengen mit
abzählbar unendlich vielen Elementen übertragen würde (was mathematisch
natürlich nicht korrekt ist), dann wäre es am wenigsten falsch, zu sagen,
alle drei Mengen hätten gleich »viele« Elemente. Nämlich unendlich viele.

Viele Grüße
Marcus

--
PMs an: m.gl...@gmx.de

Alfred Flaßhaar

unread,
Dec 11, 2021, 12:39:18 AM12/11/21
to
Am 10.12.2021 um 20:04 schrieb Dieter Heidorn:
> Rainer Rosenthal schrieb:
>> Am 10.12.2021 um 14:28 schrieb Dieter Heidorn:
>>>
(...)

Wenn Du einverstanden bist, würde ich die wenigen Seiten als scan an
Deine mail-Adresse senden.

Gruß, Alfred

Jens Kallup

unread,
Dec 11, 2021, 1:19:42 AM12/11/21
to
Am 11.12.2021 um 05:44 schrieb Marcus Gloeder:
> 1  2  3  4  5 usw.
> 2  3  5  7 11 usw.
> 1  4  9 16 25 usw.
>
> Deshalb sind alle drei Mengen gleich mächtig. Wenn ich jetzt mal den
> Sprachgebrauch für Mengen mit endlich vielen Elementen auf Mengen mit
> abzählbar unendlich vielen Elementen übertragen würde (was mathematisch
> natürlich nicht korrekt ist), dann wäre es am wenigsten falsch, zu sagen,
> alle drei Mengen hätten gleich »viele« Elemente. Nämlich unendlich viele.

schon richtig.
als Mengen betrachtet - also diese 3 Reihen mit 5 Elementen, dann sind
alle 3 Mengen "gleichmächtig" - ich weiß grad nicht wie man das nun
ausdrücken soll:

- gleichmächtig zu fünf
- die Mächtigkeit beträgt 5 (unabhängig der Größe der Elemente)
theoretisch müssten Mengen, die "unendliche" Kardinalobjekte enthalten
also:
M1 := { aleph_0, aleph_1, aleph_2 }.
M2 := { aleph_5, aleph_7, aleph_9 }.

gleichmächtig sein ...
ABER: wer weiß schon wie groß aleph_0 oder gar aleph_1 ist ?
Undendlich scheint mir da eher etwas zu abstrakt ...
Was ist denn, wenn "hinter" Unendlich epsilon folgt ?

Gruß, Jens

Marcus Gloeder

unread,
Dec 11, 2021, 3:20:46 AM12/11/21
to
Am 11.12.21 07:19, schrieb Jens Kallup:
> Was ist denn, wenn "hinter" Unendlich epsilon folgt ?

Hallo alle zusammen, hallo Jens,

»hinter« unendlich gibt es nicht.

>Gruß, Jens

Jens Kallup

unread,
Dec 11, 2021, 4:33:25 AM12/11/21
to
Am 11.12.2021 um 09:20 schrieb Marcus Gloeder:
>
> »hinter« unendlich gibt es nicht.

also oo {0} ?

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 11, 2021, 5:49:57 AM12/11/21
to
Am 11.12.2021 um 05:44 schrieb Marcus Gloeder:
>
> es soll mehr Primzahlen als Quadratzahlen geben? Das widerspricht meinem
> Verständnis (jedenfalls bis jetzt).

Hallo Marcus,

man muss präzisieren, was man mit "mehr" meint, bevor man Aussagen
darüber mit wahr oder falsch bewerten kann.

Im Satz "es gibt mehr Primzahlen als Quadratzahlen" ist "mehr" in
folgender Weise gemeint.
Schau Dir die ersten 100 nichtnegativen ganzen Zahlen an.
Wieviele Quadratzahlen gibt es da? 10, in Worten: 10.
Wieviele Primzahlen gibt es da? 25, in Worten: fünfundzwanzig.

Jetzt schau Dir die ersten 1000 natürlichen Zahlen an und beantworte die
ensprechenden Fragen. Dann ist das Verhältnis Quadratzahlen/Primzahlen
nicht mehr 10/25 = 2/5, sondern 31/168.

Hier die Verhältnisse von 10^1 bis 10^7:

3/4, 2/5, 31/168, 100/1229, 79/2398, 500/39249, 3162/664579.

Du ahnst, was "mehr" hier bedeutet?

Gruß,
Rainer

Alfred Flaßhaar

unread,
Dec 11, 2021, 7:04:32 AM12/11/21
to
Am 11.12.2021 um 06:39 schrieb Alfred Flaßhaar:
> Am 10.12.2021 um 20:04 schrieb Dieter Heidorn:
>> Rainer Rosenthal schrieb:
>>> Am 10.12.2021 um 14:28 schrieb Dieter Heidorn:
>>>>
> (...)
>
Noch ´ne Quelle:

Kambly, Elementarmathematik, Erster Teil, S. 82 ...

Breslau 1890, Ferdinand Hirt, Königliche Universitäts- und
Verlags-Buchhandlung

Dieter Heidorn

unread,
Dec 11, 2021, 7:19:23 AM12/11/21
to
Alfred Flaßhaar schrieb:
Das ist sehr freundlich von dir, Alfred, aber die Mühe brauchst du dir
nicht zu machen. Ich habe das Buch bei booklooker gefunden und schon
bestellt. Dennoch: Vielen Dank für dein Angebot.

Gruß
Dieter Heidorn

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 11, 2021, 10:02:44 AM12/11/21
to
Am 11.12.2021 um 15:48 schrieb Walter H.:
>
> P1 ... die Primzahlzwillinge, eine echte Teilmenge von P
>
> bildet man von jedem Element in diesen Mengen den Stammbruch
> ( der Kehrwert, 1/... )
> und addiert diese Stammbrüche,
> dann ist bekannt dass es ... bei P1 divergiert.
>
Das wären wirklich news für diese newsgroup.
Es gilt aber seit 1919
(https://de.wikipedia.org/wiki/Brunsche_Konstante):

Brunsche Konstante für Primzahlzwillinge
========================================
Im Jahr 1919 zeigte der Mathematiker Viggo Brun, dass die Summe der
Kehrwerte aller Primzahlzwillinge (Paare von Primzahlen, deren Differenz
2 beträgt) konvergiert. Der Grenzwert dieser Summe wird Brunsche
Konstante für Primzahlzwillinge genannt:

Dieses Ergebnis der analytischen Zahlentheorie ist auf den ersten Blick
überraschend, da die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen divergiert,
wie bereits im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler bewiesen wurde. Wäre
auch divergent, hätte man einen Beweis für die bis heute offene
Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt (Alphonse de
Polignac (1817–1890) 1849). Aus der Konvergenz lässt sich jedoch nicht
auf das Gegenteil schließen.

Gruß,
RR


Ralf Goertz

unread,
Dec 11, 2021, 11:17:28 AM12/11/21
to
Am Sat, 11 Dec 2021 16:55:14 +0100
schrieb "Walter H." <Walter...@mathemainzel.info>:

> klar aus nur aus der Divergenz folgt sofort dass es unendlich viele
> gibt, bei einer Konvergenz kann man gar nichts sagen;
>
> wobei aus der Konvergenz automatisch folgt, dass
> diese Summe bei Primzahldrillingen, ..., -mehrlingen auch nur
> konvergieren kann, zumal diese ja noch weniger sind;

Es gibt nur einen Primzahldrilling, nämlich 3,5,7. Denn mindestens eine
der Zahlen n, n+2, n+4 ist durch 3 teilbar. Folglich gibt es auch (da 9
nicht prim ist) keine höheren Mehrlinge.

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 11, 2021, 11:21:42 AM12/11/21
to
Am 11.12.2021 um 16:55 schrieb Walter H.:
> On 11.12.2021 16:02, Rainer Rosenthal wrote:

>> Es gilt aber seit 1919
>> (https://de.wikipedia.org/wiki/Brunsche_Konstante):
>
> aha, hatte mal was anderes gehört;
>
Es klang, als wäre es gewusst.

>
> wobei aus der Konvergenz automatisch folgt, dass
> diese Summe bei Primzahldrillingen, ..., -mehrlingen auch nur
> konvergieren kann, zumal diese ja noch weniger sind;
>
> ob es aber jeweils unendliche viele derartiger Primzahlanhäufungen gibt,
> ist unbekannt;
>
Ich wollte gerade schreiben: "Klar, wenn es bereits für Zwillinge
unbekannt ist".
Aber dann fiel mir ein, dass das eine voreilige Behauptung ist, denn es
könnte ja einen Beweis geben, dass es nur endlich viele Drillinge gibt.
Damit wäre die Frage auch für Vier- Fünf, und Mehr-linge geklärt, aber
für Zwillinge weiter offen. Gut, dass ich das eben NICHT geschrieben
habe :-)

Gruß,
RR

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 11, 2021, 11:25:26 AM12/11/21
to
Am 11.12.2021 um 17:21 schrieb Rainer Rosenthal:

> Aber dann fiel mir ein, dass das eine voreilige Behauptung ist, denn es
> könnte ja einen Beweis geben, dass es nur endlich viele Drillinge gibt.
>
Na gut, 4 Minuten bevor ich mein Posting abgesendet habe, wurde dieser
Beweis von Ralf erbracht.

Ciao,
RR


Stefan Schmitz

unread,
Dec 11, 2021, 12:04:48 PM12/11/21
to
Walter hat Drillinge etc. mit anderen Abständen definiert.

Marcus Gloeder

unread,
Dec 11, 2021, 10:40:44 PM12/11/21
to
Am 11.12.21 11:49, schrieb Rainer Rosenthal:
>Hallo Marcus,
>
>Hier die Verhältnisse von 10^1 bis 10^7:
>
>3/4, 2/5, 31/168, 100/1229, 79/2398, 500/39249, 3162/664579.
>
>Du ahnst, was "mehr" hier bedeutet?

Hallo Rainer,

das habe ich verstanden. Deine Argumentation läuft darauf hinaus, dass bei
jeder beliebigen _endlichen_ Anzahl natürlicher Zahlen die Teilmenge der
Primzahlen größer ist, als die Teilmenge der Quadratzahlen. Nur würde ich
nach wie vor behaupten, dass alle drei Mengen gleich mächtig sind, sobald
sie _als Ganzes_ betrachtet werden. Dann haben alle drei Mengen abzählbar
unendlich viele Elemente und Du kannst ohne Rest jeweils eine Bijektion
durchführen.

>Gruß,
>Rainer

Marcus Gloeder

unread,
Dec 11, 2021, 11:53:34 PM12/11/21
to
Hallo Walter, hallo alle zusammen,

vielen Dank für Deine Antwort. Nun sagst Du für die Mengen der Primzahlen,
der Primzahlzwillinge und der Quadratzahlen einerseits:

Am 11.12.21 15:48, schrieb Walter H.:

>alle 3 Mengen sind gleichmächtig, nämlich abzählbar unendlich, ABER:

andererseits eben auch:

>[...]
>ergo gibt es mehr Primzahlen als Quadratzahlen;

Für mich stellt sich dabei die Frage, inwieweit es eigentlich einen Sinn
ergibt, zu sagen, bei zwei Mengen, die beide abzählbar unendlich viele
Elemente besitzen, die eine habe »mehr« Elemente als die andere.

Selbst dann, wenn Du zeigen kannst, dass es für eine beliebige endliche
Anzahl natürlicher Zahlen immer so ist, dass es jeweils mehr Primzahlen als
Quadratzahlen gibt, spielt dieser Umstand, jedenfalls so, wie ich das bis
jetzt sehe, für die Mengen als Ganzes keine Rolle mehr. Da sowohl die Menge
der natürlichen Zahlen (N), als auch deren Teilmengen der Primzahlen (P)
und der Quadratzahlen (Q) jeweils abzählbar unendlich viele Elemente
aufweisen, hat keine dieser Mengen ein »letztes« Element. Da alle drei
Mengen auch abzählbar sind, bedeutet das, das alle drei möglichen
Bijektionen (N zu P, N zu Q, P zu Q) alle ohne Rest aufgehen. Das wiederum
beweist, dass keine dieser drei Mengen »mehr« Elemente enthält, als jede
der zwei anderen. Habe ich einen Fehler gemacht?

Ralf Goertz

unread,
Dec 12, 2021, 5:14:48 AM12/12/21
to
Am Sat, 11 Dec 2021 18:04:46 +0100
schrieb Stefan Schmitz <ss...@gmx.de>:
Stimmt, sorry.

In der Tat: in dem Sechsling p-8, p-4, p-2, p+2, p+4, p+8 kommen alle
nichtverschwindenen Reste (mod 3), (mod 5) und (mod 7). Folglich muss p
selbst durch alle und somit durch 105 teilbar sein. Und Tatsächlich ist
{97,101,103,107,109,113} ein Sechsling. Für den doppelten Wert von p
sind alle Zahlen gerade, für den dreifachen ist p+4=319=11*29 und
p+8=323=17*19. Aber es scheint weiter zu gehen. Für p ∈ {105,16065,19425
43785,1091265,1615845,1954365,2822715,2839935,3243345,3400215,6005895
6503595,7187775,7641375,8062005,8741145,10526565,11086845,11664555
14520555,14812875,14834715,14856765,16025835,16094715,18916485,19197255
19634055,19800375,20112225,20247045,21321195,21850185,22587285,24786405
25009425,25524135,27305565,29153565,31563945,31875585,32836755,33575955
36319185,36985305,37055655,40660725,41214075,41763435,41927445,44842875
45974565,47204745,48660255,49157745,50685915,50943795,51255645,53204865
53266395,55057905,56431935,57812475,59877405,61052355,62757975,63655725
65689575,67022235,69296325,72610125,74283615,74390085,75085605,76150515
79413075,82984545,87423105,89483835,94752735,112710885,114406005
114812775,115198545,115921575,119279265,119732025,123821775,124160085
125847855,130278015,131118855,132842115,135941085,140124705,146022135
149620065,150733485,151048485,151659375,151848795,151946235,152574555
153090525,153514725,154597905,155011395,156896145,163893135,164221155
164564505,165601485,166000065,175258545,176919645,180646725,184706445
185938935,187315485,188722485,190504755,191128035,204332415,205137345
205216725,209823075} gibt es Prinmzahlsechslinge. Dabei habe ich bis
p=2*10^6+1)*105 geschaut.

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 12, 2021, 5:28:06 AM12/12/21
to
Am 12.12.2021 um 04:40 schrieb Marcus Gloeder:

> Nur würde ich
> nach wie vor behaupten, dass alle drei Mengen gleich mächtig sind,

Habe ich denn behauptet, sie seien nicht gleichmächtig?

Ich habe gesagt, dass "mehr" präzise zu definieren ist, bevor man
darüber diskutieren kann, ob Menge A mehr Elemente hat als Menge B.

Du klebst an der Kadinalzahl-Idee, aber die ist hier nicht relevant.

Die Summe 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... 1/k^2 ... ist ungefähr 1,645.
Die Summe 1/2^1 + 1/2^2 + 1/2^3 + ... 1/2^k ... ist gleich 1,000.

Wenn man "mehr" für den Vergleich von Teilengen natürlicher Zahlen über
den Vergleich der Summen der Kehrwerte definiert, müsste man also sagen:
Es gibt mehr Quadrate k^2 als Zweierpotenzen 2^k.

Für Menschen, die mathematisch denken können, entsteht hier allerdings
ein Fragezeichen.
Die Aussage müsste präziser lauten:
Es gibt mehr Quadrate k^2 mit k >= 1 als Zweierpotenzen 2^k mit k >= 1.

Denn die Summe der Zweierpotenzen 2^k mit k >= 0 ist gleich 2.

Sieht irgendwie ulkig aus:
Z0 ist mehr als Q1
und
Q1 ist mehr als Z1

wobei Z0 = {2^k;k>=0), Z1 = {2^k;k>=1), Q1 = {k^2;k>=1).

Immerhin ist die Tranitivität nicht verletzt: Z0 mehr als Z1 ist sinnvoll.

Die Definition von "mehr" über den Vergleich der Anzahlen in immer
länger werdenden Anfangsabschnitten der natürlichen Zahlen hat den
Vorteil, dass Häufungsschwankungen zu Beginn nicht zu Buche schlagen.

Ich hatte das am 11.12.2021 um 11:49 beschrieben:
Im Satz "es gibt mehr Primzahlen als Quadratzahlen" ist "mehr" in
folgender Weise gemeint. Die Anzahl der Quadratzahlen bis 10^n zu den
Primzahlen bis 10^n ist für n = 1..7 wie folgt:
3/4, 2/5, 31/168, 100/1229, 79/2398, 500/39249, 3162/664579

Nenne ich die Anzahlen Q(n) und P(n), dann siehst Du eine immer kleiner
werdende Folge von Brüchen Q(n)/P(n). Es ist bestimmt eine sinnvolle
Definition von "mehr", wenn man wegen lim Q(n)/P(n) < 1 sagt, dass es
mehr Primzahlen als Quadratzahlen gibt.

Das "mehr" mit der Definition über Abbildungen ist hier irrelevant.

Gruß,
RR


Martin Vaeth

unread,
Dec 12, 2021, 6:39:41 AM12/12/21
to
Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
>
> Nenne ich die Anzahlen Q(n) und P(n), dann siehst Du eine immer kleiner
> werdende Folge von Brüchen Q(n)/P(n). Es ist bestimmt eine sinnvolle
> Definition von "mehr", wenn man wegen lim Q(n)/P(n) < 1 sagt, dass es
> mehr Primzahlen als Quadratzahlen gibt.

Ich würde lim Q(n)/P(n) = 0 verlangen. Ansonsten kommt man auf Aussagen
wie "Es gibt mehr Vielfahe von 3 als Vielfache von 2", was fragwürdig ist,
obwohl man es natürlich so definieren kann. Aber z.B. bei Reihen spricht
man auch nur dann von schnellerer Konvergenz wenn der entsprechende
Quotient gegen 0 konvergiert.

> Das "mehr" mit der Definition über Abbildungen ist hier irrelevant.

Um das noch etwas zu klären: Wenn man keinerlei Struktur über die
Mengen kennt, nimmt man üblicherweise nur die Mächtigkeit. In anderen
Fällen gibt es zahlreiche Definitionen für "mehr".
Wenn man eine Wohlordnung hat, gibt es den Ordinalzahlvergleich.
Für Teilmengen der natürlichen Zahlen ist häufig - wie in obigem
Fall - der Limit der relativen Häufigkeit natürlich. Für Teilmengen
von R kann man z.B. das Lebesgue-Maß heranziehen (allgemeiner nimmt
man in Maßräumen häufig das Maß). Für Bairesche Räume hat man mit
den Mengen 1. und 2. Kategorie (und den Komplementen von Mengen
1. Kategorie) eine Einteilung in zumindest 3 "Größen". Allgemeiner
kann man auch verschiedene Filter zum Größenvergleich heranziehen.

Kurios ist, dass diese Begriffe von "mehr" keineswegs kompatibel
miteinander sind. So gibt es in R Mengen vom Maß 0, die vom
Kategorienaspekt so groß wie R sind. Oder eine Menge vom Maß 0
kann mächtiger sein, als eine Menge, die nicht Maß 0 hat (zumindest
in ZFC ohne die Kontinuumshypothese).

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 12, 2021, 6:53:23 AM12/12/21
to
Am 12.12.2021 um 11:14 schrieb Ralf Goertz:
> Am Sat, 11 Dec 2021 18:04:46 +0100

>>
>> Walter hat Drillinge etc. mit anderen Abständen definiert.
>
> Stimmt, sorry.
>
> In der Tat: in dem Sechsling p-8, p-4, p-2, p+2, p+4, p+8 kommen alle
> nichtverschwindenen Reste (mod 3), (mod 5) und (mod 7).

Hier redet Ihr von Arithmetischen Progressionen, die aus Primzahlen
bestehen.
Als ich davon vor etwa zwei oder drei Jahren las, war die längste
derartige Leiter 26 Primzahlen lang, aber es gab bereits einen Beweis
von Terence Tao und Ben Green, dass es solche "Primzahl-Leitern" mit
beliebiger Länge gibt:
Beispiel-Quelle:
http://www.claymath.org/library/annual_report/ar2006/06report_tao.pdf
Of special note is his joint work with Ben Green,
a Clay Research Fellow from 2005­ through 2007.
In their 2004 paper, “The primes contain arbitrarily
long arithmetic progressions,” the authors answered
in the affirmative a long-standing conjecture that had
resisted many attempts.

Die Maximalzahl 26 wurde vor zwei Jahren überboten!
23 September 2019 Rob Gahan and PrimeGrid found the first known AP27:
224584605939537911 + 81292139·23#·n, for n = 0..26.
(Quelle: http://primerecords.dk/aprecords.htm).

Der Ausdruck 23# war mir damals nicht geläufig. Er bedeutet das Produkt
der ersten Primzahlen bis 23 einschließlich. Diese sogenannten
"primorials", benannt in Analogie zu "factorial" = "Fakultät", bilden
stets den Sprossenabstand einer aus Primzahlen bestehenden Leiter.

Das ist alles gut beschrieben, wie ich gerade sehe, in
https://en.wikipedia.org/wiki/Primes_in_arithmetic_progression

Liebe Grüße,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

P.S.
Unser unglaublich schlauer Ex-Dozent aus Augsburg hat damals, als ich
das Thema hier brachte, und daruf hinwies, dass es (nicht allzuschwer
beweisbar) keine unendlich langen Primzahl-Leitern gibt, dass es aber
fantastisch sei, die Existen beliebig langer Leitern bewiesen zu haben,
nichts Besseres zu antworten gehabt, als "na und?". Ist ja klar, dass
Terence Tao ihm nicht das Wasser reichen kann.

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 12, 2021, 7:13:15 AM12/12/21
to
Am 12.12.2021 um 12:39 schrieb Martin Vaeth:
> Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
>>
>> Nenne ich die Anzahlen Q(n) und P(n), dann siehst Du eine immer kleiner
>> werdende Folge von Brüchen Q(n)/P(n). Es ist bestimmt eine sinnvolle
>> Definition von "mehr", wenn man wegen lim Q(n)/P(n) < 1 sagt, dass es
>> mehr Primzahlen als Quadratzahlen gibt.
>
> Ich würde lim Q(n)/P(n) = 0 verlangen. Ansonsten kommt man auf Aussagen
> wie "Es gibt mehr Vielfahe von 3 als Vielfache von 2", was fragwürdig ist,

Es ist nicht nur fragwürdig, sondern sogar falsch :-)

Sei V2(n) die Anzahl der durch 2 teilbaren Zahlen <= 10^n
und V3(n) die Anzahl der durch 2 teilbaren Zahlen <= 10^n

Die Quotienten V3(n)/V2(n) gehen mit n->oo auf einen Wert < 1, wie an
den ersten Folgengliedern n=1..7 zu ahnen ist:

.6000000, .6600000, .6660000, .6666000, .6666600, .6666660, .6666666

Wegen lim V3(n)/V2(n) < 1 gibt es also mehr durch 2 teilbare Zahlen als
durch 3 teilbare Zahlen. Kann man auch schön veranschaulichen:
#
# Durch 2: .x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x usw.
# Durch 3: ..x..x..x..x..x..x..x..x..x..x..x..x..x..x..x..x usw.
#
Die untere Reihe ist deutlich dünner besetzt.

>
>> Das "mehr" mit der Definition über Abbildungen ist hier irrelevant.
>
> Um das noch etwas zu klären: [...]

Danke für die interessanten Erläuterungen!

Gruß,
RR

Martin Vaeth

unread,
Dec 12, 2021, 7:13:47 AM12/12/21
to
Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:
> "Es gibt mehr Vielfahe von 3 als Vielfache von 2"

Hier habe ich 2 und 3 natürlich verwechselt.

Martin Vaeth

unread,
Dec 12, 2021, 7:30:29 AM12/12/21
to
Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
> Am 12.12.2021 um 12:39 schrieb Martin Vaeth:
>> Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
>>>
>>> Nenne ich die Anzahlen Q(n) und P(n), dann siehst Du eine immer kleiner
>>> werdende Folge von Brüchen Q(n)/P(n). Es ist bestimmt eine sinnvolle
>>> Definition von "mehr", wenn man wegen lim Q(n)/P(n) < 1 sagt, dass es
>>> mehr Primzahlen als Quadratzahlen gibt.
>>
>> Ich würde lim Q(n)/P(n) = 0 verlangen. Ansonsten kommt man auf Aussagen
>> wie "Es gibt mehr Vielfahe von 3 als Vielfache von 2", was fragwürdig ist,
>
> Es ist nicht nur fragwürdig, sondern sogar falsch :-)

Ja, ein Typo, den ich gerade in einem parallelen Posting korrigiert habe
(ursprünglich hatte ich j und k geschrieben, und es vor dem Posten noch
schnell vereinfacht - leider falschherum).
Die Aussage mit korrigiertem Typo ist trotzdem fragwürdig, und man hat
eben die Inkonsistenz mit der Definition, wann man eine Reihe
"langsamer konvergent" oder "schneller divergent" nennt als eine andere.

> Wegen lim V3(n)/V2(n) < 1 gibt es also mehr durch 2 teilbare Zahlen als
> durch 3 teilbare Zahlen. Kann man auch schön veranschaulichen:
> #
> # Durch 2: .x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x usw.
> # Durch 3: ..x..x..x..x..x..x..x..x..x..x..x..x..x..x..x..x usw.
> #
> Die untere Reihe ist deutlich dünner besetzt.

Ja, aber es dünnt eben später auch nicht weiter aus.
Wie gesagt: Man *kann* es so definieren, aber wenn tatsächlich nur
limsup Q(n)/P(n) = 1/2 wäre (was natürlich nicht gilt), würde ich die
Aussage, dass es "mehr" P-Zahlen and Q-Zahlen gäbe, nicht gutheißen,
wobei man natürlich trotzdem mit einem gewissen Recht sagen könnte,
dass es "im Schnitt mindestens doppelt so viele" P-Zahlen wie Q-Zahlen
gibt - bei unendlich vielen ist m.E. "doppelt so viele" halt nicht
"mehr". Aber letztlich ist natürlich beides eine Definitionsfrage,
über die man sich beliebig streiten kann.

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 12, 2021, 7:46:55 AM12/12/21
to
Am 12.12.2021 um 13:30 schrieb Martin Vaeth:
> Aber letztlich ist natürlich beides eine Definitionsfrage,
> über die man sich beliebig streiten kann.

Oder man schließt einen Kompromiss und einigt sich, dass lim = 0
bedeutet, dass die eine Menge "brutal mehr" ist als die andere :-)

Es hat Spaß gemacht, über die Frage von Marcus nachzudenken, und es gab
für mich tasächlich zwei Überraschungen:

1. Dass der Vergleich der Reziproken-Summen durch Anfangsglieder
verzerrt wird.

2. Dass lim = 0 gar nicht notwendig ist, um "mehr" zu definieren.

Die nächsten Überraschungen erwarte ich demnächst beim "Alter forscht"
Projekt mit dem Thema "(K,P,H) prim und K(K+P)=H+U", dsm 2.12.2021.

Gruß,
RR

P.S. Deutlich weniger Überraschungen birgt die Korrespondenz mit meinem
"Alter forscht" Kollegen.

P.S. 2: ich kann nicht anders: "Geuscht" nervt mich, also habe ich den
Typo im Titel ändern müssen (wir Zwangscharaktere sind halt so).

Ralf Goertz

unread,
Dec 12, 2021, 7:57:52 AM12/12/21
to
Am Sun, 12 Dec 2021 12:53:07 +0100
schrieb Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de>:

> Am 12.12.2021 um 11:14 schrieb Ralf Goertz:
> > Am Sat, 11 Dec 2021 18:04:46 +0100
>
> >>
> >> Walter hat Drillinge etc. mit anderen Abständen definiert.
> >
> > Stimmt, sorry.
> >
> > In der Tat: in dem Sechsling p-8, p-4, p-2, p+2, p+4, p+8 kommen
> > alle nichtverschwindenen Reste (mod 3), (mod 5) und (mod 7).
>
> Hier redet Ihr von Arithmetischen Progressionen, die aus Primzahlen
> bestehen.

Na ja, eigentlich nicht. Bei der Progression haben die
aufeinanderfolgenden Primzahlen die gleiche Differenz. Beim vom Walter
definierten Sechsling handelt es sich eher um einen Cluster von
Primzahlen mit Differenzen 4,2,4,2,4 (um geschickt meinem Argument mit
der 3 zu entgehen).

Aber großartig ist die Tatsache von der beliebig (sozusagen potenziell
unendlich) langen arithmetischen Progression natürlich trotzdem.

Stefan Schmitz

unread,
Dec 12, 2021, 7:58:41 AM12/12/21
to
Am 11.12.2021 um 15:48 schrieb Walter H.:
> On 11.12.2021 05:44, Marcus Gloeder wrote:
>> Am 10.12.21 14:23, schrieb Walter H.:
>>> On 10.12.2021 14:06, Jens Kallup wrote:
>>>> wenn ich in |N bleibe, dann kann doch jedes dieser Objekte eine
>>>> Quadratzahl sein.
>>> es kann auch jedes dieser Objekte eine Primzahl sein, davon gibt es
>>> nämlich mehr;
>>
>> Hallo alle zusammen,
>>
>> es soll mehr Primzahlen als Quadratzahlen geben? Das widerspricht meinem
>> Verständnis (jedenfalls bis jetzt).
>
> man hat 3 Mengen
>
> IN ... die nat. Zahlen
> P ... die Primzahlen, eine echte Teilmange von IN
> P1 ... die Primzahlzwillinge, eine echte Teilmenge von P
> X ... die Quadratzahlen, ebenfalls eine echte Teilmenge von IN
>
> alle 3 Mengen sind gleichmächtig, nämlich abzählbar unendlich, ABER:
>
> bildet man von jedem Element in diesen Mengen den Stammbruch
> ( der Kehrwert, 1/... )
> und addiert diese Stammbrüche,
> dann ist bekannt dass es bei IN, divergiert,
> bei P ebenfalls divergiert, bei P1 divergiert es ebenso;
> aber bei X haben wir einen Grenwert;
>
> ergo gibt es mehr Primzahlen als Quadratzahlen;

Würde die Konvergenz nicht eher für weniger sprechen?

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 12, 2021, 8:22:48 AM12/12/21
to
Am 12.12.2021 um 13:57 schrieb Ralf Goertz:

>>> In der Tat: in dem Sechsling p-8, p-4, p-2, p+2, p+4, p+8 kommen

> Beim vom Walter
> definierten Sechsling handelt es sich eher um einen Cluster von
> Primzahlen mit Differenzen 4,2,4,2,4 (um geschickt meinem Argument mit
> der 3 zu entgehen).

Ja, ja, diesmal habe ich nicht genau hingeschaut. Ich habe einmal
draufgeschaut und gleiche Differenzen halluziniert.
O Menno, wenn ich realisiert hätte, dass sie gerade sind, hätte ich ja
gleich merken können, dass ich auf dem falschen Dampfer bin.

Freut mich, wenn der Hinweis auf die Primzahl-Leitern gefallen hat.
Für mich war es auch ein spannendes Update, dass nun bereits Länge 27
erreicht worden ist (Stand 2019).

Gruß, Rainer

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 12, 2021, 8:28:46 AM12/12/21
to
Am 12.12.2021 um 13:58 schrieb Stefan Schmitz:
> Am 11.12.2021 um 15:48 schrieb Walter H.:
>> On 11.12.2021 05:44, Marcus Gloeder wrote:
>>>
>>> es soll mehr Primzahlen als Quadratzahlen geben? Das widerspricht meinem
>>> Verständnis (jedenfalls bis jetzt).
>>
>> IN ... die nat. Zahlen
>> P ... die Primzahlen, eine echte Teilmange von IN
>> X ... die Quadratzahlen, ebenfalls eine echte Teilmenge von IN
>>
>> alle 3 Mengen sind gleichmächtig, nämlich abzählbar unendlich, ABER:
>>
>> Addiert man die Kehrwerte der Elemente deser Mengen,
>> dann ist bekannt dass die Summe bei IN und P divergiert,
>> bei X aber konvergiert.
>>
>> ergo gibt es mehr Primzahlen als Quadratzahlen;
>
> Würde die Konvergenz nicht eher für weniger sprechen?

Ja, "X weniger als P" ist aber kein Widerspruch zu "P mehr als X".

Gruß,
RR

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 12, 2021, 9:11:14 AM12/12/21
to
Am 12.12.2021 um 12:39 schrieb Martin Vaeth:
> Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
>>
>> Nenne ich die Anzahlen Q(n) und P(n), dann siehst Du eine immer kleiner
>> werdende Folge von Brüchen Q(n)/P(n). Es ist bestimmt eine sinnvolle
>> Definition von "mehr", wenn man wegen lim Q(n)/P(n) < 1 sagt, dass es
>> mehr Primzahlen als Quadratzahlen gibt.
>
> Ich würde lim Q(n)/P(n) = 0 verlangen. Ansonsten kommt man auf Aussagen
> wie "Es gibt mehr Vielfahe von 3 als Vielfache von 2", was fragwürdig ist,
> obwohl man es natürlich so definieren kann.

Hier habe ich noch einen guten Grund, für zwei Teilmengen A und B von IN
den Grenzwert von A(n)/B(n) für n -> oo als Kriterium zu nehmen(*).
Wir sagen:
"A hat mehr Elemente als B", wenn dieser Grenzwert > 1 ist.
"A hat weniger Elemente als B", wenn dieser Grenzwert < 1 ist.
"A und B haben gleichviele Elemente", wenn dieser Grenzwert 1 ist.

Nehmen wir
für A die Menge IN = {1, 2, 3, ...} und
nehmen B = IN \ {1} = {2, 3, 4, ...}.
Offenbar ist A(2) = |{1,2}| = 2 und B(2) = |{2}| = 1.
Allgemein gilt A(n) = B(n) + 1.

Der Grenzwert ist lim A(n)/B(n) = 1 + lim 1/B(n) = 1 + 0 = 1.
Wir sehen also: "IN und IN \ {1} haben gleichviele Elemente". Von da ist
es nicht weit zur Aussage "IN U {0} und IN haben gleichviele Elemente".(**)

Gruß,
RR

(*) Dabei ist A(n) die Anzahl der Elemente von A kleiner oder gleich n
und B(n) die Anzahl der Elemente von B kleiner oder gleich n.

(**) Das ärgert sicher meinen dsm-Mitstipendiaten, aber er mag zetern,
solange er will, und darauf hinweisen, dass doch ständig A(n)/B(n) = 1 +
lim 1/B(n) > 1 ist. So wie er "Injektivität" vergessen hat, ist ihm ja
auch die Bedeutung von "Grenzwert" fremd.


Martin Vaeth

unread,
Dec 12, 2021, 12:46:39 PM12/12/21
to
Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
> Am 12.12.2021 um 12:39 schrieb Martin Vaeth:
>> Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
>>>
>>> Nenne ich die Anzahlen Q(n) und P(n), dann siehst Du eine immer kleiner
>>> werdende Folge von Brüchen Q(n)/P(n). Es ist bestimmt eine sinnvolle
>>> Definition von "mehr", wenn man wegen lim Q(n)/P(n) < 1 sagt, dass es
>>> mehr Primzahlen als Quadratzahlen gibt.
>>
>> Ich würde lim Q(n)/P(n) = 0 verlangen. Ansonsten kommt man auf Aussagen
>> wie "Es gibt mehr Vielfahe von 3 als Vielfache von 2", was fragwürdig ist,
>> obwohl man es natürlich so definieren kann.
>
> Hier habe ich noch einen guten Grund, für zwei Teilmengen A und B von IN
> den Grenzwert von A(n)/B(n) für n -> oo als Kriterium zu nehmen(*). [...]
> (*) Dabei ist A(n) die Anzahl der Elemente von A kleiner oder gleich n
> und B(n) die Anzahl der Elemente von B kleiner oder gleich n.

Du solltest nicht den wichtigen Fall übersehen, dass dieser Grenzwert
nicht existiert.

> Wir sagen:
> "A hat mehr Elemente als B", wenn dieser Grenzwert > 1 ist.

Für den Fall, dass der Grenzwert nicht existiert, meinst Du hier vermutlich
vorsichtigerweise liminf A(n)/B(n) > 1
("n \to \infty" unter dem Limes lasse ich der Lesbbarkeit halber weg).

Wenn Du hingegen meinem Vorschlag folgst, müsste man die Definition
durch liminf A(n)/B(n) = \infty (äquivalent: lim A(n)/B(n) = infty)
ersetzen.

Zusätzlich schlage ich vor, für alle endlichen a <= liminf A(n)/B(n)
die Redeweise "A hat mindestens a-mal so viele Elemente wie B"
einzuführen.

Der Unterschied zwischen "Deiner" und "meiner" Definition ist nur,
dass ich im Falle von 1<a<infty nicht schon generell von "mehr"
Elementen reden würde, also dass "mindestens doppelt so viele Elemente"
noch nicht "mehr Elemente" (nach "meiner" Definition) impliziert:
Wie andernorts schon gesagt, ist m.E. "doppelt so viele" für unendliche
Mengen eben noch nicht zwangsläufig "mehr".

> "A hat weniger Elemente als B", wenn dieser Grenzwert < 1 ist.

Dito: limsup A(n)/B(n) < 1 bzw. limsup A(n)/B(n) = 0 (oder äquivalent
lim A(n)/B(n) = 0), und als zusätzliche Redeweise vielleicht
"A hat höchstens b-mal so viele Elemente wie B" für alle positiven
b >= limsup A(n)/B(n).

> "A und B haben gleichviele Elemente", wenn dieser Grenzwert 1 ist.

Eine gute Definition, die dann auch äquivalent ist zu den beiden
Aussagen
"A hat mindestens 1-mal so viele Elemente wie B" und
"A hat höchstens 1-mal so viele Elemente wie B".

Aber Vorsicht: Die Trichotomie ist weder bei "meiner" noch bei
"Deiner" Definition gegeben! Man kann Beispiele angegeben (in
denen der Grenzwert nicht existiert), bei denen A weder mehr
noch weniger noch gleichviele Elemente wie B hat.

Die letzte Definition (A und B haben gleichviele Elemente) ist sowohl
mit "Deiner" als auch mit "meiner" Definition kompatibel, und bei keiner
der beiden Zugänge liefert sie eine Trichotomie. Insofern sehe ich nicht,
weshalb diese Definition "Deine" Definition mehr rechtfertigen soll, als
meine.
Sicherlich: Für diejenigen Mengenpaare, für die der Grenzwert existiert,
hast Du mit "Deiner" Definition eine Trichotomie, aber das sind doch
ziemlich wenige(*), so dass ich die Erweiterung der Trichotomie für ein
schwaches Argument halte.

(*) Zwar habe ich es nicht exakt hingeschrieben, aber ich bin ziemlich
sicher, dass die Menge aller Paare (A,B), für die der Grenzwert
lim A(n)/B(n) im eigentlichen oder uneigentlichen Sinne existiert - in
kanonischer Art aufgefasst als Teilmenge vom kartesischen Produkt des
Cantorraums mit sich selbst - mager ist (also von 1. Kategorie).

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 12, 2021, 1:11:01 PM12/12/21
to
Am 12.12.2021 um 18:46 schrieb Martin Vaeth:
> Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
>>
>> Hier habe ich noch einen guten Grund, für zwei Teilmengen A und B von IN
>> den Grenzwert von A(n)/B(n) für n -> oo als Kriterium zu nehmen(*). [...]
>> (*) Dabei ist A(n) die Anzahl der Elemente von A kleiner oder gleich n
>> und B(n) die Anzahl der Elemente von B kleiner oder gleich n.

Dieser Grund war, meinen dsm-Mit-Stipendiaten ärgern zu können :-)

>
> Du solltest nicht den wichtigen Fall übersehen, dass dieser Grenzwert
> nicht existiert.
>
Ups, das ist ja ein lustiger Gedanke. Mit dem mus ich mich noch
anfreunden. Ich hatte nur so harmlos konkurrierende Mengen A und B im
Sinn wie die Prim- und die Quadratzahlen, wo eine Menge die andere schon
nach wenigen Metern abhängt.

Solche Mengen-Wettläufe bergen ja weiteres "Alter forscht" Potenzial :-)

Liebe Grüße,
Rainer

Hans Crauel

unread,
Dec 12, 2021, 2:47:19 PM12/12/21
to
Martin Vaeth schrieb

> Rainer Rosenthal schrieb:
>> Nenne ich die Anzahlen Q(n) und P(n), dann siehst Du eine immer kleiner
>> werdende Folge von Brüchen Q(n)/P(n). Es ist bestimmt eine sinnvolle
>> Definition von "mehr", wenn man wegen lim Q(n)/P(n) < 1 sagt, dass es
>> mehr Primzahlen als Quadratzahlen gibt.
>
> Ich würde lim Q(n)/P(n) = 0 verlangen.

Ist das denn nicht so? Man hat doch Q(n) ~ sqrt(n), P(n) ~ n/(log n),
also Q(n)/P(n) ~ log(n)/sqrt(n) und damit die obige Aussage.

Hans

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 12, 2021, 3:30:09 PM12/12/21
to
Ja, es ist so beim Vergleich von Q und P.
Da ist sowohl lim < 1 als auch lim = 0.

Denke Dir andere zu vergleichende Mengen (und, wie Martin warnte) mit
existierendem lim.
Ich hatte vorgeschlagen lim A(n)/B(n) < 1 als Kriterium für "A kleiner
als B" zu bezeichnen.
Das mag Martin nicht so. Er will dafür lim A(n)/B(n) = 0 haben.
Aber ich finde das zu krass und würde lim = 0 einfach "brutal weniger"
nennen :-)

Gruß,
RR

Martin Vaeth

unread,
Dec 12, 2021, 3:32:39 PM12/12/21
to
Hans Crauel <crauel...@freenet.de> schrieb:
In diesem konkreten Beispiel schon. (Alternativ ließe sich das auch
ohne Benutzung des Primzahlsatzes aus der Tatsache herleiten, dass die
Reihe über die Kehrwerte konvergiert bzw. divertgiert.)

Für die allgemeine Definition des Begriffes "mehr" für beliebige
(unendliche) Teilmengen von N macht die Forderung aber natürlich schon
einen Unterschied.

Martin Vaeth

unread,
Dec 12, 2021, 3:41:26 PM12/12/21
to
Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote:
> Ich hatte vorgeschlagen lim A(n)/B(n) < 1 als Kriterium für "A kleiner
> als B" zu bezeichnen.

Ein echtes Argument für diese Definition ist, dass es den Fall endlicher
Mengen korrekt abdeckt (selbst die leere Menge mit der Konvention 0/0:=1).

> Das mag Martin nicht so. Er will dafür lim A(n)/B(n) = 0 haben.
> Aber ich finde das zu krass und würde lim = 0 einfach "brutal weniger"
> nennen :-)

Wahrscheinlich sollte man besser von "langsamer wachsend" statt von
(brutal) weniger sprechen. Dann passt auch die Parallelität mit den
schneller/langsamer divergierenden/konvergierenden Reihen eher.

Hans CraueI

unread,
Dec 12, 2021, 7:07:47 PM12/12/21
to
Rainer Rosenthal schrieb

> Hans Crauel schrieb
>> Martin Vaeth schrieb
>>> Rainer Rosenthal schrieb:
>>>> Nenne ich die Anzahlen Q(n) und P(n), dann siehst Du eine immer kleiner
>>>> werdende Folge von Brüchen Q(n)/P(n). Es ist bestimmt eine sinnvolle
>>>> Definition von "mehr", wenn man wegen lim Q(n)/P(n) < 1 sagt, dass es
>>>> mehr Primzahlen als Quadratzahlen gibt.
>>>
>>> Ich würde lim Q(n)/P(n) = 0 verlangen.
>>
>> Ist das denn nicht so? Man hat doch Q(n) ~ sqrt(n), P(n) ~ n/(log n),
>> also Q(n)/P(n) ~ log(n)/sqrt(n) und damit die obige Aussage.

> Ja, es ist so beim Vergleich von Q und P.
> Da ist sowohl lim < 1 als auch lim = 0.

Gut, ich hatte das nicht genauer verfolgt und war verwundert,
dass das bei Q(uadrat) und P(rim) nicht in Frage zu stehen schien.
Habe ich wohl was verpasst.
>
> Denke Dir andere zu vergleichende Mengen (und, wie Martin warnte)
> mit existierendem lim.

Da wird die Menge der Paare, bei denen kein Grenzwert
existiert, wesentlich größer sein als die der Paare mit
existierendem Grenzwert.
Man sollte besser gleich mit limsup sowie liminf arbeiten
und beide Werte einbeziehen.

> Ich hatte vorgeschlagen lim A(n)/B(n) < 1 als Kriterium für "A kleiner
> als B" zu bezeichnen.
> Das mag Martin nicht so. Er will dafür lim A(n)/B(n) = 0 haben.
> Aber ich finde das zu krass und würde lim = 0 einfach "brutal weniger"
> nennen :-)

Kann man unterscheiden. Welchen Begriff würde man bei
limsup = infty und liminf = 0 nehmen?

Hans

Marcus Gloeder

unread,
Dec 12, 2021, 9:37:42 PM12/12/21
to
Hallo alle zusammen,

am 12.12.21 12:39, schrieb Martin Vaeth:
>Um das noch etwas zu klären: Wenn man keinerlei Struktur über die
>Mengen kennt, nimmt man üblicherweise nur die Mächtigkeit. In anderen
>Fällen gibt es zahlreiche Definitionen für "mehr".

Meinem Verständnis nach ist es dann allerdings so, dass entweder beweisbar
sein sollte, dass alle Definitionen zu demselben Ergebnis führen, oder dass
es verschiedene Bedeutungen für und damit verschiedene Begriffe von »mehr«
gibt, die auf verschiedenen theoretischen Ebenen liegen (also verschiedene
Fragen behandeln). Die theoretischen Ebenen müssten dann aber sauber
voneinander getrennt werden werden, das heißt es müsste immer genau gesagt
werden können, welche theoretische Frage jetzt beantwortet werden soll und
inwiefern sich diese von anderen Fragen unterscheidet.

Wenn die Bedeutung von »mehr« immer dieselbe ist, es aber je nach
Vorgehensweise zu einander widersprechenden Ergebnissen kommt, dann haben
wir ein ernsthaftes Problem. Jedenfalls meiner Ansicht nach.

>Kurios ist, dass diese Begriffe von "mehr" keineswegs kompatibel
>miteinander sind. [Beispiele]

Insoweit das so ist, ist das nicht einfach »kurios«, sondern ein
theoretisches Problem, das nach einer Lösung verlangt.

Marcus Gloeder

unread,
Dec 12, 2021, 9:44:26 PM12/12/21
to
Hallo alle zusammen,

am 13.12.21 03:37, schrieb ich:

>Die theoretischen Ebenen müssten dann aber sauber
> voneinander getrennt werden werden, [...]

Da ist ein »werden« zuviel.

Marcus Gloeder

unread,
Dec 12, 2021, 9:55:20 PM12/12/21
to
Hallo alle zusammen,

am 12.12.21 13:30, schrieb Martin Vaeth:

>[...] wobei man natürlich trotzdem mit einem gewissen Recht sagen könnte,
>dass es "im Schnitt mindestens doppelt so viele" P-Zahlen wie Q-Zahlen
>gibt - bei unendlich vielen ist m.E. "doppelt so viele" halt nicht
>"mehr".

Stimmt auffallend. Chapeau!

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 12, 2021, 11:56:39 PM12/12/21
to
Am 13.12.2021 um 03:37 schrieb Marcus Gloeder:
> am 12.12.21 12:39, schrieb Martin Vaeth:
>> Um das noch etwas zu klären: Wenn man keinerlei Struktur über die
>> Mengen kennt, nimmt man üblicherweise nur die Mächtigkeit. In anderen
>> Fällen gibt es zahlreiche Definitionen für "mehr".
>
>> Kurios ist, dass diese Begriffe von "mehr" keineswegs kompatibel
>> miteinander sind. [Beispiele]
>
> Insoweit das so ist, ist das nicht einfach »kurios«, sondern ein
> theoretisches Problem, das nach einer Lösung verlangt.
> Dabei fasse ich Nutzen sehr weit,

Ein theoretisches Problem liegt vor, wenn eine Theorie in sich
widersprüchlich scheint. Sach ich mal.

Damit eine Theorie wert ist, untersucht und ausgebaut zu werden, braucht
sie einen gewissen "Nutzen" [1].

Wenn es einen Nutzen gibt, dann gibt es zu dem Feld, in dem die Theorie
entsteht, bereits einen Spachgebrauch. Sprachentwicklung ist spannend,
und auch dazu gibt es viele Theorien. Das interessiert hier aber
weniger, sondern wesentlich scheint mir jetzt für meine lang ausholende
Antwort auf Marcus' Theorie-Problem nur der Aspekt, dass sich die
Theorie auch der Wörter bedient, in deren Umfeld sie entsteht.

Und so kann ein Wort wie "mehr" mal dies und mal das bedeuten [2].
Wenn es allerdings erst einmal Eingang in eine Theorie gefunden hat,
muss seine Bedeutung jeweils klar festgelegt sein, wenn man innerhalb
der Theorie umgangssprachlich kommuniziert. Beispiel: "naürlich". Für
manchen ist die Null eine natürliche Zahl, für andere wieder nicht. s
ist üblich, das jeweils kurz klarzustellen, wenn Sätze formuliert werden
wie "die Quadratsumme der Reziproken der natürlichen Zahlen ist
Pi-Quadrat-Sechstel". Auch "mehr" ist nichts Absolutes.

Also alles gut, oder?

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de


[1] Es muss nicht nur um stabile Architektur oder gerechte Verteilung
von Äckern gehen, was bestimmt einen großen Einfluss auf die Entwicklung
der Geometrie hatte. Es kann auch der Wunsch nach Ordnung sein, egal, ob
man wissen will "wie viel Sternlein am Himmel" stehen, wann genau die
Sonne aufgeht oder sie sich das nächste Mal verfinstern wird. Hier sind
Rechenkünste gefordert, die schon über das hinausgehen, was beim Handeln
mit Waren und Tieren benötigt wird. Sehr interessant war es auch immer,
wie man Feinde effektiv tötet. Da wird gerne investiert und geforscht.
Die Liste lässt sich prima verlängern, und es macht mir gerade Spaß,
diese Gedanken weiter auszuführen, aber das steht sicher alles
ausführlich und schön in Büchern. Gerne lase ich mir Lesetipps geben und
verlasse diese Fußnote, bevor ich dn Faden ganz verliere.
Eine kleine Stichelei gegen meinen Mit-Stipendiaten der dsm-Initiative
"Alter forscht" mag ich mir nicht verkneifen: auch Geltungsdrang kann
zur Entwicklung von Theorien anspornen. Dabei kommen allerdings nur
Theorien heraus, die in sich widersprüchlich sind :-)

[2] Keine Theorie, die "mehr" für ihre Zwecke verwendet, hat ein
Problem damit, dass andere Theorien dies Wort ebenfalls verwenden. Es
ist nur ein praktisches Problem, die Bedeutungen auseinander zu halten,
wenn man zu einer anderen Theorie wechselt.
Es hat sich noch nie jemand beschwert, dass "addieren" nicht eindeutig
definiert ist. Da werden munter die guten alten natürlichen Zahlen
addiert, in Krisenzeiten kommen die negativen Zahlen dazu, und Physiker
fühlen sich auf komplexen Ebenen auch durchaus wohl, in denen man durch
Addition kreuz und quer überall hinkommt. Es gibt auch Theorien, in
denen der armen Addition die Kommutativität aberkannt wird: 1 + omega
ist da z.B. was Anderes als omega + 1.


Rainer Rosenthal

unread,
Dec 13, 2021, 1:54:50 AM12/13/21
to
Am 13.12.2021 um 03:37 schrieb Marcus Gloeder:
> am 12.12.21 12:39, schrieb Martin Vaeth:
>> Um das noch etwas zu klären: Wenn man keinerlei Struktur über die
>> Mengen kennt, nimmt man üblicherweise nur die Mächtigkeit. In anderen
>> Fällen gibt es zahlreiche Definitionen für "mehr".
>
> Wenn die Bedeutung von »mehr« immer dieselbe ist, es aber je nach
> Vorgehensweise zu einander widersprechenden Ergebnissen kommt, dann haben
> wir ein ernsthaftes Problem. Jedenfalls meiner Ansicht nach.
>

Hallo Marcus,

wenn Fritz drei Steaks gegessen hat und Heinz drei Erbsen, wer hat dann
mehr gegessen?

Gruß,
Rainer

Juergen Ilse

unread,
Dec 13, 2021, 2:14:23 AM12/13/21
to
Hallo,

Marcus Gloeder <m.gl...@gmx.de> wrote:
> Am 10.12.21 14:23, schrieb Walter H.:
>>On 10.12.2021 14:06, Jens Kallup wrote:
>>> wenn ich in |N bleibe, dann kann doch jedes dieser Objekte eine
>>> Quadratzahl sein.
>>es kann auch jedes dieser Objekte eine Primzahl sein, davon gibt es
>>nämlich mehr;
>
> Hallo alle zusammen,
>
> es soll mehr Primzahlen als Quadratzahlen geben? Das widerspricht meinem
> Verständnis (jedenfalls bis jetzt).

Von beiden gibt es abzaehlbar unendlich viele (sprich die Menge der
Primzahlen, die Menge der uadratzahlen und die Mennge der natuerlichen
Zahlen haben die *selbe* Maechtigkeit).

Allerdings ist die "asymptotische Dichte der Primzahlen" und die
"asymptotische Dichte der Quadratzahlen" moeglicherweise unterschiedlich
(d.h. die Grenzwerte fuer n gegen unendlich von "Anzahl Primzahlen kleiner
n" und "Anzahl natuerlicher Zahlen kleiner n" bzw. "Anzahl der Quadratzahlen
kleiner n" und "Anzahl natuerlicher Zahlen kleiner n" sind moegloicherweise
unterschiedlich). Die "asymptomatischen Dichten" haben aber nicht unbedingt
etwas mit einer "Anzahl Elemente" von unendlichen Mengen zu tun.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Marcus Gloeder

unread,
Dec 13, 2021, 4:10:03 AM12/13/21
to
Am 13.12.21 07:54, schrieb Rainer Rosenthal:
>Hallo Marcus,

Hallo Rainer,

vielen Dank für Deine Antwort. Du schreibst:

>wenn Fritz drei Steaks gegessen hat und Heinz drei Erbsen, wer hat dann
>mehr gegessen?

Das ist ein schönes Beispiel, weil es zeigt, dass das Wort »mehr«
verschiedene Bedeutungen haben kann. Die Anzahl der Erbsen und die Anzahl
der Steaks ist gleich hoch. Trotzdem wird Fritz verfetten und Heinz
verhungern, wenn das fortgesetzt geschieht.

In dem Posting, aus dem Du zitierst, hatte ich an anderer Stelle (vom Inhalt
her) geschrieben, dass ich unterschiedliche Bedeutungen für »mehr« nicht
für problematisch halte, solange sich die behandelten Fragen auf
verschiedene theoretische Ebenen beziehen (es also um etwas anderes geht).

Wenn ein und dieselbe Frage in ein und demselben Sinne behandelt wird, ist
es im wissenschaftlichen Kontext aber notwendig, Begriffe so zu verwenden,
dass ihre Bedeutung eindeutig und angebbar ist. Darin unterscheidet sich
Wissenschaftssprache von Umgangssprache. Diese eindeutige Bedeutung kann
durch Definition oder Begriffsexplikation hergestellt werden.

>Gruß,
>Rainer

Martin Vaeth

unread,
Dec 13, 2021, 4:22:58 AM12/13/21
to
Hans CraueI <crauel...@freenet.de> schrieb:
> Man sollte besser gleich mit limsup sowie liminf arbeiten
> und beide Werte einbeziehen.

Das war ja auch mein Vorschlag.

> Welchen Begriff würde man bei limsup = infty und liminf = 0 nehmen?

Gar keinen. Nur liminf > 1 oder limsup < 1 ermöglichen einen
sinnvollen quantitativen Vergleich. Für die stärkere Vergleichsform
(für die ich mittlerweile für den Begriff "mehr/weniger wachsend"
plädiere) sogar nur, wenn liminf = \infty oder limsup = 0,
also wenn tatsächlich lim = \infty bzw. lim = 0 uneigentlich
bzw. eigentlich existiert.

Martin Vaeth

unread,
Dec 13, 2021, 4:25:37 AM12/13/21
to
Marcus Gloeder <m.gl...@gmx.de> wrote:
> Hallo alle zusammen,
>
> am 12.12.21 12:39, schrieb Martin Vaeth:
>>Um das noch etwas zu klären: Wenn man keinerlei Struktur über die
>>Mengen kennt, nimmt man üblicherweise nur die Mächtigkeit. In anderen
>>Fällen gibt es zahlreiche Definitionen für "mehr".
>
> Meinem Verständnis nach ist es dann allerdings so, dass entweder beweisbar
> sein sollte, dass alle Definitionen zu demselben Ergebnis führen, oder dass
> es verschiedene Bedeutungen für und damit verschiedene Begriffe von »mehr«
> gibt, die auf verschiedenen theoretischen Ebenen liegen (also verschiedene
> Fragen behandeln). Die theoretischen Ebenen müssten dann aber sauber
> voneinander getrennt werden werden, das heißt es müsste immer genau gesagt
> werden können, welche theoretische Frage jetzt beantwortet werden soll und
> inwiefern sich diese von anderen Fragen unterscheidet.

Letzteres ist der Fall: In Veröffentlichungen wird das meist definiert
(außer der Kontext schafft einen eindeutigen Bezug).

Marcus Gloeder

unread,
Dec 13, 2021, 4:34:45 AM12/13/21
to
Hallo alle zusammen,

am 13.12.21 10:25, schrieb Martin Vaeth:

>Letzteres ist der Fall: In Veröffentlichungen wird das meist definiert
>(außer der Kontext schafft einen eindeutigen Bezug).

Danke für die Antwort. Das klärt einiges!

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 13, 2021, 5:37:57 AM12/13/21
to
Am 13.12.2021 um 11:01 schrieb Walter H.:
>
> ich hab bei etwas mehr als 10^12 aufgehört zu suchen; wobei interessant,
> hat man einen gefunden, dann kann der nächste erst bei einem vielfachen
> von 210 später liegen;
>
Da möchte ich Dich auf mein gestriges Posting (12.12.2021, 12:53)
hinweisen, in dem ich über Primahl-Leitern geschrieben und damit knapp
das Thema verfehlt hatte.

Die Zahl 210 taucht nicht ganz zufällig hier auf, weil der
"Sprossenabstand" von Primzahl-Leitern ein 'primorial' ist.

210 = 2*3**5*7 = 7#.

Gruß,
Rainer

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 13, 2021, 1:57:56 PM12/13/21
to
Am 13.12.2021 um 19:45 schrieb Walter H.:
> On 13.12.2021 11:37, Rainer Rosenthal wrote:

>> Die Zahl 210 taucht nicht ganz zufällig hier auf, weil der
>> "Sprossenabstand" von Primzahl-Leitern ein 'primorial' ist.
>
> bei den Vierlingen ist er aber nur 30;
>
Wo ist das Problem? 30 = 2*3*5 = 5# ist doch ein 'primorial'.

Gruß,
Rainer


Ulrich Diez

unread,
Dec 13, 2021, 2:08:24 PM12/13/21
to
Rainer Rosenthal schrieb:

> man muss präzisieren, was man mit "mehr" meint, bevor man Aussagen
> darüber mit wahr oder falsch bewerten kann.

Das ist wohl so.

> Im Satz "es gibt mehr Primzahlen als Quadratzahlen" ist "mehr" in
> folgender Weise gemeint.
> Schau Dir die ersten 100 nichtnegativen ganzen Zahlen an.
> Wieviele Quadratzahlen gibt es da? 10, in Worten: 10.
> Wieviele Primzahlen gibt es da? 25, in Worten: fünfundzwanzig.
>
> Jetzt schau Dir die ersten 1000 natürlichen Zahlen an und beantworte die
> ensprechenden Fragen. Dann ist das Verhältnis Quadratzahlen/Primzahlen
> nicht mehr 10/25 = 2/5, sondern 31/168.
>
> Hier die Verhältnisse von 10^1 bis 10^7:
>
> 3/4, 2/5, 31/168, 100/1229, 79/2398, 500/39249, 3162/664579.

Das Nette an dieser Sorte von Betrachtungen ist, dass sie geeignet
sind, Anfänger zum Begehen von Irrtümern zu verleiten wenn man
die Anfänger auffordert, die Betrachtungen selbst anzustellen.
Aus der Klärung der Irrtümer wiederum kann dann viel gelernt werden.

Lustigerweise ist die Asymptotische Dichte sowohl der Primzahlen
als auch der Quadratzahlen gleich Null.

Bzw

lim_{n -> oo}{(Anzahl an Primzahlen kleiner oder gleich n) / n}
= lim_{n -> oo}{(Anzahl an Quadratzahlen kleiner oder gleich n) / n}
= 0.

Um Verwirrung zu stiften könnte man also die Leute um sich herum
zu allen möglichen Irrtümern verleiten indem man harmlos fragt:

Inwieweit kann man allein aus dem Umstand, dass diese beiden
asymptotischen Dichten jeweils gleich Null sind, auf

lim_{n -> oo}{(Anzahl an Quadratzahlen kleiner oder gleich n) / (Anzahl an Primzahlen kleiner oder gleich n)}

schliessen?

Mich dumm stellend könnte ich irrig argumentieren:
Wenn Zähler und Nenner gegen die selbe Zahl, nämlich 0, konvergieren,
dann müsste der Bruch insgesamt gegen 1 konvergieren. :->



Um noch mehr Verwirrung zu stiften, könnte man noch feststellen,
dass jede _ungerade_ Primzahl so als Differenz zweier direkt
aufeinander folgender Quadratzahlen geschrieben werden kann,
dass es sich bei der größeren Quadratzahl um den Minuenden
handelt, umgekehrt aber nicht jede Differenz zweier direkt
aufeinanderfolgender Quadratzahlen, bei der die größere Quadratzahl
den Minuenden darstellt, eine Primzahl ergibt.

Beispielsweise ist 7 prim. Und: 7= (4)^2 - (3)^2.
Beispielsweise ist (8)^2 - (7)^2 = 15 = 3*5 nicht prim.

( 7 ist prim und ungerade und die (7+1)/2-te=4-te ungerade Zahl.
4^2 = 1+3+5+7 ist die Summe der ersten 4 positiven ungeraden Zahlen.
3^2 = 1+3+5 ist die Summe der ersten 3 positiven ungeraden Zahlen.)

Wenn es in der einen Richtung immer geht, man also jeder ungeraden
Primzahl genau ein Zahlenpaar, bestehend aus zwei direkt aufeinander
folgenden Quadratzahlen zuordnen kann, deren Differenz diese Primzahl ergibt,
oder auch jeder ungeraden Primzahl zB nur die kleinere dieser beiden
Quadratzahlen zuordnen kann, es in der anderen Richtung aber nicht immer
geht, man also nicht davon ausgehen kann, dass man einer Quadratzahl
eine ungerade Primzahl zuordnen kann, indem man die Differenz zur
nachfolgenden Quadratzahl berechnet, dann muss es doch mehr Quadratzahlen
als ungerade Primzahlen geben, oder? :->>

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

Juergen Ilse

unread,
Dec 13, 2021, 2:26:30 PM12/13/21
to
Hallo,

Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote:
> wenn Fritz drei Steaks gegessen hat und Heinz drei Erbsen, wer hat dann
> mehr gegessen?

Das kommt darauf an, was man als "Mass" verwendet: Nimmt man als Mass
die "Stueckzahl verzehrter Dinge", haben beide gleichviel gegessen,
nimmt man die Masse oder das Volumen als Mass, hat Fritz mehr gegessen
(oder es waren *sehr* kleine Steaks oder *sehr* grosse Erbsen).

Aber unabhaengig davon, kann man wohl sagen, dass eine so einseitige
Ernaehrung wohl ungesund ist ...
;-)

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Rainer Rosenthal

unread,
Dec 13, 2021, 2:29:02 PM12/13/21
to
Am 13.12.2021 um 20:08 schrieb Ulrich Diez:
>
> Mich dumm stellend könnte ich irrig argumentieren:
> Wenn Zähler und Nenner gegen die selbe Zahl, nämlich 0, konvergieren,
> dann müsste der Bruch insgesamt gegen 1 konvergieren. :->
>
Hallo Ulrich,

ich sehe nicht so recht den Zusammenhang mit dem Thema, denn ist das
nicht einfach eine kleine Plauderei über 0/0?

Gruß,
RR

Ulrich Diez

unread,
Dec 13, 2021, 2:30:36 PM12/13/21
to
Jetzt hab ich vergessen, den Denkfehler einzubauen:

Ich schrieb:

> Lustigerweise ist die Asymptotische Dichte sowohl der Primzahlen
> als auch der Quadratzahlen gleich Null.
>
> Bzw
>
> lim_{n -> oo}{(Anzahl an Primzahlen kleiner oder gleich n) / n}
> = lim_{n -> oo}{(Anzahl an Quadratzahlen kleiner oder gleich n) / n}
> = 0.
>
> Um Verwirrung zu stiften könnte man also die Leute um sich herum
> zu allen möglichen Irrtümern verleiten indem man harmlos fragt:
>
> Inwieweit kann man allein aus dem Umstand, dass diese beiden
> asymptotischen Dichten jeweils gleich Null sind, auf
>
> lim_{n -> oo}{(Anzahl an Quadratzahlen kleiner oder gleich n) / (Anzahl an Primzahlen kleiner oder gleich n)}
>
> schliessen?
>
> Mich dumm stellend könnte ich irrig argumentieren:

Bei lim_{n -> oo}{(Anzahl an Quadratzahlen kleiner oder gleich n) / (Anzahl an Primzahlen kleiner oder gleich n)}

lässt sich der Bruch problemlos[1] mit (1/n) erweitern:

lim_{n -> oo}{(Anzahl an Quadratzahlen kleiner oder gleich n) / (Anzahl an Primzahlen kleiner oder gleich n)}
=
lim_{n -> oo}{(Anzahl an Quadratzahlen kleiner oder gleich n)*(1/n) / (Anzahl an Primzahlen kleiner oder gleich n)*(1/n)}
=
lim_{n -> oo}{(Anzahl an Primzahlen kleiner oder gleich n) / n} / lim_{n -> oo}{(Anzahl an Quadratzahlen kleiner oder gleich n) / n}

> Wenn Zähler und Nenner gegen die selbe Zahl, nämlich 0, konvergieren,
> dann müsste der Bruch insgesamt gegen 1 konvergieren. :->

[1] Den Fehler/Irrtum, bei Grenzwertrechnungen mit einer Nicht-Konstanten
zu erweitern, habe ich oft gesehen.

Ulrich

Ulrich Diez

unread,
Dec 13, 2021, 2:53:34 PM12/13/21
to
Rainer Rosenthal schrieb:

> ich sehe nicht so recht den Zusammenhang mit dem Thema, denn ist das
> nicht einfach eine kleine Plauderei über 0/0?

Das Thema ist die Frage, was jemand meinen könnte wenn er zB sagt,
es gibt mehr Quadratzahlen als Primzahlen, bzw durch welche Irrtümer
er zu dem Schluss kommen könnte.

Eine Sache, die mir da oft begegnet ist, sind Fehler in den
Grenzwertrechnungen, zB fröhliches Erweitern von Brüchen
mit Termen, deren Wert von den Variablen der Bildungsvorschrift
für die Folgenglieder abhängen.

Eine andere Sache ist die Annahme, die Existenz einer nicht-bijektiven
Zuordnung aller Elemente der einen Menge zu Elementen der anderen
Menge beweise, dass die Mengen unterschiedlich viele Elemente haben.

Martin Vaeth

unread,
Dec 14, 2021, 3:21:25 PM12/14/21
to
Juergen Ilse <ne...@usenet-verwaltung.de> schrieb:
>
> Allerdings ist die "asymptotische Dichte der Primzahlen" und die
> "asymptotische Dichte der Quadratzahlen" moeglicherweise unterschiedlich

Es sind leider beide 0. Deswegen muss man den Quotienten schon *vor* dem
Grenzübergang bilden, um einen sinnvollen Vergleich anstellen zu können.

Juergen Ilse

unread,
Dec 15, 2021, 9:35:58 PM12/15/21
to
Hallo,
OOPS! Da hast du natuerlich recht ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)
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