Carlo XYZ schrieb:
> Stephan Gerlach schrieb am 21.06.22 um 13:38:
>> Ralf Goertz schrieb:
>>> Am Sat, 18 Jun 2022 04:14:17 -0700 (PDT)
>>> schrieb Frank Gadin <
jonnywa...@googlemail.com>:
>>>
>>>> Hallo, folgende Frage (sicher kein Problem für Profis): Kann man eine
>>>> unendliche arithmetische Folge konstruieren, bei der alle Glieder die
>>>> Form a+1/a (a natürlich) haben ? Oder zeigen dass das nicht geht ?
>>>> Danke für einen Tipp. Gruß Frank
>
> [...]
>
>> Somit müßten weitere Annahmen über a, b und c gemacht werden, z.B.
>> sowas wie a<b<c, oder gewisse Teilbarkeits-Annahmen, oder einfach die
>> Tatsache, daß a, b und c natürliche Zahlen sind.
>
> Letzteres dürfte genügen (steht ja auch in der Aufgabenstellung).
>
> Ein Versuch - nicht ganz unkompliziert, kommt aber ohne "große a" aus:
>
> Wir suchen drei natürliche Zahlen a,b,c >= 1 mit:
>
> (1) a+1/a <= b+1/b <= c+1/c [ NB: / bindet stärker als + oder - ]
>
> (2) b+1/b - (a+1/a) = c+1/c - (b+1/b)
>
> (3) Weil f(x)=x+1/x für x>=1 monoton wächst,
> gilt das auch für a,b,c: o.B.d.A. also a<=b<=c.
>
> (4) Falls a=c, fallen a,b,c zusammen,
> und somit auch die Folgenterme in (1).
(4) ist einer der trivialen Fälle.
> Umformen von (2):
>
> (5) b - a + ((ac-bc)/(abc)) = c - b + ((ab-ac)/(abc))
>
> Da (b-a)-(c-b) ganzzahlig ist, gilt das auch für den Rest dieser Terme:
>
> (6) (ab-2ac+bc)/(abc) ist ganzzahlig.
>
> Also teilt abc die Zahl (ab-2ac+bc), und es gibt eine ganze Zahl x mit
>
> (7) xabc = ab-2ac-bc, d.h.: x = 1/c - 2/b + 1/a.
Ich glaube, zu diesem Schritt kann man auch einfacher ohne das ganze
Umformen direkt aus (2) übergehen:
(2) b+1/b - (a+1/a) = c+1/c - (b+1/b)
und daraus folgt
(5') 2b - a - c = 1/c - 2/b - 1/a.
Da die linke Seite von (5') ganzzanlig ist, gilt das auch für die rechte
Seite, also
(7') x = 1/c - 2/b + 1/a
mit x ∈ |Z.
BTW: Diese Ganzzahligkeit ist offenbar ein entscheidender Schritt im Beweis.
> Wir schränken x ein.
>
> 0<1/c<=1, weil c>=1.
>
> -2<=-2/b<0, weil b>=1.
>
> 0<1/a<=1, weil a>=1.
>
> Also -2 < 1/c - 2/b + 1/a < 2, d.h., x kann nur -1, 0 oder 1 sein.
Und genau hier ist offenbar der zweite entscheidende Schritt im Beweis;
gute Idee! Dadurch, daß es nur diese 3 Möglichkeiten für x gibt, ist man
quasi "fast fertig".
Ich hatte krampfhaft versucht, in (2) alle Nenner zu beseitigen und dann
über irgendwelche Faktorisierungen und/oder Teilbarkeitsargumente
weiterzukommen. Das hätte sicher irgendwie auch zum Ziel geführt.
Aber offenbar ist die Variante, die drei Brüche 1/c, 2/b und 1/a
beizubehalten, hier tatsächlich einfacher.
> Fall 1: x=-1. Dann -(abc) = ab-2ac+bc.
>
> Umformen: (2a-b)c = ab(c+1). Daraus folgt (c+1)/c = 2/b - 1/a.
>
> Wegen a<=b gilt (-1/a)<=(-1/b), woraus mit der Vorzeile (c+1)/c <= 1/b
> folgt, was wegen 1/b<=1 ein Widerspruch zu 1 < (c+1)/c ist.
Das Umformen kann man sich glaube ich sparen bzw. abkürzen. Wenn x=-1, dann
1/c - 2/b + 1/a = -1
Das jetzt am besten/einfachsten wie folgt umformen:
1/c + 1/a + 1 = 2/b
Auf der linken Seite steht eine Zahl echt >1.
Auf der rechten Seite ist, wenn b>=2, eine Zahl kleiner oder gleich 1.
(Der Fall b=1 führt zu a=1 und ebenfalls zum Widerspruch.)
Also:
1 < 1/c + 1/a + 1 = 2/b <= 1, Widerspruch.
> Fall 2: x=1.
Auch hier kann man die Argumentation vereinfach bzw. "abkürzen":
Wenn x=1, dann
1/c - 2/b + 1/a = 1
und daraus folgt direkt
1/a - 1 = 2/b - 1/c
und jetzt kann man "deine" Ungleichungskette anwenden:
0 < 1/c = 2/c - 1/c <= 2/b - 1/c = (1-a)/a <= 0, Widerspruch.
> Fall 3: x=0.
Hier kann man wieder direkt argumentieren:
1/c - 2/b + 1/a = 0
(a+c)/(ac) = 2/b
b(a+c) = 2ac [*]
und hier braucht man wohl doch die andere Gleichung
2b - a - c = 0
b = (a+c)/2
das dann in [*] einsetzen ergibt
(a+c)^2 / 2 = 2ac
was in wenigen Schritten auf a=c führt.
[...]
> also (a-b)/(ab) = (b-c)/(bc), also (wieder wegen b-a=c-b) a=c.
Das ist dann wohl sogar schneller als meine "direkte" Methode,
wenngleich man hier gezielt mit den Differenzen a-b und b-c arbeitet.
> Dann greift (4), und wir haben eine konstante arithmetische Folge.
Auf jeden Fall ist das damit gelöst, und deine Methode ist vom Prinzip
wohl der von Martin V. ähnlich.
Letztenendes muß man zahlreiche Fallunterscheidungen betrachten.