Re: Satz von Cayley-Hamilton

[Martin Vaeth]

Gerhard Strangar <g...@arcor.de> schrieb:
>
> ich verstehe den Wikipedia-Artikel zum Satz von Cayley-Hamilton leider
> nicht. Kann mir jemand einen Tipp geben, an welcher Stelle?
>
> https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cayley-Hamilton
>
> "Hintergrund: Die Aussage des Satzes von Cayley-Hamilton ist also
> keineswegs trivial, wie es folgende fehlerhafte Gleichung suggerieren
> möchte [...]"
>
> Ist es korrekt, daß bei dieser Aussage das Problem nur darin besteht,
> daß das Ergebnis keine skalare Null ist, sondern die Nullmatrix?

Nein. Das Problem in der fehlerhaften Gleichung ist, dass es eine
keineswegs triviale Operation ist, ein Polynom auf eine Matrix
anzuwenden. Wie auf der Seite erklärt, ergibt der erste Ausdruck
nach ! nur dann einen Sinn, wenn man extra dazu sagt, dass man diese
spezielle Operation meint, und die anderen Dinge wie die Multiplkation
und das Anwenden der Determinante dabei ihre übliche Bedeutung verlieren.

> [ 2 - 2 6 ]
> [ ]
> (%o72) [ - 2 - 6 2 ]
> [ ]
> [ 4 - 2 2 ]
> (%o75) (- lambda ) - 2 lambda + 44 lambda + 128
>
> [...]
> (%i76) substitute([lambda=A],%);
> [ 200 40 104 ]
> [ ]
> (%o76) [ 40 8 200 ]
> [ ]
> [ 208 40 200 ]
>
> (%i77) -A^3-2*A^2+44*A;
> [ 72 - 88 - 24 ]
> [ ]
> (%o77) [ - 88 - 120 72 ]
> [ ]
> [ 80 - 88 72 ]

Ich weiß nicht, was das merkwürdige Programm macht, das Du da benutzt.
Eine Stichprobe des ersten Matrixeintrags deutet darauf hin, dass dieses
Programm einfach nur die Formel auf jeden Eintrag der Matrix anwendet:
Der Eintrag links oben in A ist eine 2, und Dein komische Programm scheint
deswegen in der "Matrix" -A^3-2*A^2+44*A daraus links oben den Eintrag
-2^3-2*2^2+44*2 = 72
zu machen, und vermutlich analog für die anderen Einträge. Das ist aber
nicht die Matrix, die man in der Mathematik üblicherweise unter der
Martix A^3-2A^2+44*A versteht.

[Ralf Goertz]

Am Sun, 26 Sep 2021 17:50:10 +0200
schrieb Gerhard Strangar <g...@arcor.de>:

>
> Denn weiter unten kommt ein Beispiel mit der Matrix
> (%i72) A:matrix([2,-2,6],[-2,-6,2],[4,-2,2]);

> [ 2 - 2 6 ]
> [ ]
> (%o72) [ - 2 - 6 2 ]
> [ ]
> [ 4 - 2 2 ]

> zur Berechnung des charakteristischen Polynoms benötige ich lambda mit
> der Einheitsmatrix multipliziert:
> (%i73) L:matrix([lambda,0,0],[0,lambda,0],[0,0,lambda]);
> [ lambda 0 0 ]
> [ ]
> (%o73) [ 0 lambda 0 ]
> [ ]
> [ 0 0 lambda ]
>
> (%i75) ratsimp(determinant(A-L));
> 3 2

> (%o75) (- lambda ) - 2 lambda + 44 lambda + 128
>

> Das ist das charakteristische Polynom. Und wenn ich für lambda die
> Matrix A einsetze, bekomme ich nicht die Nullmatrix:

>
> (%i76) substitute([lambda=A],%);
> [ 200 40 104 ]
> [ ]
> (%o76) [ 40 8 200 ]
> [ ]
> [ 208 40 200 ]
>

> Und die Subtraktion von 128 ist nicht das Problem:

> (%i77) -A^3-2*A^2+44*A;
> [ 72 - 88 - 24 ]
> [ ]
> (%o77) [ - 88 - 120 72 ]
> [ ]
> [ 80 - 88 72 ]
>

> Nur wo ist das Problem dann?

Wie Martin schon schrieb, ist dein Programm da ein wenig merkürdig. Hier
mit pari:

? M=[2,-2,6;-2,-6,2;4,-2,2]
%1 =
[ 2 -2 6]

[-2 -6 2]

[ 4 -2 2]

? charpoly(M)
%2 = x^3 + 2*x^2 - 44*x - 128

(Es ist üblich, dass das charakteristische Polynom normiert ist, also der
Koeffizient der höchsten Potenz der Unbekannten gleich 1 ist.)

Und dann:

? M^3+2*M^2-44*M-128
%3 =
[0 0 0]

[0 0 0]

[0 0 0]

So wie es sein soll.

[Rainer Rosenthal]

Am 27.09.2021 um 07:14 schrieb Gerhard Strangar:

> Martin Vaeth wrote:
>
>> Ich weiß nicht, was das merkwürdige Programm macht, das Du da benutzt.
>> Eine Stichprobe des ersten Matrixeintrags deutet darauf hin, dass dieses
>> Programm einfach nur die Formel auf jeden Eintrag der Matrix anwendet:
>

> Ja, das war's. #-)
> In maxima geht Matrixmultiplikation nicht mit A*A, sondern A.A.
>

Non tua culpa sed maxima culpa.

Gruß,
RR