Diophantische Gleichung - Bauer mit Abitur

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Brigitta Jennen

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Nov 25, 2021, 10:54:52 AM (4 days ago) Nov 25
to
Hallo,
hier eine - wie ich finde - wunderbar lehrreiche Aufgabe, wie häufig
in eine kleine Geschichte verpackt. Es geht mir NICHT UM DIE LÖSUNG,
die ist mit einigem Nachdenken zu erschließen, und ich gebe sie unten
gerne an, weil sie doch etwas aufwändig ist, sondern um den Nachweis,
dass die gefundene Lösung DIE EINZIG MÖGLICHE ist.

Hier zunächst die Aufgabe: Bauer mit Abitur

Ein Bauer stellt beim Zählen seiner Tiere fest, dass die Anzahlen seiner
Kühe, Pferde und Hühner 3 unterschiedliche Primzahlen sind. Außerdem
fällt ihm auf, dass die Anzahl der Kühe multipliziert mit der Summe aus
Anzahl der Kühe und Anzahl der Pferde die Anzahl der Hühner um
120 übersteigt.
Wie viele Kühe, Pferde und Hühner befinden sich auf seinem Hof?

Wer selbst nach der Lösung suchen will, sollte hier zunächst nicht weiterlesen.

--- SPOILER ---
.
.
.
.
.
.
.

K = Anzahl der Kühe
P = Anzahl der Pferde
H = Anzahl der Hühner

**********************************************************************
Mein Lösungsvorschlag:
**********************************************************************

(1) Übersichtliche Zusammenfassung der gegebenen (z.T. impliziten)
Bedingungen

a. K, P und H sind ganzzahlig
b. K, P und H sind Primzahlen
c. K, P und H sind unterschiedlich
d. K∙(K + P) = 120 + H (ausmultipliziert: K^2 + PK - (H + 120) = 0)

Es ergibt sich eine nicht-lineare, unterbestimmte diophantische Gleichung.

(2) Betrachtung der rechten Seite: (120 + H) kann gerade oder ungerade
sein.
Fall a:
Annahme: Summe (H + 120) ist gerade, also Annahme, dass H = 2

K∙(K + P) = 120 + H = 122 = 2 * 61

Das Produkt auf der linken Seite kann nur gerade werden, wenn einer der
beiden Faktoren gerade ist.
K darf nicht 2 sein, da wir schon H = 2 vorausgesetzt haben (siehe c. oben)
K kann aber auch nicht 61 sein, da in diesem Fall (K + P) ungleich 2 ist.

Folgerung_1:
H muss ungleich 2 sein, also rechte Seite ungerade.

Fall b:
Keine Annahme mehr, sondern Gewissheit: die Summe (H + 120) ist ungerade.

D.h. das Produkt der linken Seite K∙(K + P) ist ebenfalls ungerade, was
nur geht, wenn beide Faktoren ungerade sind. Also ist K ungerade!
Die Summe (K + P) wird nur ungerade, wenn ein Summand gerade, der andere ungerade ist. Da K ungerade sein muss, muss P gerade und damit
2 sein.

Folgerung_2:
P = 2

(3) Betrachten der diophantischen Gleichung mit eingesetzten Zahlen:

K^2 + 2K - 120 = H

Wenn K gerade wäre, stünde links eine gerade, rechts aber eine ungerade
Zahl. Dass H ungerade sein muss, wurde unter Folgerung_1 bewiesen.
K muss also ebenfalls ungeradzahlig sein.

Faktorisieren durch Bestimmen der Nullstellen der linken Seite ergibt:
K_1,2 = -1 +- Sqrt(1 + 120) =-1 +- 11
K^2 + 2K - 120 = (K - 10) ∙ (K + 12) = H

H muss eine Primzahl sein.
Eine Primzahl P kann aber nur in einer Form als Produkt geschrieben bzw.
zerlegt werden: P = 1 * P (Definition einer Primzahl).

Also ist entweder (K - 10) = 1 oder (K + 12) = 1
(K + 12) = 1 scheidet aus, weil K = -11 keine Primzahl ist!
Somit muss (K - 10) = 1 sein und damit

Folgerung_3 :
K = 11

(4) Einsetzen der erhaltenen Werte
P = 2
K = 11

in die Ausgangsgleichung

K∙(K + P) = 120 + H = 11 (11 + 2) = 120 + H bzw.
(K - 10)∙(K + 12) = H

ergibt
H = 23

(5) Und somit als Lösungstripel (K, P, H) = (11, 2, 23)

Anzahl der Kühe K = 11
Anzahl der Pferde P = 2
Anzahl der Hühner H = 23

Soweit die Lösung.
Nun jedoch zurück zur eigentlichen Frage:
Wie kann man nachweisen, dass dies das einzige Lösungstripel ist?

Mit den "üblichen Verdächtigen"
- Direkter Beweis
- Indirekter Beweis
a. Beweis durch Kontraposition
b. Beweis durch Widerspruch
- Konstruktiver Beweis
- Ikonischer Beweis
- Vollständige Induktion (funktioniert hier sowiso nicht)
- Beweis durch Fallunterscheidung

bin ich nicht weitergekommen.
Wie kann man die Singularität der Lösung sonst beweisen?
Spezialverfahren?

Grüße Brigitta

Andreas Leitgeb

unread,
Nov 25, 2021, 4:02:23 PM (4 days ago) Nov 25
to
Brigitta Jennen <ladya...@gmail.com> wrote:
> Hallo,
> hier eine - wie ich finde - wunderbar lehrreiche Aufgabe, wie häufig
> in eine kleine Geschichte verpackt. Es geht mir NICHT UM DIE LÖSUNG,
> die ist mit einigem Nachdenken zu erschließen, und ich gebe sie unten
> gerne an, weil sie doch etwas aufwändig ist, sondern um den Nachweis,
> dass die gefundene Lösung DIE EINZIG MÖGLICHE ist.

Habe mir die Lösung durchgelesen, und dabei den Eindruck gehabt, als
könnte es ohnehin gar keine andere Lösung geben. Hast ja eigentlich
alle alternativ-Kandidaten sauber ausgeschlossen.

Carlo XYZ

unread,
Nov 25, 2021, 6:33:06 PM (4 days ago) Nov 25
to
Brigitta Jennen schrieb am 25.11.21 um 16:54:

> K = Anzahl der Kühe
> P = Anzahl der Pferde
> H = Anzahl der Hühner
>
> **********************************************************************
> Mein Lösungsvorschlag:
> **********************************************************************
>
> (1) Übersichtliche Zusammenfassung der gegebenen (z.T. impliziten)
> Bedingungen
>
> a. K, P und H sind ganzzahlig
> b. K, P und H sind Primzahlen

b. macht Voraussetzung a. unnötig.

> c. K, P und H sind unterschiedlich

Kann man aufführen, aber mal sehen, ob c. überhaupt nötig ist.

> d. K∙(K + P) = 120 + H (ausmultipliziert: K^2 + PK - (H + 120) = 0)

OK. Das Ausmultiplizierte brauchen wir erstmal nicht.
[Warum P/K umdrehen und nicht KP schreiben?]

> (2) Betrachtung der rechten Seite: (120 + H) kann gerade oder ungerade
> sein.
> Fall a:

Fall A. Sonst verwechselt man es u.U. mit a. von oben.

> Annahme: Summe (H + 120) ist gerade, also Annahme, dass H = 2

Hier benutzen wir b. und die Tatsache,
dass gerade Zahl + ungerade Zahl = ungerade Zahl.
[Warum 120+H und H+120 umdrehen?]

> K∙(K + P) = 120 + H = 122 = 2 * 61
>
> Das Produkt auf der linken Seite kann nur gerade werden, wenn einer der
> beiden Faktoren gerade ist.
> K darf nicht 2 sein, da wir schon H = 2 vorausgesetzt haben (siehe c. oben)

Hier brauchen wir c. nicht in Gänze.
Wäre K=2, hätten wir 2(2+P) = 120+H,
also H gerade, also H=2 (wegen b.) und P=59,
in der Tat eine weitere Lösung der Gleichung.
Wir brauchen hier c., aber nur den Teil H\notequal K.

> K kann aber auch nicht 61 sein, da in diesem Fall (K + P) ungleich 2 ist.

OK.

> Folgerung_1:
> H muss ungleich 2 sein, also rechte Seite ungerade.

Wegen b. ist H ungerade, also auch die rechte Seite (120+H) von d.

> Fall b:

Fall B.

> Keine Annahme mehr, sondern Gewissheit: die Summe (H + 120) ist ungerade.

Ich würde es hier vorziehen, nicht von zwei Fällen zu
sprechen, sondern so zu formulieren: Nehmen wir an,
dass 120+H gerade ist. Dann... etc. wie eben. Also ist
die Annahme falsch und H, und damit auch 120+H, sind ungerade Zahlen.

> D.h. das Produkt der linken Seite K∙(K + P) ist ebenfalls ungerade, was
> nur geht, wenn beide Faktoren ungerade sind. Also ist K ungerade!

Also sind sowohl K als auch (K+P) ungerade.
Da K ungerade ist, ist (K+P) gerade, und folglich ist auch P gerade.
[Direkt zu Folgerung 2]

> Die Summe (K + P) wird nur ungerade, wenn ein Summand gerade, der andere ungerade ist. Da K ungerade sein muss, muss P gerade und damit
> 2 sein.
>
> Folgerung_2:
> P = 2

Wegen b. und weil P gerade ist.

>
> (3) Betrachten der diophantischen Gleichung mit eingesetzten Zahlen:
>
> K^2 + 2K - 120 = H

Erst hier multiplizieren wir ein bisschen aus.

> Wenn K gerade wäre, stünde links eine gerade, rechts aber eine ungerade
> Zahl. Dass H ungerade sein muss, wurde unter Folgerung_1 bewiesen.
> K muss also ebenfalls ungeradzahlig sein.

Das wissen wir schon und es wurde oben explizit gesagt.
Die 3 Zeilen können weggelassen werden.

> Faktorisieren durch Bestimmen der Nullstellen der linken Seite ergibt:
> K_1,2 = -1 +- Sqrt(1 + 120) =-1 +- 11
> K^2 + 2K - 120 = (K - 10) ∙ (K + 12) = H

Ich ziehe vor, dies zu verkürzen zu

Faktorisieren (z.B. durch Bestimmen der Nullstellen
der linken Seite) ergibt (K - 10) ∙ (K + 12) = H

> H muss eine Primzahl sein.
> Eine Primzahl P kann aber nur in einer Form als Produkt geschrieben bzw.
> zerlegt werden: P = 1 * P (Definition einer Primzahl).

Kann auch verkürzt werden zu: Wegen b. ist H eine Primzahl,
und wegen der Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung gilt ..
[Hat den Nebenvorteil, dass P nicht wieder anders verwendet wird.]

> Also ist entweder (K - 10) = 1 oder (K + 12) = 1
> (K + 12) = 1 scheidet aus, weil K = -11 keine Primzahl ist!
> Somit muss (K - 10) = 1 sein und damit
>
> Folgerung_3 :
> K = 11

OK. Der Rest ist ein bisschen lang. Es genügt zu schreiben:
Folgerungen 2 und 3 ergeben P=2 und K=11, und mit d. zusammen
errechnet sich H zu 23.

> (4) Einsetzen der erhaltenen Werte
> P = 2
> K = 11
>
> in die Ausgangsgleichung
>
> K∙(K + P) = 120 + H = 11 (11 + 2) = 120 + H bzw.
> (K - 10)∙(K + 12) = H
>
> ergibt
> H = 23
>
> (5) Und somit als Lösungstripel (K, P, H) = (11, 2, 23)
>
> Anzahl der Kühe K = 11
> Anzahl der Pferde P = 2
> Anzahl der Hühner H = 23
>
> Soweit die Lösung.
> Nun jedoch zurück zur eigentlichen Frage:
> Wie kann man nachweisen, dass dies das einzige Lösungstripel ist?

Die Herleitung zeigt es, wie auch Andreas Leitgeb
bereits anmerkte.

>
> Mit den "üblichen Verdächtigen"
> - Direkter Beweis
> - Indirekter Beweis
> a. Beweis durch Kontraposition
> b. Beweis durch Widerspruch
> - Konstruktiver Beweis
> - Ikonischer Beweis

Lustig, da musste ich erstmal googeln.
Der Begriff war mir komplett unbekannt.

> - Vollständige Induktion (funktioniert hier sowiso nicht)
> - Beweis durch Fallunterscheidung
>
> bin ich nicht weitergekommen.
> Wie kann man die Singularität der Lösung sonst beweisen?

Das nennt man i.d.R. die Eindeutigkeit der Lösung.
"Singularität" bedeutet oft etwas anderes.

> Spezialverfahren?

Das Jennen-Verfahren :-)

Carlo XYZ

unread,
Nov 25, 2021, 6:57:31 PM (4 days ago) Nov 25
to
Carlo XYZ schrieb am 26.11.21 um 00:33:

> Also sind sowohl K als auch (K+P) ungerade.
> Da K ungerade ist, ist (K+P) gerade, und folglich ist auch P gerade.

Garbled, sorry.

"Also sind sowohl K als auch (K+P) ungerade. Folglich ist P gerade."

> [Direkt zu Folgerung 2]

usw.

Rainer Rosenthal

unread,
Nov 25, 2021, 8:05:52 PM (3 days ago) Nov 25
to
Am 25.11.2021 um 16:54 schrieb Brigitta Jennen:
> Hallo,
> hier eine - wie ich finde - wunderbar lehrreiche Aufgabe, wie häufig
> in eine kleine Geschichte verpackt. Es geht mir NICHT UM DIE LÖSUNG,
> die ist mit einigem Nachdenken zu erschließen, und ich gebe sie unten
> gerne an, weil sie doch etwas aufwändig ist, sondern um den Nachweis,
> dass die gefundene Lösung DIE EINZIG MÖGLICHE ist.
>
> Hier zunächst die Aufgabe: Bauer mit Abitur
>
> Ein Bauer stellt beim Zählen seiner Tiere fest, dass die Anzahlen seiner
> Kühe, Pferde und Hühner 3 unterschiedliche Primzahlen sind. Außerdem
> fällt ihm auf, dass die Anzahl der Kühe multipliziert mit der Summe aus
> Anzahl der Kühe und Anzahl der Pferde die Anzahl der Hühner um
> 120 übersteigt.
> Wie viele Kühe, Pferde und Hühner befinden sich auf seinem Hof?
>
> Wer selbst nach der Lösung suchen will, sollte hier zunächst nicht weiterlesen.
>
Ich habe Deinen Ratschlag befolgt und zeige meine Lösung, die geradewegs
auf die einzig mögliche Lösung führt.

Mit K, P, H als Anzahlen der Kühe, Pferde und Hühner bekommen wir die
Gleichung

K*(K+P) - H = 120 (1)

Die drei Zahlen können nicht alle ungerade sein, weil sonst links etwas
Ungerades steht, und das kann nicht gleich der geraden Zahl 120 sein.
Die einzige gerade Primzahl ist 2, und alle Anzahlen sind verschieden,
d.h. genau eine der drei Anzahlen ist 2.

Kann H = 2 sein?
Annahme H = 2. Dann ist K*(K+P) = 122 = 2*61 ein Produkt aus 2
Primzahlen, und da K = 2 ausgeschlossen ist, weil K ungleich H sein
muss, müsste K+P = 2 sein, was offenbar auch unmöglich ist, weil
Primzahlen größer als 1 sind.
Wir wissen nun, dass H eine ungerade Primzahl ist, und dass entweder K
oder P gleich 2 sind.

Schreiben wir (1) als

K*(K+P) = 120 + H (2)

dann steht rechts eine ungerade Zahl, d.h. es kann nicht K = 2 sein.
Daraus folgt, dass die verbliebene Zahl P gleich 2 sein muss:

P = 2 (3)

Aus Gleichung (2) folgt, dass K*(K+2) - 120 = H ist.
Wegen K*(K+2) = (K+1)^2 - 1 ist also (K+1)^2 - 121 = H, d.h.

(K+1)^2 - 11^2 = H (4)

Wegen a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b) haben wir

(K+1+11)*(K+1-11) = H (5)

Da H Primzahl ist, muss einer der Faktoren 1 sein, und das kann nur der
zweite Faktor sein: K+1-11 = 1, also

K = 11 (6)

Aus Gleichung (4) bekommen wir dann H = 12^2 - 11^2 = 144 - 121, d.h.

H = 23 (7)

Mit den Gleichungen (3), (6) und (7) sind alle gesuchten Anzahlen
eindeutig bestimmt worden.

So, und jetzt schaue ich mir Deine Lösung an. Oder nee, es ist zu spät.
Da mache ich, wenn ich ausgeschlafen habe.

Herzlich grüßend, das war eine hübsche Aufgabe!
Rainer




Rainer Rosenthal

unread,
Nov 26, 2021, 2:56:10 AM (3 days ago) Nov 26
to
Am 25.11.2021 um 16:54 schrieb Brigitta Jennen:
>
> Hier zunächst die Aufgabe: Bauer mit Abitur
>
> Ein Bauer stellt beim Zählen seiner Tiere fest, dass die Anzahlen seiner
> Kühe, Pferde und Hühner 3 unterschiedliche Primzahlen sind. Außerdem
> fällt ihm auf, dass die Anzahl der Kühe multipliziert mit der Summe aus
> Anzahl der Kühe und Anzahl der Pferde die Anzahl der Hühner um
> 120 übersteigt.

Bei einem Landwirte-Treffen hat er seine Beobachtung mitgeteilt und
gefragt, bei wem das auch so sei.

Da hat ein Großbauer geschmunzelt und gesagt: "Schau mal genau hin! Die
Differenz 120 ist bestimmt um 1 kleiner als das Quadrat der Anzahl der
Kühe."
Verblüfft musste der Bauer zugeben, dass das tatsächlich der Fall ist.

Dann fügte der Großbauer geheimnisvoll hinzu, dass auch seinem Hof gilt,
dass die Summe aus Hühneranzahl und Quadrat der Anzahl der Kühe um 1
größer ist als die Anzahl der Kühe multipliziert mit der Summe aus
Anzahl der Kühe und Anzahl der Pferde, und dass alle diese Anzahlen
paarweise verschiedene Primzahlen sind.

Ein Pferdezüchter hörte das Gespräch und schüttelte nur mitleidig den
Kopf: "Mit Pferden habt ihr's wohl nicht so, und was die Kühe und Hühner
betrifft, solltet ihr mal zur Großbäuerin Sophie Germain gehen. Die
achtet immer darauf, dass sie gerade so viele Kühe hat (Anzahl K) , dass
sie die zur Großbauern-Formel K*(K+P) = H + K^2 - 1 passende Anzahl H an
Hühnern auftreiben kann. Mit Pferden (Anzahl P) hat sie's auch nicht so.
Und selbstverständlich sind auch bei ihr alle Anzahlen verschieden und
prim."

Wen diese Bauernschlauheit interessiert, der kann versuchen, selbst aus
dem wirren Gestammel schlau zu werden, oder schaut weiter unten nach



spoiler





spoiler






spoiler





Aus meiner gestrigen Rechnung ist mir klar geworden, dass die Formel zum
Schluss einen Schlüssel zum Verständnis der Aufgabenstruktur bietet.
Sie lautet (K+1+K)(K+1-K) = H, also H = 2K+1.
Wenn K und H Primzahlen sind, bedeutet dies, dass K eine Sophie Germain
Primzahl ist.
"Eine Primzahl p nennt man Sophie-Germain-Primzahl oder auch Germainsche
Primzahl, wenn auch 2p + 1 eine Primzahl ist."
(siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Sophie-Germain-Primzahl)

Ich habe gerade einen Telefonanruf von einem Kleinbauern bekommen.
Er sagte:
"Ich habe beim Zählen meiner Tiere festgestellt, dass die Anzahlen
meiner Kühe, Pferde und Hühner 3 unterschiedliche Primzahlen sind.
Außerdem ist mir aufgefallen, dass die Anzahl der Kühe multipliziert mit
der Summe aus Anzahl der Kühe und Anzahl der Pferde die Anzahl der
Hühner um 8 übersteigt. - Raten Sie mal, wie viele Kühe, Pferde und
Hühner ich habe!"

Er war verblüfft, dass ich ihm wie aus der Pistole geschossen sagen
konnte: "Sie haben 3 Kühe, 2 Pferde und 7 Hühner!"

Brigitta Jennen

unread,
Nov 26, 2021, 7:10:40 AM (3 days ago) Nov 26
to
Carlo XYZ schrieb am Freitag, 26. November 2021 um 00:33:06 UTC+1:
...
Herzlichen Dank für die ausführliche Kommentierung.
Ich habe Deine Vorschläge und Anmerkungen umgesetzt und es ist eine
wirklich sehr klare und elegante Lösung entstanden.
Wenn man angefangen hat zu lesen ist der Weg zur Lösung fast zwingend.
(Ich bin von der Aufgabe und der dank der Hilfe entstandenen Lösung wirklich
begeistert. Auch sie stammt übrigens aus einem Fundus uralter Übungsaufgaben,
diesmal von der ETH Zürich).

> > Nun jedoch zurück zur eigentlichen Frage:
> > Wie kann man nachweisen, dass dies das einzige Lösungstripel ist?
> Die Herleitung zeigt es, wie auch Andreas Leitgeb
> bereits anmerkte.

Schon nach Andreas' Hinweis - vielen Dank dafür - schwante mir was,
wenn auch noch dunkel.

> ...
> Das nennt man i.d.R. die Eindeutigkeit der Lösung.
>

OK. Hab ich realisiert, aber noch nicht ganz verstanden.
Angenommen, ich stünde im Hörsaal vor 40 Studies und müsste
erklären, warum jetzt damit bewiesen ist, dass die gefundene
Lösung die einzige ist - ich käme ins Schleudern.

Danke nochmals an alle, die geantwortet haben.
Grüße B.

Brigitta Jennen

unread,
Nov 26, 2021, 7:18:51 AM (3 days ago) Nov 26
to
...
> Herzlich grüßend, das war eine hübsche Aufgabe!

Hallo Rainer,
Du bist ein klein wenig anders eingestiegen, aber auch sehr geradlinig
auf das Ziel zugesteuert. Schön übersichtlich, Dein Lösungsweg.
Vielen Dank dafür.
Grüße B.

> Rainer

Brigitta Jennen

unread,
Nov 26, 2021, 9:01:06 AM (3 days ago) Nov 26
to
Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 26. November 2021 um 08:56:10 UTC+1:

> Wenn K und H Primzahlen sind, bedeutet dies, dass K eine Sophie Germain
> Primzahl ist.
> "Eine Primzahl p nennt man Sophie-Germain-Primzahl oder auch Germainsche
> Primzahl, wenn auch 2p + 1 eine Primzahl ist."
> (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Sophie-Germain-Primzahl)

Hallo Rainer,
kleiner Nachtrag:
Dieser Hinweis auf die Sophie-Germain-Primzahlen (von denen ich noch
nie gehört hatte) ist toll. Dass das hier eine Rolle spielt, ist für mich total
verblüffend.
Ganz herzlichen Dank dafür.

Rainer Rosenthal

unread,
Nov 26, 2021, 12:04:33 PM (3 days ago) Nov 26
to
Hallo Brigitta,

gern geschehen, hat Spaß gemacht, wie sich eins aus dem anderen
folgerichtig ergab.

Selbst 41 Studies dürften ein Problem haben, einen Punkt in der
Herleitung der Lösung zu finden, bei dem eine Abzweigung zu einer
anderen Lösung denkbar wäre. Vielleicht habe ich einfach Glück gehabt,
recht schnell auf den Gedanken zu verfallen, die 2 zu lokalisieren bei
der Anzahl P der Pferde.
Der Beweis besteht - wie ich rückwirkend feststelle - aus zwei Teilen.
Zuerst wird erkannt, dass die 2 in der Menge {K, P, H} sein muss.
Anschließend wird mit den verbliebenen Unbekannten K und H so lange
gespielt, bis sie sich zu erkennen geben.

Lieben Gruß,
Rainer


Brigitta Jennen

unread,
Nov 27, 2021, 6:30:07 AM (2 days ago) Nov 27
to
Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 26. November 2021 um 08:56:10 UTC+1:
...
Hallo Rainer,
muss mich aus gegebenem Anlass nochmals melden.

> Ich habe gerade einen Telefonanruf von einem Kleinbauern bekommen.
> Er sagte:
> "Ich habe beim Zählen meiner Tiere festgestellt, dass die Anzahlen
> meiner Kühe, Pferde und Hühner 3 unterschiedliche Primzahlen sind.
> Außerdem ist mir aufgefallen, dass die Anzahl der Kühe multipliziert mit
> der Summe aus Anzahl der Kühe und Anzahl der Pferde die Anzahl der
> Hühner um 8 übersteigt. - Raten Sie mal, wie viele Kühe, Pferde und
> Hühner ich habe!"
>
> Er war verblüfft, dass ich ihm wie aus der Pistole geschossen sagen
> konnte: "Sie haben 3 Kühe, 2 Pferde und 7 Hühner!"

Der gleiche Bauer hat mich eben auch angerufen und gesagt, er habe Dir
versehentlich unkorrekte Angaben gemacht.
Die Zahl der Hühner werde nicht um 8 überschritten, sondern um 51,
so dass gelte: K * (K + H) = 51 + H.

Er war verblüfft, dass ich ihm nicht sofort antworten konnte :-))

Brigitta Jennen

unread,
Nov 27, 2021, 6:32:14 AM (2 days ago) Nov 27
to
Sorry, muss natürlich heißen K * (K + P) = 51 + H

Rainer Rosenthal

unread,
Nov 27, 2021, 9:20:15 AM (2 days ago) Nov 27
to
> so dass gelte: K * (K + P) = 51 + H.
>
> Er war verblüfft, dass ich ihm nicht sofort antworten konnte :-))
>
Hallo Brigitta,

ich freue mich über die Fortsetzung, aber genau wie der Bauer bin ich
auch erst einmal verblüfft, weil der "Überschuss" U in der Originalaufgabe

(K + P) = U + H, mit paarweise verschiedenen Primzahlen K, P, H

die gerade Zahl U = 120 ist. Auch in der "versehentlich unkorrekten"
telefonisch genannten Aufgabe war U = 8 eine gerade Zahl. Aus der
Geradzahligkeit und der lustig versteckten Beziehung U = K^2 - 1 konnte
ich die drei Zahlen K, P und H ermitteln und 41 Studies vorführen.
(Ob ihr Professor folgen konnte, weiß ich nicht *har* *har*.)

Kannst Du mir bitte einen Tipp geben, was ich dazu beitragen kann, dass
wir drei, der Bauer, Du und ich aus der Verblüffung heraus kommen?

Lieben Gruß,
Rainer

Brigitta Jennen

unread,
Nov 27, 2021, 11:26:21 AM (2 days ago) Nov 27
to
Rainer Rosenthal schrieb am Samstag, 27. November 2021 um 15:20:15 UTC+1:
...

Der Bauer war verblüfft, weil er die Originalaufgabe kannte.
Es war ihm (nach etwas Nachhilfe) klar, dass es bei dieser nur eine einzige,
eindeutige Lösung geben konnte.

Um so überraschter war er, als ich ihm bei seiner neuen Aufgabe
gleich mehrere Lösungstripel angeboten habe:

K * (K + P) = 51 + H

lösen u.a. die Tripel

(5, 11, 29)
(7, 13, 89)
(11, 3, 103) ...

Und als ich ihm dann noch sagte, dass es - anders als bei der Ursprungsaufgabe -
nunmehr unendlich viele Lösungen gäbe, verstummte er vollends.
(Er bat mich lediglich noch um den Beweis für diese kühne Behauptung).

> (Ob ihr Professor folgen konnte, weiß ich nicht *har* *har*.)
(Die Studies haben beim akademischen Rat der Universität inzwischen eine Petition
mit dem Ziel der Ablösung des Lehrkörpers eingereicht).

LG Brigitta

Rainer Rosenthal

unread,
Nov 28, 2021, 7:02:33 PM (yesterday) Nov 28
to
Am 27.11.2021 um 17:26 schrieb Brigitta Jennen:
>
> Um so überraschter war er, als ich ihm bei seiner neuen Aufgabe
> gleich mehrere Lösungstripel angeboten habe:
>
> K * (K + P) = 51 + H
>
> lösen u.a. die Tripel
>
> (5, 11, 29)
> (7, 13, 89)
> (11, 3, 103) ...
>
> Und als ich ihm dann noch sagte, dass es - anders als bei der Ursprungsaufgabe -
> nunmehr unendlich viele Lösungen gäbe, verstummte er vollends.
> (Er bat mich lediglich noch um den Beweis für diese kühne Behauptung).
>
Ob es unendlich viele Lösungen gibt, könnten sicher nur absolute
Zahlentheorie-Experten beurteilen. Sobald es um die Existenz von
Primzahlen mit bestimmten Eigenschaften geht, wird es super-knifflig.

Gesucht sind Tripeln (K,P,H) aus paarweise verschiedenen Primzahlen, die
die Gleichung

K * (K + P) = 51 + H (*)

erfüllen sollen.

Vergleichen wir diese Aufgabe mal mit einer etwas anderen:
Jede gerade Zahl H > 4 sollen mit ungeraden Primzahlen K und P zu einem
Tripel (K,P,H) ergänzt werden, so dass die Gleichung

K + P = H (**)

erfüllt ist. Obwohl man das bis zu schwindelerregenden Größen von H hat
rechnen können, steht der Beweis noch aus. Und das fast 280 Jahre nach
der ersten offiziell bekannten Formulierung dieser Aufgabe.

Natürlich haben die beiden Aufgaben nicht direkt etrwas miteinander zu
tun, sondern meine Schreibweise suggeriert nur eine gewisse
Verwandtschaft, aber die Aufgabe mit der 51 sieht nicht wesentlich
einfacher aus, als die unter dem Namen (starke) Goldbach-Vermutung
bekannte Uralt-Aufgabe.

Weil ich mir einen Eindruck von der drohenden Unendlichkeit der Tripel
in der 51-Aufgabe verschaffen wollte, habe ich den PC angeworfen und
liefere hier die nach Summe K+P+H sortierten ersten 30 Tripel:

( 7, 3, 19) // Summe 29
( 2, 29, 11) // Summe 42
( 5, 11, 29) // Summe 45 <== gepostet_von_BJ
( 5, 17, 59) // Summe 81
( 7, 13, 89) // Summe 109 <== gepostet_von_BJ
( 2, 53, 59) // Summe 114
( 5, 23, 89) // Summe 117
(11, 3,103) // Summe 117 <== gepostet_von_BJ
( 2, 59, 71) // Summe 132
( 7, 19,131) // Summe 157
(13, 3,157) // Summe 173
( 2, 89,131) // Summe 222
( 5, 41,179) // Summe 225
( 2,107,167) // Summe 276
(11, 17,257) // Summe 285
( 2,113,179) // Summe 294
( 5, 53,239) // Summe 297
( 7, 37,257) // Summe 301
( 5, 59,269) // Summe 333
( 2,137,227) // Summe 366
(19, 3,367) // Summe 389
( 2,149,251) // Summe 402
(11, 29,389) // Summe 429
(19, 7,443) // Summe 469
( 5, 83,389) // Summe 477
( 2,179,311) // Summe 492
( 5, 89,419) // Summe 513
( 7, 67,467) // Summe 541
( 2,197,347) // Summe 546
(13, 31,521) // Summe 565

Anmerkung: die 11 und die 29 zeigen sich offenbar gerne:
( 2, 29, 11)
( 5, 11, 29)
(11, 29,389)

Ich hätte ja gerne noch (29,11,...) nachgereicht, aber das geht leider
nicht :-(

Herzlich grüßend,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

Rainer Rosenthal

unread,
Nov 28, 2021, 7:13:14 PM (yesterday) Nov 28
to
Am 29.11.2021 um 01:02 schrieb Rainer Rosenthal:
>
> Anmerkung: die 11 und die 29 zeigen sich offenbar gerne:
> ( 2, 29, 11)
> ( 5, 11, 29)
> (11, 29,389)
>
> Ich hätte ja gerne noch (29,11,...) nachgereicht, aber das geht leider
> nicht :-(
>
Ist wohl ein bisschen spät für sowas.
Geht nämlich sehr wohl:

(29,11,1109) ist auch ein Lösungstripel, weil 1109 "zufällig" prim ist,
und weil 29*(29+11) = 1160 = 51 + 1109 ist.

So, hier in voller Schönheit alle 11-29-Tripel:

( 2, 29, 11)
( 5, 11, 29)
(11, 29, 389)
(29, 11, 1109)

Gruß,
RR

Brigitta Jennen

unread,
5:54 AM (14 hours ago) 5:54 AM
to
Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 29. November 2021 um 01:13:14 UTC+1:
> Am 29.11.2021 um 01:02 schrieb Rainer Rosenthal:

... tolle Sachen ...

Hallo Rainer,
vielen Dank für Deine Mühe und die Einblicke in mathematische Nebentäler, die Du
eindrucksvoll geliefert hast.
Ich habe ebenfalls mal den Computer rechnen lassen und bin im Prinzip auf die
gleiche Weise zu den Lösungs-Tripeln der 51-er Aufgabe gekommen wie Du.
Da ich faul bin und Python und Java schon langsam wieder vergesse, hab ich das
unter Excel-VBA (ich weiß, Schande ...) gemacht:

Primzahlen zwischen 1 und 1000 über Sieb des Eratosthenes in ein Array.
Dann per Programm durchprobieren, welche Tripel passen.
Pssende Lösungstripel in Ergebnis-Array und ausgeben.

Das ist umständlich und zeitraubend. Für kleine Zahlen - OK.
Da ich inzwischen meinen Neffen, der als Mathematiker bei der Münchener Rück
arbeitet, für die Aufgabenstellung interessieren konnte, haben wir beschlossen,
auf seinem deutlich leistungsfähigeren Supercomputer das mal für die erste Million
Primzahlen durchzuspielen und ein Stück weit Richtung Unendlickeit zu blicken.
Meine Idee ist, da auch mit statistischen Mitteln evtl. Einblicke zu gewinnen.

Vielleicht ergeben sich ja überraschende Muster, so wie Du schon bemerkt hast,
dass die 11 und die 29 sich häufiger mit anderen tummeln.
Da mein Neffe ebenfalls faul ist (liegt bei uns wohl un der Familie) hat er mich
aber dummerweise gebeten, ich soll dafür das Programm schreiben :-)), egal welche
Programmiersprache.

Daher meine Frage:
Wie und in welcher Sprache hast Du das programmiert?
Welchen Algorithmus zur Primzahlerkennung hast Du verwendet?

Bevor ich da viel Zeit investiere, hab ich mir gedacht, ich frag einfach
mal nach. Vielleicht hast Du oder sonst jemand, der mitliest, einen Tipp,
wie man das am besten angeht, wenn man bis zu sehr großen Zahlen möglichst
ökonomisch rechnen will. Ich hab damit keine Erfahrung.

Danke und Herzliche Grüße
B.

> Gruß,
> RR

Rainer Rosenthal

unread,
1:12 PM (7 hours ago) 1:12 PM
to
Am 29.11.2021 um 11:54 schrieb Brigitta Jennen:
> Wie und in welcher Sprache hast Du das programmiert?
> Welchen Algorithmus zur Primzahlerkennung hast Du verwendet?
>
Ich habe Maple verwendet, und da ist die Primzahlerkennung eingebaut:

Eine gegeben Zahl z liefert beim Aufruf von isprime(z) den Wert true
oder false.
Mit nextprime(z) bekommt man die nächste Primzahl.
Mit ithprime(k) bekommt man die k-te Primzahl, ithprime(1) = 2.
Mit der Funktion SigAbs1(K,P,H,U) = K*(K+P) - (H + U) kann ich erkennen,
ob ich einen Treffer habe (Wert 0), oder ob ich bei vorgegebenem H die
Werte von K oder P noch vergrößern darf (Wert < 0).
Ich laufe mit H in einer äußeren Schleife durch alle Primzahlen zwischen
1 und H_MAX, dann in einer inneren Schleife mit K über alle Primzahlen
zwischen 1 und K_MAX.

Ich sehe im Programm:
> U := 51;
> # SigAbs1(K_MAX,2,H_MAX,U) ~ 0
> H_MAX := 44893;
> K_MAX := 211;

Das heißt, ich habe die Obergrenzen von H und K so dimensioniert, dass
SigAbs1 für die minimale Pferdeanzahl P = 2 ungefähr 0 ist.

Ich sehe gerade beim Blick in die Programm-Quelle, dass ich für P eine
feste Obergrenze 80 verwendet hatte. Da habe ich mir vielleicht was
dabei gedacht, aber ich kann das jetzt nicht begründen(*).

Ist aber gut, dass Du gefragt hast, denn da kann ich ja mal dran drehen.
Die schöne Sortierung nach Summe K + P + H liefert mir Maple mit der
sort-Funktion.
Aber jetzt, wo ich das Programm erläutere, fällt mir auf, dass es ja
eigentlich viel eleganter wäre, gleich mit den aufsteigenden Summen zu
beginnen! Werde ich nachher vielleicht noch ausprobieren.

Übrigens ist "Schande" fehl am Platz bei Excel VBA. Es sollte mich aber
sehr wundern, wenn VBA keine Primzahl-Test hat. Oh, eine kurze
Netzanfrage scheint zu zeigen, dass man da von Hand arbeiten muss.

Es ist jedenfalls eine schöne Spielwiese, und das zeigt sich gut an der
"nachgekleckerten" vierten Kombination (29, 11, 1109) für 11 und 29.
Für mich sieht es wie zufällig aus, dass die für K = 29 und P = 11
bei Überschuss U = 51 benötigte Zahl H = K*(K+P) - U = 1109 tatsächlich
prim ist.

(*) So ganz habe ich mein Programm offenbar selbst nicht verstanden,
denn es schafft ganz offenbar, die P-Hürde 80 zu überspringen. Au weia,
back to the drawing board.

Liebe Grüße,
Rainer

Rainer Rosenthal

unread,
5:11 PM (3 hours ago) 5:11 PM
to
Am 29.11.2021 um 19:12 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 29.11.2021 um 11:54 schrieb Brigitta Jennen:
>> Wie und in welcher Sprache hast Du das programmiert?
>>
> Ich habe Maple verwendet, und da ist die Primzahlerkennung eingebaut:
>
> Ich laufe mit H in einer äußeren Schleife durch alle Primzahlen zwischen
> 1 und H_MAX, dann in einer inneren Schleife mit K über alle Primzahlen
> zwischen 1 und K_MAX.
>
> (*) So ganz habe ich mein Programm offenbar selbst nicht verstanden,
> denn es schafft ganz offenbar, die P-Hürde 80 zu überspringen. Au weia,
> back to the drawing board.
>
Ich kann nur staunen, was ich da für einen Murks zusammengeschrieben
hatte. Diese P-Hürde ist vollkommener Quatsch, es genügt die
systematische Durchforstung aller H und K bis zu einer gewissen
Obergrenze. Ob es ein passendes P dazu gibt, kann man ja mit einem Test
sofort erkennen: P = (H+U)/K - K ausrechnen und (K,P,H) als
Lösungs-Tripel notieren, wenn P eine von K und H verschiedene Primzahl ist.
Ich hatte peinlicherweise das P in einer Schleife gesucht *schäm*.

Gut, dass ich das Programm noch einmal überarbeitet habe.
Es findet jetzt
für H_MAX = 44893 und K_MAX = 211 mehr Lösungen als vorher.
Ich hatte 1496, und jetzt sind es 1554 geworden.

Die dusslige Behandlung der P-Suche war daran schuld.
Ich habe natürlich neugierig geschaut, was für Tripel ich übersehen hatte.
Die ersten 587 Tripel (nach Summe geordnet) waren identisch, aber nach
dem 587-ten Tripel (53, 251, 16061) hatte ich vorher (5, 2741, 13679),
und nun hat sich noch (83, 113, 16217) eingefunden, was summenmäßig
dazwischen liegt.

Wie ich sicher sein kann, alle Tripel (K,P,H) bis zu einer gewissen
maximalen Summe erwischt zu haben, blicke ich gerade noch nicht.

Gruß,
Rainer
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