Summe der ersten n Quadrate: ein gutes Beispiel für die vollständige Induktion

[Rainer Rosenthal]

Ich knüpfe an an den von Brigitta Jennen begonnenen Thread "Frage zu
vollst. Induktion" vom 11. August 2021.

Dort wurde das Prinzip der vollständigen Induktion erörtert, aber das
dabei verwendete Beispiel wäre genauso gut, wenn nicht gar besser,
direkt beweisbar gewesen.

Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
Induktion gar nicht beweisbar ist.

Satz:
Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang n=0: Sq(0) = 0 = 0^2 ist wahr.
Induktionsvoraussetzung: der Satz gilt für ein n >= 0.
Induktionsschritt:
Zeige, dass Sq(n) + 1/(n+1)^2 = Sq(n+1) ist.
(Wird dem Leser oder der Leserin überlassen)

...
Viel Vergnügen
...

Zum Nachdenken und zur Diskussion
=================================

Ich liebe dieses Beispiel, weil es nicht trivial ist.
Nach fünfmaligem Fluchen und nochmal Rechnen habe ich es endlich mit
Papier und Bleistift hinbekommen, aus dem Ansatz
Sq(n) = a + b*n + c*n^2 + d*n^3 die Koeffizienten zu bestimmen:
a = 0, b = 1/6, c = 1/2, d = 1/3.
Das ist ein durchaus cleverer Ansatz, der davon ausgeht, dass es eine
nicht allzu komplizierte Formel für Sq(n) geben müsste.
Setzt man dann nacheinander 0, 1, 2 und 3 für n ein, sieht man, dass
alle diese Gleichungen gelten müssen:
Sq(0) = 0^2 = 0, also
a + b*0 + c*0^2 + d*0^3 = 0, kurz: a = 0.
Sq(1) = 0^2 + 1^2 = 1, also
a + b*1 + c*1^2 + d*1^3 = 1, kurz: b + c + d = 1 (Gl. I)
Sq(2) = 0^2 + 1^2 + 2^2 = 5, also
a + b*2 + c*2^2 + d*2^3 = 5, kurz: 2b + 4c + 8d = 5 (Gl. II)
Sq(3) = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14, also
a + b*3 + c*3^2 + d*3^3 = 14, kurz: 3b + 9c + 27d = 14 (Gl. III)

Das sind drei lineare Gleichungen für drei Unbekannte b, c, d.
(II) - 2*(I) gibt 2c + 6d = 3 (Gl. IV).
(III) - 3*(I) gibt 6c + 24d = 11 (Gl. V).
(V) - 3*(IV) gibt 6d = 2, also d = 1/3.
(IV) gibt damit 2c + 2 = 3, d.h. c = 1/2.
(I) gibt damit b = 1 - c - d = 1 - 1/2 - 1/3, also b = 1/6.

Etwas Umformerei macht aus Sq(n) = n/6 + n^2/2 + n^3/3 den obigen
Ausdruck Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

~~~
Soweit so gut. Das habe ich "nicht zur Strafe, nur zur Übung" gemacht.
Na gut, ein wenig Strafe war schon dabei für die Schlamperei auf dem
Zettel vorhin :-)

Aber nun kommt das Wichtigste:
==============================
Das ist ja alles ganz schön und nett, sieht plausibel aus, ist gut
aufgegangen usw. Aber: Stimmt es denn auch, dass Sq(n) die Summe der
Quadrate der Zahlen 0 bis n darstellt?
Ich habe ja nur ANGENOMMEN bzw. GEHOFFT, dass es eine einfache Formel
für Sq(n) geben wird.
Und ich WEISS auch, dass diese Formel für n=0 bis n=3 stimmt, weil ich
das ja ausgerechnet habe.

Ich kann auch zum Spaß schauen, ob Sq(4) den zu erwartenden Wert 30
ergibt, aber wenn das so ist, kann ich mir im Grunde nur auf die
Schulter klopfen und sagen: hey cool, passt ja.
Wenn aber einer kommt und sagt, dass es eine dunkle Summengrenze in der
Gegend von n = 10^80000 gibt, bei der solch Trick-Schnickschnack
versagt, dann habe ich erst einmal NICHTS in der Hand dagegen.

Aber dann hole ich meinen Trumpf aus dem Ärmel und verweise darauf, dass
es tüchtige Leser und Leserinnen bei de.sci.mathematik gibt, die den
oben begonnenen Induktionsbeweis führen konnten.
Dann schwindet alle Dunkelheit :-)

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[Andreas Leitgeb]

Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote:
> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.
>
> Beweis mit vollständiger Induktion:
> Induktionsanfang n=0: Sq(0) = 0 = 0^2 ist wahr.
> Induktionsvoraussetzung: der Satz gilt für ein n >= 0.
> Induktionsschritt:
> Zeige, dass Sq(n) + 1/(n+1)^2 = Sq(n+1) ist.

*Das* wird aber wohl niemand beweisen können. ;-)

(Man kann es mit der "reciprocity" nämlich auch übertreiben...)

[Rainer Rosenthal]

Am 24.08.2021 um 20:53 schrieb Rainer Rosenthal:
> Ich knüpfe an an den von Brigitta Jennen begonnenen Thread "Frage zu
>

> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.
>
> Beweis mit vollständiger Induktion:
> Induktionsanfang n=0: Sq(0) = 0 = 0^2 ist wahr.
> Induktionsvoraussetzung: der Satz gilt für ein n >= 0.
> Induktionsschritt:

> Zeige, dass Sq(n) + 1/(n+1)^2 = Sq(n+1) ist. <=============== Quatsch :-(

> (Wird dem Leser oder der Leserin überlassen)
>

Gemeint war:

Zeige, dass Sq(n) + (n+1)^2 = Sq(n+1) ist.

Sorry.

[Carlo XYZ]

Rainer Rosenthal schrieb am 24.08.21 um 20:53:

[Summe der ersten n Quadratzahlen]

> Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
> Induktion gar nicht beweisbar ist.

Eine gewagte Behauptung!

Und sie ist auch inkorrekt. Die von dir genannte Formel
kann auf etliche andere Weisen bewiesen werden:

(a) Durch einen "Trick", der im Wesentlichen so funktioniert,
wie schon der kleine Gauß die Summe von 1 bis 100 ausgerechnet
hat: drehe die Summe um, addiere die beiden Summen und teile
durch 2. Der Trick ist natürlich komplizierter, geht aber in
die gleiche Richtung. Siehe

<https://www.youtube.com/watch?v=aI0M4XRiz4I>

(b) Siehe z.B.

<https://trans4mind.com/personal_development/mathematics/series/sumNaturalSquares.htm#general_term>.

Ich denke, dass das auch unter die allgemeine Theorie der
Differenzengleichungen (und ihrer Lösungen) fällt, finde
aber gerade kein passendes Zitat im Web.

[Rainer Rosenthal]

Am 24.08.2021 um 23:50 schrieb Carlo XYZ:
> Rainer Rosenthal schrieb am 24.08.21 um 20:53:
>
> [Summe der ersten n Quadratzahlen]
>
>> Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
>> Induktion gar nicht beweisbar ist.
>
> Eine gewagte Behauptung!
>
> Und sie ist auch inkorrekt. Die von dir genannte Formel
> kann auf etliche andere Weisen bewiesen werden:
>
> (a) Durch einen "Trick", der im Wesentlichen so funktioniert,
> wie schon der kleine Gauß die Summe von 1 bis 100 ausgerechnet
> hat: drehe die Summe um, addiere die beiden Summen und teile
> durch 2. Der Trick ist natürlich komplizierter, geht aber in
> die gleiche Richtung.

Sowas gibt eine plausible Herleitung, aber eben keinen Beweis.
Ich hätte ebenso die Formel 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 hernehmen können,
also genau die des "kleinen Gauß". Auch die lässt sich für n = 100 exakt
hinschreiben, aber wenn Du das für allgemeines n machen willst, brauchst
Du die berühmten "Pünktchen" und den Spruch: "wie man leicht sieht".

1 + 2 + ... + n
n + n-1 + ... + 1 <==== zweimal die Summe
-----------------
n+1 + n+1 + ... + n+1 <==== n mal (n+1)

Das etwas kompliziertere Quadrate-Addieren habe ich gewählt, um deutlich
zu machen: egal wie clever der Ansatz ist, wie logisch und einleuchtend
usw., es ist hand-waving und kein Beweis. Selbstverständlich hat man mit
der Zeit ein Gefühl dafür, was geht, und was nicht, und man möchte sich
das Leben nicht schwer machen mit Dingen, die lästig sind. Wenn wir aber
darüber reden, was ein Beweis ist, dann müssen die "Pünktchen" außen vor
bleiben.

Gruß,
RR

[Carlo XYZ]

Rainer Rosenthal schrieb am 25.08.21 um 00:14:

> Sowas gibt eine plausible Herleitung, aber eben keinen Beweis.
> Ich hätte ebenso die Formel 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 hernehmen können,
> also genau die des "kleinen Gauß". Auch die lässt sich für n = 100 exakt
> hinschreiben, aber wenn Du das für allgemeines n machen willst, brauchst
> Du die berühmten "Pünktchen" und den Spruch: "wie man leicht sieht".
>
> 1 +  2 + ... + n
> n + n-1 + ... + 1   <==== zweimal die Summe
> -----------------
> n+1 + n+1 + ... + n+1     <==== n mal (n+1)
>
> Das etwas kompliziertere Quadrate-Addieren habe ich gewählt, um deutlich
> zu machen: egal wie clever der Ansatz ist, wie logisch und einleuchtend
> usw., es ist hand-waving und kein Beweis. Selbstverständlich hat man mit
> der Zeit ein Gefühl dafür, was geht, und was nicht, und man möchte sich
> das Leben nicht schwer machen mit Dingen, die lästig sind. Wenn wir aber
> darüber reden, was ein Beweis ist, dann müssen die "Pünktchen" außen vor
> bleiben.

IBTD. Die formale Definition eines Beweises ist eine
Kette von Schritten, von denen jeder einzelne sich aus
vorherigen Schritten und Axiomen streng nach den Regeln
eines Kalküls, sagen wir des Hilbert-Kalküls, ableiten
lässt. Außer zu Demonstrationszwecken ist kein einziger
der strengen Beweise, die ich kenne, von genau dieser
Form, sie lassen sich aber alle (und das schließt die
hier geführten Induktionsbeweise genau so ein wie das
Argument mit der halben Doppelsumme) "unschwer" in eine
solche Form bringen. Deswegen lehne ich die abwertenden
Begriffe "handwaving" und "wie man leicht sieht" für
beide ab. D.h., für mich ist obiges Argument genauso
ein strenger Beweis wie das (leichte) induktive Argument
für die gleiche Formel, und strenge Beweise dürfen auch
schon mal drei Pünktchen enthalten. Mehrfach, wenn's beliebt.

Falls du diese Pünktchen stets auf eine zu Grunde liegende
Induktion zurückführen möchtest, betreten wir meinem Gefühl
nach den Bereich der "Philosophie", einen Bereich jedenfalls,
in dem ich weder Pro noch Kontra argumentieren möchte.
Ich frage mich dann zum Beispiel, ob die Pünktchen - und
damit die Induktion - nicht schon durch das große Sigma
in der Formulierung des Satzes stecken. Induktion steckt
in der Regel sogar in der Definition von N mit drin. Von
daher wundert es mich nicht, wenn jemand stets Induktion
"mitdenkt", wenn irgendwie von N die Rede ist.

[Ulrich Diez]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
> Induktion gar nicht beweisbar ist.
>
> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

Ich mache es mal umständlich.

{ n | n in Z ; n > -1 } = { n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }

Da bei der Menge { n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
im Vergleich zur Menge { n | n in Z ; n > -1 } für die Elemente n lediglich zusätzliche
Bedingungen gelten, handelt es sich bei der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
um eine Teilmenge der Menge { n | n in Z ; n > -1 }.

Zu zeigen:

Es handelt sich nicht um eine echte Teilmenge, sondern die Mengen sind
identisch.
(Bzw:
Die zusätzliche Bedingungen folgen aus den sonstigen Bedingungen
bzw:
Aus n in Z ; n > -1 folgt Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 . )


Induktionsanfang:
===============

Das Element n=0 ist das kleinste Element der Menge { n | n in Z ; n > -1 }:
Für kleinere Elemente n ist die Aussage n in Z ; n > -1 falsch.
Das Element n=0 liegt in der Menge { n | n in Z ; n > -1 }, denn
mit n = 0 sind alle für Elemente n dieser Menge geforderten Eigenschaften
gegeben, denn mit n=0 ist die Aussage n in Z ; n > -1 äquivalent zu
der Aussage 0 in Z ; 0 > -1 und wahr.

Das Element n=0 liegt auch in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
, denn mit n=0 sind alle für Elemente n dieser Menge geforderten Eigenschaften
gegeben, denn mit n=0 ist die Aussage
n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6
äquivalent zu den Aussagen
0 in Z ; 0 > -1; Summe_{m=0}^{m=0}{m^2} = 0(0+1)(2*0+1)/6
bzw
0 in Z ; 0 > -1; 0^2 = 0(0+1)(2*0+1)/6
bzw
0 in Z ; 0 > -1; 0 = 0
und wahr.

n=0 als das kleinste Element der Menge { n | n in Z ; n > -1 } liegt
also ebenfalls in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }.
Da
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
eine Teilmenge von { n | n in Z ; n > -1 } ist, ist n=0 auch das
kleinste Element von
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }.

Induktionsannahme:
==================

Das Element k liege sowohl in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1 }
als auch in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
, denn mit n=k seien bei beiden Mengen alle für Elemente n der jeweiligen
Menge geforderten Eigenschaften gegeben, denn mit n=k sei
- einerseits die Aussage n in Z ; n > -1 äquivalent zu k in Z ; k > -1 und wahr
- andererseits die Aussage
n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6
äquivalent zu
k in Z ; k > -1; Summe_{m=0}^{m=k}{m^2} = k(k+1)(2k+1)/6
und wahr.

Induktionsschluss:
=================

Wenn das Element k sowohl in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1 }
als auch in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
liegt, dann liegt auch das Element (k+1) sowohl in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1 }
als auch in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 } .

Wenn das Element k in der Menge { n | n in Z ; n > -1 } liegt, dann
liegt auch das Element (k+1) in der Menge { n | n in Z ; n > -1 }:

k in Z ; k > -1
<-->
(k+1) in Z ; (k+1) > (-1+1)
<-->
(k+1) in Z ; (k+1) > (-1+1) > -1
--->
(k+1) in Z ; (k+1) > -1

Wenn das Element k in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
liegt, liegt auch das Element (k+1) in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 } :

k in Z ; k > -1; Summe_{m=0}^{m=k}{m^2} = k(k+1)(2k+1)/6
<--> (aus k in Z und 1 in Z folgt: (k+1) in Z)
(k+1) in Z ; k > -1; Summe_{m=0}^{m=k}{m^2} = k(k+1)(2k+1)/6
<--> (aus kin Z; k > -1 folgt (k+1) > (-1+1) <--> (k+1) > 0 ---> (k+1) > 0 > -1 ---> (k+1) > -1 )
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=k}{m^2} = k(k+1)(2k+1)/6
<-> (Addition von (k+1)^2 auf beiden Seiten der Gleichung)
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=k}{m^2}+(k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 +(k+1)^2
<-> (Auf der linken Seite der Gleichung (k+1)^2 in die Summe hineinnehmen)
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} = k(k+1)(2k+1)/6 +(k+1)^2
<-> (Auf der rechten Seite der Gleichung alles auf den gemeinsamen Nenner 6 bringen)
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} = k(k+1)(2k+1)/6 + 6(k+1)^2/6
<-> (Auf der rechten Seite der Gleichung alles über einen Bruchstrich schreiben)
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} = (k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2)/6
<-> (Auf der rechten Seite der Gleichung (k+1) ausklammern)
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} = (k+1)(k(2k+1) + 6(k+1))/6
<-> (Auf der rechten Seite der Gleichung den Term in der mittleren Klammer ausmultiplizeren und zusammenfassen)
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} = (k+1)(2k^2+7k+6)/6
<-> ( Erfreulicher und erwarteter Weise ist ((k+1)+1)(2(k+1)+1) = (k+2)(2k+3)= 2k^2+7k+6 )
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} = (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6

Wenn das Element k in der Menge { n | n in Z ; n > -1 } liegt,
liegt auch das Element (k+1) in der Menge { n | n in Z ; n > -1 }.
Wenn das Element k in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
liegt, liegt auch das Element (k+1) in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 } .

Wenn das Element k sowohl in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1 }
als auch in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
liegt, dann liegt auch das Element (k+1)
sowohl in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1 }
als auch in der Menge
{ n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 } .

Ulrich

[Ulrich Diez]

Ich schrieb u.a. die Zeile

> <--> (aus kin Z; k > -1 folgt (k+1) > (-1+1) <--> (k+1) > 0 ---> (k+1) > 0 > -1 ---> (k+1) > -1 )

Sie muss korrigiert werden zu

---> (aus kin Z; k > -1 folgt (k+1) > (-1+1) <--> (k+1) > 0 <---> (k+1) > 0 > -1 ---> (k+1) > -1 )

(Der Schluss geht nicht in beide Richtungen.)

Ulrich

[Alfred Flaßhaar]

Am 25.08.2021 um 05:56 schrieb Ulrich Diez:

(...)

... und wer für den Schulgebrauch hübsch aufbereitete Beweise dieser
Behauptung nachlesen möchte:

Sominski, Die Methode der vollständigen Induktion, S. 20 und 45
Kolosow, Kreuz und quer durch die Mathematik, S. 21-22

Gruß, Alfred Flaßhaar

[Brigitta Jennen]

Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 25. August 2021 um 00:14:23 UTC+2:

> Sowas gibt eine plausible Herleitung, aber eben keinen Beweis.
> Ich hätte ebenso die Formel 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 hernehmen können,
> also genau die des "kleinen Gauß". Auch die lässt sich für n = 100 exakt
> hinschreiben, aber wenn Du das für allgemeines n machen willst, brauchst
> Du die berühmten "Pünktchen" und den Spruch: "wie man leicht sieht".
>
> 1 + 2 + ... + n
> n + n-1 + ... + 1 <==== zweimal die Summe
> -----------------
> n+1 + n+1 + ... + n+1 <==== n mal (n+1)
>

> Wenn wir aber
> darüber reden, was ein Beweis ist, dann müssen die "Pünktchen" außen vor
> bleiben.

Hallo Rainer,
würdest Du folgende Herleitung - ohne Pünktchen - als Beweis akzeptieren?
Ich halte mich an Gaus, schreibe das nur ohne Pünktchen mittels Suumen-
zeichen.

k=1_Summe_n soll bedeuten, die Summe läuft von 1 bis n.

Also nach Gaus vorwärts und rückwärts summieren:

S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (k) + k=1_Summe_n (n-k+1)]

Der letzte Term ist lediglich die Summe rückwärts.
Jetzt kann ich die Summen zusammenziehen:

S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (k + n - k + 1)]
S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (n + 1)]

Was steht da jetzt?
Unter der Summe steht eine Zahl (n+1), die n mal addiert wird.

Also ist

S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (n + 1)] = 1/2 * n(n+1)

Würdest Du das als "Beweis" ohne Pünktchen akzeptieren?
Grüße Brigitta

> Gruß,
> RR

[Ulrich Diez]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

Soeben habe ich auf YouTube eine nette Veranschaulichung für
das Berechnen der Summe der ersten n Quadratzahlen
gefunden:

<https://www.youtube.com/watch?v=aXbT37IlyZQ>

Ulrich

[Ulrich Diez]

Brigitta Jennen schrieb:

[Formel 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2]

> Hallo Rainer,
> würdest Du folgende Herleitung - ohne Pünktchen - als Beweis akzeptieren?

> [...] nach Gaus vorwärts und rückwärts summieren:

>
> S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (k) + k=1_Summe_n (n-k+1)]

[...]

> S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (k + n - k + 1)]

[...]

> S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (n + 1)] = 1/2 * n(n+1)

Ich bin zwar nicht Rainer, aber ich würde das mit Freuden. :-)

---------------------------------------------------------------------------

Ich empfehle aber, Summen anders zu schreiben, denn Deine
Schreibweise kann zu Irritation führen wenn ein Summenterm
ohne Klammern ganz am Anfang einer Zeile/Relation steht - zB bei

k=1_Summe_n (k) < (n^2+n+2)/2

brauchts einen Moment bis langsame Leute wie ich realisieren,
dass "k" lediglich ein Laufindex sein soll und dass sich
"=" in "k=1_Summe" auf den Anfangswert des Laufindex der Summe
bezieht.

In Anlehnung an das Textsatzsystem TeX, wo unter normalen
Umständen sowohl im Display-Math-Modus als auch im
Inline-Math-Modus die Schreibewise ^{...} für das Hochstellen
des Textes innerhalb der geschweiften Klammern und
die Schreibweise _{...} für das Tiefstellen des Textes innerhalb
der geschweiften Klammern steht, bevorzuge ich in Situationen,
in denen Text nicht wirklich höher- oder tiefergestellt werden
kann und außerdem nur "Schreibmaschinensymbole"
verwendet werden sollen, die folgende Schreibweise,
bei der "Summe" ein Präfix-Operator ist, und bei der
Relationszeichen, die sich auf Laufindices und deren
Werte beziehen, immer in geschweifte Klammern
eingeschachtelt sind, und bei der geschweifte
Klammern auch andeuten, was zu welchen Operanden
von Präfix-Operatoren gehört:

Summe_{k=1}^{k=n}{k} < (n^2+n+2)/2

---------------------------------------------------------------------------

Da sich zur Zeit mit vervollständigender Induktion befasst wird,
habe ich eine Scherzfrage:

Ich betrachte die Formel

Summe_{k=1}^{k=n}{2k-1} = n^2 + 42 ; n in N

(In Worten:
Die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen
ist gleich der Summe aus 42 und dem Quadrat von n. )

Damit das für alle n gelten kann, muss der Schluss
von n auf n +1 möglich sein. Und das ist der Fall:

Summe_{k=1}^{k=n}{2k-1} = n^2 + 42 --- auf beiden Seiten (2n+1) addieren ergibt:
Summe_{k=1}^{k=n}{2k-1}+(2n+1) = n^2 + 42 + (2n+1)
Summe_{k=1}^{k=n}{2k-1}+(2(n+1)-1) = n^2 + 42 + (2n+1)
Summe_{k=1}^{k=n+1}{2k-1} = n^2 + 42 + (2n+1)
Summe_{k=1}^{k=n+1}{2k-1} = n^2 + 2n + 1 + 42
Summe_{k=1}^{k=n+1}{2k-1} = (n+1) ^2 + 42

Obwohl der Schluss von n auf n+1 möglich ist, scheint die Formel nicht immer
bzw immer nicht zu stimmen. ZB für n = 5 ergibt sich

Summe{k=1}{k=n}{2k-1} = n^2 + 42
<--> Summe{k=1}{k=5}{2k-1} = 5^2 + 42
<--> 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 67 <--> 25 = 67

, und das ist falsch.

Wie kann das sein?

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Jens Kallup]

ich habe mal zur Belustigung ein paar Notizen hier:

Sq(n) = n(n + 1) * (2n + 1) / 6

Sq(0) = 0 * (0 + 1) * (2 * 0 + 1) / 6
= 0 * 0 + 0 * 1 * 2 * 0 + 1 / 6
= 0 + 0 * 2 * 0 + 1 / 6
= 0 * 0 + 1 / 6
= 1 / 6

Sq(1) = 1 * (1 + 1) * (2 * 1 + 1) / 6
= 1 * 1 + 1 * 1 * 2 * 1 + 1 / 6
= 1 + 1 * 2 + 1 / 6
= 2 * 2 + 1 / 6
= 4 + 1 / 6
= 5 / 6

Sq(2) = 2 * (2 + 1) * (2 * 2 + 1) / 6
= 2 * 2 + 2 * 1 * 4 + 1 / 6
= 4 + 2 * 5 / 6
= 4 + 2 * 5 / 6
= 4 + 10 / 6
= 14 / 6

Sq(3) = 3 * (3 + 1) * (2 * 3 + 1) / 6
= 3 * 3 + 1 * 3 * 6 + 1 / 6
= 9 + 3 * 7 / 6
= 9 + 21 / 6
= 30 / 6

Sq(4) = 4 * (4 + 1) * (2 * 4 + 1) / 6
= 4 * 4 + 1 * 4 * ( 8 + 1) / 6
= 16 + 4 * 9 / 6
= 16 + 36 / 6
= 52 / 6

Sq(5) = 5 * (5 + 1) * (2 * 5 + 1) / 6
= 5 * 5 + 1 * 5 * ( 10 + 1) / 6
= 25 + 5 * ( 10 + 1) / 6
= 25 + 5 * 11 / 6
= 25 + 55 / 6
= 80 / 6

Sq(6) = 6 * (6 + 1) * ( 2 * 6 + 1) / 6
= 6 * 6 + 1 * 6 * (12 + 1) / 6
= 36 + 1 * 6 * 13 / 6
= 36 + 6 * 13 / 6
= 36 + 78 / 6
= 114 / 6

Sq_1(0,1) = 1/6 + 5/6
= 6/6
= 1/1

Sq_2(2,3) = 14/6 + 30/6
= 44/6

Sq_3(4,5) = 52/6 + 80/6
= 132/6

Sq_4(6) = 114/6

Sq_a( Sq_1, Sq_2, Sq_3, Sq_4 ) =
6/6
+ 44/6
+ 132/6
+ 114/6
--------
= 296/6 : 4
= 74 : 2
= 37
= 9 1/4
=============

Jens

[Torn Rumero DeBrak]

Am 25.08.2021 um 17:15 schrieb Jens Kallup:
> ich habe mal zur Belustigung ein paar Notizen hier:
>
> Sq(n) = n(n + 1) * (2n    + 1) / 6
>
> Sq(0) = 0 * (0 +     1) * (2 * 0 + 1) / 6
>       = 0 *  0 + 0 * 1  *  2 * 0 + 1  / 6

Jawoll, das ist total lustig. So eine Falschrechnung ist lachhaft.

>       =      0 + 0      *  2 * 0 + 1  / 6
>       =          0      *      0 + 1  / 6
>       =                            1  / 6
>
> Sq(1) = 1 * (1 +     1) * (2 * 1 + 1) / 6
>       = 1 *  1 + 1 * 1  *  2 * 1 + 1  / 6

Jawoll, das ist auch total lustig. So eine Falschrechnung ist lachhaft.

>       =      1 + 1      *  2     + 1  / 6
>       =          2      *  2     + 1  / 6
>       =                    4     + 1  / 6
>       =                            5  / 6
>
> Sq(2) = 2 * (2 + 1)     * (2 * 2 + 1) / 6
>       = 2 *  2 + 2 * 1  *      4 + 1  / 6

Jawoll, das ist auch total lustig. So eine Falschrechnung ist lachhaft.

>       =      4 +     2  *          5  / 6
>       =      4 +     2  *          5  / 6
>       =      4 +    10                / 6
>       =             14                / 6
>
> Sq(3) = 3 * (3 + 1)     * (2 * 3 + 1) / 6
>       = 3 *  3 + 1 * 3  *      6 + 1  / 6

Jawoll, das ist auch total lustig. So eine Falschrechnung ist lachhaft.

>       =      9 +     3  *          7  / 6
>       =      9 +    21                / 6
>       =     30                        / 6
>
> Sq(4) = 4 * (4 + 1)      * (2 * 4 + 1) / 6
>       = 4 *  4 + 1 *  4  * (    8 + 1) / 6

Jawoll, das ist auch total lustig. So eine Falschrechnung ist lachhaft.
Aha, hier bleibt also am Ende ein Klammer. Warum nicht in den Fällen
vorher?

>       =     16 +      4  *          9  / 6
>       =     16 +     36                / 6
>       =                            52  / 6
>
> Sq(5) = 5 * (5 + 1)      * (2 * 5 + 1) / 6
>       = 5 *  5 + 1 *  5  * (   10 + 1) / 6

Jawoll, das ist auch total lustig. So eine Falschrechnung ist lachhaft.

>       =     25 +      5  * (   10 + 1) / 6
>       =     25 +      5  *     11      / 6
>       =     25 +     55                / 6
>       =                        80      / 6
>
> Sq(6) = 6 * (6 + 1)     * ( 2 * 6 +  1) / 6
>       = 6 *  6 + 1 * 6  * (12     +  1) / 6

Jawoll, das ist auch total lustig. So eine Falschrechnung ist lachhaft.

>       =     36 + 1 * 6  *           13  / 6
>       =     36 +     6  *           13  / 6
>       =     36 +                    78  / 6
>       =                            114  / 6
>

Lerne erst einmal das Rechnen mit Klammer und beherzige die
Punkt-vor-Strich-Regel, wodurch die Klammern notwendig werden.

[Ulrich Diez]

Jens schrieb:

> ich habe mal zur Belustigung ein paar Notizen hier:
>
> Sq(n) = n(n + 1) * (2n + 1) / 6
>
> Sq(0) = 0 * (0 + 1) * (2 * 0 + 1) / 6
> = 0 * 0 + 0 * 1 * 2 * 0 + 1 / 6

Hallo Jens,

häufig entmutigt es Menschen und tut ihnen weh, wennn man über die
Fehler, die ihnen unterlaufen, lacht.
Ich habe kein Interesse daran, jemanden zu entmutigen oder jemandem
wehzutun.
Deshalb nehme ich Deine Notizen nicht als Anlass, mich zu belustigen.
Sondern ich nehme Deine Notizen als Anlass für Erläuterungen.

Ich tue das in der Hoffnung, dass die Erläuterungen nützlich für Dich
sind und Dir Mut machen, damit Du in Sachen Mathe weiterhin dran
bleibst.

Manches könnte in der Gruppe schule.mathe anstatt der Gruppe
de.sci.mathematik diskutiert werden.

Ich nehme an, die "Punkt-vor-Strich"-Regel kennst Du.

Man muss beim Rechnen aber ausserdem auch Klammern
beachten und genau überlegen, wann man Klammern weglassen
kann und wann nicht, bzw, wann man selbst zusätzlich Klammern
setzen muss und wann nicht.

Deine Berechnungen sind nämlich falsch.

Sq(n) = n(n + 1) * (2n + 1) / 6

Ein recht umständlicher Rechengang könnte zB so aussehen:

Sq(0) = 0 * (0 + 1) * (2 * 0 + 1) / 6

[ Wenn Du Teile eines längeren Terms ausmultiplizierst, zB
den Teil 0 * (0 + 1), dann musst du das Ergebnis des
Ausmultiplizierens in Klammern setzen, um sicherzustellen,
dass die Sache in ihrem Bezug zum restlichen Term
weiterhin stimmt ! ]
= (0 * 0 + 0 * 1) * (2 * 0 + 1) / 6
= (0 + 0) * (2 * 0 + 1) / 6
= (0) * (2 * 0 + 1) / 6
= 0 * (2 * 0 + 1) / 6
= 0 * (0 + 1) / 6
= 0 * (1) / 6
= 0 * 1 / 6
= 0 / 6
= 0

Anstatt

> Sq(1) = 1 * (1 + 1) * (2 * 1 + 1) / 6
> = 1 * 1 + 1 * 1 * 2 * 1 + 1 / 6

das selbe Spiel wie eben:

Sq(1) = 1 * (1 + 1) * (2 * 1 + 1) / 6

= (1 * 1 + 1 * 1 )* (2 * 1 + 1) / 6
= (1 + 1 * 1 )* (2 * 1 + 1) / 6
= (1 + 1 )* (2 * 1 + 1) / 6
= (2)* (2 * 1 + 1) / 6
= 2 * (2 * 1 + 1) / 6
= 2 * (2 + 1) / 6
= 2 * (3) / 6
= 2 * 3 / 6
= 6 / 6
= 1

Die Rechengänge für Sq(2) bis Sq(6) könnten analog verlaufen.

Was zB die Notation "Sq_1(0,1)" in diesem Zusammenhang ausdrücken
soll, ist mir unklar.
Einerseits liegt das daran, dass ich von allein nicht drauf komme.
Andererseits daran, dass Du diese Art der Notation nirgendwo erklärt hast.

[Juergen Ilse]

Jens Kallup <kallu...@web.de> wrote:
> ich habe mal zur Belustigung ein paar Notizen hier:
>
> Sq(n) = n(n + 1) * (2n + 1) / 6
>
> Sq(0) = 0 * (0 + 1) * (2 * 0 + 1) / 6
> = 0 * 0 + 0 * 1 * 2 * 0 + 1 / 6

Falsch ausmultipliziert, daher am Ende der Fehler.

> = 0 + 0 * 2 * 0 + 1 / 6
> = 0 * 0 + 1 / 6
> = 1 / 6
>
> Sq(1) = 1 * (1 + 1) * (2 * 1 + 1) / 6
> = 1 * 1 + 1 * 1 * 2 * 1 + 1 / 6

Falsch ausmulzipliziert, daher am Ende der Fehler.

> = 1 + 1 * 2 + 1 / 6
> = 2 * 2 + 1 / 6
> = 4 + 1 / 6
> = 5 / 6
>
> Sq(2) = 2 * (2 + 1) * (2 * 2 + 1) / 6
> = 2 * 2 + 2 * 1 * 4 + 1 / 6

Langsam wird's langweilig, wenn es immer der selbe Fehler ist ...

> = 4 + 2 * 5 / 6
> = 4 + 2 * 5 / 6
> = 4 + 10 / 6
> = 14 / 6
>
> Sq(3) = 3 * (3 + 1) * (2 * 3 + 1) / 6
> = 3 * 3 + 1 * 3 * 6 + 1 / 6

<Seufz/>

> = 9 + 3 * 7 / 6
> = 9 + 21 / 6
> = 30 / 6
>
> Sq(4) = 4 * (4 + 1) * (2 * 4 + 1) / 6
> = 4 * 4 + 1 * 4 * ( 8 + 1) / 6

Meinst du nicht, dass es langsam reicht?

> = 16 + 4 * 9 / 6
> = 16 + 36 / 6
> = 52 / 6
>
> Sq(5) = 5 * (5 + 1) * (2 * 5 + 1) / 6
> = 5 * 5 + 1 * 5 * ( 10 + 1) / 6

Da du beim ausmultizieren immer den selben Fehler machst (noch notwendige
Klammern unterschlagen), weisst du hoffentlich selbst ...

> = 25 + 5 * ( 10 + 1) / 6
> = 25 + 5 * 11 / 6
> = 25 + 55 / 6
> = 80 / 6
>
> Sq(6) = 6 * (6 + 1) * ( 2 * 6 + 1) / 6
> = 6 * 6 + 1 * 6 * (12 + 1) / 6

Och Noe!

> = 36 + 1 * 6 * 13 / 6
> = 36 + 6 * 13 / 6
> = 36 + 78 / 6
> = 114 / 6

Die ertraegliche Menge an Schwachsinn pro Posting ist an dieser Stelle
bereits erheblich ueberschrittten, daher: Rest des Schwaxchsinns entsorgt.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Jens Kallup]

Hallo Ulrich,

Am 25.08.2021 um 18:54 schrieb Ulrich Diez:
> Sq(0) = 0 * (0 + 1) * (2 * 0 + 1) / 6
> [ Wenn Du Teile eines längeren Terms ausmultiplizierst, zB
> den Teil 0 * (0 + 1), dann musst du das Ergebnis des
> Ausmultiplizierens in Klammern setzen, um sicherzustellen,
> dass die Sache in ihrem Bezug zum restlichen Term
> weiterhin stimmt ! ]
> = (0 * 0 + 0 * 1) * (2 * 0 + 1) / 6

Danke erstmal für Deine Rückmeldung.
Diese Notation ist mir neu.
Danke für die Aufklärung.

Ich bin immer zu sehr abgelenkt, weil andere Leute immer in die Quere
kommen, und ich vom Gedankengang unterbrochen werde.
Aber das soll keine Ausrede sein.
Fakt ist aber auch, das man seinen Freundeskreis nicht in sein Zimmer
einlaß gewären sollte, da, wenn man seine Freunde vernachläßigt, es
schnell dazu führen kann, das diese dann weg sind, und man alleine da
steht.
Nun, gut.

Bist recht dufte, Jens

[Rainer Rosenthal]

Am 25.08.2021 um 04:37 schrieb Carlo XYZ:
> Rainer Rosenthal schrieb am 25.08.21 um 00:14:
>
>>

>> 1 +  2 + ... + n
>> n + n-1 + ... + 1   <==== zweimal die Summe
>> -----------------
>> n+1 + n+1 + ... + n+1     <==== n mal (n+1)
>>

>> Wenn wir aber darüber reden, was ein Beweis
>> ist, dann müssen die "Pünktchen" außen vor bleiben.
>

> Ich frage mich dann zum Beispiel, ob die Pünktchen - und
> damit die Induktion - nicht schon durch das große Sigma
> in der Formulierung des Satzes stecken.

Ja, die Pünktchen stecken im Satz. Der könnte gerne so aussehen:

Satz: 0^2 + 1^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

Der Beweis des Satzes benutzt aber keine Pünktchen und "wie man sieht,
bei Gauß nachlesen oder auf youtube schauen kann".

Sondern die Pünktchen werden erst einmal formal fassbar gemacht durch

die Definition Sq(n) = 0^2 + 1^2 + ... + n^2.

Weil damit gilt Sq(n+1) = 0^2 + 1^2 + ... + (n+1)^2, weiß man sofort,
dass Sq(n+1) = Sq(n) + (n+1)^2 gelten muss.

Das kann man /ohne Pünktchen/ beweisen.
Es geht also ganz formal (dem Leser oder der Leserin zur Übung), wenn
man eine clevere Vermutung für Sq(n) hat.

Wer nun aber glaubt, Sq(n+1) = Sq(n) + (n+1)^2 zu beweisen, sei
ausreichend, um das richtige Sq gefunden zu haben, muss zur Kenntnis
nehmen, dass es NICHT ausreicht.

Für die Funktion Sq'(n) = 27 + n(n+1)(2n+1)/6 gilt nämlich ebenfalls
Sq'(n+1) = Sq'(n) + (n+1)^2.
Für jemanden, der sich dem Thema "Induktionsbeweis" neugierig nähert,
könnte dieser Hinweis gefallen, weil er/sie die Notwendigkeit des
Induktionsanfangs (auch Induktionsverankerung genannt) erkennt.

Gruß,
RR

[Martin Vaeth]

Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:

>
> Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
> Induktion gar nicht beweisbar ist.

Die Aussage ist nur aus einem trivialen Grund richtig:
Die linke Seite der behaupteten Gleichheit ist überhaupt nur per
Induktion definiert, und deswegen lässt sich *prinzipiell* darüber
nur etwas beweisen, wenn man diese Definition, also vollständige
Induktion, benutzt.

Die Induktion kann allerdings sehr trivial sein, etwa nach
Aufaddieren von Integralen zur Euler-MacLaurinschen Summenformel
https://de.wikipedia.org/wiki/Euler-Maclaurin-Formel.
Im "Aufaddieren" ist natürlich eine vollständige Induktion versteckt,
aber eben auf sehr triviale Weise. Man kann sich daher trefflich
streiten, ob man wegen einer solchen Trivialität im Beweisschritt
von einem Beweis "durch vollständige Induktion" sprechen will.

> Nach fünfmaligem Fluchen und nochmal Rechnen habe ich es endlich mit
> Papier und Bleistift hinbekommen, aus dem Ansatz
> Sq(n) = a + b*n + c*n^2 + d*n^3 die Koeffizienten zu bestimmen:
> a = 0, b = 1/6, c = 1/2, d = 1/3.
> Das ist ein durchaus cleverer Ansatz, der davon ausgeht, dass es eine
> nicht allzu komplizierte Formel für Sq(n) geben müsste.

Und wenn Du lustig bist, kannst Du nun versuchen, zu beweisen,
dass für *jede* der Summen

S_k(n) = sum_{j=1}^n j^k

(k eine natürliche Zahl) ein solcher Ansatz zum Ziel führt:
nämlich ein Polynom vom Grad k+1.

Eine Möglichkeit, dies zu beweisen, benutzt wieder vollständige Induktion.
Eine andere Beweismöglichkeit ist wieder die Benutzung der
Euler-MacLaurinschen Summenformel. Letztere hat den Vorteil, dass Du die
Koeffizienten des Polynoms gleich "explizit" geliefert bekommst
(natürlich letztlich auch nur in Form einer Induktionsformel).

[Rainer Rosenthal]

Am 25.08.2021 um 11:53 schrieb Brigitta Jennen:
> Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 25. August 2021 um 00:14:23 UTC+2:

>> Ich hätte ebenso die Formel 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 hernehmen können,
>> also genau die des "kleinen Gauß".>>

>> Wenn wir aber
>> darüber reden, was ein Beweis ist, dann müssen die "Pünktchen" außen vor
>> bleiben.
>
> Hallo Rainer,
> würdest Du folgende Herleitung - ohne Pünktchen - als Beweis akzeptieren?
> Ich halte mich an Gaus, schreibe das nur ohne Pünktchen mittels Suumen-
> zeichen.
>
> k=1_Summe_n soll bedeuten, die Summe läuft von 1 bis n.
> Also nach Gaus vorwärts und rückwärts summieren:

> S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (k) + k=1_Summe_n (n-k+1)] <~~~ V1 (s.u.)
>
> S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (k + n - k + 1)] <~~~ V2 (s.u.)

> S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (n + 1)]
>

> S_n = 1/2 * [k=1_Summe_n (n + 1)] = 1/2 * n(n+1) <~~~ V3 (s.u.)

>
> Würdest Du das als "Beweis" ohne Pünktchen akzeptieren?

Das tue ich in der Tat, und es gefällt mir sehr.

Du hast auf einer Ebene argumentiert, in der die Eigenschaften von

[k=1_Summe_n W(k)]

als bekannt vorausgesetzt werden. Das ist perfekt.
Es sind lauter vernünftige Voraussetzungen:

V1: [k=1_Summe_n W(n-k+1)] = [k=1_Summe_n W(k)]
V2: [k=1_Summe_n W(k)] + [k=1_Summe_n V(k)] = [k=1_Summe_n (W(k)+V(k)]
V3: [k=1_Summe_n C] = n * C

Und sie lassen sich alle beweisen :-)
Du hast durchaus das Recht, diese Voraussetzungen als bewiesen
anzunehmen. Wie gesagt, ich gratuliere Dir zu der klaren Herleitung.

Sie ist ein Beweis ohne Pünktchen.

Herzlich grüßend,
Rainer

[Rainer Rosenthal]

Am 25.08.2021 um 17:00 schrieb Ulrich Diez:
>
> Ich empfehle aber, Summen anders zu schreiben, denn Deine
> Schreibweise kann zu Irritation führen wenn ein Summenterm
> ohne Klammern ganz am Anfang einer Zeile/Relation steht - zB bei
>
> k=1_Summe_n (k) < (n^2+n+2)/2
>
> brauchts einen Moment bis langsame Leute wie ich realisieren,
> dass "k" lediglich ein Laufindex sein soll und dass sich
> "=" in "k=1_Summe" auf den Anfangswert des Laufindex der Summe
> bezieht.
>

Wegen dieser Irritation habe ich mir erlaubt, Brigittas Notation in
eckige Klammern einzuschließen:

[k=1_Summe_n (k)] < (n^2+n+2)/2

ist eigentlich ganz hübsch und knapp.

Es gefällt mir, bei Fragen auf die Sprech- bzw. Schreibweise der
Fragenden einzugehen. Das war hier mit dem Klammertrick leicht möglich,
und ich hoffe, dass dadurch meine Antwort so aussah, dass sie zur Frage
passt.

Gruß,
Rainer

[Rainer Rosenthal]

Am 25.08.2021 um 05:47 schrieb Ulrich Diez:
> Rainer Rosenthal schrieb:
>
>> Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
>> Induktion gar nicht beweisbar ist.
>>
>> Satz:
>> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
>> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.
>
> Ich mache es mal umständlich.
>

Warum?

Gruß
Rainer

[Rainer Rosenthal]

Am 26.08.2021 um 00:20 schrieb Martin Vaeth:

> ... Man kann sich daher trefflich

> streiten, ob man wegen einer solchen Trivialität im Beweisschritt
> von einem Beweis "durch vollständige Induktion" sprechen will.
>

Streiten und de.sci.mathematik ... das passt ja gar nicht zusammen, oder?

Ich fand es hilfreich, ein anspruchsvolleres Beispiel nachzureichen.
Dieser Thread ist ja eine Fortsetzung, wie ich gleich zu Beginn
geschrieben hatte:

Ich knüpfe an an den von Brigitta Jennen begonnenen Thread "Frage zu
vollst. Induktion" vom 11. August 2021.

Ich sehe keinen Anlass zu Streit. Alles gut.

Gruß,
RR

[Jens Kallup]

Hallo Ulrich,

Am 25.08.2021 um 18:54 schrieb Ulrich Diez:

> = (0 * 0 + 0 * 1) * (2 * 0 + 1) / 6

mal angenommen ich habe folgenden Term, wie oben stehend...
müsste man das dann auch erst ausmultiplizieren?

also in etwa so:

A) n := 0

=> (0 * 0 + 0 * 1) * (2 * 0 + 1) / 6

1. Term:
= -+ 0 * 2 * 0 * 2 + 0 * 2 * * 1 * 1 = 0
= -+ 0 * 0 + 0 * 2 * * 1 = 0
= 0 + 0 = 0
= 0 = 0

2. Term:
= * 0 * 2 * 0 * * 0 * 0 * 1 = 0
= 0 * * 0 = 0
= 0^2 = 0

3. Term:
= 0 * 2 + 0 * 0 + 0 * 1 = 0
= 0 + 0 * 0 + 0 = 0
= 0 * 0 = 0

4. Term:
= * 1 * 2 * 1 * 0 * 1 * 1 = 0
= 2 * 0 = 0

= 0 / 6
= 0

--------------

B) n := 1
(1 * 1 + 1 * 1) * (2 * 1 + 1) / 6

1. Term:
= 1 * 2 + 1 * 1 + 1 * 1 = 4
= 2 + 1 + 1 = 4
= 3 + 1 = 4

2. Term:
= * 1 * 2 * 1 * 2 * 1 * 1 * 1 = 4
= 2 * 2 = 4
= 2^2 = 4

3. Term:
= 1 * 2 + 1 * 1 + 1 * 1 = 4
= 2 + 1 * 1 + 1 = 4
= 2 + 1 + 1 = 4

4. Term:
= * 1 * 2 * 1 * 1 * 1 + 1 = 4
= 2 * 1 + 1 = 4
= 2 * 2 = 4

= 4/6
= 2/3 <-- ist das ein Quadrat ?

mit Hintergrund von Quadratsummen:
= 0/6 + 2/3
= 0/6 + 4/6
= 4/6
= 2/3

???

Jens

[Fritz Feldhase]

On Thursday, August 26, 2021 at 1:08:41 AM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:

> Streiten und de.sci.mathematik ... das passt ja gar nicht zusammen, oder?

Überhaupt nicht. Hier findet nur ein gesitteter Meinungsaustausch auf höchstem Niveau statt!

[Rainer Rosenthal]

Am 26.08.2021 um 00:42 schrieb Rainer Rosenthal:
#
# Brigitta Jennen schreibt für die Summe der Terme W(k)
# von k = 1 bis n: [k=1_Summe_n W(k)]
# Sie beweist [k=1_Summe_n k] = n*(n+1)/2, indem sie
# gewisse Voraussetzungen verwendet, die für das Summieren
# bekannt sind:
# V1: Summierung von 1 bis n ergibt den gleichen Wert wie
# die Summierung von n bis 1
# V2: Summe der W(k) plus Summe der V(k) ist gleich der Summe
# der W(k) + V(k).
# V3: Summiert man n mal die Konstante C , erhält man n * C
#

>
> Es sind lauter vernünftige Voraussetzungen:
>
> V1: [k=1_Summe_n W(n-k+1)] = [k=1_Summe_n W(k)]
> V2: [k=1_Summe_n W(k)] + [k=1_Summe_n V(k)] = [k=1_Summe_n (W(k)+V(k)]
> V3: [k=1_Summe_n C] = n * C
>
> Und sie lassen sich alle beweisen :-)

Ich schnappe mir mal den einfachsten Fall, also V3:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Satz V3: [k=1_Summe_n C] = n * C
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Beweis:
Der Satz gilt für n = 1: [k=1_Summe_1 C] = C = 1 * C.
Wenn der Satz für n gilt, gilt er auch für n+1:
[k=1_Summe_(n+1) C] =
[k=1_Summe_n C] + C =
n * C + C =
(n+1) * C.

Q.E.D.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


Finde ich prima, das mal deutlich zu sehen: "n mal C ist n * C".
Wir sind da an der Nahtstelle zwischen dem wahren Leben und der formalen
Mathematik(*). Weil alles so schön passt, hat man sich daran gewöhnt, "n
mal C" gedanklich zu identifizieren mit "n * C". Ich kenne den
Neuronal-Sprech nicht, aber es wird dafür einen Fachausdruck geben :-)

Gruß,
Rainer

(*)
Gleichung n * C + C = (n+1) * C gilt, weil die natürlichen Zahlen einen
kommutativen Halbring bilden.

[Carlo XYZ]

Rainer Rosenthal schrieb am 26.08.21 um 00:14:

> Für jemanden, der sich dem Thema "Induktionsbeweis" neugierig nähert,
> könnte dieser Hinweis gefallen, weil er/sie die Notwendigkeit des
> Induktionsanfangs (auch Induktionsverankerung genannt) erkennt.

Siehe auch <https://de.wikipedia.org/wiki/Pferde-Paradox> .

[Brigitta Jennen]

Ich kehre zurück zum Ausgangsproblem und bleibe bei der kompakten
Summen-Zeichen-Darstellung, die sich beim "einfachen Gaus" schon bewährt hat.

Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 24. August 2021 um 20:53:32 UTC+2:

> Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
> Induktion gar nicht beweisbar ist.
>
> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

Hmmm ... ich versuch's trotzdem mal direkt ... :-))

Bevor ich starte, zwei Bemerkungen voraus, um möglichst übersichtlich
darzustellen:

(1) Das Summenzeichen mit dem Laufindex ist, auch wenn man das klammert,
wie Rainer vorgeschlagen hat: [k=1_Summe_n (k)], ein "optisches Monster".

- - -
Wenn ich im Folgenden einfach SUMME (von irgendwas) schreibe, soll das bedeuten,
dass der Laufindex grundsätzlich implizit immer von k=1 bis n laufen soll!
- - -

(2) Hilfssatz, den wir benötigen werden und der durch gliedweises Anschreiben
leicht bewiesen werden kann:

SUMME (a_k+1) - SUMME (a_k) = a_k+1 - a_k

(3) Sn = SUMME (k) = n(n+1)/2 (einfacher Gaus)


OK: Los geht's:
Das zunächst Verwirrende - ich wechsle den Standpunk und betrachte
gar nicht die Quadratzahlen - ich starte mit der kubischen Potenzsumme!!

(1+1)^3 + (2+1)^3 + (3+1)^3 + ... + (n+1)^3 = SUMME (k+1)^3


Ab hier geht's ohne Pünktchen mit dem Summenzeichen weiter :-)

(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1

(a) SUMME (k+1)^3 = SUMME (k^3) + 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n
(b) SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = (n+1)^3 - 1 (nach Hilfssatz)

Vergleich von (a) und (b) ergibt:
SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n (a umgestellt)
(n+1)^3 - 1 = 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n (Hilfssatz angewendet)

3*SUMME (k^2) = (n+1)^3 - 3*Sn - n - 1
3*SUMME (k^2) = (n+1) * (n+1)^2 - 3/2*n(n+1) - n - 1
3*SUMME (k^2) = (n+1) * (n+1)^2 - 3/2*n(n+1) - (n + 1)
3*SUMME (k^2) = (n+1) * [(n+1)^2 - 3/2n - 1]
3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n^2 + 2n + 1 - 3/2n -1]
3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n^2 + n/2]
3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n(2n + 1)/2]
3*SUMME (k^2) = n(n+1)(2n+1)/2

SUMME (k^2) = n(n+1)(2n+1)/6

Zwei Fragen zum Schluss:
(1) Dies ist eine (mühselige) "Herleitung" der Summenformel für
die Quadratzahlen von 1 bis n.
Geht das als Beweis durch?
(2) Wo liegt der Unterschied zwischen einer korrekten Herleitung
und einem direkten Beweis?

Grüße
Brigitta

> Gruß,
> Rainer Rosenthal
> r.ros...@web.de

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> Am 25.08.2021 um 18:54 schrieb Ulrich Diez:
>> = (0 * 0 + 0 * 1) * (2 * 0 + 1) / 6
>
> mal angenommen ich habe folgenden Term, wie oben stehend...
> müsste man das dann auch erst ausmultiplizieren?
>

Nein, müssen muss man nicht. Du kannst auch erst jede Klammer für sich
berechnen:

(0*0 + 0*1) * (2*0 + 1) / 6

= ( 0 + 0 ) * ( 0 + 1) / 6

= 0 * 1 / 6

= 0 / 6

= 0

> B) n := 1
> (1 * 1 + 1 * 1) * (2 * 1 + 1) / 6
>

Klammern berechnen ergibt:

(1*1 + 1*1) * (2*1 + 1) / 6

= ( 1 + 1 ) * ( 2 + 1) / 6

= 2 * 3 / 6

= 6 / 6

= 1

und nicht

> = 4/6

Wenn du unbedingt ausmultiplizieren willst, gehst du am besten von
obiger Zeile aus:

(1*1 + 1*1) * (2*1 + 1) / 6

= ( 1 + 1 ) * ( 2 + 1) / 6

= [ (1 + 1)*2 + (1 + 1)*1 ] / 6

= [ 1*2 + 1*2 + 1*1 + 1*1 ] / 6

= [ 2 + 2 + 1 + 1 ] / 6

= 6 / 6

= 1

Das Vorgehen beruht auf den Distributivgesetzen im Ring (R,+,*):

https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_%28Algebra%29#Definitionen

Die hast du nicht richtig angewendet...
(Dass du dich mit den Begriffen Gruppe, Ring und Körper vertraut machen
solltest, habe ich dir schon einmal empfohlen.)

> = 2/3 <-- ist das ein Quadrat ?
>

Ja - von q = sqrt(2/3), denn q^2 = 2/3 :-)

Dieter Heidorn

[Jens Kallup]

Hallo, vielleicht sowas ?

(k + 1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1
= k^3 + k^2 + k^2 + k^2 + k^1 + k^1 + k^1 + 1
= k^3 + k^6 + k^3 + 1
= k^9 + k^3 + 1
(k + 1)^3 = k^(12) + 1
k^3 + 1 = k^(12) - k^ - 1
0 = k^9

HTH - hope this helps
Jens

[Jens Kallup]

Am 26.08.2021 um 13:57 schrieb Jens Kallup:
kleiner Typo: k^3

(k   + 1)^3      = k^3 + 3k^2             + 3k               + 1
                = k^3 +  k^2 + k^2 + k^2 +  k^1 + k^1 + k^1 + 1
                = k^3 +  k^6             +  k^3             + 1
                = k^9                    +  k^3             + 1
(k   + 1)^3      = k^(12)                                    + 1

 k^3 + 1         = k^(12) - k^3 - 1

[Carlo XYZ]

Brigitta Jennen schrieb am 26.08.21 um 13:15:

> (1) Das Summenzeichen mit dem Laufindex ist, auch wenn man das klammert,
> wie Rainer vorgeschlagen hat: [k=1_Summe_n (k)], ein "optisches Monster".

Eben. Also lieber LaTeX verwenden: (\sum_{k=1}^n a_k) für a_1+...+a_n .

> Wenn ich im Folgenden einfach SUMME (von irgendwas) schreibe, soll das bedeuten,
> dass der Laufindex grundsätzlich implizit immer von k=1 bis n laufen soll!

Das wäre dann \sum a_k in LaTeX.

> (2) Hilfssatz, den wir benötigen werden und der durch gliedweises Anschreiben
> leicht bewiesen werden kann:
>
> SUMME (a_k+1) - SUMME (a_k) = a_k+1 - a_k

Bitte genauer: meinst du a_k+1 [also nur k als Index] oder a_{k+1}?

Im ersten Fall scheint mir die Differenz gleich n,
im zweiten Fall gleich a_{k+1} - a_1 zu sein.

Wo habe ich mich vertan?

[Carlo XYZ]

Brigitta Jennen schrieb am 26.08.21 um 13:15:

> OK: Los geht's:
> Das zunächst Verwirrende - ich wechsle den Standpunk und betrachte
> gar nicht die Quadratzahlen - ich starte mit der kubischen Potenzsumme!!
>
> (1+1)^3 + (2+1)^3 + (3+1)^3 + ... + (n+1)^3 = SUMME (k+1)^3
>
> Ab hier geht's ohne Pünktchen mit dem Summenzeichen weiter :-)
>
> (k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1
>
> (a) SUMME (k+1)^3 = SUMME (k^3) + 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n

OK.

> (b) SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = (n+1)^3 - 1 (nach Hilfssatz)

OK. [Hier hast du den Hilfssatz, vorher falsch aufgeschrieben,
richtig angewendet :-]

> Vergleich von (a) und (b) ergibt:
> SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n (a umgestellt)
> (n+1)^3 - 1 = 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n (Hilfssatz angewendet)

Den Hilfssatz hattest du bereits angewendet.
Hier bringst du in (a) \sum k^3 auf die linke
Seite und ersetzt diese dann durch die rechte
Seite von (b).

> 3*SUMME (k^2) = (n+1)^3 - 3*Sn - n - 1

Einfaches Umsortieren.

> 3*SUMME (k^2) = (n+1) * (n+1)^2 - 3/2*n(n+1) - n - 1

Hier wendest du einen anderen Hilfssatz an.
Und ziehst das ^3 auseinander. Ich würde
vorschlagen, nicht so viel Space um das *
herum zu machen und/oder klammern: ((n+1)(n+1)^2).

> 3*SUMME (k^2) = (n+1) * (n+1)^2 - 3/2*n(n+1) - (n + 1)
> 3*SUMME (k^2) = (n+1) * [(n+1)^2 - 3/2n - 1]
> 3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n^2 + 2n + 1 - 3/2n -1]
> 3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n^2 + n/2]
> 3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n(2n + 1)/2]
> 3*SUMME (k^2) = n(n+1)(2n+1)/2

Das sollte leichte Algebra sein und evtl. vereinfachbar.

> SUMME (k^2) = n(n+1)(2n+1)/6

Jep. Sehr schön.

> Zwei Fragen zum Schluss:
> (1) Dies ist eine (mühselige) "Herleitung" der Summenformel für
> die Quadratzahlen von 1 bis n.
> Geht das als Beweis durch?

In meinem System ja. (Die Kandidatin hat 97-98 Punkte:-)

[Brigitta Jennen]

Carlo XYZ schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 14:04:34 UTC+2:
> Brigitta Jennen schrieb am 26.08.21 um 13:15:

> > SUMME (a_k+1) - SUMME (a_k) = a_k+1 - a_k
> Bitte genauer: meinst du a_k+1 [also nur k als Index] oder a_{k+1}?
>
> Im ersten Fall scheint mir die Differenz gleich n,
> im zweiten Fall gleich a_{k+1} - a_1 zu sein.

Gemeint ist der zweite Fall.
Wenn ich das in der von Dir vorgeschlagenen LaTex-Schreibweise
(mit der ich mich nicht auskenne) formuliere will, müsste das wohl
lauten:

(\sum_{k=1}^n a_k+1) - (\sum_{k=1}^n a_k) = a_k+1 - a_k

Ich hoffe es ist klar was gemeint ist: Der Laufindex geht von k=1 bis n.
Der Ausdruck unter der Summe beginnt bei Index k+1, nicht bei k.

Ich hab mir - Deiner Anregung folgend - in den letzten Tagen die
MikTex-Distribution angeschaut. Ein ziemlicher Bolide, der mir den
Rechner zukleistert.
Bin noch unentschieden, ob ich mir - nur wegen gelegentlicher Posts hier -
das antue, :-)

> Wo habe ich mich vertan?

Nirgends - Ich habe, wie so oft, es nicht verstanden, mich unmissverständlich
auszudrücken.
Grüße B.

[Brigitta Jennen]

Carlo XYZ schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 14:26:06 UTC+2:
> Brigitta Jennen schrieb am 26.08.21 um 13:15:

> > (b) SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = (n+1)^3 - 1 (nach Hilfssatz)
> OK. [Hier hast du den Hilfssatz, vorher falsch aufgeschrieben,
> richtig angewendet :-]

Kannst Du mir sagen, wieso? Ich seh das einfach nicht :-(

> > Geht das als Beweis durch?
> In meinem System ja. (Die Kandidatin hat 97-98 Punkte:-)

Von wieviel möglichen Punkten? 10 000?

[Carlo XYZ]

Brigitta Jennen schrieb am 26.08.21 um 14:42:

> Carlo XYZ schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 14:26:06 UTC+2:
>> Brigitta Jennen schrieb am 26.08.21 um 13:15:
>
>>> (b) SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = (n+1)^3 - 1 (nach Hilfssatz)
>> OK. [Hier hast du den Hilfssatz, vorher falsch aufgeschrieben,
>> richtig angewendet :-]
>
> Kannst Du mir sagen, wieso? Ich seh das einfach nicht :-(

Die rechte Seite ist a_{k+1}-a_1, nicht a_{k+1}-a_k.
Das war der sogenannte "leicht zu beweisen"-Effekt:-)
Und leider gerade an einer ziemlich wichtigen Stelle.

>>> Geht das als Beweis durch?
>> In meinem System ja. (Die Kandidatin hat 97-98 Punkte:-)
>
> Von wieviel möglichen Punkten? 10 000?

Fishing? :-)

Nein, in Klausuren geht es üblicherweise bis 100. Gerade
bei der Induktion erlebt man die unglaublichsten Dinge.
Dein Beweis hätte den Durchschnitt mit Sicherheit
stark angehoben.

[Carlo XYZ]

Brigitta Jennen schrieb am 26.08.21 um 14:34:

> Ich hab mir - Deiner Anregung folgend - in den letzten Tagen die
> MikTex-Distribution angeschaut. Ein ziemlicher Bolide, der mir den
> Rechner zukleistert.
> Bin noch unentschieden, ob ich mir - nur wegen gelegentlicher Posts hier -
> das antue, :-)

Naja, es ist halt ein Satzsystem, das auch anderweitig
gut nutzbar ist. Ich nutze es auch für Briefe, die mit
Mathe nichts zu tun haben. Aber wenn es nur um Formeln
geht, wäre ja zunächst mal die Syntax wichtig, also _
für Index, ^ für Hochindex, \sum für Summe usw. Sehr
viel braucht man nicht, und der Rest ist im Netz ganz
gut verfügbar. Und wenn es darum geht, zu testen, wie
die Formeln aussehen, gibt es kleinere Preview-Programme.
Man braucht dazu MiKTeX überhaupt nicht. Es gibt sogar
online-Tools, z.B.

<https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php?lang=en-en>

Da kannst du deine Formel in LaTeX eintippen und unten wird
dir die mathematische Version davon angezeigt. Probier's
mal mit \sum_{k=1}^n a_{k+1} und dann mit \sum_{k=1}^n a_k+1.
Fürs Usenet reicht in einer Mathegruppe die LaTeX-Form aus.

Außerdem gibt es sehr viele speziell mit LaTeX zusammen
arbeitende Text-Editoren, siehe z.B. die Liste in

<https://tex.stackexchange.com/questions/339/latex-editors-ides>

Viele setzen ein schon installiertes TeX (so wie MiKTeX)
voraus, aber ich glaube, es gibt auch welche, die eigene
Compiler haben. Außerdem: Wenn schon MiKTeX, dann am
Anfang am besten die abgespeckte Version. Solltest du
weitere Pakete brauchen, lädt MiKTeX die selbstständig
nach. (Zumindest war's so, als ich es das letzte Mal testete.)

[Brigitta Jennen]

Carlo XYZ schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 15:05:59 UTC+2:
> Brigitta Jennen schrieb am 26.08.21 um 14:42:

> > Kannst Du mir sagen, wieso? Ich seh das einfach nicht :-(
> Die rechte Seite ist a_{k+1}-a_1, nicht a_{k+1}-a_k.
> Das war der sogenannte "leicht zu beweisen"-Effekt:-)
> Und leider gerade an einer ziemlich wichtigen Stelle.

O Elend! Ich hab den Schreibfehler einfach nicht gesehen.
Großen Dank .
Manchmal sieht man vor lauter Bäumen den Wald nicht (mehr).

Hier die (hoffentlich) fehlerfreie Version des Beweises:

Hilfssatz
---------------

den wir benötigen werden und der durch gliedweises Anschreiben

bewiesen werden kann:
SUMME (a_k+1) - SUMME (a_k) = a_k+1 - a_1

Gaus:
---------

Sn = SUMME (k) = n(n+1)/2 (einfacher Gaus)

Wenn ich im Folgenden einfach SUMME (von irgendwas) schreibe, soll das bedeuten,
dass der Laufindex grundsätzlich implizit immer von k=1 bis n laufen soll!

Das zunächst Verwirrende - ich wechsle den Standpunk und betrachte
gar nicht die Quadratzahlen - ich starte mit der kubischen Potenzsumme!!

(1+1)^3 + (2+1)^3 + (3+1)^3 + ... + (n+1)^3 = SUMME (k+1)^3

(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1

(a) SUMME (k+1)^3 = SUMME (k^3) + 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n

(b) SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = (n+1)^3 - 1 (nach Hilfssatz)

Vergleich von (a) und (b) ergibt:

SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n

(n+1)^3 - 1 = 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n

3*SUMME (k^2) = (n+1)^3 - 3*Sn - n - 1

3*SUMME (k^2) = (n+1)*(n+1)^2 - 3/2*n(n+1) - n - 1
3*SUMME (k^2) = (n+1)*(n+1)^2 - 3/2*n(n+1) - (n + 1)
3*SUMME (k^2) = (n+1)*[(n+1)^2 - 3/2n - 1]
3*SUMME (k^2) = (n+1)* [n^2 + 2n + 1 - 3/2n -1]
3*SUMME (k^2) = (n+1)*[n^2 + n/2]
3*SUMME (k^2) = (n+1)*[n(2n + 1)/2]
3*SUMME (k^2) = n(n+1)(2n+1)/2

SUMME (k^2) = n(n+1)(2n+1)/6

Ich hab die vielen Zwischenschritte mal belassen, weil ich mich hier
öfters verrechnet habe und es schwierig ist, das Ergebnis zu erhalten,
wenn man nicht sieht, dass man (n+1) ausklammern kann, wenn man
geschickt umformt.
Grüße B.

[Rainer Rosenthal]

Am 26.08.2021 um 13:15 schrieb Brigitta Jennen:
>
> (1) Das Summenzeichen mit dem Laufindex ist, auch wenn man das klammert,
> wie Rainer vorgeschlagen hat: [k=1_Summe_n (k)], ein "optisches Monster".
>
> - - -
> Wenn ich im Folgenden einfach SUMME (von irgendwas) schreibe, soll das bedeuten,
> dass der Laufindex grundsätzlich implizit immer von k=1 bis n laufen soll!
> - - -

Das optische Monster war ja nicht gar so schlimm und nur zwei Zeichen
länger als Dein erster Vorschlag. Richtig kompakt wird es mit einer
Notation wie in der Programmiersprache PARI/GP, in der man z.B. schreibt
sum(k=1,3,k) und als Ergebnis 6 erhält, wie bei 1+2+3 zu erwarten.
Den Laufindex immer k zu nennen und die Grenze stets n, ist nicht so
glücklich, finde ich. Vorschlag daher: SUMME(k=1,n,irgendwas).

>
> (2) Hilfssatz, den wir benötigen werden und der durch gliedweises Anschreiben
> leicht bewiesen werden kann:
>

> SUMME (a_k+1) - SUMME (a_k) = a_k+1 - a_k (*)
>
Nein.
Erstens meinst Du mit "a_k+1" sicher "a_(k+1)".
Zweitens ist k Dein Laufindex, hat rechts also nichts zu suchen.
Links summierst Du von Index 2 bis n+1 und ziehst die Summe ab, bei der
von 1 bis n summiert wird. Damit heben sich die Glieder mit den Indizes
2 bis n weg, und es bleibt nur a_(n+1) - a_1.
Ich vermute also, dass Du statt (*) das hier schreiben wolltest:
#
# SUMME (a_(k+1)) - SUMME (a_k) = a_(n+1) - a_1 (**)
#

>
> Ab hier geht's ohne Pünktchen mit dem Summenzeichen weiter :-)
>

Siehe mein anderes Posting: es ist elegant und gut, auf der Stufe zu
argumentieren, auf der das Arbeiten mit dem Summenzeichen gesichert ist.
Die "Pünktchen" sind damit weg, weil auf der niedrigeren Stufe erledigt.

>
> Zwei Fragen zum Schluss:
> (1) Dies ist eine (mühselige) "Herleitung" der Summenformel für
> die Quadratzahlen von 1 bis n.
> Geht das als Beweis durch?

Ja, wenn jeder Schritt einer kritischen Nachfrage standhält.
Das Arbeiten mit dem Summenzeichen und den erlaubten Manipulationen
darfst Du als bewiesen voraussetzen. "Mühselig" ist eine Wertung, an der
ich mich nicht beteilige. Der Ansatz hat mich verblüfft, und ich habe
mir (noch) nicht die Mühe gemacht, die ganze Herleitung zu prüfen,
sorry. Da der Hilfssatz falsch ist, solltest Du schauen, ob da alles mit
rechten Dingen zugeht, wo Du ihn verwendet hast.

> (2) Wo liegt der Unterschied zwischen einer korrekten Herleitung
> und einem direkten Beweis?
>

Ich sehe keinen Unterschied.

Lieben Gruß,
Rainer

[Brigitta Jennen]

Rainer Rosenthal schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 15:32:02 UTC+2:

> Erstens meinst Du mit "a_k+1" sicher "a_(k+1)".

O Mann! Mir ist jetzt erst dank dieses Hinweises klar geworden, wie missverständlich
ich mich schon wieder ausgedrückt habe.
Genau! Ich meine mit (k+1) den Index, a_k +1 ist was anderes als a_(k+1).
Jetzt hab ich auch verstanden, worüber Carlo gestolpert ist.

> Ich vermute also, dass Du statt (*) das hier schreiben wolltest:
> #
> # SUMME (a_(k+1)) - SUMME (a_k) = a_(n+1) - a_1 (**)

Genau - das sollte es heißen.
Hier noch mal der Beweis in einem Rutsch, damit man nicht ständig
vor und zurückblättern muss:

> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

Zwei Bemerkungen voraus, um möglichst übersichtlich
darzustellen:

Wenn ich im Folgenden einfach SUMME (von irgendwas) schreibe, soll das bedeuten,
dass der Laufindex grundsätzlich implizit immer von k=1 bis n laufen soll!

(2) Hilfssatz, den wir benötigen werden und der durch gliedweises Anschreiben

bewiesen werden kann:

SUMME (a_(k+1)) - SUMME (a_k) = a_(k+1) - a_k

(3) Sn = SUMME (k) = n(n+1)/2 (einfacher Gaus)

Das zunächst Verwirrende - ich wechsle den Standpunk und betrachte zunächst

gar nicht die Quadratzahlen - ich starte mit der kubischen Potenzsumme!!

(1+1)^3 + (2+1)^3 + (3+1)^3 + ... + (n+1)^3 = SUMME (k+1)^3

(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1

(a) SUMME (k+1)^3 = SUMME (k^3) + 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n
(b) SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = (n+1)^3 - 1 (nach Hilfssatz)

Vergleich von (a) und (b) ergibt:
SUMME (k+1)^3 - SUMME (k^3) = 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n

(n+1)^3 - 1 = 3*SUMME (k^2) + 3*Sn + n

3*SUMME (k^2) = (n+1)^3 - 3*Sn - n - 1
3*SUMME (k^2) = (n+1) * (n+1)^2 - 3/2*n(n+1) - n - 1
3*SUMME (k^2) = (n+1) * (n+1)^2 - 3/2*n(n+1) - (n + 1)

3*SUMME (k^2) = (n+1) * [(n+1)^2 - 3/2n - 1]
3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n^2 + 2n + 1 - 3/2n -1]
3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n^2 + n/2]
3*SUMME (k^2) = (n+1) * [n(2n + 1)/2]
3*SUMME (k^2) = n(n+1)(2n+1)/2

SUMME (k^2) = n(n+1)(2n+1)/6

Grüße
Brigitta

> Lieben Gruß,
> Rainer

[Brigitta Jennen]

Sorry, da hab ich im Vor-Posting noch die alte Version mit dem Tippfehler
im Hilfssatz erwischt. Jetzt sollte es passen:

> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

Zwei Bemerkungen voraus, um möglichst übersichtlich
darzustellen:

Wenn ich im Folgenden einfach SUMME (von irgendwas) schreibe, soll das bedeuten,
dass der Laufindex grundsätzlich implizit immer von k=1 bis n laufen soll!


(2) Hilfssatz, den wir benötigen werden und der durch gliedweises Anschreiben
bewiesen werden kann:

SUMME (a_(k+1)) - SUMME (a_k) = a_(k+1) - a_1

[Rainer Rosenthal]

Am 26.08.2021 um 15:53 schrieb Brigitta Jennen:
> Sorry, da hab ich im Vor-Posting noch die alte Version mit dem Tippfehler
> im Hilfssatz erwischt. Jetzt sollte es passen:
>
>

> SUMME (a_(k+1)) - SUMME (a_k) = a_(k+1) - a_1
>

Brigitta muss sich mehr konzentrieren!

SUMME (a_(k+1)) - SUMME (a_k) = a_(n+1) - a_1

:-)
Gruß,
Rainer

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> Am 26.08.2021 um 13:57 schrieb Jens Kallup:
> kleiner Typo: k^3
>
>
> (k + 1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1
>

Richtig.

> = k^3 + k^2 + k^2 + k^2 + k^1 + k^1 + k^1 + 1

> = k^3 + k^6 + k^3 + 1

Nein. Die Potenz k^6 steht für

k*k*k*k*k*k = k^6,

ist also eine "Abkürzung" für die 6-malige Multiplikation von k mit sich
selbst.

Dagegen ist

k^2 + k^2 + k^2 = 3 * k^2 .

Links steht ein Summenterm, der sich nicht nicht in k^6 umwandeln lässt.

Entsprechend ist 3k = k + k + k nicht gleich k^3, denn k^3 steht für k^3
= k*k*k.

> k^3 + k^6 + k^3 + 1
> = k^9 + k^3 + 1

Nein:

k^3 + k^6 + k^3 + 1

= k^6 + 2*k^3 + 1

= k*k*k*k*k*k + 2*k*k*k + 1

> k^9 + k^3 + 1

= k^(12)

Die Hochzahlen von Potenzen gleicher Basis werden dann addiert, wenn die
Potenzen multipliziert werden:

k^6 * k^3

= k*k*k*k*k*k * k*k*k

= k^9, da 9 Faktoren "k" vorliegen.

Vielleicht hilft dir diese Seite bei deinen "Potenzproblemen" ;-) :

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29

Dieter Heidorn

[Brigitta Jennen]

Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 24. August 2021 um 20:53:32 UTC+2:

> Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
> Induktion gar nicht beweisbar ist.
>

> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

> ...

Hier ein Vorschlag für den Beweis über vollständige Induktion:
(Hoffentlich ohne Tipp- und Rechenfehler)

Ich beweise das für n e N, starte also mit 1:

BEWEIS
------------
durch vollständige Induktion

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = SUMME{von k=1 bis n} (k^2)
SUMME{von k=1 bis n} (k^2) = n (n+1) (2n+1) / 6

Induktions-Anfang (IA) für (n=1):
SUMME{von k=1 bis n} (k^2) = 1^2 =1= 1*(1+1)*(1+2) / 6 OK.

Induktions-Voraussetzung (IV):
SUMME{von k=1 bis n} (k^2) = n (n+1) (2n+1) / 6

Induktions-Behauptung (IB):
SUMME{von k=1 bis n+1} (k^2) = (n+1) ((n+1)+1) (2(n+1)+1) / 6
SUMME{von k=1 bis n+1} (k^2) = (n+1) (n+2) (2n+3) / 6

Induktions-Schluss (IS):
(Zeige, dass sich durch Äquivalenz-Umformungen die linke Seite
der Ind.-Behauptung in deren rechte Seite überführen lässt!)

SUMME{von k=1 bis n+1} (k^2) = SUMME{von k=1 bis n} (k^2) + (n+1)^2
SUMME{von k=1 bis n+1} (k^2) = n (n+1) (2n+1) / 6 + (n+1)^2 (nach IV)

Zu zeigen ist also:
n (n+1) (2n+1) / 6 + (n+1)^2 = (n+1) (n+2) (2n+3) / 6
oder
beide Seiten mit 6 multipliziert:

n (n+1) (2n+1) + 6(n+1)^2 = (n+1) (n+2) (2n+3) (* Zu zeigen)

n (n+1) (2n+1) + 6(n+1)^2 = n (n+1) (2n+1) + 6(n+1) (n+1)
= (n+1) [n(2n+1) + 6(n+1)]
= (n+1) [2n^2 + n + 6n + 6)] = (n+1) [2n^2 + 7n + 6)]
= (n+1) (n+2) (2n+3) (* gezeigt)
■

Gruß B.

> Gruß,
> Rainer Rosenthal
> r.ros...@web.de

[Juergen Ilse]

Hallo,

Dass (n+1)*(2n^2+7n+6)=(n+1)*(n+2)*(2n+3) ist, ist nicht auf den ersten Blick
erkennbar. Natuerlich koennte man (n+2)*(2n+3) ausmultiplizieren und imt
(2n^2+7n+6) vergleichen, aber man bekommt das auch in wenigen Schritten durch
direkte Umformung hin:

(n+1)*(2n^2+7n+6) =
(n+1)*(2n^2+3n + 4n+6) =
(n+1)*((2n+3)*n + (4n+6)) =
(n+1)*((2n+3)*n + 2*(2n+3)) =
(n+1)*((2n+3)*(n+2)) =
(n+1)*(2n+3)*(n+2) =
(n+1)*(n+2)*(2n+3)

Hier sieht man glaube ich mehr als deutlich, mit welchen Umformungen man
von (n+1)*(2n^2+7n+6) zu (n+1)*(n+2)*(2n+3) kommt, ohne irgend etwas aus-
zumultiplizieren und zu vergleichen. Mir zumindest waeren diese Umformungen
komplett imKopf ohne etwas zu notieren etwas schwer gefallen (ich haette
nicht alle oben genannten Schritte aufschreiben muessen, aber alles im
Kopf waere mir bei den Umformungen doch etwas schwer gefallen).
Sicher sind diese Umformungen nicht schwer, aber ich finde, sie sind nicht
so offensichtlich, dass man sie einfach weglassen kann ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Brigitta Jennen]

Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 20:28:29 UTC+2:

> Dass (n+1)*(2n^2+7n+6)=(n+1)*(n+2)*(2n+3) ist, ist nicht auf den ersten Blick
> erkennbar.

Das ist ein schönes Beispiel dafür, wie unterschiedlich die Mustererkennung
in unseren Gehirnen ablaufen kann. Ich hab komischerweise sofort gesehen,
dass man den Term (2n^2+7n+6) „faktorisieren“ kann, als er vor mir auf dem
Papier stand, und musste darüber eigentlich nicht nachdenken.

> Natuerlich koennte man (n+2)*(2n+3) ausmultiplizieren und imt
> (2n^2+7n+6) vergleichen, aber man bekommt das auch in wenigen Schritten durch
> direkte Umformung hin:
>
> (n+1)*(2n^2+7n+6) =
> (n+1)*(2n^2+3n + 4n+6) =
> (n+1)*((2n+3)*n + (4n+6)) =
> (n+1)*((2n+3)*n + 2*(2n+3)) =
> (n+1)*((2n+3)*(n+2)) =
> (n+1)*(2n+3)*(n+2) =
> (n+1)*(n+2)*(2n+3)
>
> Hier sieht man glaube ich mehr als deutlich, mit welchen Umformungen man
> von (n+1)*(2n^2+7n+6) zu (n+1)*(n+2)*(2n+3) kommt, ohne irgend etwas aus-
> zumultiplizieren und zu vergleichen. Mir zumindest waeren diese Umformungen
> komplett imKopf ohne etwas zu notieren etwas schwer gefallen (ich haette
> nicht alle oben genannten Schritte aufschreiben muessen, aber alles im
> Kopf waere mir bei den Umformungen doch etwas schwer gefallen).
> Sicher sind diese Umformungen nicht schwer, aber ich finde, sie sind nicht
> so offensichtlich, dass man sie einfach weglassen kann ...

Die Umformungen finde ich prima.
Noch interessanter finde ich die unterschiedlichen „Sichtweisen“, die hier
zu Tage treten.
Vielen Dank dafür!
Grüße B.

> Tschuess,
> Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Ulrich Diez]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Am 25.08.2021 um 05:47 schrieb Ulrich Diez:

> > Ich mache es mal umständlich.
> >
> Warum?

Die Gedankengänge an sich sind bei diesem Beweis ja nicht sehr spektakulär. :-)

Aus diesem Grund wollte ich die Gelegenheit auch für etwas anderes
nutzen, nämlich den Bezug der vervollständigenden Induktion zu Mengen
zu betonen.

Allerdings ohne viele neue Bezeichner auf einmal einzuführen, weil "viele
neue Bezeichner auf einmal" vor allem in der Phase des Lernens und
Sich-Mit-Thematiken Vertraut-Machens oft verwirrend sind.

Die Umständlichkeit bestand hauptsächlich dahin, etwas längliche
Beschreibungen von Mengen wiederholt hinzuschreiben.

Den Bezug zu Mengen wollte ich betonen, weil er meiner Meinung
nach sehr hilfreich ist wenn man sich zB der transfiniten Induktion
und ähnlichen Verfahren zuwendet.

Lehbuchreif sind meine Ausführungen aber leider nicht
geworden. ZB habe ich nirgendwo Aspekte wie
Wohlodnung erwähnt, geschweige denn, wie man mit dem
Umstand umgeht, dass beim Schluss von n auf n+1
davon ausgegangen wird, dass zwischen n und n+1 keine
weiteren Elemente liegen.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Rainer Rosenthal]

Am 26.08.2021 um 21:40 schrieb Brigitta Jennen:
>
> Die Umformungen finde ich prima.
> Noch interessanter finde ich die unterschiedlichen „Sichtweisen“, die hier
> zu Tage treten.
>

Mir ist vorhin in der Bahn eine weitere Sichtweise in den Sinn gekommen.
Dank blöder Schusselfehler kam in der Bahn noch nicht das Gewünschte
heraus, aber daheim nochmal kurz konzentriert - und wupps! hatte ich
einen /neuen Beweis/ gefunden.

Die Funktion Sq(n), die den Wert von 02 + 1^2 + ...+ n^2 liefern soll,
setze ich wieder an als Sq(n) = a + b n + c n^2 + d n^3 und weiß, dass a
= 0 sein muss, um Sq(0) = 0 zu gewährleisten.

Für die noch zu bestimmenden Koeffizienten b, c und d nutze ich die
folgende Beobachtung: wenn ich Sq(n) in der Form b n + c n^2 + d n^3
schreiben kann, dann ist
Sq(n+1) = b(n+1) + c(n+1)^2 + d(n+1)^3
= bn + b + c(n^2+2n+1) + d(n^3+3n^2+3n+1)
= b + c + d + n(b+2c+3d) + n^2(c+3d) + n^3(d) (Polynom A)

und auch Sq(n+1) = Sq(n) + (n+1)^2, also
Sq(n+1) = b n + c n^2 + d n^3 + (n+1)^2
= b n + c n^2 + d n^3 + n^2 + 2n + 1
= 1 + n(b+2) + n^2(c+1) + n^3(d) (Polynom B)

Da das für jeden Wert von n gleich sein soll, müssen die Koeffizienten
in den beiden Polynomen gleich sein:
b + c + d = 1, b + 2c + 3d = b + 2 und c + 3d = c + 1.
Aus der letzten Gleichung folgt sofort d = 1/3.
Setzt man das in die zweite Gleichung ein: b + 2c + 1 = b + 2, sieht man
sofort, dass c = 1/2 ist. Und aus der ersten Gleichung berechnet man
dann b: b + 1/2 + 1/3 = 1 liefert b = 1/6.

Die Formel Sq(n) = b n + c n^2 + d n^3 = n/6 + n^2/2 + n^3/3 ist
äquivalent zu Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

Das Spannende ist: ich habe hier die Koeffizienten nicht nur "erraten"
aus der Kenntnis der 4 Werte Sq(0), Sq(1), Sq(2) und Sq(3), wonach dann
noch der mühsame Nachweis Sq(n) + (n+1)^2 = Sq(n+1) zu erbringen war,
sondern ich habe sie direkt aus eben dieser Bedingung Sq(n) + (n+1)^2 =
Sq(n+1) gewinnen können! Somit ist sie bereits erfüllt. Auch Sq(0) = 0
ist gewährleistet, also ... alles gut!

Bin richtig stolz auf mich.

Gruß,
Rainer

Hoppla, gerade will ich auf "senden" klicken, da fällt mir ein: habe ich
nun nicht meine eigene Behauptung widerlegt, dass der Beweis der
Summenformel den Induktionsbeweis benötigt? (Entweder direkt oder über
die Rechenregeln für Summen.) Aber nein, der Beweis ist ja genau das:
ein Induktionsbeweis, denn der Induktionsanfang Sq(0) = 0 ist
verifiziert, und der Induktionsschritt funktioniert per Konstruktion.
Also ... alles richtig gut. // SENDEN!

[Rainer Rosenthal]

Am 26.08.2021 um 23:47 schrieb Rainer Rosenthal:
>
> Die Funktion Sq(n), die den Wert von 02 + 1^2 + ...+ n^2 liefern soll,
>

Mist, Schreibfehler. Soll heißen

Die Funktion Sq(n), die den Wert von 0^2 + 1^2 + ...+ n^2 liefern soll,

Jaja, Konzentration und Sorgfalt.

[Ulrich Diez]

[Dieses Posting ist off-topic.
Ich bitte darum, ggfs nach de.comp.text.tex zu wechseln.]

Brigitta Jennen schrieb:

> Ich hab mir - Deiner Anregung folgend - in den letzten Tagen die
> MikTex-Distribution angeschaut. Ein ziemlicher Bolide, der mir den
> Rechner zukleistert.

Bei TeX handelt es sich um ein Textsatz-System, das von Donald E. Knuth
entwickelt wurde. Eine Art Programmiersprache, um Dokumente zu
beschreiben. Der TeX-Compiler arbeitet die in Form einer einfachen
Textdatei vorliegende Beschreibung ab und macht eine hübsch
aussehende .pdf-Datei.

LaTeX stellt eine Sammlung an in der Programmiersprache TeX
programmierten Dingen/Strukturen dar, die beim Beschreiben von
Dokumenten nützlich sind und außerdem auch ein logisches
Markup betonen.

In TeX würde man zB beschreiben, dass jetzt eine große, fette Schrift
verwwendet werden soll. In LaTeX gibt man einen Befehl an, der
bedeutet, eine Abschnittsüberschrift auf einer bestimmten
Gliederungsebene zu erzeugen. Der wird dann intern in TeX-
Anweisungen zerdröselt.

MiKTeX ist eine Portierung dieses Systems auf Windows. Also
ausführbare Dateien für Windows.


Wir zweckentfremden aber die Programmiersprache TeX, denn das
ist praktisch:

Der Editor, in dem man einen Quelltext in der Programmiersprache
TeX erstellt, ist genauso Medium, in dem man nur einzelne Zeichen
zu einer Zeile aneinander und mehrere Zeilen untereinander reihen
kann, wie das Eingabefenster Deines Usenet-Clients/des
Google-Groups-Interface.
Bei beidem kann man zB keine Summenzeichen mit hoch- und
tiefgestelltem Text oder Wurzelzeichen, bei denen der Wurzelstrich
über längere Terme geht, direkt "hinmalen"-

Wir verwenden die Programmiersprache TeX, um im textbasierten
Medium Usenet mathematische Ausdrücke/Symbole in dieser Sprache
darzustellen, in der Hoffnung, dass andere, die diese Sprache auch
kennen, dann leichter verstehen, um was es uns geht.

Wir verwenden sie nicht, um daraus .pdf-Dateien erzeugen zu lassen.
Also brauchen wir die Programme, die daraus pdf-Dateien erzeugen,
streng genommen gar nicht.
Wir müssen nur die Sprache kennen.

Wenn Du diese Sprache nicht verwenden willst, um .pdf-Dateien
erzeugen zu lassen, dann brauchst Du diese Programme nicht.

Wenn Du diese Sprache verwenden willst, um hier im Usenet
mathematische Ausdrücke in dieser Sprache hinzuschreiben,
dann musst Du diese Sprache nur kennen.

Unter Umständen reicht es für Dich also aus, eine Einführung
in diese Sprache zu ergoogeln und zu lesen.



Wenn Du aber daran interessiert bist, das Textsatzsystem TeX
zu verwenden, um .pdf-Dateien zu erzeugen, dann empfehle
ich, in nächster Zeit _nicht_ die TeX-Distribution
MiKTeX zu verwenden, denn da gibts zur Zeit etliche Bugs.

ZB haben zur Zeit etliche Leute Probleme mit dem mitgelieferten
Eingabeeditor "TeXworks". Bei mir funktioniert seit dem letzten
MiKTeX-Update dieser Eingabeeditor nicht mehr. Stattdessen
hagelt es Fehlermeldungen auf Windows-Ebene.

Ich empfehle stattdessen die TeX-Distribution TeXLive, die von
der TeX User Group (tug) bestens gepflegt wird und für
diverse Plattformen (Mac, Linux, Windows) bereitgestellt ist.

Hier ist ein Link zur TeXLive-Portierung für Windows:

<https://www.tug.org/texlive/windows.html>

TeXLive hat den Vorteil, dass man es auch auf einem USB-
Stick installieren kann und den Stick dann an verschiedenen
Rechnern einsetzen kann. Dann müllt es die Festplatte nicht zu. :-)

Wichtige Anlaufstellen für Informationen sind zB:

- Die TeX User Group: <https://www.tug.org>
- Die deutschsprachige TeX-Anwender-Vereinigung: <https://www.dante.de>
- Die englischsprachige Usenet-Newsgroup comp.text.tex
- Die deutschsprachige Usenet-Newsgroup de.comp.text.tex
- Die TeX-FAQ: <https://texfaq.org>
- Das Comprehensive TeX Archive Network (CTAN): <https://ctan.org>
- Die Question-Answer-Seite "TeX-LaTeX StackExchange": <https://tex.stackexchange.com>

Eine erste nette Einführung findet sich zB unter
<https://math.stugen.de/wordpress/wp-content/uploads/2020/10/presentation-mathe-handout.pdf>

Für die Darstellung von Mathe-Ausdrücken im Usenet sind aber allenfalls die
Seiten 62 - 71 interessant.


Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Juergen Ilse]

Hallo,

Brigitta Jennen <ladya...@gmail.com> wrote:

> Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 20:28:29 UTC+2:
>
>> Dass (n+1)*(2n^2+7n+6)=(n+1)*(n+2)*(2n+3) ist, ist nicht auf den ersten Blick
>> erkennbar.
>
> Das ist ein schönes Beispiel dafür, wie unterschiedlich die Mustererkennung
> in unseren Gehirnen ablaufen kann. Ich hab komischerweise sofort gesehen,
> dass man den Term (2n^2+7n+6) „faktorisieren“ kann, als er vor mir auf dem
> Papier stand, und musste darüber eigentlich nicht nachdenken.

Ich wuerde vermuten, dass viele nicht auf Anhieb die moegliche Faktorisierung
der Summer auf einen Blick erkennen.

>> Natuerlich koennte man (n+2)*(2n+3) ausmultiplizieren und imt
>> (2n^2+7n+6) vergleichen, aber man bekommt das auch in wenigen Schritten durch
>> direkte Umformung hin:
>>
>> (n+1)*(2n^2+7n+6) =
>> (n+1)*(2n^2+3n + 4n+6) =
>> (n+1)*((2n+3)*n + (4n+6)) =
>> (n+1)*((2n+3)*n + 2*(2n+3)) =
>> (n+1)*((2n+3)*(n+2)) =
>> (n+1)*(2n+3)*(n+2) =
>> (n+1)*(n+2)*(2n+3)
>>
>> Hier sieht man glaube ich mehr als deutlich, mit welchen Umformungen man
>> von (n+1)*(2n^2+7n+6) zu (n+1)*(n+2)*(2n+3) kommt, ohne irgend etwas aus-
>> zumultiplizieren und zu vergleichen. Mir zumindest waeren diese Umformungen
>> komplett imKopf ohne etwas zu notieren etwas schwer gefallen (ich haette
>> nicht alle oben genannten Schritte aufschreiben muessen, aber alles im
>> Kopf waere mir bei den Umformungen doch etwas schwer gefallen).
>> Sicher sind diese Umformungen nicht schwer, aber ich finde, sie sind nicht
>> so offensichtlich, dass man sie einfach weglassen kann ...
>
> Die Umformungen finde ich prima.

Ich haette fuer mich mit Sicherheit nicht alle Schritte aufgeschrieben.
Ich habe das dort oben so ausfuehrlich notiert, damit jeder ohne jedes
Problem auf einfachste Weise nachvollziehen kann.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Brigitta Jennen]

Ulrich Diez schrieb am Freitag, 27. August 2021 um 00:11:36 UTC+2:
> [Dieses Posting ist off-topic.
...

Ganz herzlichen Dank für diese ausführliche Hlfestellung und die Links.
Das hat mir enorm viel Sucharbeit im Netz erspart.
Gruß B.

> Mit freundlichem Gruß
>
> Ulrich

[Brigitta Jennen]

Carlo XYZ schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 15:23:49 UTC+2:

> Naja, es ist halt ein Satzsystem, das auch anderweitig
> gut nutzbar ist. Ich nutze es auch für Briefe, die mit
> Mathe nichts zu tun haben.

Danke für die Hinweise.
Auch wenn es etwas OT ist: Was hast Du - als Profi - bei Dir genau installiert?

[Jens Kallup]

Am 26.08.2021 um 16:41 schrieb Dieter Heidorn:
>>                  = k^3 +  k^2 + k^2 + k^2 +  k^1 + k^1 + k^1 + 1
>
>>                  = k^3 +  k^6             +  k^3             + 1
>
> Nein. Die Potenz k^6 steht für

hier habe ich die Potenzen zusammen gezählt (auf der rechten Seite):

= (k^3) + ( k^2 + k^2 + k^2 ) + ( k^1 + k^1 + k^1 ) + 1
= (k^3) + ( k^6 ) + ( k^3 ) + 1
= (k^3 + k^6 + k^3 ) + 1
= (k^9 + k^3 ) + 1
= k^(12) + 1

dann stand ja auf der linken Seite:

= (k + 1)^3
= (k^1 + 1) + (k^1 + 1) + (k^1 + 1)
= k^3 + 3

zusammen:

k^3 + 3 = k^(12) + 1 | minus 1 auf beiden Seiten:
k^3 + 2 = k^(12) | minus k^3 auf beiden Seiten:
2 = k^9

Jens

[Carlo XYZ]

Brigitta Jennen schrieb am 27.08.21 um 13:42:

> Auch wenn es etwas OT ist: Was hast Du - als Profi - bei Dir genau installiert?

Ich nutze schon seit Langem Macintosh statt Windows und bin damit
zufrieden. Für LaTeX nutze ich TeXShop von Richard Koch et al.:

<https://de.wikipedia.org/wiki/TeXShop>

<https://pages.uoregon.edu/koch/texshop/obtaining.html>

Dazu MacTeX als TeX-Engine und BibTeX für Bibliographien.

Für Windows gibt es ein ähnliches Programm, TeXStudio:

<https://www.texstudio.org>

<https://de.wikipedia.org/wiki/TeXstudio>

Das empfehle ich, wenn gefragt, eher als TeXWorks oder TeXMaker.

[Ulrich Diez]

Juergen Ilse schrieb:

> Brigitta Jennen <ladya...@gmail.com> wrote:
> > Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 20:28:29 UTC+2:
> >
> >> Dass (n+1)*(2n^2+7n+6)=(n+1)*(n+2)*(2n+3) ist, ist nicht auf den ersten Blick
> >> erkennbar.
> >
> > Das ist ein schönes Beispiel dafür, wie unterschiedlich die Mustererkennung
> > in unseren Gehirnen ablaufen kann. Ich hab komischerweise sofort gesehen,
> > dass man den Term (2n^2+7n+6) „faktorisieren“ kann

Mein derzeitiger Gesundheitszustand geht mit einer starken
Beeinträchtigung meiner Mustererkennung einher.

Ich musste mir also recht unelegant damit behelfen, mich auf den
Ausgangspunkt zu besinnen, also darauf, was ich zeigen/beweisen
möchte.

In dem von mir geposteten Beweis hatte ich beim Eintippen irgendwann
die folgenden Zeilen dastehen:

| Wenn das Element k in der Menge
| { n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 }
| liegt, liegt auch das Element (k+1) in der Menge
| { n | n in Z ; n > -1; Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 } :
|
| k in Z ; k > -1; Summe_{m=0}^{m=k}{m^2} = k(k+1)(2k+1)/6
| <-->
[...]
(k+1) in Z ; (k+1) > -1; Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} = (k+1)(2k^2+7k+6)/6


Ziel der Betrachtung war es also, irgendwann einen Ausdruck der Form

Summe_{m=0}^{m=n}{m^2} = n(n+1)(2n+1)/6 } ; n=(k+1)

bzw einen Ausdruck der Form

Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} =(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6 }

zu erhalten, und ich hatte bereits einen Ausdruck der Form

Summe_{m=0}^{m=(k+1)}{m^2} = (k+1)(2k^2+7k+6)/6

. Die Form dieser Ausdrücke unterschied sich nur in der Form des
Faktors hinter (k+1).

Da lag die Annahme nahe, dass diese beiden Formen des Faktors
hinter (k+1) äquivalent seien, dass also

((k+1)+1)(2(k+1)+1) = (2k^2+7k+6).

Und da lässt sich ja die linke Seite problemlos zusammenfassen und
ausmultiplizieren, sodass man die Äquivalenz problemlos nachweisen
kann, ohne das Stichwort "Faktorisieren" ins Spiel bringen zu müssen. :-)

( Als persönliche Marotte von mir vermeide ich das Stichwort "Faktorisieren"
inzwischen gerne, denn es gibt Personenkreise, in denen davon ausgegangen
wird, dass Faktorisieren nicht unbedingt immer eine triviale Angelegenheit
ist, und in denen es deshalb mitunter als abschreckend empfunden wird. :-) )

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Jens Kallup]

Hallo Brigitta,

ich verwende den Thunderbird - ein E-Mail Client von Mozilla.
Er ist OpenSoftware, und daher frei verwendbar.
Es gibt verschiedene Hilfstools.
In älteren Versionen gab es mal ein Add-On, das LaTeXit genannt
wurde.

Damit konnte man LaTeX Befehle in der Mail eingeben und dann als
Bildanhang mit versenden.
Aber seit neueren Verionen kann man dieses Addon nicht mehr nutzen
wegen dem geänderten internen Format von thunderbird.

Es wird aber sporadisch daran gearbeitet, dieses Addon zu migrieren.
von daher bin ich mal gespannt.

Jens

[Jens Kallup]

ja, TexStudio nutze ich auch.
Habe schlechte Erfahrung mit MS-Word gemacht.
Tagelange Arbeit auf einmal weg, wegen irgend
welche Speicherprobleme bei größeren Projekten.

In TexStudio kann man richtig schnukkelige Sachen
machen.
Allerdings darf man nicht zu hektisch ans Werk
gehen, da sonst das Programm schnell crasht.

Jens

[Carlo XYZ]

Jens Kallup schrieb am 27.08.21 um 15:38:

> In TexStudio kann man richtig schnukkelige Sachen
> machen.
> Allerdings darf man nicht zu hektisch ans Werk
> gehen, da sonst das Programm schnell crasht.

Wundert mich nicht, wenn du mit deinem
Computer so umgehst wie mit der Mathematik.

[Jens Kallup]

Am 27.08.2021 um 15:50 schrieb Carlo XYZ:
> Wundert mich nicht, wenn du mit deinem
> Computer so umgehst wie mit der Mathematik.

die andere Sache ist die:
wenn alles fadengrade läuft, gibts ja nix mehr zu besprechen :)

[Ulrich Diez]

[Dieses Posting ist off-topic.
Ich bitte darum, ggfs nach de.comp.text.tex zu wechseln.]

Brigitta Jennen schrieb

> Ganz herzlichen Dank für diese ausführliche Hlfestellung und die Links.
> Das hat mir enorm viel Sucharbeit im Netz erspart.

Gern geschehen.

In meinem "praktischen Leben" vewende ich (La)TeX eher selten.

Weil es ausserhalb der "Akademischen Welt" und der "Welt der
Setzer von druckreifem Text, die aber häufig auch andere
Programme verwenden" nicht stark verbreitet ist, können die
meisten Leute, mit denen ich im Alltag zu tun habe, nichts
mit TeX-Quelltexten/LaTeX-Quelltexten anfangen.

TeX ist zwar Turing-fähig, aber TeX/LaTeX ist eigentlich keine
"Allzweck"-Programmiersprache, sondern eine Programmiersprache
für den Zweck, Dokumente so zu beschreiben, dass ein
TeX-Compiler/eine TeX-Engine hübsche druckreife
.pdf-Dateien erzeugen kann.
Darauf ist diese Programmiersprache zugeschnitten.

Da TeX Turing-fähig ist, kann man TeX durchaus auch für anderes
verwenden. ZB hat Steve Hicks sich den Spaß erlaubt, die
Programmierung für einen Controller für einen Mars-Rover in TeX
zu schreiben:
<http://sdh33b.blogspot.com/2008/07/icfp-contest-2008.html>.

Aber wenn man die Sprache TeX/das Format LaTeX für
anderes verwendet, ist man sehr schnell an einem Punkt, an dem
einem alles (zu)recht umständlich vorkommt.

Außerdem:

Da die Programmiersprahche (La)TeX auf das Erledigen von
Aufgaben aus dem Bereich des Textsatzes zugeschnitten ist,
wird man beim Einarbeiten in TeX unweigerlich auch ständig
mit Problemen aus dem Bereich des Textsatzes konfrontiert und
mit Wissen darüber befrachtet.

Die Frage ist, ob man zu den Leuten gehört, für die solches
Wissen interessant ist. Ob man zu den Leuten gehört, denen
es zB Spaß macht, sich den Kopf über das Vermeiden von
Schusterjungen, Hurenkindern und Witwen (Fachbegriffe aus
dem Textsatz) zu zerbrechen.

Um sich lediglich im Usenet und in ähnlichen textbasierten
Medien mit Leuten über mathematische Ausdrücke austauschen
zu können, reicht es allemal aus, die grundlegendsten Konventionen
der Sprache TeX für das Beschreiben von mathematischen
Ausdrücken zu kennen.

Dazu musst Du nicht auf Deinem Computer eine ganze
riesige TeX-Maschinerie installieren und anwerfen. :-)

-----------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------

Falls Du Dir tatsächlich TeX-Programmierung bzw Textsatz/
Dokumenterstellung mit LaTeX antun möchtest, empfehle ich,
über die Google-Groups-Suche in den Archiven der Newsgroups
comp.text.tex / de.comp.text.tex herumzustöbern und Dich an
die Plattform TeX-LaTeX-StackExchange ( <https://tex.stackexchange.com> )
zu halten, denn zur Zeit ist diese Plattform einer der Haupt-
Treffpunkte, auf der sich tagtäglich (La)TeX-Koryphäen und
Entwickler aller Welt untereinander austauschen und sich auch
recht gründlich/eingehend/freundlich mit Fragen von noch nicht
so versierten Nutzern befassen.

Im Vordergrund steht bei TeX-LaTeX-StackExchange
( <https://tex.stackexchange.com> ) die Frage-Antwort-Plattform.

Es gibt daneben aber auch einen Chat, in dem man Dinge eher in
Echtzeit miteinander abhandeln kann, und wo nicht jedes Wort
gleich auf die Goldwaage gelegt wird, sondern erst, wenn deutlich
wird, dass zB ein Mangel an Präzision nicht auf dem Wunsch
nach Marsch-Erleichterung beim Darlegen von Sachverhalten
beruht, sondern auf Verständnisproblemen.

Und auch eine Meta-Plattform, in der man sich zB darüber
unterhalten kann, wie das Interface der Plattform funktioniert, wie
die Verhaltensregeln sind, und auch mal die Sinnhaftigkeit mancher
Features hinterfragen kann.

-----------------------------------------------------------------

Eines der für TeX-Programmierer/innen wichtigsten Referenz-
Werke ist nach wie vor

"Computers & Typesetting, Volume A - The TeXbook"
( <https://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/abcde.html#texbk> )
von Prof. emer. Dr. Donald Ervin Knuth, dem Erfinder von TeX.

Sollte Dich aus irgendeinem abstrussen Grund die unbändige Lust
überkommen, dieses Buch, das sogar "Jokes" enthält(!), durchzuackern,
dann mache nicht den Fehler, den ich seinerzeit gemacht habe, nämlich
zu glauben, man könne es sich zu Gemüte führen wie nette Belletristik,
sondern lies es wie ein penibler Anwalt, der jede Phrase eines
Vertragswerks auf Fallen überprüft und die Implikationen jeder
einzelnen Phrase genau erfassen muss.

Dieses Buch ist nämlich für Leute gedacht, die gerne jedes Wort
auf die Platinwaage legen. :-)

Nicht umsonst schreibt Donald E. Knuth schon im Vorwort/Preface:

| Another noteworthy characteristic of this manual is that it doesn't
| always tell the truth. When certain concepts of TeX are introduced
| informally, general rules will be stated; afterwards you will find that
| the rules aren’t strictly true. In general, the later chapters contain
| more reliable information than the earlier ones do.
| The author feels that this _technique_ _of_ _deliberate_ _lying_
| will actually make it easier for you to learn the ideas. Once yo
| understand a simple but false rule, it will not be hard to supplement
| that rule with its exceptions.

Dieses Buch erzählt also nicht immer gleich die "Wahrheit", sondern
oft erst eine vereinfachte Version der Wahrheit. Wenn später die
Feinheiten erklärt werden, muss man genau wissen, was dasteht, um
die subtilen Unterschiede zwischen der vereinfachten Version und der
"Wahrheit" zu erfassen.

Wer es absolut auf die Spitze treiben möchte, der zieht auch noch
"Computers & Typesetting, Volume B - TeX: The Program"
(<https://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/abcde.html#abcde>)
zurate, den kommentierten Quelltext, den Knuth
(<https://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/>) mit einem von ihm
entwickelten Ansatz des "Literate Programming", der Sprache Web,
die eine Mischform aus Pascal und TeX darstellt,
geschrieben und als hübsches Buch veröffentlicht hat, noch bevor
das Wort "Web" mit "Internet bzw World Wide Web" assoziiert wurde .

-----------------------------------------------------------------

Makro-Programmierung in TeX ist seit etwas mehr als
zwanzig Jahren eines meiner Hobbies.

Und zwar, weil ich das früher schwierig fand und mich deshalb
heutzutage umsomehr freue, wenn ich damit angeben kann. ;-)

Mit den Konzepten des Tokenizing und der Makroexpansion
stehen bei (La)TeX nämlich ganz andere Programmier-
Paradigmen im Vordergrund als zB bei Programmiersprachen
wie C++ oder Java, bei denen es zwar auch Tokenizer und, zB
bei Compiler- Direktiven, auch Expansion/Ersetzen/Einsetzen
gibt, bei denen diese Dinge für die Programmiererin/den
Programmierer aber eher Randerscheinungen sind, um die
sie/er sich nicht groß kümmern muss, sodass sie/er stattdessen
gedanklich mit Prozeduren, Funktionen, Objekten und dergleichen
spielen kann.

De-facto-Standard ist seit ca 30 Jahren LaTeX in der Version 2e,
für die ständig neue Features in Form von Makro-Paketen
veröffentlicht werden.
Seit vielen Jahren arbeitet das LaTeX-Development-Team
aber LaTeX in der Version 3.
Stand der Dinge ist: Man ist davon abgekommen, eine neue
Version herausbringen zu wollen. Stattdessen bleibt es bei
LaTeX 2e und LaTeX 2e ist um die für Version 3 angedachten
Features ergänzt. Das Paket mit diesen Features heisst "expl3".
Ich erwähne das, weil es den Entwickler/inne/n von
LaTeX3/expl3 ein Anliegen war/ist, die Sache so aufzuziehen,
dass den Endanwender/inne/n das von anderen Programmiersprachen
bekannte Konzept "Funktion" vorgegaukelt ist und sie sich möglichst
wenig um ihnen weniger geläufige Konzepte/Programmier-Paradigmen
kümmern müssen.
Das klappt meiner Ansicht nach noch nicht so gut.
In den Referenzen/Dokumentationen/Anleitungen für LaTeX3/expl3
findet man ständig Bezugnahmen zu diesen Konzepten.
Und wenn etwas nicht funktioniert wie erwartet, dann muss man doch
diese Konzepte kennen, um es richten zu können.

Schwierig wird es bei der Einarbeitung in (La)TeX am Anfang
vor allem für Leute wie mich - als Anfänger glaubte ich, gleich
und sofort schnell und husch-husch-mäßig das, was ich über
das Programmieren in anderen Sprachen wusste, auf (La)TeX
übertragen zu können anstatt mich erstmal an die im TeXBook
und anderen Einführungs- und Referenzwerken eingeführten
Konzepte und die für diese Konzepte eingeführte Terminologie
zu halten bis ich die Zusammenhänge und das Zusammenspiel
der Dinge einigermaßen begriffen hatte. Letzteres ist bei (La)TeX
aber bitter notwendig, um überhaupt wirklich in die Lage zu
kommen, Dinge, die man vom Programmieren in anderen
Sprachen kennt, auch in (La)TeX umsetzen zu können.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> Am 26.08.2021 um 16:41 schrieb Dieter Heidorn:
>>> = k^3 + k^2 + k^2 + k^2 + k^1 + k^1 + k^1 + 1
>>
>>> = k^3 + k^6 + k^3 + 1
>>
>> Nein. Die Potenz k^6 steht für
>
> hier habe ich die Potenzen zusammen gezählt (auf der rechten Seite):
>
> = (k^3) + ( k^2 + k^2 + k^2 ) + ( k^1 + k^1 + k^1 ) + 1
> = (k^3) + ( k^6 ) + ( k^3 ) + 1

Und das geht nun einmal nicht wegen der Regel "Punktrechnung geht vor
Strichrechnung". Müsstest du eigentlich irgendwann einmal in der Schule
gehört haben.

k^n (n: eine natürliche Zahl) steht für eine Multiplikation von k mit
sich selbst - und zwar n-mal. Also:

k^3 = k*k*k

k^2 = k*k

k^1 = k

Der Term

k^2 + k^2 + k^2

ist aber ein Summenterm, dessen Summanden Faktoren sind:

k^2 + k^2 + k^2 = k*k + k*k + k*k

= 3*k*k

= 3*k^2

Das ist nicht das gleiche wie k^6, denn

k^6 = k*k*k*k*k*k.

> = (k^3 + k^6 + k^3 ) + 1
> = (k^9 + k^3 ) + 1

Geht aus genannten Gründen auch nicht.

> = k^(12) + 1

Geht aus genannten Gründen auch nicht.

> dann stand ja auf der linken Seite:
>
> = (k + 1)^3
> = (k^1 + 1) + (k^1 + 1) + (k^1 + 1)

Das ist falsch. Die Hochzahl "^3" steht für das dreimalige
Multiplizieren der Basis "(k + 1)" mit sich selbst:

(k + 1)^3 = (k + 1)*(k + 1)*(k + 1).

Das ergibt nach den Distributivgesetzen ausmultipliziert

(k + 1)^3 = k^3 + 3*k^2 + 3*k + 1

Distributivgesetze kannst du hier nachlesen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_%28Algebra%29#Ring

Zum Umgang mit Potenzen kannst du dich immer noch hier schlau machen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29

Dieter Heidorn

[Jens Kallup]

Am 27.08.2021 um 19:08 schrieb Dieter Heidorn:
> (k + 1)^3 = k^3 + 3*k^2 + 3*k + 1

und das kann man nicht zusammen fassen, also:

k^3 + 3*k^2 + 3*k = 3*k^2 + 3*k^1
1*k^3 + 3*k^2 + 3*k^1 = 1*k^3 + 3*k^3
= 3*k^6

?

weil 3*k^2 und 3*k^1 sind doch vom gleichen Typus ?

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> Am 27.08.2021 um 19:08 schrieb Dieter Heidorn:
>> (k + 1)^3 = k^3 + 3*k^2 + 3*k + 1
>
> und das kann man nicht zusammen fassen, also:
>

... bleibt es so stehen.

Und das hier:

> k^3 + 3*k^2 + 3*k = 3*k^2 + 3*k^1

ist nicht richtig. Auf der rechten Seite hast du das k^3 weg gelassen,
also ist die rechte Seite nicht gleich der linken Seite.

> 1*k^3 + 3*k^2 + 3*k^1 = 1*k^3 + 3*k^3

Nein, denn wegen "Punkt-vor-Strich" ist

3*k^2 + 3*k^1 _nicht gleich_ 3*k^3.

Wie schon mehrfach geschrieben: Eine Potenz k^n (n: eine natürliche
Zahl) bedeutet die n-malige Multiplikation der Basis k mit sich selbst.
Also:

3*k^2 + 3*k^1 = 3*k*k + 3*k _ist nicht gleich_ 3*k*k*k.

Setz' doch einmal Zahlen ein, um dir das zu verdeutlichen - etwa k = 2:

3*2^2 + 3*2^1 = 3*2*2 + 3*2 = 3*4 + 3*2 = 12 + 6 = 18

_aber_:

3*2^3 = 3*2*2*2 = 3*8 = 24

> ?
>
> weil 3*k^2 und 3*k^1 sind doch vom gleichen Typus ?

Nein. Die Hochzahl einer Potenz gibt an, wie oft die Basiszahl mit sich
selbst zu multiplizieren ist, und die Hochzahlen der beiden Potenzen
deines Term sind nicht gleich. Also:

3*k^2 + 3*k^1 = 3*k*k + 3*k.

Alles, was du hier machen kannst, ist in dem Summenterm den gemeinsamen
Faktor "3" der Summanden auszuklammern:

3*k^2 + 3*k^1 = 3*(k^2 + k^1)

= 3*(k*k + k)

und wenn du willst, kannst du noch k ausklammern:

= 3*k*(k + 1)

Das Vorgehen beruht auf den Distributivgesetzen:

[Jens Kallup]

Am 27.08.2021 um 20:26 schrieb Dieter Heidorn:
>    3*k^2 + 3*k^1 = 3*(k^2 + k^1)
>
>                 = 3*(k*k + k)
>
> und wenn du willst, kannst du noch k ausklammern:
>
>                 = 3*k*(k + 1)

ok.

3 * k^2 + 3*k^1 = 3 * (k^2 + k^1)

wie ich das so mitbekommen habe werden klammer als erstes
aufgelöst, dann die Potenzen:

3 * k^2 + 3 * k^1 = 3 * (k^2 + k^1)

dann ausmultiplizieren:

3 * (k * k) + 3 * k = 3 * (k * k + k)

in Algebra: k := 2

= 3 * (2 * 2) + 3 * 2 = 3 * (2 * 2 + 2)
= 3 * 4 + 6 = 3 * (4 + 2)
= 12 + 6 = 3 * 6
= 18 = 18
========================================


3 * k^2 + 3 * k^1 = 3 * k * (k + 1)

in Algebra: k := 2

= 3 * (2 * 2) + 3 * 2 = 3 * 2 * (2 + 1)
= 3 * 4 + 6 = 6 * 3

= 12 + 6 = 18

= 18 = 18
========================================

Also so als Zusammfassung dieses Postings:
- Klammern können gesetzt werden, sollten aber stehen bleiben,
und nicht weggedacht werden ?

ich habe auch gelernt, das jedes Element mit der in der Klammer
stehenden Objekten berechnet werden muss:
z.B.:

= 3 * 2 * (2 + 1)
= 6 * (2 + 1)
= 6 * 2 + 1 * 6

= 12 + 6
= 18

======================

ok Dieter, ich glaube ich habs so in etwa geschnallt.
gebe aber keine Garantie, wie lange das in meinen Kopf bleibt.

nun gut, ich werde den Artikel hier mal archivieren.

Danke für Deine Hinweise !

Jens

[Stephan Gerlach]

Rainer Rosenthal schrieb:
> Ich knüpfe an an den von Brigitta Jennen begonnenen Thread "Frage zu
> vollst. Induktion" vom 11. August 2021.
>
> Dort wurde das Prinzip der vollständigen Induktion erörtert, aber das
> dabei verwendete Beispiel wäre genauso gut, wenn nicht gar besser,
> direkt beweisbar gewesen.

>
> Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
> Induktion gar nicht beweisbar ist.

Diese Aussage ist doch sehr gewagt, denn...

> Satz:
> Sei Sq(n) die Summe der Quadrate von 0 bis n. Es gilt
> Sq(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

... dieser Satz ist sehr wohl auch ohne vollständige Induktion
beweisbar. Wenngleich der Induktionsbeweis bei Kenntnis der Formel für
Sq(n) sehr "standardisiert" sein dürfte und man relativ einfach darauf
kommt.

> Beweis mit vollständiger Induktion:
> Induktionsanfang n=0: Sq(0) = 0 = 0^2 ist wahr.

Vermutlich ist es hier sinnvoller, gleich bei n=1 anzufangen, da der
Summand für n=0 sowieso "nichts zur Summe beiträgt".

> Induktionsvoraussetzung: der Satz gilt für ein n >= 0.
> Induktionsschritt:
> Zeige, dass Sq(n) + 1/(n+1)^2 = Sq(n+1) ist.

Bessere Idee:
Zeige, dass Sq(n) + (n+1)^2 = Sq(n+1) ist.

> (Wird dem Leser oder der Leserin überlassen)
>
> ...
> Viel Vergnügen
> ...

Die einzige "Schwierigkeit" ist dabei IMHO,
n(2n+1)+6(n+1) = (n+2)(2(n+1)+1)
zu zeigen, genauer: von der linken auf die rechte Seite zu kommen.
Da/wenn man weiß, "was rauskommen muß", kann man aber auch einfach
"brute force" beide Seiten ausmultiplizieren und sehen, daß sie gleich sind.

> Zum Nachdenken und zur Diskussion
> =================================
>
> Ich liebe dieses Beispiel, weil es nicht trivial ist.
> Nach fünfmaligem Fluchen und nochmal Rechnen habe ich es endlich mit
> Papier und Bleistift hinbekommen, aus dem Ansatz
> Sq(n) = a + b*n + c*n^2 + d*n^3 die Koeffizienten zu bestimmen:
> a = 0, b = 1/6, c = 1/2, d = 1/3.
> Das ist ein durchaus cleverer Ansatz, der davon ausgeht, dass es eine
> nicht allzu komplizierte Formel für Sq(n) geben müsste.

Nicht nur "nicht allzu komplizierte Formel". Man macht hier vielmehr die
relativ starke Voraussetzung, daß Sq(n) ein Polynom in n vom Grad 3 ist.

[... lineares Gleichungssystem für a, b, c, d lösen... ]

> Aber nun kommt das Wichtigste:
> ==============================
> Das ist ja alles ganz schön und nett, sieht plausibel aus, ist gut
> aufgegangen usw. Aber: Stimmt es denn auch, dass Sq(n) die Summe der
> Quadrate der Zahlen 0 bis n darstellt?
> Ich habe ja nur ANGENOMMEN bzw. GEHOFFT, dass es eine einfache Formel
> für Sq(n) geben wird.
> Und ich WEISS auch, dass diese Formel für n=0 bis n=3 stimmt, weil ich
> das ja ausgerechnet habe.
[...]

Ja, das ist das logische Problem dabei. Vermutlich kann man sogar
allgemein beweisen bzw. es gibt schon einen entsprechenden Satz(?), daß
für die Summe Sm(n) der ersten n Potenzen
Sm(n) = Summe{k=1 bis n} k^m
gilt: Sm(n) ist ein Polynom in n vom Grad m+1 (ohne die Formel für Sm(n)
exakt zu kennen).
Für n=0, n=1 und n=2 stimmt es ja schonmal.


BTW, ein mir bekannter "Nicht-Induktionsbeweis" für
S2(n) = n(n+1)(2n+1)/6
funktioniert wie folgt:

ganz kurze Kurzfassung:
---------------------------
Man führt die Formel für S2(n) mittels eines direkten Beweises auf die
Formel für S1(n) zurück, erhält eine Gleichung für S2(n) und löst diese
nach S2(n) auf. D.h. man leitet die Formel für S2(n) konstruktiv
"direkt" her.

Kurzfassung/Beweisskizze:
-------------------------
1. Schritt: Man bildet die "Teleskopsumme" k² = S2(k)-S2(k-1) und
erkennt, daß man k² als Summe von ungeraden Zahlen darstellen kann:
S2(k) = Summe{j=1 bis k} (2j-1)
Durch Summation über k erhält man daraus S2(n) als iterierte Summe über
k und j.
---
2. Schritt: Man benutzt eine allgemeine Formel für iterierte Summen, die
aus der iterierten Summe eine nicht-iterierte Summe "macht":

Summe{k=1 bis n}[Summe{j=1 bis k} a_j] = Summe{k=1 bis n} (n+1-k)*a_k

(Evtl. ist das irgendeine bekannte Formel, deren Name mir nicht geläufig
ist?!)
Man wendet diese Formel auf die iterierte Summe S2(n) an.
---
3. Schritt: Man vereinfacht die (nicht mehr iterierte) Summe S2(n) und
erhält eine Gleichung für S2(n), die außerdem S1(n) und S0(n) enthält.
Diese Gleichung stellt man nach S2(n) um und ist damit fertig.
(q.e.d., allerdings Details übersprungen...)


Die genaue Durchführung dieser Beweismethode ist den Lesern selbst
überlassen :-) .
Interessant daran finde ich, daß man "nichts" im Voraus über S2(n)
wissen muß (z.B. daß ein Polynom vom Grad 3 rauskommt), und daß das eine
Art Rekursions-Verfahren unter Verwendung von S0(n) und S1(n) ist.
"Nachteil" ist allerdings, daß man den Satz für iterierte Summen aus dem
2. Schritt "kennen" bzw. vorher beweisen muß.
Es ist davon auszugehen, daß man so auch Formeln für S3(n), S4(n), usw.
herleiten kann.
Außerdem vermute ich, daß man mit dieser Beweismethode beweisen kann,
daß Sm(n) ein Polynom vom Grad m+1 ist.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

[Ralf Bader]

Gibt es allgemeiner für "arithmetische Reihen höherer Ordnung", irgendwo
in van der Waerden, Algebra I, inklusive einer Methode zur Auffindung
der Formel.

[Michael Klemm]

Ja, siebte Auflage 1966, Seite 92 oben. Die äquidistante Ausgangsreihe (hier 1,2,3,...) hat dabei die Differenz Delta = Delta^1.

Gruß
Michael

[Jens Kallup]

Am 27.08.2021 um 22:36 schrieb Jens Kallup:
> = 3 * (2 * 2) + 3 * 2 = 3 * (2 * 2 + 2)
> = 3 *  4      + 6     = 3 * (4     + 2)
> = 12          + 6     = 3 *  6
> = 18                  = 18
> ========================================

kann man das noch zu 3, 1, 0 runterbrechen ?
also:

= 18 = 18 | dividiert durch 6
= 3 = 3 | dividiert durch 3
= 1 = 1 | minus 1
= 0 = 9
==================================

??

Jens

[Jens Kallup]

Am 28.08.2021 um 12:36 schrieb Jens Kallup:
> Am 27.08.2021 um 22:36 schrieb Jens Kallup:
>> = 3 * (2 * 2) + 3 * 2 = 3 * (2 * 2 + 2)
>> = 3 *  4      + 6     = 3 * (4     + 2)
>> = 12          + 6     = 3 *  6
>> = 18                  = 18
>> ========================================
>
> kann man das noch zu 3, 1, 0 runterbrechen ?
> also:
>
> = 18  =  18  | dividiert durch 6
> =  3  =   3  | dividiert durch 3
> =  1  =   1  | minus 1
> =  0  =   9

= 0 = 0 <--- hier die 9 als Typo !

> ==================================
>
> ??
>
> Jens

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> Am 27.08.2021 um 20:26 schrieb Dieter Heidorn:
>> 3*k^2 + 3*k^1 = 3*(k^2 + k^1)
>>
>> = 3*(k*k + k)
>>
>> und wenn du willst, kannst du noch k ausklammern:
>>
>> = 3*k*(k + 1)
>
> ok.
>
> 3 * k^2 + 3*k^1 = 3 * (k^2 + k^1)
>


> wie ich das so mitbekommen habe werden klammer als erstes
> aufgelöst, dann die Potenzen:
>
> 3 * k^2 + 3 * k^1 = 3 * (k^2 + k^1)
>

Das nennt sich "ausklammern":

3*k^2 + 3*k^1

ist ein Summenterm, dessen Summanden einen gemeinsamen Faktor - die 3 -
enthalten. Anwenden des Distributivgesetzes "rückwärts"
https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_%28Algebra%29#Ring

erlaubt das ausklammern des gemeinsamen Faktors:

3*k^2 + 3*k^1 = 3*(k^2 + k^1)

> dann ausmultiplizieren:
>
> 3 * (k * k) + 3 * k = 3 * (k * k + k)

Das ist die korrekte Anwendung des Distributivgesetzes
https://de.wikipedia.org/wiki/Distributivgesetz

In welche Form du den Term

3*k^2 + 3*k^1 = 3*(k^2 + k^1) = 3*k*(k + 1)

bringst, hängt letztlich davon ab, welche Form für deine Zwecke die
geeignetste ist.

> in Algebra: k := 2
>
> = 3 * (2 * 2) + 3 * 2 = 3 * (2 * 2 + 2)
> = 3 * 4 + 6 = 3 * (4 + 2)
> = 12 + 6 = 3 * 6
> = 18 = 18
> ========================================
>
>
> 3 * k^2 + 3 * k^1 = 3 * k * (k + 1)
>
> in Algebra: k := 2
>
> = 3 * (2 * 2) + 3 * 2 = 3 * 2 * (2 + 1)
> = 3 * 4 + 6 = 6 * 3
> = 12 + 6 = 18
> = 18 = 18
> ========================================
>
> Also so als Zusammfassung dieses Postings:
> - Klammern können gesetzt werden, sollten aber stehen bleiben,
> und nicht weggedacht werden ?
>

Nicht ganz - es gibt Klammerpaare, die nicht nötig sind, und daher
weggelassen werden können, und es gibt Klammerpaare, die nicht
weggelassen werden dürfen.

Beispiele:

1. In dem Term

3*k^3 = 3*(k*k*k)

dient das Klammerpaar um k*k*k lediglich der Verdeutlichung, um
daran zu erinnern, was eine Potenz bedeutet. Das Klammerpaar kann
fort gelassen werden, ohne dass sich etwas ändert.
Der Grund dafür ist, dass in dem Term nur eine einzige Rechenart -
nämlich die Multiplikation - auftritt.
Und für die Multiplikation gilt das Assoziativitätsgesetz:
https://de.wikipedia.org/wiki/Assoziativgesetz

2. In dem Term

3*(k^2 + k^1)

darf das Klammerpaar nicht fort gelassen werden, denn hier treten
zwei Rechenarten auf: Summation und Multiplikation. Da die
Multiplikation stärker bindet als die Addition ("Punkt-vor-Strich")
und die Summe k^2 + k^1 als Ganzes mit dem Faktor 3 multipliziert
werden soll, _muss_ das Klammerpaar stehen bleiben.
Wenn du ausmultiplizierst verschwindet das Klammerpaar:

3*(k^2 + k^1) = 3*k^2 + 3*k^1.

> ich habe auch gelernt, das jedes Element mit der in der Klammer
> stehenden Objekten berechnet werden muss:
> z.B.:
>
> = 3 * 2 * (2 + 1)
> = 6 * (2 + 1)
> = 6 * 2 + 1 * 6

Genau - das ist die korrekte Anwendung des Distributivgesetzes.

> Danke für Deine Hinweise !
>

Gern geschehen.

ieter Heidorn

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> Am 27.08.2021 um 22:36 schrieb Jens Kallup:
>> = 3 * (2 * 2) + 3 * 2 = 3 * (2 * 2 + 2)
>> = 3 * 4 + 6 = 3 * (4 + 2)
>> = 12 + 6 = 3 * 6
>> = 18 = 18
>> ========================================
>
> kann man das noch zu 3, 1, 0 runterbrechen ?
> also:
>
> = 18 = 18 | dividiert durch 6
> = 3 = 3 | dividiert durch 3
> = 1 = 1 | minus 1

> = 0 = 0

(Schreibfehler korrigiert)

Das ist sinnfrei, denn man hat nicht mit einer Gleichung begonnen,
sondern mit einem einzigen Term, der dann umgeformt werden sollte.

Ausgang: 3*k^2 + 3*k^1

Durch die Anwendung des Distributivgesetzes formt man den Term nun
äquivalent um, was durch die Verwendung des Gleichheitszeichens
angezeigt wird:

3*k^2 + 3*k^1 = 3*(k^2 + k^1)

Wenn man bei Umformen keinen Fehler gemacht hat, dann stehen sowohl die
linke Form als auch die rechte Form für das selbe mathematische Objekt.
Im Beispiel, wenn du k = 2 einsetzt, ist das die natürliche Zahl 18:

3*2^2 + 3*2^1 = 18

3*(2^2 + 2^1) = 18

Deine anschließenden Divisionen haben keinen Bezug zu der Aufgabe
"Umformung des Terms 3*k^2 + 3*k^1".

Kurz formuliert:
Du machst keine Umformungen einer Gleichung,
sondern
du formst einen Term um und bringst die Gleichwertigkeit der Formen
durch ein Gleichheitszeichen zum Ausdruck.

Dieter Heidorn

[Martin Vaeth]

Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> wrote:
> Rainer Rosenthal schrieb:
>> Ich knüpfe an an den von Brigitta Jennen begonnenen Thread "Frage zu
>> vollst. Induktion" vom 11. August 2021.
>>
>> Dort wurde das Prinzip der vollständigen Induktion erörtert, aber das
>> dabei verwendete Beispiel wäre genauso gut, wenn nicht gar besser,
>> direkt beweisbar gewesen.
>>
>> Ich möchte hier einen Satz nachreichen, der ohne die vollständige
>> Induktion gar nicht beweisbar ist.
>
> Diese Aussage ist doch sehr gewagt, denn...

Da scheint mein Posting nicht angekommen zu sein.
*Prinzipiell* hat Rainer natürlich schon recht, weil die Definition
der Summe induktiv ist: Also egal, was man macht, muss irgendwo eine
Induktion zum Bilden einer Summe vorkommen. Es gibt aber Beweise, bei
denen diese recht trivial ist.

> Ja, das ist das logische Problem dabei. Vermutlich kann man sogar
> allgemein beweisen bzw. es gibt schon einen entsprechenden Satz(?), daß
> für die Summe Sm(n) der ersten n Potenzen
> Sm(n) = Summe{k=1 bis n} k^m
> gilt: Sm(n) ist ein Polynom in n vom Grad m+1 (ohne die Formel für Sm(n)
> exakt zu kennen).

Auch das hatte ich in meinem Posting schon geschrieben. Das kann wiederum
durch Induktion bewiesen werden. Oder natürlich konstruktiver, z.B. mit
der Euler-MacLaurinschen Summenformel, bei der man dann auch gleich die
Koeffizienten geliefert bekommt. Vielleicht kann man sogar den
Induktionsbeweis selbst konstruktiv machen, aber ohne die Formel
vorher zu "errraten", dürfte das scher fallen.

> BTW, ein mir bekannter "Nicht-Induktionsbeweis" für
> S2(n) = n(n+1)(2n+1)/6
> funktioniert wie folgt:
>

> 1. Schritt: Man bildet die "Teleskopsumme" k² = S2(k)-S2(k-1) und

Hier ist die (triviale) Induktion beim Bilden der Teleskopsumme
versteckt. Es geht eben (prinzipiell) nicht, ohne irgendwie die
induktive Definition von S2 heranzuziehen.

> Es ist davon auszugehen, daß man so auch Formeln für S3(n), S4(n), usw.
> herleiten kann.

Das klingt aber so, als wenn man für diese Herleitung von Sm vorher alle
Koeffizienten von S1...S(m-1) kennen muss. *Prinzipiell* kann man die
Koeffizienten aber alleine aus der Kenntnis der Koeffizienten von S(m-1)
(und m) gewinnen. Der Ansatz ist daher für höhere m vielleicht doch nicht
der natürlichste. Aber vielleicht irre ich mich - durchgerechnet habe ich
es nicht.

[Stephan Gerlach]

Juergen Ilse schrieb:

> Hallo,
>
> Brigitta Jennen <ladya...@gmail.com> wrote:
>> Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 26. August 2021 um 20:28:29 UTC+2:
>>
>>> Dass (n+1)*(2n^2+7n+6)=(n+1)*(n+2)*(2n+3) ist, ist nicht auf den ersten Blick
>>> erkennbar.
>> Das ist ein schönes Beispiel dafür, wie unterschiedlich die Mustererkennung
>> in unseren Gehirnen ablaufen kann. Ich hab komischerweise sofort gesehen,
>> dass man den Term (2n^2+7n+6) „faktorisieren“ kann, als er vor mir auf dem
>> Papier stand, und musste darüber eigentlich nicht nachdenken.
>
> Ich wuerde vermuten, dass viele nicht auf Anhieb die moegliche Faktorisierung
> der Summer auf einen Blick erkennen.

Wenn man weiß, daß es (ohne Wurzelausdrücke) geht, dann kann man sich
das evtl. irgendwie "zusammenreimen". Wenn statt der 6 z.B. eine 5
steht, also (2n^2+7n+5), wird es hingegen tatsächlich schwierig, und man
kommt schlecht um eine Nullstellenberechnung herum.

Es gibt ja auch noch den Satz, daß bei Polynomen mit ganzzahligen
Koeffizienten, falls eine ganzzahlige Nullstelle existiert, diese
Nullstelle ein Teiler des Absolutgliedes (hier: 6) ist.
Gilt allerdings i.a. nur, wenn der Leitkoeffizient 1 ist. Im Beispiel
hier also nicht, da der Leitkoeffizient 2 ist (der Satz ist zu
modifizieren).

[Ulrich Diez]

Stephan Gerlach schrieb:

Wieso eigentlich all das?

Da man weiss, dass man auf einen Ausdruck der Form
(n+1)*(n+2)*(2n+3)
kommen möchte, während ein Ausdruck der Form
(n+1)*(2n^2+7n+6)
vorliegt, der sich nur in der Form der hinteren
Faktoren unterscheidet, liegt es doch sehr nahe, dass die
hinteren Faktoren äquivalent sind, dass man also nur
nachprüfen muss, ob
(n+2)*(2n+3) = (2n^2+7n+6)
, und zwar enzweder, indem man ausmultipliziert,
oder, indem man mittels Polynomdivision (2n^2+7n+6) durch
einen der bereits dastehenden Linearfaktoren dividiert um
zu sehen, dass das Ergebnis dem anderen bereits
dastehenden Linearfaktor entspricht.

Ulrich

[Jens Kallup]

Am 29.08.2021 um 12:37 schrieb Ulrich Diez:
> (n+2)*(2n+3) = (2n^2+7n+6)

passt doch:

n := 2

(2 + 2) * (2 * 2 + 3) = (2 * (2 * 2) + (7 * 2) + 6)
4 * ( 4 + 3) = (2 * 4 ) + (14 + 6)
4 * 7 = (8 ) + 20
28 = 28

Ulrich - richtigerweise so ?

Jens

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> Am 29.08.2021 um 12:37 schrieb Ulrich Diez:
>> (n+2)*(2n+3) = (2n^2+7n+6)
>
> passt doch:
>
> n := 2
>
> (2 + 2) * (2 * 2 + 3) = (2 * (2 * 2) + (7 * 2) + 6)
> 4 * ( 4 + 3) = (2 * 4 ) + (14 + 6)
> 4 * 7 = (8 ) + 20
> 28 = 28
>

Deine Beispielrechnung ist richtig, da hast du wirklich Fortschritte
gemacht - aber es ist eben nur ein Zahlenbeispiel. Ulrich schrieb
jedoch:

> dass man also [...] nachprüfen muss, ob
>
> (n+2)*(2n+3) = (2n^2+7n+6) [ist]

Zu prüfen ist, ob das für alle natürlichen Zahlen gilt, und nicht für
für ein oder zwei Zahlenbeispiele.

Ulrich hat ja auch zwei Möglichkeiten dazu benannt:

> enzweder, indem man ausmultipliziert,
> oder,
> indem man mittels Polynomdivision (2n^2+7n+6) durch
> einen der bereits dastehenden Linearfaktoren dividiert um
> zu sehen, dass das Ergebnis dem anderen bereits
> dastehenden Linearfaktor entspricht.

Seinen ersten Vorschlag kannst du mit deinem jetzigen Wissen
nachvollziehen. Das allgemeine ausmultiplizieren läuft durch mehrfache
Anwendung des Distributivgesetzes so:

(n + 2)*(2*n + 3) = n*(2*n + 3) + 2*(2*n + 3)

= 2*n^2 + 3*n + 2*2*n + 2*3

= 2*n^2 + 3*n + 4*n + 6

= 2*n^2 + 7*n + 6

Fertig - ohne n einen bestimmten Wert geben zu müssen. n ist eine
beliebige natürliche Zahl.

Dieter Heidorn

[Ulrich Diez]

Jens schrieb:

> Am 29.08.2021 um 12:37 schrieb Ulrich Diez:
> > (n+2)*(2n+3) = (2n^2+7n+6)
>
> passt doch:
>
> n := 2

Du rechnest jetzt also das ganze durch für den Fall, dass für n die
Zahl 2 genommen wird.

> (2 + 2) * (2 * 2 + 3) = (2 * (2 * 2) + (7 * 2) + 6)
> 4 * ( 4 + 3) = (2 * 4 ) + (14 + 6)
> 4 * 7 = (8 ) + 20
> 28 = 28
>
> Ulrich - richtigerweise so ?

Du hast es komplett richtig gerechnet. :-)
Meine Anerkennung! :-)

So weißt du das aber nur für den Fall, dass die Zahl 2
für n genommen wird.

Aber 2 ist ja nicht die einzige Zahl, die man für n nehmen
könnte.

Ich nehme an, es ist uns beiden klar, dass das Schema fürs
Nachrechnen mit anderen Werten/Zahlen für n das selbe ist
wie das Schema fürs Nachrechnen mit n=2.

Bloß ist eine gründliche Mathematkerin/ein gründlicher
Mathematiker nicht damit zufrieden, dass uns beiden das
klar ist. :-)

Eine gründliche Mathematkerin/ein gründlicher Mathematiker
will es auch hingeschrieben sehen ohne dass man für n
eine spezielle Zahl braucht. :-) Nur dann kann sie/er ganz sicher
sein, dass es für alle Werte, die man für n einsetzen können soll,
stimmt.

Also rechne ich es Dir mal vor, ohne einen speziellen Wert
für n zu nehmen. Ich rechne also mit der Variable n anstatt
mit der Zahl 2:

Da steht:

(n + 2) * (2n + 3) = (2n^2 + 7n + 6)

Die Klammern auf der linken Seite braucht man, damit klar ist,
dass man erst (n+2) und (2n+3) ausrechnen soll, bevor man
das was dabei jeweils rauskommt malnimmt.
Ohne die Klammern würde da stehen:
n + 2* 2n + 3 = (2n^2 + 7n + 6)
Und da würde die Regel "Punktrechnung- Vor-Strichrechnung"
greifen und man müsste erst 2 und 2n miteinander malnehmen
und da dann n und 3 dazuzählen. Eine ganz andere Rechnung
mit ganz anderem Ergebnis.

Klammern benutzt man also immer dann, wenn einem ohne
Klammern die Punkt-Vor-Strich-Regel einen Strich durch die
Rechnung machen würde. :-)


Es sollen also (n+2) und (2n+3) miteinander multipliziert werden.
Das kann man machen, indem man (2n+3) mit n multipliziert
und (2n+3) mit 2 multipliziert und die Ergebnisse zusammenzählt.
Dann hat man nämlich den Term (2n+3) n-mal dastehen und
zweimal dastehen, insgesamt also (n+2) mal.

Es ist also

(n+2) * (2n+3) = (2n^2 + 7n + 6)
n*(2n+3) + 2*(2n+3) = (2n^2 + 7n + 6)

Jetzt hat man links von demjenigen Pluszeichen, das nicht
innerhalb von irgendwelchen Klammern steht, Sachen, die man
"malnehmen" soll, nämlich n*(2n+3), und rechts von diesem
Pluszeichen auch, nämlich 2*(2n+3).

Laut der Punkt-Vor-Strich-Regel soll man malnehmen oder teilen
bevor man was zusammenzählt oder abzieht. Außer Sachen, die
in Klammern stehen. Die sollen immer zuerst gerechnet werden.

Jetzt kann ich aber zB das in Klammer stehende (2n+3) nicht
zuerst ausrechnen, weil n keine Zahl ist, sondern eine Variable,
womit 2n auch keine Zahl ist. Und zu etwas, was selbst keine Zahl
ist, die Zahl 3 dazuzählen, das ist ungefähr so, als wollte man
zu zwei Autos drei Fahrräder dazurechnen. Das kann man nicht
weiter zusammenfassen ohne Informationen zu verlieren.
Man hat halt zwei Autos und drei Fahrräder.
Man kann da zwar sagen, man hat fünf Vehikel, von denen
jedes entweder ein Auto oder ein Fahrrad ist. Aber sowohl
die Informationen wieviele Autos genau als auch die Information,
wieviele Fahrräder genau, verliert man dabei.

Ich kann mir aber sagen, dass beim Multiplizieren egal ist, in welcher
Reihenfolge die miteinander malzunehmenden Faktoren dastehen:

n*(2n+3) + 2*(2n+3) = (2n^2 + 7n + 6)
(2n+3)*n + (2n+3)*2 = (2n^2 + 7n + 6)

Jetzt soll links von von demjenigen Pluszeichen, das nicht
innerhalb von irgendwelchen Klammern steht, die Variable n
mehrmls dastehen.
Nämlich (2n+3) mal. Das kann ich jetzt machen, indem ich sie
2n-mal hinschreibe und dann noch dreimal hinschreibe und das
dann zusammenzähle:

(2n*n + 3*n) + (2n+3)*2 = (2n^2 + 7n + 6)

Das selbe Spiel rechts von diesem Pluszeichen. Da soll die
Zahl 2 mehrmls dastehen. Nämlich (2n+3) mal. Das kann ich jetzt
machen, indem ich sie 2n-mal hinschreibe und dann noch
dreimal hinschreibe und das zusammenzähle:

(2n*n + 3*n) + (2n*2 + 3*2) = (2n^2 + 7n + 6)

Jetzt rechne ich, getreu der Regel, dass Sachen, die in
Klammern stehen, zuerst ausgerechnet werden und dass
auch bei Sachen, die innerhalb von Klammen stehen, innerhalb
dieser Klammern die Punktrechnung-Vor-Strichrechnung-Regel
gilt, erstmal alles aus, was malgenommen werden soll:

(2n^2 + 3n) + (4n + 6) = (2n^2 + 7n + 6)

Jetzt soll nur noch zusammengezählt werden.
Malnehmen oder teilen braucht man nicht mehr.
Also kann einem die Punkt-Vor-Strich-Regel keinen
Strich mehr durch die Rechnung machen.
Wenn man nur zusammenzählt, ist die Reihenfolge, in
der man die Summanden aufaddiert, egal.
Also kann man jetzt die Klammern weglassen:

2n^2 + 3n + 4n + 6 = 2n^2 + 7n + 6

Jetzt kann man noch 3n+4n zusammenfassen, denn insgesamt
sind das ja 7n:

2n^2 + 7n + 6 = 2n^2 + 7n + 6

Und jetzt sind gründliche Mathematikerinnen und gründliche
Mathematiker hoffentlich zufrieden, weil wir es (ohne falsch
zu rechnen!) geschafft haben, dass die Sache links vom
Gleichheitszeichen nicht mehr anders aussieht als die Sache
rechts vom Gleichheitszeichen.

Wenn ich mich richtig erinnere, dann hast Du neulich
geschrieben, dass Du Sesambrötchen magst.
Ich esse nachher ein solches.
Das liegt schon auf meinem Teller.
Dazu einen kleinen panierten Camembert-Käse und
Salat. Der pure Luxus! :-)

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Jens Kallup]

Am 29.08.2021 um 13:10 schrieb Dieter Heidorn:
> (n + 2)*(2*n + 3) = n*(2*n + 3)  +  2*(2*n + 3)
>
>                   = 2*n^2 + 3*n  +  2*2*n + 2*3
>
>                   = 2*n^2 + 3*n  +   4*n  +  6
>
>                   = 2*n^2 +     7*n       +  6
>
> Fertig - ohne n einen bestimmten Wert geben zu müssen. n ist eine
> beliebige natürliche Zahl.

aber dann auch nicht vergessen:

1. Klammer auflösen (mit Beachtung, das Potenzen höheren
Rang haben als 2 * n,
weil man kann ja für die Potent := 3 einsetzen:

2 * n^3

das dann:

2 * (n * n * n) (wenn man die Potenz in Klammern setzt.

Okay, hier kann die klammer wegfallen, weil ein einfacher
Ausdruck.
Aber für kompliziertere Ausdrücke (in Klammern mit verschiedene
Variablen - denke ich mal so )

???

ich bleibe mal bei den Beispiel von oben:
(die Klammern habe ich deswegen gesetzt , damit man sehen kann,
was zusammen gehört - also nach meiner Auffassung:

rechter Term betrachtet:

n*(2*n + 3) + 2*(2*n + 3)

= n * (2 * n) + 3 * n + 2 * 2 * n + 3 * 2
= n * 2n + 3n + 2 * 2n + 6
= 2n + 3n + 2 * 2n + 6
= 5n + 2 * 2n + 6
= 7n + 2 * 6
= 7n + 12

in Algebra n := 2

= 7 * 2 + 12
= 14 + 12
= 26


linker Term betrachtet:
= (n + 2) * ((2 * n) + 3)
= n * 2n + 2 * 2n + 2 * 2n + 2 * 3
= 2n + 4n + 4n + 6
= 10n + + 6

in Algebra n := 2

= 10 * 2 + 6
= 20 + 6
= 26


hui, jetzt habe ich aber geschwitzt ...

Fazit:

(n + 2)*(2*n + 3) = n*(2*n + 3) + 2*(2*n + 3)

ist richtig aufgestellt.

oder habe ich da wieder irgendwo einen Fehler ?

Jens

[Ulrich Diez]

Jens schrieb:

> rechter Term betrachtet:
> n*(2*n + 3) + 2*(2*n + 3)
> = n * (2 * n) + 3 * n + 2 * 2 * n + 3 * 2
> = n * 2n + 3n + 2 * 2n + 6

Bis hierhin stimmt es.

Aber das hier stimmt nicht:

> = 2n + 3n + 2 * 2n + 6

Es sieht so aus als ob Du n*2n = 2n gerechnet hättest
anstatt n*2n = 2*(n^2) = 2n^2 .

Ausgehend von

= n * 2n + 3n + 2 * 2n + 6

geht es so weiter:

= 2(n^2) + 3n + 2 * 2n + 6
= 2n^2 + 3n + 2 * 2n + 6
= 2n^2 + 3n + 4n + 6

= 2n^2 + 7n + 6

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Jens Kallup]

Am 29.08.2021 um 15:56 schrieb Ulrich Diez:
> Wenn ich mich richtig erinnere, dann hast Du neulich
> geschrieben, dass Du Sesambrötchen magst.
> Ich esse nachher ein solches.
> Das liegt schon auf meinem Teller.
> Dazu einen kleinen panierten Camembert-Käse und
> Salat. Der pure Luxus!:-)
>
> Mit freundlichem Gruß
>
> Ulrich

hihi.
Danke für Deine komplette Beschreibung.
Das mit den Brötchen ...
ich gehe mal davon aus, das Du Dich wunderst, das ich fast immer
in später under frühen Stunden und mittendrinn diese Gruppe
verfolge, und Du denkst, ich bin eine Maschiene ? :-)

nun, ich habe so eine Affinität zu Computer-Sachen.
Und in der Nacht kommen mir immer die besten Einfälle.
Weil, tagsüber bin ich morgens mit kochen eingespannt, und danach
über den Tag verteilt, ich Sprechstunde habe - ich so für die anderen
ein Bewohner-Beirat - also so ne Art: Sprachrohr für Alle.

Und da bin ich auch immer abgelenkt irgend was Neues oder liegen
gebliebendes aufzuarbeiten.
Daher werkle ich nachts umher, wobei ich dann morgens immer knausig
und zerstreut bin.

Dann bin ich noch paar jährchen nicht mehr Schule gefahren, und habe
mich mit sinnfreien Beschäftigungen begnügen müssen, weshalb ich hier
wieder meine Liebe zur Mathematik entflammt habe, und "altes" Wissen
nachholen will.

Gut, das würde in de.schule passen, aber wenn ich da wieder poste
denken die sich, was will der hier - ist der pedo ... Du kennst das
sicherlich.

Es freut mich, das noch alte Hasen hier sind, von denen man lernen
kann. So alte Technik wie das usenet nutzt ja groß keiner mehr, seit
Erfindung des Handy mit SchwatzUpp...

Ich für mich nutze solche Dienste nicht, gehe nicht in Richtung Sessel
und schaue dort auch kein TV seit Jahren nicht mehr.
Alles zu doof irgendwie.
Und die Musik im Radio höre ich mir auch seit Wochen nicht mehr an.
Die ist genauso schrecklich.

Dafür habe ich dann ein paar technische Hobbies.
Die finde ich spannender.

Allerdings muss ich auch sagen, ich bin nicht so derjenige, der Wissen
auf die Schnelle mitschneidet - bin kein Akademiker Kind.

Aber was solls, dafür bin ich mit meinen jetzigen 42 Jahren immer noch
der gebliben der ich war.
Ok, gibt sicherlich noch einige Ecken, wo man schleifen kann.
Aber ich denke, mit mir ist gut dünken.

Gruß, Jens

[Jens Kallup]

Am 29.08.2021 um 16:46 schrieb Ulrich Diez:
> Jens schrieb:
>
>> rechter Term betrachtet:
>> n*(2*n + 3) + 2*(2*n + 3)
>> = n * (2 * n) + 3 * n + 2 * 2 * n + 3 * 2
>> = n * 2n + 3n + 2 * 2n + 6
> Bis hierhin stimmt es.
>
> Aber das hier stimmt nicht:
>
>> = 2n + 3n + 2 * 2n + 6

>> n*(2*n + 3) + 2*(2*n + 3)
>> = n * (2 * n) + 3 * n + 2 * 2 * n + 3 * 2

ich glaube ich sehe den Fehler:

= n * (2 * n) + 3 * n + 2 * ((2 * n) + (3 * 2))

= n * 2n + 3n + 2 * 2n + 6

= n * 5n + 2 * 2n + 6
= n * 7n + 2 * 6
= n * 7n + 12
= 1 * 7n + 12
= 7n + 12

Algebra:
= 7 * 2 = 14 + 12 = 26

irgendwie komme ich von den Gedanken nicht los, das man für
eine einzelne Variable, wenn diese offen darsteht 1 einsetzen kann.

weil, n ist ja "ein" Element und man kann doch auch schreiben:

1n was dann: 1 * 1 in der Algebra ist, was dann schließlich "eins"
also 1 ergibt.

oder habe ich da was falsches aufgeschnappt ?

Jens

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> Am 29.08.2021 um 13:10 schrieb Dieter Heidorn:
>> (n + 2)*(2*n + 3) = n*(2*n + 3) + 2*(2*n + 3)
>>
>> = 2*n^2 + 3*n + 2*2*n + 2*3
>>
>> = 2*n^2 + 3*n + 4*n + 6
>>
>> = 2*n^2 + 7*n + 6
>>
>> Fertig - ohne n einen bestimmten Wert geben zu müssen. n ist eine
>> beliebige natürliche Zahl.
>
> aber dann auch nicht vergessen:
>
> 1. Klammer auflösen

Die Klammern _sind_ "aufgelöst" - genauer gesagt: Die Anwendung des
Distributivgesetzes (das "Ausmultiplizieren") lässt die Klammern
"verschwinden". Wirf' doch einmal einen Blick auf die Seite, die ich
dir schon mehrmals empfohlen habe:

https://de.wikipedia.org/wiki/Distributivgesetz#Bedeutung

> weil man kann ja für die Potent := 3 einsetzen:
>
> 2 * n^3
>

Kleiner Hinweis: Unter Potenz versteht man so ein Objekt:

b
a

gelesen: "a hoch b"
a heißt Basis(zahl),
b heißt Hochzahl (oder auch Exponent)

Im betrachteten Beispiel kannst du die Hochzahlen nicht beliebig
setzen, da sich durch die korrekte Umformung des Ausgangsterms
höchstens die Hochzahl "2" ergibt. Für "n" kannst du verschiedene
Beispielzahlen einsetzen, da n allgemein für eine natürliche Zahl steht
- die Hochzahlen der Potenzen ergeben sich aber aus den durchgeführten
Rechnungen, und da besteht keine Freiheit, eine Hochzahl in dem
erhaltenen Term beliebig zu wählen.

> ich bleibe mal bei den Beispiel von oben:

> rechter Term betrachtet:
>
> n*(2*n + 3) + 2*(2*n + 3)
>
> = n * (2 * n) + 3 * n + 2 * 2 * n + 3 * 2
> = n * 2n + 3n + 2 * 2n + 6
> = 2n + 3n + 2 * 2n + 6

---
Da liegt ein Fehler vor, denn

n*2*n = 2*n*n = 2*n^2

> = 5n + 2 * 2n + 6

----
Daher ist die Zusammenfassung mit "3*n" nicht möglich. Es bleibt bei:

= 2*n^2 + 3*n + 2*2*n + 6

> = 7n + 2 * 6

--------------
Das ist leider auch falsch:
2*2n + 6 ist _nicht_ gleich 2*6.
Eine Zusammenfassung ist wegen "Punkt vor Strich" nicht möglich.
Es bleibt daher bei

= 2*n^2 + 3*n + 2*2*n + 6

= 2*n^2 + 3*n + 4*n + 6

= 2*n^2 + 7*n + 6

> linker Term betrachtet:
> = (n + 2) * ((2 * n) + 3)
> = n * 2n + 2 * 2n + 2 * 2n + 2 * 3

Das ist leider auch nicht richtig. Wenn du zwei Klammern, die jeweils
einen Summenterm enthalten, ausmultiplizieren willst, musst du das
Distributivgesetz zweimal anwenden. Als Hilfe kannst du dir die rechte
Klammer zunächst als ein Objekt betrachten, das mit mit der linken
Klammer multipliziert werden soll (der Kasten dient nur der
Hervorhebung und hat mathematisch keine Bedeutung):

-----------
( n + 2) * |(2*n + 3)|
-----------

----------- -----------
= n * |(2*n + 3)| + 2 * |(2*n + 3)|
----------- -----------

Jetzt ist die Klammer (2*n + 3) noch mit n bzw. 2 zu multiplizieren
(den Kasten lasse ich nun wieder weg):

= n*(2*n + 3) + 2*(2*n + 3)

= n*2*n + n*3 + 2*2*n + 2*3

= 2*n^2 + 3*n + 4*n + 6

= 2*n^2 + 7*n + 6

> Fazit:
>
> (n + 2)*(2*n + 3) = n*(2*n + 3) + 2*(2*n + 3)
>
> ist richtig aufgestellt.
>
> oder habe ich da wieder irgendwo einen Fehler ?
>

Leider sogar mehrere - aber das kannst du mit einiger Übung alles noch
besser hinkriegen. Ein letzter Hinweis zu deiner Rechnung noch:

Wenn man deine Ergebnisse der Umformung von rechter Seite allein und
linker Seite allein vergleicht, müsste gelten:

linker Term = rechter Term:

10n + 6 = 7n + 12

Tatsächlich sind die Terme _nicht gleich_. Falls du das noch nicht
erkennen kannst, setz' doch einmal n = 3 ein:

10*3 + 6 = 7*3 + 12

30 + 6 = 21 + 12

36 = 33 nicht wirklich...

Letzte Bemerkung: Auch wenn du mit n = 2 als Beispielwert
Übereinstimmung der falsch umgeformten linken und rechten Seite
erhältst, ist das kein Nachweis für die allgemeine Richtigkeit.

Dieter Heidorn

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> Am 29.08.2021 um 16:46 schrieb Ulrich Diez:
>> Jens schrieb:
>>
>>> rechter Term betrachtet:
>>> n*(2*n + 3) + 2*(2*n + 3)
>>> = n * (2 * n) + 3 * n + 2 * 2 * n + 3 * 2
>>> = n * 2n + 3n + 2 * 2n + 6
>> Bis hierhin stimmt es.
>>
>> Aber das hier stimmt nicht:
>>
>>> = 2n + 3n + 2 * 2n + 6
>
>>> n*(2*n + 3) + 2*(2*n + 3)
>>> = n * (2 * n) + 3 * n + 2 * 2 * n + 3 * 2
>
> ich glaube ich sehe den Fehler:
>
> = n * (2 * n) + 3 * n + 2 * ((2 * n) + (3 * 2))
> = n * 2n + 3n + 2 * 2n + 6

--------
|
| = 2*n*n
| = 2*n^2

Leider nicht.

> irgendwie komme ich von den Gedanken nicht los, das man für
> eine einzelne Variable, wenn diese offen darsteht 1 einsetzen kann.
>

Da im betrachteten Zusammenhang n für eine beliebige natürliche Zahl
steht, kannst du für eine konkrete Beipielrechnung auch jede von dir
gewünschte natürliche Zahl einsetzen, und das kann auch die 1 sein.

> weil, n ist ja "ein" Element und man kann doch auch schreiben:
>

In dem hier betrachteten Term (n+2)*(2n+3), der sich umformen lässt zu
(2n^2+7n+6), ist n ein Element der Menge N der natürlichen Zahlen.

> 1n was dann: 1 * 1 in der Algebra ist, was dann schließlich "eins"
> also 1 ergibt.
>

1*2 ergibt 2
1*3 ergibt 3
1*4 ergibt... usw.

Die Multiplikation mit 1 ändert die multiplizierte Zahl (oder den
multiplizierten Term) nicht. Auf mathematisch sagt man dazu: die 1 ist
das neutrale Element der Multiplikation.

Zum Nachdenken für dich: Könntest du angeben, was das neutrale Element
der Addition ist?

Dieter Heidorn

[Ulrich Diez]

Jens schrieb:

> Gut, das würde in de.schule passen, aber wenn ich da wieder poste
> denken die sich, was will der hier - ist der pedo ... Du kennst das
> sicherlich.

Also - äh - nein, das kenne ich nicht. Mir wurde das noch nie unterstellt. :-))

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Jens Kallup]

Am 29.08.2021 um 17:19 schrieb Dieter Heidorn:
> Da liegt ein Fehler vor, denn
>
>     n*2*n = 2*n*n = 2*n^2
>
>> =      5n              +  2 * 2n    + 6
>         ----
> Daher ist die Zusammenfassung mit "3*n" nicht möglich. Es bleibt bei:
>
>   = 2*n^2 + 3*n + 2*2*n + 6
>
>> =      7n              +  2 *         6
>                             --------------
>                           Das ist leider auch falsch:
>                             2*2n + 6 ist _nicht_ gleich 2*6.
> Eine Zusammenfassung ist wegen "Punkt vor Strich" nicht möglich.
> Es bleibt daher bei
>
>   = 2*n^2 + 3*n + 2*2*n + 6
>
>   = 2*n^2 + 3*n + 4*n   + 6
>
>   = 2*n^2 +    7*n      + 6

ich dachte, das man bei 2 * n auch das "mal" Zeichen weglassen kann,
weil Mathematiker ja wie Programmierer faul sind:

also: 2 * n = 2n ???

man schreibt doch auch für:

2(n + 1) = 2 * (n + 1)

oder: = 2 * ((1 * n) + 1)
oder (bei Potenzen): = 2 * ((1 * n)^1 + 1) (bei Polynomen)
oder (bei Potenzen): = 2 * ( n^1 + 1)

n^1 = n
n^1 = 1n
n^1 = 1 * n

und in einen vorhergehenden Posting hast Du doch geschrieben, das
2n also solches keine Zahl ist, weil man für n alle möglichen |N
Zahlen einsetzen kann, und somit nicht bestimmen kann, das

2 * 2n = (2n * 2n) ist ??? also:
= (2 * n * 2 * n)

in Algebra umgeformt mit n := 2

2 * 2 * 2 = 2 * 2 * 2 * 2
8 = 16

nach meinen Verständnis kann man aber hergehen und 2 * 2n zusammen
fassen zu: 4n,

weil, wie ich schon geschrieben habe, ja für n "eins" einsetzen kann,

was dann:

2 * 2 * 1 oder 2 * 2 (* 1n) ergibt:

= 4 * 1 (n)
= 4n

aber das geht ja nicht, wie Du schon geschrieben hast.
Das sehe ich auch ein.

Daher kann man auch diese 2n nicht mit der vorderen 2 multiplizieren.

weil ja bei der vorderen "zwei" das "Objekt" "zwei" ja schon bestimmt
ist.

und die hintere "drei" auch schon bekannt ist, und zu den gleichen
Typus an Zahlkomponente bekannt ist, kann man diese mit der vorderen
"zwei" mit der "drei" multiplizieren, was dann wie Du auch schon
sehen kannst zur +6 wird.

Die Operatoren werden ja nicht einfach wegradiert.
Darf man ja auch nicht - denke ich mal.

Da nun in der gleichen "rechten" Spalte das Objekt "5n" existiert,
kann man dieses mit der von oben beschriebene "2n" zusammen fassen.

und zusamen fassen bedeutet bei mir "zwei gleiche Objekte" addieren.
zu einen "zusammen gesetztes" neues Objekt vom gleichen Typus.

daher liegt auch meine Betrachtung auf:

a) die Zahlobjekte an für sich - die 5, und die 2 , sowie
b) n (ein einzelnes n für jedes "einzelne" Objekt (also:
= 1 * 5 + 1 * 2
= 5 + 2
= 7

(und wichtig jetzt, das "n" als Variable nicht vergessen !!!
diese muss ja dann wieder sichtbar neben dem nummerischen Objekt
auftauchen.
Es heißt ja nicht strikt, das man die Variable einfach so wegbekommt.
das wäre ja dann kein Term, sondern eine Gleichung in etwa so:

1 * a = 1 * b | minus 1 auf beiden seiten
a = b

und man kann da schon sehen, das ja a und b nicht unbedingt das
gleiche Aussagevermögen hat wie zum Beispiel:

a ist Kind von c
b ist Kind von c

aber a = b sind 2 unterschiedliche Kinder/Menschen mit der selben
Veranlagung, aber sie unterscheiden sich in bestimmten Dingen.

Jens

[Ulrich Diez]

Jens schrieb:

> >> = n * (2 * n) + 3 * n + 2 * 2 * n + 3 * 2
> ich glaube ich sehe den Fehler:
>
> = n * (2 * n) + 3 * n + 2 * ((2 * n) + (3 * 2))
> = n * 2n + 3n + 2 * 2n + 6

Das da ist nicht richtig:

> = n * 5n + 2 * 2n + 6

Denke an Punkt vor Strich!
Da stehen Mal-Punkte und Plus-Zeichen.

= n * 2n + 3n + 2 * 2n + 6

= n * 2n + 3n + 2 * 2n + 6

Wegen "Punkt vor Strich" zuerst jeweils/für sich genommen n*2n und 2*2n
ausrechnen! n*2n = n*2*n = 2*n*n ergibt 2*(n^2). 2*2n ergibt: 4n :

= 2*(n^2) + 3n + 4n + 6

Dann erst addieren was sich addieren lässt, nämlich 3n+4n=7n :

= 2*(n^2) + 7n + 6
= 2(n^2) + 7n + 6

= 2n^2 + 7n + 6

Mehr geht nicht. Weil jetzt keine Summanden mehr da sind, in denen
n in selber Potenz vorkommen würde.

Beim Summanden 2n^2 kommt n in der Potenz 2 vor - da steht "^2" dabei.
Beim Summanden 7n kommt n in der Potenz 1 vor - man könnte auch schreiben 7n^1 - dann wäre "^1" dabei.
Beim Summanden 6 kommt n in der Potenz 0 vor - man könnte auch schreiben 6n^0 und dran denken, dass "^0" immer 1 ergibt,
sodass also n^0=1 bzw 6n^0 = 6*1 = 6.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Jens Kallup]

Am 29.08.2021 um 17:34 schrieb Dieter Heidorn:
> Zum Nachdenken für dich: Könntest du angeben, was das neutrale Element
> der Addition ist?

nun 0 + 0 = 0 ?

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ich hielt meine wenigen Zeilen Umformung fuer einfacher und einleuchtender
als eine separat durchgefuehrte Polynomdievision.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Jens Kallup]

Am 29.08.2021 um 18:24 schrieb Jens Kallup:

> Daher kann man auch diese 2n nicht mit der vorderen 2 multiplizieren.
>
> weil ja bei der vorderen "zwei" das "Objekt" "zwei" ja schon bestimmt
> ist.
>
> und die hintere "drei" auch schon bekannt ist, und zu den gleichen
> Typus an Zahlkomponente bekannt ist, kann man diese mit der vorderen
> "zwei" mit der "drei" multiplizieren, was dann wie Du auch schon
> sehen kannst zur +6 wird.

hier habe ich zu schnell geschrieben, sorry.
der Hoppler ist natürlich dann 2 * 6

Jens

[Ulrich Diez]

Juergen Ilse schrieb:

> Ulrich Diez <ud.usenetco...@web.de> wrote:

> > Wieso eigentlich all das?
> >
> > Da man weiss, dass man auf einen Ausdruck der Form
> > (n+1)*(n+2)*(2n+3)
> > kommen möchte, während ein Ausdruck der Form
> > (n+1)*(2n^2+7n+6)
> > vorliegt, der sich nur in der Form der hinteren
> > Faktoren unterscheidet, liegt es doch sehr nahe, dass die
> > hinteren Faktoren äquivalent sind, dass man also nur
> > nachprüfen muss, ob
> > (n+2)*(2n+3) = (2n^2+7n+6)
> > , und zwar enzweder, indem man ausmultipliziert,
> > oder, indem man mittels Polynomdivision (2n^2+7n+6) durch
> > einen der bereits dastehenden Linearfaktoren dividiert um
> > zu sehen, dass das Ergebnis dem anderen bereits
> > dastehenden Linearfaktor entspricht.
> Ich hielt meine wenigen Zeilen Umformung fuer einfacher und einleuchtender
> als eine separat durchgefuehrte Polynomdievision.

Als ob Polynomdivision die einzige Alternative gewesen wäre, die ich
genannt hatte.

Ausmultiplizieren, was ich auch genannt hatte, und wie ich es in meiner
Variante des Beweises gemacht habe, dürfte durchaus hinreichend
einleuchtend sein.

Polynomdivision habe ich nur erwähnt, weil das Stichwort "Faktorisieren"
in die Runde geworfen wurde. Übrigens nicht von mir. Ich habe dieses
Stichwort nur aufgegriffen. (Und ich meine, mich zu erinnern, irgendwo
auch gesagt zu haben, dass ich dieses Stichwort gerne vermeide, weil
Faktorisierung nicht immer trivial ist.)

Ulrich

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> Am 29.08.2021 um 17:19 schrieb Dieter Heidorn:
>> Da liegt ein Fehler vor, denn
>>
>> n*2*n = 2*n*n = 2*n^2
>>
>>> = 5n + 2 * 2n + 6
>> ----
>> Daher ist die Zusammenfassung mit "3*n" nicht möglich. Es bleibt bei:
>>
>> = 2*n^2 + 3*n + 2*2*n + 6
>>
>>> = 7n + 2 * 6
>> --------------
>> Das ist leider auch falsch:
>> 2*2n + 6 ist _nicht_ gleich 2*6.
>> Eine Zusammenfassung ist wegen "Punkt vor Strich" nicht möglich.
>> Es bleibt daher bei
>>
>> = 2*n^2 + 3*n + 2*2*n + 6
>>
>> = 2*n^2 + 3*n + 4*n + 6
>>
>> = 2*n^2 + 7*n + 6
>
>
> ich dachte, das man bei 2 * n auch das "mal" Zeichen weglassen kann,

Kann man - und macht man auch in der Regel. Ich habe es nur stets
mitgeschrieben, um die deutlich zu machen, wo multipliziert und wo
addiert wird.

> also: 2 * n = 2n ???

Ja.

> man schreibt doch auch für:
>
> 2(n + 1) = 2 * (n + 1)

Ja.

> oder: = 2 * ((1 * n) + 1)
> oder (bei Potenzen): = 2 * ((1 * n)^1 + 1) (bei Polynomen)
> oder (bei Potenzen): = 2 * ( n^1 + 1)
>
> n^1 = n
> n^1 = 1n
> n^1 = 1 * n

Richtig.

> und in einen vorhergehenden Posting hast Du doch geschrieben, das
> 2n also solches keine Zahl ist, weil man für n alle möglichen |N
> Zahlen einsetzen kann, und somit nicht bestimmen kann, das
>
> 2 * 2n = (2n * 2n) ist ??? also:
> = (2 * n * 2 * n)
>

Das habe ich mit Sicherheit nicht geschrieben, denn es ist

2 * 2n = 2 * 2*n
= 2*2*n
= 4*n
= 4n.

Deine rechte Seite dagegen ist

2n * 2n = (2n)*(2n)
= (2n)^2
= 4n^2.

> nach meinen Verständnis kann man aber hergehen und 2 * 2n zusammen
> fassen zu: 4n,
>

So ist es, und deswegen habe ich es auch gemacht.

> weil, wie ich schon geschrieben habe, ja für n "eins" einsetzen kann,
>

Das ist nicht der Grund. n steht für eine beliebige natürliche Zahl,
und dass man 2*2*n zu 4*n vereinfachen kann, liegt am
Assoziativitätsgesetz der Multiplikation:

a*b*c = a*(b*c) = (a*b)*c

im betrachteten Beispiel:

2*2*n = 2*(2*n) = (2*2)*n = 4*n

Guckst du hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Assoziativgesetz

> Daher kann man auch diese 2n nicht mit der vorderen 2 multiplizieren.
>

Aber sicher kann man das - siehe oben.

> Die Operatoren werden ja nicht einfach wegradiert.
> Darf man ja auch nicht - denke ich mal.
>

Macht ja auch niemand. Alles, was in dem betrachteten Beispiel
verwendet wird, sind Distributiv- und Assoziativitätsgesetze:

D: a*(b + c) = a*b + b*c

(a + b)*c = a*c + b*c

(geht auch mit "-" statt "+")

A: a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

a * (b * c) = (a * b) * c = a * b * c

> Es heißt ja nicht strikt, das man die Variable einfach so wegbekommt.
> das wäre ja dann kein Term, sondern eine Gleichung in etwa so:
>
> 1 * a = 1 * b | minus 1 auf beiden seiten

Das ergibt dann

1*a - 1 = 1*b - 1

Wenn du einen _Faktor_ k in

k*a = k*b

wegbringen willst, dann musst du die Umkehroperation des
Multiplizierens verwenden - also dividieren:

k*a = k*b | :k

a = b

Dabei ist natürlich k=/= 0 vorausgesetzt.

Dieter Heidorn

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

Richtig - bezüglich der Addition ist die Null das Element:

1 + 0 = 1
2 + 0 = 2
...
n + 0 = n, mit n: beliebige natürliche Zahl.

Nebenbei bemerkt: dass 1 das neutrale Element der Multiplikation und 0
das neutrale Element der Addition ist, gilt auch in anderen
Zahlenmengen, so z.B. in der Menge der ganzen Zahlen, in der Menge der
rationalen Zahlen und in der Menge der reellen Zahlen.

Dieter Heidorn

[Jens Kallup]

Am 29.08.2021 um 19:09 schrieb Dieter Heidorn:
>
>   k*a = k*b  |  :k
>
>     a = b
>
> Dabei ist natürlich k=/= 0 vorausgesetzt.

nein, das geht nicht so einfach, wie ich es geschrieben habe.

a und b sind Kinder von c

c = |N_3, kann nicht a, oder b sein
b = |N_2, kann nicht a, oder c sein
a = |N_1, kann nicht b, oder c sein

b = 1 Jahre alt
a = 2 Jahre alt

a =/= b

oder:

Am Standort A kann kein B punktgenau vorhanden sein.

Beim zusammenfassen von Termen können nur "gleiche" Variablen-
typen und Objekte zusammen gefasst werden.

Beispiel:
1) 3a + 4a = 7a | geht (a ist Mensch)
2) 3a + 3b = ? | geht nicht, da unterschiedlich unbekannt:
| a = Mensch + b = Pferd = nicht möglich

3) 3 + 5 = 8 | geht (3 = |N Objekt, und 5 = |N Objekt)

4) 3 * 2n = ? | geht nicht (kann man etwas unbekanntes, mit etwas
| bekannten berechnen - zum Beispiel: 3 * 0 (oder:
| 3 * Nichts = 0 (oder Nichts)

anders: 2 Unbekannte gleichen Typs:

2Auto + 3Auto = 5Auto

man kann zwar vorraussetzen was mit Auto gemeint ist, man weiß dann
das man aus 2 + 3Auto = 5Autos bekommt.
Aber:
man weiß nicht welche Marke Auto hat, sie sind aber in der Gruppe
"Auto" angesidelt.

Jens

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> Am 29.08.2021 um 19:09 schrieb Dieter Heidorn:
>>
>> k*a = k*b | :k
>>
>> a = b
>>
>> Dabei ist natürlich k=/= 0 vorausgesetzt.
>
> nein, das geht nicht so einfach,

Doch, das geht in der Tat so einfach. Wenn du die Division als Bruch
schreibst, dann siehst du unmittelbar, dass der Faktor k gekürzt werden
kann:

k*a = k*b | :k

k*a k*b
--- = ---
k k

a = b

Zahlenbeispiel:

2*a = 2*b | :2

2*a 2*b
--- = ---
2 2

a = b

> a und b sind Kinder von c
>

Wir reden hier über Zahlenmengen und Rechenoperationen - nicht über
Kinder. Und die in bestimmten Zahlenmengen möglichen Rechenoperationen
und die jeweiligen Rechenregeln sind eindeutig definiert, unabhängig
von irgendwelchen individuellen Vorstellungen oder Auffassungen.

> Beim zusammenfassen von Termen können nur "gleiche" Variablen-
> typen und Objekte zusammen gefasst werden.
>
> Beispiel:
> 1) 3a + 4a = 7a | geht (a ist Mensch)

Klar geht das. Grund: Das Distributivgesetz, das in den Zahlenmengen N,
Z, Q und R gilt:

3a + 4a = (3 + 4)*a

= 7*a

> 2) 3a + 3b = ? | geht nicht, da unterschiedlich unbekannt:
>

Doch, hier geht etwas - denn es kann wieder das Distributivgesetz
angewendet werden:

3a + 3b = 3*(a + b)

Du kannst beliebige Zahlen für a und b einsetzen und die Rechnung
ausführen.

Was nicht geht, ist a und b eindeutig zu bestimmen, wenn die Summe
einen bestimmten Wert haben soll. Dann liegt eine Gleichung vor, und
nicht nur ein Term. Beispiel:

3a + 3b = 9

Hier kann durch 3 dividiert werden:

3a + 3b = 9 | :3

a + b = 3

Für die Summe von a und b gilt also, dass sie 3 ergeben muss. Wenn
keine weiteren Informationen vorliegen, kannst du noch die eine
Variable durch die andere ausdrücken, z.B.

a + b = 3 | - b

a = 3 - b

Gibst du nun einen Wert für b vor, dann kannst du den zugehörigen Wert
von a berechnen. Beispiel:

Für b = 5 ergibt sich

a = 3 - 5 = -2

Wählst du einen anderen Wert für b, erhältst du auch einen anderen Wert
für a.

Eine eindeutige Bestimmung von a und b ist erst möglich, wenn du noch
eine zweite, unabhängige Gleichung für a und b hast. Dann liegen zwei
Gleichungen mit zwei Unbekannten vor - aber das Fass mache ich (noch)
nicht auf...

> 3) 3 + 5 = 8 | geht (3 = |N Objekt, und 5 = |N Objekt)

Sicher - in N ist die Addition unbeschränkt möglich.

> 4) 3 * 2n = ? | geht nicht

Aber sicher geht da etwas: Assoziativitätsgesetz anwenden liefert:

3*2*n = (3*2)*n = 6*n

> (kann man etwas unbekanntes, mit etwas
> bekannten berechnen

Wenn du damit meinen solltest, ob man damit einen Wert für n bestimmen
kann: nein. Dazu müsste eine Gleichung vorliegen, also nicht nur ein
Term. Beispiel:

3*2*n = 18

6*n = 18 | :6

6*n 18
--- = ---
6 6

n = 3

Dieter Heidorn

[Jens Kallup]

Am 29.08.2021 um 20:40 schrieb Dieter Heidorn:
> Wenn du damit meinen solltest, ob man damit einen Wert für n bestimmen
> kann: nein. Dazu müsste eine Gleichung vorliegen, also nicht nur ein
> Term. Beispiel:
>
>    3*2*n = 18
>
>     6*n  = 18  | :6
>
>     6*n    18
>     --- = ---
>      6     6
>
>      n  = 3

ok.
Wann spricht man eigentlich von Term, und wann von Gleichung?
kann ein Term eine Gleichung sein ?

Jens

[Juergen Ilse]

Hallo,

Jens Kallup <kallu...@web.de> wrote:
> Wann spricht man eigentlich von Term, und wann von Gleichung?

Wenn ein Gleichheitszeichen din vorkommt, ist es eiine Gleichug. Kommt ein
">", ">=", "<" oder "<=" vor, ist es eine Ungleichung. Ist nichts dergleichen
vorhanden, ist es nur ein Term.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> Jens

Term:
-----
sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variablen, Symbolen für mathematische
Verknüpfungen und Klammern

Beispiele:

3*2*n

(a - 2)*x

Gleichung:
----------
eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des
Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird. Formal hat eine Gleichung
die Gestalt

Term 1 = Term 2 ,

wobei der Term 1 die linke Seite und der Term 2 die rechte Seite der
Gleichung genannt wird.

Beispiele:

3*2*n = (n + 5)*4

3*x + 2 = 5*x - 7

x^2 + 6*x + 4 = 3*x + 8

> kann ein Term eine Gleichung sein ?

Offensichtlich nicht, da eine Gleichung _zwei_ Terme verbindet.

Eine Gleichung zu lösen, die nur eine Unbekannte enthält, bedeutet,
einen Wert für die Unbekannte zu finden, welcher in die Gleichung
eingesetzt für Term 1 (linke Seite) und Term 2 (rechte Seite) den
gleichen Wert ergibt.

Willst du es einmal für die oben genannten Gleichungen probieren?

Dieter Heidorn

[Jens Kallup]

Am 29.08.2021 um 21:26 schrieb Dieter Heidorn:
> Beispiele:
>
>    3*2*n = (n + 5)*4
>
>    3*x + 2 = 5*x - 7
>
>    x^2 + 6*x + 4 = 3*x + 8

Gleichung 1:

3*2*n = (n + 5)*4

= 3 * 2 * n
= 6 * n
= 6 n | = n + n + n + n + n

= (n + 5) * 4
= n * 4 + 5 * 4
= n * 4 + 20
= 4n + 20
= 4 * n + 20 | : 4
= 1 * n + 5
= n + 5

6n = n + 5 | minus 1n
5n = 5 | : 5
n = 1

Probe:

3 * 2 * 1n = (1n + 5) * 4
6n = 6n * 4
6n = 24n | : 6
1n = 4n | sqrt
1n = 2n | - 1
n = 1n
n = 1 * n
n = 1
ok.

Aufgabe 2:
3 * x + 2 = 5 * x - 7
3x + 2 = 5x - 7 | - 3x
2 = 2x - 7 | + 7
9 = 2x | : x
9 / x = 2
x = 4.5
Probe:
3 * 4.5 + 2 = 5 * 4.5 - 7
13.5 + 2 = 22.5 - 7
15.5 = 15.5
ok.


Aufgabe 3)

x^2 + 6*x + 4 = 3*x + 8

x^2 + 6x + 4 = 3x + 8 | - 3x
x^2 + 3x + 4 = 8 | - 4
x^2 + 3x = 4 | + x * x | 2*x | 2x
5x = 5x + 4 | : 5x
x = x + 4 | sqrt
x = x + 2 | x = 0
x = 0

Probe:
x^2 + 2*(x^2 + x^2 + x^2) + 4 = (x^2 + x^2 + x^2) + 8
0^2 + 2*(0^2 + 0^2 + 0^2) + 4 = (0^2 + 0^2 + 0^2) + 8
1 + 2*(1 + 1 + 1) + 4 = 1 + 1 + 1 + 8
1 + 6 + 4 = 11
7 + 4 = 11
11 = 11

so dürfte das so sein ?
irgend welche Fehler ?

Gruß, Jens