Unendlichkeitsaxiom

[Rudolf Sponsel]

Ich starte mal mit der Fassung von Halmos (1968) Naive Mengenlehre, S. 60:

"Es gibt eine Menge, die 0 enthält und mit jedem ihrer Elemente auch
dessen Nachfolger."
Halmos erläutert: "Der Name 'Unendlichkeitsaxiom' ist naheliegend:
Wir haben zwar noch keine präzise Definition der Unendlichkeit
aufgestellt, aber es scheint vernünftig, solche Mengen, wie sie das
Unendlichkeitsaxiom beschreibt, unendlich zu nennen."

Die Formulierung des Axioms ist unklar. Man kann es 1) so verstehen,
dass alle_g Nachfolger gemeint sind. Dann ist es falsch, weil es nicht
alle_g und insbesondere keinen letzten Nachfolger gibt. In dieser
Bedeutung sollte man das Axiom umtaufen in "selbstwidersprüchliches
Unendlichkeitsaxion". 2) man kann es als eine potentielle und
unbestimmte Menge von Vorgängern und Nachfolgern verstehen, die nach der
Formulierung kein effektives Ende hat, denn sobald ein Element gegeben
ist, ist auch dessen Nachfolger gegeben ... Dann ist die Menge nur
potentiell unendlich und nach oben offen, was aber meist nicht gewünscht
ist. Gewünscht ist so etwas wie eine Einheit für alle_g natürlichen
Zahlen, womit man etwas Unvollendetes und Unvollendbares als vollendet
und vollendbar denkt. Das ist der grundlegende Denkfehler. Es bleibt die
Frage, ob etwa in sich Widerspruchsvolles oder ein grundlegender
Denkfehler als Axiom überhaupt zulässig ist. Sonst könnte man ja per
Axiom verkünden: es gibt einen viereckigen Kreis. - Na ja, wenn man ihn
geeignet definiert ...

[Carlo XYZ]

Rudolf Sponsel <rudolf-...@sgipt.org> wrote:
> ... dass alle_g Nachfolger gemeint sind. Dann ist es falsch, ...

usw, ...

Generell: ein Axiom kann nicht "falsch" sein.

Speziell: weißt du überhaupt, was Halmos mit "0" meint? Und mit
"Nachfolger"? Wenn nein, warum hast du es in diesem Buch nicht
nachgeschlagen? Wenn ja, dann solltest du ja wissen, dass es zu einer
endlichen Menge (und bis dahin waren NUR endliche Mengen bekannt)
immer EINEN EINZIGEN, d.h. einen EINDEUTIGEN Nachfolger gibt.

Und jetzt lies nochmal, was du geschrieben hast.

[Sam Besi]

Carlo XYZ faselt:

> dass es zu einer
> endlichen Menge (und bis dahin waren NUR endliche Mengen bekannt)
> immer EINEN EINZIGEN, d.h. einen EINDEUTIGEN Nachfolger gibt.

Du formulierst wieder mal entsetzlichen Stuss, demnach "gibt es"
in der Menge {1,2,3} "einen eindeutigen Nachfolger".

Dein verblödeter "Satz":
"In jeder endlichen Menge gibt es immer einen,
dh. einen eindeutigen Nachfolger."

Vielleicht solltest du dich mal von Spunsel klinisch untersuchen
und hommöopathisch behandeln lassen (das darf jeder "verschreiben").

[Carlo XYZ]

Sam Besi <s...@mail.inv> wrote:

[blah]

Lesen kannst du also auch nicht.

[Sam Besi]

Carlo XYZ schrieb:

> Lesen kannst du also auch nicht

LOL.

Was ist denn der einzig gültige Nachfolger DER Menge { 44, 99, 2 }
oder
was ist denn der einzig gültige Nachfolger ZUR Menge { 44, 99, 2 }

Du bist schon ein Clown.

[Sam Besi]

Spunsel:

> Das ist der grundlegende Denkfehler.

ROFL, von Halmos...

> Es bleibt die Frage,

Oh, wo kommt die denn her.

> ob etwa in sich Widerspruchsvolles oder ein grundlegender
> Denkfehler als Axiom überhaupt zulässig ist.

Bleib ganz still sitzen bis sie kommen und dir das hier verschreiben:

https://de.wikipedia.org/wiki/Fields-Medaille

[Carlo XYZ]

Sam Besi <s...@mail.inv> wrote:
> Was ist denn der einzig gültige Nachfolger DER Menge { 44, 99, 2 }
> oder
> was ist denn der einzig gültige Nachfolger ZUR Menge { 44, 99, 2 }

{ 44 , 99 , 2 , {44,99,2} } laut Halmos (wie üblich & vernünftig).

[Carlo XYZ]

Sam Besi <s...@mail.inv> wrote:
> Was ist denn der einzig gültige Nachfolger ...

PS Von "einzig gültig" war übrigens nicht die Rede, sondern von
"eindeutig". Ich muss also sehr bitten, meine präzise Antwort mit der
präzisen Fassung dieser schwammigen Frage in Verbindung zu bringen,

Nennt mich ruhig einen Korinthenkacker, aber darum geht's ja bei
euren unsäglichen, unbedacht vorgebrachten Ergüssen.

[WM]

Am Mittwoch, 2. September 2015 19:41:58 UTC+2 schrieb Carlo XYZ:
> Rudolf Sponsel <rudolf-...@sgipt.org> wrote:
> > ... dass alle_g Nachfolger gemeint sind. Dann ist es falsch, ...
>
> usw, ...
>
> Generell: ein Axiom kann nicht "falsch" sein.

Es kann mit anderen zum Widerspruch führen.

Axiom: Es gibt 20 verschiedene natürliche Zahlen, deren Summe 10 ist. Dieses Axiom ist leicht nachweisbar falsch.

Dasselbe Spiel haben wir mit dem AC. Wenn ES überabzählbare Mengen gäbe, so wäre es falsch, weil ES nicht überbzählbar viele Unterscheidungsmergmale gibt, Ordnung ohne Unterscheidbarkeit aber barer Unsinn ist.

Gruß, WM

[Carlos Naplos]

Hallo Rudolf

Ich finde nicht, dass die Formulierung des Axioms unklar ist.
Es wird die Existenz ein Menge postuliert, die eine gewisse Eigenschaft
hat, nämlich die Eigenschaft die leere Menge als Element zu enthalten
und mit der Menge x auch die Menge x vereinigt mit {x} zu enthalten.

Es ist schon geraume Zeit her, dass ich das Buch gelesen habe, aber ich
glaube nicht, dass Halmos "potentielle oder unbestimmte Mengen,
Vorgänger, effektives Ende erwähnt hat. Auch "potentiell unendlich" und
"nach oben offen" hatte ich in dem Buch nicht entdeckt.

Als "Nachfolger" einer Menge x wird wenige Zeilen vor Deinem Zitat die
Menge x vereinigt mit {x} definiert.

Natürlich muss ein Axiomensystem konsistent. D.h. es wäre zu zeigen,
dass aus den bisherigen Axiomen zusammen mit dem "Unendlichkeitsaxiom"
kein Widerspruch hergeleitet werden kann.

Unverklar für mich ist, was Du mit "dass alle_g Nachfolger gemeint sind"
meinst. Was meinst Du mit "alle_g"? Und womit könnte "alle_g Nachfolger"
gemeint sein?

lg
CN

[Rudolf Sponsel]

Am 03.09.2015 um 11:56 schrieb WM:
> Am Mittwoch, 2. September 2015 19:41:58 UTC+2 schrieb Carlo XYZ:
>> Rudolf Sponsel <rudolf-...@sgipt.org> wrote:
>>> ... dass alle_g Nachfolger gemeint sind. Dann ist es falsch, ...
>>
>> usw, ...
>>
>> Generell: ein Axiom kann nicht "falsch" sein.
>

Danke, das ist eine sehr anregende Bemerkung.
Aussagen sind wahr oder falsch oder haben jedenfalls einen Wahrheitswewrt.
Definitionen sind zweckmäßig oder nicht.
Aber welche Kriterien gelten für Axiome (werde der Sache mal nachgehen)?
Und was ist, wenn Axiome Falsches enthalten?

> Es kann mit anderen zum Widerspruch führen.
>
> Axiom: Es gibt 20 verschiedene natürliche Zahlen, deren Summe 10 ist. Dieses Axiom ist leicht nachweisbar falsch.
>

Hm, gibt es in Deiner Terminologie dann doch auch "falsche" Axiome?

> Dasselbe Spiel haben wir mit dem AC. Wenn ES überabzählbare Mengen gäbe, so wäre es falsch, weil ES nicht überbzählbar viele Unterscheidungsmergmale gibt, Ordnung ohne Unterscheidbarkeit aber barer Unsinn ist.
>
> Gruß, WM
>

Gruß: Rudolf

[Rudolf Sponsel]

Hallo Carlos,

Am 03.09.2015 um 15:57 schrieb Carlos Naplos:
> Hallo Rudolf
>
> Ich finde nicht, dass die Formulierung des Axioms unklar ist.
> Es wird die Existenz ein Menge postuliert, die eine gewisse Eigenschaft
> hat, nämlich die Eigenschaft die leere Menge als Element zu enthalten
> und mit der Menge x auch die Menge x vereinigt mit {x} zu enthalten.
>

Sagt es nicht mehr?

> Es ist schon geraume Zeit her, dass ich das Buch gelesen habe, aber ich
> glaube nicht, dass Halmos "potentielle oder unbestimmte Mengen,
> Vorgänger, effektives Ende erwähnt hat. Auch "potentiell unendlich" und
> "nach oben offen" hatte ich in dem Buch nicht entdeckt.
>

Potentiell sagt er in der Tat nicht. Es geht um die Bedeutung, was in
diesem Axiom steckt. Ich meine, in der Formulierung "Es gibt eine Menge,

die 0 enthält und mit jedem ihrer Elemente auch dessen Nachfolger."

stecken "alle_g". Ok, habe ich an dieser Stelle nicht erklärt. "Alle"
hat in der Mathematik und Logik mindestens drei verschiedene
Bedeutungen: alle im Sinne von jeder, bei Mengen im Sinne von jedes
Mitglied dieser Menge. Dieses "alle" kennzeichne ich mit alle_j. alle_k
kennzeichnet die Kardinalzahl. alle_g das Ganze, die Zusammenfassung,
z.B. die Summe, wenn es z.B. Zahlen sind:
{2,4,6} alle_j sind hier gerade. alle_k ergeben drei oder alle_g die
Summe 12. Die Kardinalzahlbedeutung könnte man mit alle_k kennzeichnen.
Was also meint Halmos genau? Meine Deutung ist: wenn er auch nur einen
Nachfolger definiert, hat er ...? Ja was? Alle_j, alle_k, alle_g?

> Als "Nachfolger" einer Menge x wird wenige Zeilen vor Deinem Zitat die
> Menge x vereinigt mit {x} definiert.
>
> Natürlich muss ein Axiomensystem konsistent. D.h. es wäre zu zeigen,
> dass aus den bisherigen Axiomen zusammen mit dem "Unendlichkeitsaxiom"
> kein Widerspruch hergeleitet werden kann.
>
> Unverklar für mich ist, was Du mit "dass alle_g Nachfolger gemeint sind"
> meinst. Was meinst Du mit "alle_g"? Und womit könnte "alle_g Nachfolger"
> gemeint sein?
>
> lg
> CN
>

Gruß: Rudolf

[Sam Besi]

Spunsel:

> Aber welche Kriterien gelten für Axiome (werde der Sache mal nachgehen)?

Bleib ganz still und warte bis sie kommen und dir das hier verschreiben:

https://de.wikipedia.org/wiki/Fields-Medaille

[Ralf Bader]

Sag mal, kann es sein, daß Du bereits damit überfordert bist, hier
festzustellen, wer was geschrieben hat? Es hatte ja schon einen gewissen
Unterhaltungswert, aus Halmos' Buch jenes Unendlichkeitsaxiom abzuschreiben,
die zu dessen Verständnis nötigen Erklärungen (was ist 0? Was ist der
Nachfolger einer Menge?) gekonnt wegzulassen, auf dieser Basis die
Unklarheit des Axioms festzustellen und dann mit einem selbergebastelten,
aber unerklärten "alle_g" weiterzumachen. Der angebliche "Denkfehler", auf
den das dann zusteuerte, ist nachweisbar ein Phantasiegebilde; um das zu
erkennen, müßte man allerdings den nächsten Maulwurfshügel besteigen,
während sich bislang hier alles in einer Art Gletscherspalte abspielt. Und
auch das Besteigen von Maulwurfshügeln wird lästig, wenn es permanent mit
Blödeleinlagen von diesem Mückenheim untermalt wird.

[Sam Besi]

Spunsel:

> Meine Deutung ist

LOL

[H0Iger SchuIz]

WM <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

> Am Mittwoch, 2. September 2015 19:41:58 UTC+2 schrieb Carlo XYZ:
> > Rudolf Sponsel <rudolf-...@sgipt.org> wrote:
> > > ... dass alle_g Nachfolger gemeint sind. Dann ist es falsch, ...
> >
> > usw, ...
> >
> > Generell: ein Axiom kann nicht "falsch" sein.
>
> Es kann mit anderen zum Widerspruch führen.

Das ist aber etwas anderes als "falsch" zu sein.

> Axiom: Es gibt 20 verschiedene natürliche Zahlen, deren Summe 10 ist.
> Dieses Axiom ist leicht nachweisbar falsch.

So klingt's, wenn jemand Axiomatik nicht verstanden hat. Dieses Beispiel
ist schon sehr dämlich. Soll dieses Axion so für sich allein in der
Gegend 'rumstehen? Was soll denn damit beschrieben sein? Oder möchte er
damit ein vorhandenes Axiomensystem ergänzen? Dann findet man wohl recht
leicht einen Widerspruch. Dadurch wird aber nicht das einzelne Axiom
"falsch".

Ganz offensichtlich wollte er hier ein gnaz prägnantes Beispiel bringen,
hat aber mal wieder nicht genug darüber nachgedacht. Außerdem hat er
immer noch keine Ahnung von Mathematik.

> Dasselbe Spiel haben wir mit dem AC. Wenn ES

Wie soll eigentlich jemand, der ständig "ES gibt" statt "es gibt"
schreibt, verstehen, was damit gemeint sein soll. Offensichtlich hängt
er nur Zeichen hintereinander, ohne überhaupt einen Sinn darin zu
erwarten.

> überabzählbare Mengen gäbe,
> so wäre es falsch, weil ES nicht überbzählbar viele
> Unterscheidungsmergmale

Was auch immer ein "Unterscheidungsmerkmal" sein soll. Mal wieder hat er
nur einen sinnlosen Begriff in den Raum gestellt.

Und das es von solchen nicht überabzählbar viele gebe, entspringt auch
nur seinem naiven Ansat, sich nur solche Dinge vorstellen zu können, die
man persönlich aufgeschrieben hat.

> gibt, Ordnung ohne Unterscheidbarkeit aber barer
> Unsinn ist.

Nach Dutzenden gescheiteter Versuche, wollte er hier die Verneinung der
Überabzählbarkeit mal eben so durch einen Nebensatz 'reinmogeln.
Schwaches Manöver.

hs

[Ralf Bader]

Rudolf Sponsel wrote:

> Hallo Carlos,
>
> Am 03.09.2015 um 15:57 schrieb Carlos Naplos:
>> Hallo Rudolf
>>
>> Ich finde nicht, dass die Formulierung des Axioms unklar ist.
>> Es wird die Existenz ein Menge postuliert, die eine gewisse Eigenschaft
>> hat, nämlich die Eigenschaft die leere Menge als Element zu enthalten
>> und mit der Menge x auch die Menge x vereinigt mit {x} zu enthalten.
>>
> Sagt es nicht mehr?

Die Aussage "Es gibt eine Menge, die das Element 0 enthält und zu jedem
ihrer Elemente auch dessen Nachfolger" besagt, daß es eine Menge gibt, die
das Element 0 enthält und zu jedem ihrer Elemente auch dessen Nachfolger.
Nein, mehr besagt diese Aussage nicht.

>> Es ist schon geraume Zeit her, dass ich das Buch gelesen habe, aber ich
>> glaube nicht, dass Halmos "potentielle oder unbestimmte Mengen,
>> Vorgänger, effektives Ende erwähnt hat. Auch "potentiell unendlich" und
>> "nach oben offen" hatte ich in dem Buch nicht entdeckt.
>>
> Potentiell sagt er in der Tat nicht. Es geht um die Bedeutung, was in
> diesem Axiom steckt. Ich meine, in der Formulierung "Es gibt eine Menge,
> die 0 enthält und mit jedem ihrer Elemente auch dessen Nachfolger."
> stecken "alle_g". Ok, habe ich an dieser Stelle nicht erklärt. "Alle"
> hat in der Mathematik und Logik mindestens drei verschiedene
> Bedeutungen:

Nein.

> alle im Sinne von jeder, bei Mengen im Sinne von jedes
> Mitglied dieser Menge.

OMG. 1. Was ist ein Mitglied einer Menge? 2. Um diese Art von "alle"
auszudrücken, hat man Quantoren.

> Dieses "alle" kennzeichne ich mit alle_j. alle_k
> kennzeichnet die Kardinalzahl.

Eine Kardinalzahl ist eine Kardinalzahl ist eine Kardinalzahl ist kein
alledingsbums.

> alle_g das Ganze, die Zusammenfassung,

herrje, dazu hat man doch die Menge aller soundso

> z.B. die Summe, wenn es z.B. Zahlen sind:

die Zusammenfassung, z.B. die Summe, bla, fasel und blubb (wenn die Summe
eine "Zusammenfassung" sein soll, weshalb nicht das Produkt oder sonstwas?)

> {2,4,6} alle_j sind hier gerade. alle_k ergeben drei oder alle_g die
> Summe 12. Die Kardinalzahlbedeutung könnte man mit alle_k kennzeichnen.

Es handelt sich um eine Menge von 3 geraden natürlichen Zahlen; die Summe
dieser Zahlen ist 12.

> Was also meint Halmos genau?

Er meint genau das, was er hingeschrieben hat.

> Meine Deutung ist: wenn er auch nur einen
> Nachfolger definiert, hat er ...? Ja was? Alle_j, alle_k, alle_g?

Wen sollte das kümmern, außer den Erfinder von alledingsbums? Gibt es einen
psychologischen oder psychopathologischen Namen für das "keine Ahnung haben,
aber alles besser wissen"-Syndrom? Dunning-Kruger-Effekt, aber ich weiß
nicht, ob der das im Vollbild trifft?

[H0Iger SchuIz]

Rudolf Sponsel <rudolf-...@sgipt.org> wrote:

> Hm, gibt es in Deiner Terminologie dann doch auch "falsche" Axiome?

In seiner "Terminologie" gibt es so ziemlich alles. Allerdings nur
syntaktisch. Bedeutungen haben die Buchstabenfolgen, die der Erleuchtete
verwendet, indes selten oder nie. Üblicherweise verweigert er die
Definition der Begriffe, die so in seinen Texten 'rumschwirren. In der
Mathematik bereits existierende Definitionen ignoriert er.

So kann man dannn viel schreiben, ohne irgendwelche Inhalte zu
transportieren.

hs

[H0Iger SchuIz]

Rudolf Sponsel <rudolf-...@sgipt.org> wrote:

> Hallo Carlos,
>
> Am 03.09.2015 um 15:57 schrieb Carlos Naplos:
> > Hallo Rudolf
> >
> > Ich finde nicht, dass die Formulierung des Axioms unklar ist.
> > Es wird die Existenz ein Menge postuliert, die eine gewisse Eigenschaft
> > hat, nämlich die Eigenschaft die leere Menge als Element zu enthalten
> > und mit der Menge x auch die Menge x vereinigt mit {x} zu enthalten.
> >
> Sagt es nicht mehr?

Womöglich auf feinstofflicher Ebene ...

Er hat es doch abgetippt, hätte er da Axion dabei nicht auch lesen
können? Dann wüsst er doch, was drinsteht?

> > Es ist schon geraume Zeit her, dass ich das Buch gelesen habe, aber ich
> > glaube nicht, dass Halmos "potentielle oder unbestimmte Mengen,
> > Vorgänger, effektives Ende erwähnt hat. Auch "potentiell unendlich" und
> > "nach oben offen" hatte ich in dem Buch nicht entdeckt.
> >
> Potentiell sagt er in der Tat nicht.

Aha.

> Es geht um die Bedeutung, was in
> diesem Axiom steckt. Ich meine, in der Formulierung "Es gibt eine Menge,
> die 0 enthält und mit jedem ihrer Elemente auch dessen Nachfolger."
> stecken "alle_g".

Was für ein Stuss aber ist das?

> Ok, habe ich an dieser Stelle nicht erklärt. "Alle"
> hat in der Mathematik und Logik mindestens drei verschiedene
> Bedeutungen: alle im Sinne von jeder, bei Mengen im Sinne von jedes
> Mitglied dieser Menge. Dieses "alle" kennzeichne ich mit alle_j. alle_k
> kennzeichnet die Kardinalzahl. alle_g das Ganze, die Zusammenfassung,
> z.B. die Summe, wenn es z.B. Zahlen sind:

Oh, Mann, hier schmeißt aber einer so ziemlich alles drucheinander, was
ihm vor die Füße gefallen ist. Mit Mathematik hat das aber nichts zu
tun.

> {2,4,6} alle_j sind hier gerade.

So ein Scheiß. "Alle Elemente der Menge {2,4,6} sind gerade" wäre klar
und verständlich, wenn man das schon nicht formalisieren möchte.

> alle_k ergeben drei

So ein Scheiß. Begriffe wie "Kardinalität" oder Anzahl der Elemente sind
schon längst definiert und auch in Gebrauch. So eine verwirrende
Fehlverwendung des Wortes alle braucht's nicht.

> oder alle_g die
> Summe 12.

So ein Scheiß. Der Begriff "Summe" ist schon längst definiert und auch
in Gebrauch. So eine verwirrende Fehlverwendung des Wortes alle
braucht's nicht.

> Die Kardinalzahlbedeutung könnte man mit alle_k kennzeichnen.

Nein, kann man nicht. Eine Kardinalzahl bezeichnet amn einfach als
Kardinalzahl. So eine verwirrende Fehlverwendung des Wortes alle
braucht's nicht.

> Was also meint Halmos genau? Meine Deutung ist: wenn er auch nur einen
> Nachfolger definiert, hat er ...? Ja was? Alle_j, alle_k, alle_g?

Halmos ist ja nun nicht völlig verblödet, und wird mit "alle" wohl
einfach "alle" meinen und keinen Stuss.

hs

[H0Iger SchuIz]

Bei so einem Posting weiß man leider nicht, ob er einfach nur eine Frage
hat, die ihm als interessiertem Laien ja zusteht. Oder ob sich hier
wieder ein Amateur aufmacht, um zu erklären, dass "das alles" irgendwie
doof ist. Dann frage ich mich, warum er nicht was anderes liest, wenn
ihm jenes Buch nicht gefällt.

Rudolf Sponsel <rudolf-...@sgipt.org> wrote:

> Ich starte mal mit der Fassung von Halmos (1968) Naive Mengenlehre, S. 60:
>
> "Es gibt eine Menge, die 0 enthält und mit jedem ihrer Elemente auch
> dessen Nachfolger."
> Halmos erläutert: "Der Name 'Unendlichkeitsaxiom' ist naheliegend:
> Wir haben zwar noch keine präzise Definition der Unendlichkeit
> aufgestellt, aber es scheint vernünftig, solche Mengen, wie sie das
> Unendlichkeitsaxiom beschreibt, unendlich zu nennen."
>
> Die Formulierung des Axioms ist unklar.

Nein. Allenfalls ist mir gerade nicht bekannt, wie Halmos z.B.
"Nachfolger" definiert. Aber das liegt nicht an Halmos sondern an den
Fetzen von Zitat.

> Man kann es 1) so verstehen,
> dass alle_g Nachfolger gemeint sind.

So kann man es nicht verstehen, weil "alle_g" entweder gar keine
Bedeutugn hat oder irgendein Blödsinn ist.

> Dann ist es falsch, weil es nicht
> alle_g und insbesondere keinen letzten Nachfolger gibt.

Warum sollte es einen "letzten" Nachfolger geben? In welchem Sinne wäre
das "der letzte"? Und was hat dieser mit dem Axion zu tun?

> In dieser
> Bedeutung sollte man das Axiom umtaufen in "selbstwidersprüchliches
> Unendlichkeitsaxion". 2) man kann es als eine potentielle und
> unbestimmte Menge von Vorgängern und Nachfolgern verstehen, die nach der
> Formulierung kein effektives Ende hat, denn sobald ein Element gegeben
> ist, ist auch dessen Nachfolger gegeben ...

Nein, das steht da alles nicht. Da steht nichts von "potentiell",
"effektiv" oder "Ende"

> Dann ist die Menge nur
> potentiell unendlich und nach oben offen,

"Offen"? Der Begriff passt wohl nicht.

> was aber meist nicht gewünscht
> ist. Gewünscht ist so etwas wie eine Einheit für alle_g natürlichen
> Zahlen, womit man etwas Unvollendetes und Unvollendbares als vollendet
> und vollendbar denkt.

Keine Ahnung, wer sich etwas wünscht. Mit Halmos' Formulierung des
Axioms hat das Gesabbel aber nichts zu tun.

> Das ist der grundlegende Denkfehler. Es bleibt die
> Frage, ob etwa in sich Widerspruchsvolles oder ein grundlegender
> Denkfehler als Axiom überhaupt zulässig ist.

Tja, jetzt müsst man halt wissen, wie Axiomatik funktioniert. Anders als
Esoterik auf jeden Fall.

hs

[Carlos Naplos]

Rudolf Sponsel schrieb am 03.09.2015 um 18:54:
> Hallo Carlos,
>
> Am 03.09.2015 um 15:57 schrieb Carlos Naplos:
>> Hallo Rudolf
>>
>> Ich finde nicht, dass die Formulierung des Axioms unklar ist.
>> Es wird die Existenz ein Menge postuliert, die eine gewisse Eigenschaft
>> hat, nämlich die Eigenschaft die leere Menge als Element zu enthalten
>> und mit der Menge x auch die Menge x vereinigt mit {x} zu enthalten.
>>
> Sagt es nicht mehr?

Nein.

>
>> Es ist schon geraume Zeit her, dass ich das Buch gelesen habe, aber ich
>> glaube nicht, dass Halmos "potentielle oder unbestimmte Mengen,
>> Vorgänger, effektives Ende erwähnt hat. Auch "potentiell unendlich" und
>> "nach oben offen" hatte ich in dem Buch nicht entdeckt.
>>
> Potentiell sagt er in der Tat nicht. Es geht um die Bedeutung, was in
> diesem Axiom steckt.

Eine Bedeutung hat das nicht.
Es ist eine Aussage, die nicht im Widerspruch zu den bereits
postulierten Axiomen steht und die nicht aus den bereits postulierten
Axiomen hergeleitet werden kann.

> Ich meine, in der Formulierung "Es gibt eine Menge,
> die 0 enthält und mit jedem ihrer Elemente auch dessen Nachfolger."
> stecken "alle_g". Ok, habe ich an dieser Stelle nicht erklärt. "Alle"
> hat in der Mathematik und Logik mindestens drei verschiedene
> Bedeutungen: alle im Sinne von jeder, bei Mengen im Sinne von jedes
> Mitglied dieser Menge. Dieses "alle" kennzeichne ich mit alle_j. alle_k
> kennzeichnet die Kardinalzahl. alle_g das Ganze, die Zusammenfassung,
> z.B. die Summe, wenn es z.B. Zahlen sind:
> {2,4,6} alle_j sind hier gerade. alle_k ergeben drei oder alle_g die
> Summe 12. Die Kardinalzahlbedeutung könnte man mit alle_k kennzeichnen.
> Was also meint Halmos genau? Meine Deutung ist: wenn er auch nur einen
> Nachfolger definiert, hat er ...? Ja was? Alle_j, alle_k, alle_g?
>

Wie andere Poster bereits geschrieben haben, ist eine solche
Unterscheidung in der Mathematik nicht üblich und sie macht auch keinen
Sinn.

In der Mathematik bedeutet "es gilt für alle (Elemente einer Menge)"
oder - gleichbedeutend - "es gilt für jedes (Element einer Menge)", dass
für ein beliebiges Element der Menge die auf diesen Allquantor genannte
Behauptung gilt.

Gruß
CN

[WM]

Am Freitag, 4. September 2015 18:01:36 UTC+2 schrieb Carlos Naplos:


> In der Mathematik bedeutet "es gilt für alle (Elemente einer Menge)"
> oder - gleichbedeutend - "es gilt für jedes (Element einer Menge)", dass
> für ein beliebiges Element der Menge die auf diesen Allquantor genannte
> Behauptung gilt.

Es gilt für jedes Element / jede Zeile der folgenden arithmogeometrischen Figur:
1
11
111
...
dass es endlich ist und also nicht aleph_0 Spalten überdeckt.
Angeblich überdecken alle Elemente / Zeilen jedoch aleph_0 Spalten.
Das ist umso erstaunlicher, als die Zeilen Unärdarstellungen der natürlichen Zahlen sind, deren keine aleph_0 Ziffern besitzt.

Offenbar wird hier ein Unterschied zwischen "für jedes" und "für alle (gemeinsam)" benötigt, um die Mengenlehre widerspruchsfrei zu halten.

Gruß, WM

[WM]

Am Donnerstag, 3. September 2015 19:35:09 UTC+2 schrieb Ralf Bader:


> > Sagt es nicht mehr?

Es sagt nicht mehr, aber jeder Matheologe interpretiert mehr hinein als drinsteht.

>
> Die Aussage "Es gibt eine Menge, die das Element 0 enthält und zu jedem
> ihrer Elemente auch dessen Nachfolger" besagt, daß es eine Menge gibt, die
> das Element 0 enthält und zu jedem ihrer Elemente auch dessen Nachfolger.
> Nein, mehr besagt diese Aussage nicht.

Dann sollte die Menge dieser Elemente, hier als Zeilen eines arithmogeometrischen Dreiecks in Form von Unärdarstellungen angeschrieben,
1
11
111
...
keinesfalls aleph_0 Spalten überdecken. Denn jeder Nachfolger einer endlich viel Spalten überdeckenden Zeile überdeckt endlich viele Spalten. Trotzdem behaupten fast alle Matheologen, dass all Zeilen zusammengenommen aleph_0 Spalten überdecken, wobei aleph_0 größer als jede endliche Zahl ist.

Bei ehrlicher Befolgung des Axiomtextes wäre das ausgeschlossen.

Gruß, WM