Summe der ersten n Quadrate: ein gutes Beispiel für die vollständige Induktion

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Rainer Rosenthal

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Aug 24, 2021, 2:53:32 PMAug 24
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Ich knüpfe an an den von Brigitta Jennen begonnenen Thread "Frage zu
vollst. Induktion" vom 11. August 2021.

Dort wurde das Prinzip der vollständigen Induktion erörtert, aber das
dabei verwendete Beispiel wäre genauso gut, wenn nicht gar besser,
direkt beweisbar gewesen.

Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
Induktion gar nicht beweisbar ist.

Satz:
Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang n=0: Sq(0) = 0 = 0^2 ist wahr.
Induktionsvoraussetzung: der Satz gilt für ein n >= 0.
Induktionsschritt:
Zeige, dass Sq(n) + 1/(n+1)^2 = Sq(n+1) ist.
(Wird dem Leser oder der Leserin überlassen)

...
Viel Vergnügen
...

Zum Nachdenken und zur Diskussion
=================================

Ich liebe dieses Beispiel, weil es nicht trivial ist.
Nach fünfmaligem Fluchen und nochmal Rechnen habe ich es endlich mit
Papier und Bleistift hinbekommen, aus dem Ansatz
Sq(n) = a + b*n + c*n^2 + d*n^3 die Koeffizienten zu bestimmen:
a = 0, b = 1/6, c = 1/2, d = 1/3.
Das ist ein durchaus cleverer Ansatz, der davon ausgeht, dass es eine
nicht allzu komplizierte Formel für Sq(n) geben müsste.
Setzt man dann nacheinander 0, 1, 2 und 3 für n ein, sieht man, dass
alle diese Gleichungen gelten müssen:
Sq(0) = 0^2 = 0, also
a + b*0 + c*0^2 + d*0^3 = 0, kurz: a = 0.
Sq(1) = 0^2 + 1^2 = 1, also
a + b*1 + c*1^2 + d*1^3 = 1, kurz: b + c + d = 1 (Gl. I)
Sq(2) = 0^2 + 1^2 + 2^2 = 5, also
a + b*2 + c*2^2 + d*2^3 = 5, kurz: 2b + 4c + 8d = 5 (Gl. II)
Sq(3) = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14, also
a + b*3 + c*3^2 + d*3^3 = 14, kurz: 3b + 9c + 27d = 14 (Gl. III)

Das sind drei lineare Gleichungen für drei Unbekannte b, c, d.
(II) - 2*(I) gibt 2c + 6d = 3 (Gl. IV).
(III) - 3*(I) gibt 6c + 24d = 11 (Gl. V).
(V) - 3*(IV) gibt 6d = 2, also d = 1/3.
(IV) gibt damit 2c + 2 = 3, d.h. c = 1/2.
(I) gibt damit b = 1 - c - d = 1 - 1/2 - 1/3, also b = 1/6.

Etwas Umformerei macht aus Sq(n) = n/6 + n^2/2 + n^3/3 den obigen
Ausdruck Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

~~~
Soweit so gut. Das habe ich "nicht zur Strafe, nur zur Übung" gemacht.
Na gut, ein wenig Strafe war schon dabei für die Schlamperei auf dem
Zettel vorhin :-)

Aber nun kommt das Wichtigste:
==============================
Das ist ja alles ganz schön und nett, sieht plausibel aus, ist gut
aufgegangen usw. Aber: Stimmt es denn auch, dass Sq(n) die Summe der
Quadrate der Zahlen 0 bis n darstellt?
Ich habe ja nur ANGENOMMEN bzw. GEHOFFT, dass es eine einfache Formel
für Sq(n) geben wird.
Und ich WEISS auch, dass diese Formel für n=0 bis n=3 stimmt, weil ich
das ja ausgerechnet habe.

Ich kann auch zum Spaß schauen, ob Sq(4) den zu erwartenden Wert 30
ergibt, aber wenn das so ist, kann ich mir im Grunde nur auf die
Schulter klopfen und sagen: hey cool, passt ja.
Wenn aber einer kommt und sagt, dass es eine dunkle Summengrenze in der
Gegend von n = 10^80000 gibt, bei der solch Trick-Schnickschnack
versagt, dann habe ich erst einmal NICHTS in der Hand dagegen.

Aber dann hole ich meinen Trumpf aus dem Ärmel und verweise darauf, dass
es tüchtige Leser und Leserinnen bei de.sci.mathematik gibt, die den
oben begonnenen Induktionsbeweis führen konnten.
Dann schwindet alle Dunkelheit :-)

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de





Andreas Leitgeb

unread,
Aug 24, 2021, 4:41:30 PMAug 24
to
Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote:
> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.
>
> Beweis mit vollständiger Induktion:
> Induktionsanfang n=0: Sq(0) = 0 = 0^2 ist wahr.
> Induktionsvoraussetzung: der Satz gilt für ein n >= 0.
> Induktionsschritt:
> Zeige, dass Sq(n) + 1/(n+1)^2 = Sq(n+1) ist.

*Das* wird aber wohl niemand beweisen können. ;-)

(Man kann es mit der "reciprocity" nämlich auch übertreiben...)

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 24, 2021, 5:40:48 PMAug 24
to
Am 24.08.2021 um 20:53 schrieb Rainer Rosenthal:
> Ich knüpfe an an den von Brigitta Jennen begonnenen Thread "Frage zu
>
> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.
>
> Beweis mit vollständiger Induktion:
> Induktionsanfang n=0: Sq(0) = 0 = 0^2 ist wahr.
> Induktionsvoraussetzung: der Satz gilt für ein n >= 0.
> Induktionsschritt:
> Zeige, dass Sq(n) + 1/(n+1)^2 = Sq(n+1) ist. <=============== Quatsch :-(
> (Wird dem Leser oder der Leserin überlassen)
>
Gemeint war:

Zeige, dass Sq(n) + (n+1)^2 = Sq(n+1) ist.

Sorry.

Carlo XYZ

unread,
Aug 24, 2021, 5:50:29 PMAug 24
to
Rainer Rosenthal schrieb am 24.08.21 um 20:53:

[Summe der ersten n Quadratzahlen]

> Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
> Induktion gar nicht beweisbar ist.

Eine gewagte Behauptung!

Und sie ist auch inkorrekt. Die von dir genannte Formel
kann auf etliche andere Weisen bewiesen werden:

(a) Durch einen "Trick", der im Wesentlichen so funktioniert,
wie schon der kleine Gauß die Summe von 1 bis 100 ausgerechnet
hat: drehe die Summe um, addiere die beiden Summen und teile
durch 2. Der Trick ist natürlich komplizierter, geht aber in
die gleiche Richtung. Siehe

<https://www.youtube.com/watch?v=aI0M4XRiz4I>

(b) Siehe z.B.

<https://trans4mind.com/personal_development/mathematics/series/sumNaturalSquares.htm#general_term>.

Ich denke, dass das auch unter die allgemeine Theorie der
Differenzengleichungen (und ihrer Lösungen) fällt, finde
aber gerade kein passendes Zitat im Web.

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 24, 2021, 6:14:23 PMAug 24
to
Am 24.08.2021 um 23:50 schrieb Carlo XYZ:
> Rainer Rosenthal schrieb am 24.08.21 um 20:53:
>
> [Summe der ersten n Quadratzahlen]
>
>> Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
>> Induktion gar nicht beweisbar ist.
>
> Eine gewagte Behauptung!
>
> Und sie ist auch inkorrekt. Die von dir genannte Formel
> kann auf etliche andere Weisen bewiesen werden:
>
> (a) Durch einen "Trick", der im Wesentlichen so funktioniert,
> wie schon der kleine Gauß die Summe von 1 bis 100 ausgerechnet
> hat: drehe die Summe um, addiere die beiden Summen und teile
> durch 2. Der Trick ist natürlich komplizierter, geht aber in
> die gleiche Richtung.

Sowas gibt eine plausible Herleitung, aber eben keinen Beweis.
Ich hätte ebenso die Formel 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 hernehmen können,
also genau die des "kleinen Gauß". Auch die lässt sich für n = 100 exakt
hinschreiben, aber wenn Du das für allgemeines n machen willst, brauchst
Du die berühmten "Pünktchen" und den Spruch: "wie man leicht sieht".

1 + 2 + ... + n
n + n-1 + ... + 1 <==== zweimal die Summe
-----------------
n+1 + n+1 + ... + n+1 <==== n mal (n+1)

Das etwas kompliziertere Quadrate-Addieren habe ich gewählt, um deutlich
zu machen: egal wie clever der Ansatz ist, wie logisch und einleuchtend
usw., es ist hand-waving und kein Beweis. Selbstverständlich hat man mit
der Zeit ein Gefühl dafür, was geht, und was nicht, und man möchte sich
das Leben nicht schwer machen mit Dingen, die lästig sind. Wenn wir aber
darüber reden, was ein Beweis ist, dann müssen die "Pünktchen" außen vor
bleiben.

Gruß,
RR

Carlo XYZ

unread,
Aug 24, 2021, 10:37:07 PMAug 24
to
Rainer Rosenthal schrieb am 25.08.21 um 00:14:

> Sowas gibt eine plausible Herleitung, aber eben keinen Beweis.
> Ich hätte ebenso die Formel 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 hernehmen können,
> also genau die des "kleinen Gauß". Auch die lässt sich für n = 100 exakt
> hinschreiben, aber wenn Du das für allgemeines n machen willst, brauchst
> Du die berühmten "Pünktchen" und den Spruch: "wie man leicht sieht".
>
> 1 +  2 + ... + n
> n + n-1 + ... + 1   <==== zweimal die Summe
> -----------------
> n+1 + n+1 + ... + n+1     <==== n mal (n+1)
>
> Das etwas kompliziertere Quadrate-Addieren habe ich gewählt, um deutlich
> zu machen: egal wie clever der Ansatz ist, wie logisch und einleuchtend
> usw., es ist hand-waving und kein Beweis. Selbstverständlich hat man mit
> der Zeit ein Gefühl dafür, was geht, und was nicht, und man möchte sich
> das Leben nicht schwer machen mit Dingen, die lästig sind. Wenn wir aber
> darüber reden, was ein Beweis ist, dann müssen die "Pünktchen" außen vor
> bleiben.

IBTD. Die formale Definition eines Beweises ist eine
Kette von Schritten, von denen jeder einzelne sich aus
vorherigen Schritten und Axiomen streng nach den Regeln
eines Kalküls, sagen wir des Hilbert-Kalküls, ableiten
lässt. Außer zu Demonstrationszwecken ist kein einziger
der strengen Beweise, die ich kenne, von genau dieser
Form, sie lassen sich aber alle (und das schließt die
hier geführten Induktionsbeweise genau so ein wie das
Argument mit der halben Doppelsumme) "unschwer" in eine
solche Form bringen. Deswegen lehne ich die abwertenden
Begriffe "handwaving" und "wie man leicht sieht" für
beide ab. D.h., für mich ist obiges Argument genauso
ein strenger Beweis wie das (leichte) induktive Argument
für die gleiche Formel, und strenge Beweise dürfen auch
schon mal drei Pünktchen enthalten. Mehrfach, wenn's beliebt.

Falls du diese Pünktchen stets auf eine zu Grunde liegende
Induktion zurückführen möchtest, betreten wir meinem Gefühl
nach den Bereich der "Philosophie", einen Bereich jedenfalls,
in dem ich weder Pro noch Kontra argumentieren möchte.
Ich frage mich dann zum Beispiel, ob die Pünktchen - und
damit die Induktion - nicht schon durch das große Sigma
in der Formulierung des Satzes stecken. Induktion steckt
in der Regel sogar in der Definition von N mit drin. Von
daher wundert es mich nicht, wenn jemand stets Induktion
"mitdenkt", wenn irgendwie von N die Rede ist.

Ulrich Diez

unread,
Aug 24, 2021, 11:47:49 PMAug 24
to
Rainer Rosenthal schrieb:

> Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
> Induktion gar nicht beweisbar ist.
>
> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

Ich mache es mal umständlich.

{ n | n in Z ; n > -1 } = { n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }

Da bei der Menge { n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
im Vergleich zur Menge { n | n in Z ; n > -1 } für die Elemente n lediglich zusätzliche
Bedingungen gelten, handelt es sich bei der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
um eine Teilmenge der Menge { n | n in Z ; n > -1 }.

Zu zeigen:

Es handelt sich nicht um eine echte Teilmenge, sondern die Mengen sind
identisch.
(Bzw:
Die zusätzliche Bedingungen folgen aus den sonstigen Bedingungen
bzw:
Aus n in Z ; n > -1 folgt Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 . )


Induktionsanfang:
===============

Das Element n=0 ist das kleinste Element der Menge { n | n in Z ; n > -1 }:
Für kleinere Elemente n ist die Aussage n in Z ; n > -1 falsch.
Das Element n=0 liegt in der Menge { n | n in Z ; n > -1 }, denn
mit n = 0 sind alle für Elemente n dieser Menge geforderten Eigenschaften
gegeben, denn mit n=0 ist die Aussage n in Z ; n > -1 äquivalent zu
der Aussage 0 in Z ; 0 > -1 und wahr.

Das Element n=0 liegt auch in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
, denn mit n=0 sind alle für Elemente n dieser Menge geforderten Eigenschaften
gegeben, denn mit n=0 ist die Aussage
n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6
äquivalent zu den Aussagen
0 in Z ; 0 > -1; Summe_{m=0}^{m=0}{m^2} = 0(0+1)(2*0+1)/6
bzw
0 in Z ; 0 > -1; 0^2 = 0(0+1)(2*0+1)/6
bzw
0 in Z ; 0 > -1; 0 = 0
und wahr.

n=0 als das kleinste Element der Menge { n | n in Z ; n > -1 } liegt
also ebenfalls in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }.
Da
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
eine Teilmenge von { n | n in Z ; n > -1 } ist, ist n=0 auch das
kleinste Element von
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }.

Induktionsannahme:
==================

Das Element k liege sowohl in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1 }
als auch in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
, denn mit n=k seien bei beiden Mengen alle für Elemente n der jeweiligen
Menge geforderten Eigenschaften gegeben, denn mit n=k sei
- einerseits die Aussage n in Z ; n > -1 äquivalent zu k in Z ; k > -1 und wahr
- andererseits die Aussage
n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6
äquivalent zu
k in Z ; k > -1; Summe_{m=0}^{m=k}{m^2} = k(k+1)(2k+1)/6
und wahr.

Induktionsschluss:
=================

Wenn das Element k sowohl in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1 }
als auch in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
liegt, dann liegt auch das Element (k+1) sowohl in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1 }
als auch in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 } .

Wenn das Element k in der Menge { n | n in Z ; n > -1 } liegt, dann
liegt auch das Element (k+1) in der Menge { n | n in Z ; n > -1 }:

k in Z ; k > -1
<-->
(k+1) in Z ; (k+1) > (-1+1)
<-->
(k+1) in Z ; (k+1) > (-1+1) > -1
--->
(k+1) in Z ; (k+1) > -1

Wenn das Element k in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
liegt, liegt auch das Element (k+1) in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 } :

k in Z ; k > -1; Summe_{m=0}^{m=k}{m^2} = k(k+1)(2k+1)/6
<--> (aus k in Z und 1 in Z folgt: (k+1) in Z)
(k+1) in Z ; k > -1; Summe_{m=0}^{m=k}{m^2} = k(k+1)(2k+1)/6
<--> (aus kin Z; k > -1 folgt (k+1) > (-1+1) <--> (k+1) > 0 ---> (k+1) > 0 > -1 ---> (k+1) > -1 )
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=k}{m^2} = k(k+1)(2k+1)/6
<-> (Addition von (k+1)^2 auf beiden Seiten der Gleichung)
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=k}{m^2}+(k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 +(k+1)^2
<-> (Auf der linken Seite der Gleichung (k+1)^2 in die Summe hineinnehmen)
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} = k(k+1)(2k+1)/6 +(k+1)^2
<-> (Auf der rechten Seite der Gleichung alles auf den gemeinsamen Nenner 6 bringen)
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} = k(k+1)(2k+1)/6 + 6(k+1)^2/6
<-> (Auf der rechten Seite der Gleichung alles über einen Bruchstrich schreiben)
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} = (k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2)/6
<-> (Auf der rechten Seite der Gleichung (k+1) ausklammern)
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} = (k+1)(k(2k+1) + 6(k+1))/6
<-> (Auf der rechten Seite der Gleichung den Term in der mittleren Klammer ausmultiplizeren und zusammenfassen)
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} = (k+1)(2k^2+7k+6)/6
<-> ( Erfreulicher und erwarteter Weise ist ((k+1)+1)(2(k+1)+1) = (k+2)(2k+3)= 2k^2+7k+6 )
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} = (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6

Wenn das Element k in der Menge { n | n in Z ; n > -1 } liegt,
liegt auch das Element (k+1) in der Menge { n | n in Z ; n > -1 }.
Wenn das Element k in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
liegt, liegt auch das Element (k+1) in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 } .

Wenn das Element k sowohl in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1 }
als auch in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
liegt, dann liegt auch das Element (k+1)
sowohl in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1 }
als auch in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 } .

Ulrich

Ulrich Diez

unread,
Aug 24, 2021, 11:56:42 PMAug 24
to
Ich schrieb u.a. die Zeile

> <--> (aus kin Z; k > -1 folgt (k+1) > (-1+1) <--> (k+1) > 0 ---> (k+1) > 0 > -1 ---> (k+1) > -1 )

Sie muss korrigiert werden zu

---> (aus kin Z; k > -1 folgt (k+1) > (-1+1) <--> (k+1) > 0 <---> (k+1) > 0 > -1 ---> (k+1) > -1 )

(Der Schluss geht nicht in beide Richtungen.)

Ulrich

Alfred Flaßhaar

unread,
Aug 25, 2021, 4:28:11 AMAug 25
to
Am 25.08.2021 um 05:56 schrieb Ulrich Diez:

(...)

... und wer für den Schulgebrauch hübsch aufbereitete Beweise dieser
Behauptung nachlesen möchte:

Sominski, Die Methode der vollständigen Induktion, S. 20 und 45
Kolosow, Kreuz und quer durch die Mathematik, S. 21-22

Gruß, Alfred Flaßhaar

Brigitta Jennen

unread,
Aug 25, 2021, 5:53:01 AMAug 25
to
Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 25. August 2021 um 00:14:23 UTC+2:

> Sowas gibt eine plausible Herleitung, aber eben keinen Beweis.
> Ich hätte ebenso die Formel 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 hernehmen können,
> also genau die des "kleinen Gauß". Auch die lässt sich für n = 100 exakt
> hinschreiben, aber wenn Du das für allgemeines n machen willst, brauchst
> Du die berühmten "Pünktchen" und den Spruch: "wie man leicht sieht".
>
> 1 + 2 + ... + n
> n + n-1 + ... + 1 <==== zweimal die Summe
> -----------------
> n+1 + n+1 + ... + n+1 <==== n mal (n+1)
>
> Wenn wir aber
> darüber reden, was ein Beweis ist, dann müssen die "Pünktchen" außen vor
> bleiben.

Hallo Rainer,
würdest Du folgende Herleitung - ohne Pünktchen - als Beweis akzeptieren?
Ich halte mich an Gaus, schreibe das nur ohne Pünktchen mittels Suumen-
zeichen.

k=1_Summe_n soll bedeuten, die Summe läuft von 1 bis n.

Also nach Gaus vorwärts und rückwärts summieren:

S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (k) + k=1_Summe_n (n-k+1)]

Der letzte Term ist lediglich die Summe rückwärts.
Jetzt kann ich die Summen zusammenziehen:

S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (k + n - k + 1)]
S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (n + 1)]

Was steht da jetzt?
Unter der Summe steht eine Zahl (n+1), die n mal addiert wird.

Also ist

S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (n + 1)] = 1/2 * n(n+1)

Würdest Du das als "Beweis" ohne Pünktchen akzeptieren?
Grüße Brigitta

> Gruß,
> RR

Ulrich Diez

unread,
Aug 25, 2021, 6:55:14 AMAug 25
to
Rainer Rosenthal schrieb:

> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

Soeben habe ich auf YouTube eine nette Veranschaulichung für
das Berechnen der Summe der ersten n Quadratzahlen
gefunden:

<https://www.youtube.com/watch?v=aXbT37IlyZQ>

Ulrich

Ulrich Diez

unread,
Aug 25, 2021, 11:00:54 AMAug 25
to
Brigitta Jennen schrieb:

[Formel 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2]

> Hallo Rainer,
> würdest Du folgende Herleitung - ohne Pünktchen - als Beweis akzeptieren?

> [...] nach Gaus vorwärts und rückwärts summieren:
>
> S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (k) + k=1_Summe_n (n-k+1)]
[...]
> S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (k + n - k + 1)]
[...]
> S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (n + 1)] = 1/2 * n(n+1)

Ich bin zwar nicht Rainer, aber ich würde das mit Freuden. :-)

---------------------------------------------------------------------------

Ich empfehle aber, Summen anders zu schreiben, denn Deine
Schreibweise kann zu Irritation führen wenn ein Summenterm
ohne Klammern ganz am Anfang einer Zeile/Relation steht - zB bei

k=1_Summe_n (k) < (n^2+n+2)/2

brauchts einen Moment bis langsame Leute wie ich realisieren,
dass "k" lediglich ein Laufindex sein soll und dass sich
"=" in "k=1_Summe" auf den Anfangswert des Laufindex der Summe
bezieht.

In Anlehnung an das Textsatzsystem TeX, wo unter normalen
Umständen sowohl im Display-Math-Modus als auch im
Inline-Math-Modus die Schreibewise ^{...} für das Hochstellen
des Textes innerhalb der geschweiften Klammern und
die Schreibweise _{...} für das Tiefstellen des Textes innerhalb
der geschweiften Klammern steht, bevorzuge ich in Situationen,
in denen Text nicht wirklich höher- oder tiefergestellt werden
kann und außerdem nur "Schreibmaschinensymbole"
verwendet werden sollen, die folgende Schreibweise,
bei der "Summe" ein Präfix-Operator ist, und bei der
Relationszeichen, die sich auf Laufindices und deren
Werte beziehen, immer in geschweifte Klammern
eingeschachtelt sind, und bei der geschweifte
Klammern auch andeuten, was zu welchen Operanden
von Präfix-Operatoren gehört:

Summe_{k=1}^{k=n}{k} < (n^2+n+2)/2

---------------------------------------------------------------------------

Da sich zur Zeit mit vervollständigender Induktion befasst wird,
habe ich eine Scherzfrage:

Ich betrachte die Formel

Summe_{k=1}^{k=n}{2k-1} = n^2 + 42 ; n in N

(In Worten:
Die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen
ist gleich der Summe aus 42 und dem Quadrat von n. )

Damit das für alle n gelten kann, muss der Schluss
von n auf n +1 möglich sein. Und das ist der Fall:

Summe_{k=1}^{k=n}{2k-1} = n^2 + 42 --- auf beiden Seiten (2n+1) addieren ergibt:
Summe_{k=1}^{k=n}{2k-1}+(2n+1) = n^2 + 42 + (2n+1)
Summe_{k=1}^{k=n}{2k-1}+(2(n+1)-1) = n^2 + 42 + (2n+1)
Summe_{k=1}^{k=n+1}{2k-1} = n^2 + 42 + (2n+1)
Summe_{k=1}^{k=n+1}{2k-1} = n^2 + 2n + 1 + 42
Summe_{k=1}^{k=n+1}{2k-1} = (n+1) ^2 + 42

Obwohl der Schluss von n auf n+1 möglich ist, scheint die Formel nicht immer
bzw immer nicht zu stimmen. ZB für n = 5 ergibt sich

Summe{k=1}{k=n}{2k-1} = n^2 + 42
<--> Summe{k=1}{k=5}{2k-1} = 5^2 + 42
<--> 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 67 <--> 25 = 67

, und das ist falsch.

Wie kann das sein?

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

Jens Kallup

unread,
Aug 25, 2021, 11:15:12 AMAug 25
to
ich habe mal zur Belustigung ein paar Notizen hier:

Sq(n) = n(n + 1) * (2n + 1) / 6

Sq(0) = 0 * (0 + 1) * (2 * 0 + 1) / 6
= 0 * 0 + 0 * 1 * 2 * 0 + 1 / 6
= 0 + 0 * 2 * 0 + 1 / 6
= 0 * 0 + 1 / 6
= 1 / 6

Sq(1) = 1 * (1 + 1) * (2 * 1 + 1) / 6
= 1 * 1 + 1 * 1 * 2 * 1 + 1 / 6
= 1 + 1 * 2 + 1 / 6
= 2 * 2 + 1 / 6
= 4 + 1 / 6
= 5 / 6

Sq(2) = 2 * (2 + 1) * (2 * 2 + 1) / 6
= 2 * 2 + 2 * 1 * 4 + 1 / 6
= 4 + 2 * 5 / 6
= 4 + 2 * 5 / 6
= 4 + 10 / 6
= 14 / 6

Sq(3) = 3 * (3 + 1) * (2 * 3 + 1) / 6
= 3 * 3 + 1 * 3 * 6 + 1 / 6
= 9 + 3 * 7 / 6
= 9 + 21 / 6
= 30 / 6

Sq(4) = 4 * (4 + 1) * (2 * 4 + 1) / 6
= 4 * 4 + 1 * 4 * ( 8 + 1) / 6
= 16 + 4 * 9 / 6
= 16 + 36 / 6
= 52 / 6

Sq(5) = 5 * (5 + 1) * (2 * 5 + 1) / 6
= 5 * 5 + 1 * 5 * ( 10 + 1) / 6
= 25 + 5 * ( 10 + 1) / 6
= 25 + 5 * 11 / 6
= 25 + 55 / 6
= 80 / 6

Sq(6) = 6 * (6 + 1) * ( 2 * 6 + 1) / 6
= 6 * 6 + 1 * 6 * (12 + 1) / 6
= 36 + 1 * 6 * 13 / 6
= 36 + 6 * 13 / 6
= 36 + 78 / 6
= 114 / 6

Sq_1(0,1) = 1/6 + 5/6
= 6/6
= 1/1

Sq_2(2,3) = 14/6 + 30/6
= 44/6

Sq_3(4,5) = 52/6 + 80/6
= 132/6

Sq_4(6) = 114/6

Sq_a( Sq_1, Sq_2, Sq_3, Sq_4 ) =
6/6
+ 44/6
+ 132/6
+ 114/6
--------
= 296/6 : 4
= 74 : 2
= 37
= 9 1/4
=============

Jens

Torn Rumero DeBrak

unread,
Aug 25, 2021, 12:42:34 PMAug 25
to
Am 25.08.2021 um 17:15 schrieb Jens Kallup:
> ich habe mal zur Belustigung ein paar Notizen hier:
>
> Sq(n) = n(n + 1) * (2n    + 1) / 6
>
> Sq(0) = 0 * (0 +     1) * (2 * 0 + 1) / 6
>       = 0 *  0 + 0 * 1  *  2 * 0 + 1  / 6
Jawoll, das ist total lustig. So eine Falschrechnung ist lachhaft.
>       =      0 + 0      *  2 * 0 + 1  / 6
>       =          0      *      0 + 1  / 6
>       =                            1  / 6
>
> Sq(1) = 1 * (1 +     1) * (2 * 1 + 1) / 6
>       = 1 *  1 + 1 * 1  *  2 * 1 + 1  / 6
Jawoll, das ist auch total lustig. So eine Falschrechnung ist lachhaft.
>       =      1 + 1      *  2     + 1  / 6
>       =          2      *  2     + 1  / 6
>       =                    4     + 1  / 6
>       =                            5  / 6
>
> Sq(2) = 2 * (2 + 1)     * (2 * 2 + 1) / 6
>       = 2 *  2 + 2 * 1  *      4 + 1  / 6
Jawoll, das ist auch total lustig. So eine Falschrechnung ist lachhaft.
>       =      4 +     2  *          5  / 6
>       =      4 +     2  *          5  / 6
>       =      4 +    10                / 6
>       =             14                / 6
>
> Sq(3) = 3 * (3 + 1)     * (2 * 3 + 1) / 6
>       = 3 *  3 + 1 * 3  *      6 + 1  / 6
Jawoll, das ist auch total lustig. So eine Falschrechnung ist lachhaft.
>       =      9 +     3  *          7  / 6
>       =      9 +    21                / 6
>       =     30                        / 6
>
> Sq(4) = 4 * (4 + 1)      * (2 * 4 + 1) / 6
>       = 4 *  4 + 1 *  4  * (    8 + 1) / 6
Jawoll, das ist auch total lustig. So eine Falschrechnung ist lachhaft.
Aha, hier bleibt also am Ende ein Klammer. Warum nicht in den Fällen
vorher?
>       =     16 +      4  *          9  / 6
>       =     16 +     36                / 6
>       =                            52  / 6
>
> Sq(5) = 5 * (5 + 1)      * (2 * 5 + 1) / 6
>       = 5 *  5 + 1 *  5  * (   10 + 1) / 6
Jawoll, das ist auch total lustig. So eine Falschrechnung ist lachhaft.
>       =     25 +      5  * (   10 + 1) / 6
>       =     25 +      5  *     11      / 6
>       =     25 +     55                / 6
>       =                        80      / 6
>
> Sq(6) = 6 * (6 + 1)     * ( 2 * 6 +  1) / 6
>       = 6 *  6 + 1 * 6  * (12     +  1) / 6
Jawoll, das ist auch total lustig. So eine Falschrechnung ist lachhaft.
>       =     36 + 1 * 6  *           13  / 6
>       =     36 +     6  *           13  / 6
>       =     36 +                    78  / 6
>       =                            114  / 6
>
Lerne erst einmal das Rechnen mit Klammer und beherzige die
Punkt-vor-Strich-Regel, wodurch die Klammern notwendig werden.

Ulrich Diez

unread,
Aug 25, 2021, 12:54:29 PMAug 25
to
Jens schrieb:

> ich habe mal zur Belustigung ein paar Notizen hier:
>
> Sq(n) = n(n + 1) * (2n + 1) / 6
>
> Sq(0) = 0 * (0 + 1) * (2 * 0 + 1) / 6
> = 0 * 0 + 0 * 1 * 2 * 0 + 1 / 6

Hallo Jens,

häufig entmutigt es Menschen und tut ihnen weh, wennn man über die
Fehler, die ihnen unterlaufen, lacht.
Ich habe kein Interesse daran, jemanden zu entmutigen oder jemandem
wehzutun.
Deshalb nehme ich Deine Notizen nicht als Anlass, mich zu belustigen.
Sondern ich nehme Deine Notizen als Anlass für Erläuterungen.

Ich tue das in der Hoffnung, dass die Erläuterungen nützlich für Dich
sind und Dir Mut machen, damit Du in Sachen Mathe weiterhin dran
bleibst.

Manches könnte in der Gruppe schule.mathe anstatt der Gruppe
de.sci.mathematik diskutiert werden.

Ich nehme an, die "Punkt-vor-Strich"-Regel kennst Du.

Man muss beim Rechnen aber ausserdem auch Klammern
beachten und genau überlegen, wann man Klammern weglassen
kann und wann nicht, bzw, wann man selbst zusätzlich Klammern
setzen muss und wann nicht.

Deine Berechnungen sind nämlich falsch.

Sq(n) = n(n + 1) * (2n + 1) / 6

Ein recht umständlicher Rechengang könnte zB so aussehen:

Sq(0) = 0 * (0 + 1) * (2 * 0 + 1) / 6
[ Wenn Du Teile eines längeren Terms ausmultiplizierst, zB
den Teil 0 * (0 + 1), dann musst du das Ergebnis des
Ausmultiplizierens in Klammern setzen, um sicherzustellen,
dass die Sache in ihrem Bezug zum restlichen Term
weiterhin stimmt ! ]
= (0 * 0 + 0 * 1) * (2 * 0 + 1) / 6
= (0 + 0) * (2 * 0 + 1) / 6
= (0) * (2 * 0 + 1) / 6
= 0 * (2 * 0 + 1) / 6
= 0 * (0 + 1) / 6
= 0 * (1) / 6
= 0 * 1 / 6
= 0 / 6
= 0

Anstatt

> Sq(1) = 1 * (1 + 1) * (2 * 1 + 1) / 6
> = 1 * 1 + 1 * 1 * 2 * 1 + 1 / 6

das selbe Spiel wie eben:

Sq(1) = 1 * (1 + 1) * (2 * 1 + 1) / 6
= (1 * 1 + 1 * 1 )* (2 * 1 + 1) / 6
= (1 + 1 * 1 )* (2 * 1 + 1) / 6
= (1 + 1 )* (2 * 1 + 1) / 6
= (2)* (2 * 1 + 1) / 6
= 2 * (2 * 1 + 1) / 6
= 2 * (2 + 1) / 6
= 2 * (3) / 6
= 2 * 3 / 6
= 6 / 6
= 1

Die Rechengänge für Sq(2) bis Sq(6) könnten analog verlaufen.

Was zB die Notation "Sq_1(0,1)" in diesem Zusammenhang ausdrücken
soll, ist mir unklar.
Einerseits liegt das daran, dass ich von allein nicht drauf komme.
Andererseits daran, dass Du diese Art der Notation nirgendwo erklärt hast.

Juergen Ilse

unread,
Aug 25, 2021, 2:47:21 PMAug 25
to
Jens Kallup <kallu...@web.de> wrote:
> ich habe mal zur Belustigung ein paar Notizen hier:
>
> Sq(n) = n(n + 1) * (2n + 1) / 6
>
> Sq(0) = 0 * (0 + 1) * (2 * 0 + 1) / 6
> = 0 * 0 + 0 * 1 * 2 * 0 + 1 / 6

Falsch ausmultipliziert, daher am Ende der Fehler.

> = 0 + 0 * 2 * 0 + 1 / 6
> = 0 * 0 + 1 / 6
> = 1 / 6
>
> Sq(1) = 1 * (1 + 1) * (2 * 1 + 1) / 6
> = 1 * 1 + 1 * 1 * 2 * 1 + 1 / 6

Falsch ausmulzipliziert, daher am Ende der Fehler.

> = 1 + 1 * 2 + 1 / 6
> = 2 * 2 + 1 / 6
> = 4 + 1 / 6
> = 5 / 6
>
> Sq(2) = 2 * (2 + 1) * (2 * 2 + 1) / 6
> = 2 * 2 + 2 * 1 * 4 + 1 / 6

Langsam wird's langweilig, wenn es immer der selbe Fehler ist ...

> = 4 + 2 * 5 / 6
> = 4 + 2 * 5 / 6
> = 4 + 10 / 6
> = 14 / 6
>
> Sq(3) = 3 * (3 + 1) * (2 * 3 + 1) / 6
> = 3 * 3 + 1 * 3 * 6 + 1 / 6

<Seufz/>

> = 9 + 3 * 7 / 6
> = 9 + 21 / 6
> = 30 / 6
>
> Sq(4) = 4 * (4 + 1) * (2 * 4 + 1) / 6
> = 4 * 4 + 1 * 4 * ( 8 + 1) / 6

Meinst du nicht, dass es langsam reicht?

> = 16 + 4 * 9 / 6
> = 16 + 36 / 6
> = 52 / 6
>
> Sq(5) = 5 * (5 + 1) * (2 * 5 + 1) / 6
> = 5 * 5 + 1 * 5 * ( 10 + 1) / 6

Da du beim ausmultizieren immer den selben Fehler machst (noch notwendige
Klammern unterschlagen), weisst du hoffentlich selbst ...

> = 25 + 5 * ( 10 + 1) / 6
> = 25 + 5 * 11 / 6
> = 25 + 55 / 6
> = 80 / 6
>
> Sq(6) = 6 * (6 + 1) * ( 2 * 6 + 1) / 6
> = 6 * 6 + 1 * 6 * (12 + 1) / 6

Och Noe!

> = 36 + 1 * 6 * 13 / 6
> = 36 + 6 * 13 / 6
> = 36 + 78 / 6
> = 114 / 6

Die ertraegliche Menge an Schwachsinn pro Posting ist an dieser Stelle
bereits erheblich ueberschrittten, daher: Rest des Schwaxchsinns entsorgt.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Jens Kallup

unread,
Aug 25, 2021, 5:49:24 PMAug 25
to
Hallo Ulrich,

Am 25.08.2021 um 18:54 schrieb Ulrich Diez:
> Sq(0) = 0 * (0 + 1) * (2 * 0 + 1) / 6
> [ Wenn Du Teile eines längeren Terms ausmultiplizierst, zB
> den Teil 0 * (0 + 1), dann musst du das Ergebnis des
> Ausmultiplizierens in Klammern setzen, um sicherzustellen,
> dass die Sache in ihrem Bezug zum restlichen Term
> weiterhin stimmt ! ]
> = (0 * 0 + 0 * 1) * (2 * 0 + 1) / 6

Danke erstmal für Deine Rückmeldung.
Diese Notation ist mir neu.
Danke für die Aufklärung.

Ich bin immer zu sehr abgelenkt, weil andere Leute immer in die Quere
kommen, und ich vom Gedankengang unterbrochen werde.
Aber das soll keine Ausrede sein.
Fakt ist aber auch, das man seinen Freundeskreis nicht in sein Zimmer
einlaß gewären sollte, da, wenn man seine Freunde vernachläßigt, es
schnell dazu führen kann, das diese dann weg sind, und man alleine da
steht.
Nun, gut.

Bist recht dufte, Jens

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 25, 2021, 6:14:20 PMAug 25
to
Am 25.08.2021 um 04:37 schrieb Carlo XYZ:
> Rainer Rosenthal schrieb am 25.08.21 um 00:14:
>
>>
>> 1 +  2 + ... + n
>> n + n-1 + ... + 1   <==== zweimal die Summe
>> -----------------
>> n+1 + n+1 + ... + n+1     <==== n mal (n+1)
>>
>> Wenn wir aber darüber reden, was ein Beweis
>> ist, dann müssen die "Pünktchen" außen vor bleiben.
>

> Ich frage mich dann zum Beispiel, ob die Pünktchen - und
> damit die Induktion - nicht schon durch das große Sigma
> in der Formulierung des Satzes stecken.

Ja, die Pünktchen stecken im Satz. Der könnte gerne so aussehen:

Satz: 0^2 + 1^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

Der Beweis des Satzes benutzt aber keine Pünktchen und "wie man sieht,
bei Gauß nachlesen oder auf youtube schauen kann".

Sondern die Pünktchen werden erst einmal formal fassbar gemacht durch

die Definition Sq(n) = 0^2 + 1^2 + ... + n^2.

Weil damit gilt Sq(n+1) = 0^2 + 1^2 + ... + (n+1)^2, weiß man sofort,
dass Sq(n+1) = Sq(n) + (n+1)^2 gelten muss.

Das kann man /ohne Pünktchen/ beweisen.
Es geht also ganz formal (dem Leser oder der Leserin zur Übung), wenn
man eine clevere Vermutung für Sq(n) hat.

Wer nun aber glaubt, Sq(n+1) = Sq(n) + (n+1)^2 zu beweisen, sei
ausreichend, um das richtige Sq gefunden zu haben, muss zur Kenntnis
nehmen, dass es NICHT ausreicht.

Für die Funktion Sq'(n) = 27 + n(n+1)(2n+1)/6 gilt nämlich ebenfalls
Sq'(n+1) = Sq'(n) + (n+1)^2.
Für jemanden, der sich dem Thema "Induktionsbeweis" neugierig nähert,
könnte dieser Hinweis gefallen, weil er/sie die Notwendigkeit des
Induktionsanfangs (auch Induktionsverankerung genannt) erkennt.

Gruß,
RR

Martin Vaeth

unread,
Aug 25, 2021, 6:20:03 PMAug 25
to
Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
>
> Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
> Induktion gar nicht beweisbar ist.

Die Aussage ist nur aus einem trivialen Grund richtig:
Die linke Seite der behaupteten Gleichheit ist überhaupt nur per
Induktion definiert, und deswegen lässt sich *prinzipiell* darüber
nur etwas beweisen, wenn man diese Definition, also vollständige
Induktion, benutzt.

Die Induktion kann allerdings sehr trivial sein, etwa nach
Aufaddieren von Integralen zur Euler-MacLaurinschen Summenformel
https://de.wikipedia.org/wiki/Euler-Maclaurin-Formel.
Im "Aufaddieren" ist natürlich eine vollständige Induktion versteckt,
aber eben auf sehr triviale Weise. Man kann sich daher trefflich
streiten, ob man wegen einer solchen Trivialität im Beweisschritt
von einem Beweis "durch vollständige Induktion" sprechen will.

> Nach fünfmaligem Fluchen und nochmal Rechnen habe ich es endlich mit
> Papier und Bleistift hinbekommen, aus dem Ansatz
> Sq(n) = a + b*n + c*n^2 + d*n^3 die Koeffizienten zu bestimmen:
> a = 0, b = 1/6, c = 1/2, d = 1/3.
> Das ist ein durchaus cleverer Ansatz, der davon ausgeht, dass es eine
> nicht allzu komplizierte Formel für Sq(n) geben müsste.

Und wenn Du lustig bist, kannst Du nun versuchen, zu beweisen,
dass für *jede* der Summen

S_k(n) = sum_{j=1}^n j^k

(k eine natürliche Zahl) ein solcher Ansatz zum Ziel führt:
nämlich ein Polynom vom Grad k+1.

Eine Möglichkeit, dies zu beweisen, benutzt wieder vollständige Induktion.
Eine andere Beweismöglichkeit ist wieder die Benutzung der
Euler-MacLaurinschen Summenformel. Letztere hat den Vorteil, dass Du die
Koeffizienten des Polynoms gleich "explizit" geliefert bekommst
(natürlich letztlich auch nur in Form einer Induktionsformel).

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 25, 2021, 6:42:57 PMAug 25
to
Am 25.08.2021 um 11:53 schrieb Brigitta Jennen:
> Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 25. August 2021 um 00:14:23 UTC+2:

>> Ich hätte ebenso die Formel 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 hernehmen können,
>> also genau die des "kleinen Gauß".>>
>> Wenn wir aber
>> darüber reden, was ein Beweis ist, dann müssen die "Pünktchen" außen vor
>> bleiben.
>
> Hallo Rainer,
> würdest Du folgende Herleitung - ohne Pünktchen - als Beweis akzeptieren?
> Ich halte mich an Gaus, schreibe das nur ohne Pünktchen mittels Suumen-
> zeichen.
>
> k=1_Summe_n soll bedeuten, die Summe läuft von 1 bis n.
> Also nach Gaus vorwärts und rückwärts summieren:
> S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (k) + k=1_Summe_n (n-k+1)] <~~~ V1 (s.u.)
>
> S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (k + n - k + 1)] <~~~ V2 (s.u.)
> S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (n + 1)]
>
> S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (n + 1)] = 1/2 * n(n+1) <~~~ V3 (s.u.)
>
> Würdest Du das als "Beweis" ohne Pünktchen akzeptieren?

Das tue ich in der Tat, und es gefällt mir sehr.

Du hast auf einer Ebene argumentiert, in der die Eigenschaften von

[k=1_Summe_n W(k)]

als bekannt vorausgesetzt werden. Das ist perfekt.
Es sind lauter vernünftige Voraussetzungen:

V1: [k=1_Summe_n W(n-k+1)] = [k=1_Summe_n W(k)]
V2: [k=1_Summe_n W(k)] + [k=1_Summe_n V(k)] = [k=1_Summe_n (W(k)+V(k)]
V3: [k=1_Summe_n C] = n * C

Und sie lassen sich alle beweisen :-)
Du hast durchaus das Recht, diese Voraussetzungen als bewiesen
anzunehmen. Wie gesagt, ich gratuliere Dir zu der klaren Herleitung.

Sie ist ein Beweis ohne Pünktchen.

Herzlich grüßend,
Rainer




Rainer Rosenthal

unread,
Aug 25, 2021, 6:55:05 PMAug 25
to
Am 25.08.2021 um 17:00 schrieb Ulrich Diez:
>
> Ich empfehle aber, Summen anders zu schreiben, denn Deine
> Schreibweise kann zu Irritation führen wenn ein Summenterm
> ohne Klammern ganz am Anfang einer Zeile/Relation steht - zB bei
>
> k=1_Summe_n (k) < (n^2+n+2)/2
>
> brauchts einen Moment bis langsame Leute wie ich realisieren,
> dass "k" lediglich ein Laufindex sein soll und dass sich
> "=" in "k=1_Summe" auf den Anfangswert des Laufindex der Summe
> bezieht.
>

Wegen dieser Irritation habe ich mir erlaubt, Brigittas Notation in
eckige Klammern einzuschließen:

[k=1_Summe_n (k)] < (n^2+n+2)/2

ist eigentlich ganz hübsch und knapp.

Es gefällt mir, bei Fragen auf die Sprech- bzw. Schreibweise der
Fragenden einzugehen. Das war hier mit dem Klammertrick leicht möglich,
und ich hoffe, dass dadurch meine Antwort so aussah, dass sie zur Frage
passt.

Gruß,
Rainer

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 25, 2021, 6:55:57 PMAug 25
to
Am 25.08.2021 um 05:47 schrieb Ulrich Diez:
> Rainer Rosenthal schrieb:
>
>> Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
>> Induktion gar nicht beweisbar ist.
>>
>> Satz:
>> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
>> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.
>
> Ich mache es mal umständlich.
>
Warum?

Gruß
Rainer

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 25, 2021, 7:08:41 PMAug 25
to
Am 26.08.2021 um 00:20 schrieb Martin Vaeth:

> ... Man kann sich daher trefflich
> streiten, ob man wegen einer solchen Trivialität im Beweisschritt
> von einem Beweis "durch vollständige Induktion" sprechen will.
>
Streiten und de.sci.mathematik ... das passt ja gar nicht zusammen, oder?

Ich fand es hilfreich, ein anspruchsvolleres Beispiel nachzureichen.
Dieser Thread ist ja eine Fortsetzung, wie ich gleich zu Beginn
geschrieben hatte:
Ich knüpfe an an den von Brigitta Jennen begonnenen Thread "Frage zu
vollst. Induktion" vom 11. August 2021.

Ich sehe keinen Anlass zu Streit. Alles gut.

Gruß,
RR

Jens Kallup

unread,
Aug 25, 2021, 7:12:12 PMAug 25
to
Hallo Ulrich,

Am 25.08.2021 um 18:54 schrieb Ulrich Diez:
> = (0 * 0 + 0 * 1) * (2 * 0 + 1) / 6

mal angenommen ich habe folgenden Term, wie oben stehend...
müsste man das dann auch erst ausmultiplizieren?

also in etwa so:

A) n := 0
=> (0 * 0 + 0 * 1) * (2 * 0 + 1) / 6

1. Term:
= -+ 0 * 2 * 0 * 2 + 0 * 2 * * 1 * 1 = 0
= -+ 0 * 0 + 0 * 2 * * 1 = 0
= 0 + 0 = 0
= 0 = 0

2. Term:
= * 0 * 2 * 0 * * 0 * 0 * 1 = 0
= 0 * * 0 = 0
= 0^2 = 0

3. Term:
= 0 * 2 + 0 * 0 + 0 * 1 = 0
= 0 + 0 * 0 + 0 = 0
= 0 * 0 = 0

4. Term:
= * 1 * 2 * 1 * 0 * 1 * 1 = 0
= 2 * 0 = 0

= 0 / 6
= 0
--------------

B) n := 1
(1 * 1 + 1 * 1) * (2 * 1 + 1) / 6

1. Term:
= 1 * 2 + 1 * 1 + 1 * 1 = 4
= 2 + 1 + 1 = 4
= 3 + 1 = 4

2. Term:
= * 1 * 2 * 1 * 2 * 1 * 1 * 1 = 4
= 2 * 2 = 4
= 2^2 = 4

3. Term:
= 1 * 2 + 1 * 1 + 1 * 1 = 4
= 2 + 1 * 1 + 1 = 4
= 2 + 1 + 1 = 4

4. Term:
= * 1 * 2 * 1 * 1 * 1 + 1 = 4
= 2 * 1 + 1 = 4
= 2 * 2 = 4

= 4/6
= 2/3 <-- ist das ein Quadrat ?

mit Hintergrund von Quadratsummen:
= 0/6 + 2/3
= 0/6 + 4/6
= 4/6
= 2/3

???

Jens
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Fritz Feldhase

unread,
Aug 25, 2021, 8:34:06 PMAug 25
to
On Thursday, August 26, 2021 at 1:08:41 AM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:

> Streiten und de.sci.mathematik ... das passt ja gar nicht zusammen, oder?

Überhaupt nicht. Hier findet nur ein gesitteter Meinungsaustausch auf höchstem Niveau statt!

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 26, 2021, 5:28:10 AMAug 26
to
Am 26.08.2021 um 00:42 schrieb Rainer Rosenthal:
#
# Brigitta Jennen schreibt für die Summe der Terme W(k)
# von k = 1 bis n: [k=1_Summe_n W(k)]
# Sie beweist [k=1_Summe_n k] = n*(n+1)/2, indem sie
# gewisse Voraussetzungen verwendet, die für das Summieren
# bekannt sind:
# V1: Summierung von 1 bis n ergibt den gleichen Wert wie
# die Summierung von n bis 1
# V2: Summe der W(k) plus Summe der V(k) ist gleich der Summe
# der W(k) + V(k).
# V3: Summiert man n mal die Konstante C , erhält man n * C
#
>
> Es sind lauter vernünftige Voraussetzungen:
>
> V1: [k=1_Summe_n W(n-k+1)] = [k=1_Summe_n W(k)]
> V2: [k=1_Summe_n W(k)] + [k=1_Summe_n V(k)] = [k=1_Summe_n (W(k)+V(k)]
> V3: [k=1_Summe_n C] = n * C
>
> Und sie lassen sich alle beweisen :-)

Ich schnappe mir mal den einfachsten Fall, also V3:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Satz V3: [k=1_Summe_n C] = n * C
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Beweis:
Der Satz gilt für n = 1: [k=1_Summe_1 C] = C = 1 * C.
Wenn der Satz für n gilt, gilt er auch für n+1:
[k=1_Summe_(n+1) C] =
[k=1_Summe_n C] + C =
n * C + C =
(n+1) * C.

Q.E.D.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


Finde ich prima, das mal deutlich zu sehen: "n mal C ist n * C".
Wir sind da an der Nahtstelle zwischen dem wahren Leben und der formalen
Mathematik(*). Weil alles so schön passt, hat man sich daran gewöhnt, "n
mal C" gedanklich zu identifizieren mit "n * C". Ich kenne den
Neuronal-Sprech nicht, aber es wird dafür einen Fachausdruck geben :-)

Gruß,
Rainer

(*)
Gleichung n * C + C = (n+1) * C gilt, weil die natürlichen Zahlen einen
kommutativen Halbring bilden.


Carlo XYZ

unread,
Aug 26, 2021, 6:16:05 AMAug 26
to
Rainer Rosenthal schrieb am 26.08.21 um 00:14:

> Für jemanden, der sich dem Thema "Induktionsbeweis" neugierig nähert,
> könnte dieser Hinweis gefallen, weil er/sie die Notwendigkeit des
> Induktionsanfangs (auch Induktionsverankerung genannt) erkennt.

Siehe auch <https://de.wikipedia.org/wiki/Pferde-Paradox> .

Brigitta Jennen

unread,
Aug 26, 2021, 7:15:36 AMAug 26
to
Ich kehre zurück zum Ausgangsproblem und bleibe bei der kompakten
Summen-Zeichen-Darstellung, die sich beim "einfachen Gaus" schon bewährt hat.

Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 24. August 2021 um 20:53:32 UTC+2:

> Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
> Induktion gar nicht beweisbar ist.
>
> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

Hmmm ... ich versuch's trotzdem mal direkt ... :-))

Bevor ich starte, zwei Bemerkungen voraus, um möglichst übersichtlich
darzustellen:

(1) Das Summenzeichen mit dem Laufindex ist, auch wenn man das klammert,
wie Rainer vorgeschlagen hat: [k=1_Summe_n (k)], ein "optisches Monster".

- - -
Wenn ich im Folgenden einfach SUMME (von irgendwas) schreibe, soll das bedeuten,
dass der Laufindex grundsätzlich implizit immer von k=1 bis n laufen soll!
- - -

(2) Hilfssatz, den wir benötigen werden und der durch gliedweises Anschreiben
leicht bewiesen werden kann:

SUMME (a_k+1) - SUMME (a_k) = a_k+1 - a_k

(3) Sn = SUMME (k) = n(n+1)/2 (einfacher Gaus)


OK: Los geht's:
Das zunächst Verwirrende - ich wechsle den Standpunk und betrachte
gar nicht die Quadratzahlen - ich starte mit der kubischen Potenzsumme!!

(1+1)^3 + (2+1)^3 + (3+1)^3 + ... + (n+1)^3 = SUMME (k+1)^3


Ab hier geht's ohne Pünktchen mit dem Summenzeichen weiter :-)

(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1

(a) SUMME (k+1)^3 = SUMME (k^3) + 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n
(b) SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = (n+1)^3 - 1 (nach Hilfssatz)

Vergleich von (a) und (b) ergibt:
SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n (a umgestellt)
(n+1)^3 - 1 = 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n (Hilfssatz angewendet)

3*SUMME (k^2) = (n+1)^3 - 3*Sn - n - 1
3*SUMME (k^2) = (n+1) * (n+1)^2 - 3/2*n(n+1) - n - 1
3*SUMME (k^2) = (n+1) * (n+1)^2 - 3/2*n(n+1) - (n + 1)
3*SUMME (k^2) = (n+1) * [(n+1)^2 - 3/2n - 1]
3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n^2 + 2n + 1 - 3/2n -1]
3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n^2 + n/2]
3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n(2n + 1)/2]
3*SUMME (k^2) = n(n+1)(2n+1)/2

SUMME (k^2) = n(n+1)(2n+1)/6

Zwei Fragen zum Schluss:
(1) Dies ist eine (mühselige) "Herleitung" der Summenformel für
die Quadratzahlen von 1 bis n.
Geht das als Beweis durch?
(2) Wo liegt der Unterschied zwischen einer korrekten Herleitung
und einem direkten Beweis?

Grüße
Brigitta

> Gruß,
> Rainer Rosenthal
> r.ros...@web.de

Dieter Heidorn

unread,
Aug 26, 2021, 7:29:35 AMAug 26
to
Jens Kallup schrieb:

> Am 25.08.2021 um 18:54 schrieb Ulrich Diez:
>> = (0 * 0 + 0 * 1) * (2 * 0 + 1) / 6
>
> mal angenommen ich habe folgenden Term, wie oben stehend...
> müsste man das dann auch erst ausmultiplizieren?
>

Nein, müssen muss man nicht. Du kannst auch erst jede Klammer für sich
berechnen:

(0*0 + 0*1) * (2*0 + 1) / 6

= ( 0 + 0 ) * ( 0 + 1) / 6

= 0 * 1 / 6

= 0 / 6

= 0


> B) n := 1
> (1 * 1 + 1 * 1) * (2 * 1 + 1) / 6
>

Klammern berechnen ergibt:

(1*1 + 1*1) * (2*1 + 1) / 6

= ( 1 + 1 ) * ( 2 + 1) / 6

= 2 * 3 / 6

= 6 / 6

= 1

und nicht

> = 4/6

Wenn du unbedingt ausmultiplizieren willst, gehst du am besten von
obiger Zeile aus:

(1*1 + 1*1) * (2*1 + 1) / 6

= ( 1 + 1 ) * ( 2 + 1) / 6

= [ (1 + 1)*2 + (1 + 1)*1 ] / 6

= [ 1*2 + 1*2 + 1*1 + 1*1 ] / 6

= [ 2 + 2 + 1 + 1 ] / 6

= 6 / 6

= 1

Das Vorgehen beruht auf den Distributivgesetzen im Ring (R,+,*):

https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_%28Algebra%29#Definitionen

Die hast du nicht richtig angewendet...
(Dass du dich mit den Begriffen Gruppe, Ring und Körper vertraut machen
solltest, habe ich dir schon einmal empfohlen.)

> = 2/3 <-- ist das ein Quadrat ?
>

Ja - von q = sqrt(2/3), denn q^2 = 2/3 :-)

Dieter Heidorn

Jens Kallup

unread,
Aug 26, 2021, 7:57:51 AMAug 26
to
Hallo, vielleicht sowas ?

(k + 1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1
= k^3 + k^2 + k^2 + k^2 + k^1 + k^1 + k^1 + 1
= k^3 + k^6 + k^3 + 1
= k^9 + k^3 + 1
(k + 1)^3 = k^(12) + 1
k^3 + 1 = k^(12) - k^ - 1
0 = k^9

HTH - hope this helps
Jens

Jens Kallup

unread,
Aug 26, 2021, 7:59:21 AMAug 26
to
Am 26.08.2021 um 13:57 schrieb Jens Kallup:
kleiner Typo: k^3


(k   + 1)^3      = k^3 + 3k^2             + 3k               + 1
                = k^3 +  k^2 + k^2 + k^2 +  k^1 + k^1 + k^1 + 1
                = k^3 +  k^6             +  k^3             + 1
                = k^9                    +  k^3             + 1
(k   + 1)^3      = k^(12)                                    + 1
 k^3 + 1         = k^(12) - k^3 - 1

Carlo XYZ

unread,
Aug 26, 2021, 8:04:34 AMAug 26
to
Brigitta Jennen schrieb am 26.08.21 um 13:15:

> (1) Das Summenzeichen mit dem Laufindex ist, auch wenn man das klammert,
> wie Rainer vorgeschlagen hat: [k=1_Summe_n (k)], ein "optisches Monster".

Eben. Also lieber LaTeX verwenden: (\sum_{k=1}^n a_k) für a_1+...+a_n .

> Wenn ich im Folgenden einfach SUMME (von irgendwas) schreibe, soll das bedeuten,
> dass der Laufindex grundsätzlich implizit immer von k=1 bis n laufen soll!

Das wäre dann \sum a_k in LaTeX.

> (2) Hilfssatz, den wir benötigen werden und der durch gliedweises Anschreiben
> leicht bewiesen werden kann:
>
> SUMME (a_k+1) - SUMME (a_k) = a_k+1 - a_k
Bitte genauer: meinst du a_k+1 [also nur k als Index] oder a_{k+1}?

Im ersten Fall scheint mir die Differenz gleich n,
im zweiten Fall gleich a_{k+1} - a_1 zu sein.

Wo habe ich mich vertan?

Carlo XYZ

unread,
Aug 26, 2021, 8:26:06 AMAug 26
to
Brigitta Jennen schrieb am 26.08.21 um 13:15:

> OK: Los geht's:
> Das zunächst Verwirrende - ich wechsle den Standpunk und betrachte
> gar nicht die Quadratzahlen - ich starte mit der kubischen Potenzsumme!!
>
> (1+1)^3 + (2+1)^3 + (3+1)^3 + ... + (n+1)^3 = SUMME (k+1)^3
>
> Ab hier geht's ohne Pünktchen mit dem Summenzeichen weiter :-)
>
> (k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1
>
> (a) SUMME (k+1)^3 = SUMME (k^3) + 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n

OK.

> (b) SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = (n+1)^3 - 1 (nach Hilfssatz)

OK. [Hier hast du den Hilfssatz, vorher falsch aufgeschrieben,
richtig angewendet :-]

> Vergleich von (a) und (b) ergibt:
> SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n (a umgestellt)
> (n+1)^3 - 1 = 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n (Hilfssatz angewendet)

Den Hilfssatz hattest du bereits angewendet.
Hier bringst du in (a) \sum k^3 auf die linke
Seite und ersetzt diese dann durch die rechte
Seite von (b).

> 3*SUMME (k^2) = (n+1)^3 - 3*Sn - n - 1

Einfaches Umsortieren.

> 3*SUMME (k^2) = (n+1) * (n+1)^2 - 3/2*n(n+1) - n - 1

Hier wendest du einen anderen Hilfssatz an.
Und ziehst das ^3 auseinander. Ich würde
vorschlagen, nicht so viel Space um das *
herum zu machen und/oder klammern: ((n+1)(n+1)^2).

> 3*SUMME (k^2) = (n+1) * (n+1)^2 - 3/2*n(n+1) - (n + 1)
> 3*SUMME (k^2) = (n+1) * [(n+1)^2 - 3/2n - 1]
> 3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n^2 + 2n + 1 - 3/2n -1]
> 3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n^2 + n/2]
> 3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n(2n + 1)/2]
> 3*SUMME (k^2) = n(n+1)(2n+1)/2

Das sollte leichte Algebra sein und evtl. vereinfachbar.

> SUMME (k^2) = n(n+1)(2n+1)/6

Jep. Sehr schön.

> Zwei Fragen zum Schluss:
> (1) Dies ist eine (mühselige) "Herleitung" der Summenformel für
> die Quadratzahlen von 1 bis n.
> Geht das als Beweis durch?

In meinem System ja. (Die Kandidatin hat 97-98 Punkte:-)

Brigitta Jennen

unread,
Aug 26, 2021, 8:34:49 AMAug 26
to
Carlo XYZ schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 14:04:34 UTC+2:
> Brigitta Jennen schrieb am 26.08.21 um 13:15:

> > SUMME (a_k+1) - SUMME (a_k) = a_k+1 - a_k
> Bitte genauer: meinst du a_k+1 [also nur k als Index] oder a_{k+1}?
>
> Im ersten Fall scheint mir die Differenz gleich n,
> im zweiten Fall gleich a_{k+1} - a_1 zu sein.

Gemeint ist der zweite Fall.
Wenn ich das in der von Dir vorgeschlagenen LaTex-Schreibweise
(mit der ich mich nicht auskenne) formuliere will, müsste das wohl
lauten:

(\sum_{k=1}^n a_k+1) - (\sum_{k=1}^n a_k) = a_k+1 - a_k

Ich hoffe es ist klar was gemeint ist: Der Laufindex geht von k=1 bis n.
Der Ausdruck unter der Summe beginnt bei Index k+1, nicht bei k.

Ich hab mir - Deiner Anregung folgend - in den letzten Tagen die
MikTex-Distribution angeschaut. Ein ziemlicher Bolide, der mir den
Rechner zukleistert.
Bin noch unentschieden, ob ich mir - nur wegen gelegentlicher Posts hier -
das antue, :-)

> Wo habe ich mich vertan?
Nirgends - Ich habe, wie so oft, es nicht verstanden, mich unmissverständlich
auszudrücken.
Grüße B.

Brigitta Jennen

unread,
Aug 26, 2021, 8:42:08 AMAug 26
to
Carlo XYZ schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 14:26:06 UTC+2:
> Brigitta Jennen schrieb am 26.08.21 um 13:15:

> > (b) SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = (n+1)^3 - 1 (nach Hilfssatz)
> OK. [Hier hast du den Hilfssatz, vorher falsch aufgeschrieben,
> richtig angewendet :-]

Kannst Du mir sagen, wieso? Ich seh das einfach nicht :-(

> > Geht das als Beweis durch?
> In meinem System ja. (Die Kandidatin hat 97-98 Punkte:-)

Von wieviel möglichen Punkten? 10 000?

Carlo XYZ

unread,
Aug 26, 2021, 9:05:59 AMAug 26
to
Brigitta Jennen schrieb am 26.08.21 um 14:42:

> Carlo XYZ schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 14:26:06 UTC+2:
>> Brigitta Jennen schrieb am 26.08.21 um 13:15:
>
>>> (b) SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = (n+1)^3 - 1 (nach Hilfssatz)
>> OK. [Hier hast du den Hilfssatz, vorher falsch aufgeschrieben,
>> richtig angewendet :-]
>
> Kannst Du mir sagen, wieso? Ich seh das einfach nicht :-(

Die rechte Seite ist a_{k+1}-a_1, nicht a_{k+1}-a_k.
Das war der sogenannte "leicht zu beweisen"-Effekt:-)
Und leider gerade an einer ziemlich wichtigen Stelle.

>>> Geht das als Beweis durch?
>> In meinem System ja. (Die Kandidatin hat 97-98 Punkte:-)
>
> Von wieviel möglichen Punkten? 10 000?

Fishing? :-)

Nein, in Klausuren geht es üblicherweise bis 100. Gerade
bei der Induktion erlebt man die unglaublichsten Dinge.
Dein Beweis hätte den Durchschnitt mit Sicherheit
stark angehoben.

Carlo XYZ

unread,
Aug 26, 2021, 9:23:49 AMAug 26
to
Brigitta Jennen schrieb am 26.08.21 um 14:34:

> Ich hab mir - Deiner Anregung folgend - in den letzten Tagen die
> MikTex-Distribution angeschaut. Ein ziemlicher Bolide, der mir den
> Rechner zukleistert.
> Bin noch unentschieden, ob ich mir - nur wegen gelegentlicher Posts hier -
> das antue, :-)

Naja, es ist halt ein Satzsystem, das auch anderweitig
gut nutzbar ist. Ich nutze es auch für Briefe, die mit
Mathe nichts zu tun haben. Aber wenn es nur um Formeln
geht, wäre ja zunächst mal die Syntax wichtig, also _
für Index, ^ für Hochindex, \sum für Summe usw. Sehr
viel braucht man nicht, und der Rest ist im Netz ganz
gut verfügbar. Und wenn es darum geht, zu testen, wie
die Formeln aussehen, gibt es kleinere Preview-Programme.
Man braucht dazu MiKTeX überhaupt nicht. Es gibt sogar
online-Tools, z.B.

<https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php?lang=en-en>

Da kannst du deine Formel in LaTeX eintippen und unten wird
dir die mathematische Version davon angezeigt. Probier's
mal mit \sum_{k=1}^n a_{k+1} und dann mit \sum_{k=1}^n a_k+1.
Fürs Usenet reicht in einer Mathegruppe die LaTeX-Form aus.

Außerdem gibt es sehr viele speziell mit LaTeX zusammen
arbeitende Text-Editoren, siehe z.B. die Liste in

<https://tex.stackexchange.com/questions/339/latex-editors-ides>

Viele setzen ein schon installiertes TeX (so wie MiKTeX)
voraus, aber ich glaube, es gibt auch welche, die eigene
Compiler haben. Außerdem: Wenn schon MiKTeX, dann am
Anfang am besten die abgespeckte Version. Solltest du
weitere Pakete brauchen, lädt MiKTeX die selbstständig
nach. (Zumindest war's so, als ich es das letzte Mal testete.)

Brigitta Jennen

unread,
Aug 26, 2021, 9:26:18 AMAug 26
to
Carlo XYZ schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 15:05:59 UTC+2:
> Brigitta Jennen schrieb am 26.08.21 um 14:42:

> > Kannst Du mir sagen, wieso? Ich seh das einfach nicht :-(
> Die rechte Seite ist a_{k+1}-a_1, nicht a_{k+1}-a_k.
> Das war der sogenannte "leicht zu beweisen"-Effekt:-)
> Und leider gerade an einer ziemlich wichtigen Stelle.

O Elend! Ich hab den Schreibfehler einfach nicht gesehen.
Großen Dank .
Manchmal sieht man vor lauter Bäumen den Wald nicht (mehr).

Hier die (hoffentlich) fehlerfreie Version des Beweises:

Hilfssatz
---------------
den wir benötigen werden und der durch gliedweises Anschreiben
bewiesen werden kann:
SUMME (a_k+1) - SUMME (a_k) = a_k+1 - a_1

Gaus:
---------
Sn = SUMME (k) = n(n+1)/2 (einfacher Gaus)

Wenn ich im Folgenden einfach SUMME (von irgendwas) schreibe, soll das bedeuten,
dass der Laufindex grundsätzlich implizit immer von k=1 bis n laufen soll!

Das zunächst Verwirrende - ich wechsle den Standpunk und betrachte
gar nicht die Quadratzahlen - ich starte mit der kubischen Potenzsumme!!

(1+1)^3 + (2+1)^3 + (3+1)^3 + ... + (n+1)^3 = SUMME (k+1)^3

(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1

(a) SUMME (k+1)^3 = SUMME (k^3) + 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n
(b) SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = (n+1)^3 - 1 (nach Hilfssatz)

Vergleich von (a) und (b) ergibt:
SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n
(n+1)^3 - 1 = 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n

3*SUMME (k^2) = (n+1)^3 - 3*Sn - n - 1
3*SUMME (k^2) = (n+1)*(n+1)^2 - 3/2*n(n+1) - n - 1
3*SUMME (k^2) = (n+1)*(n+1)^2 - 3/2*n(n+1) - (n + 1)
3*SUMME (k^2) = (n+1)*[(n+1)^2 - 3/2n - 1]
3*SUMME (k^2) = (n+1)* [n^2 + 2n + 1 - 3/2n -1]
3*SUMME (k^2) = (n+1)*[n^2 + n/2]
3*SUMME (k^2) = (n+1)*[n(2n + 1)/2]
3*SUMME (k^2) = n(n+1)(2n+1)/2

SUMME (k^2) = n(n+1)(2n+1)/6

Ich hab die vielen Zwischenschritte mal belassen, weil ich mich hier
öfters verrechnet habe und es schwierig ist, das Ergebnis zu erhalten,
wenn man nicht sieht, dass man (n+1) ausklammern kann, wenn man
geschickt umformt.
Grüße B.

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 26, 2021, 9:32:02 AMAug 26
to
Am 26.08.2021 um 13:15 schrieb Brigitta Jennen:
>
> (1) Das Summenzeichen mit dem Laufindex ist, auch wenn man das klammert,
> wie Rainer vorgeschlagen hat: [k=1_Summe_n (k)], ein "optisches Monster".
>
> - - -
> Wenn ich im Folgenden einfach SUMME (von irgendwas) schreibe, soll das bedeuten,
> dass der Laufindex grundsätzlich implizit immer von k=1 bis n laufen soll!
> - - -

Das optische Monster war ja nicht gar so schlimm und nur zwei Zeichen
länger als Dein erster Vorschlag. Richtig kompakt wird es mit einer
Notation wie in der Programmiersprache PARI/GP, in der man z.B. schreibt
sum(k=1,3,k) und als Ergebnis 6 erhält, wie bei 1+2+3 zu erwarten.
Den Laufindex immer k zu nennen und die Grenze stets n, ist nicht so
glücklich, finde ich. Vorschlag daher: SUMME(k=1,n,irgendwas).

>
> (2) Hilfssatz, den wir benötigen werden und der durch gliedweises Anschreiben
> leicht bewiesen werden kann:
>
> SUMME (a_k+1) - SUMME (a_k) = a_k+1 - a_k (*)
>
Nein.
Erstens meinst Du mit "a_k+1" sicher "a_(k+1)".
Zweitens ist k Dein Laufindex, hat rechts also nichts zu suchen.
Links summierst Du von Index 2 bis n+1 und ziehst die Summe ab, bei der
von 1 bis n summiert wird. Damit heben sich die Glieder mit den Indizes
2 bis n weg, und es bleibt nur a_(n+1) - a_1.
Ich vermute also, dass Du statt (*) das hier schreiben wolltest:
#
# SUMME (a_(k+1)) - SUMME (a_k) = a_(n+1) - a_1 (**)
#
>
> Ab hier geht's ohne Pünktchen mit dem Summenzeichen weiter :-)
>
Siehe mein anderes Posting: es ist elegant und gut, auf der Stufe zu
argumentieren, auf der das Arbeiten mit dem Summenzeichen gesichert ist.
Die "Pünktchen" sind damit weg, weil auf der niedrigeren Stufe erledigt.
>
> Zwei Fragen zum Schluss:
> (1) Dies ist eine (mühselige) "Herleitung" der Summenformel für
> die Quadratzahlen von 1 bis n.
> Geht das als Beweis durch?

Ja, wenn jeder Schritt einer kritischen Nachfrage standhält.
Das Arbeiten mit dem Summenzeichen und den erlaubten Manipulationen
darfst Du als bewiesen voraussetzen. "Mühselig" ist eine Wertung, an der
ich mich nicht beteilige. Der Ansatz hat mich verblüfft, und ich habe
mir (noch) nicht die Mühe gemacht, die ganze Herleitung zu prüfen,
sorry. Da der Hilfssatz falsch ist, solltest Du schauen, ob da alles mit
rechten Dingen zugeht, wo Du ihn verwendet hast.

> (2) Wo liegt der Unterschied zwischen einer korrekten Herleitung
> und einem direkten Beweis?
>
Ich sehe keinen Unterschied.

Lieben Gruß,
Rainer

Brigitta Jennen

unread,
Aug 26, 2021, 9:47:54 AMAug 26
to
Rainer Rosenthal schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 15:32:02 UTC+2:

> Erstens meinst Du mit "a_k+1" sicher "a_(k+1)".

O Mann! Mir ist jetzt erst dank dieses Hinweises klar geworden, wie missverständlich
ich mich schon wieder ausgedrückt habe.
Genau! Ich meine mit (k+1) den Index, a_k +1 ist was anderes als a_(k+1).
Jetzt hab ich auch verstanden, worüber Carlo gestolpert ist.

> Ich vermute also, dass Du statt (*) das hier schreiben wolltest:
> #
> # SUMME (a_(k+1)) - SUMME (a_k) = a_(n+1) - a_1 (**)

Genau - das sollte es heißen.
Hier noch mal der Beweis in einem Rutsch, damit man nicht ständig
vor und zurückblättern muss:

> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

Zwei Bemerkungen voraus, um möglichst übersichtlich
darzustellen:

Wenn ich im Folgenden einfach SUMME (von irgendwas) schreibe, soll das bedeuten,
dass der Laufindex grundsätzlich implizit immer von k=1 bis n laufen soll!


(2) Hilfssatz, den wir benötigen werden und der durch gliedweises Anschreiben
bewiesen werden kann:

SUMME (a_(k+1)) - SUMME (a_k) = a_(k+1) - a_k

(3) Sn = SUMME (k) = n(n+1)/2 (einfacher Gaus)


Das zunächst Verwirrende - ich wechsle den Standpunk und betrachte zunächst
gar nicht die Quadratzahlen - ich starte mit der kubischen Potenzsumme!!

(1+1)^3 + (2+1)^3 + (3+1)^3 + ... + (n+1)^3 = SUMME (k+1)^3

(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1

(a) SUMME (k+1)^3 = SUMME (k^3) + 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n
(b) SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = (n+1)^3 - 1 (nach Hilfssatz)

Vergleich von (a) und (b) ergibt:
SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n
(n+1)^3 - 1 = 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n

3*SUMME (k^2) = (n+1)^3 - 3*Sn - n - 1
3*SUMME (k^2) = (n+1) * (n+1)^2 - 3/2*n(n+1) - n - 1
3*SUMME (k^2) = (n+1) * (n+1)^2 - 3/2*n(n+1) - (n + 1)

3*SUMME (k^2) = (n+1) * [(n+1)^2 - 3/2n - 1]
3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n^2 + 2n + 1 - 3/2n -1]
3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n^2 + n/2]
3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n(2n + 1)/2]
3*SUMME (k^2) = n(n+1)(2n+1)/2

SUMME (k^2) = n(n+1)(2n+1)/6

Grüße
Brigitta

> Lieben Gruß,
> Rainer

Brigitta Jennen

unread,
Aug 26, 2021, 9:53:57 AMAug 26
to
Sorry, da hab ich im Vor-Posting noch die alte Version mit dem Tippfehler
im Hilfssatz erwischt. Jetzt sollte es passen:

> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

Zwei Bemerkungen voraus, um möglichst übersichtlich
darzustellen:

Wenn ich im Folgenden einfach SUMME (von irgendwas) schreibe, soll das bedeuten,
dass der Laufindex grundsätzlich implizit immer von k=1 bis n laufen soll!


(2) Hilfssatz, den wir benötigen werden und der durch gliedweises Anschreiben
bewiesen werden kann:

SUMME (a_(k+1)) - SUMME (a_k) = a_(k+1) - a_1

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 26, 2021, 10:00:19 AMAug 26
to
Am 26.08.2021 um 15:53 schrieb Brigitta Jennen:
> Sorry, da hab ich im Vor-Posting noch die alte Version mit dem Tippfehler
> im Hilfssatz erwischt. Jetzt sollte es passen:
>
>
> SUMME (a_(k+1)) - SUMME (a_k) = a_(k+1) - a_1
>
Brigitta muss sich mehr konzentrieren!

SUMME (a_(k+1)) - SUMME (a_k) = a_(n+1) - a_1

:-)
Gruß,
Rainer

Dieter Heidorn

unread,
Aug 26, 2021, 10:41:37 AMAug 26
to
Jens Kallup schrieb:
> Am 26.08.2021 um 13:57 schrieb Jens Kallup:
> kleiner Typo: k^3
>
>
> (k + 1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1
>

Richtig.

> = k^3 + k^2 + k^2 + k^2 + k^1 + k^1 + k^1 + 1

> = k^3 + k^6 + k^3 + 1

Nein. Die Potenz k^6 steht für

k*k*k*k*k*k = k^6,

ist also eine "Abkürzung" für die 6-malige Multiplikation von k mit sich
selbst.

Dagegen ist

k^2 + k^2 + k^2 = 3 * k^2 .

Links steht ein Summenterm, der sich nicht nicht in k^6 umwandeln lässt.

Entsprechend ist 3k = k + k + k nicht gleich k^3, denn k^3 steht für k^3
= k*k*k.

> k^3 + k^6 + k^3 + 1
> = k^9 + k^3 + 1

Nein:

k^3 + k^6 + k^3 + 1

= k^6 + 2*k^3 + 1

= k*k*k*k*k*k + 2*k*k*k + 1

> k^9 + k^3 + 1
= k^(12)

Die Hochzahlen von Potenzen gleicher Basis werden dann addiert, wenn die
Potenzen multipliziert werden:

k^6 * k^3

= k*k*k*k*k*k * k*k*k

= k^9, da 9 Faktoren "k" vorliegen.

Vielleicht hilft dir diese Seite bei deinen "Potenzproblemen" ;-) :

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29

Dieter Heidorn

Brigitta Jennen

unread,
Aug 26, 2021, 12:10:59 PMAug 26
to
Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 24. August 2021 um 20:53:32 UTC+2:

> Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
> Induktion gar nicht beweisbar ist.
>
> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.
> ...

Hier ein Vorschlag für den Beweis über vollständige Induktion:
(Hoffentlich ohne Tipp- und Rechenfehler)

Ich beweise das für n e N, starte also mit 1:

BEWEIS
------------
durch vollständige Induktion

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = SUMME{von k=1 bis n} (k^2)
SUMME{von k=1 bis n} (k^2) = n (n+1) (2n+1) / 6

Induktions-Anfang (IA) für (n=1):
SUMME{von k=1 bis n} (k^2) = 1^2 =1= 1*(1+1)*(1+2) / 6 OK.

Induktions-Voraussetzung (IV):
SUMME{von k=1 bis n} (k^2) = n (n+1) (2n+1) / 6

Induktions-Behauptung (IB):
SUMME{von k=1 bis n+1} (k^2) = (n+1) ((n+1)+1) (2(n+1)+1) / 6
SUMME{von k=1 bis n+1} (k^2) = (n+1) (n+2) (2n+3) / 6

Induktions-Schluss (IS):
(Zeige, dass sich durch Äquivalenz-Umformungen die linke Seite
der Ind.-Behauptung in deren rechte Seite überführen lässt!)

SUMME{von k=1 bis n+1} (k^2) = SUMME{von k=1 bis n} (k^2) + (n+1)^2
SUMME{von k=1 bis n+1} (k^2) = n (n+1) (2n+1) / 6 + (n+1)^2 (nach IV)

Zu zeigen ist also:
n (n+1) (2n+1) / 6 + (n+1)^2 = (n+1) (n+2) (2n+3) / 6
oder
beide Seiten mit 6 multipliziert:

n (n+1) (2n+1) + 6(n+1)^2 = (n+1) (n+2) (2n+3) (* Zu zeigen)

n (n+1) (2n+1) + 6(n+1)^2 = n (n+1) (2n+1) + 6(n+1) (n+1)
= (n+1) [n(2n+1) + 6(n+1)]
= (n+1) [2n^2 + n + 6n + 6)] = (n+1) [2n^2 + 7n + 6)]
= (n+1) (n+2) (2n+3) (* gezeigt)


Gruß B.

> Gruß,
> Rainer Rosenthal
> r.ros...@web.de

Juergen Ilse

unread,
Aug 26, 2021, 2:28:29 PMAug 26
to
Hallo,
Dass (n+1)*(2n^2+7n+6)=(n+1)*(n+2)*(2n+3) ist, ist nicht auf den ersten Blick
erkennbar. Natuerlich koennte man (n+2)*(2n+3) ausmultiplizieren und imt
(2n^2+7n+6) vergleichen, aber man bekommt das auch in wenigen Schritten durch
direkte Umformung hin:

(n+1)*(2n^2+7n+6) =
(n+1)*(2n^2+3n + 4n+6) =
(n+1)*((2n+3)*n + (4n+6)) =
(n+1)*((2n+3)*n + 2*(2n+3)) =
(n+1)*((2n+3)*(n+2)) =
(n+1)*(2n+3)*(n+2) =
(n+1)*(n+2)*(2n+3)

Hier sieht man glaube ich mehr als deutlich, mit welchen Umformungen man
von (n+1)*(2n^2+7n+6) zu (n+1)*(n+2)*(2n+3) kommt, ohne irgend etwas aus-
zumultiplizieren und zu vergleichen. Mir zumindest waeren diese Umformungen
komplett imKopf ohne etwas zu notieren etwas schwer gefallen (ich haette
nicht alle oben genannten Schritte aufschreiben muessen, aber alles im
Kopf waere mir bei den Umformungen doch etwas schwer gefallen).
Sicher sind diese Umformungen nicht schwer, aber ich finde, sie sind nicht
so offensichtlich, dass man sie einfach weglassen kann ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Brigitta Jennen

unread,
Aug 26, 2021, 3:40:42 PMAug 26
to
Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 20:28:29 UTC+2:

> Dass (n+1)*(2n^2+7n+6)=(n+1)*(n+2)*(2n+3) ist, ist nicht auf den ersten Blick
> erkennbar.

Das ist ein schönes Beispiel dafür, wie unterschiedlich die Mustererkennung
in unseren Gehirnen ablaufen kann. Ich hab komischerweise sofort gesehen,
dass man den Term (2n^2+7n+6) „faktorisieren“ kann, als er vor mir auf dem
Papier stand, und musste darüber eigentlich nicht nachdenken.

> Natuerlich koennte man (n+2)*(2n+3) ausmultiplizieren und imt
> (2n^2+7n+6) vergleichen, aber man bekommt das auch in wenigen Schritten durch
> direkte Umformung hin:
>
> (n+1)*(2n^2+7n+6) =
> (n+1)*(2n^2+3n + 4n+6) =
> (n+1)*((2n+3)*n + (4n+6)) =
> (n+1)*((2n+3)*n + 2*(2n+3)) =
> (n+1)*((2n+3)*(n+2)) =
> (n+1)*(2n+3)*(n+2) =
> (n+1)*(n+2)*(2n+3)
>
> Hier sieht man glaube ich mehr als deutlich, mit welchen Umformungen man
> von (n+1)*(2n^2+7n+6) zu (n+1)*(n+2)*(2n+3) kommt, ohne irgend etwas aus-
> zumultiplizieren und zu vergleichen. Mir zumindest waeren diese Umformungen
> komplett imKopf ohne etwas zu notieren etwas schwer gefallen (ich haette
> nicht alle oben genannten Schritte aufschreiben muessen, aber alles im
> Kopf waere mir bei den Umformungen doch etwas schwer gefallen).
> Sicher sind diese Umformungen nicht schwer, aber ich finde, sie sind nicht
> so offensichtlich, dass man sie einfach weglassen kann ...

Die Umformungen finde ich prima.
Noch interessanter finde ich die unterschiedlichen „Sichtweisen“, die hier
zu Tage treten.
Vielen Dank dafür!
Grüße B.

> Tschuess,
> Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Ulrich Diez

unread,
Aug 26, 2021, 5:10:46 PMAug 26
to
Rainer Rosenthal schrieb:

> Am 25.08.2021 um 05:47 schrieb Ulrich Diez:

> > Ich mache es mal umständlich.
> >
> Warum?

Die Gedankengänge an sich sind bei diesem Beweis ja nicht sehr spektakulär. :-)

Aus diesem Grund wollte ich die Gelegenheit auch für etwas anderes
nutzen, nämlich den Bezug der vervollständigenden Induktion zu Mengen
zu betonen.

Allerdings ohne viele neue Bezeichner auf einmal einzuführen, weil "viele
neue Bezeichner auf einmal" vor allem in der Phase des Lernens und
Sich-Mit-Thematiken Vertraut-Machens oft verwirrend sind.

Die Umständlichkeit bestand hauptsächlich dahin, etwas längliche
Beschreibungen von Mengen wiederholt hinzuschreiben.

Den Bezug zu Mengen wollte ich betonen, weil er meiner Meinung
nach sehr hilfreich ist wenn man sich zB der transfiniten Induktion
und ähnlichen Verfahren zuwendet.

Lehbuchreif sind meine Ausführungen aber leider nicht
geworden. ZB habe ich nirgendwo Aspekte wie
Wohlodnung erwähnt, geschweige denn, wie man mit dem
Umstand umgeht, dass beim Schluss von n auf n+1
davon ausgegangen wird, dass zwischen n und n+1 keine
weiteren Elemente liegen.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 26, 2021, 5:47:19 PMAug 26
to
Am 26.08.2021 um 21:40 schrieb Brigitta Jennen:
>
> Die Umformungen finde ich prima.
> Noch interessanter finde ich die unterschiedlichen „Sichtweisen“, die hier
> zu Tage treten.
>
Mir ist vorhin in der Bahn eine weitere Sichtweise in den Sinn gekommen.
Dank blöder Schusselfehler kam in der Bahn noch nicht das Gewünschte
heraus, aber daheim nochmal kurz konzentriert - und wupps! hatte ich
einen /neuen Beweis/ gefunden.

Die Funktion Sq(n), die den Wert von 02 + 1^2 + ...+ n^2 liefern soll,
setze ich wieder an als Sq(n) = a + b n + c n^2 + d n^3 und weiß, dass a
= 0 sein muss, um Sq(0) = 0 zu gewährleisten.

Für die noch zu bestimmenden Koeffizienten b, c und d nutze ich die
folgende Beobachtung: wenn ich Sq(n) in der Form b n + c n^2 + d n^3
schreiben kann, dann ist
Sq(n+1) = b(n+1) + c(n+1)^2 + d(n+1)^3
= bn + b + c(n^2+2n+1) + d(n^3+3n^2+3n+1)
= b + c + d + n(b+2c+3d) + n^2(c+3d) + n^3(d) (Polynom A)

und auch Sq(n+1) = Sq(n) + (n+1)^2, also
Sq(n+1) = b n + c n^2 + d n^3 + (n+1)^2
= b n + c n^2 + d n^3 + n^2 + 2n + 1
= 1 + n(b+2) + n^2(c+1) + n^3(d) (Polynom B)

Da das für jeden Wert von n gleich sein soll, müssen die Koeffizienten
in den beiden Polynomen gleich sein:
b + c + d = 1, b + 2c + 3d = b + 2 und c + 3d = c + 1.
Aus der letzten Gleichung folgt sofort d = 1/3.
Setzt man das in die zweite Gleichung ein: b + 2c + 1 = b + 2, sieht man
sofort, dass c = 1/2 ist. Und aus der ersten Gleichung berechnet man
dann b: b + 1/2 + 1/3 = 1 liefert b = 1/6.

Die Formel Sq(n) = b n + c n^2 + d n^3 = n/6 + n^2/2 + n^3/3 ist
äquivalent zu Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

Das Spannende ist: ich habe hier die Koeffizienten nicht nur "erraten"
aus der Kenntnis der 4 Werte Sq(0), Sq(1), Sq(2) und Sq(3), wonach dann
noch der mühsame Nachweis Sq(n) + (n+1)^2 = Sq(n+1) zu erbringen war,
sondern ich habe sie direkt aus eben dieser Bedingung Sq(n) + (n+1)^2 =
Sq(n+1) gewinnen können! Somit ist sie bereits erfüllt. Auch Sq(0) = 0
ist gewährleistet, also ... alles gut!

Bin richtig stolz auf mich.

Gruß,
Rainer

Hoppla, gerade will ich auf "senden" klicken, da fällt mir ein: habe ich
nun nicht meine eigene Behauptung widerlegt, dass der Beweis der
Summenformel den Induktionsbeweis benötigt? (Entweder direkt oder über
die Rechenregeln für Summen.) Aber nein, der Beweis ist ja genau das:
ein Induktionsbeweis, denn der Induktionsanfang Sq(0) = 0 ist
verifiziert, und der Induktionsschritt funktioniert per Konstruktion.
Also ... alles richtig gut. // SENDEN!


Rainer Rosenthal

unread,
Aug 26, 2021, 5:59:13 PMAug 26
to
Am 26.08.2021 um 23:47 schrieb Rainer Rosenthal:
>
> Die Funktion Sq(n), die den Wert von 02 + 1^2 + ...+ n^2 liefern soll,
>

Mist, Schreibfehler. Soll heißen

Die Funktion Sq(n), die den Wert von 0^2 + 1^2 + ...+ n^2 liefern soll,

Jaja, Konzentration und Sorgfalt.

Ulrich Diez

unread,
Aug 26, 2021, 6:11:36 PMAug 26
to
[Dieses Posting ist off-topic.
Ich bitte darum, ggfs nach de.comp.text.tex zu wechseln.]

Brigitta Jennen schrieb:

> Ich hab mir - Deiner Anregung folgend - in den letzten Tagen die
> MikTex-Distribution angeschaut. Ein ziemlicher Bolide, der mir den
> Rechner zukleistert.

Bei TeX handelt es sich um ein Textsatz-System, das von Donald E. Knuth
entwickelt wurde. Eine Art Programmiersprache, um Dokumente zu
beschreiben. Der TeX-Compiler arbeitet die in Form einer einfachen
Textdatei vorliegende Beschreibung ab und macht eine hübsch
aussehende .pdf-Datei.

LaTeX stellt eine Sammlung an in der Programmiersprache TeX
programmierten Dingen/Strukturen dar, die beim Beschreiben von
Dokumenten nützlich sind und außerdem auch ein logisches
Markup betonen.

In TeX würde man zB beschreiben, dass jetzt eine große, fette Schrift
verwwendet werden soll. In LaTeX gibt man einen Befehl an, der
bedeutet, eine Abschnittsüberschrift auf einer bestimmten
Gliederungsebene zu erzeugen. Der wird dann intern in TeX-
Anweisungen zerdröselt.

MiKTeX ist eine Portierung dieses Systems auf Windows. Also
ausführbare Dateien für Windows.


Wir zweckentfremden aber die Programmiersprache TeX, denn das
ist praktisch:

Der Editor, in dem man einen Quelltext in der Programmiersprache
TeX erstellt, ist genauso Medium, in dem man nur einzelne Zeichen
zu einer Zeile aneinander und mehrere Zeilen untereinander reihen
kann, wie das Eingabefenster Deines Usenet-Clients/des
Google-Groups-Interface.
Bei beidem kann man zB keine Summenzeichen mit hoch- und
tiefgestelltem Text oder Wurzelzeichen, bei denen der Wurzelstrich
über längere Terme geht, direkt "hinmalen"-

Wir verwenden die Programmiersprache TeX, um im textbasierten
Medium Usenet mathematische Ausdrücke/Symbole in dieser Sprache
darzustellen, in der Hoffnung, dass andere, die diese Sprache auch
kennen, dann leichter verstehen, um was es uns geht.

Wir verwenden sie nicht, um daraus .pdf-Dateien erzeugen zu lassen.
Also brauchen wir die Programme, die daraus pdf-Dateien erzeugen,
streng genommen gar nicht.
Wir müssen nur die Sprache kennen.

Wenn Du diese Sprache nicht verwenden willst, um .pdf-Dateien
erzeugen zu lassen, dann brauchst Du diese Programme nicht.

Wenn Du diese Sprache verwenden willst, um hier im Usenet
mathematische Ausdrücke in dieser Sprache hinzuschreiben,
dann musst Du diese Sprache nur kennen.

Unter Umständen reicht es für Dich also aus, eine Einführung
in diese Sprache zu ergoogeln und zu lesen.



Wenn Du aber daran interessiert bist, das Textsatzsystem TeX
zu verwenden, um .pdf-Dateien zu erzeugen, dann empfehle
ich, in nächster Zeit _nicht_ die TeX-Distribution
MiKTeX zu verwenden, denn da gibts zur Zeit etliche Bugs.

ZB haben zur Zeit etliche Leute Probleme mit dem mitgelieferten
Eingabeeditor "TeXworks". Bei mir funktioniert seit dem letzten
MiKTeX-Update dieser Eingabeeditor nicht mehr. Stattdessen
hagelt es Fehlermeldungen auf Windows-Ebene.

Ich empfehle stattdessen die TeX-Distribution TeXLive, die von
der TeX User Group (tug) bestens gepflegt wird und für
diverse Plattformen (Mac, Linux, Windows) bereitgestellt ist.

Hier ist ein Link zur TeXLive-Portierung für Windows:

<https://www.tug.org/texlive/windows.html>

TeXLive hat den Vorteil, dass man es auch auf einem USB-
Stick installieren kann und den Stick dann an verschiedenen
Rechnern einsetzen kann. Dann müllt es die Festplatte nicht zu. :-)

Wichtige Anlaufstellen für Informationen sind zB:

- Die TeX User Group: <https://www.tug.org>
- Die deutschsprachige TeX-Anwender-Vereinigung: <https://www.dante.de>
- Die englischsprachige Usenet-Newsgroup comp.text.tex
- Die deutschsprachige Usenet-Newsgroup de.comp.text.tex
- Die TeX-FAQ: <https://texfaq.org>
- Das Comprehensive TeX Archive Network (CTAN): <https://ctan.org>
- Die Question-Answer-Seite "TeX-LaTeX StackExchange": <https://tex.stackexchange.com>

Eine erste nette Einführung findet sich zB unter
<https://math.stugen.de/wordpress/wp-content/uploads/2020/10/presentation-mathe-handout.pdf>

Für die Darstellung von Mathe-Ausdrücken im Usenet sind aber allenfalls die
Seiten 62 - 71 interessant.


Mit freundlichem Gruß

Ulrich

Juergen Ilse

unread,
Aug 26, 2021, 8:11:46 PMAug 26
to
Hallo,

Brigitta Jennen <ladya...@gmail.com> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 20:28:29 UTC+2:
>
>> Dass (n+1)*(2n^2+7n+6)=(n+1)*(n+2)*(2n+3) ist, ist nicht auf den ersten Blick
>> erkennbar.
>
> Das ist ein schönes Beispiel dafür, wie unterschiedlich die Mustererkennung
> in unseren Gehirnen ablaufen kann. Ich hab komischerweise sofort gesehen,
> dass man den Term (2n^2+7n+6) „faktorisieren“ kann, als er vor mir auf dem
> Papier stand, und musste darüber eigentlich nicht nachdenken.

Ich wuerde vermuten, dass viele nicht auf Anhieb die moegliche Faktorisierung
der Summer auf einen Blick erkennen.

>> Natuerlich koennte man (n+2)*(2n+3) ausmultiplizieren und imt
>> (2n^2+7n+6) vergleichen, aber man bekommt das auch in wenigen Schritten durch
>> direkte Umformung hin:
>>
>> (n+1)*(2n^2+7n+6) =
>> (n+1)*(2n^2+3n + 4n+6) =
>> (n+1)*((2n+3)*n + (4n+6)) =
>> (n+1)*((2n+3)*n + 2*(2n+3)) =
>> (n+1)*((2n+3)*(n+2)) =
>> (n+1)*(2n+3)*(n+2) =
>> (n+1)*(n+2)*(2n+3)
>>
>> Hier sieht man glaube ich mehr als deutlich, mit welchen Umformungen man
>> von (n+1)*(2n^2+7n+6) zu (n+1)*(n+2)*(2n+3) kommt, ohne irgend etwas aus-
>> zumultiplizieren und zu vergleichen. Mir zumindest waeren diese Umformungen
>> komplett imKopf ohne etwas zu notieren etwas schwer gefallen (ich haette
>> nicht alle oben genannten Schritte aufschreiben muessen, aber alles im
>> Kopf waere mir bei den Umformungen doch etwas schwer gefallen).
>> Sicher sind diese Umformungen nicht schwer, aber ich finde, sie sind nicht
>> so offensichtlich, dass man sie einfach weglassen kann ...
>
> Die Umformungen finde ich prima.

Ich haette fuer mich mit Sicherheit nicht alle Schritte aufgeschrieben.
Ich habe das dort oben so ausfuehrlich notiert, damit jeder ohne jedes
Problem auf einfachste Weise nachvollziehen kann.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Brigitta Jennen

unread,
Aug 27, 2021, 7:34:17 AMAug 27
to
Ulrich Diez schrieb am Freitag, 27. August 2021 um 00:11:36 UTC+2:
> [Dieses Posting ist off-topic.
...

Ganz herzlichen Dank für diese ausführliche Hlfestellung und die Links.
Das hat mir enorm viel Sucharbeit im Netz erspart.
Gruß B.

> Mit freundlichem Gruß
>
> Ulrich

Brigitta Jennen

unread,
Aug 27, 2021, 7:42:53 AMAug 27
to
Carlo XYZ schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 15:23:49 UTC+2:

> Naja, es ist halt ein Satzsystem, das auch anderweitig
> gut nutzbar ist. Ich nutze es auch für Briefe, die mit
> Mathe nichts zu tun haben.

Danke für die Hinweise.
Auch wenn es etwas OT ist: Was hast Du - als Profi - bei Dir genau installiert?

Jens Kallup

unread,
Aug 27, 2021, 7:57:59 AMAug 27
to
Am 26.08.2021 um 16:41 schrieb Dieter Heidorn:
>>                  = k^3 +  k^2 + k^2 + k^2 +  k^1 + k^1 + k^1 + 1
>
>>                  = k^3 +  k^6             +  k^3             + 1
>
> Nein. Die Potenz k^6 steht für

hier habe ich die Potenzen zusammen gezählt (auf der rechten Seite):

= (k^3) + ( k^2 + k^2 + k^2 ) + ( k^1 + k^1 + k^1 ) + 1
= (k^3) + ( k^6 ) + ( k^3 ) + 1
= (k^3 + k^6 + k^3 ) + 1
= (k^9 + k^3 ) + 1
= k^(12) + 1

dann stand ja auf der linken Seite:

= (k + 1)^3
= (k^1 + 1) + (k^1 + 1) + (k^1 + 1)
= k^3 + 3

zusammen:

k^3 + 3 = k^(12) + 1 | minus 1 auf beiden Seiten:
k^3 + 2 = k^(12) | minus k^3 auf beiden Seiten:
2 = k^9

Jens

Carlo XYZ

unread,
Aug 27, 2021, 9:26:23 AMAug 27
to
Brigitta Jennen schrieb am 27.08.21 um 13:42:

> Auch wenn es etwas OT ist: Was hast Du - als Profi - bei Dir genau installiert?

Ich nutze schon seit Langem Macintosh statt Windows und bin damit
zufrieden. Für LaTeX nutze ich TeXShop von Richard Koch et al.:

<https://de.wikipedia.org/wiki/TeXShop>

<https://pages.uoregon.edu/koch/texshop/obtaining.html>

Dazu MacTeX als TeX-Engine und BibTeX für Bibliographien.

Für Windows gibt es ein ähnliches Programm, TeXStudio:

<https://www.texstudio.org>

<https://de.wikipedia.org/wiki/TeXstudio>

Das empfehle ich, wenn gefragt, eher als TeXWorks oder TeXMaker.

Ulrich Diez

unread,
Aug 27, 2021, 9:30:08 AMAug 27
to
Juergen Ilse schrieb:

> Brigitta Jennen <ladya...@gmail.com> wrote:
> > Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 20:28:29 UTC+2:
> >
> >> Dass (n+1)*(2n^2+7n+6)=(n+1)*(n+2)*(2n+3) ist, ist nicht auf den ersten Blick
> >> erkennbar.
> >
> > Das ist ein schönes Beispiel dafür, wie unterschiedlich die Mustererkennung
> > in unseren Gehirnen ablaufen kann. Ich hab komischerweise sofort gesehen,
> > dass man den Term (2n^2+7n+6) „faktorisieren“ kann

Mein derzeitiger Gesundheitszustand geht mit einer starken
Beeinträchtigung meiner Mustererkennung einher.

Ich musste mir also recht unelegant damit behelfen, mich auf den
Ausgangspunkt zu besinnen, also darauf, was ich zeigen/beweisen
möchte.

In dem von mir geposteten Beweis hatte ich beim Eintippen irgendwann
die folgenden Zeilen dastehen:

| Wenn das Element k in der Menge
| { n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
| liegt, liegt auch das Element (k+1) in der Menge
| { n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 } :
|
| k in Z ; k > -1; Summe_{m=0}^{m=k}{m^2} = k(k+1)(2k+1)/6
| <-->
[...]
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} = (k+1)(2k^2+7k+6)/6


Ziel der Betrachtung war es also, irgendwann einen Ausdruck der Form

Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 } ; n=(k+1)

bzw einen Ausdruck der Form

Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} =(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6 }

zu erhalten, und ich hatte bereits einen Ausdruck der Form

Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} = (k+1)(2k^2+7k+6)/6

. Die Form dieser Ausdrücke unterschied sich nur in der Form des
Faktors hinter (k+1).

Da lag die Annahme nahe, dass diese beiden Formen des Faktors
hinter (k+1) äquivalent seien, dass also

((k+1)+1)(2(k+1)+1) = (2k^2+7k+6).

Und da lässt sich ja die linke Seite problemlos zusammenfassen und
ausmultiplizieren, sodass man die Äquivalenz problemlos nachweisen
kann, ohne das Stichwort "Faktorisieren" ins Spiel bringen zu müssen. :-)

( Als persönliche Marotte von mir vermeide ich das Stichwort "Faktorisieren"
inzwischen gerne, denn es gibt Personenkreise, in denen davon ausgegangen
wird, dass Faktorisieren nicht unbedingt immer eine triviale Angelegenheit
ist, und in denen es deshalb mitunter als abschreckend empfunden wird. :-) )

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

Jens Kallup

unread,
Aug 27, 2021, 9:35:45 AMAug 27
to
Hallo Brigitta,

ich verwende den Thunderbird - ein E-Mail Client von Mozilla.
Er ist OpenSoftware, und daher frei verwendbar.
Es gibt verschiedene Hilfstools.
In älteren Versionen gab es mal ein Add-On, das LaTeXit genannt
wurde.

Damit konnte man LaTeX Befehle in der Mail eingeben und dann als
Bildanhang mit versenden.
Aber seit neueren Verionen kann man dieses Addon nicht mehr nutzen
wegen dem geänderten internen Format von thunderbird.

Es wird aber sporadisch daran gearbeitet, dieses Addon zu migrieren.
von daher bin ich mal gespannt.

Jens

Jens Kallup

unread,
Aug 27, 2021, 9:39:00 AMAug 27
to
ja, TexStudio nutze ich auch.
Habe schlechte Erfahrung mit MS-Word gemacht.
Tagelange Arbeit auf einmal weg, wegen irgend
welche Speicherprobleme bei größeren Projekten.

In TexStudio kann man richtig schnukkelige Sachen
machen.
Allerdings darf man nicht zu hektisch ans Werk
gehen, da sonst das Programm schnell crasht.

Jens

Carlo XYZ

unread,
Aug 27, 2021, 9:50:03 AMAug 27
to
Jens Kallup schrieb am 27.08.21 um 15:38:

> In TexStudio kann man richtig schnukkelige Sachen
> machen.
> Allerdings darf man nicht zu hektisch ans Werk
> gehen, da sonst das Programm schnell crasht.

Wundert mich nicht, wenn du mit deinem
Computer so umgehst wie mit der Mathematik.

Jens Kallup

unread,
Aug 27, 2021, 9:55:20 AMAug 27
to
Am 27.08.2021 um 15:50 schrieb Carlo XYZ:
> Wundert mich nicht, wenn du mit deinem
> Computer so umgehst wie mit der Mathematik.

die andere Sache ist die:
wenn alles fadengrade läuft, gibts ja nix mehr zu besprechen :)

Ulrich Diez

unread,
Aug 27, 2021, 11:34:56 AMAug 27
to
[Dieses Posting ist off-topic.
Ich bitte darum, ggfs nach de.comp.text.tex zu wechseln.]

Brigitta Jennen schrieb

> Ganz herzlichen Dank für diese ausführliche Hlfestellung und die Links.
> Das hat mir enorm viel Sucharbeit im Netz erspart.

Gern geschehen.

In meinem "praktischen Leben" vewende ich (La)TeX eher selten.

Weil es ausserhalb der "Akademischen Welt" und der "Welt der
Setzer von druckreifem Text, die aber häufig auch andere
Programme verwenden" nicht stark verbreitet ist, können die
meisten Leute, mit denen ich im Alltag zu tun habe, nichts
mit TeX-Quelltexten/LaTeX-Quelltexten anfangen.

TeX ist zwar Turing-fähig, aber TeX/LaTeX ist eigentlich keine
"Allzweck"-Programmiersprache, sondern eine Programmiersprache
für den Zweck, Dokumente so zu beschreiben, dass ein
TeX-Compiler/eine TeX-Engine hübsche druckreife
.pdf-Dateien erzeugen kann.
Darauf ist diese Programmiersprache zugeschnitten.

Da TeX Turing-fähig ist, kann man TeX durchaus auch für anderes
verwenden. ZB hat Steve Hicks sich den Spaß erlaubt, die
Programmierung für einen Controller für einen Mars-Rover in TeX
zu schreiben:
<http://sdh33b.blogspot.com/2008/07/icfp-contest-2008.html>.

Aber wenn man die Sprache TeX/das Format LaTeX für
anderes verwendet, ist man sehr schnell an einem Punkt, an dem
einem alles (zu)recht umständlich vorkommt.

Außerdem:

Da die Programmiersprahche (La)TeX auf das Erledigen von
Aufgaben aus dem Bereich des Textsatzes zugeschnitten ist,
wird man beim Einarbeiten in TeX unweigerlich auch ständig
mit Problemen aus dem Bereich des Textsatzes konfrontiert und
mit Wissen darüber befrachtet.

Die Frage ist, ob man zu den Leuten gehört, für die solches
Wissen interessant ist. Ob man zu den Leuten gehört, denen
es zB Spaß macht, sich den Kopf über das Vermeiden von
Schusterjungen, Hurenkindern und Witwen (Fachbegriffe aus
dem Textsatz) zu zerbrechen.

Um sich lediglich im Usenet und in ähnlichen textbasierten
Medien mit Leuten über mathematische Ausdrücke austauschen
zu können, reicht es allemal aus, die grundlegendsten Konventionen
der Sprache TeX für das Beschreiben von mathematischen
Ausdrücken zu kennen.

Dazu musst Du nicht auf Deinem Computer eine ganze
riesige TeX-Maschinerie installieren und anwerfen. :-)

-----------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------

Falls Du Dir tatsächlich TeX-Programmierung bzw Textsatz/
Dokumenterstellung mit LaTeX antun möchtest, empfehle ich,
über die Google-Groups-Suche in den Archiven der Newsgroups
comp.text.tex / de.comp.text.tex herumzustöbern und Dich an
die Plattform TeX-LaTeX-StackExchange ( <https://tex.stackexchange.com> )
zu halten, denn zur Zeit ist diese Plattform einer der Haupt-
Treffpunkte, auf der sich tagtäglich (La)TeX-Koryphäen und
Entwickler aller Welt untereinander austauschen und sich auch
recht gründlich/eingehend/freundlich mit Fragen von noch nicht
so versierten Nutzern befassen.

Im Vordergrund steht bei TeX-LaTeX-StackExchange
( <https://tex.stackexchange.com> ) die Frage-Antwort-Plattform.

Es gibt daneben aber auch einen Chat, in dem man Dinge eher in
Echtzeit miteinander abhandeln kann, und wo nicht jedes Wort
gleich auf die Goldwaage gelegt wird, sondern erst, wenn deutlich
wird, dass zB ein Mangel an Präzision nicht auf dem Wunsch
nach Marsch-Erleichterung beim Darlegen von Sachverhalten
beruht, sondern auf Verständnisproblemen.

Und auch eine Meta-Plattform, in der man sich zB darüber
unterhalten kann, wie das Interface der Plattform funktioniert, wie
die Verhaltensregeln sind, und auch mal die Sinnhaftigkeit mancher
Features hinterfragen kann.

-----------------------------------------------------------------

Eines der für TeX-Programmierer/innen wichtigsten Referenz-
Werke ist nach wie vor

"Computers & Typesetting, Volume A - The TeXbook"
( <https://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/abcde.html#texbk> )
von Prof. emer. Dr. Donald Ervin Knuth, dem Erfinder von TeX.

Sollte Dich aus irgendeinem abstrussen Grund die unbändige Lust
überkommen, dieses Buch, das sogar "Jokes" enthält(!), durchzuackern,
dann mache nicht den Fehler, den ich seinerzeit gemacht habe, nämlich
zu glauben, man könne es sich zu Gemüte führen wie nette Belletristik,
sondern lies es wie ein penibler Anwalt, der jede Phrase eines
Vertragswerks auf Fallen überprüft und die Implikationen jeder
einzelnen Phrase genau erfassen muss.

Dieses Buch ist nämlich für Leute gedacht, die gerne jedes Wort
auf die Platinwaage legen. :-)

Nicht umsonst schreibt Donald E. Knuth schon im Vorwort/Preface:

| Another noteworthy characteristic of this manual is that it doesn't
| always tell the truth. When certain concepts of TeX are introduced
| informally, general rules will be stated; afterwards you will find that
| the rules aren’t strictly true. In general, the later chapters contain
| more reliable information than the earlier ones do.
| The author feels that this _technique_ _of_ _deliberate_ _lying_
| will actually make it easier for you to learn the ideas. Once yo
| understand a simple but false rule, it will not be hard to supplement
| that rule with its exceptions.

Dieses Buch erzählt also nicht immer gleich die "Wahrheit", sondern
oft erst eine vereinfachte Version der Wahrheit. Wenn später die
Feinheiten erklärt werden, muss man genau wissen, was dasteht, um
die subtilen Unterschiede zwischen der vereinfachten Version und der
"Wahrheit" zu erfassen.

Wer es absolut auf die Spitze treiben möchte, der zieht auch noch
"Computers & Typesetting, Volume B - TeX: The Program"
(<https://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/abcde.html#abcde>)
zurate, den kommentierten Quelltext, den Knuth
(<https://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/>) mit einem von ihm
entwickelten Ansatz des "Literate Programming", der Sprache Web,
die eine Mischform aus Pascal und TeX darstellt,
geschrieben und als hübsches Buch veröffentlicht hat, noch bevor
das Wort "Web" mit "Internet bzw World Wide Web" assoziiert wurde .

-----------------------------------------------------------------

Makro-Programmierung in TeX ist seit etwas mehr als
zwanzig Jahren eines meiner Hobbies.

Und zwar, weil ich das früher schwierig fand und mich deshalb
heutzutage umsomehr freue, wenn ich damit angeben kann. ;-)

Mit den Konzepten des Tokenizing und der Makroexpansion
stehen bei (La)TeX nämlich ganz andere Programmier-
Paradigmen im Vordergrund als zB bei Programmiersprachen
wie C++ oder Java, bei denen es zwar auch Tokenizer und, zB
bei Compiler- Direktiven, auch Expansion/Ersetzen/Einsetzen
gibt, bei denen diese Dinge für die Programmiererin/den
Programmierer aber eher Randerscheinungen sind, um die
sie/er sich nicht groß kümmern muss, sodass sie/er stattdessen
gedanklich mit Prozeduren, Funktionen, Objekten und dergleichen
spielen kann.

De-facto-Standard ist seit ca 30 Jahren LaTeX in der Version 2e,
für die ständig neue Features in Form von Makro-Paketen
veröffentlicht werden.
Seit vielen Jahren arbeitet das LaTeX-Development-Team
aber LaTeX in der Version 3.
Stand der Dinge ist: Man ist davon abgekommen, eine neue
Version herausbringen zu wollen. Stattdessen bleibt es bei
LaTeX 2e und LaTeX 2e ist um die für Version 3 angedachten
Features ergänzt. Das Paket mit diesen Features heisst "expl3".
Ich erwähne das, weil es den Entwickler/inne/n von
LaTeX3/expl3 ein Anliegen war/ist, die Sache so aufzuziehen,
dass den Endanwender/inne/n das von anderen Programmiersprachen
bekannte Konzept "Funktion" vorgegaukelt ist und sie sich möglichst
wenig um ihnen weniger geläufige Konzepte/Programmier-Paradigmen
kümmern müssen.
Das klappt meiner Ansicht nach noch nicht so gut.
In den Referenzen/Dokumentationen/Anleitungen für LaTeX3/expl3
findet man ständig Bezugnahmen zu diesen Konzepten.
Und wenn etwas nicht funktioniert wie erwartet, dann muss man doch
diese Konzepte kennen, um es richten zu können.

Schwierig wird es bei der Einarbeitung in (La)TeX am Anfang
vor allem für Leute wie mich - als Anfänger glaubte ich, gleich
und sofort schnell und husch-husch-mäßig das, was ich über
das Programmieren in anderen Sprachen wusste, auf (La)TeX
übertragen zu können anstatt mich erstmal an die im TeXBook
und anderen Einführungs- und Referenzwerken eingeführten
Konzepte und die für diese Konzepte eingeführte Terminologie
zu halten bis ich die Zusammenhänge und das Zusammenspiel
der Dinge einigermaßen begriffen hatte. Letzteres ist bei (La)TeX
aber bitter notwendig, um überhaupt wirklich in die Lage zu
kommen, Dinge, die man vom Programmieren in anderen
Sprachen kennt, auch in (La)TeX umsetzen zu können.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

Dieter Heidorn

unread,
Aug 27, 2021, 1:08:32 PMAug 27
to
Jens Kallup schrieb:
> Am 26.08.2021 um 16:41 schrieb Dieter Heidorn:
>>> = k^3 + k^2 + k^2 + k^2 + k^1 + k^1 + k^1 + 1
>>
>>> = k^3 + k^6 + k^3 + 1
>>
>> Nein. Die Potenz k^6 steht für
>
> hier habe ich die Potenzen zusammen gezählt (auf der rechten Seite):
>
> = (k^3) + ( k^2 + k^2 + k^2 ) + ( k^1 + k^1 + k^1 ) + 1
> = (k^3) + ( k^6 ) + ( k^3 ) + 1


Und das geht nun einmal nicht wegen der Regel "Punktrechnung geht vor
Strichrechnung". Müsstest du eigentlich irgendwann einmal in der Schule
gehört haben.

k^n (n: eine natürliche Zahl) steht für eine Multiplikation von k mit
sich selbst - und zwar n-mal. Also:

k^3 = k*k*k

k^2 = k*k

k^1 = k

Der Term

k^2 + k^2 + k^2

ist aber ein Summenterm, dessen Summanden Faktoren sind:

k^2 + k^2 + k^2 = k*k + k*k + k*k

= 3*k*k

= 3*k^2

Das ist nicht das gleiche wie k^6, denn

k^6 = k*k*k*k*k*k.

> = (k^3 + k^6 + k^3 ) + 1
> = (k^9 + k^3 ) + 1

Geht aus genannten Gründen auch nicht.

> = k^(12) + 1

Geht aus genannten Gründen auch nicht.


> dann stand ja auf der linken Seite:
>
> = (k + 1)^3
> = (k^1 + 1) + (k^1 + 1) + (k^1 + 1)

Das ist falsch. Die Hochzahl "^3" steht für das dreimalige
Multiplizieren der Basis "(k + 1)" mit sich selbst:

(k + 1)^3 = (k + 1)*(k + 1)*(k + 1).

Das ergibt nach den Distributivgesetzen ausmultipliziert

(k + 1)^3 = k^3 + 3*k^2 + 3*k + 1

Distributivgesetze kannst du hier nachlesen: