Aktuale und potentielle Unendlichkeit (TH14)

[Rainer Rosenthal]

Am 31.12.2022 um 16:41 schrieb Ganzhinterseher
im Thread "Die achte Erklärung // TH13 Hilberts Hotel":
>
WM: Im Folgenden wird am Beispiel von Cantors Abbildung zwischen
WM: natürlichen Zahlen und positiven Brüchen bewiesen, dass seine
WM: Sichtweise aktual unendlicher Mengen die Existenz von nicht
WM: individuell verwendbaren Zahlen impliziert.

Das Einzige, was Du beweist, ist Deine Unfähigkeit, Texte mit Verstand
zu lesen. Hier ist Cantors Sichtweise (siehe auch mehr dazu in [1]):

"Das potentiale Unendliche [ist] nur Hilfs- und Beziehungsbegriff und
[weist] stets auf ein zugrunde liegendes /transfinitum/ hin, ohne
welches es weder sein noch gedacht werden kann."

Klartext: schieb Dir Dein potentiell Unendliches sonstwo hin.
Es ist eine Wischiwaschi, das das wahre Unendlich verschleiert.
Insbesondere: unendliche Mengen sind aktual unendlich.
Eine 'potentiell unendliche Menge' ist hirnloses Gebrabbel, aber Du
Witzbold redest sogar von 'Komplement einer potentiell unendlichen
Menge' [2]. Die Markierung TH10, die ich damals Deinen Ausrutschern beim
Umgang mit der leeren Menge gewidmet habe, soll weiterhin dafür
reserviert bleiben. Es ist an der Zeit, im Kästchen mit der Aufschrift
TH14 zu sammeln, was Du alles an blühendem Unsinn zusammenstotterst,
wenn Du über das 'aktual Unendliche' und das 'potentiell Unendliche'
referierst. Bitte immer schön konkret bleiben, dann kriegen wir das
Kästchen bald voll!

Gruß,
RR

[1] Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und
philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit
Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor-Dedekind.
Herausgegeben von Ernst Zermelo, nebst einem Lebenslauf Cantors von
Adolf Fraenkel
Berlin, Verlag von Julius Springer
Reprint Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1980

Seite 391:
"Daher irrt Wundt auch darin, wenn er glaubt, das Transfinitum habe
keine physikalische Bedeutung, wohl aber das potentiale Unendliche;
streng genommen ist das *Gegenteil* hiervon richtig, weil das potentiale
Unendliche nur Hilfs- und Beziehungsbegriff ist und stets auf ein
zugrunde liegendes /transfinitum/ hinweist, ohne welches es weder sein
noch gedacht werden kann."

Seite 393 besonders bildhaft und schön:
"Die /weite Reise/, welche Herbart seiner "wandelbaren Grenze"
vorschreibt, ist eingestandenermaßen nicht auf einen endlichen Weg
beschränkt; so muss denn ihr Weg ein unendlicher, und zwar, weil er
seinerseits nichts Wandelndes, sondern überall fest ist, ein
aktualunendlicher Weg sein. Es fordert also jedes potentiale Unendliche
(die wandelnde Grenze) ein Transfinitum (den sichern Weg zum Wandeln)
und kann ohne letzteres nicht gedacht werden (man vgl. hiermit Abschnitt
5 V und VII 7 dieser Abhandlung)."
[und nun bezaubernd malerisch:]
#######################################################################
"Da wir uns aber durch unsere Arbeiten der breiten Heerstraße des
Transfiniten versichert, sie wohl fundiert und sorgsam gepflastert
haben, so öffnen wir sie dem Verkehr und stellen sie als eiserne
Grundlage, nutzbar allen Freunden des potentialen Unendlichen, im
besonderen aber der wanderlustigen Herbartschen "Grenze" bereitwillig
zur Verfügung; gern und ruhig überlassen wir die rastlose der
Eintönigkeit ihres durchaus nicht beneidenswerten Geschicks; wandle sie
nur immer weiter, es wird ihr von nun an nie mehr der Boden unter den
Füßen schwinden. Glück auf die Reise!"
#######################################################################

[2] Am 03.11.2022 um 11:45 schrieb Ganzhinterseher
im Thread "Grundlegendes aus dem Bereich der Mengenlehre (2)":
WM: Nein, in einer potentiell unendlichen Kollektion, wie den
WM: Peanoschen natürlichen Zahlen gibt es keine größte Zahl.
WM: Deswegen gibt es im Komplement auch keine kleinste.
WM: Deswegen ist es dunkel.
(Ausgangspunkt zu TH10 am 03.11.2022, 14:36, im Thema "Das Komplement
einer potentiell unendlichen Menge // TH10 (die leere Menge)")

[JVR]

Es besteht kein Grund, warum Mücke nicht die Begriffe 'potentiell' und 'aktual'
unendlich einführen darf - vorausgesetzt, dass er diese Begriffe klar definiert.

Hier im Usenet darf er natürlich auch palavern, ohne irgendwelche Begriffe
zu definieren; ohne Axiome; ohne Theoreme; ohne Beweise. Das nennt man
dann pseudo-mathematische Polemik, oder polemische Pseudo-Mathematik.

Der Mann ist krank. Lass dich nicht von ihm irritieren.

[Fritz Feldhase]

On Sunday, January 1, 2023 at 2:40:37 AM UTC+1, JVR wrote:

> Es besteht kein Grund, warum Mücke nicht die Begriffe 'potentiell' und 'aktual'

> unendlich einführen darf [...]

Nur, dass *er* sie eben nicht "eingeführt" hat.

Häufig bringt er in diesem Zusammenhang Zitate irgendwelcher Leute (insbesondere von Cantor).

[JVR]

Ja, so ist es. Da die Begriffe 'potentiell' und 'aktuell' in der heutigen Mathematik keine
allgemein anerkannte Bedeutung haben, kann er zwecks Usenet-Palaver ruhig eine
Privatversion bringen.
Das wichtigste Werkzeug der Wissenschafts-Quacksalber ist aber der Neologismus,
d.h. undefinierte Begriffsbildungen. Ohne das wären seine Nebelkerzen viel weniger nebulös.

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Samstag, 31. Dezember 2022 um 21:11:08 UTC+1:
> Am 31.12.2022 um 16:41 schrieb Ganzhinterseher
> im Thread "Die achte Erklärung // TH13 Hilberts Hotel":
> >
> WM: Im Folgenden wird am Beispiel von Cantors Abbildung zwischen
> WM: natürlichen Zahlen und positiven Brüchen bewiesen, dass seine
> WM: Sichtweise aktual unendlicher Mengen die Existenz von nicht
> WM: individuell verwendbaren Zahlen impliziert.
>

> Hier ist Cantors Sichtweise (siehe auch mehr dazu in [1]):

Es geht um folgenden Aspekt von Cantors Sichtweise: Alle natürlichen Zahlen sind geeignet, alle Brüche zu nummerieren, so dass jeder einmal drankommt.

Die Menge der natürlichen Zahlen n ist eine echte Teilmenge der Menge aller positiven Brüche. Die Brüche haben also mehr Realität als die natürlichen Zahlen. Es gibt genau |ℕ|*(|ℕ|-1) mehr Brüche als natürliche Zahlen. Eine Bijektion zeigt aber, dass in der Bijektion genau so viele Brüche wie natürliche Zahlen existieren. Es gibt bei vollständiger Bijektion keinen einzigen Bruch ohne natürliche Zahl als Index. Es gibt keinen einzigen überzähligen Bruch. Also muss durch die Bijektion die Anzahl überzähliger Brüche von |ℕ|*(|ℕ|-1) auf 0 schrumpfen.

Cantor hat Folgendes leider nicht erkannt: Wenn alle Brüche einschließlich aller natürlichen Zahlen mit allen natürlichen Zahlen nummeriert worden sind, dann ist die Menge der Brüche am Ende wohlgeordnet. Dann besitzt auch die Menge derjenigen Brüche ein erstes Element, in der der Schrumpfungsprozess erfolgt

Ein solches Element lässt sich aber nicht finden. Für alle auffindbaren Paare von Bruch und Index ist die Anzahl der überzähligen Brüche konstant |ℕ|*(|ℕ|-1), von Anfang an unverändert. Also ist eine auffindbare Indizierung für sie unmöglich.

Gruß, WM

[JVR]

Wiki-Diagnose:

Eingeengtes Denken oder Gedankenarmut
------------------------------------------------------------------
Hier sind der inhaltliche Denkumfang und die geistige Flexibilität eingeschränkt. Das eingeengte Denken ist fixiert auf einige wenige Bewusstseinsinhalte und die Gedanken kreisen um nur wenige Themen. Es fehlt ein Überblick und verschiedene Gesichtspunkte können nicht einbezogen werden. Der Wortschatz ist verringert und teilweise können auch Gedächtnisinhalte verlorengegangen sein. Trotz Angeboten kann der Betroffene das Thema nicht oder nur schwer wechseln. Patienten können das als ein Nicht-Loskommen von bestimmten Gedanken wahrnehmen.

Bei Gedankenarmut oder Gedankenleere enthält das Denken zu wenige Inhalte und ist verbindungsarm, ideenlos und ohne Einfälle. Dies kann sowohl durch den Betroffenen selbst als auch durch einen Untersucher beobachtet werden. Vorkommen ist möglich bei bestimmten Formen der Schizophrenie (z. B. Schizophrenia simplex) oder schizoider Persönlichkeitsstörung, aber auch bei Demenz, schwerer depressiver Denkhemmung und Zwangsstörungen.

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Sonntag, 1. Januar 2023 um 12:47:21 UTC+1:
> On Sunday, January 1, 2023 at 10:17:06 AM UTC+1, Fritz Feldhase wrote:

> > Nur, dass *er* sie eben nicht "eingeführt" hat.
> >
> > Häufig bringt er in diesem Zusammenhang Zitate irgendwelcher Leute (insbesondere von Cantor).

Und die sind Dir u hoch?

> Ja, so ist es. Da die Begriffe 'potentiell' und 'aktuell' in der heutigen Mathematik keine
> allgemein anerkannte Bedeutung haben

Warum hat sich das so geändert? Weil sich herausstellt, dass andernfalls die Matheologie keinen Bestand haben kann.

> Das wichtigste Werkzeug der Wissenschafts-Quacksalber ist aber der Neologismus,
> d.h. undefinierte Begriffsbildungen. Ohne das wären seine Nebelkerzen viel weniger nebulös.

Du bist offensichtlich nicht belesen genug, um die allgemein bekannte Definition des potentiell Unendlichen zu kennen oder nicht intelligent genug, um sie zu verstehen. Aber mir ist gerade eine so simple eingefallen, dass Du Unverständnis allenfalls heucheln kannst.

Die Kollektion der Endsegmente
{E(k) : k ∈ ℕ_def} ,
die einen unendlichen Schnitt ergeben,
∀k ∈ ℕ_def: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = ℵ₀
ist potentiell unendlich.

Du lernst das am besten, indem Du versuchst, welche hinzuzufügen, um das Ergebnis zu ändern. Aber nur einzelne verwenden! Kollektiv ginge das nämlich schon:
∩{E(k) : k ∈ ℕ} = { } .

Übrigens darf man die definierbaren Endsegmente auch aus dem Schnitt aller Endsegmente fortlassen, ohne das Ergebnis zu ändern:
∀k ∈ ℕ_def: ∩{E(k+1), E(k+2), E(k+3), ...} = ℵ₀ .
Versuche es! Du wirst damit die potentielle Unendlichkeit leicht begreifen.

Es gibt also in den natürlichen Zahlen zwei unterschiedliche Bestandteile: Einen vergleichsweise kleinen Bestandteil ℕ_def und einen riesigen Rest - groß wie ein Abgrund. Da hatte Cantor schon recht.

Gruß, WM

[JVR]

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Dienstag, 3. Januar 2023 um 10:54:11 UTC+1:
> On Tuesday, January 3, 2023 at 9:39:13 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > JVR schrieb am Sonntag, 1. Januar 2023 um 12:47:21 UTC+1:
> > > On Sunday, January 1, 2023 at 10:17:06 AM UTC+1, Fritz Feldhase wrote:
> >
> > > > Nur, dass *er* sie eben nicht "eingeführt" hat.
> > > >
> > > > Häufig bringt er in diesem Zusammenhang Zitate irgendwelcher Leute (insbesondere von Cantor).

> > Und die sind Dir zu hoch?

> > > Ja, so ist es. Da die Begriffe 'potentiell' und 'aktuell' in der heutigen Mathematik keine
> > > allgemein anerkannte Bedeutung haben
> > Warum hat sich das so geändert? Weil sich herausstellt, dass andernfalls die Matheologie keinen Bestand haben kann.
> > > Das wichtigste Werkzeug der Wissenschafts-Quacksalber ist aber der Neologismus,
> > > d.h. undefinierte Begriffsbildungen. Ohne das wären seine Nebelkerzen viel weniger nebulös.
> > Du bist offensichtlich nicht belesen genug, um die allgemein bekannte Definition des potentiell Unendlichen zu kennen oder nicht intelligent genug, um sie zu verstehen. Aber mir ist gerade eine so simple eingefallen, dass Du Unverständnis allenfalls heucheln kannst.
> >
> > Die Kollektion der Endsegmente
> > {E(k) : k ∈ ℕ_def} ,
> > die einen unendlichen Schnitt ergeben,
> > ∀k ∈ ℕ_def: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = ℵ₀
> > ist potentiell unendlich.
> >
> > Du lernst das am besten, indem Du versuchst, welche hinzuzufügen, um das Ergebnis zu ändern. Aber nur einzelne verwenden! Kollektiv ginge das nämlich schon:
> > ∩{E(k) : k ∈ ℕ} = { } .
> >
> > Übrigens darf man die definierbaren Endsegmente auch aus dem Schnitt aller Endsegmente fortlassen, ohne das Ergebnis zu ändern:
> > ∀k ∈ ℕ_def: ∩{E(k+1), E(k+2), E(k+3), ...} = ℵ₀ .
> > Versuche es! Du wirst damit die potentielle Unendlichkeit leicht begreifen.
> >
> > Es gibt also in den natürlichen Zahlen zwei unterschiedliche Bestandteile: Einen vergleichsweise kleinen Bestandteil ℕ_def und einen riesigen Rest - groß wie ein Abgrund. Da hatte Cantor schon recht.
> >

> Hier sind der inhaltliche Denkumfang und die geistige Flexibilität eingeschränkt.

Das weiß ich doch. Deswegen habe ich es ja so stark vereinfacht.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 03.01.2023 um 09:39 schrieb Ganzhinterseher:
> JVR schrieb am Sonntag, 1. Januar 2023 um 12:47:21 UTC+1:
>
>> Ja, so ist es. Da die Begriffe 'potentiell' und 'aktuell' in der heutigen Mathematik keine
>> allgemein anerkannte Bedeutung haben
>
> Warum hat sich das so geändert?
>

Es hat sich schon vor längerer Zeit geändert, als Cantor darauf
hingewiesen hat [1], dass mathematisch relevant einzig und allein das
aktual Unendliche ist, welches das das "zugrundeliegende transfinitum" ist:

"Das potentiale Unendliche [ist] nur Hilfs- und Beziehungsbegriff und
[weist] stets auf ein zugrunde liegendes /transfinitum/ hin, ohne
welches es weder sein noch gedacht werden kann."

Sobald das klar ist, sollte man in mathematischem Zusammenhang den
unnötigen Zusatz 'potentiell' oder 'aktual' weglassen. Nur
Nicht-Mathematiker wie Du klammern sich an Hilfsbegriffe und sind
trotzdem hilflos. Bereits im Startposting hatte ich dazu geschrieben:

Das Einzige, was Du beweist, ist Deine Unfähigkeit, Texte mit Verstand

zu lesen. Klartext: schieb Dir Dein potentiell Unendliches sonstwo hin.

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 3. Januar 2023 um 11:54:41 UTC+1:
> Am 03.01.2023 um 09:39 schrieb Ganzhinterseher:
> > JVR schrieb am Sonntag, 1. Januar 2023 um 12:47:21 UTC+1:
> >
> >> Ja, so ist es. Da die Begriffe 'potentiell' und 'aktuell' in der heutigen Mathematik keine
> >> allgemein anerkannte Bedeutung haben
> >
> > Warum hat sich das so geändert?
> >
> Es hat sich schon vor längerer Zeit geändert, als Cantor darauf
> hingewiesen hat [1],

Ich weise hierauf hin:

Die Kollektion der Endsegmente
{E(k) : k ∈ ℕ_def} ,

die zusammen einen unendlichen Schnitt ergeben,

∀k ∈ ℕ_def: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = ℵ₀
ist potentiell unendlich.

∩{E(k) : k ∈ ℕ_def} = ℵ₀ .

Kannst Du ein Endsegment definieren, das diesen Schnitt vermindert?
Also ausnahmsweise außer primitiver Polemik mal mathematisch argumentieren?

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, January 3, 2023 at 12:09:29 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> Ich weise hierauf hin:

saudummer Scheißdreck.

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 3. Januar 2023 um 12:05:47 UTC+1:

> | Menge der Endsegmente:
> |
> | {E(k) : k ∈ ℕ} .
> |
> | ∀k ∈ ℕ: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = ℵ₀ .

Das wäre mit Absolutstrichen sogar richtig, weil alle k ∈ ℕ mit endlichem Anfangsabschnitt (1, 2, ..., k) definierbar sind. Nur sollte man diese definierbaren natürlichen Zahlen k nicht mit allen natürlichen Zahlen k verwechseln (auch wenn wir denselben Buchstaben dafür gebrauchen).

∀k ∈ ℕ: (∃ (1, 2, 3, ..., k) ==> k ∈ ℕ_def)

|∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀.

Wir sammeln einfach nur solange diese Gleichung gilt.

> |
> | ∩{E(k) : k ∈ ℕ} = { } .
> |

> | ∀k ∈ ℕ: ∩{E(k+1), E(k+2), E(k+3), ...} = ℵ₀ .

Falsch.

∀k ∈ ℕ: ∩{E(k+1), E(k+2), E(k+3), ...} = { }
>
> Gut, dass wir darüber gesprochen haben,

Ja, das war wohl nötig.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, January 3, 2023 at 9:39:13 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> <blubber> Kollektion der Endsegmente <Blubber>
>
> {E(k) : k ∈ ℕ_def}
>
> <blubber>
>
> ∀k ∈ ℕ_def: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = ℵ₀ [ << falsch ]
>
> <blubber>

>
> ∩{E(k) : k ∈ ℕ} = { } .
>

> <blubber>
>
> ∀k ∈ ℕ_def: ∩{E(k+1), E(k+2), E(k+3), ...} = ℵ₀ . [ << falsch ]

Und jetzt nochmal ganz blubber-frei (aber ohne undefinierte Begriffe und korrigiert):

| Menge der Endsegmente:
|
| {E(k) : k ∈ ℕ} .
|

| ∀k ∈ ℕ: |∩{E(1), E(2), ..., E(k)}| = ℵ₀ .

|
| ∩{E(k) : k ∈ ℕ} = { } .
|

| ∀k ∈ ℕ: ∩{E(k+1), E(k+2), E(k+3), ...} = { } .

Gut, dass wir darüber gesprochen haben, Mückenheim.

[Rainer Rosenthal]

Am 03.01.2023 um 12:09 schrieb Ganzhinterseher:
> Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 3. Januar 2023 um 11:54:41 UTC+1:
>> Am 03.01.2023 um 09:39 schrieb Ganzhinterseher:
>>> JVR schrieb am Sonntag, 1. Januar 2023 um 12:47:21 UTC+1:
>>>
>>>> Ja, so ist es. Da die Begriffe 'potentiell' und 'aktuell' in der heutigen Mathematik keine
>>>> allgemein anerkannte Bedeutung haben
>>>
>>> Warum hat sich das so geändert?
>>>
>> Es hat sich schon vor längerer Zeit geändert, als Cantor darauf
>> hingewiesen hat [1],
>
> Ich weise hierauf hin:

> ...

> Also ausnahmsweise außer primitiver Polemik mal mathematisch argumentieren?
>

Du hattest gefragt, warum sich etwas geändert habe. Ich habe es Dir
erklärt. Was soll Dein Posting in diesem Zusammenhang bedeuten?

Ich kann es Dir gerne polemisch erklären:
"Dein inhaltlicher Denkumfang und Deine geistige Flexibilität sind
eingeschränkt".

Gruß,
RR

[Andreas Leitgeb]

Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> wrote:
> Und jetzt nochmal ganz blubber-frei (und ohne undefinierte Begriffe):

>| Menge der Endsegmente:
>| {E(k) : k ∈ ℕ} .

>| ∀k ∈ ℕ: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = ℵ₀ .

>| ∩{E(k) : k ∈ ℕ} = { } .

>| ∀k ∈ ℕ: ∩{E(k+1), E(k+2), E(k+3), ...} = ℵ₀ .

blubber-frei? Dafür fehlen noch die |...| im Vergleich mit ℵ₀

Außerdem wäre die letzte der obigen Zeilen auch mit richtig
gesetzten |...| immernoch falsch, weil = 0, nicht = ℵ₀ .

[Fritz Feldhase]

Du bist ein echter Blitzmerker!

Hinweis: Ich habe gesagt: "blubber-frei", nicht "korrekt".

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, January 3, 2023 at 1:03:37 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 3. Januar 2023 um 12:05:47 UTC+1:

Nachdem wir Deinen Unsinn entsorgt bzw. korrigiert haben, bleibt also:

| Die Menge der Endsegmente: {E(k) : k ∈ ℕ} .

|
| ∀k ∈ ℕ: |∩{E(1), E(2), ..., E(k)}| = ℵ₀ .
|

| ∩{E(k) : k ∈ ℕ} = { } .
|

| ∀k ∈ ℕ: ∩{E(k+1), E(k+2), E(k+3), ...} = { } .

> > Gut, dass wir darüber gesprochen haben.

> >
> Ja, das war wohl nötig.

In der Tat. Den Scheißdreck, den Du geschrieben hast, kannst Du selbst korrigieren.

[Rainer Rosenthal]

Am 31.12.2022 um 21:11 schrieb Rainer Rosenthal:

> Hier ist Cantors Sichtweise:

>
> "Das potentiale Unendliche [ist] nur Hilfs- und Beziehungsbegriff und
> [weist] stets auf ein zugrunde liegendes /transfinitum/ hin, ohne
> welches es weder sein noch gedacht werden kann."
>

Nachtrag:
WM *plappert* über das potentiell Unendliche. Das ist keineswegs im
Widerspruch zu Cantors Aussage. Erst wenn einer über das potentiell
Unendliche zu *denken* beginnt, muss er erkennen, dass es das aktual
Unendliche gibt.

WM: Ich würde es nicht als ein Muss bezeichnen, weil wir uns heutzutage
WM: nicht allein auf gepflasterten Straßen bewegen. Aber es ist schon
WM: okay, das aktual Unendliche zu vermuten.
WM: Leider verstehen die meisten dabei nur Bahnhof. Zum Beispiel, wenn
WM: ich sie auffordere, alle Zahlen zu sammeln, für die
WM: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo gilt. Dann kommen sie immer ins
WM: Zittern und lassen am Ende nichts übrig.

Wie gesagt: es ging ums *Denken* und nicht ums *Plappern*.

Um Dir eine Denkhilfe zu geben:
Immer, wenn Du von Sammeln, Wegnehmen, Prüfen, Bestimmen usw. sprichst,
also von irgendwelchen Tätigkeiten, die sich auf die natürlichen Zahlen
beziehen, ist das naturgemäß nur potentiell unendlich oft möglich.
Um aber die Möglichkeit des unbegrenzten Wegnehmens usw. zu haben, muss
es von dem Wegzunehmenden mehr geben, als je weggenommen werden kann.
Die natürlichen Zahlen sind aktual unendlich, alle schrittweisen
Manipulationen lediglich potentiell unendlich. Wenn Du also zu denken
anfangen möchtest, dann tue das!

Gruß,
RR

(*) Thread "Wenn Hilbert mit Cantor einen trinken geht ..."
am Donnerstag, 5. Januar 2023(*)

[WM]

Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 6. Januar 2023 um 19:53:10 UTC+1:
> Am 31.12.2022 um 21:11 schrieb Rainer Rosenthal:

> WM: Ich würde es nicht als ein Muss bezeichnen, weil wir uns heutzutage
> WM: nicht allein auf gepflasterten Straßen bewegen. Aber es ist schon
> WM: okay, das aktual Unendliche zu vermuten.
> WM: Leider verstehen die meisten dabei nur Bahnhof. Zum Beispiel, wenn
> WM: ich sie auffordere, alle Zahlen zu sammeln, für die
> WM: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo gilt. Dann kommen sie immer ins
> WM: Zittern und lassen am Ende nichts übrig.
>

> Immer, wenn Du von Sammeln, Wegnehmen, Prüfen, Bestimmen usw. sprichst,
> also von irgendwelchen Tätigkeiten, die sich auf die natürlichen Zahlen
> beziehen, ist das naturgemäß nur potentiell unendlich oft möglich.

Richtig! Sehr gut beobachtet! Es wird aber behauptet, es sei aktual unendlich oft möglich. Natürlich ist das falsch.

Es lassen sich alsdann die Zahlen des Inbegriffes (), d. h. sämtliche algebraischen reellen Zahlen folgendermaßen anordnen: man nehme als erste Zahl 1 die eine Zahl mit der Höhe N = 1; lasse auf sie, der Größe nach steigend, die (2) = 2 algebraischen reellen Zahlen der Höhe N = 2 folgen, bezeichne sie mit 2, 3; an diese mögen sich die (3) = 4 Zahlen mit der Höhe N = 3, ihrer Größe nach aufsteigend, anschließen; allgemein mögen, nachdem in dieser Weise sämtliche Zahlen aus () bis zu einer gewissen Höhe N = N1 abgezählt und an einen bestimmten Platz gewiesen sind, die reellen algebraischen Zahlen mit der Höhe N = N1 + 1 auf sie folgen, und zwar der Größe nach aufsteigend; so erhält man den Inbegriff () aller reellen algebraischen Zahlen in der Form.

Das ist, wie ich auch in https://www.researchgate.net/publication/365605468_Proof_of_the_existence_of_dark_numbers_bilingual_version zeige, nur potentiell unendlich oft möglich.

> Die natürlichen Zahlen sind aktual unendlich, alle schrittweisen
> Manipulationen lediglich potentiell unendlich.

Ich glaub', jetzt hast Du's.

Das Sammeln aller Zahlen, die individuell angegeben werden können, ist eine schrittweise Manipulation. Leider behaupten viele Matheologen, sie könnten die Sammlung aller Zahlen, die |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo erfüllen, nicht von ℕ unterscheiden. Du kannst es nun!

Gruß, WM

[Carlo XYZ]

Fritz Feldhase wrote on 03.01.23 12:17:

> On Tuesday, January 3, 2023 at 12:09:29 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
>
>> Ich weise hierauf hin:
>
> saudummer Scheißdreck.

*gähn*

[Rainer Rosenthal]

Am 01.01.2023 um 19:41 schrieb Ganzhinterseher:
>
> Cantor hat Folgendes leider nicht erkannt: Wenn alle Brüche einschließlich aller natürlichen Zahlen mit allen natürlichen Zahlen nummeriert worden sind, dann ist die Menge der Brüche am Ende wohlgeordnet. Dann besitzt auch die Menge derjenigen Brüche ein erstes Element, in der der Schrumpfungsprozess erfolgt
>

Dein Verständnis von Mathematik kann nicht weiter schrumpfen :-)

Immerhin hast Du gerade wieder(*) hingeschrieben, was Du nicht
verstehst, was Dich aber "überrascht" hat:

WM:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Lies Dir die folgenden Zitate aus Cantors Korrepondenz aufmerksam durch.
Das aktual Unendliche ist FEST! Hilberts Hotel ebenso wie die Matrix B
können nur potentiell unendlich sein. Ich habe alle Zitate
zusammengestellt und bin echt überrascht, wie scharf Cantor schon die
verschiedenen Unendlichkeiten unterscheiden konnte. Ich werde demnächst
mal alle zusammen hier bringen.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Mit "hier" ist de Spielsalon-Thread "Reverse Billard" gemeint.
Wäre nicht dieser Thread (TH14) besser geeignet, konkret zu werden?

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Beginn der Zitatsammlung
>
> Cantor:
>
> so muß man vor allem den Gegensatz scharf ins Auge fassen, der
zwischen dem aktualen und dem potentialen Unendlichen besteht. Während
das potentiale Unendliche nichts anderes bedeutet als eine unbestimmte,
stets endlich bleibende, veränderliche Größe, die Werte anzunehmen hat,
welche entweder kleiner werden als jede noch so kleine, oder größer
werden als jede noch so große endliche Grenze, bezieht sich das aktuale
Unendliche auf ein in sich festes, konstantes Quantum, das größer ist
als jede endliche Größe derselben Art.
>
> Unterliegt es nämlich keinem Zweifel, daß wir die veränderlichen
Größen im Sinne des potentialen Unendlichen nicht missen können, so läßt
sich daraus auch die Notwendigkeit des Aktual-Unendlichen folgendermaßen
beweisen: damit eine solche veränderliche Größe in einer mathematischen
Betrachtung verwertbar sei, muß strenggenommen das "Gebiet" ihrer
Veränderlichkeit durch eine Definition vorher bekannt sein; dieses
"Gebiet" kann aber nicht selbst wieder etwas Veränderliches sein, da
sonst jede feste Unterlage der Betrachtung fehlen würde; also ist dieses
"Gebiet" eine bestimmte aktual-unendliche Wertmenge.
> So setzt jedes potentiale Unendliche, soll es streng mathematisch
verwendbar sein, ein Aktual-Unendliches voraus.
> Diese "Gebiete der Veränderlichkeit" sind die eigentlichen
Grundlagen der Analysis sowohl wie der Arithmetik und die verdienen es
daher in hohem Grade, selbst zum Gegenstand von Untersuchungen genommen
zu werden, wie dies von mir in der "Mengenlehre" (théorie des ensembles)
geschehen ist.
>
> Denn warum kann man nach jeder Gränze, die man sich in der
unendlichen Ausdehnung gesetzt hat, immer wieder weiter gehen? Weil
hinter jeder angebbaren Ausdehnung immer noch Ausdehnung ist. Ebenso
kann man über jede gedachte Zahl noch eine größere Menge sich nur
deshalb denken, weil die Menge tatsächlich keine Gränzen, kein Ende hat,
also wirklich unendlich ist. Der Geist schafft ja beim Weiterdenken
keine neue Ausdehnung, keine größere Menge, sondern erkennt sie bloß als
objektiv möglich an ... Der Gedanke der unbegränzten Zurückschiebbarkeit
der Gränzen wäre falsch, wenn nicht etwas im Hintergrund stände, was
thatsächlich und schon vor unserem Verschieben der Gränze ohne Ende,
ohne Gränze wäre; wäre solches nicht schon gegeben, so müßte entweder
bei jedem neuen Weitergehen der Geist erst das setzen, machen, was er
neu hinzunimmt, oder was dasselbe ist, da noch eine weitere Realität
denken, wo keine ist. Beides ist falsch.
>
> Um scholastisch zu reden: was weiterer Vermehrung fähig ist, ist in
potentia zu diesem weiteren actus, also ein potenzielles; fällt also
unter diesen Begriff. Ihr transfinitum könnte also hiernach nur eine
Unterabtheilung des gewöhnlich gelehrten potentiellen Infiniten sein.
>
> Dennoch kann das Transfinite nicht als eine Unterabtheilung dessen
angesehen werden, was man gewöhnlich "potentielles Unendliches" nennt.
Denn letzteres ist nicht (wie jedes individuelle Transfinite und
allgemein wie jedes Ding, das einer "Idea divina" entspricht) in sich
bestimmt, fest und unveränderlich, sondern ein in Veränderung
Begriffenes Endliches, das also in jedem seiner actuellen Zustände eine
endliche Größe hat; Wie beispielsweise die vom Weltanfang verflossene
Zeitdauer, welche, wenn man sie auf irgend eine Zeiteinheit, z. B. ein
Jahr, bezieht, in jedem Augenblicke endlich ist, aber immerzu über alle
endlichen Grenzen hinaus wächst, ohne jemals wirklich unendlich groß zu
werden.
> Vielleicht gelingt es mir, durch diese Erläuterung die letzten
Bedenken gegen das Transfinite zu beseitigen, nicht nur bei Ihnen,
sondern auch bei Anderen, welche sich für die Frage des Unendlichen
interessiren! Doch bin ich sehr gern und mit Freuden jederzeit bereit,
jede ferner gewünschte Aufklärung über diesen Gegenstand zu versuchen.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Ende der Zitatsammlung

Wie Cantor bereits bemerkt hat: "Nicht jeder kann Korinth erreichen".
Vielleicht liegt es bei Dir daran, dass Du seine Wegbeschreibung falsch
herum hältst?

Gruß,
RR

(*) 01.11.2023 um 09:28, Thread "Reverse Billard"

[Rainer Rosenthal]

Fürs Kästchen mit der Aufschrift TH14:
>
Am 21.11.2023 um 23:19 schrieb WM auf die Frage von Jens Kallup
im Thread "Mengen: fest, flüssig, gasförmig":
>>
>> - was sind eigentlich "dunkle" Zahlen ?
>
> Sie sind die aktuale Unendlichkeit, in der die potentielle Unendlichkeit
> existieren kann, indem sie diese oder jene dunke Zahl ans Licht bringt:
>
> Die weite Reise, welche Herbart seiner "wandelbaren Grenze" vorschreibt,
> ist eingestandenermaßen nicht auf einen endlichen Weg beschränkt; so muß

> denn ihr Weg ein unendlicher, und zwar, weil er seinerseits nichts
> Wandelndes, sondern überall fest ist, ein aktualunendlicher Weg sein. Es
> fordert also jedes potentiale Unendliche (die wandelnde Grenze) ein
> Transfinitum (den sichern Weg zum Wandeln) und kann ohne letzteres nicht

> gedacht werden. Da wir uns aber durch unsre Arbeiten der breiten

> Heerstraße des Transfiniten versichert, sie wohl fundiert und sorgsam
> gepflastert haben, so öffnen wir sie dem Verkehr und stellen sie als
> eiserne Grundlage, nutzbar allen Freunden des potentialen Unendlichen,
> im besonderen aber der wanderlustigen Herbartschen "Grenze"

> bereitwilligst zur Verfügung; gern und ruhig überlassen wir die rastlose

> der Eintönigkeit ihres durchaus nicht beneidenswerten Geschicks; wandle
> sie nur immer weiter, es wird ihr von nun an nie mehr der Boden unter

> den Füßen schwinden. Glück auf die Reise! [Cantor, p. 393]
>

Sehr schön konkret!
"dunkle Zahlen" sind die Zahlen, die WM nicht sehen kann.
Das ist natürlich sehr ärgerlich, wo er doch sonst alles kann.

Jetzt fehlt nur noch der Zusammenhang mit Mathematik.

Gruß,
RR

[WM]

man nicht einzeln erkennen kann.
Auf jede einzeln erkennbare natürliche Zahl folgen noch fast alle
natürlichen Zahlen:
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Will man tatsächlich alle natürlichen Zahlen manipulieren, zum Beispiel
von ℕ subtrahieren, wie das oben mit erkennbaren Zahlen geschehen ist,
dann muss man darauf verzichten, sie einzeln zu verwenden, schon weil
keine letzte einzeln erkennbar ist. Es geht aber kollektiv:
|ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = 0

> Jetzt fehlt nur noch der Zusammenhang mit Mathematik.

Den kann man sogar bei Normalsichtigkeit aus Cantors Text erkennen: Die
Herbartsche Grenze begrenzt die potentiell unendliche Kollektion
erkennbarer Zahlen. Die breite Heerstraße, sorgsam gepflastert, enthält
die Grundlage der potentiellen Unendlichkeit, die aktuale Unendlichkeit
aller natürlichen Zahlen. Sie endet bei omega. Aber das erkennt man
leichter, wenn man die Stammbrüche, die bei 0 enden, betrachtet.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 22.11.2023 um 13:51 schrieb WM:
> On 22.11.2023 11:32, Rainer Rosenthal wrote:
>>
>> Sehr schön konkret!
>> "dunkle Zahlen" sind die Zahlen, die
>
> man nicht einzeln erkennen kann.
> Auf jede einzeln erkennbare natürliche Zahl folgen noch fast alle

> natürlichen Zahlen ...

Das schrieb ich bereits, aber Du meintest, es weglöschen zu müssen:

>> Sehr schön konkret!

>> "dunkle Zahlen" sind die Zahlen, die WM nicht sehen kann.
>> Das ist natürlich sehr ärgerlich, wo er doch sonst alles kann.
>>

>> Jetzt fehlt nur noch der Zusammenhang mit Mathematik.

> Den kann man sogar bei Normalsichtigkeit aus Cantors Text erkennen:

Es geht um den Zusammenhang dessen, was Du gerade auseinandergerissen
hast, also um den Zusammenhang zwischen Mathematik und Deiner
Begriffsstutzigkeit.

> Die Herbartsche Grenze begrenzt die potentiell unendliche Kollektion
> erkennbarer Zahlen. Die breite Heerstraße, sorgsam gepflastert, enthält
> die Grundlage der potentiellen Unendlichkeit, die aktuale Unendlichkeit
> aller natürlichen Zahlen.

Das gilt weiterhin, selbst wenn es von Dir zitiert wird.
Mit der Normalsichtigkeit war es früher nicht so weit her bei Dir, weil
Du aktuale Unendlichkeit als Teufelszeug angesehen hattest.
Nachdem Du sie umbenannt hast in "dunkle Zahlen", findest Du sie aber
nun richtig schön. Immerhin weiß Jens nun Bescheid.

> Sie endet bei omega. Aber das erkennt man
> leichter, wenn man die Stammbrüche, die bei 0 enden, betrachtet.

Da erkennt man den pädagogisch einfühlsamen Mathematiklehrer. Es ist
zwar Blödsinn, war aber sicher gut gemeint.
Hinweis (auch als Warnung an Jens): die Straße endet NICHT!

Gruß,
RR

[Jens Kallup]

Am 2023-11-22 um 14:11 schrieb Rainer Rosenthal:
> Da erkennt man den pädagogisch einfühlsamen Mathematiklehrer. Es ist
> zwar Blödsinn, war aber sicher gut gemeint.
> Hinweis (auch als Warnung an Jens): die Straße endet NICHT!

naja... schaut mal...
vor 50 Jahren war die Euphorie über KI (künstliche Intelligenz) sehr
hoch, brachte aber keine Ergebnisse.
Heute (oder sagen wir lieber vor 2 Jahren), wo ChatGPT öffentlich zur
Show gestellt wurde, sind auch die Anwendungen, die KI nutzen, explosiv
gestiegen.
Ein Grund dafür ist, das man auf einmal die "naivität" oder soll ich
schreiben "leichtigkeit" ? der Implementierung dieser Programme, die
schon auf handelüblichen Computer-Maschienen laufen können, sehr schnell
vollzogen ist, weil man auch sehr schnell erkannt hat, das komplexe
Vorgänge auf frei Arten zurückführen kann, die untereinander sogar ge-
koppelt werden können:

- 1x Input
- 1x Input

- 1x Output.

Dabei wird bei den beiden Inputs ein Bias oder die Sigmund-Funktion an-
gewandt, um dann zu entscheiden, welcher Input das größere, oder aber
auch das kleinere Ergebnis zu bekommen.

Aber zurück (im Kontext mit obigen Text):

- Zeit t gibt es nicht => Sie ist eine Erfindung von Menschen
- auch oo gibt es nicht => es sagt ja nur aus, das "etwas" so groß ist,
dass es von der Mehrheit der Menschen nich faßbar ist, und
daher unzugänglich bleibt.
Es gibt ja auch den legeren Spruch: Nichts ist für die oo.
Aber dazu müsste man aber auch schreiben, das dieser Spruch
ein im Volkesmund gebräuchliches vorgehen ist, aber von dieser
Gruppe von Menschen nicht erklärt werden kann, und der
Empfänger dieser Nachricht (der Spruch) dann mit 90& tiger
Sicherheit dann lachen wird, eben weil er diesen Spruch nicht
greifen kann bzw. auch nicht faßen oder erklären kann.
Das ist ein sehr großes Problem an Schulen, wo komplexere
mathematische Strukturen erklärt werden, der Schüler aber dann
JA sagt, um zu signalisieren, das er es verstanden hat, oder
aber auch aus Verlegenheit lachen oder seufzen wird, weil eben
es nicht begreift ...

Jens

--
Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft.
www.avast.com

[WM]

On 22.11.2023 14:11, Rainer Rosenthal wrote:
> Am 22.11.2023 um 13:51 schrieb WM:
>
>> Sie endet bei omega. Aber das erkennt man leichter, wenn man die
>> Stammbrüche, die bei 0 enden, betrachtet.

> Hinweis (auch als Warnung an Jens): die Straße endet NICHT!
>

Welche Stammbrüche gibt es denn jenseits des Nullpunktes?

Gruß, WM

[Jens Kallup]

Am 2023-11-22 um 16:33 schrieb WM:
> Welche Stammbrüche gibt es denn jenseits des Nullpunktes?

das Problem scheint "nicht" mathematischer Natur, sondern
als physikalischer.

- als mathematisch: | -1 |
- als physikalisch:
* die Gravitation und Schwerkraft:
dort werden Punkte (in Form eines Lichtpartikels), von
ihrer "geradliniegen" laufende (mathematischer) Strecke
"abgelenkt".
Diese Ablenkung wird umso größer, je größer die Gravi-
tation bzw. Schwerkraft ist.

- beider Natur: Einfallswinkel = Ausfallwinkel
* wenn man zum Beispiel einen Laser nimmt, und dann einen
"idealen" Spiegel dazunimmt (der durchaus auch eine schiefe
Ebene haben kann), und auf der Nullinie einen Lichtstrahl
aussendet, so wird der Lichtstrahl wieder auf den Emitter
treffen (und im Falle eines Lasers, diesen Emitter zerstören).

Das ist natürlich nicht gewollt, weil ja zum Beispiel die Daten
die sich auf einen optop-Datenträger (wie zum Beispie eine CD)
befinden, gelesen werden sollen, dann muss der Lichtstrahl
"abgelenkt" werden.

Im Falle der CD kann (theoretisch) die CD vor- und zurück ab-
gespielt werden, was dann zu den Mengen-Set's:

| -1 | und: | 1 |

führt.
Das natürlich mathematisch wie auch physikalisch. Da aber eine
Schallplatte oder eine "statische" CD ihre "Rillen" nur in die
positive Richtung von oo erfolgen kann, dann ist für die
klassische Mathematik die Betrachtung von | -1 | also +1 +1...

Man kann natürlich den Kümmelspalter hier ansetzen, kommt wohl
dann auf's gleiche heraus.

[Rainer Rosenthal]

Vielleicht rabenschwarze?

Gruß,
RR

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, November 22, 2023 at 1:51:48 PM UTC+1, WM wrote:
> On 22.11.2023 11:32, Rainer Rosenthal wrote:

> Auf jede [...] natürliche Zahl folgen noch fast alle natürlichen Zahlen:

> ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Das drückt man besser so aus: ∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Btw. Was Du offenbar mit Deiner verunglückten Formel immer wieder zu sagen versuchst, drückt man besser so aus:

∀X ∈ ANF: |ℕ \ X| = ℵo

mit ANF = {{1, ..., n} : n e IN} .

Das X kann man nun als "unbestimmte, stets endlich bleibende, veränderliche Größe" deuten (wenn man sich noch der mehr als veralteten Ausdrucksweise Cantors befleißigen möchte).

Um weiter so zu sprechen: Kein X ist "aktual unendlich", aber ...

"so muß man vor allem den Gegensatz scharf ins Auge fassen, der zwischen dem aktualen und dem potentialen Unendlichen besteht. Während das potentiale Unendliche nichts anderes bedeutet als eine unbestimmte, stets endlich bleibende, veränderliche Größe [hier X], die Werte anzunehmen hat, welche [...] größer werden [können] als jede noch so große endliche [Menge], bezieht sich das aktuale Unendliche [hier --IN] auf ein in sich festes, konstantes Quantum, das größer ist als jede endliche Größe derselben Art."

"Unterliegt es nämlich keinem Zweifel, daß wir die veränderlichen Größen [hier speziell X] im Sinne des potentialen Unendlichen nicht missen können, so läßt sich daraus auch die Notwendigkeit des Aktual-Unendlichen folgendermaßen beweisen: damit eine solche veränderliche Größe [hier X] in einer mathematischen Betrachtung verwertbar sei, muß strenggenommen das "Gebiet" ihrer Veränderlichkeit durch eine Definition vorher bekannt sein; dieses "Gebiet" [hier IN bzw. ANF] kann aber nicht selbst wieder etwas Veränderliches sein, da sonst jede feste Unterlage der Betrachtung fehlen würde; also ist dieses "Gebiet" eine bestimmte aktual-unendliche Wertmenge.

So setzt jedes potentiale Unendliche, soll es streng mathematisch verwendbar sein, ein Aktual-Unendliches voraus.

Diese "Gebiete der Veränderlichkeit" [hier speziell IN bzw. ANF] sind die eigentlichen Grundlagen der Analysis sowohl wie der Arithmetik und die verdienen es daher in hohem Grade, selbst zum Gegenstand von Untersuchungen genommen zu werden, wie dies von mir in der "Mengenlehre" (théorie des ensembles) geschehen ist." (Cantor)

[Fritz Feldhase]

On Friday, January 6, 2023 at 7:53:10 PM UTC+1, Rainer Rosenthal wrote:

Weil ich zu faul bin, das herauszusuchen. Hier in Kommentar zu WMs Gelaber:

> WM: Ich würde es nicht als ein Muss bezeichnen, weil wir uns heutzutage
> WM: nicht allein auf gepflasterten Straßen bewegen. Aber es ist schon
> WM: okay, das aktual Unendliche zu vermuten.
> WM: Leider verstehen die meisten dabei nur Bahnhof. Zum Beispiel, wenn
> WM: ich sie auffordere, alle Zahlen zu sammeln, für die

> WM: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo gilt. Dann [...]

Sammeln heißt auf Englisch "to collect", also ist es "naheliegend", in diesem Zusammenhang die /collection/ (Menge, Klasse) aller n e IN zu betrachten, für die |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo gilt.*)

Das sogenannte Comprehension-Axiom (der ZFC) leistet hier gute Dienste: {n e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo}.

Man kann dann leicht zeigen, dass {n e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo} = IN gilt.

_______________________________________________

*) Ich beziehe mich hier auf einen abstrakten Begriffs des "Sammelns", den man viell. im Sinne Cantors besser als "zusammenfassen" bezeichnen sollte, nicht auf eine manuelle Tätigkeit im Sinne eines schrittweisen Prozesses, wie er/es viell. Herrn Mückenheim vorschweben mag.

Lit.: https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_schema_of_specification

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, November 22, 2023 at 2:11:03 PM UTC+1, Rainer Rosenthal wrote:
> Am 22.11.2023 um 13:51 schrieb WM:
> >
> > Die breite Heerstraße, sorgsam gepflastert, enthält die Grundlage der potentiellen Unendlichkeit, die aktuale Unendlichkeit aller natürlichen Zahlen.
> >

> [...] Mit der Normalsichtigkeit war es früher nicht so weit her bei Dir, weil Du aktuale Unendlichkeit als Teufelszeug angesehen hattest.

Eine bemerkenswerte Veränderung seines Standpunkts.

Allerdings behauptet er weiterhin, dass die Mengenlehre der Einführung seiner "dunklen Zahlen" bedarf (anderfalls scheint sie wahlweise entweder widersprüchlich, oder unvollständig zu sein). Außerdem gibt es Bijektionen zwischen unendlichen Mengen nur dann, wenn sie eine mückenheimsche Unbedenklichkeitsbescheinigung erhalten haben. Überhaupt kommt die neue - mückenheimsche - Mengenlehre weitgehend ohne Definitionen und Beweise aus (was einer ihrer Vorzüge ist).

Mückenheim als Kritiker und zugleich Vollender der transfiniten Mengenlehre Cantors - das ist wirklich eine bemerkenswerte Entwicklung. :-)

Er hat quasi Cantor vom Kopf auf die Füße gestellt.

[Transfinity]

Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 22. November 2023 um 20:11:28 UTC+1:
> On Wednesday, November 22, 2023 at 1:51:48 PM UTC+1, WM wrote:
> > On 22.11.2023 11:32, Rainer Rosenthal wrote:
> > Auf jede [...] natürliche Zahl folgen noch fast alle natürlichen Zahlen:
> > ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
> Das drückt man besser so aus: ∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Das ist so offensichtlich falsch, dass man es auch von einem Matheologen nicht erwarten sollte. Da stets ℵo Zahlen übrig bleiben, kann die Aussage nicht für alle natürlichen Zahlen gelten.

Noch deutlicher wird der Sachverhalt mit Stammbrüchen: Wer behauptet, dass unendlich viele, also fast alle Stammbrüche kleiner als alle Stammbrüche seien, der ist einfach unzurechnungsfähig.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 22.11.2023 um 13:51 schrieb WM:

#
# auf die Frage von Jens Kallup
# - was sind eigentlich "dunkle" Zahlen ?
#
# Sie sind die aktuale Unendlichkeit, in der die potentielle Unendlichkeit
# existieren kann, indem sie diese oder jene dunkle Zahl ans Licht bringt:
#

Soweit so gut, und eigentlich erstaunlich, weil Du früher aktuale
Unendlichkeit so gar nicht akzeptieren wolltest.

Noch erstaunlicher ist, dass Du sogar ein passendes Zitat von Cantor
dafür gefunden hast:

>>>
>>> Es fordert also jedes potentiale Unendliche (die wandelnde Grenze) ein
>>> Transfinitum (den sichern Weg zum Wandeln) und kann ohne letzteres nicht

>>> gedacht werden. ... wandle sie [die wandelnde Grenze] nur immer weiter,

>>> es wird ihr von nun an nie mehr der Boden unter den Füßen schwinden.
>>> Glück auf die Reise! [Cantor, p. 393]
>>>

Weniger erstaunlich ist, dass Du einen "Knick in der Optik" hast, und
das für "Normalsichtigkeit" hältst.

Guter Start:

> Fie Herbartsche Grenze begrenzt die potentiell unendliche Kollektion

> erkennbarer Zahlen. Die breite Heerstraße, sorgsam gepflastert, enthält
> die Grundlage der potentiellen Unendlichkeit, die aktuale Unendlichkeit
> aller natürlichen Zahlen.

Und dann der Knick:

> Sie endet bei omega.

Das ist genau das Gegenteil von dem, was oben steht:

"es wird ihr von nun an nie mehr der Boden unter den Füßen schwinden".

Wie bereits festgestellt:

Da erkennt man den pädagogisch einfühlsamen Mathematiklehrer. Es ist
zwar Blödsinn, war aber sicher gut gemeint.

Hinweis (auch als Warnung an Jens): die Straße endet NICHT!

Gruß,
RR

[Transfinity]

Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 22. November 2023 um 21:46:14 UTC+1:
> On Wednesday, November 22, 2023 at 2:11:03 PM UTC+1, Rainer Rosenthal wrote:
> > Am 22.11.2023 um 13:51 schrieb WM:
> > >
> > > Die breite Heerstraße, sorgsam gepflastert, enthält die Grundlage der potentiellen Unendlichkeit, die aktuale Unendlichkeit aller natürlichen Zahlen.
> > >
> > [...] Mit der Normalsichtigkeit war es früher nicht so weit her bei Dir, weil Du aktuale Unendlichkeit als Teufelszeug angesehen hattest.

Ich habe meinen Standpunkt den neuesten Erkenntnissen angepasst. Ich behaupte trotzdem nicht, dass die aktuale Unendlichkeit existiert. Meine Ergebnisse zu dunklen Zahlen sind nur dann gültig, wenn sie existiert.

>
> Eine bemerkenswerte Veränderung seines Standpunkts.

Eine notwendig gewordene Unterscheidung. Cantor hat die aktuale Unendlichkeit erkannt, ebenso wie ZF die Unveränderlichkeit jeder Menge postuliert. Aber beide verwenden in ihren Abbildungen die potentielle Unendlichkeit. Deswegen erscheinen alle Mengen gleichgroß.

Gruß, WM

[Transfinity]

Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 22. November 2023 um 22:57:46 UTC+1:

> > Sie endet bei omega.
>
> Das ist genau das Gegenteil von dem, was oben steht:
> "es wird ihr von nun an nie mehr der Boden unter den Füßen schwinden".

Das kann auch nicht geschehene, weil die potentielle Unendlichkeit, die Herbartsche Grenze, niemals die aktuale Unendlichkeit ausschöpfen kann. Notabene: ∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

> Hinweis (auch als Warnung an Jens): die Straße endet NICHT!

Die positive reelle Achse endet bei Null! Die Stammbrüche erstrecken sich nicht weiter. Zu behaupten, dass fast alle Stammbrüche links von allen Stammbrüchen lägen, ist einfach unbeschreiblich, na sagen wir mal rechtgläubig.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 22.11.2023 um 23:07 schrieb Transfinity:
> Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 22. November 2023 um 22:57:46 UTC+1:
>
>>> Sie endet bei omega.
>>
>> Das ist genau das Gegenteil von dem, was oben steht:
>> "es wird ihr von nun an nie mehr der Boden unter den Füßen schwinden".
>

> Das kann auch nicht geschehen, weil die potentielle Unendlichkeit, die Herbartsche Grenze, niemals die aktuale Unendlichkeit ausschöpfen kann. Notabene: ∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Wenn der Boden "nicht schwindet", dann endet die Straße also nicht.
Das Förmelchen ist nett und richtig und widerlegt "sie endet bei omega".

>
>> Hinweis (auch als Warnung an Jens): die Straße endet NICHT!
>
> Die positive reelle Achse endet bei Null!
>

Aber Null ist nicht positiv. Den Unterschied zwischen offenen und
abgeschlossenen Intervallen hast Du offenbar auch nur gelehrt, aber nie
verstanden.

Gruß,
RR

[Fritz Feldhase]

On Thursday, November 23, 2023 at 12:00:32 AM UTC+1, Rainer Rosenthal wrote:
> Am 22.11.2023 um 23:07 schrieb Transfinity:

Auf das will ich dann doch noch hinweisen:

> > Notabene: ∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo. [W. Mückenheim]

Aber:

| FF> ∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
|
| WM> Das ist so offensichtlich falsch, dass man es auch von einem Matheologen nicht erwarten sollte.

Und:

| BB> ∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
|
| WM> That is wrong!

Es mag sein, dass Du das anders siehst, aber ich würde sagen, dass dieser Mann entweder geisteskrank, ein notorischer Lügner, oder schwer dement ist.

Jedenfalls tickt er nicht (mehr) ganz richtig.

[WM]

On 23.11.2023 00:00, Rainer Rosenthal wrote:
> Am 22.11.2023 um 23:07 schrieb Transfinity:
>> Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 22. November 2023 um 22:57:46
>> UTC+1:
>>
>>>> Sie endet bei omega.
>>>
>>> Das ist genau das Gegenteil von dem, was oben steht:
>>> "es wird ihr von nun an nie mehr der Boden unter den Füßen schwinden".
>>
>> Das kann auch nicht geschehen, weil die potentielle Unendlichkeit, die
>> Herbartsche Grenze, niemals die aktuale Unendlichkeit ausschöpfen
>> kann. Notabene: ∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
>
> Wenn der Boden "nicht schwindet", dann endet die Straße also nicht.

Sie endet in jedem Falle, kann aber immer weiter verlängert werden, ohne
das Ende zu überwinden.

> Das Förmelchen ist nett und richtig und widerlegt "sie endet bei omega".

Nein, Du bist nur unfähig, diesen Sachverhalt zu verstehen. Deswegen
habe ich ja das Beispiel mit den Stammbrüchen angegeben. Dort ist das
Ende leicht erkennbar.

>> Die positive reelle Achse endet bei Null!
>>
>
> Aber Null ist nicht positiv.

Das ändert nichts daran, dass die positive reelle Achse und mit ihr der
Teil, der Punkte der Stammbrüche enthält dort zu Ende ist, nicht weitergeht.

> Den Unterschied zwischen offenen und
> abgeschlossenen Intervall

Der spielt keine Rolle. Das Ende liegt vor dem negativen Teil und sogar
vor der Null, aber man kann es nicht genau angeben, weil die dortigen
Stammbrüche eben dunkel sind.

Nur: Die Annahme, dass kein Ende existiert ist offensichtlich falsch,
denn ab der Null kommt nichts mehr, ist es also zu Ende, und die
Annahme, dass unendlich viele Stammbrüche aufeinander hockten,
widerspricht der einfachsten Mathematik

∀n ∈ ℕ: 1/n - 1/(n+1) = d_n > 0 .

Auch der stärkste Glaube kann daran nichts ändern. Also existiert ein
erster, aber eben mit bloßem Auge unerkennbar, nur mit mathematischen
Mitteln beweisbar.

Gruß, WM

[WM]

On 23.11.2023 00:08, Fritz Feldhase wrote:
> On Thursday, November 23, 2023 at 12:00:32 AM UTC+1, Rainer Rosenthal wrote:
>> Am 22.11.2023 um 23:07 schrieb Transfinity:
>
> Auf das will ich dann doch noch hinweisen:
>
>>> Notabene: ∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo. [W. Mückenheim]

Hier habe ich offensichtlich einen Fehler gemacht. Die Herbartsche
Grenze ist ja die Grenze des definierbaren Bereichs.

∀n ∈ ℕ-def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Gruß, WM

[WM]

On 22.11.2023 20:32, Fritz Feldhase wrote:

> On Friday, January 6, 2023 at 7:53:10 PM UTC+1, Rainer Rosenthal wrote:
>
>> WM: Leider verstehen die meisten dabei nur Bahnhof. Zum Beispiel, wenn
>> WM: ich sie auffordere, alle Zahlen zu sammeln, für die

>> WM: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo gilt. Dann [...]
>

> Sammeln heißt auf Englisch "to collect", also ist es "naheliegend", sich in diesem Zusammenhang die /collection/ (Menge, Klasse) aller n e IN zu betrachten, für die |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo gilt.*)

Das sollte möglich sein. Diese Sammlung bezeichne ich mit N_def.

> Man kann dann leicht zeigen, dass {n e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo} = IN gilt.

Das würde statt |ℕ \ ℕ_def| = ℵo auf |ℕ \ ℕ| = ℵo führen, was
offensichtlich falsch ist. Also darf man in ZF diese Sammlung nicht
angeben? Das ist wohl die Ursache dafür, dass es in ZF verpönt ist,
zwischen Herbarts Grenze und Cantors Straße zu unterscheiden. Der Fehler
würde sofort zutage treten.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 23.11.2023 um 09:08 schrieb WM:
>
> Sie endet in jedem Falle, kann aber immer weiter verlängert werden, ohne
> das Ende zu überwinden.
>

Klartext: sie endet, aber sie endet nicht.
Diagnose: Knick in der Optik.

Prima aufgehoben in TH14.

Hallo Jens, alles klar?

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 23.11.2023 um 09:21 schrieb WM:

> Das ist wohl die Ursache dafür, dass es in ZF verpönt ist,
> zwischen Herbarts Grenze und Cantors Straße zu unterscheiden.
>

Lies doch mal ganz langsam irgendwas zum Thema Ordinalzahlen und
Kardinalzahlen. Und mit "Lesen" meine ich "selber lesen" nicht
"Vorlesung halten".

Gruß,
RR

[Jens Kallup]

Am 2023-11-22 um 23:00 schrieb Transfinity:
> Eine notwendig gewordene Unterscheidung. Cantor hat die aktuale
> Unendlichkeit erkannt, ebenso wie ZF die Unveränderlichkeit jeder Menge
> postuliert. Aber beide verwenden in ihren Abbildungen die potentielle
> Unendlichkeit. Deswegen erscheinen alle Mengen gleichgroß.

nen Kilo Blei wiegt 1 kg.
nen Kilo Bettfedern wiegt 1 kg.
...

[Jens Kallup]

Am 2023-11-23 um 09:57 schrieb Rainer Rosenthal:
> Hallo Jens, alles klar?

jap

[Dieter Heidorn]

Transfinity schrieb:

> Wer behauptet, dass unendlich viele, also fast alle Stammbrüche kleiner als alle Stammbrüche seien, der ist einfach unzurechnungsfähig.
>

Du bist der einzige, der das behauptet. Was schließen wir also daraus?

Dieter Heidorn

[WM]

On 23.11.2023 10:02, Rainer Rosenthal wrote:
> Am 23.11.2023 um 09:21 schrieb WM:
>
>> Das ist wohl die Ursache dafür, dass es in ZF verpönt ist, zwischen
>> Herbarts Grenze und Cantors Straße zu unterscheiden.
>>
> Lies doch mal ganz langsam irgendwas zum Thema Ordinalzahlen und
> Kardinalzahlen.

Das Thema hat nichts mit dem Unterschied zu tun. Er wird in ZF nicht
gemacht. Die Frage bleibt also: Gibt es unendlich viele Stammbrüche, die
kleiner als jeder definierbare sind? Alle definierbaren kann man in der
Kollektion DSB = {1/n, n ∈ ℕ_def} zusammenfassen. Oder ist das die Menge
aller Stammbrüche ASB?

Gibt es also unendlich viele Stammbrüche außerhalb DSB? Oder gibt es
unendlich viele Stammbrüche außerhalb ASB? Was meinst DU?

Gruß, WM

[Dieter Heidorn]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Am 23.11.2023 um 09:08 schrieb WM:
>>
>> Sie endet in jedem Falle, kann aber immer weiter verlängert werden,
>> ohne das Ende zu überwinden.
>>
>
> Klartext: sie endet, aber sie endet nicht.
> Diagnose: Knick in der Optik.
>

Das ist doch eine wunderschöne Perle für deine Sammlung:

[WM] "die aktuale Unendlichkeit aller natürlichen Zahlen [...]
endet bei omega."

Somit ist der Unendlichkeit endlich ein Ende gesetzt :-)

Dieter Heidorn

[Fritz Feldhase]

On Thursday, November 23, 2023 at 3:18:46 PM UTC+1, Dieter Heidorn wrote:
> Rainer Rosenthal schrieb:

>
> Das ist doch eine wunderschöne Perle für deine Sammlung:
>
> [WM] "die aktuale Unendlichkeit aller natürlichen Zahlen [...]
> endet bei omega."
>
> Somit ist der Unendlichkeit endlich ein Ende gesetzt :-)

Zumindest der aktualen!

[WM]

On 23.11.2023 14:08, Dieter Heidorn wrote:
> Transfinity schrieb:
>
>> Wer behauptet, dass unendlich viele, also fast alle Stammbrüche
>> kleiner als alle Stammbrüche seien, der ist einfach unzurechnungsfähig.
>>
>
> Du bist der einzige, der das behauptet.

Was? Dass die Behaupter unzurechnungsfähig sind? Oder dass fast alle
Stammbrüche kleiner als alle Stammbrüche seien?

Ich nehme einmal die sinnvolle Aussage an: Die Behauptung, dass ℵo (also
fast alle) Stammbrüche kleiner als alle Stammbrüche seien, ist falsch.

> Was schließen wir also daraus?

Nach den Regeln der Logik schließen wir daraus, dass es mindestens einen
Stammbruch gibt, zu dem weniger als ℵo kleinere Stammbrüche existieren.

(Falls Du diese Email wieder persönlich erhältst, solltest Du Deinen
Postkollektor überprüfen.)

Gruß, WM

[WM]

On 23.11.2023 09:57, Rainer Rosenthal wrote:
> Am 23.11.2023 um 09:08 schrieb WM:
>>
>> Sie endet in jedem Falle, kann aber immer weiter verlängert werden,
>> ohne das Ende zu überwinden.
>>
>
> Klartext: sie endet, aber sie endet nicht.
> Diagnose: Knick in der Optik.
>

Tja, es ist nicht so ganz einfach zu verstehen. Deswegen habe ich ja für
weniger abstrakt denkende DenkerInnen mit didaktischer Finesse den
einfacher zu verstehenden Fall der Stammbrüche verwendet: Die Folge
endet vor der Null. Das kann niemand bestreiten, denn bei oder unterhalb
der Null gibt es keine Stammbrüche mehr: SBZ(0) = 0. Trotzdem ist die
Folge (1/n) potentiell unendlich. Niemand kann in einen Bereich mit
SBZ(x) < ℵo vordringen.

Gruß, WM

[Jens Kallup]

Am 2023-11-23 um 16:02 schrieb WM:
> Tja, es ist nicht so ganz einfach zu verstehen. Deswegen habe ich ja für
> weniger abstrakt denkende DenkerInnen mit didaktischer Finesse den
> einfacher zu verstehenden Fall der Stammbrüche verwendet: Die Folge
> endet vor der Null. Das kann niemand bestreiten, denn bei oder unterhalb
> der Null gibt es keine Stammbrüche mehr: SBZ(0) = 0. Trotzdem ist die
> Folge (1/n) potentiell unendlich. Niemand kann in einen Bereich mit
> SBZ(x) < ℵo vordringen.

... und der Zutritt auf den Zentralfriedhof - zu den toten, ist für
lebende strengsten verboten.

klar, unter der Null-Linie sind nicht gerade viele wieder emphorge-
stiegen, um dann zu berichten, was denn nun nach dem Sanktnimmerleins-
tag kommt...

Aber Deine denkweise ist keine mathematische, und übertrifft im wahrsten
Sinne des Wortes alle boolschen Wahrheits-Tabellen (lebt den den der
alte Holzmichel noch ... ?) JA oder NEIN ?

Das hat mit Mathe nichts mehr zu tun.
Vielleicht sollte man mal einen Blick in die Esoterik-Gruppen oder den
Kaffee-Satz-Lesern besuchen.

Jens

[Dieter Heidorn]

WM schrieb:

> On 23.11.2023 14:08, Dieter Heidorn wrote:
>> Transfinity schrieb:
>>
>>> Wer behauptet, dass unendlich viele, also fast alle Stammbrüche
>>> kleiner als alle Stammbrüche seien, der ist einfach unzurechnungsfähig.
>>>
>>
>> Du bist der einzige, der das behauptet.
>

> Ich nehme einmal [...] an: Die Behauptung, dass ℵo (also

> fast alle) Stammbrüche kleiner als alle Stammbrüche seien, ist falsch.

So ist es. Stammbrüche, die "kleiner als alle Stammbrüche sind" müssten
kleiner als sie selbst sein, da sie ja in der Menge "alle Stammbrüche"
enthalten sind.

>> Was schließen wir also daraus?
>
> Nach den Regeln der Logik schließen wir daraus,

... dass du offensichtlich zuviel Glühwein konsumiert hast wenn du
behauptest, dass "fast alle Stammbrüche kleiner als alle Stammbrüche
seien".

> (Falls Du diese Email wieder persönlich erhältst, solltest Du Deinen
> Postkollektor überprüfen.)

Mit dem ist alles in Ordnung. Von keinem anderen Teilnehmer hier, der
mir in der NG antwortet, erhalte ich das posting zusätzlich als private
mail - nur von dir. Du solltest einmal die Einstellungen deines
Thunderbird überprüfen.

Dieter Heidorn

[Fritz Feldhase]

On Thursday, November 23, 2023 at 4:02:07 PM UTC+1, WM wrote:

> Trotzdem ist die Folge (1/n) potentiell unendlich.

Nein, Mückenheim, im Kontext der sog. Mengenlehre ist die Folge (1/n)_(n e IN) ganz "aktual" unendlich.

Genauer: (1/n)_(n e IN) ~ IN; und IN ist bekanntlich (in diesem Kontext) _unendlich_ (->transfinite Mengenlehre).

Es gilt also: card((1/n)_(n e IN)) = aleph_0.

[Rainer Rosenthal]

Ja, danke, und die Perle ist auch im richtigen Schubfach TH14 gelandet.

[Rainer Rosenthal]

Am 23.11.2023 um 16:02 schrieb WM:
> On 23.11.2023 09:57, Rainer Rosenthal wrote:
>> Am 23.11.2023 um 09:08 schrieb WM:
>>>
>>> Sie endet in jedem Falle, kann aber immer weiter verlängert werden,
>>> ohne das Ende zu überwinden.
>>>
>>
>> Klartext: sie endet, aber sie endet nicht.
>> Diagnose: Knick in der Optik.
>>
> Tja, es ist nicht so ganz einfach zu verstehen. Deswegen habe ich ja für
> weniger abstrakt denkende DenkerInnen mit didaktischer Finesse den
> einfacher zu verstehenden Fall der Stammbrüche verwendet:

Du bist einfach eine Labertasche und schämst Dich nicht, jemanden zu
zitieren (Cantor), der klipp und klar feststellt, dass da keine Grenze
existiert, um im gleichen Atemzug Deine Schnapsidee rauszuposaunen:
"Ich, WM, aber sage Euch: da ist eine Grenze!".

Mit didaktischer Finesse kannst Du versuchen, von Deinen Fehlern
abzulenken, aber weg-labern kannst Du sie nun mal nicht.

Gruß,
RR

[WM]

On 23.11.2023 17:18, Dieter Heidorn wrote:
> WM schrieb:

>> Ich nehme einmal [...] an: Die Behauptung, dass ℵo (also fast alle)
>> Stammbrüche kleiner als alle Stammbrüche seien, ist falsch.
>
> So ist es. Stammbrüche, die "kleiner als alle Stammbrüche sind" müssten
> kleiner als sie selbst sein, da sie ja in der Menge "alle Stammbrüche"
> enthalten sind.
>
>>> Was schließen wir also daraus?
>>

>> Nach den Regeln der Logik schließen wir daraus, dass es mindestens einen
Stammbruch gibt, zu dem weniger als ℵo kleinere Stammbrüche existieren.
>

> ... dass du offensichtlich zuviel Glühwein konsumiert hast wenn du
> behauptest, dass "fast alle Stammbrüche kleiner als alle Stammbrüche
> seien".

Das behaupte nicht ich, sondern jeder Matheologe behauptet es. Aus
∀n ∈ X: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
folgt nämlich für die Zusammenfassung X aller n, für die diese Gleichung
gilt, |ℕ \ X| = ℵo. Der Matheologe setzt bekanntlich X = ℕ. Analoges
gilt für die Reziproken der n, also die Stammbrüche.

>
>> (Falls Du diese Email wieder persönlich erhältst, solltest Du Deinen
>> Postkollektor überprüfen.)
>
> Mit dem ist alles in Ordnung. Von keinem anderen Teilnehmer hier, der
> mir in der NG antwortet, erhalte ich das posting zusätzlich als private
> mail - nur von dir. Du solltest einmal die Einstellungen deines
> Thunderbird überprüfen.
>

Kein anderer Teilnehmer hat sich bisher diesbezüglich beschwert. Meine
Einstellung ist für alle dieselbe.

Gruß, WM

[WM]

On 23.11.2023 18:20, Fritz Feldhase wrote:
> On Thursday, November 23, 2023 at 4:02:07 PM UTC+1, WM wrote:
>
>> Trotzdem ist die Folge (1/n) potentiell unendlich.
>

> im Kontext der sog. Mengenlehre ist die Folge (1/n)_(n e IN) ganz "aktual" unendlich.

Die Folge aller Stammbrüche ist aktualunendlich. Die Folge der
sichtbaren ist potentiell unendlich.

>
> Genauer: (1/n)_(n e IN) ~ IN; und IN ist bekanntlich (in diesem Kontext) _unendlich_ (->transfinite Mengenlehre).
>
> Es gilt also: card((1/n)_(n e IN)) = aleph_0.

Die Behauptung, dass ℵo (also fast alle) Stammbrüche kleiner als alle

Stammbrüche seien, ist falsch. Also gibt es mindestens einen
Stammbruch, zu dem weniger als ℵo kleinere Stammbrüche existieren.

Gruß, WM

[WM]

On 24.11.2023 00:24, Rainer Rosenthal wrote:
> schämst Dich nicht, jemanden zu
> zitieren (Cantor), der klipp und klar feststellt, dass da keine Grenze
> existiert,

Das ist als falsch nachgewiesen. Die Folge der Stammbrüche endet vor der
Null. Also existiert eine Grenze. Offensichtlicher kann kaum etwas
zutage treten. Das äußert sich übrigens auch bei Folgen, die einen
Grenzwert besitzen. Dein Glaube ist also falsch, auch wenn Du es nie
einsehen wirst.

Klipp und klar: "Es ist sogar erlaubt, sich die neugeschaffene Zahl
omega als Grenze zu denken, welcher die Zahlen anü zustreben," [Cantor]

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 24.11.2023 um 09:57 schrieb WM:
> On 24.11.2023 00:24, Rainer Rosenthal wrote:
>> schämst Dich nicht, jemanden zu zitieren (Cantor), der klipp und klar
>> feststellt, dass da keine Grenze existiert,
>
> Das ist als falsch nachgewiesen.

Warum zitierst Du dann Cantor? Jens Kallup hatte gefragt, was Deine
dunklen Zahlen sind, und Du hast geantwortet:
Sie sind die aktuale Unendlichkeit, in der die potentielle Unendlichkeit
existieren kann, indem sie diese oder jene dunkle Zahl ans Licht bringt.

Daraufhin hattest Du Cantor zitiert:
~~~~~~~~~
Die weite Reise, welche Herbart seiner "wandelbaren Grenze" vorschreibt,
... es wird ihr von nun an nie mehr der Boden unter den Füßen schwinden.
~~~~~~~~~

Mit diesem Zitat wird klar, dass der Lichtkegel grenzenlos weiter
leuchten kann, um "diese oder jene dunkle Zahl" ans Licht zu bringen.

Und Du hast das auch erstaunlich klar bestätigt (22.11.2023, 13:51):
"Die Herbartsche Grenze begrenzt die potentiell unendliche Kollektion
erkennbarer Zahlen. Die breite Heerstraße, sorgsam gepflastert, enthält
die Grundlage der potentiellen Unendlichkeit, die aktuale Unendlichkeit
aller natürlichen Zahlen."

Nichtsdestotrotz schiebst Du dieser klaren Beschreibung des aktual
Unendlichen Deinen dussligen Nachsatz hinterher:
"Sie endet bei omega."

Ich hatte Dir empfohlen, Dich bzgl. der Unterscheidung von Ordinal- und
Kardinalzahlen kundig zu machen. Lernen ist aber nicht so Dein Ding,
sondern Du zitierst lieber:

>
> Klipp und klar: "Es ist sogar erlaubt, sich die neugeschaffene Zahl
> omega als Grenze zu denken, welcher die Zahlen anü zustreben," [Cantor]
>

Das ist eine ganz andere Grenze als die Deiner Beschränktheit.
Wenn Du was über omega lernen willst, wirst Du Dich wohl oder übel mit
Ordinalzahlen beschäftigen müssen. Mit "potentieller Unendlichkeit" hat
omega jedenfalls so viel zu tun, wie Dein Geplapper mit Mathematik.

Gruß,
RR

[Dieter Heidorn]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Am 23.11.2023 um 16:02 schrieb WM:
>> On 23.11.2023 09:57, Rainer Rosenthal wrote:
>>> Am 23.11.2023 um 09:08 schrieb WM:
>>>>
>>>> Sie endet in jedem Falle, kann aber immer weiter verlängert werden,
>>>> ohne das Ende zu überwinden.
>>>>
>>>
>>> Klartext: sie endet, aber sie endet nicht.
>>> Diagnose: Knick in der Optik.
>>>
>> Tja, es ist nicht so ganz einfach zu verstehen. Deswegen habe ich ja
>> für weniger abstrakt denkende DenkerInnen mit didaktischer Finesse den
>> einfacher zu verstehenden Fall der Stammbrüche verwendet:
>
> Du bist einfach eine Labertasche und schämst Dich nicht, jemanden zu
> zitieren (Cantor), der klipp und klar feststellt, dass da keine Grenze
> existiert, um im gleichen Atemzug Deine Schnapsidee rauszuposaunen:
> "Ich, WM, aber sage Euch: da ist eine Grenze!".
>

Cantor präzisierte den Begriff "Grenze" in diesem Zusammenhang so:

|"Die Reihe (I) der positiven realen ganzen Zahlen 1, 2, 3, ..., ny, ...
| hat ihren Entstehungsgrund in der wiederholten Setzung und Vereinigung
| von zugrunde gelegten als gleich angesehenen Einheiten; die Zahl ny
| ist der Ausdruck sowohl für eine bestimmte endliche Anzahl solcher
| aufeinander folgenden Setzungen, wie auch für die Vereinigung der
| gesetzten Einheiten zu einer vorhandenen schon gebildeten Zahl;
| ich nenne dieses Moment, welches, wie wir gleich sehen werden, auch
| bei der Erzeugung der höheren ganzen Zahlen eine wesentliche Rolle
| spielt, das /erste Erzeugungsprinzip/.
| Die Anzahl der so zu bildenden Zahlen ny der Klasse (I) ist unendlich
| und es gibt unter ihnen keine größte. So widerspruchsvoll es daher
| wäre, von einer größten Zahl der Klasse (I) zu reden, hat es doch
| andrerseits nichts Anstößiges, sich eine /neue/ Zahl, wir wollen sie
| ω nennen, zu denken, welche der Ausdruck dafür sein soll, daß der
| ganze Inbegriff (I) in seiner natürlichen Sukzession dem Gesetze nach
| gegeben sei. (Ähnlich wie ny ein Ausdruck dafür ist, daß eine gewisse
| endliche Anzahl von Einheiten zu einem Ganzen vereinigt wird.)
| Es ist sogar erlaubt, sich die neugeschaffene Zahl ω als /Grenze/ zu
| denken, welcher die Zahlen ny zustreben, wenn darunter nichts anderes
| verstanden wird, als daß ω die /erste/ ganze Zahl sein soll, welche
| auf alle Zahlen ny folgt, d.h. größer zu nennen ist als jede der
| Zahlen ny."
(Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.195)

Ein "Ende der aktualen Unendlichkeit" der natürlichen Zahlen ist daraus
nicht abzuleiten.

Dieter Heidorn

[Dieter Heidorn]

WM schrieb:

> On 23.11.2023 17:18, Dieter Heidorn wrote:
>> WM schrieb:
>

>> So ist es. Stammbrüche, die "kleiner als alle Stammbrüche sind" müssten
>> kleiner als sie selbst sein, da sie ja in der Menge "alle Stammbrüche"
>> enthalten sind.
>>
>>>> Was schließen wir also daraus?
>>>
>>> Nach den Regeln der Logik schließen wir daraus,

... dass es keinen Stammbruch gibt, der "kleiner als alle Stammbrüche ist".

>> du
>> behauptest, dass "fast alle Stammbrüche kleiner als alle Stammbrüche
>> seien".
>
> Das behaupte nicht ich,

Doch, doch - du stellst diese irrige Behauptung auf.

> sondern jeder Matheologe behauptet es.

Nein - kein Mathematiker behauptet mückematischen Dummschwatz.

> Aus
> ∀n ∈ X: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Typisch für dich: Verwendung eines nicht definierten Objekts "X".
Der Rest deiner Spinnerei ist also nicht ernst zu nehmen.

Korrekt heißt es:

∀ n∈ℕ: | ℕ\{1, 2, 3, ..., n} | = ℵo
===

Es ist also "X = ℕ". In Worten bedeutet diese Aussage: Entfernt man aus
der Menge der natürlichen Zahlen eine endliche Teilmenge mit, so hat die
Differenzmenge immer noch die gleiche Mächtigkeit wie ℕ - also ℵo.

Damit ist

> |ℕ \ X| = ℵo.

natürlich Blödsinn. In der Mathematik dagegen gilt völlig korrekt

| ℕ\ℕ | = | {} | = 0 .

Was in deinem Wahnsystem gelten soll ist ohne jegliche Bedeutung.

Zu deiner unverlangten Zusendung von privat-mails:

> Kein anderer Teilnehmer hat sich bisher diesbezüglich beschwert.

Das spricht dafür, dass du es bei mir mit Absicht machst, oder dass
du (wie vermutet) mit deinem Thunderbird genauso zurecht kommst wie mit
der Mengenlehre - also gar nicht.
Egal - für dich habe ich jetzt einen Filter gesetzt.

Dieter Heidorn

[Fritz Feldhase]

Solche "Phrasen" wie "wenn darunter nichts anderes verstanden wird, als ..." ignoriert unser Mückenmann gerne mal. Definitionen sind eben nicht so sein Ding.

[Fritz Feldhase]

On Friday, November 24, 2023 at 9:46:16 AM UTC+1, WM wrote:

> die Zusammenfassung X aller n, für die diese Gleichung gilt.

Gemeint ist wohl die Gleichung: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Wir wollen dabei voraussetzen (da Du es nicht explizit gesagt hast), dass n e IN ist (etwas anderes macht hier auch nur wenig Sinn).

Du sprichst also offenbar von der Menge X := {n e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo}.

Es gilt dann: X = IN.

Und natürlich auch: ∀n ∈ X: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Es gilt dann aber NICHT:

> |ℕ \ X| = ℵo.

Letzteres gilt wohl nur in Deinem Wahnsystem.

[Fritz Feldhase]

On Friday, November 24, 2023 at 6:03:37 PM UTC+1, Dieter Heidorn wrote:

> Es ist also "X = ℕ". [...]

>
> Damit ist
>
> > |ℕ \ X| = ℵo.
>
> natürlich Blödsinn. In der Mathematik dagegen gilt völlig korrekt
>
> | ℕ\ℕ | = | {} | = 0 .
>
> Was in deinem Wahnsystem gelten soll ist ohne jegliche Bedeutung.

In sci.logic hat er statt "X" die Bezeichnung "ℕ_vis" gewählt.

Dann hat er die folgende, "bemerkenswerte" Behauptung formuliert:

| [...] all elements of ℕ_vis would have ℵo successors. That means ℕ_vis would have ℵo successors.

Ja, in Mückenheims Welt übertragen sich offenbar die Eigenschaften der Elemente einer Menge auf die Menge selbst.

So ist z. B. jede Menge in {{}, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}. ...} endlich. Also ist in Mückenheims Welt auch die Menge {{}, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}. ...} selbst endlich.

[Ralf Bader]

On 11/24/2023 09:46 AM, WM wrote:
> On 23.11.2023 17:18, Dieter Heidorn wrote:
>> WM schrieb:
>
>>> Ich nehme einmal [...] an: Die Behauptung, dass ℵo (also fast alle)
>>> Stammbrüche kleiner als alle Stammbrüche seien, ist falsch.
>>
>> So ist es. Stammbrüche, die "kleiner als alle Stammbrüche sind" müssten
>> kleiner als sie selbst sein, da sie ja in der Menge "alle Stammbrüche"
>> enthalten sind.
>>
>>>> Was schließen wir also daraus?
>>>
>>> Nach den Regeln der Logik schließen wir daraus, dass es mindestens einen
> Stammbruch gibt, zu dem weniger als ℵo kleinere Stammbrüche existieren.
>>
>> ... dass du offensichtlich zuviel Glühwein konsumiert hast wenn du
>> behauptest, dass "fast alle Stammbrüche kleiner als alle Stammbrüche
>> seien".
>
> Das behaupte nicht ich, sondern jeder Matheologe behauptet es. Aus
> ∀n ∈ X: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
> folgt nämlich für die Zusammenfassung X aller n, für die diese Gleichung
> gilt, |ℕ \ X| = ℵo.

Nein, das folgt daraus nicht. Aus Ihrem Gefasel folgt hingegen, daß Sie
für Mathematik zu doof und zu blöde sind.

[Transfinity]

Ralf Bader schrieb am Freitag, 24. November 2023 um 19:20:05 UTC+1:
> On 11/24/2023 09:46 AM, WM wrote:
> > Aus

> > ∀n ∈ X: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo (*)

> > folgt nämlich für die Zusammenfassung X aller n, für die diese Gleichung
> > gilt, |ℕ \ X| = ℵo.
> Nein, das folgt daraus nicht.

Das darfst Du behaupten. Aber Deine Behauptung zeigt einmal mehr, dass Du nicht folgerichtig denken kannst. Die natürlichen Zahlen mit der durch (*) definierten Eigenschaft kann man nämlich in einer Kollektion zusammenfassen. Sie alle besitzen diese Eigenschaft und verlieren sie durch die Zusammenfassung nicht. Die ändert nämlich daran überhaupt nichts. Lediglich die gleichzeitige Betrachtung aller wird damit ermöglicht.

Gruß, WM

[Transfinity]

Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 24. November 2023 um 16:41:46 UTC+1:
> Am 24.11.2023 um 09:57 schrieb WM:
> > On 24.11.2023 00:24, Rainer Rosenthal wrote:
> >> schämst Dich nicht, jemanden zu zitieren (Cantor), der klipp und klar
> >> feststellt, dass da keine Grenze existiert,
> >
> > Das ist als falsch nachgewiesen.
> Warum zitierst Du dann Cantor? Jens Kallup hatte gefragt, was Deine
> dunklen Zahlen sind, und Du hast geantwortet:
> Sie sind die aktuale Unendlichkeit, in der die potentielle Unendlichkeit
> existieren kann, indem sie diese oder jene dunkle Zahl ans Licht bringt.
>
> Daraufhin hattest Du Cantor zitiert:
> ~~~~~~~~~
> Die weite Reise, welche Herbart seiner "wandelbaren Grenze" vorschreibt,
> ... es wird ihr von nun an nie mehr der Boden unter den Füßen schwinden.
> ~~~~~~~~~
>
> Mit diesem Zitat wird klar, dass der Lichtkegel grenzenlos weiter
> leuchten kann, um "diese oder jene dunkle Zahl" ans Licht zu bringen.

Richtig! Das "grenzenlose" der Wanderung bedeutet aber eben nicht, dass die Straße grenzenlos ist, sondern nur, dass sie die grenzenlose Wanderung erlaubt. Ja, das ist nicht einfach zu vereinbaren. Da sind dunkle Zahlen wohl unersetzlich. Natürlich ist omega eine grenze, denn danach geht Cantor ja weiter: omega + 1, omega + 2, ... das sind Zahlen jenseits der Grenze der Straße, obwohl sie eine Wanderung ohne Ende erlmöglicht.

>
> Und Du hast das auch erstaunlich klar bestätigt (22.11.2023, 13:51):
> "Die Herbartsche Grenze begrenzt die potentiell unendliche Kollektion
> erkennbarer Zahlen. Die breite Heerstraße, sorgsam gepflastert, enthält
> die Grundlage der potentiellen Unendlichkeit, die aktuale Unendlichkeit
> aller natürlichen Zahlen."

Ja, genau so ist es!

>
> Nichtsdestotrotz schiebst Du dieser klaren Beschreibung des aktual
> Unendlichen Deinen dussligen Nachsatz hinterher:
> "Sie endet bei omega."

Das tut sie.

> > Klipp und klar: "Es ist sogar erlaubt, sich die neugeschaffene Zahl
> > omega als Grenze zu denken, welcher die Zahlen anü zustreben," [Cantor]
> >
> Das ist eine ganz andere Grenze

Nein, das ist genau die Grenze der Straße aller natürlichen Zahlen. Er spricht es sogar genau aus: omega.

> Wenn Du was über omega lernen willst, wirst Du Dich wohl oder übel mit
> Ordinalzahlen beschäftigen müssen. Mit "potentieller Unendlichkeit" hat
> omega jedenfalls so viel zu tun, wie Dein Geplapper mit Mathematik.

Du kannst offensichtlich nicht ernsthaft diskutieren. Das liegt an Deinem Unverständnis. Natürlich hat omega nicht mit potentieller Unendlichkeit zu tun. Deswegen hat Cantor ja omega anstatt oo gewählt. omega ist die Grenze der Straße.

Gruß, WM

[Transfinity]

Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 24. November 2023 um 17:45:50 UTC+1:
> Rainer Rosenthal schrieb:

> Cantor präzisierte den Begriff "Grenze" in diesem Zusammenhang so:

Irrelevant für unser Thema.

> Ein "Ende der aktualen Unendlichkeit" der natürlichen Zahlen ist daraus
> nicht abzuleiten.

Es ist daraus abzuleiten, dass omega, omega + 1, omega + 2, ... keine natürlichen Zahlen mehr sind. Danach folgen auch keine. Also enden sie vorher.

[Transfinity]

Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 24. November 2023 um 18:03:37 UTC+1:
> WM schrieb:

> > Aus
> > ∀n ∈ X: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
> Typisch für dich: Verwendung eines nicht definierten Objekts "X".

X habe ich oben als die Kollektion aller natürlichen Zahlen definiert, für die |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo gilt.

> Korrekt heißt es:
>
> ∀ n∈ℕ: | ℕ\{1, 2, 3, ..., n} | = ℵo

Das ist deutlich falsch. Denn wenn alle natürlichen Zahlen von omega den Abstand ℵo hätten, dann müsste dieser Abstand auch bei der Zusammenfassung erhalten bleiben. Das ist nicht der Fall. Für alle definierbaren Zahlen ist es dagegen der Fall.

> ===
>
> Es ist also "X = ℕ". In Worten bedeutet diese Aussage: Entfernt man aus
> der Menge der natürlichen Zahlen eine endliche Teilmenge mit, so hat die
> Differenzmenge immer noch die gleiche Mächtigkeit wie ℕ - also ℵo.

Entfernt man einen endlichen Anfangsabschnitt, dann bleiben fast alle natürlichen Zahlen stehen. Denn jeder endliche Anfangsabschnitt definiert seine letzte Zahl. Folglich sind fast alle Zahlen nicht definierbar. Denn andernfalls könnte man alle definieren und alle durch ihre endlichen Anfangsabschnitte entfernen. Dann bleibe nicht übrig.

>
> Damit ist
>
> > |ℕ \ X| = ℵo.
>
> natürlich Blödsinn.

Man darf die natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft | ℕ\{1, 2, 3, ..., n} | = ℵo, die sie auch in einer Zusammenfassung behalten, nicht zusammenfassen?

In der Mathematik dagegen gilt völlig korrekt
>
> | ℕ\ℕ | = | {} | = 0 .

Also schließen wir, dass es mindestens eine natürlich Zahl gibt, für die der Abstand von omega nicht ℵo ist. Für die Zusammenfassung X aller Zahlen, die den Abstand ℵo von omega haben, gilt

|ℕ \ X| = ℵo.

Die Matheologie muss behaupten, dass diese Zahlen bei Zusammenfassung ihre Eigenschaft verlieren.

Gruß, WM

[Transfinity]

Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 24. November 2023 um 18:18:04 UTC+1:

> Du sprichst also offenbar von der Menge X := {n e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo}.
>
> Es gilt dann: X = IN.
>
> Und natürlich auch: ∀n ∈ X: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
>
> Es gilt dann aber NICHT:
>
> > |ℕ \ X| = ℵo.

Also erfolgt eine matheologische Transformation. Die Zahlen, die einzeln |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo erfüllen, tun dies nicht mehr in der Zusammenfassung. Folglich ist es in der Matheologie wohl auch streng verboten, alle die natürlichen Zahlen zur Kollektion X zusammenzufassen, für die auch in der Zusammenfassung noch gilt |ℕ \ X| = ℵo. Hint: Es geht für alle definierbaren Zahlen. Übung: Finde eine natürliche Zahl, die das Fass zum Überlaufen bringt, nach deren Aufnahme in X also |ℕ \ X| = ℵo nicht mehr gilt.

Gruß, WM

[Mengenleerer]

Hallo WM,

meinst du eigentlich, einen Widerspruch in ZFC aufgezeigt zu haben, oder denkst du bloß, dass ZFC die Existenz „dunkler“ Zahlen impliziert?

Wenn du keine aktual unendlichen Mengen akzeptierst, sieh es so: Wird gegen negative Zahlen eingewendet, es gebe keine Menge von negativer Mächtigkeit, kann darauf entgegnet werden, dass negative Zahlen zwar nicht DAZU passen, aber für ANDERE Zwecke sinnvoll eingesetzt werden können (etwa um abstrakt über Verminderung zu sprechen). Ähnlich hier: Wir können bei der Aufgabe, jede natürliche Zahl aufzuzählen, zwar nicht fertig werden, aber das muss nicht der Maßstab sein, um von aktual unendlichen Mengen zu reden. Du akzeptierst (als math. Idealisierung) potentielle Unendlichkeit. Super! Aktual unendliche Mengen können verwendet werden, um das Verhalten einer niemals abbrechenden Schleife zu beschreiben, ohne zusätzlich „irgendwann einmal“ zu sagen. Betrachte folgende JavaScript-Schleife:

for (let i = 0n; true; i++) console.log(i)

Und die Konsole ab hier (das n steht für BigInt-Werte):

0n
1n
2n
3n
(und so weiter)

(Zu jedem Zeitpunkt stehen nur endlich viele Werte drauf, aber es kommt immer mehr hinzu.)

a) Nun einigen wir uns darauf, „i ∈ ℕ“ dafür zu schreiben, dass irgendwann i draufsteht. Denk dir da bitte nicht mehr rein! Nur weil wir einen Mengenbuchstaben eingeführt haben, heißt das nicht, dass da zur „Vollendung“ noch etwas hinzukommt, was niemals von der Schleife erreicht wird. Nein! Vielleicht hilft es, wenn du „Menge“ gedanklich durch „reifizierte Eigenschaft“ (kurz: „r-Eigenschaft“) ersetzt (und „ist Element von“ entsprechend durch „hat“). Beispiel: 50 hat die r-Eigenschaft, irgendwann draufzustehen (50 ∈ ℕ).

b) Für jedes i gilt: Wenn i irgendwann draufsteht, steht auch der Nachfolger von i irgendwann (das heißt nicht, dass das zum selben Zeitpunkt der Fall ist) drauf. Einverstanden? Tja, und jetzt umformuliert anhand von Punkt a): Für jedes i gilt: Wenn i Element von ℕ ist, dann auch der Nachfolger von i. Und zwar nicht erst in der Zukunft, sondern schon jetzt (ℕ ist also aktual unendlich), da ℕ die Menge der Zahlen ist, die IRGENDWANN draufstehen (was nicht heißt, dass sie alle zum selben Zeitpunkt draufstehen), und NICHT die Menge der BISHER aufgezählten Zahlen.

c) Nach jeder irgendwann draufstehenden Zahl geht die Aufzählung immer noch ewig weiter, da stimmst du doch wohl zu? Tja, und jetzt umformuliert: ℕ \ {0, ..., i} ist für jedes i ∈ ℕ unendlich (aktual unendlich, vgl. Punkt b)).

Bis jetzt haben wir freilich eine rekursiv aufzählbare unendliche Menge betrachtet. Solche Mengen können in PA (Peano-Arithmetik erster Stufe) kodiert werden, ZFC ist, falls konsistent, natürlich stärker. Überabzählbar unendliche Mengen können mit dem Begriff der Möglichkeit motiviert werden (was ich jetzt nicht ausführen möchte). Ich bin auf das Buch „A Logical Foundation for Potentialist Set Theory“ von Sharon Berry gestoßen, wo ZFC potentialistisch begründet wird:

„In this book I advocate a formulation of potentialist set theory that appeals to (a generalization of) the logical possibility operator. I show that, working in this framework, we can justify mathematicians' use of the ZFC axioms from general modal principles which all seem clearly true -- providing slightly more intuitive justification for Replacement than previous approaches.“

Hier ist ein frei zugängliches, 33-seitiges Paper verlinkt:

https://www.logicmatters.net/2022/02/17/sharon-berry-potentialist-set-theory/

Vielleicht schaue ich da später rein. Ich wollte dir ein Buch von Shaughan Lavine („Understanding the Infinite“) empfehlen, habe aber gesehen, dass du ihn bereits zitiert hast. Hast du sein Buch gelesen? Du könntest ja auf Berry oder Lavine eingehen, statt immer dasselbe in leichter Abwandlung durchzukauen, DAS wäre doch mal was!

Für diejenigen, die bei der Rede von „veränderlichen Größen“ die Stirn runzeln:

https://plato.stanford.edu/entries/logic-dependence/

https://mathoverflow.net/questions/307947/formalizations-of-the-idea-that-something-is-a-function-of-something-else

[Mengenleerer]

(Halt, das von Berry geht wohl in eine andere Richtung, als ich erwartet habe. Die Empfehlung von „Understanding the Infinite“ von Lavine steht jedenfalls.)

[Transfinity]

On 25.11.2023 20:26, Mengenleerer wrote:

> meinst du eigentlich, einen Widerspruch in ZFC aufgezeigt zu haben, oder denkst du bloß, dass ZFC die Existenz „dunkler“ Zahlen impliziert?

Wird die Bijektion zwischen Mengen wie den natürlichen Zahlen und der rationalen Zahlen behauptet, so ist ein Widerspruch vorhanden, denn viele Argumente zeigen, dass dies nicht möglich ist. Ein Beispiel habe ich gerde in sci.math aufgefrischt. Dort wird der folgende Algorithmus angegeben:

1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
...

Push the natnumbers of the first column into the field of fractions and
store the hit fraction always there where the natnumber has come from.
Try to push the natnumbers such that all matrix positions are occupied
by them. That is best done by creating a pattern like

1, 2, 4, ...
3, 5, 8, ...
6, 9, 13, ...
... ,

According to this simple algorithm it is impossible, in eternity, to
remove a fraction from the matrix or to attach a natnumber to a fraction.

> Wenn du keine aktual unendlichen Mengen akzeptierst

Die dunklen Zahlen können nur existieren, wenn aktual unendlich Mengen existieren. Ich akzeptiere also aktual unendlich Mengen als Möglichkeit.

>
> a) Nun einigen wir uns darauf, „i ∈ ℕ“ dafür zu schreiben, dass irgendwann i draufsteht. Denk dir da bitte nicht mehr rein! Nur weil wir einen Mengenbuchstaben eingeführt haben, heißt das nicht, dass da zur „Vollendung“ noch etwas hinzukommt,

Annahme: Es gibt die vollständige Menge ℕ der natürlichen Zahlen. Für jede wählbare Zahl n gilt |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo. Wir fassen nun diejenigen wählbaren n Zahlen zu einer Kollektion ℕ_def zusammen, für die folgendes gilt:
(1) |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
(2) |ℕ \ ℕ_def| = ℵo.
Also die Zusammenfassung ℕ_def wird nur so lange mit wählbaren Zahlen aufgefüllt, solange noch ℵo Zahlen übrig bleiben. (Natürlich geht das gar nicht anders.) Damit ist klar, dass fast alle natürlichen Zahlen nicht in ℕ_def vereinigt sein können. Fast alle sind nicht wählbar.

> c) Nach jeder irgendwann draufstehenden Zahl geht die Aufzählung immer noch ewig weiter, da stimmst du doch wohl zu?

Ja, die Menge ℕ_def ist potentiell uendlich (Peano-Menge), bleibt aber in jeder Konfiguration endlich, denn es folgt darauf die aktual unendliche Menge der dunklen Zahlen. Und zwei konsekutive ℵo-Mengen sind in ℕ nicht möglich.

> Tja, und jetzt umformuliert: ℕ \ {0, ..., i} ist für jedes i ∈ ℕ unendlich (aktual unendlich, vgl. Punkt b)).

Völlig einverstanden. Auch ein Mengenleerer wird niemals alle natürlichen Zahlen subtrahieren können.
>
Nur die oft gehörte Behauptung, dass alle natürlichen Zahlen wählbar seien, ist leicht widerlegbar, denn es bleiben stets fast alle ungewählt.

Viele der von mir gelesenen Bücher habe ich in https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf zitiert.

Gruß, WM

[WM]

On 25.11.2023 20:26, Mengenleerer wrote:

Korrektur: Auch ein Mengenleerer wird niemals alle natürlichen Zahlen
individuell von ℕ subtrahieren können.
Kollektiv geht das natürlich. ℕ \ ℕ ist leer.

Gruß, WM

[Dieter Heidorn]

Transfinity schrieb:

> Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 24. November 2023 um 17:45:50 UTC+1:
>> Rainer Rosenthal schrieb:
>
>> Cantor präzisierte den Begriff "Grenze" in diesem Zusammenhang so:
>
> Irrelevant für unser Thema.

Das hättest du gerne - aber du irrst.

>> Ein "Ende der aktualen Unendlichkeit" der natürlichen Zahlen ist daraus
>> nicht abzuleiten.
>
> Es ist daraus abzuleiten, dass omega, omega + 1, omega + 2, ... keine natürlichen Zahlen mehr sind. Danach folgen auch keine. Also enden sie vorher.
>

Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, andernfalls gäbe es eine
letzte, größte natürliche Zahl. Dem ist nicht so, was sich aus der
Definition der Menge ℕ ergibt. Cantor schreibt dazu:

"Die Anzahl der so zu bildenden Zahlen ny der Klasse (I) ist unendlich
und es gibt unter ihnen keine größte. So widerspruchsvoll es daher
wäre, von einer größten Zahl der Klasse (I) zu reden, hat es doch
andrerseits nichts Anstößiges, sich eine /neue/ Zahl, wir wollen sie
ω nennen, zu denken, welche der Ausdruck dafür sein soll, daß der
ganze Inbegriff (I) in seiner natürlichen Sukzession dem Gesetze nach
gegeben sei. (Ähnlich wie ny ein Ausdruck dafür ist, daß eine gewisse
endliche Anzahl von Einheiten zu einem Ganzen vereinigt wird.)

Es ist sogar erlaubt, [...]"
(Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.195)

Entsprechend verhält es sich bei den Stammbrüchen (die du auch nicht
verstanden hast): 0 ist die Grenze, welcher die Stammbrüche "zustreben"
- anders gesagt: Die Folge (1/n)_n∈ℕ hat den Grenzwert 0, der kein
Stammbruch ist. Das bedeutet jedoch nicht, dass die Stammbrüche "vor 0
enden" - es gibt keinen letzten, kleinsten Stammbruch, bei dem die Folge
der (1/n) "endet".

> Klipp und klar: "Es ist sogar erlaubt, sich die neugeschaffene Zahl omega als Grenze zu denken, welcher die Zahlen nü zustreben," [Cantor]
>

Noch klipper und klarer:

"Es ist sogar erlaubt, sich die neugeschaffene Zahl ω als /Grenze/ zu
denken, welcher die Zahlen ny zustreben,
---------------------------------------------------------------

| wenn darunter nichts anderes verstanden wird, als daß ω |
| die /erste/ ganze Zahl sein soll, welche auf alle Zahlen |
| ny folgt, d.h. größer zu nennen ist als jede der Zahlen ny."|

---------------------------------------------------------------
(Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.195)

Dieter Heidorn

[Dieter Heidorn]

Transfinity schrieb:

> Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 24. November 2023 um 18:03:37 UTC+1:
>> WM schrieb:
>
>>> Aus
>>> ∀n ∈ X: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
>> Typisch für dich: Verwendung eines nicht definierten Objekts "X".
>
> X habe ich oben als die Kollektion aller natürlichen Zahlen definiert, für die |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo gilt.
>

Und das ist die Menge ℕ der natürlichen Zahlen, weswegen es korrekt
heißt:

∀ n∈ℕ: | ℕ\{1, 2, 3, ..., n} | = ℵo

> Das ist deutlich falsch.

Nein. Entfernt man aus der Menge ℕ, deren Mächtigkeit ℵo ist, eine
endliche Menge der Mächtigkeit n, dann hat die Differenzmenge die
gleiche Mächtigkeit wie ℕ, also ℵo. Das ist leicht einzusehen, denn
ℕ\{1, 2, 3, ..., n} = {n+1, n+2, ...} steht in Bijektion zu ℕ.

> Denn wenn alle natürlichen Zahlen von omega den Abstand ℵo hätten,

Die kleinste transfinite Kardinalzahl ℵo gibt keinen Abstand an.

> Entfernt man einen endlichen Anfangsabschnitt, dann bleiben fast alle natürlichen Zahlen stehen. Denn jeder endliche Anfangsabschnitt definiert seine letzte Zahl. Folglich sind fast alle Zahlen nicht definierbar.

In der Mathematik sind alle natürlichen Zahlen definierbar. Wenn das in
deinen Wahnvorstellungen nicht gilt, dann haben diese mit Mathematik
nichts zu tun.

>> Damit ist
>>
>>> |ℕ \ X| = ℵo.
>>
>> natürlich Blödsinn.
>
> Man darf die natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft | ℕ\{1, 2, 3, ..., n} | = ℵo, die sie auch in einer Zusammenfassung behalten, nicht zusammenfassen?
>

Die natürlichen Zahlen _sind_ in der Menge ℕ zusammengefasst. Und wenn
man die Zusammenfassung ℕ verwendet und die Differenzmenge mit ℕ
bildet, dann ergibt sich notwendig

ℕ\ℕ = {}

und damit

| ℕ\ℕ | = | {} | = 0 .

In der Mathematik gilt, dass eine Eigenschaft, welche die Elemente einer
Menge besitzen, nicht notwendig auch eine Eigenschaft der Menge selbst
ist. Beispiele dafür hatten wir hier schon häufiger - insbesondere wurde
dein Blödsinn mit "ℕ\ℕ = ℵo" hier im Juli des Jahres lang und breit
auseinandergenommen und widerlegt. Dass du es immer noch nicht begriffen
hast, zeigt deutlich, dass die Beurteilung deiner Fähigkeiten durch
mehrere Teilnehmer hier völlig zutreffend ist: Du bist zu blöd für
Mathematik.

Dieter Heidorn

[WM]

On 25.11.2023 22:32, Dieter Heidorn wrote:
> Transfinity schrieb:

>>

>> Man darf die natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft | ℕ\{1, 2, 3, ...,
>> n} | = ℵo, die sie auch in einer Zusammenfassung behalten, nicht
>> zusammenfassen?
>>
>
> Die natürlichen Zahlen _sind_ in der Menge ℕ zusammengefasst.

Es geht aber um jene, deren Zusammenfassung X die Eigenschaft besitzt,
dass |ℕ \ X| = ℵo. Solche Mengen gibt es.

> Und wenn
> man die Zusammenfassung ℕ verwendet und die Differenzmenge mit ℕ
> bildet, dann ergibt sich notwendig
>
>    ℕ\ℕ = {}

Du solltest erst den vorliegenden Text lesen und zu verstehen versuchen.

>
> In der Mathematik gilt, dass eine Eigenschaft, welche die Elemente einer
> Menge besitzen, nicht notwendig auch eine Eigenschaft der Menge selbst
> ist.

Ja, das hat aber nichts damit zu tun, dass man viele natürliche Zahlen
mit der Eigenschaft |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo zusammenfassen kann, so
dass die Zusammenfassung dieselbe Eigenschaft besitzt.

Gruß, WM


>

[WM]

On 25.11.2023 22:31, Dieter Heidorn wrote:
> Transfinity schrieb:
>> Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 24. November 2023 um 17:45:50 UTC+1:
>>> Rainer Rosenthal schrieb:
>>
>>> Cantor präzisierte den Begriff "Grenze" in diesem Zusammenhang so:
>>
>> Irrelevant für unser Thema.
>
> Das hättest du gerne - aber du irrst.

Grenze heißt Grenze. " ich nenne sie daher das zweite Erzeugungsprinzip
ganzer realer Zahlen und definiere dasselbe näher dahin, daß, wenn
irgendeine bestimmte Sukzession definierter ganzer realer Zahlen
vorliegt, von denen keine größte existiert, auf Grund dieses zweiten
Erzeugungsprinzips eine neue Zahl geschaffen wird, welche als Grenze
jener Zahlen gedacht, d. h. als die ihnen allen nächst größere Zahl
definiert wird."

>> Es ist daraus abzuleiten, dass omega, omega + 1, omega + 2, ... keine
>> natürlichen Zahlen mehr sind. Danach folgen auch keine.  Also enden
>> sie vorher.
>
> Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, andernfalls gäbe es eine
> letzte, größte natürliche Zahl.

Falsch. Dunkle Zahlen haben keine erkennbare Ordnung. Tatsächlich wird
auf Grund des zweiten Erzeugungsprinzips eine neue Zahl geschaffen,
welche als Grenze jener Zahlen gedacht ist.

> Entsprechend verhält es sich bei den Stammbrüchen (die du auch nicht
> verstanden hast): 0 ist die Grenze, welcher die Stammbrüche "zustreben"
> - anders gesagt: Die Folge (1/n)_n∈ℕ hat den Grenzwert 0, der kein
> Stammbruch ist. Das bedeutet jedoch nicht, dass die Stammbrüche "vor 0
> enden" - es gibt keinen letzten, kleinsten Stammbruch, bei dem die Folge
> der (1/n) "endet".

Da die Stammbrüche in Abständen liegen, kann nur einer der erste sein.
Da dunkel, ist er unerkennbar. Merkwürdig, wie eine so einfache und
offensichtliche Tatsache durch blindes Rekapitulieren falscher
Grundlagen verdrängt werden kann.

>
>> Klipp und klar: "Es ist sogar erlaubt, sich die neugeschaffene Zahl
>> omega als Grenze zu denken, welcher die Zahlen nü zustreben," [Cantor]
>>
>
> Noch klipper und klarer:

Nein, da ist nicht Wesentliches hinzugefügt.

>
> "Es ist sogar erlaubt, sich die neugeschaffene Zahl ω als /Grenze/ zu
> denken, welcher die Zahlen ny zustreben,
>   ---------------------------------------------------------------
>   | wenn darunter nichts anderes verstanden wird, als daß ω     |
>   | die /erste/ ganze Zahl sein soll, welche auf alle Zahlen    |
>   | ny folgt, d.h. größer zu nennen ist als jede der Zahlen ny."|
>   ---------------------------------------------------------------

wonach also keine Zahlen ny mehr folgen. Also ist der Bereich, in dem
sie liegen begrenzt. Und da die natürlichen Zahlen ebenso wie die
Stammbrüche in endlichen Abständen liegen, muss es eine letzte geben.
Dass man keine solche erkennen kann, lässt sich nur durch dunkle Zahlen
erklären.

Gruß, WM

[WM]

On 25.11.2023 22:31, Dieter Heidorn wrote:

> Noch klipper und klarer:
>
> "Es ist sogar erlaubt, sich die neugeschaffene Zahl ω als /Grenze/ zu
> denken, welcher die Zahlen ny zustreben,
>   ---------------------------------------------------------------
>   | wenn darunter nichts anderes verstanden wird, als daß ω     |
>   | die /erste/ ganze Zahl sein soll, welche auf alle Zahlen    |
>   | ny folgt, d.h. größer zu nennen ist als jede der Zahlen ny."|
>   ---------------------------------------------------------------
> (Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.195)
>

"Ist 1, 2, ..., , ... irgendeine die erste Mächtigkeit habende Menge
von verschiedenen Zahlen der zweiten Zahlenklasse (so daß wir befugt
sind, sie in jener einfachen Reihenform () anzunehmen), so ist
entweder eine von ihnen die größte, sie sei , oder wenn dies nicht der
Fall ist, so gibt es eine nicht unter den Zahlen  vorkommende
bestimmte Zahl  der zweiten Zahlenklasse (II), so daß  größer ist als
alle , daß dagegen jede ganze Zahl ' <  von gewissen Zahlen der
Reihe () in der Größe übertroffen wird; die Zahlen  resp.  können
füglich die "obere Grenze" der Menge () genannt werden."

Oder aber die Zahlen  enthalten keine größte, dann besitzen sie (nach
dem zweiten Erzeugungsprinzip) eine "Grenze" ', welche auf alle 
zunächst folgt,

Somit ist  die auf alle  der Größe nach nächstfolgende Ordnungszahl;
wir wollen sie daher die "Grenze" der für wachsende  nennen

[Alles Cantor]

Also gibt es feste Grenzen im aktual Unendlichen: "Grenze ist immer an
sich etwas festes, unveränderliches, daher kann von den beiden
Unendlichkeitsbegriffen nur das Transfinitum als seiend und unter
Umständen und in gewissem Sinne auch als feste Grenze gedacht werden."
[Cantor, p. 391]

Wie kann etwas unendlich und doch begrenzt sein? Weil kein Ende in Sicht
ist im Dunkel des Bereichs vor der Grenze.

Gruß, WM



Gruß, WM

[Tom Bola]

Vollidiot WM faselt besonders abartigen Stuss - wie immer:

> Dunkle Zahlen haben keine erkennbare Ordnung.

ROTFL, zum Tränenlachen...

Du bist der Weltmeister in Totalverblödung.

[Tom Bola]

Vollidiot WM faselt besonders abartigen Stuss - wie immer:

> Wie kann etwas unendlich und doch begrenzt sein?

Lies einfach die Definitionen nach.


Widerlich, wie krankhaft verblödet du Arschloch bist...

[Mengenleerer]

Transfinity schrieb am Samstag, 25. November 2023 um 21:48:57 UTC+1:
> > Tja, und jetzt umformuliert: ℕ \ {0, ..., i} ist für jedes i ∈ ℕ unendlich (aktual unendlich, vgl. Punkt b)).
> Völlig einverstanden.

Zuvor hast du zu „∀ n∈ℕ: | ℕ\{1, 2, 3, ..., n} | = ℵo“ aber gesagt, das sei deutlich falsch. Daher der Hinweis: „∀n“ heißt so viel wie „für jedes (einzelne) n“. Grundsätzlich stimmt es zwar, dass „alle“ auch so viel wie „alle zusammen“ heißen und das bei mehr als einem Argument einen Unterschied machen kann, aber das Variablensymbol „n“ steht für ein EINZELNES Objekt.

Mit dieser Info im Hinterkopf: Würdest du beidem zustimmen?

1) Für jede natürliche Zahl n ist |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| gleich ℵo.
2) ∀n ∈ ℕ |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}|.

[Mengenleerer]

Mengenleerer schrieb am Sonntag, 26. November 2023 um 00:56:48 UTC+1:
> 2) ∀n ∈ ℕ |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}|.

KORREKTUR: ∀n ∈ ℕ |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

[Ralf Bader]

"die gleichzeitige Betrachtung aller". Aha. Wie gesagt, Mückenheim, Sie
sind für Mathematik zu doof und zu blöde und faseln nur saudummen
Scheißdreck daher.

[WM]

On 26.11.2023 00:56, Mengenleerer wrote:
> Transfinity schrieb am Samstag, 25. November 2023 um 21:48:57 UTC+1:
>>> Tja, und jetzt umformuliert: ℕ \ {0, ..., i} ist für jedes i ∈ ℕ unendlich (aktual unendlich, vgl. Punkt b)).
>> Völlig einverstanden.
>
> Zuvor hast du zu „∀ n∈ℕ: | ℕ\{1, 2, 3, ..., n} | = ℵo“ aber gesagt, das sei deutlich falsch.

Für jede definierbare natürliche Zahl ist es richtig. Eine Zahl, die am
Ende eines endlichen Anfangsabschnittes steht, ist definierbar.
Vermutlich habe ich darauf Bezug genommen.
Aber nicht für jede natürliche Zahl ist es richtig. Für fast alle ist es

falsch.

> Daher der Hinweis: „∀n“ heißt so viel wie „für jedes (einzelne) n“. Grundsätzlich stimmt es zwar, dass „alle“ auch so viel wie „alle zusammen“ heißen und das bei mehr als einem Argument einen Unterschied machen kann, aber das Variablensymbol „n“ steht für ein EINZELNES Objekt.

Das ist allbekannt. Aber die Menge X der natürlichen Zahlen, für die
|ℕ \ X| = ℵo gilt, darf man bilden, oder?

>
> Mit dieser Info im Hinterkopf: Würdest du beidem zustimmen?
>

> 1) Für jede natürliche Zahl n ist |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| gleich ℵo. > 2) ∀n ∈ ℕ |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Für jede natürliche Zahl, die einen endlichen Anfangsabschnitt besitzt,
gilt dies. Deshalb schreibe ich vorsorglich
∀n ∈ ℕ_def |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Für fast alle hingegen gilt es nicht. Denn die Menge X = ℕ_def, dieser
Zahlen erfüllt |ℕ \ X| = ℵo (so ist X definiert). Die Menge aller
natürlichen Zahlen erfüllt |ℕ \ ℕ| = 0.

Gruß, WM

[WM]

On 26.11.2023 07:26, Ralf Bader wrote:
> On 11/25/2023 11:56 AM, Transfinity wrote:
>> Ralf Bader schrieb am Freitag, 24. November 2023 um 19:20:05 UTC+1:
>>> On 11/24/2023 09:46 AM, WM wrote:
>>>> Aus ∀n ∈ X: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo  (*) folgt nämlich für
>>>> die Zusammenfassung X aller n, für die diese Gleichung gilt, |ℕ \
>>>> X| = ℵo.
>>> Nein, das folgt daraus nicht.
>>
>> Das darfst Du behaupten. Aber Deine Behauptung zeigt einmal mehr,
>> dass Du nicht folgerichtig denken kannst. Die natürlichen Zahlen mit
>> der durch (*) definierten Eigenschaft kann man nämlich in einer
>> Kollektion zusammenfassen. Sie alle besitzen diese Eigenschaft und
>> verlieren sie durch die Zusammenfassung nicht. Die ändert nämlich
>> daran überhaupt nichts. Lediglich die gleichzeitige Betrachtung aller
>> wird damit ermöglicht.

> "die gleichzeitige Betrachtung aller". Aha.

Ist doch möglich, oder? Wir sammeln alle natürlichen Zahlen, die (*)
erfüllen _und_ für deren Kollektion X gilt: |ℕ \ X| = ℵo. Also erfüllt
jede dieser Zahlen zwei Bedingungen, nämlich (*) und dass beim
Hinzufügen zu X die Differenz zu ℕ erhalte bleibt. Diese Kollektion ist
die der definierbaren Zahlen.

Niemand kann mehr zu X hinzufügen. Die Behauptung, man können jede
natürliche Zahl individuell wählen, so dass X = ℕ, ist damit widerlegt.

Gruß, WM

[Ralf Bader]

On 11/26/2023 09:59 AM, WM wrote:
> On 26.11.2023 07:26, Ralf Bader wrote:
>> On 11/25/2023 11:56 AM, Transfinity wrote:
>>> Ralf Bader schrieb am Freitag, 24. November 2023 um 19:20:05 UTC+1:
>>>> On 11/24/2023 09:46 AM, WM wrote:
>>>>> Aus ∀n ∈ X: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo (*) folgt nämlich für
>>>>> die Zusammenfassung X aller n, für die diese Gleichung gilt, |ℕ \
>>>>> X| = ℵo.
>>>> Nein, das folgt daraus nicht.
>>>
>>> Das darfst Du behaupten. Aber Deine Behauptung zeigt einmal mehr,
>>> dass Du nicht folgerichtig denken kannst. Die natürlichen Zahlen mit
>>> der durch (*) definierten Eigenschaft kann man nämlich in einer
>>> Kollektion zusammenfassen. Sie alle besitzen diese Eigenschaft und
>>> verlieren sie durch die Zusammenfassung nicht. Die ändert nämlich
>>> daran überhaupt nichts. Lediglich die gleichzeitige Betrachtung aller
>>> wird damit ermöglicht.
>
>> "die gleichzeitige Betrachtung aller". Aha.
>
> Ist doch möglich, oder? Wir sammeln alle natürlichen Zahlen, die (*)
> erfüllen _und_ für deren Kollektion X gilt: |ℕ \ X| = ℵo.

Nein, das ist nicht möglich.

> Also erfüllt
> jede dieser Zahlen zwei Bedingungen, nämlich (*) und dass beim
> Hinzufügen zu X die Differenz zu ℕ erhalte bleibt. Diese Kollektion ist
> die der definierbaren Zahlen.
>
> Niemand kann mehr zu X hinzufügen. Die Behauptung, man können jede
> natürliche Zahl individuell wählen, so dass X = ℕ, ist damit widerlegt.

Mückenheim, Sie faseln nur saublöden Scheißdreck daher.

[Transfinity]

Ralf Bader schrieb am Sonntag, 26. November 2023 um 18:58:27 UTC+1:
> On 11/26/2023 09:59 AM, WM wrote:

> >> "die gleichzeitige Betrachtung aller". Aha.
> >
> > Ist doch möglich, oder? Wir sammeln alle natürlichen Zahlen, die (*)
> > erfüllen _und_ für deren Kollektion X gilt: |ℕ \ X| = ℵo.
> Nein, das ist nicht möglich.

Warum nicht? Weil man niemals alle erwischt? In der Tat, das ist nicht möglich, denn mit jedem n müsste man auch n+1 sammeln, also sozusagen über den eigenen Schatten springen.
Besser also: wir können sammeln, was wir erwischen und nennen das X.
Niemals wird X = ℕ sein. Immer wird |ℕ \ X| = ℵo.

Das kann wohl niemand widerlegen.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 25.11.2023 um 12:13 schrieb Transfinity:
>
> Du kannst offensichtlich nicht ernsthaft diskutieren. Das liegt an Deinem Unverständnis. Natürlich hat omega nicht mit potentieller Unendlichkeit zu tun. Deswegen hat Cantor ja omega anstatt oo gewählt. omega ist die Grenze der Straße.

Du hast richtig erkannt, dass Du nicht für eine ernsthafte Diskussion
geeignet bist. Deswegen sammle ich Deine Stilblüten und Ungereimtheiten
und kommentiere sie.

Die Herbartsche Grenze grenzt in Deiner Sprechweise die hellen von den
dunklen Zahlen ab. Sie entspricht der von Dir geliebten schwammigen
potentiellen Unendlichkeit.

Und Du schreibst ganz richtig:

"Natürlich hat omega nicht mit potentieller Unendlichkeit zu tun."

Trotzdem zitierst Du Cantor mit triumphierenden "Klipp und klar":

"Es ist sogar erlaubt, sich die neugeschaffene Zahl omega als Grenze zu

denken, welcher die Zahlen anü zustreben".

Sehr schöne Präsentation für TH14, danke.

Gruß,
RR

[Dieter Heidorn]

WM schrieb:

> On 25.11.2023 22:32, Dieter Heidorn wrote:
>> Transfinity schrieb:
>
>>>
>>> Man darf die natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft | ℕ\{1, 2, 3,
>>> ..., n} | = ℵo, die sie auch in einer Zusammenfassung behalten, nicht
>>> zusammenfassen?
>>
>> Die natürlichen Zahlen _sind_ in der Menge ℕ zusammengefasst.
>
> Es geht aber um jene, deren Zusammenfassung X die Eigenschaft besitzt,
> dass |ℕ \ X| = ℵo. Solche Mengen gibt es.

Sicher - z.B. endliche Teilmengen von ℕ, welche etwa n Elemente
enthalten, also die Mächtigkeit n besitzen. Es gibt aber auch unendliche
Teilmengen M von ℕ, für die |ℕ\M| = ℵo gilt.
Beispiel: die Menge 𝔾 der geraden Zahlen. Die Differenzmenge ist
ℕ\𝔾 = 𝕌, also die Menge der ungeraden Zahlen. Letztere steht in
Bijektion mit ℕ, also ist |ℕ\𝔾| = |𝕌| = ℵo.

>> Und wenn
>> man die Zusammenfassung ℕ verwendet und die Differenzmenge mit ℕ
>> bildet, dann ergibt sich notwendig
>>
>>     ℕ\ℕ = {}

So ist es.

Entfernt man aus der Menge ℕ der natürlichen Zahlen eine endliche
Teilmenge, etwa M_n = {1, 2, 3, ..., n}, dann ist die Differenzmenge

ℕ\M_n = {n+1, n+2, ...}.

Diese steht in Bijektion mit ℕ, also ist

|ℕ\M_n| = |ℕ| = ℵo .

Entfernt man sämtliche Elemente von ℕ aus ℕ, dann bleibt die leere
Menge übrig, und damit

|ℕ\ℕ | = |{}| = 0 .

>> In der Mathematik gilt, dass eine Eigenschaft, welche die Elemente einer
>> Menge besitzen, nicht notwendig auch eine Eigenschaft der Menge selbst
>> ist.
>
> Ja,

Gut - dem zu widersprechen wäre auch völlig sinnlos.

Im vorliegenden Fall bedeutet das:

* jede natürliche Zahl n∈ℕ besitzt die Eigenschaft, dass

|ℕ\{1,2,3,...,n}| = ℵo ;

* für die Menge ℕ als Gesamtheit der natürlichen Zahlen gilt dagegen

|ℕ\ℕ| = |{}| = 0 =/= ℵo.

[Dieter Heidorn]

WM schrieb:

> On 25.11.2023 22:31, Dieter Heidorn wrote:
>> Transfinity schrieb:
>>> Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 24. November 2023 um 17:45:50 UTC+1:
>>>> Rainer Rosenthal schrieb:
>>>
>>>> Cantor präzisierte den Begriff "Grenze" in diesem Zusammenhang so:
>>>
>>> Irrelevant für unser Thema.
>>
>> Das hättest du gerne - aber du irrst.
>
> Grenze heißt Grenze.

Eben - und Grenze bedeutet damit _nicht_ "Ausschluss von Unendlichkeit".

Nach Cantor darf man

|"die neugeschaffene Zahl ω als /Grenze/ [...]
| denken, welcher die Zahlen ny zustreben, wenn darunter nichts anderes

| verstanden wird, als daß ω die /erste/ ganze Zahl sein soll, welche
| auf alle Zahlen ny folgt, d.h. größer zu nennen ist als jede der
| Zahlen ny."

Dennoch ist die Menge der natürlichen Zahlen unendlich, andernfalls gäbe

es eine letzte, größte natürliche Zahl. Dem ist nicht so, was sich aus
der Definition der Menge ℕ ergibt.

Bei der Menge der Stammbrüche ist das leichter einzusehen:

0 ist die Grenze, welcher die Stammbrüche "zustreben" - anders gesagt:
Die Folge (1/n)_n∈ℕ hat den Grenzwert 0, der kein Stammbruch ist.
Das bedeutet jedoch nicht, dass die Stammbrüche "vor 0 enden" - es gibt
keinen letzten, kleinsten Stammbruch, bei dem die Folge der (1/n)
"endet".

> Dunkle Zahlen

... gibt es in der Mathematik nicht.

> Da die Stammbrüche in Abständen liegen, kann nur einer der erste sein.

In der inversen Ordnung von SB = {1/1, 1/2, ..., 1/n, ...} ist 1/1 der
erste Stammbruch. Einen letzten, kleinsten gibt es dagegen nicht.

Dieter Heidorn

[Dieter Heidorn]

WM schrieb:

> On 25.11.2023 22:31, Dieter Heidorn wrote:
>
>> Noch klipper und klarer:
>>
>> "Es ist sogar erlaubt, sich die neugeschaffene Zahl ω als /Grenze/ zu
>> denken, welcher die Zahlen ny zustreben,
>>    ---------------------------------------------------------------
>>    | wenn darunter nichts anderes verstanden wird, als daß ω     |
>>    | die /erste/ ganze Zahl sein soll, welche auf alle Zahlen    |
>>    | ny folgt, d.h. größer zu nennen ist als jede der Zahlen ny."|
>>    ---------------------------------------------------------------
>> (Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.195)
>

> Also gibt es feste Grenzen im aktual Unendlichen: "Grenze ist immer an
> sich etwas festes, unveränderliches, daher kann von den beiden
> Unendlichkeitsbegriffen nur das Transfinitum als seiend und unter
> Umständen und in gewissem Sinne auch als  feste Grenze gedacht werden."
> [Cantor, p. 391]
>
> Wie kann etwas unendlich und doch begrenzt sein?

Ganz einfach: Cantor konstruiert die transfiniten Zahlen, die über die
natürlichen Zahlen hinausgehen durch das, was er als "erstes und zweites
Erzeugungsprinzip" bezeichnet; hinzu kommt das dritte Prinzip, das er
"Hemmungs- oder Beschränkungsprinzip" nennt.
So wie ω Limeszahl der unendlichen Menge der natürlichen Zahlen ist, die
er auch als "erste Zahlenklasse" bezeichnet, konstruiert er die "zweite
Zahlenklasse", in der ebenfalls unendliche Abschnitte auftreten, auf die
dann jeweils eine weitere Limeszahl als "Grenze" folgt und die den
Beginn eines weiteren unendlichen Abschnittes der transfiniten Zahlen
einleitet. Ebenso folgen dann weitere Zahlenklassen.

Kurz: Die "Grenzen" sind jeweils die Limeszahlen, welche auf eine
definierte unendliche Zahlenklasse folgen.

Siehe dazu S.195-199 in den "Gesammelten Abhandlungen":
https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN237853094?tify={%22pages%22%3A[207]%2C%22pan%22%3A{%22x%22%3A0.281%2C%22y%22%3A0.529}%2C%22view%22%3A%22info%22%2C%22zoom%22%3A0.48}

Dieter Heidorn

[WM]

On 26.11.2023 22:20, Dieter Heidorn wrote:

> es gibt
> keinen letzten, kleinsten Stammbruch, bei dem die Folge der (1/n)
> "endet".

Das ist die Behauptung eines Betonkopfes, der keine mathematischen
Argumente anerkennt oder sie gar nicht versteht.

Die Funktion SBZ(x) steigt von 0 bei x = 0 auf SBZ(x) > 0 bei x > 0.
Dabei kann der Anstieg nur über SBZ(x) = 1 erfolgen, weil nach jedem
Stammbruch eine Lücke folgt, über die SBZ(x) konstant ist.

>> Da die Stammbrüche in Abständen liegen, kann nur einer der erste sein.
>
> In der inversen Ordnung von SB = {1/1, 1/2, ..., 1/n, ...} ist 1/1 der
> erste Stammbruch. Einen letzten, kleinsten gibt es dagegen nicht.

Du kannst meinen Beweis verdrängen oder leugnen. Widerlegen kannst Du
ihn nicht, denn die mathematishen Tatsachen lassen sich auch durch den
stärksten Glauben nicht ändern.

Gruß, WM

[WM]

On 26.11.2023 22:22, Dieter Heidorn wrote:

> Kurz: Die "Grenzen" sind jeweils die Limeszahlen, welche auf eine
> definierte unendliche Zahlenklasse folgen.

0 ist die Limeszahl, die auf alle Stammbrüche folgt.

"Grenze ist immer an sich etwas festes, unveränderliches, daher kann von
den beiden Unendlichkeitsbegriffen nur das Transfinitum als seiend und
unter Umständen und in gewissem Sinne auch als feste Grenze gedacht
werden." [Cantor, p. 391]

Die aktual unendliche Menge der Stammbrüche ist die Grundlage für die
Möglichkeit, die potentielle Unendlichkeit schrankenlos zu erweitern. Es
bleiben stets unendlich viele Stammbrüche dunkel.

Wie mein Beweis über die Stammbrüche zeigt, kann SBZ(x) nicht von Null
auf mehr anwachsen, ohne über eine endliche Strecke bei SBZ(x) = 1 zu
verharren.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Sunday, November 26, 2023 at 10:22:41 PM UTC+1, Dieter Heidorn wrote:
> WM schrieb:
> >
> > Wie kann etwas unendlich und doch begrenzt sein? [WM]

Man kann hier viell. auch das Beispiel [0,1] nennen.