Was sind und was sollen die Peano-Axiome?
Albrecht
1. 0 ist eine nat�rliche Zahl.
2. Zu jeder nat�rlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der
ebenfalls eine nat�rliche Zahl ist.
3. Es gibt keine nat�rliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
4. Jede nat�rliche Zahl ist Nachfolger h�chstens einer nat�rlichen
Zahl.
5. Von allen Mengen X, welche
* die Zahl 0 und
* mit jeder nat�rlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger
n'
enthalten, ist die Menge der nat�rlichen Zahlen die kleinste.
Schn Russell hat schon darauf hingewiesen, dass damit jedes abz�hlbare
Zahlensystem definiert ist. So entspricht die Menge
{0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
den Peano-Axiomen. Ist das die Menge der nat�rlichen Zahlen?
Oder ist
{0, 0.1, 0.11, 0.111, ...} die Menge der nat�rlichen Zahlen?
Selbst
{0, 10, 100, 1000, ...} oder auch {0, 0', 0'', 0''', ...} und {0, a, b,
c, 1, 2, 3, ...) fallen unter die Mengen die die Peano-Axiome
beschreiben.
Wieso wird immer wieder behauptet, die Peano-Axiome w�rden die nat.
Zahlen definieren?
Gru�
Albrecht
Jürgen R.
Man muss zwischen einem Begriff und den Symbolen, die
den Begriff repr�sentieren, zu unterscheiden verstehen.
Du kannst gerne andere Folgen neben {0,1,2...} benutzen,
um die nat�rlichen Zahlen darzustellen, auch die von dir
angegebenen.
Rainer Rosenthal
> So entspricht die Menge
> {0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
> den Peano-Axiomen. Ist das die Menge der natï¿œrlichen Zahlen?
Nun, so wie Du das hingeschrieben hast, sehe ich:
1-tes Element 0
2-tes Element 1/2
3-tes Element 2/2
4-tes Element 3/2
5-tes Element 4/2
6-tes Element 5/2
usw.
Du siehst dort also die natï¿œrlichen Zahlen in einer lediglich ungewohnten
Schreibweise. Statt der standardmￜￜig als n bezeichneten Zahl siehst Du
sie dort als n-tes Element in der Form (n-1)/2 notiert.
Eine andere Mï¿œglichkeit wï¿œre diese Notation:
{Null, Eins, Zwei, Drei, Vier, Fï¿œnf, Sechs, ...}, wobei die Nachfolger-
funktion n -> n' einigermaï¿œen kompliziert zu formulieren ist und nach
den Regeln der deutschen Sprache zu bilden ist.
Eine ander Darstellung, die Du selbst bereits oft und gerne gebracht hast,
und die eine leicht durchschaubare Nachfolgerfunktion erlaubt, ist diese:
{|, ||, |||, ||||, |||||, ||||||, ...}
ï¿œber die hier fehlende 0 zu debattieren, ginge am Kern Deiner Frage vorbei,
denke ich. Du hast hier die einmalige Chance, die Ordnungs-Isomorphie live
zu erleben.
Noch ein kleines Rï¿œtsel zum Abschluss: ist das hier die natï¿œrliche Zahl 5?
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' .
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Bitte Schrift fester
Breite einstellen
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Gruￜ,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Rainer Rosenthal
> Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> writes:
>> Albrecht schrieb:
>>> So entspricht die Menge
>>> {0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
>>> den Peano-Axiomen. Ist das die Menge der natï¿œrlichen Zahlen?
>> Nun, so wie Du das hingeschrieben hast, sehe ich:
>> als n-tes Element in der Form (n-1)/2 notiert.
>
>
Das ist richtig. Albrecht wollte aber wohl fragen: "Und das sollen
die natï¿œrlichen Zahlen sein?". Diese sind durch die Nachfolger-
Funktion geordnet, und diese Ordnung steckt auch in der obigen
Aufzï¿œhlung bereits drin.
Albrecht hat deutlich zum Ausdruck gebracht, wo er mit den Peano-
Axiomen Probleme hat, und da ist doch eine freundliche Hilfe-
stellung angebracht. Wenn mir bei der Hilfestellung Fehler
unterlaufen, dann ist das Gute an der ï¿œffentlichen Antwort, dass
sie korrigiert werden kann.
Albrecht
>
> > 1. 0 ist eine natürliche Zahl.
> > 2. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n',
> > der ebenfalls eine natürliche Zahl ist.
> > 3. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
> > 4. Jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens einer natürlichen
> > Zahl.
> > 5. Von allen Mengen X, welche
>
> > * die Zahl 0 und
> > Nachfolger n'
> > enthalten, ist die Menge der natürlichen Zahlen die kleinste.
>
> > Schn Russell hat schon darauf hingewiesen, dass damit jedes abzählbare
> > Zahlensystem definiert ist. So entspricht die Menge
> > {0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
> > Oder ist
> > {0, 0.1, 0.11, 0.111, ...} die Menge der natürlichen Zahlen?
> > Selbst
> > {0, 10, 100, 1000, ...} oder auch {0, 0', 0'', 0''', ...} und {0, a,
> > b, c, 1, 2, 3, ...) fallen unter die Mengen die die Peano-Axiome
> > beschreiben.
>
> > Zahlen definieren?
>
> > Gruß
> > Albrecht
>
> Man muss zwischen einem Begriff und den Symbolen, die
>
> Du kannst gerne andere Folgen neben {0,1,2...} benutzen,
> angegebenen.
Das klingt ja ganz nett. Aber im Ernst. Das ist Quatsch. Die
natürlichen Zahlen werden nicht nur dadurch charakterisiert, dass es
ein erstes, ein zweites, ein drittes Element, usw., gibt. Vielmehr ist
es das Wesen der natürlichen Zahlen, dass das erste Element für
_ein_ Element (oder Einheit) steht, das zweite Element für _zwei_
Elemente (oder Einheiten), das dritte für _drei_ , etc.
Z.B., die Menge {0, 2, 4, 6, ...} ist nicht die Menge der nat. Zahlen
da das dritte Element vier Einheiten enthält (oder bezeichnet), das
vierte Element sechs.
Ich stelle zum widerholten Male fest: In der modernen Mathematik ist
das Verständnis für grundlegende mathematische Zusammenhänge verloren
gegangen.
Ob z.B. die 0 eine nat. Zahl ist oder nicht ist an für sich
unwesentlich. Die Unklarheit darüber ist aber ein Symptom für eine
"Wissenschaft", in der man angeblich das Unendliche beherrscht, aber
elementare Zusammenhänge verkennt.
Geschockt
Albrecht
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> > So entspricht die Menge
> > {0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
>
> Nun, so wie Du das hingeschrieben hast, sehe ich:
> 1-tes Element 0
> 2-tes Element 1/2
> 3-tes Element 2/2
> 4-tes Element 3/2
> 5-tes Element 4/2
> 6-tes Element 5/2
> usw.
>
> Schreibweise. Statt der standardmäßig als n bezeichneten Zahl siehst Du
> sie dort als n-tes Element in der Form (n-1)/2 notiert.
>
Das ist nicht die Menge der nat. Zahlen. Offensichtlich ist ein
grundlegender Zusammenhang bei dem Wesen der nat. Zahlen in der
Mathematik in Vergessenheit geraten.
Du behauptest hier implizit, die nat. Zahlen wären dadurch
charakterisiert, dass es ein erste, ein zweites, ein drittes Element
gibt. Dies ist aber nicht die einzige Bedingung, die die nat- Zahlen
ausmacht. Die zweite notwendige Bedingung ist die, dass das erste
Element für ein Element oder eine Einheit steht, das zweite Element
steht für zwei Elemente oder Einheiten, usw.,
*****************************************************
Das Wesen der nat. Zahlen ist das Ineinsfallen
von ordinalem und kardinalem Aspekt.
******************************************************
Das weiss man in der modernen Mathematik allen Ernstes nicht mehr?
Das ist ein wahres Trauerspiel
Mein herzliches Beleid für den Tod der Mathematik als Wissenschaft
Albrecht
Alois Steindl
> Albrecht hat deutlich zum Ausdruck gebracht, wo er mit den Peano-
> Axiomen Probleme hat, und da ist doch eine freundliche Hilfe-
> stellung angebracht.
>
> Gruß,
> Rainer Rosenthal
> r.ros...@web.de
Hallo Rainer,
glaubst Du wirklich immer noch, dass Albrecht etwas in dieser Gruppe
postet, um Hilfe zu bekommen?
Dieser Thread ist ja geradezu prototypisch für ihn:
Die Mathematiker sind seiner Meinung nach so blöd, dass sie sogar 1/2,
0.1 usw. für natürliche Zahlen halten.
Inzwischen ärgert mich Deine Naivität schon fast mehr als der Unsinn von
Albrecht und Konsorten.
Beste Grüße
Alois
--
Alois Steindl, Tel.: +43 (1) 58801 / 32558
Inst. for Mechanics and Mechatronics Fax.: +43 (1) 58801 / 32598
Vienna University of Technology, A-1040 Wiedner Hauptstr. 8-10
Dominique Töpfer
> Z.B., die Menge {0, 2, 4, 6, ...} ist nicht die Menge der nat. Zahlen
> da das dritte Element vier Einheiten enth�lt (oder bezeichnet), das
> vierte Element sechs.
aber du kannst problemlos einen Isomorphismus von {0, 1, 2, 3,...} nach
{0, 2, 4, 6, ...} definieren und laut
http://de.wikipedia.org/wiki/Isomorphismus sind zwei isomorphe Mengen
"in gewisser Weise 'dasselbe'".
Gru�
Dominique
Rainer Rosenthal
> Inzwischen ï¿œrgert mich Deine Naivitï¿œt schon fast
> mehr als der Unsinn von Albrecht und Konsorten.
Ich kann an meiner Entgegnung auf Albrechts Frage keinen
Verstoￜ gegen die Charta von dsm erkennen.
Deine wertende ï¿œuï¿œerung dagegen, in einem ansonsten
Mathematik-freien Posting, passt keineswegs nach dsm.
Meine Email-Adresse ist nicht gefï¿œlscht und steht Dir frei,
wenn Dir nach Belehrung zumute ist. Da kï¿œnnen wir dann auch
fein rumpï¿œbeln oder vielleicht sogar ï¿œbereinstimmung suchen.
Um zur Mathematik zurï¿œckzukehren: Die leicht online
zugï¿œnglichen Peano-Axiome haben Albrecht zu einer witzig
formulierten Frage animiert. Der Witz liegt darin, dass
Gleichklang mit dem Titel einer Schrift von Dedekind
vorliegt. Das allerwitzigste an dem Witz ist, dass Albrecht
damit ausdrￜckt, dass er weder weiￜ, was Zahlen sind noch
was die Peano-Axiome sind. Der Hinweis auf die Ordnungs-
Isomorphie darf doch aber gestattet sein, oder?
Alois Steindl
Du bist ja auch kein Neuling in diesen Belangen.
Wenn Albrecht eine Frage zu irgendeinem Problem gestellt hat, erinnere
Dich zB. an den Thread über die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen, tat
er das, um wüste Beschimpfungen hinterherzuschicken, dass Mathematiker
insgesamt von Logik nichts verstünden.
Kannst Du mir ein einziges Argument nennen, das bisher dazu beigetragen
hätte, seine vorgefasste Meinung zu ändern?
Mich ärgert es eben, dass ihm durch wohlwollende Antworten das Gefühl
vermittelt wird, dass seine Argumente Hand und Fuss hätten. Dadurch wird
dieser Nonsens unnötig prolongiert.
Wir können ja die Probe aufs Exempel machen: Schlage eine Wette vor, ob
Albrecht nach einer gewissen Anzahl von Postings in diesem Thread
irgendeinen Fortschritt erkennen lassen wird.
Beste Grüße
Alois
Rainer Rosenthal
> Das ist ein wahres Trauerspiel
> Mein herzliches Beleid fï¿œr den Tod der Mathematik als Wissenschaft
So wie ich gerade Alois Steindl daran erinnert habe, in was fï¿œr
einer Newsgroup wir hier sind, mï¿œchte ich Dich ebenfalls daran
erinnern, dass Deine Wertungen wertlos sind und hier nichts
zu suchen haben.
Schreib' doch an Wikipedia, wenn Dir was nicht passt an deren
Aussage.
Die Peano-Axiome charakterisieren die natï¿œrlichen Zahlen. Was ist
daran so schrecklich? Es gibt eine kleinste Zahl, die der eine gerne
0 nennt, ein anderer lieber 1 nennt. Zu jeder anderen Zahl gibt es
genau einen Vorgï¿œnger und genau einen Nachfolger. Das war's auch
schon beinahe: das sind bereits alle natï¿œrlichen Zahlen, und mehr
gibt es nicht.
Diese Charakterisierung liegt auch dem Beweisprinzip der vollstï¿œn-
digen Induktion zugrunde. Um etwas "fï¿œr alle natï¿œrlichen Zahlen"
zu zeigen, muss man lediglich zeigen, dass es fï¿œr das erste Elemente
gilt und dass aus der Gï¿œltigkeit bis n auf die Gï¿œltigkeit bis n+1
geschlossen werden kann. Dies Beweisprinzip wird auf der Schule fast
gar nicht gelehrt und wenn doch, dann von den wenigsten verstanden,
wahrscheinlich, weil es so einfach ist.
Ob Du es je gelernt hast, weiￜ ich nicht. Wenn Du es verstanden
hï¿œtetst, dann wï¿œrdest Du wahrscheinlich nicht so heftig protestieren.
Rainer Rosenthal
> Kannst Du mir ein einziges Argument nennen, das bisher dazu beigetragen
> hï¿œtte, seine vorgefasste Meinung zu ï¿œndern?
Ja. Er hatte mal ein Argument gegen die ï¿œberabzï¿œhlbarkeit gebracht
und meine Kritik daran akzeptiert mit dem Versprechen, einen neuen
Anlauf versuchen zu wollen. Wenn mir mal ganz langweilig ist, kann
ich die Stelle rausfinden.
Eine Wette bzgl. Lernfï¿œhigkeit gehe ich nicht ein. So ganz falsch
ist der Spruch sicher nicht: "Was Hï¿œnschen nicht lernt, lernt Hans
nimmermehr". Aber das Gelernte hinterfragen zu lassen schadet ja nix.
Carlos Naplos
Albrecht schrieb am 14.05.2010 03:03:
> Laut Wikipedia werden die Peano-Axiome heute folgenderma�en angegeben:
>
>
> 1. 0 ist eine nat�rliche Zahl.
> 2. Zu jeder nat�rlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der
> ebenfalls eine nat�rliche Zahl ist.
> 3. Es gibt keine nat�rliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
> 4. Jede nat�rliche Zahl ist Nachfolger h�chstens einer nat�rlichen
> Zahl.
> 5. Von allen Mengen X, welche
>
> * die Zahl 0 und
> * mit jeder nat�rlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger
> n'
> enthalten, ist die Menge der nat�rlichen Zahlen die kleinste.
>
> Schn Russell hat schon darauf hingewiesen, dass damit jedes abz�hlbare
> Zahlensystem definiert ist. So entspricht die Menge
> {0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
> den Peano-Axiomen. Ist das die Menge der nat�rlichen Zahlen?
K�nntest Du die von Dir verwendeten Zeichen "1", "/", "2", "3" usw.
erkl�ren?
> Oder ist
> {0, 0.1, 0.11, 0.111, ...} die Menge der nat�rlichen Zahlen?
> Selbst
> {0, 10, 100, 1000, ...} oder auch {0, 0', 0'', 0''', ...} und {0, a, b,
> c, 1, 2, 3, ...) fallen unter die Mengen die die Peano-Axiome
> beschreiben.
>
> Wieso wird immer wieder behauptet, die Peano-Axiome w�rden die nat.
> Zahlen definieren?
Wohl weil gew�nscht wird, dass das, was die Peano-Axiome definieren,
"Die nat�rlichen Zahlen" genannt wird.
Gru�
CN
Franz Fritsche
> Albrecht schrieb:
>>
>> Das ist ein wahres Trauerspiel
>> Mein herzliches Beileid f�r den Tod der Mathematik als Wissenschaft
Zuvor hatte Alois schon geschrieben:
"Wenn Albrecht eine Frage zu irgendeinem Problem gestellt hat, erinnere
Dich zB. an den Thread �ber die Abz�hlbarkeit der rationalen Zahlen, tat
er das, um w�ste Beschimpfungen hinterherzuschicken, dass Mathematiker
insgesamt von Logik nichts verst�nden."
1:0 f�r Alois. Und auch ich m�chte mich seiner Beobachtung anschlie�en: Was
DICH immer wieder dazu treibt, auf die diversen Befindlichkeiten der Cranks
einzugehen, und ihnen damit zu erm�glichen, ihren Unsinn wieder und wieder
in dieser NG auszubreiten, ist mir wirklich ein R�tsel.
Des weiteren meinte Alois:
"Kannst Du mir ein einziges Argument nennen, das bisher dazu beigetragen
h�tte, seine vorgefasste Meinung zu �ndern?"
Und Du darauf:
> Ja. Er hatte mal ein Argument gegen die �berabz�hlbarkeit gebracht
> und meine Kritik daran akzeptiert mit dem Versprechen, einen neuen
> Anlauf versuchen zu wollen.
Ah, ja wahrlich ein gro�er "Fortschritt" ... Solche Leute gab's fr�her
schon: Kreisquadrierer, Winkeldreiteiler..., etc. Heute sind es halt vor
allem Cantor-Widerleger (siehe M�ckenheim, Albrecht und Co.)
Literatur zum Thema:
http://www.amazon.com/Mathematical-Cranks-Spectrum-Underwood-Dudley/dp/0883855070
FF
Karl Heinz
> Was
> DICH immer wieder dazu treibt, auf die diversen Befindlichkeiten der Cranks
> einzugehen, und ihnen damit zu erm�glichen, ihren Unsinn wieder und wieder
> in dieser NG auszubreiten, ist mir wirklich ein R�tsel.
Scheint eher klar zu sein:
weil R. gern reichlich hier kommunizieren mag, und abgesehen vom
Dauerschreibkrampf von WM hier wenig und unregelm�ssiger Betrieb ist.
k. Schubser
> Laut Wikipedia werden die Peano-Axiome heute folgenderma�en angegeben:
>
>
> 1. 0 ist eine nat�rliche Zahl.
> 2. Zu jeder nat�rlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der
> ebenfalls eine nat�rliche Zahl ist.
> 3. Es gibt keine nat�rliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
> 4. Jede nat�rliche Zahl ist Nachfolger h�chstens einer nat�rlichen
> Zahl.
> 5. Von allen Mengen X, welche
>
> * die Zahl 0 und
> * mit jeder nat�rlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger
> n'
> enthalten, ist die Menge der nat�rlichen Zahlen die kleinste.
Irgendwie mu� der Mathematiker in der logischen Konstruktion des
Zahlensystems eine Basis finden.
Eine M�glichkeit ist die Fundierung in der Mengenlehre.
So viel ich mitbekommen habe aus den ausufernden Diskussionen
- die zu verfolgen ich keine Lust habe - m�chtest Du, Albrecht,
manches davon nicht anerkennen. Also mache wir es ohne Mengenlehre.
Peano geht diesen Weg (ohne Fundierung in der Mengenlehre).
Sein Vorgehen ist rein axiomatisch.
Es gen�gt von den nat�rlichen Zahlen nur die Axiome (1) bis (5)
anzunehmen (Man kann Sie �brigens in der modernen Mathematik
mit dem Begriff "injektive Funktion" einfacher formuieren.)
Daraus kann man alle weiteren Rechenregeln folgern.
Ohne dass Du wissen mu�t, was sind eigentlich die Zahlen.
Es gen�gt zu wissen: 0 ist eine Zahl ohne Vorg�nger.
Die 0 hat genau einen Nachfolger, sinnigerweise _nennen_ wir
diesen 1, den Nachfolger von 1 nennen wir 2 etc.
(Bitte jetzt 0,1,2,... nicht mengentheoretisch interpretieren.)
Es gen�gt zu wissen: 0'=1, 1'=2, ...
Was "0" ist oder was "1" ist ... interessiert nicht. Das
einzige, was Du wissen mu�t ist: 1 = 0' etc.
Die Addition kann man dann folgenderma�en desinieren.
m+0 =m
m+n' = (m+n)'
Dies nennt man eine rekursive Definition, die auf Grund
der Peano-Axiome m�glich ist. Die Beherrschung einer
solchen rekursiven Definition bedarf einiger �bung,
ist aber logisch einwandfrei m�glich
- dank des Induktionsprinzips -.
F�r dies Additin kann man dann das Kommutativgesetz und
Assoziativgesetz beweisen.
Alles weitere, was wir �ber die Zahlen wissen, kann man
nun logisch einwandfrei herleiten.
> So entspricht die Menge {0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
> den Peano-Axiomen. Ist das die Menge der nat�rlichen Zahlen?
Das w�re ein _Modell_ der nat�rlichen Zahlen.
Gerechnet wird in diesem Modell 0'=1/2. (1/2)'=2/2 ...
Ein anderes Modell w�re
{0, Tisch, Stuhl, Bierseidel, ... }, falls Du definierst
0' = Tisch
Tisch'=Stuhl
Stuhl'=Bierseidel
...
(nach David Hilbert)
Dir gebe ich folgenden Rat:
Betreibst Du die Mathematik axiomatisch,
ausgehend von den Peano-Axiomen, so la�
die Mengenlehre aus dem Spiel. Dir bleiben
so viele semantische Probleme erspart.
Alles spielt sich rein syntaktisch ab.
Gru�
K.
Ulrich Lange
> Um zur Mathematik zurï¿œckzukehren: Die leicht online
> zugï¿œnglichen Peano-Axiome haben Albrecht zu einer witzig
> formulierten Frage animiert. Der Witz liegt darin, dass
> Gleichklang mit dem Titel einer Schrift von Dedekind
> vorliegt. Das allerwitzigste an dem Witz ist, dass Albrecht
> damit ausdrￜckt, dass er weder weiￜ, was Zahlen sind noch
> was die Peano-Axiome sind.
Noch "witziger" (bzw. "peinlich" fￜr den Witzbold) ist, daￜ Albrechts
Frage in besagter Schrift von Dedekind auf den Seiten 42-43 beantwortet
wird.
Albrechts "witziges" Subject ist ein klassischer "Name-Dropping"-Bluff.
Er hat natï¿œrlich weder "Was sind und was sollen die Zahlen" noch jemals
irgendein Mathematiklehrbuch gelesen, sondern er ist in dem
Wikipedia-Artikel zu natï¿œrlichen Zahlen ï¿œber irgendwas Halbgares
gestolpert ("Schon Russell hat darauf hingewiesen..."), daￜ ihn eine
weitere Leiche im Keller der "Mengenlehrer" wittern lￜￜt.
--
Gruￜ, Ulrich Lange
(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)
Vogel
news:854fiq...@mid.individual.net:
> Albrecht schrieb:
>
>> So entspricht die Menge
>> {0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
>> den Peano-Axiomen. Ist das die Menge der nat�rlichen Zahlen?
>
> Nun, so wie Du das hingeschrieben hast, sehe ich:
> 1-tes Element 0
> 2-tes Element 1/2
> 3-tes Element 2/2
> 4-tes Element 3/2
> 5-tes Element 4/2
> 6-tes Element 5/2
> usw.
>
Mit dem essentiellen Unterschied, dass in den Peano-Axiomen nicht von
indexierten Elementen die Rede ist.
Da steht nirgends was von "x-tes Element".
Da steht lediglich das jedes Element einen Vorg�nger und einen Nachfolger
hat. Wie aber "Vorg�nger" und "Nachfolger" zu definieren sind steht da
nicht.
>
Genau das moniert Albrecht zu Recht.
>
In den Peano-Axiomen ist ausdr�cklich von Zahlen die Rede, ohne zu
definieren was das sein soll.
>
Gem�ss Peano-Axiomen ist die menge der nat�rlichen Zahlen definiert durch
eine Menge dualer Reihenfole-Relationen.
>
Durch die Einf�hrung eines Einheitselementes und der Additionsoperation,
wie Albrecht das vorschl�gt, erh�lt man ein wesentlich einfacheres und
den modernen Ansichten sntsprechende Definition.
>
Die Menge der nat�rlichen Zahlen ist ein unit�rer Ring.
>
Das reicht aus. Die Peano-Axiome sind da zu ungenau und rudiment�r.
>
--
Selber denken macht klug.
Franz Fritsche
> Mich �rgert es eben, dass ihm durch wohlwollende Antworten das Gef�hl
> vermittelt wird, dass seine Argumente Hand und Fu� h�tten. Dadurch
> wird dieser Nonsens unn�tig prolongiert.
Das geht mir auch insbesondere bei Reiners Antworten auf die hirnrissigen
Beitr�ge M�ckenheims so. :-/
Ich finde es bemerkenswert, wie leicht es Reiner dabei gelingt, sich dem
kaum mehr zu unterbietenden Doofheitslevel dieser Postings anzupassen.
Die Bitte, diese "Diskussionen" mit WM per E-mail weiterzuf�hren, ist
-wie mir scheint- bisher bei ihm auch auf taube Ohren gesto�en... :-(
FF
Franz Fritsche
> Mich �rgert es eben, dass ihm durch wohlwollende Antworten das Gef�hl
> vermittelt wird, dass seine Argumente Hand und Fu� h�tten. Dadurch
> wird dieser Nonsens unn�tig prolongiert.
Das geht mir auch insbesondere bei Rainers Antworten auf die hirnrissigen
Beitr�ge M�ckenheims so. :-/
Ich finde es bemerkenswert, wie leicht es Rainer dabei gelingt, sich dem
Vogel
> Albrecht schrieb:
>
>> So entspricht die Menge
>> {0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
>> den Peano-Axiomen. Ist das die Menge der nat�rlichen Zahlen?
>
> Nun, so wie Du das hingeschrieben hast, sehe ich:
> 1-tes Element 0
> 2-tes Element 1/2
> 3-tes Element 2/2
> 4-tes Element 3/2
> 5-tes Element 4/2
> 6-tes Element 5/2
> usw.
>
F�llt dir die L�cke in deiner Logik auf?
Bzw. f�llt dir der Pleonasmus(selbstreflexive Definition) in deiner Logik
auf?
>
Du definierst die nat�rlichen Zahlen mit Hilfe der nat�rlichen Zahlen.
>
Woher soll die Definition kommen, dass "3-tes Element" Nachfolger von
"2-tes Element" ist?
Albrecht
> Hi,
>
> > Z.B., die Menge {0, 2, 4, 6, ...} ist nicht die Menge der nat. Zahlen
> > vierte Element sechs.
>
> aber du kannst problemlos einen Isomorphismus von {0, 1, 2, 3,...} nach
> "in gewisser Weise 'dasselbe'".
>
Hübsch. Aber damit ist das Problem nicht gelöst, dass die Peano-
Axiome _nicht_ die nat. Zahlen definieren. Von mir aus definieren sie
eine Klasse von Isomorphismen zu den nat. Zahlen. Aber nicht die nat.
Zahlen. Die nat. Zahlen I, II, III, ... können nicht aus den Peano-
Axiomen abgeleitet werden, da die Peano-Axiome nicht die erforderliche
und für die nat. Zahlen charakteristische Nachfolgeroperation
definiert.
Nach Peano kann alles, was in einer Reihe angeordnet ist, als nat.
Zahlen gelten. Das ist Quatsch.
Bsp. Frage: Sind die rationalen Zahlen die nat. Zahlen?
Gruß
Albrecht
Albrecht
> Albrecht schrieb am 14.05.2010 03:03:
>
>
>
>
> > 1. 0 ist eine natürliche Zahl.
> > ebenfalls eine natürliche Zahl ist.
> > 3. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
> > 4. Jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens einer natürlichen
> > 5. Von allen Mengen X, welche
>
> > * die Zahl 0 und
> > n'
> > enthalten, ist die Menge der natürlichen Zahlen die kleinste.
>
> > Schn Russell hat schon darauf hingewiesen, dass damit jedes abzählbare
> > Zahlensystem definiert ist. So entspricht die Menge
> > {0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
>
> Könntest Du die von Dir verwendeten Zeichen "1", "/", "2", "3" usw.
> erklären?
Warum sollte ich?
>
> > Oder ist
> > {0, 0.1, 0.11, 0.111, ...} die Menge der natürlichen Zahlen?
> > Selbst
> > {0, 10, 100, 1000, ...} oder auch {0, 0', 0'', 0''', ...} und {0, a, b,
> > c, 1, 2, 3, ...) fallen unter die Mengen die die Peano-Axiome
> > beschreiben.
>
> > Wieso wird immer wieder behauptet, die Peano-Axiome würden die nat.
> > Zahlen definieren?
>
> Wohl weil gewünscht wird, dass das, was die Peano-Axiome definieren,
> "Die natürlichen Zahlen" genannt wird.
>
Frage: Sind beispielsweise die rationalen Zahlen die nat. Zahlen?
Gruß
Albrecht
Albrecht
>
> > 1. 0 ist eine natürliche Zahl.
> > 2. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der
> > ebenfalls eine natürliche Zahl ist.
> > 3. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
> > 4. Jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens einer natürlichen
> > 5. Von allen Mengen X, welche
>
> > * die Zahl 0 und
> > n'
> > enthalten, ist die Menge der natürlichen Zahlen die kleinste.
>
> Irgendwie muß der Mathematiker in der logischen Konstruktion des
> Zahlensystems eine Basis finden.
Nein. Nicht irgendwie. Sondern sinnvoll, folgerichtig und stringent.
>
> Eine Möglichkeit ist die Fundierung in der Mengenlehre.
> So viel ich mitbekommen habe aus den ausufernden Diskussionen
> - die zu verfolgen ich keine Lust habe - möchtest Du, Albrecht,
> manches davon nicht anerkennen. Also mache wir es ohne Mengenlehre.
>
> Peano geht diesen Weg (ohne Fundierung in der Mengenlehre).
> Sein Vorgehen ist rein axiomatisch.
>
> Es genügt von den natürlichen Zahlen nur die Axiome (1) bis (5)
> anzunehmen (Man kann Sie übrigens in der modernen Mathematik
> mit dem Begriff "injektive Funktion" einfacher formuieren.)
Peano (in der von Wiki gegebenen Form) verwendet in seiner
axiomatischen Definition der nat. Zahlen die nat. Zahlen selbst.
Die Formulierung
5. Von allen Mengen X, welche
* die Zahl 0 und
* mit jeder natürlichen Zahl n auch stets deren
Nachfolger n' enthalten, ist die Menge der natürlichen Zahlen die
kleinste.
ist sträflich unsinnig. Was soll das denn heisen? Jede Menge die jede
nat. Zahl und deren Nachfolger enthält ist die Menge der nat. Zahlen?
Schwachsinn ist das. Und was soll das mit "die kleinste"? Gibt es
verschieden große unendliche Mengen von nat. Zahlen? Das ist ja ganz
neu.
>
> Daraus kann man alle weiteren Rechenregeln folgern.
> Ohne dass Du wissen mußt, was sind eigentlich die Zahlen.
> Es genügt zu wissen: 0 ist eine Zahl ohne Vorgänger.
> Die 0 hat genau einen Nachfolger, sinnigerweise _nennen_ wir
> diesen 1, den Nachfolger von 1 nennen wir 2 etc.
> (Bitte jetzt 0,1,2,... nicht mengentheoretisch interpretieren.)
> Es genügt zu wissen: 0'=1, 1'=2, ...
>
> Was "0" ist oder was "1" ist ... interessiert nicht. Das
> einzige, was Du wissen mußt ist: 1 = 0' etc.
>
> Die Addition kann man dann folgendermaßen desinieren.
> m+0 =m
> m+n' = (m+n)'
>
> Dies nennt man eine rekursive Definition, die auf Grund
> der Peano-Axiome möglich ist. Die Beherrschung einer
> solchen rekursiven Definition bedarf einiger Übung,
> ist aber logisch einwandfrei möglich
> - dank des Induktionsprinzips -.
>
> Für dies Additin kann man dann das Kommutativgesetz und
> Assoziativgesetz beweisen.
>
> Alles weitere, was wir über die Zahlen wissen, kann man
> nun logisch einwandfrei herleiten.
>
> > So entspricht die Menge {0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
> > den Peano-Axiomen. Ist das die Menge der natürlichen Zahlen?
>
> Das wäre ein _Modell_ der natürlichen Zahlen.
> Gerechnet wird in diesem Modell 0'=1/2. (1/2)'=2/2 ...
Da steht aber nicht, dass Peano Modelle von den nat. Zahlen definiert,
sondern das, was die Peano-Axiome erfüllt _ist_ die Menge der nat.
Zahlen.
Lasst ihr Euchn eigentlich jeden Schwachsinn unterjubeln?
>
> Ein anderes Modell wäre
> {0, Tisch, Stuhl, Bierseidel, ... }, falls Du definierst
> 0' = Tisch
> Tisch'=Stuhl
> Stuhl'=Bierseidel
> ...
> (nach David Hilbert)
>
> Dir gebe ich folgenden Rat:
> Betreibst Du die Mathematik axiomatisch,
> ausgehend von den Peano-Axiomen, so laß
> die Mengenlehre aus dem Spiel. Dir bleiben
> so viele semantische Probleme erspart.
> Alles spielt sich rein syntaktisch ab.
>
Ich wiederhole noch einmal: Die Peano-Axiome modellieren nur _ein_
Charakteristikum der nat. Zahlen. Das genügt aber nicht um sie
eindeutig festzulegen.
Und die Zauberformel: "bis auf Isomorphismus" behebt diesen Defekt
auch nicht!
Frage: Sind die rationalen Zahlen die nat. Zahlen?
Gruß
Albrecht
Rainer Rosenthal
> Nach Peano kann alles, was in einer Reihe angeordnet ist, als nat.
> Zahlen gelten. Das ist Quatsch.
Die ganzen Zahlen kannst Du in einer Reihe anordnen, aber Du wirst
keine Zahl dabei finden, die Du dem ersten Element gleichsetzen
kannst, denn zu jeder ganze Zahl gibt es eine, deren Nachfolger sie ist.
> Bsp. Frage: Sind die rationalen Zahlen die nat. Zahlen?
Kommt darauf an, was fï¿œr eine Nachfolge-Funktion Du darauf
betrachtest. Kannst Du eine anbieten, die den Peano-Axiomen
genï¿œgt? Die natï¿œrliche Anordnung der rationalen Zahlen nach
ihrer Grￜￜe taugt dazu gewiss nicht.
Wenn Du aber eine Abzï¿œhlung der rationalen Zahlen betrachtest
und sie demgemￜￜ ordnest, dann sind die rationalen Zahlen
in der Tat von den natï¿œrlichen nicht verschieden.
Albrecht
> Rainer Rosenthal schrieb:
>
> > zugänglichen Peano-Axiome haben Albrecht zu einer witzig
> > formulierten Frage animiert. Der Witz liegt darin, dass
> > Gleichklang mit dem Titel einer Schrift von Dedekind
> > vorliegt. Das allerwitzigste an dem Witz ist, dass Albrecht
> > was die Peano-Axiome sind.
>
> Noch "witziger" (bzw. "peinlich" für den Witzbold) ist, daß Albrechts
> Frage in besagter Schrift von Dedekind auf den Seiten 42-43 beantwortet
> wird.
Es geht hier nicht um Dedekind oder um irgend etwas, das irgend wo
steht oder irgend jemand dachte oder gesagt oder gemeint hat. Es geht
darum, dass die Peano-Axiome angeblich die nat. Zahlen definieren
(gleichbedeutend mit axiomatisch festlegen). Unter einer Definition
versteht man etwas, was ein Objekt eindeutig und zweifelsfrei
festlegt.
Genau das leisten die Peano-Axiome nicht. Vielleicht definieren die
Peano-Axiome eine Klasse von zu der Menge der nat. Zahlen isomorphe
Mengen.
Aber damit fehlt eine Definition der nat. Zahlen immer noch.
Frage: Sind die rationalen Zahlen die nat. Zahlen? Ja oder nein?
Gruß
Albrecht
Hero
> Albrecht wrote:
>
> > Z.B., die Menge {0, 2, 4, 6, ...} ist nicht die Menge der nat. Zahlen
> > vierte Element sechs.
>
> aber du kannst problemlos einen Isomorphismus von {0, 1, 2, 3,...} nach
> "in gewisser Weise 'dasselbe'".
>
In einer Menge ist die Reihenfolge egal:
{ 0, 2, 4, 6 } = { 4, 0, 6, 2 }.
Die Peano-Axiome definieren eine Folge, eine natürliche Folge.
und für Folgen gilt. ( 0, 2, 4, 6 ) =|= ( 4, 0, 6, 2 )
Damit haben wir eine Ordnung.
Nun hat Albrecht Recht, daß die Zahlen mehr sind,
auch Anzahlen darstellen.
Nimm mal eine Flucht von numerierten Zimmern,
da siebte Zimmer, das neunte Zimmer - hier sind
siebte, neunte Ordinalzahlen. Es sind einerseits
Namen zur Unterscheidung der Zimmer, andererseits
enthalten sie etwas quantitatives.
Vom Anfang des siebten Zimmers bis zum Anfang des
neunten Zimmers gibt es 2 Zimmer oder 9 - 7 = 2
(Nun nennt man 2, 5 und 29 Kardinalzahlen.)
und das erwähnt Vogel, er benennt diese Struktur
(unitärer Ring oder so ).
Die Zahlen interagieren (zusammen gezählt, multipliziert,...)
und das ist ein wichtiger Chararkterzug.
So fehlt in der Folge ( 0, 2, 4, 6, .....) die 1, die
mit jeder Zahl multipliziert, diese Zahl an Größe
nicht verändert, die neutral ist.
Durch ihr Rechenverhalten und nicht nur
durch ihre Anordnung wird ihr Wesen bestimmt.
Erst bei Mengen mit Strukturen kann man von
Isomorphie reden.
Mit freundlichen Grüßen
Hero
Albrecht
> > {0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
> > den Peano-Axiomen. Ist das die Menge der natürlichen Zahlen?
>
> 1-tes Element 0
> 2-tes Element 1/2
> 3-tes Element 2/2
> 4-tes Element 3/2
> 5-tes Element 4/2
> 6-tes Element 5/2
> usw.
>
Übrigens sind Menge ungeordnet. Könnte ja sein, dass Dir dieses Detail
entgangen ist.
Wer sagt Dir dass es nicht so richtig wäre:
1-tes Element 0
2-tes Element 10/2
3-tes Element 24/2
4-tes Element 73/2
5-tes Element 2/2
6-tes Element 5000/2
usw.
Was immer dann "usw". heißen soll.
Gruß
Albrecht
Rainer Rosenthal
> On May 14, 10:22 am, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>> Albrecht schrieb:
>>
>>> So entspricht die Menge
>>> {0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
>> Nun, so wie Du das hingeschrieben hast, sehe ich:
>> 1-tes Element 0
>> 2-tes Element 1/2
>> 3-tes Element 2/2
>> 4-tes Element 3/2
>> 5-tes Element 4/2
>> 6-tes Element 5/2
>> usw.
>>
>
> entgangen ist.
>
> Wer sagt Dir dass es nicht so richtig wï¿œre:
>
> 1-tes Element 0
> 2-tes Element 10/2
> 3-tes Element 24/2
> 4-tes Element 73/2
> 5-tes Element 2/2
> 6-tes Element 5000/2
> usw.
>
>
Ich hatte geschrieben: "so wie Du das hingeschrieben hast" (s.o.), und
Du hattest die von mir genannte Reihenfolge verwendet. Und Deine
Pï¿œnktchen habe ich mit "usw." bezeichnet, was keineswegs unï¿œblich ist.
Ich hatte bereits im Posting von 13:09 heute darauf hingewiesen:
Albrecht wollte aber wohl fragen: "Und das sollen
die natï¿œrlichen Zahlen sein?". Diese sind durch die Nachfolger-
Funktion geordnet, und diese Ordnung steckt auch in der obigen
Aufzï¿œhlung bereits drin.
Im gleichen Posting hatte ich darauf hingewiesen, dass ich Dir eine
freundliche Hilfestellung geben wollte. Dass ich dafï¿œr sowohl von Dir
als auch von anderen verbale Prï¿œgel bekomme, ist mir wenig verstï¿œndlich.
Hï¿œngt wohl mit der mir bereits attestierten Naivitï¿œt zusammen :-)
Oder damit, dass ich hier lese und poste, weil es mir Spaￜ macht, wohin-
gegen andere das tun, um sich oder andere zu ï¿œrgern. - Jedem Tierchen sein
Plaisierchen.
Franz Fritsche
> H�ngt wohl mit der mir bereits attestierten Naivit�t zusammen :-)
Vielleicht bist Du ja auch einfach nur ein netter Kerl! ;-)
Sch�n w�re es, wenn die besagten Poster Dir Deine Freundlichkeit durch das
Bem�hen, die Sachverhalte _wirklich_ zu verstehen, vergelten w�rden - was
m. E. aber nicht der Fall ist.
MfG,
FF
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> > Nach Peano kann alles, was in einer Reihe angeordnet ist, als nat.
> > Zahlen gelten. Das ist Quatsch.
>
> Die ganzen Zahlen kannst Du in einer Reihe anordnen, aber Du wirst
> keine Zahl dabei finden, die Du dem ersten Element gleichsetzen
> kannst, denn zu jeder ganze Zahl gibt es eine, deren Nachfolger sie ist.
0, 1, -1, 2, -2, 3, ...
Hier schwätztest Du dummes Zeug.
>
> > Bsp. Frage: Sind die rationalen Zahlen die nat. Zahlen?
>
> Kommt darauf an, was für eine Nachfolge-Funktion Du darauf
> betrachtest. Kannst Du eine anbieten, die den Peano-Axiomen
> genügt? Die natürliche Anordnung der rationalen Zahlen nach
> ihrer Größe taugt dazu gewiss nicht.
Die Peano-Axiome stellen keinerlei Anforderungen an die Nachfolger-
Funktion. Also was soll das?
Die Elemente der Folge
0, 1/1, 2/1, 2/2, 3/1, 3/2, ...
bilden laut den Peano-Axiopmen die Menge der nat. Zahlen.
>
> Wenn Du aber eine Abzählung der rationalen Zahlen betrachtest
> und sie demgemäß ordnest, dann sind die rationalen Zahlen
> in der Tat von den natürlichen nicht verschieden.
>
Ach schau an. Späte Einsicht. Und das von Dir konstatierte Ergebnis
kommt Dir nicht bedenklich vor? Plötzlich haben die nat. Zahlen
Eigenschaften wie die rationalen Zahlen. Primzahlen sehen ganz anders
aus wie sonst. Aber egal. Die Hohepriester der Mathologie haben es so
gewollt. Dann hat es gefälligst auch logisch und folgerichtig zu sein.
Du mußt mir verzeihen, dass ich mich diesem Korpsgeist nicht
verpflichtet fühle.
Ich stelle fest: Die Peano-Axiome definieren nicht die Menge der nat.
Zahlen. Und was seit Jahren in Schulen und auf Universitäten gelehrt
wird ist unausgegorener Mist.
Gruß
Albrecht
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> > Das ist ein wahres Trauerspiel
>
> So wie ich gerade Alois Steindl daran erinnert habe, in was für
> einer Newsgroup wir hier sind, möchte ich Dich ebenfalls daran
> erinnern, dass Deine Wertungen wertlos sind und hier nichts
> zu suchen haben.
>
> Schreib' doch an Wikipedia, wenn Dir was nicht passt an deren
> Aussage.
Es geht nicht um Wikipedia sondern um die Peano-Axiome. Schon
vergessen. Merkt ihr eigentlich garnicht, wie lächerlich und
verzweifelt diese Ausflüchte und Ablenktaktiken wirken?
>
> Die Peano-Axiome charakterisieren die natürlichen Zahlen.
Ah so. Jetzt charakterisieren sie sie nur noch. Anderwo war noch von
Definieren die rede.
Aber selbst wenn sie sie nur charakterisieren dann muss doch ganz klar
festgestellt werden, dass sie sie nicht vollständig charakterisieren.
> Was ist
> daran so schrecklich? Es gibt eine kleinste Zahl, die der eine gerne
> 0 nennt, ein anderer lieber 1 nennt. Zu jeder anderen Zahl gibt es
> genau einen Vorgänger und genau einen Nachfolger. Das war's auch
> schon beinahe: das sind bereits alle natürlichen Zahlen, und mehr
> gibt es nicht.
Auf die Menge {0, 2, 4, 6, ...} trifft Deine Charakterisierung auch
zu. Ist das auch die Menge der nat. Zahlen? Man könnte gleich noch
euphorisch ausrufen: sind wir denn nicht alle natürliche Zahlen? Aber
ich finde, so etwas hat in einer Wissenschaft keinen Platz.
>
> Diese Charakterisierung liegt auch dem Beweisprinzip der vollstän-
> digen Induktion zugrunde. Um etwas "für alle natürlichen Zahlen"
> zu zeigen, muss man lediglich zeigen, dass es für das erste Elemente
> gilt und dass aus der Gültigkeit bis n auf die Gültigkeit bis n+1
> geschlossen werden kann. Dies Beweisprinzip wird auf der Schule fast
> gar nicht gelehrt und wenn doch, dann von den wenigsten verstanden,
> wahrscheinlich, weil es so einfach ist.
Im Gegensatz zu Dir halte ich die vollständige Induktion für nichts
unverstandenes, hat hier mit dem Thema aber überhaupt nichts zu tun.
Gruß
Albrecht
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
>
>
> > On May 14, 10:22 am, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
> >> Albrecht schrieb:
>
> >>> So entspricht die Menge
> >>> {0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
> >> Nun, so wie Du das hingeschrieben hast, sehe ich:
> >> 1-tes Element 0
> >> 2-tes Element 1/2
> >> 3-tes Element 2/2
> >> 4-tes Element 3/2
> >> 5-tes Element 4/2
> >> 6-tes Element 5/2
> >> usw.
>
> > entgangen ist.
>
> > Wer sagt Dir dass es nicht so richtig wäre:
>
> > 1-tes Element 0
> > 2-tes Element 10/2
> > 3-tes Element 24/2
> > 4-tes Element 73/2
> > 5-tes Element 2/2
> > 6-tes Element 5000/2
> > usw.
>
>
> Ich hatte geschrieben: "so wie Du das hingeschrieben hast" (s.o.), und
> Du hattest die von mir genannte Reihenfolge verwendet. Und Deine
Ausreden. Wie soll man eine Menge extensional angeben ohne eine
Reihenfolge zu benutzen. Dir sollte aber, wie einigen anderen hier,
bekannt sein, dass Mengen an sich keine Ordnung besitzen. und genau
diese führt direkt zum Defekt der Peano-Axiome: In der Menge der
natürlichen Zahlen muss jedes Element selbst seine Stellung in der
Ordnung angeben, dh. nicht die Menge ist geordnet, sondern die
Elemente __ordnen_sich_ selbst__ .
Genau dies können nur die nat. Zahlen leisten und genau dadurch sind
sie definiert. Dieser Aspekt fehlt aber bei Peano. und wird in der
MAthematik seit über 100 Jahren übersehen, ignoriert, verschwiegen,
verkannt.
>
> Ich hatte bereits im Posting von 13:09 heute darauf hingewiesen:
>
> Albrecht wollte aber wohl fragen: "Und das sollen
> die natürlichen Zahlen sein?". Diese sind durch die Nachfolger-
> Funktion geordnet, und diese Ordnung steckt auch in der obigen
> Aufzählung bereits drin.
>
> Im gleichen Posting hatte ich darauf hingewiesen, dass ich Dir eine
> freundliche Hilfestellung geben wollte. Dass ich dafür sowohl von Dir
> als auch von anderen verbale Prügel bekomme, ist mir wenig verständlich.
Eine freundliche Hilfestellung zum dumm bleiben? Verzichte dankend.
Wenn es Dir nichts ausmacht, halbgares Zeug als hohe Wissenschaft
verkauft zu bekommen ist das Deine Sache. ich habe in diesem
Zusammenhang andere Wertvorstellungen.
Gruß
Albrecht
Bastian Erdnuess
>> Die Peano-Axiome charakterisieren die natürlichen Zahlen.
>
> Ah so. Jetzt charakterisieren sie sie nur noch. Anderwo war noch von
> Definieren die rede.
> Aber selbst wenn sie sie nur charakterisieren dann muss doch ganz klar
> festgestellt werden, dass sie sie nicht vollständig charakterisieren.
>
>> Was ist
>> daran so schrecklich? Es gibt eine kleinste Zahl, die der eine gerne
>> 0 nennt, ein anderer lieber 1 nennt. Zu jeder anderen Zahl gibt es
>> genau einen Vorgänger und genau einen Nachfolger. Das war's auch
>> schon beinahe: das sind bereits alle natürlichen Zahlen, und mehr
>> gibt es nicht.
>
>
> Auf die Menge {0, 2, 4, 6, ...} trifft Deine Charakterisierung auch
> zu. Ist das auch die Menge der nat. Zahlen? Man könnte gleich noch
> euphorisch ausrufen: sind wir denn nicht alle natürliche Zahlen? Aber
> ich finde, so etwas hat in einer Wissenschaft keinen Platz.
Es hat nichts mit Mathematik zu tun vorzuschreiben, wie eine "1"
auszusehen hat. Ich schreib dir auch nicht vor, ob du meinen Artikel in
Courir New oder in Times New Roman zu lesen hast. Wozu auch? Ändert ja
nichts an seinem Inhalt.
Lies k. Schubsers Posting. Das da oben ist gar nichts, solange du keine
Nachfolgerelation dazu angibst. Und mach dir klar, dass {0,2,4,6,...}
mit der Nachfolgerelation 0->2->4->6->... etwas ganz anderes ist als die
Teilmenge {0,2,4,6,...} von {0,1,2,3,...} mit der Nachfolgerelation
0->1->2->3->... .
Gruß,
Bastian
Stephan Gerlach
> Ich wiederhole noch einmal: Die Peano-Axiome modellieren nur _ein_
> Charakteristikum der nat. Zahlen. Das gen�gt aber nicht um sie
> eindeutig festzulegen.
> Und die Zauberformel: "bis auf Isomorphismus" behebt diesen Defekt
> auch nicht!
>
> Frage: Sind die rationalen Zahlen die nat. Zahlen?
Nein.
Du hast u.u. lediglich ein Problem damit, zwischen einer nat�rlichen
Zahl selbst und der Bezeichnung bzw. dem Namen f�r diese nat�rliche Zahl
zu unterscheiden.
(Das ist so �hnlich die das WM-Problem, manchmal nicht die
"Element-von"-Relation von der "Teilmenge-von"-Relation unterscheiden zu
k�nnen.)
Wenn du willst, kannst du die nat�rlichen Zahlen gern mit 1/2, 5/7,
76/101, 1/3, ...
bezeichnen. Allerdings solltest du dann f�r die rationalen Zahlen andere
Bezeichnungen verwenden.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Franz Fritsche
> Albrecht schrieb:
>>
>> [...] Das gen�gt aber nicht um sie eindeutig festzulegen.
Da hat er reicht.
>> Und die Zauberformel: "bis auf Isomorphismus" behebt
>> diesen Defekt auch nicht!
Dieser Begriff _bezeichnet_ diesen Sachverhalt.
MfG,
FF
Franz Fritsche
> Albrecht schrieb:
>>
>> [...] Das gen�gt aber nicht um sie eindeutig festzulegen.
Da hat er reicht.
>> Und die Zauberformel: "bis auf Isomorphi[e]" behebt
>> diesen Defekt auch nicht!
Dieser Begriff _bezeichnet_ diesen Sachverhalt.
MfG,
FF
Albrecht
wrote:
> Albrecht schrieb:
>
> > Ich wiederhole noch einmal: Die Peano-Axiome modellieren nur _ein_
> > eindeutig festzulegen.
> > Und die Zauberformel: "bis auf Isomorphismus" behebt diesen Defekt
> > auch nicht!
>
> > Frage: Sind die rationalen Zahlen die nat. Zahlen?
>
> Nein.
> Zahl selbst und der Bezeichnung bzw. dem Namen für diese natürliche Zahl
> zu unterscheiden.
> (Das ist so ähnlich die das WM-Problem, manchmal nicht die
> "Element-von"-Relation von der "Teilmenge-von"-Relation unterscheiden zu
>
> Wenn du willst, kannst du die natürlichen Zahlen gern mit 1/2, 5/7,
> 76/101, 1/3, ...
> bezeichnen. Allerdings solltest du dann für die rationalen Zahlen andere
> Bezeichnungen verwenden.
>
Von mir aus kann man die nat. Zahlen bezeichnen wie man will. Es geht
nicht um Bezeichnungen, es geht nicht um 2, 8 ,17, es geht um deren
Struktur. Die Struktur der 1 wird am besten mit I angedeutet (wenn
dann II, III, IIII, ... die weiteren Strukturen sind). Es ist auch
nett, dass man
I
II
III
IIII
sowohl von oben als auch von rechts unten aus lesen kann (mit dem
selben Resultat). Es geht vom Sinn einer nat. Zahl aus. Und 1/2 hat
eben keinen Sinn als nat. Zahl. Na, lassen wir das.
Also die Peano-Axiome sollen nicht die nat. Zahlen definieren, sondern
die Menge der nat. Zahlen. Dann ist der Begriff der nat. Zahl ein
logisches Partikel oder wie das auch immer heißt. Er ist selbst nicht
definiert. Es wird einfach vorausgesetzt, dass jeder unter dem Begriff
"nat. Zahl" das gleiche versteht.
Nun sagt Peano, dass wenn die 0 und zu jeder nat. Zahl deren
Nachfolger zusammengefasst sind, dann ist das die Menge der nat.
Zahlen.
Diesen Bedingungen genügen aber auch Mengen wie {0, 2, 4, 6, ...} oder
{0, 1, 10, 100, 1000, ...}, oder von mir aus auch {i, iii, iiiii,
iiiiiii, iiiiiiiiiii, ...} (wenn i=0).
Keine davon ist die Menge aller nat. Zahlen, keine ist |N.
Gruß
Albrecht
Rudolf Sponsel
> Am Sat, 15 May 2010 16:46:26 +0200 schrieb Stephan Gerlach:
>
>> Albrecht schrieb:
>
> Da hat er reicht.
>
>>> Und die Zauberformel: "bis auf Isomorphi[e]" behebt
>>> diesen Defekt auch nicht!
>
> Dieser Begriff _bezeichnet_ diesen Sachverhalt.
>
Sachverhalt und die Bezeichnung geschieht durch Worte, Sï¿œtze, allgemein durch
Ausdrï¿œcke. Vielleicht ist folgende Analogie sinnig: Die Ausdrï¿œcke
(Zeichenketten, Kerben, Laute, ..) sind die Kleider der Begriffe. Die Begriffe
bleiben gleich, auch wenn man sie anders kleidet ("rouge", "red", "rot", "die
Farbe der Liebe", "die Farbe des Blutes", ..).
Mehr wï¿œrde mich bei den natï¿œrlichen Zahlen interessieren, ob - etwa in der
Peanoaxiomatisierung - Lï¿œcken mit ihnen vereinbar sind. Modell: Orte entlang
einer Straï¿œe. Ort 5 folgt auf 4 usw. , aber zwischen 4 und 5 ist im
Straï¿œenmodell meist noch reichlich Platz, wenn es auch Orte gibt, die ohne
Lï¿œcke aufeinander folgen (Nï¿œrnberg-Fï¿œrth, Oberhausen-Mï¿œhlheim). Mag wer was
dazu sagen?
Man kï¿œnnte es mit Zeichen vielleicht so darstellen:
||||||||||.... ein Vorgï¿œnger-Nachfolgermodell ohne Lï¿œcken
|_||_|_|||.... ein Vorgï¿œnger-Nachfolgermodell mit Lï¿œcken
Eine anderer Zugang ergï¿œbe sich durch die Frage nach der Gleichabstï¿œndigkeit
von beliebigem Vorgï¿œnger und Nachfolger bei den natï¿œrlichen Zahlen.
> MfG,
> FF
Rudolf Sponsel, Erlangen
Norbert Marrek
Du benutzt ein falsches Modell, wenn du ein Kontinuum als Grundlage
verwendest. Aber selbst in deinem Straï¿œenmodell gibt es ja kein
Kontinuum, sondern Atome, und zwischen dem n-ten und (n+1)-ten Atom gibt
es auch nichts mehr, genau wie bei den natï¿œrlichen Zahlen.
Aloha,
Norbert
Alois Steindl
>
> Genau dies k�nnen nur die nat. Zahlen leisten und genau dadurch sind
> sie definiert. Dieser Aspekt fehlt aber bei Peano. und wird in der
> MAthematik seit �ber 100 Jahren �bersehen, ignoriert, verschwiegen,
> verkannt.
>
>
> Eine freundliche Hilfestellung zum dumm bleiben? Verzichte dankend.
> Wenn es Dir nichts ausmacht, halbgares Zeug als hohe Wissenschaft
> verkauft zu bekommen ist das Deine Sache. ich habe in diesem
> Zusammenhang andere Wertvorstellungen.
>
Vielleicht k�nnte der brilliante Logiker Albrecht Storz vorf�hren,
wie die Menge der nat�rlichen Zahlen definiert werden k�nnte, wobei die
Definition "logisch stringent" sein m�sste und
auch von Geistesgr��en wie WM und Sponsel verstanden werden sollte.
Mit Grausen
Alois
Albrecht
> Am 15.05.2010 13:58, schrieb Albrecht:
>
>
>
> > sie definiert. Dieser Aspekt fehlt aber bei Peano. und wird in der
> > verkannt.
>
> > Eine freundliche Hilfestellung zum dumm bleiben? Verzichte dankend.
> > Wenn es Dir nichts ausmacht, halbgares Zeug als hohe Wissenschaft
> > verkauft zu bekommen ist das Deine Sache. ich habe in diesem
> > Zusammenhang andere Wertvorstellungen.
>
> wie die Menge der natürlichen Zahlen definiert werden könnte, wobei die
> Definition "logisch stringent" sein müsste und
> auch von Geistesgrößen wie WM und Sponsel verstanden werden sollte.
>
> Mit Grausen
Ja, mir graust es auch angesichts dieses hier zu beobachtenden
Unwillens, etwas zu hinterfragen und bei Bedarf zu klären oder richtig
zu stellen.
Die Nachfolgeroperation muß festgelegt sein um nicht eine Klasse von
isomorphen Klassen sondern die Klasse der nat. Zahlen festzulegen.
Am Anfang der nat. Zahlen steht die Eins, sowohl als erstes Element
als auch als Generator für die Nachfolgeroperation.
Ach, vergiss es.
Gruß
Albrecht
Albrecht
> Franz Fritsche schrieb:> Am Sat, 15 May 2010 16:46:26 +0200 schrieb Stephan Gerlach:
>
> >> Albrecht schrieb:
>
> > Da hat er reicht.
>
> >>> Und die Zauberformel: "bis auf Isomorphi[e]" behebt
> >>> diesen Defekt auch nicht!
>
> > Dieser Begriff _bezeichnet_ diesen Sachverhalt.
>
> Sachverhalt und die Bezeichnung geschieht durch Worte, Sätze, allgemein durch
> Ausdrücke. Vielleicht ist folgende Analogie sinnig: Die Ausdrücke
> (Zeichenketten, Kerben, Laute, ..) sind die Kleider der Begriffe. Die Begriffe
> bleiben gleich, auch wenn man sie anders kleidet ("rouge", "red", "rot", "die
> Farbe der Liebe", "die Farbe des Blutes", ..).
>
> Peanoaxiomatisierung - Lücken mit ihnen vereinbar sind. Modell: Orte entlang
> einer Straße. Ort 5 folgt auf 4 usw. , aber zwischen 4 und 5 ist im
> Straßenmodell meist noch reichlich Platz, wenn es auch Orte gibt, die ohne
> Lücke aufeinander folgen (Nürnberg-Fürth, Oberhausen-Mühlheim). Mag wer was
> dazu sagen?
Lies die Peano-Axiome. Und dann frage Dich, ob die Menge
G={0, 2, 4, 6, ...}
mit den Axiomen vereinbar ist. Da nirgendwo festgelegt ist wie ein
Nachfolger aussieht oder gebildet wird ist die Menge G die (oder eine)
Menge der nat. Zahlen nach Peano.
Beantwortet das Deine Frage nach Lücken?
Gruß
Albrecht
Gus Gassmann
In dieser Menge, so wie du sie hinschreibst, sind implizit einige
Vereinbarungen mit drin:
a) das Element, das keinen Vorgänger besitzt, ist 0.
b) die Elemente in dieser Menge sind *geordnet*.
c) (das folgt aus b), der Nachfolger von 0 ist 2, der Nachfolger von 2
ist 4, usw.
Insbesondere kommt 1 in dieser Menge *nicht* vor. Welche "Lücken" hast
du demnach im Sinn?
Rainer Willis
> Lies die Peano-Axiome. Und dann frage Dich, ob die Menge
> G={0, 2, 4, 6, ...}
> mit den Axiomen vereinbar ist. Da nirgendwo festgelegt ist wie ein
> Nachfolger aussieht oder gebildet wird ist die Menge G die (oder eine)
> Menge der nat. Zahlen nach Peano.
Dann schreib die Axiome doch einfach um:
1. 1 ist eine natï¿œrliche Zahl.
2. Zu jeder natï¿œrlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der
ebenfalls eine natï¿œrliche Zahl ist.
2a: n'=n+1
3. Es gibt keine natï¿œrliche Zahl, deren Nachfolger 1 ist.
4. Jede natï¿œrliche Zahl ist Nachfolger hï¿œchstens einer natï¿œrlichen Zahl.
5. Von allen Mengen X, welche
* die Zahl 1 und
* mit jeder natï¿œrlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger n'
enthalten, ist die Menge der natï¿œrlichen Zahlen die einzige.
Nun zufrieden?
Gruￜ Rainer
Helmut Richter
> Mehr w�rde mich bei den nat�rlichen Zahlen interessieren, ob - etwa in der
> Peanoaxiomatisierung - L�cken mit ihnen vereinbar sind. Modell: Orte entlang
> einer Stra�e. Ort 5 folgt auf 4 usw. , aber zwischen 4 und 5 ist im
> Stra�enmodell meist noch reichlich Platz, wenn es auch Orte gibt, die ohne
> L�cke aufeinander folgen (N�rnberg-F�rth, Oberhausen-M�hlheim). Mag wer was
> dazu sagen?
Da ist eben kein Platz, soweit die Orte Modell f�r die nat�rlichen Zahlen
sind. Wenn zwischen "aufeinanderfolgenden" Orten etwas dazwischen kommen
kann, sind die nat�rlichen Zahlen eben keine passende Formalisierung
dieses Sachverhalts; trotzdem k�nnen sie beispielsweise eine passende
Formalisierung f�r die Kalenderdaten seit dem 13. Mai 1703 sein: da kommen
keine daten pl�tzlich dazwischen und jedes Datum hat einen Nachfolger.
> Eine anderer Zugang erg�be sich durch die Frage nach der Gleichabst�ndigkeit
> von beliebigem Vorg�nger und Nachfolger bei den nat�rlichen Zahlen.
Abstand ist zum Zeitpunkt, in dem die Peano-Axiome verwendet werden, noch
nicht definiert. Man kann den Abstand *danach* definieren als die Anzahl
der Anwendungen der Nachfolgerfunktion, um von einem Element zum anderen
zu gelangen. Dann sind die Elemente der Folge in der Tat gleichabst�ndig,
auch wenn sie nicht so aussehen, n�mlich aufgrund von Eigenschaften, die
sie in ganz anderen Strukturen haben.
--
Helmut Richter
Rainer Rosenthal
> Und was seit Jahren in Schulen und auf Universitï¿œten gelehrt
> wird ist unausgegorener Mist.
Darum spricht man in diesem Zusammenhang auch von BIL-DUNG.
====
Mit den besten Wï¿œnschen fï¿œr eine gute neue Woche,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Karl Heinz
> Albrecht schrieb:
>> Und was seit Jahren in Schulen und auf Universit�ten gelehrt
>> wird ist unausgegorener Mist.
>
> Darum spricht man in diesem Zusammenhang auch von BIL-DUNG.
> ====
Das was neues Leben ua. braucht, Phosphor, z.B. Pflanzenbl�tter
im Fr�hjahr, das wird als D�nger und anderes Salz zur Zeit der
Erdkruste entnommen, und nach Nutzung (per Regen) ins Meer verd�nnt,
so dass auch dieses Element langsam knapper wird...
Dung ist Recycling.
Ralf Bader
> Franz Fritsche schrieb:
>> Am Sat, 15 May 2010 16:46:26 +0200 schrieb Stephan Gerlach:
>>
>>> Albrecht schrieb:
>>>> [...] Das genügt aber nicht um sie eindeutig festzulegen.
>>
>> Da hat er reicht.
>>
>>>> Und die Zauberformel: "bis auf Isomorphi[e]" behebt
>>>> diesen Defekt auch nicht!
>>
>> Dieser Begriff _bezeichnet_ diesen Sachverhalt.
>>
> Diese Formulierung finde ich nicht gut. Ein Begriff repräsentiert einen
> Sachverhalt und die Bezeichnung geschieht durch Worte, Sätze, allgemein
> durch Ausdrücke. Vielleicht ist folgende Analogie sinnig: Die Ausdrücke
> (Zeichenketten, Kerben, Laute, ..) sind die Kleider der Begriffe. Die
> Begriffe bleiben gleich, auch wenn man sie anders kleidet ("rouge", "red",
> "rot", "die Farbe der Liebe", "die Farbe des Blutes", ..).
>
> Mehr würde mich bei den natürlichen Zahlen interessieren, ob - etwa in der
> Peanoaxiomatisierung - Lücken mit ihnen vereinbar sind. Modell: Orte
> entlang einer Straße. Ort 5 folgt auf 4 usw. , aber zwischen 4 und 5 ist
> im Straßenmodell meist noch reichlich Platz, wenn es auch Orte gibt, die
> ohne Lücke aufeinander folgen (Nürnberg-Fürth, Oberhausen-Mühlheim). Mag
> wer was dazu sagen?
Ich möchte dazu sagen, daß es mir zu blöd ist, etwas dazu sagen, welche
Auswirkungen die Beregnung der Spargelfelder im Knoblauchsland auf die
Struktur der natürlichen Zahlen hat. Herrn Professor Grömaz Mückenheim
fällt aber bestimmt irgendwelcher Schwachsinn auch zu dieser Thematik ein.
Albrecht
Welche "Lücken" hast Du denn im Sinn?
Wolfgang Meiners
> [...]
> Wieso wird immer wieder behauptet, die Peano-Axiome w�rden die nat.
> Zahlen definieren?
>
> Gru�
> Albrecht
Wenn du an einer Antwort auf diese Frage interessiert bist, solltest du
dich mit der Frage besch�ftigen, was ein Axiomensystem ist. Salopp
ausgedr�ckt handelt es sich dabei um die kleinste Menge von
Eigenschaften, die einen Gegenstand vollst�ndig und widerspruchsfrei
beschreibt. Das diese kleinste Menge von Eigenschaften noch nicht jede
m�gliche Struktur auf den nat�rlichen Zahlen beinhaltet, liegt auf der
Hand. Wichtig ist, dass sie keiner m�glichen Struktur widerspricht.
Gr��e
Wolfgang
Alois Steindl
>
> Ach, vergiss es.
Aber das wäre doch was, die Albrecht-Axiome!
Die könnten die Ihrer Meinung nach sinnlosen Peanoaxiome ablösen und
würden sicher in den Kalenderblättern lobend erwähnt.
Hüpfen Sie es uns einfach vor!
Alois Steindl
Alois Steindl
>
> Im gleichen Posting hatte ich darauf hingewiesen, dass ich Dir eine
> freundliche Hilfestellung geben wollte. Dass ich dafür sowohl von Dir
> als auch von anderen verbale Prügel bekomme, ist mir wenig verständlich.
> Hängt wohl mit der mir bereits attestierten Naivität zusammen :-)
> Oder damit, dass ich hier lese und poste, weil es mir Spaß macht, wohin-
> gegen andere das tun, um sich oder andere zu ärgern. - Jedem Tierchen sein
> Plaisierchen.
>
Hallo Rainer,
so persönlich treffen wollte ich Dich wirklich nicht.
Aber wenn Du diesen Thread verfolgst, müsstest Du vielleicht diesmal
erkennen, dass *jede* noch so freundliche Hilfestellung an Herrn Storz
keinerlei kognitive Fortschritte bringt, sondern ihn nur zu weiteren
Attacken gegen die Mathematik (sowohl das Fach, als auch die handelnden
Personen) motiviert. Gegen Cranks dieser Art gibt es wohl keine Abhilfe;
am besten würde meiner Meinung nach wirken, sie einfach zu
ignorieren. (Da muss ich auch mich selbst an der Nase nehmen.)
Herr Storz hat möglicherweise vor einiger Zeit eine persönliche
Kränkung in seinem Umgang mit der Mathematik erfahren und will sich nun
am Fach und seinem Umfeld rächen und allen beweisen, dass nicht er
einfach zu wenig davon versteht, sondern dass alle anderen blöd sind.
Mit freundlichen Grüßen
Alois
Carsten Schultz
> Albrecht schrieb:
>> [...]
>> Wieso wird immer wieder behauptet, die Peano-Axiome würden die nat.
>> Zahlen definieren?
>>
>> Gruß
>> Albrecht
>
> Wenn du an einer Antwort auf diese Frage interessiert bist,
Ist er ja nicht, er ist nur ein Pöbler, der schon vorher weiß, dass die
Mathematiker alle nur Unfug treiben.
Gruß
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.
Dominique Töpfer
> 1. 1 ist eine natï¿œrliche Zahl.
> 2. Zu jeder natï¿œrlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der
> ebenfalls eine natï¿œrliche Zahl ist.
> 2a: n'=n+1
geht denn das? Wird die Addition in |N nicht ï¿œber die Peano-Axiome
definiert? Andererseits mï¿œsste man die 0 konsequent herausnehmen, denn
man mï¿œsste die 1 in Axiom 2a ja ï¿œber dasselbe definieren.
Gruￜ
Dominique
Franz Fritsche
> Hi,
>
>> 1. 1 ist eine nat�rliche Zahl.
>> 2. Zu jeder nat�rlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n',
>> der ebenfalls eine nat�rliche Zahl ist.
>> 2a: n' = n+1
>>
> geht denn das?
Nein. "Eigentlich" nicht. ;-)
> Wird die Addition in IN nicht �ber die Peano-Axiome definiert?
Ja, so ist es.
> Andererseits m�sste man die 0 konsequent herausnehmen, denn
> man m�sste die 1 in Axiom 2a ja �ber dasselbe definieren.
Das verstehe ich jetzt nicht; aber bei obigen Ansatz ist die 0 ohnehin
nicht "dabei", da hier die kleinste (erste) nat�rliche Zahl die 1 ist.
Wie dem auch sei, die Addition kann dann rekursiv definiert werden mit
Hilfe der beiden (Def.-)Gleichungen:
n + 1 = n'
n + m' = (n + m)' .
Mit 2 := 1' kann man z. B. damit ermitteln:
n + 2 = n + 1' = (n + 1)' = n'' .
Mit 3 := 2' ergibt sich dann z. B.
1 + 2 = 1'' = 2' = 3 . :-)
MfG,
FF
Hero
> Albrecht schrieb:
>
> > [...]
> > Zahlen definieren?
>
> > Gruß
>
> Wenn du an einer Antwort auf diese Frage interessiert bist, solltest du
> ausgedrückt handelt es sich dabei um die kleinste Menge von
> Eigenschaften, die einen Gegenstand vollständig und widerspruchsfrei
> beschreibt. Das diese kleinste Menge von Eigenschaften noch nicht jede
> Hand. Wichtig ist, dass sie keiner möglichen Struktur widerspricht.
>
...vollständig... beschreibt.
Eben. Also, daß es ungerade und gerade Zahlen gibt, oder welche, die
prim sind, brauche ich nicht zu axiomatisieren.
Wenn ich die Eigenschaften einer Folge axiomatisiere, dann fehlt aber
noch etwas, damit dies die natürlichen Zahlen sind. Wie interagieren
sie?
2+3 = 5 , also Axiome dieser Struktur (Halbring, 1) , was ist "="
(Axiom von Aritoteles), usw.
Am schönsten wäre, wenn man die Strich / Stäbchenrepräsentation
axiomatisierte:
|| + ||| = ||||| . Diese zeigt schon eher das Wesen der natürlichen
Zahlen.
Das geht nicht mit Mengen, da { { } , { } } = { { } } .
Wenn man ganz genau ist, muß man bei den Peano Axiomen schon
vorher wissen, was quantitativ 1 ist und was höchstens 1 ist ( 0 oder
1).
Mit freundlichen Grüßen
Hero
Hero
> Dominique Töpfer schrieb:
>
>
> >> 1. 1 ist eine natürliche Zahl.
> >> 2. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n',
> >> der ebenfalls eine natürliche Zahl ist.
> >> 2a: n' = n+1
>
> > geht denn das?
>
> Nein. "Eigentlich" nicht. ;-)
>
> > Wird die Addition in IN nicht über die Peano-Axiome definiert?
>
> Ja, so ist es.
>
> > Andererseits müsste man die 0 konsequent herausnehmen, denn
> > man müsste die 1 in Axiom 2a ja über dasselbe definieren.
>
> Das verstehe ich jetzt nicht; aber bei obigen Ansatz ist die 0 ohnehin
> nicht "dabei", da hier die kleinste (erste) natürliche Zahl die 1 ist.
>
> Wie dem auch sei, die Addition kann dann rekursiv definiert werden mit
> Hilfe der beiden (Def.-)Gleichungen:
>
> n + 1 = n'
> n + m' = (n + m)' .
>
> Mit 2 := 1' kann man z. B. damit ermitteln:
>
> n + 2 = n + 1' = (n + 1)' = n'' .
>
> Mit 3 := 2' ergibt sich dann z. B.
>
> 1 + 2 = 1'' = 2' = 3 . :-)
>
Nimm mal die Peano-Axiome so:
@ (alpha) ist eine natürliche Zahl.
Jede..
..
Jede Menge, die die Zahl @ enthält,...
Ist @ nun unsere 1 oder unsere 0?
Dazu muß ich zusätzlich axiomatisieren:
So:
eine Zahl n plus @ = Nachfolger von n
Oder :
eine Zahl n plus @ = n
eine Zahl n plus (Nachfolger von @) = Nachfolger von n
Mit freundlichen Grüßen
Hero
Rainer Rosenthal
> so persï¿œnlich treffen wollte ich Dich wirklich nicht.
Danke.
> Aber wenn Du diesen Thread verfolgst, mï¿œsstest Du vielleicht diesmal
> erkennen, dass *jede* noch so freundliche Hilfestellung an Herrn Storz
> keinerlei kognitive Fortschritte bringt, sondern ...
Ich habe nun doch mal Tante Gugel gefragt und sie hat mir Albrechts
Posting vom 25. Februar 2009 gezeigt:
====================================================================
[...]. Immerhin musst Du Dir zu diesem Thema keinen
Kopf mehr machen: ich habe meinen Fehler erkannt. Im Prinzip kann man
die Situation auf die Antidiagonale einer Liste aller rationalen
Zahlen zurueckfuehren. Es ist sogar so, dass die Antidiagonale
identisch mit einer entsprechenden Aufzaehlung aller rationalen Zahlen
ist. Die "weiter hinten" liegenden Stellen der irrationalen Zahlen
spielen gar keine Rolle. Mein Fehler war davon auszugehen, dass das
wesentliche Element die minimale Forderung des b_i <> a_ii ist. Aber
da ich nicht beweisen kann, dass sich die Antidiagonale nur rational
von jeder Zahl unterscheiden kann, fehlt das entscheidende Glied in
der Kette.
Wie ich schon oben geschrieben habe, laesst sich der von mir
beschriebene Fall auf eine Aufzaehlung aller rationelen Zahlen
zurueckfuehre. Nun hast Du ja eine solche in dem anderen Thread
angegeben. Hast Du eigentlich dazu eine Antidiagonale bestimmt? Eine
solche sollte sich ja zu Deiner Aufzaehlung leicht angeben lassen.
Ich werde uebrigens den Kopf nicht haengen lassen. Die Suche nach
einem Widerspruch mittels des Diagonalarguments geht weiter.
======================================================================
Gruￜ,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Franz Fritsche
> Albrecht (Posting vom 25. Februar 2009):
>>
>> Ich werde uebrigens den Kopf nicht haengen lassen. Die Suche nach
>> einem Widerspruch mittels des Diagonalarguments geht weiter.
Mein Rat w�re ja, sich nach einer T�tigkeit umzusehen, die mehr Aussicht
auf Erfolg verspricht. :-)
FF
Marc Olschok
>[...]
> Ich stelle fest: Die Peano-Axiome definieren nicht die Menge der nat.
> Zahlen. Und was seit Jahren in Schulen und auf Universitäten gelehrt
> wird ist unausgegorener Mist.
Tu doch nicht so, als ob Du jemals eine Universität von innen
gesehen hättest, oder gar wüsstest, was denn dort gelehrt wird.
--
M.O.
Albrecht
> > Zahlen definieren?
>
> > Gruß
>
> Wenn du an einer Antwort auf diese Frage interessiert bist, solltest du
> ausgedrückt handelt es sich dabei um die kleinste Menge von
> Eigenschaften, die einen Gegenstand vollständig und widerspruchsfrei
> beschreibt. Das diese kleinste Menge von Eigenschaften noch nicht jede
> Hand. Wichtig ist, dass sie keiner möglichen Struktur widerspricht.
>
Interessant. Die vollständige Beschreibung aller Eigenschaften
beschreibt nicht alle möglichen Strukturen eines Gegenstandes. Also
sind Strukturen keine Eigenschaften von Gegenständen. Mit den
Strukturen ist es wohl so wie mit den konstruierbaren Zahlen?
Natürlich interessiert mich jede sachliche Antwort zu meiner Frage.
Gruß
Albrecht
Albrecht
Stimmt. Ich bin über einen Eimer voller abgelegter Axiome gestolpert
und habe mir die Quadrathandwurzel gebrochen.
;-)
AS
Wolfgang Meiners
> On 17 Mai, 09:05, Wolfgang Meiners <WolfgangMeiner...@web.de> wrote:
>> Albrecht schrieb:
>>
>>> [...]
>>> Zahlen definieren?
>>> Gru�
>> Wenn du an einer Antwort auf diese Frage interessiert bist, solltest du
>> ausgedr�ckt handelt es sich dabei um die kleinste Menge von
>> Eigenschaften, die einen Gegenstand vollst�ndig und widerspruchsfrei
>> beschreibt. Das diese kleinste Menge von Eigenschaften noch nicht jede
>> Hand. Wichtig ist, dass sie keiner m�glichen Struktur widerspricht.
>>
>
> Interessant. Die vollst�ndige Beschreibung aller Eigenschaften
> beschreibt nicht alle m�glichen Strukturen eines Gegenstandes.
Genau. Die (Peanoschen) Axiome nehmen die weiteren Eigenschaften nicht
vorweg (beschreiben sie also nicht), sie erm�glichen sie lediglich. Das
scheint mir genau der Punkt zu sein, an dem du offenbar
Verst�ndnisschwierigkeiten hast.
Gr��e
Wolfgang
Robert Figura
> Albrecht schrieb:
>>> Albrecht schrieb:
>>>> Wieso wird immer wieder behauptet, die Peano-Axiome würden die nat.
>>>> Zahlen definieren?
>>
>> beschreibt nicht alle möglichen Strukturen eines Gegenstandes.
> Genau. Die (Peanoschen) Axiome nehmen die weiteren Eigenschaften nicht
> vorweg (beschreiben sie also nicht), sie ermöglichen sie lediglich. Das
> scheint mir genau der Punkt zu sein, an dem du offenbar
> Verständnisschwierigkeiten hast.
Schön gesagt.
Grüße
- Robert Figura
--
/* mandlsig.c 0.42 (c) by Robert Figura */
I=1702;float O,o,i;main(l){for(;I--;putchar("oO .,\nt>neo.ckgel-t\
agidif@<ra urig FrtbeRo"[I%74?I>837&874>I?I^833:l%5:5]))for(O=o=l=
0;O*O+o*o<(16^l++);o=2*O*o+I/74/11.-1,O=i)i=O*O-o*o+I%74*.04-2.2;}
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
>
>
>
>
> > On 17 Mai, 09:05, Wolfgang Meiners <WolfgangMeiner...@web.de> wrote:
> >> Albrecht schrieb:
>
> >>> [...]
> >>> Zahlen definieren?
> >>> Gruß
> >> Wenn du an einer Antwort auf diese Frage interessiert bist, solltest du
> >> ausgedrückt handelt es sich dabei um die kleinste Menge von
> >> Eigenschaften, die einen Gegenstand vollständig und widerspruchsfrei
> >> beschreibt. Das diese kleinste Menge von Eigenschaften noch nicht jede
> >> Hand. Wichtig ist, dass sie keiner möglichen Struktur widerspricht.
>
> > beschreibt nicht alle möglichen Strukturen eines Gegenstandes.
>
> Genau. Die (Peanoschen) Axiome nehmen die weiteren Eigenschaften nicht
> scheint mir genau der Punkt zu sein, an dem du offenbar
>
Sehr erhellend finde ich das jetzt nicht. Deshalb frage ich jetzt noch
einmal:
Was sind und was sollen die Peano-Axiome (PA)?
Ich wiederhole meine Behauptung, dass die PA höchstens eine Klasse von
isomorphen Mengen beschreibt - und damit ganz gewiss nicht die Menge
der nat. Zahlen.
(Unter dem Vorbehalt dass unendliche Mengen existieren würden, in
diesem Zusammenhang ist das aber irrelevant.)
Gruß
Albrecht
Alois Steindl
> Was sind und was sollen die Peano-Axiome (PA)?
>
> Ich wiederhole meine Behauptung, dass die PA höchstens eine Klasse von
> isomorphen Mengen beschreibt - und damit ganz gewiss nicht die Menge
> der nat. Zahlen.
>
Jetzt schicke ich mich an, das zu wiederholen, wofür ich Rainer
geschimpft habe: Eine ernsthafte Antwort an Albrecht zu versuchen.
Obs hilft, darf natürlich bezweifelt werden.
Um den Sinn der Definition zu verstehen, sollten Sie über hinreichend
Abstraktionsvermögen verfügen:
Ich will nicht annehmen, dass in einer Ihnen genehmen Definition festgelegt
werden muß, dass die 1 oben links ein kurzes Häkchen hat und die 7
möglicherweise einen horizontalen Balken auf halber Höhe.
Die Darstellung einer Zahl und auch ihre Bezeichnung (sieben, sette,
hepta, ...) sollte für die Definition irrelevant sein.
Wichtig ist, dass jede natürliche Zahl einmal vorkommt und dass es eine
festgelegte Reihenfolge gibt. Und das leisten die Peanoaxiome
hervorragend.
*Nachdem* diese Objekte (+ Reihenfolge, wie sie durch die Nachfolgeregel
festgelegt ist) vorliegen, kann man anfangen, damit zu rechnen.
Diese Schritte sind in Russell und Whitehead sehr ausführlich dargelegt.
Was Sie in diesem Schritt verstehen sollten, ist, dass die Rechenregeln
sehr elementar aus den Nachfolgeregeln abgeleitet werden und für alle
Darstellungen der natürlichen Zahlen identisch sind. Der Einfachheit
halber werde ich im Folgenden die Darstellung einer Zahl n mit (n)
bezeichnen. Es muß also zB. gelten (2)+(3)=(5) oder (2)*(3)=(6).
Wenn Sie also zB. die Menge (0, 2, 4, ...) zur Darstellung verwenden,
wobei wir (1) = 2, (2) = 4 usw. setzen, so bedingt das die Rechenregeln
4+6=10 (was in diesem Fall passt), aber auch 4*6=12.
Nochmal: Das wäre das 1x1, wenn wir Ihre Folge (0, 2, 4, 6, ...) als
Modell der natürlichen Zahlen verwenden wollten.
Dies ist übrigens keineswegs so absurd, wie Sie jetzt sicher denken:
Sie könnten zB. die naürlichen Zahlen durch Kubikdezimeter
veranschaulichen. Wenn Sie diese Würfel mit Flüssigkeit füllen und dafür
Flaschen mit je 1/2 Liter Inhalt verwenden, entsprechen 2 Flaschen einer
Einheit, 4 Flaschen 2 Einheiten usw.
Um zB. einen Würfel mit 3 dm Kantenlänge zu füllen, brauchen Sie
2*3^3=54 Flaschen, das ist aber etwas anderes als (2*3)^3.
Die Isomorphie zwischen dem Ihnen bekannten Modell mit den
Kubikdezimetern und dem Modell mit je 2 Flaschen: (k)=2*k
funktioniert prächtig. Wenn Sie von Kind auf gewohnt wären, für eine
Einheit zwei Gefäße zu denken, würde Ihnen die Standarddarstellung
schrecklich vorkommen.
Noch lustiger wird es natürlich bei noch exotischeren Darstellungen,
also zB. bei (3)="3.111". [(n) = "3." und n-mal die "1"]
Dort lauten die Beispielrechnungen: 3.11 + 3.111 = 3.11111 und
3.11*3.111=3.111111
Dies sieht sehr seltsam aus; auf einem Planeten, wo die Leute es so
lernen, wäre dies die natürlichste Sache der Welt. Man könnte das so
interpretieren, dass "3." ein Zahlenprefix ist und dann eine
Steinzeitnotation mit Ihren Stricherln folgt.
Der langen Schreibe kurzer Sinn: Die Definition legt genau die wichtigen
Eigenschaften fest, die Rechenregeln folgen erst daraus.
Alle Modelle, die von den PAen erzeugt werden können, besitzen genau die
Struktur der Menge der natürlichen Zahlen. Eine Einschränkung, wie Sie
Ihnen wohl vorschwebt, wäre widersinnig.
Und wie gesagt: Wenn Sie es besser können: Her mir Ihren Axiomen.
(Wie wärs mit: Wir beginnen mit der 0 und der 1 als "Einheit", die 2 ist
das Doppelte von 1, 3 das dreifache usw. ? Würde Ihnen vielleicht
sowas passen?)
Entschuldigung an alle Teilnehmer, speziell Rainer, für den langen und
sicher kontraproduktiven Versuch, Albrecht ein wenig weiterzuhelfen.
Alois
>
> (Unter dem Vorbehalt dass unendliche Mengen existieren würden, in
> diesem Zusammenhang ist das aber irrelevant.)
>
Hofknicks nach Augsburg?
Torn Rumero DeBrak
> On 18 Mai, 08:44, Wolfgang Meiners <WolfgangMeiner...@web.de> wrote:
>> Albrecht schrieb:
>>
>>
>>
>>
>>
>>> On 17 Mai, 09:05, Wolfgang Meiners <WolfgangMeiner...@web.de> wrote:
>>>> Albrecht schrieb:
>>
>>>>> [...]
>>>>> nat. Zahlen definieren?
>>>>> Gru�
>>>> Wenn du an einer Antwort auf diese Frage interessiert bist,
>>>> ist. Salopp ausgedr�ckt handelt es sich dabei um die kleinste
>>>> Menge von Eigenschaften, die einen Gegenstand vollst�ndig und
>>>> widerspruchsfrei beschreibt. Das diese kleinste Menge von
>>>> nat�rlichen Zahlen beinhaltet, liegt auf der Hand. Wichtig ist,
>>>> dass sie keiner m�glichen Struktur widerspricht.
>>
>>> beschreibt nicht alle m�glichen Strukturen eines Gegenstandes.
>>
>> Genau. Die (Peanoschen) Axiome nehmen die weiteren Eigenschaften
>> lediglich. Das scheint mir genau der Punkt zu sein, an dem du
>>
>
> Sehr erhellend finde ich das jetzt nicht. Deshalb frage ich jetzt noch
> einmal:
>
> Was sind und was sollen die Peano-Axiome (PA)?
>
Sie sind die umfassende Antwort auf die Frage
von Dedekinds Schrift Was sind und was sollen die Zahlen? (1888)
> Ich wiederhole meine Behauptung, dass die PA h�chstens eine Klasse von
> isomorphen Mengen beschreibt - und damit ganz gewiss nicht die Menge
> der nat. Zahlen.
>
Durch wiederholen wirds nicht besser.
Alois Steindl
Hallo Marc,
ich tippe eher, dass er durchaus ein paar Wochen oder Monate auf der Uni
verbracht hat, diese dann aber entlang einer parabolischen Bahn
verlassen musste.
Alois
Helmut B�ch
"Alois Steindl" <Alois....@tuwien.ac.at> schrieb im Newsbeitrag
news:m3pr0tz...@mch2pc28.mechanik.tuwien.ac.at...>> Ich wiederhole meine Behauptung, dass die PA h�chstens eine Klasse von
>> isomorphen Mengen beschreibt - und damit ganz gewiss nicht die Menge
>> der nat. Zahlen.
>>
> geschimpft habe: Eine ernsthafte Antwort an Albrecht zu versuchen.
>
> Um den Sinn der Definition zu verstehen, sollten Sie �ber hinreichend
> Abstraktionsverm�gen verf�gen:
> Ich will nicht annehmen, dass in einer Ihnen genehmen Definition
> festgelegt
> m�glicherweise einen horizontalen Balken auf halber H�he.
> Die Darstellung einer Zahl und auch ihre Bezeichnung (sieben, sette,
> Wichtig ist, dass jede nat�rliche Zahl einmal vorkommt und dass es eine
> festgelegte Reihenfolge gibt. Und das leisten die Peanoaxiome
> hervorragend.
> Der langen Schreibe kurzer Sinn: Die Definition legt genau die wichtigen
> Eigenschaften fest, die Rechenregeln folgen erst daraus.
> Struktur der Menge der nat�rlichen Zahlen. Eine Einschr�nkung, wie Sie
> Ihnen wohl vorschwebt, w�re widersinnig.
>
> Und wie gesagt: Wenn Sie es besser k�nnen: Her mir Ihren Axiomen.
> (Wie w�rs mit: Wir beginnen mit der 0 und der 1 als "Einheit", die 2 ist
> das Doppelte von 1, 3 das dreifache usw. ? W�rde Ihnen vielleicht
> sowas passen?)
>
> Entschuldigung an alle Teilnehmer, speziell Rainer, f�r den langen und
> sicher kontraproduktiven Versuch, Albrecht ein wenig weiterzuhelfen.
>
> Alois
>
>>
>> diesem Zusammenhang ist das aber irrelevant.)
>>
> Hofknicks nach Augsburg?
Wenn ich Albrecht richtig verstehe, dann vermisst er an den Peano-Axiomen
zweierlei, sofern sie die nat�rlichen Zahlen definieren sollen:
1. Man kann mit Objekten, die die PA erf�llen, im allgemeinen nicht etwas
abz�hlen. Die letzte beim Z�hlen erreichte Zahl muss die M�chtigjeit der
endlichen Menge angeben.
2. Die PA erkl�ren nicht, wieso auf die Zahl 999 (r�misch: IM) die Zahl 1000
(r�misch: M) folgt.
Die r�mische Zahlenschreibweise habe ich hinzugef�gt um zu verdeutlichen,
dass es Albrecht auf den Querstrich bei der 7 oder �berhaupt auf die
Zahlendarstellung wohl nicht ankommt. Und sch�ln w�re es, wenn hier auf das
Problem, auf das Albrecht hingewiesen hat, eingegangen w�rde, statt
Vermutungen zu Albrechts Bildungsgang anzustellen
Gr��e, Helmut
Carsten Schultz
>
> Und schön wäre es, wenn hier auf das
> Problem, auf das Albrecht hingewiesen hat, eingegangen würde, statt
Wenn Albrecht sich in dem Beitrag nicht schon wieder im Ton vergriffen
und seine Vorurteile und Unwilligkeit zu lernen gezeigt hätte, fände ich
das auch sinnvoll.
Carlos Naplos
Albrecht schrieb am 14.05.2010 22:06:
> On May 14, 3:31 pm, Carlos Naplos <ca...@onlinehome.de> wrote:
>> Albrecht schrieb am 14.05.2010 03:03:
>>
>>
>>
>>> Laut Wikipedia werden die Peano-Axiome heute folgenderma�en angegeben:
>>> 1. 0 ist eine nat�rliche Zahl.
>>> 2. Zu jeder nat�rlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der
>>> ebenfalls eine nat�rliche Zahl ist.
>>> 3. Es gibt keine nat�rliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
>>> 4. Jede nat�rliche Zahl ist Nachfolger h�chstens einer nat�rlichen
>>> Zahl.
>>> 5. Von allen Mengen X, welche
>>> * die Zahl 0 und
>>> * mit jeder nat�rlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger
>>> n'
>>> enthalten, ist die Menge der nat�rlichen Zahlen die kleinste.
>>> Schn Russell hat schon darauf hingewiesen, dass damit jedes abz�hlbare
>>> Zahlensystem definiert ist. So entspricht die Menge
>>> {0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...}
>>> den Peano-Axiomen. Ist das die Menge der nat�rlichen Zahlen?
>> K�nntest Du die von Dir verwendeten Zeichen "1", "/", "2", "3" usw.
>> erkl�ren?
>
> Warum sollte ich?
Weil ich, wenn 0, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ... die nat�rlichen Zahlen
sind, nicht wei�, was 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... sind.
>
>>> Oder ist
>>> {0, 0.1, 0.11, 0.111, ...} die Menge der nat�rlichen Zahlen?
>>> Selbst
>>> {0, 10, 100, 1000, ...} oder auch {0, 0', 0'', 0''', ...} und {0, a, b,
>>> c, 1, 2, 3, ...) fallen unter die Mengen die die Peano-Axiome
>>> beschreiben.
>>> Wieso wird immer wieder behauptet, die Peano-Axiome w�rden die nat.
>>> Zahlen definieren?
>> Wohl weil gew�nscht wird, dass das, was die Peano-Axiome definieren,
>> "Die nat�rlichen Zahlen" genannt wird.
>>
>
> Frage: Sind beispielsweise die rationalen Zahlen die nat. Zahlen?
Nein.
>
> Gru�
> Albrecht
Alois Steindl
>> Hofknicks nach Augsburg?
> Wieso? Herr Mixa ist doch in der Schweiz!?
Offensichtlich ist der in Augsburg wohl nicht der Einzige.
> Wenn ich Albrecht richtig verstehe, dann vermisst er an den Peano-Axiomen
> zweierlei, sofern sie die natürlichen Zahlen definieren sollen:
> 1. Man kann mit Objekten, die die PA erfüllen, im allgemeinen nicht etwas
> abzählen. Die letzte beim Zählen erreichte Zahl muss die Mächtigjeit der
> endlichen Menge angeben.
Tut sie das Ihrer Meinung nach denn nicht?
(Vielleicht haben Sie es auch nicht verstanden, dass die Objekte der
Peanofolge die "Namen" der Zahlen sind. Wenn Herr Storz wünscht, die
Folge (0, 2, 4, ...) zu verwenden, so wird die natürliche Zahl 1 eben
mit "2" bezeichnet. Ich habe mich aufrichtig bemüht darzulegen, dass in
diesem Fall die Symbole eben eine andere Bedeutung haben: "4" bedeutet die
Zahl 2; die Rechenregeln werden aus den natürlichen Zahlen übertragen,
sodass mit Albrechts Symbolen dann eben zB. gilt "4"*"6" = "12".
Die verwendeten Symbole verlieren eben ihre alte Bedeutung und schlüpfen
in das neue Gewand: Im 2. Beispiel bedeutet eben "3.11" nicht die Zahl
311/100, sondern die natürliche Zahl 2.
Die Schwierigkeit bei diesen Beispielen besteht wohl darin, dass
Zahlenfolgen verwendet werden, die bereits eine bestimmte Bedeutung
besitzen. Als Modell der natürlichen Zahlen ändern sie dann ihre
Bedeutung.
Unser lieber Freund in Augsburg hat auch mal die Folge (1, 1/2, 1/3,
...) als vermeintlich hirnrissige Peano-folge bezeichnet. Natürlich wäre
auch diese Folge ein einwandfreies Modell; die Addition würde etwas
seltsam aussehen:
zB. 1/2 + 1/3 = 1/5
Wenn Sie sich aber vorstellen, dass ein Mathematiker
sich einen Spaß daraus macht, eine Zahl in der Form 1/z zu
schreiben, wären wir wieder beim klassischen Modell. Für Bruchrechnungen
müsste man sich wohl eine etwas andere Notation aussuchen.
Man könnte aber die Zeichenfolge "1/" auch als Formatierungstag
betrachten: "Achtung, die folgenden Ziffern bezeichnen eine Zahl".
Genausogut würde sich an den Zahlen nichts ändern, wenn jemand
spaßhalber Männchen oder Alphörner drübermalt.)
> 2. Die PA erklären nicht, wieso auf die Zahl 999 (römisch: IM) die Zahl 1000
> (römisch: M) folgt.
Das ist auch nicht die Aufgabe der Axiome. Sie legen nur fest, *dass* auf
die 999 die 1000 kommt, wie immer das Objekt dargestellt wird.
(Genauer müsste man natürlich sagen, dass auf eine Zahl, zB. 999, eine
festgelegte weitere Zahl kommt. Jede vernünftige Vorschrift, die dies
für jede Zahl leistet, ist ein geeignetes Modell für die natürlichen
Zahlen.)
>
> Die römische Zahlenschreibweise habe ich hinzugefügt um zu verdeutlichen,
> dass es Albrecht auf den Querstrich bei der 7 oder überhaupt auf die
> Zahlendarstellung wohl nicht ankommt.
Das hoffe ich auch.
> Und schöln wäre es, wenn hier auf das
> Problem, auf das Albrecht hingewiesen hat, eingegangen würde, statt
> Vermutungen zu Albrechts Bildungsgang anzustellen
Wenn jemand auf die Mathematikstudien schimpft und so tut, als wüsste er
alles besser als die Mathematiker, wird die Frage wohl erlaubt sein, ob
er jemals eine Uni von innen gesehen hat und was er sonst noch in dieser
Kunst hervorgebracht hat.
Was er jedenfalls bisher in der Gruppe vorgeführt hat (abgesehen von den
andauernden Tiraden auf die Verblödung der Mathematik) ist erbärmlich:
Ein paar verunglückte Beweis- und Definitionsversuche. Ich jedenfalls
schließe aus diesen Fragmenten, dass er vor einiger Zeit ein paar
Analysiseinheiten besucht hat, aber kläglich gescheitert ist.
Jetzt will er halt nicht wahrhaben, dass sein Unvermögen daran schuld
gewesen sein könnte und tut so, als wäre er die oberste
Mathematikinstanz.
Alois
>
> Grüße, Helmut
Rudolf Sponsel
>>
>>>> Albrecht schrieb:
>>> Da hat er reicht.
>>>>> Und die Zauberformel: "bis auf Isomorphi[e]" behebt
>>>>> diesen Defekt auch nicht!
>>> Dieser Begriff _bezeichnet_ diesen Sachverhalt.
>> Sachverhalt und die Bezeichnung geschieht durch Worte, S�tze, allgemein durch
>> Ausdr�cke. Vielleicht ist folgende Analogie sinnig: Die Ausdr�cke
>> (Zeichenketten, Kerben, Laute, ..) sind die Kleider der Begriffe. Die Begriffe
>> bleiben gleich, auch wenn man sie anders kleidet ("rouge", "red", "rot", "die
>> Farbe der Liebe", "die Farbe des Blutes", ..).
>>
>> Peanoaxiomatisierung - L�cken mit ihnen vereinbar sind. Modell: Orte entlang
>> einer Stra�e. Ort 5 folgt auf 4 usw. , aber zwischen 4 und 5 ist im
>> Stra�enmodell meist noch reichlich Platz, wenn es auch Orte gibt, die ohne
>> L�cke aufeinander folgen (N�rnberg-F�rth, Oberhausen-M�hlheim). Mag wer was
>> dazu sagen?
>
> Lies die Peano-Axiome. Und dann frage Dich, ob die Menge
> G={0, 2, 4, 6, ...}
Hm, zu was braucht man denn die Mengenschreibweise hier? Durch die rechte
geschweifte Klammer stimmst Du fast der Suggestion zu, es handele sich hier um
etwas Abgeschlossenes. Die drei-P�nktchen Mathematik ist au�erordentlich
gef�hrlich.
> mit den Axiomen vereinbar ist. Da nirgendwo festgelegt ist wie ein
Wie ich die Zunft kenne, in deren Meinung wohl schon; meiner Meinung nach
nicht - da st�ren mich die geschweiften Klammer und �berdies w�ren es nur die
H�lfte - was vielleicht damit zu tun hat, dass ich in Peano nur eine �u�erst
reduzierte Variante der "nat�rlichen Zahlen" sehe, wobei mir obendrein die
Induktionsformulierung problematisch erscheint (damit wollen sie vermutlich
ihr unendlich-Trauma, "alle" zu bekommen, sophistisch hinbiegen). Ohne Peano 5
wird eigentlich nur eine Strichliste mit Anfang, Vorg�nger und Nachfolger als
"Einzelg�nger" und damit eine Ordnung (vor-nach) gebildet. Die nat�rlichen
Zahlen, so wie wir sie kennen, beinhalten nat�rlich ;-) weit mehr. Und damit
greift der alte Goethe wieder einmal: "Die Mathematiker sind eine Art
Franzosen: redet man zu ihnen, so �bersetzen sie es in ihre Sprache, und dann
ist es alsbald ganz etwas Anderes." [Goethe, Brief an Zelter am 17.5.1829).
Korrekt w�re: die "nat�rlichen Zahlen" der Peanoaxiome "Peano-Zahlen" zu
nennen. Aber: Korrekt und Mathe ..?
> Nachfolger aussieht oder gebildet wird ist die Menge G die (oder eine)
> Menge der nat. Zahlen nach Peano.
> Beantwortet das Deine Frage nach L�cken?
>
Nein. Ist aber auch nicht so wichtig. Von einigen Dominanten in dieser Gruppe
d�rfte ohnehin nicht viel Erhellendes zu den Grundlagen zu erwarten sein. Dazu
geh�rte ja elementar, dass man ordentlich erkl�ren kann und will, was "..."
bedeuten soll. Vielleicht geht das aber tiefer und es betrifft nicht nur
einige Dominante - nicht selten eifernde Sch�umer und Keifer - sondern die
meisten, weil sie die Grundlagen des Denkens gar nicht lernen, vielleicht auch
gar nicht lernen wollen.
> Gru�
> Albrecht
>
Rudolf Sponsel, Erlangen
Wolfgang Meiners
> [...]
> Wenn ich die Eigenschaften einer Folge axiomatisiere, dann fehlt aber
> sie?
> [...]
Wenn ich dich richtig verstanden habe, m�chtest du nicht nur eine
"nackte" Menge mit nicht mehr als der Nachfolgereigenschaft, so wie sie
durch die Peano-Axiome definiert wird, sondern noch etwas
"strukturelles", wie die Addition.
Warum eigentlich gerade die Addition und nicht die Ordnungsrelation?
Oder die auch?
Und wenn schon Addition und Ordnungsrelation, warum nicht auch noch die
Multiplikation?
Man k�nnte dieses Spiel weiter treiben und die Mathematiker betreiben ja
auch alle diese Dinge mit den nat�rlichen Zahlen. Die Mathematik w�re
ziemlich langweilig, wenn mit den Peanoschen Axiomen alles wesentliche
�ber die nat�rlichen Zahlen gesagt w�re.
Es gibt aber gute Gr�nde, sich mit einer m�glichst kargen Definition
zufrieden zu geben und darin nicht eine Einschr�nkung, sondern sogar
einen Gewinn zu sehen. Wenn man das begreifen will, sollte man sich
damit besch�ftigen, was Axiomensystem eigentlich sind.
Zum Schluss ein Beispiel, in dem die Struktur der Addition eher
irritierend w�re: Nehmen wir ein Warenwirtschaftssystem, in dem jeder
eingepflegte Artikel eine nat�rliche Zahl als Schl�ssel zugewiesen
bekommt. Dazu braucht man vereinfacht gesagt nicht mehr, als einen
Anfang, eine Nachfolgeroperation, die Sicherheit, nicht in eine Schleife
zu geraten und die Sicherheit, immer weiter machen zu k�nnen. Eine
Addition w�re in diesem Zusammenhang �berhaupt nicht hilfreich. Warum
sollte z.B. id(Wurst) + id(K�se) = id(Milch) sein und id(Milch) -
id(K�se) gehen, aber id(K�se) - id(Milch) nicht?
Gr��e
Wolfgang
WM
> Hero schrieb:
>
> > [...]
> > Wenn ich die Eigenschaften einer Folge axiomatisiere, dann fehlt aber
> > sie?
> > [...]
>
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, möchtest du nicht nur eine
> "nackte" Menge mit nicht mehr als der Nachfolgereigenschaft, so wie sie
> durch die Peano-Axiome definiert wird, sondern noch etwas
> "strukturelles", wie die Addition.
>
> Warum eigentlich gerade die Addition und nicht die Ordnungsrelation?
> Oder die auch?
Die ist sowieso immer da.
Es steht nicht so, daß eine abzählbare Menge unabhängig von einem die
Wohlordnung festlegenden Bildungsgesetz gegeben sein könnte, so daß
"im nachhinein“ die Aufgabe, sie wohlzuordnen entstünde, sondern ein
solches Bildungsgesetz ist bereits im Begriff der abzählbaren Menge
enthalten. Zu der Vorstellung von nicht wohlgeordneten – und a
fortiori von nicht geordneten – unendlichen Mengen kommt es lediglich
dadurch, daß man die im Mächtigkeitskalkül vorausgesetzte Beliebigkeit
der Ordnung fälschlich für Unabhängigkeit von irgend einer Ordnung
hält. (Kaufmann. Vorabdruck aus KB 100521)
Gruß, WM
Hero
> Hero schrieb:
>
> > [...]
> > Wenn ich die Eigenschaften einer Folge axiomatisiere, dann fehlt aber
> > sie?
> > [...]
>
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, möchtest du nicht nur eine
> "nackte" Menge mit nicht mehr als der Nachfolgereigenschaft, so wie sie
> durch die Peano-Axiome definiert wird, sondern noch etwas
> "strukturelles", wie die Addition.
Ja.
>
> Warum eigentlich gerade die Addition und nicht die Ordnungsrelation?
> Oder die auch?
Die Ordnungsrelation kann man aus den Folgeeigenschaften ableiten.
>
> Und wenn schon Addition und Ordnungsrelation, warum nicht auch noch die
> Multiplikation?
Die auch.
>
> Man könnte dieses Spiel weiter treiben und die Mathematiker betreiben ja
> auch alle diese Dinge mit den natürlichen Zahlen. Die Mathematik wäre
> ziemlich langweilig, wenn mit den Peanoschen Axiomen alles wesentliche
> über die natürlichen Zahlen gesagt wäre.
>
> Es gibt aber gute Gründe, sich mit einer möglichst kargen Definition
> zufrieden zu geben und darin nicht eine Einschränkung, sondern sogar
> einen Gewinn zu sehen. Wenn man das begreifen will, sollte man sich
> damit beschäftigen, was Axiomensystem eigentlich sind
Wenn man zu wenig Axiome hat, dann bekommt man nur ein
abgemagertes System. Ohne 5. Axiom bei Euklid bekommst
Du nie zum Satz von Pythagoras.
>
> Zum Schluss ein Beispiel, in dem die Struktur der Addition eher
> irritierend wäre: Nehmen wir ein Warenwirtschaftssystem, in dem jeder
> eingepflegte Artikel eine natürliche Zahl als Schlüssel zugewiesen
> bekommt. Dazu braucht man vereinfacht gesagt nicht mehr, als einen
> Anfang, eine Nachfolgeroperation, die Sicherheit, nicht in eine Schleife
> zu geraten und die Sicherheit, immer weiter machen zu können. Eine
> Addition wäre in diesem Zusammenhang überhaupt nicht hilfreich. Warum
> sollte z.B. id(Wurst) + id(Käse) = id(Milch) sein und id(Milch) -
> id(Käse) gehen, aber id(Käse) - id(Milch) nicht?
>
Hier bringst Du die Waren in eine Reihenfolge, wofür Du die
natürlichen Zahlen benutzt. Das Rechnen kann man daraus
nicht ableiten und meines Erachtens auch nicht aus den
Peano-Axiomen.
Andres Beispiel: meine Abstammung in männlicher Linie von
Karl dem Großen. Sie beginnt mit Karl, dann kommt Pippin,
dann Johannes usw. Diese Folge erfüllt die Peano-Axiome.
Aber ich kann noch nicht rechnen. Pippin + Karl =|= Johannes.
Karl nicht, besser die Eins: die Eins gibt's in vielen Exemplaren und
die kann ich stets hinzufügen um zum Nachfolger zu gelangen.
Das muss sich in den Axiomen ausdrücken.
Mit freundlichen Grüßen
Hero
Wolfgang Meiners
> On 18 Mai, 18:56, Wolfgang Meiners <WolfgangMeiner...@web.de> wrote:
>> Hero schrieb:
>>
>>> [...]
>>> Wenn ich die Eigenschaften einer Folge axiomatisiere, dann fehlt aber
>>> sie?
>>> [...]
>> Wenn ich dich richtig verstanden habe, m�chtest du nicht nur eine
>> "nackte" Menge mit nicht mehr als der Nachfolgereigenschaft, so wie sie
>> durch die Peano-Axiome definiert wird, sondern noch etwas
>> "strukturelles", wie die Addition.
>>
>> Warum eigentlich gerade die Addition und nicht die Ordnungsrelation?
>> Oder die auch?
>
> Die ist sowieso immer da.
Mit den Peano-Axiomen ist ja lediglich zu jeder nat�rlichen Zahl der
Nachfolger festgelegt. Hierdurch dr�ngt sich zwar eine Ordnung R(n,m)
f�r beliebige nat�rliche Zahlen n,m geradezu auf, man muss sie aber erst
noch formulieren und ihre Eigenschaften nachweisen - oder sollte ich
mich da t�uschen?
>
> Es steht nicht so, da� eine abz�hlbare Menge unabh�ngig von einem die
> Wohlordnung festlegenden Bildungsgesetz gegeben sein k�nnte, so da�
die Forderung, jede nat�rliche Zahl habe einen Nachfolger, ist ja ein
Bildungsgesetz aus dem sich die Wohlordnung ergibt. Die Wohlordnung ist
aber erst gegeben, wenn sie formuliert und ihre Eigenschaften
nachgewiesen sind.
> "im nachhinein� die Aufgabe, sie wohlzuordnen entst�nde, sondern ein
> solches Bildungsgesetz ist bereits im Begriff der abz�hlbaren Menge
> enthalten. Zu der Vorstellung von nicht wohlgeordneten � und a
> fortiori von nicht geordneten � unendlichen Mengen kommt es lediglich
> dadurch, da� man die im M�chtigkeitskalk�l vorausgesetzte Beliebigkeit
> der Ordnung f�lschlich f�r Unabh�ngigkeit von irgend einer Ordnung
> h�lt. (Kaufmann. Vorabdruck aus KB 100521)
>
> Gru�, WM
Gr��e
Wolfgang
Ralf Bader
> Wolfgang wrote:
>> Zum Schluss ein Beispiel, in dem die Struktur der Addition eher
>> irritierend wäre: Nehmen wir ein Warenwirtschaftssystem, in dem jeder
>> eingepflegte Artikel eine natürliche Zahl als Schlüssel zugewiesen
>> bekommt. Dazu braucht man vereinfacht gesagt nicht mehr, als einen
>> Anfang, eine Nachfolgeroperation, die Sicherheit, nicht in eine Schleife
>> zu geraten und die Sicherheit, immer weiter machen zu können. Eine
>> Addition wäre in diesem Zusammenhang überhaupt nicht hilfreich. Warum
>> sollte z.B. id(Wurst) + id(Käse) = id(Milch) sein und id(Milch) -
>> id(Käse) gehen, aber id(Käse) - id(Milch) nicht?
>>
> Hier bringst Du die Waren in eine Reihenfolge, wofür Du die
> natürlichen Zahlen benutzt. Das Rechnen kann man daraus
> nicht ableiten und meines Erachtens auch nicht aus den
> Peano-Axiomen.
Dein Erachten ist falsch.
> Andres Beispiel: meine Abstammung in männlicher Linie von
> Karl dem Großen. Sie beginnt mit Karl, dann kommt Pippin,
> dann Johannes usw. Diese Folge erfüllt die Peano-Axiome.
Nein.
> Aber ich kann noch nicht rechnen. Pippin + Karl =|= Johannes.
> Karl nicht, besser die Eins: die Eins gibt's in vielen Exemplaren und
> die kann ich stets hinzufügen um zum Nachfolger zu gelangen.
> Das muss sich in den Axiomen ausdrücken.
http://www.nikolajpedersen.com/papers/SolvingTheCaesarProblemWithoutCategoricalSortalsErkenntnis.pdf
Ralf
Albrecht
> Hero wrote:
> > Wolfgang wrote:
> >> Zum Schluss ein Beispiel, in dem die Struktur der Addition eher
> >> irritierend wäre: Nehmen wir ein Warenwirtschaftssystem, in dem jeder
> >> eingepflegte Artikel eine natürliche Zahl als Schlüssel zugewiesen
> >> bekommt. Dazu braucht man vereinfacht gesagt nicht mehr, als einen
> >> Anfang, eine Nachfolgeroperation, die Sicherheit, nicht in eine Schleife
> >> zu geraten und die Sicherheit, immer weiter machen zu können. Eine
> >> Addition wäre in diesem Zusammenhang überhaupt nicht hilfreich. Warum
> >> sollte z.B. id(Wurst) + id(Käse) = id(Milch) sein und id(Milch) -
> >> id(Käse) gehen, aber id(Käse) - id(Milch) nicht?
>
> > Hier bringst Du die Waren in eine Reihenfolge, wofür Du die
> > natürlichen Zahlen benutzt. Das Rechnen kann man daraus
> > nicht ableiten und meines Erachtens auch nicht aus den
> > Peano-Axiomen.
>
> Dein Erachten ist falsch.
>
> > Andres Beispiel: meine Abstammung in männlicher Linie von
> > Karl dem Großen. Sie beginnt mit Karl, dann kommt Pippin,
> > dann Johannes usw. Diese Folge erfüllt die Peano-Axiome.
>
> Nein.
>
Wenn Karl=0 ist und die Folge unbeschränkt über Hero hinausgeht wohl.
AS
Hero
> Hero wrote:
> > Wolfgang wrote:
> >> Zum Schluss ein Beispiel, in dem die Struktur der Addition eher
> >> irritierend wäre: Nehmen wir ein Warenwirtschaftssystem, in dem jeder
> >> eingepflegte Artikel eine natürliche Zahl als Schlüssel zugewiesen
> >> bekommt. Dazu braucht man vereinfacht gesagt nicht mehr, als einen
> >> Anfang, eine Nachfolgeroperation, die Sicherheit, nicht in eine Schleife
> >> zu geraten und die Sicherheit, immer weiter machen zu können. Eine
> >> Addition wäre in diesem Zusammenhang überhaupt nicht hilfreich. Warum
> >> sollte z.B. id(Wurst) + id(Käse) = id(Milch) sein und id(Milch) -
> >> id(Käse) gehen, aber id(Käse) - id(Milch) nicht?
>
> > Hier bringst Du die Waren in eine Reihenfolge, wofür Du die
> > natürlichen Zahlen benutzt. Das Rechnen kann man daraus
> > nicht ableiten und meines Erachtens auch nicht aus den
> > Peano-Axiomen.
>
> Dein Erachten ist falsch.
Aha.
>
> > Andres Beispiel: meine Abstammung in männlicher Linie von
> > Karl dem Großen. Sie beginnt mit Karl, dann kommt Pippin,
> > dann Johannes usw. Diese Folge erfüllt die Peano-Axiome.
>
> Nein.
Ich wollte Wolfgang doch das Wesentliche zeigen:
Karl erzeugt Pippin, Pippin erzeugt Johannes, usw hintereinanderweg.
Ein zeitliches Nacheinander, um nicht zu sagen "sukzessive" -
das ist die Folge-Eigenschaft, darum heißt es übrigens "Nachfolger".
Hier und bei Peano erzeugt Pippin Johannes,aber nicht mit Karl.
Bei den natürlichen Zahlen erzeugt dagegen die Eins mit jeder Zahl
den Nachfolger der Zahl, auch mit sich selbst die Zwei. Eins ist die
Basis (minimales Erzeugendensystem)der natürlichen Zahlen.
>
> > Aber ich kann noch nicht rechnen. Pippin + Karl =|= Johannes.
> > Karl nicht, besser die Eins: die Eins gibt's in vielen Exemplaren und
> > die kann ich stets hinzufügen um zum Nachfolger zu gelangen.
> > Das muss sich in den Axiomen ausdrücken.
>
> http://www.nikolajpedersen.com/papers/SolvingTheCaesarProblemWithoutC...
Jetzt weiß ich endlich, wo Hilbert seine Bierseidel herhat.
Man muß jederzeit statt Eins auch Karl bzw Caesar sagen
können. Manchmal sagt man sogar: Karl, der Erste, gefolgt von Karl,
dem
Zweiten. Abfolge, kein Rechnen ( Karl der Zweite hinzugefügt zu Karl,
dem Ersten ergeben nie Karl den Dritten).
Du meinst wohl, daß die Peano-Axiome die natürlichen Zahlen
definieren und das Rechnen dann keiner Axiome bedarf, sondern
durch Definitionen daraus gefolgert werden kann.
Mit freundlichen Grüßen
Hero
Hero
> Es gibt aber gute Gründe, sich mit einer möglichst kargen
> Definition zufrieden zu geben und darin nicht eine Einschränkung,
> sondern sogar einen Gewinn zu sehen. Wenn man das begreifen will,
Was hälst Du und andere von folgender Definition?:
Seien A,B,C,D Mengen.
A c B ==> A = { } , dann | B | := @ (alpha).
Wenn jede echte Teilmenge von B die leere Menge ist, dann
ist Betrag B definiert als @.
Sei |D| definiert als p und sei |A| = @ und sei D n A = { },
dann gilt | D u A | := p@ ( p@ ist der Nachfolger von @ ).
Somit ist der Nachfolger von @ eben @@, und der Nachfolger
des Nachfolgers von @ eben @@@.
Daraus kann ich jetzt die Peano-Axiome folgern.
Diese rekursive Definition legt auch die Ordnung fest, weil sie
die zeitliche Abfolge der Erzeugung wiedergibt.
Diese Definition des Betrags einer Menge läßt von den Eigenschaften
einer Menge nur noch ihre Anzahl übrig.
Aus der Definition kann man übrigens folgern:
Sei | B | = | C |, dann ist nicht notwendig b = c für b € B und c €
C.
Jetzt habe ich allerdings noch nicht die natürlichen
Zahlen definiert. Ich kann jetzt zählen, doch noch nicht rechnen.
Und ich habe nicht für jede Menge ihren Betrag definiert, aber
das brauchen wir hier auch nicht.
Mit freundlichen Grüßen
Hero
Hero
Schreibfehler
> Sei |D| definiert als p und sei |A| = @ und sei D n A = { },
> dann gilt | D u A | := p@ ( p@ ist der Nachfolger von @ ).
> Somit ist der Nachfolger von @ eben @@, und der Nachfolger
> des Nachfolgers von @ eben @@@.
>
Es muß doch heißen:
( p@ ist der Nachfolger von p ).
Tut mir leid.
Hero
Franz Fritsche
> [...] Das Rechnen kann man daraus nicht ableiten und meines
> Erachtens auch nicht aus den Peano-Axiomen.
??? Mir ist der Sinn Deiner Aussage/Behauptung nicht ganz klar.
Bekanntlich k�nnen die Operationen der Addition und Multiplikation auf der
Basis der Peano-Axiome _definiert_ werden. Und die "funktionieren" dann so,
wie wir das von ihnen erwarten. Nat�rlich kann man sagen/behaupten, dass
die Addition (z. B.) durch eine mengenbasierte Definition "in ihrem Wesen"
besser erfasst wird - oder whatever.
Also, es gelte |N| = n und |M| = m (mit N n M = 0), dann ist
n + m = |N u M|.
Da ist sicher was dran. Aber man _kann_ eben die Addition auch auf der
Basis der Peano-Axiome "einf�hren", mithilfe der rekursiven Def.:
An e IN: n + 0 = n
An,m e IN: n + m' = (n + m)'
Die so definierte Addition stimmt offenbar (auf IN) mit der
mengentheoretisch eingef�hrten/definierten �berein.
> Andres Beispiel: meine Abstammung in m�nnlicher Linie von
> Karl dem Gro�en. Sie beginnt mit Karl, dann kommt Pippin,
> dann Johannes usw. Diese Folge erf�llt die Peano-Axiome.
Nein. Denn entweder hat Hero (noch) keinen Nachfolger, oder aber Heros
Nachfolger hat noch keinen Nachfolger (nehme ich zumindest an). Is' also
nix mit "Diese Folge erf�llt die Peano-Axiome.".
> Aber ich kann noch nicht rechnen.
Das ist bedauerlich - hat man Dir das auf der Schule nicht beigebracht? ;-)
*SCNR*
> Pippin + Karl =|= Johannes.
Wenn wir nun (for the sake of the argument) _annehmen_, dass die m�nnliche
Linie von Karl dem Gro�en (als Menge aufgefasst) tats�chlich unendlich
viele Nachkommen enth�lt (und jede darin enthaltene Person lediglich/genau
EINEN m�nnl. Nachkommen hat), dann erf�llt diese Menge mit den Definitionen
IN := Die Menge der Nachkommen von K.d.G. inkl. ihm selbst
1 := Karl (d.G.)
n' := der (m�nnliche) Nachkomme von n (n e IN)
die Peanoaxiome (wo eines der Axiome "1 e N" lautet).
Wenn wir hier (wo das besagte Axiom "1 e N" lautet) nun die Addition _wie
�blich_ definieren mit
n + 1 = n'
n + m' = (n + m)' ,
dann gilt offenbar (im Widerspruch zu Deiner Behauptung oben):
Pippin + Karl = Johannes.
Beweis:
Pippin + Karl = Pippin + 1 = Pippin' = Johannes. []
MfG,
FF
P.S. Was die Peano-Axiome wirklich "definierten", sind nicht "die
nat�rlichen Zahlen", sondern eine /Progression/. ;-)
Franz Fritsche
>> Dein Erachten ist falsch.
>>
> Aha.
Ja, sehe ich auch so (soweit ich "Dein Erachten" verstanden habe). :-)
>>> Andres Beispiel: meine Abstammung in m�nnlicher Linie von
>>> Karl dem Gro�en. Sie beginnt mit Karl, �dann kommt Pippin,
>>> dann Johannes �usw. Diese Folge erf�llt die Peano-Axiome.
>>
>> Nein.
>>
> Ich wollte Wolfgang doch das Wesentliche zeigen:
> Karl erzeugt Pippin, Pippin erzeugt Johannes, usw hintereinanderweg.
> Ein zeitliches [und "logisches"] Nacheinander, um nicht zu sagen
> "sukzessive" - das ist die Folge-Eigenschaft, darum hei�t es �brigens
> "Nachfolger".
Schon recht. Nur ist diese "Folge" offenbar nicht unendlich. Und au�erdem
ist m. E. nicht sicher gestellt, dass jeder Nachfolger von Karl d. G.
wiederum _nur_ einen (oder �berhaupt einen, also GENAU einen) Nachfolger
hat(te).
> Hier und bei Peano erzeugt Pippin Johannes, aber nicht mit Karl.
�h? :-o
Du meinst es gilt mit der Definition
n' := der (m�nnliche) Nachkomme von n (n e IN)
die Aussage
Pippin' = Johannes .
Ja, das ist offenbar richtig. Und es gilt dann auch mit der Definition
1 := Karl (d. G.)
und der (in diesem Fall) _�blichen_ Definition der Addition
n + 1 = n'
n + m' = (n + m)' ,
dass
Pippin + Karl = Johannes
herleitbar/beweisbar ist.
Beweis:
Pippin + Karl = Pippin + 1 = Pippin' = Johannes. []
Wobei nat�rlich
Pippin' = Johannes
als gegeben angenommen wird. (Sonst w�rden ja, die Elemente Johannes und
Pippin in keinerlei -explizit gegebenen- Beziehung stehen.)
> Bei den nat�rlichen Zahlen erzeugt dagegen die Eins mit jeder Zahl
> den Nachfolger der Zahl,
Es ist de facto _umgekehrt_! :-)
Denn es wird _definiert_
n + 1 = n' .
Es ist dann nat�rlich _herleitbar_:
An e IN: n' = n + 1. (*)
> ... auch mit sich selbst die Zwei.
Das gilt nur mit der zus�tzlichen Definition
2 := 1' (**)
Aus (*) erhalten wir dann speziell f�r n = 1:
1' = 1 + 1;
also mit (**)
2 = 1 + 1.
> Eins ist die Basis (minimales Erzeugendensystem) der nat�rlichen Zahlen.
Nope. Bei den Peano-Axiomen bildet diese "Basis" (die die "Grund-"Beziehung
zwischen den Elementen von IN angibt/regelt, die Nachfolgerbeziehung.)
Und wenn wir als "ausgezeichnetes Element" die 0 annehmen, dann wird das
noch deutlicher.
Hier muss man _definieren_:
1 := 0' ,
um �berhaupt auf die eins (also 1) zu kommen! Und auch der Beweis f�r (*),
also
An e IN: n' = n + 1 ,
ist dann nicht mehr GANZ so trivial! :-)
Hier (in diesem Fall, also mit 0 als ausgez. Element) definiert man
�blicherweise die Addition so:
n + 0 = n
n + m' = (n + m)' ,
Dann haben wir (mit 1 := 0') f�r ein bel. n e IN:
n + 1 = n + 0' = (n + 0)' = n' . []
Also auch hier haben wir dann _hergeleitet_:
An e IN: n' = n + 1 (qed.)
> Jetzt wei� ich endlich, wo Hilbert seine Bierseidel her hat.
> Man muss jederzeit statt 1 auch Karl bzw. Caesar sagen k�nnen.
Genau so ist es! :-)
> Manchmal sagt man sogar: Karl, der Erste, gefolgt von Karl,
> dem Zweiten. Abfolge, kein Rechnen.
NOCH kein Rechnen - um auf dieser Menge rechnen zu k�nnen, muss man erst
mal die Addition (z. B.) auf dieser Menge _definieren_.
> Du meinst wohl, dass die Peano-Axiome die nat�rlichen Zahlen
> definieren
Vielleicht sagt man besser /charakterisieren/.
> und das Rechnen dann keiner Axiome bedarf, sondern
> durch Definitionen daraus gefolgert werden kann.
Man kann Definitionen als zus�tzliche Axiome /auffassen/. Aber es ist in
jedem Fall richtig: aus den Peano-Axiomen und den �blichen Definitionen f�r
+ und * kann man "arithmetische Gesetze" (also auch "das Rechnen")
herleiten/ableiten; das ist ja "der Witz" an den Peano-Axiomen! (Allerdings
wissen wir heute auch, dass dieses System nicht vollst�ndig ist. ;-)
F.
Bastian Erdnuess
> Du meinst wohl, daß die Peano-Axiome die natürlichen Zahlen
> definieren und das Rechnen dann keiner Axiome bedarf, sondern
> durch Definitionen daraus gefolgert werden kann.
Hast du mitbekommen, wie man das macht?
Gruß,
Bastian
Franz Fritsche
Vielleicht k�nnte man sagen, dass es die mengentheoretischen Def. der
Addition auf den "kardinalen Aspekt" der nat. Zahlen fu�t, w�hrend die Def.
der Addition im Kontext der Peano-Axiome auf dem "ordinalen Aspekt" der
nat. Zahlen beruht. Als "Grundgleichung" der "�bereinstimmung" dieser
beiden Auffassungen der nat. Zahlen k�nnte man vielleicht
n + 1 = n'
ansehen. :-)
MfG,
F.
Franz Fritsche
Vielleicht k�nnte man sagen, dass es die mengentheoretischen Def. der
Addition auf dem "kardinalen Aspekt" der nat. Zahlen fu�t, w�hrend die Def.
Franz Fritsche
Vielleicht k�nnte man sagen, dass die mengentheoretischen Def. der Addition
auf dem "kardinalen Aspekt" der nat. Zahlen fu�t, w�hrend die Def. der
Addition im Kontext der Peano-Axiome auf dem "ordinalen Aspekt" der nat.
Zahlen beruht. Als "Grundgleichung" der "�bereinstimmung" dieser beiden
Auffassungen/Aspekte der nat. Zahlen k�nnte man vielleicht
Franz Fritsche
> Wenn ich Albrecht richtig verstehe, dann vermisst er an den Peano-Axiomen
> zweierlei, sofern sie die nat�rlichen Zahlen definieren sollen:
Anmerkung: Ich w�rde hier den Ausdruck /charakterisieren/ vorziehen.
> 1. Man kann mit Objekten, die die PA erf�llen, im allgemeinen nicht etwas
> abz�hlen.
Oh, kann man wohl! :-)
> Die letzte beim Z�hlen erreichte Zahl muss die M�chtigkeit der [abgez�hlten]
> endlichen Menge angeben.
Genau diesen Umstand macht man sich beim (Ab-)Z�hlen zunutze! :-)
Beispiel: Gegeben sei die endliche Menge A = {a, b, c} mit a =/= b, a =/= c
und b =/= c. Ich m�chte nun gerne durch "z�hlen" die Anzahl der Element in
A (oder wie man auch sagt, die M�chtigkeit der Menge A) bestimmen.
Dazu greife ich ein bel. Element aus A heraus, nennen wir es x, "streiche"
es in A, bilde also A' = A \ {x}, und notiere mir "parallel" dazu die
erste/kleinste nat�rliche Zahl nach den Peano-Axiomen (die hier als mit 1
beginnend vorausgesetzt werden sollen) - also 1.
Dann greife ich ein bel. Element aus A' heraus, nennen wir es y, "streiche"
es in A', bilde also A'' = A' \ {y}, und notiere mir "parallel" dazu die
n�chste nat�rliche Zahl nach der oben hingeschriebenen (d.h. den Nachfolger
von 1) - also 1'.
Dann greife ich ein bel. Element aus A'' heraus, nennen wir es z,
"streiche" es in A'', bilde also A''' = A'' \ {z}, und notiere mir
"parallel" dazu die n�chste nat�rliche Zahl nach der oben hingeschriebenen
(d. h. den Nachfolger von 1') - also 1''.
Diesen Prozess wiederhole ich solange, bis kein Element mehr in der
Restmenge A'...' enthalten ist. Wie wir wissen (und wie man leicht selbst
ausprobieren kann), ist das bei der hier vorausgesetzten Menge A nach
obigem Schritt der Fall. Die zuletzt notierte nat. Zahl (in diesem Fall
1'') gibt dann die Anzahl der Element in A an.
Wie wollen das wie folgt ausdr�cken:
|A| = 1'' .
Wenn wir hier auch noch die _�blichen_ Definitionen:
2 := 1'
3 := 2'
heranziehen, dann k�nnen wir auch schreiben:
|A| = 1'' = 2' = 3 ,
bzw.
|{a, b, c}| = 3 , (mit a =/= b, a =/= c und b =/= c)
was zweifellos in �bereinstimmung mit der "Intuition" ist. :-)
Das (Ab-)Z�hlen funktioniert also!
> 2. Die PA erkl�ren nicht, wieso auf die Zahl 999 [...] die Zahl 1000
> [...] folgt.
Doch, doch - allerdings NUR wenn man noch die �blichen Definitionen f�r die
ZAHLDARSTELLUNG heranzieht. (In diesem Fall, neben den Definitionen f�r die
einzelnen _Ziffern_, auch noch die Definitionen f�r die Dezimaldarstellung
einer nat. Zahl.)
Um die Erkl�rung zu vereinfachen, betrachte ich einfach nur die Frage,
wieso auf die Zahl 8 die Zahl 9 folgt. :-)
Nun, ganz einfach, weil wir �blicherweise die "Ziffern" wie folgt
definieren - wenn wir die Zahl Null als gegeben voraussetzen (also als
ausgezeichnetes Element in den Peano-Axiomen) und daf�r "0" schreiben:
1 := 0'
2 := 1'
3 := 2'
4 := 3'
5 := 4'
6 := 5'
7 := 6'
8 := 7'
9 := 8'
(Um nun von dem Zahlzeichen "9" auf das Zahlzeichen "10" f�r den Nachfolger
der Zahl 9 zu kommen, ben�tigen wir weitere Definitionen, die sich auf die
Dezimalschreibweise der nat. Zahlen beziehen.)
Nun ist also (per definitionem)
8' = 9 ;
mit anderen Worten, es gilt (f�r die Menge der nat. Zahlen) der Satz:
"Auf die Zahl 8 folgt (unmittelbar) die Zahl 9."
Hoffe, dass diese Erkl�rungen hilfreich waren.
F.
WM
> WM schrieb:
>
>
>
>
>
> > On 18 Mai, 18:56, Wolfgang Meiners <WolfgangMeiner...@web.de> wrote:
> >> Hero schrieb:
>
> >>> [...]
> >>> Wenn ich die Eigenschaften einer Folge axiomatisiere, dann fehlt aber
> >>> sie?
> >>> [...]
> >> Wenn ich dich richtig verstanden habe, möchtest du nicht nur eine
> >> "nackte" Menge mit nicht mehr als der Nachfolgereigenschaft, so wie sie
> >> durch die Peano-Axiome definiert wird, sondern noch etwas
> >> "strukturelles", wie die Addition.
>
> >> Warum eigentlich gerade die Addition und nicht die Ordnungsrelation?
> >> Oder die auch?
>
> > Die ist sowieso immer da.
>
> Nachfolger festgelegt. Hierdurch drängt sich zwar eine Ordnung R(n,m)
> für beliebige natürliche Zahlen n,m geradezu auf, man muss sie aber erst
> noch formulieren und ihre Eigenschaften nachweisen - oder sollte ich
Ja. Die natürlichen Zahlen bilden eine Folge (die man auch als eine
geordnete Menge bezeichnen kann) und die aus der Addition von 1 zu n
(n bezeichnet hier eine vorhandene Zahl wie z. B. 1) hervorgegangen
sind. Wenn es den Peano Axiomen gelingt, sie zu beschreiben - ob mit
oder ohne Ordnung - nun, dann ist das schön für die Peano-Axiome. Die
Existenz und die Eigenschaften der natürlichen Zahlen werden dadurch
nicht beeinträchtigt und erst recht nicht geschaffen.
Sie sind die Grundlage der Arithmetik. Nicht irgendwelche Axiome, die
mit Mühe sie nachzubilden suchen.
Wenn einer, der mit Mühe kaum
Gekrochen ist auf einen Baum,
Schon meint, dass er ein Vogel wär,
So irrt sich der.
Wilhelm Busch.
Gruß WM
Rainer Rosenthal
> Wenn einer, der mit Mï¿œhe kaum
> Gekrochen ist auf einen Baum,
> Schon meint, dass er ein Vogel wï¿œr,
> So irrt sich der.
Hat er sich ins Geï¿œst gequï¿œlt,
und meint, er hï¿œtt' was abgezï¿œhlt,
verwechselt dabei Zweig und Blatt,
kann's sein, dass er 'nen Vogel hat.
Gruￜ,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
WM
> > Gekrochen ist auf einen Baum,
> > So irrt sich der.
>
> Hat er sich ins Geäst gequält,
> und meint, er hätt' was abgezählt,
> verwechselt dabei Zweig und Blatt,
> kann's sein, dass er 'nen Vogel hat.
Abzählen? Das tut nicht not,
Limitieren ist's Gebot!
Und wer richtig abgeschätzt -
lacht zuletzt.
Gruß, WM
Helmut B�ch
> "Helmut B�ch" <hel...@buech-gifhorn.de> writes:
>
>>> Hofknicks nach Augsburg?
>> Wieso? Herr Mixa ist doch in der Schweiz!?
> Offensichtlich ist der in Augsburg wohl nicht der Einzige.
>
>> Wenn ich Albrecht richtig verstehe, dann vermisst er an den Peano-Axiomen
>> 1. Man kann mit Objekten, die die PA erf�llen, im allgemeinen nicht etwas
>> endlichen Menge angeben.
> Tut sie das Ihrer Meinung nach denn nicht?
> (Vielleicht haben Sie es auch nicht verstanden, dass die Objekte der
> Folge (0, 2, 4, ...) zu verwenden, so wird die nat�rliche Zahl 1 eben
> mit "2" bezeichnet. Ich habe mich aufrichtig bem�ht darzulegen, dass in
> diesem Fall die Symbole eben eine andere Bedeutung haben: "4" bedeutet die
> sodass mit Albrechts Symbolen dann eben zB. gilt "4"*"6" = "12".
> in das neue Gewand: Im 2. Beispiel bedeutet eben "3.11" nicht die Zahl
> Die Schwierigkeit bei diesen Beispielen besteht wohl darin, dass
> Zahlenfolgen verwendet werden, die bereits eine bestimmte Bedeutung
> Bedeutung.
> Unser lieber Freund in Augsburg hat auch mal die Folge (1, 1/2, 1/3,
> auch diese Folge ein einwandfreies Modell; die Addition w�rde etwas
> seltsam aussehen:
> zB. 1/2 + 1/3 = 1/5
> Wenn Sie sich aber vorstellen, dass ein Mathematiker
> schreiben, w�ren wir wieder beim klassischen Modell. F�r Bruchrechnungen
> m�sste man sich wohl eine etwas andere Notation aussuchen.
> Man k�nnte aber die Zeichenfolge "1/" auch als Formatierungstag
> betrachten: "Achtung, die folgenden Ziffern bezeichnen eine Zahl".
> spa�halber M�nnchen oder Alph�rner dr�bermalt.)
>
>> 2. Die PA erkl�ren nicht, wieso auf die Zahl 999 (r�misch: IM) die Zahl
>> 1000
> Das ist auch nicht die Aufgabe der Axiome. Sie legen nur fest, *dass* auf
> die 999 die 1000 kommt, wie immer das Objekt dargestellt wird.
> festgelegte weitere Zahl kommt. Jede vern�nftige Vorschrift, die dies
> f�r jede Zahl leistet, ist ein geeignetes Modell f�r die nat�rlichen
> Zahlen.)
>>
>> Die r�mische Zahlenschreibweise habe ich hinzugef�gt um zu verdeutlichen,
>> dass es Albrecht auf den Querstrich bei der 7 oder �berhaupt auf die
>> Zahlendarstellung wohl nicht ankommt.
> Das hoffe ich auch.
>> Problem, auf das Albrecht hingewiesen hat, eingegangen w�rde, statt
>> Vermutungen zu Albrechts Bildungsgang anzustellen
>
> alles besser als die Mathematiker, wird die Frage wohl erlaubt sein, ob
> er jemals eine Uni von innen gesehen hat und was er sonst noch in dieser
> Kunst hervorgebracht hat.
> andauernden Tiraden auf die Verbl�dung der Mathematik) ist erb�rmlich:
> Ein paar verungl�ckte Beweis- und Definitionsversuche. Ich jedenfalls
> schlie�e aus diesen Fragmenten, dass er vor einiger Zeit ein paar
> Analysiseinheiten besucht hat, aber kl�glich gescheitert ist.
> Jetzt will er halt nicht wahrhaben, dass sein Unverm�gen daran schuld
> gewesen sein k�nnte und tut so, als w�re er die oberste
> Mathematikinstanz.
>
> Alois
Zur Sache: Mir f�llt auf, dass zum Abz�hlen der Elemente einer endlichen
Menge mit Hilfe einer Folge, die zwar den Peano-Axiomen gen�gt, aber nicht
mit den nat�rlichen Zahlen identisch ist, immer auf die nat�rlichen Zahlen
rekurriert wird, sei es bei dem hier des �fteren genannten Beispiel 0, 2, 4,
... , bei dem den geraden Zahlen jeweils ihre H�lfte zugeordnet werden muss,
um damit z�hlen zu k�nnen oder auch das von Franz Fritsche gebrachte
Beispiel, wo eine drei-elementige Menge abgez�hlt wird, indem 1=1, 1'=2 und
1'' = 3 gesetzt wird.
Bedeutet das nicht, dass die PA nur dann zum Z�hlen zu gebrauchen sind, wenn
die nat�rlichen Zahlen bekannt sind und eine eineindeutige Zuordnung
erfolgt?
Und hie�e das nicht weiter, dass eine DEFINITION der nat. Zahlen durch die
PA zirkul�r w�rde?
Dann best�nde der Nutzen der PA nur darin, eine wichtige Eigenschaft der
nat. Zahlen abzubilden, was f�r manche Zecke immerhin ausreicht.
Und weshalb Franz auch statt "definieren" lieber von "charakterisieren"
sprechen w�rde Allerdings habe ich mit solcher Aufweichung ein Problem: es
ist n�mlich eine Definition nichts anderes als eine eindeutige
Charakterisierung.
Gr��e, Helmut
Franz Fritsche
> WM schrieb:
>>
>> Wenn einer, der mit M�he kaum
>> Gekrochen ist auf einen Baum,
>> Schon meint, dass er ein Vogel w�r,
>> So irrt sich der.
>>
> Hat er sich ins Ge�st gequ�lt,
> und meint, er h�tt' was abgez�hlt,
> verwechselt dabei Zweig und Blatt,
> kann's sein, dass er 'nen Vogel hat.
Ein Beitrag, der meine volle Zustimmung findet! ;-)
FF
P.S. Und wenn WM ein Affe w�r,
gefiele ihm das alles s��hr... :-)
Franz Fritsche
> Zur Sache: Mir f�llt auf, dass zum Abz�hlen der Elemente einer endlichen
> Menge mit Hilfe einer Folge, die zwar den Peano-Axiomen gen�gt, aber nicht
> mit den nat�rlichen Zahlen identisch ist, immer auf die nat�rlichen Zahlen
> rekurriert wird, ...
Das ist aber nur bei den hier gebrachten _Beispielen_ so; nicht grund-
s�tzlich!
(Gegen-)Beispiel: Wir betrachten die Menge w (aus der Mengenlehre), diese
enth�lt die leere Menge {} und mit jeder Menge x auch die Menge x u {x}
(und sonst nix).
Hier setzt man dann
IN := w
0 := {}
n' := n u {n} .
Dann sind (mit diesen Festlegungen) die Peano-Axiome wieder erf�llt.
> ... das von Franz Fritsche gebrachte Beispiel, wo eine drei-elementige
> Menge abgez�hlt wird, indem ... 1' =2 und 1'' = 3 gesetzt wird.
??? Nein. Sie verwechseln da was. Es wurde gesetzt/definiert:
2 := 1'
und
3 := 2' bzw. 3 := 1''.
1 ist dabei ein _undefinierter_ "Grundbegriff"; d. h. das Zahlzeichen "1"
gezeichnet in diesem Fall das "ausgezeichnete Element" in IN.
In dem oben er�hnten MODELL f�r die PA k�nnen wir setzen/definieren:
1 := 0' (= {{}})
2 := 1' (= {{}, {{}})
3 := 2' (= ... )
> Bedeutet das nicht, dass die PA nur dann zum Z�hlen zu gebrauchen sind,
> wenn die nat�rlichen Zahlen bekannt sind und eine eineindeutige Zuordnung
> erfolgt?
Nein, eben nicht. Man k�nnte auch fragen, was SIND denn die nat�rlichen
Zahlen, die sie hier so beil�ufig in ihre Frage mit einflie�en lassen?
Aber mal davon abgesehen; in obigem Beispiel haben wir die Objekte
{}, {{}}, {{}, {{}}, usw. ,
die wir lediglich mit den Zahlzeichen
"0", "1", "2", usw.
_bezeichnen_ und dann /nat�rliche Zahlen/ _nennen_.
Im Kontext der Mengenlehre ZFC "sind" das dann (per Def.) unsere "nat�r-
lichen Zahlen".
> Und hie�e das nicht weiter, dass eine DEFINITION der nat. Zahlen durch die
> PA zirkul�r w�rde?
Ja, das W�RE so. Ist es aber eben nicht.
> Dann best�nde der Nutzen der PA nur darin, eine wichtige Eigenschaft der
> nat. Zahlen abzubilden, was f�r manche Zwecke immerhin ausreicht.
Ja. Tats�chlich legen die PA die nat�rlichen Zahlen eben auch nur -wie man
sagt- "bis auf Isomorphie" fest.
Mit anderen Worten: Alle m�glichen Objekte, die eine /Progression/ bilden,
k�nnen als "nat�rliche Zahlen" im Sinne der PA herhalten.
Wenn wir von den PA, die das Axiome "1 e IN" enthalten (statt "0 e IN"),
ausgehen, dann k�nnten das die Objekte (Mengen)
{}, {{}}, {{}, {{}}, usw. (nach von Neumann)
aber auch
{}, {{}}, {{{}}}, usw. (nach Zermelo)
aber auch eine unendliche Liste (Folge) endlicher "Strichlisten"
|, ||, |||, usw.
sein. In letzterem Fall w�rden wir dann eben "Strichlisten" als "nat�rliche
Zahlen" _ansehen_. (Aber SIND deshalb Strichlisten DIE nat. Zahlen? - Wohl
kaum.)
> Und weshalb Franz auch statt "definieren" lieber von "charakterisieren"
> sprechen w�rde.
Genau.
Was die PA im Grunde /definieren/ ist eine /Progression/ (sagt B. Russell).
> Allerdings habe ich mit solcher Aufweichung ein Problem: es
> ist n�mlich eine Definition nichts anderes als eine eindeutige
> Charakterisierung.
Ja, das k�nnte man wohl so sagen. Und hier ist die Charakterisierung eben
in dem Sinne _nicht_ eindeutig, dass die "nat. Zahlen" eben nur bis auf
Isomorphie festgelegt/bestimmt sind.
Wo wird denn eigentlich (in der einschl�gigen Literatur) konkret behauptet,
die PA w�rden die nat. Zahlen _definieren_?
MfG,
FF
Franz Fritsche
> Zur Sache: Mir f�llt auf, dass zum Abz�hlen der Elemente einer endlichen
> Menge mit Hilfe einer Folge, die zwar den Peano-Axiomen gen�gt, aber nicht
> mit den nat�rlichen Zahlen identisch ist, immer auf die nat�rlichen Zahlen
> rekurriert wird, ...
Das ist aber nur bei den hier gebrachten _Beispielen_ so; nicht grund-
s�tzlich!
(Gegen-)Beispiel: Wir betrachten die Menge w (aus der Mengenlehre), diese
enth�lt die leere Menge {} und mit jeder Menge x auch die Menge x u {x}
(und sonst nix).
Hier setzt man dann
IN := w
0 := {}
n' := n u {n} .
Dann sind (mit diesen Festlegungen) die Peano-Axiome wieder erf�llt.
> ... das von Franz Fritsche gebrachte Beispiel, wo eine drei-elementige
> Menge abgez�hlt wird, indem ... 1' =2 und 1'' = 3 gesetzt wird.
??? Nein. Sie verwechseln da was. Es wurde gesetzt/definiert:
2 := 1'
und
3 := 2' bzw. 3 := 1''.
1 ist dabei ein _undefinierter_ "Grundbegriff"; d. h. das Zahlzeichen "1"
gezeichnet in diesem Fall das "ausgezeichnete Element" in IN.
In dem oben er�hnten MODELL f�r die PA k�nnen wir setzen/definieren:
1 := 0' (= {{}})
2 := 1' (= {{}, {{}})
3 := 2' (= ... )
> Bedeutet das nicht, dass die PA nur dann zum Z�hlen zu gebrauchen sind,
> wenn die nat�rlichen Zahlen bekannt sind und eine eineindeutige Zuordnung
> erfolgt?
Nein, eben nicht. Man k�nnte auch fragen, was SIND denn die nat�rlichen
Zahlen, die sie hier so beil�ufig in ihre Frage mit einflie�en lassen?
Aber mal davon abgesehen; in obigem Beispiel haben wir die Objekte
{}, {{}}, {{}, {{}}, usw. ,
die wir lediglich mit den Zahlzeichen
"0", "1", "2", usw.
_bezeichnen_ und dann /nat�rliche Zahlen/ _nennen_.
Im Kontext der Mengenlehre ZFC "sind" das dann (per Def.) unsere "nat�r-
lichen Zahlen".
> Und hie�e das nicht weiter, dass eine DEFINITION der nat. Zahlen durch die
> PA zirkul�r w�rde?
Ja, das W�RE so. Ist es aber eben nicht.
> Dann best�nde der Nutzen der PA nur darin, eine wichtige Eigenschaft der
> nat. Zahlen abzubilden, was f�r manche Zwecke immerhin ausreicht.
Ja. Tats�chlich legen die PA die nat�rlichen Zahlen eben auch nur -wie man
sagt- "bis auf Isomorphie" fest.
Mit anderen Worten: Alle m�glichen Objekte, die eine /Progression/ bilden,
k�nnen als "nat�rliche Zahlen" im Sinne der PA herhalten.
Wenn wir von den PA, die das Axiome "1 e IN" enthalten (statt "0 e IN"),
ausgehen, dann k�nnten das die Objekte (Mengen)
{{}}, {{}, {{}}, usw. (nach von Neumann)
aber auch
{{}}, {{{}}}, usw. (nach Zermelo)
aber auch eine unendliche Liste (Folge) endlicher "Strichlisten"
|, ||, |||, usw.
sein. In letzterem Fall w�rden wir dann eben "Strichlisten" als "nat�rliche
Zahlen" _ansehen_. (Aber SIND deshalb Strichlisten DIE nat. Zahlen? - Wohl
kaum.)
> Und weshalb Franz auch statt "definieren" lieber von "charakterisieren"
> sprechen w�rde.
Genau.
Was die PA im Grunde /definieren/ ist eine /Progression/ (sagt B. Russell).
> Allerdings habe ich mit solcher Aufweichung ein Problem: es
> ist n�mlich eine Definition nichts anderes als eine eindeutige
> Charakterisierung.
Ja, das k�nnte man wohl so sagen. Und hier ist die Charakterisierung eben
Hero
> Hero wrote:
> > [...] Das Rechnen kann man daraus nicht ableiten und meines
> > Erachtens auch nicht aus den Peano-Axiomen.
>
> ??? Mir ist der Sinn Deiner Aussage/Behauptung nicht ganz klar.
>
> Basis der Peano-Axiome _definiert_ werden. Und die "funktionieren" dann so,
> wie wir das von ihnen erwarten.
> P.S. Was die Peano-Axiome wirklich "definierten", sind nicht "die
> natürlichen Zahlen", sondern eine /Progression/. ;-)
Genau, eine Folge, das sag ich ja.
"...progression - i.e.any infinite series each of whose
members has only finitely many precursors.."(Quine 1960)
"Are the natural numbers just any progression? It is widely held that
Peano and Quine say yes, Russell no. Russell criticizes Peano, and
Peano and Quine criticize Russell."
http://www.members.tripod.com/~Jan_Dejnozka/abstracts.pdf
Ist doch schön, daß die Diskussion immer weiter geht.
Mit freundlichen Grüßen
Hero
Franz Fritsche
>> P.S. Was die Peano-Axiome wirklich "definierten", sind nicht "die
>>
> Genau, eine Folge, das sag ich ja.
Na ist doch sch�n, dass wir da einer Meinung sind. :-)
> "...progression - i.e.any infinite series each of whose
> members has only finitely many precursors.."(Quine 1960)
> "Are the natural numbers just any progression? It is widely held that
> Peano and Quine say yes, Russell no. Russell criticizes Peano, and
> Peano and Quine criticize Russell."
*grins*
Tatsache ist, dass die Mathematiker (in der Regel) damit zufrieden sind,
dass die Penao-Axiome die nat�rlichen Zahlen "bis auf Isomorphie" charak-
terisieren.
Wenn DIR das nicht reicht, dann solltest Du Dich mal mit der Schrift
"Grundlagen der Arithmetik" von Gottlob Frege auseinander setzen - darin
unternimmt er den Versuch, die "nat�rlichen Zahlen" als /Anzahlen/ (ein in
dieser Schrift definierter Begriff) einzuf�hren. Russell ist ihm darin
bekanntlich gefolgt. Und tats�chlich ist es im Rahmen der Mengentheorie
"New Foundations" (die sinnigerweise von Quine stammt) m�glich, die
nat�rlichen Zahlen _so_ einzuf�hren/definieren. (In den "�blichen" Mengen-
theorien, ZFC, NBG, MK, etc. funktioniert das leider nicht, so dass man
hier �blicherweise die Konstruktion von von Neumann zugrunde legt.)
FF