Uni-Wuerzburg: Aufforderung zum Disput:: imaginaere und komplexe Zahlen

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ungelesen,
15.03.2004, 03:02:4415.03.04
an
Hier spreche ich die Mathematiker vom Lehrstuhl für Didaktik der Uni
Wuerzburg an, die aktuell dieses Thema auf Ihrer Website behandeln.
http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/persons/roth/veroeffentlichungen/Zahl_i/zahl_i.pdf
Die vielen, die dies so oder ähnlich lehren, sollten sie nicht ohne
Unterstützung lassen.

Aus Worten, wie imaginär, Gauss-Ebene, komplexe Ebene, i-Zeiger (von
anderen Lehrern Imaginärteil genannt) wird ein Schleier gewoben und
über die reelle Ebene gebreitet. Es wird der Anschein erweckt als gäbe
es neben den Koordinaten, reellen Zahlenpaaren und Vektor-Pfeilen
noch ein zweites System, ein "Zeichenspiel" mit besonderen Regeln, und
eben dies wird hier vorgestellt. Also:

Wie beschreiben Sie den mathematischen Unterschied zwischen einer
imaginären Achse und der zweiten reellen, der y-Achse in einem
rechtwinkligen Koordinatensytem? Oder ist es nur eine andere
Bezeichnung ?
Was ist mathematisch eine Gauss-Ebene (auch komplexe Ebene) im
Unterschied zu einer Ebene ?
Realteil und Imaginärteil einer komplexen Zahl, hier reeller und
i-Zeiger genannt - ist das etwas anderes als die erste bzw. die zweite
Komponente eines Vektors ?

(3,4) ist ein geordnetes Paar reller Zahlen, es kann eine Position in
einem Koordinatensystem bezeichnen, mit einer Addition eine
Verschiebung verrichten und mit einer Multiplikation eine
Drehstreckung, und es ist durch einen Pfeil darstellbar. Damit ist der
'imaginäre' Schleier überflüssig.
Dies wird eine "formale" Definition komplexer Zahlen genannt,- was
ist dann aber eine inhaltliche oder sonstwie nicht nur formale
Definition ? Wenn Quadratwurzel aus minus eines = (0,1) ist (weil
(0,1)*(0,1)=( - 1,0) ), gibt es dann ein noch ein anderes i, das nicht
nur eine andere und manchmal praktische Bezeichnung für Wuzel minus 1
ist, sondern mathematisch, inhaltlich hiervon verschieden oder
irgendwie (wie?) imaginär ist?
Oder heißt "formal" und "Zeichenspiel", man kann oder braucht es nicht
zu begreifen ?
Ein Schachspiel kann man mit Holzfiguren oder mit Figuren aus Ton
spielen, was der eine Feld B4 nennt, kann ein anderer als 4+i*B
bezeichnen - gibt es hier nun ein Spiel oder zwei nach verschiedenen
Regeln ?
Dies ist ein Diskussionbeitrag, keine Anklage. Bei den Germanen wurden
auf öffentlichen Plätzen Diskussionen als Gerichtsverhandlungen
geführt - hier geht es dagegen um die griechische Tradition von
Disputen auf Marktplätzen, sogar um mathematische Dinge. Und damit
steht allen -außer mir - jederzeit das Recht zu, ihren Standpunkt als
nur zum Zwecke des Disputs angenommen darzustellen.
Google und usenet sei Dank, daß sie dies ermöglichen.
Akzeptieren Sie meinen Standpunkt, dann erkennen Sie, daß eine Menge
Arbeit auf die Didaktiker der Mathematik zukommt, daß sich eine
reizvolle Zukunft anzeigt. Interessanter wird's natürlich, wenn Sie
mir widersprechen.
Ich freue mich auf Ihren Beitrag
Hero

Christian Schroeder

ungelesen,
15.03.2004, 04:42:3115.03.04
an
Hero schrieb:

Bevor du nicht einen Realnamen, also kompletten Namen, einträgst, werden
die Antworten eher mager ausfallen...
Zum Thema: Komplexe Zahlen lassen sich gut anschaulich erklären: Mit
Wechselstromrechnung, Überlagerung vom gleichförmiger und gleichmäßig
beschleunigter Bewegung, Schwingungen und durch den Vergleich zur
Vektorrechnung.

--
Gruß Christian
Wir müssen uns Sisyphos als glücklichen Menschen vorstellen!

Florian Schaudel

ungelesen,
15.03.2004, 05:19:5115.03.04
an
Hero.van...@gmx.de (Hero) wrote in
news:b3413824.04031...@posting.google.com:

> http://www.didaktik.mathematik.uni-uerzburg.de/persons/roth/veroeffent
> lichungen/Zahl_i/zahl_i.pdf

Diese URL ist ungültig.

<SNIP>


> Oder heißt "formal" und "Zeichenspiel", man kann oder braucht es nicht
> zu begreifen ?

Lange Schreibe, kurzer Sinn:
Man kann eben mindestens zwei verschiedene Zugänge zu den k0omplexen Zahlen
wählen, von denen ich zumindest keine als "formaler" oder "intuitiver"
bezeichnen würde: Entweder man definiert eine Addition und Multiplikation
auf dem (Vektorraum) R^2 oder ergänzt die reellen Zahlen so, dass alle
Polynome faktorisierbar sind.

Man wird dann jeweils irgendwann "überrascht" feststellen, dass die so
erhaltenen Strukturen genau die auch jeweils andere Eigenschaft haben. Und
zwei mathematische Objekte mit exakt den gleichen Eigenschaften benennt man
eben auch gleich, unabhängig, wie man darauf gekommen ist.

> Dies ist ein Diskussionbeitrag, keine Anklage.

Weder, noch, es ist eine Reihe von Fragen!

> Akzeptieren Sie meinen Standpunkt

Das Probelm ist nur: Du hast gar keinen Standpunkt vertreten! Das bedeutet:

> Interessanter wird's natürlich, wenn Sie
> mir widersprechen.

Es gibt auch nichts, wo man Dir widersprechen könnte, selbst wenn man
anderer Meinung sein wollte.
Beispiel: Hättest Du geschrieben: "Die Sonne scheint hell", dann könnte man
ja erwiedern: "Nein, Sonnenlicht ist dunkel", selbst wenn es falsch ist.
Aber wie widerspricht man der Frage "Wie scheint die Sonne?"?

Gruss, Florian

Franz Lemmermeyer

ungelesen,
15.03.2004, 07:20:3315.03.04
an
Florian Schaudel schrieb in der newsgroup
de.sci.mathematik:
> > http://www.didaktik.mathematik.uni-uerzburg.de/
> > persons/roth/veroeffentlichungen/Zahl_i/zahl_i.pdf
>
> Diese URL ist ungültig.

Versuch's mal mit einem w vor dem uerzburg.

franz
--
Immer auf dem aktuellen Stand mit den Newsgroups von freenet.de:
http://newsgroups.freenet.de


Christian Schroeder

ungelesen,
15.03.2004, 11:47:3515.03.04
an
Franz Lemmermeyer schrieb:

> Florian Schaudel schrieb in der newsgroup
> de.sci.mathematik:
> > > http://www.didaktik.mathematik.uni-uerzburg.de/
>
>>>persons/roth/veroeffentlichungen/Zahl_i/zahl_i.pdf
>>
>>
>>Diese URL ist ungültig.
>
>
> Versuch's mal mit einem w vor dem uerzburg.

Die URL ist trotzdem ungültig.

Hendrik van Hees

ungelesen,
15.03.2004, 12:42:0915.03.04
an
Christian Schroeder wrote:

> Die URL ist trotzdem ungültig.
>

Kurzer Click auf die Seite hat folgende URL ergeben

http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/persons/roth/veroeffentlichungen/zahl_i/zahl_i.pdf

Ich hab's nicht gelesen, es soll also nicht als Empfehlung verstanden sein.

--
Hendrik van Hees Cyclotron Institute
Phone: +1 979/845-1411 Texas A&M University
Fax: +1 979/845-1899 Cyclotron Institute, MS-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/ College Station, TX 77843-3366

Robert K.

ungelesen,
15.03.2004, 14:00:4415.03.04
an
Christian Schroeder wrote:
> Hero schrieb:
>
> Bevor du nicht einen Realnamen, also kompletten Namen, einträgst, werden
> die Antworten eher mager ausfallen...
> Zum Thema: Komplexe Zahlen lassen sich gut anschaulich erklären: Mit
> Wechselstromrechnung, Überlagerung vom gleichförmiger und gleichmäßig
> beschleunigter Bewegung, Schwingungen und durch den Vergleich zur
> Vektorrechnung.
>
Komisch, das Gegentum erwies sich gar oft.
Vielleicht solltest du mal diese Einstellung aufgeben, denn es gibt hier
kaum wirkliche Trolle, die daher nur unter Pseudonym senden. Es gibt
1000 andere Gründe pseudonym zu sein und zu bleiben. Der Kompetenz tut
das jedenfalls nix.


PS. Bitte.

jblazi

ungelesen,
15.03.2004, 14:32:5415.03.04
an
On Mon, 15 Mar 2004 00:02:44 -0800, Hero wrote:

> Hier spreche ich die Mathematiker vom Lehrstuhl für Didaktik der Uni
> Wuerzburg an, die aktuell dieses Thema auf Ihrer Website behandeln.
> http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/persons/roth/veroeffentlichungen/Zahl_i/zahl_i.pdf
> Die vielen, die dies so oder ähnlich lehren, sollten sie nicht ohne
> Unterstützung lassen.

[...]

Ich weiß nicht, was man gegen die Ausführungen im besagten Dokument
einwenden kann (abgesehen vielleicht davon, daß sie nichts Neues
enthalten und es nicht klar ist, warum sie geschrieben wurden).

Es gibt in der Tat verschiedene Wege, komplexe Zahlen einzuführen, aber
welchen Weg man auch wählt, wird an dem Lernerfolg nichts ändern und
wird auch das Motivationsproblem nicht lösen.

NEEDHAM sagt in seinem schönen Buch Visual Complex Analysis:
"Even with the benefit of enormous hindsight, it is hard to introduce
complex numbers in a compelling manner."

Und dem ist schwer etwas hinzuzufügen.

Janos Blazi


----== Posted via Newsfeed.Com - Unlimited-Uncensored-Secure Usenet News==----
http://www.newsfeed.com The #1 Newsgroup Service in the World! >100,000 Newsgroups
---= 19 East/West-Coast Specialized Servers - Total Privacy via Encryption =---

Hermann Kremer

ungelesen,
15.03.2004, 16:38:1615.03.04
an
Christian Schroeder schrieb in Nachricht ...

>Franz Lemmermeyer schrieb:
>> Florian Schaudel schrieb in der newsgroup
>> de.sci.mathematik:
>> > >
http://www.didaktik.mathematik.uni-uerzburg.de/persons/roth/veroeffentlichungen/Zahl_i
/zahl_i.pdf
>>>
>>>Diese URL ist ungültig.
>>
>> Versuch's mal mit einem w vor dem uerzburg.
>
>Die URL ist trotzdem ungültig.

Dann versuchs mal von
http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/persons/roth/roth.html
--> Publications ...

Grüße
Hermann
--

Hermann Kremer

ungelesen,
15.03.2004, 19:54:3815.03.04
an
Hero schrieb in Nachricht ...

>Hier spreche ich die Mathematiker vom Lehrstuhl für Didaktik der Uni
>Wuerzburg an, die aktuell dieses Thema auf Ihrer Website behandeln.
http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/persons/roth/veroeffentlichungen/zahl_

i/zahl_i.pdf
>Die vielen, die dies so oder ähnlich lehren, sollten sie nicht ohne
>Unterstützung lassen.
>
>Aus Worten, wie imaginär, Gauss-Ebene, komplexe Ebene, i-Zeiger (von
>anderen Lehrern Imaginärteil genannt) wird ein Schleier gewoben und
>über die reelle Ebene gebreitet. Es wird der Anschein erweckt als gäbe
>es neben den Koordinaten, reellen Zahlenpaaren und Vektor-Pfeilen
>noch ein zweites System, ein "Zeichenspiel" mit besonderen Regeln, und
>eben dies wird hier vorgestellt. Also:
[ ... ]

>Akzeptieren Sie meinen Standpunkt, dann erkennen Sie, daß eine Menge
>Arbeit auf die Didaktiker der Mathematik zukommt, daß sich eine
>reizvolle Zukunft anzeigt. Interessanter wird's natürlich, wenn Sie
>mir widersprechen.

Hmm, welchen Standpunkt?

Und da oben die sog. Gauß'sche Zahlenebene angesprochen wird: Die stammt
nicht von Carl Friedrich Gauß, sondern von dem dänischen Landvermesser
Caspar Wessel. Ich würde es sehr begrüßen, wenn die Didaktiker auch die
historischen Zusammenhänge etwas aufbereiten würden ...
Über Wessel, Gauß und Argand lief vor kurzer Zeit ein Thread in dieser NG; hier
einige wichtige Teile daraus:
======================================
From: "Hermann Kremer" <hermann...@online.de>
Newsgroups: de.sci.mathematik
Subject: Re: Was ist das "Cavalierische Prinzip" Prinzi?
Date: Sat, 21 Feb 2004 23:51:00 +0100
Message-ID: <news:c18nb0$ldv$1...@online.de>

Rainer Rosenthal schrieb in Nachricht ...
>Jutta Gut wrote

[ ... ]

>Der Name "Argand" ist bei den französischen Nachbarn mit
>der komplexen Zahlenebene verbunden.
>Dazu ein kleiner Link mit 'ner Briefmarke:
>=====================================
>http://wwwhome.cs.utwente.nl/~jagersaa/Complex_plane/Bar.html
>As early as 1787 the Norwegian surveyor Caspar Wessel (his
>elder brother Johan Herman was to earn national fame as a
>Danish poet and writer) had the idea of representing the field
>of complex numbers geometrically as a 2-dimensional space over
>the reals, a plane, now universally known as the complex plane
>[of course history had to wait, among other things, for Richard
>Dedekind for a rigorous definition of a real number in terms
>of the "familiar" rationals]. Wessel's publication dates from
>1799. Seven years later Argand's (anonymous!) booklet: "Essai
>sur une manière de représenter les quantités imaginaire dans
>les constructions géométriques" appeared. Its history makes
>fascinating reading. In Germany one speaks of the: "Gausssche
>Zahlenebene" after the 1831 work of Gauss. The integer lattice
>Z[i] = {a+bi | a,b in Z}, within it, forms a ring, generally
>called the ring of Gaussian integers.
>=====================================

... und natürlich auch
http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono1/Argand.html
worin Caspar Wessel und Carl Friedrich Gauß gebührend gewürdigt werden,
sogar mit eigenen Chronomath-Links und ebenfalls mit Briefmarken:
http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono1/wessel.html
http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono1/Gauss.html

[ .... ]

Die Wessel-Juel-Argand-Legendre-Gergonne-Francais-Cauchy-etc.-
Geschichte steht im wesentlichen in
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Argand.html
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Wessel.html

Die Originalarbeiten habe ich auch ausgebuddelt, und da sie in französisch
sind ....
... hier zunächst
die JFM-Rezensionen. Man beachte, daß die Wessel'sche Arbeit von den
damaligen JFM-Redakteuren für so interessant gehalten wurde, daß man
[die französische Übersetzung] von zwei Rezensenten besprechen ließ,
nämlich von Karl Otto Emil Lampe aus Berlin [den hatten wir ja kürzlich schon
mal] und Herman Valentiner aus Kopenhagen [den hatten wir noch nicht, daher
http://www.lysator.liu.se/runeberg/dbl/18/0207.html , leider nur auf dänisch].
Den Rezensenten der Argand'schen Arbeit, Otto Stolz aus Innsbruck, hatten
wir übrigens auch vor kurzem ...

====================================================
Electronic Research Archive for Mathematics Jahrbuch Database
====================================================
JFM 27.0465.12
Wessel, C.
Om directionens analytiske Betegning, ett forsög, anvendt fornemmelig til plane
og sphaeriske Polygoners Oplösning. Med en fortale af S. Lie. (Danish) [B]
Arch. Math. og Naturv. 69 S. gr. $8°. Published: (1896)

Bericht im nächsten Jahrgange, siehe JFM 28.0497.03.

Subject heading: Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Kapitel 1.
Lehrbücher, Coordinaten. Weitere Litteratur.
====================================================
JFM 28.0045.02
Wessel, Caspar
Essai sur la représentation analytique de la direction. Traduction du mémoire
initulé: Om Directionens analytiske Betegning (Nyt Samling af det Kongelige
Danske Videnskabernes Selskafts Skriftcr, Femte Del. Kjöbenhavn 1799). Publié
avec les trois planches de l'original et préfaces de MM. H. Valentiner et T. N.
Thiele par l'Académie Royale des Sciences et des Lettres de Danemark, à
l'occasion du centenaire de sa présentation à l'Académie le 10 mars 1797.
(French) [x]
Copenhague: Bianco Luno. XIV + 60 S. 4°. Published: (1897)

In der von uns in F. d. M. 26, 45 (siehe JFM 26.0045.05) nur mit dem Titel
angeführten Schrift von S. A. Christensen: ,,Mathematikens Udwikling i Danmark
og Norge i det 18. Aarhundrede'' (Odense 1895) wird die Arbeit Wessel's zum
ersten Male seit ihrem Erscheinen wieder erwähnt; dieser Umstand hat mehrere
dänische Gelehrten veranlasst, nähere Ermittelungen über sie anzustellen. Zur
grossen Ueberraschung der mathematischen Welt ergab sich, dass in dieser
vergessenen Abhandlung aus den Schriften der dänischen Akademie eine Theorie für
die geometrische Deutung der imaginären Zahlen gegeben ist, vollständiger und
folgerichtiger in ihrem Zusammenhange mit der Streckenrechnung entwickelt als
bei Argand (1806), so dass dieser die Priorität an Wessel abtreten muss. Um die
Schrift allgemein zugänglich zu machen, hat die dänische Akademie sie ins
Französische übersetzen und in dieser Sprache unter der Aufsicht von Zeuthen
drucken lassen. Der neuen Ausgabe gehen zwei Vorreden voran. Die eine von
Valentiner berichtet über die Auffindung der Arbeit, den Lebensgang von Wessel
und den Inhalt der Abhandlung. Danach ist Caspar Wessel zu Jonsrud in Norwegen
am 8. Juni 1745 als Predigersohn geboren; er hatte noch 12 Geschwister. Von 1757
bis 1763 besuchte er das Gymnasium zu Christiania, studirte 1763 bis 1764 in
Kopenhagen, wurde dann schon bei der Landesaufnahme verwendet und blieb
Feldmesser der Akademie bis 1805; er starb 1818. Johann Hermann Wessel, einer
seiner Brüder, war norwegisch-dänischer Dichter; ein anderer Bruder O. Chr.
Wessel Generalauditeur von Norwegen.
Die Schrift selbst verrät trotz ihres consequenten Gedankenganges die Unbekanntschaft
des Verf. mit manchen technischen Ausdrücken. Mit voller Klarheit spricht der Verf.
das
Ziel seiner Untersuchungen aus:
,,Die gegenwärtige Abhandlung bezweckt die Beantwortung der Frage, wie die
Richtung analytisch dargestellt werden muss, d. h. wie man die Abschnitte von
Geraden ausdrücken müsste, wenn man mittels einer einzigen Gleichung zwischen
einer einzigen unbekannten Linie und anderen gegebenen Linien einen Ausdruck
finden wollte, der gleichzeitig die Länge und die Richtung der Unbekannten
darstellt.''
Indem $\sqrt{-1}$ durch $\varepsilon$ bezeichnet wird, nähert sich der Verf. in
Ausdrücken von der Form $\cos u+\varepsilon\sin u$ und in den Rechnungen mit
denselben vollständig der jetzt üblichen Bezeichnung.
Nach der Darstellung der Theorie folgen Anwendungen auf das Theorem von Cotes und
die Auflösung ebener Polygone, letztere besonders interessant für die damalige Zeit.
In der Uebertragung dieser Betrachtungen auf den Raum ist Wessel sogar nahe
daran, die Quaternionenrechnung zu erfinden, und Thiele zeigt in der zweiten
Vorrede, wie man, von den Ueberlegungen Wessel's ausgehend, dieselben zu einer
Quaternionentheorie ausbilden kann.

[ Lampe, Prof. (Berlin) ]

Subject heading: Erster Abschnitt. Geschichte und Philosophie. Kapitel 1.
Geschichte. B. Geschichte einzelner Disciplinen.
====================================================
JFM 28.0497.03
Wessel, Caspar
Essai sur la représentation analytique de la direction. Traduction du mémoire
intitulé: Om Direktionens analytiske Betegning (Kjöb. 1799). Publié avec les
trois planches de l'original et préfaces de MM. H. Valentiner et T. N. Thiele
par l'Académie des sciences et des lettres de Danemark. (French) [x]
Copenhague. XIV + 60 S. 4°. Published: (1897)

Diese Abhandlung, welche vermutlich die älteste ist, die eine vollständige
Theorie der imaginären Zahlen enthält, wurde am 10. März 1797 der königlichen
Akademie der Wissenschaften in Kopenhagen vorgelegt. Der Verf., 1745 in Norwegen
geboren, kam 1763 nach Dänemark, wo er später sein ganzes Leben als Feldmesser
verbrachte. Er starb 1818. In seinem Berufe war er sehr geschätzt; einen grossen
Teil der Triangulation und der genauen Aufnahme des Königreichs hat er besorgt.
Im Jahre 1815 wurde er Ritter des Danebrogs; dies wird nur deshalb angeführt,
weil es sicher damals für einen Feldmesser eine aussergewöhnliche Ehrenbeweisung
gewesen ist. Von seinen Fähigkeiten als Mathematiker haben wir gar keine
Nachrichten. Die Tradition schweigt ganz davon. Nichts desto weniger ist das in
Rede stehende Werk eine sehr bemerkenswerte Leistung.
Mit den eigenen Worten des Verf. werde der Zweck des Werkes angegeben. Er sagt:
Diese Abhandlung hat zum Gegenstande die Frage: wie kann die Richtung
analytisch dargestellt werden, d. h. wie kann man die Abschnitte von Geraden
darstellen, wenn man mittels einer einzigen Gleichung zwischen einer unbekannten
Strecke und anderen bekannten Strecken einen Ausdruck finden wollte, welcher
auf einmal die Länge und die Richtung der unbekannten Strecke darstellt?
Weiter sagt er:
Was mir die Veranlassung gegeben hat, diese Abhandlung zu schreiben, ist,
dass ich eine Methode suchte, welche mir erlaubte, die unmöglichen Rechnungen
zu vermeiden. Nachdem ich sie gefunden habe, habe ich sie dazu verwendet,
mich der allgemeinen Gültigkeit einiger wohlbekannten Formeln zu versichern.
In diesem Programme ist die Tendenz der ganzen Abhandlung gegeben.
Mit einer merkwürdigen Klarheit beginnt er die Entwickelung seiner Principien und
leitet er in dem ersten Abschnitte Regeln ab für die Rechnung mit Geraden in einer
Ebene, wenn die Geraden in Richtung und Grösse gegeben sind. Er definirt die
Addition und Multiplication solcher Linien und zeigt, wie diese Definitionen
dazu führen, dass man den Rechnungen mit imaginären Zahlen einen reellen Sinn
beilegen kann. Er hat auch einen klaren Blick für die Wichtigkeit des
commutativen und des distributiven Princips; er beweist das erste für die
Addition, das zweite für die Multiplication (das erste Princip ist für die
Multiplication durch seine Definition unmittelbar einleuchtend). Von dem zweiten
Principe sagt er, dass es die Grundlage für die Theorie der Gleichungen und der
ganzen Functionen und ihre Zerlegung in ,,Factores simplices'' bildet. Dagegen
äussert er, dass dieses Princip nicht gilt für die Multiplication von Geraden,
die nicht alle in einer Ebene liegen, was mit seiner Definition der
Multiplication von solchen Geraden stimmt. Anwendungen von den Rechnungen mit
complexen Zahlen macht er nur wenige, indem sie allein dazu verwendet werden,
den Satz von Cotes zu beweisen und die Auflösung der ebenen Polygone zu
finden.
Wenn es nun schon merkwürdig ist, dass ein Mann, der nicht als
wissenschaftlicher Mathematiker ausgebildet wurde, eine vollständige
geometrische Theorie der gewöhnlichen complexen Grössen gegeben hat, so ist es
noch merkwürdiger, dass derselbe ausserdem in den letzten Abschnitten seiner
Abhandlung eine Quaternionentheorie ausgebildet hat.
Ein Punkt, der die Coordinaten $x,y,z$ hat, wird mit $x+\varepsilon y+\eta z$
bezeichnet, wo sowohl $\varepsilon^2$ als $\eta^2$ gleich $-1$ sind. Er führt
jetzt das Zeichen ,, (Multiplication) ein, indem er nur Factoren von den Formen
$\cos\alpha+\varepsilon\sin\alpha$ und $\cos\beta+\eta\sin\beta$ verwendet.
Unter $(x+\varepsilon y+\eta z)$ ,, $(\cos\alpha+\varepsilon\sin\alpha)$
versteht er nun, dass der Punkt $x,y,z$ um einen Winkel $\alpha$ um die
$z$-Axe gedreht wird, oder dass die Multiplication wie gewöhnlich ausgeführt wird,
indem nur $\varepsilon^2 = -1$ ist, und das Glied $\eta z$ nicht durch die
Multiplication geändert wird. Ebenso wird durch ,,$(\cos\beta+\eta\sin\beta)$''
eine Drehung um die $y$-Axe angegeben. Indem er nun die Winkel und Seiten eines
sphärischen Polygons mit $I,III$, ..., $II,IV$, ... bezeichnet, ferner
$\cos I+\varepsilon\sin I$ mit $I'$, $\cos II+\varepsilon\sin II$ mit $II'$, ...,
zeigt er, dass $$s ,, I' ,, II' ,, III' ,, IV',, \dots = s$$, indem $s$ eine
willkürliche Grösse von der Form $x + \varepsilon y + \eta z$ ist. (Er nennt
immer Winkel, was wir Nachbarwinkel nennen.) Hierdurch findet er mittels einer
einzigen Gleichung alle die Gleichungen, die zur Lösung des sphärischen Dreiecks
dienen.
Endlich verwendet er noch seine Theorie zur Lösung der nicht ebenen Polygone;
hierzu braucht er zwei Gleichungen, von welchen die eine mit der obenstehenden
identisch ist, während die andere aussagt, dass die Summe der Seiten gleich Null
ist. Bemerkenswert ist es, dass er zwei Grössen einführt, deren zweite Potenz
gleich $-1$, und dass er eine Multiplication einführt (Wessel selbst nennt es
jedoch nicht Multiplication), in der die gewöhnlichen Principien nicht gelten.
Er sagt selbst, das Zeichen ,, entspricht nur halb dem gewöhnlichen
Multiplicationszeichen.
Valentiner und Thiele haben zwei Vorreden geschrieben; die erste enthält
geschichtliche Daten, die zweite vergleicht im wesentlichen Wessel's
Quaternionentheorie mit der gewöhnlichen.

[ Valentiner, Dr. (Kopenhagen) ]

Subject heading: Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Kapitel 1.
Lehrbücher, Coordinaten.
====================================================
JFM 06.0234.04
Argand, R.
Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les
constructions géométriques. 2. édition pr'ecédée d'une préface par M. J. Hoüel
et suivie d'un appendice contenant des Extraits des Annales de Gergonne,
relatifs à la question des imaginaires. (x)
Title in English: Essay on a method of representing imaginary quantities in
geometrical constructions. 2nd. Edition with a preface by M. J. Hoüel and an
appendix containing extracts from the Annals of Gergonne about the question of
imaginary numbers. [x]
Paris. Gauthier-Villars. 8°. Published: 1874

(Die Vorrede des Herrn Hoüel ist auch abgedruckt in Darboux Bull. VII. 145-151.)

Die Vorrede giebt eine eingehende Schilderung, wie die richtige Auffassung
der imaginären Grössen in Frankreich allmälig zu allgemeiner Geltung gelangte.
Bereits 1806 wurde dieselbe von Argand in der hier wieder abgedruckten
Abhandlung vorgetragen. Diese Schrift, die nur an wenige Personen vertheilt
wurde, blieb beinahe ganz unbeachtet. 7 Jahre später veröffentlichte der
Artillerie-Officier Français zu Metz im IV. Bande der Annalen von Gergonne den
Abriss einer Theorie, zu der er die erste Idee einem Briefe Legendre's an seinen
Bruder entnommen hatte. Legendre sagt darin, er habe dieselbe von einem Andern
erhalten, ohne jedoch dessen Namen zu nennen. Dieser Artikel kam Argand zu
Gesichte, welcher sogleich eine Note an Gergonne richtete, worin er sich als den
Verfasser der im Briefe von Legendre citirten Arbeit erklärte und zugleich eine
Uebersicht über den Inhalt der oben erwähnten Abhandlung gab. Die Note enthält
ausserdem einen verfehlten Versuch, seine Methode der Darstellung der Strecken
auf den Raum von drei Dimensionen auszudehnen.
Diese beiden Veröffentlichungen veranlassten eine Erörterung, an der Francais,
Gergonne und Servois theilnahmen, und die mit einem bemerkenswerthen Aufsatze
Argand's endigte. Darin setzte er mehrere Punkte seiner Theorie viel befriedigender
auseinander, namentlich verbesserte er seinen Beweis des Fundamentalsatzes der
Algebra gegen die Einwendungen von Servois, indem er ihn zurückführte auf die
Annahme, dass der absolute Betrag einer ganzen Function ein Minimum haben müsse.
Diese fünf verschiedenen Artikel, welche eine natürliche Ergänzung der
ersten Arbeit von Argand bilden, sind in dem Anhange am Schlusse des Buches
vereinigt.
Es ist bekannt, dass auch jetzt noch die neue Theorie in Frankreich unbeachtet blieb,
bis ihr endlich das Anschen von Cauchy Eigang verschaffte.
Man findet in der Vorrede auch die höchst spärlichen Notizen über die äusseren
Lebensumstände von Argand zusammengestellt.
Der Inhalt des ``Essai'' ist kurz folgender. Ausgehend von der Definition gleicher
Verhältnisse von Strecken-Paaren wird die Addition und die Multiplication
derselben entwickelt. Dann werden Anwendungen der Multiplication gegeben und
zwar Reihenentwickelungen der cyklischen Functionen, geometrische Formeln, der
Cotes'sche Satz in der erweiterten Form von Moivre, endlich ein Beweis des
ptolemäischen Satzes über das Kreisviereck. Den Schluss bildet ein Beweis des
Fundamentalsatzes der Algebra, jedoch, wie eben angedeutet wurde, noch nicht
völlig befriedigend.

[ Stolz, Prof. (Innsbruck) ]

Subject heading: Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 1. Allgemeines.

MSC 2000:
*01A55 Mathematics in the 19th century
30-03 Historical (functions of a complex variable)

Keywords: Complex plane; Argand diagramm; Gau\ss\ diagramm
Biographical Remarks: See above.
Consultant: Patterson, S. J. (G\"ottingen)
Consultant's remarks: This is an historical reprint of Argand's 1806 paper with
commentary.

Additional Library Fields:
Edition: 2. ed.
Place of Publication: Paris
Notes: Suivie d'un appendice contenant des entraits des annales de Gergonne
relatifs á la question des imaginaires
Signatory at SUB: 07: 8 MATH III, 6244
====================================================
[ ... ]
======================================
From: "Hermann Kremer" <hermann...@online.de>
Newsgroups: de.sci.mathematik
Subject: Re: Was ist das "Cavalierische Prinzip" Prinzi?
Date: Tue, 24 Feb 2004 18:59:01 +0100
Message-ID: <news:c1g3b5$utk$1...@online.de>

[ ... ]

EYPHKA, ich habe die Quellen (teilweise) online gefunden ...
... die von Hieronymus Georg Zeuthen
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Zeuthen.html
erstellte französische Übersetzung der Arbeit von Caspar Wessel
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Wessel.html

Wessel, Caspar:
Essai sur la représentation analytique de la direction. Traduction du mémoire
intitulé: Om Directionens analytiske Betegning (Nyt Samling af det Kongelige
Danske Videnskabernes Selskafts Skrifter, Femte Del. Kjöbenhavn 1799). Publié
avec les trois planches de l'original et préfaces de MM. H. Valentiner et T. N.
Thiele par l'Académie Royale des Sciences et des Lettres de Danemark, à
l'occasion du centenaire de sa présentation à l'Académie le 10 mars 1797.
Copenhague: Bianco Luno. XIV + 60 S. 4°. Published: (1897)

gibt es bei BNF einschließlich der Vorworte der Messieurs
Herman Valentiner
http://www.lysator.liu.se/runeberg/dbl/18/0207.html
und Thorvald Nicolai Thiele:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Thiele.html
und der drei Tafeln aus der Originalausgabe:

http://gallica.bnf.fr/scripts/ConsultationTout.exe?O=N099681


Das Büchlein von Jean Robert Argand
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Argand.html

Argand, R.
Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les
constructions géométriques. 2. édition précédée d'une préface par M. J. Hoüel
et suivie d'un appendice contenant des Extraits des Annales de Gergonne,
relatifs à la question des imaginaires.
Title in English: Essay on a method of representing imaginary quantities in
geometrical constructions. 2nd. Edition with a preface by M. J. Hoüel and an
appendix containing extracts from the Annals of Gergonne about the question of
imaginary numbers.
Paris. Gauthier-Villars. 8°. Published: 1874

mit dem Vorwort von Jules Guillaume Hoüel
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Houel.html
habe ich dort leider nicht gefunden; da aber der (aus der Gegend, aus der
auch der leckere Calvados kommt, stammende) Monsieur 'Oh-Üh-El über
seine historischen Arbeiten auch in diversen Zeitschriften geschrieben
hat, besteht noch eine gewisse Hoffnung ...
====================================

Grüße
Hermann
--

Hero

ungelesen,
16.03.2004, 04:01:2516.03.04
an
Christian Schröder und auch Robert K.(-K?-) frug nach meinem
"Realnamen, also kompletten Namen" - er steht ziemlich groß in meiner
e-mail-Adresse.

Christian Schröder gab gute Beispiele und schreibt:
"Komplexe Zahlen lassen sich gut anschaulich erklären: Mit ...
und durch den Vergleich zur Vektorrechnung. " Man braucht sie nicht
vergleichen, komplexe Zahlen sind Vektoren und umgekehrt. Ob ich 3+i*4
schreibe oder (3,4) ist dasselbe. So ist etwa i*(3,4) = ( - 4,3), man
kann sie also sogar mixen. Gelehrt wird ja allerdings einmal
Vektorrechnung (ohne 2D-Multiplikation) und in einem anderen Kapitel
komplexe Zahlen.
Ob Du einem Computer die zweite Komponente eines geordneten
Zahlenpaares eingibst oder den Imaginärteil einer komplexen Zahl, er
rechnet damit gleich. Du kanst ihn an die y-Achse auch "imaginäre
Achse" schreiben lassen. Aber sollen wir uns das antun ?

Florian Schaudel schrieb:
"Wie scheint die Sonne?"
An der Uni Wuerzburg und anderen Lehrorten kann die Schwingungsebene
des Sonnenscheins durch eine Gauss-Ebene mit einer imaginären Achse
dargestellt werden. Da frage ich doch nach einer klaren mathematischen
Bedeutung dieser Worte. Und mein Standpunkt bleibt, daß ich einen
solchen Zugang zu komplexen Zahlen überflüssig finde - darüber habe
ich niemanden im Dunkeln gelassen und dem konntest und kannst Du auch
widersprechen. Lass mal die Sonne in Dein Herz scheinen und beantworte
meine Fragen.

Hermann Kremer kritisiert, daß im Text der Uni-Wuerzburg Caspar Wessel
nicht erwähnt wird. Genau. Wessel gibt eine wunderbare Einführung in
die Rechnung mit Vektorpfeilen (bei ihm noch lexicographisch) auf der
Ebene und deren analytische Repräsentation. Er braucht nicht einmal
das Wort imaginär ! Und dies vor Gauss.
Und bei ihm ist es einfach eine Ebene, keine Gauss'sche, keine sog.
Gaussche, keine komplexe. Hm,hm - das ist genau mein Standpunkt.
"Lesen Sie den Rest der Nachricht" - das werde ich unbedingt tun, das
gefällt mir auf den ersten Blick.
Viel Spaß
Hero

Jutta Gut

ungelesen,
16.03.2004, 04:06:0816.03.04
an

"Hermann Kremer" <hermann...@online.de> schrieb

>
> Dann versuchs mal von
> http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/persons/roth/roth.html
> --> Publications ...

Ich kann zwar die Seite 1 lesen, aber Weite 2 - 6 sind nur kleine weiße
Quadrate. Ist das ein Fehler, oder steht der ganze Artikel nur in der
zitierten Zeitschrift?

Gruß
Jutta


Jutta Gut

ungelesen,
16.03.2004, 04:07:5116.03.04
an

"Hermann Kremer" <hermann...@online.de> schrieb

> Und da oben die sog. Gauß'sche Zahlenebene angesprochen wird: Die stammt
> nicht von Carl Friedrich Gauß, sondern von dem dänischen Landvermesser
> Caspar Wessel. Ich würde es sehr begrüßen, wenn die Didaktiker auch die
> historischen Zusammenhänge etwas aufbereiten würden ...

Ok, die Idee zur komplexen Zahlenebene stammt von Wessel, aber ich nehme an,
sie hat sich erst durch Gauss durchgesetzt. Ein bekannter Name macht halt
viel aus.

Grüße
Jutta


Stefan Rueping

ungelesen,
16.03.2004, 04:59:3316.03.04
an
Hero wrote:
> Bedeutung dieser Worte. Und mein Standpunkt bleibt, daß ich einen
> solchen Zugang zu komplexen Zahlen überflüssig finde

Das scheint mir der Kernpunkt des ganzen Threads zu sein. Mathematisch
sind beide Zugänge zu den komplexen Zahlen korrekt und lassen sich
ineinander überführen. Welcher einem besser gefällt, ist
Geschmackssache, einen mathematisches Argument für den einen oder
anderen Zugang habe ich hier jedenfalls noch nicht gesehen. Von daher
finde ich diesen Thread sinnlos.


Tschüss,

Stefan Rüping

Jutta Gut

ungelesen,
16.03.2004, 06:15:3916.03.04
an

"Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb

Man braucht sie nicht
> vergleichen, komplexe Zahlen sind Vektoren und umgekehrt. Ob ich 3+i*4
> schreibe oder (3,4) ist dasselbe. So ist etwa i*(3,4) = ( - 4,3), man
> kann sie also sogar mixen

Das ist mir doch zu vereinfacht. Ok, die komplexen Zahlen bilden einen
Vektorraum. Aber es bilden z.B. auch die Funktionen über [a,b] eine
Vektorraum, aber du wirst wohl nicht sagen: "Funktionen sind Vektoren und
umgekehrt." (Oder waren es die stetigen Funktionen? Egal.)

Um die komplexen Zahlen mit R^2 zu identifizieren, musst du erst eine
Multiplikation definieren. Und die unterscheidet sich von den üblichen
Vektorprodukten (Skalarprodukt und vektorielles Produkt, wobei es das
letztere in R^2 ja gar nicht gibt).

Dass (0,1)*(3,4) = (-4,3), folgt noch nicht aus den Gesetzen der
Vektorrechnung.

Gruß
Jutta


Christian Kortes

ungelesen,
16.03.2004, 14:04:3916.03.04
an

Bei mir gibt es mit Acrobat Reader 5.0 und xpdf keine Probleme.

--
~
~
~
~

Hermann Kremer

ungelesen,
16.03.2004, 15:37:5816.03.04
an
Jutta Gut schrieb in Nachricht ...
>"Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb


Hallo Jutta,


Das ist genau /der/ Punkt, den ich recht gut aus eigener leidvoller
Erfahrung zwar nicht aus der Schule, aber von Diskussionen mit
(Elektro-)Technikern und Ingenieuren kenne ...

Grüße
Hermann
--

>Gruß
>Jutta
>


Rainer Rosenthal

ungelesen,
16.03.2004, 17:15:2316.03.04
an

Hermann Kremer wrote

> > Dass (0,1)*(3,4) = (-4,3), folgt noch nicht aus
> > den Gesetzen der Vektorrechnung.
>
> Das ist genau /der/ Punkt, den ich recht gut aus
> eigener leidvoller Erfahrung zwar nicht aus der
> Schule, aber von Diskussionen mit (Elektro-)
> Technikern und Ingenieuren kenne ...

Du kannst die Jungs auch gar nicht festhalten, weil
sie vor lauter Ergebnis-Geilheit immer neue Begründungen
suchen, warum irgendwas nicht funktioniert, bzw. warum
irgendwas doch so funktionieren müsste usw.

Eine Begründung gilt für diese Leute als richtig, wenn
sich ein richtiges Ergebnis vorweisen lässt(*). Das tut
einfach weh. Und wenn man das hinterfragt oder anzweifelt
oder gar zu widerlegen versucht, ist man ein Negativling,
spinnerter Mathematiker, Theorie-Fuzzi oder ähnliches.

Kurz und gut: die Zusammenarbeit mit Nicht-Mathematikern
sorgt immer für Stimmung :-)

(*) Bis zu drei nicht zur Begründung passende Beispiele
werden billigend in Kauf genommen. Ab sieben wird grunzend
was Neues gesucht.

Merke: Auch Mitmenschen sind Menschen :-)
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
--
I love mankind. It's people I cannot stand. (Charlie Brown)

Christian Schroeder

ungelesen,
17.03.2004, 03:25:0517.03.04
an
Rainer Rosenthal schrieb:

> Hermann Kremer wrote
>
>
>>>Dass (0,1)*(3,4) = (-4,3), folgt noch nicht aus
>>>den Gesetzen der Vektorrechnung.
>>
>>Das ist genau /der/ Punkt, den ich recht gut aus
>>eigener leidvoller Erfahrung zwar nicht aus der
>>Schule, aber von Diskussionen mit (Elektro-)
>>Technikern und Ingenieuren kenne ...

Nana, wer will denn hier gegen Eties meckern?
Ist doch ganz einfach. Wenn es anschaulich ist, dann kommt die Erklärung
von nem Anwender, meist ein Ingenieur. Ist die Erklärung unverständlich
und von überflüssigen ;-) Beweisen übersäht, dann wars ein Mathematiker.

> Du kannst die Jungs auch gar nicht festhalten, weil
> sie vor lauter Ergebnis-Geilheit immer neue Begründungen
> suchen, warum irgendwas nicht funktioniert, bzw. warum
> irgendwas doch so funktionieren müsste usw.

Wir beschäftigen uns halt mit anderen Problemen.

> Eine Begründung gilt für diese Leute als richtig, wenn
> sich ein richtiges Ergebnis vorweisen lässt(*).

Gibts ein besseres Argument? Dass ein Ergebnis auch zufällig richtig
sein kann, lassen wir mal schön außer acht..

> Kurz und gut: die Zusammenarbeit mit Nicht-Mathematikern
> sorgt immer für Stimmung :-)

Das auf jeden Fall.

Hero

ungelesen,
17.03.2004, 04:16:4617.03.04
an
Jutta Gut schrieb:"Das ist mir doch zu vereinfacht. Ok, die komplexen

Zahlen bilden einen Vektorraum. Aber es bilden z.B. auch die
Funktionen über [a,b] eine Vektorraum, aber du wirst wohl nicht sagen:
"Funktionen sind Vektoren und umgekehrt." (Oder waren es die stetigen
Funktionen? Egal.)..."
Jutta hat natürlich Recht. Es geht hier um 2D, also Korrektur:
Komplexe Zahlen sind R2-Vektoren und umgekehrt.

Bombelli, Caspar Wessel und Hamilton - skizziert:
BOMBELLI erkannte die "necessarissimi" Existenz der Quadratwurzeln aus
negativen Zahlen. Er gibt alle nötigen Vorzeichenregeln, wie:
Più di meno via meno di meno fà piu
+ (w)von - mal - (w) von - = +
in die man natürlich Zahlen einsetzt. (w) für Wurzel habe ich ergänzt.
3+4* Quadratwurzel minus 25 ist in heutiger Sprache ein Element der
Menge aller 2D-Vektoren. Seine Rechen-Regeln definieren diesen wohl
ersten Vektorraum.
WESSEL erfindet keine neue Ebene.
(a, b, c sind bei ihm Bezeichnungen für Punkte)
"Wenn eine Seite eines Dreiecks sich von a nach b erstreckt, und die
andere von b nach c, soll die dritte Seite von a nach c die Summe
genannt werden. Wir repräsentieren sie durch ab+bc, so daß ac und
ab+bc dieselbe Bedeutung haben; oder ac=ab+bc= - ba + bc, wenn ba das
Gegenteil von ab ist." Von dieser klaren geometrischen
Vektorpfeiladdition (die Reihenfolge der Endpunktbuchstaben wird heute
durch eine Pfeilspitze ersetzt) geht er weiter zu zwei Grundeinheiten:
+1 und + c , die senkrecht aufeinander stehen, gibt deren Rechenregeln
und folgert daraus, daß c = Quadratwurzel aus -1 ist.
Beim Zeichnen einer Strecke zeichnet man immer in eine Richtung, eine
solche gerichtete Strecke wird von ihm analytisch repräsentiert durch
z.B. 3+c*4. Selbst der Buchstabe i wird von ihm vermieden(google zeigt
kein epsilon oder euro-Zeichen an,darum muß ich hier c schreiben) .
Er geht danach weiter zu Richtungsänderungen durch Multiplikation.
HAMILTON erfindet eine andere Schreibweise: algebraic couples (heute
geoordnete Paare reeller Zahlen genant ) also etwa (3,4) und gibt die
Additions- und Multiplikationsregeln, eben auch Quadratwurzel minus
eins gleich (0,1) und (0,1)*(3,4)=( - 4,3). Und ähnlich wie (R,+) auf
(R,+,*) erweiterbar, so wurde Hamiltons (R2, +, *) später auf den
Vektorraum, den Du ansprecht, den (R2,+,reelle scalare multiplication)
reduziert , sowie dieser auf den euklidischen (R2,+,r.s.m.,
Skalarprodukt(=dot-product)) erweitert.. Und auch sein Vorschlag,
Paare auf Triplets zu erweitern, wurde befolgt.

Diese drei total un-imaginären Zugänge sind nach meinem Geschmack.
Da sich über Geschmack nicht streiten lässt, greife ich auf, was
Stefan Rueping ausdrückt.
Sie lassen sich in einen sehr verschiedenen Zugang zu komplexen Zahlen
"überführen", der von der Uni-Wuerzburg und anderswo gelehrt wird.
Nach dieser Überführung tauchen neue Begriffe auf: "imaginäre Achse,
komplexe Ebene, Gauss-Ebene, i-Zeiger". Kann man von einem
Mathematiker verlangen, daß er sie definiert? (Nebenbei: wer hat die
eigentlich in die Mathematik eingeführt?)Wird neuer mathematischer
Inhalt hinzugefügt?
Ob wohl jemand das beredte Schweigen bricht? Kann jemand solche Fragen
beantworten ? :
Was ist der mathematische Unterschied zwischen komplexer(Gauss-)Ebene
und einer Ebene (reellen Ebene) ?
Wie definiert man eine imaginäre Achse?
Lasst Euren Mut man nicht sinken
Hero

Rainer Rosenthal

ungelesen,
17.03.2004, 19:10:3917.03.04
an

Christian Schroeder wrote

> Ist die Erklärung unverständlich und von
> überflüssigen ;-) Beweisen übersäht, dann
> wars ein Mathematiker.
>

Hallo Christian,

es tut so gut, wenn man verstanden wird, danke!

Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

Hero

ungelesen,
20.03.2004, 19:09:3520.03.04
an
Manchmal sind Bemerkungen unter dem Niveau ihrer Autoren. Dann solte
man nicht zurückgegeben. Ich bin immer wieder verwundert, wie
emotional Mathe ist. Deshalb möchte ich auch nur meine eigene
Erfahrung im Folgenden beschreiben, und nichts mehr, genau wie
Hermann, der über seine Erfahrung mit einem Fehler von mir schrieb:

"Das ist genau /der/ Punkt, den ich recht gut aus eigener leidvoller
Erfahrung zwar nicht aus der Schule, aber von Diskussionen mit
(Elektro-)Technikern und Ingenieuren kenne ... Grüße Hermann"
Genau so ging es mir! Früher war ich mal Mathematiker (vielleicht nie
ein besonders guter) und es hat Jahre gedauert, bis ich aus der
Fata-Morgana-Welt der Gauss-Ebene heraus (immer versuchend sie zu
verstehen) wenigstens etwas von dem Ingenieur Bombelli, den
Landvermesser Wessel und dem Optiker Hamilton begriffen habe. Mit
Klagen kam ich da nicht runter und auf festen Grund.
Grüße vom Flachland
Hero
P.S. Wie kann man das hinbekommen: ich sehe meinen Beitrag erst nach
Studen in google-groups veröffentlicht, aber dahinter zwei Beiträge,
die mit einer Wertstellung von ein, zwei Minuten später schon eine
Antwort darauf geben ?
P.S.P.S.Vielleicht reizt Hermann der Hinweis von Caspar Wessel:
Magister Gilbert in Halle: calculus situs , ( Gilbert Porree?)
P.S.P.S.P.S. Meine Antwort hat etwas gedauert, aber
um von diesem wuerzburger Umleitungs-Zugang wegzukommen, muß man erst
einen verschütteten freischaufeln - seht Euch mal
"Keine imginäre Achse: Caspar Wessel: Über die analytische
Repräsentation der Richtung" an. Auch auf meiner
http://www.i-z.eu.tt als pdf
Vielleicht kann Jutta dies in die phantastisch didaktisch-guteArbeit
von den Mathematikern von mathe-online.at einbringen, die jetzt bald
vor dem Abschnitt komplexe Zahlen stehen.
Es gibt von mir sogar ein Foto, auf meiner website
http://i-ist-nicht-mehr-imaginair.de.vu
Viel Spaß
derselbe.

Jutta Gut

ungelesen,
21.03.2004, 09:09:0421.03.04
an
Hallo Hero!

"Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb

> Vielleicht kann Jutta dies in die phantastisch didaktisch-gute Arbeit
> von den Mathematikern von mathe-online.at einbringen, die jetzt bald
> vor dem Abschnitt komplexe Zahlen stehen.

Ich habe mir den Text mal runtergeladen und werde ihn bei gelegenheit
studieren - ich finde das Thema sehr interessant. Aber wie kommst du auf die
Idee, dass ich bei mathe-online mitarbeite? Ich kenne zwar zufällig die
Autoren :-) und kann deine Anregung (und das Lob) gerne weiterleiten, aber
ich glaube nicht, dass es viel bringt, weil ja in den anderen Artikeln auch
nicht auf historische Fragen eingegangen wird.

Grüße
Jutta


Hero

ungelesen,
21.03.2004, 11:12:2021.03.04
an
Hero> Es gibt von mir sogar ein Foto, auf meiner website.
Diesmal ist eine URL wirklich falsch. Ich bin zu sehen unter
http//:www.i-ist-nicht-mehr-imaginair.de.vu
Entschuldigung
Hero

Hermann Kremer

ungelesen,
22.03.2004, 14:47:2422.03.04
an
Hero schrieb in Nachricht ...

>Manchmal sind Bemerkungen unter dem Niveau ihrer Autoren. Dann solte


>man nicht zurückgegeben. Ich bin immer wieder verwundert, wie
>emotional Mathe ist. Deshalb möchte ich auch nur meine eigene
>Erfahrung im Folgenden beschreiben, und nichts mehr, genau wie
>Hermann, der über seine Erfahrung mit einem Fehler von mir schrieb:
>"Das ist genau /der/ Punkt, den ich recht gut aus eigener leidvoller
>Erfahrung zwar nicht aus der Schule, aber von Diskussionen mit
>(Elektro-)Technikern und Ingenieuren kenne ... Grüße Hermann"
>Genau so ging es mir! Früher war ich mal Mathematiker (vielleicht nie
>ein besonders guter) und es hat Jahre gedauert, bis ich aus der
>Fata-Morgana-Welt der Gauss-Ebene heraus (immer versuchend sie zu
>verstehen) wenigstens etwas von dem Ingenieur Bombelli, den
>Landvermesser Wessel und dem Optiker Hamilton begriffen habe. Mit
>Klagen kam ich da nicht runter und auf festen Grund.

Hmm, diesen Abschnitt verstehe ich leider nicht, sorry.

Meine Erfahrung bezieht sich darauf, dass es viele Techniker nur sehr
schwer verstehen, dass die Multiplikation von "Vektoren" der komplexen
Ebene z = a + i*b anderen Regeln folgt als die innere und äußere Multiplikation
von "gewöhnlichen" Vektoren der Euklid'schen Ebene v = a*e_1 + b*e_2 .
Daher bin ich a b s o l u t d a g e g e n, die Darstellung einer komplexen
Zahl in der Wessel-Argand-Gauss'schen Zahlenebene als "Vektor" zu
bezeichnen, sondern meinetwegen als "Zeiger" oder "Pfeil" ...

>Grüße vom Flachland

Edwin A. Abbott:
http://www.alcyone.com/max/lit/flatland/
http://www.theory.caltech.edu/people/patricia/lctoc.html
;-))

>P.S. Wie kann man das hinbekommen: ich sehe meinen Beitrag erst nach
>Studen in google-groups veröffentlicht, aber dahinter zwei Beiträge,
>die mit einer Wertstellung von ein, zwei Minuten später schon eine
>Antwort darauf geben ?

OK, google_posting schickt Postings sofort weiter, benötigt aber bis zu 12
Stunden, um die google-Datenbank zu aktualisieren. Auf den lokalen Newsservern
erscheinen Postings daher sehr viel früher als in google_groups selbst.

>P.S.P.S.Vielleicht reizt Hermann der Hinweis von Caspar Wessel:
>Magister Gilbert in Halle: calculus situs , ( Gilbert Porree?)

Das war der Physiker
Ludwig Wilhelm Gilbert, *12.8.1769 in Berlin, +7.3.1824 in Leipzig.
1795-1811 Priv.-Doz. und a.o. Prof. für Physik und Chemie in Halle,
1811-1824 o. Prof. für Physik in Leipzig,
1799-1824 Herausgeber der "Annalen für Physik und Chemie"; sein Nachfolger
war Johann Christian Poggendorff (1796-1877).
http://www.aip.org/history/esva/catalog/esva/Gilbert_Wilhelm.html

Gilbert de la Porrée (1076-1154): Französischer Scholastiker und Bischof
von Poitiers. In der Mathematikgeschichte ist er bestensfalls eine (sehr kleine)
Fußnote wert, da er eine syllogistische Schrift von Aristoteles kommentiert
hat ... Mehr über ihn findet man in philosophischen und theologischen
Web-Seiten --> google: Gilbert de la porree

>P.S.P.S.P.S. Meine Antwort hat etwas gedauert, aber
>um von diesem wuerzburger Umleitungs-Zugang wegzukommen, muß man erst
>einen verschütteten freischaufeln - seht Euch mal
>"Keine imginäre Achse: Caspar Wessel: Über die analytische
>Repräsentation der Richtung" an. Auch auf meiner
>http://www.i-z.eu.tt als pdf

OK, werde ich tun ...

>Vielleicht kann Jutta dies in die phantastisch didaktisch-guteArbeit
>von den Mathematikern von mathe-online.at einbringen, die jetzt bald
>vor dem Abschnitt komplexe Zahlen stehen.
>Es gibt von mir sogar ein Foto, auf meiner website

>http://www.i-ist-nicht-mehr-imaginair.de.vu

Grüße
Hermann
--

>Viel Spaß
>derselbe.


Hero

ungelesen,
22.03.2004, 18:31:0722.03.04
an
(Hoffentlich habe ich das mit dem "Re:" diesmal richtig hinbekommen.)

Jutta schrieb:"Aber wie kommst du auf die Idee, dass ich bei


mathe-online mitarbeite? Ich kenne zwar zufällig die Autoren :-) und
kann deine Anregung (und das Lob) gerne weiterleiten, aber ich glaube
nicht, dass es viel bringt, weil ja in den anderen Artikeln auch nicht
auf historische Fragen eingegangen wird."

Nachbarn kent man häufig kaum, im google Dorf ist's anders.
mathe-online.at geht didaktisch vor, Pfeile, Vektorrechnung, und jetzt
müssten irgendann in einer anderen Linie der untereinander verlinkten
Collage nach den rellen die komplexen Zahlen kommen. Dazu ein kleiner
historischer Hinweis: früher gabs mal den
realexistierendensozialismus. Heute heißt's in wuerzburg und
anderswo:
Erkenen Sie die imaginär-axiale Gauss-Ebene ("im-ax-Gauss") an?
Da gehen wir doch mal in die Zukunft:
math-online Kapitel (Dänemark, Irland):geometrische Pfeil-vektoren und
(a,b,c)-Vektorrechnung ist soweit fast fertig.Da für 3D das x-produkt
eingeführt wird, gibt es also keinen Grund, nicht das * einzuführen,
welches speziell für 2D funktioniert.
Anderes Kapitel:(Italien, Dänemark): Gleichungen lösen.
Früher nur positive Zahlen als Zahlen anerkannt,(ähnlich der
Schulsituation in de.sci.mathematik: Das Problem!) , also fügt man
(nach Bombelli) erst zwei Vorzeichen hinzu + und -, wie in der
Buchführung:Einnahmen, Ausgaben und dann noch zwei (doppelte
Buchführung):w- und -w-, und stellt wie er alle Vorzeichenregeln auf.
Man löst also nicht die Wurzel , z,.B w-=Quadrawurzel - 1, sondern man
löst jetzt Gleichungen mit Zahlen, die vier verschiedene Vorzeichen
haben können ( und je zwei können miteinader bilanziert werden)
Dann geometrische Lösungen (etwa wie in de.sci.mathematik:
Quadratwurzel minus 9: geometrisch) und wie Wessel hier Pfeile
einführen (natürlich wie er ohne im-ax-Gauss). Jetzt: ein Vorzeichen
ist eine Richtung bzw ein Richtungsunterschied. Wo 90 Grad zu 180 Grad
addiert wird, werden Vorzeichen multipliziert w- mal - =-w- oder
270 Grad. (statt w- kann man auch das i oder Wessel's epsilon
(euro-zeichen) nehmen) Weiter zu 3+i*4 als Linearkombination von 1 und
i, die 1 und i sind dann Basiselemente und hier trifft man das Kapitel
Vektorrechnung (link einfügen) 3+i+4=(3,4), kombiniert zu
z.B. i*(3,4)=( - 4,3) Dann untersucht man den Unterschied der drei R2
Vektorräume , den einfachen, den mit der dot- oder
Skalarmultiplikation(euclidischer ) und den einfachen erweitert um das
*, aber noch ohne Metrik
(Könnte man den nicht bombellisch nennen, weil C wird heutzutage mal
als metrischer mal als euclidischer .. lest mal mein fairy-tale)..
Ach, es kann nur schöner werden
Hero

Hero

ungelesen,
23.03.2004, 06:01:2623.03.04
an
Erst einmal vielen Dank an euch alle. Man trifft hier
nette,freundliche und hilfsbereite Menschen. Und hier liegt das Herz
auf der Zunge.Das ist wichtig, weil diese Diskussionen sehr emotional
sind. Überhaupt mal wieder "mathematisch" sprechen können, Antworten,
Widerspruch und Lösungen zu bekommen - gut.
Besonderen Dank an Hermann.
Wo finde ich lokale Newsserver?
Magister Gilbert gefunden - wieder eine Meisterleistung, werde ich in
den nächsten Tagen nachlesen.
Herman schreibt:

>
> Meine Erfahrung bezieht sich darauf, dass es viele Techniker nur sehr
> schwer verstehen, dass die Multiplikation von "Vektoren" der komplexen
> Ebene z = a + i*b anderen Regeln folgt als die innere und äußere Multiplikation
> von "gewöhnlichen" Vektoren der Euklid'schen Ebene v = a*e_1 + b*e_2 .
> Daher bin ich a b s o l u t d a g e g e n, die Darstellung einer komplexen
> Zahl in der Wessel-Argand-Gauss'schen Zahlenebene als "Vektor" zu
> bezeichnen, sondern meinetwegen als "Zeiger" oder "Pfeil" ...

Wer tut das? Ich kann nicht gemeint sein, weil ich die Gauss-Ebene
nicht
(aner)kenne. Und können wir nicht beim Namen komplexe Ebene oder
Gauss -Ebene bleiben, das kann man Wessel doch nicht antun (darum habe
ich ja seinen Text (1.Teil)übersetzt). Ich denke, ich habe auch stets
auf ner Ebene mit Pfeil oder Vektorpfeil bezeichnet, sonst
identifiziert man Ebene und R2 im Denken zu sehr.
Hermann ist nicht nur sehr nett, sondern auch klug. Ich versuche mal
seinen Satz zu verstehen:
EIN VERGLEICH, DER D1:
Zahlengerade z.B. Fahrtstrecken
analytisch:
Zahlen definieren sich durch Rechenregeln
(Struktur, etwa Komutativgesetz)(sie sind
zwar abstrakt, aber real, Teil der
Wirklichkeit wie Oberfläche (Haut) eines Körpers )
Von Zahlen (trivialer Vektorraum, weil 1D)
zu anderer Anwendung, anderem
Beispiel:
Fahrtstrecken auf Raumkurve
(Parameter),
oder Zeit oder..

JETZT der 2D:
Ebene gerichtete Strecken
abstrahieren, analytisch bezeichnen,repräsentieren
mit (a,b) = a+i*b zwei Schreibweisen.,
komplexe Zahl= R2-Vektoren zum Unterschied
dazu auf der Ebene Pfeil
Vektorpfeil.
Denn man kann die
R2 Vektorstruktur
auch auf anderes als die
Ebene anwenden.
Von welcher Struktur reden wir? VERGLEICH 3D:
Grundstruktur Vektoraddition (kommGruppe)
und äußere oder Skalamultiplikation ,
also Vektoren mit "äußeren"Zahlen
komponentenweise malnehmen:
Anwendung
Pfeile im Raum, Orte,
Verschiebungen,
verlängern/verkürzen
Mögliche Erweiterung: Metrik oder
etwa Skalarprodukt (dot-product)
Andere mögliche Erweiterung: x-Produkt.
Das ergibt zusätzliche Struktur.
Übertragung in den Raum.
wir bleiben bei Vektorpfeilen,
können aber
jetzt sagen: zwei Pfeile
definieren meistens
eine Ebene, x-produkt gibt
Pfeil in
Normalen-richtung, senkrecht
zur Ebene
ZURÜCK VOM VERGLEICH NACH 2D:
Ebene Pfeile,
analytisch
(R2,+,r.s.m.) einfacher VR
Erweiterung um * (=innere Multiplikation ?)
(Struktur komm.Körper, (R,+,*) kann
eingebettet werden, etwa 3 als (3,0))
Repräsentation auf Ebene:
Pfeile zusätzlich als
Drehstreckung zu
sehen, oder auch 1/(a,b)
als Inversion am
Einheitskreis

(R2,+,r.s.m.) Erweiterung um
Skalar-Multiplikation (dot-multiplication)
(R2,+,r.s.m.,dot)Name:Euklidischer Vektorraum.
(R,+) kann eingebettet werden
((R,+,*) auch ?, na ja das führt
zu einem anderen "Thread")
"Visualisierung" auf Ebene:
Pfeile,hier z.B. Spiegelung möglich

ZUSAMMENFASSUNG:
analytisch Vektoren <--> Ebene,Raum:Pfeile.

R2: drei Strukturen: einfacher Vektorraum, einer mit * und der
euklidische mit dot.
Drei Vektorräume, also drei Ebenen (logisch,oder?), so macht man's bei
1D und 3D aber auch nicht. Nehme ich eine reale Ebene, ein Blatt
Papier. Das ist noch keine relle Ebene (eine relle Ebene müßte doch
auch negative Zahlen als negative Längen darstellen). Auf dem Papier
kann ich wie die Griechen Geometrie mit Zirkel und Lineal betreiben.
Zusätzlich kann ich eine Längeneinheit feslegen,als Mass (das müßte
die euklidische Ebene sein, oder ?) , oder ein cm-Maßstab verwenden.
Negative Zahlen ? Also:
eine Grund-Raumrichtung, etwa östlich als Referenzrichtung festlegen.
Das nennt man dann ?-Ebene ? Ist das die reelle Ebene?
Und schließlich einen Ausgangspunkt, Ursprung hinzufügen (mit dem
ersten zusammen hat man dann ein rechtwinkliges Koordionatensystem).
Das sind mathematische Definitionen. Und ich bin schön auf einer
realen Ebene, auf dem Papier geblieben.
Für die komplexe Ebene oder Gauss-Ebene finde ich bei Wuerzburgern
nur( bzw. was ich davon mache): wir schreiben neben die y-Achse:
imaginäre Achse; wir nenen die Ebene Gauss Ebene.
?
Da schlage ich mich nun schon 20 Jahre mit rum. In Mathe ist nichts
leicht für Leute wie mich, die 2D-Vektorrechnung ist wirklich eine
Kunst.
Aus der nordeutschen Tiefebene
viel Spaß für alle
Hero

Jutta Gut

ungelesen,
24.03.2004, 04:24:1024.03.04
an
Hallo Hero!

Ich habe den Wessel-Artikel gelesen und finde ihn sehr interessant (nur §16,
wo er e^z einführt, habe ich nicht ganz verstanden). Alle Achtung, dass du
dir die Arbeit mit der Übersetzung gemacht hast.

Allerdings verstehe ich noch immer nicht, wo du die Probleme siehst.

> Dann geometrische Lösungen (etwa wie in de.sci.mathematik:
> Quadratwurzel minus 9: geometrisch) und wie Wessel hier Pfeile
> einführen (natürlich wie er ohne im-ax-Gauss). Jetzt: ein Vorzeichen
> ist eine Richtung bzw ein Richtungsunterschied. Wo 90 Grad zu 180 Grad
> addiert wird, werden Vorzeichen multipliziert w- mal - =-w- oder
> 270 Grad. (statt w- kann man auch das i oder Wessel's epsilon
> (euro-zeichen) nehmen)

Eben: Ob man jetzt w oder epsilon oder i schreibt, ist doch Geschmackssache.
Ebenso, ob man die Richtung der Einheit jetzt "absolute Linie" (Wessel, §4)
oder "reelle Achse" nennt, und die dazu senkrechte Richtung "eine gewisse
andere Einheit rechtwinklig zu der positiven Einheit" (Wessel, §5) oder
"imaginäre Achse" (dieser Ausdruck kommt in dem von dir kritisierten Artikel
der Uni Würzburg übrigens gar nicht vor); oder ob man komplexe Zahlen als
"gerade Linien", "Vektoren" oder "Zeiger" bezeichnet. Das macht doch in der
Sache keinen Unterschied.

Oder stört dich nur das Wort "imaginär"? Das Ausdruck hat sich nun mal
eingebürgert, so wie "positiv" und "negativ", und ich finde, man sollte
allgemein verbreitete Ausdrücke nicht ohne Not über Bord werfen. (Man will
ja auch verstanden werden.)

> Dann untersucht man den Unterschied der drei R2
> Vektorräume , den einfachen, den mit der dot- oder
> Skalarmultiplikation(euclidischer ) und den einfachen erweitert um das
> *,

Ein wesentlicher Unterschied zwischen R^2 und C bestehe allerdings darin,
dass in R^2 alle Richtungen gleichberechtigt sind. Wenn du eine andere Basis
nimmst, ändert sich am Skalarprodukt überhaupt nichts. Das Produkt von
komplexen Zahlen beruht aber gerade darauf, dass eine Richtung ausgezeichnet
ist.

Ich würde das in der Schule auf jeden Fall trennen, sonst werden die Schüler
nur verwirrt.

Die Motivation ist ja auch ganz unterschiedlich: Vektoren werden eingeführt,
um geometrische Fragestellungen zu untersuchen will, komplexe Zahlen, um
Gleichungen zu lösen.

Und wenn ich schon dabei bin: Mir gefällt nicht, wenn man zuerst eine
Multiplikation einführt (egal ob formal als Verknüpfung von Zahlenpaaren
oder anschaulich-geomatrisch als Drehstreckung) und dann die Beziehung i*i
= -1 wie das Kaninchen aus dem Hut zaubert. Ich finde es ehrlicher zu sagen,
dass man von vornherein auf diese Beziehung hinaus will und deswegen die
Multiplikation gerade so und nicht anders definiert. Also in dem Sinn von
"Wir nehmen einmal an, dass es eine Zahl i gibt mit i^2 = -1, und schauen,
welche Rechenregeln daraus folgen." Ich weiß, dass das mathematisch nicht
korrekt ist, aber die formale Grundlegung kann man ja nachliefern.

Gruß
Jutta


Hermann Kremer

ungelesen,
24.03.2004, 14:58:0624.03.04
an
Hero schrieb in Nachricht ...
[ ... ]

>Wo finde ich lokale Newsserver?

Bei Deinem Internet Service Provider (ISP). Falls das GMX ist, mußt
Du in Deinem Browser den Newsserver news.gmx.de eintragen

>Magister Gilbert gefunden - wieder eine Meisterleistung, werde ich in
>den nächsten Tagen nachlesen.

Über den erwähnten "Calculus situs" konnte ich aber bisher leider noch
nichts genaueres herausfinden. Der Begriff wurde früher manchmal für
die Projektive Geometrie verwendet ... der ähnliche Begriff "Analysis
situs" stand für die (geometrische) Topologie.

Und zu dem von Casper Wessel ebenfalls erwähnten Etatsraad
Johann Nikolaus Tetens findet man eine Kurzbiographie unter
http://www.bautz.de/bbkl/t/tetens_j_n.shtml
und eine längere unter
http://mdz2.bib-bvb.de/~ndb/ndbmaske.html
--> Name: Tetens --> Suche starten --> [x] --> Vollanzeige --> 588-590

Die dort erwähnte Universität zu Bützow (Mecklenburg) wurde
1760 als Ableger der U. Rostock gegründet, aber bereits 1789
wieder aufgelöst. Der bedeutendste Mathematiker in Bützow
war http://www.mathematik.uni-halle.de/history/karsten/

BTW:
Ich suche gerade die Originalquellen von Carl Friedrich Gauß über
die "Gauß'sche Zahlenebene" zusammen ... demnächst in dieser Newsgroup ...

Grüße
Hermann
--

Hermann Kremer

ungelesen,
24.03.2004, 15:38:2924.03.04
an
Jutta Gut schrieb in Nachricht ...
>Hallo Hero!
>
>Ich habe den Wessel-Artikel gelesen und finde ihn sehr interessant (nur §16,
>wo er e^z einführt, habe ich nicht ganz verstanden). Alle Achtung, dass du
>dir die Arbeit mit der Übersetzung gemacht hast.


http://www.google.com/groups?threadm=b3413824.04032...@posting.google.com
http://www.google.com/groups?threadm=c3npia%24s4t%2...@online.de
http://www.google.com/groups?threadm=b3413824.04032...@posting.google.com

Ja, dem kann ich mich nur anschließen ...

>Allerdings verstehe ich noch immer nicht, wo du die Probleme siehst.

[ ... ]


>Ob man jetzt w oder epsilon oder i schreibt, ist doch Geschmackssache.
>Ebenso, ob man die Richtung der Einheit jetzt "absolute Linie" (Wessel, §4)
>oder "reelle Achse" nennt, und die dazu senkrechte Richtung "eine gewisse
>andere Einheit rechtwinklig zu der positiven Einheit" (Wessel, §5) oder
>"imaginäre Achse" (dieser Ausdruck kommt in dem von dir kritisierten Artikel
>der Uni Würzburg übrigens gar nicht vor); oder ob man komplexe Zahlen als
>"gerade Linien", "Vektoren" oder "Zeiger" bezeichnet. Das macht doch in der
>Sache keinen Unterschied.
>
>Oder stört dich nur das Wort "imaginär"? Das Ausdruck hat sich nun mal

>eingebürgert, so wie "positiv" und "negativ" ...

Speziell dazu werde ich demnächst einige Zitate von Carl Friedrich Gauß
hier posten ...

>> Dann untersucht man den Unterschied der drei R2
>> Vektorräume , den einfachen, den mit der dot- oder

>> Skalarmultiplikation (euclidischer) und den einfachen erweitert um das *,


>
>Ein wesentlicher Unterschied zwischen R^2 und C bestehe allerdings darin,
>dass in R^2 alle Richtungen gleichberechtigt sind. Wenn du eine andere Basis
>nimmst, ändert sich am Skalarprodukt überhaupt nichts. Das Produkt von
>komplexen Zahlen beruht aber gerade darauf, dass eine Richtung ausgezeichnet
>ist.
>Ich würde das in der Schule auf jeden Fall trennen, sonst werden die Schüler
>nur verwirrt.

... nicht nur Schüler, sondern auch manche Ingenieure ... ;-)

>Die Motivation ist ja auch ganz unterschiedlich: Vektoren werden eingeführt,
>um geometrische Fragestellungen zu untersuchen will, komplexe Zahlen, um
>Gleichungen zu lösen.
>Und wenn ich schon dabei bin: Mir gefällt nicht, wenn man zuerst eine
>Multiplikation einführt (egal ob formal als Verknüpfung von Zahlenpaaren
>oder anschaulich-geomatrisch als Drehstreckung) und dann die Beziehung i*i
>= -1 wie das Kaninchen aus dem Hut zaubert.

Hmm, Wessel (und übrigens ähnlich auch Gauß) argumentierte etwa:

"... gegeben sei eine gerichtete Größe x. Die entgegengesetzt gerichtete
Größe ist dann -x. Jetzt führe ich die Bezeichnung @x dafür ein, daß die
ursprüngliche Größe um 90° gedreht ist, und @(@x), daß sie um 180°
gedreht ist, und da sie dann gleich der Größe -x ist, folgt, daß @(@x) = -x
gilt, und daraus @@ = -1 ..."

Bei Gauß ist das allerdings nur eine Veranschaulichung ...


Grüße
Hermann
--

Hero

ungelesen,
24.03.2004, 18:42:3324.03.04
an
Jutta schreibt:

"Eben: Ob man jetzt w oder epsilon oder i schreibt, ist doch
Geschmackssache. Ebenso, ob man die Richtung der Einheit jetzt
"absolute Linie" (Wessel, §4) oder "reelle Achse" nennt, und die dazu
senkrechte Richtung "eine gewisse andere Einheit rechtwinklig zu der
positiven Einheit" (Wessel, §5) oder "imaginäre Achse" (dieser
Ausdruck kommt in dem von dir kritisierten Artikel der Uni Würzburg
übrigens gar nicht vor); oder ob man komplexe Zahlen als "gerade
Linien", "Vektoren" oder "Zeiger" bezeichnet. Das macht doch in der
Sache keinen Unterschied."
Eben das war meine Frage:

" Wie definiert man eine imaginäre Achse? "
Und Jutta antwortet: Eine Bezeichnung der zur Einheit senkrechten
Richtung
Das ist doch die y- Achse.
In der Sache wirklich kein Unterschied?
Ist das wirklich so ? Ich kann's noch kaum glauben ? Ist das auch die
Meinung von anderen?
Ich finde das ist sehr mutig von Dir !
Das sind klare Worte.
(Stört sich jemand an meiner Weitschweifigkeit? - Ich zeige nur meine
Gefühle zu dieser Sache)
Vorschlag für einen Anfang zum Kapitel "Komplexe Zahlen":
Löse die Gleichung: x quadrat + 9 = 0 geometrisch.
Finde die Mitte des Intervalls von minus 9 bis +1 auf der x-Achse,
kreise um sie mit dem Radius (+9+1)/2. Dies schneidet die y-Achse in
zwei Punkten mit den Werten +3 und -3.
Wieso ? Wertmäßig, betragmäßig : nach Thales, sowie durch die mittlere
Proportionale.(Das wäre eine Lösung von x quadrat =9, aber nur eine,
weil man ja kein negatives hier kennt). Richtungsbezogen: das minus
bei minus 9 ist der Einheit entgegengesetzt, 180 Grad, eine halbe
Umdrehung. Welche Umdrehung, mit sich selbst malgenommen gibt 180 Grad
? Geht nicht - wohl 90 Grad plus (!) 90 Grad.
Vergleich: (-1)*(-1) =(-1) hoch (1+1)=(-1) hoch 2
Die Hälfte einer halben Drehung ist 1/4 oder 90 Grad
und die Wurzel (zweite Wurzel) aus minus ist eine Einheit in +Richtung
auf der y-Achse.
Jetzt noch die Umkehrung: von Null (Ursprung) ausgehend eine Einheit
auf der y-Achse, dies mit 2 potenziert gibt -1 auf der x-Achse,
hoch drei gibt -1 auf der y-Achse,..
Wo hier zweimal, dreimal multipliziert wird , da addieren sich die
Winkel, wenn man Richtung damit bezeichnet.
(Wo gibt es eine Entsprechung zwischen + und *, genau: die Winkel
stehen oben in der Potenz. Dies eher für den Lehrer.)
Wir hatten zwei Schnittpunkte ?! Also -3 auf der y-Achse mit sich
selbst malnehmen. 3 *3= 9 und 270 Grad plus 270 Grad = 360 Grad + 180
Grad.(Das Ergebnis einer Drehung ist ein Richtungsunterschied
zwischen vorher und nachher, betragsmäßig bis an 360 Grad ran). Diesem
entsprechend zeigt eine Einheit auf der y-Achse hoch drei in die
minus-Richtung auf der y-Achse, hoch 6 in die minus Richtung der
x-Achse. Ergebnis: minus auf der x-Achse und Betrag 9.
......
Natürlich nicht sehr didaktisch formuliert, doch ohne den Schrecken
des "imaginären". Die Namen sind im Endeffekt egal, die Unklarheit
über inhaltliche Unterschiede ja oder nein nicht.
Auf das übrige in Juttas Beitrag, gut durchdacht, können wir oder ich
ein anderes Mal eigehen (oder ich schreib mal ne mail).
Schaut Euch auch mal Juttas Anlegekunst an
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/geogl1.htm
Vielen Dank für Deine Mühe, Jutta.
Gruss an alle
Hero

Hero

ungelesen,
25.03.2004, 03:21:5525.03.04
an
Hier etwas Material zum Umarbeiten für eine notwendige Fortsetzung
dieses Anfangs zum Kapitel "Komplexe Zahlen" ist, nach dem Motto:Mathe
ist phantastisch, macht Spaß, Mathe ist bunt - das wird's nie,aber
etwas praktischer und nicht ganz so traurig und langweilig:
Auf der website des Museums von Alexandria gibt es einen unauffälligen
Punkt, der einen, angeklickt, zu einem Chatraum in die Vergangenheit
führt. Dort agieren Computerfiguren (ataver) in historischer Umgebung,
sie werden von Studenten (in der ganzen Welt) betreut und man kann
ihnen z.B auch Fragen stellen, die sie dann zeitgerecht zu beantworten
versuchen. Ich ging in die Zeit vor der Gründung zurück und dort gab
es neben einem Marktplatz auch eine Arena, in der Thales (einer der
Weisen -übrigens die einzige Auszeichnung , die von "döferen"
verliehen werden muß, das liegt in der Natur der Sache -kennt ihr
jemanden, also einen Mathematiker, der heutzutage nach diesem Titel
strebt?) die Ägypter lobte, daß sie der Mathematik in der Baukunst ein
Denkmal gesetzt hätten, also die Pyramide ein Symbol für die dortige
Gesellschaft sei, mit einem goldenen Pharao an der Spitze, aber kein
Untertan sei überflüssig. Un die Griechen hätten in der Arena ihre
Gesellschaft mit Hilfe der Mathematik abgebildet: die unterste Reihe
etwa -dort, wo wir uns gerade aufhielten, bilde eine Halbkreis und
jeder Zuschauer habe denselben Blickwinkel auf die Bühne -das sei
Demokratie. Man konnte dies nun nachprüfen. Es kam zu einem
Zwischenfall, weil ein Besucher-ataver etwas von Steinkreisen im
Norden, älter als die Pyramiden, äußerte, die nicht nur als
Dreschplatz für Getreide dienten, sondern
auch als Versammlungsplatz gleicher Leute, während in der Arena die
einen sitzen und genießen, während die anderen auf und vor allem
hinter der Bühne schwitzen müßten. Er wurde wegen ahistorischer,
marxistischer Propaganda entfernt, ebenso wie ein anderer, der etwas
über Chinesen sagte, die gerne Ritter-Sport-Schokolade essen würden.
Auf der Bühne wurde ein Stück über Daedalus geprobt, er hielt eine
spiralige Muschel in der Hand - "kommt aus dem Wasser" freute sich
Thales-und um ihn als Ingenieur zu schildern, durfte er folgendes
äußern: "Wenn ich hier stehe, dann ist das linke Bühnenende , von mir
aus gesehen eine griechische Längeneinheit von mir entfernt, drehe ich
mich nun zu Euch"zeigt auf Thales und uns "seit ihr drei griechische
Einheiten entfernt.Diese Entfernung zu Euch ist aber gleichzeitig eine
ägyptische Längeneinheit. Drehe ich mich nun weiter zum rechten
Bühnenende, habe ich drei ägyptische Längen einheiten. Dies Verhältnis
von Längen und Richtungen entspricht in diesen drei Punkten dem
Wachstum der Muschel hier."
Thales klatschte dem Daedalus Beifall und im Hintergrund wurde ein
Link eingeblendet von dem realen Panagiotis, der gerade diesen Ataver
verkörperte:
http://stefanides.gr/shell.htm
N.B. ich bin kein Platoniker, und da ist irgendetwas mit pi und dem
goldenen Schnitt, das ich nicht verstehe, aber die Idee mit der
Muschel ist gut und die Muschel schön.
Könt ihr damit etwas anfangen.
Viel Spaß
Hero

Jutta Gut

ungelesen,
25.03.2004, 10:14:2825.03.04
an
Hallo Hero!

> Auf der website des Museums von Alexandria gibt es einen unauffälligen
> Punkt, der einen, angeklickt, zu einem Chatraum in die Vergangenheit
> führt. Dort agieren Computerfiguren (ataver) in historischer Umgebung,
> sie werden von Studenten (in der ganzen Welt) betreut und man kann
> ihnen z.B auch Fragen stellen, die sie dann zeitgerecht zu beantworten
> versuchen.

Klingt interessant. Verrätst du und auch noch die URL der Website?

Grüße
Jutta


Hermann Kremer

ungelesen,
25.03.2004, 14:34:1225.03.04
an
Hermann Kremer schrieb in Nachricht ...

>Hero schrieb in Nachricht ...
[ ... ]
>Ich suche gerade die Originalquellen von Carl Friedrich Gauß über
>die "Gauß'sche Zahlenebene" zusammen ... demnächst in dieser Newsgroup ...

Da dieses Thema außerordentlich spannend ist, werde ich es in einem eigenen
Thread behandeln ... ich hoffe, er ist bis zum 227. Geburtstag von C. F. Gauß
fertig ... Daher hier nur ganz kurz:

Der erste Hinweis auf eine geometrische Darstellung der komplexen Zahlen
als Zeiger findet sich bei Gauß in einem kurzen Eintrag in seinem Tagebuch
vom Dezember 1825.
Ein knapper Hinweis steht ebenfalls in einem Brief an den dänischen
Astronomen Peter Andreas Hansen vom 11. Dezember 1825.
http://www.nationmaster.com/encyclopedia/Peter-Andreas-Hansen
Ausgeführt ist sie im zweiten Teil seiner Arbeit über biquadratische Reste:
Theoria residuorum biquadratorum Commentatio secunda.
Societati regiae tradita 1831, Apr. 15 [Einreichungsdatum].
Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores,
Vol. VII, Gottingae 1832
und insbesondere in seiner deutschsprachigen Zusammenfassung (Anzeige)
dieser Arbeit in
Göttinger gelehrter Anzeiger, vom 23. April 1831 .

Der in der Webseite von Würzburg ebenfalls angeführte Brief von Gauß an
den Astronomen Friedrich Wilhelm Bessel von 1811 hat nur einen sehr
bedingten Bezug zu unserem Thema ...

Grüße
Hermann
--
PS: Siehe auch den Thread:
Keine imaginäre Achse : Caspar Wessel "Über die analytische Repräsentation der
Richtung" 1797,Teil 1

Hermann Kremer

ungelesen,
25.03.2004, 16:31:5725.03.04
an
Hero schrieb in Nachricht ...
>
>Auf der website des Museums von Alexandria ...

Bitte gib doch den Link an ... ich kenne viele Alexandria-Webseiten ...

>... gibt es einen unauffälligen Punkt ...
[ ... ]
>... von Längen und Richtungen entspricht in diesen drei Punkten dem


>Wachstum der Muschel hier."
>Thales klatschte dem Daedalus Beifall und im Hintergrund wurde ein
>Link eingeblendet von dem realen Panagiotis, der gerade diesen Ataver
>verkörperte:

>http://www.stefanides.gr/shell.htm


>N.B. ich bin kein Platoniker, und da ist irgendetwas mit pi und dem
>goldenen Schnitt, das ich nicht verstehe, aber die Idee mit der
>Muschel ist gut und die Muschel schön.
>Könt ihr damit etwas anfangen.

Ja ...
Die Webseite stammt von dem hinreichend bekannten "Europa-Ingenieur"
Panagiotis Stefanides:
http://www.stefanides.gr/ ,
der die gesamte Mathematik neu erfinden möchte und z.B. "bewiesen" hat,
daß pi eine Wurzel eines Polynoms vierten Grades ist ...
http://www.stefanides.gr/quadcirc.htm
http://www.stefanides.gr/piquad.htm

Die dargestellte Schale gehört übrigens zu keiner Muschel, sondern zu
einem Tintenfisch, zoologisch "Perlboot", von dem es heute noch eine
Ordnung mit sieben Arten gibt; die bekannteste davon ist
Nautilus pompilius Linné 1758:
http://www.cephbase.utmb.edu/spdb/nautilus.cfm
http://members.lycos.co.uk/Mollusks/Kopffuesser/taxonomie.html
der als seltener Irrgast auch im Mittelmeer vorkommt.
Die Schale besteht aus einzelnen Kammern, bei denen die Trennwand-
Mittelpunkte näherungsweise auf einer logarithmischen Spirale angeordnet
sind, und darauf bezieht sich die "Abhandlung" von Panagiotis ...
http://www.cephbase.utmb.edu/imgdb/imgsrch2.cfm?CephID=1
http://www.cephbase.utmb.edu/imgdb/imgsrch3.cfm?ID=1415&CephID=1

Grüße
Hermann
--

>Viel Spaß
>Hero


Hero

ungelesen,
25.03.2004, 16:59:1125.03.04
an
Jutta schrieb:"Verrätst du und auch noch die URL der Website?"
Ich glaube, das ist experimentelle Math-Historie-SF (wie könnte es
gewesen sein werden?)
Und es könte auch nicht die Uni sondern die Bibliothek Sein, die
gibts jetzt tatsächlich wieder und soll sehr schön sein. Da müßte man
mal hin. Der kleine Punkt ist jedenfalls nicht imer da. Wieder mal ne
URL falsch Panagiotis Muschel ist auf
http://www.stefanides.gr/shell.htm
Ich versuchs gar nicht mehr Url's zu schreiben.
Gruss
Hero

Jutta Gut

ungelesen,
26.03.2004, 02:10:2026.03.04
an
Hallo Hero!

"Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
news:b3413824.04032...@posting.google.com...


> Jutta schrieb:"Verrätst du und auch noch die URL der Website?"
> Ich glaube, das ist experimentelle Math-Historie-SF (wie könnte es
> gewesen sein werden?)
> Und es könte auch nicht die Uni sondern die Bibliothek Sein, die
> gibts jetzt tatsächlich wieder und soll sehr schön sein. Da müßte man
> mal hin.

Wo ist die URL??? (Nicht die von irgendeiner Muschel, sondern vom Museum
oder der Bibliothek von Alexandria.)


Der kleine Punkt ist jedenfalls nicht imer da. Wieder mal ne
> URL falsch Panagiotis Muschel ist auf
> http://www.stefanides.gr/shell.htm
> Ich versuchs gar nicht mehr Url's zu schreiben.

Warum, du kannst sie doch einfach mit Copy+Paste aus der Adresszeile des
Browsers kopieren.

Gruß
Jutta


Hero

ungelesen,
26.03.2004, 02:53:4026.03.04
an
Robert K. schrieb:" PS. Bitte."


Hallo Robert K.,
ich hasse Dich, wenn Du so wärst wie Dutroux, von derSorte soll es
viele im Netz geben (N.B. wie bringt man den dazu , Nanen zu nennen ?
Kronzeugenregelung?) Selbst den lassen wir reden.
Im Gegensatz dazu war der Mathematiker Dodgsen auch einer, der anonym
veröffentlichte, vielleicht hat der es gerade deswegen geschafft, weil
er hierzu die Möglichkeit hatte. Ich meine, er war irgendwie ein
echter Freund den Kindern, oder irre ich mich?
Nennt man anonym-poster Troll (?) - immerhin geben sie Nachricht aus
dem Reich der Finsternis, sie haben Angst vor Sonne, die ihr Gesicht
zeigt, aber ihr Wesen ist genau wie unseres -meistens gut.
Hallo Aisha(=Robert K.)
schlägt Dich Dein Mann wen Du über Mathe redest?
Unter falschen Namen posten, sich verstellen, sich für jemanden
ausgeben, der man nicht ist -sehen wir es mal so: hier im web kann
man mal so sein, wie man wirklich ist, kann sagen, was man wirklich
denkt.
Wieviel Prozent der Mathematiker müsen bei einem der Geheimdienste von
Sheriff-Staat schuften, sollen wir denen den Mund verbieten, wen die
mal was positives tun wollen.
Ein Lehrer möchte nicht ausgelacht werden, ein Prof möchte seine
Stellung nicht verlieren. Ich kam ohne Paß nach Deutschland - bei der
Geburt. Und dann kam das indische Kastendenken. Im web gibt's das
nicht.
Das web bietet Möglichkeiten: mit zwei Identitäten ,kann man sich
selbst widersprechen, wie Kurt Tucholsky "Starter, die Fahne -!ab mit
5 PS" .PSeudonym gibt Pferdestärken.
Eine Doktorarbeit, die nur zu Abschreibe ist, da steht ein Name
drunter -
bei vielen Märchen nicht. Oder beim Alten Testament.
Christian meinte es ja gut -Sisyphos ist glücklich - und er überlistet
seine Götter.
Robert K. mache Deinem Namen alle Ehre.
Gruss Hero

Hero

ungelesen,
26.03.2004, 05:19:2726.03.04
an
Hermann,
ich hab ein Problem mit mir, vielleicht geht es anderen ebenso,ich
möchte Dir nicht in den Arsch kriechen.
Ich fühle mich in Deiner Schuld stehen, weil Du so viele gute Hinweise
und Hilfen gibst. Einige muss ich einfach so, ohne Antwort stehen
lassen. Reicht es Dir, wenn ich einfach Tak sage ?
Das wäre einfacher, wenn Du z.B. anonym unter "Archimedes Plutonium"
oder besser unter "Euclid" posten würdest (dann könntest Du auch
Stellung zu meiner Frage (Def von im. Ax.) beziehen, Dich etwa Juttas
Antwort anschließen).
Du bist der beste Jäger im Stamm (ein Lob, die Steinzeitleute mußten
ja viel schlauer sein, wie wir, weil sie unter schwierigeren
Bedingungen überlebten, sagt mein Schwiegervater) .- freust Du Dich,
wenn man Dir ein scheues Tier beschreibt, das für unseren Tierpark
wichtig wäre?
Tak
Hero
P.S.>Wo finde ich lokale Newsserver?<-> Bei Deinem Internet Service
Provider (ISP).<-> Ich gehe immer by-call ins Netz.
2 P.S"Calculus situs" :Irgendeiner hat mal eine "Geometrie der Lage"
gefordert zu schaffen.
3PS:Hermann schrieb:"Ich suche gerade die Originalquellen von Carl

Friedrich Gauß über die "Gauß'sche Zahlenebene" zusammen ... demnächst
in dieser Newsgroup ... "
Gauss/Wessel, da gibt's ne gemeine Bemerkung
"Wessel's .... a geometrical interpretation of complex numbers.... (It
is worth noting that Gauss redid another part of Wessel's work, for he
retriangulated Oldenburg in around 1824.)"
unter
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Wessel.html
Schmückte er sich in beiden Fällen mit fremden Federn?
Ich hab denen damals geschrieben, das dies unfair gegenüber Gauss ist.
Sie sollten das lieber recherchieren (n.b. Oldenburg i.O. oder in
Holstein?) - dann würde das eine pikante story über den ergeben, der
das aufgebracht hat (mit kleiner Chance, daß der doch Recht hatte).
Aber e-mails an Berufsmathematiker werden von diesen häufig als spam
betrachtet - es gibt lobenswerte Ausnahmen.
4PS:"Die Webseite stammt von dem hinreichend bekannten

"Europa-Ingenieur" Panagiotis Stefanides: <http://www.stefanides.gr/>
, der die gesamte Mathematik neu erfinden möchte und z.B. "bewiesen"
hat, daß pi eine Wurzel eines Polynoms vierten Grades ist..."Aus allem
spricht der Wunsch, (er ist Schattenkinoseher), aber sagt er das
ausdrücklich ? Er ist schwer zu lesen, aber man darf auch das positive
sehen, eine Beschreibung von "einem Tintenfisch, zoologisch "Perlboot"
". Hermann schreibt ja: "Die Schale besteht aus einzelnen Kammern, bei

denen die Trennwand- Mittelpunkte näherungsweise auf einer
logarithmischen Spirale angeordnet sind.."
5PS:Bitte gib doch den Link an ... ich kenne viele
Alexandria-Webseiten ...Das reizt Hermann. Du kannst mitmachen, such
Dir eine Rolle aus, Vorschlag:Euclid, suche Mitstreiter, damit Ihr 24
h online seid und dann stelle ich mir das so vor, daß auf Hermanns
Bildschirm nicht 15 ICQ-Fenster offen sind, sondern 15 Besucher-ataver
bei ihm in antiker Landschaft herumlaufen und plötzlich spaziert da so
ein Momo oder ein "kleiner Prinz" ins Bild und sagt:"Kannste mir mal
die negativen Zahlen erklären ? Hier auf dem Papier kann ich Flächen
zeichnen. Nun bei (a-b)quadrat kann ich sogar eine Fläche abziehen,
aber wenn nun ein 2ab mal größer ist wie der Rest, wie soll ich das
dann machen..?" Und Euclid antwortet."Zu meinen Lebzeiten konnte ich
Dir nicht antworten, aber jetzt bin ich ja zum Glück wieder da. Da
wollen wir mal sehen, hm..."
Gruß aus einem Land wo (frei nach Wallis 1685) Flächen für Stunden
unter Wasser verschwinden , falsch, die sind noch da, bloß unter
Wasser, und dann wieder auftauchen, wie in einem GO-Spiel. Höre ich
da:"Wat?, sage ich nur "Nee, Watt!"
Danke
Hero

Hermann Kremer

ungelesen,
26.03.2004, 15:51:5926.03.04
an
Hero schrieb in Nachricht ...
>Robert K. schrieb:" PS. Bitte."
[ ... ]

>Im Gegensatz dazu war der Mathematiker Dodgsen
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Dodgson.html

>auch einer, der anonym veröffentlichte,

... aber nur seine Kinderbücher
http://www.gutenberg.net/cgi-bin/search/t9.cgi?author=carroll&whole=yes
http://www.gmu.edu/departments/fld/CLASSICS/alice.html
http://www.symbolon.de/downtxt/alice.htm

... seine Mathematikbücher schrieb er unter seinem richtigen Namen:
http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV1991.0001.001
( obwohl dieses [sein Determinantenbuch] interessanterweise im Autorenverzeichnis
in Michigan nur unter seinem Pseudonym aufgeführt ist ;-))

http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=03190001&seq=9

>Nennt man anonym-poster Troll (?)

Nej

> - immerhin geben sie Nachricht aus
>dem Reich der Finsternis, sie haben Angst vor Sonne, die ihr Gesicht
>zeigt, aber ihr Wesen ist genau wie unseres -meistens gut.

http://www.vangor.de/hogwarts/geschoepfe2.html
http://www.etojm.com/Tysk/Norwegen/Kultur/Troll.htm
http://www.schwarzaufweiss.de/norwegen/trolle.htm
http://www.kidzfun.de/Marchen/Trolle/hauptteil_trolle.html

Grüße
Hermann
--

Hermann Kremer

ungelesen,
26.03.2004, 18:02:2126.03.04
an
Hero schrieb in Nachricht ...
[ ... ]

>2 P.S"Calculus situs" :Irgendeiner hat mal eine "Geometrie der Lage"
>gefordert zu schaffen.

Z.B. Karl Georg von Staudt,
http://makeashorterlink.com/?Z26832AD7

Hermann Grassmann,
http://makeashorterlink.com/?Y34852AD7
u.a.

Ich bin aber nicht sicher, ob mit dem Gilbert'schen "Calculus situs" diese
Geometrie gemeint ist ...

>3PS:Hermann schrieb:"Ich suche gerade die Originalquellen von Carl
>Friedrich Gauß über die "Gauß'sche Zahlenebene" zusammen ... demnächst
>in dieser Newsgroup ... "
>Gauss/Wessel, da gibt's ne gemeine Bemerkung
> "Wessel's .... a geometrical interpretation of complex numbers.... (It
> is worth noting that Gauss redid another part of Wessel's work, for he
> retriangulated Oldenburg in around 1824.)"
>unter
>http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Wessel.html
>Schmückte er sich in beiden Fällen mit fremden Federn?

Nein ... Gauß kannte die Wessel'sche Arbeit nicht ...
Ob Gauß das Büchlein (1806) von Jean Robert Argand
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Argand.html
kannte, das 1813 auf Veranlassung von Jaques Francais in
"[Gergonne's] Annales de mathématique" nachgedruckt wurde, ist übrigens
auch eine spannende Frage, der ich noch nachgehe ...

>Ich hab denen damals geschrieben, das dies unfair gegenüber Gauss ist.
>Sie sollten das lieber recherchieren (n.b. Oldenburg i.O. oder in
>Holstein?)

Hmm, welches Oldenburg hat eigentlich Caspar Wessel vermessen?
Gehörte das damals zu Dänemark?
http://www.lgn.de/produkte/historische_karten/#gausz
http://134.76.163.65/agora_docs/38910TABLE_OF_CONTENTS.html
--> S. 86
http://www.studsem-bs.de/2/ausbild/mathe/html/history/gauss.htm
http://www.nifu.no/Fpol/2-2000/art8.html

>4PS:"Die Webseite stammt von dem hinreichend bekannten
>"Europa-Ingenieur" Panagiotis Stefanides: <http://www.stefanides.gr/>
>, der die gesamte Mathematik neu erfinden möchte und z.B. "bewiesen"

>hat, daß pi eine Wurzel eines Polynoms vierten Grades ist...". Aus allem


>spricht der Wunsch, (er ist Schattenkinoseher), aber sagt er das

>ausdrücklich? Er ist schwer zu lesen, aber man darf auch das positive


>sehen, eine Beschreibung von "einem Tintenfisch, zoologisch "Perlboot"
>". Hermann schreibt ja: "Die Schale besteht aus einzelnen Kammern, bei

>denen die Trennwand-Mittelpunkte näherungsweise auf einer
>logarithmischen Spirale angeordnet sind.."

Ja, aber das wußte schon Archimedes ... und gerade über die Nautiliden,
die die letzten Überlebenden der im Erdmittelalter sehr zahlreichen Arten
von Ammoniten ("Ammonshörnern") und Belemniten ("Donnerkeilen")
darstelllen, gibt es in der zoologischen und paläontologischen Literatur eine
Unmenge von Veröffentlichungen ...

>5PS:Bitte gib doch den Link an ... ich kenne viele

>Alexandria-Webseiten ... Das reizt Hermann. Du kannst mitmachen, ...

... Ja wo denn? Sicherlich nicht auf der Webseite der neuen, von der
UNESCO eingerichteten Bibliothek in Alexandria:
http://www.bibliothek-alexandria.de/sites/neuebibliothek.html
http://www.bibalex.org/newwebsite/

Grüße
Hermann
--

>Danke
>Hero


Peter Luschny

ungelesen,
26.03.2004, 19:05:0126.03.04
an
"Hermann Kremer" schrieb:

> >Sie sollten das lieber recherchieren (n.b. Oldenburg i.O. oder in
> >Holstein?)
>
> Hmm, welches Oldenburg hat eigentlich Caspar Wessel vermessen?

Oldenburg in Oldenburg. Zwischen 1782 und 1799.
Die Durchführung der Triangulation lag (anfänglich) in den
Händen von Caspar Wessel. Der Direktor der Landesvermessungs-
kommision war Georg Christian von Oeder (1728-1791).

> Gehörte das damals zu Dänemark?

Nein, Oldenburg gehörte damals nicht mehr zu Dänemark.
Es wurde damals von Herzog Friedrich August von
Holstein-Gottorp-Oldenburg regiert (Die Zarin
Katharina von Rußland hatte dabei ihre Finger im Spiel,
als sie die Eutiner Linie der Gottorper mit den
Grafschaften Oldenburg und Delmenhorst versorgte.)

In welcher News Gruppe bin ich hier eigentlich? ;-)

Gruss Peter

Hermann Kremer

ungelesen,
26.03.2004, 21:05:4526.03.04
an
Peter Luschny schrieb in Nachricht ...
>"Hermann Kremer" schrieb:


Hallo Peter,

>>>Sie sollten das lieber recherchieren (n.b. Oldenburg i.O. oder in
>>>Holstein?)
>>
>> Hmm, welches Oldenburg hat eigentlich Caspar Wessel vermessen?
>
>Oldenburg in Oldenburg. Zwischen 1782 und 1799.
>Die Durchführung der Triangulation lag (anfänglich) in den
>Händen von Caspar Wessel. Der Direktor der Landesvermessungs-
>kommision war Georg Christian von Oeder (1728-1791).

Merci.
Dann hat St-Andrews recht, dieses Oldenburg hat nämlich auch Carl
Friedrich Gauß vermessen.

Und den Direktor Georg Christian von Oeder kenne ich aus der
Biologiegeschichte - der war nämlich eigentlich Botaniker und erfand
ein eigenes botanisches Klassifikationssystem für seine monumentale
"Flora Danica" und bekam daher einen Heidenkrach mit dem Schweden
Carl von Linnée ;-))
http://www.oeder.dk/oeder.htm
http://www.findagrave.com/cgi-bin/fg.cgi?page=gr&GRid=6256&pt=Georg%20von%20Oeder
http://www.tyskforlaget.dk/SpurenBiografie.html

Und die Oeder'sche "Flora Danica" ist sogar online ... :
http://www.billeder.dnlb.dk/
http://www.mycokey.com/AAU/HistoryOfMycology/HisFLDanic.htm

>> Gehörte das damals zu Dänemark?
>
>Nein, Oldenburg gehörte damals nicht mehr zu Dänemark.
>Es wurde damals von Herzog Friedrich August von
>Holstein-Gottorp-Oldenburg regiert (Die Zarin
>Katharina von Rußland hatte dabei ihre Finger im Spiel,
>als sie die Eutiner Linie der Gottorper mit den
>Grafschaften Oldenburg und Delmenhorst versorgte.)
>
>In welcher News Gruppe bin ich hier eigentlich? ;-)


Jedenfalls in einer sehr wißbegierigen und seriösen ...
einschließlich Links auf ganz wunderschöne farbige botanische
Zeichnungen ...

Grüße
Hermann
--

>Gruss Peter
>


Thomas Nordhaus

ungelesen,
27.03.2004, 05:30:4927.03.04
an
Hero.van...@gmx.de (Hero) schrieb:

>2 P.S"Calculus situs" :Irgendeiner hat mal eine "Geometrie der Lage"
>gefordert zu schaffen.

Oder auch "Analysis situs" Das nennt man doch heutzutage "Topologie".
Meine Vermutung wird auch durch einige google-Funde bestätigt. Hier:
http://www.math.cornell.edu/Courses/lifeaftercalc.html
wird geschrieben:

"...Finally, the eighteenth and nineteenth century saw the birth of
topology (or, as it was then known, analysis situs), the so-called
geometry of position. Topology studies geometric properties that
remain invariant under continuous deformation. For example, no matter
how a circle changes under a continuous deformation of the plane,
points that are within its perimeter remain within the new curve, and
points outside remain outside. For another example, no continuous
deformation can change a sphere into a plane. So they are
topologically distinct..."

Thomas

Hermann Kremer

ungelesen,
27.03.2004, 14:48:0427.03.04
an
Thomas Nordhaus schrieb in Nachricht ...

> Hero.van...@gmx.de (Hero) schrieb:
>
>>2 P.S"Calculus situs" :Irgendeiner hat mal eine "Geometrie der Lage"
>>gefordert zu schaffen.
>
>Oder auch "Analysis situs" Das nennt man doch heutzutage "Topologie".
>Meine Vermutung wird auch durch einige google-Funde bestätigt. Hier:
>http://www.math.cornell.edu/Courses/lifeaftercalc.html
>wird geschrieben: [ ... ]

Yep.

Siehe auch die alte Klassifikation (bis ca. 1931) des "Jahrbuch für
Mathematik (JFM)":
[....]
Achter Abschnitt: Reine, elementare und synthetische Geometrie.
Capitel 1. Principien der Geometrie.
Capitel 2. Continuitätsbetrachtungen (Analysis situs, Topologie).
Capitel 3. Elementare Geometrie (Panimetrie, Trigonometrie, Stereometrie).
Capitel 4. Darstellende Geometrie.
Capitel 5. Neuere synthetische Geometrie.
[....]

Bei Casper Wessel, in der französischen Übersetzung von Hieronymus
Georg Zeuthen, heißt es aber explizit
"... il est possible ... que magister Gilbert de Halle ait donné des
explications ... dans un mémoire ... pour titre /Calculus situs/. ..."
H. G. Zeuthen merkt dazu an, daß es Paul Stäckel,
http://de.wikipedia.org/wiki/Paul_St%E4ckel
http://www.ub.uni-heidelberg.de/helios/fachinfo/www/math/homo-heid/staeckel.htm
der auch an der Herausgabe der 12-bändigen "Werke" von Carl Friedrich
Gauß beteiligt war, nicht gelungen sei, ein solches Mémoire zu finden und auch
keinen Hinweis darauf in irgend einer Veröffentlichung von Ludwig Wilhelm
Gilbert.

Bei der Suche nach dem Begriff "Calculus situs" habe ich in JFM und Zbl. die
folgenden Einträge gefunden:
=========================================================
JFM 23.0734.01
Boguslavsky, A. J.
Algebra der Ebene und des Raumes, oder Calculus situs. (Russian) [B]
Aus Mosk. Math. Samml. B. XIV, XV u. XVI; Moskau. VIII+229 S.
Published: 1891

Durch dieses Werk hat Herr Boguslavsky dem russischen mathematischen Publicum
und der Wissenschaft einen grossen Dienst geleistet, und wir hoffen, dass die
Absicht des Verfassers, die Ausbreitung der Ideen von H. Grassmann zu fördern,
ihre völlige Erfüllung finden wird. Es handelt sich aber nicht nur um die
Darlegung der Resultate anderer; die Darstellung ist selbständig und an eigene
Forschungen geknüpft. Das Buch besteht aus vier Capiteln. Im ersten giebt der
Verf. die Begriffe der verschiedenen räumlichen Grössen und ihre Einteilung in
Stufen, um im zweiten zu den Operationen mit räumlichen Gebilden erster Stufe
überzugehen. Jedem Schritte in der Theorie folgen gut gewählte Anwendungen, so
auf die Aufstellung eines Systems von homogenen Coordinaten in der Ebene und auf
das Studium der projectivischen Büschel. In S 11-15 führt die Betrachtung der
Summe dreier Masspunkte und dreier Vectoren in der Ebene zu einer allgemeinen
Methode der Untersuchung der Fragen der sogenannten Geometrie des Dreiecks. Im
dritten Capitel werden die Operationen mit Gebilden höherer Stufen betrachtet.
Unter den Anwendungen erwähnen wir die einfache Darstellung der
Determinantentheorie und eine sehr einfache Ableitung der Grundformeln der
sphärischen Geometrie. Endlich wird im vierten Capitel (unter dem Titel:
Calculus situs) die auseinandergesetzte Methode auf das Studium einiger Fragen
der projectivischen Geometrie angewandt, und es zeigt sich ihre Fruchtbarkeit
auch auf diesem Gebiete. Die Methode führt endlich zur Darstellung des
Imaginären, die mit der Laguerre'schen übereinstimmt.

Wenn auch in den Litteraturanzeigen einige Lücken vorhanden sind (z. B. ist G. Peano's
Calcolo geometrico nicht erwähnt), so entspricht doch das Werk den Worten des
Verfassers (im Vorwort), dass seine Arbeit die Methoden des barycentrischen Calcüls
von Möbius und die Theorie der Aequipollenzen von Bellavitis vereinigt; zum tieferen
Studium der Werke von Grassmann wird es sicherlich anregen.
[ Sintzow, Dr. (Kasan) ]

Subject heading:
Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 1. Coordinaten. Weitere Lehrbücher.
=========================================================
Zbl 0427.01009
Münzenmayer, Hans Peter
Der Calculus Situs und die Grundlagen der Geometrie bei Leibniz. (German) [J]
Veröff. Forsch.-inst. Deutsch. Museums Gesch. Naturw. Techn. 224, 274-300 (1980).
[ISSN 0724-0848]

See printed version.

MSC 2000:
*01A45 Mathematics in the 17th century
01A50 Mathematics in the 18th century

Keywords:
calculus situs of Leibniz; equivalence relations; binary relations; foundations of
geometry
=========================================================
Zbl 0753.01006
Echeverria, Javier
Geometrical calculations in Leibniz. (Spanish) [J]
Theoria, Segunda Epoca 6, No.14/15, 29-66 (1991). [ISSN 0495-4548]

In his unpublished manuscript "Circa Geometrica Generalia" (1682) Leibniz
summarizes and describes his results on Calculus Situs. The thorough and
interesting paper under review discusses the ideas which Leibniz was developing
in those years on ''set theory'', ''topology'' and the logic foundations of
geometry. The original manuscript of Leibniz is reprinted in its entirety as an
extra feature.

[ D.C.Struppa (Fairfax) ]
MSC 2000:
*01A45 Mathematics in the 17th century
51-03 Historical (geometry)

Keywords: calculus situs; set theory; topology
=========================================================

Bei der Suche nach "Analysis situs" dagegen wird man von Fundstellen regelrecht
totgeschlagen ;-)

Grüße
Hermann
--

>
>Thomas

Hero

ungelesen,
28.03.2004, 03:42:4828.03.04
an
Peter schreibt: " In welcher News Gruppe bin ich hier eigentlich? ;-)"


Hier soll es Mathematiker geben, die Pythagoras folgen, aber
heutzutage ohne Geheimniskrämerei. Sie bringen jedem bei, der will,
wie er "in Zahlen und im Verhältnis von Zahlen zueinander einen
getreuen Spiegel des "Wesens der Wirklichkeit" " zu erblicken
(Christa Zettel, "Geheimnis der Zahl", Wien, 1988) und damit kommt man
weit (außer zur Numerologie, aber wohl von ihr weg). Die übten sich
übrigens in der Kunst des Anlegens.
Ein anderer Wiener, Egbert Colerus schrieb 1937 in "Von Pythagoras bis
Hilbert", daß er nur flüchtig erwähnen kann, "daß Leibniz bereits die
<Geometrie der Lage> durchschaute und in leuchtend klaren Worten von
der Maßgeometrie abgrenzte." (Ich hatte gedacht, daß Leibniz die
Forderung danach aufgestellt hatte, dies ist also eine Verbesserung.
Ein Numerologe könte sagen, das muß doch eine Bedeutung haben, Hero,
Du wohnst doch in der Leibnizstraße <---> Nee, aber wie ich den Namen
Leibnizstraße las, fiel mir sein Name wieder ein.)
Egmont schreibt:"...erwiderte Leibniz unter dem Datum des 2. Februar
1702 fogende unmißverständliche Worte:"... .... ...ähnlich den
sogenannten imaginären Wurzeln in der gewöhnlichen Analysis, wie zum
Beispiel Quadrawurzel -2. Mag man diese auch als imaginär bezeichnen,
so sind sie denoch nützlich und bisweilen sogar unentbehrlich, um auf
analytische Weise reelle Größen auszudrücken.
....alles, um damit Begriffe zu bezeichnen und aufzustellen, die zur
Abkürzung der Rechnung dienen, und die in Realitäten ihre Grundlage
haben."
Vielen Dank, Peter, für Deinen Beitrag über Oldenburg.
Gruß
Hero
P.S. Ich sehe gerade, Hermann hat uns/mich übertroffen.

Hero

ungelesen,
29.03.2004, 13:17:5429.03.04
an
Um den Spekulationen ein Ende zu machen.: den Punkt gibt's
tatsächlich. Wo- würde ich nur ganz wenig Leuten verraten ,wenn sie
das wollten, alle anderen können suchen.. mal ist er zu sehen, mal
nicht.
Und seine Koordinaten sind Abzisse.., lieber auf Deutsch: Teile den
Punkt (7,8) durch (o,103,,,,6,24) (dies blöde Dezimalkomma in
Deutschland!!) Wie man einen Punkt teilt, das ist eine harmlose
Matheaufgabe.
Assoziative Logik, so nach Ranke-Graves Art, - was das jetzt hier
soll.? Nun, man sollte seine Phantasie nicht ins Kraut schießen
lassen, sie den dem gesunden Verstand und der Recherche unterwerfen.
Schauen wir mal: Unter
http://www.bibalex.org/newwebsite
(Danke, Hermann)
gibt's etwa schon ein Hole in the wall. Das hat mich selbst erstaunt.
Unter dem Museum gibt's ein History of Science, dies muß noch mehr
online und mehr mathe.
Eine gute Idee ? - das Schwierige, die harte Arbeit der Realisation,
das zählt.
Denkt mal an die Arbeit, die zum babelfish führte.
http://babelfish.altavista.com
Ein paar unmögliche Übersetungsbeispiele belächeln - das ist hohl.Die
Leute haben den Friedensnobelpreis verdient, da muß Geld und Arbeit
rein. Dann könnte jedes Kind durch ein Loch in der Wand mit der Welt
sprechen, ein Fenster zur ganzen Erde - das ist für mich ein Wunder -
in welcher möglich-schönen Welt leben wir eigentlich? Das ist reale
Mathematik als Teil einer Gemeinschaftsarbeit mit anderen
Wissenschaften!
Logox - Sprachausgabe dazu, auch knochenharte Arbeit u.a. von
Mathematikern. Mein Computer spricht mit mir - nein, das ist viel,
viel mehr: kombiniert in einemTaschenrechner (PDA) wäre es ein echter
babelfish.
Oder man könnte de.sci.mathematik mit sci.math. (und gibts da schon
etwas chinesisches) in eins verschmelzen.
Mathematiker sprechen doch keine universelle Sprache, deshalb hier
eine helfende Hand von einem indischen Freund namens Barda(Abhijit
Das)
http://www.geocities.com/SiliconValley/Lab/6024/
Könnte man dies nicht in ein Tabellenblatt umwandeln und jeder kann
die mathe-Wörter, deren englische Übersetzung er kennt, dazuschreiben,
zum downloaden und weitergeben.
Was uns hier in de.sci.mathematik fehlt ist ein Sandkasten, in dem
Euclid Geometrie lehren kann, eine Schiefertafel. Nicht jeder hat ne
website, auf die zeigen kann.
http://insel.heim.at/mainau/331839/z/inverting-on-circle.gif
Bei gmx gibt's ein mediacenter neu, für Bild und datei
up-and-download, wer kennt sich da aus? (Dort gibt's einen netten
Herrn Kaspar Brandner und Andreas Engel).Aber bitte, nicht zuviel
mathe-Formeln. Ich hab mal gelesen, daß dies (also daß man hier nicht
so mit Zauberzeichen in Integralform beeindrucken kann) der Vorteil
vom Nachteil bei google-groups ist.
Lasst mich noch ein letztesmal(versprochen) einen Blick riskieren:
Das Sprachproblem ist hier schon weitergehend gelöst, da ein gewisser
Ironman - so sein Deckname in einer Behörde, von deren Mitarbeiter in
ihrem Jargon liebevoll "meNS An black" bezeichnet- seine Arbeit an
einer Ablauschsprachsoftware palästinensisch/ arabisch - english in
seiner Freizeit auf israelisch-english-arabisch und umgekehrt
ausgedehnt hat + Dialekte und dies hierher übersandte. Er hatte sich
nach einem gewissen Robert Eisenman (csu) genannt, weil er hoffte, daß
später einmal einer dessen Art Ironmans historische Rolle ans Licht
bringen würde, so wie dies Eisenman mit einem seiner Kollegen,
(Saulus-es wird in Deutschland selten erwähnt, daß dieser ein Türke
war)versucht hat. Eisenman hat außerdem wichtige Schriften
dechiffriert, also auch eine Art Kollege.Sein Ergebnis: Saulus hate
einen Traum, wie die Frau von Martin Luther King, über Brüderlichkeit
in einer Welt voll Sklaverei, in der es auch einen ibn Laden namens
Jakob gab,den er fast umgebracht hätte, und er nante seinen Traum
:Jakobs Bruder
(the brother of James).
http://www.depts.drew.edu/jhc/RPeisenman.html
Zurück.
Die klebrige imaginäre Soße wird nicht nur von einigen in Wuerzburg
verwendet, seht mal in sci.math nach (bei google gibts jetzt auch nen
babelfish unter Sprach Tools). Diese Soße eine mathematische
"travesty", eine Umkleidung nennend, schreibt im thread "What is the
meaning of imaginary numbers?" am 18.Januar diese Jahres
Countess Lynn Kurtz
"ANY WAY YOU DO IT WILL BE BETTER THAN WHAT IS NOW BEING DONE, and
when you are finished there won't be anything "imaginary". "
I promised a little surprise, fulfill a wish of Yours.
Dear Lady, click on this:
http://www.always-safe.com/grandma.html
Thanks
Hero


www.bibalex.org/newwebsite
Hole in the Wall
Based on the highly innovative and successful experiments conducted in
India by Hole in the Wall Education Limited (HIWEL), Bibliotheca
Alexandrina intends to bring to children of the community of
Alexandria direct contact with the cyber world and its infinite
possibilities for education and learning. The "Hole in the Wall"
project, mainly a socially developing project, presupposes that
&#8220;if given appropriate access and connectivity, groups of
children can learn to use computers and the Internet with none or
minimal intervention from adults&#8221;. It has proven that it is
indeed possible to install a computer, connect it to the Internet,
design it for children and keep it in working condition in any
external (outdoor) environment. Moreover, it was shown that children
could learn to use computers and browse the Internet with no formal
input from anyone in less than 10-15 minutes.
Realted links noch offen

ISIS
History of Science Museum

Hermann Kremer

ungelesen,
29.03.2004, 15:31:5429.03.04
an
Hero schrieb in Nachricht ...
>Peter schreibt: " In welcher News Gruppe bin ich hier eigentlich? ;-)"
>Hero van Jindelt <Hero.van...@gmx.de> wrote ...
>Datum: Samstag, 27. März 2004 23:41
>Betreff: Der Punkt, assoziative Logik, Zeiger und ein ?

[ ... ]

>Gauss und Zeiger
>
>Stöcker ("Taschenbuch mathematischer..") schreibt (Kap.17.1):
>"Kartesische Darstellung komplexer Zahlen ...
> Zeiger(fett geschrieben) z ( z mit einem Unterstrich), Pfeil zwischen
> Ursprung und P(z).
> Der Zeiger ist kein (kein fett geschrieben) Vektor, er unterliegt
> anderen Rechengesetzen (s.Multiplikation komplexer Zahlen)."

Womit er völlig recht hat ...

>Mich interessiert schon, ob Gauss schon eine Gausssche Ebene kannte, ob er
>etwa eine math Definition von ihr gegeben hat

Gauß hat keine mathematische Definition gegeben.
Er betrachtete die komplexe Ebene in seinem Brief an Friedrich Wilhelm
Bessel vom 18.12.1811 als Illustration ("sinnlich Machung) einer komplexen
Variablen z = x + i*y:
"... Zuförderst würde ich jemand, der eine neue Function in die Analyse
einführen will, um eine Erklärung bitten, ob er sie schlechterdings bloss
auf reelle Grössen (reelle Werthe des Arguments der Function) angewandt
wissen will, und die imaginären Werthe des Arguments gleichsam nur als
ein Überbein ansieht, oder ob er meinem Grundsatze beitrete, dass man
in dem Reiche der Grössen die imaginären a + b*sqrt(-1) = a + b*i als
gleiche Rechte mit den reellen geniessend ansehen müsse ..."
"... so wie man sich das ganze Reich aller reellen Grössen durch eine
unendliche gerade Linie denken kann, so kann man das /ganze/ Reich
/aller/ Grössen, reeller und imaginärer Grössen, sich durch eine
unendliche Ebene sinnlich machen, worin jeder Punct, durch Abscisse = a,
Ordinate = b bestimmt, die Grösse a + b*i gleichsam repräsentiert ..."
http://134.76.163.65/agora_docs/138542TABLE_OF_CONTENTS.html
--> S. 365-371
In diesem Brief geht es übrigens im wesentlichen um den Integral-Logarithmus
Li(z) = intgral{0..z} du/ln(u) und um die numerische Berechnung der
Euler-Mascheroni-Konstanten, also um typische Themen aus der Funktionentheorie.

In seiner "Theoria residuorum biquadratorum, Commentatio secunda"
von 1831
http://134.76.163.65/agora_docs/137221TABLE_OF_CONTENTS.html
--> S. 169-178
führt er u.a. die Gauß'schen ganzen Zahlen a + i*b, a, b \in Z, ein, und
illustriert
sie ebenfalls in der komplexen Ebene, aber er rechnet ausschließlich algebraisch
mit ihnen.

>oder ob es nur ein Name ist oder, wo das herkommt.

Es ist nur ein Name, eine Allegorie ...
Wer den Namen "Gauß'sche (Zahlen-)Ebene" erfunden hat, habe ich noch
nicht definitiv feststellen können. Möglicherweise war es Bernhard Riemann,
obwohl der in seiner Dissertation von 1851:
"Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen
complexen Grösse Inauguraldissertation Göttingen 1851"
http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABS3163
--> S. 3-47
ihn noch nicht benutzt hat.
Andere mögliche Kandidaten sind Moritz Wilhelm Drobisch (mit dem Gauß
korrespondierte) und Karl Georg Christian von Staudt ...

Die im französischen Sprachraum gebräuchliche Bezeichnung "plaine
d'Argand" oder "diagramme d'Argand" stammt von Augustin Louis Cauchy
(ca. 1840).

Die englische Bezeichnung "Argand's diagram" taucht erstmalig 1893 in
=====================================================
JFM 25.0653.01
Harkness, James; Morley, Frank.
A Treatise on the Theory of functions. (English) [B]
London. Macmillan \& Co. IX + 507 S. [New York M. S. Bull. III. 155-167.]
Published: 1893

Einem aufmerksamen Beobachter entgeht es nicht, dass das Interesse der
verschiedenen Culturnationen für die einzelnen Zweige der Mathematik ein sehr
verschiedenes ist. So bewegen sich, wenn wir uns auf die neuere Zeit
beschränken, die Leistungen der Engländer und Amerikaner wesentlich auf
formalem Gebiete (Formentheorie, Logikcalcül u. s. w.).
Im Interesse eines internationalen Zusammenwirkens ist es daher zu begrüssen,
wenn auch jenseits des Kanals und des Oceans die Anteilnahme an der neueren
Functionentheorie, wie sie sich vorwiegend in Frankreich und Deutschland
ausgebildet hat, im Wachsen begriffen ist. Zeugnis dafür legen zwei im nämlichen
Jahre erschienene Lehrbücher über Functionentheorie ab: ein engliches von
Forsyth (s. das vorangehende Ref., JFM 25.0652.01) und das vorliegende
amerikanische von Harkness und Morley.
Das letztere ist elementar gehalten und eignet sich gut zu einer Einführung in den
Gegenstand. Es zeichnet sich vor allem aus durch eine klare, anschauliche, mit
instructiven Beispielen versehene Darstellung und durch in geeigneten Grenzen
gehaltene litterarische Nachweise. Die Fülle des Stoffes ist wohl der Grund, weshalb
die fundamentalen Sätze an Präcision des Ausdruckes manchmal zu wünschen übrig
lassen: im Interesse weniger geübter Leser wäre auch ein Hervorheben durch den
Druck nützlich gewesen.
Um einen ersten Einblick in die Anordnung des Stoffes zu gewinnen, seien die
Ueberschriften der zehn Capitel angeführt:
I. Geometrische Einleitung,
II. Reelle Functionen einer reellen Variable,
III. Theorie der unendlichen Reihen,
IV. Algebraische Functionen,
V. Integration,
VI. Riemann'sche Flächen,
VII. Elliptische Functionen,
VIII. Doppel-theta-Functionen,
IX. Dirichlet's Problem,
X. Abel'sche Integrale.
Die Verfasser heben selber hervor, dass das kurzgehaltene Cap. II nur als eine
Einleitung anzusehen sei, dass das Entsprechende vom Cap. X gilt, und dass die
neue Theorie der von den Herren Poincaré und Klein geschaffenen automorphen
Functionen nur eben gestreift worden ist.
Beschränken wir uns auf einige Bemerkungen, die erkennen lassen, welche
Eigenschaften dem Buche eigentümlich sind.
Im Cap. I wird zur Illustration einer mehrwertigen Function der Fundamentalsatz der
Algebra mit dem Cauchy'schen Beweise vorgetragen: es wird aber nicht erwähnt,
dass dieser Beweis einer Ergänzung bedarf, indem zu zeigen ist, dass eine ganze
Function die untere Grenze Null auch wirklich erreicht.
Bei Gelegenheit der conformen Abbildung vermöge einer gebrochenen linearen
Function wird auch (behufs späterer Anwendung auf die elliptischen Functionen) die
Invariantentheorie einer kubischen und biquadratischen binären Form abgehandelt.
In Cap. II werden die Grundlagen der Differentialrechnung entwickelt, mit
Berücksichtigung der neueren Fortschritte. Als Definition der Irrationalzahl dient die
Cantor'sche, woran sich eine Einleitung in die Cantor'sche Mannigfaltigkeitslehre
anschliesst. Die Erklärungen der Stetigkeit, der unteren und oberen Grenze und der
Function entsprechen den heutigen Anforderungen. Es fehlt nicht das
Riemann-Weierstrass'sche Beispiel einer stetigen Function ohne
Differentialquotienten.
Cap. III bringt die Theorie der unendlichen Reihen und die Weierstrass'sche Theorie
der analytischen Functionen. Was die erstere angeht, so ist immerhin zu bedauern,
dass die Beweise der grundlegenden Sätze mit Hinweis auf andere Lehrbücher
unterdrückt wurden. Der Unterschied zwischen der gleichmässigen und
ungleichmässigen Convergenz von Reihen wird klar auseinander gesetzt, als Beispiel
einer wichtigen Doppelreihe dient die Eisenstein'sche. Als Vorbereitung für die
Riemann'sche Theorie werden in Cap. IV die algebraischen Functionen mit besonderer
Rücksicht auf deren Entwickelung in der Umgebung von Verzweigungs- und singulären
Punkten untersucht. Die Unterschiede zwischen der geometrischen und
functionentheoretischen Auffassung einer algebraischen Gleichung f(x,y)=0 werden
betont.
Nach dem Vorgange von Nöther werden mit Hülfe geeigneter Cremona-Transformationen
complicirtere Singularitäten in einfachere umgewandelt.
Cap. V zeigt, wie nach Cauchy die Functionentheorie aufgebaut werden kann mit Hülfe
von Integralen, die längs geschlossener Curven in der Gauss'schen Ebene herumgeführt
werden. Wenn diese Methode auch zu manchen Schwierigkeiten führt, so ist sie doch als
Ergänzung zu der in Cap. III gegebenen für den Leser sehr instructiv.
Für den Cauchy'schen Fundamentalsatz wird der Goursat'sche Beweis mitgeteilt.
Nachdem durch Vermittelung des Taylor'schen und Laurent'schen Satzes der
Anschluss an die Weierstrass'sche Theorie erreicht ist, wird noch mit Hülfe der
Primfunction die Darstellung einer Function mit vorgegebenen Nullstellen
geleistet.
Im nächsten Capitel findet man eine gute Einleitung in dieTheorie der Riemann'schen
Flächen, wo auch die neueren Beiträge des Hrn. Klein berücksichtigt werden.
Andererseits bekommt der Leser auch eine erste Vorstellung von den Principien der
Kronecker'schen und Dedekind-Weber'schen Theorie der algebraischen Functionen.
Die Grundzüge der elliptischen Functionen werden im Cap. VII wesentlich nach
Weierstrass vorgetragen, jedoch nur teilweise, nämlich allein auf Grund der
Reihenentwickelung von wp(u).
Das Cap. VIII über Doppel-theta-Functionen ist als ein selbständiger Excurs
eingeschoben. Bei der Riemann'schen theta-Formel wird ein numerischer Factor
auf einfachere Art als gewöhnlich bestimmt.
Cap. IX bringt die klassischen Untersuchungen, die sich an das "Dirichlet'sche
Problem'' anschliessen. Insbesondere wird auf Schwarz's alternirende Methode
und ihre von Harnack herrührende Erweiterung eingegangen.
Endlich Cap. X ist als Ergänzung zu den Cap. IV und VI anzusehen. Die Lehre von den
Abel'schen Integralen und Functionen wird im Anschluss an Riemann vorgeführt, mit
Benutzung von Clebsch-Gordan, aber unter Ausschluss der Brill-Nöther'schen Auffassung.
Im ganzen ist das Werk als ein recht brauchbares zu bezeichnen.

[ Meyer, F.; Prof. (Clausthal) ]

Subject heading: Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 1. Allgemeines.

http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=03080002&view=50
=====================================================
auf. Da in dieser Besprechung der Begriff der Gauß'schen Ebene ganz
selbstverständlich benutzt wird, muß er also 1893 bereits geläufig gewesen sein.

>Und ich würde es sehr schätzen, wenn Du Deinen
>Standpunkt aussprichst, etwa Dich Jutta anschließt.die mir gesagt hätten,
>daß es nur ein Name ist.

Es ist nur ein Name, eine Bezeichung, eine Allegorie ...

Grüße
Hermann
--

>Gruß
>Hero


Rainer Rosenthal

ungelesen,
29.03.2004, 16:43:2429.03.04
an

Hero wrote

> Logox - Sprachausgabe dazu, auch knochenharte Arbeit u.a. von
> Mathematikern. Mein Computer spricht mit mir - nein, das ist viel,
> viel mehr: kombiniert in einemTaschenrechner (PDA) wäre es ein echter
> babelfish.
> Oder man könnte de.sci.mathematik mit sci.math. (und gibts da schon
> etwas chinesisches) in eins verschmelzen.
> Mathematiker sprechen doch keine universelle Sprache, deshalb hier
> eine helfende Hand von einem indischen Freund namens Barda(Abhijit
> Das)

Hallo Hero,

wenn die Sprachausgabe des Computers ähnlich durcheinander wäre wie
diese Ausführungen, würde ich ihn auf der Stelle zurückgeben.
Vielleicht muss er ja auch nur repariert werden, weil die "Lyrik"-
Taste klemmt ;-)

Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

Hero

ungelesen,
29.03.2004, 18:13:5529.03.04
an
Hermann schrieb:
"Es ist nur ein Name, eine Bezeichung, eine Allegorie ..."
Danke Hermann, jetzt habt ihr meine beiden Beine auf festen Grund
gesetzt.
Allegorie mußte ich natürlich nachschlagen. In Meyers großem
Taschenlexikon in 24 Bänden findet sich dort ein Bild von Albrecht
Dürer (1514) mit dem Titel "Melencolia".
Mann-o-Mann,es ist Frühling und man müßte eine Klapprechnner mit wlan
haben..
dann könnte ich jetzt schreiben
Ich grüße Dich unterm Sternenzelt, und wenn Du es liest, solltest Du
in der Morgensonne sitzen
Hero

Hermann Kremer

ungelesen,
30.03.2004, 12:06:3030.03.04
an
Hero schrieb in Nachricht ...

>... Oder man könnte de.sci.mathematik mit sci.math.
>in eins verschmelzen.

Besser nicht ... dann hätten wir außer HJ auch noch JSH ...

> (und gibts da schon etwas chinesisches)

Ja, gibt es:
cn.sci.math (Chinesisch)
fj.sci.math (Japanisch)
han.sci.math (Koreanisch)

>Mathematiker sprechen doch keine universelle Sprache, deshalb hier
>eine helfende Hand von einem indischen Freund namens Barda (Abhijit
>Das)
>http